Voltage across a capacitor plied voltage. 2p 1 60.0 Hz 2 1 8.00 3 1026 F 2 he current from equations developed in this section, so we categorize this X C 5 5 332 V vC2pfC DVrms150 V . | Capacitors in an AC Circuit nstantaneous voltage across the capac-UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CINCIAS FSICAS E MATEMTICAS Imax XC sin vt ( . ) DEPARTAMENTO DE FSICA the frequency of the voltage source and the maximum current therefore termined by the frequency of the volt- ency approaches zero, the capacitive t therefore approaches zero. This con- R oaches direct current conditions as vC an open circuit. in Figure 33.11. The frequency of FSC 5120 FSICA IV A ge amplitude is held constant. When ) It glows brightest at high frequen- Figure . (Quick Quiz 33.3) ncies. (c) The brightness is the same R L in Figure 33.12. The frequency of C ge amplitude is held constant. When ) It glows brightest at high frequen- ncies. (c) The brightness is the same Figure . (Quick Quiz 33.4) NOTAS DE AULA VERSO: 11/08/2011 apacitive AC Circuit inals of a 60.0-Hz AC source whose rms voltage is 150 V. Find the capacitive hysical situation for this problem. Keep in mind that capacitive reactance Prof. ABLIO MATEUS JR. http://abiliomateus.net/ensino abilio.mateus@ufsc.br 111 tance:55 he rmsIrms 555 0.452 A SUMRIO 1Lei de Faraday e indutncia 3 7.4 Intensidade do padro de interferncia para 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Experimentos de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluxo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei de Faraday da induo . . . . . . . . . . . . . . . . . . A lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos eltricos induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . Indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clculo da indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia armazenada em um campo magntico Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 4 5 5 6 7 7 ondas eletromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Difrao 8.1 Difrao e a teoria ondulatria da luz . . . . . . . . 8.2 O princpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Difrao por uma fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Intensidade no padro de difrao por uma fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Resoluo; difrao por uma abertura circular 8.6 Intensidade do padro de difrao por fenda 33 34 34 34 35 36 36 2Oscilaes eletromagnticas 2.1 Oscilaes LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Oscilaes amortecidas num circuito RLC . . . 2.3 Oscilaes foradas e ressonncia . . . . . . . . . . . 3Circuitos de corrente alternada 9 9 10 10 12 dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Redes de difrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Luz e fsica quntica 9.1 Radiao de corpo negro e a teoria de Planck . 9.2 Efeito fotoeltrico e a teoria de Einstein so- bre o fton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 39 40 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de um circuito AC . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RLC de malha simples . . . . . . . . . . . . . Potncia em circuitos AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 14 14 9.3 Espalhamento Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 A dualidade onda-partcula da luz . . . . . . . . . . . 10 Estrutura atmica 10.1 Primeiros modelos atmicos . . . . . . . . . . . . . . . . 41 42 43 43 4Propriedades magnticas da matria 4.1 Os momentos magnticos dos tomos . . . . . . . . 4.2 Magnetizao e intensidade do campo mag- ntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Classicao das substncias magnticas . . . . 5Equaes de Maxwell 5.1 Lei de Gauss para o magnetismo . . . . . . . . . . . . 5.2 Corrente de deslocamento e a lei de Ampre generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Ondas eletromagnticas 6.1 Ondas eletromagnticas planas . . . . . . . . . . . . . . 16 16 17 18 20 20 21 22 23 23 10.2 O espectro atmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Modelo atmico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ondas e partculas 11.1 Propriedades ondulatrias das partculas: a hiptese de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 O tomo e a hiptese de de Broglie . . . . . . . . . . 11.3 A mecnica quntica: uma nova teoria . . . . . . . 11.4 A funo de onda e sua interpretao . . . . . . . . 11.5 Princpio da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Viso dos tomos na mecnica quntica . . . . . . 43 44 48 48 48 49 50 51 52 6.2 Descrio matemtica de uma onda eletro- magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 O espectro das ondas eletromagnticas . . . . . . . 6.4 Energia transportada pelas ondas eletromag- nticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Momento e presso de radiao . . . . . . . . . . . . . 6.6 Polarizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Interferncia 7.1 A natureza da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Interferncia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Interferncia com fendas duplas . . . . . . . . . . . . . 23 25 26 27 28 30 30 30 31 Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 2 1 LEI DE FARADAY E INDUTNCIA 1.1 EXPERIMENTOS DE FARADAY Michael Faraday (17911867), universalmente conside- rado como um dos maiores experimentadores de todos os tempos, era lho de um ferreiro, um de dez irmos, e s teve instruo primria. Trabalhou como entregador de jornais e, aos 12 anos, empregou-se como aprendiz de encadernador. Educou-se tambm lendo os livros que encadernava, em particular a Enciclopdia Britnica. As Pesquisas Experimentais sobre Eletricidade, que Faraday comeou a publicar em 1832, contm inmeras descobertas fundamentais: eletroqumica, a constante diel- trica, paramagnetismo e diamagnetismo, o efeito Faraday em magneto-tica, e muitas outras. Foi ele quem criou a imagem das linhas de fora, que usava constantemente, raciocinando de forma totalmente intuitiva, pois no tinha preparo matemtico. Entre 1823 e 1826, outro grande experimentador, o francs Franois Arago (17861853) havia mostrado que uma barra de ferro no-imantada se imanta quando nela se enrola um solenide percorrido por uma corrente eltrica. Ocorreu a mais de um cientista procurar um efeito inverso: usar um m permanente para produzir uma corrente numa bobina. Em agosto de 1831, Faraday conseguiu demonstrar tal fato. Em uma experincia, Faraday enrolou 70 m de o de cobre em torno de um bloco de madeira, inserindo um galvanmetro1 no circuito. Enrolou outros 70 m, isolados do primeiro, e ligou-os a uma bateria. A princpio, cou desapontado: uma corrente estacionria no segundo circuito no afetava o galvanmetro, ligado ao primeiro. Faraday notou, porm, que aparecia uma deexo no galvanmetro quando e s quando o outro circuito era ligado ou desligado. Ou seja: a corrente era induzida pela variao do campo magntico devido ao outro circuito. O resultado foi comunicado Royal Society em 24 de novembro de 1831. O fsico americano Joseph Henry publicou uma observao semelhante em 1832. Figura 1.2 (a) Quando um m deslocado em direo a uma espira de o conectada a um galvanmetro, este se desvia, como mostrado, indicando que uma corrente induzida na espira. (b) Quando o m mantido estacionrio, nenhuma corrente induzida na espira, mesmo quando o m est dentro da espira. (c) Quando o m afastado da espira, o galvanmetro desvia-se na direo oposta, indicando que a corrente induzida oposta quela mostrada na parte (a). SerwayJewett Numa experincia posterior, Faraday aproximou um m permanente, de formato cilndrico, de um solenide ligado a um galvanmetro. Quando a barra era introduzida no solenide, o galvanmetro acusava a passagem de uma corrente. Quando era removida, produzia-se uma corrente em sentido oposto. Faraday percebeu logo que um efeito 1 Instrumento utilizado para medir corrente eltrica. anlogo se produzia quando o solenide era aproximado ou afastado do m, cando este em repouso: a induo de corrente dependia apenas do movimento relativo entre o m e a bobina, resultando numa variao do campo magntico que a atravessava. Foi para encontrar a lei quantitativa da induo que Faraday introduziu o conceito de linhas de fora, denindo o que hoje corresponde ao uxo do campo magntico atravs de um circuito. Figura 1.1 Experimento de Faraday. Quando a chave no circuito primrio fechada, o galvanmetro no circuito secundrio se desvia momentaneamente. A corrente induzida no circuito secundrio causada pela variao do campo magntico atravs da bobina secundria. SerwayJewett Moyses Nussenzveig, Fsica Bsica, Vol. 3 Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 3 Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia 1.2 FLUXO MAGNTICO 1.4 A LEI DE LENZ O uxo associado com o campo magntico denido de maneira similar ao uxo eltrico e proporcional ao nmero de linhas do campo magntico que atravessam uma rea qualquer. Denimos o uxo magntico B atravs de uma O sinal negativo na Lei de Faraday est relacionado com a lei de Lenz, que nos permite determinar o sentido da corrente induzida em uma espira: superfcie como (1.1) B = B d A, A corrente induzida em uma espira tem um sen- tido tal que o campo magntico produzido pela corrente se ope ao campo magntico que induz a corrente. onde d A um vetor perpendicular superfcie com mdulo igual rea dA. A unidade SI do uxo magntico o weber: 1 Wb = 1 T m2 1.3 LEI DE FARADAY DA INDUO Faraday descobriu que uma fora eletromotriz e uma corrente podem ser induzidas em uma espira fazendo variar a quantidade de campo magntico que atravessa a espira. Percebeu ainda que a quantidade de campo magntico pode ser visualizada em termos das linhas de campo mag- ntico que atravessam a espira. Usando a denio de uxo magntico, podemos enunciar a lei de induo de Faraday da seguinte forma: O mdulo da fora eletromotriz E induzida em uma espira condutora igual taxa de variao temporal do uxo magntico B que atravessa a espira. Como veremos na prxima seo, a fora eletromotriz induzida E se ope variao do uxo, de modo que, matematicamente, a lei de Faraday pode ser escrita como Esta lei vale apenas para correntes induzidas que aparecem em circuitos fechados. Se o circuito for aberto, podemos usualmente pensar em termos do que poderia acontecer se ele fosse fechado e desta forma encontrar a polaridade da fem induzida. A fora eletromotriz induzida tem o mesmo sentido que a corrente induzida. Considere um m se aproximando de uma espira como mostrado na Figura 1.3. Se o m estiver inicialmente distante o uxo magntico que atravessa a espira zero. Quando o plo norte do m se aproxima da espira com o campo magntico B apontando para baixo o uxo atravs da espira aumenta. Para se opor a esse aumento de uxo a corrente induzida I deve criar um campo Bind apontando para cima (Figura 1.3a). De acordo com a regra da mo direita, o sentido da corrente deve ser o sentido anti- horrio. (1.2) E = dB dt , onde E a fem induzida e B o uxo magntico atravs da espira condutora. Se o uxo magntico atravs de uma bobina de N espiras sofre uma variao, uma fem induzida aparecer em cada espira, e a fem induzida total no circuito ser o somatrio dos valores individuais. Se a taxa de variao do uxo for a mesma para cada uma das N espiras, a fem induzida ser dada por E = N dB dt . H trs maneiras de variar o uxo magntico que atra- vessa uma bobina e para induzir uma corrente eltrica: 1. Mudar o mdulo de B. 2. Mudar a rea total da bobina ou a parte da rea atraves- sada pelo campo magntico. 