Bowyer a., woodwark Introduction to Computing With Geometry(Information Geometers,1993)(ISBN 1874728038)(183s)_CsCg

8/2/2019 Bowyer a., woodwark Introduction to Computing With Geometry(Information Geometers,1993)(ISBN 1874728038)(

1/183

Introduction to

Computing

with

Geometry

Adrian Bowyer and John Woodwark

INFORMATION GEOMETERS


2/183

p l d I W W Q

s n o m o n q o m v d

R U o k e n

n

y P P S v f

u

o o k d n F o m

s f x I E V U R U P V E H Q E V

h p o n l l m I I H 7 n l m n

o m o n l d o n n d F x n

n m d o n o n D n d ( D n d o m

o l o n o d F

s n o m o n q o m v d I W W Q F

n d d n d o F


3/183

F F F o m n o n l n F

h r t o n s o n


4/183

Contents

p o o d S

I F s n o d o n T

P F q o m I T

Q F m n d Q I

R F f n n E n d S I

S F q n l m l n d T U

T F l l o n U U

U F e o m o n V V

V F o n o m I H P

W F n o m I I T

I H F s n o n I P U

I I F h n n d o ' I Q W

I P F q o m l o m c c

I Q F q o m o m m n I S W

n n d f l o I U Q


5/183

Foreword

s n o m o n q o m n g o m n q o m

o n m o m n l o

n F o o k m l n d o n o F

g o m n o m l @ n d n o m l m d d A

( l d F r d o o l l o o m o E o E l n o m

d D m d n m o l F m n o m o

@ n l m A m o o n o l d

d o m n n l E

D o @ m A l F s n

o m o m n o n o d D n d n l E

o d l o o o o n l m n

o l d d d o o o k o n n d F o

9 k o n l l n F e n n n o d l o n

o d d o l l o o o d d n o o n o

l l F

k n o l d l l d k n d l o n

d o m n o n o o F o o k

n o o n o l n d o m n n d D d o ' o o

l z o n n D m k n d @ n l A

o o n o m o m n m n F o l d m o l

o o n o ( n d F


6/183

1

Introduction

s o m o m n o l n m o n y d l l D n o

n o l n o m y m o n n F w o n l

' D l D l y D o n E d m n o n l

I

F r o m

@ n d o l d n l d o m o A j

l F o m D o D o m o d m n o n o l

F n o o n l " l m y o d o l l o

o n d D n o m o n o o d o n m k o l "

n d o o m o m o l o n d m n n

m l E d m n o n l n o m o n o n n l F

f n o o m l D o m o m l l o

o o m o m n d ' n m o n n m E

o n F n k d o m m n d o n n D

n d n m o n D m l n o

n m l l o n o l l d @ n A m n o o l D n d m o o o n d

o n o m o l F

m o d o m n n o m m n Y

g D f o r t r n n d p r o l o g l n o m l F

s o n o o n o o o l n D o o l d

( n d o m n o o o o m l m n D o o n D

n d l o m o m o m o n o

o m n o m F

g o m n o m l o F s n

d d d n o n m o m n d o n o m m n o E

I

y u p i n n i l i z d o t u ' o u t t i F h o n 9 t u n d t n d

t d i ' n t n g p t l n d i x p e n s e c e l D t i i l m o t t i n l o u

o l m F F F F


7/183

s n t o d u t o n U

n D o o n l o n D o o n o " o E

n d F f l o D m o o n d o j

o l d n o n m n D

d n ( d z z E F s n o o k D d o n o o l

o n l l o n D l o o l o m

o d o m E d d d n n d m n F

Computer graphics

g o m

P

n n n m o l m n E

o n o o m n o m F m n n o d o

o o k d l n j m d l o o o l m l

X

e l o m @ f n m 9 l o m A o d n o n

n F

g l n n d n d o F

n o m @ n l d n A F

E m n d o l o n F

r d d n E l n 9 n d d d n E 9 l o m F

l l D o m o o l l m n o n d D k n o n o E

l o o o X n n l l d n

o o l F

q n n l d d l D n d

n o k d n n m n d ' n d o n D X

q l o l @ d o 9 A l n F

p l n m o n F

p l l n d m o o n o F

h n m n d o l l o n F

o o o l m m m o o m l d o m "

