Calculo Diferencial e Integral Mathcad y Equation Grapher

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IICES CIMES Instituto de Investigacin Cientfica y Educacin Superior (IICES)

Centro de Investigaciones Matemticas Econmicas y Sociales (CIMES)

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO Y ANLISIS MATEMATICOCON APLICACIONES DEL EQUATION GRAPHER Y EL MATHCAD Autor : Jos Salomn Perdomo Meja

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL con problemas resueltos de anlisis matemtico, es un libro de nivelacin matemtica para el Postgrado Centroamericano en Matemtica Aplicada a la Economa. 16 de noviembre del 2007 IV edicin IICES e CIMES San Pedro Sula, Honduras C. A. revisado el 4 de febrero del 2014

TABLA DE CONTENIDO DE CALCULO DIFERENVCIAL E INTEGRAL

CON EL EQUATION GRAPHER Y EL MATHCAD

Pgina

AINTRODUCCION1

BEL CALCULO DE LIMITES 3

IEL ORIGEN DEL CALCULO 3

1REPASO DE LIMITES5

2DEFINICIN FORMAL DEL LMITE DE FUNCIONES6

IITEOREMAS SOBRE LIMITES Y PROBLEMAS RESUELTOS 9

III EL LIMITE UNILATERAL POR LA DERECHA 15

IVEL LIMITE UNILATERAL POR LA IZQUIERDA 16

VPROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES 16

VILIMITES DE UNA FUNCION EN INFINITO 19

VIIUN LIMITE FUNDAMENTAL 19

VIIIRESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES 20

IXPROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES22

XEJERCICIOS PROPUESTOS 45

CSUCESIONES Y SERIES68

INOTACIN SIGMA (SUMATORIA)68

IILAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA ( )69

IIIINTRODUCCION A LAS SUCESIONES Y SERIES71

IVLAS SERIES76

VLA SERIE GEOMTRICA Y PROBLEMAS RESUELTOS77

CHCONTINUIDAD81

ITIPOS DE DICONTINUIDADES 82

IITEOREMAS DE CONTINUIDAD 84

IIIEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONTINUIDAD 85

DLA DERIVADA 101

ICONCEPTOS PRELIMINARES: LA DIVISION DE LOS INCREMENTOS Y EJERCICIOS RESUELTOS 101

IIEJERCICIOS PROPUESTOS105

IIILA DERIVADA DE UNA FUNCION106

IVDEFINICIN DE DERIVADA107

VCONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD110

VIEJERCICIOS DE EVALUACIN 112

VIITEOREMAS SOBRE DERIVADAS CON PROBLEMAS RESUELTOS 114

VIIILA REGLA DE LA CADENA116

IXRENACIMIENTO Y MATEMTICAS MODERNAS119

XREPASO DE LAS FORMULAS DE DERIVACION121

EDERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMETRICAS 122

IDERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES 123

IILA DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e123

IIILA REGLA DE LA CADENA EN DERIVADAS EXPONENCIALES 125

IVLA FUNCION EXPONENCIAL f(x) = k*er*x126

VLA DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO NATURAL128

VIEJERCICIOS DE EVALUACIN129

VIIDERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS130

VIIIDERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS134

IXEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES136

XAPLICACIONES DEL TEOREMA DE LHSPITAL. EJERCICIOS RESUELTOS145

XIEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO158

XIIEL TEOREMA DE ROLLE159

FLOS OPTIMOS DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE161

IFUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES161

1VERIFIQUE LOS RESULTADOS GENERADOS POR LOS SOFTWARE164

IIMAXIMOS Y MINIMOS168

IIIEL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA171

IVMAXIMOS Y MINIMOS EN LOS EXTREMOS DEL INTERVALO173

VCONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXION175

GEL CALCULO DIFERENCIAL APLICADO A LA ECONOMIA179

ILAS FUNCIONES DE PRODUCCION DE UNA VARIABLE 179

IILA INTERPRETACION DE LA PRODUCCION MARGINAL DEL CAPITAL 181

IIIDEDUCCION DE LA PRODUCION MARGINAL DEL CAPITAL POR MEDIO DEL EQUATION GRAPHER 184

IVLA PRODUCCION EN FUNCION DEL EMPLEO Y LA PRODUCCION MARGINAL DEL EMPLEO 188

HEL CALCULO INTEGRAL191

ILA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION191

IIANTIDERIVADAS192

IIIINTRODUCCION A LA INTEGRACION194

IVLA INTEGRAL DEFINIDA

196

VPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA197

VIEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO198

VIIAPLICACIONES DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO201

VIIIVERIFICAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS DE INTEGRACION DEFINIDA204

IXLA INTEGRACION INDEFINIDA204

XINTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE 205

XIINTEGRACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS207

XII INTEGRACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES208

XIIIVERIFICAR EL RESULTADO DE LOS SIGUIENTES INTEGRALES RESUELTAS POR MEDIO DEL MATHCAD 210

XIVFORMULAS DE INTEGRACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS POR MEDIO DEL MATHCAD INCLUYENDO LAS INTEGRALES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS211

XVPROBLEMAS RESUELTOS SOBRE AREAS E INTEGRALES DEFINIDAS211

XVIINTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES222

1EJERCICIOS RESUELTOS223

2EJERCICIOS PROPUESTOS226

IFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES227

ILIMITE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES227

IICONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES227

IIICONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

IVDERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES227

JANEXO DE FORMULAS DE INTEGRALES 231

KBIBLIOGRAFIA234

A INTRODUCCION

El presente libro es para ser utilizado en la Maestra en Matemtica Aplicada a la Economa en lo concerniente a la nivelacin matemtica. Sin embargo puede ayudar a estudiantes de ingeniera y ciencias econmicas a una mejor comprensin del calculo desde la perspectiva del nuevo milenio, en el sentido de las aplicaciones de software matemtico como una herramienta de aprendizaje . La aparicin de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del clculo. Una parte interesante de escribir un libro de calculo, radica en la simbologa. El Mathcad facilita la escritura y edicin de textos de matemtica. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL en una variable ha sido elaborado con el Mathcad en la solucin cuantitativa de problemas relacionados a limites, derivadas e integrales en una variable. Presenta ademas matemtica superior, y soluciones graficas de funciones en una y dos variables independientes, etc.Se utiliz el editor del Mathcad cuyos archivos fueron salvados en formato htlm para luego ser trasladado al Word para la redaccin del texto.Otro programa que ha sido utilizado en la elaboracin de este texto es el Equation Grapher que facilita grficos en el plano cartesiano xy.

..

En el sentido anterior, el libro CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL presenta la solucin de problemas sobre limites, continuidad, derivadas de funciones polinomiales, algebraicas, racionales, exponenciales, logartmicas, trigonometricas incluyendo las funciones inversas trigonometricas. Tambin se incluye el teorema fundamental del calculo y tcnicas de integracin por cambio de variable de las diversas funciones antes comentadas. Es un texto que no pierde el formalismo matemtico a pesar de que algunos teoremas no son demostrados, pero en las aplicaciones practicas de problemas resueltos mediante el anlisis matemtico ayuda a consolidar el aprendizaje terico y practico del estudiante de calculo con el respaldo de importantes software de matemtica. Las aplicaciones del mathcad y equation grapher exige un cambio de la enseanza de la matemtica aplicada de la educacin media y superior de Centroamrica.

En el sentido antes descritos el libro en la parte B se presenta la teora de limites con ejercicios resueltos sobre las aplicaciones de los teoremas, se incluyen los fundamentos de las sucesiones y series. En la parte C estudiamos la continuidad cuyos teoremas se respaldan con ejercicios resueltos de anlisis matemtico. En la parte CH hacemos una introduccin de las sucesiones y series con el objetivo de preparar al Lector hacia el concepto del calculo integral.

D presentamos el concepto de derivada y sus teoremas respaldados con aplicaciones del Mathcad y el software equation grapher, presentamos la regla de la cadena y sus aplicaciones en el calculo diferencial. Seguidamente en la seccin E cubrimos las derivadas de funciones exponenciales, logartmicas, trigonometricas incluyendo las inversas; se presentan ejercicios resueltos sobre diferenciabilidad, continuidad, el teorema del valor medio, el teorema Rolle, el teorema de Bolzano y el teorema de Lhospital. En la parte F analizamos la teora de la optimizacin clsica en una variable con los conceptos de funciones crecientes o decrecientes, mximos o mnimos, concavidades y puntos de inflexin. En la parte G estudiamos algunas aplicaciones del calculo a la microeconoma en lo relacionado a la optimizacin econmica. En la parte H presentamos el concepto de diferencial, y de antiderivadas con ejercicios resueltos, presentamos el operador sumatoria y la integral definida y sus propiedades y ejercicios resueltos. Seguidamente presentamos el teorema fundamental del calculo con ejercicios de anlisis matemtico resueltos. El concepto de integral indefinida la presentamos con ejercicios resueltos en integracin que presentan funciones exponenciales, logartmicas y la tcnica de integracin de cambio de variable; tambin desarrollamos una extensin hacia las ecuaciones diferenciales. En la parte I concluimos con una introduccin de funciones de varias variables y el concepto de derivada parcial. En la parte J presentamos un anexo de formulas del calculo integral y finalmente presentamos la Bibliografa.

Vale mencionar mi agradecimiento a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir a nivel de libros electrnicos los 35 libros que conforman la coleccin de libros de matemtica, estadstica, economa, econometra y finanzas aplicadas. Textos disponibles en el CD del IICES e CIMES.

