3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений и сокращений............................................... 6Введение .......................................................................................... 81. Основы работы с пакетом MathCAD..................................... 10

1.1. Особенности пакета MathCAD........................................101.2. Интерфейс пользователя..................................................12

1.2.1. Меню ............................................................................121.2.2. Панели инструментов .................................................151.2.3. Ввод и редактирование формул .................................181.2.4. Ввод и редактирование текста....................................221.2.5. Обновление вида документа.......................................231.2.6. Поиск и замена ............................................................231.2.7. Справочная система пакета MathCAD.......................24

1.3. Переменные и функции ...................................................251.3.1. Определение переменных...........................................251.3.2. Функции .......................................................................281.3.3. Операторы....................................................................321.3.4. Управление вычислениями.........................................36

1.4. Типы данных ....................................................................401.4.1. Числа ............................................................................401.4.2. Размерные переменные ...............................................421.4.3. Массивы .......................................................................44

1.5. Вывод данных...................................................................491.5.1. Числовой вывод...........................................................491.5.2. Двумерные графики ....................................................521.5.3. Создание трехмерных графиков.................................631.5.4. Создание анимации .....................................................67

1.6. Контрольные вопросы .....................................................702. Теория тепловых процессов при сварке и наплавке............ 71

2.1. Основные понятия............................................................712.1.1. Механизмы передачи тепла ........................................732.1.2. Вывод дифференциального уравнениятеплопроводности ..................................................................75

2.1.3. Начальные и граничные условияк дифференциальному уравнению теплопроводности........78

2.2. Допущения, вводимые при рассмотрениитепловых процессов ...................................................................79

4

2.2.1. Схемы нагреваемого тела ...........................................802.2.2. Схематизация сварочных источников теплоты.Типы и тепловая эффективность источников нагрева ........81

2.3. Температурные поля от мгновенных источников .........842.3.1. Аналитическое решение уравнениятеплопроводности для мгновенного плоского источникав бесконечном стержне..........................................................85

2.3.2. Аналитическое решение уравнениятеплопроводности для мгновенного точечного источникав бесконечном теле ................................................................86

2.3.3. Аналитическое решение уравнениятеплопроводности для мгновенного линейного источникав бесконечной пластине.........................................................89

2.4. Температурные поля движущихся источников .............902.4.1. Точечный источник на поверхностиполубесконечного тела ..........................................................91

2.4.2. Линейный источник в бесконечной пластине ...........952.4.3. Плоский источник в бесконечном стержне ...............97

2.5. Периоды теплонасыщения и выравнивания температурпри нагреве движущимися источниками теплоты ...................982.6. Движение источников тепла по криволинейнойтраектории...................................................................................992.7. Быстродвижущиеся источники теплоты ......................101

2.7.1. Быстродвижущийся точечный источник .................1012.7.2. Быстродвижущийся линейный источник ................103

2.8. Термический цикл при дуговой сварке. .......................1042.9. Влияние режима сварки и теплофизических свойствметалла на поле температур ....................................................1112.10. Учет реальной формы деталей при рассмотрениипроцессов распространения теплоты ......................................116

2.10.1. Движение источника тепла вблизи края тела..........1162.10.2. Введение изотермической границы .........................1172.10.3. Нагрев двух узких пластин .......................................1182.10.4. Нагрев от края тела ...................................................1192.10.5. Нагрев тонкостенного цилиндра ..............................1192.10.6. Точечный источник на поверхности пластины.................1202.10.7. Выбор расчетной схемы для математическогомоделирования процессов распространения теплоты .......122

5

2.11. Контрольные вопросы ...................................................1243. Численные методы решения дифференциальныхуравнений .................................................................................... 125

3.1. Численное решение дифференциальных уравненийпервого порядка методом Эйлера. ..........................................1253.2. Метод Рунге – Кутта. .....................................................1263.3. Средства MathCAD для решения задачи Коши. ..........1283.4. Метод конечных разностей ...........................................1283.5. Метод конечных элементов...........................................1313.6. Контрольные вопросы ...................................................137

Приложения................................................................................. 138Прил. 1 Пример расчета поля температур при сваркекругового шва.......................................................................138

Прил. 2 Пример расчета максимальной температурыцикла точек, расположенных на заданном расстоянииот оси шва, с помощью пакета MathCAD...........................139

Прил. 3 Определение длительности пребыванияметалла на оси шва при температуре, выше заданной. .....140

Прил. 4 Вычисление ширины изотермы..............................141Прил. 5 Вычисление скорости охлажденияпри заданной температуре на оси шва................................142

6

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Т – абсолютная температура, К

ΔT – приращение температуры, К

T0 – начальная температура тела, К

t – время, с

tH – время действия источника тепла, с

ω – мгновенная скорость охлаждения, К/с

x,y,z – декартовы координаты

r,z,φ – цилиндрические координаты

R,θ,ψ – сферические координаты

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К)

CP – Истинная удельная массовая теплоемкость,

Дж/(кг К)

Cm – Средняя удельная массовая теплоемкость,

Дж/(кг К)

сρ – объемная теплоемкость, Дж/(м3К)

a – коэффициент температуропроводности, м2/с

α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К)

b – коэффициент температуроотдачи, с-1

σ – постоянная Стефана-Больцмана,

5,67·10-8Вт/(м2К4)

ε – степень черноты тела

V – объем тела, м3

F – площадь поперечного сечения, м2

P – периметр, м

7

δ – толщина пластины, м

I – сила тока, А

U – напряжение на дуге, В

rH – радиус пятна нагрева, м

dH – диаметр пятна нагрева, м

k – коэффициент сосредоточенности источника

тепла

q2m – максимальная плотность теплового потока

источника тепла, Вт/м2

η – эффективный КПД нагрева

Q – количество тепла, введенное источником тепла,

Дж

q – эффективная мощность источника тепла, Вт

q2 – плотность теплового потока, Вт/м2

qП – погонная энергия, Дж/м

v – скорость перемещения источника тепла, м/ч

h – шаг разбиения области, м

ДУ – дифференциальное уравнение

ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение

МКР – метод конечных разностей

МКЭ – метод конечных элементов

8

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее распространенной задачей, стоящей перед инженером-сварщиком, является получение сварного соединения, имеющегозаданные размеры (глубину провара, ширину шва и т.д.), т.е. подборсилы тока, напряжения на дуге, скорости перемещения источникатепла и других параметров режима, которые обеспечили плавлениезаданного объема металла заданной формы.

Кроме того, как правило, возникает необходимость получитьсварное соединение с определенными физико-механическимисвойствами. Нагрев и охлаждение вызывают разнообразныефизические и химические процессы в материале изделия – плавление,кристаллизацию, структурные превращения, объемные изменения,появление напряжений и пластических деформаций. Эти процессыприводят к глубоким изменениям свойств и состояния материала ивлияют на качество всей конструкции в целом.

Таким образом, при выборе режимов обработки необходиманализ характера распространения тепла в детали, оценкахарактеристик температурного поля определяющих качествополученной детали.

Одним из методов позволяющих определить взаимосвязипараметров в сложных процессах является математическоемоделирование. Данный метод основан на том, что исследованиюподлежит не само интересующее нас явление или процесс, аматематическая модель – образ или отображение реального объекта,построенное с помощью математических соотношений, которыеустанавливают связь между определяющими свойствами объекта.

Само математическое моделирование сводится к четыремукрупненным этапам:

– математическое описание, включающее постановку задачи,выбор расчетной схемы и определение необходимойдетализации;

– выбор метода решения;– составление программы для ЭВМ;– проведение расчетов и анализ результатов.

В итоге изучение объектов с помощью математическогомоделирования возможно при знании исследователем аппарататеории, описывающего соответствующую область физики, методоврешения сформулированных им в ходе рассмотрения вопроса задач

9

(чаще всего систем алгебраических и дифференциальных уравнений),а также при наличии навыков позволяющих реализоватьпредложенные алгоритмы на ЭВМ.

Основы теории тепловых процессов при дуговой обработкеразработаны в пятидесятые годы прошлого века академикомНиколаем Николаевичем Рыкалиным. Естественно, решение задачибазируется на общих закономерностях распространения тепла,которые изучались в цикле естественнонаучных дисциплин, с учетомспецифических условий сварки и наплавки. Однако практическоеприменение положений теории до недавнего времени ограничивалосьбольшой трудоемкостью расчетов.

В настоящее время для научно-технических расчетов накомпьютерах все чаще и чаще используются не традиционные языкипрограммирования и не электронные таблицы, а специальныематематические программы типа Mathematica, MatLab, Maple,MathCAD, Gauss, Reduce, Eureka и др. Математические пакеты, вособенности MathCAD – самый популярный пакет извышеперечисленного списка – позволяют специалистам в конкретнойнаучно-технической области очень быстро освоить работу накомпьютере и реализовать на них математические модели, невдаваясь в тонкости программирования на традиционных языках.

Данное пособие состоит из трех частей, в первой приведеныосновы работы с пакетом MathCAD, во второй изложена теориятепловых процессов при сварке, приведены рекомендации поприменению положений теории при анализе теплового состояниядеталей различной формы, и по использованию MathCAD в расчетах,в третьей части описаны наиболее распространенные в настоящеевремя методы численного решения дифференциальных уравнений.Кроме того, в приложениях приведены примеры использованияпакета MathCAD для решения конкретных задач определенияхарактеристик термических циклов при сварке и наплавке.

Пособие необходимо при изучении дисциплины«Моделирование процессов получения неразъемных соединений»,оно может быть полезным при изучении дисциплин «Теориясварочных процессов», «Теоретические основы реновации», прикурсовом и дипломном проектировании студентов специальностей«Оборудование и технология сварочного производства», «Реновациясредств и объектов материального производства в машиностроении».

10

1. ОСНОВЫ РАБОТЫ С ПАКЕТОМ MATHCAD

1.1. Особенности пакета MathCAD

Наиболее распространенной программой, используемой дляпроведения инженерных расчетов, является MathCAD, это связано сцелым рядом преимуществ, которыми обладает данный программныйпродукт:

- математические выражения в среде MathCAD отображаются вих общепринятой нотации: числитель находится сверху, азнаменатель – внизу; в интеграле пределы интегрированиятакже расположены на своих привычных местах. Хотя этоникак не влияет на вычислительный процесс, но в результатепрограмма оказывается понятной для человека, не знакомогодаже с основами программирования;

- в среде MathCAD процесс создания «программы» идетпараллельно с ее отладкой. Пользователь, введя в MathCAD-документ новое выражение, может не только сразуподсчитать, чему оно равно при определенных значенияхпеременных, но и построить график или поверхность, беглыйвзгляд на которые может безошибочно показать, где кроетсяошибка, если она была допущена при вводе формул или присоздании самой математической модели. «Отладочные»фрагменты можно оставить в готовом документе для того,чтобы, например, еще раз убедить оппонента в правильностимодели;

- пакет MathCAD дополнен справочником по основнымматематическим и физико-химическим формулам иконстантам, которые можно автоматически переносить вдокумент без опасения внести в них искажения, к сожалению,нередкие при ручной работе;

- к пакету MathCAD можно приобрести те или иныеэлектронные учебники по различным дисциплинам: решениеобыкновенных дифференциальных уравнений, статистика,термодинамика, теория управления, сопротивлениематериалов и т.д. Прежде чем решать возникшую проблему,пользователь может изучить электронный учебник и

11

перенести из него в свой документ нужные фрагменты,отдельные формулы и константы;

- решая поставленную задачу, пользователь может вводить нетолько числовые значения переменных, но и дополнить ихразмерностями. При этом пользователь вправе выбирать исистему единиц (СИ, кг-м-с, г-см-с, британская), и конкретныеразмерности (мм, дюймы, футы и т.д.): система MathCAD вних сама разберется и выдаст ответ с заданной пользователемразмерностью;

- система MathCAD оборудована средствами анимации, чтопозволяет реализовать созданные модели не только в статике(числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационныеклипы);

- в систему MathCAD интегрированы средства символьнойматематики, что позволяет решать поставленные задачи(этап задачи) не только численно, но и аналитически;

- не выходя из среды MathCAD, возможно открывать новыедокументы на других серверах и пользоватьсяпреимуществами информационных технологий,предоставляемых Internet;

- в пакет MathCAD интегрирован довольно мощныйматематический аппарат, позволяющий решать возникающиепроблемы без вызова внешних процедур. Вот неполныйперечень вычислительных инструментов, доступных в средеMathCAD:- решение алгебраических уравнений и систем (линейных и

нелинейных);- решение обыкновенных дифференциальных уравнений и

систем (задача Коши и краевая задача);- решение дифференциальных уравнений в частных

производных;- статистическая обработка данных (интерполяция,

экстраполяция, аппроксимация и многое другое);- работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.);- поиск минимумов и максимумов функциональных

зависимостей.Кроме того, не следует забывать, что пакет MathCAD – это

полноценное Windows-приложение. Решая поставленную задачу,

12

можно в статике (через буфер обмена Windows) или в динамике (OLE-технологии) передать данные в среду другой программы.

1.2. Интерфейс пользователя

В MathCAD интерфейс пользователя интуитивен и сходен сдругими приложениями Windows. Его составные части:

- верхнее меню, или строка меню (menu bar);- панели инструментов (toolbars) Standard (Стандартная) и

Formatting (Форматирование);- панель инструментов Math (Математика) и доступные через

нее дополнительные математические панели инструментов;- рабочая область (worksheet);- строка состояния (status line, или status bar);- всплывающие, или контекстные, меню (pop-up menus, или

context menus);- диалоговые окна, или диалоги (dialogs).Большинство команд можно выполнить как с помощью меню

(верхнего или контекстного), так и панелей инструментов иликлавиатуры.

1.2.1. МенюСтрока меню располагается в самой верхней части окна

MathCAD (Рис. 1.1).Она содержит девять заголовков, щелчок мышью на каждом из

которых (см. Рис. 1.2) приводит к появлению соответствующегоменю с перечнем сгруппированных по действию команд:- File (Файл) – команды, связанные с созданием, открытием,сохранением, пересылкой по электронной почте и распечаткой напринтере файлов с документами (Рис. 1.1);

13

Рис. 1.1. Меню MathCAD

- Edit (Правка) – команды, относящиеся к правке текста(копирование, вставка, удаление фрагментов и т. п.);- View (Вид) – команды, управляющие внешним видом документа вокне редактора MathCAD, а также команды, создающие файлыанимации;- Insert (Вставка) – команды вставки различных объектов вдокументы;- Format (Формат) – команды форматирования текста, формул играфиков;- Math (Математика) – команды управления вычислительнымпроцессом;- Symbolics (Символика) – команды символьных вычислений;- Window (Окно) – команды управления расположением окон сразличными документами на экране;- Help (Справка) – команды вызова контекстно-зависимойсправочной информации, доступа к Центру Ресурсов, опции СоветаДня и сведений о версии программы.

14

Рис. 1.2. Пункты меню, содержащихподменю

Рис. 1.3. Включение(выключение) опций в текущий

момент

Кроме того, некоторые пункты меню имеют (или не имеют)показанные на Рис. 1.3 флажки проверки, указывающие на включение(или выключение) соответствующей опции в текущий момент.

Назначение пунктов меню, на которые наведен указатель мыши,появляется в виде подсказки слева на строке состояния (в нижнейчасти окна MathCAD на Рис. 1.4).

15

Рис. 1.4. Строка состояния MathCAD Рис. 1.5. Контекстное менюMathCAD

Помимо верхнего меню, схожие функции выполняютвсплывающие (контекстные) меню показанные на Рис. 1.5. Онипоявляются, как и в большинстве других приложений Windows, принажатии в каком-либо месте документа правой кнопки мыши.

1.2.2. Панели инструментовПанели инструментов служат для быстрого (в один щелчок

мыши) выполнения наиболее часто применяемых команд. Вседействия, которые можно выполнить с помощью панелейинструментов, доступны и через верхнее меню.

- Standard (Стандартная) – служит для выполнения большинстваопераций, таких как действия с файлами, редакторская правка,вставка объектов и доступ к справочным системам (Рис. 1.6);

Рис. 1.6. Стандартная панель инструментов

16

- Formatting (Форматирование) – для форматирования (изменениятипа и размера шрифта, выравнивания и т. п.) текста и формул(Рис. 1.7);

Рис. 1.7. Панель инструментов Format

- Math (Математика) – для вызова на экран еще девяти панелей, спомощью которых, собственно, и происходит вставкаматематических операций в документы. Чтобы показать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панелиMath.(Рис. 1.8,а) Перечислим назначение математическихпанелей:

- Calculator (Калькулятор) – служит для вставки основныхматематических операций, получила свое название из-засхожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора(Рис. 1.8,г);

- Graph (График) – для вставки графиков (Рис. 1.8,ж);- Matrix (Матрица) – для вставки матриц и матричных операторов

(Рис. 1.8,и);- Evaluation (Выражения) – для вставки операторов управления

вычислениями (Рис. 1.8,в);- Calculus (Вычисления) – для вставки операторов

интегрирования, дифференцирования, суммирования (Рис. 1.8,г);- Boolean (Булевы операторы) – для вставки логических (булевых)

операторов (Рис. 1.8,к);- Programming (Программирование) – для программирования

средствами MathCAD (Рис. 1.8,д);- Greek (Греческие символы) – для вставки греческих символов

(Рис. 1.8,з);- Symbolic (Символика) – для вставки символьных операторов

(Рис. 1.8,е).

17

Рис. 1.9. Вызов панелей с помощью меню View

Присутствие панелей на экране. Вызвать любую панель наэкран или скрыть ее можно с помощью меню View (Вид) / Toolbars(Панели инструментов), выбирая в открывающемся подменю имянужной панели (Рис. 1.9). Убрать любую панель с экрана можно ещеи посредством контекстного меню, которое вызывается щелчкомправой кнопкой мыши в любом месте панели (например, на любойкнопке). В контекстном меню, следует выбрать пункт Hide (Скрыть).

Рис. 1.8. Математические панели

18

Кроме того, если панель плавающая, т. е. не прикреплена косновному окну, то ее можно отключить кнопкой закрытия.Математические панели, в отличие от основных, можно вызвать илискрыть нажатием соответствующей кнопки панели Math(Математика).

Присутствие или отсутствие математических панелей показано ввиде нажатой (или отжатой) соответствующей кнопки.

1.2.3. Ввод и редактирование формулФормульный редактор MathCAD позволяет быстро и

эффективно вводить и изменять математические выражения. Тем неменее, некоторые аспекты его применения достаточно сложны, чтосвязано с необходимостью избежать ошибок при расчетах по этимформулам.

Перечислим еще раз элементы интерфейса редактора MathCAD:- указатель мыши (mouse pointer) – играет обычную для приложений

Windows роль, следуя за движениями мыши;

а б в

Рис. 1.10. Виды курсоров мыши в формульном редактореMathCAD:

а —курсор вводаб —линии ввода

в —местозаполнители

- курсор – обязательно находится внутри документа в одном из трехвидов:

- курсор ввода (crosshair) – крестик красного цвета, которыйотмечает пустое место в документе, куда можно вводить текст илиформулу (Рис. 1.10,а);

- линии ввода (editing lines) – горизонтальная (underline) ивертикальная (insertion line) линии синего цвета, выделяющие вформуле определенную часть (Рис. 1.10,б);

- линия ввода текста (text insertion point) – вертикальная линия,аналог линий ввода для текстовых областей.

19

- местозаполнители (placeholders) – появляются внутринезавершенных формул в местах, которые должны быть заполненысимволом или оператором: местозаполнитель символа – черныйпрямоугольник, местозаполнитель оператора – чернаяпрямоугольная рамка (Рис. 1.10,в).

Ввод формул. Ввести математическое выражение можно влюбом пустом месте документа MathCAD. Для этого поместитекурсор ввода в желаемое место документа, щелкнув в нем мышью, ипросто начинайте вводить формулу, нажимая клавиши на клавиатуре.При этом в документе создается математическая область (mathregion), которая предназначена для хранения формул,интерпретируемых процессором MathCAD. Продемонстрируемпоследовательность действий на примере ввода выражения

xxxtgxx

××

+×+

2)7(5

:

1. Щелкните мышью, обозначив место ввода.2. Нажмите клавишу <x> – в этом месте вместо курсора ввода

появится регион с формулой, содержащей один символ х, причем онбудет выделен линиями ввода) (Рис. 1.11,а);

3. Введите оператор возведения в степень, нажав клавишу<Sift>+<6>, либо выбрав кнопку возведения в степень на панелиинструментов Calculator (Калькулятор) – в формуле появитсяместозаполнитель для введения значения степени, а линии вводавыделят этот местозаполнитель (Рис. 1.11,б-в);

4. Последовательно введите символы <5>, <+>, <х> (Рис. 1.11,г);5. Нажатием на клавиатуре кнопки стрелка вправо передвигаем

курсор и нажимаем клавишу <*> (Рис. 1.11,д);6. Введите оператор Tangent на панели инструментов Calculator

(Рис. 1.11,е);7. Последовательно введите символы <x>, <+>, <7> (Рис.

1.11,ж);8. Для ввода дробной черты необходимо последовательно

нажать клавиши стрелка вправо, пробел и </> (Рис. 1.11,з);9. Последовательно введите символы <2>, <*>. Для ввода корня

необходимо ввести оператор Square Root на панели инструментовCalculator (Рис. 1.11,и);

10. Введите символ <x> (Рис. 1.11,к);

20

11. Для того чтобы выделить формулу полностью необходимонажать клавишу пробел (в нашем случае процедура повторяется 3раза) (Рис. 1.11,л-н);

12. Последовательно введите символы <*>, <x> (Рис. 1.11,о);

Рис. 1.11. Демонстрация последовательности действий ввода формулыв формульном редакторе MathCAD

Таким образом, поместить формулу в документ можно, простоначиная вводить символы, числа или операторы, например + или /. Вовсех этих случаях на месте курсора ввода создается математическаяобласть, иначе называемая регионом, с формулой, содержащей илинии ввода. В последнем случае, если пользователь начинает вводформулы с оператора, в зависимости от его типа, автоматическипоявляются и местозаполнители, без заполнения которых формула небудет восприниматься процессором MathCAD.

