cap. 2,3 y 4

5/8/2018 cap. 2,3 y 4 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/cap-23-y-4 1/37

10

2CONCEP TO S BAS ICOS

AI ingeniero de redes le incumbe tanto la operaci6n normal del sistema como con las

c ircuns tanc ias anormales que puedan sobreveni r. Por tanto, debe est ar famili anzado con

los circuitos c.a. en estado estacionario, particularmente circuitos tri fasicos. EIproposito

de este capi tu lo es revisar a lgunas de las ideas fundament a les de ta les c ircuitos y al mismo

ti empo establecer la notac i6n que se usa a 10 largo del texto .

2.1 INTRODUCCION

Se puede suponer que las formas de onda de voltaje en las barras de una red son purarnen-

t e s inuso idales, de f recuencia const ant e. Gran par te de l a teor ra de este texto se desarrol la

con representaciones vectoriales de vol tajes y corrientes y usamos las letras maynsculas V

e Ipara indicar estos vec to res (con los subrnd ices adecuados cuando sea necesario) . La

magn itud de los vec tores sera indicada en barras ver ti ca les encer rando Vel, es to es I VIe III. Las le tras minuscu las indican va lo res mstantaneos . Donde se espec if ique un vol ta je

generado ( fuerza el ec tromot riz ), se usa la le tra E en vez de la V para resalt ar e l hecho de

que es una fern y no una diferencia de potencialla cual esta entre los dos puntos

considerados.

Si el voltaje y la corriente se expresan como funciones del tiempo, tales como

v = 141.4 cos (w t + 30°)

y

i-7.07008 wt



12 ANALlS1S DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENC1ACONCEPTOS BASICOS 13

I V I = 100V y II I =SA

durante el s iguiente medio ciclo . Marcamos los terminales para indicar que el vol taie ent

I t. I .. 1 re

~s errmna es es POSl tlVOen cualquier ins tante, cuando el terminal marcado como mas es-

ta realmente a un mayor potencial que el terminal marcado como menos. Por ejem-

plo, en la fig. 2.1 el voltaje instantaneo vt es posit ivo cuando el terminal marcado mas esta

r~alJ_flentea u~ m~yor potencial que el terminal marcado con el signo negat ivo. Durante el

slgU1e~te medio ciclo el terminal marcado posi tivamente realmente es negat ivo, y vt es

neg,at.lvo: Algunos autores usan una flecha pero deben especif icar s i la punta de la f le .chaesta indicando el terminal denomina do menos 0 el denominado mas de acuerdo con I

convencion descrita anteriormente. a

Las f lechas de corriente conforman una s ituaci6n semejante. EI subfndice L no es ne-

cesario a menos que existan otras corr ientes. Obviamente la direcci6n real de la corrien-

te en un ~~cuito ca se in~ierte en cada medio cielo. La flecha indica la direccion que se

llama positiva para la cornente. Cuando la corriente circula en la direcci6n opuesta a la de

la f lecha, es negativa. EIvector de la corriente es

sus maximos valores son obviamente Vmax = 141.4 V, [max =7.07 A, respectivamente.

Cuando los subindices max can Ve Is« usan para indicar valores maximos las barras ver-

ti cales no son necesar ias. EI termino magnitud se ref iere al valor cuadrat ico media (vcm),

el eua l es igual al valor maximo dividido por V2. Es decir , para las expresiones de arr iba

para Ve I.

Estos son los valores lerdos por los voltrme tos y a rnperrmetros comunes. Otro nombre,

para el valor rms es valorefectivo. La potencia media disipada en una res is tencia es 1112R.

Para expresar estas cantidades como vectores se requiere de una referenda. Si la corriente

es el vector referencia

I = S/Oo = S + jO A

EI voltaje que adelanta el vector r eferenda en 30° es

v = 100/30° = 86.6 + jSO V

Por supuesto, puede no escogerse como vector referenda el voltaje a la corriente cuyas

expresiones instantaneas son v· e i, en cuyo caso sus expresiones vectoriales inc1uyen otros

angulos.

En los diagramas de los circuitos, por 10 gene ral es mas conveniente usar mareas de

polaridad en forma de signos mas y menos para indicar el termino supuesto positive

cuando se especif ica. Una flecha en el diagrama especif ica hi direccion supuesta posit iva

para el f lujo de eorriente. En el cir cuito mcnofasico equivalente de un circuito trifasico

la anotaci6n de subindices es usualmente suficiente, pero la anotaci6n de doble submdice

es generalmente mas s imple cuando se t rata de las t res fases.

(2.1)

y

(2.2)

Pues to que a ciertos nodos en el circui to se les han asignado let ras, los voltajes pueden

des ignarse por la letra que identi fica el nor 'o cuyos voltajes van a expresarse con respecto

al nodo de referencia. En la f ig . 2 .1 el vol taje instantaneo va y el vector voltaje Va expre-

san el voltaje del no d o a con respecto al nodo de referenda 0,y Va es posi tivo cuando a

esta a un mayor potencial que 0, es decir.

2.2 NOTACION CON SUBINDICE SIMPLE Va =V,

La fig . 2.1 rnuestra un circuito ca con una fern representada por un c irculo. La fern es E g

y el voltaje entre los nodos a y 0 se identifiea como V t. La corriente en el eircuito es I L

y el voltaje a traves de ZL es VL' Sin embargo, para especificar est os voltajes como vecto-

res son necesar ias las mareas + y - llamadas mareas de poJaridad, y una flecha para la

direeei6n de la corriente.

2.3 NOTACION CON SUBINDICE DOBLE

Fig. 2.1 Un circuito c.a. con fern

ElI e irnpedanc ia de carga ZL

EIusa demarcas de polaridad para voltajes y flechas para la direcci6n de las corrientes pue-

r ie evi tarse con notacion de subfndice doble. La comprensi6n de los circui tos tr ifas icos es

considerablemente clara adoptando el si stema de doble submdice, La convencion a seguir

es muy senciIla.

~uando se senala una corriente el orden de los subindices asignados al sfrnbolo para la

c.o~nente def ine la direcci6n del flujo de corr iente cuando la corriente considerada es po-

Slhv~. En la fig. 2.1 la flecha de a hacia b define la direcci6n posit iva para la corriente

asociada con la flecha. La corriente instantanea IL es posit iva cuando la corriente realmen-

te esta en la direcci6n de a hacia b, y en notaci6n de doble submdice la corriente es i""

es igual a - i "". '

En la notac ion de doble subfndice las letras de los subindices en un volta je indican

los nodos del circuito ent re los cuales existe el vol taje . Seguiremos la convenci6n que dicen un circui to c.a . el terminal marcado + es posi tivo con respecto al terminal mares-

do - para la mitad de un cicio de voltaje y es negativo con respecto al otro tenninal



14 ANALISIS DE SISTEMAS ELECrRICOS DE POTENCIA CONCEPTOS BASICOS 15

que el primer subindice seflala el vol taje de es e node con respecto a l node identificado por

el segundo subindice. Esto signif ica que e l voltaje instantaneo vab a traves de ZA del

circuito de la fig. 2'.1 es el volta je del nodo con respecto al node A y que Vab es positive

durante ese medio cicIo cuando a esta a un mayor potencia l que b. el vector del voltaje co-

rrespondiente es V a b Y

2.4 POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFASICOS DE CORRIENTE

ALTERNA

(2.3)

Aunque la teoria fundamental de la t ransmis ion de energia describe el t ransporte de Ia

energia en terminos de la interaccion de los campos electricos y magnet icos , los sistemas

de potencia que el ingeniero maneja casi siempre se refieren a la descripcion de la

razon de cambio de la energia con respecto al tiempo (1 0 cual es la definicion de

potencia) en terminos de voltaje y corriente. La unidad de potencia es el vatio.La potencia en vatios que absorve la carga en cualquier instante es el produeto de la caida

de tension instantanea en voltios a traves de la carga y la corriente instantanea en ampe-

r ios dentro de la earga. Si los terminales de la earga se designan a y n y s i el voltaje y la co-

rriente se expresan por

Van = VrnaxCOS w t y ia n = lr na xc os (w t - 8)

donde ZA es la impedancia comple ja a traves de la cual lab f luye ent re los nodos a y b, lacual puede tambien l lamarse Zoo '

Invir ti endo el orden de los subindices de corriente 0 de voltaje da una eorriente a un

voltaje 1800fuera de fase con el original; e s decir

Va b = V",,/l80° = - Vb a l a potencia instantanea es

P = v a n i a n = Vrnaxlrnax cos w t c os(w t - (J ) (2.7)

El angulo ( ) en estas ecuaciones es positivo para atraso en corriente con respec to al volta -

je y negativo para adelanto en corriente, Un valor positive de p expresa la razon a la cual

la energia es absorb ida por la parte del sistema entre los punt os a y n. La po tenc ia i n s ta n ta -

nea es obviamente positiva cuando vo n e ion son posit ivas pero es negativa cuando vo n 0 ia nson opuestas en signo. La f ig. 2. 2 i lust ra este punto . La potencia posi tiva calculada como

Van ian resu1ta cuando la corriente circula en la direccion de una caida de voltaje y en la razon

La relacion de las anotaciones de subindices doble y simple para la fig. 2. 1 se resume

como sigue:

h= lab

En la escritura de las leyes de Kirchhoff, el orden de los subindices es el orden en el

cual se traza un paso cerrado alrededor del eircuito para la f ig. 2.1.

(2.5)

Fig. 2.3 Circuito RL paralelo y el n

correspondiente diagram a vectorial.

x

(2.4)

Los nodos n yo son los mismos en este circuito; se ha introducido n para ident if icar el pa-

so con mayor precision . Remplazando VO G por - V GO Y observando que Vo b =a"Z A en-

contramos

(0) (h)

de t ransferencia de energia ala carga. Alternativamente, la potencia negat iva calculada co-

mo van ian resulta cuando la corriente circula en la direccion de un voltaje superior y s.igni-

fica que la energia se transfiere de la carga al sistema al cual e sta coneetada la carga. SI v c z r , a

e ion estan en fase, y puesto que estan en una carga puramente res is tiva, la potencia ins tan-

tanea nunea es negativa. Si la corriente y el voltaje estan fuera de fase 900, como en un

elemento de circuito puramente inductivo 0 puramente capacit ivo, la potencia lnstantanea

tiene una mitad positiva y otr a mitad igualmente negativa y e l valor promedio es cero.

Usando identidades tr igonornet ricas 1aexpresion de la ec. (2.7) se reduce a:

Vm axlmax V rnax1rnaxP = 2 cos e (1 + cos 2wt) + 2 sen e sen 2wt (2.8)

(2.6)

donde V mdoc Imdx/2 puede remplazarse por el producto del voltaje y la corriente rms

IV" " 1 - 1 1 , , , , 1 0 lVI- III.Otra forma de interpretar la expresi6n para la potenc ia instantanea es considerar la

componente de cor riente en fasecon van y la componente 90° fuera de fase con v " " . Lafig. 2.3a muestra un circuito ~ar~elo para el que la fig. 2.3b es el diagrama vecto~·4:

yasi

Fig. 2.2 Corriente, voltaje y potencia dibujados

con respecto al tiempo.



16 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA CONCEPTOS BASICOS 17

iR = I..os 8 cos wi;

~max-s

Ancilogamente la componente de ian con un atraso respecto de 90° es ("cuyo maximo va-lor es/m4:c sen 8. Puesto que i" debe atrasar van por 90°

(2.9)

unidad fundamental para la potencia instantanea y promedio es e l vatio, pero es una urn-

dad muy pequef la con respecto a la s cantidades en sistemas de potencia , as! que P es me -

dida generalmente en kilovatios 0megavatios.

El coseno del angulo de fase (J entre el voltaje y la corr iente se conoce como el factor

de potencia. Un cir cuito inductivo se dice que tiene un factor de potencia en a tra so y un

circuito capacitive se dice que tiene un fac tor de potencia en adelanto. En otra s pa labras,

los terminos factor de potencia en atraso y factor de potencia en adelanto, respectivamen-te, indican cuando la corriente est a atrasando a adelantando el voltaje aplicado.

eomponente de ian en fase con van es i«.y de la fig. 2.3 b , lIB I=IIa n I cos 9. Sielmaximo

valor de ian es Imrfx, e1maximo va lor de IRes Imax cos 9. La corriente instantanea iR de-

be estar en fase con van' Para van =Vmcix cos tat,

ix = 1m a x sen 9 senwt~maxsx

(2.10)

Entonces

VaniR = Vmax1max cos 9 c os " wi;

Vmaxlmax= 2 cos 9 (1 + cos2wt) (2.11)

l a eual es la potencia instantanea en la resistencia y es el primer termino en la ee. (2.8). La

fig. 2.4 muestra van iR dibujada con respec to a t. De igual forma,

Fig. 2.S Voltaje, corriente a tra sando el voltaje en 90°, y la potencia r esul-

tante dibujados can respecto al tiempo.

E1segundo termino de 1aec. (2.8) , e1que eontiene sen 8, es altemativamente posi tivo

o negativo y tiene un valor promedio de cera. Esta componente de la potencia instantanea

p se denomina potencia instantdnea reactiva y expresa e1flu jo de energfa desde 1acarga y

hacia la carga alternadamente.

E1maximo valor de esta potencia pulsante, des ignada por Q, se l1ama 1apotencia reac-

tiva a voltiamperios reactivos y es muy uti! en 1a descripci6n de 1a operaci6n de un

s istema de potencia , como se evidenciara en el avance del estudio . La potencia reactiva es

Q= Vmwdmax

2 sen 9 (2.15)

Fig. 2 .4 Voltaje, corriente en fase con el voltaje, y 1apotencia resultante

dibujados con respecto al tiempo.

va..ix = VmaxImax sen 9 sen w t c osw t

Vmaxlmax2 sen 9 sen 2w t

o

(2.12)Q = W I · II I sen Ii (2.16)

que es la potencia instantanea en la inductancia y es el segundo termino en la ec. (2.8). La

fig. 2. 5 muestra van ' t,Y su produc to dibujado con respecto a t.

Un examen de la ec. (2.8) muestra que e1 p rimer termino, el que contiene a cos 9,

siempre es positivo y tiene un va lor promedio de

p Vmaxlmax= 2 cos 9 (2.13)

La raiz cuadrada dela suma delos cuadrados deP y Q es igual alproducto de IVI e I I I, para

viP» + Q2 = vi( W I ' I I I cos 8) 2 + ( I V I . I I I sen 8) 2 = I V I · I I I (2.17)

Es claro que P y Q t ienen las mismas unidades, pe ro es usual designar las unidades de Qcomo vars(de vol tioamperios react ivos) . las unidades de Q son mas practicas en kilovars 0

megavars.

En un simple c ircuito serie donde Z es igual a R+jX, podemos substituir II I ' IZI por

I VI en las ecs . (2.14)y (2.16) para obtener

P = I I 2 .1 z 1 cos 8 (2.18)o cuando se substituyen los valores rms de corriente y vol taje

p = I V I ' I I l c o s 9 (2.14)

yP es la eantidad a la cual 1a palabra potencia es refiere cuando no se modifique por algiin

adjetivo que indique otr a cosa. P, la potencia media, tambien se llama potencia r eal. LaQ = 1 1 1 2. I Z I sen8 (2.19)



18 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA CONCEPTOS BASICOS 19

Entonces, reconociendo que R = I Z I cos IJ Y X = I Z I sen (), encontramos

p = III2R. y Q = III2X (2.20) sQ

como era de esperarse.

I I Fig . 2.7 Triangulo de potencia

para una carga inductiva.p

Fig. 2.6 Condensador considera-

do (a) como elemen to pasivo de

un circuito llevando una corrien-

te en ade lanto y (b) como genera-

dar alimentando una corriente en 1adelanta Ven 90°

2.5 POTENCIA COMPLEJA

atraso.la)

I atrasa V en 90°

(b)

Si se conocen las expresiones vectoriales para el voltaje y corriente, se logra convenien-

temente el calculo de potencia real y reac tiva en forma compleja. Si el voltaje a traves y la

corriente en determinada carga 0parte de un cir cuito se expresan por V = I V I / a : e I = 1 1 1 1 / 3

el producto del volta je por el conjugado de la corr iente es

VI* = Via X II-fJ = VI·III la - (3 (2.21)

Esta cantidad, conocida como la potencia compleja, cornunmente se designa por S. En

forma rectangular

Las.ecs. (2.14) y (2.16) suministran otro metodo de calculo del factor de potencia ya

que vemos que QIP =tan (). E1factor de potencia es, por tanto,

Qcos 0 = cos tan-I-

p

o de las ecs. (2.14) y (2.17) S = I V 1 · 1 I I cos(a - fJ) +j J V 1 · 1 I I sen (a - fJ ) (2.22)

pPues to que a : - ~ , el angulo de fase entre el voltaje y la corriente, es e en las ecuaciones

anteriores,cos 0 =--:~=~

y'p2 + Q2S =P +jQ

Si la pot enc ia instantanea expresada por la ec. (2.8) es la potenc ia en un circuito pre-

dominante capacitivo con elmismo voltaje que e1impreso , ()serfa negativo , haciendo sen 0

y Q negat ivo; s i los circuitos capacit ivo e inductivo estan en paralelo , la potencia reactiva

instantanea para el circuito RL estana 180° fuera de fase con la potencia react iva instanta-

nea del circuito RC. La potencia react iva neta es la diferencia entre Q para e1circuito RL y

Q para e1circuito RC. Se asigna a Q un valor positivo para una carga inductiva y uno nega-

tivo para una carga capacit iva.

Los ingenieros de redes corrientemente consideran que un condensador es un genera-dor de potencia reac tiva posit iva en vez de una carga que requiere potencia reac tiva nega-

tiva . Este concepto es perfectamente logico; para un condensador que lleva Q negativa en

paralelo con una carga induct iva reduce Q, 10cua1de otra manera, tendrfa, que surnini strar-

se a 1a carga inductiva. Esto es 10mismo que considerar un condensador como un disposi-

tivo que entr ega una corriente en atr aso en vez de un dispositivo que lleva una cor rientc en

adelanto, como se muestra en la fig. 2.6. Un condensador ajustable en paralelo con una

carga induct iva, por ejemplo , puede ajustarse de tal manera que en ade1ante la corriente en

el eondensador sea exactarnente igual en magnitud a 1a componente de corriente en la

earga induetiva, la cua ! esta atrasando el voltaje en 90°. Es decir, 1a corriente re sultante

esta en fase con el voltaje. Aun asi , el eireuito inductivo requiere poteneia react iva posit iva,

pero lapotencia reaetiva neta es cero. Es por esta razon que el ingeniero de redes encuent ra

conveniente eonsiderarque elcondensador este suministrando esta potencia reaetiva ala cargainduct iva. Cuando las pa labras positiva y negativa no se usan se supone potencia reactive

positiva.

La potencia reactiva Q es positiva cuando el angulo de fase a - (3 , entre e l voltaje y la co-

rriente, es posi t iva, esto es cuando a: > (3,10que s ignif ica que la corriente esta atrasando el

voltaje. A1ternativamente, Q es negativa para (3 > a: , 10cual indica que la corriente adelan-

ta e1voltaje. Esto esta de acuerdo con la selecc ion de un signo positivo para la potencia

reactiva de un e ircuito inductivo y un signo negativo para la potencia reactiva de un c ir-

cuito capacitive . Para obtener el signo adecuado de Q , es necesario calcular S como VI"',

en lugar de V * 1 1 0 eual invier te el signo de Q.

2.6 TRIANGULO DE POTENCIA

La ee. (2.23) sugiere un metodo grafico de obtener P , Q, yel angulo de fase para varias car-

gas en paralelo don de cos () es PIISI . Un tr iangulo de potencia puede dibuja rse para una

earga inductiva, como se rnues tra en la f ig . 2 .7 . Para var ias cargas en paralelo , Ia potencia

total P es la suma de las potencias promedio de las eargas mdividua les, las cuales se dib~-

jan a 10 largo del eje horizontal para un analis is grafico , Para una carga inductiva, Q se di-

buja ver ticalmente en la par te de arr iba si es posit iva. Una carga capacit iva tiene potencia ,

r eaetiva negativa y Q est a verticalmente haeia abajo. La f ig. 2.8 i lustra el tr iangulo de po-

tencia eompuesto de PI' QI' YSI . P ara una carga en atraso que tiene un angulo de fase 8t

combinado con el triangulo de potencia compuesto de P 2, Q2 Y S2 , el cual es para una

earga capacitiva con ()2 negativo. Esta s dos cargas en paralelo re suItan en los lados del

triangulo PI + P2 , Q I + Q2 y la hipotenusa SR' EI triangulo de fase entre voltaje ycorriente suministrado a la caiga combinada es8 R'



20 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA C O N C EP T O S B A SI C O S 21

I E

- - - ~ + O ) . : : . . . - - -(a) (b)

Fig. 2.10 Representacion en un circuito c.a. de cada fern y de la co-

riente ilustrando las marcas de polaridad.

Fig. 2.8 Triangulo de potencia para cargas combinadas.

N6tese que Q2 es negativa.

cicio de voltaje pos it ivo ins tantaneo. Por supuesto, el terminal sef ialado como posi tive,

efect ivamente es el terminal negat ivo durante el medio cicio negativo del voltaje instanta-

neo. Analogamente, la flecha indica la dir eccion de la corriente durante el medio ciclo de

corriente positiva.

