Embed Size (px)
Citation preview
1
TICH PHÂN
Tich phân suy rông
Phương trình vi phân
Lecture 8
Nguyen Van Thuy
Review-Tich phân xac đinh
Tinh chất
Công thưc Newton-Leibniz
'
'( )
( )
( ) ( )
( ) [ ( )]. '( ) [ ( )]. '( )
x
a
v x
u x
f t dt f x
f t dt f v x v x f u x u x
12/16/2010
( ) ( ) ( ) : ( )
bb
a
a
f x dx F b F a F x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-2
Review
( ) [ ( )
{( , ) | , ( ) ( )}
( )]
b
a
S x y a x b g x y f x
A S f x g x dx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-3
Review
12/16/2010
2 ( )
b
y
a
V xf x dx 2[ ( )]
b
x
a
V f x dx
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-4
Tich phân suy rông loai 1
Đinh nghia
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
= lim𝑡→+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
Nếu giơi han ơ vế phai tồn tai hưu han
thi tich phân suy rông ơ vế trai đươc goi
la hôi tu. Ngươc lai, tich phân suy rông
đươc goi la phân ky
12/16/2010
a t
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-5
Tich phân suy rông loai 1
Vi dụ (452). Tinh
12/16/2010
1 2
01
dxI
x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-6
2
Tich phân suy rông loai 1
Tương tự
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
−∞
= lim𝑡→−∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
−∞
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-7
Tich phân suy rông loai 1
453. Tinh
12/16/2010
0
2 2 2,
1 1
dx dxI I
x x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-8
Tich phân suy rông loai 1
Vi du
Vây, tich phân hôi tu
Vây, tich phân phân ky
12/16/2010
2 2
11 1
1 1lim lim lim 1 1
tt
t t t
dx dxI
x x x t
1
1 1
lim lim ln | | lim ln | |
tt
t t t
dx dxJ x t
x x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-9
Tich phân suy rông loai 1
Vi du
(466) Tinh
(464) Tinh
12/16/2010
2lne
dxI
x x
2
2
0
8arctan
1
xdxI
x
3 3 32) ) ) )
3 3 24a I b I c I d I
) 1 ) 2 ) ) 2a I b I c I d I e
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-10
Tich phân suy rông loai 1
451. Tinh
𝐼 = 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
𝑎) 𝐼 = −1 𝑏) 𝐼 = 1 𝑐) 𝐼 = −2 𝑑) 𝐼 = 2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-11
Tich phân suy rông loai 1
Chú ý
𝐼 = 𝑑𝑥
𝑥𝛼
+∞
𝑎
12/16/2010
Hôi tụ ⇔ 𝛼 > 1
Phân ky ⇔ 𝛼 ≤ 1 𝑎 > 0
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-12
3
Tiêu chuân so sanh
Gia sư
Nêu phân ky thì phân ky
Nêu hôi tụ thì hôi tụ
Vi dụ (478) Tich phân hôi tụ khi
a) >1 b) <1 c) tuy y d) ko co
12/16/2010
( )a
f x dx
( )a
g x dx
( )a
g x dx
( )a
f x dx
0 ( ) ( ),f x g x x a
2
0
sin
1
xdx
x
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-13
Tiêu chuân so sanh
Gia sư va
(L0 va hưu han)
Khi đo, 2 tich phân va co
cung tinh chât
Vi dụ (474) Tich phân
hôi tụ khi
a) <-1 b) <1/2 c) >1 d) ko co 12/16/2010
( )lim
( )x
f xL
g x
( )a
f x dx
( )a
g x dx
3 ( 1)( 2)
xdx
x x x
0 ( ) ( ),f x g x x a
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-14
Tich phân suy rông loai 2
Xét tích phân
𝐼 = 𝑑𝑥
𝑥
1
0
Nhận xét
lim𝑥→0+
1
𝑥= +∞
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-15
Tich phân suy rông loai 2
Cách tính
𝐼 = 𝑑𝑥
𝑥
1
0
= lim𝜀→0+
𝑑𝑥
𝑥
1
𝜀
= lim𝜀→0+
2 𝑥 1𝜀
= lim𝜀→0+
(2 − 2 𝜀) = 2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-16
Tich phân suy rông loai 2
𝑓 không xac đinh tai 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim𝜀→0+
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎+𝜀
𝑓 không xac đinh tai 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim𝜀→0+
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏−𝜀
𝑎
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-17
Tich phân suy rông loai 2
Vi du
(467) Tinh
(472) Tinh
12/16/2010
2
31 1
dxI
x
1
0
lnI xdx
) 1 ) 0 ) 1 ) 2a I b I c I d I
3 3) ) 1 ) )
2 4a I b I c I d I
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-18
4
Tich phân suy rông
Maple
Loại 1
int(f(x),x=a..infinity)
int(f(x),x=-infinity..a)
int(f(x),x=-infinity..infinity)
Loại 2
int(f(x),x=a..b)
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-19
Phương trình vi phân tach biến
Dang
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
Cách giải
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶
Maple
12/16/2010
>with(DEtools)
>dsolve(D(y)(x)=f(x)/g(y))
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-20
Phương trình vi phân tach biến
554. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp
𝑑𝑥
1 + 𝑥2+
𝑑𝑦
1 − 𝑦2= 0
𝑎) arcsin 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶
𝑏) arcsin 𝑥 − arctan 𝑦 = 𝐶
𝑐) arctan 𝑥 + arcsin 𝑦 = 𝐶
𝑑)arctan 𝑥 + ln |𝑦 + 1 − 𝑦2| = 𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-21
Phương trình vp tuyến tinh cấp 1
Dang
𝑦′ + 𝑝 𝑥 . 𝑦 = 𝑞(𝑥)
Công thức nghiệm tổng quát
𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
12/16/2010
>with(DEtools)
>dsolve(D(y)(x)+p(x)*y(x)=q(x))
Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-22
Phương trình vp tuyến tinh cấp 1
595. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp
𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑥
𝑎) 𝑦 = 𝑥 +𝐶
𝑥2 𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑥2
𝑐) 𝑦 = 𝑥3 + 𝐶𝑥2 𝑑) 𝑦 = 𝑥3 +𝐶
𝑥2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-23
Pt vi phân tuyến tinh cấp 2
Dang
𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 (1)
Cách giải
Lập phương trinh đăc trưng
𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 (2)
Nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℝ
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒𝑘2𝑥
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-24
5
Pt vi phân tuyến tinh cấp 2
Nếu (2) co nghiêm kep k0 thì nghiêm
tổng quat của (1) là
𝑦 = 𝑒𝑘0𝑥 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Nếu (2) co hai nghiêm phưc 𝑘 = 𝛼 ± 𝑖
thì (1) co nghiêm tổng quat
𝑦 = 𝑒𝛼𝑥 𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2sin 𝛽𝑥
Maple
Dsolve(a*(D@@2)(y)(x)+b*D(y)(x)+c*y(x)=0)
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-25
Pt vi phân tuyến tinh cấp 2
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp
617. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0
614. 𝑦′′ −22𝑦′ + 121𝑦 = 0
611. 𝑦′′ − 8𝑦′ + 41𝑦 = 0
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-26
Bài tập
Tích phân suy rông
449 507
Phương trinh vi phân
548 618
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-27
