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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERADepartamento de Matematica

Cuaderno de Calculo III

Ph Valenzuela

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c© 2007 [email protected] 19, 2007

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Table of Contents1. Introduccion

1.1. Integral doble sobre rectangulos1.1. Integral doble sobre rectangulos1.1. Integral doble sobre rectangulos1.1. Integral doble sobre rectangulos1.2. Particion1.3. Sumas de Riemann

2. Integral de Riemann2.1. Integral doble iterada

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Section 1: Introduccion 3

INTEGRALES MULTIPLES

1. Introduccion

Corresponde estudiar la integral de Riemann de funciones de varias variables. Comoveremos, la forma de introducirla es similar a la de la integral de Riemann de fun-ciones reales de variable real. Nuestro trabajo se centrara en dos variables, ya quepara mas de dos variables el proceso es analogo. Para que vayas entrando en “onda”te cuento que, el calculo del area de un recinto plano acotado por las rectas x = a,x = b, una funcion acotada y = f(x) definida sobre [a, b] y el eje x, fue lo quecondujo al concepto de integral simple. Mira la figura 1.

X

yy=f(x)

a b

El calculo del volumen de un cuerpo acotado por los planos z = 0, x = a,x = b, y = c, y = d, y la grafica de la funcion z = f(x, y) acotada sobre elintervalo [a, b]× [c, d], nos llevara al concepto de integral doble.

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1.1. Integral doble sobre rectangulos

Te recuerdo que en una variable la idea de “hacer una particion” de un intervalo[a, b] corresponde a subdividir este en intervalos, de tal manera que

P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}Dado que tu memoria es fragil y de seguro solo tienes una vaga idea, te invito arecordar

Actividad 1 Te presento el intervalo [1, 5] de la recta real

-s s1 5

x

1. Hay que hacer una particion de [1, 5] en 4 subintervalos, de modo que cadauno de ellos tenga la misma longitud. ¿Te atreves a decirme cual es estaparticion?

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-s s1 5

x


{1, 2, 3, 4, 5} 4

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-s s1 5

x


{1, 2, 3, 4, 5} 4

2. Si la particion de [1, 5] necesita de 8 subintervalos de la misma longitud, en-tonces los puntos de la particion son:

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-s s1 5

x


{1, 2, 3, 4, 5} 4

2. Si la particion de [1, 5] necesita de 8 subintervalos de la misma longitud, en-tonces los puntos de la particion son:

{1, 32 , 2, 5

2 , 3, 72 , 4, 9

2 , 5} 4

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3. Hay que hacer una particion de [1, 5] en n subintervalos tales que cada unode ellos tenga la misma longitud. ¿Te atreves a decirme cual es la longitud decada subintervalo?

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b− a

n=

5− 1n

=4n

4

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b− a

n=

5− 1n

=4n

4

4. Tenemos el intervalo [1, 5] dividido en n subintervalos de igual longitud. Siel primer punto de la particion es x0 = 1, dime que “pinta” tiene el punto xi

y hasta donde corre el i para llegar al 5.

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b− a

n=

5− 1n

=4n

4



{x0 = 1, · · ·xi = 1 +4i

n}, 0 ≤ i ≤ n 4

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b− a

n=

5− 1n

=4n

4



{x0 = 1, · · ·xi = 1 +4i

n}, 0 ≤ i ≤ n 4

¿Ahora te recuerdas? Me parece bien. Ademas, debes saber que la mayorlongitud de un subintervalo en una particion, se llama norma de la particion. Estaidea de particion la llevamos a una dimension mayor.

En IR, un intervalo cerrado es de la forma [a, b]× [c, d]. Como puedes ver, unsimple “producto cruz”, que no entrega otra cosa que un rectangulo. Mas precisa-mente,

R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ IR2/ a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

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-

6

x

y

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x

y

2 5

1

3

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x

y

2 5

1

3

2. Si P1 = {2, 3, 4, 5} es particion de [2, 5] y P2 = {1, 2, 3} es particion de[1, 3], entonces P1 × P2 es:

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x

y

2 5

1

3


{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}

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x

y

2 5

1

3


{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}

3. Ilustra, en la figura, este producto cartesiano

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y

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6

x

y

2 3 4 5

123

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x

y

2 3 4 5

123

rrr rr r rr r r rr r r

4. ¿Cuantos puntos tiene P1 × P2?

