Capítulo 6 Distribuição de Probabilidade Normaldenis.santos/Arquivos/Slides/Triola_Cap_06... · Distribuição de Probabilidade Normal 6-1 Visão Geral 6-2 Distribuição Normal

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Notas de Aula

Estatística Elementar10ª Edição

by Mario F. Triola

Tradução: Denis Santos

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Capítulo 6Distribuição de Probabilidade

Normal6-1 Visão Geral

6-2 Distribuição Normal Padronizada

6-3 Aplicações da Distribuição Normal

6-4 Distribuições Amostrais e Estimadores

6-5 O Teorema Central do Limite

6-6 Normal para Aproximar a Binomial

6-7 Verificando Normalidade


Created by Erin Hodgess, Houston, TexasRevised to accompany 10th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA

Seção 6-1 Visão Geral

22


Este capítulo foca em:

� Variáveis aleatórias contínuas

� Distribuição Normal

Visão Geral

Figura 6-1

Fórmula 6-1

f(x) = σσσσ 2 ππππ

x-µµµµσσσσ )2(

e2-1


Seção 6-2 Distribuição Normal

Padronizada



Ponto Chave

Esta seção apresenta a distribuição normalpadronizada, que tem três propriedades:

1. Tem forma de sino.

2. Tem média igual a 0.

3. Tem desvio padrão igual a 1.

É extremamente importante desenvolver ahabilidade para se determinar as áreas (ou asprobabilidades ou freqüências relativas)correspondente a várias regiões sob o gráfico dadistribuição normal padronizada.

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Definição

� Uma variável aleatória contínua temdistribuição uniforme se seus valores seespalham uniformemente sobre a faixa devalores de probabilidades.

O gráfico da distribuição uniforme resulta emuma forma retangular.


� Uma curva de densidade é o gráfico de umadistribuição de probabilidade contínua. Ele devesatisfazer as seguintes propriedades:

Definição

1.A área total sob a curva deve ser igual a 1.2.Cada ponto na curva deve ter uma altura verticalque é 0 ou maior. (Isto é, a curva não pode estarabaixo do eixo x.)


Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, há uma correspondência entre área e

probabilidade.

Área e Probabilidade

44


Usando a Área para Encontrar Probabilidades

Figura 6-3


Definição

� A distribuição normal padronizada é umadistribuição de probabilidade com médiaigual a 0 e desvio padrão igual a 1, e a áreatotal sob sua curva de densidade é igual a 1.


Encontrando Probabilidades -Tabela A-2

� Incluída na contra capa do livro

� No cartão de fórmulas e tabelas

� No apêndice

55


Encontrando Probabilidades –Outros Métodos

� STATDISK� Minitab� Excel� TI-83/84


Tabela A-2 - Exemplo


Escore z

Distância na escala horizontal da distribuiçãonormal padronizada; refere-se à coluna àesquerda e à linha superior da Tabela A-2.

Área

Região sobre a curva; refere-se aos valores nocorpo da Tabela A-2.

Usando a Tabela A-2

66


Se termômetros científicos têm umaleitura média de 0 graus e um desviopadrão de 1 grau no ponto decongelamento da água, e se um destestermômetros é selecionado ao acaso,encontre a probabilidade de, no ponto decongelamento da água, a leitura ser menorque 1.58 graus.

Exemplo - Termômetros


P(z < 1.58) =

Figura 6-6

Exemplo - Cont


Look at Tabela A-2

77


P (z < 1.58) = 0.9429

Figura 6-6

Exemplo - cont


A probabilidade de que o termômetro selecionado med irá a temperatura de congelamento da água em um valor menor ou igual a 1.58 graus é 0.9429.

P (z < 1.58) = 0.9429

Exemplo - cont


P (z < 1.58) = 0.9429

94.29% dos termômetros têm leitura menor que 1.58 graus.

Exemplo - cont

88


Se termômetros têm uma leitura média de 0 graus eum desvio padrão de 1 grau, e se um destestermômetros é selecionado ao acaso, calcule aprobabilidade de que sua leitura no ponto decongelamento da água seja maior que –1.23 graus.

A probabilidade de que o termômetro selecionado ten ha leitura superior a -1.23 graus é 0.8907.

