CadernoDoProfessor 2014 2017 Vol2 Baixa MAT Matematica EF 6S 7A

7/26/2019 CadernoDoProfessor 2014 2017 Vol2 Baixa MAT Matematica EF 6S 7A

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6aSRIE 7oANOENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

Volume 2

MATEMTICA

CADERNO DO PROFESSOR


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Nova edio

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAO

So Paulo

MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

CADERNO DO PROFESSOR

MATEMTICA

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS6aSRIE/7oANO

VOLUME 2


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Governo do Estado de So Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-GovernadorGuilherme Afif Domingos

Secretrio da Educao

Herman Voorwald

Secretria-Adjunta

Cleide Bauab Eid Bochixio

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretria de Articulao Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formao eAperfeioamento dos Professores EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gesto daEducao Bsica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gesto deRecursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informao,Monitoramento e Avaliao

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assuno

Coordenadora de Infraestrutura eServios Escolares

Dione Whitehurst Di Pietro

Coordenadora de Oramento eFinanas

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundao para oDesenvolvimento da Educao FDE

Barjas Negri


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Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo sente-se honrada em t-los como colabo-

radores nesta nova edio do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e anlises quepermitiram consolidar a articulao do currculo proposto com aquele em ao nas salas de aula

de todo o Estado de So Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com

os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analtico e crtico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currculo. Essa ao, efetivada por meio do programa Educao

Compromisso de So Paulo, de fundamental importncia para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforos ao intensicar aes de avaliao e monitoramento da utilizao

dos diferentes materiais de apoio implementao do currculo e ao empregar o Cadernonas aes

de formao de professores e gestores da rede de ensino. Alm disso, rma seu dever com a busca

por uma educao paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo usodo material do So Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enm, o Caderno do Professor,criado pelo programa So Paulo Faz Escola, apresenta orien-

taes didtico-pedaggicas e traz como base o contedo do Currculo Ocial do Estado de So

Paulo, que pode ser utilizado como complemento Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessrias,

dependendo do seu planejamento e da adequao da proposta de ensino deste material realidade

da sua escola e de seus alunos. O Cadernotem a proposio de apoi-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competncias e habilidades necessrias que comportam

a construo do saber e a apropriao dos contedos das disciplinas, alm de permitir uma avalia-

o constante, por parte dos docentes, das prticas metodolgicas em sala de aula, objetivando a

diversicao do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedaggico.

Revigoram-se assim os esforos desta Secretaria no sentido de apoi-los e mobiliz-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofcio de ensinar

e elevar nossos discentes categoria de protagonistas de sua histria.

Contamos com nosso Magistrio para a efetiva, contnua e renovada implementao do currculo.

Bom trabalho!

Herman Voorwald

Secretrio da Educao do Estado de So Paulo


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Os materiais de apoio implementaodo Currculo do Estado de So Paulo

so oferecidos a gestores, professores e alunos

da rede estadual de ensino desde 2008, quando

foram originalmente editados os Cadernos

do Professor. Desde ento, novos materiais

foram publicados, entre os quais os Cadernos

do Aluno, elaborados pela primeira vez

em 2009.

Na nova edio 2014-2017, os Cadernos do

Professor e do Aluno foram reestruturados para

atender s sugestes e demandas dos professo-

res da rede estadual de ensino paulista, de modo

a ampliar as conexes entre as orientaes ofe-

recidas aos docentes e o conjunto de atividades

propostas aos estudantes. Agora organizados

em dois volumes semestrais para cada srie/

ano do Ensino Fundamental Anos Finais e

srie do Ensino Mdio, esses materiais foram re-

vistos de modo a ampliar a autonomia docente

no planejamento do trabalho com os contedos

e habilidades propostos no Currculo Ocial

de So Paulo e contribuir ainda mais com as

aes em sala de aula, oferecendo novas orien-

taes para o desenvolvimento das Situaes de

Aprendizagem.

Para tanto, as diversas equipes curricula-

res da Coordenadoria de Gesto da Educao

Bsica (CGEB) da Secretaria da Educao do

Estado de So Paulo reorganizaram os Cader-

nos do Professor, tendo em vista as seguintes

nalidades:

incorporar todas as atividades presentesnos Cadernos do Aluno, considerando

tambm os textos e imagens, sempre que

possvel na mesma ordem;

orientar possibilidades de extrapolao

dos contedos oferecidos nos Cadernos do

Aluno, inclusive com sugesto de novas ati-

vidades;

apresentar as respostas ou expectativas

de aprendizagem para cada atividade pre-sente nos Cadernos do Aluno gabarito

que, nas demais edies, esteve disponvel

somente na internet.

Esse processo de compatibilizao buscou

respeitar as caractersticas e especicidades de

cada disciplina, a m de preservar a identidade

de cada rea do saber e o movimento metodo-

lgico proposto. Assim, alm de reproduzir as

atividades conforme aparecem nos Cadernos

do Aluno, algumas disciplinas optaram por des-

crever a atividade e apresentar orientaes mais

detalhadas para sua aplicao, como tambm in-

cluir o cone ou o nome da seo no Caderno do

Professor (uma estratgia editorial para facilitar

a identicao da orientao de cada atividade).

A incorporao das respostas tambm res-

peitou a natureza de cada disciplina. Por isso,

elas podem tanto ser apresentadas diretamente

aps as atividades reproduzidas nos Cadernos

do Professor quanto ao nal dos Cadernos, no

Gabarito. Quando includas junto das ativida-

des, elas aparecem destacadas.

ANOVA EDIO


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Leitura e anlise

Lio de casa

Pesquisa em grupo

Pesquisa decampo

Aprendendo aaprender

Roteiro deexperimentao

Pesquisa individual

Apreciao

Voc aprendeu?

O que pensosobre arte?

Ao expressiva

!?

Situated learning

Homework

Learn to learn

Alm dessas alteraes, os Cadernos doProfessor e do Aluno tambm foram anali-

sados pelas equipes curriculares da CGEB

com o objetivo de atualizar dados, exemplos,

situaes e imagens em todas as disciplinas,

possibilitando que os contedos do Currculocontinuem a ser abordados de maneira prxi-

ma ao cotidiano dos alunos e s necessidades

de aprendizagem colocadas pelo mundo con-

temporneo.

Para saber mais

Para comeo deconversa

Sees e cones


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SUMRIO

Orientao geral sobre os Cadernos 7

Situaes de Aprendizagem 12

Situao de Aprendizagem 1 A noo de proporcionalidade 12

Situao de Aprendizagem 2 Razo e proporo 22

Situao de Aprendizagem 3 Razes na Geometria 36

Situao de Aprendizagem 4 Grco de setores e proporcionalidade 50

Situao de Aprendizagem 5 Investigando sequncias por Aritmtica e lgebra 57

Situao de Aprendizagem 6 Equaes e frmulas 68

Situao de Aprendizagem 7 Equaes, perguntas e balanas 79

Situao de Aprendizagem 8 Proporcionalidade e equaes 92

Orientaes para Recuperao 101

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno paraa compreenso do tema 102

Consideraes Finais 104

Quadro de contedos do Ensino Fundamental Anos Finais 105


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Matemtica 6asrie /7oano Volume 2

7

ORIENTAO GERAL SOBRE OS CADERNOSOs temas escolhidos para compor o con-

tedo disciplinar de cada volume no se afas-

tam, de maneira geral, do que usualmente

ensinado nas escolas ou do que apresentado

pelos livros didticos. As inovaes pretendi-

das referem-se forma de abordagem desses

temas, sugerida ao longo dos dois volumes.

Nessa abordagem, busca-se evidenciar os

princpios norteadores do presente currculo,

destacando-se a contextualizao dos con-tedos, as competncias pessoais envolvidas,

principalmente as relacionadas leitura e

escrita matemtica, bem como os elementos

culturais internos e externos Matemtica.

Em todos os volumes, os contedos esto

organizados em 16 unidades de extenses apro-

ximadamente iguais. De acordo com o nmero

de aulas disponveis por semana, o professor

poder explorar cada assunto com mais ou me-

nos aprofundamento, ou seja, poder escolher

uma escala adequada para tratar do assunto.

Em cada situao especca, ca a critrio do

professor determinar o tempo necessrio, por

exemplo, para trabalhar cada assunto. O tema

correspondente a uma das unidades pode ser

estendido para mais de uma semana, ao passo

que o de outra pode ser tratado de modo mais

simplicado. Independente disso, o ideal que

voc tente contemplar todas as 16 unidades, ten-

do em vista que, juntas, elas compem um pa-

norama do contedo de cada volume e, muitas

vezes, uma das unidades contribui para a com-

preenso das outras. Insistimos, no entanto, no

fato de que somente o professor, em sua circuns-tncia particular e levando em considerao seu

interesse e o de seus alunos pelos temas apresen-

tados, pode determinar adequadamente quanto

tempo dedicar a cada uma das unidades.

Ao longo dos volumes, so apresentadas,

alm de uma viso panormica de seu con-

tedo, oito Situaes de Aprendizagem, que

pretendem ilustrar a forma de abordagem su-gerida, instrumentando o professor para sua

ao em sala de aula.

As Situaes de Aprendizagem so inde-

pendentes e podem ser exploradas pelo pro-

fessor com maior ou menor aprofundamento,

segundo seu interesse e de sua classe. Natural-

mente, em razo das limitaes de espao dos

Cadernos, nem todas as unidades foram con-

templadas com Situaes de Aprendizagem,

mas a expectativa de que a forma de aborda-

gem seja explicitada nas atividades oferecidas.

Tambm so apresentados, sempre que

possvel, materiais, como textos, softwares,

sites, vdeos, entre outros, em sintonia com a

abordagem proposta, que o professor poder

utilizar para o enriquecimento de suas aulas.