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x

y

2 3 4 5

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12 4

5. ¿En cuantos subrectangulos se subdividio el rectangulo [2, 3]× [1, 3]?

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x

y

2 3 4 5

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6 4

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x

y

2 3 4 5

123



12 4


6 4

1.2. Particion

Si P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d] respectivamente, entonces

P =

P1︷︸︸︷{a = x0 < · · · < xn = b}×

P2︷︸︸︷{c = y0 < · · · < ym = d}

se llama particion de [a, b]× [c, d]. La norma de la particion es la mayor area de losrectangulos de la particion.

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Llego la hora de agregar una funcion a nuestro trabajo. Sea f : [a, b]× [c, d] →IR funcion acotada. Si no te incomoda, quiero que me respondas las siguientesinterrogantes:

1. Si la funcion f esta acotada en todo el intervalo [a, b] de IR2, y hacemosuna particion de este ¿esta acotada f en cada subintervalo que genera estaparticion?

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¡Yes! 4

2. Si una funcion esta acotada ¿Que informacion se puede obtener?

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¡Yes! 4


¡Bien, eso es!, Alcanza un maximo y un mınimo 4

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¡Yes! 4



Para serte sincero, no esperaba menos de tı. Bien, ya que tenemos claro elasunto, hagamos algunas definiciones que nos acerquen a nuestro objetivo. Ya quef esta acotada en cada subrectangulo Ri, generado por la particion, sean

mi = el mınimo de f en el rectangulo Ri

Mi = el maximo de f en el rectangulo Ri

m = el mınimo de f en [a, b]× [c, d]M = el maximo de f en [a, b]× [c, d]

El orden que se establece entre estos elementos (ubicados de menor a mayor) es:

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¡Yes! 4



Para serte sincero, no esperaba menos de tı. Bien, ya que tenemos claro elasunto, hagamos algunas definiciones que nos acerquen a nuestro objetivo. Ya quef esta acotada en cada subrectangulo Ri, generado por la particion, sean

mi = el mınimo de f en el rectangulo Ri

Mi = el maximo de f en el rectangulo Ri

m = el mınimo de f en [a, b]× [c, d]M = el maximo de f en [a, b]× [c, d]

El orden que se establece entre estos elementos (ubicados de menor a mayor) es:

m ≤ mi ≤ Mi ≤ M

Quiero que tengas en mente la figura siguiente, en la cual se observa la particion.Cada vez que que se encuentra el mınimo (maximo) de la funcion z = f(x, y) en

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cada subintervalo, se pueden formar pequenos paralelepıpedos (cubos), unos quequedan bajo la curva, y otros sobre la curva

Esta es mi primera pregunta

1. ¿Como calculas el volumen del paralelepıpedo que se encuentra en el Ri

subintervalo y cuyo mınimo es mi?. Por favor, tu respuesta

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Area del Ri por mi 4

2. ¿Que calculaste al sumar todos los volumenes de los paralelepıpedos queestan bajo la curva?

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Area del Ri por mi 4

2. ¿Que calculaste al sumar todos los volumenes de los paralelepıpedos queestan bajo la curva?

El volumen de todos los paralelepıdedos bajo la curva 4

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Serıas tan amable de escribir esta sumatoria

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s(f, P ) =n∑i

mi ×A(Ri) 4

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s(f, P ) =n∑i

mi ×A(Ri) 4

3. Si Mi es el valor maximo de z = f(x, y) en cada subintervalo que genera laparticion P ¿Que representa Mi ·A(Ri)

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s(f, P ) =n∑i

mi ×A(Ri) 4


El volumen del paralelepıpedo de area de base Ri y altura Mi 4

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s(f, P ) =n∑i

mi ×A(Ri) 4



4. Escribe la expresion que representa el volumen de todos los paralelepıpedoque estan sobre la curva

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s(f, P ) =n∑i

mi ×A(Ri) 4




S(f, P ) =n∑i

Mi ×A(Ri) 4

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s(f, P ) =n∑i

mi ×A(Ri) 4




S(f, P ) =n∑i

Mi ×A(Ri) 4

Es obvio que te dıste cuenta de s y S. La primera sirve para indicar ques(f, P ) es la suma inferior de f respecto de la particion P

y la segunda para decir queS(f, P ) es la suma superior de f respecto de la particion P