P (z > –1.23) = 0.8907

Exemplo - cont


P (z > –1.23) = 0.8907

89.07% dos termômetros têm leituras acima de –1.23 graus.

Exemplo - cont


Um termômetro é selecionado aleatoriamente. Calcule aprobabilidade de que sua leitura (no ponto decongelamento da água) esteja entre –2.00 e 1.50 graus.

P (z < –2.00) = 0.0228P (z < 1.50) = 0.9332P (–2.00 < z < 1.50) = 0.9332 – 0.0228 = 0.9104

A probabilidade de que o termômetro escolhido tenha leitura entre – 2.00 e 1.50 graus é 0.9104.

Exemplo - cont

99


Se vários termômetros são selecionados ao acaso e t estados no ponto de congelamento da água, então temos que 91.0 4% destes

termômetros terão leitura entre –2.00 e 1.50 graus.

P (z < –2.00) = 0.0228P (z < 1.50) = 0.9332P (–2.00 < z < 1.50) = 0.9332 – 0.0228 = 0.9104

Um termômetro é selecionado aleatoriamente. Calcule aprobabilidade de que sua leitura (no ponto decongelamento da água) esteja entre –2.00 e 1.50 graus.

Exemplo - Modificado


P(a < z < b) determina a probabilidade de que o escore z esteja entre a

e b.

P(z > a)determina a probabilidade de que o escore z é maior que

a.

P(z < a)determina a probabilidade de que o escore z é menor que

a.

Notação


Calculando o Escore z Para Probabilidades Dadas Usando a

Tabela A-21. Desenhe a curva da normal e identifique a região

sob a curva que corresponde à probabilidadedada. Se esta região não é uma regiãoacumulativa a partir da esquerda, trabalhe comáreas conhecidas que sejam acumuladas àesquerda.

2. Usando a área acumulada à esquerda, localize aprobabilidade mais próxima no corpo da TabelaA-2 e identifique o escore z correspondente.

1010


Calculando o Escore z para Probabilidades Dadas

5% ou 0.05

(Escore z será positivo)

Figura 6-10Encontrando o 95 º Percentil


Calculando o Escore z para Probabilidades Dadas - cont

Figura 6-10Encontrando o 95 º Percentil

1.645

5% ou 0.05

(Escore z será positivo)


Figura 6-11 Encontrando o 2.5% inferior e o 2.5% superior

(Um escore z será negativo e o outro positivo)


1111










Recapitulando

Nesta seção apresentamos:

� Curvas de densidade.

� Relação entre área e probabilidade

� Distribuição normal padronizada.

� Usando a Tabela A-2.

1212


Seção 6-3 Aplicações da

Distribuição Normal



Ponto Chave

Esta seção apresenta métodos para trabalharcom distribuições normais que não sãopadronizadas. Isto é, a média não é 0 ou odesvio padrão não é 1, ou ambos.

O ponto chave é que podemos usar umaconversão simples que nos permite padronizarqualquer distribuição normal de modo que osmesmos métodos da seção anterior possamser utilizados.


Fórmula de Conversão

Fórmula 6-2x – µσσσσz =

Arredonde os escores z para 2 casas decimais

1313


Figura 6-12

Convertendo Para uma Distribuição Normal Padronizada

x – µµµµσσσσz =


No Problema do Capítulo, notamos que a cargade segurança para um táxi aquático era de 3500libras (aproximadamente 1588 kg). Tambémnotamos que o peso médio dos passageiros éconsiderado igual a 140 libras. Assuma o piorcaso de que todos os passageiros são homens.Assuma também que o peso destes homens sãonormalmente distribuídos com média 172 libras edesvio padrão de 29 libras. Se um homem éselecionado ao acaso, qual é a probabilidade deque ele pese menos do que 174 libras?

Exemplo – Peso de Passageiros de Táxis Aquáticos


Exemplo - cont

z = 174 – 17229

= 0.07

Figura 6-13

σ = 29 µµµµ = 172

1414


Exemplo - cont

Figura 6-13

P ( x < 174 lb.) = P(z < 0.07)= 0.5279

σ = 29 µµµµ = 172


1. Não confunda escores z e áreas. Os escores z sãodistâncias ao longo da escala horizontal, enquantoque as áreas são regiões sob a curva normal. ATabela A-2 lista os escores z na coluna à esquerda ena linha superior, e as áreas são encontradas nocorpo da Tabela.