Compem o Caderno, ainda, algumas con-

sideraes sobre a avaliao a ser realizada,

bem como o contedo considerado indispen-

svel ao desenvolvimento das competncias

enunciadas neste volume.


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Contedos bsicos do volume

As oito primeiras unidades deste volume

abordam os seguintes temas: proporcionali-dade, conceito de razo, porcentagem como

razo, probabilidade como razo, razes

constantes na Geometria, representao de

porcentagens em grcos de setores, entre ou-

tros. As oito unidades restantes, por sua vez,

trabalham o uso de letras na Matemtica para

resoluo de equaes de 1ograu.

A variao das grandezas do mundo fsi-co geralmente envolve algum tipo de propor-

cionalidade. Dessa forma, a noo de pro-

porcionalidade de extrema importncia

para fundamentar o estudo de outras dis-

ciplinas, como Geograa, Fsica, Biologia,

entre outras.

Muitas situaes cotidianas requerem a ca-

pacidade de resolver e identicar problemas de

proporcionalidade. A interpretao da esca-

la de um mapa ou da planta de uma casa, a

adaptao de uma receita culinria para mais

pessoas ou a comparao de preos de produto

em quantidades diferentes so alguns exemplos

que ilustram o uso da noo de proporcionali-

dade no dia a dia.

A proporcionalidade constitui um dos

temas centrais estudados na 6asrie/7oano.

Nessa etapa da escolaridade, o aluno j pos-

sui os conhecimentos bsicos que lhe permi-

tem resolver muitos problemas de proporcio-

nalidade, pois ele certamente j lidou com

proporcionalidade de maneira informal, em

atividades de ampliao e reduo de guras,

em atividades envolvendo escalas de mapas

ou no estudo de fraes equivalentes. Mas

este o momento em que a noo de varia-o direta ou inversamente proporcional

apresentada e aprofundada, permitindo que

o aluno identique e diferencie as situaes

em que a proporcionalidade aparece.

Tradicionalmente, o ensino da proporcionali-

dade era feito de forma pragmtica, privilegiando

o uso da regra de trs e a formalizao algbrica

das relaes de proporcionalidade. Partia-se dadenio de razo e chegava-se ao conceito de

proporo como uma igualdade entre duas ra-

zes. O carter algbrico e formalista desse tipo

de abordagem acabava por afastar o aluno do

real entendimento da ideia de proporcionalidade

e cristalizava o uso indiscriminado da regra de

trs na resoluo de qualquer problema. Esse

fato geralmente apontado pelos professores do

Ensino Mdio ao proporem problemas que en-

volvem variaes exponenciais ou quadrticas,

nos quais no possvel usar a regra de trs.

No presente Caderno, propomos uma

abordagem que prioriza a construo da

noo de proporcionalidade pelo aluno, in-

centivando sua capacidade de interpretar

problemas e de identicar o tipo de propor-

cionalidade envolvida. No caso da 6a srie/

7o ano, esse tema pode aparecer sem uma

preocupao formal com o uso da represen-

tao simblica ou da regra de trs. Esses

procedimentos podem ser introduzidos mais

adiante, no contexto das fraes algbricas

e da resoluo de equaes.


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9

As quatro primeiras Situaes de Apren-

dizagem desenvolvidas neste Caderno percor-

rem as oito unidades apresentadas de forma

direta ou indireta. Na Situao de Aprendiza-gem 1, propomos uma sequncia de situaes-

-problema envolvendo o reconhecimento da

existncia de proporcionalidade. A constru-

o da noo de proporcionalidade envolve

tambm a capacidade de identicar situaes

em que ela no est presente. Sugerimos uma

metodologia alternativa para a resoluo dos

clssicos problemas que envolvem a variao

diretamente ou inversamente proporcionalentre duas ou mais grandezas. Em vez de usar

a frmula da regra de trs composta, o aluno

convidado a desenvolver uma sequncia de

transformaes proporcionais inspirado por

um jogo de palavras chamado duplex, cria-

do por Lewis Carroll, autor de Alice no pas

das maravilhas.

Na Situao de Aprendizagem 2, passa-

mos a tratar diretamente do conceito de razo,

construdo a partir das situaes-problema que

envolvem proporcionalidade direta. Apresenta-

mos, tambm, situaes-problema envolvendo

diferentes tipos de razo, como a porcentagem, a

escala em mapas e desenhos, a velocidade ou ra-

pidez, a densidade etc. Inclumos ainda a proba-

bilidade como uma razo, que expressa a chance

de ocorrncia de um evento em determinado es-

pao amostral, como no lanamento de moedas,

dados etc. Para nalizar a sequncia, propomos

uma atividade prtica envolvendo as razes pre-

sentes no corpo humano a partir do desenho de

Leonardo da Vinci, chamado Homem vitruvia-

no. Com base nesse desenho, os alunos pode-

ro observar e explorar o conceito de razo por

meio de medidas e comparaes.

Na Situao de Aprendizagem 3, procura-mos explorar a ideia de proporcionalidade nas

formas planas geomtricas. Inicialmente, apre-

sentamos uma situao que envolve a amplia-

o de uma gura, com o objetivo de construir

a noo de proporcionalidade geomtrica. Em

seguida, analisamos os principais casos envol-

vendo a determinao da razo de proporcio-

nalidade entre as partes de uma gura geom-

trica, como a razo entre a diagonal e o ladodo quadrado ou a razo entre o comprimento

da circunferncia e seu dimetro, chamada de

pi (). A opo por incluir essas duas ra-

zes, que normalmente aparecem somente na

8a srie/9o ano ou no Ensino Mdio, deve-se

ao fato de que ambas constituem um exemplo

bastante ilustrativo da existncia de proporcio-

nalidade em guras geomtricas simples. Apre-

sent-las agora aos alunos, sem a preocupao

de formalizar o conjunto dos nmeros irracio-

nais, contribui bastante para a compreenso da

proporcionalidade na Geometria.

Na Situao de Aprendizagem 4, articula-

mos, de maneira bastante pertinente, dois blo-

cos temticos do currculo de Matemtica: o

eixo denominado grandezas e medidas e o eixo

tratamento da informao. A elaborao e a in-

terpretao de grcos de setores envolvem tan-

to a noo de proporcionalidade e a compreen-

so da razo parte/todo como a capacidade de

representar informaes por meio de tabelas e

grcos. Propomos, inicialmente, algumas ativi-

dades que exploram a proporcionalidade na cir-


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cunferncia (entre ngulos e arcos). Em seguida,

passamos s situaes-problema, envolvendo

desde a interpretao e a leitura de grcos de

setores at a construo desses grcos a partirde tabelas com dados estatsticos.

As quatro Situaes de Aprendizagem -

nais desenvolvidas neste Caderno tm como

objetivo principal apresentar e discutir algu-

mas estratgias de ensino para a introduo

do uso de letras na Matemtica e para a reso-

luo de equaes de 1ograu

Na Situao de Aprendizagem 5, o foco

das atividades o reconhecimento de padres

em guras e em sequncias numricas. Um dos

objetivos da lgebra justamente a represen-

tao de regularidades por meio da linguagem

simblica da Matemtica. Apresentamos uma

srie de atividades que envolvem a descoberta

de padres e regularidades, bem como a poste-

rior representao destas na forma algbrica.

A Situao de Aprendizagem 6 explora a re-

lao entre frmulas e equaes. Entendemos

que o trabalho com frmulas uma estratgia

valiosa para trabalhar com equaes sem a

preocupao explcita de resolv-las. A fr-

mula possui um contexto que lhe inerente e

que favorece a compreenso e a aprendizagem

do aluno. Nessa Situao de Aprendizagem, o

objetivo principal fazer que o aluno realize

operaes com expresses algbricas sem se

preocupar com tcnicas e mtodos de resolu-

o. Para isso, so apresentados alguns exem-

plos de frmulas de diversas reas do conheci-

mento, como Economia, Fsica, Sade etc.

Na Situao de Aprendizagem 7, o foco do

trabalho a resoluo de equaes, e aqui ex-

ploramos duas linhas principais. A primeira

envolve um tipo de resoluo mais imediato, aoenxergar uma equao como uma pergunta do

tipo: qual o nmero que satisfaz determinadas

operaes aritmticas? Por meio de um racioc-

nio aritmtico, o aluno capaz de resolver deter-

minado tipo de equao usando apenas opera-

es inversas. A segunda linha de resoluo est

relacionada ideia de equivalncia. Faremos

uso da analogia com a imagem do equilbrio de

uma balana, a m de facilitar a compreensodos alunos com relao a certos procedimentos,

como somar ou subtrair um mesmo termo em

ambos os lados de uma equao. Nesse caso,

discutiremos as vantagens e os limites do uso

dessa imagem para ajudar na compreenso dos

processos de resoluo de equaes.

Por m, na Situao de Aprendizagem 8,

retomaremos algumas das noes de propor-

cionalidade trabalhadas anteriormente para

introduzir a regra de trs. No incio deste Ca-

derno, a abordagem dessas noes priorizou a

anlise de tabelas e o conceito de razo. Ago-

ra, dentro do contexto do estudo das equa-

es, podemos introduzir o procedimento da

regra de trs como forma de resoluo de pro-

blemas envolvendo proporcionalidade.

Consideramos que essas quatro ltimas Si-

tuaes de Aprendizagem compem um pano-

rama de estratgias bastante amplo e diversi-

cado, o qual deve ser utilizado para introduzir

o uso de letras na Matemtica. preciso ter

em mente que esse processo ter continuidade


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1

Unidade 1 Explorando a noo de proporcionalidade.

Unidade 2 Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa.

Unidade 3 Problemas envolvendo variao diretamente ou inversamente proporcional.

Unidade 4 A razo de proporcionalidade.

Unidade 5 Principais tipos de razo.

Unidade 6 A porcentagem como razo.

Unidade 7 Razes na geometria.