n l o m @ o n n o o o l o n

d o n ( n E l m n @ f e A m o d A " n d o o m o

n F r o D l o o l o j D o m o E

o o m D n o o n o m l m n F

P

g l l d i o m n o o n F


8/183

V s n t o d u t o n

I @ A " e n m o o l o n n o m E

n o m @ d d o n A n d n E

n d l o n m z d n F e m l

d m o o n o n l o n d n "

o d " o m l d l o n

l l F x o m o o n d

l o n n d o m n o d d D

m n n n ( n n o n E o m F

e m m D d d o n l l n

l o n D m n n @ o o A

l o n o o m o m n @ o

n o m o n m " g i s A n o o n n l E

l o n F


9/183

s n t o d u t o n W

Computer vision and image processing

g o m o n n d m o n l n d n E

n l n l l F w n m E o n n n

l d n l o n " o m l D n n o m

n d m ( l " n d o d o n o F o E

( l n l l n @ i A o o n F o m n l

n d o n o n o n o o m o n o m o

o n Y m n o o l l o l n o

F

Computer-aided design

g o m E d d d n @ d A n l m Y n l d

j l o d n n o o m F e l l

n o m n m n o m o D j m n m

d n n d o l d m o d l l n m ( n F l o m E d d

d n m o n n o l n E E l n d E

o m o n m n o l o n E o l d n o o n z l

n d l ( l d o n l l l n d o F

Computer-aided geometric design

g o m E d d o m d n @ g d A l l d o o

d o E o m n d F m o d n

@ o d o m o m n A d o o n o n

n d n i s n d n l l d m l o D z o

o o l l o n l o n n m ) Y

F g o m E d d o m d n o m n n o m m o n

X d o o o n m o n o l l

d m o k o n d n n l o o l n F

d n o o o d z o l F

Computational geometry

g o m o n l o m m o l d o o

d o o m l l o m D n d l l o o l

0 n D o o d F m n D n l o m n n I H o n d

o n I H o n D o l o n d o k o n I H H c p o n n D k

I H H o n d D l l n o d n l o m Y k I H H H H D 9

o d n2 Y k P H H D 9 O(n log n)D n d o o n F l


10/183

I H s n t o d u t o n

n l m o m l d D o m l n

o m o n l o m o n n m l o n m l D

o o n F r o D o n n n 0 n

o l m n l o n D l o n m o o m l d l m n F

Data visualization

h l z o n n E m o n m n l o n n d

d l o l m o n o d l l o n d o m n o

l l n d o d E n n F l k m d

d m n o n l y o d Y o n n D l l o l l

l o m n d o n o m D n d o d E n n

d o n d ' n o n m n F n l o l m

l n o m o n @ o n l l d n 9 A m k n o o

m o d m n o n F e n d o o l m o n n

l o m 0 n n d l m o n o

d n o l d n m o l o n F

Numerical control and robotics

o n o l o o o m o d n 9 o n o l l n

o n n o m n o o l o n d l o o F e o m o o n E

n o m o n n n o l o o m D o o n

n l l @ l l D n l A Y n d o n n o l d m n l E

o n ( n l n D l o m n o m

@ l l D n l A F n o l m o d n m n d l n n n

' o o o m n d o d o X n l k l l n

m o m n o n D j o D n d o ' o m F

From geometry to program

o o m o m o n o o m D n d o o o

n X

o m t l l o t m o m F

i o l l o d o l m F

Geometry algebra


11/183

p o m o m t t o o m I I

l l o ' o m d o n o o l m D

d o E n d E l n m E n d E

l n c F o n D m ( o n l n

n d l n n o n l o m n o o d n m @ E

l l g n o o d n A D n d d d o o l d o ( n d

n F l l o d o n o l l n

n l o m D l o m n o n l o m o l o n

m o n n m n d o m o F n n d d 0 E

l o o m n o m D n d o n n o

o n d n o n k n F p o n n o n

o n n d n o m n n @ o ' o l m A

