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Submitted on 1 Jan 1994

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Calcul de propagation des vibrations dans un rail libreL. Gavric

To cite this version:L. Gavric. Calcul de propagation des vibrations dans un rail libre. Journal de Physique IV Colloque,1994, 04 (C5), pp.C5-73-C5-76. .

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JOURNAL DE PHYSIQUE IV Colloque C5, supplment au Journal de Physique III, Volume 4, mai 1994 C5-73

Calcul de propagation des vibrations dans un rail libre

L. GAVRIC

CETIM, Dpartement Acoustique Industrielle, 52 Avenue Flix Lout, BE 67, 60304 Senlis, France

RESUME: A waveguide finite element theory is applied to the propagation pheneomena in rails. In the first part of the paper the waveguide finite element computation technique is briefly presented. The propagative wavenumbers and corresponding modes of a rail are computed as function of the exctation frequency. The results of finite element computation are compared with those obtained by the simple Euler-Bernoulli beam theory for the flexion. The sound radiation and the distribution of the energy transmitted through the cross-section by the computed propagative modes are analysed. The present analysis gives the valuable informations on the participation of different propagative modes to vibro-acustical response of rails.

1. INTRODUCTION

Les premiers calculs de propagation des vibrations dans les rails ont t faits en utilisant la thorie des poutres. Le rail est modlis comme une poutre infinie selon la thorie d'Euler-Bernoulli ou selon la thorie de Timoshenko. Cette denire prend en compte les effets de cissaille-ment et d'inertie de rotation qui ne figurent pas dans la thorie simplifie d'Euler-Bernoulli. Les modles bass sur la thorie des poutres entranent une imprcision qui est due principale-ment au fait que: couplage des vibrations de "torsion" et de "flexion horizontale" n'est pas pris en compte. En ef-fet, la section droite d'un rail a un axe de symtrie vertical, qui dcouple les "vibrations verticales" des autres types de vibrations. Au contraire, lors des vibrations de type "flexion horizontale" le rail subit simultanment des dplacements caractristiques pour la "torsion" et vice-versa. le deuxime effet qui limite fortement l'utilisation des modles simples pour le calcul du com-portement dynamique des rails est la dformation de la section droite qui est particulirement marque pour une excitation dans le domaine moyennes et hautes frquences. pour des frquences d'excitation leves la prsence d'autres types d'ondes que ceux dfinis par la thorie des poutres est observe

Pour amliorer les techniques existantes une nouvelle approche du calcul previsionel du comportement dynamique du rail a t dveloppe. Le calcul permet une caractrisation vibro-acoustique pour une gamme de frquences comprises entre 0 - 6000 [Hz]. L'ide directrice de ce nouveau concept est de considrer le rail comme un guide d'ondes dont le comportement dy-namique est dcrit par un ensemble d'ondes lastiques propres qui sont l'origine du champ acoustique cr autour du rail. Le calcul numrique des courbes de dispersion est bas sur la mthode des lments finis spcialement dveloppe pour l'analyse de guides d'ondes.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jp4:1994508

http://www.edpsciences.orghttp://dx.doi.org/10.1051/jp4:1994508

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2. PROPAGATION DES VIBRATIONS DANS DES GUIDES D'ONDES

La propagation libre dans un guide d'ondes avec la section droite dans le plan x - y et avec la direction de propagation parallle avec l'axe z est dcrite par le champ de dplacements suivant:

lT Ui(x, y, z, t) = Ui(y, z)e-inzejwtejei 8,=d,=O ; O,=z (1)

o les quantits complexes sont dsignes par (.:.), j = J-l reprsente l'unit imaginaire et l'indice les coordones i = x, y, z. Un tel champ de dplacements implique qu'un point du guide d'ondes, dfini par les coordonnes x, y et z, subit le mouvement harmonique avec la pulsation W . Les ondes se propagent dans la direction z avec le nombre d'onde 2, tandis que la fonction spatialle Ui(x, y) dcrit le mouvement de la section droite pendant le passage des ondes, 111. Dans ce cas les dformations et les contraintes deviennent:

Ces deux tenseurs sont relis entre eux par Ia loi du comportement = EijklEkl, OU Eijkl est le tenseur d'lasticit, [2]. En utilisant les quantits dfinies prcdemment, le principe des travaux virtuels pour la propagation libre dans le guide d'ondes devient fonction des deux variables spa- tiales x et y et du nombre d'onde i:

o p(x, y) est la masse volumique. Les quantits virtuelles sont notes par S tandis que (...)* dsigne le conjugu complexe. Il convient de remarquer que l'intgration est effectue dans le domaine spatial deux dimensions qui dfinissent la section droite R = R(x, y), 131. Le pre- mier terme de ltEq.(3), qui dpend du nombre d'onde k, reprsente l'nergie potentielle (nergie de dformation lastique), tandis que le deuxime terme correspond l'nergie cintique. Les quations des lments finis sont obtenues par la discrtisation du domaine 52 et en approximant le champ de dplacement dans chaque lment fini par ses fonctions de forme. Pour un vecteur ar- bitraire de dplacements virtuels, la procdure aboutit au systme linaire d'quations agbriques:

o [K2], [ K I ] et [ho] sont les matrices de raideur, [Ml est la matrice de masse et {fi) est le vecteur de dplacements. Le problme numrique consiste trouver les scalaires kl , k,, ...Fi,, ... et les vecteurs {Ol}, {u2}, ...{ on}, . .. qui satisfassent l'quation prcdente pour une pulsation donne W . Si le paramtre scalaire calcul K, est rl le vecteur correspondant {Un) l'est aussi. Dans ce cas, les quantits obtenues reprsentent le nombre d'onde propagatif K, et le mode propagatif de la section droite {Un). Les solutions complexes pour les nombres d'ondes et les modes correspon- dent aux ondes vanescentes, qui gnralement ne propagent pas d'nergie. La distribution de l'nergie mcanique transporte par une onde propagative peut tre value en utilisant l'intensit vibratoire active dans la direction de propagation. Pour le champ de dplacement dfini par Eq.(l), cette intensit prend la forme suivante, [41:

o ozz1 T ~ , , T ~ , et u,, u,, u, reprsentent les amplitudes relles des contraintes et des dplacements de l'onde propagative considere. Ces grandeurs sont values aux centres des lments en util- isant les fonctions de formes, leurs drives et la loi de comportement.

3. THEORIE DES GUIDES D'ONDES APLIQUEE A UN RAIL

3.1 Courbes de dispersion dans la structure d'un rail

Le calcul des nombres d'ondes et les modes de la section droite du rail UIC 861-3 est effectu pour la gamme frquentielle 0-6000 [Hz] en utilisant la mthode dcrite prcdemment. Sur les courbes de dispersion de deux ondes, deux modes correspondant sont prsents en fonction de la frquence d'excitation, Fig.(l).

FLEXION VERTICALE FLEXION HORIZONTALE

Frequence [Wz] Frequence [Hz]

Fig. 1. Courbes de dispersion de deux ondes propagatives e t modes de la section droite

Sur ces courbes, les rsultats du calcul numrique (trait continu) sont superposs avec les rsultats obtenus en utilisant la thorie des poutres Euler-Bernoulli (pointill). La comparaison des courbes de dispersion montre que la thorie d'Euler-Bernoulli n'est valable que pour les frquences basses.

3.2 Propagation d'nergie dans la structure d'un rail

Pour les frquences leves d'autres types d'ondes propagent de l'nergie mcanique. Au dessus de -1300 [Hz] une onde supplmentaire devient propagative. Une dformation du type "flexion de section droite" corresponde au mode de l'onde, FigA2.c).

Fig. 2. Modes et distribution de l'nergie: a,b) flexion verticale ; c,d) flexion de section

Pour la frquence d'excitation 2800 [Hz], o les deux ondes ont les longueurs d'ondes comparables N 0.6 [ml, les nergies propages par la "flexion de section droite" et par la "flexion verticale" sont

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values par l'intgration de l'intensit sur la section droite du rail. Le calcul montre que l'onde de type "flexion de section droite" propage presque deux fois plus d'nergie que la "flexion verticale".

3.3 Rayonnement des modes propagatifs

Les vitesses vibratoires des modes servent comme donnes pour le calcul du rayonnement du rail. En suite, l'analyse des rsultats du calcul permet d'valuer l'importance relative des diffrents modes qui contribuent la cration du champ acoustique autour du rail.

Fig. 3. Rayonnement des modes propagatifs - la pression acoustique quadratique

Les champs acoustiques crs par trois types d'ondes propagatives sont prsents en Fig.(3). Les modes correspondent aux ondes de type "flexion verticale" - Fig.(3.a), "flexion horizontale" - FigA3.b) et "torsion" - Fig43.c) pour la frquence d'excitation de 4200 [Hz]. Les resultats du calcul des champs acoustiques sont obtenus en utilisant la mthode des quations intgrales (colloca- tion).

4. CONCLUSIONS

Une nouvelle approche du calcul du comportement dynamique de la structure d'un rail utilisant la mthode des lments finis a montr qu'il est ncessaire de