3. Mudar o ngulo entre a orientao do campo magntico B e o plano da bobina (girando-a, por exemplo). Figura 1.3 O sentido da corrente I induzida em uma espira tal que o campo magntico Bind produzido pela corrente se ope variao do campo magntico B que induziu a corrente. O campo Bind sempre tem o sentido oposto ao sentido de B se B est aumentando (a e c), e o mesmo sentido que B se B est diminuindo (b e d). A regra da mo direita fornece o sentido da corrente induzida a partir do sentido do campo induzido. Halliday Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 4dB s s ss s s Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Note que o uxo de Bind sempre se ope variao do uxo de B, mas isso no signica que B e Bind sempre tm sentidos opostos. Por exemplo, quando afastamos o m da espira o uxo B produzido pelo m tem o mesmo sentido que antes (para baixo), mas agora est diminuindo. Nesse caso, como mostra a Figura 1.3b, o uxo de Bind tambm deve ser para baixo, de modo a se opor diminuio do uxo B. Portanto, B e Bind tm o mesmo sentido. As Figuras 1.3c e 1.3d mostram as situaes em que o plo sul do m se aproxima e se afasta da espira, respectiva- mente. 1.5 CAMPOS ELTRICOS INDUZIDOS Considere uma partcula de carga q0 que se move ao longo de uma circunferncia de raio r.O trabalho W Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia Podemos obter uma forma mais geral para a lei de Fara- day combinando a Eq. 1.3 com a expresso E = dB/dt: E d = . dt De acordo com esta equao, um campo magntico va- rivel induz um campo eltrico. Escrita dessa forma, a lei de Faraday pode ser aplicada a qualquer curva fechada que possa ser traada em uma regio onde existe um campo magntico varivel. Os campos eltricos que so produzidos pelo processo de induo no so associados a cargas, mas ao uxo mag- ntico varivel. Embora ambos os tipos de campos eltricos exeram foras sobre as cargas, h uma importante diferena entre eles. A diferena de potencial entre dois pontos A e B, realizado sobre a partcula pelo campo eltrico durante uma revoluo completa W = Eq0, onde E a fora eletromotriz (trabalho realizado por unidade de carga para fazer uma carga VB VA = A B E ds. de prova descrever a trajetria). Entretanto, por denio, o trabalho tambm dado por W =F d = (q0 E)(2r), onde (q0 E) o mdulo da fora que age sobre a partcula e 2r a distncia ao longo do qual a fora atua. Quando igualamos as duas expresses para o trabalho, a carga q0 cancelada e obtemos a seguinte relao: E = 2rE. Para uma partcula que se move em uma trajetria fe- chada, podemos escrever o trabalho da seguinte forma: W =F d = q0E d, onde os crculos nos sinais de integral indicam que a integral deve ser calculada para uma curva fechada. Substituindo o trabalho W por Eq0 , temos: (1.3)E =E d, Se quisermos que o conceito de potencial tenha alguma uti- lidade, esta integral precisa ter o mesmo valor para qualquer caminho que ligue os pontos A e B. De fato, vericamos que isto era verdadeiro para todos os casos discutidos nos captulos anteriores. Um caso especial interessante ocorre quando A e B so o mesmo ponto. O caminho que os liga ento uma curva fechada; como VA deve ser idntico a VB, temos: E ds = 0. Entretanto, quando um uxo magntico varivel est pre- sente,E d no zero, mas igual a dB/dt, de acordo com a lei de Faraday. Isto implica que campos eltricos associados a cargas estacionrias so conservativos, mas campos eltricos associados a campos magnticos variveis so no-conservativos.Os campos eltricos produzidos por induo no podem ser expressos como gradientes de um potencial eltrico, e, portanto, o potencial eltrico tem signicado apenas para campos eltricos produzidos por cargas estticas. que nos d uma relao geral entre a fem e o campo eltrico. 1.6 INDUTNCIA Agora consideremos a lei de Faraday, que diz que a variao do uxo magntico produz uma fem induzida num circuito. Esta fem induzida representa o trabalho por unidade de carga necessrio para manter a corrente induzida ou o trabalho por unidade de carga executado sobre uma partcula carregada que descreve uma curva fechada em uma regio onde existe um uxo magntico varivel.Entretanto, a Eq. 1.3 nos diz que pode existir uma fem induzida mesmo que no haja uma corrente ou uma partcula: a fem induzida a soma do produto escalar E ds ao longo de uma curva fechada, onde E o campo eltrico induzido pela variao do uxo magntico e ds o elemento de comprimento. Quando existe uma corrente em um circuito, ela produz um campo magntico que gera um uxo magntico atravs do prprio circuito; quando a corrente varia, esse uxo tambm varia. Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente varivel possui uma fem induzida nele mesmo pela variao de seu prprio uxo magntico.Tal fem denomina-se fem auto-induzida. De acordo com a lei de Lenz, uma fem auto-induzida sempre se ope variao da corrente que produz a fem e, portanto, tende a tornar mais difcil qualquer variao da corrente. Por esta razo, a fem auto-induzida muito importante quando existe uma corrente varivel. Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 5 Notas de aula782FSC CHAPTER 23 IVFARADAYS LAW AND INDUCTANCE Figura 1.4 A corrente do circuito23.23 um campo magntico na is assumed to be combined with other resistance in the circuACTIVE FIGURE the inductor as having zero resistance. A series RL circuit. As the current Consider the circuit shown in Active Figure 23.23, consisting of a reincreases toward its maximum value, tor, a switch, and a battery. The internal resistance of the battery will fem auto-induzida no circuito. SerwayJewett emf that opposes the increasing current. The back emf produced by th L circuito contm uma bobina comand Lespiras, como em umadjust the values of R N to see dt cal display as in Active Figure 23.24Because the current is increasing, dI/dt is positive; thereforeL is Em virtude da corrente I , existe um uxo magntico m- is available.correspondsindutor the potentialdiminuio daoccurring fromcorrenteb across th dio B atravs de cada espira da bobina, que proporcional corrente. Halliday Figure 23.23. rent algum into espiras fechadasum circuito que goingefeito Figure 23.23, you can a at induzida no indutor se ope ao pointdapoint N B I . dI IRL0 = L, d B dIV2 V1 =L.where IR is the voltage across the resistor. The potential differenc battery. We must now look for a solution to this differential equa mathematical representation of the behavior of the RL circuit. It is To obtain a mathematical solution of Equation 23.13, it is conve N B Equation 23.13uma seo de comprimento de um solenide longo can be written as R t = Lcuja rea da seo reta A;Lvamos admitir que dxdILesta seo 0.632 R est prxima do centro do solenide de forma que podemos induzidapela variaoda corrente eltricanumcir cuitocomRRdt Rdtforma we have R interior de um solenide percorrido por umaRcorrente I dx t dt EL = L. x, B = 0nI ACTIVE FIGURE 23.24 Se EL dada em volt e dI /dt em ampre/segundo, a unidade SI para a indutncia o henryversus timenido por: Integrating this last expression from an initial instant t0 to some l Plot of currentfor the n = N/. O uxodxmagnticoRno interior do solenide, obtidoxR atravs da Eq. 1.1x , simplesmente := BA. xPortanto,La t L1 henry x i0i Taking the antilog of this result gives Para encontrarmumrelao entre Thesinal Econstant /dt, usamosN B(n)0 nIA x ie Rt0 /LxI (1.5) L == = n2 A. da seo reta,is equivalent todo solenide e o nmero de outro lado, se a corrente I aumenta, ologging into opepreceding expression indutor sea esta By variao, gerando uma femwww.pop4e.com and em sentido adicional tambm PhysicsNow at e Rt contrrio variao da corrente. A Figurayou can um resumoapenas para um solenide de comprimentoLmuito maior do goingIRR/dt ede EL das relaes entre o sinalgraphdIdevelopoafter the. Uma outra de observe the 1 is open for t t0, Se time interval required de a reach 63.2% of its se oporesta Theof xisat t0 envolve apenas xi/R because A Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia + I R + L a 23.6 RL CIRCUITS A circuit that contains a coil, such as a solenoid, has a self-inductan the current from increasing or decreasing instantaneously. A circuit main purpose is to provide inductance in a circuit is called an induc symbol for an inductor is. As a simplication model, S bassume that the self-inductance of the remainder of the circuit is pared with that of any inductors in the circuit. In addition, any resis produzductor bobina e, portanto, um uxo magntico atravs da bobina. Quando a corrente do circuito varia, o uxo tambm varia, produzindo uma an emf that opposes the increasing current is induced in the inductor. further simplication model. Suppose the switch S is thrown closed a Uma fem auto-induzida pode ocorrer em qualquer cir-begins to increase, and, due to the increasing current, the induc cuito, visto que sempre existirBy logging uxo magntico atravs dePhysicsNow at www.pop4e.com and conduz uma corrente. Porm, to Activebastante ampliado quando odI L solenide.the effect on the current. A graphi- Figura 1.5 (a) A corrente est diminuindo; a fem induzida no this reason,aumentando; isfem higher potential than aumentob as illus corrente. Desta forma, podemos escrever We can apply Kirchhoffs loop rule to this circuit. If we begin at travel clockwise,para escrever estas relaes atravs da diferena de Se ocorre a variao da corrente, uma variao do uxo potencial entre as duas extremidades do indutor magntico tambm acontecer, de forma que: dI dt Ndt dtdt ductor is given a negative sign because its emf is in the opposite sen onde introduzimos a constante de proporcionalidade L, cha- mada indutncia do elemento de circuito.Integrando a 1.7 CLCULO DA INDUTNCIA equao acima obtemos a indutncia em funo do uxo magntico e da corrente eltrica:tion 21.30 for the RC circuit. I1.7.1 Indutncia de um solenide (1.4)variables by letting x( /R )I so that dxdI. With thes Podemos utilizar a Eq. 1.4 para calcular a indutncia L para Usando a equao para a lei de Faraday (1.2), e tomando apenas o mdulo das quantidade envolvidas, obtemos a fem desconsiderar os efeitos de borda. O campo magntico no indutncia L: t dI dtL (H), deonde n o nmero de espiras por unidade de comprimento, RL circuit shown in Active Figurext 23.23. The switchvolt segundo 0dtln B and then closed at ampreand theindutncia ser dada por: current increases toward its maxi- a lei de Lenz. is thea corrente I diminui, for Iacordo com aI lei de Lenz, to indutncia deve maximum value. diminuio gerando uma fem com sentido oposto quele da variao. Porvalue Esta expresso expressed asfatores geomtricos: a Irea0 at t o comprimento espiras por unidade de comprimento. Esta relao vlida que o seu raio. switch in Active Figure 23.23 is closed. I R (1 e Rt/L) Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 6 B =, P = EI =I =I = LI. UB =Pdt =dt = LIdI =LI 2 , b =ln , UB =LI 2 =0 (nI )2A =(0nI )2A. L ==ln . UB =. P = IV. Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A 1.7.2 Indutncia de um toride Para um toride de seo reta retangular mostrado na Figura 1.6, o campo magntico dado por: 0 IN 2r onde N o nmero total de espiras do toride. Note que o campo magntico no constante no interior do toride, j que depende do raio r. Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia Logo, a potncia necessria para se manter a corrente I pode ser escrita como: dBd(LI )dI dtdtdt Ignorando perda de energia por efeito Joule (resistncia desprezvel) a energia total que precisa ser fornecida para fazer passar a corrente no circuito do valor I = 0, para t = 0, ao valor nal I num tempo t, t t I dI1 LI 00dt02 neste caso, UB representa a energia armazenada no circuito de indutncia L que atravessado por uma corrente I . 1.8.1 Densidade de energia magntica Para um solenide muito longo de comprimento e rea Figura 1.6 Esquema de um toride com raio interno a e raio externo b. O uxo B atravs da seo reta do toride de seo A com n espiras por unidade de comprimento, vimos que a indutncia, dada pela Eq. 1.5, L = 0n2 A, B = = b B d A = 0 INhdr 2ar a B(hdr) = 0 INhb 2a b a0 IN 2r hdr de forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia armazenada no solenide 111 2220 onde h a altura da seo reta do toride. Obtemos a indutncia a partir da Eq. 1.4: N B0 N 2 hb I2a Notamos novamente que L depende apenas de fatores geo- mtricos. Como o campo magntico induzido no solenide B = 0nI , e o volume dado por V = A, a energia UB pode ser escrita como B2 V 20 Como o campo magntico est (com boa aproximao) connado dentro do solenide, podemos interpretar este resultado dizendo que a energia est contida no campo mag- ntico, com densidade de energia magntica, uB = UB/V 1.8 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNTICO dada por uB = 120 B2 . Para transportar uma carga dq atravs de uma diferena de potencial V preciso fornecer-lhe uma energia dqV . Logo, para manter uma corrente I = dq/dt durante um tempo dt atravs de V , preciso fornecer uma energia 1.9 1.9.1 CIRCUITOS RL Indutor dW = (Idt)V, o que corresponde a uma potncia (energia por unidade de tempo) dW dt Num circuito, a fora eletromotriz, E, induzida por um Um indutor um elemento de um circuito que armazena energia no campo magntico gerado pela corrente que per- corre seus os, da mesma maneira que um capacitor arma- zena energia no campo eltrico entre suas placas carregadas. Geralmente um indutor representado por um solenide (smbolo). campo magntico varivel tende a se opor variao do uxo1.9.2Anlise de um circuito RL E = V = Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) dB dt . Considere o circuito mostrado na Figura 1.7. Vamos aplicar a lei das malhas percorrendo o circuito em sentido http://abiliomateus.net/ensino 7 Universidade Federal de Santa Catarina E ( ) = 0,63 . Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia como I (t) = R 1 et/L . Se removemos a bateria do circuito, fazendo E = 0, temos L dI dt + IR = 0 e a soluo dada por Figura 1.7 Circuito RL. Halliday horrio a partir do ponto x. Entre x e y, a diferena de potencial dada por: Vy Vx = IR. O potencial de x mais alto que o de y. O ponto y est a um potencial mais alto que o do ponto z, pois quando a corrente aumenta, a fem induzida se ope a este aumento com a polaridade mostrada na gura. Logo, se atravessarmos o indutor de y para z a diferena de potencial ser: I (t) = I0et/L onde I0 o valor da corrente quando a bateria removida (t = 0). Vz Vy = L dIdt . Ao atravessarmos a bateria encontramos um aumento no potencial dado por +E. A lei das malhas fornece ento: ou IR L dI dt + E = 0 (1.6) L dI dt + IR = E. A soluo para esta equao diferencial dada pela funo I (t): (1.7) I (t) = E ( R ) 1 etR/L . Note que I (t) possui duas particularidades: I (0) = 0 (a corrente inicial zero) e I E/R quando t . Podemos denir uma constante L , tal que L = L R , que chamada constante de tempo indutiva.O valor numrico desta constante d uma medida da rapidez com que a corrente em um circuito RL tende para o valor de equilbrio E/R. D Eq. 1.7, fazendo t = L , obtemos o signicado fsico desta constante: I = E R (1 e1) = (1 0,37) E R E R Logo, a constante de tempo L nos d o instante em que a corrente no circuito menor do que o seu valor nal E/R por um fator 1/e (cerca de 37%). Podemos ento reescrever a equao de um circuito RL Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 8dt = Li , = m cos2 (t + ), U =+ Li2 . 1 2 UB =Li = m sen 2 (t + ). 2 OSCILAES ELETROMAGNTICAS Neste captulo, estudaremos como a carga q varia com variem. Ou seja, dU/dt = 0: o tempo num circuito constitudo de um indutor L, um capacitor C e um resistor R. Discutiremos como a energia transferida do campo eltrico do capacitor para o campo (2.5) dU dt = Li didt + q dq C dt = 0. magntico do indutor e vice-versa, sendo dissipada gradu- almente no decorrer das oscilaes sob a forma de A corrente eltrica i energia trmica no resistor. Para comear vamos tratar de um caso mais simples, um circuito contendo apenas um indutor e (2.6) i = dq dt e di dt= d2q dt2 . um capacitor, onde desprezaremos a resistncia do condutor. Portanto, no h dissipao de energia. Substituindo na equao acima, obtemos 2.1 OSCILAES LC (2.7) d2q 2 + 1 LC q = 0. Esta a equao que descreve as oscilaes de um circuito Vimos que para circuito RC e RL, a carga, a corrente e a diferena de potencial crescem e decaem exponencialmente. A escala de tempo do crescimento ou decaimento dada por uma constante de tempo , que ou capacitiva ou indutiva. Vamos agora demonstrar que para um circuito LC, a carga, a LC (sem resistncia). Lembrando de Fsica II, a equao 2.7 semelhante equao que descreve as oscilaes mecnicas de uma partcula presa a uma mola (sem atrito): corrente e a diferena de potencial no variam exponencial- mente, mas senoidalmente (com frequncia angular ). Em (2.8) d2 x dt2 + k m x = 0, outras palavras, o circuito oscila. Num circuito contendo um capacitor e um indutor, a cuja soluo dada por energia estar armazenada nos campos eltrico e magntico, de tal forma que a energia total do sistema dada por: (2.9)x = xm cos(t + ), (2.1) U = UE + UB, onde xm a amplitude do movimento e uma constante de fase. Como q corresponde a x, podemos escrever a soluo onde consideramos que a resistncia do circuito zero. A da equao 2.7 como energia armazenada no campo eltrico entre as placas do capacitor (2.10)q = qm cos(t + ), (2.2) UE = 1 q2 2 C , onde a frequncia angular das oscilaes eletromagnti- cas. Diferenciando q em relao a t e substituindo na equao 2.7 obtemos o valor de : onde C a capacitncia. A energia armazenada no campo magntico do indutor dada por (2.11) 1 LC . (2.3) onde L a indutncia. UB = 1 2 2 A constante de fase determinada pelas condies iniciais em t = 0. Por exemplo, se = 0 em t = 0, temos que q = qm e i = 0, que so as condies iniciais mostradas na Figura 2.1a. A Figura 2.2 mostra uma analogia entre as oscilaes Exerccio Observe atentamente a Figura 2.1 e analise o que acontece com a energia armaze- nada nos campos eltrico e magntico de um produzidas num circuito LC e num sistema mecnico massa- mola. A energia eltrica armazenada no circuito LC : circuito LC oscilante. A energia total do circuito (2.12) UE = 1 q2 2 C q2 2C 1 q21 (2.4) 2 C2 Como estamos supondo que a resistncia zero, no h e a energia magntica (2.13) 2 2C q2 dissipao de energia e U permanece constante, embora i e q Somando a energia eltrica e a energia magntica, obte- Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 9 [cos2(t + ) + sen 2(t + )] = m . Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Captulo 2: Oscilaes eletromagnticas Figura 2.1 Estgios de um ciclo de oscilao para um circuito LC sem resistncia. Os grcos em barra mostram a energia armazenada nos campos magntico e eltrico. mos a energia total do circuito LC: dividindo a equao acima por i, obtemos (2.14) U = q2m 2C q2 2C (2.17) L d2q dt2 + R dq dt + 1 C q = 0. que descreve as oscilaes LC amortecidas. Note que se zermos R = 0, a equao 2.17 se reduz equao 2.7, que 2.2 OSCILAES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC descreve as oscilaes LC no amortecidas. A soluo geral desta equao dada por: Em qualquer circuito LC real existe sempre uma resis- (2.18) q = qmeRt/2L cos(t + ), tncia R. Neste caso, a energia eletromagntica total U no mais constante, diminuindo com o tempo medida que transformada em energia trmica no resistor, dissipada por efeito Joule (Figura 2.3). Como veremos, este caso idntico onde (2.19) = 2 (R/2L)2. ao oscilador harmnico amortecido. Incluindo a resistncia R, a energia total no mais Em muitos casos pode considerar . constante e varia atravs da relao 2.3OSCILAES FORADAS E RESSONNCIA (2.15) dU dt = i2 R, Considere um circuito LC amortecido contendo uma onde o sinal negativo implica que a energia dissipada a uma taxa de i2 R. Portanto, temos resistncia R. Se o amortecimento pequeno, o circuito oscila com uma frequncia = (LC)1/2, que chamada de frequncia natural do sistema. (2.16) dU dt = Li didt + q dq C dt = i2 R. Suponha agora que uma fem varivel no tempo aplicada ao circuito dada por Novamente substituindo i por dq/dt e di/dt por d2q/dt2, e (2.20) E = Em cos t, atravs da utilizao de um gerador externo (representado Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 10 = = Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Captulo 2: Oscilaes eletromagnticas de potencial no circuito ocorrero com a frequn- cia da fonte externa . A corrente no circuito ser dada pela expresso (2.21) i = im sen ( t ), onde im a amplitude da corrente.O valor de im ser mximo quando a frequncia da fonte externa for igual frequncia natural do circuito, isto , quando (2.22) 1 LC , que chamamos de condio de ressonncia. Uma aplicao prtica da ressonncia ocorre quando sintonizamos uma es- tao de rdio. Quando giramos o boto de sintonia, estamos ajustando a frequncia natural de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual frequncia do sinal transmitido pela antena da estao que queremos sintonizar; estamos procurando por uma ressonncia. Figura 2.2 Analogia entre as oscilaes produzidas num circuito LC e num sistema mecnico massa-mola. Figura 2.3 Circuito LC com resistor R; a energia dissipada a uma taxa de i2 R via efeito Joule. pelo smbolo ). Nesta equao, a frequncia da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilaes foradas. Qualquer que seja a frequncia natural do circuito , as oscilaes da carga, corrente ou da diferena Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 11 3 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA A corrente eltrica distribuda para utilizao industrial e residencial corrente alternada (AC, do ingls Alternating Current), tipicamente de frequncia f = 60 Hz. A principal vantagem da corrente alternada que sua voltagem pode ser facilmente amplicada ou reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia eltrica em linhas de alta voltagem, convertendo-a no valor caseiro (110220 V) ao chegar a seu destino. A vantagem da transmisso de potncia em alta voltagem que a corrente i associada baixa, reduzindo a perda por efeito Joule nos os de transmisso (i2R). 