21

Чтобы изменить формулу, щелкните на ней мышью, поместивтуда линии ввода, и перейдите к месту, которое хотите исправить.Перемещайте линии ввода в пределах формулы одним из двухспособов:

-щелкая в нужном месте мышью;-нажимая на клавиатуре клавиши – со стрелками, пробел и <Ins>-клавиши со стрелками имеют естественное назначение,

переводя линии ввода вверх, вниз, влево или вправо;-клавиша <Ins> переводит вертикальную линию ввода с одного

конца горизонтальной линии ввода на противоположный;-пробел предназначен для выделения различных частей

формулы.Изменение формул. Большинство операций правки формул

реализованы естественным образом, однако, некоторые из нихнесколько отличаются от общепринятых, что связано с особенностьюMathCAD как вычислительной системы. Рассмотрим основныедействия по изменению формул.

Вставка оператора. Операторы могут быть унарными(действующими на один операнд, как, например, оператортранспонирования матрицы, возведения в степень или смены знакачисла), так и бинарными (например, + или /, действующими на дваоперанда). При вставке нового оператора в документ MathCADопределяет, сколько операндов ему требуется. Если в точке вставкиоператор один или оба операнда отсутствуют, MathCADавтоматически помещает рядом с оператором один или дваместозаполнителя.

Чтобы выделить часть формулы в некоторой математическойобласти:

1. Поместите ее между линиями ввода, пользуясь, принеобходимости, клавишами-стрелками и пробелом.

2. Поместите указатель мыши на вертикальную линию ввода,нажмите и удерживайте левую кнопку мыши.

3. Удерживая кнопку мыши, протащите указатель мыши вдольгоризонтальной линии ввода, при этом часть формулы будетвыделяться обращением цвета.

4. Отпустите кнопку мыши, когда будет выделена нужная частьформулы.

Чтобы удалить часть формулы:

22

1. Выделите ее.2. Нажмите клавишу <Del>.3. Кроме того, можно удалить часть формулы, помещая ее перед

вертикальной линией ввода и нажимая клавишу <BackSpace>. Внекоторых случаях, например, при работе со сложными формулами,для достижения желаемого эффекта может потребоваться повторноенажатие <BackSpace>.

Для правки части формулы:1. Выделите ее, либо просто поместите между линиями ввода,

пользуясь либо мышью, либо клавишами-стрелками и пробелом.2. Воспользуйтесь либо верхним меню Edit (Правка), либо

контекстным меню, либо кнопкой на панели инструментов, либосоответствующим сочетанием горячих клавиш:

-Cut (Вырезать), или <Ctrl>+<X> – для вырезки части формулы вбуфер;

- Сору (Копировать), или <Ctrl>+<C> – для копирования вбуфер;

- Paste (Вставить), или <Ctrl>+<V> – для вставки из буферапредварительно помещенной туда части формулы.

1.2.4. Ввод и редактирование текстаMathCAD – это математический редактор. Основное его

назначение заключается в редактировании математических формул ирасчете по ним. Вместе с тем, наряду с формульным редактором,MathCAD обладает довольно развитыми средствами по оформлениютекста. Назначение текстовых областей в документах MathCAD дляразных пользователей и разных задач может быть различным.

Текстовую область (text region) можно разместить в любомнезанятом месте документа MathCAD. Однако, когда пользовательпомещает курсор ввода в пустое место документа и просто начинаетвводить символы, MathCAD по умолчанию интерпретирует их какначало формулы. Чтобы до начала ввода указать программе, чтотребуется создать не формульный, а текстовый регион, достаточно,перед тем как ввести первый символ, нажать клавишу <">. Врезультате на месте курсора ввода появляется новый текстовыйрегион, который имеет характерное выделение. Курсор принимаетпри этом вид вертикальной линии красного цвета, которая называетсялинией ввода текста и аналогична по назначению линиям ввода в

23

формулах. Теперь можно просто вводить любой текст в текстовыйрегион, причем очередной символ будет вставлен в позицию,обозначенную линией ввода текста.

1.2.5. Обновление вида документаРедактор MathCAD – довольно сложная программа, и в

результате работы в нем на поверхности документа может время отвремени появляться "мусор",- лишние символы, которых на самомделе в документе нет. Если вы подозреваете, что имеете дело именнос такой ситуацией, выполните команду View / Refresh (Вид /Обновить) или нажмите клавиши <Ctrl>+<R>. В результате вселишние символы должны исчезнуть.

1.2.6. Поиск и заменаНаходясь в MathCAD, несложно организовать поиск символа,

фрагмента или слова в документе:1. Выполните команду Edit/ Find (Правка / Найти) или нажмите

клавиши <Ctrl>+<F> для вызова диалога Find (Поиск) (Рис. 1.12,а).2. Введите в поле Find what (Найти) в верхней части диалога

искомый текст(Рис. 1.12,б).3. Укажите, если это необходимо, опции поиска, устанавливая

или снимая флажки:- Match whole word only (Искать совпадение только слов

целиком);- Match case (Учитывать регистр);- Find in Text Regions (Искать в текстовых областях);

24

- Find in Math Regions (Искать в математических областях)

Рис. 1.12. Вызов командной строки поиска

1.2.7. Справочная система пакета MathCADВместе с MathCAD поставляется несколько источников

справочной информации, доступ к которым осуществляется черезменю Help (Справка) (Рис. 1.13):

Рис. 1.13. Доступ к справочнойинформации

– MathCAD Help (Справка) – система справки, или техническойподдержки;

25

– Developer's Reference (Справка для разработчиков) –дополнительные главы справки для разработчиков собственныхсамостоятельных приложений на языке MathCAD;

– Author's Reference (Справка для авторов) – дополнительныеглавы справки для авторов собственных электронных книг.Электронные книги – коллекции вычислений, снабженныегиперссылками и интерактивными примерами MathCAD-программ.

– Resource Center (Центр Ресурсов) – самостоятельноеприложение, оформленное в виде электронной книги срешением множества математических примеров,демонстрирующих практическое применение возможностейMathCAD;

– Open Book (Открыть книгу) – пункт меню, позволяющийоткрыть существующую в виде файла электронную книгу(возможно, созданную вами или полученную от другихавторов).

1.3. Переменные и функции

В MathCAD переменные, операторы и функции реализованы винтуитивной форме, т. е. выражения в редакторе вводятся ивычисляются так, как они были бы написаны на листе бумаги.Математические выражения и действия в MathCAD воспринимаютсяпроцессором слева направо и сверху вниз.

Перечислим основные действия, которые пользователь можетсовершать для определения и вывода переменных и функций.

1.3.1. Определение переменныхЧтобы определить переменную, достаточно ввести ее имя и

присвоить ей некоторое значение, с помощью оператора присвоения.Чтобы присвоить переменной новое значение, например

переменную х сделать равной 10:1. Введите в желаемом месте документа имя переменной,

например х (Рис. 1.14)

26

а б вРис. 1.14. Задание переменной в MathCAD

а — ввод имени переменной;б — оператор присваивание;

в — присвоение какого- либо числа

2. Введите оператор присваивания с помощью клавишидвоеточия или соответствующей кнопки Definition на панелиинструментов Calculator или Evaluation (

Рис. 1.15).

Рис. 1.15. Ввод оператора присваивание с помощью инструментов Calculatorили Evaluation

Если переменная с некоторым именем создается в данномдокументе впервые, то для ввода оператора присваивания, вместодвоеточия, допускается использовать символ равенства "=", которыйMathCAD автоматически заменит символом присвоения.

27

Чтобы переопределить значение переменной, определенной вдокументе, оператор присваивания следует вводить не знакомравенства, а двоеточием, либо пользоваться панелью инструментов.

Рис. 1.16. Изменение отображение оператораприсваивания

Не вполне соответствующий общепринятому математическомустилю вид оператора присваивания (не =, а :=) является, на самомделе, компромиссом, связанным с назначением MathCAD как системыпрограммирования. Этот оператор показывает, что он действует, вотличие от других, не слева направо, а справа налево, поскольку

28

значение (справа) задается переменной (слева). И еслинепосвященного математика внешний вид этого оператора можетввести в некоторое заблуждение, то пользователю MathCAD он прямоговорит о действии, выполняемом в данном месте документа:значение переменной не выводится на экран (о чем говорит знак =),а некоторое значение присваивается данной переменной.

Для подготовки отчетов, тем не менее, может потребоватьсяизменить отображение оператора присваивания с принятых поумолчанию символов ":=" на символ равенства. Это делается дляконкретного оператора присваивания с помощью пункта ViewDefinition As контекстного меню, либо для всего документа спомощью команды Math/Options/Display (Рис. 1.16).

1.3.2. ФункцииФункции в MathCAD записываются в обычной для математика

форме:f (х,...) :=

где f – имя функции;х,... – список переменных.Легче всего ввести написание функции в документ при помощи

клавиатуры. В MathCAD формально можно разделить функции на дватипа:

- встроенные функции (Рис. 1.17);- функции, определенные пользователем.

29

Рис. 1.17. Встроенные функции

Применение функций обоих типов в расчетах совершенноодинаково, с тем исключением, что любую встроенную функциюможно сразу использовать в любом месте документа, апользовательскую функцию необходимо предварительно определитьв документе до момента вычисления ее значения.

Определение функции пользователя. Для того чтобыопределить функцию пользователя, например f(x,y) = x2-cos (x+y)(Рис. 1.18).

Рис. 1.18. Определение функциипользователя

1. Введите в желаемом месте документа имя функции «f».2. Введите левую скобку "(" имена переменных через запятую х,

у и правую скобку ")" (Рис. 1.18,а).

30

При вводе левой скобки и запятых автоматически будут появлятьсясоответствующие место заполнители (Рис. 1.18,б).

3. Введите оператор присваивания с панели инструментов илинажатием клавиши <:> (Рис. 1.18,в).

4. Введите в появившийся местозаполнитель выражение,определяющее функцию x2-cos(x+y), пользуясь клавиатурой илипанелями инструментов (г).

Вывод значений переменных и функций. Чтобы вычислить вдокументе некоторое математическое выражение, которое может

состоять из переменных,операторов и функций(встроенных и

определенныхпользователем):

1. Введите этовыражение, например ху;

2. Нажмите клавишу<=>.

В результате справаот введенного знакаравенства появится

вычисленное значение выражения. Нельзя изменять содержимоевыражения справа от знака равенства, поскольку оно есть результатработы вычислительного процессора MathCAD. Подчас (когдавыражение содержит функции, реализующие разные численныеметоды, часто в сложных комбинациях) расчеты занимаютсущественное время. О том, что некоторое выражение документанаходится в стадии вычисления, свидетельствует обрамляющая егозеленая рамка и невозможность предпринять какое-либо действие спрограммой MathCAD.

Заметьте, что перед тем как вычислить значениематематического выражения, вы обязаны определить значениекаждой входящей в него переменной. Вычисляемое выражение можетсодержать любое количество переменных и операторов.

Допустимые имена переменных и функций. В заключениеперечислим, какие символы можно, а какие нельзя применять вименах, которые пользователь дает переменным и функциям, и

Рис. 1.19. Вывод значений переменных

31

перечислим ряд ограничений на присваивание имен.Допустимые символы (Рис. 1.20):

Рис. 1.20. Допустимые именапеременных и функций

- Большие и маленькие буквы – MathCAD различает регистр:так, имена «х» и «X» определяют разные переменные (Рис.1.20,a).

- Кроме того, MathCAD различает и шрифт;- числа от 0 до 9;- символ бесконечности (клавиши <Ctrl>+<Shift>+<Z>);- штрих (клавиши <Ctrl>+<F7>);- греческие буквы – они вставляются с помощью панели Greek

(Греческие символы) (Рис. 1.20,б);- символ подчеркивания;- символ процента;- нижний индекс.Последний из перечисленных символов необходимо

использовать очень осторожно, поскольку его часто путают синдексом векторной переменной. Вводится нижний индекс нажатиемточки, после чего линии ввода опустятся чуть ниже (Рис. 1.20,в).

Ограничения на имена переменных и функций:- имя не может начинаться с цифры, символа подчеркивания,

штриха или процента (Рис. 1.20,г);

32

- символ бесконечности должен быть только первым в имени(Рис. 1.20,д);

- все буквы в имени должны иметь один стиль и шрифт;- имена не могут совпадать с именами встроенных функций,

констант и размерностей, например, sin или TOL. Тем неменее, допускается их переопределение, но тогда одноименнаявстроенная функция больше не будет использоваться попервоначальному назначению (Рис. 1.20,е);

- MathCAD не различает имен переменных и функций: еслисначала определить функцию f(х), а потом переменную f, то воставшейся части документа будет утерян доступ к функцииf(x) (Рис. 1.20,ж).

1.3.3. ОператорыКаждый оператор в MathCAD обозначает некоторое

математическое действие в виде символа. В полном согласии стерминологией, принятой в математике, ряд действий (например,сложение, деление, транспонирование матрицы и т. п.) реализован вMathCAD в виде встроенных операторов, а другие действия(например, sin, erf и т. п.) – в виде встроенных функций. Каждыйоператор действует на одно или два числа (переменную илифункцию), которые называют операндами. Если в момент вставкиоператора одного или обоих операндов не хватает, то недостающиеоперанды будут отображены в виде местозаполнителей. Символлюбого оператора в нужное место документа вводится одним из двухосновных способов:

- нажатием соответствующей клавиши (или сочетания клавиш)на клавиатуре;

33

- нажатием указателем мыши соответствующей кнопки наодной из математических панелей инструментов (Рис. 1.21)

Рис. 1.21. Математическая панель нструментов

Арифметические операторы. Операторы, обозначающиеосновные арифметические действия, вводятся с панели Calculator:

- сложение и вычитание: «+» и «-»;- умножение и деление: «*» и «/»;- факториал: «!»;- модуль числа: «|х|»;- квадратный корень: « х »;- корень n-й степени: « n х »;- возведение х в степень у: «хУ»;- изменение приоритета: скобки;- численный вывод: «=».Вычислительные операторы. Они вставляются в документы

при помощи панели инструментов Calculus (Рис. 1.22). При нажатиилюбой из кнопок в документе появляется символ соответствующегоматематического действия, снабженный несколькимиместозаполнителями. Количество и расположение местозаполнителейопределяется типом оператора и в точности соответствует ихобщепринятой математической записи. Например, при вставкеоператора суммы необходимо задать четыре величины: переменную,

34

по которой надо произвести суммирование, нижний и верхнийпределы, а также само выражение, которое будет стоять под знакомсуммы.

Рис. 1.22. Вставка операторасуммирования

После ввода какого-либо вычислительного оператора имеетсявозможность вычислить его значение либо численно, нажатиемклавиши <=>, либо символьно (аналитически), с помощью операторасимвольного вывода.

Перечислим основные вычислительные операторы и приведемпростейшие примеры их применения:

- дифференцирование и интегрирование;o производная;o N-я производная;o определенный интеграл;o неопределенный интеграл.

- суммирование и вычисление произведения;o сумма;o произведение;o сумма ранжированной переменной;o произведение ранжированной переменной.

- пределы;o двусторонний;o левый;o правый.

Операторы суммирования и вычисления произведенияфактически являются более удобной записью операторов «+» и «*»при большом количеством операндов. А вот вычислительныеоператоры поиска производных и определенных интеграловреализованы на основе численных методов. При численном расчете

35

интегралов и производных необходимо, хотя бы в общих чертах,представлять принцип работы соответствующих алгоритмов, чтобыизбежать ошибок и неожиданностей при получении результатов.

Логические операторы. Результатом действия логических, илибулевых, операторов являются только числа 1 (если логическоевыражение, записанное с их помощью, истинно) или 0 (еслилогическое выражение ложно). Чтобы вычислить значениелогического выражения, например 1=1 (Рис. 1.23):

1. Вставьте с панели Boolean соответствующий оператор =.

Рис. 1.23. Вставка логическогооператора

2. В появившиеся местозаполнители вставьте операнды (двеединицы).

3. Нажмите клавишу <=>, чтобы получить ответ.

Матричные операторы

Матричные операторы предназначены для совершенияразличных действий над векторами и матрицами.

Операторы выражения

Почти все вычислительные операторы были рассмотрены выше.Они сгруппированы на панели Evaluation.

- Оценить численно (Evaluate Numerically) =- Вычислить символьно (Evaluate Symbolically) →- Присвоение (Definition) :=- Глобальное присвоение (Global Definition)≡Рассмотрим различие между операторами обычного

присваивания и глобального присвоения. Для того чтобы вычислитьвыражение, содержащее некоторую переменную или функцию,необходимо, чтобы этой переменной ранее в документе былоприсвоено какое-либо значение. Иначе будет выдаваться сообщениеоб ошибке (Рис. 1.24).

36

Рис. 1.24. Операторы присвоения

Однако если в любой части документа (например, в самом низу)вставить оператор глобального присваивания, то переменная будетопределена в любой части документа

1.3.4. Управление вычислениямиДокумент MathCAD – это в полном смысле этого слова

компьютерная программа, а сама система MathCAD – настоящаясистема программирования, правда, ориентированная на математика,а не на профессионального программиста. Большинство других средпрограммирования разделяют редактирование кода программ и ихвыполнение, которое можно вызвать предназначенными для этогокомандами. В MathCAD и код программы, и результат их выполненияобъединены в документе. Тем не менее, функции редактированияформул и их расчеты разделены, и пользователь имеет возможностьуправлять всеми важнейшими опциями вычислений.

Режимы вычислений

При создании пустого документа умолчанию включаетсяавтоматический режим вычислений, поэтому если вводятсявыражения, содержащие операторы вывода, они вычисляютсянемедленно. Кроме автоматического существует и ручной режим –старт вычислений каждой формулы или всего документапроизводится пользователем.

Режим вычислений можно выбрать с помощью командыMath/Automatic Calculation (Рис. 1.25).

Если в этой строке меню установлен флажок проверки, значит,включен автоматический режим, если флажка нет, то редактируетсядокумент в ручном режиме вычислений. Чтобы сменить режим,просто выберите этот пункт меню.

37

Рис. 1.25. Режимы вычислений

Преимущества и недостатки каждого режима очевидны. С однойстороны, автоматические вычисления упрощают работу сдокументом, поскольку результаты расчетов появляются в реальномвремени, и пользователь имеет возможность анализировать их сразу.С другой стороны, если вычисления сложные, то они могут отниматьмного времени (что особенно заметно на компьютерах с не слишкоммощным процессором и небольшим объемом оперативной памяти).Поэтому зачастую, чтобы продолжить редактирование документа,требуется довольно длительное ожидание завершения расчетов. Вчастности, если поменять какое-либо выражение в начале большогодокумента, которое влияет на последующие вычисления, то все онипересчитываются заново. В таких случаях часто удобнеередактировать текст в ручном режиме, а вычисления включать помере необходимости.

MathCAD осуществляет вычисления документа, как это принятов большинстве сред программирования: сверху вниз и слева направо.Пока очередное выражение находится в процессе расчета(вычислительным или символьным процессором), оно выделяетсярамкой зеленого цвета, а любые действия пользователя подальнейшему редактированию документа блокируются. Если у вас неслишком быстрый компьютер, а формулы достаточно сложные, томожно наблюдать, как зеленая рамка перескакивает с одноговыражения на другое.

Чтобы прервать затянувшийся процесс вычислений, нажмитеклавишу <Esc>.

38

Вычисления в ручном режиме

Если флажок в строке команды Math/Automatic Calculation снят,пользователь должен запускать вычисления самостоятельно (Рис.1.26).

Рис. 1.26. Вычисления в ручном режиме

· Для того чтобы вычислить все формулы во всемдокументе, выполните команду Math/Calculate Worksheet.

· Для вычисления всех формул в видимой части документавыберите пункт Math/Calculate, либо нажмите клавишу<F9>, либо щелкните на кнопке с изображением знакаравенства (Calculate) на стандартной панели инструментов.

· Прервать вычисления можно обычным образом, нажавклавишу <Esc>.

При редактировании текста в ручном режиме не выполняютсяни вычисления, ни построение графиков, а соответствующие места ввыражениях формально отмечаются местозаполнителями.

MathCAD позволяет отключить вычисление какой-либоформулы. При этом она не будет влиять на последующиевычисления. Чтобы не вычислять определенную формулу вдокументе:

1. Щелкните правой кнопкой мыши на формуле.2. Выберите в контекстном меню пункт Disable Evaluations

(Выключить вычисления) (Рис. 1.27).

39

Рис. 1.27. Отключение вычислений через контекстное менюЭквивалентный способ выключения вычисления отдельной

формулы заключается в вызове диалогового окна Properties черезодноименный пункт контекстного меню или главного меню Format. Вдиалоге Properties следует перейти на вкладку Calculations иустановить там флажок Disable Evaluations (Рис. 1.28).

Когда процессор MathCAD по тем или иным причинам не можетвычислить выражение, он вместо ответа выдает сообщение обошибке. Если курсор находится вне формулы с ошибкой, то в ней имяфункции или переменной, которая вызвала ошибку, отмечаетсякрасным цветом. При щелчке на такой формуле под ней появляетсятекстовое сообщение о типе ошибки.

Если некоторые выражения вызывают ошибку, они простоигнорируются, а следующие выражения в документе по-прежнему

Рис. 1.28. Отключение в вычисления с помощью вкладки Properties

40

вычисляются. Конечно, если формулы, вызвавшие ошибку, влияют назначения нижеследующих формул, то они будут такжеинтерпретированы как ошибочные. Поэтому, встречая в документесообщения об ошибках, найдите сначала самое первое из них. Частоее устранение позволяет избавиться и от последующих ошибок.

1.4. Типы данных

Наряду с обычными числами, в MathCAD имеется мощныйаппарат работы с массивами. Массивы реализованы в виде векторов иматриц, что максимально приближает стиль вычислений кобщепринятой математической форме. Отличительной чертой средыMathCAD является возможность обращения с размернымипеременными, снабженными физическими единицами измерений.Эти средства существенно облегчают инженерные и научныерасчеты.

Переменные и функции могут иметь значения различных типов(числовые, строковые и т. д.). Перечислим основные типы данных,которые обрабатываются процессорами системы MathCAD:

- числа (в том числе, действительные, комплексные, а такжевстроенные константы), MathCAD хранит все числа в форматедвойной точности с плавающей точкой (не разделяя их нацелые, булевы и т. д.);

- строки – любой текст, заключенный в кавычки;- массивы (в том числе, ранжированные переменные, векторы

и матрицы) – упорядоченные последовательности чисел илистрок. Рассмотрим более подробно типы данных и то, какосуществляется их непосредственный ввод в документ спомощью присваивания значения переменным.

1.4.1. ЧислаЛюбое выражение, начинающееся с цифры, MathCAD

интерпретирует как число. Поэтому для ввода числа просто начнитеего набирать на клавиатуре.