d l o l l ( l k l F l l l l

o l m ( D n o o m ( n d @ l A

o o n o n n d n o m n Y 9 l o l

n l D l o F p l l n k o n o d l o o m

o l o n @ D o o n A o n o l o F

i n o o d n l o l l D o n o

n k o Y o n n D o o n l o m

o o l o m n d n o n @

l l d o A n n d o m o m l m o n d o n n m Y

o n n o n d n m n n o E D o

o E o l D n n o o o o n E

n o m ( o n F

Algebra algorithmx o 9 o n o m m o n o n d o o n ( o m E

m n F r o D o o o n o m o o o m

o l m o n o n l F p o n n D o m l E

m

Q

o m m o n n d l o o l o m n l E

o n D l l m o l d ' n o n n d n o n F q o m E

o l m n d o o d l o n o n E l n o n

k l m l k Y 9 n m n o m l F

y n l n l d 0 l n o n z d n d l o n

l z d o m l m n l F

i n o D n n l m m k o n o n o o E

l m F 9 d o d n o l l

Q

g l l d l t m o m n o o n F


12/183

I P s n t o d u t o n

m l o m n l l o m n o n X y m o l X l m l l Y o l o m l l

n o o n D n d o k o o d o m o n

) F o d o n m k D n o m o l o

l n o n

R

F

e n l y X l l 9 l l o Y

l o m d m o d m n o n l o l o n F

x m l X l l o n n d Y o l m n

o m l d D n o l o d E o m o l o n

S

F n o n

n d d n m l m o d @ F F l o n A o m l E

n o o n F

e o m X n m n Y d o n 9 n n

o 9 l D n d o k n m l ( o n F

l l o k l l o m o l o F

n D n d l l D n d F p o n n D m o m

o m o o l m D n d n o m l n n l o l o n

o m l o m F o n d n o l m D n d

n o l o o m o l o n o n o

d F

Algorithm programy l o 9 m o d 0 l o d ' n o m n d d o o d

o m m n F m o n n d o l d E

l m n l n o l o n o o m @ n E

m l o n n X l n l l o n n m l l o n o l l d

m n o o l Y n m l l X n o o d n o n d l

n A F m n d o d o d n d o l o E l l o d o n

o o n Y o m l @ l l l A o m n o o E

o o n n l o o m n Y n d o l m

o m m o n F e n D o d n d D d l

n D o d k D n n 9 n o @ o d d n l D

F F F A n ( n l o m F

R

o u o n l j u t @ I W W Q A Y o m l D n t n i o n t o t n g l i F

S

e l o d E o m o l u t i o n i n n t t n i t t n d o n t i t Y

o m l t o o l o o k o m u l

b b2 4ac2a

i l o d E o m o l u t i o n

t o t o l m o ( n d i n t o o t o u d t i D u t t i n o l o d E o m

o l u t i o n t o t o l m o ( n d i n t o o t o u i n t i F


13/183

p o m o m t t o o m I Q

I @ A " h m n o n l D n l n d o m n o l o m l E

n d n d n D n d m l d ( n o o

E d m n o n l 9 F


14/183

I R s n t o d u t o n

Dimensional, analytic and combinatorial snags

r n l o o k d o m o m m n o D k

o o m o n D n l o l m n o m

n o o n Y D o m l y n o m

o l m c s n d o o n o m D n o l n X l o

o d m n o n D k o n D n d o o m n @ d ' n A o

o m o n F s l l o n I @ A D n o n

T

F

Dimensional complexity

q o m o k m k l d ' n l y n d ' n n m o d E

m n o n F p o n n D n l l l E d n n o d E

m n o n D l l d l n F @ g o m l o n d l o k F

d o n x o o l c o d o n 9 o E

l m o n l o k F A e n d o n d d m n o n n o Y o

n m o n o l d o E d m n o n l o j D d o n 9

l m D o n n o m m l Y m d m n o n

k o l k o m F

Analytic complexity

l d d o F i o n n n o

n n Y k n o d o o m n l k X l n E

D d D D o n l d D o o D

l D E d o n l D n o n D n n d n l D