Veamos que tanto nos puede ayudar todo lo que hemos visto en un calculo devolumen

Actividad 3 Aproximar, por sumas superior e inferior, el volumen que acota lasuperficie definida por la funcion f(x, y) = 4− x2 sobre el intervalo [0, 2]× [1, 4]del plano xy

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1. Tus conocimientos previos te dicen que la superficie es un

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paraboloide 4

¡Eso me gusta!, por eso querıa hacer este curso.

2. Ahora graficas la superficie, sin ponerle tanto color, e identificas el recinto delespacio al cual le sacamos el volumen. Debes haber obtenido algo como esto

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paraboloide 4

¡Eso me gusta!, por eso querıa hacer este curso.

2. Ahora graficas la superficie, sin ponerle tanto color, e identificas el recinto delespacio al cual le sacamos el volumen. Debes haber obtenido algo como esto

3. En el sistema cartesiano, a continuacion, grafıca el recinto [0, 2]× [1, 4].

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-

6

x

y

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6

x

y

2

1

2

3

4

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-

6

x

y

2

1

2

3

4

4. Considera la particion P = {0, 1, 2}×{1, 3, 4}. Te corresponde desarrollarla.Espero que coincidamos

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-

6

x

y

2

1

2

3

4


P = {(0, 1), (0, 3), (0, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} 4

5. El numero de subrectangulos que genera esta particion es

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-

6

x

y

2

1

2

3

4


P = {(0, 1), (0, 3), (0, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} 4

5. El numero de subrectangulos que genera esta particion es

4 4

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-

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x

y

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-

6

x

y

1 2

1

3

4R2

R1

R3

R4

7. En cada subintervalo saca el mınimo y el maximo que toma la funcion.

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Intervalo Maximo Mınimo Area Volumen Volumenmınimo maximo

R1

R2

R3

R4

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R1

R2

R3

R4

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R1 4 3 2 6 8

R2 4 3 1 3 4

R3 3 0 1 0 3

R4 3 0 2 0 6

1. Tienes todo listo, con un simple proceso mental de sumar afirmas que:n∑1

mi A(Ri) =

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R1 4 3 2 6 8

R2 4 3 1 3 4

R3 3 0 1 0 3

R4 3 0 2 0 6


mi A(Ri) = 9 4

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R1 4 3 2 6 8

R2 4 3 1 3 4

R3 3 0 1 0 3

R4 3 0 2 0 6


mi A(Ri) = 9 4

n∑1

Mi A(Ri) =

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R1 4 3 2 6 8

R2 4 3 1 3 4

R3 3 0 1 0 3

R4 3 0 2 0 6


mi A(Ri) = 9 4

n∑1

Mi A(Ri) = 21 4

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R1 4 3 2 6 8

R2 4 3 1 3 4

R3 3 0 1 0 3

R4 3 0 2 0 6


mi A(Ri) = 9 4

n∑1

Mi A(Ri) = 21 4

En consecuencia, el volumen que andamos buscando se encuentra acotado

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................9 21 4

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................9 21 4

Como ya nos conocemos, se que te estas preguntando ¿Se puede mejorar estaaproximacion? La respuesta es SI, y la proporcionas tu mismo

.........................................................................

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................9 21 4


.........................................................................

haciendo un refinamiento 4

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................9 21 4


.........................................................................


Supongo que no te recuerdas como se llama esto, bien, un refinamiento delintervalo. Te anoto

Si P y Q son dos particiones de un intervalo, y si P ⊂ Q, entonces Q se diceque es un refinamiento de P

Por lo que conoces de conjuntos, deduces que P es un refinamiento de si mismo¿porque?

