c06 Regles Inferences BW

Mathematiques discre`tesRe`gles dinference

Cours 6, MATH/COSC 1056F

Julien Dompierre

Departement de mathematiques et dinformatiqueUniversite Laurentienne

15 septembre 2007, Sudbury

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Re`gles dinferenceMotivationDefinitionsRe`gles dinferenceContreveritesUtilisation des re`gles dinferenceRe`gles dinference et quantificateurs

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Exemple : existence de SupermanMC

Si SupermanMC voulait et pouvait prevenir la mal, il le ferait. SiSupermanMC etait incapable de prevenir le mal, il serait impuissant ;sil ne voulait pas prevenir le mal, il serait malveillant. SupermanMC

ne previent pas le mal. Si SupermanMC existe, il nest ni impuissantni malveillant.Donc, SupermanMC nexiste pas.

Ce raisonnement est-il valide ?

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Definitions : demonstration, raisonnement, theore`me etre`gle dinference

DefinitionLa demonstration est la serie denonces qui forment leraisonnement (ou largumentation, ou largument).

Un theore`me est un enonce dont on peut demontrer lexactitude.

Une re`gle dinference est une re`gle logique qui permet de deduireles conclusions a` partir des hypothe`ses. Les re`gles dinferencerelient les etapes dune demonstration.

Definitions : axiome, lemme, corollaire et conjecture

DefinitionUn axiome (ou un postulat) est un enonce qui est reconnu pouretre vrai.

Un lemme est un pre-theore`me, ou un theore`me simple quonutilise pour demontrer dautres theore`mes.

Un corollaire est un post-theore`me, ou une proposition quonpeut etablir directement a` partir dun theore`me deja` prouve.

Une conjecture est une proposition quon croit vraie mais dont onna pas encore trouve la demonstration.

Definitions : re`gle dinference, hypothe`se et conclusion

DefinitionCertaines tautologies sont des re`gles dinference. Elles sont sousla forme

(h1 h2 ... hn) cou`

hi sont appeles les hypothe`ses

et

c est la conclusion.

Notation dune re`gle dinference

La forme symbolique dune re`gle dinference est la suivante

h1h2...hn

c

ou` le symbole designe par consequent. On ecrit leshypothe`ses dans une colonne et la conclusion en dessous dunebarre.

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Re`gle dinference : le modus ponens

DefinitionLa re`gle dinference

p qp

q

est appele le modus ponens (signifie en latin mode qui affirme)ou loi de detachement. Selon le modus ponens, si uneimplication et son hypothe`se sont toutes deux vraies, alors laconclusion de cette implication est egalement vraie.

Le modus ponens provient de la tautologie

((p q) p) q.

modus ponens

p q p q (p q) p ((p q) p) qV V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

Exemple du modus ponens

Sil y a du feu, alors il y a de loxyge`ne.Il y a du feu.Par consequent, il y a de loxyge`ne.

f est la proposition il y a du feuo est la proposition il y a de loxyge`ne

f of

o

Re`gle dinference : le modus tollens


p qq

pest appele le modus tollens (signifie en latin mode qui denie).

Le modus tollens provient de la tautologie

((p q)q)p.

modus tollens

p q p q q (p q) q p ((p q) q) pV V V F F F VV F F V F F VF V V F F V VF F V V V V V

Exemple du modus tollens

Sil y a du feu, alors il y a de loxyge`ne.Il ny a pas doxyge`ne.Par consequent, il ny a pas de feu.


f oo

f

Re`gle dinference : laddition


p

p qest la re`gle daddition.

Elle provient de la tautologie

p (p q).

Re`gle dinference : la simplification


p q p

est la re`gle de simplification.


(p q) p.

Re`gle dinference : le syllogisme par hypothe`se


p qq r

p rest la re`gle du syllogisme par hypothe`se (syllogisme signifieraisonnement forme de trois propositions dont la dernie`re, laconclusion, est necessairement vraie si les deux premie`res, leshypothe`ses, sont admises).


((p q) (q r)) (p r).

Re`gle dinference : le syllogisme disjonctif


p qp

q

est la re`gle du syllogisme disjonctif.


(p q)p q.

Re`gle dinference : la conjonction


pq

p qest la re`gle de conjonction.


(p q) (p q).

Re`gle dinference : le dilemme constructif


(p q) (r s)p r

q sest la re`gle du dilemme constructif.


(((p q) (r s)) (p r)) (q s).

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Definition : contreverites

DefinitionLes contreverites sont des raisonnements inexacts.

Les contreverites ressemblent aux re`gles dinference, mais elles sontfondees sur des contingences plutot que sur des tautologies.

Contreverite daffirmer la conclusion

DefinitionLa fausse re`gle dinference

p qq

p

est une contreverite (et donc nest plus une re`gle dinference a`proprement parler).

Elle provient de la contingence

((pq) q) p

qui nest pas une tautologie.