o m l o l l F F F F o l m m m d l o m m

o n n o n D l n d D n d o o m n o n o E

o n m o n d d F l o o l " o D

o " o o o n d d n o n l o m E

l D n 9 n o l d F

Combinatorial complexity

o m o o o l n l o o d Y n o o d

n m o o n n o l m F @ o D n 9 o d

o n n m o n o n d m n o n D o n d n

T

s t 9 i n g o m p u t n h p e @ t n n d f i l i o o d t i l o

o o k n d m n t i o n d i n t t t A D u t t i d i o i i n l l t t i u t l

t o g l v n D l i F


15/183

h m n o n l D n l t n d o m n t o l n I S

o m n k F A e o o d d l o o m o n l o m o

o n D n d 0 n l o m o d l n l o o m F w o

o m l d o m n o o m n o l o l m Y

m n d o m k o m o n n d o F p o m l D

o ( n d l l d o m d n m o n n D

n d o o m Y o ( n d D o F

n o d n3 l o m o F

e n d d o n l D d ' n D o m n o l l o n

l o o d ' n o o m o d l n o n o m F

s @ n m o d m n o n A n o ( n d n o n n

l n D o n o d o Y n o d l D

n d o n X l n E l n D l E l D n d l n E l F s

l l D n d o n D n d o o n F o

o m m @ y o o o n A Y d o n 9 j

' l n o m o m k F s 9 o l n n

o l l l m o n l o n D n d l o o n k

o o n o o n F F F F


16/183

2

Geometric basics

Dimensions

v 9 m o n 9 m l n n n o n d m n o n "

l o n l n X n o d m n o n " n l n X o n

d m n o n " n F x o D o n k 9 o n o o '

n o n d m n o n d o o D o 9 m k n F s n D 9 l o o o l o n d m n o n o n d F m o m k o m m n l l o n d l o o l l o n

F

Dimensionality looks easy to extend but it isnt

y n D o D d m n o n o n d l k o n D o D l @ o

A " F F m o o m Y 9 n o o d m n o n l

o k F e d d n d m n o n o o l m l l y n

n D l o m n D n d

n d n o l F

s n o n d m n o n D n @ F F 9 l k o m E

m n m o n A Y n 9 n o l l n o m

l l F f D o n o l o m o l m n o n E

d m n o n l D n d n o n E d m n o n l

d ( n d o o l n o n d n o d n d n o d D

n 9 d o n n E d m n o n l F

s n o d m n o n D n n o n o m n D

l F w n o m l d @ F F


17/183

h m n o n I U

o l o n d A o n E d m n o n l m d d d n

D o n o k n o n l d m n o n n d d o o n

@ F F o o d o o l o n A F

s n d m n o n D o o j n o o n o o m E

n F y n o n d D n d o j o

l n l o l d F n o o n E d m n o n l

@ A n d o E d m n o n l @ A m d d d

n o F e o l d o n " o m l " n m l o

l n @ d A n d @ A n d D n l k o l o n D

n o n o o d n m F

y n D o o d m n o n o n d l m n F n o

o D ( " o m o c w n o n n l z d l l

n o n d m n o n D d o n 9 m n n d o n n n E l m F s n l X

t m m " n d o m " n d l

m o n d m n o n D d o n 9 o l o n E

n d n d n o E d m n o n l X l o

n l n m o d d ' n l @

f n o ' 9 o o k A F

s o n d m n E d m n o n l X o n E

n m l E l v n d o l d m n E

o n n d o o ( d m n o n o n o d n

F f d o n o m n m l E d m n o n l

n l l d m n o n l n d m n E

n D n l d m n o n d o F

v 9 j m d o D n d l o o k o m l l o n F

m o m m d o o d m n o n F f n

n n m " l l o l l l " n o

l n o n n n n n d d o n l l d m n o n F

o m o D m o l o n l l

m m l n xD y D z n d m Y n d o m m E l l l F

n n m l o o n o d m n o n F

k m l o n o l @ l l

d o Y o 9 o d D o m k l A X

(x x0)2 + (y y0)2 r2 = 0.