En la fig. 2. 1 O a se espera tener un generador pues to que la corriente es posi tiv i! cuando

la flecha sale del te rminal marcado como positivo. Sin embargo, el terminal marcado po -

s itivamente puede ser negat ivo cuando la corriente esta f luyendo fuera de el, La forma de

solucionar el problema es resolver el vec tor Ien una componente a 10 la rgo del eje del

vector E y una componente 90° fuera de fase con E El producto de lEI y la magnitud de

la componente de I a 10 l argo del eje E es P. E I producto de lEI y la magnitud de la com-

ponente de I, la cual esta 90° fuera de la fase con E es Q. Si la componente de I a 10 largo

del eje de E esta en fase con E, la potencia es pot encia generada, que esta siendo entregadaals istema; esta componente de corriente s iempre esta circulando fuera del terminal marca-

do positive cuando ese termina l es r ealmente positivo (y hacia ese te rminal cuando el ter-

minal es negative). P , la pa rte real de E1*, es positivo.

Si la componente de corriente a 10 largo del eje de E es negativa ( I80° fuera de fase

con E), la potencia esta siendo absorbida y la situacion es la de un motor. P , l a par te real

de E1*, es negativa.

Las relaciones ent re voltaje y corriente pueden ser como se indican en la fig. 2. 1 O b, y

se espera tener un motor. Sin embargo, una potencia media absorbida t e nd r fa luga r sol a -

mente si la componente del vector I a 10 largo del e je del vector E se encuentra en fase

en vez de 180° fuera de fase con E, de modo que esta componente de corriente siempre

este en la dir ecci6n de la cafda de potencial. En este caso P, la parte rea l de EI*, es posit i-

va. Una P negativa indica potencia generada.

Considerar el signo de Q, en la f ig. 2.11 , es de gran ayuda. En la fig. 2.11a una poten-

cia react iva pos it iva igual a II 1 2 X alimenta ala inductancia pues to que la inductancia l leva

una Q posi tiva. Entonces1 at rasa a E en 90°, y Q l a par te imaginar ia de E1*, es posit iva. En

la fig. 2.11b, una Q negativa debe alimentar a la capacidad del circuito, pues la fuente con

una fern E esta recibiendo Q posit iva desde el condensador. Iadelanta a E en 90°

2.7 DIRECCION DEL FLUJO DE POTENCIA

La relaci6n entre P, Q Y el voltaje de barra V, 0 voJtaje generado E, con respecto a los

signos P y Q es impor t ante cuando se considera el flujo de potencia en un sistema. EI pro-

blema implica la direcci6n del f lu jo de potencia, es deci r, s i se esta generando 0 absorbien-

do potencia cuando se especif ica un vol taje y una corriente .EIproblema de entregar a un circuito 0 absorber potencia de un circuito es, en cambio,

mas obvio para un s istema c.c , Consideremos las relaciones de corriente y voltaje indicadas

en la fig. 2.9 donde la corriente c.c. Iesta cir culando a traves de 1abate ria. Si I= 10 A Y

E =100 V, se esta cargando la bater ia (absorbe energfa) a 1a razon de 1000 W. P or otra

par te , con 1aflecha mantenida en 1adirecci6n mostrada, la corriente puede ser1=- 10 A.

Entonces, como la direcc i6n convenciona l de la corriente es opuesta a la direcc ion de la

flecha, la baterfa se esta descargando (entregando energia) y el producto de E por I es

- 1000 W .

Si dibujamos la fig. 2.9 con Icirculando hacia la bater ia desde el terminal pos it ivo al

negativo, la carga de la bateria parece ser la indicada, pero este es as! solamente el caso

en que Eel sean positivos, de modo que la potencia calculada como el producto de E por

I sea pos itiva. Con estas relaciones ent re Eel el signo positivo para la potencia se asigna a

la carga de la baterfa .

Si en la fig. 2.9 la direccion de la flecha para Ise invierte, la dcscarga de la bateria se

indica por un signo positivo pa ra Iy para la potencia . Asf , el d iagrama del circuito deter-

mina si un signo positivo pa ra la potencia esta asociado con la carga 0 la descarga de la ba -

terfa. Esta explicacion parece innecesaria pero suministra la base para interpretar las

relaciones de los circuitos c.a .

Para un sistema c.a., la fig. 2.10 muestra un voltaje generado, una fuente de voltaje

ideal (magnitud constante, frecuencia constante, impedancia ce ro), con sefiales de po-

laridad, las cuales, como' es usual, indican el terminal que es positivo durante el medio

Fig. 2.9 Una representacion c .c.

de la carga de una bateria si am-

bos Eel son positivos 0 ambosnegatives.

I E

----...!.l+IIII----

Fig. 2.11 Fern alterna aplicada

(a) a un e lemento puramente in-

ductivo y (b) a un elemento pura-mente capllcitivo.

I I- -E~ E U

(a' r : ; : - -I I ) )

or,_..<ST

\~c-



2 2 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIACONCEPTOS BASICOS

2 3

Si la direcci6n de la flecha en la fig. 2.11a se invierte, I adelanta a E en 900

y la parte

imaginaria de EI'" es negativa. La inductancia puede considerarse en terminos de suminis -

tro de Q negativa en lugar de absorci6n de Q positiva. La tabla 2.1 resume estas relaciones.

I

EJEM PW 2.1 Dos fuentes ideales de voltaje designadas como las maquinas I y 2 se conectan

como se muestra en la fig. 2.12. Si E1 = lOO~, E2 = 100/30° Y Z = 0 + j5n., de-terminar: (a) si cada maquina esta generando 0consumiendo potencia yen que cantidad;

(b) si cada maquina esta recibiendo 0suminist rando potencia react iva y en que cantidad, y

(c)Py Q absorbidas por la impedancia.

Fi ll. 2.12 Fuentes ideales de vol-

taje conectadas a travesdeunaim-pedancia Z.

1= El - E2 = 100 + jO - (86.6 + j50)

Z j5

Se espera que la maquina Isea un generador debido a la direcci6n de la corriente y a

las se~ales de polaridad. Puesto que P es negativa y Q positiva, la maquina consume energfa

a razon de 1 000 W y suministra una potenc ia reac t i va de 2 68 vars. La maquina efectiva-.

mente es un motor.

La maquina 2, de la cual se espera sea un motor, tiene una P negativa y Q negativa.

Por tanto, esta maquina gene ra energfa a raz6n de 1000 W Ysuminis tra una potencia reac-

t iva de 2 68 vars. La maquina efectivamente es un generador.

N6tese que la potencia reactiva suministrada de 2 68 + 2 68 es igual a 536 vars, que es

requer ida por la reac tancia induc tiva de 5 n. Puesto que la impedancia es puramente reac-

tiva, ninguna P es consumida por la impedancia , y toda la P generada por larnaquina 2 se

t ransfiere a la rnaquina 1.

Solucion

13.4 - j50 . /= '5 = -10 - ;2.68 = 10.35 1950

; . --Ed· = 1oo(-10 + j2.68) = -1,000 + j268

EtI· = (86.6 + j50) (:10 + j2.68)-866 + j232 - j500 - 134= -1,000 - j268

IIIIX = 10.352 X 5 = 536 var

2.8 VOLTAJE Y CORRIENTE EN CIRCUITOS TRIFASICOS BALAN-CEADOS

Los sistemas de redes son alimentados por generadores trifasicos, Por 10comun los genera-

dores aliment an cargas trifasicas balanceadas, 10 eual signifiea eargas con impedancia iden-

ticas en todas las tres fases. La s cargas de alumbrado y motores pequeflos son, por supuesto,

monofasicas, pero los si stemas de dis tr ibucion se disel 'ian para que las fases esten esencial-

mente balanceadas. La fig. 2.13 muestra un generador conectado en Y con el neutro

marcado como 0alimentando una carga Y balaneeada con el neutro marcado n. En el estu-

Diagrama del circuito Calculado de EI'"

I••

a

-I.

b

-b.

Tabla 2.1

Acci6n de motor supuesta

Si P es + , fern absorbe potencia

Si P es - , fern suminist ra potencia

S i Q es + , fern, absorbe paten cia reactiva (J atrasa E)Si Q es - , fern suminist ra potencia react iva (I adelanta E)

Si P es + , fern suministra paten cia

Si P es -, fern absorbe paten cia

Si Q es +, fern suministra potencia reactiva (Iatrasa E)

Accion de generador supuesta Si Q es - , fern absorbe potencia react iva (I adelanta E)

I- - -

E I~ ~ - O r - - + - _ c~ __ ---- ~

-,"

Fia. 1.13 Diagrama Circuital de un generador Y conectado a una cUla Ybalanceada.



P ue st o q ue E a, o, E b' o Y Ee,o s on !g uales en m ag nitud y 1 200 fu era d e fa se y las im-

p ed an ci as v is ta s p or c ad a u na d e e sta s f ern s on i de nt ica s, la s c or ri en te s ta mb ie n s on i gu ale s

e n ma gn i tu d y s ep ar ad as e n f as e 1 200

u na d e o tra. E sto tambien e s c ie rt o p ar a Van' V 'm Y

V cn' E n e ste ca so d es cr ib im os lo s v olta je s y c or ri en te s c om o b ala nc ea do s. L a f ig . 2.1Sa

m ue stra tr es li ne as d e co rri en te d e u n s is te ma b ala nce ad o. E n la fi g. 2.1Sb la s um a d e e sta s

co rrientes s e m ues tra en un triang ulo cerrado . E s o bv io qu e s u s um a es cero. P or tan to, en

la conexion m os tra da e n la fig. 2.13 e ntre lo s n eu tro s d el g en er ad or y la carg a d ebe s er

c er o . En to n ce s 1 a c on ex i o n e nt re n y 0 p ue de t en er c ua lq ui er i m pe da nc ia , 0 a un e st ar

abierta, y n y 0 p erma ne ce r a l m is m o p ot en ci al .

S i la carga n o e st ti b a la nc ea da , la s um a de las corrientes no es cero y c ir cu la u na c o-

r ri en te e nt re 0 y n. P ara la con dicio n de d es balan ce, en au sen cia d e u na co nex ion d e im-p e da n ci a c er o , 0y n n o e st an a l m is m o p ot en ci al .

Lo s v olta je s li ne a a li ne a s on Vob' VbG Y VeG• T razand o un cam ino de a hac ia b pasan-

d o p or n , encontramos

24 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIACONCEPrOS BASICOS

d io d e e ste c ir cu ito s up on em os q ue la s i mp ed an ci as d e la s c on ex io ne s e ntr e lo s ter mi na le s

del generador y la carga, as i com o la im pedancia de la conex ion directa entre 0 y n, se

p ued e no to mar en cuen ta.

E I circu ito eq uiv alente d el g en erad or trifas ico con sis te d e un a fern en cad a un a d e l as

tre s fa ses , c om o s e i nd ic a m ed ia nte c ir cu ito s e n e l d ia gr am a. C a da f ern e sta e n s eri e c on u na

r es is te nc ia y u na r ea ct an ci a i nd uc ti va c on fo rm an do la impedancia Zg. Los puntos a', b' y

c' s on ficticios , pu es to qu e la fern generada n o pu ede s eparars e de la im ped ancia de cada

f as e. L os te rm in ale s d e la maqutne s on l os p un to s a, b y c.A lg un a a te nc io n s e p re sta a e ste

ci rc ui to e qu iv ale nte e n u n c ap itu lo p os te ri or . E n el g en e ra d or l as f er n E a,o , E b'o , E e,o so n

i gu al es e n m ag ni tu d y s eparadas u na d e otra 1 200

en fase. Si la m agnitud de cada una es

100 V co n Ea,o c om o r ef er en ci a, s up on ie nd o q ue la s ec ue nc ia d e f as e s ea abc , esto signifl-

Fig.l.1S D ia gr am a v ec to ri al d e L I b 1.

las c or ri en t es e n u na c ar ga t ri fw -

ca balanceada (a) vectores dibuia-jad os des de u n pu nto co mu n (b)

suma de vectores formando un I..

t ri in g ul o c er ra d o. (0)

Ea'. = 100 1 0 0 v Ee'. = 100/1200 V

ca que Ea,o a de la nta a Eb'o en 120 y Eb'o, a su vez, adelanta a Ee,o en 1 20 . E I diag ra-

rn a d el c irc ui to n o d a indicacion de la s ec ue nc ia d e f as e, p er o la f ig . 2 .1 4 m ue str a e sta s f er n

c o n l a s e cu en c ia abc .E n lo s te rm in ale s d el g en er ad or ( ye n la carga en es te cas o) lo s v oltajes term inales a

n eu tr o s on :

V ao = Ea'. - I; . .Z,

V"" =Eb•• - h.Z,

Ve o = E ••• - IcnZ ,

(2.24)

Va b = Va . . + Va . = V a .. - V . ..

P u es to q ue 0 y n e st an a l m is m o p ot en ci al , V110' Vbo' Y Vco s on i gu ale s a V on' V bn, y V en,

respectivamente y la s c o rr ie nt es d e l in ea ( la s c ua le s s on ta rn bi en c or ri en te s d e f as e p ara u na

conexion Y) son:

25

C ?.

e

C h)

(2.26)

Aunque Ea,o Y Va n no estan e n f as e, p od em o s d ec id ir usar Va n en vez d e Ea'o c om o r ef e-

r en ci a e n l a d ef in ic io n d e l os v ol ta je s. E n to nc es la fig. 2.160 es e l d i agr ama v ec to ri al d e l os

v o lt aj es a n e ut ro , y la fig. 2.16b mu es tr a c om o s e e nc ue nt ra VDb' La m ag ni tu d d e Vob esE"... v. ,

I a . . = Z, + Z R ZR

IVab I = 21 v,.. I co s 3 0

0

= va I Va . . I... V...

=-

Z, + ZR ZR

( 2. 25 )

Como v ec to r, Vob a de la nt a a V on por 3 0Q

, y as i

E.·o Ve ..

t.; = Z, + ZR ZR

Fig. 2.14 D i ag ra ma v ec to ri al d e l asf er n d el c ir cu i to moctrado e n la fig.

2.13.

Fig. 1.16 Vo lt aj es e n u n c ir cu it ot ri fw c o b al an ce ad o : (a) volt~es

a n e ut ro (b) r el ac i6 n e n tr e v o lt a-jes d e lin ea y v ol ta je s • neatro,' (0)

(2.27)

(2.28)

v . , .



2 6 ANALISIS DE SISTEMAS ELEcrRICOS DE POTENCIACONCEPTOS BASICOS 27

v..

F ig. 2 .1 7 D iag ram a v ectorial de

l os v ol ta je s e n u n c ir cu it o t ri ff ls i-

c o ba lance ado .

F ig . 2 .1 9 D iagram a vectorial d e

l os v ol ta je s d el ej, 2.2. c

L o s o tr os v ol ta je s l in ea a l in ea se e nc uen tra n d e m an er a s em eja nte , y la f ig . 2.17 mues-

tra todos los voltajes linea a linea y linea a neutro . E I h e ch o de que la m agnitud de los

v oltaje s li ne a a li ne a d e u n c ir cu ito trifasico b ala nc ea do s ea s ie mp re i gu al a V3 veces de -

t ermi na q ue la m ag ni tu d d e lo s v olta je s li nea a n eu tro s ea m uy i mp or ta nte .

La fig. 2.18 es otra form a de repres entar lo s v oltajes linea a lin ea y lin ea a n eu tro . L os

v ec to re s li ne a a li ne a s e d ib uja n p ar a f or ma r u n tr ia ng ulo c err ad o o ri en ta do p ara q ue c on -

c ue rd e c on la r ef er en ci a e le gi da , e n e st e c as o Van' L o s v er ti ce s d el triangulo es t lin dispues-

to s en tal form a qu e cada vector cornienza y terrnina en los v ertices co rres po nd ien tes al

orden de lo s s ub ind ices d e ese v ec to r d e v olta je . L os v ec to re s d e v olta je li ne a a n eu tr o s el le va n a l c en tr o d el t ri an gu lo . U ri a v e z q ue s e h a e nt en di do e l d ia gr am a v ec to ri al , s e e nc ue n-

tra qu e es ta es la f orma m a s s im p le d e d et ermi na r l os d is ti nt os v ol ta je s.

E I o rd en en el cual los v ertices a, bye del triang ulo s e s ig uen un o a otro cu and o el

tr ian gu lo s e r ota a lre de do r d e n i nd ic a la s ec ue nc ia d e fa se . V e rem os m as ta rd e u n e je mp lo

de la i m po rt an ci a d e l a s ecuenc ia d e f as e c uan do e stu di em os la s c om po ne nte s simetricas

c om o f or ma d e a nali za r las f alla s d e d es ba lan ceo e n s is te mas d e p ote nc ia .

U n d ia gr am a d e c or ri en te s ep ar ad o p ue de d ib uj ar se p ar a r ef er ir c ad a c or ri en te a de cu a-

d am en te c on r es pe cto a s u v olta ]e d e fa se .

Cada c or ri en te a tr as a e l v o lta je a traves de la carga 20° y tien e u na m ag nitu d de 10A.

La fig. 2.20 e s e l d ia gr am a v ec to ri al d e l as c or ri en te s.

Ia n = 10/ _50° A In = 10/70° A

E JE MP L O 2.2 E n un circuito balancead o el vo ltaje Vab es 173.2/Sf V . D e te rm i ne todos

los v oltajes y corrien tes en u na carga c on ec ta da e n Y q ue ti en e ZL =10/200n. Suponga

qu e la s e cu e nc ia d e fase es abc.

S olucien E l diag ram a vectorial d e v oltajes s e dib uja co mo s e m u es tra en la fig . 2.19

p ar a e l c ual s e d ete rm in a q ue

A m en ud o la s c ar gas b ala nc ea da s s e c o ne cta n e n Ll co mo s e m ues tra en la fig. 2.21. El

lector debe d em os trar que la m ag nitu d de la corrien te en una linea tal co mo 1 a es i gu al a

v'3 v ece s la m ag ni tu d d e u na c or ri en te d e f as e c om o lab y que 1 a atrasa lab po r 30° cuando

la s ec ue nc ia d e f as e e s abc.

Cuando se r es u el ve n c ir cu it o s trifasicos b al an ce a do s n un ca e s n ec es ar io t ra ba ja r c on el

diagrama trifasico co mp le to d e la f ig . 2.13. P ar a re so lv er e l c ir cu ito s e s u po ne q ue esta pre-s en te u na c on ex i6 n n eu tr al d e i mp ed an ci a c era y lle va la s um a d e la s c or ri en te s tr if as ica s,

la cu al e s c ero p ar a c on di ci on es b ala nc ead as . E I c ir cu ito s e r es ue lv e a pli ca nd o la s ley es d e

v oltaje d e K ir ch h of f a lre de do r d e u n p as o c err ad o, q ue i nc lu ye u na fa se y n eu tr o. U n p as o

ce rra do c om o ta l se m ue str a e n la f ig . 2.22. Es te c ir cu i to e s e l e qu i va le nt e monofasico de l

ci rc ui to d e la fi g. 2 .1 3 . L os c alc ulo s h ech os p or e sta c am in o s e e xti en de n a la to ta li da d d el

circuito trifasico r ec or da nd o q ue la s c orr ie nte s e n la s o tr as d os fa se s s on i gu ales e n magni-

tu d a la c or ri en te d e la f as e c alcu la da y s e d es pl az an e n f as e 1200

y 240° . Da 10 mi smo si

la c arg a b ala nc e a d a, es pe ci fi ca da p or s u v olta je li ne a a li ne a, p ote nci a to tal, y f acto r d ep o-

tencia, esta c on ec ta da e n Ll 0 en Y , p ues to q ue Ll p ue de s ie mp re r em p la za rs e p ar a propo-

s ito s d e calculo po r su e qu iv al en te Y . La i mp ed an ci a d e c ad a f as e d el eq ui vale nte Y es u n

te rc io d e la i mp ed an ci a d e Ll a la c u al r eempl az a.

V ol > = 173.2/0° V

Vb. = 173.2/240° V

V... = 173.2/120° V

Va . . = 100/-30° V

Vk= 100/210° V

Ve n = 100/000 V

EJE MP LO 2.3 E l voltaje term inal de una carga conectada en Y que cons is te en tres im-

p ed an ci as d e 20/30° n es 440 V lfnea a l in ea . La im pedancia d e cad a una de las tres

I ineas q ue conectan la carga a un a barra en un a s ubes taci6n es ZL = 1.4/75°n. Encuen-

tre el v oltaje linea a lin ea en la barra d e l a subestacion.

cFil. l.lO. Diqrama v ec to ri al d elas c or ri en te s d el e j. 2 .2 .

b

Fia- l.18 M etod o altem o de di-bujar l o s ve cto re s deI. Fig. 2.17 .



2 8 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA CONCEPTOS BASICOS.29

12.7 L..=.R A

Fig. 2 .23 Diagrama del circuito

del ej. 2 .3 con valores.

T~ ~'~ur.

Fig. 2.21 Diagrama del circuito

de una carga t ri fasica conectada

en L!..

-",c . _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

y254/0° °

I,.. -/0° = 12.7/-30 A20_L --

y si la magnitud de la corriente de fase Ip para una carga conectada en Y es

I , = 1 1 " . . 1 = Ih.1 = l I e . . I

l a potencia t ri fasica total es

p = 3V,J, cos IJ ,

(2.30)Solucion La magnitud de voltaje a neutro en la carga es 440/V3 =254 V. Si el vol-

taje a traves de la carga se elige como referencia,

(2.31)

El voltaje linea a neutro en la subestaci6n es

donde O p es el angulo por el cual la corr iente de fase atrasa el voltaje de fase, esto es, e l a n -gulo de la impedancia en cada fase . Si V L ehson lasmagnitudes del voltaje linea a l inea,

y corriente de linea, respectivamente,

r.,+ I ", . Z L =254/00 + 12.7/-30° X 1.4/75°

=254/0° + 17.8/45°

:= 266.6+ j12.6 = 267/2.70° V

v = VL

"y'3y (2.32)

y subst ituyendo en la ec. (2.31) encont ramos

p= y '3VJLCOSIJ , (2.33)y l a magni tud del voltaje en la barra de la subes taci6n es

y'3 X 267 = 462V

Los vars to tales son

La fig. 2.23 muestra el circuito y las cantidades implicadas.