1. Matemtica del noveno grado

http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-noveno-grado/matematica-del-noveno-grado.shtml2. Matemtica del octavo grado

http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-octavo-grado/matematica-del-octavo-grado.shtml3. Matemtica del sptimo grado

http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-septimo-grado/matematica-del-septimo-grado.shtml]

4. EL ESPACIO VECTORIAL Y ANLLO DE LOS PLINOMIOS

http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios-elementos-geometria-analitica/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios-elementos-geometria-analitica.shtml5. PRECALCULO YLINITES CON EL EQUATION GTAPHER.

http://www.monografias.com/trabajos99/pre-calculo-y-limites-aplicaciones-del-equation-grapher/pre-calculo-y-limites-aplicaciones-del-equation-grapher.shtml6. ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES DEL NATHCAD Y HOJAS ELECTRONOCAS

EN TRAMITE SUPUBLICACION EN MONOFGRAFIAS.COM7. BACHILLERATO VIRTUAL EN ECONOMIA Y FINANZAShttp://www.monografias.com/trabajos95/bachillerato-virtual-economia-y-finanzas/bachillerato-virtual-economia-y-finanzas2.shtml8. MAESTRIA EN MODELOS EN DECISIONES GERENCIALEShttp://www.monografias.com/trabajos93/modelos-decisiones-gerenciales-grado-maestria/modelos-decisiones-gerenciales-grado-maestria.shtml9. MAESTRIA EN DIRECCION ESTRATEGICA DE RECURSOS HUMANOShttp://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-recursos-humanos/direccion-estrategica-recursos-humanos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-del-recurso-humano-grado-maestria/direccion-estrategica-del-recurso-humano-grado-maestria.shtml10. MAESTRIA EN ECONOMIAS Y FINANZAS http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-economia-y-finanzas-propuesta-educatica/maestria-economia-y-finanzas-propuesta-educatica.shtml11. MAESTRIA EN ESTADISTICA EN INVESTIGACION SOCIOECONOMICAhttp://www.monografias.com/trabajos96/maestria-estadistica-e-investigacion-economica-social/maestria-estadistica-e-investigacion-economica-social.shtml12. ADMINISTRACION E INCUBACION DE EMPRESAShttp://www.monografias.com/trabajos96/administracion-e-incubacion-empresas/administracion-e-incubacion-empresas.shtml13. APERTURA COMERCIAL MODERNISMO Y DESARROLLO ECONOMICOhttp://www.monografias.com/trabajos95/apertura-comercial-modernismo-y-desarrollo-economico/apertura-comercial-modernismo-y-desarrollo-economico.shtml14. ESTRATEGIA DE REDUCCION DE LA POBREZAhttp://www.monografias.com/trabajos97/estrategia-reduccion-pobreza-erp-perspectivas-del-tercer-milenio/estrategia-reduccion-pobreza-erp-perspectivas-del-tercer-milenio.shtml15. Modelos de Econometra. Modelos para el teorema de Prebisch Uribe Llopis. Caso Honduras

http://www.monografias.com/trabajos93/econometria-modelos-teorema-prebisch-uribe-llopis/econometria-modelos-teorema-prebisch-uribe-llopis.shtml16. Honduras: Restriccin externa, mercados financieros y empleo. Una aplicacin del Teorema de Prebisch Uribe

http://www.monografias.com/trabajos93/honduras-restriccion-externa-y-empleo/honduras-restriccion-externa-y-empleo.shtml17. Hacia la demostracin del teorema de PREBISCH_URIBE_LLOPIS

http://www.monografias.com/trabajos93/demostracion-del-teorema-prebisch-uribe-llopis/demostracion-del-teorema-prebisch-uribe-llopis.shtml18. MODELOS DE ECONOMETRIA DE LA ALCALDIA DE SAN PEDRO SULAhttp://www.monografias.com/trabajos97/modelos-econometria-alcaldia-san-pedro-sula/modelos-econometria-alcaldia-san-pedro-sula.shtml19. EL FINANCIAMIENTO AL SECTOR AGROPECUARIO DE HONDURAS 1970 2006 PERSPECTIVAShttp://www.monografias.com/trabajos93/financiamiento-al-sector-agropecuario-1970-2006-y-perspectivas/financiamiento-al-sector-agropecuario-1970-2006-y-perspectivas.shtml20. MODELOS DE ECONOMETRIA APLICADA ALCAMARON Y TILAPIAhttp://www.monografias.com/trabajos96/modelos-econometria-aplicada-al-camaron-rol-del-estado/modelos-econometria-aplicada-al-camaron-rol-del-estado.shtmlB. EL CALCULO DE LIMITES

I EL ORIGEN DEL CALCULO

La matemtica obtuvo su mayor aporte de la cultura Greco Romana. Fue en Grecia, donde se hizo popular la creacin de escuelas, en donde los grandes pensadores de la poca daban resolucin a los problemas ms populares de geometra, algebra y trigonometra. En el campo de la geometra, se dio la demostracin del teorema de Pitgoras, a dems que fue hallado el mtodo para conseguir la serie indefinida de ternas de nmeros pitagricos. Importantes aportes se dieron en la resolucin y demostracin de distintos problemas, como en la triseccin de un ngulo, y en la cuadratura de reas acotadas por una curva. Esto conllev a al avance en l calculo del nmero y a la creacin del mtodo de exaucin o mtodo de agotamiento (predecesor del clculo de limites), creado por Euxodo. El clculo se deriva de la antigua geometra griega. Demcrito calcul el volumen de pirmides y conos, se cree que considerndolos formados por un nmero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeo), y Eudoxo y Arqumedes utilizaron el "mtodo de agotamiento" para encontrar el rea de un crculo con la exactitud requerida mediante el uso de polgonos inscritos.

El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al lgebra y la geometra, los llev a la constriccin de una nueva rama de las matemticas, llamada, lgebra geomtrica. En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que implicaban la construccin de limites, por lo que en su poca, Demcrito y otros grandes pensadores intentan darles respuesta con la unificacin de las matemticas y la teora filosfica atomicista, generando la primera concepcin del mtodo del lmite.

En el siglo XX los adelantos de sistemas numricos compactos ha permitido consolidar los estudios y anlisis del calculo. Volvemos al tercer milenio. Si Repasamos el precalculo diremos que una funcin es una regla que asigna a cada uno de ciertos nmeros reales un nmero real...

Ejemplo 1.La regla que asigna a todo nmero su cuadrado: para todo x.

Ejemplo 2. para todo y.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Debe quedar claro que una funcin es una regla cualquiera que hace corresponder nmeros de un conjunto a elementos de otro, es posible que la regla no presente aplicaciones practicas. Ms an, la regla puede prescindir de algunos nmeros y puede incluso no estar del todo claro a qu nmeros se aplica la funcin. El conjunto de los nmeros a los cuales se aplica una funcin recibe el nombre de dominio de la funcin.

La prctica corriente consiste en designar una funcin mediante una letra. Se emplea preferentemente la letra 'f ', lo cual hace que sigan en orden de preferencia las letras 'g' y 'h', pero en fin de cuentas puede servir cualquier letra (e incluso cualquier smbolo razonable) sin excluir la variable x y la variable y, si bien estas letras suelen reservarse para designar nmeros. Si f es la funcin, entonces el nmero que f asocia con {el nmero} x se designa por f(x); este smbolo se lee ' f de x', se le da con frecuencia el nombre de valor de f en x.

De manera formal una funcin es una coleccin de parejas ordenadas con la siguiente propiedad: Si las parejas ordenadas (a, b) y (a, c) pertenecen ambos a la coleccin, entonces b = c; en otras palabras, la coleccin generada por f es un conjunto de parejas ordenadas que no debe contener dos pares distintos con el mismo primer componente de la parejas ordenadas. La variable (dependiente) y, es funcin de la variable (independiente) x, denotamos esta relacin por y = f (x) que significa que la variable y depende de la variable x o y es una funcion de x.

El conjunto de los valores x que aparece en esta definicin se llama dominio de la funcin.

Se dice que una variable y es funcin de otra x, cuando ambas estn relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variacin le corresponde un {uno slo} valor de y. La variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relacin que liga a la funcin con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ej., una tabla de logaritmos), una grfica o una ecuacin. La grfica de una funcin es una coleccin de pares de nmeros, el trazado de una funcin se reduce a trazar cada uno de los pares de la misma. El dibujo as obtenido recibe el nombre de grfica de la funcin. En otros trminos, la grfica contiene todos los puntos correspondientes a pares (x, f (x)). Una de las ideas ms fructferas y brillantes de la segunda mitad del siglo XVII fue la de la conexin entre el concepto de funcin y la representacin geomtrica de una curva. Esta conexin puede realizarse, por ejemplo, por medio de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.

Entre todos los conceptos que se presentan en el clculo infinitesimal, el de lmite es el ms importante, y quizs el ms difcil. Vamos a definir la nocin de funcin que tiende hacia un lmite. Segn Michael Spivak en su libro de calculo, la funcin f tiende hacia el lmite l en a significa: para todo numero > 0 existe algn numero > 0 tal que, para todo x, si .

En el libro PRECALCULO Y LIMITES anterior hemos desarrollado las definiciones de limites con ejercicios resueltos con el Equation Grapher y el MathCad. Continuaremos con el concepto intuitivo de los lmites como un repaso.

1 REPASO DE LIMITES

Lmites de Funciones

f (x ) = L

Vamos a interpretar la expresin anterior, donde f(x) es una funcin y c y l son nmeros reales

El punto c puede pertenecer al dominio de f(x) o no pertenecer, lo que interesa a que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c.

Si nos acercamos a c por la derecha, tambin las imgenes se acercan a L por arriba

Si nos acercamos a c por la izquierda, tambin las imgenes se acercan a L por abajo.

El limite tambin puede no existir como en el siguiente caso

ver grficos siguientes.

Cuando x se aproxima a c por la izquierda ver la figura de arriba el valor de f(x) ) es constantemente -1, mientras que cuando x se aproxima a c por la derecha, el valor de f(x) es constantemente 1. No existe un nmero al que se aproxime f(x) cuando x se aproxima a c por ambos lados; es decir,

lim f(x) no existe.

X(c

2. DEFINICIN FORMAL DEL LMITE DE FUNCIONESHemos tratado de explicar la idea de lmite de una forma intuitiva. No obstante, nuestras presentaciones requieren de un poco de rigurosidad y en este sentido seremos un poco mas formales. Decir que lim f (x) = L x(c

es decir que la diferencia entre f(x) y L puede hacerse arbitrariamente pequea (menor que cualquier nmero positivo arbitrario) requiriendo simplemente que x sea suficientemente prximo a c.

Pensemos en un nmero positivo y llammosle s, (epsilon). Si es cierto que

lim f(x) = L x(c

podemos estar seguros de que para todo x suficientemente prximo a c. es decir, podemos estar seguros de que existe un nmero positivo (delta) tal que:

si entonces .Definicin formal de limite.

por el teorema de valor absoluto esto significa

significa que f(x) esta en el intervalo abierto ] l- , l+ [

Ahora afirmar que significa que x(] c- , c + [ por lo tanto lim f (x) = 1 si y solo si para todo numero pequeo >0 existe otro numero

x(c pequeo > 0 tal que si x(]c-, c+ [ entonces

f(x) ( ]l-, l+ [

Ejemplo.

