C. R. Lindo Carrión

Funcionamiento de las redes en el campo de la Funcionamiento de las redes en el campo de la FrecuenciaFrecuencia

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad VUnidad V

Funcionamiento de las redes en el Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuenciacampo de la frecuencia

Conferencia 1Conferencia 1


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos Definir el concepto de Funciones de redDefinir el concepto de Funciones de red Definir la función de red en términos de polos y cerosDefinir la función de red en términos de polos y ceros.. Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase),

considerando los siguientes factores: términos constantes, considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas.simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas.

5.1 Introducción5.1 Introducción5.2 Análisis de respuesta de frecuencia variable.5.2 Análisis de respuesta de frecuencia variable. Funciones de la red.Funciones de la red. Polos y ceros. Polos y ceros. 5.3 Análisis de frecuencia compleja5.3 Análisis de frecuencia compleja Respuesta utilizando el diagrama de Bode:Respuesta utilizando el diagrama de Bode: Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden

'n''n' Polo o cero simple, Polos o ceros cuadráticosPolo o cero simple, Polos o ceros cuadráticos

ContenidoContenido



Una red que contiene un capacitor y una bobina opera de Una red que contiene un capacitor y una bobina opera de manera diferente si se cambia la frecuencia. Esto se debe a que manera diferente si se cambia la frecuencia. Esto se debe a que la impedancia de ambos elementos del circuito dependen de la la impedancia de ambos elementos del circuito dependen de la frecuencia. Si la frecuencia de las fuentes de la red varía en frecuencia. Si la frecuencia de las fuentes de la red varía en algún rango, podemos esperar que también la red experimente algún rango, podemos esperar que también la red experimente variaciones en respuesta a esos cambios de frecuencia. variaciones en respuesta a esos cambios de frecuencia.

5.1 Introducción5.1 Introducción

Un ejemplo concreto es un amplificador estereofónico. La Un ejemplo concreto es un amplificador estereofónico. La señal de entrada contiene ondas de sonido con frecuencias señal de entrada contiene ondas de sonido con frecuencias que van de principio a fin; y, sin embargo, el amplificador que van de principio a fin; y, sin embargo, el amplificador debe ampliar cada componente de frecuencia exactamente debe ampliar cada componente de frecuencia exactamente en la misma proporción a fin de alcanzar una reproducción en la misma proporción a fin de alcanzar una reproducción perfecta del sonido perfecta del sonido

Esto no es una tarea trivial, y cuando Usted compra un muy Esto no es una tarea trivial, y cuando Usted compra un muy buen amplificador, parte del precio refleja el diseño buen amplificador, parte del precio refleja el diseño necesario para lograr una amplificación constante sobre la necesario para lograr una amplificación constante sobre la amplia gama de frecuencias. amplia gama de frecuencias.



Los dispositivos de comunicación modernos utilizan Los dispositivos de comunicación modernos utilizan dispositivos llamados filtros para separar las señales dispositivos llamados filtros para separar las señales eléctricas en base a su contenido en frecuencia. Por lo tanto, eléctricas en base a su contenido en frecuencia. Por lo tanto, es importante describir las relaciones que dependen de la es importante describir las relaciones que dependen de la frecuencia, tanto la amplitud como la fase, entre la señal frecuencia, tanto la amplitud como la fase, entre la señal senoidal de entrada y la señal senoidal de salida.senoidal de entrada y la señal senoidal de salida.

Nuestro estudio consistirá en examinar el funcionamiento de Nuestro estudio consistirá en examinar el funcionamiento de redes eléctricas cuando son excitadas por fuentes de redes eléctricas cuando son excitadas por fuentes de frecuenta variable. Estos efectos son importantes en el frecuenta variable. Estos efectos son importantes en el análisis y diseño de redes reales como filtros, sintonizadores análisis y diseño de redes reales como filtros, sintonizadores y amplificadores que tienen una extensa aplicación en y amplificadores que tienen una extensa aplicación en sistemas de comunicación y control.sistemas de comunicación y control.