Комплексные числа. Большинство операций в среде MathCADпо умолчанию осуществляются над комплексными числами.Комплексное число является суммой действительного и мнимогочисла, получающегося путем умножения любого действительного

41

числа на мнимую единицу (imaginary unit) i. По определению, i =корень -l ИЛИ i2=-1. Чтобы ввести мнимое число, например 3i:

1. Введите действительный сомножитель (3).2. Введите символ "i" или "j" непосредственно после него. Для

ввода мнимой единицы надо нажать клавиши <1>, <i.>. Еслипросто ввести символ "i", то MathCAD интерпретирует его какпеременную i. Кроме того, мнимая единица имеет вид 1i,только когда соответствующая формула выделена. Впротивном случае мнимая единица отображается просто как i.

Встроенные константы. Некоторые имена в MathCADзарезервированы под системные переменные, которые называютсявстроенными константами (built-in constants). Встроенныеконстанты делятся на два типа:

математические, хранящие значение некоторыхобщеупотребительных специальных математических символов

системные, определяющие работу большинства численныхалгоритмов, реализованных в MathCAD.

Математические константы (math constants) – символбесконечности (вводится клавишами <Ctrl>+<Shift>+<z> – е –основание натурального логарифма (клавиша <е>); – число "π"; – i, j –мнимая единица (вводится клавишами <1>, <i> или <1>, <j>); – % –символ процента, <%>, эквивалентный 0.01 Математическиеконстанты по-разному интерпретируются при численных исимвольных вычислениях. Вычислительный процессор простовоспринимает их как некоторые числа, а символьный распознаеткаждое из них, исходя из математического контекста, и способенвыдавать математические константы в качестве результата.

При желании можно изменить значение любой изперечисленных констант или использовать их в качестве переменныхв расчетах. Разумеется, если присвоить константе новое значение,прежнее станет недоступным.

Системные переменные (system variables) -TOL – точностьчисленных методов; -CTOL – точность выполнения выражений,используемая в некоторых численных методах; -ORIGIN – номерначального индекса в массивах; -PRNPRECISION – установкаформата данных при выводе в файл; – PRNCOLWIDTH – установкаформата столбца при выводе в файл; – CWD – строковоепредставление пути к текущей рабочей папке. Их можно поменять в

42

любой части документа, присвоив соответствующей переменнойновое значение. Кроме того, переопределение значения переменнойдля всего документа производится при помощи командыMath/Options/Built-in Variables (Математика/Опции/Встроенныепеременные) в диалоговом окне Math Options (Опции математики).Чтобы в любой момент вернуть значения по умолчанию, нажмитекнопку Restore Defaults (Восстановить установки по умолчанию)(Рис. 1.29).

Рис. 1.29. Переопределение значенийсистемных переменных

1.4.2. Размерные переменныеВ MathCAD числовые переменные и функции могут обладать

размерностью. Сделано это для упрощения инженерных ифизических расчетов. В MathCAD встроено большое количествоединиц измерения, с помощью которых и создаются размерныепеременные.

Создание размерной переменной. Чтобы создать размернуюпеременную, определяющую, например, силу тока в 10 А:

1. Введите выражение, присваивающее переменной iзначение 10: 10:=10.

2. Сразу после ввода 10 введите символ умножения "*".

43

3. Находясь в области местозаполнителя, выберитекоманду Insert/Unit (Вставка/Единицы), либо нажмитекнопку с изображением мерного стакана на стандартнойпанели инструментов, либо клавиши <Ctrl>+<U>.

4. В списке Unit (Единица измерения) диалогового окнаInsert Unit (Вставка единицы измерений) выберитенужную единицу измерения Ampere (A) (

5. Рис. 1.30).При работе с размерными переменными MathCAD постоянно

контролирует корректность расчетов. Например, нельзя складыватьпеременные разной размерности, в противном случае будет полученосообщение об ошибке "The units in this expression do not match"(Размерности в этом выражении не совпадают). Над размернымипеременными можно производить любые корректные с физическойточки зрения расчеты.

Рис. 1.30. Создание размерной переменной

Чтобы определить новую (пользовательскую) единицуизмерения некоторой размерности, либо новую размерность,достаточно присвоить ее выражение через используемые размерностипеременной с соответствующим именем.

Созданные пользователем единицы измерения недоступны вдиалоговом окне Insert Unit (Вставка единицы измерений), поэтомуих приходится вводить вручную с клавиатуры.

44

1.4.3. МассивыМассивами (arrays) называют упорядоченные

последовательности чисел, или элементов массива. Доступ клюбому элементу массива возможен по его индексу, т. е. номеру впоследовательности чисел.

В MathCAD условно выделяются два типа массивов:- векторы (одноиндексные массивы), матрицы и тензоры

(многоиндексные);- ранжированные переменные (range variables) – векторы,

элементы которых определенным образом зависят от ихиндекса.

Создание массивов. Существует несколько способов созданиямассива:

- ввод всех элементов вручную с помощью команды InsertMatrix (Рис. 1.31);

Рис. 1.31. Создание массивов с помощью Insert Matrix

- определение отдельных элементов массива;- создание связи с другим приложением, например, Excel или

MATLAB;- импорт из внешнего файла данных;

45

- генерация массивов с использованием ранжированныхпеременных.

Создание матрицы командой Insert Matrix. Самый простой инаглядный способ создания вектора или матрицы заключается вследующем (Рис. 1.32):

1. Нажмите кнопку Matrix or Vector (Матрица или вектор) напанели Matrix (Матрица) либо клавиши <Ctrl>+<M>, либо выберитепункт меню Insert/Matrix (Вставка/Матрица).

2. В диалоговом окне Insert Matrix задайте целое число столбцови строк матрицы, которую хотите создать.

3. Нажмите кнопку ОК или Insert – в результате в документбудет вставлена заготовка матрицы с определенным числом строк истолбцов.

4. Введите значения в местозаполнители элементов матрицы.

Рис. 1.32. Создание матрицы командой Insert Matrix

Переходить от одного элемента матрицы к другому можно спомощью указателя мыши либо клавиш со стрелками.

Добавление в уже созданную матрицу строк или столбцовпроизводится точно так же (Рис. 1.33):

46

1. Выделите линиями ввода элемент матрицы, правее и нижекоторого будет осуществлена вставка столбцов и (или) строк.

Рис. 1.33. Добавление в уже созданную матрицустрок или столбцов

2. Вставьте в него матрицу, как было описано выше.3. Заполните местозаполнители недостающих элементов

матрицы. В местозаполнители элементов матрицы можно вставлятьне только числа (действительные или комплексные), но и любыематематические выражения, состоящие из переменных, операторов,встроенных и пользовательских функций.

Создание массива определением его отдельных элементов.Самый простой способ создания массива заключается в определениилюбого количества его элементов. Это можно сделать: – присваиваязначения непосредственно отдельным элементам массива; – применяяранжированные переменные. Любой из этих способов позволяетприсвоить нужное значение как всем элементам массива, так и частииз них, либо даже одному-единственному элементу. В последнемслучае создается массив, размерность которого задается индексамивведенного элемента, а неопределенным элементам по умолчаниюприсваиваются нулевые значения.

В любом месте документа допускается как переопределениелюбого из элементов массива, так и изменение его размерности.Чтобы поменять размерность всего массива, просто присвойте любоезначение новому элементу, индексы которого выходят за границыпрежней размерности.

Ранжированные переменные. Ранжированные переменные вMathCAD являются разновидностью векторов и предназначены,главным образом, для создания циклов или итерационных

47

вычислений. Простейший пример ранжированной переменной – этомассив с числами, лежащими в некотором диапазоне с некоторымшагом. Например, для создания ранжированной переменной s сэлементами 0,1,2,3,4,5 (Рис. 1.34):

Рис. 1.34. Создание ранжированной переменной

1. Поместите курсор ввода в нужное место документа.2. Введите имя переменной (s) и оператор присваивания":"3. Нажмите кнопку Range Variable (Ранжированная переменная)

на панели Matrix (Матрица), либо введите символ точки с запятой склавиатуры.

4. В появившиеся местозаполнители введите левую и правуюграницы диапазона изменения ранжированной переменной 0 и 5.

Чтобы создать ранжированную переменную с шагом, не равным1, например, 0,2, 4, 6, 8: (Рис. 1.34)

1. Создайте ранжированную переменную в диапазоне от 0 до 8.2. Поместите линии вводана значение начала диапазона (0).3. Введите запятую.4. В появившийся местозаполнитель введите значение шага

изменения ранжированной переменной (2).Часто необходимо провести одни и те же вычисления

циклически, большое количество раз, на пример, вычислениенекоторой функции f(х) в некотором диапазоне. Задание вручнуювсех значений аргумента очень трудоемко, а с помощью заданияранжированной переменной это делается в одну строку.

Импорт из внешних данных. В MathCAD имеется возможностьчтения массивов из текстовых файлов в формате ASCII с помощьюкоманды READPRN. Кроме того, возможно чтение растровыхрисунков в формате bmp и звуковых файлов в формате wav с

48

помощью команд READBMP и READWAV. В обоих случаях цифроваяинформация об изображении или звуке считывается в матрицу.

Доступ к элементам массива. Доступ ко всему массивуосуществляется обычным указанием векторной переменной. ВMathCAD имеются и операторы, и встроенные функции, которыедействуют на векторы и матрицы целиком, например,транспонирование, матричное умножение и т. д. Над элементамимассива можно совершать действия, как над обычными числами.Нужно только правильно задать соответствующий индекс илисочетание индексов массива. Например, чтобы получить доступ кнулевому элементу вектора а:

1 Введите имя переменной массива (а).2. Нажмите кнопку Subscript (Нижний индекс) со значком х, на

панели Matrix (Матрица), либо введите «[».3. В появившийся справа снизу от имени массива

местозаполнитель введите желаемый индекс (0). Если после этоговвести знак численного вывода, то справа от него появится значениенулевого элемента вектора.

Рис. 1.35. Доступ к элементу многоиндексного массива

Чтобы получить доступ к элементу многоиндексного массива(например, элементу ai,0 матрицы a:

1. Введите имя переменной массива – а.2. Перейдите к вводу нижнего индекса, введя «[».

49

3. Введите в местозаполнитель индекса первый индекс (i),запятую "," и в появившийся после запятой местозаполнитель введитевторой индекс (0) (Рис. 1.35).

Первый элемент массива имеет по умолчанию индекс 0.Стартовый индекс массива задается системной переменной ORIGIN,которая по умолчанию равна нулю. Помимо доступа к отдельнымэлементам массива, имеется возможность совершать действия над егоподмассивами (например, векторами-столбцами, образующимиматрицу). Делается это с помощью оператора со значком M< > напанели Matrix.

1.5. Вывод данных

1.5.1. Числовой выводНаиболее простой и распространенный ввод-вывод данных в

MathCAD реализован присваиванием и (либо численным, либосимвольным) выводом непосредственно в документе.

Несмотря на то, что невозможно влиять на результат, которыйотображается справа от оператора вывода значений переменных,функций и выражений, допускается изменять формат егоотображения. Напомним, что как ввод, так и вывод данных можетосуществляться в двух основных представлениях:

50

Рис. 1.36. Ввод, вывод данных с порядком

- десятичное (decimal), например 13478.74559321;- с порядком (exponential notation), например 1.348x104. Выбор

формата вывода числовых данных осуществляется при помощидиалогового окна Result Format (Формат результата). Оновызывается командой Format/Result (Фор мат/Результат) (Рис.1.36)

Формат результата. Управление представлением числа вдесятичном представлении или представлении с порядкомосуществляется при помощи следующих параметров: – количествоотображаемых десятичных знаков (decimal places) после точки (Рис.1.37). Например, число 122,5587 с четырьмя десятичными знакамипри отображении с двумя знаками будет выглядеть как 122,56; –

51

Рис. 1.37. Количество отображаемых десятичных знаков после точки

Рис. 1.38. Представление числа в научном формате

52

отображение или скрытие незначащих нулей (trailing zeros) –опция, позволяющая показывать или скрывать незначащие нули вдесятичном представлении числа, т. е. выводить, к примеру, "1,5"вместо "1,500" (даже если установлено количество десятичныхзнаков, равное 3); – порядковый порог (exponential threshold), припревышении степени 10 которого число будет показываться с

порядком. Например, при пороге 3 число 122,56 будет отображатьсякак десятичное, а при пороге 2 – уже как "1,23х102"; кроме того,число с порядком может представляться в эквивалентных видах:"1,23х102" или с порядком в инженерном формате (engineering format)(Рис. 1.39) "1.23Е+002". – MathCAD имеется несколько типовформатов, в каждом из которых разрешается изменение различныхпараметров представления числа. Формат выбирается на вкладкеNumber Format (Формат числа) диалогового окна Result Format(Формат результата).

1.5.2. Двумерные графикиК двумерным графикам относят графики в декартовой и

полярной системах координат. Созданный однажды график одноготипа нельзя переделать в график другого типа (в отличие оттрехмерных графиков). Для ввода шаблона графика функции однойпеременной необходимо установить курсор в место, где долженрасполагаться левый верхний край графика и нажать кнопку «X-Y

Рис. 1.39. Представление числа в инженерном формате

53

plot» панели инструментов «Graph». Для построения XY-графиканеобходимы два ряда данных, откладываемых по осям х и у вводимыев поля 1 и 3 на Рис. 1.40. Построить график любой скалярнойфункции f(х) можно двумя способами. Первый заключается вдискретизации значений функции, присвоении этих значений векторуи прорисовке графика вектора. Второй, более простой способ,называемый быстрым построением графика, заключается вовведении функции в один из местозаполнителей (например, у оси Y),а имени аргумента – в местозаполнитель у другой оси. В результатеMathCAD сам создает график функции в пределах значенийаргумента, по умолчанию принятых равными от -10 до 10.Впоследствии можно поменять диапазон значений аргумента, указавнеобходимые значения в полях 2 на Рис. 1.40, и графикавтоматически подстроится под него. При необходимости можновручную изменить диапазон значений и по оси абсцисс, указав их вполях 4 на Рис. 1.40.

Рис. 1.40. Внешний вид шаблона двумерногографика.

Один из способов получить декартов график – сформироватьдва вектора данных, которые будут отложены вдоль осей х и у. В этом

4

3

214 2

54

случае в местозаполнители возле осей вводятся просто именавекторов. Также допускается откладывать по осям элементывекторов, т. е. вводить в местозаполнители возле осей имена Xi и Yiсоответственно. В результате получается график, на которомотложены точки, соответствующие парам элементов векторов,соединенные отрезками прямых линий. Образованная ими ломанаяназывается рядом данных, или кривой (trace). Границы графикаавтоматически определяются исходя из диапазона значенийэлементов векторов.

XY-график вектора и ранжированной переменной. В качествепеременных, откладываемых по любой из осей, можно использоватьсаму ранжированную переменную. При этом по другой оси должнобыть отложено либо выражение, явно содержащее самуранжированную переменную, либо элемент вектора с индексом поэтой ранжированной переменной, но никак не сам вектор.

Полярный график. Для создания полярного графиканеобходимо нажать кнопку Polar Plot и вставить в местозаполнителиимена переменных и функций, которые будут нарисованы в полярнойсистеме координат: угол (нижний местозаполнитель) и радиус-вектор(левый местозаполнитель) (Рис. 1.41). Точно так же, как при созданиидекартова графика по осям могут быть отложены два вектора,элементы векторов и ранжированные переменные в различныхсочетаниях, а также может быть осуществлено быстрое построениеграфика функции. Форматирование полярных графиков практическиидентично форматированию декартовых.

Рис. 1.41. Создание полярного графика

Форматирование графиков. Построение нескольких рядовданных. На одном графике может быть отложено до 16 различных

55

зависимостей. Чтобы построить на графике еще одну кривую,необходимо выполнить следующие действия:

1. Поместите линии ввода таким образом, чтобы они целикомзахватывали выражение, стоящее в надписи координатной оси у.

2. Нажмите клавишу <,>.3. В результате появится местозаполнитель, в который нужно

ввести выражение для второй кривой (Рис. 1.42).4. Щелкните в любом месте вне этого выражения (на графике

или вне его).

Рис. 1.42. Построение нескольких кривых на одном двумерном графике

После этого вторая кривая будет отображена на графике.Описанным способом будет создано несколько зависимостей,относящихся к одному аргументу. Вместе с тем, имеется довольномощная возможность отображения на одном и том же графикезависимостей разных аргументов. Для этого достаточно расставить поочереди метки всех зависимостей у обеих осей.

Форматирование осей. Возможности форматированиякоординатных осей графиков включают в себя управление ихвнешним видом, диапазоном, шкалой, нумерацией и отображениемнекоторых значений на осях при помощи маркеров.

Изменение диапазона осей. Когда график создается впервые,MathCAD выбирает представленный диапазон для обеихкоординатных осей автоматически. Чтобы изменить этот диапазон:

1. Перейдите к редактированию графика, щелкнув в егопределах мышью.

2. График будет выделен, а вблизи каждой из осей появятся дваполя с числами, обозначающими границы диапазона. Щелкните

56

мышью в области одного из полей, чтобы редактироватьсоответствующую границу оси (Рис. 1.43).

3. Пользуясь клавишами управления курсором и клавишами<BackSpace> и <Del>, удалите содержимое поля.

4. Введите новое значение диапазона.5. Щелкните за пределами поля, и график будет автоматически

перерисован в новых пределах.

Рис. 1.43. Изменение диапазона осей двумерного графика

Чтобы вернуть автоматический выбор какого-либо диапазона,удалите число из соответствующего поля и щелкните вне его.Граница шкалы будет выбрана MathCAD, исходя из значений данных,представляемых на графике.

Форматирование шкалы. Изменение внешнего вида шкалы,нанесенной на координатную ось, производится с помощьюдиалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot(Форматирование выбранного графика), в котором следует перейтина вкладку X-YAxes (Оси X-Y). Вызвать диалог можно двойнымщелчком мыши в области графика или выполнением командыFormat/Graph/X-Y Plot (Формат/График/X-Y График), или выбором вконтекстном меню команды Format (Формат) (Рис. 1.44).

С помощью флажков и переключателей легко поменятьвнешний вид каждой из осей:

- Log Scale (Логарифмический масштаб) – график по данной осибудет нарисован в логарифмическом масштабе. Это полезно,если данные разнятся на несколько порядков;

- Grid Lines (Линии сетки) – показать линии сетки;- Numbered (Нумерация) – показать нумерацию шкалы. Если

убрать этот флажок, то числа, размечающие шкалу, пропадут;- Autoscale (Автоматический масштаб) – выбор диапазона оси

производится автоматически процессором MathCAD;

57

Рис. 1.44. Форматирование шкалы двумерногографика

- Show Markers (Показать маркеры) – выделение значений наосях;

- AutoGrid (Автоматическая шкала) – разбиение шкалыпроизводится автоматически процессором MathCAD.Если этот флажок снят, в поле ввода рядом с нимследует указать желаемое количество меток шкалы;

- Equal Scales (Одинаковый масштаб) – оси X и Yпринудительно рисуются в одинаковом масштабе;

- Axes Style (Вид оси) – можно выбрать один из трехвидов системы координат:

- Boxed (Прямоугольник)- Crossed (Пересечение) – координатные оси в виде двух

пересекающихся прямых;- None (Нет) – координатные оси не показываются на графике.

Для полярного графика предусмотрены другие виды осей:- Perimeter (Периметр),- Crossed (Пересечение)- None (Нет).

58

Маркером на координатных осях отмечаются метки некоторыхзначений. Маркер представляет собой линию, перпендикулярнуюоси, снабженную числом или переменной. Чтобы создать маркер:

1. Дважды щелкните на графике.2. На вкладке X-Y Axes (Оси X-Y) диалога Formatting Currently

SelectedX-Y Plot (Форматирование выбранного графика), установитефлажок Show Markers (Показать маркеры).

3. Нажмите кнопку ОК (Рис. 1.45).4. В появившийся местозаполнитель введите число или имя

переменной, значение которой вы хотите отобразить на осимаркером.

5. Щелкните вне маркера.

Рис. 1.45. Создание маркера

На каждой из осей допускается установить по два маркера. Еслиопределен лишь один из них, то второй виден не будет.

Форматирование рядов данных. С помощью вкладки Traces(Ряды данных) диалогового окна Formatting Currently Selected X-YPlot легко установить комбинацию параметров линии и точек длякаждого из рядов данных, представленных на графике (Рис. 1.46).Пользователю требуется выделить в списке нужный ряд данных (егоположение в списке соответствует положению метки зависимости у

59

оси у) и изменить в списках в середине диалогового окна желаемыеустановки.

Рис. 1.46. Форматирование рядов данныхдвумерного графика

На вкладке Traces (Ряды данных) регулируются следующиепараметры:

- Legend Label (Легенда) – текст легенды, описывающий рядданных;

- Symbol (Символ) – символ, которым обозначаются отдельныеточки данных;

- Line (Линия) – стиль линии:- solid (сплошная);- dot (пунктир);- dash (штрих);- dadot (штрихпунктир).

- Color (Цвет) – цвет линии и точек данных;- Weight (Толщина) – толщина линии и точек данных;- Туре (Тип) – тип представления ряда данных:

- lines (линии);- points (точки);- error (ошибки);

60

- bar (столбцы);- step (шаг);- draw (рисунок);- stem (стержень);- solid bar (гистограмма).

Форматирование точек данных. Чтобы построить график ввиде только точек данных, перейдите в диалоге форматированиявыбранного графика к списку Туре (Тип) и выберите в нем пунктpoints (точки) (Рис. 1.47). Чтобы вместе с точками была показана икривая, выберите другой тип ряда данных.

Рис. 1.47. Построение двумерного графика в виде точек

Внешний вид точки задает список Symbol (Символ), а их размер– Weight (Толщина).

Для полярных графиков также допускается устанавливатьлюбые из перечисленных типов.

Создание заголовка графика. Чтобы создать заголовок графика:1. Дважды щелкните на графике.2. В диалоге Formatting Currently Selected X-Y Plot перейдите на

вкладку Labels (Метки).3. В поле Title (Заголовок) введите текст заголовка.

61

4. Установите флажок проверки Show Title (Показать заголовок).5. Выберите переключатель Above (Сверху) или Below (Снизу),

чтобы заголовок появился сверху или снизу графика (Рис. 1.48).6. Нажмите кнопку ОК.

Рис. 1.48. Создание заголовка двумерного графика

Изменение размера и положения графиков. Прежде чемпереместить или изменить размер графика, выделите его щелчкоммыши. Изменить положение графика в документе можноперетаскиванием, т. е. перемещением указателя при нажатой кнопкемыши. Чтобы изменить размер графика, растягивайте или сжимайтеего, перемещая указателем мыши черные прямоугольные маркеры,расположенные на его сторонах.