Q =3VpI" sen IJ ,

Q = y'3 VJsen 8,

(2.34)

(2.35)

2.9 POTENCIA EN CIRCUITOS TRIFASICOS BALANCEADOS

La potencia total ent regada por un generador t rifasico 0 absorbido por una carga trifasica

se encuentra sirnplemente sumando la potencia en cada una de las tres fases. En un circui-

to balanceado, equivale a multiplicar la potencia de cualquier fa se por 3, puesto que la

potencia es la rnisma en todas las fases.

Si la magnitud de los vol tajes a neutro Vp es para una carga conec tada en Y es

VI ' = I V . .. I = IVbn l = IV en l (2.29)

y los volt iamperios de la carga son

(2.36)

Fig. 2.22 Una fase del circuito

de la fig. 2.13.

Las ecs. (2.33), (2.35) y (2.36) son las usuales para caIcular P, Q y lSI en un circuito

t rifasico balanceado, pues to que las cantidades generalmente conocidas son los voltajes

l inea a l inea, corriente de linea, y el factor de potencia, cos 8o: Cuando se habla de un sis-

tema t ri fasico, se suponen condiciones de balanceo a menos que se especif ique otra cosa; y

los terminos voltaje, corriente y potencia, a menos que se diga 10 contrar io , se ent iende que

son voltajes de linea a l inea, corriente de linea y potencia total de las t res fases.

Si la carga esta conectada en ~, el voltaje a traves de cada irnpedancia es el voltaje

linea a linea y la corriente que pasa por cada impedancia es la magnitud de la cor riente de

linea dividida por . . / 3 , 0

y I=h, va (2.37)

La potencia tr ifas ica total es

P = 3V,J,cos6, (2.38)



CONCEPTOS BASICOS 3 1

30 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA

y subst ituyendo en esta ecuacion los valores de Vp e Ip en la ec. (2.37) da

p = va VLlL cos 8" (2.39)

mine gni ficamente la lectura del vol timetro ent re c y n si Ia secuencia de fase es abc

y s i1asecuencia de fase es acb.

2.15 Determine la corriente tomada de una linea trifasica 440 V por un motor trif8si.co,

de 10 C.V. operando a toda carga, con una eficiencia del 85% y 80% del factor de

potencia en atraso . Encuentre los valores de P y Q tomados de 1alinea.

2.16 Si la impedancia de cada una de las tres Iineas que conectan el motor del Prob. 2.15

a una barra es 0.3 + jl.O 0, encuentre el voltaje linea a linea en la barra que alimen-

ta 440 V al motor.2.1 7 Una carga ·a balanceada formada por res is tencias puras de 12 n por fase esta en pa-

ralelo con una carga Y balanceada que tiene impedancias de fase de 8 + j6 n . Impe-dancias identicas de 2 + j5 nestan en cada una de las tres Iineas que conectan las

cargas combinadas a una fuente trifasica de liD V. Encuentre la corriente tomada

de la fuente y los voltajes de linea en las cargas combinadas.

2.18 Una carga trifasica tom a 200 kW con un factor de potencia de 0.707 en atraso de

una linea de 440 V. En paralelo con esta carga esta un banco capacitivo trifasico el

cual toma 50 kVA. Encuentre la corriente total y el factor de potencia resultante.

2.19 Un motor trifasico toma 10 kVA con un factor de potencia de 0.6 en atraso de una

fuente de 220 V. Determine las caracteri st icas en ki lovoltioamperros de los con den-

sadores para hacer el factor de potencia 0.85 en atraso y determine la corriente de

linea antes y despues de agregar los condensadores.

la cual es identica a la ec. (2.33). Se sigue que las ecs. (2.35) y (2.36) son validas tambien

s in importar si una carga par ticular esta conectada en .10Y.

PROBLEMAS

2.1 Si v =106,1 cos (Wt + 60°) V e i=14,14 sen (Wt + 120°) A, encuentre para cada

uno (a) el maximo valor, (b) el valor rms, y (c) la expresion vectorial si la corriente

se toma como referencia. i .Esel circuito inductivo 0 capacitive?

2.2 Si el circuito del Prob. 2.1 se com pone de un elemento puramente resistivo y un ele-

mento puramente capacit ivo encuentre R y X (a) si los elementos estan en serie y

(b) si los elementos estan en paralelo.

2.3 En' un circuito monofasico Va = 100/300 V y Vb = 120/60° V con respecto al nodo

de referencia o. Encuentre VblJ

• - -

2.4 Un voltaje c.a. de 230 V se aplica a un circuito compuesto de una resistencia de I o nen serie con una reactancia inductiva de 7 O. Encuentre P, Q, y el factor de poten-

cia del circuito.

Si se conecta un condensador en para lelo con el circuito en serie RL del Prob. 2.4 ys i este condensador alimenta I 000 vars, encuentre P y Q aliment ados por una fuen-

te de 230 V y encuentre el factor de potencia resultante.

Una carga monofas ica l leva una corriente de 30/350 A. EI voltaje a traves de la carga

es 220/75° V. Encuentre P y Q de la carga. -

Una carga monofasica inductiva de 7 500 kW tiene un factor de potencia en atra-

so de 0.8. Dibuje el triangulo de potencia y determine la potencia reactiva de un

condensador que se va a conectar en paralelo con Ia carga para lograr un factor de

potencia 0.9.

Si la impedancia entre las maquinas 1 y 2 del ej. 2.1 es Z =0 - j5 n, determine (a)

si cada maquina esta generando 0 consumiendo potencia y en que cant idad , (b) si

cada maquina esta recibiendo 0 suministrando potencia reactiva y en que cantidad,

y (c) elvalor de P y Q absorbido por la impedancia,

Repita el Prob. 2.8 si Z

=5

+jO.

Una fuente de voltaje Ean = 100/30° V Y 1acorriente a t raves de la fuente esta dada

por I nil =- 10/2400 A. Encuentre los valores de P y Q y establezca si la fuente los

esta entregando 0 recibiendo.

Resuelva el ej, 2.1 si £1 = 100/00

V Y £2 = 110/30° V. Compare los resul tados con

el ej. 2.1 y saque algunas conclusiones acerca del efecto de la var iacion de la magni-

tud de E en el circuito,

Tres impedancias identicas de 10/ - ISO nse conectan en Y a una linea trif asica

balanceada con voltajes de linea de 208 V. Especifique todos los voltajes de linea y

de fase 10 mismo que las corriente s como vectores en la forma polar con Vbc como

referencia para una secuencia de fase abc.

En un sistema tr ifasico balanceado las impedancias conectadas en Y son 10/30° n.Si VCIJ =416/900 V, especifique Ibn en forma polar. --

Los terminales de una fuente t rifas ica son designados como a, b y c. Entre cua1quier

par un volt imetro rnide 115 V. Una resistencia de 100 [}y un condensador de 100 [}ala frecuencia de la fuente se conectan en serie desde a hacia b con la resistencia co-

nectada en a. EI punto de conexion de los elementos entre si se denomina n, l)eter-

2.5

2.6

2 . 7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14



IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 33

Fig. 3.1 Campos magnetico y elec-

t rieo asoeiados a una linea bif il ar .

3

IM PE DA NC IA SE RlE D E L AS

L INEAS DE TRANSM I SION

Existe la capacitancia entre los conductores, y es la carga sobre los conductores por

unidad de diferencia de potencia ent re ellos .

La resistencia y la conduetancia uniformemente distribuidas a la carga de la linea

forman la impedancia serie. La conductancia y la capacitancia que exis te ent re conducto-

res de una l inea monofasica 0 desde un conduc tor a neutro de una linea trifasica forman

la admitancia paralelo. Aunque la res is tencia , inductancia y capacitancia son distr ibuidas,

elcircuito equivalente est a formado por paramet res, como veremos cuando los discutamos.

Una linea de transmision tiene cuatro parametr es que influyen en su aptitud para lIenar su

funcion como componente de una red elect rica. Estos parametres son resistenc ia, indue -

tancia , capacidad y conductancia. En este capi tulo estudiaremos los primeros dos parame-

t ros , y consideraremos la capacitancia en el proximo.

La conductancia ent re conductores 0 entre conductores y tierra cuenta para la co-rriente de fuga en los ais ladores de ! ineas principales y a t raves del aislamiento de los cables .

Puesto que la fuga en los aisladores de !ineas principales se puede no tomar en cuenta, la

conductancia ent re conductores de una l inea principal se asume igual a cero.

Cuando una corriente cir cula por un circuito electrico, los campos magnetico y elec-

trico que se forman nos explican algo sobre las caracteristicas del circuito. En la fig. 3.1 se

representa una linea bif il iar abier ta y los campos magnet icos y electr ico asociados a ella . Las

!ineas de flujo rnagnetico forman anillos cerrados que rodean a cada conductor; la s Iineas

del campo electrico nacen en las cargas positivas, sobre un conductor, y van a pasar a las

cargas negativas, sobre el otro. Toda variacion de la corriente que pasa por los conducto-

res produce una var iac ion en el numero de la s !ineas de flujo magnetico que atraviesan el

circui to. Por otra par te , cualquier var iacion de este induce una f .e .m. en el circui to, s iendo

est a f.e.m, inducida , proporcional a la velocidad de variacion del f lujo. La inductaneia es

la propiedad de un circuito que relaciona la f.e .m. inducida, por la variacion del flujo, con

la veloeidad de variaci6n de Ia corriente:

3.1 TIPOS DE CONDUCTORES

En los primeros tiempos de la transrnision de potencia electrica, los conductores eran ge -

neralmente de cobre, pero los conductores de aluminio han reemplazado completamente

a los de cobre debido al menor costo y al peso ligero de un conductor de aluminio com-

pa rada con uno de la misma resistencia . EI heche de que un conductor de a luminio tenga

un mayor diametro que un conductor de cobre de la rnisma resistencia es tambien una

ventaja . Con un mayor diametro las ! ineas de flu jo elect rico orig inadas sobre el conductor

estaran mas apartadas en la superficie de este para una misma tension. Esto significa un

menor gradiente de tension en la superficie del conductor y menor tendencia a Ionizar e l

aire a su alrededor . La ionizacion produce un efecto indeseable Hamada corona.Los sfrnbolos que identifican diferentes tipos de conductores de aluminio son los

siguientes:

ACC

AAAC

ACSR

ACAR

conductor de aluminio

conductor de aluminio con aleaci6n

conductor de aluminio con refuerzo de acero

conductor de aluminio con refuerzo de aleacion

Los AAAC tienen mayor resistencia a la tension que los conductores electriccs de alurni-

nio de tipo ordinario. ACSR consiste de un nucleo central de alambres de acero rodeado

porcapas de alambre de aluminio. ACAR tiene un nuc leo central de aluminio de alta resis-

tencia rodeado por capas de conduct ores eleetr icos de aluminio t ipo especial.

Las capas de alambre de un conductor tr enzado son enrrolladas en direcciones opues-

tas a f in de preveni r desenrollados y hacer que e l radio exte rno de una capa coinCida can

el radio in terno de la s iguiente.



3 4 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIAIMPEDANCIA SERlE DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION 35

Fig. 3.2 Secci6n transversal deun conductor con refuerzo de

acero, 7 hilos de acero y 24 de

aluminio,

la res istencia a la corriente cont inua se discut iran mas adelante , despues de tratar algunos

conceptos fundamentales de la resi stencia a la corriente continua.

La resi stencia a la corriente cont inua viene dada por la formulapl

Ro = A n (3.2)

Numero de alambres =3x2 - 3x + 1

donde x es el numero de capas, ineluyendo el alambre del cent ro .

La fig. 3.2, represent a un tjpico cable de aluminio con refuerzo de ace ro (ACSR). El

conductor mostrado tiene 7 alarnbres de acero formando el nucleo central y alrededor de

el hay dos capas de alambre, de aluminio. Hay 24 alambres de aluminio en las dos capas ex-

ter iores. Los conductores t renzados se especif ican como 24 Al /7 St , 0 simplemente 24/7.

Diferentes resistencias, capacidades de corriente y tamafios de conductor se obtienen

usando diferentes combinaciones de acero y aluminio.

La tabla A.l del apendice da algunas caracteri st icas electr icas del ACSR. Los codigos,

comunes a toda la industria del aluminio, se han asignado a cada conductor para facilitar

su referencia.

Un t ipo de conductor, eill amado ACSR dilatado, t iene un material intermedio , papel,

por ejemplo, separando los cables interiores de acero de los exteriores de aluminio. EI

objeto de este relleno, es logra r un diametro mayor (y, por ello, un menor efecto corona ),

para una conduct iv idad y resi stencia dadas. Los ACSR dilatados son usados para algunasline as de muy alto vol taje (EHV).

donde p = resistividad del conductor,

1 = longitud,A = area de la secci6n transversal .

Puede emplearse cualquier s istema coherente de unidades, En unidades inglesas I esta en

pies, A en c ir c ul a r m i ls (emil ), y p en ohmio-circular mi ls por pie , algunas veces l lamado

ohmio por circular mil-pie. En unidades SI I esta en metros, A en metros cuadrados y p

en ohmio metro!

Un circular mil es el area de un circulo que tiene el diametro de un mil. Un mil es

igual a 10 puig. El area de la secci6n transversal de un conduc tor cilindrico solido es igu2 I

alcuadrado del d iametro del conductor expresado en mi ls . El numero de circular mil s mul-

tiplicado por 11 '/4 es igual al numero de mils cuadrados.

EI patron de conductividad es el cobre recocido. EI cobre comercial estirado en frio

tiene 97.3% y el aluminio 61% de la conductividad del patron de cobre recocido. A

20°C y para el cobre estirado en frio p esI0,66n·Cmil/P < > 1,77 X Io-a n·m. Para alu-minio a 20°C p es 1 7,00 n·Cmil/P 02,83 X 10-8 nom.

La resistencia a la corriente continua de los conductores de hilos trenzados es mayor

que el valor obtenido de la Ec. (4.2) debido a que los hilos trenzados helicoidalmente tie-

nen mayor Iongitud que el conductor. Por cada milla de conductor, la cor riente tiene que

recorrer, en todos los hilos, excepto el central, mas de una milIa de hilo. EI incremento de

resistenc ia debido a la espiral que forman los hilos se estima en 1% para conductores de

tres hilos y un 2% para los de hilos concentr icos,

La variaclon de la res istencia de los conduct ores metalicos con la temperatura es prac-

ticamente lineal en el margen normal de utilizacion. Si se lIevan las tempera turas al eje de

ordenadas y las res istencias alde abscisas, como se ha hecho en la fig. 3.3, prolongando el

segmento de recta determinado has ta su in terseccion con el eje de ordenadas, obtenemosla

ordenada en elorigen que nos permi te corregir la resi stencia por los cambios de temperatu-ra. La ordenada en el or igen, esto es, Ia temperatura correspondiente a R = 0, es una cons-

R 2 T + t2- = -- (3.3)R I T+ tl

tante del material. De l a f ig . 3.3 tenemos donde R y R son las resistencias del conductor

a las temperaturas t y t , respectivamente, en grados centtgrados, y T la constante deter-

rninada a parti r del graflco. Los valores de T son los siguientes:

Eltrenzado proporciona flexibilidad con grandes secciones transversales. El numero de

alambres depende del de capas y de que aquellos sean del mismo diametro. EI numero to-

tal de ellos en cables trenzados concent ricamente, en los que el espacio anular esta ocupa-

do por alambres de diarnetro uniforme, es de 7, 19,37,61,91, e incluso mas. Una formula

general para el mirnero total de a lambres de los cables de este tipo es,

3.2 RESISTENCIALa resistencia de los conductores es la causa principal de la perdida de la energia en las

lfneas de transporte. A menos que se espec ifique otra cosa, al hablar de resistencia nos re-

ferimos a la resistencia efectiva. La resi stencia efectiva de un conductor es

R = perdida de potencia en el conductor np

{

234.5

T = 241

228

para cobre recocido de 100% de conduct iv idad,

para cobre est irado en frio de 97,3% de conductividad,

para alurnin io est irado en frfo de 6 1 0 / 0 de conductividad.

donde la potencia esta en vatios e Ies la corriente eficaz del conductor, en amperios. La

res is tencia efect iva es igual ala resi stencia del conductor a la corriente continua solo en a

aquel los casos en que la dis tr ibucion de la corriente en elconductor sea uniforme. La falta

de uniformidad en ladistribucion de la corriente y la relacion entre la resistencia efectiva y1SI es la detI inacl6n oficia] para el S is tema Internacional de unidac1es.



36 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 37

Fig. 3.3 Resistencia de un conduc-

tor metalico en funcion de la tempe-

ratura.

R

de los tres conductores en paralelo de la fig. 3.40 pasa una corriente altema de 5 A. Si Ia

resistencia de cada conductor es de 10 0, la perdida de potencia en los tres hilos, con una

corriente total de 15 A es3 X 52XI0 =750 W. Si se aumenta la impedancia del conduc-

tor de en medio, aumentando su inductancia (por ejemplo, envclviendole en una cinta de

alta permeabilidad 0 poniendole en ser ie una inductancia) para que pasen 15 A por el cir-

cui to , espreci so apl icar una tens ion mas alta que en el caso anterior. El aumento de tens ion

hace que la corriente que circula por las ramas exteriores sea mayor. La corriente en la

rama central, cuya inductancia se ha aumentado, es menor si la corr iente total se mantie-

ne en 15 A. Supongase que en las nuevas condiciones fluyen 5.5 A en cada una de las

ramas exteriores y 4 A en la rama central, como se indica en la fig. 3.4. Puesto que la re-

s is tencia de las ramas exteriores s igue s iendo la misma, Ia perdida total de potencia es:

/III

/

2 X 5.52 X 10 + 4 2 X 10 = 765 W

3.3 INFLUENCIA DEL EFECTO PIEL SOBRE LA RESISTENCIAEn las condic iones originale s de igua ldad de la corriente en las tre s r amas la .re sistencia

efectiva del circui to es

La dist ribucion uni forme de la corriente en la secci6n del conductor solamente se presenta

en la corriente continua. A medida que aumenta la frecuencia de la corriente alterna, se

hace mas pronunciada la diferencia entre las dens idades de corriente de las dist intas zonas

de una secci6n transversal . Este fenorneno se llama ejecta piel. En un conductor de seccioncircular, generalmente, aumenta la densidad de corriente del interior al exterior. Sin em-

bargo, en los conductores de radio sufic ientemente grande, se puede presentar una densi-

dad de cor riente osc ilante a 10 largo del radio.

Como veremos cuando estudiemos la inductancia, algunas Ifneas de flu jo rnagnet ico

existen dentro del conductor. Los filamentos sobre la superficie del conductor no estan

enlazados por el f lu jo in terno, y los enlaces de flu jo de un filamento cercano a la superf icie

son menores que los enlaces de flujo del f il amento en el in terior . La variaci6n de flu jo in-

duce altos vol tajes actuando en los f il amentos in teriores que son inducidos a los f il amentos

interiores que son inducidos a : los f il amentos cercanos a la superficie del conductor. P or

la ley Lenz el vol taje inducido se opone al cambio de corriente producido, y el alto voltaje

inducido ac tuando sobre los filamentos inte rnos causa la mayor densidad de corriente en

los f il amentos cercanos a la superf icie . Aun a frecuencias a las cuales se transmite potenciael efecto piel es un factor s ignif icativo en conductores largos.

Veamos, con un e jemplo numerico, la r azon por la cual la distribuc i6n no uniforme de

la corriente produce un aumento de la re sistenc ia efectiva. Supongamos que por cada uno

750R =- = 3.330

152

que es la resistencia equivalente de tres resistencias de 10 ohmios en paralelo. Con corrien-tes dis tintas en cada resi stencia , l a resi stencia efect iva del circuito es

765R=-=3400

152 •

La induc tancia colocada en la r ama centr al produce e l defase de la corr iente en dicha ra-

rna con respecto a las de las otras r amas. Para obtener una corriente tota l de I~es nece-

sario que la que cir cula por la rama central sea a lgo mayor que 4 A, cuando la de las otras

ramas es 5,5 A. Por tanto, la resisteneia efeetiva sera incluso mayor que la calculada ante-

riormente.

l~ ~plon L 15 am p--L

3.4 VALORES TABULADOS DE RESISTENCIALa re sistenc ia a la corriente continua de varios tipos de conductores se puede encontra r

facilmente con la ee. (3.2), y puede estimarse el incremento en la resistencia debido a la

espira!. La s correcciones debido a la temperatura se determinan en la ee. (3.3) . EI inc re-

mento enla res istencia causado por el efecto piel se puede calcular para alambres cireulares

y tubos de material solido con las curvas de R / Ro disponibles para ese tipo de conducto-

res simples' . Sin embargo, esta informacion no es necesaria, pues los fabrieantes suminis -

tran tablas con las caracterfstica s electricas de sus eondue tores. La tabla A.l e sun ejem-

plo de algunos de los datos disponibles.

5~ IOn L

(a ) (b)

Fig. 3.4 Ramales paralelos de igual resistencia transportando (a) corrien-tes iguales y (b) corrientes dis tin tas para i Iustrar el efecto pie!.