18/183

I V q o m t

e d d n m X n o o n o l d o m o d l l m o n

n l n F o j o m l n

x = x0 + f t

y = y0 + gt,

t m X o n d o l k F o t o n d l l l o m X

(x x0 + f t)2 + (y y0 + gt)2 r2 = 0.

p n X l t z d o D 9 n l l l l n d X n o m m l D n d n o n l k

F

v o o k n o o n d F k E

o n X

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 r2 = 0. o n o l z t @ o m A D o c x o m o n l l l D l n n d

o d n o o m l X

r = t2 + pt + q

@ p n d q o m o o n n d d o m z0 n d r A Fi n n m l D n o o o n l n k n

m o n o E d m n o n l n d E d m n o n l

o n F s n n m o Y m o l o n 9

o E d m n o n l m o m n o n n o n o m m D o

n n o o n D m k m d 0 l o n d l F

n l m o n l z n m o n D o

n n D o o E d m n o n l o l m D m o

d m n o n Y n l o o l n

l l o D n o n n o l l @ F F q l n 9

I W V V D n d o o d k 9 l o A F


19/183

o j t o n I W

Projection

y n o n n n d o o o n d d m n o n l

o l m o d d m n o n l o o d o n

o m o d m n o n F d o n m k

o m E d m n o n l n D n d l l d o j o n F

t o n o o d n l d o m o E

n F p o n n D n n n o o j n n

D o m l d l o n n

o n l o j o o d n n d o n n o o d n F

p D o n n o o o o d l o o d n o X

n o o d o m l o n l o m F s n o

o l d o j D o n n D o n l n o n o

F

l y o l m n n l l o o j o n

n F E n l l E k n o n n d n n Y

o j o d o j d o n o n m o l n D

o o o n d o o n o m o n o d o @ l D

o n d A o n n n o n F s n D

m l n n n o n o @ s l l o n P @ A A F

o ' o m o j d n o o k n n

n l d m n o n m n o n d o Y d o o

d ' n o j o m n o d D n d o

n n o n " l o n o n "

o o n d k l F s n D m l n n o

n n n o o o l m D o d Y

l o n E o o m d o l o o d o F

s n o D o j o n n o l F p o n n D n E

l n n o n o j D o l d m n l o o k

o n o E d m n o n l d ( n d F s n D

o n d 0 l D l o o E

d m n o n l D d o o n o l o E d m n o n l

Y o k o m ' o o l n o n n m l o E

j o o m n l d l d o d F n k o n o d

o d n o n o o n Y n m D o

n o n o n o n 9 F

o l n o n o j D n o o m

n d ( n n n d m n o n @ l n 9 l l E


20/183

P H q o m t

P @ A " E n Y o j o j d o n o

n o n Y n n o n o d E

m n o F


21/183

o n t n d t o P I

k n o n s i g g r p h A F e l o o k o d ( n

n o n l n d o l o n o

o j D d o n 9 n d o k n o n o @ d n d

o n d l A o o j l l l l n d F

Points and vectors

s 9 o o m d m n o n " " 9 D

o o m n o n c o n o o d X j l

o o o d n l F e o n l o d l m n n o E

o d n (x , y , . . .) o m o n (0, 0, . . .)F o m m 9 d l k o d l m n o n d D n d m o o o n o E

l o m o n 9 l d o F ) o n 9 o n

l l d o F s o d d o o o n D o d ( n n o

o n D o d d o o o n o o F F F F s n

l l l o n X

P P = VV + V = V

V V = VP + V = P

P V = PP + P = . . .

r 3 m o o o n n d ( n d

I

F

v o o k d n o D o d ( n m o m n o

n d n n ( d d o n F n o

d n n d d o n n o m l z n o F k E

d m n o n l o D (xa, ya, za)F p m n d X

|a

|= x2a + y2a + z2a.

o n d n o m l Y 9 l l n m o o

l F s d d l l o m o n n o o m n E

d n D n o m l z d D o X l n o I D

I

s n o t o d D t t o o i n t n d t o i n o t l o s e d u n d t o E

t i o n o d d i t i o n n d u t t i o n F


22/183

P P q o m t

d o n n n d X

a =

xa|a| ,

ya|a| ,

za|a|

.

o m l l o n c n l m l l o

o n n D o l o n o o o n F l o o

l o o m n o X

d o o d o o o a n d b l d l @ F F

n m A l o |a||b| cos D n l n

m F o o d o ( n d o n l n o D

l l n o F n o d d l o m

o m o n n o o D j m l l n m o X

a.b = xaxb + yayb + zazb.