La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación dependiente de la frecuencia, tanto en magnitud como en dependiente de la frecuencia, tanto en magnitud como en fase, entre una entrada senoidal de estado estable y una fase, entre una entrada senoidal de estado estable y una señal de salida senoidal de estado estable.señal de salida senoidal de estado estable.



La impedancia de la Resistencia es: La impedancia de la Resistencia es: ZZRR = R = R = R = R|0|0oo, donde la , donde la magnitud y la fase son constantes e independientes de la magnitud y la fase son constantes e independientes de la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia del frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia del Resistor en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 1.Resistor en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 1.

5.2 Análisis de la respuesta de frecuencia variable 5.2 Análisis de la respuesta de frecuencia variable

La impedancia de la Bobina es: La impedancia de la Bobina es: ZZLL = j = jL = L = LL|90|90oo, donde la , donde la fase es constante a 90º pero la magnitud es directamente fase es constante a 90º pero la magnitud es directamente proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia de la Bobina en el dominio de la frecuencia se la impedancia de la Bobina en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 2.muestra en la Figura 2.



La impedancia del Capacitor es: La impedancia del Capacitor es: ZZCC = 1/j = 1/jC = (1/C = (1/C)C)|-90|-90oo, , donde la fase es constante a -90º pero la magnitud es donde la fase es constante a -90º pero la magnitud es inversamente proporcional a la frecuencia. La gráfica de inversamente proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia del Capacitor en el dominio magnitud y fase de la impedancia del Capacitor en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 3.de la frecuencia se muestra en la Figura 3.



Ahora veamos el circuito RLC serie Ahora veamos el circuito RLC serie mostrado en la Figura 4, donde la mostrado en la Figura 4, donde la impedancia equivalente es:impedancia equivalente es:

CjLjR

1

eqZ



La Figura 5 muestra la magnitud y fase de esta impedancia en La Figura 5 muestra la magnitud y fase de esta impedancia en función de la frecuencia.función de la frecuencia.

Cj

RCjLCj

1)( 2

eqZ

Observe que a muy bajas frecuencia, el capacitor aparece Observe que a muy bajas frecuencia, el capacitor aparece como un circuito abierto y, por consiguiente la impedancia es como un circuito abierto y, por consiguiente la impedancia es muy grande en esta escala. A altas frecuencias el capacitor muy grande en esta escala. A altas frecuencias el capacitor tiene un efecto muy pequeño y la impedancia es dominada tiene un efecto muy pequeño y la impedancia es dominada por la bobina, cuya impedancia se sigue elevando con la por la bobina, cuya impedancia se sigue elevando con la frecuencia. frecuencia.



A medida que los circuitos se hacen más complicados, las A medida que los circuitos se hacen más complicados, las ecuaciones se vuelven más molestas. En un intento por ecuaciones se vuelven más molestas. En un intento por simplificarlas, hacemos la sustitución s=jsimplificarlas, hacemos la sustitución s=j (Esta sustitución (Esta sustitución tiene un significado más importante). Con esta sustitución, la tiene un significado más importante). Con esta sustitución, la expresión para la impedancia expresión para la impedancia ZZeqeq se convierte en: se convierte en:

Si revisamos los cuatros circuitos vistos hasta aquí, Si revisamos los cuatros circuitos vistos hasta aquí, encontramos que en cada caso la impedancia es la razón de encontramos que en cada caso la impedancia es la razón de dos polinomios en s y es de la forma generaldos polinomios en s y es de la forma general

sC

sRCLCs 12 eqZ

011

1

011

1

bsbsbsb

asasasa

D(s)

N(s)n

nn

n

mm

mm

Z(s)

Esta ecuación es válida para impedancias y también para Esta ecuación es válida para impedancias y también para todos los voltajes, las corrientes, las admitancias y las todos los voltajes, las corrientes, las admitancias y las ganancias en la red. La única restricción es que los valores de ganancias en la red. La única restricción es que los valores de todos los elementos de circuito (resistencias, capacitores, todos los elementos de circuito (resistencias, capacitores, bobinas y fuentes dependientes) deben ser números reales.bobinas y fuentes dependientes) deben ser números reales.



