CLCULO EN ESFUERZOS EFECTIVOS DE OBRAS SUBTERRNEAS, APLICACIN AL CASO DEL TNEL DE CHINGAZABernardo Caicedo'

AbstractThis paper presents a numerical model for the analysis of underground structures under effective stresses. The problem is addressed by using a threelineal behaviour law with a progressive strength reduction. The system of equations is solved using the finite differences. First of all the model is presented, then, a few applications to the computation of long term strain of Tunnels and satability of water conduction tunnels in rapid dawdown conditions.

Palabras clavesTneles, deformacin diferida, modelo numrico, esfuerzos efectivos.

INTRODUCCINEl anlisis de la estabilidad de obras subterrneas se apoya en el clculo de las modificaciones al estado de equilibrio inicial del macizo rocoso que la obra genera. En efecto, el macizo se encuentra en un estado inicial que corresponde al equilibrio de esfuerzos y con presiones intersticiales que obedecen a las condiciones de flujo de agua del sitio. A pesar de que la construccin de una obra subterrnea produce cambios tanto a nivel de esfuerzos como de presiones intersticiales, el clculo de la estabilidad utilizando metodologas tales como la de convergencia confinamiento se realiza teniendo en cuenta nicamente las modificaciones en esfuerzos totales alrededor de la obra. Si bien el anlisis en esfuerzos totales es

adecuado para la gran mayora de casos, un anlisis acoplado en esfuerzos efectivos puede aportar informacin adicional para problemas tales como la deformacin y el aumento en las presiones sobre el revestimiento a largo plazo y para el anlisis de la estabilidad de galeras de conduccin de agua sometidas a cambios de presin interior. En este artculo se presenta la descripcin de un modelo numrico con el cual es posible realizar anlisis acoplados de esfuerzos y deformaciones alrededor de una galera subterrnea. Posteriormente se presenta una aplicacin del comportamiento de una galera de conduccin de agua sometida a condiciones de vaciado rpido, en esta aplicacin se ha tratado de reproducir las condiciones que generaron la falla del tnel de Chingaza.

I.

Profesor Asociado, Universidad de los Andes

32

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES s

2. POSICIN DEL PROBLEMA E HIPTESIS UTILIZADAS

inerciales y el peso propio del material se escribe de la siguiente manera (vase figura 1):

do a p ag PEl modelo esta basado en la solucin acoplada de la ecuacin de equilibrio de esfuerzos y de la ecuacin de flujo de agua alrededor de un tnel circular. Las hiptesis adoptadas son las siguientes: el material se considera como localmente homogneo e isotrpico; se desprecian las fuerzas inerciales, es decir que se trata de un modelo esttico; el macizo se encuentra en estado saturado y la migracin del agua solamente est controlada por la ley postulada por Darcy en 1856; se desprecia el efecto del peso propio del material en la proximidad del tnel; el comportamiento del material est dado por una ley trilineal y las caractersticas de comportamiento despus de la falla (magnitud y pendiente de la cada de resistencia) son independientes del esfuerzo de confinamiento.

dp +

(1)

P

donde: 6 p = esfuerzo total radial; (Yo = esfuerzo total tangencial; p = radio. Del mismo modo la ecuacin de compatibilidad de deformaciones se escribe de la siguiente manera:dEe E8Ep

dp

p

=o

(2)

donde: E p = deformacin radial; E 0 = deformacin tangencial. La ecuacin de conservacin de la masa de agua expresa que la variacin de volumen corresponde al balance de los flujos de agua que entran y salen: dV = dt div[q]

3. DESCRIPCIN DEL MODELO NUMRICOSegn la mecnica del medio continuo, el modelo matemtico se describe de una manera completa mediante las leyes de conservacin y las leyes de comportamiento a las cuales se les adiciona las condiciones de frontera y las condiciones iniciales.

(3)

donde : V es el volumen de un elemento de referencia; q es el caudal volumtrico por unidad de superficie.

3.2 Leyes de Comportamiento 3.2.1 CRITERIO DE RUPTURA Y DEFORMABILIDADEl criterio de ruptura utilizado es el criterio elastoplstico con perdida de resistencia progresiva propuesto por Panet 1976. Esta ley de comportamiento se representa por tres lneas rectas correspondientes a la zona elstica, una zona plstica con prdida de resistencia progresiva y una zona en plasticidad perfecta (vase figura 2). Suponiendo que el ngulo de friccin pico y residual son iguales, la ley de comportamiento en el rango plstico se escribe de la siguiente manera:

3.1 Leyes de ConservacinLa ley de conservacin de la cantidad de movimiento en coordenadas cilndricas, despreciando las fuerzas

/ 7p 0' 0 = K p 6'p+a' c 1 ^^

(4)

K P 1 sen0Figura I. Obtencin de la ecuacin de equilibrio.

l +sen^(5)