Столбчатые графики (гистограммы). В MathCAD естьнесколько столбчатых типов графиков, подходящих для построениягистограмм.

Графики с отложенными ошибками. Тип графика сотложенными ошибками довольно сильно отличается от остальныхтипов, поскольку требует не двух, а трех серий данных. Помимо пардекартовых (XY) или полярных координат точек необходимо задать

62

еще две последовательности данных, представляющихсоответствующие значения ошибок для каждой пары точек.

График представления данных с погрешностями требует, чтобыдва последовательных ряда данных имели тип графика с ошибками(error).

Трассировка и увеличение графиков. Трассировка позволяеточень точно изучить строение графика. Для того чтобы включитьрежим трассировки, щелкните в области графика правой кнопкоймыши и выберите в контекстном меню пункт Trace (Трассировка). Врезультате появится окно трассировки, а в поле графика вы увидитедве пересекающиеся пунктирные линии. Перемещая указатель мышипо графику, вы тем самым передвигаете точку пересечения линийтрассировки (Рис. 1.49). При этом координаты точки указываются свысокой точностью в окне трассировки в полях X-Value (Значение X)и Y-Value (Значение Y). Нажатие кнопки Сору X (Копировать X) илиCopy Y (Копировать Y) копирует соответствующее число в буферобмена. В дальнейшем его можно вставить в любое место документаили в маркер.

Рис. 1.49. Трассировка двумерного графика

Если установлен флажок Track Data Points (Следовать за рядомданных), то линии трассировки следуют точно вдоль графика. Еслинет, то они могут перемещаться по всей области графика.

Помимо трассировки, в MathCAD предусмотрена возможностьпросмотра графика в увеличенном масштабе. Для вызова диалоговогоокна Zoom (Масштаб графика) выберите в контекстном меню, либовменю Format (Формат) пункты Graph (График) и Zoom (Масштаб).

63

Рис. 1.50. Просмотр двумерного графика в увеличенном масштабе

После этого указателем мыши выберите прямоугольную областьна графике, которую вы планируете просмотреть в увеличенноммасштабе, и нажмите кнопку Zoom (Увеличить) (Рис. 1.50). Врезультате часть графика будет прорисована более крупно. Далееможно либо продолжать изменять масштаб, либо вернуться кпрежнему виду графика кнопкой Full View (Показать целиком), либозакрыть диалог Zoom для окончательной перерисовки графика вкрупном масштабе (нажав кнопку ОК).

1.5.3. Создание трехмерных графиковВ MathCAD имеются следующие типы трехмерных графиков:

· 3D surface plot – изометрическое представлениеповерхности;

· 3D contour plot – график линий уровня;· 3D bar plot – трехмерная диаграмма;· 3D scatter plot – точки в пространстве;· Vector field plot – график векторного поля.

Чтобы создать трехмерный график, требуется нажать кнопку сизображением любого из типов трехмерных графиков на панели

64

инструментов Graph (График). В результате появится пустая областьграфика с тремя осями и единственным местозаполнителем в нижнемлевом углу. В этот местозаполнитель следует ввести либо имя zфункции z(x,y) двух переменных для быстрого построениятрехмерного графика, либо имя матричной переменной, котораязадаст распределение данных на плоскости XY (Рис. 1.51).

Рис. 1.51. Создание трехмерного графика

Для графиков, задаваемых матрицами, шкалу плоскости XYприходится задавать вручную. MathCAD просто рисует поверхность,точки в пространстве или линии уровня, основываясь на двумернойструктуре этой матрицы. При быстром же построении графиковимеется возможность строить их в различном диапазоне аргументов,подобно двумерным графикам.

График векторного поля несколько отличается от остальныхтипов двумерных графиков. Его смысл заключается в построениинекоторого вектора в каждой точке плоскости XY. Чтобы задатьвектор на плоскости, требуются два скалярных числа. Поэтому вMathCAD принято, что векторное поле задает комплексная матрица.Действительные части каждого ее элемента задают проекцию векторана ось х, а мнимые – на ось у.

Форматирование трехмерных графиков выполняется спомощью диалогового окна 3-D Plot Format (Форматирование 3-D

65

графика), которое вызывается двойным щелчком мыши в областиграфика. Параметры трехмерных графиков всех типовустанавливаются посредством этого диалогового окна (Рис. 1.52).

Рис. 1.52. Форматирование трехмерного графика

В диалоге 3-D Plot Format доступно большое количествопараметров, изменение которых способно очень сильно повлиять навнешний вид графика. Они сгруппированы по принципу действия нанескольких вкладках.

Чтобы поменять тип уже имеющегося графика (например,построить вместо поверхности график линий уровня и т. д.), простоустановите соответствующий переключатель в нижней части вкладкиGeneral (Общие) и нажмите кнопку ОК. График будет перерисован.

Вращение графика. Самый простой способ ориентациисистемы координат с графиком в трехмерном пространстве – этоперетаскивание ее указателем мыши. Попробуйте перемещать принажатой левой кнопке мыши указатель в пределах графика, и выувидите, как поворачивается график.

66

Рис. 1.53. Вращение трехмерногографика

Другой способ изменения ориентации графика – с помощьюполей Rotation (Вращение), Tilt (Наклон) и Twist (Поворот) на вкладкеGeneral (Общие), которые в совокупности определяютсоответствующие углы (в градусах) и тем самым задают направлениевсех трех осей координат в пространстве (Рис. 1.53).

Стиль осей. С помощью группы переключателей Axes Style(Стиль осей) можно задать один из следующих стилей осейкоординат: Perimeter (Периметр), Corner (Углом);- None (Нет) – осиотсутствуют (Рис. 1.52).

Если установить флажок Show Box (Показать куб), токоординатное пространство будет изображено в виде куба.

Масштабирование графикаВ поле Zoom (Масштаб) вкладки General (Общие) можно задать

числовое значение масштаба.

67

Рис. 1.54. Форматирование осей трехмерного графика

Форматирование осей. Вкладка Axes (Оси) содержит тривложенных вкладки, в которых задаются параметры для каждой изтрех координатных осей. В частности, можно включить илиотключить показ линий сетки, нумерации и задать диапазон покаждой из осей. Смысл этих операций сходен с аналогичнымиоперациями для двумерных графиков. При помощи еще однойвкладки – Backplanes (Плоскости заднего плана) задается показпроекций координатной сетки на три скрытые плоскости трехмерногографика.

1.5.4. Создание анимацииВо многих случаях самый зрелищный способ представления

результатов математических расчетов – это анимация. MathCADпозволяет создавать анимационные ролики и сохранять их ввидеофайлах.

Принцип анимации в MathCAD – по-кадровая, т.е. ролик – этопросто последовательность кадров, представляющих собойнекоторый участок документа, который выделяется пользователем.Расчеты производятся обособленно для каждого кадра, причемформулы и графики, которые в нем содержатся, должны бытьфункцией от номера кадра. Номер кадра задается системнойпеременной FRAME, которая может принимать лишь натуральные

68

значения. По умолчанию, если не включен режим подготовкианимации, FRAME=0.

Рис. 1.55. Задание системы переменной FRAME

Последовательность действий для создания ролика следующая:1. Необходимо ввести в документ необходимые выражения и

графики, в которых участвует переменная номера кадра FRAME.Часть документа, которую вы желаете сделать анимацией,необходимо скомпоновать таким образом, чтобы она находилась вполе зрения на экране.

2. Выполнить команду View/Animate (Вид/Анимация).3. В диалоговом окне Animate (Анимация) задать номер первого

кадра в поле From (От), номер последнего кадра в поле То (До) искорость анимации в поле At (Скорость) в кадрах в секунду (Рис.1.55).

4. Выделить протаскиванием указателя мыши при нажатойлевой кнопке мыши область в документе, которая станет роликоманимации.

5. В диалоговом окне Animate нажать кнопку Animate. Послеэтого в окошке диалогового окна Animate будут появлятьсярезультаты расчетов выделенной области, сопровождающиесявыводом текущего значения переменной FRAME. По окончании этогопроцесса на экране появится окно проигрывателя анимации.

6. Запустить просмотр анимации в проигрывателе можнонажатием кнопки воспроизведения.

69

7. В случае, если вид анимации вас устраивает, ее можносохраните в видеофайле, нажав кнопку Save As в диалоговом окнеAnimate. В появившемся диалоговом окне Save Animation обычнымдля Windows способом укажите имя файла и его расположение надиске.

К примеру, если необходимо создать клип, в котором линиябудет вращатся относительно начала координат с частотой f,достаточно выполнить следующие действия.

Задать частоту f:=1Hz (Рис. 1.56), угловую скорость ω:=2πf(Рис. 1.56,б)и переменную t:=0.1s*FRAME (Рис. 1.56)устанавливающую зависимость между моментом времени и номеромкадра. Линию, исходящую из начала координат под углом φ равнымωt проще описать в полярной системе координат функцией φ(r):= ωt(Рис. 1.56). Последним действием перед началом анимации будетсоздание графика функции φ(r) (Рис. 1.56).

Рис. 1.56. Создание анимации

Затем, с помощью команды Animate необходимо вызватьдиалоговое окно анимации, настроить параметры и запуститьанимацию. Временной масштаб анимации определяется отношением

70

скорости воспроизведения ролика и сомножителя переменнойFRAME в выражении, задающем время t.

1.6. Контрольные вопросы

1. Для чего предназначена панель инструментов MATH?2. В чем отличие между курсором ввода, линией ввода и линией

ввода текста.3. Что такое местозаполнитель?4. В чем отличие между операторами «=», «:=» и «→».5. В чем отличие между ручным и автоматическим режимами

вычислений.6. Для чего необходимы системные переменные в пакете

MathCAD?7. Каковы преимущества придания размерностей физическим

величинам при написании вычислительных программ.8. Какие инструменты анализа двумерных графиков существуют в

пакете MathCAD?9. Что такое ранжированная переменная, и для чего этот тип

данных чаще всего используется в пакете MathCAD?10.Исходные данные какого типа необходимы для построения

трехмерных графиков в пакете MathCAD?

71

2. ТЕОРИЯ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СВАРКЕИ НАПЛАВКЕ

2.1. Основные понятия

Температура характеризует степень нагретости тела ипредставляет собой одну из важнейших тепловых величин. В шкалеКельвина нижней границей температурного промежутка служитточка абсолютного нуля.

Температурное поле есть распределение температур в теле вконкретный момент времени; оно может выражаться как вабсолютной температуре (Т), так и в приращении температур (ΔT) поотношению к начальной температуре тела Т0. В общем случаетемпературное поле может быть функцией не только координат x, у, zотдельных точек, но и времени t: Т=Т(x,у,z,t).

Рис. 2.1. Изображение температурного поля изотермами

Данная формула описывает объемное температурное поле. Ономожет быть также плоским Т=Т(x,у,t) или линейным Т=Т(х,t). Длянаглядности температурные поля часто представляют графически в

72

виде изотерм (Рис. 2.1). Изотермической поверхностью илиизотермической линией называется геометрическое место точек тела,имеющих одинаковую температуру. От точки к точке температуратела может изменяться. Изменение температуры в направлении SS надлине бесконечно малого отрезка dS называется градиентомтемпературы в рассматриваемой точке по данному направлению S.

Градиент температуры в точке максимален по направлениюнормали к изотерме.

Скорость изменения температуры в данной точке поля скоординатами x0, y0, z0 в данный момент времени t0 выражаетсячастной производной от температуры по времени, измеряется в К/с, ипри заданном температурном поле вычисляется по формуле:

./);;;( 0000 tTtzyxT ¶¶=wУдельное количество теплоты (теплосодержание) H выражает

количество теплоты, сообщенное телу массой 1 г, при нагреве его оттемпературы Т0 до температуры T1. При технических расчетахтеплосодержание тела отсчитывают обычно от нормальнойтемпературы (293 К), а не от абсолютного нуля. Вне критическихточек теплосодержание в металлах с ростом температуры возрастаетмонотонно. В критических точках, соответствующихаллотропическим и фазовым превращениям, происходящим споглощением или выделением теплоты, оно изменяетсяскачкообразно.

Удельная теплота фазового превращения l определяется, какколичество теплоты, поглощаемой или выделяемой единицей массыматериала при изотермическом процессе фазового превращения.

Истинная удельная массовая теплоемкость СP есть количествотеплоты, необходимое для изменения на один Кельвин температурыединицы массы тела. В расчетах бывает удобно пользоваться среднейудельной массовой теплоемкостью в данном интервале температур отТ1 до T2:

Cm=(H2-H1)/(T2-T1)В расчетах может использоваться истинная и средняя удельная

объемная теплоемкость, которая связана с массовой удельнойтеплоемкостью через плотность вещества, обозначается удельнаяобъемная теплоемкость – сr.

73

2.1.1. Механизмы передачи теплаВ общем случае передача тепловой энергии может

осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией,лучистой энергией (радиацией).

В твердых телах теплота передается теплопроводностью, вжидкостях – конвекцией и теплопроводностью; в газах – в основномконвекцией и радиацией; в вакууме – только радиацией.

Закон теплопроводности (закон Фурье). Законтеплопроводности устанавливает количественную связь междутеплопроводностью металла, градиентом температуры и тепловымпотоком в твердом теле, и для одномерного температурного полявыглядит следующим образом:

.FdtdxdTdQx l-=

(2.1)

Очевидно, теплота будет перетекать от более нагретых к менеенагретым участкам. Количество теплоты dQx, протекающеевследствие теплопроводности за время dt через поперечное сечениеF,пропорционально градиенту температуры dT/dx в рассматриваемомсечении, площади сечения F и времени dt: Знак минус в формуле(2.1) означает, что поток теплоты направлен в сторону,противоположную возрастанию температуры. Коэффициентпропорциональности λ называется коэффициентомтеплопроводности.

В общем случае температурного поля закон Фурье записываетсяследующим образом:

.FdtdndTdQn l-=

Тепловой поток – это количество теплоты, проходящее черезрассматриваемое сечение (поверхность) в единицу времени:

FdndTq l-=

Удельный тепловой поток определяется тепловым потоком,приходящимся на единицу площади (индекс «два»):

dndTq l-=2

(2.2)

Теплопроводность λ характеризует способность тел проводитьтеплоту. Численно коэффициент λ выражает количество теплоты,протекающее через единицу изотермической поверхности в единицу

74

времени, если изменение температуры по направлению нормали nсоставляет 1 К на 1 см. Теплопроводность металла существенноизменяется в зависимости от температуры и химического составаматериала.

Конвективный теплообмен. При конвективном теплообменетеплота с поверхности уносится жидкостью или газом, которыеперемещаются относительно поверхности. Движение жидкости илигаза может возникать вследствие различной плотности нагретых иненагретых зон или в результате принудительной циркуляциижидкости и газа.

Приближенно тепловой поток q2к с единицы поверхности заединицу времени при конвективном теплообмене определяется поформуле Ньютона:

),(2 CK TTq -=a (2.3)где α- коэффициент конвективной теплоотдачи; Т – температура

поверхности твердого тела; ТC – температура среды (жидкости илигаза).

Коэффициент α – не постоянная величина, он может изменятьсяв широких пределах в зависимости от следующих факторов:

от свойств окружающей среды (теплопроводности, плотности,вязкости) и ее движения относительно поверхности;

от физических свойств поверхности, отдающей теплоту;от формы поверхности тела и ее положения в пространстве;от разности температур Т –TС.Лучистый теплообмен. Удельный тепловой поток излучения

тела пропорционален четвертой степени его абсолютной температуры(закон Стефана – Больцмана):

42 Tq r es= , (2.4)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана равная 5,67·10-8 Вт/(м2·К4); ε –коэффициент степени черноты тела.

Для абсолютно черного тела ε=1. Большинство встречающихся втехнике тел можно рассматривать как серые, у которых ε<1. Значениеε зависит от природы тела, характера поверхности и температуры.Для окисленных шероховатых поверхностей сталей ε изменяется от0,6 до 0,95.

У алюминия ε изменяется от 0,05 до 0,2 в зависимости отсвойств поверхности и температуры.

75

В реальных условиях нагретое тело окружено другими телами(помещение цеха, сварочные приспособления, изделия и др.). Междуэтими телами происходит взаимный лучистый теплообмен. Каждоетело излучает энергию и воспринимает часть энергии, излучаемойдругими телами:

)( 442 Сr TTq -= es (2.5)

где Т – температура тела; TС – температура среды.

2.1.2. Вывод дифференциального уравнениятеплопроводности

Вывод дифференциального уравнения теплопроводностирассмотрим на примере линейного распространения теплоты встержне (Рис. 2.2). Вследствие наличия градиента температурытеплота в стержне с сечением F на рассматриваемом участке будетраспространяться слева направо.

Рис. 2.2. Накопление теплоты в элементе Fdx при линейном распространениитеплоты

Согласно закону Фурье, удельный тепловой поток в каждомсечении q2x=-λ∂Т/∂х.

Приращение удельного теплового потока dq2x на длине dxсоставит

.22 dx

xT

xdx

xqdq x

x ÷øö

çèæ

¶¶

-¶¶

=¶¶

= l(2.6)

Это означает, что слева через сечение I-I, где градиенттемпературы несколько выше, входит больше теплоты, чем выходит

76

через сечение II-II, где градиент температуры меньше. За время dt вэлементарном объеме Fdx накапливается количество теплоты

.2)(22 dtFdqdtFqdtFqdQ xdxxxx ×-=×-×= +

Однако через боковую поверхность стержня за время dt частьтеплоты отдается в окружающее пространство

,2 pdxdtqdQ pp = (2.7)где q2р=α(Т–ТС) – удельный тепловой поток с поверхности стержня; р– периметр стержня.

Суммарное количество теплоты, которое накапливается вэлементарном объеме, составит

.px dQdQdQ -=S (2.8)Теплота dQΣ повышает температуру элементарного объема с

теплоемкостью сρ на dT=(∂T/∂t)dt:

.dttTFdxcdQ ÷øö

çè涶

=S r(2.9)

Приравнивая (2.8) и (2.9), а также используя уравнение (2.6) и(2.7), находим

).(2

2

cTTapxTF

tTFc --÷÷

ø

öççè

涶

=¶¶ lr

(2.10)

Сокращая, получим частный случай дифференциальногоуравнения теплопроводности для стержня:

).(2

2

cTTbxT

ctT --÷÷

ø

öççè

涶=

¶¶

rl (2.11)

где b=αp/(сρF) – коэффициент температуроотдачи для стержня.Если рассматривать элементарный кубик в пластине, то, кроме

потока в направлении x в уравнении (2.11) следует учесть влияниетеплового потока в направлении у. Тогда получим дифференциальноеуравнение теплопроводности для пластины

).(2

2

2

2

cTTbyT

xT

ctT

--÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶=

¶¶

rl (2.12)

Причем поскольку теплоотдача в этом случае осуществляется сверхней и нижней плоскостей, величина коэффициентатемпероотдачи для пластины будет другой b=2α/(cρδ).

В общем случае трехмерного тела в уравнении (2.12)прибавляется тепловой поток в направлении z, а поверхности, с

77

которых тепло снимается за свет конвекции, отсутствуют, иуравнение теплопроводности имеет вид

,22

2

2

2

2

2Ta

zT

yT

xT

ctT

Ñ=÷÷ø

öççè

æ

¶¶

+¶¶

+¶¶

=¶¶

rl (2.13)

где 2Ñ Т – оператор Лапласа; а=λ/(сρ) – коэффициенттемпературопроводности, см2/с.

В дифференциальных уравнениях (2.11)-(2.13) Т означаеттемпературу или приращение температуры в точке. Если начальнаятемпература всех точек тела одинакова и равна T0, то полноезначение температуры T равно ΔT+T0, где ΔT – приращениетемпературы.

При выводе уравнений (2.11)-(2.13) рассматривался балансэнергии в элементе стержня, прямоугольном элементе пластины иэлементарном объеме, имеющем форму куба, т.е. использоваласьДекартова система координат. Однако в дальнейшем нампонадобится рассмотрение температурных полей, обладающихосевой симметрией, и симметрией относительно точки.

В этом случае удобно использовать цилиндрическую исферическую системы координат. Естественно, что процессраспространения тепла не зависит от того, какой системой координатмы пользуемся, но вид дифференциального уравнения в этом случаебудет другим.

Для поля, обладающего осевой симметрией в цилиндрическойсистеме координат:

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

+¶

¶=

¶¶

rT

rrTa

tT 1

2

2 (2.14)

где r2=x2+y2

Для поля, обладающего симметрией относительно точки всферической системе координат:

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

+¶

¶=

¶¶

RT

RRTa

tT 2

2

2 (2.15)

где R2=x2+y2+z2

При выводе дифференциального уравнения теплопроводностипредполагалось, что коэффициенты λ, сρ, а и α постоянны. В рядеслучаев точность решения оказывается достаточной, если выбирать

78

средние значения коэффициентов λ, сρ, а и α в диапазоне температур,характерном для рассматриваемого процесса.

Учет зависимости этих коэффициентов от температурыприводит к нелинейным дифференциальным уравнениями, которыемогут быть решены только с привлечением численных методов,некоторые из которых будут рассмотрены в следующей главе.

2.1.3. Начальные и граничные условияк дифференциальному уравнениютеплопроводности

Для того, чтобы найти функцию, заданную дифференциальнымуравнением, не достаточно задания только дифференциальногоуравнения. К примеру, для того, чтобы уравнение (2.13) имелоединственное решение, необходимо задание геометрической области,в которой ищется решение, граничных и начальных условий.

Начальными условиями к уравнению теплопроводностиназывается распределение температуры в начальный моментвремени. В общем случае начальные условия к уравнению (2.13)имеют вид:

),,(0 zyxfТ t == .Но чаще всего предполагается, что распределение температуры

в начальный момент времени постоянноеT|t=0=T0. ( 2.16)

Обычно Т0 равна комнатной температуре, однако, к примеру,при сварке с предварительным подогревом начальная температурабудет равна температуре подогрева.

Граничными условиями к дифференциальному уравнениютеплопроводности называют условия теплообмена на границах тела.По способу задания граничные условия делятся на граничныеусловия первого, второго, третьего и четвертого родов.

Граничные условия I рода имеют место в том случае, еслиизвестен закон изменения температуры на поверхности со временемTS=f(t).

Граничные условия I рода при сварке встречаются достаточноредко. Примером поверхности с граничными условиями I рода можетслужить поверхность детали, интенсивно омываемая потокомжидкости, в этом случае, температура поверхности будет малоотличаться от температуры омывающей жидкости.