Considere la red que se Considere la red que se muestra en la Figura 6. Se muestra en la Figura 6. Se desea determinar la variación desea determinar la variación del voltaje de salida como del voltaje de salida como función de la frecuencia en la función de la frecuencia en la escala de 0 a 1KHz.escala de 0 a 1KHz.

EjemploEjemplo

Usando el divisor de voltaje, la salida puede expresarse comoUsando el divisor de voltaje, la salida puede expresarse como

SoluciónSolución

so VV

CjLjR

R

1

so VV

1)( 2 CRjLCj

CRj



Utilizando los valores de los elementos, la ecuación se Utilizando los valores de los elementos, la ecuación se convierte en:convierte en:

En este punto podemos sustituir simplemente los diferentes En este punto podemos sustituir simplemente los diferentes valores de la frecuencia en la escala de interés en la valores de la frecuencia en la escala de interés en la ecuación, y determinar la magnitud y fase del voltaje de ecuación, y determinar la magnitud y fase del voltaje de salida.salida.

o

jj

j0|10

1)10*95.37()10*53.2()(

)10*95.37)((342

3

oV

Usando un gran número de esos puntos podemos hacer Usando un gran número de esos puntos podemos hacer gráficas de la magnitud y fase del voltaje de salida como gráficas de la magnitud y fase del voltaje de salida como función de la frecuencia. Este efectivo pero tedioso método función de la frecuencia. Este efectivo pero tedioso método puede simplificarse bastante si se aplica un software (Pspice, puede simplificarse bastante si se aplica un software (Pspice, Matlab, etc). Matlab, etc).

Las gráficas que resultan de la magnitud y la fase se Las gráficas que resultan de la magnitud y la fase se muestran en la Figura 7.muestran en la Figura 7.



La función de red es designada generalmente como La función de red es designada generalmente como H(s)H(s), y , y define la razón de respuesta a la entrada. Como la función define la razón de respuesta a la entrada. Como la función describe una reacción debida a una excitación en algún otro describe una reacción debida a una excitación en algún otro punto del circuito, las funciones de la red de estación también punto del circuito, las funciones de la red de estación también se llaman se llaman funciones de transferenciafunciones de transferencia. Además, las funciones . Además, las funciones de transferencias no están limitadas a razones de voltaje. Lo de transferencias no están limitadas a razones de voltaje. Lo mismo que en redes eléctricas, las entradas o salidas pueden mismo que en redes eléctricas, las entradas o salidas pueden ser voltajes o corrientes hay cuatro posibles de la red, como ser voltajes o corrientes hay cuatro posibles de la red, como se enlista en la siguiente tabla.se enlista en la siguiente tabla.

Funciones de la redFunciones de la red



EjemploEjemplo

También hay También hay funciones de puntos de entradafunciones de puntos de entrada, que son , que son impedancias o admitancias definidas en un solo par de impedancias o admitancias definidas en un solo par de terminales. Por ejemplo, la impedancia de entrada de una red terminales. Por ejemplo, la impedancia de entrada de una red es una función de entrada.es una función de entrada.

EntradaEntrada SalidaSalida Función de Función de TransferenciaTransferencia

SímboloSímbolo

VoltajeVoltaje VoltajeVoltaje Ganancia de VoltajeGanancia de Voltaje GGVV(s)(s)

CorrientCorrientee

VoltajeVoltaje TransimpedanciaTransimpedancia Z(s)Z(s)

CorrientCorrientee

CorrientCorrientee

Ganancia de CorrienteGanancia de Corriente GGII(s)(s)

VoltajeVoltaje CorrientCorrientee

TransadmitanciaTransadmitancia Y(s)Y(s)

Para el circuito mostrado en la Para el circuito mostrado en la Figura 8, determine la Figura 8, determine la Transadmitancia [Transadmitancia [II22(s)(s)//VV11(s)(s)] y la ] y la ganancia de voltaje.ganancia de voltaje.