1 Vease The Aluminum ASSOciation, "Aluminum Electrical Conductor Hand-book" , NueVa York, 1971.



38 ANALISIS DE SISTEMAS ELEGTRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 39

EJEMPLO 3.1 Las tablas de caracteristicas electricas para un conductor de aluminio

trenzado Marigold, indica una resistencia de 0,01558 0 por 1.000 pies a 20"C y una resis-

tenciaac de 0,0956fl/mia 50°C. EI conductor tiene 61 alambres y su tamano es 1113000

C mil. Verifique la resistencia de y encuent re la proporcion de la res is tencia ae a de.

d ie=L-

dtv (3.5)

R = 0.0956 = 1.037

Ro 0.01746 X 5.280

EI efecto piel causa un aumento en la resistencia del 3.7% .

donde L = constante de proporcionalidad,

L = es Ia inductancia 0 coeficiente de autoinduccion del circuito en henrios,

e = la f. e. m. inducida en voltios y

di/dt =la velocidad de variaci6n de la corriente en amperios por segundo.La ec . (3.5) es aplicable a los medios en que la permeabi lidad no sea c on sta nte , p ero , e n

ese caso, no es constante Ia inductancia.

DespejandoL entre las ecs. (3.4) y (3.5) resulta

L = dT Hd i

Si el nurnero de l ineas de i nduccion 0 numero de enlaces de flujo var ia linealmente con la

corriente, 10 que significa que el circuito magnet i co tiene permeabilidad constante,

(3.6)

Solucion A 20"C de la ec. (3.2) con un incremento de 2% por enrollado

17.0 X 1000 .Ro = 1 113 X 103 X 1.02 =0.01558 n por 1000 pies

A una temperatura de 50°C de la ec. (3.3)

228+50 .Ro = 0.01558

228+ 20 = 0.017460 por 1000 pies

H (3.7)

dTe =-

dt(3.4)

de donde sededuce l a de f in i c i on de l a au to i nducc i on de un circuito electrico como el ml -

mero de enlaces de flujo del circui to por unidad de corriente . La inductancia de un conduc-

tor de un circuito es igual al numero de enlaces de flujo del conductor por unidad de

corriente en el mismo. En una linea de dos conductores el numero de enlaces de flujodel

circuito es la suma de los enlaces de flujo de cada conductor. En el sistema de unidades SI

L, en henrios , es igual a Weber-vueltas por amperio . En funcion de la inductancia los enla-

ces de flu jo son

T = Li Weber-vueltas (3.8)

En la ec. (3.8) si ies la corriente ins tantanea, representa los enlaces de flujo Ins tantaneos.

Para corriente alterna s inusoidal los enlaces de flujo son tarnbien sinusoidales. La expre-

sion vectorial de los enlaces de flujo es

'" =LI Weber-vueltas (3.9)

Como", e I estan en fase, L es real, siendo compatib le con las ecs . (3.7) y (3.8) . EJvectorcaida de tensi6n por la accion de los enlaces de flujo es

3.5 DEFINICION DE IND{)CTANCIA

Dos ecuaciones fundamentales s irven para explicar y definir la inductancia. La primera

r el ac io na la f.e.m. inducida con la velocidad de variacion del flujo que rode a el circuito.

La f .e .m. inducida es

donde e es la f.e.m. inducida, en voltios, y es el numero de e n la c es d e f lu jo numero de

lfneas de i nduccion del circuito en Weber-vueltas. EI mimero de Weber-vueltas es el pro-

ducto de los Weber por e l n umer o de vueltas del circuito enlazado. En el circuito de dos

conductores de la fig. 3.1 cada lfnea de flujo 1 0 rodea una sola vez y se inducira 1 voltio

cuando la velocidad de variacion de flujo sea de 1 Wb/seg . Si cons ideramos un solenoide,en lugar del circuito de l a f ig . 3.1, la mayor parte de las hneas de flujo producidas atravie-

san mas de una vuelta del solenoide. Si el f lu jo que atraviesa 100 vueltas de un solenoide

varia a la velocidad de 1 Wb/seg, la f.e.m. inducida en cada espira sera 1 voltio, pero la in-

ducida en el solenoide seran 100 voltios, ya que las espiras estan en serie. Por cons iguiente,

la f.e.m. inducida es proporcional ala velocidad de variacion del flujo de induccicn. Si al-

gunos de los enlaces de flujo enlazan menos vueltas que el total del solenoide, se reducen

los enlaces totales de flujo. En terminos de linea de flujo, cada linea se multiplica por el

mimero de vueltas que enlaza , y esos produc tos son sumados para obtener los enlaces to-

tales de flujo.

Si cambia la corriente del circuito tambien cambia el flujo magnet i co (representado

por los enlaces de flu jo mencionado) a ella asociado. Suponiendo constantela permeabil i-

dad del medio, en el que actua el campo magnetico, el numero de enlaces de flujo es di -

rectamente proporcional a la corriente Y, por consiguiente, la f.e.rn. inducida 10 es a la

velocidad de variacion de la corriente. De esta forma, la segunda ecuaci6n fundamental es

v = jwLI

V =jw'"

v

V

(3.10)

(3.11)

La induct ancia mutua 0 coeficiente de auto indue cion mutua entre dos circuitos, se

define como los enlaces del flujo de uno de los circuitos, debido a la corriente del otro por

amperio de la corriente de este. Si la corriente It produce " ' 1 2 enlaces de flujo con el

circui to 1, la inductancia mutua es

" ' 1 212 =- H1 2

EI vector caida de tension en el circuito 1 producido por los enlaces de flujo del circuito

2 es



40 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 41

La inductancia mutua es importante para determinar la influencia de las lineas de

fuerza sobre las lfneas telefonicas y para estudiar el acoplamiento entre lineas de fuerzas

paralelas.

Enla fig.2.1solamente sehan representado las lineas de flujo exteriores a los conductores.

Dentro de estes tambien existe campo magnetico, como se menciono cuando considera-

mos el efecto piel. La variacion de las lfneas de flujo dentro de los conduct ores contribu-

ye tambien a la f.e.m, del circuito, y, por tanto, ala inductancia. Elvalor correcto de la

inductancia debida al flujo interno, puede calcularse como la relacion entre los enlaces de

flujo y la corriente, teniendo en cuenta que cada lfnea de flujo interna enlaza tan solo una

fraccion de la corriente total.

Paraobtener un valor preciso de la inductancia de una lfnea de transporte es necesario

considerar tanto el flujo interior de un conductor, como el exterior. Consideremos un lar-

go conductor cilindrico con la seccion transversal representada en la fig. 3.5. Suponemos

que el hilo de vuelta esta tan lejos que no afecta apreciablemente el campo rnagnetico

creado por el conductor considerado. Las lineas de flujo son concentricas al conductor.

La fuerza rnagnetromotriz '(fmm), en amperio-vueltas, alrededor de cualquier linea

cerrada es igual a la corriente, en amperios, abarcada por la linea. La fmm esigual, tam-bien a la integral de la componente tangencial de la intensidad de campo magnetico a 1 0

largo del filete. As!,

fmm = f H • ds = I· At (3.12)

donde H = Intensidad de campo magnetico, At /m

s = Distancia a traves del paso, m

1= Corriente encerrada, AI

El punto entre H y ds indica que el valor deH esla componente de laintensidad de cam-

po tangente ads.

Designemos par H" la intensidad de campo a x metros del centro del conductor. Co-

mo el campo es simetrico, H" , es constante en todos los puntos equidistantes del centrodel conductor. Si la integracion indicada en la ec. (3.12) se hace a 10 largo de una linea

circular, concentrica al conductor y a x metros del centro, H" , es constante a 10 largo de

toda lalinea y tangente a ella. Laec. (3.12) sera

f Hads =t, (3.13)

Fig. 3.S Seccion transversal de unconductor cilindrico.

3.6 INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A FLUJO INTERNO

donde Ix esla corriente encerrada. Suponiendo una densidad de corriente uniforme,

'l"xt

1.,=-11 1 ' 1 ' 2

donde Iesla corriente total del conductor. Sustituyendo la ec. (3.15) en la(3.14) y resol-

(3.15)

viendo para Hx , tenemos

H",=~ 1 amperio-vueltas/rnetro2 . . - r 2

Ladensidad de flujo a x metros del centro del conductor es

j / o X IB" , = ~H" , = 2 11 '1 '2 W h/m 2

(3.16)

(3.17)

(3.14)

donde IJ es la permeabilidad del conductor 1.

En el elemento tubular de espesor dx, el flujo d es Bx veces el area transversal del

elemento normal a las lineas de flujo, siendo el areadx veces la longitud axial. El flujo por

metro de longitud es

j / o X Idq,= -dx

2'1"1'2

Los enlaces de flujo d " por metro de longitud, producidos por el flujo del elemento tubu-lar son el producto del flujo por metro de longitud por la fraccion de corriente enlazada.

Deesta forma'l"X2 ~ I : r ; 3

d" =-dq = - dx'1"1'2 2 ' 1 " r 4

Integrando desde el centro del conductor hasta elborde exterior para encontrar "int> en-

laces de flujo totales en el interior del conductor, obtenemos

frp./~

"'int = -_ dxo 2..-r4

Whim (3.18)

Weber-vueltas/metro (3.19)

y

1 Lo t ra tado en es ta s ecc ion y en las dos siguientes es aplicable tanto a la cor riente

alterna como a 1 a continua. Como se indica,H

eIson vectores y representan

cantidades alternas s inusoidales. Para mas sencillez puede considerarse que la co-

riente I es corriente continua y H es un numero r ea l.

p. 1"'int = 8 ' 1 "


1En unidades Sl .l a permeab il idad abso lu ta del vac io es M= 47r X 10-7 H I m . y

1a permcabiliciad reJativa es, ., . - 1 / 0 / , . . .



42 ANALISIS DE ~ISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA IMPEDANCiA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 43

Para una permeabil idad relat iva de 1, p. = 4". X lO-7 henrios/metro, y

(3.22)

B -.!!:!_ Weber/m2

~ - 2 1 1 " x

EI flujo dq,en el elemento tubular de espesor dx es

J . l Idq,= - dx Whim

2 1 1 " x

(3.24)1

t t l . ' = 2 X-IO-7 Weber-vueltas/metro (3.21)

Him(3.25)

Hemos calculado la inductancia por unidad de longitud (henr ios/metro) de un con-

ductor cil indrico debido unicamente al flujo de su interior. En 1 0 sucesivo, por convenien-

cia, al tratar de la irductancia por unidad de longitud la llamaremos sencillamente

mductancta; pero empleando las unidades correctas.

La validez del calculo de la inductancia interna de un hilo mac izo de seccion circular

por elmetodo de los enlaces de flu jo parciales, puede demostrarse deduciendo la inductan-

e ia por un metodo totalmente difer ente. Siendo la ene rgia almacenada en el interior del

conductor, 'debido a l campo magnet ico, igual a L lnti!/2, al despejar Lint obtenemos la ec.

(3.22).

Los enlaces de flu jo d y , por metro son iguales , numericamente, al f lujo d 4 > , puesto que e l

flujo exterior al conductor enlaza toda la corriente del conductor tan solo una vez. Los en-

laces de flu jo tot ales entre PI y P 2 se obtienen integrando d desde x = D1 a x = D I•

De esta forma obtenemos

fD' J . l I J . l I D 2

Y , 1 2 = - dx = -In-DI 2 1 1 " x 2 1 1 " D ,


0, para una permeabilidad relat iva de 1, ,

D 21/112= 2 X 10-71 In D1 Weber·vueltas/metro (3.27)

3.7 ENLACES DE Ff.UJO ENTRE DOS PUNTOS EXTERNOS A UN

CONDUCTOR AISLAPOComo primer paso para calcular la inductancia debida al t lujo exterior a un conductor,

deduciremos los enlaces de flujo de un conductor aislado debidos a la porcion de flujo

exterior comprendida entre DI y Dz metros del centro del conduc tor. En la fig. 3.6, PI y

PI son dos puntos a distancias D1 y lh de l centro de un conductor por el que c ircula una

corriente de Iamperios. Como las lfneas de flu jo son cfrculos concent ricos al conductor,

todo e l f lujo comprendido entre PI YP2 esta dentro de las superficies cilfndricas concen-

t ricas (representadas por circunferencias de t razo continuo) que pasan por PI YPI. En el

e lemento tubular, que esta a x metros del centro del conductor, la intensidad de campo es

H". La fmm a 1 0 largo del elemento es

2ffXH~ = I

ResolViendo para H " Ymultiplicando por ,encontramos la densidad de flujo B" en elele-

mento , tal que

La inductancia debida solamente al f lujo comprendido entre PI Y P2 es

D2

L 1 2=

2 X 10-7

In - Him (3.28) .D 1

N6tese que "In", de las Ecs. (3.26) a (3.28), es ellogar itmo nepe riano (base E)1 . Transfer-

mando los henrios por metro a milihenrios por milla y empleando logaritmos decima-

les, tenemos

D2L 1 2 =0.7411 log D1 mH/mi (3.29)

Fig. 3.6 Conductor y puntos PlYP 2 exter iores a el.

3.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA BIFILAR MONOFASICA

Antes de t ratar el caso mas general de l ineas de varios conductores y t ri fasicas, considera-

remos el caso de una sencilla linea bifila r de conductores cilfndricos macizos. La fig. 3.7

representa un circuito que tiene dos conductores de radios 71 y 7z . Uno de los conducto-

re s constituye el hilo de retorno. En principio, considera remos solamente los enlaces de

flujo del c ircuito producidos por la cor riente del conductor 1. Una linea de flujo, debida a

la corriente del conductor 1, situada a una distancia igual 0 mayor aD + 72 del centro del

conductor 1 no enlaza el circuito y, por tanto, no induce ninguna f.e.m. en el. Dicho de

otra manera, una linea de flujo de estas carac ter fsticas enlaza una corriente cero, ya que la

corriente del conduc tor 2 es igual en magnitud y de opuesto sentido a la corriente de l con-

ductor 1. La fr accion de la corriente tota l enlazada por una linea de flujo exterior al con-

ductor 1 y a distancia igual 0 menor aD - 72, es 1. Entre las distancias D - 71YD + TI

(es deeir, en la superficie del conduc tor 2) la fracci6n de la corriente total enlazada por lalinea de flujo, produe ida por la corr iente del conductor 1, a O.Por tanto, es Iogico simpli-

ficar el problema, cuando D es mucho mayor que 71 Y 72 Yla dens idad de flu jo a t ravesdel

1En este texto Inrepresenta el logaritrno neperiano (base .), y log elloguitmo .

decimal (base 10).



44 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 4S

Haciendo operaciones llegamos a

Fig.' 3.7 Conductores de radios

diferentes y campo magnetico de-

bido solamente ala corriente del

conductor 1 .

(3.35)

Si sustituimos r~ por rIE-I'.,

DLI = 2 X 10-7 In -

r'IHi m (3.36)

DL I = 0.7411 log - ,

rlmH/mi (3.37)

conductor es aproximadamentecons tante, suponiendo que todo el f lu jo exter ior produci-

do por la corriente del conductor I y que va hasta el centro del conductor 2, enlaza toda

la corriente Iy que el flujo que se extiende mas ana de ese punto no enlaza ninguna co-

r riente. En efecto , se comprueba que los calculos hechos con esta hipotes is son correctos,

incluso cuando D es pequefio.

La inductancia del circuit a debida a la corriente del conductor 1 se determina par la

ec. (3.28), ustituyendo D s por l a d i st a nc i a D entre los conductores I y 2, YDI por el ra-

dio rl del conductor 1.

Para el flujo exterior unicamente

DL1•ext = 2 X 10-7 In -

rl

Para e l f lu jo interior unlcamente

Hi m (3.30)

EI radio r~ es el de un conductor ficticio del que se supone que no tiene flujo interior, pe-

ro, sin embargo, la misma inductancia que el conductor rea l de radio rl. EI factor ei4 es

igual a 0,7788. La ec (3.36) da para la inductancia el rnismo valor que la ec. (2.31). La

diferencia estriba en que la ec. (3.36) carece del termino que toma en cuenta el flujo in-

terior, compensandolo par medio de un valor ajustado para el radio del conductor. Re-

cordemos que la ec. (3.32) se dedujo para un conductor cilfndrico mac izo y que se llego ala ec. (3.36) mediante transformaciones matematicas de la ec. (3.32). Por otra parte, el

factor 0,7788, para ajustar el radio con objeto de tene r en cuenta el flujo interno, se apli-

ca unicamente a conductores cilindricos macizos . Mas adelante cons ideraremos otro t ipo

de conduct ores.

Como la corriente en el conductor 2 va en direcci6n contraria a la que circula por el

conductor 1 (0 su fase esta a 1800 can la de esta), los enlaces de flujo producidos par la

corriente en el conductor 2, considerado aislado, t ienen la rnisma direcci6n que los pro·

ducidos por la corriente del conductor I . EI flujo result ante de los dos conductores esta

de terrninado por la suma de las fmm de ambos conductores. Sin embargo, para permeabi-

lidad constante pueden sumarse los enlaces de flu jo (e igualmente las inductancias )de los

dos conductores considerados aisladamente.

Par comparacion can la ec (3.36), la inductancia debida a la corriente en el conduc-

tor 2 es1L1•int =2 X 10-7 Him (3.31 )

La induc tancia total del circuito, debida a la corriente del conductor I tan solo, e s

LI = ( ! + 2 In Q ) X 10-7 "Him2 rl

DL2 = 2 X 10-7 In -

r'zHi m (3.38)

(3.32)y para todo el circuit a

La expresion que da la inductancia puede s implif icarse sacando factores comunes de

la ec. (3.32) y teniendo en cuenta que In El/4 = 114, de donde

DL =Ll + L2 =4XlO-7Jn--vrg

Si r; = r~ = r', la inductancia total se reduce a

Him (3.39)

(3.33)

DL =4X lO-7}n-

r'Him (3.40)

o

(3.34)D

L = 1.482 log - ,r

mH/mi (3.41)



46 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION47

que, desarrollando los terminos logaritmicos y reagrupando, se convierte en

¥-IP = 2 X 10-7 (Idn ; + I,ln _ !_ + I. In _ !_ + ... + I In"'!_r1 D1 2 o; " D

1.

n

+ II In DI P +IIn DI P + I. In DIP + ... + I. In DtoP)Como la surna de todas las corrientes de l grupo es nula,

II + I. + I. + ... + I" =0y despejandoln' tenemos

(3 .46)

Fig. 3.8 Vista de una seccion transversal de un grupo de n conductores

en los que la suma de sus corrientes es cero. Pes un punto lejano de los

conductores.

La ec. (3.41) es la inductancia de la linea bifilar teniendo en cuenta los enlaces de flujo

producidos par la corriente en ambos conductores, uno de los cuales es el camino de vuel-

ta de Ia corriente en e l otro. Este va lor de la inductancia se llama, a veces, inductancia par

me tro de lfnea 0 par mi lia de linea, para dist inguir la de la inductancia del circui to debida

a la corriente en uno solo de los conductores. Esta ultima, dada por la ec. (3.37), esla mi -

tad de Ia inductancia tota l de una lfnea monofasica y se llama inductancia por conductor.

I.. -(11+12+1.+ ... +1.._1) (3.47)

Sustituyendo en la ec. ('1.45), I por su valor dado por la ec (" 46) d I ...'? n ';1 yagrupan 0 os t o : o n n i -

nos Iogaritmicos, tenemos

¥-IP = 2 X 10-7 (II In ; + I, In _1 _ + lain _ !_ + ... + I..In _1 _rl D12 Du o,..

3.9 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO~ ~. D D )+IdnD-+I2In-+I.ln~+ ... +1 _ln~ (3.48)liP DroP Dill D

toP to P

Suponiendo qu~ el punto.p se aleja has ta el inf in ito , de forma que los terminos logaritmi .

c~s de I~s relaciones de distancia desde P se hagan infmitesimales, puesto que diehas rela-clones tienden a la unidad, obtenemos

!{II =2 X 10-7 (Idn; + Illn_!_ + I.ln-1- + ...

rl o; Du

+ I" In _ 1 _ ) Weber·vueltas/metro (3.49)DIrt

Un caso mas general que el de la linea bifiliar es el de un conductor en un grupo de elIos,

en el que la suma de las corrientes de todos los conduct ores es igual a cero. EI grupo de

conduct ores se representa en la fig. 3.8. Los conductores 1,2,3, ... ,nsonrecorridospor

los vectores corrientes Zi , 12, la, ... , I ...

Las distancia s de estos conductores a un punta lejano P estan indicadas en Ia f igura por

DIP, D2P, DIP , ••• ,DnP• Determinemos .yIPI, enlaces de f lujo del conductor I debidos all

comprendiendo los enlaces de flujo interno, pero excluyendo todo el flujo mas alia del

punto P. Par las ecs . (3.21) y (3.27).

(3.42) AI permitir que el punto P se mueva hacia el infinito incluimos en nuestra derivaci6n

todos los enl~ces de flu jo del conductor 1. De esta forma la ec. (3.49) nos da todos los

enla~es de fluJo del conductor 1, en el grupo de conductores, cuando la surna de todas las

cornentes es cero. Si las corrientes son alternas, c!s tas t ienen que ser eorrientes ins tant ll .

neas, 0 bien :alores eficaces complejos, can 10 que se obtienen los valores eficaces de los

enlaces de flu jo en forma de numeros complejos.

DI P!{I1PI=2 X 10-711 In -, Weber-vueltas/metro (3.43)

Tl

Los enlaces de flu jo .ylP2 con el conductor 1 debido a 12, pero excluyendo el flujo mas

alia de P es igua l al flujo producido por 12 entre el punto P y el conductor 1 (es to es, en-

tre las distancias limites Dz p y D1 2 del conductor 2). As!