79

Граничные условия II рода имеют место в том случае, еслиизвестен тепловой поток на поверхности тела qS=-λ(dTS/dn)=f(t).

При сварке граничные условия II рода могут использоваться длязадания теплового потока от источника тепла. Вводимая в изделиетепловая мощность при этом обычно вычисляется приближенно, поформулам, изложенным ниже, в п. 2.2.

Граничные условия III рода имеют место в том случае, еслиизвестен закон, связывающий тепловой поток, передаваемыйокружающей среде и температуру поверхности. Наиболеераспространенным примером граничных условий III рода являетсяусловие конвективного теплообмена (2.3).

В некоторых случаях, например при рассмотрении пластиныили стержня, боковые поверхности, на которых происходитконвективный теплообмен, удобно задавать адиабатическими, т.е.непроницаемыми для тепла, а наличие конвективных потоковучитывать внутри самого дифференциального уравнениятеплопроводности с помощью коэффициента температуроотдачи b.

Граничные условия IV рода имеют место в том случае, когдатело находится в соприкосновении с другим твердым телом,имеющим иные теплофизические свойства. Контакт поверхностейнастолько хорош, что температура соприкасающихся поверхностейодинакова, а градиенты температуры по разные стороны от границыбудут отличаться:

'' SdndTS

dndT

ll -=-

Граничные условия IV рода часто встречаются при сварке,например при контакте свариваемого изделия с элементамисварочного приспособления (медные подкладки, клавиши, прижимы).

2.2. Допущения, вводимые при рассмотрении тепловыхпроцессов

Формы тел, нагреваемых при сварке и наплавке, весьмаразнообразны. Распространение тепла существенно зависит от формыи размеров тела. Точный учет конфигурации, температурныхзависимостей теплофизических свойств материала изделия и т.д.может привести к существенным усложнениям в расчетах. Поэтому вбольшинстве случаев при исследовании тепловых процессов присварке пользуются рядом упрощений.

80

Теплофизические коэффициенты λ, а, сρ, α принимают независящими от температуры. Это допущение хотя и искажаетдействительный процесс распространения теплоты в теле, нозначительно упрощает математические выражения.

2.2.1. Схемы нагреваемого телаОбычно при тепловых расчетах в зависимости от степени

прогрева детали по толщине (в направлении оси Oz) выбирают однуиз следующих основных схем.

Бесконечное тело. Если границы детали не влияют нараспространение теплоты, ее при расчете можно заменитьбесконечным телом неограниченной протяженности по всем тремосевым направлениям: х, у, z.

Полубесконечное тело. Этой схеме соответствует массивнаядеталь с одной ограничивающей плоскостью z=0. Остальныеповерхности детали значительно удалены и не влияют нараспространение теплоты. Схема используется при расчететемператур в случае наплавки валиков и укладки угловых швов смалым проплавлением на листах толщиной более 30 мм.

Бесконечная пластина – тело, ограниченное двумяпараллельными плоскостями: z=0 и z=δ. Температура по толщинелиста δ распределена равномерно, и теплота распространяется тольков плоскости хОу.

Схема соответствует случаю сварки пластин встык или укладкиуглового шва с полным проплавлением.

Полубесконечная пластина – тело, ограниченное двумяпараллельными плоскостями z=0, z=δ и плоскостью y=0. Остальныеусловия такие же, как и у бесконечной пластины.

Схема применяется при расчете температур в конструктивномэлементе (стенке, ребре, накладке), привариваемом к пластинеугловым швом, а также в случае наплавки валика на торец пластины.

Плоский слой – пластина, у которой температура точек потолщине не одинакова, а толщина тела не настолько велика, чтобыможно было пренебречь влиянием ограничивающей плоскости z=δ исчитать тело полубесконечным.

Бесконечный и полубесконечный стержни – тела,протяженные в одном направлении, с равномерным распределениемтемпературы в пределах поперечного сечения. Схема используется в

81

случае расчета температур при контактной стыковой сваркеарматуры, стержней и т. п.

2.2.2. Схематизация сварочных источников теплоты.Типы и тепловая эффективность источниковнагрева

Для нагрева свариваемых и наплавляемых тел могут бытьиспользованы самые разнообразные источники тепла (дуга, газовоепламя, электронный, лазерный лучи и т.д.). Не затрагивая здесьфизических аспектов появления теплоты в телах, отметим, чтотеплота может либо передаваться телу через поверхность металла,либо выделяться на поверхностях металла и в тонкихприповерхностных слоях, либо генерироваться в глубине металла.

Для случая ввода тепла с поверхности реальными сварочнымиисточниками распределение теплового потока достаточно частоописывают кривой Гаусса (нормальным законом)

2

22kr

meqq -= ,(2.17)

где q2m – наибольший тепловой поток в центре пятна нагрева;k – коэффициент сосредоточенности теплового потока

источника;r –расстояние от рассматриваемой точки до оси (Рис. 2.3).Если коэффициент сосредоточенности k велик, то в ряде случаев

источник теплоты считают даже линейным, пренебрегая егораспределенностью на плоскости хОу.

Эффективная тепловая мощность сварочного источникатеплоты, т. е. количество теплоты, вводимой при сварке источником вдеталь в единицу времени, если известны параметры режимаэлектродуговой сварки, определяется по формуле

q=ηIU (2.18)

82

Рис. 2.3. Распределение теплового потока при нагреве поверхности нормальнокруговым источником теплоты

где I – сварочный ток; U–напряжение на дуге; η (греческая букваЭта) – эффективный к.п.д. процесса нагрева.

Погонная энергия сварки, т. е. количество теплоты, вводимой наединицу длины шва, в этом случае находится из выражения

qП=q/v (2.19)Существует определенная связь между законом нормального

распределения теплового потока и эффективной мощностью qисточника теплоты, которая устанавливается путем интегрирования(2.17):

kqq m

p2=

(2.20)

Численные значения q2m и k подбирают так, чтобыраспределение теплового потоки по уравнению (2.17) наиболееблизко соответствовало фактическому распределению, котороеопределяют опытным путем.

При использовании в расчетах выражения (2.17) принятосчитать радиусом пятна нагрева расстояние rН=dН/2, на которомудельный тепловой поток q2(rН) равен 0,05 q2m. Отсюда следует, что:

83

0,3;05,0

;05,0)(2

2222

2

==

==-

-

Hkr

mkr

mH

kre

qeqrqH

H

Условный расчетный диаметр пятна нагрева:

kdH

46,3=

Зная диаметр пятна нагрева dН, можно определить k. Опытамиустановлено, что с увеличением тока увеличивается q2m, a kуменьшается; с повышением напряжения q2m и k уменьшаются.Газовое пламя при одинаковой мощности с дугой обладаетзначительно меньшим максимальным удельным тепловым потокомq2m и значительно меньшей сосредоточенностью k.

Отмеченный различный характер выделения теплоты неявляется определяющим при выборе тех или иных расчетных схемвведения теплоты в тело. Поясним это на примере обычного дуговогоразряда в случае сварки металла за один проход с полнымпроплавлением.

Теплота передается свариваемой пластине через поверхностьванны расплавленного металла. Казалось бы, что источник теплотыдолжен быть представлен в виде распределенного источника наповерхности пластины. Но потоки жидкого металла в ваннеперемещаются с большими скоростями, а поверхность самой ванныимеет некоторое углубление. В результате этого для случая сварки сполным проплавлением источник теплоты представляют какравномерно распределенный по толщине пластины.

Детальный учет формы, характеристик источников теплоты вомногих случаях просто невозможен, либо сопряжен со значительнымусложнением расчетов. Поэтому источники теплоты считают либососредоточенными, либо распределенными по соответствующемузакону, который позволяет относительно просто описать процессраспространения теплоты. По времени действия различаютисточники мгновенные, выделяющие теплоту за очень малыйпромежуток времени, и непрерывно действующие.

В зависимости от размера зоны, в которой выделяется теплота,различают источники сосредоточенные и распределенные.Сосредоточенные источники могут быть точечными (теплотавыделяется в очень малом объеме), линейными (теплота выделяетсяпо линии) и плоскими (теплота выделяется в плоскости).

84

В общем случае использования различных сварочныхисточников теплоты вопрос о распределенности теплового потока потолщине металла должен решаться каждый раз конкретно взависимости от свойств самого источника и его взаимодействия сосвариваемым металлом. В первом приближении о характерераспределения вводимой энергии можно судить по формепроплавления.

При выборе расчетной схемы также следует учитывать принципместного влияния, который утверждает, что температурное полесущественно зависит от размеров и характера распределенияисточника тепла только на расстоянии одного порядка с егоразмерами, тогда как на больших расстояниях температурное полепрактически не зависит от формы источника и занимаемого имобъема.

Указанные выше допущения позволяют получить стройнуютеорию распределения температуры в телах при нагреве ихразличными движущимися источниками теплоты. Эта теория хорошоотражает качественную картину, а в ряде случаев дает также идостаточную для технических расчетов точность описания сварочныхпроцессов. В точках, где находятся сосредоточенные источники,расчетная температура может достигать бесконечно большихзначений. Наибольшие погрешности в описании полей температурнаблюдаются в зонах вблизи действия источников теплоты.Определение температур в этих зонах по изложенным здесьметодикам проводить не следует.

2.3. Температурные поля от мгновенных источников

Указанные выше ограничения позволяют с помощью аппаратаматематической физики (раздела математики, изучающего уравненияв частных производных) получить аналитические решениядифференциального уравнения теплопроводности в простейшихслучаях нагрева бесконечных тел мгновенными источниками тепла,т.е. источниками, вводящими тепло в тело за бесконечно малыйпромежуток времени. Ниже мы приведем решения трехдифференциальных уравнений соответствующих следующим схемам:

- нагреву бесконечного стержня мгновенным плоскимисточником тепла;

85

- нагреву бесконечной пластины мгновенным линейнымисточником тепла;

- нагреву бесконечного тела мгновенным точечным источникомтепла.

Решения будут приведены без их вывода формул, поскольку этатрудоемкая процедура достаточно подробно описана в литературе поматематической физике.

2.3.1. Аналитическое решение уравнениятеплопроводности для мгновенного плоскогоисточника в бесконечном стержне

Распространение тепла в стержне описываетсядифференциальным уравнением (2.11). В случае, если стерженьсчитать бесконечным, краевые условия отпадают, и необходимозадание только начального условия, которое обычно имеет вид (2.16).

Решение уравнения (2.11) для случая, когда мгновенныйплоский источник тепла в момент времени t=0, в сечении скоординатой х=0 сообщает стержню количество тепла Q, называетсяфундаментальным решением уравнения теплопроводности ивыглядит следующим образом:

÷÷ø

öççè

æ--=D bt

atx

atFcQT

4exp

4

2

pr ,

(2.21)

где b представляет собой коэффициент температуроотдачи длястержня: b=αP/(cρF); p – периметр поперечного сечения стержня, см.Температура среды в уравнении (2.11) при выводе (2.21) принимаетсяравной нулю.

Рассмотрим теперь, как распространяется тепло в стержне послемгновенного импульса. Для этого надо исследовать графикифундаментального решения для разных значений t>0.

Свойства функции (2.21) и ее графика.1. График функции при любом значении t симметричен

относительно прямой x=0. Максимум достигается при x=0; изфизических соображений также ясно, что в каждый моментмаксимальная температура будет в той точке стержня, где былприложен импульс. Если мы рассмотрим фиксированный момент, томаксимальная температура будет обратно пропорциональнакоэффициенту температуропроводности (качественно это очевидно

86

из физических соображений: в каждый момент временимаксимальная температура по стержню будет тем меньше, чембольше коэффициент внутренней теплопроводности и чем меньшетеплоемкость).

2. Если коэффициент температуроотдачи b равен нулю, топлощадь под каждой кривой равна Q. Физически это означает, чтоколичество тепловой энергии, сообщенной стержню в начальныймомент в результате импульса, остается неизменным с течениемвремени.

3. В каждой фиксированной точке функция сначала возрастаетот нуля до некоторого максимального значения и затем монотонноубывает, стремясь к нулю при t®¥.

2.3.2. Аналитическое решение уравнениятеплопроводности для мгновенного точечногоисточника в бесконечном теле

Решение уравнения (2.15) для случая, когда мгновенныйточечный источник тепла в момент времени t=0, в точке с R=0сообщает бесконечному телу количество тепла Q, выглядитследующим образом:

÷÷ø

öççè

æ-=D

atR

atcQT

4exp

)4(

2

2/3pr ,

(2.22)

где ΔT – приращение температуры в рассматриваемой точке скоординатами х, у, z; t – время, отсчитываемое с момента введениятеплоты; 222 zyxR ++= –расстояние до рассматриваемой точкиот начала координат, располагающегося в месте, где была введенатеплота.

При t=0 во всех точках, где R¹0, имеем DT=0. В точке R=0 приt=0 имеем DT ®¥. В правильности выбора постоянного множителя вуравнении (2.22) можно убедиться путем вычисления интеграла,выражающего полное количество введенной теплоты во всем объемебесконечного тела. Это количество в любой момент времени равно Q,так как тело в данном случае не отдает теплоты в окружающеепространство.

Для практических случаев интерес представляет нераспространение тепла выделившегося внутри бесконечного тела, а

87

случай, когда тепло выделяется на поверхности полубесконечноготела.

Если границу тела хОу принять не пропускающей теплоту, топоскольку теплота распространяется только в одну сторону отплоскости хОу, процесс будет выражаться уравнением (2.22) сзаменой в нем величины Q величиной 2Q:

÷÷ø

öççè

æ-=D

atR

atcQT

4exp

)4(2 2

2/3pr

(2.23)

Рис. 2.4. Распределение приращений температуры по радиусу R в различныемоменты времени, в процессе распространения теплоты от мгновенного

точечного источника в полубесконечном теле

Теплоотдачей с поверхности хОу можно пренебречь, потому чтораспределение теплоты в полубесконечном теле в основном зависитот распространения ее путем теплопроводности вглубь тела, а не оттеплоотдачи. Теплоотдача с поверхности безусловно оказываетнекоторое влияние на распределение температуры, но в ряде случаевможет не учитываться.

Изотермические поверхности, описываемые уравнением (2.22),представляют собой сферы. В любой момент времени температура вточке R=0 максимальна (

Рис. 2.4).

88

Структура уравнения (2.22) позволяет установить влияниеколичества введенной теплоты и теплофизических свойств материалана температуру отдельных точек тела. Чем больше Q, тем вышетемпература точек тела в любой момент времени. Приращениетемпературы прямо пропорционально количеству введенной теплотыQ.

Температура точек тела, расположенных на различныхрасстояниях R от точки О, вначале повышается, достигаетмаксимума, а затем уменьшается. Как видно из Рис. 2.5,а чем дальшеот места введения теплоты находится точка, тем позже достигаетсямаксимальная температура и тем ниже ее значение. С течениемвремени конечное количество теплоты растекается в неограниченномобъеме полубесконечного тела и приращения температуры всех точекстремятся к нулю.

При постоянной теплоемкости сρ увеличение коэффициентатеплопроводности металла l приводит к ускорению процессараспространения теплоты. Максимальные достигаемые значенияприращений температуры в различных точках остаются теми жесамыми, но продолжительность времени с момента введения теплотыдо достижения максимальной температуры сокращается во столькораз, во сколько раз повышается теплопроводность материала l.Указанная закономерность обнаруживается, если преобразоватьуравнение (2.22), приняв а=l/(сρ):

÷÷ø

öççè

æ-=D

tcR

tcQ

Tlr

plr

4exp

)4(2 2

2/3

Коэффициент l входит как сомножитель времени t. Поэтому сувеличением l. картина распределения приращения температур втеле остается подобной, но процесс изменения температурускоряется.

Теплоемкость металла сρ при постоянной теплопроводности lоказывает более сложное влияние на процесс распространениятеплоты в полубесконечном теле. Изменение теплоемкости можнопредставить как одновременное действие двух процессов: измененияколичества введенной теплоты и изменения скоростираспространения теплоты. Запишем уравнение (2.22) иначе:

÷÷ø

öççè

æ-=D

)/(4exp

))/(4()/(2 2

2/3 rlrplr

ctR

ctcQT

89

а б

Рис. 2.5 Приращения температур от мгновенного точечного источникав полубесконечном теле в зависимости:

а –от расстояния R до точки О; б – от теплоемкости материала (cρ1<cρ2).

Увеличение теплоемкости сρ при l=const равносильноодновременному уменьшению Q и l. Приращение температуры точектела уменьшается при одновременном замедлении процессараспространения теплоты. На Рис. 2.5,б представлены для сравнениятермические циклы в одной и той же точке тела при разных сρ.

2.3.3. Аналитическое решение уравнениятеплопроводности для мгновенного линейногоисточника в бесконечной пластине

Решение уравнения (2.14) для случая, когда мгновенныйлинейный источник тепла в момент времени t=0, на прямой r=0сообщает бесконечному телу количество тепла Q, выглядитследующим образом:

÷÷ø

öççè

æ-=D

atr

atcQT

4exp

4

2

dpr

(2.24)

где r2=х2+у2– расстояние до рассматриваемой точки от началакоординат, где была введена теплота Q; d – толщина пластины.

Температурное поле симметрично относительно оси z,температура равномерна по толщине.

Влияние Q, l и сρ на процесс распространения теплоты и нараспределение температур будет таким же, как и в случаемгновенного точечного источника теплоты в полубесконечном теле.

90

Изменение температуры во времени качественно протекает также, как и в полубесконечном теле, т. е. температура отдельных точекпластины вначале повышается, достигает максимума, а затемуменьшается. Более удаленные точки нагреваются до меньшихмаксимальных температур. Однако распространение теплоты впластине происходит более стесненно, чем в полубесконечном теле.В то время как в полубесконечном теле теплота распространяется внаправлении трех координатных осей, х, у, z, в пластине теплотараспространяется только в двух направлениях – х и у. Это приводит ктому, что процесс изменения температуры во времени происходит впластине медленнее.

При расчетах температур в пластинах в ряде случаев, вособенности если пластины тонкие, необходимо учитыватьтеплоотдачу в окружающую среду. Процесс распространениятеплоты в пластине с поверхностной теплоотдачей описываетсявыражением:

÷÷ø

öççè

æ--=D bt

atr

atcqT

4exp

4

2

dpr, b=2α/(cρδ)

(2.25)

Уравнение (2.25) содержит множитель e-bt, который учитываеттеплоотдачу в окружающее пространство, но не отражает того факта,что теплота отдается с поверхности пластины и температура по еетолщине неравномерна. В тонких пластинах, несмотря назначительную теплоотдачу, неравномерность распределениятемпературы по их толщине незначительна и ею можно пренебречь.В некоторых случаях неравномерность температуры по толщинепластин может достигать нескольких десятков градусов. Чемпродолжительнее процесс распространения теплоты, тем большеезначение имеет теплоотдача в изменении температуры пластины.

2.4. Температурные поля движущихся источников

Для составления уравнений, описывающих процессраспространения теплоты от движущихся непрерывно действующихисточников, используют принцип наложения. С этой целью весьпериод действия источника теплоты разбивают на бесконечно малыеотрезки времени dt. Действие источника теплоты в течениебесконечно малого отрезка времени dt представляют как действиемгновенного источника теплоты. Суммируя приращения температур

91

от действующих друг за другом в разных местах тела мгновенныхисточников теплоты, получают уравнение температурного поля принепрерывном действии движущегося источника теплоты.

2.4.1. Точечный источник на поверхностиполубесконечного тела

При рассмотрении движущихся источников тепла координатныеоси принято располагать в соответствии с

Рис. 2.6 – ось x направлена вдоль направления движения, ось zнаправлена в глубину. Точечный источник теплоты постоянноймощности q движется с постоянной скоростью v прямолинейно източки О0 в направлении оси х (Рис. 2.7). Допустим, что с моментадвижения источника прошло время tH, он находится в точке О.Вместе с источником теплоты перемещается подвижная системакоординат, начало которой совпадает с местоположением источникатеплоты, т. е. с точкой О. Требуется определить приращениетемпературы точки А(х, у, z).

Рис. 2.6. Схема расположения координатных осей

Для этого запишем приращение температуры в точке А отмгновенного точечного источника теплоты, который действовал втечение времени dt в точке О'. С момента выделения теплоты в точкеО' прошло время t. Используем уравнение (2.22), полагая Q = qdt, арасстояние (О'А)2=(х+υt)2+у2+z2. Тогда

÷÷ø

öççè

æ +++-=

atzyvtx

atcqdtdT

4)(exp

)4(2 222

2/3pr

92

Суммируем приращения температуры от всех элементарныхисточников теплоты на линии ОО0. Время распространения теплотыот мгновенного источника в точке О равно нулю, а от мгновенногоисточника в точке О0 равно tH. Поэтому интеграл берем в пределах от0 до tН:

÷÷ø

öççè

æ +++-=D ò at

zyvtxatcqT

нt

4)(exp

)4(2 222

2/30 pr

Рис. 2.7. Схема движения непрерывно действующего точечного источникамощностью q, перемещающегося на поверхности полубесконечного тела

со скоростью v

После преобразований получим

2/3

22

02/3 44

exp2

exp)4(

2tdt

atR

atv

avx

acqT

Ht

÷÷ø

öççè

æ--÷

øö

çèæ-=D òpr

, (2.26)

где R2=х2+у2+z2 (Рис. 2.7).Уравнение (2.26) выражает приращения температур в

полубесконечном теле в стадии теплонасыщения, т. е. когдатемпература отдельных точек непрерывно повышается.

Предельное состояние. Анализ подынтегральной функции вформуле (2.26) показывает, что она изменяется в течении оченьнепродолжительного времени после начала нагрева (Рис. 2.8), затемна протяжении всей временной оси ее значения близки к нулю, т.е.после продолжительного действия источника теплоты достигается

93

предельное состояние, когда температура точек в подвижной системекоординат перестает изменяться во времени. Такое состояниеназывается квазистационарным.

Рис. 2.8. Подынтегральная функция в уравнении (2.26)

Если принять время действия источнике тепла tH→∞, уравнение(2.26) интегрируется аналитически и принимает вид:

÷øö

çèæ +-=D )(

2exp

2xR

av

RqTпр pl

(2.27)

Температурное поле предельного состояния симметричноотносительно оси Ох (Рис. 2.9,а и Рис. 2.10,б). Изотермы наповерхности хОу представляют собой овальные кривые, которыесгущены впереди источника теплоты и раздвинуты позади него (Рис.2.9,б). Изотермические поверхности как бы образованы вращениемизотерм относительно оси Ох. Смещенность изотерм относительнодруг друга и их вытянутость зависят от безразмерного параметраvR/(2a). В области малых значений vR/(2a) изотермы близки кокружностям, при больших значениях они вытянуты вдоль оси Ох.