SoluciónSolución

Haciendo LKV a la malla 1 se Haciendo LKV a la malla 1 se obtiene:obtiene:

Resolviendo las ecuaciones para Resolviendo las ecuaciones para II22(s) (s) se obtiene:se obtiene:

(R(R11+sL)+sL)II11(s)(s) – sL – sLII22(s)(s) = = VV11(s)(s)

Haciendo LKV a la malla 2 se Haciendo LKV a la malla 2 se obtiene:obtiene:

-sL-sLII11(s)(s) + (R + (R22+sL+1/sC)+sL+1/sC)II22(s)(s) = = 00

VV22(s)(s) = = II22(s)(s)RR22

2221 )/1)(( LssCsLRsLR

sL

(s)V(s)I 12

Por lo tanto, la Transadmitancia es:Por lo tanto, la Transadmitancia es:

1212

21

2

)()()( RsCRRLLCsRR

LCs

s

1

2

V

(s)IY(s)



Y la ganancia de voltaje es:Y la ganancia de voltaje es:

Polos y CerosPolos y Ceros

Como hemos indicado anteriormente, la función de red puede Como hemos indicado anteriormente, la función de red puede expresarse como la razón de los dos polinomios en s. Además expresarse como la razón de los dos polinomios en s. Además notamos que como los valores de nuestros elementos de notamos que como los valores de nuestros elementos de circuitos, o fuentes controladas, son números reales, los circuitos, o fuentes controladas, son números reales, los coeficientes de los dos polinomios serán reales. Por lo tanto, coeficientes de los dos polinomios serán reales. Por lo tanto, expresamos una función de red en la forma:expresamos una función de red en la forma:

1212

21

2

)()()( RsCRRLLCsRR

LCRs

s

1

2

V

(s)VG(s)

011

1

011

1

bsbsbsb

asasasa

D(s)

N(s)n

nn

n

mm

mm

H(s)



donde N(s) es el polinomio del numerador de orden m y D(s) es donde N(s) es el polinomio del numerador de orden m y D(s) es el polinomio del denominador de orden n. La ecuación anterior el polinomio del denominador de orden n. La ecuación anterior también puede escribirse en la forma siguiente:también puede escribirse en la forma siguiente:

Donde KDonde Koo es una constante, z es una constante, z11, , , z, zmm son las raíces de N(s), y son las raíces de N(s), y pp11, , , p, pnn son las raíces de D(s). son las raíces de D(s).

)())((

)())((

21

21

n

mo

pspsps

zszszsK

H(s)

Observe que si s=zObserve que si s=z11, o z, o z22, , , z, zmm, entonces , entonces H(s)H(s) se hace cero y se hace cero y de aquí zde aquí z11, , , z, zmm se llaman ceros de la función de se llaman ceros de la función de transferencia. De manera similar, si s=ptransferencia. De manera similar, si s=p11, o p, o p22, , , p, pnn, , entonces entonces H(s)H(s) se hace infinito y, por consiguiente p se hace infinito y, por consiguiente p11, , , p, pmm se se llaman ceros polos de la función de transferencia.llaman ceros polos de la función de transferencia.

Los ceros o polos realmente son complejos. Sin embargo, si Los ceros o polos realmente son complejos. Sin embargo, si ellos son complejos deben presentarse en pares conjugados, ellos son complejos deben presentarse en pares conjugados, ya que los coeficientes de los polinomios son realesya que los coeficientes de los polinomios son reales



La representación de la función de la red especificada en La representación de la función de la red especificada en términos de polos y ceros, es extremadamente importante y en términos de polos y ceros, es extremadamente importante y en general se emplea para representar cualquier sistema lineal general se emplea para representar cualquier sistema lineal invariante en el tiempo. La importancia de esta forma se deriva invariante en el tiempo. La importancia de esta forma se deriva del hecho de que las propiedades dinámicas de un sistema del hecho de que las propiedades dinámicas de un sistema pueden recogerse de un examen de los polos del sistema.pueden recogerse de un examen de los polos del sistema.