Facultad de Ingeniera

33

A61 -63

6't = Kp6'3+ 6'c Rango Plstico con Prdida de Resistencia Progresiva Rango en Plasticidad i6'1=Kp 6'3 Perfecta

o

Yp

F

AE1

s

Esta ley de comportamiento hace que mientras progresa la descompresin del macizo, se formen alrededor del tnel dos anillos plsticos (vase figura 3). Inicialmente se forma un anillo plstico en el cual el material se encuentra en la zona de prdida de resistencia progresiva; el radio de este anillo se denomina Rr. Cuando la deformacin de corte en el primer anillo es superior a F, comienza a formarse un segundo anillo en donde el material se encuentra en plasticidad perfecta; el radio de este segundo anillo se denomina Rp. Es importante anotar que una vez comienza la formacin del anillo en plasticidad perfecta la estabilidad del tnel solo se puede lograr con la adicin de un revestimiento. En cuanto a la deformabilidad, la ecuacin de la recta de cada de resistencia despus de la falla est dada por (Panet 1995) :

E3 V Figura 2: Modelo de comportamiento trilineal con prdida de resistencia progresiva.

K ^ E O p +E p p =0 _ 1 + sen w K^ 1 sentV donde: I es el ngulo de dilatancia.

(7)

(8)

y p =c [Kp6'p+6'c-6'el

(6)

donde: 6^p = esfuerzo efectivo tangencial; 6'p = esfuerzo efectivo radial; Kp = coeficiente de empuje

Teniendo en cuenta la ecuacin 7 y conociendo que la deformacin cortante plstica est dada por y p = EO p Ep 1 , es posible calcular las deformaciones plsticas cuya expresin es la siguiente:

pasivo; y p = Le Ep p = deformacin de corte plstica; F = deformacin de corte plstica en plasticidad perfecta; O= ngulo de friccin; 6'c = resistencia a la compresin simple en estado drenado. Ep p 1+senyr 2 YP (10) EO p 1sentVyp 2 (9)

Zona Elstica u

Anillo en P asticidad con Prdida de Resistencia

oc d''

Progre'' va

Teniendo en cuenta la ecuacin de compatibilidad, las deformaciones radiales y tangenciales elsticas en esfuerzos efectivos estn dadas por las siguientes expresiones :

1v 2 ^Eee = E^

6' e

y 1v

6'p

b Anillo en Plasticida dPerfecta Figura 3: Formacin de anillos plsticos alrededor del tnel.

e-1 v 2EP

E , 6' P

1v 6'e

(12)

donde: E = mdulo de young; y = relacin de poisson.

34

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES s

Las deformaciones totales estn dadas por la suma de las deformaciones elsticas y plsticas: 1vE

aVw _ at

Kw ' 1 au Yw ^P ap

+

au 2 ^ aP2 ^

(20)

2s'

v

+1senyt 2

E

6

1v s'P

Yp

(13)

donde: Vw es el volumen de agua; t es el tiempo. La deformacin volumtrica dev en deformacin pla-

1 v 2 s Ep = E

P

v

se

+1+senylYp

1v

^

2

(14)

na es la suma de la deformacin radial y tangencial: aev= a se +aEe De este modo es posible obtener la variacin de la deformacin volumtrica en funcin del tiempo:aEv

Estas relaciones se complementan con la ley de esfuerzos efectivos. En el caso de las rocas esta relacin se escribe de la siguiente manera (Panet 1976) :

s'=s xu

(15)

(1 +v)( 1-2v) ase ^PE at + at

donde: x =1-Kr/Km en el dominio elstico; x =1 para los criterios de resistencia y el dominio plstico; Kr = coeficiente de compresibilidad de la roca; Km = coeficiente de compresibilidad de la matriz rocosa. Finalmente para calcular el flujo de agua es necesario tener en cuenta la ley de Darcy: q = Kw grad(H) (16)

at

1+v)K at senyl ^p (21)

De la ecuacin 6 se obtiene: aYp = F [ 1( aGp ase p Agrupando se obtiene:

](p

1) I u

scat t 22)

donde: Kw = permeabilidad; H = potencial hidrulico. aEv

as e

as p

au

3.3 Acoplado y Solucin de las EcuacionesLas ecuaciones de deformacin radial y tangencial se pueden acoplar utilizando la ley de esfuerzos efectivos, esto con el fin de volver explcita la influencia de la presin de poros (Huergo 1997): o 1 v 2E

at A at + B at cat donde: (1+v)E1-2v) I'

(23)

A=

+senw

(24)6'C

se

1senyr v Yp (17) sP (1+v)Ku+ 2 1v i l +sen y r 2

B=

(1+ v)(1 2v)

E

senw F Kps'c

1 (25)

- 1v2 7 s P E^

y s (1+v ^ Ku P 1v 9^

1p

(18) (1 8 C= 2(1+v)K+(1Kp)senw

r(26)6'c

donde: u es la presin intersticial y K es el coeficiente de compresibilidad que est dado por: K= 1-2v E x (19)

De las ecuaciones 20 y 23 se obtiene: asp Kw au +B at cat = 7w A at ase1 au au2^p

Teniendo en cuenta la ley de conservacin de la masa de agua y la ley de Darcy se obtiene la ecuacin de flujo de agua en coordenadas cilndricas en funcin del tiempo:

+ ap

(27)aP2 i

Finalmente se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse numricamente. asp + spap

-6 e =op

(1)

Facultad de Ingeniera

35

a' e = Kpa'P

1

Y

lp^

en el rango plstico

aae ap

aap ap (28)

De este modo la tasa de desconfinamiento pasa de un valor igual a cero al interior del macizo rocoso en la zona que no est afectada por la perforacin del tnel, hasta 1 ? s correspondientes a la presin de sostenimiento dada por el revestimiento. Las condiciones de frontera mecnicas son entonces condiciones de esfuerzo impuesto: al interior del tnel el esfuerzo radial corresponde a p y a una distancia suficientemente alejada de la pared del tnel el esfuerzo tangencial y radial es igual a ao. Las condiciones de frontera hidrulicas al interior del tnel pueden ser de presin de agua impuesta o flujo impuesto y a una distancia alejada de la pared del tnel la presin es impuesta y corresponde a la presin hidrosttica en el macizo rocoso.

en el rango elsticoaye Baap 1au + au2 ^ au_ + +A C at c at yWc p ap a2P

(29)

El desplazamiento en la pared del tnel U, se obtiene integrando la deformacin radial: U = f e p dp (30)

4 RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES3.4 Tratamiento de las Condiciones de Frontera Las condiciones de frontera mecnicas al interior del tnel obedecen a la hiptesis de la metodologa convergencia confinamiento, (vase figura 4). Segn esta hiptesis, el problema tridimensional del clculo de esfuerzos en las cercanas del frente de talla se puede remplazar por un problema bidimensional en deformaciones planas a condicin de incluir una presin interna p correspondiente al efecto del frente de talla. La presin interior p es equivalente a (1 X)ao en donde k es la tasa de desconfinamiento del macizo.Go

4.1 Caractersticas de los Casos Analizados El caso analizado corresponde a la perforacin de una galera de conduccin de agua construida en un macizo rocoso de baja resistencia. Se trat de simular las condiciones del tnel de Chingaza el cual tiene la particularidad de que su revestimiento es permeable ya que tiene orificios que comunican el interior del tnel con el macizo rocoso (Iloraderos). Puesto que no existe informacin suficiente sobre las propiedades geomecnicas de las rocas en el tnel de Chingaza, se supuso propiedades tpicas de las rocas blandas que predominan en la zona de la Cordillera Oriental. En la tabla 1 se presentan las propiedades de la roca y las condiciones de frontera utilizadas para el clculo. Las condiciones de frontera al interior del tnel varan en funcin del tiempo, las condiciones utilizadas en la simulacin son las que se representan en la tabla 2. Estas condiciones de frontera simulan una primera etapa en la que se construye el tnel hasta llegar a una pequea presin de sostenimiento correspondiente a ?ss =0.96; durante esta etapa la presin del agua al interior del tnel es cero. Una vez construido el tnel se mantienen estas mismas condiciones al interior durante dos aos. Posteriormente se presuriza el tnel con una condicin de flujo estacionario correspondiente a

11 11 111 1111111111111 11^=S OGX Xs =0.96I .^

Me

400le

,'t=4g ]vieses ^ t=30 Meses ^ t=26 Meses' =25 Mes 3 4 5 6 Radio (m) 7 8 9

o

1.

.5 1

0

500

1000 Tiempo (das)

1500

2000

Figura 8 Presin intersticial etapas de presurizacin con flujo permanente y presin hidrosttica.

Figura 10. Evolucin de los radios plsticos en funcin del tiempo para (Xs=0.98 y A.s=0.96).

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES s

38

5

CONCLUSIONES[1]

REFERENCIASHuergo, J. (1997) Constructions Souterraines, Presses Universitaires de Bruxelles. Magnan, J.P. (1983) Thorie et Pratique des Drains Verticaux, Technique et Documentation Lavoisier. Panet, M. (1976) La Mecanique des Roches Applique aux Ouvrages du Gnie Civil, Ecole Nationale des Ponts et Chausses. Panet, M. (1995) Le Calcul des Tunnels par la Mthode Convergence Confinement, Ecole Nationale des Ponts et Chausses.

Con base en los resultados obtenidos se concluye que es posible interpretar las deformaciones diferidas que se producen luego de la perforacin de un tnel a partir de la disipacin de la presin de poros, esto como complemento al efecto viscoplstico. Es importante constatar tambin que cuando se utilizan revestimientos permeables, la variacin en la presin interna de un tnel de conduccin de agua tiene efectos negativos sobre su estabilidad, principalmente cuando ste se encuentra en macizos rocosos de baja resistencia, altos esfuerzos geostticos y tasas de desconfinamiento elevadas. En estos casos es posible que los tneles tengan un comportamiento similar a las presas de tierra en condiciones de vaciado rpido. Es posible que alguna de estas condiciones haya dado lugar a alguna de las diferentes fallas del tnel de Chingaza sin embargo, dada la poca informacin existente sobre las propiedades geomecnicas de las rocas de dicho tnel, solo se puede plantear esta eventualidad como una hiptesis.

[2]

[3]

[4]

Facultad de Ingeniera

39