3.1 FONTE DE CORRENTE ALTERNADA Um circuito de corrente alternada consiste de elementos de circuito (indutores, capacitores e resistores) e uma fonte de energia que fornece uma fem que varia com o tempo que pode ser dada, por exemplo, pela expresso Figura 3.1 Um circuito de malhas simples, com um resistor, um indutor e um capacitor. O gerador uma fonte de fem alternada que estabelece uma corrente alternada no circuito. Figura 3.2 Um resistor em um circuito de AC. (3.1) E = Em sen t, temos onde Em a amplitude da fem varivel. A frequncia angular (em rad/s) est relacionada com a frequncia f (em Hz) e ao perodo T por (3.4)VR = iR = im R sen (t ). Comparando as equaes 3.3 e 3.4 vemos que VR e i esto em fase: elas alcanam os valores mximos ao mesmo tempo. (3.2) = 2 f = 2 T . 3.2.2 Indutor A fonte de fem varivel, ou fonte AC, determina a frequncia da corrente no circuito. Como a voltagem fornecida pela fonte AC varia senoidalmente com o tempo, ela ser positiva durante metade do ciclo e negativa durante a outra metade. A Figura 3.3 mostra um circuito contendo apenas um indutor e uma fonte de AC. A diferena de potencial que atravessa o indutor dada por Da mesma forma, a corrente num circuito alimentado por uma fonte AC uma corrente alternada que tambm varia (3.5) VL = L di dt= Lim cos(t ). senoidalmente com o tempo. Portanto, podemos escrever Usando a identidade trigonomtrica cos = sen ( + /2), (3.3)i = im sen (t ), obtemos onde im a amplitude de corrente (ou corrente mxima) e o ngulo de fase entre E e i, que indica se os valores mximos da corrente ou da voltagem ocorrem ao mesmo tempo ou no. Para um dado circuito RLC como mostrado na Figura 3.1, se considerarmos que os valores de Em , , R, L e C so conhecidos, o nosso problema resume-se a determinar os valores da corrente mxima im e do ngulo de fase (3.6)VL = Lim sen (t + /2). Comparando as equaes 3.3 e 3.6 vemos que VL e i no esto em fase: VL atinge o valor mximo antes de i, ou seja, i est atrasada em relao a VL . conveniente denir uma nova quantidade, a reatncia indutiva XL : (3.7)XL = L, 3.2 ELEMENTOS DE UM CIRCUITO AC de forma que podemos escrever a equao 3.6 como 3.2.1 Resistor (3.8) VL = im XL sen (t + /2). Considere um circuito contendo uma fonte AC e um resistor, conforme mostrado na Figura 3.2. Denindo VR como a diferena de potencial entre os terminais do resistor, A unidade SI para XL a mesma da resistncia, o ohm, (). O valor mximo para VL (3.9) VLmax = im XL . Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 12 cos(t ) sen (t /2), tan ==. C = Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Captulo 3: Circuitos de corrente alternada das malhas, temos que a voltagem aplicada em um circuito RLC igual s diferenas de potencial que atravessam cada elemento do circuito, ou seja (3.15) E = VR + VL + VC . Figura 3.3 Um indutor em um circuito de AC. Substituindo os valores de E , VR, VL e VC na equao acima, obtemos 3.2.3 Capacitor A Figura 3.4 mostra um circuito contendo apenas um (3.16) Em sen t = + + im sen (t ) im XL sen (t + /2) im XC sen (t /2). capacitor e uma fonte de AC. A diferena de potencial VC entre os terminais do capacitor dada por Aps vrios malabarismos trigonomtricos podemos reduzir (3.10) VC = q C = idt C . esta equao a (3.17)Em sen t = im R2 + (XL XC )2 sen t Integrando a corrente i dada pela equao 3.3, encontramos desde que faamos a escolha (3.11) VC = = im C im C XL XCL 1/C (3.18) RR A amplitude da corrente pode ser facilmente obtida: onde utilizamos a identidade trigonomtrica cos sen ( /2). = (3.19)im = R Em 2 + (XL XC )2 . Comparando as equaes 3.3 e 3.11 vemos que VC e i tambm no esto em fase: VC atinge o valor mximo depois de i, ou seja, i est adiantada em relao a VL . Em analogia com a reatncia indutiva, conveniente denir a reatncia capacitiva XC : A quantidade no denominador chamada impedncia do circuito RLC: (3.20)Z =R2 + (XL XC )2 , de forma que a amplitude da corrente pode ser escrita como (3.12) XC = 1C , (3.21) im = Em Z , tal que podemos reescrever VC como que similar relao i = E /R para circuitos resistivos de (3.13) VC = im XC sen (t /2). malha simples onde a fem constante. A unidade SI da impedncia tambm o ohm. A unidade de XC tambm o ohm. O valor mximo de VC (3.14)V max = im XC . Obtivemos ento os valores da amplitude da corrente, im, e do ngulo de fase, , para um circuito RLC. Note que a fase no depende da amplitude Em da fem aplicada, isto , se variarmos Em variaremos im , mas no . A corrente im mxima quando a impedncia atinge o seu valor mximo R, que ocorre quando XL = XC , ou Figura 3.4 Um capacitor em um circuito de AC. (3.22) de forma que L = 1C , 3.3 CIRCUITO RLC DE MALHA SIMPLES (3.23) 1 LC , que a condio de ressonncia. Aps a anlise de cada um dos elementos de circuito em separado, agora vamos analisar as caractersticas de um circuito de corrente alternada contendo uma fonte de AC, um indutor, um resistor e um capacitor, como o circuito mostrado na Figura 3.1. Usando a segunda lei de Kirchho, a lei Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 13 P = i R = Vrms = Erms = . f (t)dt , f (t) = f (t) irms =, P =irmsR = Ermsirms . cos = sen = P =i2m R sen 2 (t ) == R. imR im 2 irms = . Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A 3.4 POTNCIA EM CIRCUITOS AC No circuito RLC da Figura 3.1 a fonte de energia o gerador de corrente alternada. Parte da energia fornecida pela gerador armazenada no campo eltrico do capacitor, parte armazenada no campo magntico do indutor e parte dissipada como energia trmica no resistor. No regime estacionrio, isto , depois de transcorrido um tempo su- ciente para que o circuito se estabilize, a energia mdia armazenada no capacitor e no indutor juntos permanece constante. A transferncia da energia se d ento da fonte para o resistor, onde a energia eletromagntica convertida em energia trmica. Para um resistor, a potncia ou taxa de dissipao de energia por efeito Joule pode ser escrita como Captulo 3: Circuitos de corrente alternada Figura 3.5 Um transformador ideal, formado por duas bobinas enroladas em um ncleo de ferro, ligado a uma fonte e um resistor R. Um gerador de corrente alternada produz uma corrente no enrolamento da esquerda (o primrio). O enrolamento da direita (o secundrio) ligado carga resistiva quando a chave S fechada. calcular a taxa mdia de dissipao de energia em circuitos (3.24) 2 i2m R sen 2 (t ). de corrente alternada como se estivssemos trabalhando com um circuito de corrente contnua. A energia dissipada no resistor apresenta utuaes no tempo, assim como a energia armazenada no capacitor e no Podemos tambm denir valores rms para a voltagem ou tenso e para a fora eletromotriz: indutor. Em muitos casos que envolvem correntes alternadas, no h o interesse em saber como a potncia varia no decorrer de cada ciclo; estamos interessados principalmente (3.31) V 2 e E 2 na potncia mdia dissipada durante um ciclo qualquer. A taxa mdia com a qual a energia dissipada no resistor a mdia no tempo da equao 3.24. Para uma funo f (t) qualquer, o valor mdio temporal denido por t+T 1 (3.25) T t onde T qualquer nmero inteiro de ciclos ou perodos. Para funes quadrticas de seno e cosseno, os valores mdios so Portanto, a corrente rms tambm pode ser denida por: Erms (3.32) Z e a potncia mdia como ErmsR (3.33) ZZ O termo R/Z o cosseno da constante de fase , de forma (3.26) ou seja 22 1 2 cos2 + sen 2 , que a forma usual para a potncia mdia (3.34)P = Ermsirms cos , (3.27) cos2 = sen 2 = 1 2 . onde o termo cos chamado fator de potncia. Os valores rms tambm so chamados valores ecazes. Portanto, o valor mdio da potncia dada na equao 3.24 ser simplesmente: 3.5 O TRANSFORMADOR ()2 (3.28) 2 A grandeza im/ 2 chamada de valor mdio quadrtico ou valor rms (do ingls root mean square) da corrente im : Um transformador um dispositivo usado para aumentar ou para reduzir a tenso ou voltagem em um circuito sem perda aprecivel de energia. A Figura 3.5 mostra um trans- formador simples que consiste em duas bobinas em torno de um ncleo comum de ferro. A bobina com a potncia de entrada chamada de primrio e a outra bobina chamada (3.29) im 2 de secundrio. Cada bobina de um transformador pode ser usada como primrio ou secundrio. O transformador opera Portanto, podemos escrever a potncia mdia como: baseado no princpio que uma corrente alternada em um circuito induz uma fem alternada em um circuito nas pro- (3.30) P = i2rmsR. ximidades devido indutncia mtua entre os dois circuitos. Considere o transformador da Figura 3.5. O enrolamento Note que esta equao possui a mesma forma da potncia dissipada por um resistor num circuito de corrente contnua, P = i2R. Isso signica que usando a corrente rms podemos primrio, com N p espiras, est ligado a um gerador de Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 14 Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A corrente alternada cuja fem dada por Captulo 3: Circuitos de corrente alternada Portanto, usando a equao 3.38, temos (3.35) E = Em sen t. (3.40) is = i p N p Ns , O enrolamento secundrio, com Ns espiras, est ligado a uma resistncia de carga R, mas no h corrente no circuito se a chave S estiver aberta. Como este um transformador para a lei de transformao entre as correntes. Finalmente, como is = Vs/R na presena do resistor, obtemos: ideal, a resistncia das duas bobinas desprezvel. Nestas condies, o enrolamento primrio uma indutncia pura, como a mostrada na Figura 3.3. Portanto, a corrente no (3.41) i p = V p (N p/Ns)2R , primrio, que chamada corrente magnetizante imag , est atrasada em relao diferena de potencial V p do primrio de 90. Logo, o fator de potncia (= cos ) zero, ou seja, que nos diz, do ponto de vista do circuito primrio, que a resistncia equivalente do circuito no R, mas sim nenhuma potncia fornecida pelo gerador ao transformador. (3.42) Req = (N p /Ns )2 R. A corrente alternada imag do primrio produz um uxo magntico alternado B no ncleo de ferro. O ncleo refora este uxo e o transfere para o enrolamento secundrio do transformador sem perdas. Como B varia com o tempo, induz uma fora eletromotriz Eespira = dB/dt em cada espira do primrio e do secundrio, de forma que: A resistncia Req o valor da resistncia vista pelo gerador: o gerador produz uma corrente i p e uma tenso V p como se estivesse ligado a uma resistncia Req. (3.36) Eespira,primario = Eespira,secundario. Para cada um dos enrolamentos, a fem por espira igual diferena de potencial dividida pelo nmero de espiras do enrolamento. Logo, podemos escrever: (3.37) Eespira = V p N p = Vs Ns ou (3.38) Vs = V p NsN p . Se Ns > N p , o transformador chamado de transformador elevador ou amplicador de tenso, j que, nesse caso, a tenso Vs no secundrio maior que a tenso V p no primrio. Se Ns < N p , o transformador recebe o nome de transformador abaixador ou atenuador de tenso. At agora, consideramos a chave S do circuito da Figura 3.5 aberto. Se fechamos a chave, vrias coisas acontecem: 1. Uma corrente alternada is aparece no circuito secund- rio e uma potncia i2s R passa a ser dissipada; 2. Essa corrente produz um uxo magntico alternado no ncleo de ferro; o uxo induz uma fem no primrio que se ope fem do gerador; 3. V p no pode variar pois deve ser igual fem do gerador. 