Calculo3_2016-10

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Calculo 3

Prof. Ismael Gutierrez Garca

Primer semestre de 2016

Prof. Ismael Gutierrez Garca Universidad del Norte Primer semestre de 2016 1 / 44
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Outline

1 Lmite y continuidad

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Lmite y continuidad

Outline

1 Lmite y continuidad

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Lmite y continuidad

Lmite y continuidad

SeanV Rn,f :V R ycun punto interior deV. Se dice quel R es el lmite defcuandoxtiende ac, notado

limxc

f(x) =l,

si para todo intervalo abierto con centro en ly radioexisteB(c)talque sixB(c), entoncesf(x) (l , l+).O equivalentemente,

>0 >0 (x c< |f(x) l|< ).

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Lmite y continuidad

Lmite y continuidad

SeanV Rn,cun punto interior deV, f :V R yl R. Entonces

limxc

f(x) =l limxc0

|f(x) l|= 0

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Lmite y continuidad

Teorema.

SeanV Rn,c un punto interior deV, R yf, g:V R tales que

limxc

f(x) =l y limxc

g(x) =k.

Entonces1 lim

xc(f+g)(x) =l+k

2 limxc

(f)(x) =l

3

limxc (f|g)(x) = (l|k)4 lim

xcf(x)= l

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Lmite y continuidad

Ejercicios.

Demuestre que limx0

f(x)no existe.

1 f(x, y) = y4

x4 + 3y4

2 f(x, y) = xy3

x4 +y4

3 f(x, y) = xy2

x2 +y4

4 f(

x, y) =

x yx2 +y2

5 f(x, y) = xy

x6 +y4


L i i id d
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Lmite y continuidad

Ejercicios.

Demuestre que limx0

f(x)no existe.

1 f(x, y) = xy

x2 +y2

2

f(x, y) =

x y

x+y

3 f(x, y) = xy cos y

3x2 +y2

4 f(x, y) = x2yey

x4

+ 4y2

5 f(x,y,z) = xy+yz2 +xz2

x2 +y2 +z4


L it ti id d

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Lmite y continuidad

Ejemplo 1.

Seanx= (x, y)y 0 = (0, 0). Demuestre que

limx0

x2y

x2 +y2 = 0.

Solucion. Observe que

x 0 0 (x 0 y0).

Para todox, y R se verifica que

x2 +y2 2|xy|= (|x| |y|)2 0.

Por lo tanto

|xy|x2 +y2

12

, x, y R

Entonces

x2y

x2 +y2 0

=

|x||xy|

x2 +y2 1

2|x| 0


Lmite y continuidad

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Lmite y continuidad

Ejemplo 3.


limx0

1

xsin(xy) = 0.

Solucion. Para todox, y R es valida la afirmacion:

| sin(xy)| |xy|.

Por lo tanto

1x

sin(xy) = 1|x| | sin(xy)| |xy||x| =|y| 0


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Lmite y continuidad

Ejemplo 4.

Seanx= (x, y)yc= (1, 2). Demuestre que

limxc

2x 3y=4.

Solucion.

|2x 3y (4)|= |2(x 1) 3(y 2)|

2|x 1| + 3|y 2| 0.


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Lmite y continuidad

Definicion

SeanV Rn,c V, r >0yf :V R.

1 ftiene encun maximo localsi existeBr(c) V tal quef(x)f(c), para todoxBr(c). Sif(x)f(c), para todoxV,diremos queftiene unmaximo globalenc.


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Lmite y continuidad

Definicion



2 ftiene encun mnimo localsi existeBr(c) V tal que

f(x)f(c), para todoxBr(c). Sif(x)f(c), para todoxV,diremos queftiene unmnimo globalenc.


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y

Definicion





3 Decimos queftiene encunextremo local, siftiene encun

maximo o un mnimo local.


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Definicion







4

Sif

es parcialmente derivable enc

yf

(c

) = 0, entonces se dicequeces unpunto crtico opunto estacionariodef.


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Definicion







4 Sifes parcialmente derivable ency

f(

c) = 0

, entonces se dice

queces unpunto crtico opunto estacionariodef.

5 Un punto estacionariocdefse denomina unpunto de silladef

si para todaBr(c), existen puntosx, yBr(c)tales quef(x)> f(c)yf(y)< f(c).