Распределение приращения температуры по поверхностимассивного тела на расстоянии у, равном 0, 1, 2 см, представленосоответствующими кривыми на Рис. 2.10,а. Температура точек приприближении источника теплоты резко возрастает, достигаетмаксимума, а затем убывает. Снижение температуры происходит сменьшей скоростью, чем ее подъем. Максимум температуры вточках, находящихся не на оси Ох, достигается после прохожденияисточником теплоты плоскости, параллельной yOz, в которойнаходится рассматриваемая точка. В более удаленных от оси Ох

94

точках максимальная температура достигается позже и имеетменьшее численное значение по сравнению с точками,расположенными ближе к оси Ох.

а бРис. 2.9. Температурное поле в полубесконечном теле:

а – изотермы на поверхности хОу (штриховая кривая разделяет область нагрева и областьостывания);

б – изотермы в поперечной плоскости хОz, проходящей через центр источника.

а бРис. 2.10. Распределение температуры в полубесконечном теле:

а) вдоль прямых, параллельных оси х и расположенным на поверхности тела;б) по прямым, параллельным оси у и лежащим в поперечной плоскости хОz.

Штриховой линией на Рис. 2.9,а соединены точки смаксимальной температурой на плоскости хОу. Поверхность разделаобластей нагрева и остывания получается путем вращения штриховойкривой относительно оси Ох. Область впереди штриховой кривойнагревается, позади – остывает.

95

2.4.2. Линейный источник в бесконечной пластинеЛинейный источник теплоты мощностью q с равномерным

распределением ее по толщине пластины движется с постояннойскоростью v. Граничные плоскости z=0 и z=δ отдают теплоту вокружающую среду за счет конвекции с коэффициентом теплоотдачиα.

Уравнение, описывающее приращение температур в пластине,получим так же, как в случае точечного источника теплоты.Приращение температуры в точке А от мгновенного линейногоисточника теплоты, который действовал в точке О', составит всоответствии с уравнением (2.25)

2 2( )4

(4 )

x t y btatqdtdT e

c at

n

d r p

+ +- -=

Интегрируя от 0 до tH и преобразовывая, получим2 2

( )2 4 4

04

Htx rb ta a atq dtT e e

t

n n

pld- - + -

D = ò,

(2.28)

где r2=x2+y2.Уравнение (2.28) выражает приращение температур в пластине в

стадии теплонасыщения. Предельное квазистационарное состояниедостигается при tн→∞. В этом случае уравнение (2.28) интегрируетсяи принимает вид

÷÷ø

öççè

æ+÷

øö

çèæ-=D 20

4122

exp2 v

baa

vrKa

vxqTпр pld ,(2.29)

где К0 – функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка; функцииБесселя относятся к специальным математическим функциямпредставляющими собой решения линейных дифференциальныхуравнений. В настоящее время практически все математическиепакеты содержат средства нахождения значений специальныхфункций.

b – коэффициент температуроотдачи, для пластиныопределяемый выражением 2α/(cρδ).

При нагреве пластины линейным источником теплотыраспределение температуры по ее толщине принимаетсяравномерным. Однако в действительности из-за наличия теплоотдачис поверхности пластины всегда наблюдается некоторая

96

неравномерность распределения температуры по ее толщине, котораябудет тем значительнее, чем больше величина 4ba/v2.

Картины распределения приращения температуры в пластине,представленные на Рис. 2.11 и Рис. 2.12, качественно имеют многообщего с распределением температуры в массивном теле (Рис. 2.9,а)и Рис. 2.10).

Рис. 2.11. Распределение приращений температуры в предельном состояниипри движении линейного источника теплоты в бесконечной пластине:

а – в сечениях, параллельных оси х; б –в сечениях, параллельных оси у.

Рис. 2.12. Изотермы на поверхности пластины (штриховая кривая – точкис максимальными температурами)

Отличие заключается в том, что изотермы в пластине еще болеевытянуты, чем в полубесконечном теле. Степень вытянутостиизотерм зависит не только от условий сварки и теплофизическихсвойств материала, но и от теплоотдачи в воздух.

а

97

2.4.3. Плоский источник в бесконечном стержнеПредставим, что плоский источник теплоты постоянной

мощности q равномерно распределен по поперечному сечениюстержня F и перемещается с постоянной скоростью v в направлениивдоль стержня. Боковая поверхность отдает теплоту в окружающуюсреду при постоянном коэффициенте теплоотдачи.

Приращение температуры в точке А от мгновенного плоскогоисточника, который действовал в точке О' t секунд назад, составит

( )÷÷ø

öççè

æ-

+-= bt

atvtx

atFcqdtdT

4exp

)4(

2

2/1prНачало координат движется вместе с источником теплоты и

находится в точке О.Интегрируем приращения температуры от всех мгновенных

источников теплоты в пределах от 0 до tН:

2/10

2

2/1 44exp

2exp

)4( tdt

atxtb

av

avx

aFcqT

Ht

ò ÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ+-÷

øö

çèæ-=D

pr(2.30)

Уравнение (2.30) описывает приращение температуры впластине в стадии теплонасыщения. Предельное квазистационарноесостояние достигается при tН→∞. В этом случае уравнение послеинтегрирования принимает вид

÷÷ø

öççè

æ+--

+=D 2

2

412

||2

exp41

vba

axv

avx

vbaFc

qTпр

r(2.31)

При нагреве стержня плоским источником теплотыраспределение температуры по поперечному сечению стержняравномерно. В действительности из-за теплоотдачи с поверхностистержня всегда будет наблюдаться некоторая неравномерностьраспределения температуры по его поперечному сечению.

Распределение температуры вдоль стержня будетхарактеризоваться быстрым нарастанием температуры впередиисточника теплоты и плавным спадом температуры позадиисточника. Если b=0, т. е. теплоотдача отсутствует, то температурапозади источника теплоты будет оставаться постоянной.

98

2.5. Периоды теплонасыщения и выравниваниятемператур при нагреве движущимися источникамитеплоты

Период теплонасыщения. Ранее были рассмотрены триосновных случая нагрева тел движущимися источниками теплоты –точечным, линейным и плоским. Там же были приведены формулыдля определения температур в случае неустановившегосятемпературного поля (2.26), (2.28), (2.30).

Чем ближе расположена к источнику теплоты рассматриваемаяточка тела, тем раньше и тем быстрее возрастает температура в ней. Взоне, расположенной ближе к источнику теплоты, периодтеплонасыщения заканчивается раньше, чем в удаленных зонах.

На продолжительность периода теплонасыщения существенновлияет скорость движения источника теплоты и, чем быстреедвижется источник, тем быстрее идет процесс теплонасыщения.

Чем более стеснен поток теплоты, тем медленнее идет процесстеплонасыщения. Поэтому при прочих равных условиях процесстеплонасыщения в стержне заканчивается позже, чем в пластине, а впластине – позже, чем в массивном теле.

Период выравнивания температур. После прекращениядействия источника теплоты наступает период выравниваниятемператур. Теплота, введенная ранее, продолжает распространятьсяв теле и уходить в окружающую среду.

Определить температуру в период выравнивания температурыдостаточно просто, введя фиктивные источник и сток тепла. Еслипредположить, что в момент времени tН, когда нагрев закончилсяисточник тепла действовать не прекратил, но к нему добавился стоктепла той же мощности, картина распределения температуры неизменится. Температура в каждой точке тела в этом случае будетопределяться как сумма приращений температур от двух источников:

Т=T0+∆T1-∆T2Приращение температуры ∆T1 может быть вычислено по

формулам (2.27), (2.29), (2.31), а вклад фиктивного стока ∆T2 можетбыть найден по формулам (2.26), (2.28), (2.30), в которых пределыинтегрирования выбираются от tH до момента времени, в которыйнеобходимо определить температуру.

99

2.6. Движение источников тепла по криволинейнойтраектории.

Для случая движения источника тепла по произвольнойтраектории, так же может быть использован принцип суперпозиции.К примеру, если рассматривается движение линейного источника впластине, температурное поле будет представлять собойсуперпозицию мгновенных линейных источников, приращениетемпературы от которых описывается формулой (2.24), или с учетомтеплообмена поверхности пластины (2.25).

Количество тепла, вводимое каждым из мгновенныхисточников, будет составлять: Q=q·dt.

В случае, если мы рассматриваем процесс нагрева пластины,начавшийся в момент времени t=0, до момента времени t=tH, имгновенный источник тепла, действовавший в момент времени tИ, товремя t, прошедшее с момента введения тепла источником: t=tH-tИ.

Расстояние r в этом случае целесообразно определить,воспользовавшись неподвижной системой координат ипараметрической формой задания траектории движения

îíì

==

)()(tyytxx

Расстояние между рассматриваемой точкой с координатами (х;у)и источником тепла в момент времени t в этом случае равно

( ) ( )2222 )()( ytyxtxr -+-= .С учетом выше приведенного вклад от каждого мгновенного

источника тепла можно представить как( ) ( )

÷÷ø

öççè

æ

--+-

-×

=)(4

)()(exp

4

22

ИH

ИИИ

ttaytyxtx

atcdtq

dTdpr

(2.32)

Температура в любой части свариваемой пластины, согласнопринципу суперпозиции может быть найден сложением всехдействующих в разное время источников тепла и начальнойтемпературы тела:

( ) ( )ò ÷

÷ø

öççè

æ

--+-

-×

+=Ht

ИH

ИИИ

ttaytyxtx

atcdtq

TT0

22

0 )(4)()(

exp4 dpr

(2.33)

Формула (2.33) и была использована в качестве расчетной и дляи определения температуры в пластине на стадии теплонасыщения. В

100

этом случае, достаточно задать величину эффективной мощности какфункцию температуры:

ïî

ïíì

³=

<==

H

H

ttприq

ttприUIqtq

0)(

h

В Прил. 1 в качестве примера приведен расчет поля температурв пакете MathCAD для случая движения источника по окружности,т.е. при сварке кругового шва. Результаты расчета в виде изотерм, дляразличных моментов времени представлены на Рис. 2.13.

а б

в гРис. 2.13. Распределение температуры при сварке кругового шва радиусом

40 мм;

а, б – через десять и двадцать секунд после начала нагрева;в, г – через пять и десять секунд после окончания сварки.

Как видно из примера, для проведения подобных расчетов нетребуется написания громоздких программ, однако при этомнеобходимо принимать во внимание несколько фактов.

101

Во-первых, не смотря на простоту записи расчетных формул,использованный при этом оператор интегрирования подключаетдостаточно сложные процедуры численного определения интегралов.Время счета, особенно на ЭВМ с небольшим быстродействием,может оказаться довольно большим. Кроме того, при расчететраекторий с большими радиусами кривизны и временем нагреваподынтегральные функции имеют вид, сходный с кривой,представленной на Рис. 2.8. Обычные алгоритмы численногоинтегрирования могут выдавать неверные результаты для функций,которые равны нулю практически во всем диапазоне интегрирования.

Во-вторых, при вычислении всех характеристик термическихциклов, необходимо принимать во внимание то, что данное поле, каквидно из Рис. 2.13, является нестационарным, и из стадиитеплонасыщения переходит в стадию выравнивания температур,минуя квазистационарное состояние. Поэтому при расчетехарактеристик термических циклов в данном случае необходимоучитывать зависимость температуры и от координат и от времени.

2.7. Быстродвижущиеся источники теплоты

В сварочной технике широко применяются мощные источникитеплоты, осуществляющие сварку с весьма большими скоростями. Впредельном случае, когда q и v стремятся к бесконечности, в то времякак отношение q/v сохраняет некоторое конечное значение,распространение теплоты в массивном теле и пластине приобретаетособенности, позволяющие значительно упростить расчетные схемы.

2.7.1. Быстродвижущийся точечный источникУпростим уравнение квазистационарного температурного поля в

полубесконечном теле от движущегося точечного источника нагрева(2.27) налагая q→∞, v→∞, q/v=qП=const.

Для области позади источника теплоты, где x<0, (2.27) можнопреобразовать с учетом R2=x2+y2+z2 и х=-vt, приведя к следующемувиду:

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

÷÷ø

öççè

æ++--

+

=D 2

22

2

2

22

2exp

2vrtt

av

vrt

qT П

pl(2.34)

102

где t – время, отсчитываемое от момента, когда источник теплотыпересек перпендикулярную оси Ох плоскость I, в которой

расположена рассматриваемая точка (Рис. 2.14,a);22 zyr += .

Поскольку выражение при v→∞ tvrt r »+ 22 / , выражениеtvrt r -+ 22 / может быть преобразовано

2

2

2

22

22

22

2

22

2

22

2

22

2

22

21

vr

tt

vrt

tvrt

tvrt

tvrt

tvrtt

vrt »

++

-+=

++

++

÷÷ø

öççè

æ-+=-+

Таким образом:

÷÷ø

öççè

æ-=D

atr

tqT П

4exp

2

2

pl(2.35)

Рис. 2.14. Схема выделения плоскостями I и I' зон распространения теплотыот мощного быстродвижущегося источника:

а – точечный источник на поверхности полубесконечного тела; б – линейный источник вбесконечной пластине

Формула (2.35) не содержащая координаты х, указывает на то,что тепловые потоки в направлении, параллельном оси Ох, вдолькоторой движется источник теплоты, ничтожно малы по сравнению степловыми потоками в перпендикулярном направлении, так какдТ/дх=0. Это справедливо при v→∞. Однако (2.35) можетиспользоваться для технических расчетов, когда скорость v, хотя и нестремится к бесконечности, но достаточно велика. В этом случаеприменяют замену t=–x/v, откуда

103

÷÷ø

öççè

æ-=D

axvr

xqT

4exp

2

2

pl(2.36)

Процесс распространения теплоты почти полностью зависит оттепловых потоков в плоскости yOz. Это позволяет получитьвыражение (2.35) другим, довольно наглядным способом. Точечныйисточник теплоты, проходя через плоскость I (Рис. 2.14,a), выделяетна участке dx в течение времени dx/v количество теплоты Q=qdx/v.Эта теплота распространяется в полубесконечном плоском слое I' -Iтолщиной δ=dx, и, следовательно, для описания процессараспространения теплоты можно использовать уравнениеприращения температуры для бесконечной пластины (2.24) отмгновенного линейного источника с учетом того, что слой I'-Iпредставляет собой полубесконечную пластину без теплоотдачи, аколичество теплоты в этом случае равно 2Q. Подставляя величины2Q = 2qdx/v и δ, получаем уравнение (2.35).

Для определения приращений температуры точек,расположенных позади источника теплоты, можно использовать(2.35) или (2.29). При использовании уравнения (2.35) необходимоиметь в виду, что для каждой поперечной плоскости Iполубесконечного тела принимается свое время t, отсчитываемое смомента прохождения источника теплоты через рассматриваемуюплоскость.

Распределение приращений температуры, описываемоеформулой (2.35), в области остывания мало отличается отраспределения, описываемого уравнением для движущегосяточечного источника на поверхности полубесконечной пластины,действительным при любой скорости перемещения источникатеплоты. Уравнением (2.36) не следует пользоваться в области малыхзначений t, соответствующих зоне выделения теплоты.

2.7.2. Быстродвижущийся линейный источникПредельное состояние процесса распространения теплоты при

нагреве пластины мощным быстродвижущимся линейнымисточником теплоты также можно получить, предполагая, чтотеплота распространяется только в направлении стержня I (Рис.2.14,б). Действительно, источник выделяет на отрезке длиной dxтеплоту Q=qdx/v. Эта теплота распространяется вдоль стержня L,ограниченного плоскостями I и I' и имеющего поперечное сечение

104

δdx. Подставляя указанные величины в уравнение приращениятемпературы от мгновенного плоского источника теплоты вбесконечном стержне

÷÷ø

öççè

æ--=D bt

atx

atFcQT

4exp

4

2

pr и заменяя координату х координатой у, а также учитывая

поверхностную теплопередачу, получим

÷÷ø

öççè

æ--=D bt

aty

tcq

T П

4exp

4

2

rpld(2.37)

где b=2α/cρδЕсли тела имеют начальную температуру Т0, то для определения

абсолютной температуры взамен уравнений (2.35) и (2.37)используют следующие уравнения:

T=ΔT+T0 (2.38)

2.8. Термический цикл при дуговой сварке

В процессе однопроходной сварки источник теплотыперемещается в теле и вместе с ним перемещается температурноеполе. Температуры точек тела непрерывно изменяются (Рис. 2.15).Вначале температура повышается, достигает максимальногозначения, а затем снижается. Изменение температуры во времени вданной точке тела называется термическим циклом.

Рис. 2.15. Изменение температуры в различных точках тела со временем

105

При установившемся температурном поле термические циклыточек, расположенных на одинаковом расстоянии от оси движенияисточника теплоты, одинаковы, но смещены во времени.

Термические циклы точек, расположенных на различныхрасстояниях от оси движения источника теплоты, различаются междусобой. В более удаленных точках температура повышается медленнееи позже достигает максимального значения.

Восходящая ветвь температурной кривой называется стадиейнагрева, нисходящая – стадией остывания.

Основные характеристики термического цикла следующие:максимальная температура, скорость нагрева и скорость охлажденияпри различных температурах, длительность пребывания металлавыше заданной температуры или в определенном температурномдиапазоне. Эти характеристики цикла зависят от режима сварки,теплофизических свойств материала, конфигурации тела, условий егоохлаждения, температуры предварительного подогрева.

Определение характеристик термических циклов путем анализатемпературных полей, полученных с помощью рассмотренных вышезависимостей, связано с большим объемом вычислений, и поэтому вданном пособии приведены примеры вычисления тех или иныххарактеристик с помощью математического пакета MathCAD.

Максимальные температуры, достигаемые отдельнымиточками, определяются достаточно просто, если известнотемпературное поле. В точке максимальной температуры перваяпроизводная по времени или по расстоянию равна нулю:

дТ/дх=0 или дТ/дt=0 (2.39)Производная по времени или по расстоянию берется в

зависимости от того, какую координату содержит выражение длятемпературного поля. Время t и координата х связаны между собойскоростью сварки.

Пример расчета максимальной температуры цикла с помощьюпакета MathCAD приведен в Прил. 2.

Функциональная зависимость температуры в пластине дляквазистационарного поля от координат x, y задана выше, и в примерене приведена. Сначала задается функция пользователя der(x)представляющая собой частную производную ∂T/∂x. Ввод операторадифференцирования осуществляется с панели инструментов«Calculus». Определить значение координаты х, при котором

106

температура достигнет максимума, можно по графику функцииder(x), с помощью инструмента трассировки (см. п. 1.5.2).

Кроме того, найти экстремум функции можно воспользовавшисьвстроенными функциями MathCAD maximize и minimize. Примерпоиска максимума функции одной переменной дан в конце Прил. 2.Поскольку процедура при поиске экстремума использует численныеметоды, необходимо задание начального приближения, в окрестностикоторого и будет осуществляться поиск экстремума.

Наконец, возможно определение максимальной температуры впредположении, что источник нагрева быстродвижущийся. Длябыстродвижущегося точечного источника теплоты на поверхностимассивного тела:

20

02

revcqTTMAX rp

=- (2.40)

где r20=y2

0+z20.

Для быстродвижущегося линейного источника теплоты впластине

÷øö

çèæ +=-

aby

yvceqTTMAX 2

12

0

00 rdp

(2.41)

где у0 – расстояние от данной точки до оси шва.Размер зоны нагрева. В некоторых случаях (например для

определения размеров защищаемой инертным газом области)возникает необходимость определения ширины области, котораянагревалась до температуры выше заданного значения ΔTl (Рис .2.16). В некоторых случаях интерес представляет длина этой зоны,или пропорциональное ей время пребывания при температуре вышеΔTl.

Длительность пребывания металла выше некоторойтемпературы ΔTl.выражается на Рис. 2.17 отрезком tН, который можетбыть измерен непосредственно на графике, с помощью трассировки.

107

Рис . 2.16. Схема определения ширины 2lзоны, приращение температуры

в которой превосходило ΔТ

Рис. 2.17. Схема термическогоцикла при однопроходной сварке

Для точного нахождения величины отрезка tH необходимо двараза решить уравнение Т(х,0,0)=ΔTl относительно координаты х,отдельно для ветвей нагрева и охлаждения. Решение уравнений вMathCAD осуществляется численной процедурой root. Примерподобного расчета в приведен в Прил. 3.

Функция root в зависимости от типа задачи, может включатьлибо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работаетнесколько по-разному.

- root(f(х),х);- root(f(х),х,а,b);f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение f(х)=0;х – скалярная переменная, относительно которой решается

уравнение;а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск

корня.Первый тип функции root требует дополнительного задания

начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужнопросто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корнябудет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоениеначального значения требует априорной информации о примернойлокализации корня.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, аинтервал [а,b], внутри которого корень заведомо находится. В этомслучае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами,

108

а присваивать начальное значение х не нужно. Когда root имеетчетыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

- внутри интервала [а,b] не должно находиться более одногокорня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно какойименно;

- значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будетвыдано сообщение об ошибке.

Нахождение ширины изотермы. В общем случае ширина зонынагрева выше ΔTl, равная 2L, будет найдена, если определитькоординату у точки А на Рис.3.4. Точка А, во-первых, находится наизотерме и, следовательно, T=ΔTl, во-вторых, в точке А достигаетсямаксимальное приращение температуры на расстоянии у=L, т. е.дТ/дх= 0.

Таким образом, для определения ширины зоны необходиморешить систему двух нелинейных уравнений:

ïî

ïíì

=¶¶

D=

0xT

TT L

(2.42)

Для решения систем уравнений имеется специальныйвычислительный блок, состоящий из трех частей, идущихпоследовательно друг за другом:

– Given – ключевое слово;- система, записанная логическими операторами в виде равенств

и, возможно, неравенств;- Find(x1,... ,xM) – встроенная функция для решения системы

относительно переменных x1,... ,хм.Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью

инструментов Boolean (Булевы операторы). Блок Given/Findиспользует для поиска решения итерационные методы, поэтому, каки для функции root, требуется задать начальные значения для всехX1,...,XM. Сделать это необходимо до ключевого слова Given. Значениефункции Find есть вектор, составленный из решения по каждойпеременной. Таким образом, число элементов вектора равно числуаргументов Find.