D2P! / I 1 P 2 = 2 X 10-71 2 In -

Du(3.44)

3.10 INDUCTANCIA DE LINEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS

Los conductores trenzad t' did . "'os es an compren I os en la denorninacion general de condueto-

res compuestos que estan f d d 'an rorma os por os 0 mas elementos 0 hilos en paralelo Ahara

estamos en condicio d di I ' .I nes e estu iar as hneas de transporte formadas por conductores

c~mpuestos,. aunque nos limitaremos al caso en que todos los hilos son igua1es y la c o-

mente esta 19ualmente repar tida. El metodo puede extenderse a todos los t innll de con-duct ores que c ti hil"- difi r--

on senen os.... erentes dimensiones y conductivjdades, pero no

Los enlaces de flujo !{lIP con el conductor 1,debido a todos los conductores del grupo.pe-

ro exluyendo el flujo mas alia de l pun to P es

(DI P I D2P Dap D,.p)

! / l I P =2 X 10-7 II In- , + 2ln -D + Ia In - + ... + 1.. In -r1 u DlI D1..

(3.45)



48ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA

IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 49

Fig . 3.9 Linea monofasica formada '-r----por dos conductores compuestos. C o n do X

'-y--"

C o n d o Y

El conductor X esta formado por n hilos en paralelo. Si todos tienen la misma inductancia.

ladel conductor sera I I n l a de un hi lo . En nuestro caso , todos los hi los t ienen inductancias

diferentes, pero la de todos los hilos, en paralelo, es lIn de la inductancia media. Asi, la in.

ductancia del conductor X, es

Lx =La.. =La + Lr , + L. + ... + L ..n n2

(3.55)

bOc o

aO nO

bordaremos aquf este problema ya que los valores de la inductancia in terna de cada con .,

~uctor especifico se obtienen de los distintos fabr icantes y pueden encont ra .rse endmanua

les El rnetodo a seguir, supone una aproxirnacion al problema mas com~hcado e, c on-

du~tores no homogeneos Y con desigual distribucion de corriente entre ~os: El metodo

es aplicable a la determinacion de la inductancia de lineas formadas por cir cuitos en para·

lelo pueden 'considerarse como hilos de un solo conductor compuesto. h

La fig. 3.9, representa una linea monofaslca formada por dos cond~ctores.Para ace r

I caso mas general cada conductor que constituye una parte de la linea, se ~e~resenta

e . definidc numero de conductores agrupados arbitrariamente. Las urucas res-como un In . . I tet icciones son que los hilos paralelos han de ser cilindr icos y con la corriente igua men

ct7stribuida en~re ellos. El conductor X esta compuesto por n hilos paralelos, exact.amente

. les cada uno de los cuales lIeva la corriente lin. EI conductor Y, que constJ~uye el

~!'::rn~ de la corriente de X, esta formado par m hilos paralelos, exactamente 19Ual~S"

cada uno de los cuales lIeva la corriente - 11 m La~ distancias. entre los elementos se d.eSlg~

naran por la letra D con los subindices correspondientes- Aplicando la ec. (3.49), a l h ilo .

del conductor X, obtenemos los enlaces de flu jo del h ilo a

l ( 1 1 1 1)t/ I =2 X 10-7 - In - + In - + In - + ... + InD.. n r~ Dab D ... ....

Sustituyendo Ia expresion logarftmica para la inductancia de cada hila en la ec, (3.55) y

agrupando terminos, obtenemos

Lx = 2 X 10-7

t / I . . -7 V Da a'D ab ,D ... , ..• v : : : .La = - =2nX 10 In ,"I'D _n ••• D

Un v ~ ~ . . . -Him (3.52)

Him (3.56)

donde r~, r~ y r~ sehan sust itu ido por DOl l 'Dbb Y Dnn. respectivamente, para dar a lafor-

mula mayor simetria.

N6tese que elnumerador de la expres i6n logarftmica en laec. (3.56) es la raiz mn·esima

mn terminos, los cuales son los productosde las distancias de todos los n hilos del conduc-

tor X a todos los m hilos del conductor Y. Para cada hilo del conductor X hay m distan-

cias a los hilos del conductor Y, y, en total , exi sten n hilos en el conductor X El producto

de m distancias por cada n hilos resul ta en mn terminos. La rafz mn·esima del productode

las m n distancias se llama d is ta n ci a m e di a g eo m et ri ca entre el conductor X y el Y. Se reo

presenta por Dm 0 DMG y se l lama tarnbien DMG mutua entre los dos conductores.

EIdenominador de laexpres i6n logari tmica de la ec. (3.56) es la raiz n2·es ima den' ter-

minos. Hay n hilos por cada hilo hay un producto de n t erminos , el r 'de dicho hi lo porlas

dis tancias del mismo a cada uno de los res tantes hi los del conductor X, 10 que hace el to tal

de n2 terminos, A veces r~ se l lama la distancia del h ilo a a si mismo, especialmentecuando

se representa por DOll ' Teniendo en cuenta esto. La expresion subradical del denominado

puede decirse que es el producto de las distancias de cada uno de los hilos a si mismo y a

los restantes hilos. La raiz n2 -esima de esta expresion se llama DMG propia del conductor

X y el r' de un hilo separado, la DMG propia del hi lo . La DMG propia tambien se llama elradio medio geometr ico, RMG. La expresion rnatematica correcta es DMG propia, pero

cornunrnente se usa RMG. Nosotros usaremos RMG y la identificaremos por D.

En funcion de Dm v D; la ec. (3.56) se convierte en

Lx = 2 X 10-7 In Dm Him (3.57)D.

_ 2 X 10-7 .!.(In _1_ + In _1_ + In -Dl + ... + In;) (3.50)

m D..... Dab''''' ....

de la cual, obtenemos

Q-71 I VD •• ,Dab,Dac'''· Dam Weber-vueltas/metro (3.51)

t/la =2 X 1 n .nl 'D _n ...DVT" aOJ.Jllc an

Dividiendo la ec. (3.51) por la corriente lin, encontramos que la inductancia del hi lo a, es

Analogamente, la inductancia del hilo b, es,------:=-----;:--

~ VDba,DwDbc' .,. Db ... HimLb =- = 2nX 10-

7In -RID 'D D

lin v barb b.··· boo

La inductancia media de todos los hilos del conductor X, es

La + Lb + Lc + .., + L ..La. = n

D...Lx =0.7411 log D. mH/mi (3.58)

(3.53)Si comparamos las ecs. (3.58) y (3.37) la sernejanza entre ellas es aparente. La ecua-

cion que da la inductancia de un conductor de una linea de conductores compuestos se

obtiene poniendo, en la ec. (3.37), la DMG entre conductores, de la linea de conductores

compuestos , en lugar de la distancia entre dos conductores macizos de la linea de con-ductores sencillos y substituyendo 1a RMG del conductor compuesto por la RMG(r ')del3.54)



La dis tancia media geometr ica puede estudiarse desde un punto de vista matematico

en terminos mas generales. Por d efi ni ci on , la D M G desde un punto a un grupo de otros

puntos es la media geometrica de las distancias desde un punto a cada uno de los otros

puntos.

EI concep to de la D MG de un punto a una superficie es importante y puede determi-

narse dividiendo la superficie en un numero grande de elementos iguales y hal lando la me-

dia geornetrica de las distancias del punto a los elementos de superf icie . Si hay n elementos,

la media geometrica de las distancias es la raiz n-esima del producto de las n distancias. La

DM G del punto a la superficie es ellimite de la DM G del punto a los elementos de super-

f ide, cuando el numero de estos t ienden a infin ito .

Para encontrar la DM G entre ·dos superficies, se div ide cada una de estas en un nurnerode elementos iguales, m, por ejemplo, para una de ellas y n para la ot ra . La DM G entre las

superficies es e l limite de la raiz mn-esima de los mn productos de las dis tancias entre los

m elementos de una superficie y los 11 de la ot ra cuando m y n crecen indefinidamente. La

fig . 3.10 representa las seis distancias entre dos de los m elementos iguales en que se ha di -

vidido una superficie y tres de los n elementos iguales en que se ha dividido la otra. Para

determinar l a DMG entre superficies es preciso considerar todas las distancias entre elemen-

tos, y el numero de ellos, en cada superf icie , ha de ser infin ito . La DM G entre dos superfi-

cies circulares puede demostrarse que es igual a la distancia entre cent ros .

La RMG de una superficie es el limite de la media geometrica de las distancias entre

todos los pares de elementos de la superfic ie considerada cuando su numero crece indefi-

nidamente. La RM G de una superf icie circular puede demost rarse que es i gual al radio del

cfrculo multiplicado por E-I/'. Como el r' de nuestras formulas que dan la inductancia de

un alambre de seccion circular es el radio del alambre mul tip licado por ell' ,tenemos la

raz6n de por que lIamamos r ala RMG propia del alambre.

- - - - .__ladoX ladoY

~EMPLO. 3.2 Uno de los conductores de una linea monofasica esta compuesto de tres

os maClZOS cada uno de los cuales tiene 0.1 pul de radio. El circuito de retorno e t'

compuesto por dos hilos de 0.2 pul de radio . La disposici6n de los conductores es la re-re sent~d~ en la fig: 3.11. Encuentre la distancia debida ala corriente en cada lado de la-

mea y a mductancia de la l inea completa en mil ihenrios por mi lIa.

Soluci6n Primeramente hallaremos la DM G entre los lados X e Y de Ia linea:

D", = V 'D .J J • .D bJ Jb .D edD ..

Fig . 3 .11 Disposicion de los con-

ductores del ej. 3.2 .

s o ANALISIS DE SISTEMAS ELECI'RICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION

conductor sencillo. La ec. (2.57) da la inductancia de un conductor de una linea mono fa-

sica. HI conductor se compone de todos los hilos que estan en paralelo . La inductancia es

el numero total de enlaces de flujo del conductor compuesto por unidad de corriente de

linea. Laec.(3.37) da la inductancia de un conductor de una linea monofasica para el caso

especial en que aquel es un alambre cil indr ico y macizo.

La inductancia del conductor Y se determina de forma analoga, siendo la de la linea.

L = Lx + Ly

Dad = Db . = 30 pies

Da . = Db d = Dc o = V2( )2 + 3 ( )2 = v T , 3 O O

De d = V30 2 + 4()2 = 50 pies

D" , = V'3()2 X 50 X 1 3003/2

= 301/3 X 50 1/8 X 1 30 0 1/ ' = 35.8 pies

A continuaci6n hallamos la DM G propia dellado X:

D , = V 'D a.D a~ .e Db .D b~ b.D e.D c~ ..

9 / ( 0 . 1 X 0.7788)3=V 12 X 20' X 4()2

3 /0.1 X 0.7788= 'J 12 X 20'/1 X (2 X 20)2/1

a/ O.1 X 0.7788= ". 12 X 20C4Jll+(2fg) X 21/8

Fia. 3.10 Las seis distanciu posibles entre dos elementos iauales de una

superficie a t res iauales de la ot ra . 4 0.1 X 0.7788= 12 X 2()1/3 X 41/

' =1.605pies

; [,I Dl C~~~~

i--------

I h~'.~'ro.

I--

I 9 , 3 = 1 3i--S:-:r,-

I ~ ~ " ~ .



5 2

ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA

IMPEDANCIA SERlE DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION S3

Y para ellado Y:

_ ~ J ( 0 .2 X 0.7788)2 X 202 =0.509 pies

D. - " 12

hilos exteriores. EI termino (2,)6 es el producto de las distancias del hilo intemo al re sto.

Hay s iete distancias correspondientes a los siete hilos. Simplificando la e x pr es io n q ue da

Ds, tenemos

Segun la ec. (3.58), l a inductancia es

35.8 0 H I .Lx = 0.7411 log 1.605 = 1.0 m mi

D. = -\/? X ~(272 X 3 X 22r2 X 22r X 2r X 2r)5 = 2rV'~788)

=2.177r

Para encontrar D B en funcion de l a s ecc i on total del conductor en circular mi l s hae ien -

do

35.8 8 H I .Ly = 0.7411 log 0.509 = 1.3 m rm

L =Lx + Ly = 2.38 mH/mi

EJEMPLO 3.3 Un conductor esta compuesto de siete hilos identicos, entrelazados, cada

de eUos con un radio. Como se indica en la fig. 3.12. Encuentre el factor por el cual

~:~e mult ip licarse para encont rar la RMG del conductor. Tambien encuen.t re el fac~or pOI

I I hay que multiplicar la raiz cuadrada del area del conductor en circular-mils para

~b~;:er RMG del conductor. Compruebe el valor de 0.0177 pies especifi~a.do por l~ ASO~

ciacion del Aluminio para D.; de un conductor Daisy totalmente de alummlO cuya area e

de 266.800 c mil.

Solucion Las dtstancias Dn . D1 3 YD 1 4 son:

A = area del conductor en c mil

d = diametro de cada hilo en mils

r = radio de cada hilo en mils

Entonces, para un conductor de s iete hilos tenemos

A = 7d 2 = 28r2

2.177D, = V28 VA =0.4114VA mils

y para el conductor Daisy

D. = 0.4114Y266,800 = 212.5 mils

D 1 2 = 2r D1 4 =4r

D1 3 = VDI42 - D 3 4 2 = V(4r)2 - (2r)%= 2rv3

La RMG propia del conductor de siete hilos es de 49-esima raiz de 49 distanc ias. Asi,

D, = ~(r')1(D122D132D14D17)6(2r)6

donde (r')1 es el producto de la RMG pro pia de un hilo por la s RMG propias ~e los re~tan-

El t' . D 2 D 2 D D es el producto de las distancias de un hilo extenor a

tes. ermmo 12 13 14 17 ta los se iscada uno de los restantes. Esta elevado a la sexta potencia para tener en cuen

212.5 X 10-3

D, = 12 = 0.Q177 pies

Fig. 3.12 Seccion transversal del

conductor de siete hi los del eje.

3 . 3 .

Si una linea rnonofas ica esta formada por dos cables t renzados an: ilogos al calculado

en el ej. 3.3, rara vez sera necesario el ca1cular la DMG entre los hilos de los dos lados,

porque la DMG es aproximadamente igual a la distancia entre los centros de los cables. El

calculo dela DMG mutua es import ante solamente en aquel los casos en que los var ios hilos

(0 conductores) en paralelo estan uno del otro a distancias muy proximas a las que hay

ent re los dos lados del circuito. Asi, en el ej. 3.2, los conductores en pa rale lo de un lado

de la linea estan separados 20 pies y la distancia entre los dos lados de la linea es30 pies.

En este caso es importante el calculo de la DMG mutua. Para conductores trenzados como

los del ej. 3.3, la distanc ia entre los lados de la linea es, en general, tan grande que puede ,

tomarse la distancia entre centros , como DMG mutua, s in int roduci r un error apreciable .

Sise desprecia elalma de acero de los ACSR, al calcular la inductancia , se obt iene gran

precision, con tal de que los hilos de aluminio esten dispuestos en un numero par de capas.

EI efecto del alma de acero es mas acusado cuando el numero de capas de 1.11osde alumi-

nio es impar, pero, no obstante, la prec ision es buena cuando se hacen los calculos basan-

dose tan solo en los hilos de alurninio.

3.11 EMPLEO DE LAS TABLAS

La RMG propia de los conductores de cualquie r nurnero de hilos puede calcularse como



5 4 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIAIMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION

55

en el ej. 3.3. Sin embargo, el ingeniero rara vez tiene que hacer estos calculos, ya que hay

tablas que dan valores de la R MG para los conductores nonnales. El empleo de tabla s es el

metodo practice para detenninar los valores deseados, especialmente para los conductores

no homogeneos como los ACSR. Para uti li zar las tablas convenientemente, el ingeniero

tiene que comprender perfectamente los datos tabulados.

Corr ientemente se emplea Ia reactancia induct iva en lugar de la inductancia . La reac-

tancia induc tiva de un conductor de una lmea monofasica bifila r e s

D..XL = 21ffL = 21ff X 0.7411 X 10 - 3 log D,

EI calcul~ ~nter i~r se usa ~olame~te s i se conoce D•. Sin embargo la tabla A.I indica

una reactancla. ~nduchva a I pie de distancia de Xa = 0.465 U/mi. De la tabla A.2 e l fac-

tor ~e separacion de la reactancia induct iva es Xd = 0.3635 U/rni, Y asi la reactancia in -ductiva de un conductor es: . .

XL = 2 X 0.8285 = 1.657 U/mi

Puesto que los conduetores de los dos lados de la linea son identic os la reactanci . d

tiva de la linea es: ' cia UI, uc -

0.465 + 0.3635 = 0.8285 U/mi

D",= 4.657 X 10-31log D, U/mi (3.59) 3.12 INDUCTANCIA DE LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICION

EQUILATERAdonde D m es la dis tancia ent re eonductores. La RM G que se encuentra en las tablas es

equivalente a D., la cual tiene en cuenta el efecto piel donde es bastante apreciable y

afecta la inductancia . Es claro que el efeeto piel es mas pronunciado a altas frecuencias

para un conductor de un diametro dado. Los calculos para D. en el ej. 3.3 no tuvieron

en euenta el efeeto piel. Pues to que el va lor especificado en las tab l as concuerda con elcalculado, el efeeto piel se puede dejar de lado en este conductor. Los valores de Ds pro-

porcionados en la tabla A.I son para 60Hz.

Algunas tab l as dan va lores de la reactancia inductiva adernas de la RMG. Un metodo

es desarro llar el termino logaritmico en la ec. (3.59) como sigue:

1XL = 4.657 X I0-3f log D, + 4.657 X 1O -3f log D" , U/mi (3.60)

Si tanto D . como D m estan en pies, el primer termino de la ec. (3.60) es la r eactancia in-

ductiva de un conductor pertenec iente a una linea bif ilar con I pie de distancia entr e con-

duct ores, como puede verse comparando la ec . (3.60) con la ec. (3.59). Por esto, el primer

terrnino de la ec. (3.60) se llama r e ac ta n ci a i ndu ct iv a a 1 p i e d e s e pa ra ci on Xa ' Depende

de la R MG propia del conductor y de la frecuencia. EI segundo termino de la ec . (3.60) se

llama fa ct or d e s ep ar ac io n d e fa r e ac ta n ci a i ndu ct iv a Xd• Este termino es independiente

del tipo conductor y solo depende de la frecuencia y de la separacion. EI factor de sepa-

racion es igual a cero cuando Dm es Ipie. Si Dm es menor que I pie, el factor de separa-cion es negativo. EI procedimiento para calcular lareactancia inductiva eshallar la reactancia

inductiva a I pie de separacion para el conductor considerado y sumarla a l f actor de sepa-

racion de la reactancia inductiva, ambas para [a frecuencia de la linea . La tabla A.I incIuye

los val ores de la reactancia induc tiva, a I pie de separacion y la Tabla A.2 da los valores

del fa~tor de separacion de la reactancia inductiva.

Hasta ahora solamente hemos cons iderado l fneas monofas icas, S in embargo, las ecuacio-

nes encontradas pueden adaptarse facilmente para calcular la inductancia de I l''t' . La fi as ineas

t~1~SlCas. ig, 3.13 representa los conductores de una linea trifasica colocados en los

ve rt~ces de un tr iangulo equilatero. Si suponernos que no existe hilo neutro, 0 que los

corne?te de las tres fa ses est an equilibrados.T, + Ib + Ie = O.La ec. (3.49) da los enlacesde flujo del conductor a:

- . / I . . = 2 X 10 - 7 ( l a i n ~ + 1 6 In.!...+ t,n.!...)r D D

Puesto que Ia =-(Ib + Ie) la ec. (3.61 se convie rte en

- . / I . . =2 X 10-7 ( I a In;' - I a I n : i J ) =2 X 1 O - 7I a I n ; , Weber-vueltas/metro

(3.62)

Weber-vueltas/rnetro (3.61)

y

DLa = 2 X 10-7 In - Hzrn

r'(3.63)

o

DLa = 0.7411 log - mH/mi

r'(3.64)

= 0.828 U/mi

Fi,. 3.13 Seccion transversal de

una linea t rifwca con sus con-

ductores ep ppsicj6n equihitera.

EJEMPW 3.4 Eneuentre lareactancia induct iva pOI rni ll a de una l inea monofasica ope ran-

do a 60 Hz. EI tipo de conductor es Partridge, y el espacio entre centros es de 20 pies.