4. Logo, para manter a tenso V p diante da fem oposta in- duzida pelo secundrio, uma nova corrente alternada i p gerada no primrio, com seu mdulo e fase justamente necessrios para anular a fem induzida pela corrente do secundrio is. Partindo do princpio da conservao de energia, para um transformador ideal podemos escrever (3.39) i pV p = isVs. Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 15 (Henry Leap and Jim Lehman) 2r I ===. = IA = r2 = 12 evr. nonzero magnetic eld outside the solenoid. It isnito, o qual percorridoeld a weak eld, with circular lines, like those due to a line of current as in Figure 22.23. For an ideal solenoid, it is the only eld external to the solenoid. We can eliminate this eld in Figure 22.35 topsignicasecondo solenide tambm possui plos norte ebottom, (b) net progressing from the top to thethe Padro use Ampres law to obtain an expression for the magnetic eld insideWe can folha de papel. SerwayJewett (Fig. 22.35) carries current I. Here, B inside the ideal solenoid is uniform and par- : B d s over each of the four sides of the rectangle. The contribution along side 3 is apontamsolenoid. Side 1, whose length is dagives a contribution to the integralem direes contrrias, , o sinal negativo nesta because B alongAlmportion ofambos vetores soinperpendiculares ao toequao.this disso,the path is constantmagnitude and parallel d :s plano da rbita, como indicado na Figura 4.2. the closed rectangular Como todas: as:substncias: contm eltrons, podemos nos perguntar por que muitas delas no 1so magnticas. A momento magntico de outro eltron orbitando na direo orbital dos eltrons nulo:s ou BinsigniNI : cante. thetomo no era suciente para explicar as propriedades obser- adding second layerturns of wire outside thelayer. If asrst layer de campothat thes de umafrombottom of Figure oto A ajuda de pequenasofdeourideal solenoid.idealuma = ).eld lines areorbital total do the pathLonde L o magnetic Como os condition 3 in Section 22.9. Thenegativa,from L: The right side of que na involves the total current that opasses through surface bounded by the path ofem um our case,totalcom Othe totalpara a rectangle dosof turnslength , this path therefore givesAmpres lawo N queN/ is the acima of turns per unitde(notbe confused do 4 yg PROPRIEDADES MAGNTICAS DA MATRIA p THE MAG O campo magntico produzido por uma corrente eltrica em uma espira nos d uma dica de por que certos materiais l exibem fortes propriedades magnticas.Tal como num m, tambm podemos associar plos magnticos para uma NT s N espira de corrente, como mostrado na Figura 4.1. Em geral, qualquer corrente num circuito fechado possui um campo t s s magntico e, portanto, possui um momento de dipolo mag- ntico, incluindo as correntes em circuitos no nvel atmico p w descrito em alguns modelos do tomo. S 4.1 OS MOMENTOS MAGNTICOS DOS TOMOS Iniciamos nossa discusso com o modelo clssico do (a)(b) tomo no qual os eltrons movem-se em rbitas circulares em torno de um ncleo muito mais massivo. Neste modelo, um eltron em rbita constitui uma pequena espira de corrente (devido sua carga em movimento), e o momento de dipolo magntico do eltron est associado com seu movimento orbital. Embora este modelo possua muitas decincias, con- forme veremos ao nal do curso, algumas de suas previses esto em bom acordo com a teoria correta, baseada na fsica quntica. No nosso modelo clssico, assumimos que um eltron se move com velocidade constante v numa rbita circular de raio r em torno do ncleo, como mostrado na Figura 4.2. Como o eltron percorre uma distncia de 2r (a circunfe- rncia do crculo) num intervalo de tempo T , sua velocidade orbital v =. T A corrente I associada a este eltron em rbita sua carga e dividida pelo tempo T . Usando a relao T = 2/ e = v/r, onde a velocidade angular, temos eeev T22r A magnitude do momento de dipolo magntico associado com esta espira de corrente = IA, onde A = r2 a rea coberta pela rbita. Portanto, ev 2r Figura 4.1 (a) Linhas de campo magntico para um solenide perfeitamente enrolado de comprimento por uma corrente contnua. O campo no interior do solenide bybastante intenso eofpraticamente uniforme.rstNote quethe linhas of turns is wrappedso similaresturns progress barrathemagntica (m),22.35que the sul. current along the axis is zero. do campo magntico produzido por uma barra magntica, an visualizado com alongitudinal cross-sectionlimalhaspart ferro sobre solenoid : allel to the axis. Consider a rectangular path of length and width w as shown in Figure 22.35. We can apply Ampres law to this path by evaluating the integral of : zero becausethemomento angularperpendicular totomo ( in this region, which matches eltrons possuem cargacontributionsvetoressidese2 and 4 are both zero because B is perpendicular to d :s along these paths, both inside and outside the : , which matches conditions 1 and 2. The integral over path therefore has the value B d sB d sBdsB side 1side principal razoAmpres lawmaioria das substncias, momento the magntico de um eltronintegration. Intomo sethecancelacurrent through the rectangular path equals the current through each turn of the solenoid multi- plied by the number of turns enclosed by the path of integration. If N is the num- beroposta. in theresultado lquidocurrentque,through the maioriaequals NI. materiais,appliedefeito magntico produzido pelo movimento B d0 Experincias realizadas na dcada de 1920, passando-se B0I0nI[22.32] feixes de tomos atravs de campos magnticos, mostraram where n o modelo number da estrutura lengthdipolotomagntico with N, number of turns). vadas. Foi necessrio introduzir outra espcie de momento magntico para o eltron, chamado de momento magntico v i t p n p s t t p c r Como a magnitude do momento angular orbital do eltron = mevr, o momento magntico pode ser escrito como intrnseco ou de spin. Portanto, alm do momento magntico orbital, um eltron (assim como os prtons, nutrons e = e 2me . outras partculas) possui uma propriedade intrnseca (como a massa) chamada de spin que tambm contribui para seu momento magntico total. Classicamente, o eltron pode Este resultado demonstra que o momento magntico do eltron proporcional ao seu momento angular orbital. Considerando todos os eltrons num tomo, o momento de dipolo magntico total, L , em termos vetoriais, dado por ser imaginado como se girasse em torno de seu prprio eixo, como mostra a Figura 4.3, mas devemos tomar muito cuidado com esta interpretao, j que a noo de rotao para uma partcula puntual como o eltron no faz sentido L = e L, 2me algum. A rotao aplica-se apenas a corpos rgidos, com uma extenso no espao. O momento angular de spin na Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 16 Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A 752 T CHAPTER 22 MAGNETIC FORCES AND MAGNETIC FIELDS Propriedades magnticas da matria L We also could obtain this result in a simpler manner by reconsidering the m netic eld of a toroidal coil (Example 22.8). If the radius r of the toroidal containing N turns is large compared with its cross-sectional radius a, a short tion of the toroidal coil approximates a short section of a solenoid, nN/2 r. In this limit, we see that Equation 22.31 derived for tumtoroidal r I agrees with Equation 22.32.electron p Equation 22.32 is valid only for points near the center of a very long solenoid you might expect, the eld near each end is smaller than the value given by E tion 22.32. At the very end of a long solenoid, the magnitude of the eld is ab one-half that of the eld at the center (see Problem 22.46). a solenoid that devery long compared (spin). radius. Of Figura 4.2 UmFIGURE movendo-seelectrondireo indicadafollowing choices,demos adotarspinningmodeloelectron. para magnetic eld ineltronsinterior of numa rbita circular decircularr possuiradiusmomento angular solenoid is possuemdoublemomento tointrnseco.ourselvesSerwayJewettunit length con : direction and magnetic moment : da corrente devidothe oppositemovimento The motion ncleo opostaConsidere pushedregio far, howeveritmagntico B0 direo de tal movimento. SerwayJewett theproduzido gives an incorrect magnitude forpreenchermos comb com uma substncia direction shown. verdade um efeito relativstico, e a interpretao rotacional efeito. Vamos agora determinar a relao entre BM e M. Ima- gine que o campo BM criado por um solenide ao invs orbits about the much more massive nucleus. Figure 22.36 shows the ang momentum associated with por unidade expresso, obtemos N tion for a point particle is meaning-A therefore minadas pelo rotation of a de dipolo with ande camos numerador e do angular momentum is actually a relativistic effect.comodipolo todas o ser muito complicadas. Entretanto, em muitos casos, os intrinsic lam. Materiais compostos desses tomos so virtualmente razooe o Magnet Moment19.8 anlogo ao campo eltrico induzido(10num material dieltrico. Tais materiais so chamados paramagnticos. O with their spinscontribuio directions,arrangement totalresultstermoscancella familiar de magnetismo o ferromagnetismo, em que, devido magneticmagnetizaoatomsubstncia comonumber of electrons, howe s interaes entre os tomos, os efeitos magnticos persis- at least one unpaired electron and a corresponding spin magn tem no materialFemesmo quando o campo magnticomoment. The net magnetic moment of the atom leads to various types of magn removido.behavior. The magnetic moments of several atoms and ions are listed in Table 2 Ni5.62Quando uma substncia colocada num campo magntico, o volu campo total na regio ser expresso como: 4.2 MAGNETIZAO E INTENSIDADE DO CAMPO MAGNTICO(4.1) Ni229.7 