2. Escolha o lado correto (direito/esquerdo) dográfico.

3. Um escore z deve ser negativo toda vez que ele selocalizar na metade esquerda da distribuição normal.4. Áreas (ou probabilidades) são positivoas ou nulas,portanto nunca serão negativas.

Cuidados Para Ter em Mente


Procedimento para Calcular Valores Usando a Tabela A-2 e a

Fórmula 6-21. Esboce a curva da distribuição normal, introduza a probabi lidade

ou percentagem dada na região apropriada do gráfico eidentifique o valor x de seu interesse.

2. Use a Tabela A-2 para encontrar o escore z correspondente àárea acumulada à esquerda de x. Consulte o corpo da Tabela A-2para encontrar a área mais próxima, então identifique o esco re zcorrespondente.

3. Usando a Fórmula 6-2, introduza os valores de µ, σσσσ, e o escore zencontrado no passo 2, e resolva para x.

x = µ + (z • σσσσ) (Outra forma para a Fórmula 6-2)

(Se z está localizado à esquerda da média, tenha certeza de queseja um número negativo.)

4. Consulte o esboço da curva para verificar se a solução fazsentido no contexto do gráfico e no contexto do problema.

1515


Exemplo – Mais Leves e Mais Pesados

Use os dados do exemplo anterior para determinarque peso separa os 99.5% mais leves dos 0.5%homens mais pesados.


x = µµµµ + (z ● σσσσ)x = 172 + (2.575 •••• 29)x = 246.675 (247 rounded)

Exemplo – Mais Leves e Mais Pesados - cont


O peso de 247 libras separa os 99.5% mais leves dos 0.5% mais pesados.

Exemplo – Mais Leves e Mais Pesados - cont

1616


Recapitulando


� Distribuição normal não padronizada.

� Convertendo para uma distribuição normal padronizada.

� Procedimentos para calcular valores usando a Tabela A-2 e a Fórmula 6-2.


Seção 6-4Distribuições Amostrais e

Estimadores



Ponto Chave

O objetivo principal desta seção é entender oconceito de distribuição amostral de umaestatística , a qual é a distribuição de todosos valores da estatística quando todas aspossíveis amostras de mesmo tamanho sãoobservadas.

Nós também veremos que algumasestatísticas são melhores que outras paraestimar parâmetros populacionais.

1717


Definição

� A distribuição amostral de uma estatística (talcomo a proporção amostral ou a médiaamostral) é a distribuição de todos os valoresda estatística quando todas as possíveisamostras de mesmo tamanho n sãoselecionadas da mesma população.


Definição

� A distribuição amostral de umaproporção é a distribuição das proporçõesamostrais, com todas as amostras tendo omesmo tamanho amostral n sãoselecionadas de uma mesma população.


Propriedades

� Proporções amostrais tendem a seaproximarem do valor da proporçãopopulacional. (Ou seja, todas as possíveisproporções amostrais têm média igual àproporção populacional.)

� Sob certas condições, a distribuição daproporção amostral pode ser aproximada peladistribuição normal.

1818


Definição

� A distribuição amostral da média é adistribuição das médias amostrais, comtodas as amostras tendo o mesmo tamanhoamostral n selecionadas de uma mesmapopulação. (A distribuição amostral damédia é tipicamente representada comouma distribuição de probabilidade noformato de uma tabela, histograma deprobabilidade ou fórmula.)


Definição

� O valor de uma estatística, tal como a médiaamostral x, depende dos valores incluídos naamostra estudada, e geralmente variam deamostra para amostra. Esta variabilidade dasestatísticas é chamada de variabilidadeamostral .


Estimadores

Algumas estatísticas funcionam melhoresque outras como estimadores de parâmetrospopulacionais. O exemplo que se segueilustra esta propriedade.