Unidade 8 Grco de setores e porcentagem.

Unidade 9 O uso de letras na Matemtica identicao de padres e generalizao.

Unidade 10 O uso de letras na Matemtica letras para representar nmeros ou grandezas.

Unidade 11 Frmulas e equaes.Unidade 12 Incgnitas e variveis.

Unidade 13 Resoluo de equaes.

Unidade 14 Resoluo de equaes.

Unidade 15 Proporcionalidade e equaes.

Unidade 16 Regra de trs.

ao longo das sries/anos seguintes e que, nes-

se primeiro momento, procuramos valorizar a

construo do signicado para o uso de letras

e para a resoluo de equaes.

Reiteramos que as Situaes de Aprendi-

zagem apresentadas ao longo deste Caderno

so sugestes de trabalho que podem inspirar

a ao do professor em sala de aula. A adoo

de uma ou outra situao deve depender no

apenas do projeto de ensino do professor, mas

tambm das caractersticas de cada turma. O

professor pode e deve ampliar ou modicar asatividades propostas, desde que os objetivos

mnimos de aprendizagem sejam alcanados.

Gostaramos de ressaltar, por m, que as

atividades propostas a seguir constituem um

referencial para que o professor possa dire-

cionar as atividades em sala de aula. Nessesentido, elas so atividades exemplares que

tratam de alguma dimenso importante do

tema estudado.

Contamos com a leitura cuidadosa do que

proposto e apresentado aqui e esperamos

contribuir para uma aprendizagem efetiva dos

alunos.

As 16 unidades temticas que compem

este Caderno esto relacionadas a seguir.

Quadro geral de contedos do volume 2 da 6asrie/7oano do Ensino Fundamental


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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1A NOO DE PROPORCIONALIDADE

O objetivo principal desta Situao de

Aprendizagem ampliar as noes de variao

direta e inversamente proporcionais entre gran-

dezas, aprimorando no aluno a capacidade

de resolver problemas e fazer previses em si-

tuaes que envolvam proporcionalidade.

bom lembrar que os alunos provavelmente j

possuem um conhecimento intuitivo sobre

proporcionalidade, derivado de experincia

em situaes concretas da vida cotidiana. A

partir da 6asrie/7oano, devemos capacitar o

aluno a reconhecer o tipo de proporcionalida-

de envolvida em diferentes situaes e a operar

e relacionar os valores envolvidos.

Inicialmente, so propostas atividades que

envolvem o reconhecimento da proporciona-

lidade. Elas tm por objetivo sondar o conhe-

cimento prvio dos alunos sobre proporciona-

lidade, cuja noo j vem sendo desenvolvida

desde as sries/anos anteriores, como no estudo

das fraes equivalentes ou dos mltiplos de um

nmero natural. Entendemos que a noo de

proporcionalidade envolve tambm a capaci-

dade de identicar as situaes em que ela no

est presente. Sugerimos que os alunos analisem

determinadas situaes, a m de vericar se h

ou no proporcionalidade.

Outro aspecto a ser destacado que no

basta duas grandezas variarem no mesmo sen-

tido, ou seja, aumentarem simultaneamente,

por exemplo, para que elas sejam diretamen-

te proporcionais. preciso que, se uma delas

dobrar de valor, a outra tambm dobre; se

uma delas triplicar, a outra tambm triplique,

e assim por diante. As situaes propostas na

atividade 5 tm por objetivo caracterizar a

SITUAES DE APRENDIZAGEM

Contedos e temas:proporcionalidade; variao diretamente proporcional; variao inversa-

mente proporcional; razo de proporcionalidade.

Competncias e habilidades: identicar situaes em que existe proporcionalidade entre grandezas;

usar a competncia leitora para interpretar problemas de proporcionalidade; resolver problemas

que envolvem a variao diretamente e inversamente proporcional entre grandezas.

Sugesto de estratgias:anlise e resoluo de situaes-problema; discusso coletiva sobre as

solues obtidas pelos alunos em cada situao-problema; uso de jogo para facilitar a com-

preenso da variao proporcional.


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1

diferena entre as variaes diretamente pro-

porcionais e as inversamente proporcionais.

importante, tambm, que os alunos sai-bam que a proporcionalidade direta entre duas

grandezas envolve sempre uma multiplicao

por um fator constante, chamado de razo de

proporcionalidade.

No nal, propomos uma atividade ldica

que favorecer ao aluno compreender, na pr-

tica, as noes de proporcionalidade apresen-

tadas nas atividades anteriores. Baseada numjogo denominado duplex, a atividade sugere

uma estratgia bastante simples para a reso-

luo de problemas envolvendo a variao de

duas ou mais grandezas proporcionais (dire-

tamente ou inversamente), sem o uso da regra

de trs composta.

Roteiro para aplicao da Situaode Aprendizagem 1

Reconhecendo a proporcionalidade

As atividades 1 e 2 tm como objetivo ava-

liar a capacidade de reconhecimento das si-

tuaes que envolvem proporcionalidade. Na

atividade 1, o aluno deve analisar se as previ-

ses feitas obedecem a algum tipo de propor-

cionalidade ou no.

1.Verique se as previses fei-tas so conveis e se h pro-

porcionalidade entre as gran-

dezas envolvidas. Justique sua resposta.

a) Um pintor gastou 1 hora para pintar

uma parede. Para pintar duas paredes

iguais quela, ele levar 2 horas.

A previso consistente, pois h proporcionalidade entre o

nmero de paredes e o tempo gasto para pint-las.

b) Um time marcou 2 gols nos primeiros

15 minutos de jogo. Portanto, ao final

do primeiro tempo (45 minutos), ele

ter marcado 6 gols.

Apesar de os nmeros do problema apresentarem propor-

cionalidade, a situao no permite uma previso confivel,

pois o rendimento de um time no constante ao longo de

um jogo, existindo uma srie de outros fatores que influen-

ciam o nmero de gols, como uma melhor marcao dos

jogadores da defesa do time adversrio.

c) Uma banheira contendo 100 litros

de gua demorou, aproximadamente,

5 minutos para ser esvaziada. Para es-

vaziar uma banheira com 200 litros de

gua sero necessrios, aproximada-

mente, 10 minutos.

A previso consistente, pois o tempo de vazo depende

do volume de gua a ser escoado. (Supe-se, nesse caso,

que a velocidade de vazo no varie significativamente,

podendo ser considerada constante.)

d) Em 1 hora de viagem, um trem com

velocidade constante percorreu 60 km.

Mantendo a mesma velocidade, aps

3 horas ele ter percorrido 150 km.

A previso est errada, pois, mantida a velocidade, o

trem deveria percorrer 180 km. Nesse caso, a distn-

cia percorrida diretamente proporcional ao tempo

de viagem.


15/11414

e)Um estacionamento cobra R$ 3,00

por hora. Por um automvel que ficou

estacionado 2 horas, foi cobrado do

motorista o valor de R$ 6,00. Se eleficasse estacionado 6 horas, o valor

cobrado seria de R$ 18,00.

Nesse caso, a previso est correta, pois o valor a ser cobra-

do proporcional ao nmero de horas que o carro ficaria

estacionado.

f) Em 20 minutos, uma pessoa gastou

R$ 30,00 no supermercado. Se ela car

40 minutos, gastar R$ 60,00.A previso no consistente, pois o valor gasto em um su-

permercado no diretamente proporcional ao tempo de

permanncia nele.

g) Ao tomar um txi para ir da minha casa

at a escola, o motorista passou por 4

avenidas diferentes. O valor cobrado

pela corrida foi de R$ 10,00. Na volta,

ele passar somente por 2 avenidas, por-

tanto, o valor cobrado ser de R$ 5,00.

A previso est errada, uma vez que no existe relao direta

entre o nmero de avenidas pelas quais o txi passa e o valor

cobrado.

As situaes anteriores ilustram algu-mas caractersticas da proporcionalidade.

Primeiramente, deve haver algum grau dedependncia entre as grandezas envolvidas.Nos itens f e g, por exemplo, no h depen-dncia direta entre as grandezas envolvidas.Em segundo lugar, a variao entre as gran-dezas tem de ser a mesma. No item d, o cl-culo correto seria 180 km para o percursoaps 3 horas.

2. Em cada um dos casos a seguir, verique

se h ou no proporcionalidade direta en-

tre as medidas das grandezas correspon-

dentes. Justique sua resposta.

a) A altura de uma pessoa diretamente

proporcional sua idade?

No. Quando a idade de uma pessoa dobra digamos, passa

de 2 a 4 anos , no verdade que sua altura tambm dobra.

Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a altura de

uma pessoa aos 40 anos.

b)O valor pago para abastecer o tanquede gasolina de um carro diretamen-

te proporcional quantidade de litros

abastecidos?

Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de

um carro depende da quantidade de litros abastecida. Se

para abastecer com 10 litros gasta-se R$ 25,00, o valor para

abastecer com o triplo de litros (30 litros) ser trs vezes

maior (R$ 75,00).

c) A massa de uma pessoa diretamente

proporcional sua idade?

A massa de uma pessoa no diretamente proporcional

sua idade, pois no existe uma relao direta entre o au-

mento da idade de uma pessoa com sua massa, portan-

to, no se pode afirmar que, com o decorrer do tempo, a

massa aumenta ou diminui.

d) O permetro de um quadrado direta-

mente proporcional medida de seu lado?

Sim. O permetro de um quadrado igual a quatro vezes

a medida de seu lado. Se o lado aumenta, o permetro au-

menta proporcionalmente. O permetro de um quadrado

diretamente proporcional medida de seu lado, sendo a

constante de proporcionalidade igual a 4.