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Ejemplos

1 Seaf(x, y) = 1 (x2 +y2). El grafico defes la superficie

(z 1) =x2 +y2,

la cual es un paraboloide circular que abre hacia abajo.


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Ejemplos


(z 1) =x2 +y2,

la cual es un paraboloide circular que abre hacia abajo.2 Seaf(x, y) =x2 +y2 y el grafico defes la superficie

z =x2 +y2,

la cual es un paraboloide circular que abre hacia arriba.


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Ejemplos


(z 1) =x2 +y2,


z =x2 +y2,

la cual es un paraboloide circular que abre hacia arriba.3 Seaf(x, y) =xy. Se verifica quefes diferenciable en R2 y

ademasf(x, y) = 0si y solo si x= y= 0. Es decir, el origen es

el unico punto estacionario def.


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Ejemplos


(z 1) =x2 +y2,


z =x2 +y2,

la cual es un paraboloide circular que abre hacia arriba.3 Seaf(x, y) =xy. Se verifica quefes diferenciable en R2 y

ademasf(x, y) = 0si y solo si x= y= 0. Es decir, el origen es

el unico punto estacionario def.Para toda bolaBr(0, 0)los puntos(x, y)de esta que estan en elprimer cuadrante satisfacenf(x, y)> f(0, 0)y los puntos(x, y)del segundo cuadrante satisfacenf(x, y)< f(0, 0). Estodemuestra queftiene en(0, 0)un puntodesilla.


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Ejemplo

Seaf(x, y) =x2 +y2 2xy+ 1. No es difcil verificar que todos lospuntos del conjuntoX :={(x, y)| y=x}son puntos estacionarios de

f. Note quef(x, y) = (x y)2 + 11.Por otro lado, para cada elemento (x, y)Xse tiene quef(x, y) = 1.Esto nos permite asegurar que en cada elemento de Xla funcionf

tiene un mnimo local.


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Criterio de la segunda derivada y la Hessiana

SeanV R2,f :V R ycVun punto estacionario def.

Definamos

1:= 2f

x2(c) y H(f, c) :=

2f

x2(c)

2f

yx(c)

2f

xy

(c) 2f

y2

(c)

Entonces

1 Si1 >0 ydet(H(f, c))>0, entoncesftiene un mnimo local enc.

2 Si1 0, entoncesftiene un maximo local enc.

3 Sidet(H(f, c))

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Ejercicios

En cada caso identifique y clasifique los extremos locales.1 f(x, y) =x2 y2


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3

3 f(x, y) =x3 +y3 3xy


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3

3 f(x, y) =x3 +y3 3xy

4 f(x, y) =x2

+y2

2xy+ 1


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3

3 f(x, y) =x3 +y3 3xy

4 f(x, y) =x2

+y2

2xy+ 15 f(x, y) =xyex+2y


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3

3 f(x, y) =x3 +y3 3xy

4 f(x, y) =x2

+y2


6 f(x, y) = sin(x) + sin(y) + cos(x+y)en(0, 2) (0, 2)


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3

3 f(x, y) =x3 +y3 3xy

4 f(x, y) =x2

+y2



7 f(x, y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)en(0,

2

) (0,

2

)


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Ejercicios


2 f(x, y) =x3 y3

3 f(x, y) =x3 +y3 3xy

4 f(x, y) =x2

+y2



7 f(x, y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)en(0,

2

) (0,

2

)

8 Halle los puntos sobre el grafico def(x, y) = 1

xyque estan mas

proximos al origen


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Extremos condicionados

Problema. SeanV Rn,f :V R,g :V Rm conm < nyc V. Decimos quefadmite un extremo local en cbajo la restricciong(x) = 0, si

1 g(c) = 0y

2 ftiene un extremo local en c.

Ejemplo. Supongamos que la temperatura en una placa delgada esta

modelada por una funcionT(x, y)y seaCun curva en la placa, cuyaecuacion esta dada porg(x, y) = 0. Estmos interesados entonces en

determinar los puntos mas frios y mas calientes a lo largo de la curvaC.


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Metodo de los multiplicadores de Lagrange

SeanV Rn

,f :V R

,g:V Rm

conm < n, digamosg= (g1, . . . , gm)yc V. Supongamos quefson fucionesdiferenciables yftiene encun extremo local con la restriccion

g(x) = 0. Entonces existen1, 2, . . . , m R tales que

f(c) =1g1(c) +2g2(c) +mgm(c).