Вычислительный блок использует константу CTOL в качествепогрешности выполнения уравнений, введенных после ключевогослова Given. Например, если CTOL=0.001, то уравнение х=10 будетсчитаться выполненным и при х=10.001, и при х=9.999. Другая

109

константа TOL определяет условие прекращения итерацийчисленным алгоритмом. Значение CTOL может быть заданопользователем также, как и TOL, например, CTOL: =0.01. Поумолчанию принято, что CTOL=TOL=0.001, но вы по желаниюможете переопределить их.

Особенную осторожность следует соблюдать при решениисистем с числом неизвестных большим, чем число уравнений. Втакой постановке задача обычно имеет бесконечное множествокорней. Однако даже если корней бесконечно много, численныйметод будет производить расчеты только до тех пор, пока логическиевыражения в вычислительном блоке не будут выполнены (в пределахпогрешности). После этого итерации будут остановлены и выданорешение. В результате будет найдена всего одна пара значений (х,у),обнаруженная первой.

Иногда приходится заменять задачу отделения корней системыуравнений задачей поиска экстремума функции многих переменных.Например, когда невозможно найти решение с помощью функцииFind, можно попытаться потребовать вместо точного выполненияуравнений условий минимизировать их невязку. Для этого следует ввычислительном блоке вместо функции Find использовать функциюMinerr, имеющую тот же самый набор параметров.

В данном случае именно функция Minerr позволяет найтиприближенное решение системы уравнений (2.42). В Прил. 4приведен пример решения такой задачи с помощью вычислительногоблока «Given- Minerr».

Часто бывает очень полезно проверить точность решенияуравнений, вычислив значения образующих их функций в найденныхвычислительным процессором корнях.

Воспользовавшись приближением быстродвижущихсяисточников тепла, расчетные формулы можно упростить, и обойтисьбез привлечения численных методов.

Для быстродвижущегося точечного источника теплоты наповерхности полубесконечного тела ширина зоны термическоговлияния составляет:

lTevcqLD

=rp

82

Для мощного быстродвижущегося линейного источникатеплоты в пластине ширина зоны термического влияния определяется

110

с использованием уравнения для быстродвижущегося источника(2.37) при b = 0 по формуле

eTvcqL

l prd22

D=

Мгновенная скорость охлаждения при данной температуре.Мгновенная скорость охлаждения ω является первой производнойтемпературы по времени

ω=дТ/дt (2.43)В общем случае, когда температурное поле выражается

формулами для движущихся точечного и линейного источников вполубесконечном теле и пластине, ее определяют следующимобразом. Сначала находят координаты точки, расположенной висследуемой зоне и имеющей температуру, при которой требуетсяопределить скорость охлаждения. Затем значения этих координатподставляют в (2.43). Пример расчета скорости охлаждения спомощью пакета MathCAD приведен в Прил. 5.

Во многих случаях оказывается достаточным приближенноеопределение скорости охлаждения, и для этого используют теориюмощных быстродвижущихся источников теплоты без учетатеплоотдачи. Скорости охлаждения обычно определяют только дляоси шва ввиду их незначительного отличия от скоростей охлажденияоколошовных зон.

Температуры точек оси шва при наплавке валика на массивноетело и однопроходной сварке пластин встык с учетом начальнойтемпературы находим из формул для быстродвижущихся источниковпри r = 0 и у = 0:

vtqTTpl20 =- ,

tcvqTT

rpld20 =- (2.44)

Если по (2.43) вычислить производные от выражений (2.44), то

22 vtq

dtdT

pl-= ,

32 tсv

qdtdT

rpld-= (2.45)

и в (2.45) подставить значения t из уравнений (2.44), то получимскорости охлаждения

( )П

H

qTT 2

2 --= plv (2.46)

111

( )2

302 ÷÷

ø

öççè

æ--=

ПqTTc drplv (2.47)

Знак минус в (2.46) и (2.47) показывает, что происходитостывание металла. Скорость охлаждения зависит от формы изделия(массивное тело, пластина), эффективной погонной энергии q/v итемпературы подогрева Т0.

Температура подогрева Т0. практически позволяет в большейстепени регулировать скорость охлаждения, чем эффективнаяпогонная энергия.

Влияние подогрева и погонной энергии сварки на скоростьохлаждения сильнее сказывается в пластинах, чем в массивных телах.Это следует из показателей степеней в (2.46) и (2.47).

2.9. Влияние режима сварки и теплофизическихсвойств металла на поле температур

Влияние скорости сварки и эффективной мощностиисточника на поле температур на примере сварки пластин. Сувеличением скорости v при q=const зоны, соответствующиеопределенным приращениям температур, например T=600 К,уменьшаются по ширине и длине. Если пренебречь коэффициентомтемпературоотдачи в формуле квазистационарного температурногополя движущегося линейного источника в бесконечной пластине, тоокажется, что уменьшение длины и ширины зон происходит прямопропорционально увеличению скорости сварки (Рис. 2.18).

112

Рис. 2.18. Распределение температур в стальной пластине толщиной 2 ммпри нагреве ее линейным источником мощностью 1 кВт движущегося

со скоростью:

а – 10 м/ч; б – 20 м/ч; в – 30 м/чС возрастанием мощности источника теплоты q длина и ширина

зон, нагретых выше определенной температуры, увеличиваютсябыстрее, чем мощность источника. Как видно из Рис. 2.19 увеличениедлины зон идет быстрее, чем ширины.

113

Рис. 2.19. Распределение температур в стальной пластине толщиной 2 мм принагреве ее линейным источником движущегося со скоростью 20 м/ч, имеющего

эффективную мощность:

а – 0,5 кВт; б – 1 кВт; в – 1,5 кВт

Изменение в распределении температурного поля приодновременном увеличении мощности источника теплоты и скоростисварки при постоянной погонной энергии сварки q/v показано на Рис.2.20. Такая корректировка параметров режима приводит в основном кувеличению длины зон.

114

Рис. 2.20. Распределение температур в стальной пластине толщиной 2 ммпри нагреве ее линейным источником имеющим следующие характеристики:

а – q=0,5 кВт, v=10 м/ч; б – q=1 кВт, v=20 м/ч; в – q=1,5 кВт, v=30 м/ч

Ширина зон также увеличивается, но стремится копределенному значению.

Влияние теплофизических свойств металла нараспределение температур. Наиболее заметно влияниетеплопроводности металлов λ. Увеличение теплопроводности припрочих равных условиях примерно соответствует случаюодновременного уменьшения мощности и скорости при постояннойпогонной энергии сварки. Зоны, охватываемые изотермами (вдальнейшем для краткости – просто «зоны»), сильно укорачиваются инесколько сужаются. В качестве примера можно сравнить междусобой низкоуглеродистую и аустенитную стали, у которых

115

теплоемкости примерно одинаковы, а теплопроводность различная(Рис. 2.21,а,б)

У меди и алюминия, обладающих высокой теплопроводностью,изотермы в области высоких температур близки к окружностям (Рис.2.21,в,г).

Рис. 2.21. Влияние теплофизических свойств материала на характертемпературного поля в пластине

Увеличение теплоемкости металла сρ оказывает примерно такоеже влияние, как увеличение скорости сварки при постоянноймощности. С увеличением теплоемкости металла при прочих равныхусловиях зоны укорачиваются и сужаются.

При сварке массивных тел влияние параметров режима сварки исвойств металла на поле температур иное, чем при сварке пластин.

Изменение скорости сварки при q=const в основном влияет наширину зон и почти не влияет на их длину. Из формулы длявычисления температуры в пластине следует, что на оси шва вобласти позади источника теплоты, где R=-х, распределениеприращений температуры не зависит от скорости сварки

ΔT=Q/(2πλR) (2.48)

116

Поэтому с увеличением скорости сварки изотермы сгущаютсявпереди источника теплоты, а распределение температуры наотрицательной полуоси остается постоянным.

С увеличением мощности источника теплоты q увеличиваютсядлина и ширина зон на плоскости хОу. Увеличение длины зонпроисходит быстрее, чем их ширины.

Одновременное увеличение мощности источника и скоростисварки при постоянной погонной энергии сварки q/v качественновлияет на форму и размеры зон так же, как и при сварке пластин.

Увеличение теплопроводности λ, равносильно одновременномууменьшению мощности источника и скорости сварки при постояннойпогонной энергии q/v. Увеличение теплоемкости сρ влияет так же, каквозрастание скорости сварки, т. е. зоны сужаются, но распределениетемпературы по отрицательной полуоси остается постоянным.

2.10. Учет реальной формы деталей при рассмотрениипроцессов распространения теплоты

До сих пор рассматривались процессы распространения теплотыв неограниченных телах. Это упрощало расчеты, так как не нужнобыло вводить граничные условия.

Несмотря на то, что свариваемые изделия всегда имеютограниченные размеры, в большинстве случаев для оценкитемпературного поля и определения термических циклов нетнеобходимости учитывать влияние границ тела. Однако в рядеслучаев такой расчет оказывается необходимым вследствиезначительного влияния отраженной от границ тела теплоты натемпературное поле. Границы тела в первом приближении можносчитать не пропускающими теплоты, т. е. считать адиабатическими.

2.10.1. Движение источника тепла вблизи края телаДопустим, что источник теплоты перемещается на некотором

расстоянии L от края пластины. Считая границу А-А адиабатической,создадим отражение теплоты от нее.

Этого можно достигнуть, если предположить, что пластинабесконечна и в ней движутся одновременно с одинаковой скоростьюдва источника одинаковой мощности. Расстояние междудействительным и фиктивным источниками равно 2L. Распределениетемпературы в некотором произвольном сечении А-А от

117

действительного, расположенного в т. О, и фиктивного,расположенного в т. О1 источников теплоты в бесконечной пластинепоказаны на Рис. 2.22 штриховыми линиями 1 и 1' соответственно.Распределение температуры с учетом отражения теплоты от границы(кривая 2) представляет собой сумму температур от действительногои фиктивного источников теплоты.

Приращение температуры в некоторой точке пластины скоординатами (x,y) согласно уравнению квазистационарноготемпературного поля движущегося линейного источника вбесконечной пластине определяется следующей формулой:

)2,('),( 00 yyxTyxTTT -D+D+= (2.49)Приращение температуры ΔТ может быть определено по

формуле (2.29) для пластины и (2.26) для массивного тела.

2.10.2. Введение изотермической границы Подобным образом можно удовлетворить и изотермическому

условию. Пусть полубесконечная пластина нагревается в точке 0сварочной дугой (Рис. 2.23), а температура границы А-А постоянноподдерживается равной нулю. Очевидно, что если бы пластина былабесконечной, то распределение температур в сечении I-I в некоторыймомент времени выражалось кривой 1,а температура по линии А-А неравнялась нулю. Однако можно представить, что в точке 01 той жебесконечной пластины, находящейся также на расстоянии L от А-А,действует источник теплоты с отрицательным знаком, такназываемый сток теплоты. Причем свойства этого стока теплоты вточности совпадают со свойствами источника теплоты от сварочнойдуги, а распределение температур описывается одинаковымматематическим выражением.

Тогда отрицательная температура выразится кривой 1',аналогичной кривой 1, но с отрицательным знаком. Складываяординаты кривой 1' с ординатами кривой 1, получим кривую 2распределения температуры. На границе A-А температура всегдабудет постоянна, и равна нулю, в то время как в самой пластинетемпература точек будет непрерывно меняться.

118

2.10.3. Нагрев двух узких пластинПри нагреве двух узких пластин, каждая из которых имеет

ширину L, отражение теплоты приближенно можно учесть, вводя двадополнительных фиктивных источника q’=q"=q, каждый из которыхрасположен на расстоянии 2L от действительного (Рис. 2.24).Температура точки А должна определяться как сумма температур оттрех источников, действующих в бесконечной пластине.

Рис. 2.24. Схема задания фиктивных источников тепла для расчета температурпри сварке узких пластин

Для весьма узких пластин необходимо вводить многократноеотражение теплоты от границы аналогично тому, как это сделано вслучае нагрева точечным источником теплоты, движущимся поповерхности пластины.

Рис. 2.22. Схема заданияадиабатической границы с помощью

введения фиктивного источника тепла

Рис. 2.23. Схема задания изотермическойграницы с помощью введения

фиктивного стока тепла

119

2.10.4. Нагрев от края телаВесьма распространенный случай – нагрев пластины, когда

источник теплоты начинает свое движение от ее края. Помимо того,что здесь происходит процесс теплонасыщения, наблюдается такжеотражение теплоты от границы I-I. Учет отражения, если этонеобходимо, может быть выполнен путем введения фиктивногоисточника теплоты, который начинает движение одновременно сдействительным источником теплоты из точки О, перемещаясь впротивоположном направлении.

Оба источника теплоты действуют в бесконечной пластине.Приращение температуры в точке А определится как суммаприращений температур от действительного и фиктивногоисточников теплоты.

2.10.5. Нагрев тонкостенного цилиндраНагрев при однопроходной дуговой сварке продольных и

кольцевых швов тонкостенных цилиндрических оболочек, несмотряна их кривизну, может быть приравнен к случаю нагрева пластинылинейным источником теплоты. Это объясняется тем, что цилиндрпредставляет собой развертывающуюся поверхность.

При больших размерах цилиндра (диаметр и длина) процессраспространения теплоты аналогичен процессу в бесконечнойпластине.

При малых диаметрах распространение тепловых потоков вмеридиональном направлении стеснено. Поэтому распространениетепла от мгновенного линейного источника в цилиндре малогодиаметра аналогично процессу распространения тепла от такого жеисточника в узкой пластине имеющей ширину, равную периметруцилиндра.

К примеру, если в круговом цилиндре диаметром D свариваетсяпродольный шов (расположенный вдоль образующей), то согласно п.2.10.3 температурное поле можно вычислить как сумму приращенийтемпературы от действительного источника тепла и двух фиктивных,каждый из которых имеет ту же мощность, что и действительный, идвижется с той же скоростью на расстоянии πD от действительногоисточника тепла:

),(''),('),(0 yDxTyDxTyxTTT +D+-D+D+= pp

120

При наложении кольцевых или спиральных швов необходимоучитывать еще и то, что в этом случае происходит наложениетепловых потоков от различных участков выполняемого шва.

Так, на замыкающем участке кольцевого шва металл, накоторый накладывается валик уже прогрет, учесть это можно введяфиктивный источник тепла, который начал действоватьодновременно с действительным источником, движется с той жескоростью на расстоянии, равном периметру цилиндра понаправлению сварки.

2.10.6.Точечный источник на поверхности пластины Расчетную схему, в которой точечный источник тепла нагревает

пластину, называют плоским слоем.Для того, чтобы найти распределение температур в плоском

слое предположим сначала, что точечный источник теплотыперемещается по поверхности полубесконечного тела. Для учетаотражения теплоты источника О от границы I-I введем фиктивныйточечный источник теплоты О1 на поверхности полубесконечноготела, на расстоянии 2δ от границы I-I, как показано на Рис. 2.25. Всвою очередь, теплота фиктивного источника О1 будет отражаться отплоскости II, что должно быть учтено расчетной схемой.

Рис. 2.25. Схема задания фиктивных источников тепла для расчета температурпри сварке узких пластин

С этой целью введем фиктивный источник О2 на расстоянии 2δот плоскости II. Однако теплота источника О2 будет отражаться отграницы I, что требует введения фиктивного источника О3. Этотпроцесс может быть продолжен до бесконечности. Суммирование

121

приращения температурных полей от всех точечных источниковмощностью q, перемещающихся со скоростью v в предельномсостоянии дает уравнение

å+¥=

-¥=

-D+=n

nnzyxTTT )2,,(0 d (2.50)

где п – целые числа от – ∞ до + ∞.Характер температурного поля в плоском слое (Рис. 2.26) в

общем случае позволяет выделить три зоны. В зоне I, прилегающей кисточнику теплоты, распределение температуры мало отличается отраспределения в полубесконечном теле. В зоне III, находящейся отисточника теплоты обычно на расстоянии, равном несколькимтолщинам пластины, температура по толщине пластины выровнена итемпературное поле приближается к полю линейного источникатеплоты в пластине. Зона II – переходная. Соотношение междуразмерами трех зон может изменяться в зависимости от режимасварки и свойств материала.

Рис. 2.26. Изотермы в поперечной плоскости yOz плоского слоя

Из Рис. 2.27 и Рис. 2.28 видно, что в отличие от расчетной схемылинейного источника в пластине распределение температуры потолщине неравномерно.

Рис. 2.27. Изотермы в продольной плоскости xOz плоского слоя

122

Рис. 2.28. Изотермы на верхней и нижней поверхностях плоского слоя

Лицевая сторона прогрета существенно сильнее, чем обратная,что значительно ближе к истинному распределению температур присварке. Однако использование приближения плоского слоя непозволяет учесть потерю тепла с поверхностей пластины, и поэтомудля тонких пластин, у которых конвективная теплоотдача играетсущественную роль в балансе тепла, предпочтительным являетсяиспользование приближения линейного источника тепла вбесконечной пластине.

2.10.7. Выбор расчетной схемы для математическогомоделирования процессов распространениятеплоты

К рассмотренным ранее схемам: нагреву полубесконечного телаточечным источником и нагреву бесконечной пластины линейнымисточником добавилась промежуточная схема – нагрев пластиныточечным источником тепла.

Выясним, по каким критериям при расчете необходимо выбратьодну из трех расчетных схем.

123

Если пластина тонкая, то предполагают, что источник выделяеттеплоту равномерно по толщине листа и расчет проводят, как длялинейного источника теплоты в пластине.

В толстых плитах отражением теплоты от нижней границыпренебрегают, и расчет ведут по схеме точечного источника теплотына поверхности полубесконечного тела.

Наконец, если пластина не удовлетворяет первым двум схемам,то выбирают схему плоского слоя с точечным источником теплоты наповерхности, принимая, что обе поверхности не пропускают теплоту.

При расчете температур в процессе сварки нельзя однозначноотнести пластину к тонкой или толстой. Если тепловыделение отисточника теплоты происходит почти по всей толщине пластины, тоона может быть отнесена к тонким, если даже ее толщина измеряетсямногими миллиметрами. Напротив, пластина толщиной 1 мм должнабыть отнесена к толстым, если на ее поверхности действует весьмаконцентрированный маломощный источник теплоты, не вызывающийглубокого проплавления, например остросфокусированный лазерныйлуч.

Еще одна рассмотренная нами расчетная схема – нагревбесконечного стержня плоским источником может быть использованапри рассмотрении процессов нагрева и плавления электродов придуговой сварке, нагрева стержней при контактной стыковой сварке.

При сварке деталей с иной геометрической формой во многихслучаях можно воспользоваться вышеперечисленными расчетнымисхемами, незначительно изменив их.

Так, в случае наплавки на кромку пластины распределениетемпературы будет аналогично температурному полю в бесконечнойпластине нагреваемой вдвое более мощным источником тепла.

При сварке тавровых и нахлесточных соединений количествотеплоты, передаваемое различным конструктивным элементам можетбыть неодинаково. При одинаковой толщине соединяемых элементов1/3 тепла источника передается в стенку и 2/3 в полку, т.е. тавровоеили нахлесточное соединение рассматривается как триполубесконечные пластины, в каждую из которых вводится равноеколичество тепла. В том случае, если элементы таврового соединенияимеют разную толщину, то эффективная тепловая мощность,вводимая в элементы определяется так:

124

для полки СТП

ППqdd

d+

=2

2

для стенки СТП

СТСТqdd

d+

=2

2.11. Контрольные вопросы

1. За счет каких механизмов может передаваться тепло в твердыхтелах?

2. Что такое граничные условия к дифференциальному уравнениютеплопроводности, каких они бывают типов?

3. Что такое эффективный КПД источника нагрева?4. По каким критериям выбирается расчетная схема при расчете

температур в телах нагреваемых движущимися источниками?5. Что такое термический цикл? Назовите наиболее важные

характеристики термического цикла.6. Как определяется скорость охлаждения?7. Как влияет увеличение температуры подогрева на скорость

охлаждения?8. Как влияет увеличение скорости перемещения источника

нагрева на распределение температуры в пластине?9. Что такое квазистационарное температурное поле?10.Как рассчитать температурное поле в пластине на стадии

выравнивания температур?11.Что такое адиабатическая граница?12.Каким образом вводится изотермическая граница при

аналитическом исследовании температурных полей всвариваемых и наплавляемых деталях?

13.Какое влияние оказывает наличие границы на распределениетемпературы в пластине при нагреве ее линейным источникомтеплоты?

14.Что такое принцип суперпозиции температурных полей?

125

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Все формулы для расчета распределения температуры всвариваемых и наплавляемых деталях, рассмотренные нами ранее,являются аналитическими решениями уравнения теплопроводности,полученными для тел простой формы при введении ряда допущений(см. п. 2.2).

Реальная форма деталей, зависимости теплофизических свойствот температуры, конфигурация источников тепла могут быть учтенылишь при численном решении дифференциального уравнениятеплопроводности.

Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных,(а иногда и точных) решений функции на некоторой выбраннойсетке.

Вообще, дифференциальные уравнения делятся наобыкновенные (ОДУ), в которых неизвестные функции являютсяфункцией одной переменной, и дифференциальные уравнения вчастных производных (ДУЧП), где искомая функция являетсяфункцией нескольких переменных. Нами будут рассмотрены методычисленного решения обоих классов дифференциальных уравнений.

3.1. Численное решение дифференциальных уравненийпервого порядка методом Эйлера

Суть метода Эйлера состоит в том, что искомая интегральнаякривая, являющаяся графиком частного решения, приближеннозаменяется ломаной.

Пусть даны дифференциальное уравнение y'=f(х,y) и начальныеусловия 00

yy xx == . Найдем приближенно решение уравнения наотрезке [х0, b], удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобьем отрезок [х0, b] точками x0<х1<х2<…< хn=b на п равныхчастей. Пусть х1– х0=х2–x1, = ... =xn–xn-1=h.

Обозначим через yi, приближенные значения искомого решенияв точках xi, (i=l, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения прямые,параллельные оси Оу (Рис. 3.1) , и последовательно проделаемследующие однотипные операции.