1919


Exemplo - Distribuições Amostrais

Uma população consiste dos valores 1, 2, e 5. Nósselecionamos aleatoriamente amostras de tamanho2 com reposição. Há 9 possíveis amostras.

a. Para cada amostra, calcule a média, mediana,amplitude, variância e desvio padrão.

b. Para cada estatística do item (a), calcule amédia com base em todas as amostras.


Uma população consiste dos valores 1, 2, e 5. Nósselecionamos aleatoriamente amostras de tamanho2 com reposição. Há 9 possíveis amostras.

a. Para cada amostra, calcule a média, mediana, amplitude, variância e desvio padrão.

Veja a Tabela 6-7 no próximo slide .

Distribuições Amostrais


2020


Uma população consiste dos valores 1, 2, e 5. Nósselecionamos aleatoriamente amostras de tamanho2 com reposição. Há 9 possíveis amostras .

b. Para cada estatística do item (a), calcule amédia com base em todas as amostras

As médias são apresentadas abaixo dos valores amostrais na Tabela 6-7.

Distribuições Amostrais


Interpretação das Distribuições Amostrais

Nós podemos ver que usando as estatísticasamostrais para estimar parâmetros populacionais,algumas são melhores que outras, no sentido de“acertarem” o valor do parâmetro em questão, e sãoportanto preferíveis para obtermos bons resultados .Tais estatísticas são chamadas de estimadorescentrados ou não viesados. .

Estatísticas que acertam o valor dos parâmetrospopulacionais: média, variância, proporção

Estatísticas que não acertam o valor do parâmetropopulacional: mediana, amplitude, desvio padrão


Recapitulando


� Distribuição amostral de uma estatística.

� Distribuição amostral de uma proporção.

� Distribuição amostral da média.

� Variabilidade Amostral.

� Estimadores.

2121


Seção 6-5O Teorema Central do

Limite



Ponto Chave

Os procedimentos desta seção formam abase para a estimação de parâmetrospopulacionais e para os testes de hipótese –tópicos a serem discutidos ao longo doscapítulos seguintes.


Teorema Central do Limite

1. Uma variável aleatória x tem uma distribuição (quepode ser normal ou não) com média µ e desviopadrão σσσσ.

2. Amostras aleatórias simples todas de tamanho n sãoselecionadas da população. (As amostras sãoselecionadas de tal maneira que todas as amostraspossíveis de mesmo tamanho n têm a mesma chancede serem selecionadas.)

Dado que:

2222


1. A distribuição da média amostral x irá, como aumento do tamanho da amostra,aproximar-se de uma Distribuição Normal .

2. A média das médias amostrais é a médiapopulacional µ.

3. O desvio padrão de todas as médiasamostrais é σ/ σ/ σ/ σ/ . . . .

Conclusões:

n

Teorema Central do Limite -cont


Regras Práticas Comumente Usadas

1. Para amostras de tamanho n maiores que30, a distribuição das médias amostrais podeser aproximada razoavelmente bem pelaDistribuição Normal. A aproximação ficacada vez melhor com o aumento do tamanhoamostral n.

2. Se a população original é normalmentedistribuída. Então as médias amostrais serãonormalmente distribuídas para qualquertamanho amostral n (e não apenas paravalores de n maiores que 30).


Notação

A média das médias amostrais

o desvio padrão das médias amostrais

(geralmente chamado de erro padrão da média)

µx = µ

nσx = σ

2323


Simulação com Números Aleatórios

Apesar dos 500.000 números terem uma distribuiçãouniforme , a distribuição das 5.000 médias amostrais éaproximadamente igual uma Distribuição Normal !

Gere 500.000 números aleatórios, e os agrupe em 5000 amostra sde 100 números cada. Calcule a ,média de cada amostra.


Com o aumento do tamanho amostral temos que a

distribuição amostral das médias amostrais aproxima-se

da Distribuição Normal.

Ponto Importante


Dado que a população de homens tem o peso distribuído normalmente com média 172 lb e um desvio padrão de 29 lb:a) se um homem é selecionado aleatoriamente, calcule a probabilidade de que seu peso seja maior que 175 lb.b) se 20 homens diferentes são selecionados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que seu peso médio seja maior que 175 lb (ou seja, que o peso total destes homens exceda a capacidade de segurança de 3500 libras).