(3*x - 2) = 4 ( > 0 >0 tal que si |x - 2| 0 tal que, para todo x> N lf(x) - Ll <

X

Evalue lim f(x) = 1/x = 0 observar el grafico

x

Ejemplo 8: Calcular lim f(x) = lim (1+1/x) = 1 sustituir lim (1/x) = 0 entonces:

x x x lim f(x) = lim (1+1/x) = 1

VII UN LIMITE FUNDAMENTAL

Estudiemos el siguiente limite si evaluamos directamente obtenemos

una forma indeterminada. Puede demostrarse que Este teorema se demuestra con geometra, sin embargo aplicando el teorema de LHospital se resuelve como miraremos en las aplicaciones de tan importante teorema del calculo.

Aplicando el teorema podemos evaluar por ejemplo algunas variantes: si evaluamos directamente Obtenemos una forma indeterminada. Por lo que:

Finalmente obtenemos:

En forma general si

Ejemplos:

VIII RESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES

1.

2.

3.

Dado el polinomio p(x) = an*xn + an-1*xn-1 +...+..a1*x1 + a0 * x0

4.

5.

Si el ndice del radical es par, se requiera que el lmite

sea positivo o cero para que el lmite inicial pueda existir

6.

Si el ndice del radical es impar el lmite

va a existir para cualquier f(x) polinomial

7.

8.El nmero e = 2.71828.

El lmite de una funcin exponencial es la base elevada al lmite de la funcin.

9.

Sea f(x) una funcin definida en un intervalo abierto ]a, c[, entonces el lmite de f(x) cuando x se aproxima a un nmero a por la derecha es L, y se escribe

para todo > 0 existe un () > 0 tal que, para todo x, 0< x-a < entonces f(x) - L <

> 0 existe un () > 0 tal que x, 0< x-a < f(x) - L <

(Observacin: las barra de valor absoluto para (x-a) desaparecen porque x > a.

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Sea f(x) una funcin definida en un intervalo abierto ]d, a[, entonces el lmite de f(x) cuando x se aproxima a un nmero a por la izquierda es L, y se escribe

para todo > 0 existe un () > 0 tal que, para todo x, 0< x-a < entonces f(x) - L <

> 0 existe un () > 0 tal que x, 0< a - x < f(x) - L <

(Observacin: las barra de valor absoluto para (a - x) desaparecen porque x < a.

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Este se interpreta: f(x) se aproxima a un nmero N a medida que x se aproxima a un nmero por la derecha de a. Este se interpreta: f(x) se aproxima a un nmero M a medida que x se aproxima a un nmero por la izquierda de a.

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Limite de f(x) en un valor infinito Lim f(x)

se dice que el limite Lim f(x) = L

x

Lim f(x) = L para todo > 0 (N > 0 tal que, para todo x> N lf(x) - Ll <

X

Observacin:

Todos los teoremas sobre limites unilaterales, limites al infinitos y limites infinitos cumplen con los teoremas sobre sumas, productos y divisiones sobre limites. A continuacin presentamos ejercicios resueltos sobre limites. IX PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES

Aplicando los teoremas sobre lmites calcular:

El lmite de la funcin f(x) = 6/x cuando

1. x tiende a + 2. x tiende a -3. x tiende a 0-4. x tiende a 0+Grficamente la funcin en estudio tiene el siguiente comportamiento

Respuesta

Calcular el lmite de la funcin f(x) = 5/(x-4) cuando

1. x tiende a + 2. x tiende a -3. x tiende a 4-4. x tiende a 4+5. x tiende a 5Grficamente tenemos:

Respuesta:

igual a cero por la derecha.igual a cero por la izquierdaIgual a + = infinito poitivo.Igual a - = infinito negativo

Formalmente definimos

Sea f una funcin definida en todo nmero de algn intervalo abierto I que contenga a, excepto posiblemente en el nmero mismo. Cuando x tiende a a; f(x) crece sin lmite, lo cual escribe lm f(x) =+ si para cualquier nmero N > 0 existe un S > 0 tal que f (x) > N siempre que 0 < x- a< SEjemplo para ser resuelto por el Lector. f(x) = . 3 . (x - 2)2

Ejemplo:

Calcular el lmite de la funcin f(x) = 5/(x-4)2 cuando

1. x tiende a + 2. x tiende a -3. x tiende a 4-4. x tiende a 4+5. x tiende a 5Grficamente tenemos:

igual a + = mas infinito positivoigual a + = infinito positivo

Otros limites de interes

igual a cero por la derechaigual a cero por la izquierda

Definicin:Sea f una funcin definida en todo nmero de algn intervalo abierto I que contenga a, excepto posiblemente en el nmero mismo. Cuando x tiende a a; f(x) decrece sin lmite, lo cual escribe lm f(x) = - si para cualquier nmero N< 0 existe un S > 0 tal que f (x) < N siempre que 0 < x- a< SEjemplo: calcule lim -3/(x-2)^2 cuando x2 hacer tabla de valores

alrededor de 2

y=-3/(x-2)^2

xy

0-0.75

0.1-0.831

0.2-0.926

0.3-1.04

0.4-1.17

0.5-1.33

0.6-1.53

0.7-1.78

0.8-2.08

0.9-2.48

1-3

1.1-3.7

1.2-4.69

1.3-6.12

1.4-8.33

1.5-12

1.6-18.8

1.7-33.3

1.8-75

1.9-300

Observar que cuando x se aproxima a 2 la funcion decrece negativamentey=-3/(x-2)^2

xy

4-0.75

3.9-0.831

3.8-0.926

3.7-1.04

3.6-1.17

3.5-1.33

3.4-1.53

3.3-1.78

3.2-2.08

3.1-2.48

3-3

2.9-3.7

2.8-4.69

2.7-6.12

2.6-8.33

2.5-12

2.4-18.8

2.3-33.3

2.2-75

2.1-300

Evaluar el siguiente limite

Considerando que el Dominio es R - {-2, 5} esto es los reales sin los puntos x = -2 y x = 5

grficamente tenemos lo siguiente

Respuesta: El problema presenta dos indeterminaciones (/) por lo que hay que aplicar dos veces la divisin sinttica o mtodo de Ruffini quedando:

Finalmente la solucin al problema es:

Evaluar el siguiente lmite

Grficamente tenemos lo siguiente:

Aplicando la siguiente regla: cuando tenemos un lmite al infinito en el cociente de dos polinomios y si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador entonces dicho lmite es infinito o no existe. Ver el grfico.

Calculando por pasos tenemos:

El lmite al menos infinito es :

Hemos aplicado la propiedad

Evaluar

Solucin:

Antes de simplificar miremos el grafico

Sigamos con la simplificacin:

Evaluar

Si (2*x-6)< 0 tenemos x < 3 implica (2*x 6) = -1*(2*x - 6) = -2*(x-3)

Si (2*x-6)> 0 tenemos x > 3 implica (2*x 6) = (2*x - 6) = 2*(x-3)

Por lo tanto el lmite no existe dado que los lmites a la izquierda de 3 es diferente del limite cuando se aproxima a 3 por la derecha.

Grficamente tenemos

Evaluar

Resolviendo presenta una forma indeterminada luego aplicando la divisin sinttica o mtodo de Ruffini simplificamos (x-1) quedando lo siguiente::

Grficamente tenemos

Evaluar

Si x > -1 tenemos que x + 1 = x + 1

Si x< -1 tenemos que x + 1 = -(x + 1)

Por lo tanto el lmite cuando x se aproxima a 1 por la izquierda es diferente al lmite cuando x se aproxima a 1 por la derecha, por lo tanto el lmite propuesto no existe.

Grficamente tenemos el siguiente comportamiento:

La linea vertical no es parte del grafico.

Ejercicio.

Evaluar el siguiente limite:

Si evaluamos directamente obtenemos una forma indeterminada por lo que cancelando del numerador y del denominador el factor x -4 obtenemos el valor:

El punto (4, 2) no es parte del siguiente grfico.

Dada la funcin f(x)

Funcin equivalente a

f(x) = (x*(x+1))1/2 xcalcule

Evaluamos f() = que es una indeterminada. Procedemos a racionalizar el numerador y seguidamente aplicamos la tcnica dividimos por x/x y obtenemos el resultado aplicando las propiedades de lmites al infinito.

El grfico es el siguiente:

El dominio de f(x) est formado por {x / x-1 x0}Ejemplo

Calcule el siguiente lmite f(x) = (x2 x)1/2 (2*x2 + 1) el grfico es el siguiente:

Dado que f() =- es una forma indeterminada buscamos el lmite racionalizando el numerador y obtenemos otra forma indeterminada.

Observar que por medio del grfico dicho lmite al infinito es menos infinito. Tal lmite no existe. Realizaremos los clculos para probar lo que el grfico refleja.

Ahora dividimos y multiplicamos por la mayor potencia de x en el denominador:

Ejemplo: Compruebe que Grficamente tenemos:

El dominio son los - {+1, -1} el Rango es Resolviendo el limite:

Ejemplo

compruebe que

Grficamente tenemos:

Ejemplo:Compruebe que


Tambin observar que

Ejemplo:

La solucin del problema 6

La solucin del problema se presentan dos formas indeterminadas (0/0) por lo que racionalizamos el numerador y despus factorizamos para levantar las formas indeterminadas.

Seguidamente se evala el lmite.

Ejemplo:


La solucin del problema

Al evaluar el lmite en cero, nos queda 2/0 = tenemos que determinar si el lmite es - +Para ello tomamos un valor cercano a 0 por la derecha o la izquierda. El coseno de x para valores cercanos a cero toma el valor de uno por la izquierda. Este es un valor positivo menor que uno. Por lo que [cos(x)]3< [cos(x)]2 por lo que

[cos(x)]2 - [cos(x)]3 > 0

Ejemplo:

Grficamente tenemos


Sen(2x) = 2sen(x)*cos(x) nos queda una forma indeterminada por lo debemos de factorizar para evaluar correctamente el lmite.