Fe250.1 O estado magntico de uma substncia manentpormagnets, contain analisamos campos magnticos originadostend to uma quantidade chamada vetor 37.1magnetizaoparallel to eachmagnetizao,in conveniente introduzirmagneticquantidade cha- mom magnitude deste vetor denida como o momento magnticothe substanceintensidade magnetizedmagntico,external substance. por unidade de volume da substncia. Como esperado, ocampo magntico total B num ponto no interior da Captulo 4:C HAPTE R 3 0 Sources of the Magnetic Field946 spinning a the classic with spin the L due QUICK QUIZ 22.74.3 Figure 30.28FiguraConsiderModelo clssicoClassicaleltron girando with thePo- The magn value an cima) e um momento magntico nastant, (b) reduce its radius by half, keeping the number of turns per unit length constanelectrons have an intrinsic angularuma direo (paraangular momentum L in onedireo a (c) overwrap the entire momentum.an additional shouldcurrent-carrying wire.oposta (para baixo). Como o aeltron possui carga negativa,ordireo 22.11 MAGNETISM IN MATTER magntica, o campo magn- esta regio the magnetic moment, incorrect gray arrow results in a current in the regio ser B = B + B ,tico total naquantum numbers,0 andMtooonde BM o campomany The magnetic magntico produzidoaofcurrent in a coilmagntica.gives a hint about w eld produced byof wire degrees pela substnciafreedom. apenas utilizada para facilitar a visualizao deste causes certain materials to exhibit strong magnetic properties. To understand O momento dePITFALL magntico intrnseco total, S materials are magnetic, it isinstructive to begin this discussionThus, the B some , de with atom dipolo PREVENTION 22.3 structural model of the atom, in which electrons are assumed to move in circ um tomo denidoELECTRON DOES NOT SPIN Dode um material magntico. Ento, BM = 0nI , onde (Note tha not be misled by the eword spin into S corrente neste solenide imaginrioBohr nmeroeach electron, ato = electron, is physi-believing thatS the charge of magnitude 1.6 de10comprimento. Manipulando estain aboutspins opp19 C, circles the atom once me s.cally spinning. The electron has an intrinsic angular momentum as if it divide the electronic charge by this time interval, we NIA that the orbiting elec nd containing onde S o spinweretotal dos eltronsnotion of rota-is equivalent to a currentTable=30.1=3 A. Each0 orbiting electron is there spinning, but the no tomo. I =, As propriedades magnticaswe describedmaterial vieweddeter- a tiny current loopMagneticcorrespondingofmagnetic moment. Because momento rigid object, magntico totalchargeseus the electron is negative, the magnetic moment is directed opposite to onde N o nmero de espiras no comprimento , e multipli- sumof Atomsdenominador por A, a seo de reaTable 30.1 and Ions tomos, obtido pela soma vetorial da parte orbital,angular momentum as shown in Figure 22.36. extent in space, in Chapter 10. Spin L , com In most substances, the quantidademomentnumerador, electronfacilmenteatom iso a parte do spin, S . Num tomo complexo contendo muitos reconhecidaelectronoinmomento deMagneticmagntico total direct eltrons, as somas necessrias para determinar L eceled by that of anotheras espiras no solenide de comprimentooppositeThe nu the atom, orbiting in the S podem The net resultdeis that the magnetic effect produced24by the orbital emotion of Moment protons an denominador Atomo volume do materials.J/T) or Ion(10 electrons is either zero or veryA small for mostsolenide, ou seja: In addition to its orbital angular momentum, an electron has ansmaller tha eltrons se acoplam aos pares, de tal modo que L e S se anu- TABLE 22.1 lar momentum, called spin,Hwhich alsoMcontributes to its magneticbymoment.inspect no-magnticos,MagneticporMoments ofinduzido, muito fraco, electron is an angular momentum separate from its orbitalproton or chamado de diamagnetismoIons outros tomos, Lmentum, just asA the spinentreNe momentoseparate0from its orbital motion about of the Earth is de dipolo magntico totalthan that Atoms and . Em ou S (ou Sun. Evenelectron is atCerest, ambos) podem ser no-nulos; esses tomos so responsveis if thevolume justamenteitostill hasangularmagnetizaoassociated smaller th pelo campo magntico induzido em certos materiais, que shall investigatequandocampodeeplydevidoChaptermaterial magntico Yb 37.1 In atoms orem vez de um solenide.Assim, podemos expressar a pairedions containing multiple electrons, many electrons are Magneti The magn vector MCo16.0Magnetization vector M point with Ferromagnetic Materials Gd65.8 Dy92.7 magnetiza Co2

B = B0 + 0 M. Iron, cobalt, nickel, gadolinium, and dysprosium are strongly magnetic mate 44.5 Consid and are said to be ferromagnetic. Ferromagnetic substances, used to fabricate conductora ismodel ofum effective wayincrease the adoptmost esteapenasWe canrecordar que os theeltron22.36 Annamov-pela setathe athe L emlength,angularkeeping the number of thatremindturns perto (a)umthis modeling inorbit of um r hasraio aoinseudirection.em torno dobe uma toona qualcampo ofinofthe electronthe directionThispor um condutor com corrente. Se or Ion24 J/T)or Ion opposite BM paraancampo magnticothatem in atipo maisH9.27 of the spindo vetormoments. An da withoddHe0 must haveNe0 M.B = 0 Mexterno2.06 unit descritoQuando atoms with spinpelamagnetic moments thatCe319.8 AB inother even a weak externaluma eld. Once the the .Yb3 Mde damada deremains do campo after the H, dentroeld is remoare aligned, created by is the curr substncia depende tanto da campo aplicado sobre ela, B0 , como da magnetizao da substncia. substncia. A intensidade do campo magntico est relaci-Let us onada com o campo magntico produzido pela conduo de corrente eltrica em um o. Para enfatizar a diferena entre a intensidade de campo H e o campo B, este ltimo chamado Let us ma Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 17 where N i 0 Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A de densidade de uxo magntico ou induo magntica. O vetor intensidade do campo magntico o momento magntico por unidade de volume devido a correntes; assim, ele similar ao vetor M e possui as mesmas unidades. Reconhecendo a similaridade entre M e H, podemos denir H como B0 H . Assim, a Eq. 4.1 pode ser escrita como Captulo 4: Propriedades magnticas da matria negativo e M e H so opostos. Substituindo a Eq. 4.3 para M na Eq. 4.2, obtemos B = 0( H + M) = 0 (H + m H) = 0(1 + m )H (4.4)B = m H onde a constante m chamada de permeabilidade magn- tica da substncia e relacionada com a susceptibilidade por (4.2) B = 0 (H + M). m = 0(1 + m). As unidades SI de H e M so o ampre por metro (A/m). Para entender melhor estas expresses, considere a regio interna de um solenide que conduz uma corrente I . Se esta regio est no vcuo, M = 0 (pois nenhum material magntico est presente), o campo magntico total aquele produzido pela corrente e B = B0 = 0 H. Como B0 = 0 nI na regio do solenide, onde n o nmero de espiras por unidade de comprimento, temos H = B0/0 = 0 nI /0 = nI . Neste caso, o campo magntico na regio interna do sole- nide devido apenas corrente no o que a circunda. Se agora o enrolamento do solenide feito sobre algum material e a corrente I mantida constante, H na regio interna do solenide permanece o mesmo (pois ele depende apenas da corrente) e possui o valor nI . O campo magn- tico total B, entretanto, diferente daquele obtido para o solenide no vcuo. Parte de B devido ao termo 0 H, associado com a corrente, e parte surge do termo 0 M devido magnetizao da substncia da qual a base do solenide As substncias podem ser classicadas em termos de como sua permeabilidade magntica m se compara com 0 , a permeabilidade magntica do vcuo, como segue: Paramagnticas: m > 0 Diamagnticas: m < 0 Como m muito pequena para substncias paramag- nticas e diamagnticas, m aproximadamente igual a 0 para tais substncias.Para substncias ferromagnticas, no entanto, m tipicamente milhares de vezes maior que 0 (signicando que m muito grande para substncias ferromagnticas. Apesar da Eq. 4.4 nos dar uma relao simples entre B e H, devemos interpret-la com cuidado quando tratamos de substncias ferromagnticas. Para materiais ferromagnti- cos, M no uma funo linear de H (a Eq. 4.3 no vlida para estas substncias), j que m no mais uma constante. Diamagnetismo feita. O diamagnetismo est associado aos momentos mag- nticos orbitais dos eltrons nos tomos ou molculas que 4.3 CLASSIFICAO DAS SUBSTNCIAS MAGNTICAS As substncias podem ser classicadas em trs catego- rias, dependendo de suas propriedades magnticas. Materiais paramagnticos e ferromagnticos so aqueles compostos de tomos que possuem momentos magnticos permanentes. Materiais diamagnticos so aqueles feitos de tomos que no possuem momentos magnticos permanentes. Para substncias paramagnticas e diamagnticas, o vetor magnetizao M proporcional intensidade do campo magntico H. Quando colocamos estas substncias em um campo magntico externo, podemos escrever constituem a substncia em questo. Por isso, est presente em todas as substncias embora, na maioria, com uma intensidade to pequena que sua presena mascarada por outros comportamentos. Nos supercondutores, parece que o diamagnetismo forte o suciente para que o campo magntico resultante no interior da amostra seja nulo. Ao aplicar um campo magntico a uma substncia qualquer, cada eltron que se move nos tomos ou molculas ca sujeito a uma fora adicional que provoca uma perturbao no seu movimento, equivalente a uma velocidade adicional e, portanto, uma mudana no seu momento magntico orbital. Paramagnetismo (4.3) M = m H tomos ou molculas com camadas atmicas incomple- tas, como no caso dos elementos de transio, das terras raras onde m um fator adimensional chamado de susceptibi- lidade magntica.Podemos considerar este fator como sendo uma medida de quo fcil um material magnetizado. Para substncias paramagnticas, m positivo e M possui a mesma direo de H. Para substncias diamagnticas, m e dos actindeos, tm momentos magnticos permanentes devido aos momentos magnticos intrnsecos (associados aos spins) dos eltrons dessas camadas. As substncias com- postas de tais tomos ou molculas so paramagnticas. A presena de um campo magntico externo produz um torque que tende a alinhar os momentos magnticos na mesma Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 18 CONTEXT e attractive force be- atmicos nos tation of atomic magnetic dipoles in re located below the the domains of an unmagnetized d those in theponentes do momento magntico na mesma direo de B0 cam track rapid system is maiores, dando:substance. (b)uma magnetizao lquida. (c) Quandoshown B is applied, the domains with o the steel rail,momento magntico que no esto alinhados com o campo externolifting the same direction as B grow larger. vehicle causedcam muito menores. SerwayJewett es slightly, the magnet akes contact with theeld become very small. (a)FIGURE 22.37(a) Random orien- vectors not aligned othe externalAs a re- vido a aosand a con- the slida. quando menor et, pulling the vehiclepelo im que cria o campo com uma pequena fora. s small separation re- dfast maintenance of anges. Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A THE ATTRACTIVE MODEL FOR MAGNETIC LEVITATION T 753 Captulo 4: Propriedades magnticas da matria n neighboring atoms, molculas, tendncia essa fruto de suas interaes mtuas. O resultado dessas interaes um alinhamento perfeito dos alled domains, within from about 10 12 to momentos magnticos em regies chamadas domnios, cujas dimenses vo de 10 a 0,001 milmetros cbicos. Como a undaries between do- In an unmagnetized magnetic moment is ernal magnetic eld, ng the external eld a magnetized sample, removed, the sample (a) direo de alinhamento diferente de um domnio para outro (Figura 4.4), a magnetizao da substncia pode ser nula ou muito pequena. Isso acontece, por exemplo, com um pedao de ferro no magnetizado. Num campo magntico externo ocorre o aumento de tamanho dos domnios favoravelmente orientados s custas dos demais e o desvio angular dos momentos magnticos de cada domnio, tendendo a um melhor alinhamento com o campo externo.O resultado its magnetism is de- Soft magnetic materi- heir magnetism easily. l magnetic eld is re- material quickly re- nal uma grande magnetizao e a substncia transforma- se num im. Por outro lado, devido ao efeito desalinhador das vibraes microscpicas associadas energia interna, para cada substncia ferromagntica existe uma temperatura, chamada temperatura de Curie, acima da qual a substncia se torna paramagntica. temperatura ambiente so ferro- terials, such as cobalt magnetism, and do- eld is removed. Such (b) B magnticos o ferro, o nquel, o cobalto e o gadolnio, com temperaturas de Curie de 770 C, 365 C, 1075 C e 15 C, respectivamente. ts. Rare-earth perma- d in industry. ETIC connection ation. In this section, c system (EMS). This B (c) hnological complica- pid design.Figura 4.4 Orientaes aleatrias do dipolos magnticos domnios de uma substncia no-magnetizada. (b) Quando um campo externo B0 aplicado, os domnios com com- When an external eld amostra o campo externo ainda mais intenso, os domnios com vetores do components of magnetic moment in : (c) As the eld is made even stronger, the domains with magnetic moment ce increases. direo do campo, causando withaparecimento de uma certa magnetizao. Nos metais, o paramagnetismo tambm de- eases and the vehicleum alinhamento dos momentos magnticos associado oximity detector spins dos eltrons de conduo. O alinhamento no p the vehicle atperfeito devido s colises entre os tomos ou molculas, se a substncia est na fase gasosa, ou devido s vibraes paration betweenmicroscpicas associadas energia interna, se est na fase uses magnetic induc- A substncia adquire, ento, uma magnetizao, net rail separation. If colocada num campo magntico externo, muito om the rail, the detec-do que a mxima possvel. Portanto, a substncia atrada e is detected and the e drops downward.Ferromagnetismo small separation be- As substncias ferromagnticas tm uma magnetizao permanente que surge da tendncia natural de alinhamento dos momentos magnticos permanentes de seus tomos ou Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 19 B d A = 0. Halliday representam seesretas de superfcies gaussianas tridimensionais. E d A =. 5 Neste captulo apresentamos as quatro equaes que so consideradas como a base de todos os fenmenos eltricos e magnticos.Estas equaes, desenvolvidas por James Clerk Maxwell (18311879), so to fundamentais para o Eletromagnetismo como as leis de Newton so para a Mecnica. As equaes de Maxwell representam as leis que regem a eletricidade e o magnetismo, mas elas tambm possuem uma importante consequncia: a previso da existncia das ondas eletromagnticas. At agora no curso apresentamos as duas equaes de Maxwell para o campo eltrico. Neste captulo completare- mos o conjunto de equaes bsicas do eletromagnetismo, introduzindo a lei de Gauss para o campo magntico e uma generalizao da lei de Ampre, que completam as quatro equaes de Maxwell para o eletromagnetismo. 5.1 LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO Conforme vimos no captulo anterior, dado um campo magntico B o uxo magntico B atravs de uma superfcie EQUAES DE MAXWELL Figura 5.1 Representao das linhas de campo do campo mag- ntico B de um im em forma de barra. As curvas vermelhas Em todos os casos A lei de Gauss para o campo magntico um modo qualquer denido como B = B d A, formal de armar que os monopolos magnticos no existem (at onde sabemos).Assim, a estrutura magntica mais simples que pode existir o dipolo magntico. onde a integral sobre a rea de uma superfcie aberta ou fechada. O uxo magntico atravs de uma superfcie gaussiana fechada escrito como B =B d A. No caso do campo eltrico, vimos que o uxo eltrico atravs de uma superfcie fechada igual carga lquida total q no interior da superfcie, dividida por 0: q 0 Esta a chamada lei de Gauss para a eletricidade. De forma similar, podemos escrever uma relao para o uxo magntico. Porm, conforme vimos no Captulo 8, nunca foram observados plos magnticos isolados (mo- nopolos magnticos), que seriam o equivalente magntico da carga eltrica.Desse modo, a lei de Gauss para o magnetismo Monopolos magnticos Mostramos no Captulo 3 que a lei de Gauss para campos eltricos equivalente lei de Coulomb, que baseada na observao experimental da fora entre as cargas puntifor- mes. A lei de Gauss para o magnetismo tambm se baseia numa observao experimental, o fracasso das tentativas de observar plos magnticos isolados, tais como um nico plo norte ou sul. A existncia de cargas magnticas isoladas foi proposta em 1931 pelo fsico terico Paul Dirac, com base em ar- gumentos da mecnica quntica e de simetria. Foi Dirac quem denominou essas cargas de monopolos magnticos e deduziu algumas das propriedades bsicas esperadas para elas, incluindo o mdulo da carga magntica (anloga carga eletrnica e). Aps a teoria de Dirac foram realiza- das experincias tentando isolar os monopolos magnticos usando grandes aceleradores de partculas e examinando matria terrestre e extraterrestre. Nenhuma dessas pesquisas iniciais revelou qualquer evidncia a favor da existncia de (5.1) B d A = 0. monopolos magnticos. A procura do monopolo magntico continua a ser feita, mas uma evidncia convincente de sua existncia ainda no Em termos das linhas do campo magntico, esta relao nos diz que o nmero de linhas que saem do volume limitado pela superfcie fechada igual ao nmero de linhas que entram no volume (veja a Figura 5.1). foi obtida. Por enquanto, vamos supor que ou os monopolos magnticos no existem e assim a equao Eq. 5.1 exata e universalmente vlida, ou, no caso deles existirem, a Eq. 5.1 uma aproximao bastante precisa dada raridade Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 20 Notas de aula FSC 5120: Fsica IV AIB d :s by I.de theencontr-los na currentA lei dq/dtthe um papelcurrent to refer tonetismo shall do already discussed, that is, current carried bynatureza term tocomo uma das this current from Maxwell do shortly. Ampres can beDEby considering a5.2 A LEI DEWhenAMPREconduction current two surfaces S1 Cargas em movimento, ou correntes, paraboloid,camposorange, passingI between the plates) in Figure 24.1 um condutor transportando corrente magnticos.: Quando bounded by the same path P. Ampres law says that the line integral ofcerta simetria, podemos calcular o campo0Imagn- I is Figura 5.2 AsFIGURE 24.1 S 1 TwoS 2surfaceslimitadas pela mesma tem uma B d : around this path must equal, wherethe con- 0I because the conduction B ds = passes through S1 while the capacitorcurrent 0 I , 22.29 is zero because no conduction current passes through S2. Therefore, a con- solved only if one postulates a dis- tradictory situation arises because of the discontinuity of the current! Maxwell solved this problem by postulating an additional term on the right side of Equation = EAplacementAcurrent throughplacas do capacitor e E E d A a rea das S 2., onde 22.29, called the displacement current Id , dened as q a carga nas placas em qualquer instante, ento pela lei de Gauss E = q/0 A. Dessa forma, o uxo eltrico incl uir t odasassit ua espossv eis . E dt 0 Econduo nos os, a carga nas placas varia com o tempo, masA (Eq. 19.20).corrente de deslocamento atravs de S 2 : E dRecall thatis the ux of the electric eld, dened as (The word displacement here doescorrente de conduo entre as placas. Chapter 2; it not have the same meaning as in dE is historically Considere as duas superfcies Sof physics, however, so(um continue to Id = 0=. entrenched in the languagewe dquse it.) parabolide passando entre as placas) limitadas pela mesma Equation trajetriainterpreted as follows. As the capacitor integral chargedOu seja, a corrente de deslocamento atravs de S 2 exata- charged), theBchanginglongoelectric trajetriabetween the plates mayonde Iconsidered as equivalent to a a corrente total atravs de qualquer superfcie limitada pelaof the conduc- current between the plates that acts as a continuation by Equation 24.1 is addedcorrente conduction current on the right side of Ampresmostra que campos magnticos so produzidos a 01 . lei desurfacetico usandodeaand S2the plate of o passa da superfcie areby theuma P. TheS 1. resolvida apenas in se wire passes Equation. S1,only de S 2which leads to q : in theP Whenpara a superfcie 1, a integral igualA tanto por compreenso do eletromagnetismo. ygppp adicionando um termo correspondente a uma corrente de deslocamento, Id na lei de Ampre, denida como Id 0, 808 T CHAPTER 24 ELECTROMAGNETIC WAVES E d A o uxo do campo eltrico. FIGURE 24.2Because i t exi sts onl y i n the wi res attached to the capacitor plates, the conduction gado, a variao do campo eltricoI entre/dtas placas pode curved surfacecurrentdqpasses through the ser considerado como equivalente a uma corrente queOnly the displace- esse novo conceito de correntetwodecurrents must be equal for continuity. II0E /dt Comment decurrent I dE B d = 0 (I + Id ) = 0 I + 0 0. atravessa a superfcie curva S 1, mas no a superfcie plana S 2 . current passes through it. With this new notion of displacement current, we can Podemos entender melhor a corrente dethe general form of Ampcorrentes devem ser iguais parathe Ampcontinuidade. Serway deslocamento atra- re Maxwellexpressres law (sometimes called vs da Figura 5.3. O uxo eltricoasatravs de S 2 E = 1 law) dt : B d s0(IId)0IProf. Abliolaw current-carrying conductor has high symmetry, we can calculate the magnetic eld using Ampres law, given by Equation 22.29: : 0 where the line integral is over any closed path through which the conduction cur- rent passes andconduction natureza.is dened Gauss para o mag- Captulo 5: Equaes de Maxwell In this section, we possuiuseento term conductionfundamental