Solucion Para este conductor la tabla A.I Ds =0.0217 pies. De la ee . (3.59), pa ra

un conductor,20

XL =4.657 X 10-3 X 60 log --

0.0217



56 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTEliCIA IMPEDANClA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION57

3.13 INDUCTANCIA DE LAS LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICIONASIMETRICA

con a en la posic ion 2, b en la 3 y c en la 1,

" ; a 2 = 2 X 10-7 ( 1 1 1 In ~ +I.n ~u + Ie In ~ 1 ) Weber-vueltas/metro (3.66)

y con a en la posicion 3, b en la 1 y c en la 2,

" ; a 2 = 2 X 10-7 ( 1 1 1 In r ' ! . + 1 . In ..!....+ t,In..!....) Weber-vueltas/metro (3.67)DII Du

El valor medio de los enlaces de flujo de a es

";,,= ";,,1 + " ; < 1 2 + " ; a 2

3

La ec. (3.64) es de la misma forma que la (3.37) para una linea monofasica, En los con-

ductores trenzados, D, sust ituye a r en la ecuacion, Debido a la simetrfa, las inductancias

de los conductores bye son iguales a la del conductor a. Como cada fase tiene solamente

un conductor, las ecs. (3.63) y (3.64) dan la inductancia por fase de la l inea t ri fasica,

Cuando los conductores de una linea t rifasica no estan en disposicion equi latera , el proble-

ma de encontrar la inductanc ia es mas dificil. En ese caso, los enlaces de flujo y la indue-

tancia de todas las fases no son iguales. Exis ten inductancias diferentes en cada fase en un

circui to desbalanceado. EI balance de las t res fases puede lograrse intercambiando la posi -

c ion de los conductores a intervalos regulare s a 1 0 largo de la linea, de tal forma que cada

conductor ocupe la posicion de cada uno de los otros conductores sobre una distancia

igual. Es te cambio de las posiciones de los conductores se llama transposicion. La fig. 3.14

representa un c icio completo de transposicion, Los conduct ores de cada fase se designan

por a, b, y c, mient ras que las posiciones ocupadas estan representadas por los numeros 1,

2 y 3. EI result ado de la transposicion es que todos los conductores t ienen la misma indue-

tancia media a 10 largo del ciclo complete. .Las modemas line as electricas no se t ransponen corrientemente, aunque pueden cam-

biarse las posiciones de los conductores, en las subestaciones, para equilibrar las inductan-

cias de las fases mas exactamente. Afortunadamente, la asimetria entr e las fases de una

linea sin transposicion es pequei'ia, pudiendose despreciar en muchos casos. Si se desprecia

la asimetr ia, la inductancia de una linea sin transposicion se ca lcula como igual al valor

medio de la r eactanc ia induc tiva de una fase de la misma linea en la que se hubiera realiza-

do correctamente la transposicion, La deduccion que viene a cont inuacion es para l ineas

con transposicion.

Para encontrar la induc tancia media de un conductor, pr lmeramente se calculan los

enlaces de flujo de un conductor en cada posicion del c iclo de transposicion, hallando, a

continuacion, la media de los enlaces de flu jo. Apl icando la ec. (3.49) al conductor a de la

fig. 3.14 para encontrar l a e xp re s ion vectorial de los enlaces de flujo de a en la posicionI,b en la 2 y c en la 3, tenemos: •

(3.68)

Teniendo en cuenta III = - (I . + Ie),

2 X 1 0 - 7 ( 1 1 ). . ;"= 3 31" In-I"ln---

r DuDuD31

= 2 X 10-71 In ":;DIJ)uD!l" r'


y la inductancia med i a por fa se es

L" = 2 X 10-7 In De q H/mr'

L»;

,,= 0.741110g-;:;- mH/rni (3.70)

donde

(1 1 1)

t / t . 1 = 2 X 10-7 I;In -, + Ib In -D + I, In -r 12 D 3 1

Weber-vueltas/ metro

o; = V'DIJ)uD31La ec. (3.70) puede escribirse

Lo;

"=0.7411 log -D.

(3.71)

mH/mi (3.72)

(3.65)

Pas. 1C o n d . a C o n d . c C o n d . b

w 'P o s . 2

C o n d o b C o nd o a C o nd o c

~C o n d . c C o n d . b C o n d o a

Pos.3

FiJ·3.14 Cicio de transposici6n.

d~nde L ? esla RMG del conductor. DeQ, media geometr ica de las t res distancias de la l inea

asimetrica, es la separaclon equilatera equivalente, como puede verse comparando las

ecs. (3.70) y (3.74). Notese la analogia de todas la s ecuaciones que dan la induc tancia de

un conductor. Si la inductancia esta en rnilihenrios por miIla , en todas la s ecuac iones apa -

rece el factor 0.7411 y el denominadordel termino logaritmico es siempre la RMG del

conductor. El numerador es la distancia entre hilos de una Ifnea bifilar, la DMG mutua

entr e lados de una linea monofasica de conductores compuestos; la distancia entre con-

duct ores de una linea con disposici6n equilatera 0bien la separaci6n equilatera equivalen-

te de una l inea asimetr ica.



58 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION59

Fig. 3.1S Dispos icion de los con- .

ductores del ej. 3.5.

la reactancia resulta del incremento de RMG del grupo. Los calculos ce kMC son, par

supuesto, los mismos que para un conductor trenzado. Cada conductor de un grupo de dos

conduc tores, por ejemplo, se considera como un hilo de un conductor de dos hilos. Si to-

mamos D. para indicar el RMG de un conductor agrupado y D el RMG de los conductores

individuales que conforman el grupo, encont ramos ref ir iendonos a la f ig. 3 .16.

Para un grupo de dos conduct ores trenzadosJEMt'LO 3.5 Una linea trifasica de un circuito simple de 60 Hz esta dispuesta como se

muestra en la fig. 3.1 S. Los conduct ores son ACSR Drake. Encuentre la inductancia y la

reactancia induct iva por fase y por mil la .

Solucion De Ia tabla A.I

D. = 0.0373 pies De q = -\120 X 20 X 38 = 24.8 pies

24.8 .1 : = 0.741110g 0.0373 = 2.09 mR/ml/fase

XL = 211"60X 2.09 X 10-3 =0.7881l/mi/fase

o de las tab la s A.I y A.2

D,h = -\I(D. X d)2 = YD, X d

Para un grupo de t res conductores trenzados

D ,b = {I(D, X d X d) 3 = -\lD, X (/l

(3.73)

(3.74)

Para un grupo de cuatro conductores trenzados

D ,b = ~ (D , X d X d X d X 2112 ). = 1.09- \1D, X d3 (3.75)

X" , = 0.399

Para el calculo de Ia induc tancia con la ec. (3.72), D,bde l grupo reemplaza s D , deun

conductor simple. Para calculos Deq, la distancia desde el centro de un grupo al centro de

un grupo al centro de otro grupo es suficientemente exacta paraDab,Dbc ' y Dco' La ob-

tenc ion de la DMG entre los conductores de un grupo y los de otro debe se r indistinguible

de las distancias ent re cent ros para el espacio corriente .y para 24.8 pies

Xd = 0.389

XL = 0.399 + 0.389 = 0.7881l/mi/fase

3.14 CONDUCTORES MULTIPLES

EJEMPLO 3.6 Cada conductor de la linea de conductores agrupados que se muestra en la

fig. 3. J 7 es un ACSR, 1 2 72 000 c mil Pheasant . Encuentr e la reactancia inductiva en

ohmios por milla y por fase.

Solucion

D ,b = VO.0466 X H= 0.264 pies

o; = V'24 X 24 X 48 = ~ X 24 = 30.2 pies

X 2 60 7 1 30.2 /L = 11" X 10-3 X O. 411 og 0.264 = 0.575 n/mi fase

A tens iones muy altas (EHV), es decir , t ensiones superiores a 230 kV se presentan perdidas

por corona y particularmente gran in terferencia en las comunicaciones si los circui tos

tienen solarnente un conductor por fa se. El alto gradiente de volta je en el conductor en el

intervalo de EHV se reduce cons iderablemente teniendo dos 0mas conduc tores por fase a

una distancia que sea pequefia comparada con el espaciamiento ent re fases. Sedice que una

linea como esta se compone de conductores agrupados. EI agrupamiento se compone de

dos, tres 0 cuatro conductores. Un grupo de tres cond~c tores por 10comun tiene los con-

ductores en los ver tices de un t riangulo equilatero, y un grupo de cuatro t iene los conduc-

tares en las esquinas de un cuadrado. La f ig. 3.16 muest ra esos arreglos. La corriente no se

divid ira exactamente igual ent re los conductores del grupo a menos que se haga una t rans-

posicion entre los conductores del grupo. Sin embargo, la diferencia no tiene importancia

pract ica y los metodos de DMG son exactos para los calculos,

La reactancia reducida es ot ra ventaja de este t ipo de linea. Incrernentando elnumero

de conductores en un grupo' se reduce el efecto de corona y la reactancia. La reducci6n en

3.15 LINEAS TRIF ASICAS DE CIRCUITOS PARALELOS

Dos circuit os trifasicos que estan igualmente constituidos y estan en paralelo t ienen la mis-

rna reactancia inductiva. La reactancia inductiva del circuito equivalente simple es, sin

embargo, solamente la mitad de la de uno de los circuitos considerado cuando estan tan

separados que la inductancia mutua sea despreciable . Si los dos circuitos estan sobre eJmis-

mo apoyo, puede emplearse el metoda de la DMG para encontrar la inductancia par fase,

considerando que todos los conductores de una fase son hilos de un mismo conductor

compuesto.

Fia.3 .16 Dist ribuciones de con-ductores agrupados.

r18, r18,24' __ b O - - < . I~ E _ O _ b _ · _ 24' ~ Oc'

Fia. 3.17 Distancia de los conductores en

una linea de conductores agrupados.



60 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 61

Fig. 3.18 Distribucion tipica de

los conductores en linea trifasica

de circuitos paralelos,

a 01 - - - - -18 '------<O~

q-----21 '------Io.1

c0f------18 ' -----IE)J

En la posicion a- a': Y26.9 X 0.0229 = 0.785 pies

En la posicion b-b': y21 X 0.0229 =0.693 pies

En la posicion c- c' : y 26.9 X 0.0229 = 0.785 pies

Por tanto

D,P = ~0.785 X 0.693 X 0.785 =0.753 pies

L16.1

= 0.7411 log 0.753 = 0.986 mH/mi/fase

XL = 211'60X 0.986 X 10-3 =0.372 n/mil fase

Lafig. 3 .18 mues tra un arreglo t fp ico de un circuito t ri fasico paralelo. Aunque la l inea

probablemente no sea transpuesta, suponemos que 10 esta a f in de s impl if icar los calculos

para obtener un valor practice de la inductancia . Los conductores a y a' estan en paralelo

para formar la fase a. Las fases b y c son similares. Suponemos que a y a' tom an las posi-

ciones de b y b' y luego de c y c' como aquellos conductores que se rotan en un cicIo de

transposicion,

Para calcular D eq el metodo de la DMG requiere que usemos DabP ,DbcP y DcaP dondeel superfndice indica aquellas cantidades que son valores DMG propios y donde DclJP sig-

nifica la DMG entre los conductores de la fase a y aque llos de la fase b.

La D s de la ec. (3.72) se remplaza por D», que es la media geornetr ica de los valores

RMG de los dos conductores que ocupan primero las posiciones de a y a', luego las pos i -

ciones de b y b' y finalmente las posiciones de c y c'. Siguiendo cada paso del ejemplo 3.7

tenemos el mejor medio de entender el procedimiento.

3.16 RESUMEN DE LOS CALCULOS DE INDUCTANCIA PARA LlNEASTRIFASICAS

Aunque generalmente hay programas de computador que fac ilitan el calculo de la indue-

tancia de cualquier tipo de l inea, el entendimiento del desarro llo con las ecuaciones usadas

es ventajoso desde el punto de vista de apreciar el efecto de las variables en el disefio de

una l inea. Sin embargo, tablas como A.I y A.2 efectuan los calculos sencil lamente exceptopara las lineas en para lelo. La tabla A.I tambien indica l a r e si s tenc ia .

Las ecuaciones pertinentes a la inductancia de line as trifasicas se dan aquf por

conveniencia.

EJEMPLO 3.7 Una linea trifasica de circuito doble est a compuesta por conductores de

300000 emil 26/7 ACSR Ostrich y dispuesta como se ve en la fig. 3.18. Encuentre la

reactancia inductiva en ohmios por milIa y par fase a 60Hz.

Solueion De la tabla A.I para Ostrich

DL =0.7411 log D O Q mH/mi fase (3.76)

•D

L =2 X 10-7 In ~ H/mi/fase (3.77)D.

La reactancia inductiva a 60 Hz se encuent ra mul tip licando la inductancia en henrios por

211'60:

Xo;

L = 0.2794 log -

D.

n/mi/fase (3.78)

D. =0.0229 pies •Distancia a-b: Posicion original = yI02 + 1.52 = 10.1 pies

Distanciaa-b: Posicion origina l = yl02 + 19.52 = 21.9 pies

La s DMG entre fases son:

D :" = D rc = ~(10.1 X 21.9)2 = 14.88 pies

D~.= . . v (20 X 18)2 = 18.97 pies

n; = ~14.88 X 14.88 X 18.97 = 16.1 pies

or

DXL =7.54 X 10-5 X In ~

D,

Deq y D. deben estar en las mismas unidades, generalmente pies. Si la linea tiene un con-

ductor por f ase , D. se encuentra direc tamente en las tablas. Para conductores agrupado

~sb, ta l como se de finio en la seccion 3.14, se substituye por D«: Para lineas conductoras

simples y agrupadas.

n/m/fase (3.79)

(3.80)

La RMG para la linea del circuito paralelo se encuentra despues de obtener los valores

RMG para las t res posiciones. La dis tancia a-a' es Y2Q2+ 182 =26.9 pies. Entonces laRMG para cada fase es:

Para lineas conductoras agrupadas Dab' Dbc y Dc a son distancia s entre los centros de losgrupos de fase a, by c.

Para line ascon un conductor por fase es conveniente determinar X L sumando Xc para



62 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA IMPEDANCIA SERlE DE LAS LINEAS DE TRANSMlSION 63

el conduc tor como se encuentra en la tabla A.I para Xd, como se encuentra en la tabla A.2

correspondiendo aD eq'

La inductancia y la reactancia inductiva de las l ineas en paralelo se calculan s iguiendo

el procedimiento del ej. 3 .7 Fig. 3.19 Seccion transver sal de

conductores especiales del prob.

3.8. (al (b) (e) (d)

PROBLEMAS

3.3

EIconductor de aluminio identif icado con el nombre de Magnolia esta compuesto de

37 hilos de diametro de 0.1606 pul . Las tablas de caracteri st icas para conductores de

aluminio indican un area de 954000 c mil para este conductor. i.Son consistentes

esos valores entre s f? Encuent re el area en mil imet ros cuadrados .

Determine la resistencia c.d. en ohmios por 1 000 pies del Magnolia a 20°C con la

ec. (3.2) y la informacion del Prob. 3.1 comparar el resultado con el valor indicado

en las tablas de 0.01818 n por 1000 pies; calcule la resistencia cd en ohms por milla

a 50°C y compare el resultado con la resistencia a 60Hz de 0.110 n/mi indicado en

las tablas para este conductor a 50°C. Expl ique cualquier d iferencia .

Un conductor de aluminio esta compuesto de 37 alambres cada uno con un diarne-

me tro de 0.312 ems. Calcule la re sist enc ia cd en ohmios por kilometr e a 75°C.

l!~a linea monofasica de 60Hz esta sostenida por una cruceta hor izontal. La separa-cion entre conductores es de 8 pies. Una linea telefonica esta sujeta a una cruceta

horizontal 6 pies debajo de la linea de potencia con un espacio de 2 pies entre los

centros de sus conductores. Encuentre la inductanc ia mutua entre la linea de poten-

cia y la telefonica y el voltaje de 60Hz por milla inducido en la linea telefonica si la

corriente en la linea de potencia es de ISO A.

Si las I ineas descrita s en el Prob. 3.4 estan en el mismo plano horizonta l y la distan-

cia entr e los conductores mas cercanos de las dos Iineas es 60 pies, encuentre la in-

duc tancia mutua entre los circuit os y el voltaje por mi11a i nduc ido en la linea de

telefonos para ISO A en la linea de potencia.

EI conductor de una linea monofasica de 60Hz es de a lambre solido de aluminio en

forma circula r y tiene un diarnetro de 0.162 pul. El espacio entre conductores es de

9 pie~. Dete rmine la inductancia de la linea en mili henrios por milla . 1.Que parte,

de la induc tancia es debida a los enlaces de flujo interno? Suponga que el e fecto pielse deja de lado. •

Encuentr e la RMG de un conduc tor de tres hilos en funcion del r de un alambreindivi-dual.

Encue~tre la RMG para cada uno de los conductores espec ia les que se encuentran,

en la .f ig . 3 .19 en funcion del radio r de un alambre individual.

La . d1s tancia entre conductores de una linea monofasica es 10 pies. Cada conductor

esta compuesto de sie te alambres iguales. El diarnetro de cada alambre es 0.1 pul.

Encuentre la inductanc ia de la linea en mili henrios pa r mi11a .

Encuentrs la induc tancia en milihenrios por milla y la reac tancia inductiva en oh-

rruos por milia para una linea de transmision monofasica de 60Hz compuesta de

conductores ACSR Ostrich separados pa r IS pies.

Un conductor ACSR t iene una RMG de 0.0133m. Encuentre la reactancia induct iva

de e~te conductor en ohmios por kilometro a I m de separac ion.

i.Cua l de los conduc tores listados en la tabla A.l tiene una reactancia inductiva de0,681n /mi a 7 pies de separacion?

3.13 Los conductores de una linea trifasica estan equilateralrnente espaciados 12 pies.

Los conductores son Oriole. Encuentre la inductancia por faseen mil ihenrios por mi-

lia.

3.14 Una l inea tr ifas ica esta disef tada con espaciamiento equilatero de 16 pies. Se decide

construi r la l inea con espaciamiento horizontal (D13=2D 12=2D23). Los conducto-

res son t ranspuestos . i .Cu31esel espaciamiento ent re conductores adyacentes a f in de

obtener la misma inductancia que en el d isef io or ig inal?

3.15 Una l inea de transrnision tr ifas ica a 60Hz t iene sus conductores dis tr ibuidos en una

formac ion triangular tal que dos de las distancias entre conductores esde 25 pies y

la te rcera es de 42 pies. Los conduc tores son ACSR Hawk. Determine la inductancia

y la r eactancia inductiva por fase y por milia.

3.16 Una linea trifasica de 60Hz tiene un amplio espaciamiento horizontal. Los conduc-tores tienen una RMG de 0.0133 m con 10 m entre conductores adyacentes. Deter-

mine la reactancia inductiva por fase en ohmios por kilometre.

3.17 La linea monofasica del prob. 3.4 se remplaza par una linea trifasica sobre un so-

por te horizontal en la misma posicion que la linea rnonofasica original. El espacio

entre los conductores de La linea de potencia es D13=2D12 =2D23 Y el espaciamien-

to equilatera l equivalente de 8 pies. La linea te le fonica permanece en la posic ion in-

dicada en el prob. 3.4 si la corriente en la linea de potencia es 150 A; encuentre eL

volta je por milia induc ido en la linea te lefonica. Discuta la s r eLaciones de fase de l

voltaje inducido con respecto a la corriente de la linea.

3.18 Una linea trifasica a 60Hz esta compuesta de un conductor ACSR Falcon por fase

con un espaciamiento horizontal de 36 pies ent re conductores adyacentes. Compare

la reactancia inductiva en ohmios por milla y por fase de esta linea con la de una

linea que usa un grupo de dos conduct ores ACSR 26/7 que tienen la misma seccion

de a luminio transversal a la del conductor simple, separado 36 pies del centro de los

grupos. EI espaciamiento entre los conductores en el grupo es de 16 pul.

3.19 Calcule 1a reactancia induc tiva en ohms por milia de un grupo trifasico a 60Hz, que

t iene tres conductores ACSR Rail por grupo con 18 pul entre conductores del gru-

po. EI espaciamiento entre los centros de grupo es 30, 30 y 60 pies.

3.20 Seis conductores ACSR Dove a 60Hz cons tituyen una linea doble t ri fasica dispues ta

como se muestra en la fig. 3.18. EI espaciamiento vertica l es de 14 pies; la distanc ia

horizontal mas larga esde 30 pies y las distancias horizon tales mas cortas, de 24 pies.

Encuentre la inductancia por fase y por milia y la reac tancia induc tiva en ohms porm~ .

3.1

3.2

3.4

3.5

3.6

3 . 7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12



CAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 65

4

\\\

\

\

CAPAC IT ANCIA DE LAS UNEAS DE TRANSMIS ION

Fig. 4.1 Lineas de flujo electr ico

creadas por las cargas positivas uni-formemente repartidas sobre la su-

perficie de un conductor cilindrico

aislado.

" '----

Una tension altema aplicada a una linea de transmision da lugar a que la carga delos

conductores, en cualquier punto, aumente 0 disminuya con el aumento 0 disminucion,

respectivamente, del valor instantaneo de la tension entre conductores, en aquel punto. EI

flujo de la carga es una corriente y la producida por la carga y descarga altemativa deunalinea, debida a una tension altema, sellama c or rie nt e d e c ar ga de la linea. Lacorriente de

carga fluye en una linea de transmision, incluso, cuando esta el circuito abierto. Tiene in-

fluencia sobre la caida de tension a 10 largo de Ialinea, asi, como sobre su rendimiento y

factor de potencia y la estabilidad de la red de laque forma parte lalinea.

Tal como discutimos brevemente al principio del cap. 3, la admitancia paralelo de una

linea de transporte secompone de conductancia y reactancia capacitiva. Tamblen dijimos

que la conductancia por 10comun sela desprecia debido a que sucontribucion a la adrni-

tancia paralelo es muy pequefla. Por esa razon, a este capitulo seIeha dado el nombre de

capacitancia en vez de adrnitancia paralelo.Otra razon para no tener en cuenta la conductancia esque no hay una buena forma

de calcularla debido a que es muy variable. Las fugas de los aisladores, la principal fuen-

te de conductancia, varia apreciablemente con las condiciones atmosfericas y con las

propiedades conductoras del mngre que se adhiere a los aisladores. La corona que produ-

ce fugas entre las lineas, tambien varia mucho con las condiciones atmosfericas, Afortuna-

damente, el efecto de conductancia no esun componente de la admitancia paralelo digno

de tenerse en cuenta.

+La diferencia de potencial entre los conduct ores de una linea de transmision hace que

estos se carguen como las placas de un condensador cuando existe una diferencia de po-

tencia entre ellas. La capacidad entre conductores es la carga por unidad de diferencia de

potencial. La capacidad entre conduct ores paralelos es constante, dependiendo del tamafto

y de la separacion de los conductores. El efecto de la capacidad de lineas demenos deunas

50 mil es pequeflo y se desprecia normalmente. En lineas mas largas, de alta tension, la ca-pacidad llegaa tener gran importancia.