Problema:

Grficamente tenemos

PROBLEMA


PROBLEMA


Solucin: para x > 1 el limite de f(x) cuando x se aproxima a uno por la derecha presenta una forma indeterninada (/)por lo que cancelando el factor comn (x-1) obtenemos lo siguiente

PROBLEMA

Resuelva ( 5 x - 3 x + 1 )

Sol. (5 x - 3 x + 1)= 5 x - 3x + 1

= 5 x - 3 x + 1

= 5 ( 2 ) - 3 ( 2 ) + 1

= 5 ( 4 ) - 6 + 1

= 20 - 6 + 1

= 21 - 6 = 15

PROBLEMA

2. Resuelva ( x - x + 1 ) ( x - 3 )

Sol. = ( x - x + 1 ) ( x - 3 ) = [ x -x + 1] [x - 3 ]

= [ 1 - 1 + 1 ] [ 1 - 3 ]

= [ 1 - 1 + 1 ] [ 1 - 3 ]

= [ 2 -1 ] [ - 2 ]

= [ 1 ] [ - 2 ]

= - 2

PROBLEMA

Resuelva

Sol.

EMBED Equation.3 = =

=

PROBLEMA

Encontrar

EMBED Equation.3 Sol.

EMBED Equation.3 == 3

PROBLEMA

La funcin signo se define por:

a) Trazar grfica de esta funcin

b) Determinar sgn x y sgn x, si existen

Sol. b ) ya que sgn x = -1 si x < 0 y sgn x = 1 si x > 0 tenemos:

sgn x = ( -1 )

sgn x = 1

= 1 En el ejemplo anterior sgn x

EMBED Equation.3 sgno x puesto que el lmite por el lado izquierdo y por el lado derecho no son iguales, el lmite bilateral no existe debido a que los lmites unilaterales son distintos

XY( X, Y )XY( X, Y )

-11(-1, 1)11( 1,1)

-22(-2, 1)22( 2,1)

f ( x ) = | x |

f (x ) = x

f (-1 ) = | -1| = 1f ( 1 ) = |1| = 1

f (- 2) = | -2| = 2 f ( 2 ) = |2| = 2

g (x) = (-x )= 0 g ( x ) = x = 0

Ya que g (x) = g (x) se deduce que g (x) = 0 el lmite existe

2. Sea h definida por

a) Trazar la grfica de h

b) Determinar cada uno de los siguientes lmites si existen a) h (x) b) h (x) c) h ( x )

(4 - x ) = 3 ( 2 + x ) = 3 como h ( x ) = h (x) = 3 se deduce que h ( x ) = 3.

PROBLEMA Sea f definida por a) Trazar la grfica de f

b) Hallar si existen cada uno de los lmites siguientes

f ( x ) f ( x )

f ( x )

( x + 5 ) = -3+5= 2

EMBED Equation.3 = 0 como f ( x ) f ( x ) No existe el lmite

= 0

( 5 - x ) = 5-3 = 2 como f ( x ) f ( x ) No existe lmite

X EJERCICIOS PROPUESTOS

a) Trazar la grfica de g

b) Hallar el g ( x ) si existe

c) Encuentre ( 4 x 3 - 6 x 2 + 8 x - 10 )

d) Encuentre ( 2 x 2 - 3 x + 6 ) ( 8 x 2 + 2 x + 3 )

e)

f)

EMBED Equation.3 g) Si f es una funcin definida por:

Trace la grfica b) Encuentre el lmite si existe f ( x ) f ( x ) y f ( x )

h) Sea f una funcin definida por:

Trace la grfica

Encuentre el lmite si existe f ( x ) f ( x ) y f ( x )

i) Sea f una funcin definida por:

Trace la grfica

Encuentre el lmite si existe f ( x ) f ( x ) y f ( x )

j) Sea g una funcin definida por:

Trace la grfica

Encuentre los siguientes lmites si existen g ( r ) g ( r ) y g ( r )

EJERCICIOS SOBRE LIMITES INFINITOS

1. Sea f la funcin definida por f( x ) =

Cuando x esta cercana a 2. Hagamos que x tienda a 2 por la derecha observamos que cuando x se aproxima a 2 cada vez ms y ms con valores mayores que 2 , f ( x ) crece hacia elk infinito, lo mismo ocurre cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, ver grafico y tabla de valores.

EMBED Equation.3 = +

Ahora hagamos que x tienda a 2 por la izquierda considerando los valores de la tabla Observamos que conforme x se acerca a 2 a travs de valores menores que 2 la funcin f ( x ) crece hacia el infinito; por esto escribimos:


Por consiguiente, cuando x tiende a 2 ya sea por la derecha o por la izquierda f ( x ) crece sin lmite y escribimos :


EJERCICIOS SOBRE LIMITES INFINITOS

Recordamos los teoremas

1.


Ejemplos Aclaratorios

1.


2.


3.

EMBED Equation.3 = -

Otros repasos sobre lmites

Si a R y f (x) = 0 y el g (x) = c donde c en una constante diferente de cero entonces:

a) Si c > 0 y si f ( x )( 0 a travs de valores positivos de f ( x )


b) Si c < 0 y si f ( x )( 0 a travs de valores negativos de f ( x )


c) Si c < 0 y si f ( x )( 0 a travs de valores positivos de f ( x )


d) Si c < 0 y si f ( x )( 0 a travs de valores negativos de f ( x )


Ejercicios Resueltos

1. Resuelva


EMBED Equation.3 = ; 7 > 0 pero como x tiende a cero a travs de

valores positivos, entonces :

EMBED Equation.3 =+

2. Evale


EMBED Equation.3 = = 7 > 0 pero como x tiende a cero a travs de

valores negativos, entonces:

EMBED Equation.3 =-

Ejercicios Propuestos

1. Evale

EMBED Equation.3 2. Evale



EMBED Equation.3 EJERCICIOS SOBRE LIMITES AL INFINITO

sea f que esta definida por f(x) =

Calcule lim f(x)

x(+(Calcule lim f(x)

x(-(

Los teoremas por aplicar son:

1.

EMBED Equation.3

2.

EMBED Equation.3 Ejercicios Resueltos

1. Evale


EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 22. Determinar


EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 0

*** NOTA ***

Siempre se divide la expresin dada entre la variable de mayor exponente

3 PROBLEMAS RESUELTOS

Calcular el lmite de la funcin f(x) = 5/(x-4)2 cuando

x tiende a + x tiende a - x tiende a 4- x tiende a 4+ x tiende a 5Grficamente tenemos:

igual a + = mas infinito positivoigual a + = infinito positivo

Otros limites de interes

igual a cero por la derechaigual a cero por la izquierda

Ejemplo: calcule lim -3/(x-2)^2 cuando x2 hacer tabla de valores

alrededor de 2

y=-3/(x-2)^2

xy

0-0.75

0.1-0.831

0.2-0.9 26

0.3-1.04

0.4-1.17

0.5-1.33

0.6-1.53

0.7-1.78

0.8-2.08

0.9-2.48

1-3

1.1-3.7

1.2-4.69

1.3-6.12

1.4-8.33

1.5-12

1.6-18.8

1.7-33.3

1.8-75

1.9-300

Observar que cuando x se aproxima a 2 la funcion decrece negativamentey=-3/(x-2)^2

xy

4-0.75

3.9-0.831

3.8-0.926

3.7-1.04

3.6-1.17

3.5-1.33

3.4-1.53

3.3-1.78

3.2-2.08

3.1-2.48

3-3

2.9-3.7

2.8-4.69

2.7-6.12

2.6-8.33

2.5-12

2.4-18.8

2.3-33.3

2.2-75

2.1-300

Evaluar el siguiente limite

Considerando que el Dominio es R - {-2, 5} esto es los reales sin los puntos x = -2 y x = 5

grficamente tenemos lo siguiente

Respuesta: El problema presenta dos indeterminaciones (/) por lo que hay que aplicar dos veces la divisin sinttica o mtodo de Ruffini quedando:

Finalmente la solucin al problema es:

Evaluar el siguiente lmite

Grficamente tenemos lo siguiente:

Aplicando la siguiente regla: cuando tenemos un lmite al infinito en el cociente de dos polinomios y si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador entonces dicho lmite es infinito o no existe. Ver el grfico.

Calculando por pasos tenemos:

El lmite al menos infinito es :

Hemos aplicado la propiedad

Evaluar

Solucin:

Antes de simplificar miremos el grafico

Sigamos con la simplificacin:

Evaluar

Si (2*x-6)< 0 tenemos x < 3 implica (2*x 6) = -1*(2*x - 6) = -2*(x-3)

Si (2*x-6)> 0 tenemos x > 3 implica (2*x 6) = (2*x - 6) = 2*(x-3)

Por lo tanto el lmite no existe dado que los lmites a la izquierda de 3 es diferente del limite cuando se aproxima a 3 por la derecha.

Grficamente tenemos

Evaluar

Resolviendo presenta una forma indeterminada luego aplicando la divisin sinttica o mtodo de Ruffini simplificamos (x-1) quedando lo siguiente::

Grficamente tenemos

Evaluar

Si x > -1 tenemos que x + 1 = x + 1

Si x< -1 tenemos que x + 1 = -(x + 1)

Por lo tanto el lmite cuando x se aproxima a 1 por la izquierda es diferente al lmite cuando x se aproxima a 1 por la derecha, por lo tanto el lmite propuesto no existe.

Grficamente tenemos el siguiente comportamiento:

La linea vertical no es parte del grafico.

Ejercicio.

Evaluar el siguiente limite:

Si evaluamos directamente obtenemos una forma indeterminada por lo que cancelando del numerador y del denominador el factor x -4 obtenemos el valor:

El punto (4, 2) no es parte del siguiente grfico.

Dada la funcin f(x)

Funcin equivalente a

f(x) = (x*(x+1))1/2 xcalcule

Evaluamos f() = que es una indeterminada. Procedemos a racionalizar el numerador y seguidamente aplicamos la tcnica dividimos por x/x y obtenemos el resultado aplicando las propiedades de lmites al infinito.

El grfico es el siguiente:

El dominio de f(x) est formado por {x / x-1 x0}Ejemplo

Calcule el siguiente lmite f(x) = (x2 x)1/2 (2*x2 + 1) el grfico es el siguiente:

Dado que f() =- es una forma indeterminada buscamos el lmite racionalizando el numerador y obtenemos otra forma indeterminada.

Observar que por medio del grfico dicho lmite al infinito es menos infinito. Tal lmite no existe. Realizaremos los clculos para probar lo que el grfico refleja.

Ahora dividimos y multiplicamos por la mayor potencia de x en el denominador:

Ejemplo: Compruebe que Grficamente tenemos:

El dominio son los - {+1, -1} el Rango es Resolviendo el limite:

Ejemplo

compruebe que


Ejemplo:Compruebe que


Tambin observar que

Ejemplo:


La solucin del problema se presentan dos formas indeterminadas (0/0) por lo que racionalizamos el numerador y despus factorizamos para levantar las formas indeterminadas.