Contreverite daffirmer la conclusion

p q p q q (p q) (q (p q)) pV V V V VV F F F VF V V V FF F V F V

Exemple de contreverite

Sil y a du feu, alors il y a de loxyge`ne.Il y a de loxyge`ne.Par consequent, il y a du feu ?


f oo

f

ce qui, a` partir des hypothe`ses, est une conclusion fausse.

Contreverite dignorer lhypothe`se

DefinitionLa fausse re`gle dinference

p qp

qest une contreverite (et donc nest plus une re`gle dinference a`proprement parler).

Elle provient de la contingence

((p q)p)q

qui nest pas une tautologie.

Contreverite dignorer lhypothe`se

p q p q p (p q) p q ((p q) p) qV V V F F F VV F F F F V VF V V V V F FF F V V V V V

Exemple de contreverite

Sil y a du feu, alors il y a de loxyge`ne.Il ny a pas de feu.Par consequent, il ny a pas doxyge`ne.


f of

o

ce qui, a` partir des hypothe`ses, est une conclusion fausse.

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Exemple dune preuve

Considerons le raisonnement suivant :

Si les chevaux volent ou les vaches mangent des artichauts, alors lemaringouin est loiseau national. Si le maringouin est loiseaunational, alors le beurre de peanut est bon sur des hot-dogs. Mais,le beurre de peanut est abject sur des hot-dogs.

Par consequent, les vaches ne mangent pas des artichauts.

Exemple dune preuve

Designons les propositions composant le raisonnement par deslettres :

I c est les chevaux volentI v est les vaches mangent des artichautsI m est le maringouin est loiseau nationalI b est le beurre de peanut est bon sur des hot-dogs

On represente le raisonnement formel a` laide des variables

h1. (c v)mh2. m bh3. b v ? ? ?

Exemple dune preuve

Construction de la preuve

1. (c v)m h12. m b h23. (c v) b Etapes 1 et 2 et re`gle du

syllogisme par hypothe`se.4. b h35. (c v) Etapes 3 et 4 et re`gle

du modus tollens.

6. c v Etape 5 et loi de De Morgan7. v Etape 6 et re`gle de simplification.

C. Q. F. D., Q. E. D. ou

Preuve de non existence de SupermanMC


ne previent pas le mal. Si SupermanMC existe, il nest ni impuissantni malveillant. Donc, SupermanMC nexiste pas.

Definissons les propositions :

I v est SupermanMC veut prevenir le malI p est SupermanMC peut prevenir le malI i est SupermanMC est impuissantI m est SupermanMC est malveillantI r est SupermanMC previent le malI x est SupermanMC existe



ne previent pas le mal. Si SupermanMC existe, il nest ni impuissantni malveillant.

Definissons les hypothe`ses :

I h1. (v p) rI h2. p iI h3. vmI h4. rI h5. xiI h6. xm


Construction de la preuve

1. i p contraposee de h22. x p h5 et etape 1 avec syll. par hyp.3. m v contraposee de h34. x v h6 et etape 3 avec syll. par hyp.5. x (p v) Etape 2 et 4 par conjonction6. x r Etape 5 et h1 avec syll. par hyp.7. x Etape 6 et h4 par modus tollens

C. Q. F. D., Q. E. D. ou

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Re`gles dinference pour les quantificateurs

Il y a quatre re`gles dinference pour les quantificateurs :

I linstantiation universelle (IU),I la generalisation universelle (GU),I linstantiation existentielle (IE),I la generalisation existentielle (GE).

Linstantiation universelle

x P(x) P(c)

Si une fonction propositionnelle est vraie pour tout element delunivers du discours, alors elle est vraie pour un elementparticulier, arbitraire ou non, de lunivers du discours.

Linstantiation universelle Exemple

Linstantiation universelle et le modus ponens sont utilisesensemble pour former le modus ponens universel. Exemple :Tous les hommes ont deux jambes. Pierre Tremblay est un homme.Par consequent Pierre Tremblay a deux jambes.

Definissons les predicats :

I H(x) est x est un hommeI J(x) est x a deux jambesI t est Pierre Tremblay, un element de lunivers du discours.

Le raisonnement devient :

1. x (H(x) J(x)) Hypothe`se2. H(t) J(t) Instantiation universelle de 1.3. H(t) Hypothe`se

J(t) Modus ponens de 2. et 3.

La generalisation universelle

P(x)

x P(x)

Il y a tout un cadre formel pour que cette re`gle puisse sappliquer.Brie`vement, il faut definir un univers du discours. Ensuite, il fautverifier la validite de la fonction propositionnelle P(x) pour un x ,de lunivers du discours, arbitraire, quelconque, un x sur lequel ona fait aucune hypothe`se restrictive. Si tel est le cas, alors P(x) estvraie pour tout x de lunivers du discours.

Linstantiation existentielle

x P(x) P(c)

Dans cette re`gle, c nest pas nimporte quel element x delunivers du discours, c doit etre un element delunivers du discours pour lequel P(x) est vraie.

La generalisation existentielle

P(c)

x P(x)

Si une fonction propositionnelle P(x) est vraie pour un element cde lunivers du discours, alors on peut affirmer quil existe un x delunivers du discours tel que la fonction propositionnelle P(x) estvraie.

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