16/114


1

e) A distncia percorrida por um auto-

mvel em 1 hora de viagem direta-

mente proporcional velocidade m-

dia desenvolvida?Sim. Um automvel que desenvolve uma velocidade m-

dia de 60 km/h ir percorrer 60 km em 1 hora. Se dobrar-

mos a velocidade, a distncia percorrida duplicar na mes-

ma proporo.

a) Um professor corrige 20 provas em

1 hora de trabalho. Aps 30 horas, ele

ter corrigido 600 provas.

No. Dificilmente o professor conseguir manter o mesmo

ritmo de trabalho durante 30 horas.

b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora.

Portanto, aps 20 horas, ele ter percor-

rido 200 km.

No. Mesmo para um atleta, seria impossvel manter esse rit-

mo de corrida por tanto tempo.

c) Uma pessoa leu 3 livros na semana pas-sada. Em um ano, ela ler 156 livros.

No. O fato de ela ter lido 3 livros na semana anterior no

garante que ela necessariamente v manter o mesmo ritmo

de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variveis,

como o nmero de pginas do livro, disponibilidade de tempo

e dinheiro, disposio etc.

importante discutir com os alunos que a

proporcionalidade direta ocorre quando a va-

riao resulta de um processo multiplicativo, e

no aditivo. Ou seja, ambas as grandezas so

multiplicadas pelo mesmo fator. Deve-se ob-

servar que a multiplicao por um fator entre

0 e 1 equivalente diviso por um nmero.

Por exemplo, multiplicar por 0,5 o mesmo que

dividir por 2. Multiplicar por 0,25 o mesmo

que dividir por 4.

4.Verique se houve variao pro-

porcional nos seguintes casos.

a)Uma empresa resolveu dar um aumen-

to de R$ 200,00 para os funcionrios.

O salrio de Joo passou de R$ 400,00

importante orientar o aluno a fazerdeterminadas perguntas para decidir seuma situao envolve ou no proporciona-

lidade direta: avaliar se uma grandeza de-pende da outra; vericar se elas variam nomesmo sentido; calcular de quanto essavariao. Deve-se chamar a ateno para ofato de que, para haver proporcionalidadedireta, no basta que as duas grandezasvariem no mesmo sentido, isto , quandouma crescer a outra tambm crescer, evice-versa. preciso que o aumento deuma delas seja proporcional ao aumento

da outra.

Os limites da proporcionalidade

Na atividade 3, exploraremos os limites

da proporcionalidade em diferentes contex-

tos. Existem situaes em que a variao nu-

mrica envolve proporcionalidade, mas que,

na realidade, no so viveis ou possveis.

J na atividade 4, os alunos devem perceber

que a proporcionalidade ocorre em situa-

es que envolvem a multiplicao por um

fator constante.

3. Analise as situaes a seguir e avalie se elas

so possveis.


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para R$ 600,00, enquanto o salrio

de Antnio passou de R$ 1 000,00 para

R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no

aumento salarial dado aos dois funcion-rios? Justique sua resposta.

O aumento no foi proporcional, pois embora tenha sido

o mesmo em termos absolutos (R$ 200,00), em termos re-

lativos ele foi diferente. Os R$ 200,00 de aumento represen-

tam metade do salrio de Joo, ao passo que para Antnio

esse acrscimo representa apenas um quinto de seu salrio.

A variao para Joo foi de 600 400 = 1,5 e para Antnio,

de 1 200 1 000 = 1,2.

b) Uma empresa de informtica resolveu dar

um desconto de 25% no preo de toda

a sua linha de produtos. O preo de um

computador passou de R$ 1 000,00 para

R$ 750,00, e o de uma impressora pas-

sou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve

proporcionalidade no desconto dado nos

dois produtos? Justique sua resposta.

A reduo no preo dos dois produtos foi diretamente pro-

porcional aos preos originais. A variao no preo do com-

putador foi de 750 1 000 = 0,75, e da impressora, de 300 400 =

= 0,75. Ou seja, ambos foram multiplicados pelo mesmo fator.

Grandezas diretamente ou inversamenteproporcionais

A atividade 5, tem como objetivo a caracte-

rizao da diferena entre a proporcionalidade

direta e a proporcionalidade inversa. Na pro-

porcionalidade direta, as grandezas variam no

mesmo sentido, isto , se uma delas aumenta, a

outra tambm aumentar na mesma proporo. J

na proporcionalidade inversa, as variaes ocor-

rem em sentidos opostos, isto , se uma grandeza

aumenta, a outra diminui, e vice-versa, de modo

que, se uma dobrar, a outra se reduz metade;

se uma triplicar, a outra se reduz em1

3, e assim

por diante.

5.Analise as situaes a seguir

e verique se as grandezas en-

volvidas so direta ou inversa-

mente proporcionais.

a)Um pintor demora, em mdia, 2 horas

para pintar uma parede de 10 m2. Ob-serve a relao entre o tempo gasto, o

nmero de paredes pintadas e o nmero

de pintores representados na tabela a

seguir e complete as sentenas.

SITUAES A B C D

Nmero de pintores 1 1 2 2

Nmero de paredes de 10 m2 1 2 1 2Tempo gasto (horas) 2 4 1 2

O tempo gasto inversamenteproporcio-

nal ao nmero de pintores.

O tempo gasto diretamenteproporcio-

nal ao nmero de paredes.

Se o nmero de pintores dobrar, o tempo gasto para se pin-

tar uma parede ser a metade etc. O tempo gasto inversa-

mente proporcional ao nmero de pintores. Contudo, se o

nmero de paredes dobrar, o tempo necessrio para concluir

o servio tambm vai dobrar. Portanto, o tempo gasto dire-

tamente proporcional ao nmero de paredes.

b) Um automvel gasta 2 horas para percor-

rer 200 km, viajando com velocidade m-


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1

Duplex

Lewis Carroll, autor de Alice no pas das maravilhas, era um matemtico que adorava

desenvolver quebra-cabeas. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabea que envolvia

a transformao de duas palavras com o mesmo nmero de letras. O desao consistia em

partir de uma palavra e chegar outra de mesmo nmero de letras, trocando uma letra por

veze formando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir.

Transformar OURO em LIXO:

OURO Etapas

MURO Trocar o O pelo M

MUDO Trocar o R pelo D

MEDO Trocar o U pelo E

LEDO Trocar o M pelo L

LIDO Trocar o E pelo I

LIXO Trocar o D pelo X

dia de 100 km/h. Observe a relao entre

a velocidade mdia, a distncia percorrida

e o tempo gasto na viagem representados

na tabela a seguir e complete as sentenas.

SITUAES A B C D

Velocidade mdia(km/h)

100 100 50 50

Distncia percorrida 200 400 400 100

Tempo gasto (horas) 2 4 8 2

A distncia percorrida diretamente pro-porcional velocidade.

O tempo gasto inversamenteproporcio-

nal velocidade.

Dobrando a velocidade, o automvel percorrer o dobro da

distncia no mesmo tempo. Portanto, a distncia percorrida

diretamente proporcional velocidade. Por outro lado, se

a velocidade mdia for reduzida metade, o tempo gasto

para percorrer a mesma distncia dobrar. O tempo gasto

inversamente proporcional velocidade.

Duplex e os problemas deproporcionalidade

As atividades a seguir tm como objetivo

principal desenvolver a noo de proporciona-

lidade direta e inversa de uma forma ldica esignicativa. Ela permite resolver os famosos pro-

blemas de regra de trs composta de uma forma

diferente, sem o uso de uma frmula algbrica.


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Duplex, tabelas e proporcionalidade

Usando o mesmo princpio, podemos resolver problemas matemticos por meio de tabelas.

Em vez de letras, o incio e o m do encadeamento sero nmeros. Por exemplo:

Para fazer uma dzia de pes, um padeiro gasta, aproximadamente, 3 600 gramas de

farinha. Quantos gramas de farinha sero necessrios para fazer 18 pes?

1opasso:colocar as informaes em uma tabela.

Nmero de pes Farinha (gramas)12 3 60018 ?

Proponha aos alunos que resolvam alguns

duplex para perceberem o mecanismo do jogo.

Eles devem notar que em cada etapa apenas uma

letra muda, as outras permanecem inalteradas.

6.Agora sua vez. Resolva os

duplex a seguir.

TIA POR LISO POETATUA PAR PISO PONTA

MAR PESO PONTO

PESA TONTOTANTO

LUA MAL PENA TANGO

Observao: pode haver outras solues para os duplex.

Portanto, sero necessrios 5 400 gramas de farinha para fazer os 18 pes.

2opasso:vericar se as grandezas envolvidas so direta ou inversamente proporcionais. Se

forem diretamente proporcionais, ento as grandezas devem ser multiplicadas ou divididas

pelo mesmo fator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma das grandezas for

multiplicada por um nmero, a outra dever ser dividida por esse mesmo nmero e vice-versa.

3opasso:assim como no duplex, o desao ser transformar o nmero 12 em 18 por meio

de operaes de multiplicao ou diviso, mantendo a proporcionalidade (direta ou inversa)

entre as grandezas envolvidas.

Nmero de pes Farinha (gramas) Transformaes12 3 600 Diviso por 62 600 Multiplicao por 918 5 400

6

9

6

9


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1

7.Na tabela a seguir, registra-

ram-se a quantidade vendida e

o valor recebido pela venda de

um mesmo produto. Contudo, alguns valoresno foram preenchidos. Complete a tabela,

mantendo a proporcionalidade direta entre a

quantidade vendida e o valor recebido.

Quantidade vendida Valor recebido

. 1

2

10 R$ 30,00 .1

2

5 . 15

. 15

R$ 15,00

7 1 R$ 3,00 7

7 2 2R$ 21,00

10 14 R$ 42,00 10

140 R$ 420,00

Havendo proporcionalidade direta, a ra-

zo entre os valores correspondentes das duasgrandezas deve ser constante. Portanto, se aquantidade vendida cair pela metade (10 para 5),o valor recebido tambm cair pela metade(30 para 15). Da mesma forma, se o valor rece-bido aumenta em 7 vezes, a quantidade vendi-da tambm ser multiplicada por 7.