Seguidamente se evala el lmite.

Ejemplo:



Al evaluar el lmite en cero, nos queda 2/0 = tenemos que determinar si el lmite es - +Para ello tomamos un valor cercano a 0 por la derecha o la izquierda. El coseno de x para valores cercanos a cero toma el valor de uno por la izquierda. Este es un valor positivo menor que uno. Por lo que [cos(x)]3< [cos(x)]2 por lo que

[cos(x)]2 - [cos(x)]3 > 0

Ejemplo:

Grficamente tenemos


Sen(2x) = 2sen(x)*cos(x) nos queda una forma indeterminada por lo debemos de factorizar para evaluar correctamente el lmite.

Problema:

Grficamente tenemos

PROBLEMA


PROBLEMA


Solucin: para x > 1 el limite de f(x) cuando x se aproxima a uno por la derecha presenta una forma indeterninada (/)por lo que cancelando el factor comn (x-1) obtenemos lo siguiente

C SUCESIONES Y SERIES

I NOTACIN SIGMA (SUMATORIA)

Explicaremos este tipo de notacin mediante ejemplos:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

para todo wi (( i = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Ejemplo 3

(zi ((, i = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Por lo tanto:

II LAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA ( )1) siendo k una constante. k((Ejemplos

2)

Observar que

3)

(la sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias

Observar:

Por la propiedad conmutativa y asociativa de la suma agrupamos de la manera siguiente:

Por lo tanto:

Ejercicios :

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

COMPROBAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS OBTENIDOS POR EL MATHCAD

III INTRODUCCION A LAS SUCESIONES Y SERIES

Las palabras serie y sucesin son sinnimas y se utilizan para designar un conjunto de sucesos ordenados. En Matemtica, sucesin o serie tienen un especial significado. En el leguaje comn la palabra sucesin tiene un sentido parecido al matemtico. Se quiere indicar un conjunto de objetos puestos en orden, pero en el leguaje comn la palabra serie se usa en un sentido completamente distinto. En matemtica como se vera mas adelante la serie tiene caractersticas especiales aunque una serie es un caso especial de sucesin.

Si a cada entero positivo n est asociado un nmero real a, entonces se dice que el conjunto ordenado a1 ,a2,a3,...,an....

define una sucesin infinita. Cada trmino de la sucesin tiene asignado un entero positivo, de manera que se puede hablar del primer trmino a1 del segundo trmino a2 y en general del trmino ensimo an. Cada trmino an tiene un siguiente an+1 y por tanto no hay un ltimo trmino.

Los ejemplos ms corrientes de sucesiones se pueden construir dando alguna regla o frmula que defina el trmino n-simo. As, por ejemplo, la frmula an = 1/n define la sucesin cuyos primeros trminos son:

Algunas veces se necesitan dos o ms frmulas para definir una sucesion, por ejemplo: a2n-1 = 1,a2n = 2n2 Siendo en este caso los primeros trminos 1, 2, 1, 8, 1, 18, 1, 32, 1 .

Otra manera popular de definir una sucesin es mediante un conjunto de instrucciones que indican cmo se obtiene un trmino a partir de los anteriores. As, se tiene por ejemplo: a1 = a2 = 1,an+1 = an + an-1 para n 2.

Este mtodo particular se conoce por frmula de recurrencia y define una sucesin famosa llamada de Fibonacci. Los primeros trminos son:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

En toda sucesin lo esencial es que existe una funcin f definida en los enteros positivos, tal que f(n) es el trmino ensimo de la sucesin para cada i = 1, 2, 3, ... Efectivamente, ste es el camino ms conveniente para establecer una definicin tcnica de sucesin.

DEFINICIN. Una funcin f cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros positivos 1, 2, 3, . . . se denomina sucesin infinita. El valor f(n) de la funcin se denomina el trmino ensimo de la sucesin.

El rango o recorrido de la funcin (es decir, el conjunto imgenes de la funcin) se manifiesta, escribiendo los trminos ordenadamente, as:f (1), f(2), f(3) f (n), . . . .

Utilizaremos la notacin { f(n)} para indicar la sucesin cuyo trmino ensimo es f(n). Es decir una sucesin es una funcin del conjunto de los numeros naturales al conjunto de los nmeros reales, siendo el dominio el conjunto de los naturales y las imgenes de la funcin un subconjunto de los nmeros reales. Para denotar una sucesion podemos utilizar las expresiones an , sn , xn un etctera.

Nos interesa si los trminos f(n) tienden o no a un lmite finito cuando n crece indefinidamente. Para ello, se precisa utilizar el concepto de lmite a las sucesiones, lo que se logra con la siguiente definicin:DEFINICIN. Una sucesin { f(n)} tiene lmite L si, para cada nmero positivo , existe otro nmero positivo N(). tal que

En este caso, decimos que la sucesin { f(n)} converge hacia L y escribimos

Lim f(n) = L o f(n)(L cuando n((n((Una sucesin que no converge se llama divergente

En esta definicin solo estudiaremos para el caso de los nmeros reales, pero en el caso de sucesiones de nmeros complejos sabemos que se descomponen en una parte real y una parte imaginaria. Tambin existen sucesiones al infinito o sucesiones divergentes por ejemplo lim f(n) = ( cuando n( (Otros ejemplos de sucesiones son: f(n) = (-1)n f(n)=

Al igual que los limites de funciones reales los limites de sucesiones siguen las reglas bsicas para sumas, productos, etc., son vlidas tambin para lmites de sucesiones convergentes. Al igual que los limites de funciones reales vistas anteriormente los siguientes ejemplos de sucesiones tienen la mismo comportamiento:

Diremos que la sucesin {f(n)} es creciente si satisface:

f(n) ( f(n+1) para todo n 1

Diremos que la sucesin {f(n)} es decreciente si satisface:

f(n) ( f(n+1) para todo n 1

Definicin:

Diremos que una sucesin es montona si es creciente o decreciente.

Teorema:

Una sucesin montona converge si y solo si la sucesin es acotada.

Observacin: una sucesin {f(n)} es acotada si existe un numero M tal que

(f(n)( ( M para todo n. Una sucesin que no esta acotada de denomina no acotada.

Ejemplos

an = 2 + observe que si n ( Entonces ( 0

Luego 2 + ( 2 cuando n ( por lo tanto

Con la utilizacin de la simbologia de sumatoria tenemos que :

= a1 + a2 + a3 + ... + an

Ejemplo:

S5 = significa la suma de los cinco primeros trminos de la sucesin 2k

Ejercicios Resueltos :

1. Resuelva S3=

Sol. S3 =

=[ 2 - 1] (1) + [ 4 -1 ] (2)+ [ 6 -1] (3)

=[1] (1) + [3] (2)+ [ 5 ] (3)

= 1 + 6 + 15

= 22

2. Resuelva

Sol.

= 2 3 ( 3 - 1 ) + 2 4 ( 4 - 1 ) + 2 5 ( 5 - 1 )

= 8 ( 2 ) + 16 ( 3 ) + 32 ( 4 )

= 16 + 48 + 128

= 192

3. Resuelva S4 =

Sol. S4 =

= 12 [2 (1) - 2] + 22 [2 (2) - 2] + 32 [2 (3) - 2] + 42 [2 (4) - 2]

= 1 [ 2 -2 ] + 4 [4-2] + 9 [6-2] +16 [8-2]

= 1 [0] + 4 [2] + 9 [4] + 16 [6]

= 0 + 8 +36 + 96+

= 140

Ejercicios Propuestos:

1. Resuelva S5 =

2. Resuelva

3. Resuelva S4

IV LAS SERIES

Def. Sea ak una sucesin y Sn = la suma de los n trminos de la sucesin

Entonces la sucesin Sn determinada por las sumas parciales S1 + S2 + ... + Sn se le llama serie. Cuando n(( la serie se llama serie infinita.

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3S4 = a1 + a2 + a3 + a4Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an

Una serie se puede ver como una suma infinita de trminos o como una sucesin de sumas parciales

Nos interesa cuando n tiende a infinito

= a1+ a2 + a3 +...+ ak + ak+1...

Ejemplos de series

Sn =

Le queda como ejercicio al Lector o Estudiante desarrollar posprimeros tewrminos de la serie.

Diremos que la serie Sn es convergente y tiene suma A en cuyo caso se escribe

= a1+ a2 + a3 +...+ ak + ak+1... = AV LA SERIE GEOMTRICA Y PROBLEMAS RESUELTOS

Def. Una serie geomtrica es una serie de la forma donde -1 < r < 1

y a = constante. Observacin |r| < 1 es equivalente a -1 < r < 1

Ejemplo 1: Desarrolle en este caso a = 1/2

Sol.

= ...

= ...

= 0 +

Ejemplo 2 : Desarrolle = 3*

Sol. =

Ejemplo: = 3* en este caso a = 1/10

=

La expresin la utilizaremos para describir decimales periodicos.

En general expresa una serie geomtrica

S1 = a

S2 = a + ar

S3 = a + ar + ar

S4 = a + ar + ar2 + ar3.

.

.

Sn = a + ar + ar + ar3 +...+ ar n-1 relacin (1)

Multiplicando por r la relacin (1) por r obtenemos

r*Sn = ar + ar + ar3 + ar4 +...+ ar n-1 + ar n relacin (2 )

Sn - r*Sn = Sn (1-r ) = a+ ar + ar2 + ar3 + ... + ar n-1 - ar - ar2 - ar3 - ar 4 - ... ar n-1 - ar n

Obtenemos:

Sn*(1 -r) = a a*rn ahora despejamos Sn y obtenemos:

EMBED Equation.3 En el caso particular de que a = 1 obtenemos

EMBED Equation.3 Lim Sn cuando n (( depende de rn

Recordar que

Con la condicin de que ( r( a y x ( a.La funcin f es continua en a si y solo si .Una funcin se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo. As, para dar una definicin matemtica de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su grfica sea continua (en el sentido usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la funcin en todo el intervalo.

Formalmente diremos que una funcin es continua en un punto (x = a) si existe f(a) , es decir, la funcin esta definida en el punto (x = a) y adems de cumple las dos siguientes condiciones: existe el lim f(x)

xa

lim f(x) = f(a) Si limite es igual a la funcin evaluada en el punto

xa

Diremos que una funcin es continua en todo su dominio si es continua en todos sus puntos, podemos hablar de funciones continuas en todo R o en un intervalo.