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................9 21 4


.........................................................................





Exactamente, P es subconjunto de P 4

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como sigue

.................................. ≤ V (R) ≤ .....................9 21 4


.........................................................................





Exactamente, P es subconjunto de P 4

De modo que para tener un refinamiento basta agregar un punto mas a la par-ticion y ya refinamos. Estas dos preguntas tengo que hacerlas por que ası tiene queser:

1. Q es refinamiento de P . Si s(f, P ) y s(f,Q) son las sumas inferiores quegeneran estas particiones:

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Quiz se cumple que s(f, P ) ≤ s(f,Q)

(a) True (b) False

2. Q es refinamiento de P . Si S(f, P ) y S(f,Q) son las sumas superiores quegeneran estas particiones:

Quiz entonces se cumple que S(f, P ) ≤ S(f,Q) decree?

(a) True (b) False

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(a) True (b) False



(a) True (b) False

En resumen, con un refinamiento:

las sumas inferiores crecenlas sumas superiores decrecen

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(a) True (b) False



(a) True (b) False



Actividad 4 Considerar la funcion acotada f(x, y) = 4 − x2 sobre el intervalo[0, 2]× [1, 4] del plano xy. Aproximar, por sumas superior e inferior, este volumenconsiderando la particion P = {0, 2} × {1, 2, 3, 4}

1. La cantidad de subintervalos que genera esta particion es

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(a) True (b) False



(a) True (b) False



Actividad 4 Considerar la funcion acotada f(x, y) = 4 − x2 sobre el intervalo[0, 2]× [1, 4] del plano xy. Aproximar, por sumas superior e inferior, este volumenconsiderando la particion P = {0, 2} × {1, 2, 3, 4}

1. La cantidad de subintervalos que genera esta particion es

3 4

2. Usa la tabla para indicar tus calculos

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Intervalo Mınimo Maximo Area Volumen Volumenmınimo maximo

R1

R2

R3

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R1

R2

R3

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

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R1

R2

R3

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

Esto te permite decir que:n∑1

mi A(Ri) =

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R1

R2

R3

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8


mi A(Ri) = 0 4

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R1

R2

R3

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8


mi A(Ri) = 0 4

n∑1

Mi A(Ri) =

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R1

R2

R3

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8


mi A(Ri) = 0 4

n∑1

Mi A(Ri) = 24 4

En consecuencia, el volumen que andamos buscando se encuentra acotado comosigue

.............................. ≤ V (R) ≤ .................................

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R1

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R3

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8


mi A(Ri) = 0 4

n∑1

Mi A(Ri) = 24 4


.............................. ≤ V (R) ≤ .................................0 24 4

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R1

R2

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0 4 2 0 8

0 4 2 0 8

0 4 2 0 8


mi A(Ri) = 0 4

n∑1

Mi A(Ri) = 24 4


.............................. ≤ V (R) ≤ .................................0 24 4

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Tienes que haber observado el comportamiento de las sumas inferiores y supe-riores en este caso. No podıamos esperar otra cosa. A menor cantidad de subinter-valos menor suma inferior y mayor suma superior.

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¡¡ Grande giocattore todo coincide con la teorıa!!

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¡¡ Grande giocattore todo coincide con la teorıa!!

1.3. Sumas de Riemann

Es claro que podemos seguir refinando y obtener cada vez mejores aproximaciones,pero ese es un trabajo de nunca acabar. Vamos a simplificar un poco el asunto y ahacer el calculo exacto del volumen. Ello es posible gracias a las sumas de Riemann,que paso a explicarte ¡ahora ya!.

Lo primero que te cuento es que la funcion z = f(x, y) tiene que ser continuasobre el intervalo que se tome. La idea base sigue siendo la de particion, pero estavez, refinada al maximo ¿como? muy sencillo (esto me quedo claro despues que me loexplico Riemann).

• El intervalo es [a, b]× [c, d].