Exemplo – Segurança em Táxi Aquático

2424


z = 175 – 172 = 0.1029

a) se um homem é selecionado aleatoriamente, calcule a probabilidade de que o seu peso não seja maior do que 175 lb.

Exemplo – cont


b) se 20 homens diferentes são selecionados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que seu peso médio seja maior que 175 lb.

Exemplo – cont

z = 175 – 172 = 0.462920


b) se 20 homens são selecionados aleatoriamente, aprobabilidade de que o peso médio seja maior que 175lb é:

P(x > 175) = 0.3228É muito mais fácil que um valor individual se dista ncie da média que um grupo de 20 valores se desviem da médi a.

a) se um homem é selecionado aleatoriamente, aprobabilidade de que o seu peso seja maior que 175 lbé:

P(x > 175) = 0.4602

Exemplo - cont

2525


Interpretação dos Resultados

Dado que a capacidade de um taxi aquático éde 3500 libras, temos uma grande chance(com probabilidade 0,3228) de que ele sejasobrecarregado ao termos 20 homensescolhidos ao acaso.


Correção para População Finita

N – nσσσσx = σσσσn N – 1

fator de correção para população finita

Quando amostramos sem reposição e o tamanho daamostra n é maior que 5% da população finita detamanho N, ajuste o desvio padrão das médiasamostrais pelo fator de correção:


Recapitulando


� Teorema Central do Limite.

� Regras Práticas.

� Efeitos do tamanho amostral.

� Fator de correção para população finita.

2626


Seção 6-6Normal para Aproximar a

Binomial



Ponto Chave

Esta seção apresenta um método para usar adistribuição normal como uma aproximação para adistribuição de probabilidade binomial.

Se as condições de np ≥ 5 e nq ≥ 5 são ambassatisfeitas, então as probabilidades de uma distribuiçãode probabilidade binomial podem ser aproximadasusando uma distribuição normal com média µ = np edesvio padrão σ = √npq


Revisão

Distribuição de Probabilidade binomial

1. O experimento deve ter um número fixo de realizações.

2. As realizações devem ser independentes.

3. Cada realização deve ter todos os resultados clas sificados em duas categorias .

4. A probabilidade de sucesso permanece constante e m todas as realizações.

Calcule as probabilidades pela fórmula da distribui ção binomial, Tabela A-1, ou recursos computacionais.

2727


Aproximação da Distribuição Binomialpela Distribuição Normal

np ≥≥≥≥ 5

nq ≥≥≥≥ 5

então µ = np e σσσσ = npq

E a variável aleatória tem

(normal)

uma distribuição


Procedimento para Usar a Distribuição Normal para Aproximar uma Distribuição

Binomial1. Estabeleça que a distribuição normal é uma

aproximação razoável para a distribuição binomialverificando se np ≥≥≥≥ 5 e nq ≥≥≥≥ 5.

2. Calcule os valores dos parâmetros µ e σσσσ calculandoµ = np e σσσσ = npq .

3. Identifique os valores discretos de x (o número desucessos). Mude os valores discretos substituindo-ospelos intervalos de x – 0.5 para x + 0.5. (Veja correçãode continuidade discutido posteriormente nesta seção.)Desenhe uma curva normal e indique os valores de µ ,σσσσ, e de x – 0.5 ou x + 0.5,o que for apropriado.


4. Substitua x por x – 0.5 ou x + 0.5, o que for maisapropriado.

5. Usando x – 0.5 ou x + 0.5 (o que for mais adequado) aoinvés de x, calcule a área correspondente para aprobabilidade desejada primeiro calculando o escore ze em seguida calculando a área a esquerda do valorajustado de x.

Procedimento para Usar a Distribuição Normal para Aproximar uma Distribuição

Binomial - cont

2828


Figura 6-21

Calcule a probabilidade de“Pelo menos 122 homens” entre 213 passageiros

Exemplo – Número de Homens Entre os Passageiros


Definição

Quando usamos a distribuição normal (que éuma distribuição de probabilidade contínua )como uma aproximação à distribuiçãobinomial (que é discreta ), uma correção decontinuidade é feita no valor numéricodiscreto x da distribuição binomialrepresentando o valor simples x pelo intervaloda forma

de x – 0.5 para x + 0.5(ou seja, adicionando e subtraindo 0.5).