Note que esta ecuacion representa un sistema dem+n ecuacionesen lam+n variablesx1, . . . , xn,1, . . . , m. Concretamente:

f

xk (1

g1

xk+ +m

gm

xk) = 0, k= 1, . . . , n (1)

gj(x) = 0, j = 1, . . . , m . (2)


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Ej i i
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Ejercicios

1

Determine los puntos sobre el plano z=x+y que estan mascerca del punto(1, 0, 0).


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Ej i i
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Ejercicios

1



xyque estan mas

proximos al origen.


Lmite y continuidad

Ej i i

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Ejercicios

1



xyque estan mas

proximos al origen.

3 Determine la caja rectangular de volumen maximo que puedeconstruirse con un area superficial de2k metros cuadrados.


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Ej i i

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Ejercicios

1



xyque estan mas

proximos al origen.


4 Determine los extremos def(x,y,z) = 5x+y 3z sobre la curvade interseccion del planox+y+z = 0con la esfera

x

2

+y2

+z2

= 1.


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Ejercicios
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Ejercicios

1



xyque estan mas

proximos al origen.


4 Determine los extremos def(x,y,z) = 5x+y 3z sobre la curvade interseccion del planox+y+z = 0con la esfera

x

2

+y2

+z2

= 1.5 Calcule el paralelepipedo de mayor volumen que puede

inscribirse en elipsoide x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 0.


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Definicion (Conjunto conexo)
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Definicion. (Conjunto conexo)

SeaV Rn. Vse denomina conexo, si dado cualquier par de puntosx, yV, estos pueden unirse mediante un camino diferenciable atrozos y cuya grafica esta contenida enV.

Ejemplos.1 (, 1) (1, )no es un conjunto conexo.


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2 Todo disco en R2 es un conjunto conexo.


Lmite y continuidad


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2 Todo disco en R2 es un conjunto conexo.

3 Toda bola abierta en R3 es un conjunto conexo.


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Teorema
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Teorema

SeaV Rn un conjunto abierto y conexo. Sea ademasFun campo

vectorial continuo definido sobreV. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes

1 Existe un campo escalarfdefinido sobreV tal quef=F.2 Six, yV, entonces pata todo r: [a, b]V conr(a) =xy

r(b) =yla integral r

F dr

tiene el mismo valor.

(La integral de linea es independiente del camino)3 Sir: [a, b]V, entonces

r

f dr=f(r(b)) f(r(a)).

En particular, sir es un camino cerrado, entonces

r

F dr= 0.


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Teorema
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Teorema

SeaF = (F1, . . . , F n)un campo vectorial diferenciable, definido sobreun conjunto abiertoV Rn. SiF =f, para algun campo escalarf,entonces

Fj

xk

= Fk

xj

, j, k= 1, . . . , n .

Ejemplo. SeaF(x, y) = (y, y x). Note que

F1

y = 1 y

F2

x =1.

En consecuenciaFno es un gradiente.


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Ejemplo
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Ejemplo

SeaF(x, y) = ( yx2 +y2

, xx2 +y2

). Dom(F) = R2 {(0, 0)}. Si

r(t) = (cost, sin t), entonces

r

F dr= 2

0

(sin2 t+ cos2 t)dt= 2.

Por lo tantoFno es un gradiente.

Por otro lado, note que

F1

y = F2

x = y2 x2

(x2 +y2)2 .


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Definicion (Conjunto simplemente conexo)

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Definicion. (Conjunto simplemente conexo)

Intuitivamente hablando un conjunto es simplemente conexo si notiene huecos. Es decir, si dada una curva cerrada simple contenida en

el conjunto su interior contiene solo puntos del conjunto.

Teorema. SeaV Rn un conjunto abierto y simplemente conexo.Sea ademasFun campo vectorial diferenciable definido sobre V.

SiFj

xk=

Fk

xj,

para todoj, k= 1, . . . , n, entoncesFes un gradiente de algun campoescalarf.


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Teorema de Green

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Teorema de Green.

SeaCuna curva plana suave por segmentos, simple, cerrada y

orientada positivamente y seaDla region del plano acotada por C.

Sea ademas

F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

un campo vectorial definido sobre una regionEabierta que contiene a

D. Si las derivadas parciales de P yQson continuas enE, entonces

C

P dx+Qdy =

D

Q

x

P

y

dA.


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Figure :disk samples

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