5.3 Análisis de frecuencia senoidal5.3 Análisis de frecuencia senoidal

Aunque hay casos específicos en los que una red opera a sólo Aunque hay casos específicos en los que una red opera a sólo una frecuencia (por ejemplo, la red del sistema de potencia), una frecuencia (por ejemplo, la red del sistema de potencia), en general estamos interesados en el comportamiento de una en general estamos interesados en el comportamiento de una red como función de la frecuencia. En análisis senoidal de red como función de la frecuencia. En análisis senoidal de estado estable, la función de la red puede expresarse como:estado estable, la función de la red puede expresarse como:

)()( jeMH(s) donde M(donde M()=|)=|HH(j(j)| y )| y (() es la fase. Una gráfica de esas dos ) es la fase. Una gráfica de esas dos

funciones, que se llaman comúnmente funciones, que se llaman comúnmente magnitud y magnitud y característica de fasecaracterística de fase, despliega la forma en que la respuesta , despliega la forma en que la respuesta varía con la frecuencia de entrada varía con la frecuencia de entrada ..



Si las características de la red son trazadas en una escala Si las características de la red son trazadas en una escala semilogarítmica, es decir, una escala lineal para la ordenada y semilogarítmica, es decir, una escala lineal para la ordenada y una escala logarítmica para la abscisa, se conocen como una escala logarítmica para la abscisa, se conocen como gráficas de Bodegráficas de Bode (llamadas así en recuerdo de Hendrik W. (llamadas así en recuerdo de Hendrik W. Bode).Bode).

Respuesta de frecuencia usando una gráfica de BodeRespuesta de frecuencia usando una gráfica de Bode

Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y diseño de sistemas dependientes de la frecuencia y de las diseño de sistemas dependientes de la frecuencia y de las redes, como filtros, sintonizadores y amplificadores.redes, como filtros, sintonizadores y amplificadores.

Al usar la gráfica, hacemos gráficas de 20logAl usar la gráfica, hacemos gráficas de 20log1010M(M() contra ) contra loglog1010(() en vez de M() en vez de M() contra () contra (). La ventaja de esta técnica ). La ventaja de esta técnica es que más que trazar las características punto por punto, es que más que trazar las características punto por punto, podemos emplear aproximaciones en línea recta para obtener podemos emplear aproximaciones en línea recta para obtener la característica de manera muy eficiente.la característica de manera muy eficiente.

La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (dB). La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (dB). Esta unidad fue empleada originalmente para medir la razón Esta unidad fue empleada originalmente para medir la razón de potencias, es decir:de potencias, es decir:

número en dB =10lognúmero en dB =10log1010(P(P22/P/P11))



Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entoncesentonces

El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la para razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior, haciendo caso omiso de la impedancia ecuación anterior, haciendo caso omiso de la impedancia empleada en cada caso.empleada en cada caso.

En el caso senoidal en estado estable, En el caso senoidal en estado estable, HH(j(j) puede escribirse ) puede escribirse en general como:en general como:

R

R

R

R2

2

102

2

10 ||

||log10

/||

/||log10dBdenumero

1

2

1

2

I

I

V

V

||

||log20

||

||log20dBdenumero 1010

1

2

1

2

I

I

V

V

])()(21)[1(

])()(21)[1()(2

23331

bbba

No

jjj

jjjjK

)H(j



Recuerde que s=jRecuerde que s=j y y =1/=1/, entonces la ecuación anterior se , entonces la ecuación anterior se puede escribir como: puede escribir como:

Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores típicos:factores típicos:

1. Un factor K1. Un factor Koo>0 independiente de la frecuencia.>0 independiente de la frecuencia.

])/()/(21)[/1(

])/()/(21)[/1()(2

23331

bbba

No

sss

ssssK

)H(j

2. Polos o ceros en el origen de la forma j2. Polos o ceros en el origen de la forma j, es decir, (j, es decir, (j))+N+N para ceros y (jpara ceros y (j))-N-N para polos. para polos.

3. Polos o ceros de la forma (1+j3. Polos o ceros de la forma (1+j).).

4. Polos o ceros cuadráticos de la forma 1 + 24. Polos o ceros cuadráticos de la forma 1 + 2(j(j) + (j) + (j))22..



Tomando el logaritmo de la magnitud de la funciónTomando el logaritmo de la magnitud de la función H H(j(j) se ) se obtiene:obtiene:

20log20log1010||HH(j(j)| = 20log)| = 20log1010KKoo 20Nlog 20Nlog1010|j|j| + 20log| + 20log1010|1+j|1+j11| |

Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto de dos o más términos es igual a la suma de los producto de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales, el logaritmo del cociente de dos términos individuales, el logaritmo del cociente de dos términos es igual a la diferencia de los logaritmos términos es igual a la diferencia de los logaritmos individuales, y el hecho de que logindividuales, y el hecho de que log1010AAnn = nlog = nlog1010A.A.