o o d n n o n d l o

o n m l l d D l n l o @ o d E

n A o d o l n X

a b = ((yazb ybza), (xbza xazb), (xayb xbya)) .

o o d o o l m l o n n

l o o 9 o o m o m F n d o n k l D l E

o l l n d o n o d n m o

m o o n n F n k o n l n

m n o n o n o n o Y o d o m l l n

m o l d o m o n o o d 9 o m n F

l l n o n l d o m o " o n n d d

n o n E l n 9 o d m o o m l o n " n l l n o m E

o m n l l n d 0 n n o n F

Implicit and parametric geometry

o o m m o n o m l m n c n o

o o l o o l l n d o l n y =mx + cD n d n o n d o o n o l d n 9 n l l n D d o x = k Y o D n d n l n n l


23/183

s m l t n d m t o m t P Q

l l o mD o o 9 d o ' o m

x = m

y + c

F F F n d l o m o o n o o ' F

o explicit o n o o o m y = f(x) o x =f(y) @ n d l D z = f(x, y) F A o n l l o d n n o n D n l n m D

n l E l d " o k n o o n 9 d o l k o n m E

l F s n o @ g R A l o n l l

m o d l n m o n l o m l m n

l l n o l o o k F

s o o m l o m l m n n o d o

l n m n o l D n o o X

Implicit equations

s m l o n l y l l o n n l n D o n D

n o o Y o o o n o d ( n

o n d n o F m l o d o

o l o m l f(x, y)" o f(x,y,z) n d m n o n " o n F l n m Y 9 n D o n o n

o n d o o Y 9 o D o n o n

o F n l o n k o m n o m o n o

o n E d m n o n l l n D o n n s l l o n P @ A F

o l o o n m o n o

o n o o n E d m n o n l l n X o o

f(x, y) = 0 o f(x,y,z) = 0F l l d m l n d D m l d o n l ( o n F

l o d o l E D d d o o d n

n o o l X o n l ( d o n d o n

l ( d n F o l n o n n n l D o

o D n d o n m o n d d n d o n o @ n

o l A o o n o n d d @ n o l n A F

r o D l E d d D m

d m n o n l o n l o n n

m d d d F o D n l n D l l m l o n d Y

n E d m n o n l D l l d Y n d n o

d m n o n d o l m @ l z o n A F


24/183

P R q o m t

P @ A " g m n X n m l l n m

o m o o o n d m n o n Y m o n m

o D o m o n o o d m n o n F


25/183

s m l t n d m t o m t P S

Parametric equations

m o n o n d n o d n o n o m o E

l D o m D n d l l n xD y " n d z F " n o n o m X

x = 1(t ,u ,v , . . .)

y = 2(t ,u ,v , . . .)

z = 3(. . .)F

F

F =F

F

F

o n n k o m n o o o o d n F

@ s m m xD y D z o o d n D n o l d n o m o n " g W F A e m

o n l o n m n n o o n o

n m l o n X n o " l o o k s l l o n P @ A

n " o n o m o n E d m n o n l l n o o E o E

d m n o n l F

r o D n d m n n m o o o d n

n d n m o m n d n d n l D n o ( d E

l o n n o o o m l l m n n d

m o n n d n o k n F

n o m m n m d o E d m n o n l

n o E d m n o n l D o l n F f

m o l m o n n o n o n l E

m n o n d d m n o n @ l n n d A n d

n o n o o m n @ A F

o m m z X

s m l o n g l o n p d d m n o n l

n l o

m o n q n o n o n e n d m n o n l

l m n

s n n l D n o o o n n m l n d E

m o n o o m l m n @ g I I A F r o D

m l d o o m l n d m o n D n d

l l n d o o n l o o k n m l o n X

l n D l n D l n d F s o n m o d l D


26/183

P T q o m t

( n n l o n d o n o m o o m m n d o ' o

o o X e o m m 9 q o m y F

The straight line and plane

m l l n ax + by + c = 0Y m l n X

x = x0 + f t

y = y0 + gt.

f n o n l n ax + by + cz + d = 0 n d

x = x0 + f1t + f2uy = y0 + g1t + g2u

z = z0 + h1t + h2u.