A partir da tabela anterior, pode-se chamar

a ateno para o fato de que algo permanece

constante na comparao entre as colunas.

Pea aos alunos que dividam o valor da segun-

da coluna pelo da primeira, em todas as linhas.

Eles vo perceber que a relao entre o valor

recebido e a quantidade vendida sempre 3.

(30 10 = 15 5 = 3 1 = 21 7 = 42 14 = 420

140 = 3).Esse o preo unitrio do produto,

cujo valor aparece na tabela quando a quantida-

de vendida unitria. Trata-se, na verdade, da ra-

zo de proporcionalidadeentre as duas grandezas.

Dessa forma, podemos armar que, se

duas grandezas so diretamente proporcio-

nais, a razo entre os valores correspondentes

permanece constante, sendo chamada de ra-

zo de proporcionalidade.

Vejamos agora uma situao que envolve

grandezas inversamente proporcionais.

8. Um clube dispe de uma quantia xa de

dinheiro para comprar bolas de futebol

para os treinamentos. Com o dinheiro dis-

ponvel, possvel comprar, de um forne-

cedor, 24 bolas a R$ 6,00 cada. O gerente

pesquisou os preos de outros fabricantes

e anotou as informaes na tabela a seguir.

Complete-a obedecendo ao princpio de pro-

porcionalidade e descubra qual foi o menor

preo pesquisado pelo gerente.

Preo de uma bola Nmero de bolas

R$ 6,00 24

R$ 12,00 12

R$ 4,00 36

R$ 2,00 72R$ 24,00 6

R$ 1,00 144

R$ 72,00 2

O menor preo pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra

a tabela.


21/11420

Nesse caso, os alunos devero perceber

que, quanto maior o preo, menor a quanti-

dade de bolas que se pode comprar. Portanto,

as grandezas so inversamente proporcionais,e o que se mantm constante no a razo,

mas o produto entre elas: 6 24 = 12 12 = 4 36 =

= 2 72 = 24 6 = 1 144 = 722 = 144

Ou seja, duas grandezas so inversamente

proporcionais quando o produto do valor de

uma delas pelo correspondente da outra for

constante. No problema em questo, esse

produto nada mais do que a quantia de di-

nheiro disponvel para comprar as bolas.

O prximo exemplo envolve a variao de

trs grandezas distintas que possuem uma re-

lao de interdependncia. importante que

os alunos se questionem sobre o tipo de pro-

porcionalidade (direta ou inversa) envolvida

entre cada par de grandezas.

9. Para produzir 1 000 m de um cabo telef-

nico, 24 operrios trabalham regularmente

durante 6 dias. Quantos dias sero neces-

srios para produzir 1 250 m de cabo com

10 operrios trabalhando?

a) Indique se as grandezas, duas a duas,

mantidas as demais constantes, so di-

reta ou inversamente proporcionais.

Fixando-se o tempo de trabalho, a pro-

duo de cabos diretamenteproporcional

ao nmero de operrios.

Fixando-se a quantidade de cabos, o

tempo de produo inversamente pro-

porcional ao nmero de operrios.

Fixando-se o nmero de operrios, a

quantidade de cabos diretamentepropor-

cional ao tempo de produo.

b)Preencha a tabela a seguir mantendo a

proporcionalidade entre as linhas.

Produo decabos (m)

Nmero deoperrios

Tempo deproduo (dias)

1 000 24 6

2 000 24 12

2 000 48 6500 12 6

500 24 3

500 6 12

250 3 12

125 3 6

1 250 30 6

1 250 10 18

Professor, comente com os alunos que, emcada linha, h uma grandeza que permanececonstante, enquanto as demais variam, de for-ma direta ou inversamente proporcional. Nasegunda linha, considerando o mesmo nme-ro de operrios, para se produzir o dobro dametragem de cabos ser necessrio o dobrodo tempo, uma vez que se trata de grandezas

diretamente proporcionais.

Na atividade anterior, alguns passos

para chegar resposta do problema j es-

tavam preenchidos na tabela. Ou seja, havia

um caminho que levava da situao inicial

(produo de 1 000 metros de cabos, com 24


22/114


2

operrios, em 6 dias) para a situao nal

desejada (saber quantos dias seriam neces-

srios para produzir 1 250 metros de cabo

com 10 operrios trabalhando). Na prximaatividade, o aluno dever construir o seu

prprio caminho, partindo de uma situao

inicial e chegando resposta da atividade.

Da mesma forma que no duplex, cada alu-

no poder construir um caminho diferente,

desde que mantidas as relaes de propor-

cionalidade entre as grandezas.

10.Para produzir 180 pias de gra-nito, 15 pessoas trabalham du-

rante 12 dias em uma jornada de

10 horas de trabalho dirio. Procurando

adequar sua empresa nova legislao traba-

lhista, o diretor reduziu a jornada de tra-

balho de 10 para 8 horas ao dia e contra-

tou mais funcionrios. Ao mesmo tempo,

a demanda por pias aumentou, e ser ne-

cessrio aumentar a produo. Nesse

novo contexto, quantos dias sero neces-

srios para produzir 540 pias de granito,

contando com 25 pessoas trabalhando

8 horas por dia?

a) Relacione, duas a duas, as grandezas,mantidas as demais constantes, e indi-

que o tipo de proporcionalidade envol-

vida (direta ou inversa).

A produo de pias diretamente proporcional ao nmero

de funcionrios.

O tempo de produo inversamente proporcional ao n-

mero de funcionrios.

O tempo de produo diretamente proporcional ao nmero

de pias a serem produzidas.

A produo de pias diretamente proporcional ao nmero

de horas trabalhadas por dia.

O nmero de funcionrios inversamente proporcional ao

nmero de horas trabalhadas.

O tempo de produo inversamente proporcional ao n-

mero de horas trabalhadas.

b)Preencha a tabela a seguir e encontre a

soluo do problema.

Um possvel caminho o seguinte:

Produode pias

Nmero de funcionrios Tempo de produo (dias)Nmero de horas

trabalhadas por dia

180 15 12 10

180 15 60 2

180 15 15 8

180 5 45 8

180 25 9 8

540 25 27 8

Sero necessrios 27 dias de produo.


23/11422

Consideraes sobre a avaliao

Ao nal dessas atividades espera-se que os

alunos sejam capazes de reconhecer situaesque envolvam algum tipo de proporcionalida-

de direta e inversa. Eles devem ser capazes de

quanticar a variao das grandezas e vericar

se existe ou no proporcionalidade direta entre

elas. Do mesmo modo, espera-se que eles con-

sigam distinguir as situaes em que as grande-

zas variam de modo diretamente proporcional

daquelas em que variam entre si de maneira

inversamente proporcional. Alm disso, quesaibam resolver problemas envolvendo duas

ou mais grandezas, direta ou inversamen-

te proporcionais.

A avaliao da aprendizagem dos alunos

com relao a esses tpicos poder ser feita a

partir da aplicao de atividades similares s

propostas ao longo da Situao de Aprendiza-

gem. A organizao da resoluo e a capaci-

dade de identicaras informaes pertinentes,organiz-lasem tabelas, calcularas variaes

ocorridas, classic-lasquanto sua natureza

e realizar os clculos obedecendo ao princpio

de proporcionalidade so aspectos que devem

ser trabalhados pelo professor e, consequen-

temente, avaliados por meio de um ou maisinstrumentos: provas, tarefas de casa, traba-

lhos em dupla, discusses coletivas etc. Cabe

ao professor a escolha do instrumento de ava-

liao mais adequado a ser utilizado em fun-

o das caractersticas de seus alunos e do seu

planejamento efetivo de aulas.

importante, tambm, que o professor

considere no apenas a aquisio do concei-to matemtico estudado no caso, a pro-

porcionalidade , mas todas as dimenses

envolvidas na resoluo dessas atividades,

como a competncia leitora, que fundamen-

tal para a interpretao dos enunciados das

situaes-problema. Ou, ainda, a capacidade

de expresso, seja na lngua materna, seja na

matemtica usada para dar as respostas dos

problemas. Alm disso, deve-se valorizar tam-

bm a capacidade de argumentao, envolvida

na escolha de determinado caminho na reso-

luo de um problema.

Contedos e temas:razo; proporcionalidade; escala; porcentagem; probabilidade.

Competncias e habilidades:compreender o conceito de razo na Matemtica; saber calculara razo entre duas grandezas de mesma natureza ou de natureza distinta; conhecer os prin-cipais tipos de razo: escala, porcentagem, velocidade, probabilidade etc.; realizar medidascom preciso.

Sugesto de estratgias:explorao, resoluo e discusso de situaes-problema envolvendoos diferentes tipos de razo; atividade prtica de investigao das razes e propores nocorpo humano.

SITUAO DE APRENDIZAGEM 2RAZO E PROPORO


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2

A Situao de Aprendizagem 2 trata de

um conceito fundamental na Matemtica:

a razo. Ele est presente nos mais diversos

contextos, desde o trabalho com medidas ato estudo de funes e progresses numricas,

passando pela semelhana geomtrica, tri-

gonometria etc. Optamos por formalizar o

conceito de razo depois do estudo das va-

riaes proporcionais entre grandezas, pois,

dessa forma, os alunos j estariam inseridos

no contexto da comparao entre grandezas.

A ideia da existncia de um fator constante

que relaciona duas grandezas, chamado derazo de proporcionalidade, foi problematiza-

da na Situao de Aprendizagem 1. Agora,

vamos ampliar o conceito de razo para ou-

tros contextos.