Diremos que una funcin es discontinua en el punto a si no se cumple una de las tres condiciones de la definicin.Diremos que una funcin es discontinua en su dominio si es discontinua en todos sus puntos.

Un ejemplo de una funcion discontinua en todos sus puntos es f(x) = 1 si x es un numero racional y f(x) = 0 si x representa un numero irracional. la funcin f no tiene lmite para ningn punto a y es, en consecuencia, discontinua en todas partes. I TIPOS DE DICONTINUIDADES

Las funciones que no son continuas se clasifican en funciones discontinuas evitables y no evitables.

Evitables: Son aquellas en que los limites laterales existen son iguales (en este caso se

dice que el limite existe) pero incumple la tercera condicin.

No evitable: Son aquellas que el lmite no existe, estas tienen una nueva clasificacin;

las de salto finito y las de salto infinito .

Las de salto finito: Los lmites laterales existen pero no son iguales.

Las de salto infinito: Los lmites laterales al menos uno no existe (sea igual a infinito).

Ejemplo

Analizar la continuidad en x = 1.

Primero, la funcin en el punto esta definida.

Segundo, como los lmites laterales no son iguales se dice que el lmite no existe y por tanto la funcin no es continua.

Cancelacin de una forma indeterminada mediante la factorizacin

Elimina el factor que me indeterminada la funcin.

Lo primero que se realiza a la hora de calcular un lmite es evaluar en el punto.

Ejemplo

Este lmite es de la forma indeterminada por factorizacin.

II TEOREMAS DE CONTINUIDAD

1) Dadas las funciones f y g continuas en el punto x=a, esto es se cumple:

Lim f(x) = f(a) lim g(x) = g(a)

xa xa

entonces por los teoremas sobre limites f+g es continua en x = a, esto es, se cumple:

lim [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)

xa2) Dadas las funciones f y g continuas en el punto x=a, pero g(a)0, esto es se cumple:

Lim f(x) = f(a) lim g(x) = g(a) 0,

xa xa

entonces f/g es continua en x= a. Es decir Lim f(x)/g(x) = f(a)/g(a)

xa

3) ) Dadas las funciones f y g continuas en el punto x=a, esto es se cumple:


xa xa

entonces f*g es continua en x= a. Es decir Lim f(x)*g(x) = f(a)*g(a)

xa

4) Dadas las funciones f y g continuas en el punto x=a, esto es se cumple:


xa xa

entonces f0g es continua en x= a. Es decir Lim f(g(x)) = f(g(a))

xa

5) Dada la funcion f continuas en el punto x=a, esto es se cumple:

Lim f(x) = f(a) y sea k un numero real

xa

entonces k*f es continua en x= a. Es decir Lim k*f(x) = k*f(a)

xa

6) sea f(x) un polinomio cualquiera, entonces f(x) es continua en x= a, es mas, f(x) es continua en todo R del dominio.

7) sea f(x) una funcin continua en x= a del intervalo (c, d) entonces f(x) toma un valor mximo en M y un valor mnimo en m.

Entendemos intuitivamente que un valor mximo es el valor mas alto de la funcin; un valor minino es el valor mas bajo de la funcin f(x)III EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONTINUIDADDada la funcion f: RR definida de la forma:

Con a, b R entonces

a) f(x) es continua en todo R si a = 3/2 y b = -3/2

b) f(x) es continua en todo R si a = -3/2 y b = 3/2c) ninguna de las respuestas anteriores

SOLUCION:

Observar que

f(x) = -3*sen(x) es continua en (-, -/2)

f(x) = a*sen(x) + b es continua en (-/2, /2) para cualquier valor a, b R

f(x) = cos(x) es continua en (/2 , +)

Nos interesa saber si la funcin f(x) en continua en x= -/2 y x = /2.

Por la definicin de continuidad tenemos:

f(x) es continua en x= -/2 se debe de cumplir que:

* f(-/2 ) existe, es decir, x= -/2 Df se cumple por definicin de f(x)

f(-/2 ) = -3*sen(-/2) = -3*(-1) = 3

* lim f(x) existe calculamos los limites unilaterales

x -/2

lim f(x) = lim (-3*sen(x) = -3*(-1) = 3

x -/2- x -/2-

lim f(x) = lim (a*sen(x) + b ) = a*sen(-/2) + b = -a +b

x -/2+ x -/2+

por lo tanto se debe de cumplir que -a +b =3 si -a +b =3 entonces se cumple lim f(x) = f(-/2)

x -/2

si -a +b =3 entonces f(x) es continua en x= -/2

Ahora nos interesa saber si la funcin f(x) en continua en x= /2. Por la definicin de continuidad tenemos:

Caso 2: f(x) es continua en x= /2 se debe de cumplir que:

* f(/2 ) existe, es decir, x= /2 Df se cumple por definicin de f(x)

f(/2 ) = Cos(/2) =0

* lim f(x) existe calculamos los limites unilaterales

x /2

lim f(x) = lim (a*sen(x) + b ) = a*sen(/2) + b = a +b

x /2- x /2-

lim f(x) = lim Cos(x) = cos(/2) = 0

x -/2+ x -/2+

por lo tanto se debe de cumplir que a +b =0

si -a +b = 3 entonces se cumple lim f(x) = f(/2)

x /2

por lo tanto tenemos un sistema lineal por resolver a+b=0 y -a+b = 3 por lo tanto obtenemos b= 3/2 y a= -3/2 La respuesta correcta en el inciso b.

Observar que la funcin antes descrita queda de la manera siguiente:

f(x) = -3*sen(x) es continua en (-, -/2)

f(x) = -(3/2)*sen(x) + (3/2) es continua en (-/2, /2) para cualquier valor a, b R

f(x) = cos(x) es continua en (/2 , +)

PROBLEMA 2Dada la funcin por partes

f(x) = x + Ln(x) si x>1 , f(x) = x2 si x1Verifique el inciso que es el correcto

a. f no es continua en todo R

b. existe c (1, e2) tal que f(c) = /2

c. ninguna de las respuestas anteriores

SOLUCION

En el caso a. Determinemos la continuidad de f(x) en R

Para x>1 f(x) = x + Ln(x) f(x) es continua por representar un polinomio y sabemos que los polinomios son funciones continuas en R. Con h(x) = Ln(x) para x>0 f(x) = x + Ln(x) es continua para x>0.

Para x 0

luego para x (1, e2) tenemos que p(x) = 0 por lo tanto x + Ln(x) - /2 = 0 entonces

x + Ln(x) = /2

Luego existe c que cumple 1 c e2 tal que c + Ln(c) = /2 implica f(c) = /2

PROBLEMA 3La ecuacin ex = cumple una de las siguientes tres condiciones:

a) Tiene solucion para un valor 0 c 1

b) Tiene solucion para un valor 1 c 2c) Ninguna de las anteriores

Analizamos primero a)

Sea la funcin f(x) = ex esta funcin es continua en todo R y creciente en todo R.

Aplicando Bolzano a f(x) en el intervalo cerrado dado por 0 x 1 hacia todo R, f(x) es continua en 0 x 1 Observar que f(0) < 0 y f(1) < 0 no podemos concluir la existencia de c tal que 0 c 1 por lo que la opcion a) es falsa.

Analizamos b)

Sea la funcin f(x) = ex esta funcin es continua en todo R y creciente en todo R.

Aplicando Bolzano a f(x) en el intervalo cerrado dado por 1 x 2 hacia todo R, f(x) es continua en 0 x 1 y creciente adems f(1) = e = 2.72 3.14 < 0

f(2) = e2 > 0 por lo tanto existe c tal que 1 c 2 cumple f(c) = 0 implica

f(c) = ec = 0 implica ec = implica que c = Ln() = 1.1447, 1 1.1447 2 Luego b) es verdadero.

PROBLEMA 4

La funcin polinmica p(x) = x7 7*x + se anula en algn punto del intervalo generado por 0 x 1 si

a) 0 6

b) -6

c) Ninguna de las anteriores.

SOLUCIONp(x) = x7 7*x + por ser funcin polinmica es continua en todo R, para todo R.

Queremos aplicar el teorema de Bolzano Habr algn tal que 0 1 p(x) 0 para concluir que existe x que cumple 0 x 1

tal que p(x) = x7 7*x + = 0

p(0) = > 0 p(1) = -6 + < 0 para (0, 6) entonces p(0) > 0, p(1) 0 y p(1) = -5 < 0 entonces existe c(0,1) tal que p(c) = 0

grficamente p(x) = x7 7*x + 1 la respuesta correcta es a)

PROBLEMA 5

La funcin f(x) = x*cot(x) esta indeterminada en x = 0. El valor que debe tomar f en 0 de forma que sea continua es:

a) f(0) =1

b) f(0) = 2

c) f(0) =

SOLUCION

f(x) = x*cot(x) es continua en x=0 sii cumple las tres condiciones de la definicin de continuidad. f(0) existe, lim f(x) existe y lim f(x) = f(0)

x 0 x 0

f(0) = 0*cot(0) = no existe porque cot(0) no existe.

Lim x*cotg(x) = lim x*cos(x)/sen(x) = lim (x/senx)*cosx = 1*1 = 1x 0 x 0 x 0

Luego para garantizar que f(x) sea continua en x= 0 es tomar la opcin a) f(0) = 1.

PROBLEMA 6

SOLUCION

Analicemos la primer respuesta. Sea b>0 la funcin f(x) = 2*x/(b + IxI) para x= -b la funcin f(-b) = (-2*b)/(2*b) = -1 por lo tanto f(x) es continua en x = -b. La opcin a) es falsa.

Analicemos la alternativa b) sea b 0 y considerando la continuidad de f(x) y estrictamente creciente podemos concluir que existe c tal que 1 c 2 y se cumple f(c) = 0 por lo tanto f(c) = 2*Ln(c) + c 2 = 0 implica Ln(c2) = c 2 tenemos una solucin real.

Como la funcin f(x) es estrictamente creciente la funcin intercepta el eje x en un nico valor. Grficamente:

PROBLEMA 8

SOLUCION

Para que f(x) sea continua en x = 64 debe de cumplir con la definicin: f(64) existe,

Lim f(x) existe y se debe cumplir Lim f(x) = f(64)

x64 x64

f(64) = a debemos determinar el valor de a de tal manera la funcin f(x) sea continua en x = 64.