El ángulo de fase para El ángulo de fase para HH(j(j) es:) es:

+ 20log+ 20log1010|1+2|1+233(j(j33)+(j)+(j33))22| + | +

- 20log- 20log1010|1+j|1+jaa| - 20log| - 20log1010|1+2|1+2bb(j(jbb)+(j)+(jbb))22| - | -

||HH(j(j)) = 0 = 0 N(90º) +tan N(90º) +tan-1-111

23

2331

1

2tan

22

11

1

2tantan

b

bba



Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode.una manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode.

El diagrama de El diagrama de magnitud es una línea magnitud es una línea horizontal puesta a:horizontal puesta a:

0 dB si |K0 dB si |Koo| = | = 11

bajo de 0 dB si |Kbajo de 0 dB si |Koo| < | < 1 1

arriba del 0 dB si |Karriba del 0 dB si |Koo| > | > 11

Funciones con frecuencia invariante (Termino constante)Funciones con frecuencia invariante (Termino constante)

HH(s) = Ko, entonces |(s) = Ko, entonces |HH(s)|(s)|dBdB = 20log = 20log1010KKoo



El diagrama de fase es El diagrama de fase es una línea horizontal una línea horizontal puesta a:puesta a:

00oo si K si Koo es positiva es positiva -180º si K-180º si Koo es negativa es negativa



El diagrama de El diagrama de magnitud es una línea magnitud es una línea con pendiente de +20 con pendiente de +20 dB/década sobre todo dB/década sobre todo el rango de el rango de frecuencias, para el frecuencias, para el caso de un cero. Si caso de un cero. Si //oo = 1, la curva pasa por 0 = 1, la curva pasa por 0 dB.dB.

Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen)Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen)

HH(s) = (s/(s) = (s/oo))11, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la , el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un poloraíz es un polo

||HH(s)|(s)|dBdB = = 20log20log1010((//oo))



El diagrama de El diagrama de magnitud es una línea magnitud es una línea con pendiente de -20 con pendiente de -20 dB/década sobre todo dB/década sobre todo el rango de el rango de frecuencias, para el frecuencias, para el caso de un polo.caso de un polo.

20 dB/dec = 20 dB/dec = 6 6 dB/octdB/oct



El diagrama de fase es El diagrama de fase es una línea horizontal a una línea horizontal a +90º sobre todo el +90º sobre todo el rango de frecuencias, rango de frecuencias, para el caso de un cero.para el caso de un cero.



El diagrama de fase es El diagrama de fase es una línea horizontal a -una línea horizontal a -90º sobre todo el rango 90º sobre todo el rango de frecuencias, para el de frecuencias, para el caso de un polo.caso de un polo.



El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia y una de alta frecuencia (a.a.f).(a.a.f).

a.b.f |a.b.f |HH(s)|=0 para (s)|=0 para //oo 1 1

a.a.f a.a.f ||HH(s)|=(s)|=20log20log1010((//oo) ) para para //oo 1 1

Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple)Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple)

HH(s) = (s/(s) = (s/oo+1)+1)11, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si , el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polola raíz es un polo

||HH(s)|(s)|dBdB = = 20log20log1010[1+([1+(//oo))22]]

para para //oo = = 11

||HH(s)|(s)|dBdB==3dB3dB



El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia y una de alta frecuencia (a.a.f).(a.a.f).

a.b.f |a.b.f |HH(s)|=0 para (s)|=0 para //oo 1 1

a.a.f a.a.f ||HH(s)|=(s)|=20log20log1010((//oo) ) para para //oo 1 1

para para //oo = = 11

||HH(s)|(s)|dBdB==3dB3dB



El diagrama de fase tiene El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).alta frecuencia (a.a.f).

a.b.f a.b.f HH(s)=0(s)=0oo para para //oo 0.10.1

a.a.f a.a.f HH(s)=(s)=90º para 90º para //oo 10. 10.