na descriothe type of cur- rent that we havecomportamento dos campos magnticos nacharged particles in a wire. We use thisincludadifferentiate quatro equaes dea different type of current we will introduceeletromagnetismo.law in this form is valid only if the conduction current is continuous in space. Maxwell recognized this limitation and modied Path P q q I Ampres law to include all possible situations. This limitation CORRENTEunderstoodDESLOCAMENTO Ecapacitor being charged as in Figure 24.1.GENERALIZADAexists in the wires, the charge on the plates changes, but no conduction current exists between the plates. Consider the S2 S1 superfciesesoS 1 duction current through anyAmpre:bounded by the path P.trajetria P. A correntenear conduo nocapacitorapenas atravs When the path P is consideredas bounding S1, the right-hand side of EquationplanaboundedIsso levasame pathcontradio na lei de 22.29 isAmpre que conduction currentcasothe postule uma corrente de is charging. When the path bounds S2, however, the right-hand side of deslocamento atravsthrough SerwayJewetta con- tradiction in Ampres law that is re- onde a integral de linha calculada sobre qualquer trajetria fechada atravs da qual passa a corrente de conduo denida por I = dq/dt. A lei de Ampre nesta forma vlida somente o mdulo do campo eltrico uniforme entre as placas. Se se a corrente de conduo for contnua no espao. Maxwell reconheceu esta limitao e modicou a lei de Ampre para Id0[24.1]I Displacement current Por exemplo, considere um capacitor que est sendoE = EA =. carregado como na Figura 5.2. Quando existe corrente de: EAssim, a no existe nenhuma 1 (um crculo) e S 2 dtdt (or dis- be mente igual corrente I no o condutor. tion current trajetriawire. Portanto,the expression forSthe displacement current givenintroduo da corrente de deslocamento na lei de Ampre law, the difculty represented in Figure 24.1 is resolved. No matter what surfacecorrentes de conduo em os condutores Para a superfcie S 2 , porm, o resultado ser nulo poisquanto por campos eltricos variveis. Esta foi uma das no h corrente atravessando a superfcie. Assim, a lei de principais contribuies de Maxwell para o avano de nossa Ampre no pode ser aplicada quando a corrente possui uma descontinuidade.Maxwell resolveu este problema Cabe ressaltar que existe ainda uma terceira maneira de gerar campos magnticos: o uso de materiais magnticos. A contribuio dos materiais magnticos pode ser levada em dEconta adicionando-se um terceiro termo na lei de Ampre, dt0 IM , onde IM chamada de corrente de magnetizao. onde E = Dessa maneira, quando um capacitor est sendo carre- qE q atua como uma continuao da correnteconduodno o.passes through S 2. The deslocamento podemos escrever a forma generalizada da lei de Ampre (ou lei de Ampre-Maxwell) S2 S1 Figura 5.3 Como existe apenas nos os, a corrente I = dq/dt bounded by the path P is chosen, either conduction current or displacement Apenas a corrente de deslocamento Id atravessa S 2 . As duas que haja Jewett I Ampre MaxwellMateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) : http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 0 0 d E dt [24.2] 21 The meaning of this expression can be understood by referring to Figure 24.2. s Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A 5.3 EQUAES DE MAXWELL As relaes matemticas que descrevem todos os fen- menos eltricos e magnticos so denominadas equaes de Maxwell. Para simplicar, apresentamos as equaes para o vcuo, isto , na ausncia de materiais dieltricos ou magnticos. Lei de Gauss para o campo eltrico Captulo 5: Equaes de Maxwell E d A = q 0 Esta equao estabelece que o uxo eltrico total atravs de qualquer superfcie fechada igual carga lquida dentro dessa superfcie dividida por 0 . Essa lei descreve como as cargas criam campos eltricos, j que as linhas de campo eltrico se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. Lei de Gauss para o campo magntico B d A = 0 O uxo magntico resultante atravs de uma superfcie fechada nulo.Isto , o nmero de linhas de campo magntico entrando em um volume fechado tem de ser igual ao nmero de linhas que deixam esse volume. Esta equao est relacionado ao fato de que monopolos magnticos nunca foram observados na natureza. Lei da induo de Faraday E ds = dB dt Esta relao descreve como um campo magntico varivel cria um campo eltrico. A integral de linha do campo eltrico em torno de qualquer trajetria fechada (que igual fem) igual taxa de variao do uxo magntico atravs de qualquer superfcie limitada por essa trajetria. Lei de Ampre-Maxwell B d = 0(I + Id ) = 0 I + 00 dE dt A forma generalizada para a lei de Ampre descreve como uma corrente eltrica ou um campo eltrico varivel criam um campo magntico. A integral de linha do campo magn- tico em torno de qualquer trajetria fechada determinada pela corrente resultante e pela taxa de variao do uxo eltrico atravs de qualquer superfcie limitada por essa trajetria. Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 22 s s 6 ONDAS ELETROMAGNTICAS Em sua teoria unicada do eletromagnetismo, Maxwell demonstrou que campos eltricos e magnticos dependentes do tempo satisfazem uma equao de onda. O resultado mais signicante dessa teoria a predio da existncia de ondas eletromagnticas. As equaes de Maxwell prevem que uma onda ele- tromagntica consiste de campos eltricos e magnticos oscilantes. Os campos variveis criam um ao outro para manter a propagao da onda: um campo eltrico varivel induz um campo magntico tambm varivel, que por sua vez induz um campo eltrico, e assim por diante. Neste captulo, vamos deduzir as equaes das ondas eletromagnticas e discutir o espectro eletromagntico. Tam- bm obteremos expresses para a energia transportada pelas ondas eletromagnticas e polarizao. 6.1 ONDAS ELETROMAGNTICAS PLANAS Figura 6.1 (a) Uma onda eletromagntica representada por um raio e duas frentes de onda; as frentes de onda esto separadas por um comprimento de onda . (b) A mesma onda, representada por um instantneo do campo eltrico E e do campo magntico B em vrios pontos sobre o eixo x, pelos quais a onda passa com velocidade c. Halliday As propriedades das ondas eletromagnticas podem ser deduzidas a partir das equaes de Maxwell, conforme demonstraremos aqui para o caso mais simples de uma onda 6.2 DESCRIO MATEMTICA DE UMA ONDA ELETROMAGNTICA se propagando no espao e no tempo. Vamos considerar uma onda eletromagntica que viaja na direo x (a direo de propagao). Nesta onda, o campo eltrico E est na direo y e o campo magntico B est na direo z, como mostrado na Figura 6.1. Ondas deste tipo, nas quais os campos eltricos e magnticos so paralelos a um par de eixos perpendiculares entre si, so referidas por ondas linearmente polarizadas. Alm disso, assumimos que em qualquer ponto do espao, as magnitudes E e B dos campos dependem apenas da posio x e do tempo t, ou seja: Vamos agora determinar as expresses matemticas que mostram a propagao de uma onda eletromagntica pela induo recproca de campos eltricos e magnticos. Para simplicar o problema, vamos considerar uma onda se propagando no vcuo, onde no h cargas ou correntes de conduo (q = 0 e I = 0), com as mesmas direes dos campos e da propagao mostradas na Figura 6.1. Considere um pequeno retngulo no plano do campo eltrico como mostrado na Figura 6.2. Este retngulo tem uma certa altura y e uma largura innitesimal dx.A E = E( x, t) eB = B(x, t) variao do uxo magntico atravs desta espira retangular est relacionada ao campo eltrico ao longo da espira pela lei de Faraday. Para o caso mostrado, o campo magntico Como mostra a Figura 6.1, uma onda eletromagntica pode ser representada por um raio (uma reta orientada que mostra a direo de propagao da onda), por frentes de onda (superfcies imaginrias nas quais o campo eltrico tem o mesmo mdulo) ou das duas formas. As duas frentes de onda que aparecem na Figura 6.1a esto separadas por um comprimento de onda (= 2/k). (Ondas que viajam aproximadamente na mesma direo formam um feixe, como B atravs da espira est diminuindo com o tempo (a onda move-se para a direita). Assim, o campo eltrico deve estar na direo que se ope a esta variao, o que signica que E deve ser maior no lado direito do que no lado esquerdo da espira, conforme mostra a gura, de forma que ele produziria uma corrente eltrica no sentido anti-horrio cujo campo magntico atuaria no sentido de se opor variao de B. Vamos agora aplicar a lei de Faraday o feixe de um laser ou de uma lanterna.) Podemos tambm representar a onda como na Fi- gura 6.1b, que mostra os vetores campo eltrico e campo E ds = dB dt magntico em um instantneo da onda tomado em um certo momento. As curvas que passam pelas extremidades dos vetores representam as oscilaes dos campos eltricos e magnticos. As componentes da onda E e B esto em fase, so perpendiculares entre si e so perpendiculares direo de propagao. ao retngulo de altura y e largura dx mostrado na Fi- gura 6.2. Resolvendo a integralE d, notamos que nos lados horizontais do retngulo, E perpendicular a d, de forma que E ds = 0. Para os lados verticais, consideramos E o campo eltrico ao longo do lado esquerdo e E +dE o campo para o lado direito. Assim, percorrendo a espira retangular no Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina 23 0 0= 0 0dxz. =dxy, = . xt 2 EB x tx2 B = 0 0. xt2 (6.3) B ds = 0 0 2 BE E x tt xx2 ss s Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A Figura 6.2 Aplicando a lei de Faraday para a espira retangular Captulo 6: Ondas eletromagnticas Figura 6.3 Aplicando a lei de Ampre-Maxwell para a espira retangular (z)(dx). Giancoli (y)(dx). Giancoli O lado direito da lei de Ampre-Maxwell sentido anti-horrio, temos E ds = (E + dE)y Ey = dEy. dEdE dtdt Igualando estas duas expresses, obtemos Para o lado direito da lei de Faraday, a variao do uxo magntico atravs da espira dBz = 0 0 dE dt dxz dBdB dtdt j que a rea da espira, dxy, no varia. Assim, a lei de ou (6.2) B x = 00 E t Faraday nos diz que onde novamente usamos derivadas parciais para substituir dEy = dB dt dxy dB/dx e dE/dt. As equaes 6.1 e 6.2 mostram que campos variveis ou dE dx = dB dt . criam um ao outro para manter a propagao da onda: um campo eltrico varivel induz um campo magntico tambm varivel, que por sua vez induz um campo eltrico, e assim Na verdade, ambas funes E e B so funes de x e t. Portanto, devemos usar derivadas parciais para reescrever a relao acima: por diante. O efeito auto-sustentado, ou seja, os campos se propagam acoplados. Diferenciando a Eq. 6.1 em relao a x e usando o EB (6.1) onde E/x a derivada de E em relao a x mantendo t constante, e B/t a derivada de B em relao a t fazendo resultado da Eq. 6.2, temos: () = = ( t x ) = t ( 00 E t ) x constante. Podemos obter outra importante relao entre E e B considerando agora a espira retangular no plano de B, com comprimento z e largura dx, conforme mostrado na Figura 6.3. Para est