Inicialmente, consideramos importante

partir do significado que a palavra razo

assume no senso comum, ou seja, do enten-

dimento que os alunos tm dessa palavra,

para depois introduzir o conceito especfico

que ela assume na Matemtica. Em seguida,

propomos uma discusso sobre as formas de

representao de uma razo, desde a forma

fracionria at a porcentagem. So apresen-

tadas tambm algumas situaes-problema

envolvendo os tipos mais comuns de razo,

como a escalausada em mapas, a velocidade

de um objeto, a densidade, o PIB per capi-

taetc. A probabilidade apresentada como

uma razo especfica que expressa a relao

entre o nmero de possibilidades de ocor-

rncia de um evento particular e o nmero

total de possibilidades de um espao amos-

tral determinado.

Por m, propomos a realizao de uma ati-

vidade prtica envolvendo as razes presentes

no corpo humano. Partindo de um texto e de

uma obra de Leonardo da Vinci, conhecidacomo Homem vitruviano, os alunos devem em-

pregar o conceito de razo para averiguar se as

propores do desenho correspondem s ra-

zes citadas no texto. Os alunos devem realizar

medidas do desenho de Da Vinci e calcular as

razes entre as partes do corpo humano. Essa

atividade mobiliza uma srie de competncias

dos alunos: a competncia leitora e escritora

para interpretar um texto e traduzi-lo em lin-guagem matemtica, a competncia de realizar

medidas com preciso, a capacidade de compa-

rar medidas, razes e mdias, entre outras.

importante lembrar que as atividades

propostas a seguir constituem apenas um

referencial para que o professor possa dire-

cionar as atividades em sala de aula. Dessa

forma, elas so apenas ilustrativas, podendo

ser reduzidas, ampliadas e modicadas pelo

professor de acordo com as caractersticas de

cada grupo/classe.


O conceito de razo

O conceito de razo est intimamente liga-

do ao de proporo. Na atividade 7 da Situa-

o de Aprendizagem anterior, por exemplo,

chamamos a ateno para o fato de que havia

um valor constante que relacionava as duas

grandezas envolvidas. Em qualquer uma das


25/11424

linhas da tabela, ao dividirmos o valor recebi-

do pela quantidade vendida, obtinha-se sem-

pre o mesmo resultado, o nmero 3. Naquele

contexto, esse valor signicava o preo unit-rio do produto vendido. Em termos matem-

ticos, tal valor corresponde razo de propor-

cionalidade entre as grandezas envolvidas.

Esse conceito poderia ter sido introduzido

antes do estudo das variaes proporcionais.

Contudo, achamos que seria mais signicativo

para o aluno compreender o conceito de razo a

partir das situaes de proporcionalidade estu-dadas, como o nmero que expressa a relao de

proporcionalidade entre duas grandezas. Duas

grandezas so diretamente proporcionais quan-

do a razo entre os valores de uma e os valores

correspondentes da outra constante. Esse va-

lor constante a razo de proporcionalidade.

A razo pode no estar diretamente liga-

da a uma situao de proporcionalidade. Ela

pode simplesmente representar a relao entre

duas grandezas em determinado momento ou

circunstncia. Por exemplo, o nmero de gols

por partida de um jogador em um determina-

do campeonato ou a relao entre o nmero

de meninos e meninas em uma classe. A razo

uma forma de comparao entre os valores

de duas grandezas de mesma natureza ou de

naturezas diferentes.

Representao de uma razo

Um aspecto que pode ser explorado com

os alunos so as diferentes formas de re-

presentao de uma razo. Sendo a razo

a diviso indicada entre dois nmeros, ela

pode ser escrita de diversas maneiras.

Quando o resultado da diviso for exato,a razo poder ser escrita como um nmero

inteiro. Por exemplo: uma impressora impri-

me 300 pginas em 10 minutos. Portanto, a

razo pginas por minuto igual a 30.

Quando o resultado da diviso no for

exato, a razo poder ser escrita na forma

decimalou fracionria. Por exemplo: um ter-

reno de 35 m2custa R$ 12 000,00. Portanto,a razo reais por m2 de, aproximadamen-

te, 342,85; para fazer determinado refresco,

deve-se utilizar 1 parte de suco concentrado

para 5 partes de gua. Tal razo pode ser

escrita na forma de frao: 15

.

Alm da notao fracionria, muito co-

mum o uso da lnguamaternapara expressar

a razo entre duas grandezas. Por exemplo:

1 em cada 10 brasileiros gosta de jogar v-

lei, em vez de usar a frao 1

10.

Outra forma muito usual de expressar

uma razo por meio da porcentagem. A por-

centagem uma razo particular em que se

compara certo nmero a 100. Ela til para

expressar razes que, de outra forma, seriam

de difcil compreenso na forma decimal

ou fracionria.

Consideremos, por exemplo, uma pesqui-

sa feita sobre os hbitos de prtica esportiva

em uma cidade. Consultando-se 17 425 pes-

soas, constatou-se que 3 721 faziam exerccios


26/114


2

fsicos regularmente. A partir dos nmeros

apresentados, difcil fazer uma ideia exata

da proporo de pessoas que praticam exer-

ccios fsicos regularmente, seja na forma

fracionria 3 72117 425

, seja na decimal (0,214).

Contudo, se tal razo fosse apresentada

como 21,4%, teramos uma noo mais cla-

ra dessa proporo: em cada 100 habitantes,

aproximadamente 21 fazem exerccios fsicos

regularmente.

A porcentagem facilita no s a leitura,mas tambm a comparaoentre razes. Su-

ponha que um aluno tenha acertado 12 ques-

tes de 20 em uma prova, e 17 questes de

26 em outra. O uso da porcentagem permite

comparar facilmente a razo de acertos em

cada prova: na 1a prova, a razo de acertos

foi de 60%, e na 2a, de 65,4%. Trata-se de

uma comparao entre fraes de mesmo de-

nominador (100), ou seja, uma comparao

entre equivalentes.

Essa facilidade para leitura e compara-

o faz da porcentagem uma forma bas-

tante utilizada para representar razes que

expressem uma relao entre a parte e o

todo. Assim, costumamos ouvir expresses

do tipo: a porcentagem de analfabetos em

uma populao; a porcentagem de acertos

em um teste; a porcentagem de meninos em

uma escola etc.

Para poder expressar uma razo como

porcentagem, precisamos capacitar o aluno a

transformar nmeros escritos na forma decimal

em porcentagens. A porcentagem uma for-

ma de representar fraes cujo denomina-

dor 100. Escrevemos 5% para representar a

frao5

100, e 40% para representar

40

100.

Em notao decimal, a centsima parte da

unidade representada na casa dos centsi-

mos. A leitura do nmero 0,02 (dois centsi-

mos) remete sua representao fracionria,

2

100, e, consequentemente, sua forma

percentual: 2%. Nas atividades a seguir,

apresentamos alguns questionamentos nosquais podemos verificar as concepes es-

pontneas do educando a respeito do con-

ceito de razo.

1. O que voc entende por

razo?

Resposta pessoal. Muitas interpretaes

devero surgir, uma vez que esse conceito est extre -

mamente disseminado em nossa lngua e assume in-

meros significados de acordo com os contextos em que

aparece. Neste primeiro momento, pode ser que o con-

ceito matemtico de razo no aparea nas respostas

dos alunos.

2. Procure no dicionrio alguns signicados

para a palavra razo.

Resposta pessoal. Professor, vlido comentar com os alu-

nos sobre os variados sentidos do verbete razo, referentes

a diferentes temas (exemplo: Filosofia, Matemtica etc.). Por

exemplo, o dicionrio Houaiss da Lngua Portuguesa traz

a seguinte definio: Razo. S.f. 1. faculdade de raciocinar,

apreender, compreender, ponderar, julgar; a inteligncia; 2.

raciocnio que conduz induo ou deduo de algo; 3.

capacidade de avaliar com correo, com discernimento;


27/11426

bom senso, juzo; 4. causa origem; 5. argumento, motivo; 6.

a lei moral, justia.

3. Qual o signicado da palavra razo emMatemtica?

Deve-se enfatizar o fato de que a palavra razo adquire

um significado especfico no mbito da Matemtica. Ela

representa a relao existente entre dois nmeros a e b,

apresentada na forma b

a, com b 0. Assim, se a razo b

a

igual a c, isso significa que b = c a. importante diferen-

ciar o conceito de razo do de frao. A frao uma forma

de expressar a razo entre dois nmeros inteiros. Assim, toda

frao tambm uma razo, mas nem toda razo pode ser

expressa como uma frao. bom lembrar que os nmeros

irracionais no podem ser escritos na forma de frao, e o

nmero , que irracional, representa a razo entre o com-

primento da circunferncia e o dimetro desta.

4. Calcule os resultados das razes a seguir e

expresse-os em termos de porcentagem:

a) razo 3 : 150A razo 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centsimos). Em

porcentagem, a razo de 2%.

b) razo 24 : 40

A razo 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 dcimos), que equi-

vale a 0,60 (60 centsimos), ou seja, 60%.

c) razo 4 : 50

A razo 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centsimos), ou

seja, 8%.

d) razo 9 : 125

A razo 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centsimos e

2 milsimos), ou seja, 7,2%.

e) razo 165 : 300

A razo 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centsimos),

ou seja, 55%.

Razes conhecidas

Algumas razes recebem um nome especial

em virtude de sua ampla utilizao em algu-

mas reas do conhecimento, como escalas,

renda per capita, velocidade mdia, densida-

de, entre outras. As atividades a seguir explo-

ram o clculo de algumas dessas razes.

Escala

5. O que escala? Explique por meio de um

exemplo.

