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Cálculo diferencial e integral de una variable
11
Funciones Reales de
Varias Variables
Cálculo diferencial e integral de una variable
22
Contenidos
• Habilidades• Función de dos variables.• Gráfica de una función real de dos variables.• Curvas de nivel.• Límite.• Continuidad.• Derivadas Parciales.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
33
Habilidades
• Define el concepto de función real de dos y tres variables.
• Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente.
• Traza la gráfica de una función real de dos variables reales.
• Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica.
• Determina las curvas (superficies) de nivel de una función real de dos (tres) variables.
Cálculo diferencial e integral de una variable
44
Habilidades
inicio
• Calcula el límite de una función.• Determina la no existencia del límite de una
función real de dos variables reales.• Establece la continuidad de una función real
en un punto.• Define el concepto de derivada parcial.• Calcula derivadas parciales.• Interpreta geométricamente el concepto de
derivada parcial.• Calcula derivadas parciales de segundo orden.• Verifica que una función dada es solución de
una ecuación en derivadas parciales.
Cálculo diferencial e integral de una variable
55
Funciones de Varias Variables.
Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(
Cálculo diferencial e integral de una variable
66
Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.
2a) f ( x , y ) y x
2 2 4b) f x , y ln x y
1Ln( x y)c) f ( x , y )
y x
2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.
inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
77
Gráfica de una función de dos variables.
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.
Cálculo diferencial e integral de una variable
88
Ejemplo
inicio
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.
2 24a) f ( x , y ) y x
2 29b) z x y
Cálculo diferencial e integral de una variable
99
Curvas de nivel.
Cálculo diferencial e integral de una variable
1010
x
O
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).
Cálculo diferencial e integral de una variable
1111
Ejemplos
2 2a) f ( x , y ) x y
2 2b) f ( x , y ) x y
3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:
4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperaturaT (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcionala la distancia del punto (x, y) al origen.a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados.
Cálculo diferencial e integral de una variable
1212
Ejemplos
5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:
2 22f ( x , y , z ) x y z
inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
1313
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455
-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,8290 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841
0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,8290,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,7591 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
TABLA1 Valores de f(x,y)
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,9230 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,9230,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,6001 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
TABLA 2 Valores de f (x ,y )
Límites
2 2
2 21
sen x yf ( x , y )
x y
2 2
2 22
x yg( x, y )
x y
Cálculo diferencial e integral de una variable
1414
Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos
tal que siempre que
y
0,0 f x , y L
x, y D 2 20 x a y b
x ,y a,blim f x, y L
Cálculo diferencial e integral de una variable
1515
Interpretación geométrica de los límites
X
Z
L
L L
Cálculo diferencial e integral de una variable
1616
Determina la no existencia del límite de una función real.
Definición: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por otra trayectoria C2,, donde , entonces
no existe.
1f x , y L
1 2L L
x ,y a,blim f x, y
x, y a, b 2f x , y L x, y a, b
a
b
y
Cálculo diferencial e integral de una variable
1717
Ejemplos
inicio
6. Muestre que no existe 2 40 0x ,y ,
xylim
x y
7. Muestre que no existe 2 20 0x ,y ,
xylim
x y
5. Muestre que no existe
2 2
2 20 0x ,y ,
x ylim
x y
Cálculo diferencial e integral de una variable
1818
Continuidad
Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D
bayxf
bayx,,lim
,,
Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
2 2
1 2
2 2
2 21 0
x ,y ,
x ,y ,
lim x xy y
x ylim
x y
inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
1919
Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende solamente de x y está definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por
00 ,
00 ,yxx
zóyx
x
f
Cálculo diferencial e integral de una variable
2020
Definición de derivada parcial con respecto a x.
0 0 0 00 0 0x
f x x, y f x , yfx , y lim
x x
Cálculo diferencial e integral de una variable
2121
Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene dejando x fija (x=x0).
0 0 0 00 0 0 0 0y y
f x , y y f x , yff x , y x , y lim
y y
Definición de derivada parcial con respecto a y.
Cálculo diferencial e integral de una variable
2222
Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos números como pendientes.
3 2 2a) f ( x , y ) ( x y )
2yb) f ( x , y ) xe ysenx
3 2xc) f ( x , y , z ) xe z xz ln(yz)
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f
Cálculo diferencial e integral de una variable
2323
Derivadas parciales respecto a x y a y.
Fin