Procedimento para Correção de Continuidade

1. Quando usar a distribuição normal como umaaproximação para a distribuição binomial, sempre usea correção de continuidade.

2. Ao usar a correção de continuidade, primeiroidentifique o valor discreto x que é relevante para oproblema da distribuição binomial.

3. Desenhe uma distribuição normal centrada em tornode µ, e então desenhe uma área vertical centrada emx. Mark the left side of the strip with the number x –0.5, and mark the right side with x + 0.5. For x = 122,draw a strip from 121.5 to 122.5. Consider the area ofthe strip to represent the probability of discrete wholenumber x.

2929


4. Agora determine se o valor de x será incluído naprobabilidade que você deseja calcular. A seguir,determine quais destas probabilidades será calculada:pelo menos x, no máximo x, maior que x, menor que x,ou exatamente x. Sombreie a área a esquerda ou adireita da marca vertical conforme apropriado, etambém sombreie o interior das marcas verticais se esomente se x será incluído. A região sombreada totalcorresponde a probabilidade a ser calculada.

Procedure for Continuity Corrections - cont


x = pelo menos 122(inclui 122 e acima)

x = mais que 122(não inclui 122)

x = no máximo 122(inclui 122 e abaixo)

x = menor que 122(não inclui 122)

x = exatamente 122

Figura 6-22


Recapitulando


� Aproximação para a distribuição binomial com a distribuição normal.

� Procedimentos para usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial.

� Correção de continuidade.

3030


Seção 6-7Verificando Normalidade



Ponto Chave

Esta seção apresenta critérios para determinarse os requisitos de uma distribuição normalsão satisfeitos.

Os critérios envolvem a inspeção visual de umhistograma para ver se aparenta ter umformato de sino, identificação de algumoutlier, e a construção de um novo gráficochamado de plot de quantis normal .


Definição

� Um plot de quantis normal quantile plot(ou gráfico de probabilidades normal ) éuma gráfico que traça os pontos ( x,y ),onde cada valor x é do conjunto de dadosoriginais e cada valor y é o escore zcorrespondente que é o quantil esperadode uma distribuição normal padronizada.

3131


Métodos para Determinar se os Dados Tem Distribuição Normal

1. Histograma : Construa um histograma.Rejeite a normalidade se o histograma diferedramaticamente de uma curva de sino.

2. Outliers : Identifique os outliers. Rejeite anormalidade se há mais que um outlierpresente.

3. Plot de Quantis Normal: Se o histograma ébasicamente simétrico e se há no máximo umoutlier, construa um plot de quantis normalcomo se segue:


a.Ordene os dados em ordem crescente.

b.Com uma amostra de tamanho n, cada valorrepresenta uma proporção de 1/ n da amostra.Usando o valor conhecido do tamanho amostral n,identifique as áreas de 1/2 n, 3/2n, 5/2n, 7/2n, e assimpor diante. Estas são as áreas acumuladas àesquerda dos valores amostrais correspondentes.

c.Use a distribuição normal padronizada (Tabela A-2,software ou calculadora) para calcular os escores zcorrespondentes às áreas acumuladas calculadas nopasso (b).

3. Plot de Quantis Normal

Procedimentos para Determinar se os Dados Tem Distribuição Normal - cont


d. Match the original sorted data values with theircorresponding z scores found in Step (c), then plot thepoints ( x, y), where each x is an original sample valueand y is the corresponding z score.

e. Examine the normal quantile plot using these criteria:

If the points do not lie close to a straight line, or if thepoints exhibit some systematic pattern that is not astraight-line pattern, then the data appear to come froma population that does not have a Distribuição Normal.If the pattern of the points is reasonably close to astraight line, then the data appear to come from apopulation that has a Distribuição Normal.

Procedure for Determining Whether Data Have a Distribuição Normal - cont

3232


Exemplo

Interpretation: Because the points lie reasonably close to a straight line and there does not appear to be a systematic pattern that is not a straight-l ine pattern, we conclude that the sample appears to be a normally distributed population.


Recapitulando


� Plot de quantis normal.

� Procedimentos para determinar se os dados tem uma distribuição normal.

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