De modo geral, escala a razo entre a medida de um ob-

jeto representado em um desenho e a medida correspon-

dente ao objeto real. importante que se destaque que a

escala um tipo especial de razo matemtica. No caso

dos mapas, por exemplo, a escala a razo entre a medida

de uma regio representada em um desenho e a medida

correspondente regio real. Geralmente, um mapa traz

essa informao para facilitar a transposio da medida do

desenho para a medida real do objeto. Um mapa constru-

do na escala 1 : 100 000 indica que cada unidade de com-

primento no desenho , na realidade, cem mil vezes maior.

6. O mapa a seguir foi feito na escala

1 : 30 000 000 (l-se um para trinta mi-

lhes). Essa notao representa a razo de

proporcionalidade entre o desenho e o real,

ou seja, cada unidade no desenho , na reali-

dade, 30 milhes de vezes maior. Utilizando

uma rgua e a escala fornecida, determine:


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7.Com base no texto apresentado

na seo Leitura e anlise de texto,

resolva as seguintes questes.

a) Qual foi a velocidade mdia de um

automvel que percorreu 530 km em

6 horas?

A velocidade mdia a razo entre o deslocamento de

530 km e o intervalo de tempo para efetu-lo, ou seja, 6

horas. Portanto, a velocidade mdia nesse caso de aproxi-

madamente 88 km/h.

b)Qual a pulsao (batimentos por mi-

nuto) de uma pessoa cujo corao bate

12 vezes a cada 10 segundos?

Se o corao dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos,

em 1 segundo ele bater 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes.

Portanto, a pulsao de 72 batimentos por minuto.

c) Qual a velocidade de transmisso de

dados na internet, em kbps (quilobytes

por segundo), de um computador que

leva 30 segundos para baixar um arqui-

vo de 12 megabytes?

(Dica: 1 megabyte= 1 000 quilobytes.)

Como 12 megabytes igual a 12 000 quilobytes, ento, a ve-

locidade de transmisso ser igual a 12 000 30 = 400 kbps, ou

seja, 400 quilobytespor segundo.

8. Pesquise o signicado

das expresses densidade

de um materiale densidade

demogrca.

Densidade de um material a quantidade de massa

existente em cada unidade de seu volume. Ou seja,

a razo entre a massa e o volume de um corpo. Aunidade mais usada para expressar a densidade de um

material o grama por centmetro cbico (g/cm3). Por

exemplo, a densidade da gua de 1 grama por cent-

metro cbico (g/cm3).

J a densidade demogrfica a razo entre o nmero de

habitantes que vivem em uma regio e sua rea.

Velocidade

Em Fsica, a velocidade a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posio. Emnosso cotidiano, a palavra velocidade geralmente signica velocidade mdia, que a razo

entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetuar esse deslocamento. Dessa

forma, quando nos referimos velocidade de um carro (80 km/h), ou de um corredor (4 m/s),

estamos nos referindo sua velocidade mdia.

O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situaes anlogas. Por exemplo:

a pulsaoou frequncia de batimentos cardacos exprime a rapidez com que o corao bate,

ou seja, o nmero de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa ter uma pulsao

entre 60 e 100 batimentos por minuto.


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Probabilidade

A probabilidade um tipo especial de razo, na qual se compara o nmero de pos-

sibilidades de ocorrncia de um evento particular com o nmero total de possibilidades

relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lanamento de uma moeda, a probabilidade de

obter a face cara de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou 1

2, ou, ainda, 50%.

a razo entre o nmero de possibilidades de obter cara (1) e o nmero total de possibilidades,

cara ou coroa (2). No lanamento de um dado numerado de 1 a 6, a probabilidade de obter o

nmero 5 de uma em seis, ou 1

6, ou 16,7%.

b) Jogando-se ao acaso duas moedas,qual a probabilidade de se obter duas

coroas?

O espao amostral do lanamento de duas moedas : cara-

-cara; cara-coroa; coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades).

A probabilidade de obter duas coroas de 1 em 4, ou 0,25,

ou 25%.

c) Uma urna contm 7 bolas, sendo 3 ver-

melhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola

ao acaso, qual a probabilidade de que

ela seja vermelha? E de que ela seja preta?

A probabilidade de retirar uma bola vermelha de 3 em 7,

ou 0,429, ou 42,9%.

A probabilidade de retirar uma bola preta de 4 em 7, ou

0,571 ou 57,1%.

d) Um baralho contm 52 cartas, sendo

13 cartas de cada naipe (copas, ouros,

espadas e paus). Retirando-se uma

carta ao acaso, qual a probabilidade

de se obter uma carta de copas? E de se

obter um valete?

A probabilidade de retirar uma carta de copas de 13 em 52,

ou 0,25, ou 25%.

Para determinar a probabilidade de ocorrn-cia de determinado evento, devemos quanticar

o nmero de casos em que esse evento ocorre e

o nmero total de casos possveis, chamado de

espao amostral. A razo entre esses valores

o que chamamos de probabilidade. O resultado

dessa razo pode ser expresso como nmero de-

cimal ou como porcentagem.

12.Com base nas informaes

apresentadas na seo Leitura

e anlise de texto, resolva as

questes a seguir.

a) No lanamento de um dado numerado

de 1 a 6, qual a probabilidade de se

obter um nmero par? E um nmero

maior que 4?

O nmero total de possibilidades no lanamento de um dado

6. O nmero de ocorrncias de nmero par so 3 (2, 4 ou 6).

Portanto, a probabilidade de obter um nmero par de 3 em

6, ou 0,5, ou 50%.

J o nmero de ocorrncias de nmeros maiores que 4 so 2

(5 ou 6). Portanto, a probabilidade desse evento de 2 em 6,

ou 0,333..., ou aproximadamente 33%.


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e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram

vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por

R$ 90,00.

Quantidade dedlares (US$)

Valor emreais (R$)

Razo(reais por dlar)

20 36 36 20 = 1,80

50 90 90 50 = 1,80

Sim, h proporcionalidade, pois o preo do dlar foi o mes-

mo nas duas situaes, ou seja, R$ 1,80 por dlar.

Na atividade a seguir, os alunos realizaro

medidas e clculos de razes no corpo huma-

no a partir das razes indicadas por Leonardo

da Vinci no Homem vitruviano. Proponha

inicialmente a leitura do texto a seguir e, na

sequncia, pea aos alunos que completem a

tabela que indica as diferentes razes apre-

sentadas no texto.

OHomem vitruvianoe as razes no corpo humano

Leonardo da Vinci foi uma das guras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itlia, nosculo XV, e criou algumas das obras mais famosas de todos os tempos, como a Mona Lisa,A ltima ceia e A virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais diversas reas: pintura,arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ningum, aproximar a cinciada arte. Leonardo tambm produziu um estudo sobre as propores do corpo humano, baseadono tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, que, no sculo I a.C. havia descrito aspropores ideais do corpo humano, segundo um padro de harmonia matemtica. Assim comomuitos outros artistas, Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um deseus cadernos de anotao. No meio dessas anotaes, desenhou a gura de um homem dentro

de um crculo e de um quadrado. Essa gura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornandoum de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o esprito renascentista. O desenho de DaVinci evidenciou a retomada e a valorizao de princpios da tradio greco-latina, tais comobeleza, harmonia, equilbrio e proporo. Essa obra atualmente faz parte da coleo das GalleriedellAccademia(Galerias da Academia), em Veneza, na Itlia.

Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gravura do Homemvitruviano.

[...] O comprimento dos braos abertos de um homem igual sua altura [...]; desde o fundo do

queixo at ao topo da cabea um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura dos ombros contmem si prpria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo at o ngulo da axila um oitavo da alturado homem. A mo inteira ser um dcimo da altura do homem. [...] O p um stimo do homem [...]; adistncia entre o fundo do queixo e o nariz, e entre as razes dos cabelos e as sobrancelhas a mesma, e, como a orelha, um tero da cara.

Disponvel em: .Acesso em: 20 nov. 2013.


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Partes do corpoMedidasem cm

Em relao altura

Em relao face

Altura do homem 10,8

Longitude dos braos 10,8 1,001 ou 100,1%

Altura da cabea 1,3 0,121 ou 12,1%

Largura dos ombros 2,7 0,252 ou 25,2%

Do cotovelo s axilas 1,3 0,121 ou 12,1%

Comprimento da mo 1,1 0,102 ou 10,2%

Comprimento do p 1,5 0,139 ou 13,9%

Altura da face (do queixo raiz dos cabelos) 1,0

Do queixo ao nariz 0,3 0,30 ou 30%

Da sobrancelha raiz dos cabelos 0,3 0,30 ou 30%

Observao: valores aproximados.

16.Compare as razes obtidas por

meio das medidas (atividade 15)

com aquelas descritas no texto de

Da Vinci (atividade 14). Os resultados ca-

ram prximos? Houve diferenas? O que

poderia explicar as diferenas observadas

(se houver)?

As medidas sempre esto sujeitas a imprecises, assim como

a reproduo da imagem pode no estar na proporo do

desenho original. Talvez seja necessrio orientar os alunos

na identificao de determinadas distncias entre partes

do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho

traz marcas que ajudam a perceber o incio e o fim de cada

membro. importante diferenciar o tamanho da cabea do

tamanho da face.

Se as medidas forem realizadas com preciso, provvel

que as razes obtidas pelos alunos fiquem muito prximas

das descritas na atividade 14.


No final deste percurso de aprendi-

zagem, a expectativa de que os alunos

compreendam o conceito de razo na Ma-

temtica e saibam reconhec-lo, calcul-lo

e problematiz-lo em diversas situaes e

problemas. Acreditamos que os exemplos

e as situaes-problema apresentados pos-

sam contribuir para um aprendizado signi-

ficativo e contextualizado do conceito de

razo. A atividade 14, alm de despertar a

curiosidade dos alunos em relao ao pr-

prio corpo, envolve uma srie de compe-

tncias e habilidades especficas, tais como:

leitura e interpretao de texto; observao

de imagem; clculo de razes e mdias; rea-

lizao de medidas.