4.1 CAMPO ELECTRICO DE UN CONDUCTOR RECTO DE GRAN

LONGITUD

Lo mismo que para el estudio dela inductancia esde gran interes el campo magnetico, pa-

ra el estudio de la capacidad, 10es el campo electrico. En el capitulo anterior discutimos

tanto el campo electrico, como el magnetico de una linea bifiliar. Las lineas del campo

electrico tienen su origen en las cargas positivas de un conductor y van a las negativas de!

otro. Todo el flujo electrico que naceen un conductor es igual, numericamente. al numero

de culombios de su carga. La densidad de flujo electrico es el flujo electrico por metro

cuadrado, midiendose en culombios par metro cuadrado.

Siun conductor recto, cilindrico y largo tiene una carga uniforme en toda su longitud

y esta aislado de otras cargas, de la forma que la carga este repartida uniformemente en

su superficie, el flujo que produce es radial. Todos los puntos equidistantes de un conduc-

tor deestas caracteristicas son puntos equipotenciales con la misma densidad de flujo elec-

trico. La fig.4.1 represent a un conductor aislado y con una carga repartida uniformemente.

La densidad de flujo electrico a x metros del conductor puede calcularse, considerando

una superficie concentric a al conductor y dex m de radio. Comotodos los puntos deesta

superficie estan equidistantes del conductor, que tiene carga uniformemente repartida, la

superficie cilindrica esuna superficie equipotencial y su densidad de flujo electrico esigual

al flujo que nace en el conductor, por metro de longitud, dividido porel area dela super-fic ie correspondiente a 1 metro de eje longitudinal. La densidad de flujo electrico es



66 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA CAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION67

4.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS

DEBIDA UNA CARGA

La dife rencia de potencia l, en voltios, entre los puntos es igua l numericamente al trabajo

en julios por culombio necesa rio para mover un culombio entre los dos puntos. La in ten-

sidad del campo elect rico es una medida de la fuerza con que una carga esta solicitada en

el campo. La intens idad del campo elect r ico, en vol tios por metro, es la fuerza, en newton

por culombio, que actua sobre un culombio situado en el punto considerado. Entre dos

puntos la integral de linea de la fuerza en newtons que acnia sobre un culombio de carga

positiva, es el trabajo realizado at mover la ca rga desde el punto de potencial mas bajo al depotencial mas alto, siendo igua l, numericamente, a la dife rencia de potencia l entre dos

puntos.

-Cons ideremos un conductor recto , largo con una carga pos itiva de q culombios/rnetro,

tal como 10 indicala fig. 4.2 . A las distancias DI Y D 2 metros, respectivamente, del centro

conductor, estan s ituados los puntos PI Y P2• La carga pos itiva que hay sobre el conduc-

tor ejerce una fuerza que repele las cargas positivas situadas en el campo. Debido a esto y

teniendo en cuenta que m, en este caso, es mayor que D1, hay que realizar un tr aba jo

para I levar la carga posit iva desde P2 a PI, estando, por tanto, PI a mayor potencial que

P2• La diferencia de potencial e s la cantidad de t rabajo realizado por culombio que se t rans-

porta . Por el contrario, a l moverse un culombio de PI a P2 absorbe una energfa, la cualen

newton metro, es la caida de tens ion entre PI y P2. La diferencia de potencial ent re dos

puntos, es independiente del camino recorrido del uno al otro punto. La forma mas senci-

lJa para calcular la caida de tension entre los dos puntos, e s ca lcular la tension que existe

ent re las superf icies equipotenciales que pasan por PI y P2, integrando la in tensidad de

campo a 10 largo de un camino radial entre las superficies equipotenciales. De esta forma,

la caida instantanea de tension entre PI y Pz es

Fig. 4.2 Camino de integracion en-

tre dos punt os exteriores a un con-

ductor cil i ndrico con una carga po-

sitiva uniformemente repartida.

\ +n::-IIP zI D2 II I

/ ,I II I/ I

/ /I

I

D =..!L2 1 1 ' x

(4.1)

donde q es la carga en el conductor, por metro de longitud, y x la di stancia en met ros

desde el conductor hasta el pun to donde se calcula la densidad de flujo electr ico. La inten-

sidad del campo electrico 0 el negativo , del gradiente de potencial, es igual a la densidadde

f l ujo e l ec t ri c o d i v id i d a por la constante dielectric a del medio. De esta forma la intensidad

del campo electr ico es

I) =.L: Vim (4.2)2 1 1 ' x k

tencial es posit iva 0 negativa y de si la ca ida en potencial es calculada del punto mas cer-

cano al conductor a t mas lejano 0viceversa. EI signo de q puede ser positivo 0 negative y

el termino logaritmico , tambien , segun que D sea mayor 0menor que D.

4.3 CAPACITANCIA DE UNA LINEA BIFILAR

La capacidad que existe entre dos conductores de una linea bifilar se definio como la

carga de los conductores por unidad de diferencia de potenc ial entre ellos. La e c ua ci o n de

la capac idad por unidad de longitud de linea es

ID . I D . q q D 2

Vl2 = e dx = -_ dx = -In -D, Dl 2 1 1 'k x 2 1 1 'k Dl

don de q es Ia carga instantanea sobre e l conduc tor, en culombios por metro de longitud.

Notese que la caida de tension entre dos puntos, tal como viene dada por Ia ec. (3.3),

puede ser posit iva 0 negativa, dependiendo de si Ia carga causante de Ia difer encia de po-

V (4.3)

c = gv

donde q es la carga de Ia linea, en culombios por metro, yves lad iferencia de potencial

e .~ tre conductores en volt ios . En adelante , por s impli ficar, hablaremos de capacidad, ref i-

nendonos a la capacidad por unidad de longitud, poniendo correctamente las dimensiones

de las ecuaciones deducidas. La capacidad ent re conductores puede encontrarse sus ti tu-

yendo en la ec. (4.4), el valor de v, en funcion de Q, deducido dela ec. (4.3). La tension

vab entre los dos conductores de la linea bifllar de la fig. 4.3 se h alla determinando la

diferencia de potencial ent re eIlos, calculando, en primer lugar, la cafda de tension debidaa la carga Qa del conductor a y, a continuacion, la deb ida a la carga qb del conductor b.

Por el principio de superposic ion, la ca ida de tension de l conductor a al b, debida a las

cargas de ambos conductores, es la sum a de la s caidas de tension produc idas par cada una

de las cargas independientes.

Consideremos Ia carga Qa del conductor a y supongamos que elconductor b no tiene

carga, s iendo, linicamente, una superficie equipotencial en el campo creado por la carga de

a . La superficie equipotencial del conductor bylas deb idas a la ca rga a se representan en

la f ig . 4.4. La distorsi6n de las superficies equipotenciales en las proximidades del conduc-

F/m (4.4)

I En uni dades SI la constante dielectrica del vado ko es 8.85 X 10-12 F1m . La

constante dielectrica relativa kr esla relacion de la constante dielectIica dtl l mate-rial, k y la del vacio. Asi, kr =k/ "0.

Fia.4.3 Secci6n transversal deuna linea de bilos paralelos.



68 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA69

to b, es deb i da a que estetambien es una superf icie equipotencial. La ec. (4.3) se dedujo

suponiendo que todas las superficies equipotenciales, debidas a la carga unifonne de un

conduc tor de seccion circular, eran cilfndricas y concfntricas can el conductor. Esto es

cierto en nuestro caso, salvo en la zona pr6xima a b. El potencial del conductor b es el de

la superf icie equipotencial que Iecorta. Por tanto, al detenninar v"b puede seguirse un ca-

mino que vaya del conductor a a la superf icie equipotencial que corta a b, pasando por

una zona en la que no estan distorsionadas las super ficies equipotenciales. El camino a 10

largo de la superficie equipotencial hasta b no supone cambio alguno de tension. Esta

l inea de integraci6n esta indicada en la f ig . 4.4 junto con elcamino directo . Naturalmente,

la diferencia de potencial es la misma independientemente del camino a 10largo del cual se

hace la integracion de la intensidad del campo . Siguiendo el camino que a traviesa la zona

sin dis tors ion, las dis tancias correspondientes a D2 y D1, de la ec. (4.3) son D y ra, res-pectivamente, al detenninar la vab' deb i da a 'l«: Al determinar la vabdebida aqb las dis-

tancias a cons iderar son rb y D, respectivamente. Pasando a la notacion vectorial (qa y qb

son nurneros complejos) tenemos

qo D qb TbVab=-In-+-In- V (4.5)

2 1 f ' k ro 2 7 T k D'----v-~ ~

debida a q" debida a q b

Fig. 4.4 Superficies equipotenciales

en una parte del campo elect rico

producido por un conductor carga-

do a no represent ado en la figura.

El conductor b hace que sufran dis-

torsion las superficies equipotencia-

les. Las f lechas indican posibles ca-

minos deintegracion entre un punto

de la superficie equipotencial b y el

conductor a, cuya carga q da lugar

a las superf icies equipotenciales di-

bujadas.

y como q" =-qb para una linea bifilar,

V a b =~ (InQ - In~)2 1 f ' k To D

o agrupando los terminos logarftmicos.

V

CAPACITANCIA DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION

V (4.7)

La capacidad ent re conductores es

F/m (4.8)

integracion

entre a y b

Haciendo la convers ion a microfaradios por mil la , cambiando Ia base del termino logar it-

mico y suponiendo una constante dielectrica relativa k; = 1.

C a b = 0.0388

log (D2/roT'b)# - I F / r n i (4.9)

C a b = 0.0388

2 log (Dlr)

0.0194

log (Dlr) (4.10)

La ec. (4.10) da la capacidad entre los conductores de una linea bifiliar. A veces con- .

v!ene ~onocer. la ~apacidad entre uno de los conductores y un punto neutro. Por ejemplo,

SI l a h n ea esta ahmentada por un transfonnador que tiene una derivacion central a tierra,

la diferencia de potencial ent re cada uno de los conductores y tierra es Ia mitad de la exis-

tente entre ambos conductores; y la c ap a ci da d r es pe ct o a t ie rr a, 0 c a pa c id a d r es p ec to a l

neutro es lacarga de un conductor por unidad de diferencia de potencial ent re conductor y

tierra. De esta forma, Ia capacidad respecto al neutro de una linea bifilar es dos v ec es la

capacidad en tre conduc tores. Si consideramos a esta fonnada por dos capacidades iguales

en ser ie, Ia tension de Ia linea se reparte por igual entre los dos, estando el punto de union

de ambos al potencial de tierra. Asi, Ia capacidad respecto al neutro es una de dos cap a -

cidades iguales en serie 0 dos veces Ia capacidad entre conductores.

0.0388C; = Ca. = C~n= ----

log (DIT)# - I F Imi respecto al neutro (4.11)

El concepto de la capacidad respecto al neutro viene representado en la f ig . 4 .5 .

La ec. (4.11) se corresponde con la (3.37), encontrada para la inductancia . Observan-do atentamente ambas ecuaciones, seve una diferencia . El radio que figura en la ecuacion

de Ia capacidad es el radio exterior del conductor, mientras que el de la inductancia es la

RMG.

La ec. (4.3), de la que se derivan las (4.5) y (4.11), esta basada en el supuesto de dis-

tribuc ion uniforme de Ia carga sobre la superficie del conductor. Si existen otras cargas,

a0--J( n I f - = C YC••=2C.b Cb.=2C.6

(b) Representacion de la capacidad entre

conductor y neutro4.6)

C

(a) Representacion de la capacidad ent re

conductores

Fia· 4.5 Relaci6n entre los conceptos de capacidad ent re conductores yentre conductor y neutro.



70 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIACAPACITANCIA DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION

71deja de cumplirse la uniformidad supuesta, por 10 que las ecuaciones deducidas de la

(4.3) no son estrictamente c ier tas. La falta ' de uniformidad en la distribuc ion de cargas,

sin embargo, puede ser totalmente olvidada en la s l fn e as a e re a s de transporte , como indica

la tabla 4.1.

AI t ra tar de aplicar la ec. (4.11) a un cable trenzado, surge la dud a del valor que se ha

de poner en e l denominador del argumento de lloga ritmo puesto que la formula se dedujo

para un conduc tor macizo de seccion circular. Dado que el flujo elect rico es perpendicular

a la superficie de un conductor perfecto, el campo electrico en la superficie de un conduc-tor trenzado no es e l rnismo que e l campo electrico en la superficie de un conductor cilin-

drico. P or otra parte, la capacidad de un cable trenzado, calculada por la ec. (4.11),

tomando para r el va lor del radio exte rior del cable, ser a ligeramente erronea por la dife -

rencia entre el campo en las proximidades del cable y el campo alrededor del conductor

mac izo pa ra e l que se dedujo la ec. (4.11). Sin embargo, el error espequeno, debido a que

la diferencia senalada solo afecta a la zona mas inmediata al conductor. Por tanto, para

calcular la 'capacidad de los cables t renzados se emplea el radio exterior del rnismo.

Una vez encontrada la capacidad respecto al neutro, la reactancia capacit iva ent re un

conductor y el neutro viene dada por

La tabla A.I incluye los valores de X' para los t am a no s c om u n d ACSR' .. '1 a es e , existen tablasSImI ares para conductores de otros tipos y tamanos La tabla A 3 did I

. . a va ores eX d'

EJEMPLO 4.1 Encuentre la susceptancia capacitiva po r milia d I' f :" .de una mea mono asica

ope ran 0 a 60 Hz. EI conductor esPartridge y estan separados por 20' tpies en re centros.

So1uci6n Para este conductor la tabla A.I da un diametro exterior de 0.642 pulga.

das aSI:

0.642T = 2 X 12 = 0.0268 pies

de la ec. (4.12)

X 4.10 20

o = 60 X 106

log 0.0268 = 0.196 X 108 n·rni respecto al neutro

1 4.10 DXc =-- = - X 106 log-

21ffC f rn· mi respecto al neutro (4.12)

1be =X- = 5.10 X 10-6 U/rni respecto al neutro X

c c

o en terminos de reactancia capacitiva a una sepa racion de un pie y el factor de separa "d I tanci .. d I cione a reac aneta capacitiva, e as tab l as A.1 y A.3

X~ =0.1074 Mn'mi

X~ = 0.0889 Mn·mi

Xc = 0.1074 + 0.0889 =0.1963 Mn·rni por conductor

La reactancia y la susceptancia capacit ivas, l inea a linea son:

Xc = 2 X 0.1963 X 106 =0.3926 X 10 6 n.mi

1be =Xc = 2.55 X lO-sll/mi

Pues to que C en la Ec. (4.1 2) esta dado en faradios por mi lia , las unidades apropiadaspara

Xc son ohm-rnilla. Tambien debe notarse que la ec. (4.12) expresa la reactancia de la

lfnea al neutro, para una milia de linea. Puesto que la reactancia capacit iva existe en para-

lelo a 10 largo de la linea Xc en ohm-mi l la , debe dividirse por la longi tud de la linea en

mi llas para encontrar la reactancia capacit iva to tal de la l inea al metro.

La tabla A.I da el di :imet ro exter ior de los tamanos mas usados de ACSR. En la ec.

(4.12), si D y r est a n en pies la reactancia capacitiva a una separacion de un pie X~ es el

primer termino y el factor de separacion de la reactancia capacit iva X~ es el segundo

termino cuahdo la ecuac ion se expande como sigue .

X4.10 1 4.10

c =- X 106 log- + - X 106 log D

f T f

n'mi respecto a l neu tro (4.13)

Relacion D]» Porcentaje de er ror en la

ec. (4.11)

4.4 CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA. CON DISPOSICION EQUILATERA

~ fig. 4.6 representa los tr es conductores identicos de radio r de una l inea t ri fasica can

dlSposicion equilatera. La ec. (4.5) expresa la tensi6n entre dos conductores deb i da a las

c~rgas en cada uno, si se asume una distribuci6n uniforme de carga. La tension V de la

Imea trifasica debida unicarnente a las cargas en los conductores a y b es ab

Tabla 4.1 Error que se introduce al suponer una Dis-

tribucion uniforme de la carga en el calcu-

10 de la capacidad de una l inea bi fi liar.

10

20

SO

100

200

0.44

0.084

0.010

0.002

0.0005

1 ( D T )V db =21rk qo In -; : + qdn D

'----...-------deb ido a qa Y Qb

v(4.14)

La ec. (4.3) nos perrni te incluir el efecto de q puesto que la dl'stn'buc'6 .., d. e 1 n umtorme e car-

ga sobre el conductor es equivalente a concentrar la carga en el centro del conductor: rtanto, debida solo a la carga qc' po



72 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA CAPACITANCIA DE LAS L1NEAS DE TRANSMISION 73

Fia. 4.6 Seccion t ransversal de una

l inea t ri fasica con disposicien equi -

latera. a

Sust ituyendo 3 Va n por Va b + V ac en Ia ee. (4.18):

V =~lnQGO 2 1 1 ' k r

v (4.22)

Como la eapacidad respeeto al neutro es la relacion entre la carga en un conductor y la

tension entre este y neutro,

C " =~ = 2 1 1 ' k

V". . In (D/r)F/m, respecto al neut ro (4.23)

DPara una constante dielect rica relativa de k ; =1.

q. DV.. = -In-

2 1 1 ' k Dv

C « = 0.0388

log (D/r)JJ . F/mi, respecto al neutro (4.24)

Anlilogamente

1 ( D . D r )V GO = 2 1 1 ' k q.ln -;:-+ qb In D + q. In D

sumando las ecs. (4.15) y (4.16) tenemos

v (4.16)

Comparando la ec. (4.24) con la (4.11) vemos que son las mismas. Estas ecuaciones

dan la capacidad, re specto al neutro, de la s lfneas tr ifa sicas, con disposicion equilatera y

monofasica, respectivamente. En el cap. 3 ya vimos que las f6rmulas de la inductancia por

conductor eran las mismas para una linea monofasica que para una trifa sica dispuesta en

triangulo equilatero.

A la corriente asociada a la capac idad de una linea se la llama c om en te d e c ar ga .Enun circuito monofdsico, la corriente de carga e s eJ producto de la tension entre conducto-

res por la susceptancia ent re elIos , 0bien, vectorialmente

10 cual es cero puesto que qc es equidis tante de a y b. Sin embargo, para mostrar que

consideramos las t res cargas, podemos escrib ir .

v (4.15)

(4.25)

v (4.17)

Enuna l inea tr ifasica, la corriente de carga se encuentra multiplicando la tension respecto

al neutro por la susceptancia capac itiva respecto al neutro. Este producto da la corriente

de carga por fase, y esta de acuerdo con el calculo de circuitos trifasicos equilibrados

basado en una sola fase y retorno por el neutro. La corriente de carga, vectorial, en la fase

a es:Derivando estas ecuaciones hemos supues to una t ierra 1 0 suficientemente lejos para des-

preciar su efecto . Puesto que se suponen tensiones s inusoid ales y seexpresan como vecto-

res, las cargas son sinusoidales y se expresan como vectores. Si suponemos que no exis ten

otras cargas prexhnas a conductores, la suma de las cargas de los tre s conductores es cero,

pudiendo sustituir -qa en la ec. (4.17) por qb + qc, con 10 que tenemos:

3q " DV.. + V.. = -In-

2 1 1 ' k r

Jerg =j ", C . . V" " A/mi (4.26)

Puesto que la tensi6n rms varia a 1 0 largo de la linea, la corriente de carga no es lamisma en todas parte. Frecuentemente la tension usada para obtener el valor de la co-

v (4.18)

V.. = .y3V" ..(0.866 + jO.5)

V.. = - Ve" = V3V ....0.866 - jO.5)

Sumando las ecs. (4.19) Y(4.20) se obt iene:

(4.19)

(4.20)

V o .

La f ig. 4.7 es el d iagrama vectorial de tensiones. De esta f igura se obt ienen las s iguien-

te s relaciones entre la s tensiones de linea Va b Y Va c y la tension Vein entre a y el neutro

del circuito trifasico:

V.. + V.. = 3V...(4.21)

Fia. 4.7 Diagrama vectorial de las

tens iones equi libradas de una l inea

trifasica.



74 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIACAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION

7Srriente de ca rga es la tension normal para la cual se disena la linea 220 < > 500 kV, la cual,

probablemente no es la tension real en la estacion generadora 0 en la carga.

Cuando los conductores de una l inea t rifasica no estan dispuestos en t riangulo equi lateroe l c a lcu lo de su capacidad es mas dificil. Si la linea no tiene transposicion, las capacida -

des de cada fase, respecto al neut ro , son dis tin tas. En una linea con transpos icion, la capa-

cidad med ia , respecto al neutro, de una de las fases, en todo el cicIo de transposicion, es

igual a la de cua lquie r otra, puesto que todos los hilos de fase ocupan la misma posicion

durante identico recorrido a 10 largo del cicIo de transposicion. La asimetria de las lineas

sin transposicion es pequeiia en las disposiciones corrientes, y por tanto, se calcula la

capacidad como si tuvieran transposicion.