126

Рис. 3.1. Схема поиска решения методом Эйлера

Подставим значения х0 и у0 в правую часть уравнения y'=f(x,у) ивычислим тангенс угла наклона у'=f(x0,у0) касательной кинтегральной кривой в точке (х0,у0). Для нахождения приближенногозначения yi искомого решения заменяем на отрезке [х0,x1]интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0; x1). Приэтом получаем y1 – y0=f(x0,y0)(x1-x0), откуда, так как х0, х1, y0 известны,находим

у1=у0+f(x0,у0) h.Аналогично находим

у2=у1+f(x1,у1) h … уn=уn-1+f(xn-1,уn-1) h.Таким образом, приближенно построена искомая интегральная

кривая в виде ломаной, и получены приближенные значения yi,искомого решения в точках xi,. При этом значения уi вычисляются поформуле

уi=уi-1+f(xi-1,уi-1) h . (3.1)Формула (3.1) и является основной расчетной формулой метода

Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность h.Степень точности метода Эйлера, невелика. Существуют

гораздо более точные методы приближенного решениядифференциальных уравнений.

3.2. Метод Рунге – Кутта

Этот метод позволяет строить схемы различного порядкаточности. Схемы Рунге – Кутта очень удобны как для расчетов на

127

ЭВМ. Сейчас они являются наиболее употребительными впрактических вычислениях.

В качестве исходного выражения возьмем ряд Тейлораf(x+h)=f(x)+f'(х)h+f''(х)h2/2!+…+f'(n)(х)hn/n!+Rn+1(x) (3.2)где Rn+1(x) – остаточный член в форме Лагранжа.Если отбросить в ряду (3.2) все слагаемы содержащие

производные с порядком выше n, то получим формулу дляприближенного вычисления значения функции в точке с координатой(x+h):

f(x+h)=f(x)+f'(х)h+f''(х)h2/2!+…+f'(n)(х)hn/n!Методом Рунге–Кутта можно строить схемы различного

порядка точности. Порядок точности определяется наибольшимпорядком производной оставленной в ряду Тейлора. Например, схемаломаных есть схема Рунге–Кутта первого порядка точности.Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности,образующие семейство четырехчленных схем. Приведем ту из них,которая записана в большинстве стандартных программ ЭВМ:

( )

),,(

),2

,2

(

),2

,2

(

),,(

,226

34

23

12

1

43211

hkyhxfk

khyhxfk

khyhxfk

yxfk

kkkkhyy

nn

nn

nn

nn

nn

++=

++=

++=

=

++++=+

Схемы Рунге–Кутта имеют ряд важных достоинств.1) Все они (кроме схемы ломаных) имеют хорошую точность.2) Они являются явными, т. е. значение уп+1 вычисляется по

ранее найденным значениям за определенное число действий поопределенным формулам.

3) Все схемы допускают расчет переменным шагом; значит,нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, иувеличить его в обратном случае.

4) Для начала расчета достаточно выбрать сетку хп и задатьзначение у0; далее вычисления идут по одним и тем же формулам.Все эти свойства схем очень ценны при расчетах на ЭВМ.

128

3.3. Средства MathCAD для решения задачи Коши

Для численного решения ОДУ и систем ОДУ в MathCADсуществует несколько встроенных процедур.

Вычислительный блок Given/Odesolve (реализован в MathCAD2000 и более поздних версиях). Вычислительный блок для решенияОДУ, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трехчастей:

Given – ключевое слово;ОДУ и начальные условия, записанные с помощью логических

операторов;Odesoive(t,tl) – встроенная функция для решения ОДУ

относительно переменной t на интервале (t0,t1). Допустимо, заданиефункции Odesolve(t,tl,step) с тремя параметрами, где step –внутренний параметр численного метода, определяющий количествошагов, в которых метод Рунге-Кутты, будет рассчитывать решениедифференциального уравнения.

Вставлять логические операторы внутри блока следует припомощи панели инструментов Boolean. При вводе с клавиатурылогическому знаку равенства соответствует сочетание клавиш<Ctrl>+<=>. Символ производной можно ввести как средствамипанели Calculus, так и в виде штриха, набрав его с помощьюсочетания клавиш <Ctrl>+<F7>.

MathCAD требует, чтобы конечная точка интегрирования ОДУлежала правее начальной: t0<t1, иначе будет выдано сообщение обошибке. Результатом применения блока Given/Odesoive являетсяфункция y(t), определенная на промежутке (t0,t1). Имеетсявозможность выбирать между двумя модификациями численногометода Рунге-Кутты. Для смены метода необходимо нажатием правойкнопки мыши на области функции Odesoive вызвать контекстноеменю и выбрать в нем один из двух пунктов: Fixed (Фиксированныйшаг) или Adaptive (Адаптивный). По умолчанию применяется первыйиз них.

3.4. Метод конечных разностей

Данный метод, как и рассмотренный ниже метод конечныхэлементов, наиболее широко применяется для численного решениядифференциальных уравнений в частных производных.

129

Если оборвать ряд Тейлора (3.2) на втором члене, то получимf(x+h)» f(x)+f'(x)h.

Откудаf'(x)»(f(x+h)-f(x))/h.

Выражение, стоящее в правой части, называется правойразностной производной. Она аппроксимирует первую производнуюf' (х) в точке х.

В разложении Тейлора функции f(x) можно заменить h на -h иполучить левую разностную производную

f'(x)»(f(x)-f(x-h))/h.Вычитая f(х-h)»f(х)-f'(х)·h из f(x+h)»f(x)+f'(x)·h, и получаем

центральную разностную производнуюf'(x)»[f(x+h)-f(x-h)]/2h.

Если в ряде Тейлора оставить на одно слагаемое больше, тосовершенно аналогично можно получить центральную разностнуюпроизводную для аппроксимации f''(x)

f''(x)»[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h2.Теперь можно распространить понятие конечно-разностной

аппроксимации на частные производные. Если исходить изразложения Тейлора функции двух переменных можно получитьследующие аппроксимации частных производных

f'x(x,y)»[f(x+h,y)-f(x-h,y)]/2h,f''xx(x,y)»[f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)]/h2,

f'y(x,y)»[f(x,y+k)-f(x,y-k)]/2k,f''yy(x,y)»[f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)]/k2.

Частные производные можно аппроксимировать правыми,центральными и левыми разностными производными. Мы будемпользоваться центральными аппроксимациями.

Чтобы познакомиться с основными правилами использованияконечно-разностных аппроксимаций, рассмотрим задачураспространения тепла в пластине при достаточно продолжительномдействии источника тепла.

Решение задачи распространения тепла в пластине методомконечных разностей. Применение МКР для решения ДУЧПрассмотрим на примере решения задачи распространения тепла впрямоугольной пластине. Процесс распространения тепла в этомслучае описывается уравнением (2.12). Если источник тепладействует достаточно длительное время температурное поле

130

выравнивается и наступает стационарное состояние, производнаядТ/дt в этом случае равна нулю. Если пренебречь теплоотдачей сбоковых поверхностей пластины приняв коэффициент теплоотдачиравным нулю уравнение (2.12) примет вид

,02

2

2

2=

¶¶

+¶¶

yT

xT

Данное уравнение называется уравнением Лапласа. Дляпростоты записи обозначим д2Т/дx2 через uxx, а дТ2/дy2 через uyy. Тогдауравнение Лапласа может быть переписано в виде

uxx+uyy=0Для однозначного решения уравнение Лапласа должно быть

дополнено граничными условиями. Зададим на всех краях пластиныграничные условия I рода.

Построим в плоскости (х,y) сетку. Удобно использоватьследующие обозначения:

.),(,),(,),(

,),(,),(

,1

1,

,1

1,

,

ji

ji

ji

ji

ji

uyhxuukyxuuyhxuukyxu

uyxu

-

-

+

+

=-

=-

=+

=+

=

Основная идея решения МКР основана на замене частныхпроизводных в уравнении Лапласа их конечно-разностнымиаппроксимациями. Проделав это и воспользовавшись компактнымиобозначениями, получаем следующее разностное уравнение

( ) ( ) .021211,,1,2,1,,12 =+-++-=D -+-+ jijijijijiji uuu

kuuu

hu

В случае, когда h=k, уравнение Лапласа приводится к виду( ) .04 ,,1,11,1, =-+++ -+-+ jijijijiji uuuuu

или

( ).41

,1,11,1,, jijijijiji uuuuu -+-+ +++=

Согласно последнему соотношению, решение ui,jаппроксимируется средним значением решения по четырем соседнимточкам. Следовательно, мы можем разработать некоторыйчисленный метод решения этой задачи. Наиболее простой алгоритмрешения выглядит следующим образом:

131

ШАГ 1. Присвоим величинам ui,j во внутренних узлах численноезначение, равное среднему всех значений граничных условий.

ШАГ 2. Будем пересчитывать значения во всех внутреннихточках сетки путем замены старого значения средним по четыремсоседним точкам. Не очень важно, как будет организован процесссчета, но обычно его проводят по строчкам (либо по столбцам).После нескольких итераций процесс сойдется к приближенномурешению задачи.

3.5. Метод конечных элементов

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, чтолюбую непрерывную величину, такую, как температура, давление иперемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью,которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций,определенных на конечном числе подобластей.

Кусочно-непрерывные функции определяются с помощьюзначений непрерывной величины в конечном числе точекрассматриваемой области.

В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна, инужно определить значения этой величины в некоторых внутреннихточках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить,если сначала предположить, что числовые значения этой величины вкаждой внутренней точке области известны. После этого можноперейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной моделинепрерывной величины поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное числоточек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.

2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точкесчитается переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается наконечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементыимеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируютформу области.

4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждомэлементе полиномом, который определяется с помощью узловыхзначений этой величины. Для каждого элемента определяется свойполином, но полиномы подбираются таким образом, чтобысохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

132

Основная концепция метода конечных элементов может бытьнаглядно проиллюстрирована на одномерном примере заданногораспределения температуры в стержне, показанном на Рис. 3.2.

Рис. 3.2. Распределение температурыв одномерном стержне

Рис. 3.3. Узловые точки ипредполагаемые значения Т(х)

Рассматривается непрерывная величина Т(х), областьопределения– отрезок OL вдоль оси х. Фиксированы ипронумерованы пять точек на оси х (Рис. 3.3). Это узловые точки;совсем не обязательно располагать их на равном расстоянии друг отдруга. Значения Т(х) в данном случае известны в каждой узловойточке. Эти фиксированные значения представлены графически наРис. 3.3 и обозначены в соответствии с номерами узловых точек черезТ1, Т2,..., Т5.

Разбиение области на элементы может быть проведено двумяразличными способами. Можно, например, ограничить каждыйэлемент двумя соседними узловыми точками, образовав четыреэлемента (Рис. 3.4,а), или разбить область на два элемента, каждый изкоторых содержит три узла (Рис. 3.4,б). Соответствующий элементуполином определяется по значениям Т(х) в узловых точках элемента.В случае разбиения области на четыре элемента, когда на каждыйэлемент приходится по два узла, функция элемента будет линейна пох (две точки однозначно определяют прямую линию). Окончательнаяаппроксимация Т(х) будет состоять из четырех кусочно-линейныхфункций, каждая из которых определена на отдельном элементе (Рис.3.5,а).

Другой способ разбиения области на два элемента с тремяузловыми точками приводит к представлению функции элемента в

133

виде полинома второй степени. В этом случае окончательнойаппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочно-непрерывныхквадратичных функций. Отметим, что это приближение будет именнокусочно-непрерывным, так как углы наклона графике обеих этихфункций могут иметь разные значения в третьем узле.

Рис. 3.4. Деление области на элементы Рис. 3.5. Дискретные моделидля одномерного температурного поля

В общем случае распределение температуры неизвестно и мыхотим определить значения этой величины в некоторых точках.Методика построения дискретной модели остается точно такой же,как описано выше, но с добавлением одного дополнительного шага.Снова определяются множество узлов и значения температуры в этихузлах T1, Т2, Т3,..., которые теперь являются переменными, так как онизаранее неизвестны. Область разбивается на элементы, на каждом изкоторых определяется соответствующая функция элемента.

При построении дискретной модели непрерывной величины,определенной в двух- или трехмерной области, основная концепцияметода конечных элементов используется аналогично. В двумерномслучае элементы описываются функциями от х, у, при этом чащевсего рассматриваются элементы в форме треугольника иличетырехугольника.

134

Таким образом, распределение в исследуемой областиаппроксимируется функцией от узловых значений искомогораспределения.

Нахождение узловых значений осуществляется путемминимизации некоторой величины – функционала, который связан сфизической сущностью задачи. Вид функционала определяетсяобычно с помощью вариационного исчисления, в которомустанавливается, что если в каждой точке определенной областивыполняется дифференциальное уравнение, то для данной областисправедливо соответствующее интегральное соотношениеназываемое функционалом. Поскольку вид аппроксимирующейфункции нами задан функционалы (определенные интегралы)выражаются аналитически через узловые значения искомогораспределения, и решение ДУ сводится к решению систем линейныхалгебраических уравнений относительно узловых значений Т(х).

Пример решения дифференциального уравнениятеплопроводности для одномерного поля. Одномерноестационарное температурное поле описывается дифференциальнымуравнением:

02

2

=¶¶

xTl (3.3)

Для нахождения решения оно должно быть дополненограничными условиями. Зададим граничные условия I рода Т=ТГР наодном торце стержня и граничные условия II рода

q=α(T-TW) (3.4)на другом.Исходные данные для решения ДУ (3.3) – сечение и длина

стержня S и L соответственно, коэффициент теплопроводностиматериала стержня λ, коэффициента теплоотдачи и температурыохлаждающей среды α и TW, а так же температуры T0.

В вариационном исчислении устанавливается, что дляминимизации функционала:

òò -+÷øö

çèæ=

SW

V

dSTTdVdxdT 2

2

)(22alc (3.5)

необходимо, чтобы в области V удовлетворялосьдифференциальное уравнение (3.3) с граничными условиями (3.4) наповерхности S.

135

Разобьем исследуемую область – участок длиной L на nотрезков – узлами с координатами x0=0, x1,x2…xn-1,xn=L. Обозначимтемпературу в узловых точках T0, T1, T2…Tn-1,Tn. Аппроксимируяраспределение температуры по длине стержня ломаной котораяпринимает в узлах значения T0, T1, T2…Tn-1,Tn получим дляраспределения температуры внутри i-го узла

)()(1

1i

ii

iiii xx

xxTTTxT -

--

+=+

+ (3.6)

Поскольку область V равна сумме V0, V1, V2…Vn-1,Vn:

òò

òò

-+÷øö

çèæ+

+÷øö

çèæ++÷

øö

çèæ=

SWn

V

n

V

i

V

dSTTdVdx

xdT

dVdx

xdTdVdx

xdT

n

i

22

220

)(2

)(2

...)(2

...)(2

0

al

llc

(3.7)

с учетом того, что:

ii

ii

V

x

x ii

ii

xxTTSSdx

xxTTdV

dxdT

i

i

i--

=÷÷ø

öççè

æ--

=÷øö

çèæ

+

+

+

+ò ò+

1

21

2

1

12 )(

222

1 lll

и22 )(

2)(

2 WnS

Wn TTSdSTT -=-òaa

выражение (3.7) принимает вид:2

1

21

1

21

01

201 )(

2)(

2...)(

2...)(

2 Wnnn

nn

ii

ii TTSxx

TTSxx

TTSxx

TTS -+--

++--

++--

=-

-

+

+ alllc

Наилучшими приближениями значений температуры Ti будутте, при которых величина χ минимальна.

Экстремум функции многих переменных χ(T0, T1, T2…Tn-1,Tn)достигается при условии

ïïïïï

î

ïïïïï

í

ì

=-+--

=¶¶

=--

+--

=¶¶

=--

=¶¶

--

++

--

0)()(

...

0)()(

...

0)(

11

11

11

10010

Wnnnnnn

iiii

iiiii

TTSTTxx

ST

TTxx

STTxxS

T

TTxx

ST

alc

llc

lc

(3.8)

136

Выражение (3.8) представляет собой систему из n линейныхалгебраических уравнений с n+1 неизвестными. Для замыканиясистемы уравнений используется граничное условие Т0=ТГР. Такимобразом, решение дифференциального уравнения теплопроводности(3.3) в данном случае сводится к решению системы линейныхуравнений. Этот подход может быть применен и к решениюуравнения теплопроводности для случаев двумерного и трехмерногополей.

Особенности метода. В настоящее время область примененияметода конечных элементов очень обширна и охватывает всефизические задачи, которые могут быть описаныдифференциальными уравнениями. Наиболее важнымипреимуществами метода конечных элементов, благодаря которым оншироко используется, являются следующие:

1. Свойства материалов смежных элементов не должны бытьобязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам,составленным из нескольких материалов.

2. Криволинейная область может быть аппроксимирована спомощью прямолинейных элементов или описана точно с помощьюкриволинейных элементов. Таким образом, методом можнопользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.

3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяетукрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, еслив этом есть необходимость.

4. С помощью метода конечных элементов не представляеттруда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностнойнагрузкой, а также смешанных граничных условий.

5. Указанные выше преимущества метода конечных элементовмогут быть использованы при составлении достаточно общейпрограммы для решения широкого класса задач.

В настоящее время использование численных методов винженерных расчетах постоянно увеличивается. Если несколькодесятилетий назад численное решение дифференциального уравнениябыло сложной, трудоемкой задачей то сейчас, в связи с бурнымразвитием вычислительной техники, численное решениедифференциальных уравнений, нахождение интегралов и т.д.осуществляется достаточно легко.

137

Процедурами решения ОДУ оснащены практически всесовременные математические пакеты. Некоторые из них содержатсредства реализующие конечно-элементные алгоритмы для решенияДУ в частных производных.

Кроме того, существует целый ряд пакетов (ANSYS, NASTRAN идр.) ориентированных именно на решение ДУ в частных производныхметодом конечных элементов. Это достаточно мощные средствасодержащие графические инструменты для задания геометрическойформы моделируемых объектов и создания сеток, справочногоаппарата содержащего сведения о физических характеристиках среди материалов, и конечно процедуры решения ДУ позволяющиерешать плоские и пространственные задачи гидродинамики,рассчитывать температурные, электрические, магнитные поля, полянапряжений и деформаций.

3.6. Контрольные вопросы

1. К какому классу дифференциальных уравнений относитсядифференциальное уравнение, описывающее стационарнуютеплопроводность в стержне?

2. Какие методы численного решения обыкновенныхдифференциальных уравнений вы знаете?

3. Поясните сущность численного решения дифференциальногоуравнения методом Эйлера.

4. Оказывает ли влияние на полученный результат выборвеличины шага, при численном решении дифференциальныхуравнений?

5. Поясните сущность численного решения дифференциальногоуравнения методом конечных разностей.

6. Укажите преимущества метода конечных элементов.7. Опишите последовательность действий при решении

дифференциального уравнения методом конечных элементов.

138

ПРИЛОЖЕНИЯ

Прил. 1 Пример расчета поля температур при сваркекругового шва

Вспомогательная функция пользователя r=f(x,y).r x y,( ) x2 y2+:=

R 40 mm×:= Радиус окружности

tH2 p× R×

v:=

tH 25.133 s=Время нагреваЗадание траектории движения в параметрической форме

X t( ) R sinv t×R

æçè

ö÷ø

×:= Y t( ) R cosv t×R

æçè

ö÷ø

×:=

Задание мощности источника тепла как функции времениq t( ) if t tH< h I× U×, 0,( ):=

Расчетная формула для вычисления температуры

T x y, tH,( ) T00

tH

tq t( )

cr d× 4× p× a× tH t-( )×exp

X t( ) x-( )2 Y t( ) y-( )2+4 a× tH t-( )×

-éêë

ùúû

×óôôõ

d+:=

0 20 40200

400

600

800

T x0 y0, t,( )

t

Зависимость температуры от времени

139

Прил. 2 Пример расчета максимальной температурыцикла точек, расположенных на заданном расстоянии отоси шва, с помощью пакета MathCAD.

y0 20 mm×:=

Поиск экстремума по графику производной

Производная от температуры по координате х

der x( )x

T x y0,( )ddæçè

ö÷ø

mmK

×:=

80 75 70 65 60

2

1

1

der x mm×( )

x

Поиск экстремума функции одной переменной с помощьювстроенной функции "maximize"Переход к функции одной переменной

T1 x( ) T x y0,( ):=

Задание начального приближения X 70- mm×:=

Запись функции "maximize"X Maximize T1 X,( ):= X 72.026- mm=

Максимальное значение температуры

Tmax T X y0,( ):= Tmax 1.235 103´ K=

140

Прил. 3 Определение длительности пребывания металлана оси шва при температуре, выше заданной.

Tf 900 K×:= y0 0 mm×:=

600 500 400 300 200 100 00

2000

4000

Tf

TmeltT x mm× y0,( )

x

решение уравнения Т(х,0,0)=Т0 относительно x, в диапазоне[3,10] (для ветви нагрева)x0 root T x0 y0,( ) Tf- x0, 3 mm×, 10 mm×,( ):= x0 6.037 mm=

решение уравнения Т(х,0,0)=Т0 относительно x, в диапазоне[-600,-455] (для ветви охлаждения)

x1 root T x1 y0,( ) Tf- x1, 600- mm×, 455- mm×,( ):= x1 474.787- mm=

общая длина участка L x0 x1-:= L 480.825 mm=

длительность пребывания металла при температуре выше Tf

tLv

:= t 2.885 min=

141

Прил. 4 Вычисление ширины изотермы

xTfT xTf sol1,( )d

d2.485-

Km

=T sol0 sol1,( ) Tf- 39.714 K=

проверка точности численного решения

ширина изотермыyTf 2× 59.044 mm=yTf sol1:=xTf sol0:=

sol153.854-

29.522æçè

ö÷ø

mm=sol MinErr xTf yTf,( ):=вектор срешениямисистемы

второе уравнение системыT xTf yTf,( ) Tf

первое уравнение системыxTf

T xTf yTf,( )dd

0

Given

процедура решения системы уравнений Given - Find

начальные приближенияxTf 150- mm×:=yTf 30 mm×:=

142

Прил. 5 Вычисление скорости охлаждения при заданнойтемпературе на оси шва

x t( ) v- t×:= функциональная зависимость координатыот температуры

0 50 100 150 200 250 300

500

1000

1500

2000

Tf

Tmelt

T x t s×( ) 0 mm×,( )

t

Термический цикл точек лежащих на оси шва

Нахождение момента времени, когда металл на оси шваостынет до температуры Tf

t0 150 s×:= начальное приближение

решение уравнения Т(х(t),у)=Т0 относительно t

t0 root T x t0( ) 0 mm×,( ) Tf- t0,( ):= t0 170.923 s=

величина мгновенной скорости охлаждения

t0T x t0( ) 0 mm×,( )d

d1.75-

Ks

=