Calculo Vectorial - SESION N° 01 - 02

8/19/2019 Calculo Vectorial - SESION N° 01 - 02

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1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial

2. Funciones vectoriales de varias variables3. Diferenciación parcial

4. El gradiente, la divergencia y el rotacional

5. Integración múltiple6. Integral de línea

7. Integral de superficie

8. El teorema de la divergencia

9. El teorema de Stokes

10. Otros teoremas integrales


3/81

1.Los conceptos de escalar, de vector y sus

operaciones2.Entender las funciones vectoriales de un vector

3.Los diferentes conceptos de derivadas de campos

escalares y vectoriales4.El concepto de gradiente, de divergencia y de

rotacional. Sus significados físicos.

5.Entender y saber hacer integrales múltiples,integrales de línea e integrales de superficie

6.Conocer, entender y saber aplicar los diferentesteoremas integrales


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5/81

1. Álgebra

2. Trigonometría

3. Geometría analítica plana

4. Calculo elemental

a. Álgebra lineal


6/81

: f R R

x

y f x


7/81

:

Derivadas:

Integrales:

n

n

x

a

f D R R

d f

dx

f x dx


8/81


9/81

En este curso un

ESCALAR

será cualquier número real


10/81

En este curso un ESCALARserá cualquier número real

Ejemplos de cantidades escalares:•La temperatura•La corriente eléctrica•La presión

•El volumen•La cantidad de carga•La masa•La energía


11/81

1 2

Es un conjunto ordenado de cantidades:

, ,...,

Los vectores son los elementos del

espacio vectorial

n

n

n

a a a

R


12/81

1 2

En este curso usaremos la definición más lim

Es un conjunto ordenado de cantidades:, ,

itada

y tradicional de un "objeto" que pos

...,

Son los ele

ee

magnitud, dir

mentos de

ección y sentido

n

n

na a a

R


13/81

A los vectores los representaremos por

flechas en el espacio.

Pensaremos en el vector como la flecha misma


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1 2 3

-La posición de un objeto en movimiento

-Una fuerza

-El momento angular

-El campo electromagnético

Un vector es una cantidad que tiene

magnitud, dirección y sentido.

Es un ente con 3 componentes:

, ,a a a


15/81

El valor absoluto o magnitud de un vector es

su longitud, su tamaño.Si el vector es , su magnitud se representa

como ó

A

A A


16/81

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1

es unitario si 1

A los vectores unitarios los denotaremoscon un acento circunflejo ó "gorrito":

ˆ

a a

a


17/81

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0

es cero si 0

Lo denotaremos como 0

a a


18/81

a

b

a b


19/81

a

b

a b


20/81

1) Es conmutativa:

2) Es asociativa:

Así que podemos poner

a b b a

a b c a b c

a b c


21/81

Se define

donde tiene la misma magnitud que ,y la misma dirección, pero sentido inverso.

a b a b

b b

a

ba b


22/81

a

ba b

a b


23/81

El producto del escalar por el vector es

Es un vector cuya longitud es ,

tiene la misma dirección que ,

y el sentido es el de si >0

y el inverso que si 0

a

a

a

a

a

a

a a


24/81

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto escalar (interno ó punto)

como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b


25/81

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b


26/81

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

ab

a

cos cos p

p aa

p


27/81

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

a a b b

b a


28/81

2 2



2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene

a a b b

b a

a b a a a a


29/81

2 2




3) El producto escalar es conmutativo

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a


30/81

2 2




3) El producto escalar es conmutativo

4) El producto

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a

escalar es distributivo respecto a la suma

a b c a b a c


31/81

Si el producto escalar, cos ,

de dos vectores es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),

es decir, 90 / 2 ó

Si dos vecto

3 / 2

r

70

a b a b

es son ortogonales, entonces su

producto escalar es cero


32/81

a b

a b

sina b a b


33/81

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,se define el producto vectorial o cruz, de la

siguiente manera:

a b

1) sina b a b

2) Su dirección es perpendicular al plano formado

por los vectores ya b

3) El sentido del vector está definido por el avance

de un tornillo que va de a (por la regla de la

mano derecha)

a b


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a b

a b

sina b a b


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ab

a b

sin es el área

de este paralelogramo

a b a b


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1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:

2) El producto vectorial es distributivo respecto

a la suma

3) Para todo vector 0

a b c a b a c

a a

a b b a


37/81

Si el producto vectorial de dos vectores

sin

es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es ceroó

2) Los vectores son paralelos

es de

Si dos vectores son paralelos, entonce

cir, 0 0 ó 18

s su

0

a b a b

producto vectorial es cero


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39/81


40/81

Denotaremos como

ˆˆ ˆ, ,

los vectores unitarios a lo largo de los ejes

, ,

Así un punto estará representado por el

vector ˆˆ ˆ

i j k

X Y Z

P

r xi yj zk


41/81

X

Y

Z

ˆi

̂j

k̂


42/81

ˆ ˆ

Los vectores 0ˆˆ base cartesianos 0

ˆ ˆ

son ortogonales entre si 0

ˆ ˆLos vectores 1

base

i j j k

k i

i i

ˆ ˆcartesianos 1

ˆ ˆson unitarios 1

j j

k k


43/81

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "der

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

h ":

ˆ

ec a

i k

k

k i

j i

j

j

X

Y

Z

î

̂j

k̂


44/81

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "derecha"

Trivialmente se cumple también,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0

:

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i j k

j k i

i i j j k k

k i j


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X

Y

Z

î

̂j

k̂

x

y

z

, , P x y z

ˆˆ ˆr xi yj zk

r


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1 2 3 1 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

Si ya a i a j a k b b i b j b k

1 1 2 2 3 3 ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k

1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b

2 2 2

1 2 33) a a a a


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1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

Si y

4)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

a a i a j a k b b i b j b k

i j k

a b a a a

b b b

a b a b i a b a b j a b a b k

PRÁCTICA DE CLASE N

°

01


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PRÁCTICA DE CLASE N° 01

1. GRAFICAR EL RADIO VECTOR: =− 2j − 3i + 9

2. GRAFICAR LOS VECTORES Y EL PRODUCTO VECTORIAL:

= 8 − 3 + =− 3k + 6i − j

3. REALIZAR LAS OPERACIONES DE: Suma, resta, producto escalar y vectorial.

= 1 2 − 3 + 10 = 3j − 6k − 0,8i


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4. HALLAR EL RADIO VECTOR SEGÚN LA GRÁFICA Y SU PRODUCTOCARTESIANO:


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En el cálculo elemental se estudian funciones de una solavariable.Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos ylos procesos dependen de varias variables.

Por tanto, son las funciones de varias variables las que, engeneral, sirven para describir correctamente los procesosde la naturaleza.Por motivos metodológicos las podemos dividir como:

•Funciones vectoriales•Funciones escalares de un vector o campos escalares•Funciones vectoriales de un vector o camposvectoriales


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: n

V R R


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3

1 2 3

1 2 3

:

ˆˆ ˆ

, ,

El vector es una función

V R R

V t V t i V t j V t k

V t V t V t V t


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54

Definición

Nota: Esto significa que para cada número t , del dominio de

r , hay un vector único V, denotado por r (t ).

1 2

:

; ;...

n

n

r I

t r t f t f t f t

Es una función vectorial, dondeson las coordenadas de r.

ni RI f i ,...,,,: 21


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2

1 2

1 2

:

ˆ ˆ

,

V R R

V t V t i V t j

V t V t V t

1V t 3V t

2V t

X

Y


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3:V R R

X

Y

Z

V t


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57

0 0 0P x ; y ; z

r t

a a ;a ;a 1 2 3

r( t ) P t a 0

r( t ) x ta ; y ta ; z ta 0 1 0 2 0 3

Funciones Vectoriales


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59/81


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EJEMPLO: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dadapor:

x = 2 + t, y = 3t y z = 4 - t

Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta esinmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar lafunción vectorial

r (t) = (2 + t)i + 3t j + (4 – t)k

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión,el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de

hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas


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65/81


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67/81

Ejemplo


68/81

Ejemplo


69/81

OPERACIONES

ALGEBRAICAS CONFUNCIONES VECTORIALES


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. X

X

.


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PRACTICA DE CLASE N

°

02


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1. HALLAR EL DOMINIO Y RANGO DE LA FUNCIÓN VECTORIAL

2. EVALUAR CADA FUNCIÓN VECTORIAL EN CADA VALOR DE “t”


74/81

3. REALIZAR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES VECTORIALES


75/81

1.

2.3.4.

5.6.

4. RESUELVE EL SIGUIENTE CASO.

5. ASOCIAR CADA FUNCION VECTORIAL CON SU GRÁFICA


76/81

1.2.3.

4.

PREGUNTA POR 2 PUNTOS


77/81

PREGUNTA POR 2 PUNTOSEN EXAMEN PARCIAL

1.

2.


78/81

RECORDANDO

RECORDANDO


79/81


80/81

Límite de una función vectorial


81/81

O

x

y

z r(t )

1 2 3r(t ) f (t ), f (t ), f (t )

0 0 0 0

1 2 3

t t t t t t t t lim r(t ) lim f (t ),lim f (t ),lim f (t )

)( 0t r

0t t

Límite de una función vectorial

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Calculo Vectorial - SESION N° 01 - 02