• Se toma [a, b] y se le hace particion

P1 = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}en donde cada subintervalo tiene la misma longitud, que es b−a

n . En el caso de lassumas superior e inferior uno tomaba el maximo y el mınimo en cada subintervalo,

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ahora se elige a la pinta de uno, y lo mas sencillo es tomar el punto izquierdo o bienel punto derecho en cada subintervalo. ¿Como los reconozco? ¿como van vestidos?¡Tranquilo “man”, tranquila “woman”

Punto izquierdo xi = a + i · b− a

n, i = 0, 1, 2, · · ·n

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ahora se elige a la pinta de uno, y lo mas sencillo es tomar el punto izquierdo o bienel punto derecho en cada subintervalo. ¿Como los reconozco? ¿como van vestidos?¡Tranquilo “man”, tranquila “woman”

Punto izquierdo xi = a + i · b− a

n, i = 0, 1, 2, · · ·n

Punto derecho xi = a + i · b− a

n, i = 1, 2, 3 · · ·n

• Con el intervalo [c, d] hacemos exactamente lo mismo. Al hacer particion

P2 = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}se tiene:

Punto izquierdo yi = c + i · d− c

n, i = 0, 1, 2, · · ·n

Punto derecho yi = c + i · d− c

n, i = 1, 2, 3 · · ·n

A continuacion se forma la particion P = P1 × P2, que corresponde a

P = {(xi, yi)/ xi ∈ P1, yi ∈ P2}Al hacer que n → ∞ la norma de la particion tiende a cero, con lo cual losvolumenes de los paralelepıpedos internos y externos se aproximan a un valor unico.¿Cual es la expresion matematica que permite calcular el volumen de estos par-alelepıpedos?. Buena pregunta, en una variable era una sumatoria, ahora deben ser

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dos, ¿por que?, porque corren las variable i y j. Pero eso no es todo, hay que ver sise toman puntos derechos o izquierdos. Queda ası

Puntos izquierdos V = limn→∞

n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)

Puntos derechos V = limn→∞

n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)

Actividad 5 Considerar la funcion acotada f(x, y) = 4 − x2 sobre el intervalo[0, 2]× [1, 4] del plano xy. Hallar el volumen considerando sumas de Riemann.

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)


1. Mira el intervalo [0, 2], dividelo en n partes iguales y me dices su norma

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)



-s s0 2

x

2n

4

2. Si tomas puntos izquierdos, ellos tienen la forma

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)



-s s0 2

x

2n

4


2i

n, n = 0, 1, · · ·n 4

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)



-s s0 2

x

2n

4


2i

n, n = 0, 1, · · ·n 4

3. Si tomas puntos derechos, ellos tienen la forma

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)



-s s0 2

x

2n

4

2. Si tomas puntos izquierdos, ellos tienen la forma2i

n, n = 0, 1, · · ·n 4

3. Si tomas puntos derechos, ellos tienen la forma2i

n, n = 1, 2, · · ·n 4

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n∑i=0

n∑j=0

f(xi, yj)A(Rij)


n∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)A(Rij)



-s s0 2

x

2n

4


2i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


2i

n, n = 1, 2, · · ·n 4

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4. Mira el intervalo [1, 4] y dime cual es su norma3n

4

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4


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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4

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3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


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3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4

7. Vamos a elegir trabajar con puntos derechos. Anota f(xi, yj)

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4

8. Anota el valor del area de cada subrectangulo de la particion A(Rij)

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4


A(Rij) =6n2

4

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4


A(Rij) =6n2

4

9. Escribe ahora la sumatoria de puntos derechos que proporciona el volumen

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4


A(Rij) =6n2

4


• V =

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4


3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4


3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4


A(Rij) =6n2

4


• V = limn→∞

n∑i=1

n∑j=1

(4− x2i ) ·

6n2

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4

5. Si tomas puntos izquierdos, ellos tienen la forma3i

n, n = 0, 1, · · ·n 4

6. Si tomas puntos derechos, ellos tienen la forma3i

n, n = 1, 2, · · ·n 4


f(xi, yj) = 4− x2i 4


A(Rij) =6n2

4


• V = limn→∞

n∑i=1

n∑j=1

(4− x2i ) ·

6n2

= limn→∞

6n2

n∑i=1

n∑j=1

(4− 4i2

n2

)