Para 0.1 Para 0.1 //oo 10 existen 10 existen pendientes de pendientes de 45º 45º para para //oo = = 11

HH(s) =(s) =45º 45º

para para //oo = 0.1 y = 0.1 y //oo = = 10 la fase tiene 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º. desviaciones de cerca 6º.






Para 0.1 Para 0.1 //oo 10 existen 10 existen pendientes de pendientes de 45º 45º para para //oo = = 11

HH(s) =(s) =45º 45º

para para //oo = 0.1 y = 0.1 y //oo = = 10 la fase tiene 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º. desviaciones de cerca 6º.



El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).

a.b.f |a.b.f |HH(s)|=0 para (s)|=0 para //oo 1 1 a.a.f |a.a.f |HH(s)|=(s)|=40log40log1010((//oo) para ) para //oo 1 1

Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos)cuadráticos)

HH(s) = [(s/(s) = [(s/oo))22+2+2(s/(s/oo)+1])+1]11, el signo + si la raíz es un cero y , el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un poloel signo – si la raíz es un polo

||HH(s)|(s)|dBdB = = 10log10log1010{[1+({[1+(//oo))22]]22+[2+[2((//oo)])]22}}

1/ js o

HH(j(j) = [1-() = [1-(//oo))22+2+2j(j(//oo)])]11










Para 0.1 Para 0.1 //oo 10 existen 10 existen pendientes de pendientes de 90º 90º





Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son satisfactorias para son satisfactorias para cerca 1/ cerca 1/2, pero para pequeños 2, pero para pequeños valores de valores de debemos aplicar correcciones para reflejar la debemos aplicar correcciones para reflejar la presencia de un pico. Estas correcciones son hechas en los presencia de un pico. Estas correcciones son hechas en los siguientes puntos significantes.siguientes puntos significantes.

1) a la frecuencia de corte, es decir, 1) a la frecuencia de corte, es decir, //oo = 1, = 1, entonces |entonces |HH(s)|dB = (s)|dB = 20log20log101022

2) a la frecuencia donde se da el pico, 2) a la frecuencia donde se da el pico, //oo = = (1-(1-22), ), entonces |entonces |HH(s)|dB = (s)|dB = 10log10log1010[4[422(1-(1-22)])]

3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir 3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir //oo = = 1/2, 1/2,

entonces |entonces |HH(s)|dB = (s)|dB = 10log10log1010((22+0.75+0.7522)) 4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de

0 dB, 0 dB, //oo = = [2(1-2[2(1-222)])]

5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es 5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, decir, //oo = 1/2, entonces = 1/2, entonces HH(s) = (s) = tantan-1-1((/0.75)/0.75)



6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es 6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, decir, //oo = 2, entonces = 2, entonces HH(s) = (s) = [180-tan[180-tan-1-1((/0.75)]/0.75)]

En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que se deben hacercorrecciones que se deben hacer



Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario introducir la definición de intervalo de década o llamado introducir la definición de intervalo de década o llamado también ciclo. Dado un valor de frecuencia específica también ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10dentro del ciclo 10nn 10 10n+1n+1 rad/s, su localización “l” rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es:dentro del ciclo es:

Múltiples raíces Múltiples raíces

Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r, entonces el término correspondiente tiene la multiplicidad r, entonces el término correspondiente tiene la forma forma HHrr. Así tenemos:. Así tenemos:

||HHrr(j(j)|)|dBdB = r*| = r*|HH(j(j)|)|dBdB

HHrr(j(j) = r*) = r*HH(j(j))

nl

10log10



Localizar 320 rad/s, y 2000 rad/sLocalizar 320 rad/s, y 2000 rad/s

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

101022 rad/s rad/s 320 rad/s 320 rad/s 10 1033 rad/s, entonces: rad/s, entonces: 5.010

320log

210320 l

101033 rad/s rad/s 2000 rad/s 2000 rad/s 10 1044 rad/s, entonces: rad/s, entonces: 3.010

2000log

3102000 l

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C. R. Lindo Carrión