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3

comprimento de uma gura em duas vezes, e

sua altura em trs vezes, o aluno facilmente

vericar que houve uma distoro, isto ,

que as partes no aumentaram proporcional-mente. Esse o tema da atividade 1.

Em seguida, passamos a investigar as guras

geomtricas mais tradicionais, como o quadra-

do, o tringulo e a circunferncia. Nessas ativi-

dades, o aluno dever vericar a existncia ou

no de uma razo de proporcionalidade cons-

tante. A constatao de que a diagonal do qua-

drado diretamente proporcional ao seu ladolevar o aluno a descobrir uma razo constante

cujo valor , aproximadamente, 1,4. Ou que o

comprimento da circunferncia proporcional

ao seu dimetro na razo aproximada de 3,1,

razo esta representada pela letra grega (pi).

Por outro lado, em outra atividade, ele po-

der perceber que a medida do cateto oposto

de um tringulo no diretamente proporcio-

nal medida do ngulo oposto a ele. Por meio

desses exemplos, pretende-se que o aluno seja

capaz de avaliar em que situaes existe pro-

porcionalidade direta ou no, calculando as

razes e comparando-as.

Embora o estudo do acontea geralmen-

te a partir da 8asrie/9oano, entendemos que

sua incluso na 6asrie/7oano, sem uma preo-

cupao formal com a ampliao do campo

numrico, contribui para a compreenso sig-

nicativa da existncia de uma razo constan-

te nas guras geomtricas. Alm disso, a partir

da caracterizao da razo , exploramos al-

guns problemas envolvendo a determinao

do comprimento da circunferncia ou do seu

dimetro (atividade 6).

Por m, exploramos a proporcionalidadeexistente no retngulo ureo com a mesma in-

teno adotada na explorao do e da raiz

quadrada de 2, ou seja, de servir como um

exemplo ilustrativo e signicativo da ideia de

proporcionalidade nas guras geomtricas.

Ampliao de guras

1. A gura a seguir mostra odesenho de uma caravela re-

presentado em uma malha

quadriculada.

a) Considerando como unidade de medi-

da os lados dos quadrados, determine o

comprimento e a altura da caravela.

Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as

dimenses da caravela original ocupam 6 quadrados ho-

rizontais e 6 quadrados verticais. Portanto, a razo entre as

dimenses 1.

b) Qual das guras a seguir corresponde a

uma ampliao proporcional da cara-

vela original?

ConexoEditorial


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43/11442

5. Registre as medidas do comprimento da cir-

cunferncia (C) e do dimetro (D) do objeto

circular na tabela. Em seguida, calcule a ra-

zo entre C e D. Registre tambm as medidas

e as razes obtidas por quatro colegas que te-

nham escolhido um objeto diferente do seu.

IV.Usando o compasso, trace a mediatrizentre os pontos A e B e entre os pontos B e C.

V.A interseo das duas mediatrizes o centro da circunferncia. Desenhe o dimetro da circunfe-rncia e mea seu comprimento com a rgua.

C A

B

Objeto circular Comprimento C (cm) Dimetro D (cm) Razo C___D

Mdia


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49/11448

1o-)

2o-)

3o-)

4o-)

Tire as medidas dos lados dos quatro re-

tngulos assinalados nas guras e regis-

tre-as na tabela. Em seguida, resolva as

questes propostas.

a) Calcule a razo aproximada entre as

medidas do lado maior e do lado menor

de cada retngulo.

b) Calcule a mdia entre as razes obtidas.Resposta dos exerccios (a) e (b):

RetnguloLado maior

(cm)Lado menor

(cm)Razo

1o 6,3 3,9 1,61

2o 3,9 2,4 1,62

3o 2,4 1,5 1,6

4o 1,5 1,0 1,5

Mdia 1,58

c) A mdia cou prxima do valor da ra-

zo urea?

A mdia deve se aproximar do valor da razo urea, podendo

ser um pouco maior ou menor em razo das imprecises do

desenho e das medidas.

d) H proporcionalidade entre os retngu-

los destacados na cor vermelha?

Sim, pois a razo entre as medidas dos lados aproximada-

mente 1,6 para todos os retngulos.


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Construo geomtrica

9.A espiral urea ou logartmica uma es-

piral que cresce segundo a razo urea. Oformato da concha Nautilus(apresentada

na seo Leitura e anlise de texto) apro-

xima-se de uma espiral desse tipo. A cada

quarto de volta, a curva aumenta na razo

de 1,618, aproximadamente. Essa espiral

pode ser construda com base no retngu-

lo ureo, como veremos a seguir.

Etapas: Usando o compasso, trace um quarto

de circunferncia no quadrado maior (

direita), com centro no ponto Ae raio

igual ao lado desse quadrado.

Faa o mesmo com o segundo quadra-

do maior (em cima esquerda), com

centro no ponto B, de modo a dar con-

tinuidade ao arco anterior.

Repita essa construo para todos os

quadrados internos ao retngulo. O re-

sultado nal a espiral urea.

C

DE

FG

B

A


Ao nal desta Situao de Aprendizagem,

espera-se que os alunos sejam capazes de reco-nhecer a existncia de proporcionalidade em

guras geomtricas, por meio do clculo da ra-

zo de proporcionalidade. Alm disso, eles de-

vem conhecer as principais razes existentes na

Geometria, como a razo entre a diagonal e o

lado do quadrado ( 2 ) e a razo entre o com-

primento e o dimetro da circunferncia ().

Essa mais uma etapa do aprendizado

de proporcionalidade, que vai acompanhar

o aluno ao longo de sua vida escolar. Parti-

cularmente, as razes constantes em guras

geomtricas sero fundamentais para o pos-

terior estudo da semelhana geomtrica e

da trigonometria.

A avaliao da aprendizagemdos alunos em

relao ao contedo estudado pode ser feita a

partir da aplicao das atividades propostas

ao longo da Situao de Aprendizagem. H

de se ter ateno especial em relao s cons-

trues geomtricas e s medidas, principal-

mente no caso da representao de quadrados

e circunferncias.

Nas atividades desenvolvidas at aqui, explo-ramos a razo urea. Do mesmo modo que opi,o valor da razo urea simbolizado por uma

letra do alfabeto grego, o: . Ele tambm umnmero irracional, possuindo innitas casas de-cimais no peridicas. No o caso de comentar

essas caractersticas na 6a srie/7oano. Para osalunos, o importante nesse momento observarsituaes de proporcionalidade em guras geo-mtricas, o que foi feito ao longo desta Situao

de Aprendizagem.


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O Grfico 3. Pode-se observar na tabela que o futebol corres-

ponde a 50% da preferncia, ou seja, meia circunferncia, ou

180o. O vlei foi escolhido por 25% das pessoas, ou seja, um

quarto da circunferncia, ou 90o. O nico grfico que possui

esses dois setores circulares (180oe 90o) o Grfico 3.

c) Que cor corresponde a cada um dos

esportes?

O azul corresponde ao futebol; o violeta, ao vlei; o bege, ao

basquete; e o azul-claro, corrida.

5. O resultado de uma pesquisa feita com

80 pessoas sobre a preferncia de um localde viagem gerou o seguinte grco:

Montanha

Outros

Cidadeshistricas Praia

a) usando um transferidor, mea os ngulos

centrais de cada setor circular represen-

tado no grco e anote-os na tabela.

b) calcule as porcentagens que represen-

tam a razo entre cada ngulo e 360.

Anote-as na tabela.

c) calcule o nmero de pessoas que escolheram

cada tipo de viagem. Anote-o na tabela.

Local ngulocentral %Nmero

de pessoasPraia 144,0 40,0 32

Montanha 108,0 30,0 24Cidades

histricas 72,0 20,0 16

Outros 36,0 10,0 8Total 360,0 100,0 80

6. Para saber qual era o programa cultural

mais apreciado pelos habitantes de uma ci-

dade, foi feita uma pesquisa cujos resulta-

dos (em porcentagem) esto representadosna tabela a seguir.

Programapreferido %

ngulocentral

Cinema 37,5 135o

Msica 25,0 90o

Teatro 16,7 60o

Dana 12,5 45o

Outros 8,3 30o

Total 100,0 360oObservao: valores aproximados

a) Usando proporcionalidade, determine

os ngulos correspondentes s porcenta-

gens expressas na tabela.

Se 100% corresponde a 360ona circunferncia, ento: 37,5%

de 360o igual a 135o. 25% de 360o igual a 90o. 16,7% de 360o

igual a aproximadamente 60o. 12,5% de 360o igual a 45o.

8,3% de 360o igual a 30oaproximadamente.

b) Usando a circunferncia a seguir, que

foi dividida em 24 setores de 15 cada

um, represente os resultados da pesqui-

sa por meio de um grco de setores.

(Dica:faa as aproximaes dos ngu-

los centrais para valores inteiros.)


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SITUAO DE APRENDIZAGEM 5INVESTIGANDO SEQUNCIAS POR ARITMTICA E LGEBRA


Um dos objetivos centrais do processo de en-

sino e aprendizagem da lgebra generalizar re-

gularidades. O uso de letras para representar, por

exemplo, o padro de uma determinada sequn-

cia numrica um dos recursos que a lgebra

nos permite. Nesse caso, a generalizao de uma

sequncia numrica com o uso de expresses al-

gbricas pode ser til para determinar nmeros

especcos da sequncia sem recorrer a processos

aritmticos. Nesta Situao de Aprendizagem,

apresentamos uma proposta de trabalho com

sequncias, numricas ou no, como forma de

motivao para a busca de expresses algbricas.

Antes do trabalho com sequncias numri-

cas, propomos que sejam exploradas algumas

sequncias de padro geomtrico ou gur

Documents

CadernoDoProfessor 2014 2017 Vol2 Baixa MAT Matematica EF 6S 7A