Para la linea que se ensena en la fig. 4.8 se encuentran tre s ecuaciones pa ra Vab para

las tres diferentes partes del ciclo de transpos ici6n . Con la fase a en la posicion 1p en la 2

y c en la 3,

1( Da r Dta)V"" =2-k qaln - + qb In D-+ qe ln D-

.. r· 12 II

r espec to a los otros conductores. EI operar con las ecs. (4.27) a (4.29) como se hizo con I(3.65) a (3.67), no serfa exacto. as

. La soluci6n rigur~sa d~ ~~capacidad esdemasiado compIicada, por 1 0 que no es prac-t ica, excepto para la disposicion en un plano con igual separacion ent re conductores adya-

centes: Para los conductores y colocaciones corrientes se obt iene suficiente precis i6

s~~omendo q~e la carga por unidad de longitud de un conductor es igual en todas las pn,srcrones del c~cIo de transposicion. Con esta hipotesis, la tension entre cada par de co:'

ductores es ~ .Iferente a 10 la rgo del cicIo de transposicion, puede hal larse un valor medio

par~ la tension entre conductores y, a pa rtir de ella, la capac idad. La tension media se

obt I~ne sumando las ecs . (4.27) , (4.28) y (4.29) y dividiendo la suma por 3. La tension

medl~ entre los co~d~.ctores a y b, supuesta la igualdad de ca rga de un conductor, inde-pendiente de su POSICIonen el cicio , es

4.5 CAPACI1ANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON DISPOSICIONASIMETRICA

VI (D12D2/lD31 r D D D )""= - g a In + qdn + 1 III 23 31

6 1 1 " k r D nD g c nJ2.U'ta 31 DIllD23D31

v (4.27)v (4.30)

don de

Con a en la posicion 2, ben la 3 y c en la 1,

(4.31)

v (4.28)Analogamente, 1acaida de tension media ent re el conduct~r a y el c es

Con a en la posicion 3, b en la 1 y c en la 2,

v (4.29)

VI ( D e q r )4C = 2..k q a I n - ; :- + g c In D eq

Aplicando la ec. (4.21) , para encont rar la tens ion , respecto al neutro, tenemos

v (4.32)

Las ecs. (4.27) a (4.29) son de forma semejante a las (3.65) a (3.67) que dan los enla-

ces de flujo de un conductor de linea con transposicion. Sin embargo, en las ecuaciones

para enlace de f lujo notamos que la corriente en cualquier fase era la misma en cualquierparte delciclo de transposicion , En las ecs. (4.27) a (4.29) , s idespreciamos la caida de ten-

sion, a 1 0 largo de la linea , la tension, respec to al neutro, de una fase en una de las posicio-

nes del cicio es iguaI a la tension, respecto al neutro, de esa misma fase en cualquiera de

las ot ras posiciones del cicIo. De aquf se deduce que la tension entre dos conductores

cualesquiera es la misma, cualquiera que sea la pos icion dent ro del cicIo de t ranspos icion y,

por tanto, que la carga de un conductor tiene que se r distinta segun la posicion que ocupa

3V a" = V "" +r,= _1-(2galn Deq + qb ln..!.... + q In..!....)

2 1 1 " k r D c Deq eq

v

Como g . + q b + g c = 0 en un circuito trifasico equilibrado,

3V 3 -o ;an = -galn- V

2 7 r k r

(4.33)

(4.34)

Fig. 4.8 Seccion transversal de una

linea trifasica con disposicion asi-metrica,

F/m, respecto al neutro (4.35)

Para una constante dielectr ica relat iva de k I ,

0.0388C; =

log (D04/r)IlF/mi, respecto al neutro (4.36)



76 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA CAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 77

La ec. (4.36) que da la capacidad, re specto al neutro, de una linea trifasica con transposi-

cion se corresponde. con la (3.70) de la inductancia por fase de una linea de las mismas

caracteristicas que la anterior. Para encontrar la reactancia capacitiva con respecto al

neutro correspondiente a la reactancia puede divid irse en componentes de reactancia ca -

pacitiva a neutro con separacion de I pie X~ y el factor de separacion de la reactancia ca -

pacitiva X d , como se defmi6 en la ec. (4.13) .

Reactancia capacitiva0.1866 X 106----- =1 066 n respecto al neutro

175

habrfa si no existie ra la supe rfic ie equipotencial de la tierr a. EI campo se ve influido por la

existencia de la superf icie del suelo. Naturalrnente, el supues to de una superficie equipo-

tencia l, plana , esta limitado par la irregularidad del terreno y par el tipo de superficie de la

t ierra. S in embargo, nos perrni te cornprender la influencia de una t ierra conductora sobre

los calculos de la capacidad.

Consideremos un c ircuito formado par un solo conductor aereo y retorno por tier ra.

AI cargarse el conductor , l as cargas vienen desde t ierra a colocarse sabre el conductor , esta-bleciendose una difer encia de potencial entre el conductor y tierr a. Esta tiene una carga

igual a la de l conductor en valor absoluto, pe ro de signo contra rio. EI flujo e lec trico entre

las cargas de l conduc tor y las de tier ra, es pe rpendicula r a la super fic ie equipotencial del

suelo, puesto que suponemos que esta superf icie es un conductor perfecto. Cons ideremos

un conductor imaginario del rni smo tamafio y forma que el real, s ituado exactamente deba-

jo de este y a una distancia de e l i gual ados veces su distanc ia a la super fic ie del suelo. EI

conductor imaginario estaria debajo de tier ra a una distancia de e lla igual a la del conduc-

tor real. Si suponemos que el conduc tor ficticio tiene igual ca rga pero opuesto sentido que

el real y que la tierra no existe, el plano equidistante de ambos conductores ser ia una su -

perficie equipotencial y ocuparia la misma posicion que la supe rficie equipotenc ia l del

suelo. EIf lu jo elect rico entre el conductor aereo y aquel la superficie equipotencial ser ia el

mismo que el que existe entre e l y tierr a. Debido a esto, para los calculos de capacidades,

puede reemplazarse el suelo por un conductor ficticio ca rgado situ ado debajo de tierra y

a una distancia de ella igual a la del conductor aereo sabre la superficie del suelo. El con-

duc tor asi definido tiene una carga de igual va lor y opuesto sentido que la del conductor

real, llamandose imagen del conductor.

EI metoda de calcular la capacidad sustituyendo el suelo por la imagen del conductor

aereo puede extenderse a mas de un conductor. Si colocamos un conductor imagen por

cada aereo, el f lujo entre estes y sus correspondientes imageries es perpendicular alp lano

que sustituye al suelo, siendo aque l una super fic ie equipotenc ial. EI flujo por encima de

este plano es el mismo que existe cuando esta el suelo en lugar de los conductores imagen.

Para apl icar este metoda al calculo de la capacidad de una l inea t ri fasica, nos apoyare-

mos en la fig. 4.9. Supondremos que la linea tiene transposicion y que los conduc tores a,

bye t ienen las cargas qa qb qc' ocupando las posiciones, 1 ,2 ,3 , respect ivamente, en la

primera pa rte del cicio de transposicion. EI plano de tierra esta r epresentado y, debajo de. el, los conductores con las cargas imagen -qa -qb y -qc' Las ecuaciones que dan la ten-

si6n entre los conductores a y b, en las t res pos iciones del ciclo de transposicion, pueden

escrib irse , apl icandolas al s is tema formado por los t res conductores y sus respect ivas ima-

genes. Con el conductor a en la posici6n 1, b en la 2 y c en la 3, tenemos:

VI [ ( D 1 2 H 1 2 ) ( r H 2 ) ( D 2 3 H 2 3 ) ]ab = 2 1 r k q a In ---:; - In H I + q b In DI2 - In H I 2 + q c In D3 J -In H3 J

EJEMPLO 4.2 Encontra r la capacidad y la reactancia capacitiva por milla de la l inea del

ej. 3.5. Si la linea tiene 175 mi y funciona a 220 kY, encontrar la reactancia capacitiva,

con respecto al neutro, la corriente de carga por mi lla y lacarga total en megavoltioamperios.

Solucion

. 1.108 62 .r = -- = 0.04 pIes

2 X 12

D e q =24.8 pies

C n =0.0388 F/ al

------.,- = 0.01421 I-' mi, respect a neutrolog (24.8/0.0462)

106

Xc = 21r60 X 0.01421 = 0.1866 X 106n·mi , respecto al neutro

6 de las tablas

X~ = 0.0912 X 1Q 6 X~ = 0.0953 X 106

X~ = (0.0912 + 0.0953) X 106 = 0.1865 X 106 n 'mi respecto al neut ro

Para una longitud de 175 mi

220000 .leh. = 1 1 ' 6 0 vs X 0.01421 X 10-6 = 0.680 A/ml

60.680 X 175 = 119 A para lal inea. Lapotencia react iva esQ = vs X 220X119X 10-3 =

45.3 Mvar. Esta cantidad de potencia r eactiva absorbida par la capac idad distribuida es

negat iva, de acuerdo can las convenciones discutidas en el cap . 2 . En otras palabras, se esta

generando potencia react iva posi tiva par la capacidad dis tr ibuida de la l inea.

4.6 EFECTO DEL SUELO SOBRE LA CAPACITANCIA DE LAS LlNEASTRIF ASICAS DE TRANSMISION

(4.37)

Ecuaciones analogas de Vabpueden encontrarse para las ot ras pos iciones del cicIo de trans-

posic i6n. Aceptando el supuesto casi correc to de la constanc ia de la carga por unidad de

longitud de cada conductor a 10 largo del c icio de transposicion, podemos obtener un va -

lor medio para el vector Vab· La ecuaci6n para el valor medio de Vacse encuentra de igualforma, obteniendose 3 Vn sumando los valores medios de Vab Y Vac' Sabiendo que la su-

rna de las cargas es cero, tenemos

EI sue lo influye en la capacidad de una linea de transporte , debido a que su presenc ia mo-

difica el campo elect rico de la linea . Si suponernos que la tierr a es un conductor pe rfecto

de forma plana, horizontal, y prolongado has ta el inf in ito , comprobaremos que el campo

elect rico de los conductores cargados, por encima del suelo, no es el mismo que el que



78 ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIACAPACITANCIA DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION 79

cion para la tension del conductor a al conductor b, de la misma forma en que se derive la

ec. (4.27), teniendo en cuenta que ahora debemos considerar las cargas en todos los seis

conductores. Los conduc tores de cualquier agrupacion estan en pa ralelo y puesto que la

separacion entre agrupaciones es normalmente mas de 15 veces la separacion entre los

conductores del grupo. Tarnbien podemos usar Dlt en lugar de las distancias D u + d y

Dn - d, puesto que D 1 2 es rnucho mas grande que d y hacer otras sustituciones similares

a las distancias de separacion de los grupos, en lugar de usar las expresiones exactas quedeberian emplearse para el calculo de Vab• La diferencia debida a estas aproxirnaciones no

puede detectarse en el resultado final, para las separaciones normalmente usadas aun cuan-

do los calculos sean llevados a cinco 0 seis cifras significativas.

Si la carga en la fase a es qa, los conductores a y a', tienen una carga de qa/2, (a') la

misma divis ion de carga se supone para las fases bye. Par tanto,

qc ( o; D u ) ]- In-+ln-2 o; D31~ '---v--

e .'

Las letras bajo cada termino logarftmico indican el conductor cuya carga es tenida en

cuenta para tal terrnino. Simplificando, tenemos

VI (D12 VT d D2S)ab = 21fk q. In VT d + qb In D

tt+ qc In D31

(4.39)

(4.40)

#'F / rn i, respecto al neutro

La ec. (4.40) es igual a la ec. (4.27), excepto queVrd ha remplazado a r. Por tanto , s icon-

sideramos una linea can transposicion, encontramos

C _ 0.0388n - log (Deq/ VTd) #'F/mi respecto al neutro (4.41)

La V,d es la misma D.~para un grupo de dos conduc tores, excepto que r se remplaza por

f J s . Esto nos conduce a la importante conclusion de que el rn eto do D M G modificado se

aplica al calculo de la capacidad de lineas trifasicas de conductores agrupados, teniendo

dos conductores por grupo. La modificacion es que usamos el radio exterior en lugar del

RM G del conductor sencillo.

Es logico conclu ir que el r ne to do DMG modificado se apl ica a otras configuraciones de

agrupaciones. Si ulizamos la anotacion Dfc para el RMG modif icado en el calculo de Ja

capacidad, para distinguirlo del Dba empleado en el calculo de la inductancia , tenemos

Fig. 4.9 Linea trifasica y su imagen.

(4.38)

Comparando las ecs . (4.36) y (4.38), se ve que el efecto del suelo es incrementar la

capacidad de la l inea, puesto que al denominador de la ec. (4.36) hay que restar le el termi-

no log( ~H12H23H31/\lH1H2H 3) . Si la distancia de los conductores al suelo es muygran-

de comparada con la que existe entre ellos, las distancias en diagonal, que figuran en el

numerador de l t ermino que tiene en cuenta la presencia del suelo, son casi iguales a las que

f iguran en e l denominador, por 10 que dicho termino es muy pequefio, Este caso es el co-

rriente y elefecto del suelo se desprecia para las line as tr ifas icas, excepto en aquellos calcu-

los, por componentes simetricas, en que la suma de las tres corrientes de hneas no es igual

a cero.

t---D31---~

_-- Dl2 · _ - · _ · - - - 1 . . . . . . .- - - D23---l

a 0 0a' boo Ii

r-d--t I--j

Coo e:

I - d - f

4.7 CONDUCTORES AGRUPADOSUna l inea de conduct ores agrupados se muest ra en la f ig. 4 .10; podemos escribi r una ecua-

Fig. 4 .10 Seccion t ransversal de una l inea t rifbica deconductores agrupados.



80 ANALISIS DE SISTEMAS ELECfRICOS DE POTENCIA CAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION81

para el grupo de tres hilos

n : c = Vi(r X d X d)3 =#

y para el grupo de cuatro hilos

D:c = ~(r X d X d X d X 2112)' = 1.09#

(4.44)

en el ej. 3.7 excepto que se usa el radio exter ior del conductor Ostrich en lugar del RMG.

EI radio exter ior del ACSR Ostrich 26/17 es de 0.680 pulgadas.

0.680r = 2 X 12 = 0.0283 pies

D:c = (v'26.9 X 0.0283 V21 X 0.0283 v'26.9 X 0.0283) 1/3

v'0.0283 (26.9 X 21 X 26.9)1/8 = 0.837 pies

O n_ _ 0.0388------ =0.03021- ' F/mi por fase respecto al neutrolog (16.1/0.837)

0.0388O n = b

log (Deq/ D,c)

Entonces para el grupo de dos hilos

D!c = Vi(r X d)2 = v'rd

I 'F /mi respecto al neutro (4.42)

(4.43)

(4.45)b. = 27(10 = 27r60 X 0.0302 = 11.39 J o I l l Imi por fase respecto al neutro,

EJEMPLO 4.3 Encuentr e la capacidad por milia respecto a l neutro y la reactancia capaci-

t iva en ohmios-mi l la por fa se de la l inea descri ta en el ej. 3.6 .

1.382 .r = -- = 0.0576 pies

2 X 12

n : c = v'0.0576 X 18/12 = 0.294 pies

Deq = {I24 X 24 X 48 = 30.2 pies

0.0388 93 F I . I tO ft = = 0.01 I-' rm respecto a neu rolog (30.2/0.294)

4.9 RESUMEN

La semejanza entre los calculos de la inductancia y la capacitancia se ha enfatizado a traves

de nuestro estudio. Se recomiendan los programas de computador para la determinacion de

gran mimero de capacidades, como en el caso de los calculos de la inductancia. A excep-

c ion de las lineas de circuitos paralelos, las tab las como la A.l y la A.3 s impl if ican los

calculos.

Las ecuaciones apropiadas para la capacidad respecto al neutro de circuit os tr ifas icos

simples son.

Solucion Del diametro dado en la tabla A.I

C = 0.0388

log (Deq/ D.c)I-'F/mi respecto al neutro

o

Xc = 10' = 0.1375 X 108 ! l·mi por fase respecto al neut ro .211"60X 0.0193 F/m respecto al neutro

4.8 LINEAS TRIFASICAS DE CIRCUITOS PARALELOSHemos notado a t raves de nues tro estudio la semejanza de las ecuaciones para la inductan-

cia y la capacitancia. Se encontro el metoda DMG modificado para apl icarse en el calculo

de la capac idad de line as de conductores agrupados. Pudimos mostrar que este metoda es

igualmente valido para line as trifasicas con transposicion y separacion equilatera (conduc-

tores en los vertices de un hexagono) y para separacion de plano vertical (los conductores

de las tres fases de cada circuito permanecen en el mismo plano vertica l). Es razonable su-

poner que el metodo DMG modificado se puede usar en arreglos inte rmedios entre sepa-

racion equilatera y de plano ver tical. EI metodo se usa generalmente aun sin hacer trans-

formaciones. Un ejemplo eli suficiente para ilustrarlo.

Cuando k para el espac io libre es 8 ,8 SX 1 0- 12 F /m y Dsc es el radio exterior del conductor

de una linea que consiste de un s610 conductor por fase. La reactancia capacit iva enohmios mi lia es 1/2Tr!C, donde C esta en faradios por milla, asi a 60 Hz.

Dx; =0.0683 X 1Q61og D"'I

.c! l·mi respecto al neut ro

o

XD C Q

C = 4.77 X 1071n-D.c

n·m respecto al neutro

Soluci6n Del ejemplo 3.7, DOQ'"" 16.1 pies. EI caldulo de D:c esel mismo que D.p

D eq y D I S C deben estar en las mismas unidades, generalmente pies. Para conductores agru-

pados D:c• como se defini6 en la sec. 4.7 se sustituye por Du' Tanto pa ra !ineas de con-

ductores simples como agrupados,

De q = ~D • .D•.D.4

EJEMPLO 4.4 Encuentre la susceptancia capacitiva con respecto a l neutro por milia por

fa se de la linea de doble cir cuito ilustrada en el eje. 3.7.



8 2 ANALISIS DE SISTEMAS ELEcrRICOS DE POTENCIACAPACITANCIA DE LAS LlNEAS DE TRANSMISION 83

Para lineas de conductores agrupados Dab ' Dbc y Dca' son las distancias ent re cent ros de los

grupos de las fases a, b y c.

Para !ineas corr conductor por rase es conveniente determinar Xc suman do X~ para

el conductor segun la tabla A.I a X d correspondiente a Deq segun Ia tabla A.3.

La capacidad y l a reactancia capacit iva de l ineas de circuitos paralelos se encuentran

s iguiendo el procedimiento del ej. 4.4.

entre los conductores del grupo. La separacion entre los centros de los grupos es

30, 30 y 60 pies.

4.9 Una linea trifasica de doble circuito a 60 Hz esta constituida por conductores Dove

ACSR como 10 muestra la fig. 3.18, con la salvedad de que la separacion vertical e s

de 14 pies; la distancia horizontal mas larga es de 30 pies y la mas corta de 24 pies.

Encontrar la reactancia capacitiva respecto al neutro en ohmios-mi lla y la corriente

de carga por mil la , fase y conduc tor a 138 kV.

PROBLEMAS

4.1 Una linea de transporte trifasica, esta dispuesta en un plano horizontal, con una se-

pa racion entre conductores adyacentes de 6 pies. En un cier to instante , la ca rga en

uno de los conductores extremos, es de 0.1 em/mi. siendo la de los otros dos

- 0:05 mC/mi. EI radio de cada conductor, es 0.1 pul. Despreciando el efecto del

suelo, encontra r la tension en e l instante considerado entre los dos conductores

igualmente cargados.

4.2 A 60 Hz la reactancia capacitiva, respecto al neutro, de un conductor macizo perte-

neciente a una linea tr ifas ica con distancia equivalente ala disposicion equi latera de

4 pies, es de 186 kn /mi. ~Que reactancia dar la una tabla de reactancias reactivas del

conductor a I pie de separacion para 2S Hz? ~Cual seria la seccion del conductoren circular mils?

4.3 Deducir Ia formula de la capacidad por milla de una linea monofasica, teniendo en

cuenta el efecto del suelo. Empleese la misma nomenclatura empleada en la deduc-

c ion de la ecuacion de la capac idad de una linea trifasica, en la que el e fecto del sue-

10se representaba por las cargas imagen.

4.4 Calcular la capacidad por milla, respecto al neutro, de una linea monofasica, for-

mada por dos conductores distanciados 10 pies entre si y 25 pies del suelo. Compa-

rar el valor encontrado con el obtenido por medio de la ec. (4.11) con la hallada en

el prob. 4 .3 .

4.5 Una linea trifasica de 6"0Hz, tiene sus conductores en formac ion triangular, de tal

forma que dos de las distancia s entr e conductores son 25 pies y la te rcera es 42 pies.

Los conductores son Hawk ACSR. Determinar la capacidad con respecto alneut ro ,

en microfaradios por milla y la reactancia capacitiva respec to al neutro en ohmios-

milla. Si la linea tiene 150 millas de longitud, encuentre la capacidad con respecto

al neut ro y la reactancia capacitiva de la l inea.

4.6 Una linea trifasica a 60 Hz esta dispuesta en un plano horizontal. Los conductores

tienen un diarnetro exterior de 3.28 cm con 10 m entre conductores . Determinar la

reactancia capacitiva con respecto al neutro en ohrnios-metro y la reactancia capaci-

tiva de la linea en ohmios si tiene 100 milla s de longitud.

4.7 Una linea trifasica esta compuesta de un conductor Falcon ACSR por fase, y dis-

puesta en un plano horizontal con 36 pies de separac ion entre conductores adyacen-

tes. Comparar la reac tancia capacitiva en ohmios-milla por fase con la de una linea

que tiene un grupo de dos conductores ACSR 26/7, que tienen la misma seccion

t ransversal total de aluminio que la linea de conductor senci llo y la misma separacion

medida ent re grupos. La separacion entre los conductores de un grupo es de 16

pulgadas.

4.8 Calcular la reactancia capacitiva en ohmios-milla de una linea trifasica de 60 Hzagrupada que tiene tres conductores Rail ACSR por grupo con 18pies de separacion

Documents

cap. 2,3 y 4