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= limn→∞

24n2

n∑i=1

[n− 1

n2· n · (n + 1)(2n + 1)

6

]

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= limn→∞

24n2

n∑i=1

[n− 1

n2· n · (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

n∑i=1

[1− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]

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= limn→∞

24n2

n∑i=1

[n− 1

n2· n · (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

n∑i=1

[1− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

[4n− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]

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= limn→∞

24n2

n∑i=1

[n− 1

n2· n · (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

n∑i=1

[1− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

[4n− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]Si haces bien los calculos debes sacar V = 18 4

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Section 2: Integral de Riemann 15

= limn→∞

24n2

n∑i=1

[n− 1

n2· n · (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

n∑i=1

[1− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]

= limn→∞

24n

[4n− 1

n· (n + 1)(2n + 1)

6

]Si haces bien los calculos debes sacar V = 18 4

2. Integral de Riemann

Sean E = [a, b]× [c, d] y f : A → IR una funcion acotada. Los numeros reales

s(f) = sup{s(f, P )/ P es una particion de E}

S(f) = inf{S(f, P )/ P es una particion de E}se llaman, respectivamente, integral inferior y superior de f en E

Del hecho que la funcion f es acotada sobre E se deduce que existen supremoM e ınfimo m. Si mi y Mi son los correspondientes ınfimo y supremo de f en elintervalo i - esimo, entonces, es claro que se cumple que

m ·A(E) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M ·A(E)

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en donde A(E) es el area del conjunto E, y P cualquier particion. Por tanto, losconjuntos de todas las sumas superiores y de todas las sumas inferiores estan aco-tados, inferiormente por m · A(E) y superiormente por M · A(E), lo cual aseguraque las integrales superior e inferior existen siempre.

NotacionesLa funcion acotada f sobre el intervalo E = [a, b]×[c, d] se dice que es Riemann

integrable, o simplemente integrable en E si y solo si

s(f) = S(f)

y este numero se designa por∫E

f o bien∫

E

f(x, y) dx dy

Todo el cuento de, tener una funcion acotada sobre un rectangulo E, sacar sumassuperior e inferior, saber que estas tienen supremo e ınfimo, y que cuando coinci-den reciben un nombre especial, se resume en decir que el volumen que andamoscalculando ¡¡ es una integral !!. Esto es,

V =

∫E

f(x, y) dx dy

y que, cuando f es continua podemos hallar este volumen o la integral mediante el

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lımite de una doble sumatoria.

V =∫

E

f(x, y) dx dy = limn→∞

n∑i,j=0

f(xi, yj)A(Rij)

= limn→∞

n∑i,j=1

f(xi, yj)A(Rij)

2.1. Integral doble iterada

El proceso de calcular integrales mediante sumas de Riemann, que es lo mejorcitoque tenemos, es poco practico. Una forma mas simple para calcular integralesdobles, se debe a Fubini (ver foto)

y es mediante las llamadas integrales iteradas. Para todos los “ansiosos” y, especial-mente para “ellas” que deben tener mas de un suspiro retenido, este asunto es comosigue:

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Teorema 1 - Fubini Sea f : E ⊂ IR2 → IR una funcion acotada e integrable,en el sentido de Riemann, sobre el rectangulo E = [a, b]× [c, d]. Se supone quepara cada y ∈ [c, d] existe la funcion g : [c, d] → IR tal que

g(y) =∫ b

a

f(x, y) dx

(la funcion f(x, y) vista como una funcion de la variable x es integrable)

Si la funcion g es integrable sobre [c, d], entonces su integral es igual a la integraldoble de f(x, y) sobre E. Es decir, se tiene∫ ∫

E

f(x, y)dxdy =∫ d

c

g(y)dy =∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy

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Teorema 2 - Fubini Sea f : E ⊂ IR2 → IR una funcion acotada e integrable,en el sentido de Riemann, sobre el rectangulo E = [a, b]× [c, d]. Se supone quepara cada x ∈ [a, b] existe la funcion h : [a, b] → IR tal que

h(x) =∫ d

c

f(x, y) dy

(la funcion f(x, y) vista como una funcion de la variable y es integrable)