Racionalizando el numerador y luego haciendo el cambio de variable

Observar en el cambio de variable que cuando x 64 y 4

Para que f(x) sea continua Lim f(x) = 3 = a = f(64)

x64

La alternativa correcta es la b).

PROBLEMA 9

SOLUCION

con aR analicemos la opcin b nos dice que el valor de a es cualquier numero real la funcionf(x) es discontinua en x=1/a y en x= - 1/a y son los nicos puntos de discontinuidad paraf(x). supongamos que a es positiva (a>0) entonces

consideremos el punto x= -1/a (-1/a menor que cero) si a>0 tenemos:

si a es positivo f(-1/a) =-1/(2a)

Luego para a positivo la funcin es continua en x =-1/a. Si analizamos la opcin a es negativa el lector debe de verificar que f(x) no es continua o existe un punto de discontinuidad.

Si a = 0 la funcin f(x) = 0 es continua en todo R por lo que la opcin verdadera es la c).

PROBLEMA 10

Dada la funcin definida de R a R

Si 00 por lo tanto concluimos que existe un numero en el intervalo [/2, ] de tal manera f() = 0

f(x) = x + cos(2*x) f() = + cos(2*) = 0 ver grafico

Ejemplo ilustrativo: La funcin f(x) = Dom f(x) = {x(( / x( 10}

Observar grficamente que la funcin en x = 10 no es continua.

Observar que f(10) no esta definida porque x = 10 esta prohibido en el dominio de la funcin.

Adems

= tenemos una forma indeterminada que se

elimina factorizando y simplificando.

f(x) = = con Dom f(x) = {x(( / x( 10}

Luego basta aadir el punto faltante para que la discontinuidad sea removible.

Luego podemos redefinir la funcin:

2. f(x) = Domf ={x(( / x( 2}

Observar que se da un salto en el grafico, adems el limite de f(x) cuando x se aproxima a

Infinito.

f(2) no esta definida porque en el dominio se prohbe el valor x=2.

EMBED Equation.3 =

La discontinuidad no se puede remover.

observamos: En la grfica que se muestra una interrupcin en el punto x = 2 y as f(x) no es continua en x = 2 y adems la definicin de continuidad no se cumple, como lo hemos probado anteriormente.

Ejemplo

Sea f la funcin definida por f (x) = es discontinua en x = 4 mostrar que la discontinuidad es removible. Observar que Domf ={x(( / x( 4}

La funcin f es discontinua en 4 ya que f (4) no esta definida y por lo tanto no existe.

Observar que f(x) =

tenemos una forma indeterminada que se elimina factorizando y simplificando f(x).

= = f(x) Observe que f(2) = 1/4

Redefiniendo f(x) tenemos:

Luego la discontinuidad es removible y por lo tanto f(x) es continua con la nueva forma.

Ejemplo

Sea f definida por f(x) = con Domf ={x(( / x( -3}

Observar que f(3) no esta definida o no existe.

Observar que en el grafico se muestra que f(x) no es continua en x = -3

Adems

EMBED Equation.3 = Tenemos una forma indeterminada que se elimina factorizando y simplificando f(x).

f(x) = aqu f(-3) = -3 2 = -5

Redefiniendo f(x) tenemos:

De esta manera removemos la discontinuidad de f(x) y al aadirle el punto faltante (-3, -5) la convertimos en continua.

Ejercicio

Sea f(x) la funcin definida por f(x) = es discontinua en x = 2 probar si su discontinuidad es removible.

Solucion:

f(x) = Domf = {x(( / x ( 2}

f(2) no esta definida o no existe, porque el dominio de f(x) prohbe el valor de x = 2.

En el grafico se muestra la discontinuidad en x= 2.

Adems, f(x) =

es una forma indeterminada por lo que factorizando y simplificando f(x) obtenemos:

f(x) =

Observe que podemos reevaluar f(2) = 2+4=6 tenemos un nuevo punto (2, 6)

Redefiniendo f(x) aadiendo el nuevo punto obtenemos:

f(x) =

De esta manera la discontinuidad de f(x) es removible al aadirle el nuevo punto.

Ejercicio.

Sea f la funcin definida por f(x) = Domf = {x(( / x ( 5 }

probar si su discontinuidad en x = 5 es removible.

Observar que f(5) no esta definida o no existe porque el dominio de f(x) prohibe el valor de x= 5.

f(x) =

Tenemos una forma indeterminada por lo que factorizando y simplificando obtenemos:

f(x) = =

Reevaluando f(5) obtenemos f(5) = 4*5 + 3 = 20 + 3 = 23 luego tenemos un nuevo punto

Aadiendo el punto (5, 23) redefinimos la funcin:

f(x) =

Ejercicios Propuestos

1. Sea f la funcin definida por f (x)= Domf = {x(( / x( -3} f es discontinua en x = - 3 probar si su discontinuidad es removible

2. Sea f la funcin definida por f(x)= Domf = {x(( / x( 3} f es discontinua en x = 3 probar si su discontinuidad es removible

3. Sea f la funcin definida por f (x)= Domf = {x(( / x( 6} f es discontinua en x = 6 probar si su discontinuidad es removible

Hacer graficos de los tres problemas propuestos. Aplicar el Equation Grapher.

D LA DERIVADA

I CONCEPTOS PRELIMINARES: LA DIVISION DE LOS INCREMENTOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

Definimos y = y2 y1 x = x2 x1

El cociente ==

= representa la pendiente de la lnea recta.

Observe que en el grafico h=x

El cociente tiene multiples aplicaciones en el mundo de los negocios, economa, finanzas y en las ciencias exactas como la fisica y la quimica.

Ejemplos:

en donde v representa la velocidad de un cuerpo, s representa el espacio y t representa el tiempo. Si s(t) = -4.9*t2 + 49*t 78.4 obtenemos su grafico:

s(t) = -4.9*t2 + 49*t 78.4 es un modelo de la trayectoria de un proyectil.

nos dice que la velocidad promedio es el incremento del espacio debido a un incremento en el tiempo.

en donde a representa la aceleracin de un cuerpo, v es la velocidad y t es el tiempo.

nos dice que la aceleracin promedio de un cuerpo es debido al cambio de velocidad como una consecuencia del cambio en el tiempo.

en donde C es el valor del Costo, Q es la produccin medidad en unidades y Cmg es el Costo Marginal.

nos dice que el Costo marginal es el cambio en el costo debido a un cambio en la produccin.

Ejemplo 1 Sea f(x) = 6x +10 encuentre el cociente de diferencias.

Solucin Datosf(x) = 6x + 10 ahora reemplazando x por (x + x) obtenemos:f(x + x) = 6(x + x) + 10

EMBED Equation.3 Reemplazamos valores por su igual

=

Efectuamos las operaciones indicadas

=

Aplicamos la propiedad cancelativa que nos dice que; cantidades iguales con signos contrarios se cancelan. Despus simplificamos x del numerador y denominador

Ejemplo 2. Sea f(x) = 2*x2 3*x + 2 Encuentre el cociente de diferencias.

Solucin Datosf(x) = 2x2 3x + 2

f(x+x) = 2(x+x)2 3 (x+x) + 2

f(x+x) = 2[x2 + 2*x*x +(x)2 ] 3*x+3*x + 2

f(x+x) = 2*x2 + 4*x*x + 2(x)2 3*x-3*x + 2

f(x+x) -f(x) = 2*x2 + 4*x*x + 2(x)2 3*x+3*x + 2 [2x2 3x + 2]f(x+x) -f(x) = 2*x2 + 4*x*x + 2(x)2 3*x+3*x + 2 -2x2 + 3x - 2

f(x+x) -f(x) = 4*x*x + 2(x)2 - 3*x

f(x+x) -f(x) = x*[4*x + 2*x -3]

EMBED Equation.3

y = x*[4*x + 2*x -3] x x

y = 4*x + 2*x -3

x

Ejemplo 3. Sea f(x) = 2*x3 4 encuentre el cociente de diferencias.

Solucin Datosf(x) = 2*x3 4

f(x+x)= 2*(x+x)3 4

f(x+x)= 2*[x3 + 3*x2*x + 3*x*(x)2 + (x)3 ] 4

f(x+x)= 2*x3 + 6*x2*x + 6*x*(x)2 + 2*(x)3 4

f(x+x) f(x) = 2*x3 + 6*x2*x + 6*x*(x)2 + 2*(x)3 4 - [2*x3 4]f(x+x) f(x) = 2*x3 + 6*x2*x + 6*x*(x)2 + 2*(x)3 4 - 2*x3 + 4 cancelando terminos semejantesf(x+x) f(x) = 6*x2*x + 6*x*(x)2 + 2*(x)3f(x+x) f(x) = x *[ 6*x2 + 6*x*x + 2*(x)2]

EMBED Equation.3

y = x *[ 6*x2 + 6*x*x + 2*(x)2] x x

y = 6*x2 + 6*x*x + 2*(x)2 x

Ejemplo 4. Sea encuentre el cociente de diferencias

Solucin Datos

EMBED Equation.3 Reemplazamos

=

Ahora tenemos que racionalizar el numerador, para lo cual hacemos uso del conjugado.

El conjugado de un nmero de estas caracteristicas, solo se le cambia signo al segundo nmero. Ejemplo: Si el nmero es a + b su conjugado es a b. Luego el conjugado de El conjugado de es

Observar que (a + b)*(a b) = a2 b2Luego ()*() = = x + x x = xLuego == =

= = = =

Por lo tanto: =

II EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sea f(x) = 10x + 3 encuentre el cociente de diferencias.

2. Sea f(x) = 3x2 + 2x + 1 encuentre el cociente de diferencias.

3. Sea f(x) = 4x3 3x + 2 encuentre el cociente de diferencias.

4. Sea f(x) = 2x3 3x2 + x 2 encuentre el cociente de diferencias.

5. Sea f(x) = encuentre el cociente de diferencias.

6. Sea f(x) = encuentre el cociente de diferencias.

III LA DERIVADA DE UNA FUNCION

Empezaremos con una funcin f y sobre su grfica elegimos un punto (x, f(x)). Ver grafico. Por el punto (x, f(x)) trazamos la recta que, a primera vista, mejor parece aproximarse a la grfica de f en las cercanas del punto elegido. A esta recta la denominamos recta tangente en (x, f(x)). Nuestra pregunta es: Cmo podemos Calcular dicha recta tangente?