The circle and sphere

l d n m l o n o l

(x x0)2 + (y y0)2 r2 = 0, l n d d o X

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 r2 = 0. n (x0, y0, z0) n d d r F l m o n o l X

x = x0 + r cos

y = y0 + r sin

n d l D n o E o o E l D X

x = x0 + r cos cos y = y0 + r sin cos

z = z0 + r sin .

n l n d l d n d l o n d l F o o l m o m n o n n F p D o o m o n l


27/183

f o u n d n o m t P U

o n d o n 9 l k n o n @ k o o l o n A D o o m E

m o n l l

cos n d

sin l E n l o m l X

sin =2t

1 + t2

cos =1 t1 + t2

where t = tan

2.

o n o l m @ e o m m 9 q o m y A Y

o n l d o 90 o o l F o n d D ( m l o n m z o n

P

F q o o n d

w o l d l l E k n o n o l m Y n

o m l " o o " n o o l o n X n o

n n l l l ' o F

Bounding geometry

s n D l d o m n n n ( n Y 9 o o l o

n o D o n o n l F n E l n E

m n D l D n d o o n d o o o F

o n d n n o o l n

o o m n D n d o n F s m l o m

l ( n D n d o o o o o l o j o F

e n l m n o m l o m l ( n o o F

o o n d n d m n d

o n o o m o j F n o n

o n d o m l l o o D l "

n n l n d o m l d " m o o D

F o o n " n l n

l n " n d o n o d o o n o m n

o n l ( d l o d n 9 l o n F s

o n d n m l o o m o o n D n

P

x o t t t t o d p m e t e z t o n t o m n i n X o i o m E

t @ A n d o n i o n o m i m l i i t t o m t i o m @ t o o i t

o i m l i i t i z t i o n A F m n o o u n d t i t m i n o l o i l t F


28/183

P V q o m t

o m n n o o l d

n o Y l l n d o n l n o n o o D Fp o m l D o d o n l l n d

o o d n X

x = x0,

x = x1 (x1 > x0),

y = y0,

and y = y1 (y1 > y0),

n n o o o n o m n l X

x x0x x1y y0y y1

n d o m n m X

(x x0) (x x1) (y y0) (y y1).e n o n ( l n d @ o k D " o

o n d o o n o A n l F

t o m k n m o o m l d D n o o l d

d m o n d l n

m n m m n o n X

min ((x x0), (x1 x), (y y0), (y1 y)) 0.e l o n o o n n o l d ' n l n o n D n

m l o n n o n F n o m o n o l k o

n l n o n @ g S A l l o m n o

o o m l n o o n m l F g o m n n m l

n o n E o o o n d D n d n

o n d o n o E o @ o o n o l d o m "

s g A o l d m o d l l n D m o n o n d n o

F F F F

o m o n c n l o n d d

m l o n n m o m @ tD uD n d o o n n o o o d n " o m l o n n


29/183

f o u n d n o m t P W

m A F e d D o n E d m n o n l

m D o o n d n n 9 l l o o o m E

l l F j n n n n d n n d n m

o " t0 n d t1 F f o o l l n n o n o o o n E d m n o n l m l n o n X

t t0t t1.

