Universidad Nacional de Ingeniera P.A. 2010-1Facultad de Ingeniera MecnicaDepartamento Acadmico de Ingeniera Acadmica

Anlisis de Sistemas Lineales - Espacio Estado - Transformaciones de similitud Formas Cannicas

Ec. espacio-estado y Ec. de salida

Nuevo estado

Nueva ec. espacio-estado en funcin z

% Para cambiar los estados segn la matriz T

Matrices de transformacin cannica

Forma Cannica Controlable

Forma Cannica Observable

Forma Cannica Modal , Matriz de Vectores propios (coef. reales)

Problema 1

Sea el sistema LTI

Con ecuacin de salida:Se pide:

a. Expresar el sistema en su Forma Cannica Controlableb. Expresar el sistema en su Forma Cannica Observablec. Expresar el sistema en su Forma Cannica Diagonal.Solucin Ingresar el sistema:

A=[ -1 0 1; 0 -6 12; 0 -1 1]; B=[0;-1;0] C=[2 -6 22] D=0 s=ss(A,B,C,D) a. Encontrando la matriz de transformacin T de controlabilidad Mat. de ControlabilidadCo=[B A*B *B]

M=T=Co*M

En Matlab:

p=poly(A)=> 1 6 11 6 co=ctrb(A,B)

M= hankel([p(end-1:-1:2) 1])

T=co*Ms1=ss2ss(s,T)

Ac=s1.aBc=s1.bCc=s1.c

b. Encontrando la matriz de transformacin T de Observabilidad Mat. de ObservabilidadOb=[C ;C*A ; ]

M=T=(M*ob)-1

En Matlab:

ob=obsv(A,C)

T=

s2=ss2ss(s,T)

Ao=s2.aBo=s2.bCo=s2.c

c. Expresar el sistema en su Forma Cannica Diagonal. (Existe varias formas de colocar el sistema en forma diagonal. Elegiremos la matriz de transformacin formada por la inversa de la matriz de vectores propios columna.

Valores propios:

Q= vectores propios sin normalizarT=

En Matlab:

null(A+eye(3),'r')Q=[ans]null(A+2*eye(3),'r')Q=[Q ans]null(A+3*eye(3),'r')Q=[Q ans]T=inv(Q)

S3=ss2ss(s,T)

Am=s2.aBm=s2.bCm=s2.c

Otra forma de conseguir la transformacin diagonal:

Encontrar la F.T. a partir del espacio estado

Luego la F.T. se puede escribir as:

La representacin en forma cannica diagonal es

G= tf(s)[n,d]=tfdata(G,v)

[r,p,k]=residue(n,d)

Am=diag(p(end:-1:1));Bm=ones(3,1);Cm=r(end:-1:1)Dm=n(1);

Problema 2Dado el siguiente diagrama de flujo de un sistema dinmico:

a) Usando el diagrama de bloques, encuentre el diagrama de simulacin y determine las ecuaciones de estado del sistema

b) Determine la funcin de transferencia a partir del espacio estado

En Matlab: A=[-2 2;-2 0]; B=[0;2]; C=[1 0]; D=0 [n,d]=ss2tf(A,B,C,D) G=tf(n,d)Transfer function:2.22e-016 s + 4--------------- s^2 + 2 s + 4

c) Encuentre la forma cannica controlable a partir de b)

d) Encuentre la forma cannica observable

e) Encuentre los polos y ceros a partir del espacio estado Polos o valores propios

=0 => s1=-1 + i

s2=-1 - iCeros:

Solo si la matriz resultante es cuadrada, si no se debe hacer operaciones entre filas y/o columnas para diagonalizarla.

No tienef) Determine la forma cannica Modal usando A, B,C, D del sistema original Valores propios

s1=-1 +i , s2=-1 - iVectores Propios (obtenidos con el comando Jordan de Matlab) x1 x2

0.5 + 0.2887i 0.5 - 0.2887i 0 + 0.5774ii 0 - 0.5774iFormando las matriz de transformacin modal

T=

Am=

En Matlab:s1=ss(A,B,C,D) % sistema c)

>> sm=canon(s1,'modal') a = x1 x2 x1 -1 1.732 x2 -1.732 -1 b = u1 x1 1.118 x2 -0.6455 c = x1 x2 y1 -0.8944 -1.549 d = u1 y1 0Pero b y c modal no coinciden con el modelo modal obtenido anteriormente.Verificando:SYS = ss2ss(s1,T)) Ahora verifique que las matrices coinciden con el modelo modal obtenido anteriormente.

Solucin al Espacio Estado

Solucin a la entrada cero Solucin a la Condicin inicial cero

Aplicando convolucin

Donde es la matriz de transicin =>

Determine la matriz de transicin para la representacin de espacio estado usando en a)

En Matlab:syms tphi=expm(A*t)

phi =[ exp(-t)*cos(3^(1/2)*t)-1/3*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t),-2/3*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t)][2/3*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t), exp(-t)*cos(3^(1/2)*t)+1/3*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t)]

g) Determine la respuesta al escaln unitario usando la matriz de transicin para to=0, x(to)=0

h) realice el diagrama de simulacin modal en simulink

Formas Cannicas en Matlab

Formas cannicas: At=canon(sys, 'type')Forma cannica Modal (FCM):x= canon(sys, 'modal')Forma cannica observable (FCO):x=canon(sys, 'companion') % Matriz Compaera Forma cannica controlable (FCC): x= canon(sys, 'companion')

Polos y ceros del sistema a partir del espacio estado

P=Poly(A) % vector de coeficientes de la ecuacin caracterstica |sI-A|=Pn(s)=0Polos=roots(P)% otra formasys=ss(A,B,C,D)pole(sys)Ceros a partir del espacio estadozero(sys)

Modelos Cannicos si se conoce la matriz de transformacinSysc =ss2ss(sys,T) donde T es la matriz de transformacin.

2Profesora: Rosa Garrido J.