Ya sabemos que la recta tangente pasa por (x,f(x)) y, por tanto, lo que necesitamos determinar es su pendiente. Para llevar esto a cabo, escogemos un nmero pequeo representando a x 0 y sobre la grafica de f marcamos el punto (x+x, f(x+x)).

La recta secante que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x + x, f(x + x)) tiene por pendiente ==

Observe que en el grafico h=xEsto es una aproximacin de la pendiente de la recta tangente. Para obtener la pendiente que deseamos, haremos que h tienda a cero. Si todo va bien (hablamos de modo informal), cuando h tiende a 0 el punto (x + h, f(x + h)) se deslizar a lo largo de la curva tendiendo hacia el punto (x, f(x)) y, cuando esto suceda, la recta secante tender a la tangente como posicin. lmite.

== pendiente de la recta secante.

=

= es la pendiente de la recta tangente.

IV DEFINICIN DE DERIVADA

Se dice que f es diferenciable en x (

=

existe.Si este limite existe, se denomina derivada de f en x y se denota por o por Utilizaremos de a nuestra conveniencia ambos smbolos = El numero =

o bien

=

=

=

Puede interpretarse como la pendiente de la grfica de f en el punto (x, f(x)). La recta que pasa por (x, f(x)) y posee esta pendiente se denomina recta tangente, o simplemente tangente, en (x, f(x)).

A continuacin, presentamos el siguiente ejemplo: f(x) = x2

f(x) = x2

f(x + x) - f(x) = (x + x)2 x2 = x2 + 2*x*x + (x)2 x2 = 2*x*x + (x)2 =

x x x x

= 2*x + h

= (2*x + x) = 2*x luego = 2*x

En el caso de una funcin lineal f(x) = m*x + bf(x + x) - f(x) = m*(x+x)+b (m*x+b) = m*x +m*x+b-(m*x+b) = m*x x x x x

= m por lo tanto

= (m) = m

Luego = m

En el caso particular:

f(x) = 6x + 10 ahora reemplazando x por (x + x) obtenemos:f(x + x) = 6(x + x) + 10

EMBED Equation.3 Reemplazamos valores por su igual

=

Efectuamos las operaciones indicadas

=

Aplicamos la propiedad cancelativa que nos dice que; cantidades iguales con signos contrarios se cancelan. Despus simplificamos x del numerador y denominador

por lo tanto (6) = 6

Luego = 6

Ejemplo 4

EMBED Equation.3 Reemplazamos = obtenemos =

(ver capitulo de cociente de incrementos visto anteriormente)

=

=

Luego = =

= por lo tanto = =

= es la pendiente de la recta tangente en x = 4 (4,) = (4,2) es el punto del grafico por donde pasa la recta tangente de pendiente m = Para encontrar la ecuacin de la recta tangente utilizamos la ecuacin pendiente punto y = m*(x- x0) + y0 = *( x- 4) + 2 = *x - +2 = *x -1+2 = *x+1Luego la ecuacin de la recta tangente es y = *x+1Conociendo la pendiente m = =0.25 tenemos y = 0.25*x+ 1

Podemos tambin encontrar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la recta perpendicular a la recta tangente. El Lector deber encontrar la ecuacin perpendicular o ecuacin normal en el punto x0=4 y0=2 recordando que la multiplicacin entre la pendiente de la recta tangente y la pendiente de la recta perpendicular o normal es -1 m1*m2= (1/4)*(-4) = -1 m1 es la pendiente de la recta tangente y m2 es la pendiente de la recta perpendicular en el punto (4,2)La ecuacin de la recta perpendicular es y = -4*(x 4) + 2 = -4*x + 16 + 2 = -4*x + 18

La ecuacin de la recta perpendicular es y = -4*x + 18

La ecuacin de la recta tangente es y = 0.25*x + 1

Los tres grficos son los siguientes:

V CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDADUna funcin puede ser continua en x= a sin que sea diferenciable en x=a. Por ejemplo f(x) = x es continua en x = 0 (es continua en todo su dominio o es continua en todas partes) pero no es diferenciable en x= 0.

f(x + h) f(x) = f(0 + h) f(0) = 0 + h - 0 = h - 0 = h h h h h h

si h es positiva (h>0) tenemos que h = h = 1

h

si h es negativa (h 0, a 1. Por ejemplo, y = (-3)x y y = 1x no son funciones exponenciales debido a que no cumplen con la definicin. Una funcin exponencial f(x) = ax tiene como dominio al conjunto de los nmeros reales R. El rango de f(x) = ax es el conjunto R+ = {yR / y > 0 }

Una funcin exponencial f(x) = ax tiene como dominio al conjunto de los nmeros reales R El rango de f(x) = ax es el conjunto R+ = {yR / y > 0 }.

Por regla general diremos que cuando la base de la funcin exponencial f(x) = ax con 0 < a 1 la asntota horizontal es por el lado izquierdo de su grfico.

Si la base es uno ya no es una funcin exponencial y se convierte en una funcin lineal horizontal dado que q(x) = 1x = 1

II LA DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE eEl nmero e = 2.71828 es un nmero irracional (decimal no peridico) que tiene sorprendentes aplicaciones en las teora del crecimiento econmico, financiero y social.

La funcin que vamos analizar es f(x) = (2.71828)x equivalente a decir f(x) = ex

El dominio de esta funcin son todos los nmeros reales R

El Rango son los reales positivos R+La funcin f(x) = (2.71828)x conocida como f(x) = ex

se denota tambin como f(x) = EXP(X)

Grficamente tenemos

f(x) = (2.71828)x

f(x) = ex f(x) = EXP(X) en notacin del software f(x) = e^x

tenemos que la asntota horizontal es y = 0

Si graficamos las tres funciones exponenciales que estamos estudiando

las tres funciones f(x) = 2x g(x) = ex h(x) = 10x tienen asntota horizontal y = 0

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e

f(x) = (2.71828)x f(x) = ex tambin se denota por f(x) = EXP(X) en notacin del software f(x) = e^x

TEOREMA

La funcin exponencial f(x) = ex tiene por derivada f (x) = ex es decir es la nica funcin que al derivarse genera la misma funcin. De esta manera la derivada ensima de la funcion f(x) = ex es f(n)(x) = ex

Ejemplos:

III LA REGLA DE LA CADENA EN DERIVADAS EXPONENCIALES

Teorema

entonces

Ejemplo

entonces

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Las leyes de los exponentes

Aplicamos las propiedades en los siguientes

entonces

El Lector debe de comprobar el siguiente resultado generado por el Mathcad

entonces

IV LA FUNCION EXPONENCIAL f(x) = k*er*XLa funcin f (x) = k*er*X presenta a los parmetros k y r

f x) = k*r*er*x se verifica la tasa de crecimiento instantnea r = f x) = k*r*er*x = r

f (x) k*er*X

El parmetro k es el intercepto en el eje y. El parmetro r es la tasa de crecimiento instantnea de la funcin exponencial f(x) = k*er*X . Evaluamos el numero f(0) = k*e0*X f(0) = k*e0 f(0) = k*1 = k.

Por ejemplo si r = 5% = 0.05 tenemos que f(x) = k*e0.05*X y para varios valores del parmetro k tenemos

K = 1 f(x) = e0.05*X, k = 2 f(x) = 2*e0.05*X, k = 3 f(x) = 3*e0.05*X k = 4 f(x) = 4*e0.05*X

Pasemos el mismo grfico hacia otra escala de 32 en 32 tenemos la forma caracterstica de las funciones exponenciales.

Un ejemplo en la teora de crecimiento poblacional. Todos los problemas ligadas al crecimiento se pueden resolver mediante las aplicaciones de las funciones exponenciales.

Por ejemplo para el crecimiento de la poblacin de honduras se ha estimado un crecimiento del 2.8 por ciento. Esto es r = 2.8% = 0.028

Si el punto inicial en el ao cero (2004) es de 7 millones de personas, el modelo para predecir el crecimiento poblacional est dado por

f(t) = k*er*t en donde k = 7, r = 2.8%, y el nmero e = 2.71828. el ao 2005 es para t = 1, el ao 2006 es para t = 2, el ao 2007 es para t = 3, el ao 2008 es para t =4, el ao 2009 es para t = 5, el ao 2010 es para t = 6

Crecimiento poblacional de Honduras en el perodo 2005 al 2010.

Aotiempo f(t) = 7*e0.028*t Poblacin

2004 t = 0f(0) = 7*e0.028*0 = 7*e0 = 7 millones7,000,000 personas

2005 t= 1f(1) = 7*e0.028*1 = 7.198770 millones7,198,770 personas






Los clculo se elaboran en el EXCELL

V LA DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO NATURAL

DEFINICIN y = log e x si y solo si x = ey

Denotamos log e x = ln x Las leyes de la funcion logaritmo natural ln(x*y) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y) = ln(x) ln(y)

ln(xr) = r*ln(x) para todo r Real.DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS DE BASE e

Teorema

entonces

Ejemplos

Ejemplo

Ejemplo

TEOREMA

ENTONCES

Ejemplo

Ejemplo

VI EJERCICIOS DE EVALUACIN.

EL LECTOR DEBE VERIFICAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS DE LOS PROBLEMAS RESUELTOS POR EL MATHCAD

recordando que

Derivando por medio del Mathcad se obtiene el resultado que el Lector debe comprobar.

EL LECTOR DEBE comprobar que

EL LECTOR DEBE comprobar que

El Lector debe comprobar los resultados generados por el Mathcad

VII DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Teorema

Entonces

Entonces

Teorema

Entonces Comprobacin

Teorema

Entonces

comprobacin

Teorema

Entonces f (x) = -csc(x)*cot(x) Comprobacin

Teorema

Entonces

Comprobacin

APLICACIONES DE LA REGLA DE LA CADENA EN LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Teorema

El teorema se comprueba mediante la aplicacin de la regla de la cadena, el ejercicio le queda al Lector. Daremos el siguiente ejemplo:

Derive la siguiente funcin

Teorema

Entonces


Encuentre la derivada de la siguiente funcin

Teorema

Entonces


Encuentre la derivada de la siguiente funcin

TEOREMA

Entonces


Encontrar la derivada de la siguiente funcin

TEOREMA

Entonces

El teorema se comprueba mediante la aplicacin de la regla de la cadena, el ejercicio le qued

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Calculo Diferencial e Integral Mathcad y Equation Grapher