Si la funcion h es integrable sobre [a, b], entonces su integral es igual a la integraldoble de f(x, y) sobre E. Es decir, se tiene∫ ∫

E

f(x, y)dydx =∫ b

a

h(x)dx =∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx

Estos dos geniales resultados, salidos del talento matematico de este “calvo”italiano, facilitan enormemente los calculos. Solo falta saber ¿Como se calculan es-tas integrales?. Tan sencillo como “echar la 15 en la primera tirada en el pool”. Hayque hacerle caso a los profes de matematica, como siempre, ¡primero los parentesis!,luego el resultado se integra respecto de la variable que falta. ¡¡Vamos al grano, dijoel dermatologo!!

Actividad 6 Usar teorema de Fubini para calcular sobre el rectan-gulo E = [0, 2]×[1, 4] del plano xy, la integral

∫ ∫E

(4− x2) dx dy

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Cuando se es joven como tu, los ojos sirven para varias cosas ¿o no?. Siendoası, te habras dado cuenta que unas integrales llevan dx dy y otras dy dx, y que elparaentesis de la integral iterada, esta actividad se elimino, en el bien entendido quese opera con la integral desde adentro hacia afuera. Empieza a mover tus neuronas

1. Escribe los lımites de integracion∫ ∫E

(4−x2) dx dy =

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(4−x2) dx dy =∫ 4

1

∫ 2

0

(4− x2) dx dy

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(4−x2) dx dy =∫ 4

1

∫ 2

0

(4− x2) dx dy

2. Calculas primero la integral que tiene dx

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(4−x2) dx dy =∫ 4

1

∫ 2

0

(4− x2) dx dy

2. Calculas primero la integral que tiene dx∫ ∫E

(4− x2) dx dy =∫ 4

1

(4x− x3

3

)2

0

dy

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(4−x2) dx dy =∫ 4

1

∫ 2

0

(4− x2) dx dy


(4− x2) dx dy =∫ 4

1

(4x− x3

3

)2

0

dy

∫ ∫E

(4− x2) dx dy =∫ 4

1

163

dy

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(4−x2) dx dy =∫ 4

1

∫ 2

0

(4− x2) dx dy


(4− x2) dx dy =∫ 4

1

(4x− x3

3

)2

0

dy

∫ ∫E

(4− x2) dx dy =∫ 4

1

163

dy

3. Al evaluar tiene que

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(4−x2) dx dy =∫ 4

1

∫ 2

0

(4− x2) dx dy


(4− x2) dx dy =∫ 4

1

(4x− x3

3

)2

0

dy

∫ ∫E

(4− x2) dx dy =∫ 4

1

163

dy

3. Al evaluar tiene que ∫ ∫E

(4− x2) dx dy = 16

Por un momento deten el lapiz, vuelve tus ideas al principio del texto, ¿recuer-das que andabamos tras el volumen?. Bueno, en la actividad 3 nos planteamosnuestra primera aproximacion, hemos concluido en la actividad 6 con un valorexacto, pero no solo eso, el metodo empleado ha sido el mas sencillo de todos.

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1.7 Condicion de integrabilidadCuando se estudio la integral simple se dijo que “toda funcion continua es in-

tegrable”. Por supuesto que eso se mantiene en dos variables y mas. Enuncio esteresultado para que lo fijes en tu mente.

Teorema Si la funcion f : E ⊂ IR2 → IR definida sobre el rectangulo E =[a, b]× [c, d] es continua, entonces es integrable, y se tiene que

∫ ∫E

f(x, y)dxdy =∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx

=∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy

Actividad 7 Calcula∫ ∫

E(x2 + y2) dx dy sobre el rectangulo E = [0, 2] × [0, 3]

del plano xy. Si sacas 26 es porque ya dominas esto

Eso es todo por ahora, la segunda parte de esto, algun dıa en ....... presentac3b.pdf

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