s n o d m n o n D o m l 9 o n o n F l l D

m n d D n d

o d l n d n l @ n d 9 l l A

n m F e n D n j l m n

l o o m @ l l 0 n d 1A D n d d o n 9 d o o n n d d n o o m y o o n d F

o l d o n d n o n n m D n d n l

o m m o n

Q

F o m

n m d " n o l o n o l l l o o k " o

n d o n E d m n o n l l 9 F k

n d n n m n l o n D n l l l l D

D n o n D n d l l n o

n l o o o n o n o n d n

d F e o n D o n n o o E

o o n d n o n D n m o l F

n o o o o k n D m o o n n n

@ o n n n n o m n n o n D o l l n

g I H A F

m o n n l o o n d n D m

k n Y n o D n m l o n D o E o o m E

n o n o m l o n D n o o F s n

m k o n o o o o o

@ F F m A l m n D n d o l E F e

m l m l o l o n m d o m l n

m n F e l o n o l y o n o m l D k n o d E

( n n n d n d n o d F o l m l n o n D

Q

n d d o t o n o o j t i t o u n d d d Y t

n o t D i n t D u u l l d o n t t i n u t i n u l o u n d i n t o

t t o m t D u t t t i n u m t i t m n t h e t n l e t s e l f F


30/183

Q H q o m t

P @ A " n E 9 o ( n d o o n

n d o l o n X n m o n o n o d d D

F

n n o m l o n F 9 o o d o n m o

o l D o o n o l n o m o n o n

o n ( n D n d o n n o m n m o o l o n @

s l l o n P @ A A Y t o d n o m l l

( n l o n o d d o n d m n 9 n d

o l o n o n o F l o @ l l n

d m n o n A D n d n n d n o m 9 d

l k n o n o o o l d n o n D o n d

m o d l F F F F


31/183

3

Parametric

curves and surfaces

n n o d m n o n l n n d l

n d o n o x n d y D n m o n l m tF e l o t n D n l o x n d y n d F s n d m n o n D n d o n l d d n o o n

o z F l n n X

x = x0 + f t

y = y0 + gt

z = z0 + ht.

o m @ o m n o A ( n d l l o n k o m

o n m n o m o n E d m n o n l o o d n m

n l o o d n t n o o l o E o E d m n o n l F D o n o l n

I

o d o

o m n l o t o l o xD y o z @ n o o o m l o x,y,z o l o tD o n l o n o n o o n d n l o tA F

s n o d o n d m n o o n o D n

m n o m o E d m n o n l @ 9 l l t n d u o o d m n o n A n o l F f d o n o n n d

m o m t, u n o n o o E d m n o n l D n o E d m n o n l n o m X o D E

o n n d m D E d m n o n l n o m F o n

n k o g W n o n m o m E

o n m k o F s m k m o o l l o l

D o o n 9 n F

I

y u D i t2, t3 n d o o n i n t u t i o n F


32/183

Q P m t u n d u

v 9 k Y m o m t, u n o E d m n o n l o o d n m @ F F

x,y,z l A D

F m o n o l n

x = x0 + f1t + f2u

y = y0 + g1t + g2u

z = z0 + h1t + h2u

l d d F

s 9 m n o m o d n o o n n m

o t o t n d u n o o n F s l l o l n o m o m m k

o n o n o n o D n d o o n d m

o l n o m l F s n l

o n d D n n o n Y n d n

m n l n @ n l A o l o tD o n n l n t, u l n F y o d o n 9 m n o o o n o @ m o o l A F

e l m l o n d m o n o

m k n o n o m @ A n o l n o m l X

x = a0 + a1t + a2t2 +

y = F

F

F =F

F

F

o D o m D

x = a0 + a1t + a2u + a3tu + a4t2 + a5u

2 + a6t2u + a7tu

2 + a8t3 +

y = F

F

F =F

F

F

e l n l m o n d o n l o l n o m l Y o n k o

o n m " o k n l l m l " X

x =a0 + a1t + a2t

2 + b0 + b1t + b2t2 +

y =

F

F

F =F

F

F


33/183

s n t o l t o n Q Q

@ o n d l n D l l F F F A o n l o o n

o n o n o n l D n

t = tan2

m E

z o n n l F l n o o m

m n l E d o l n o m l F s n o n @

o m A n d o o o n D

n n l E d o n n o F r o D l

o n l l l o o d o m o l o E d o n D E

n o d n o m n o n o o o l m X n

l l o d o o m l o o D o o o D z o c n d o

o l n o m l n d o m n o D 1 + t2

m n l m z o n D o m l n n

o m n o k n d o n o o l F

s m k n l o d D o D n d o o

l l n o o n l o n F

e m o m m d o l m D l o n o o

l l o n n a D b F c l l o n o n l o D o m m n n D n d m o n o n o d F

Interpolation

n l o o k d l n n d l n D d n o o n

o o X x = x0+f tY n o n d o x = a1+a2t+a3t2+ F o m n k 9 j n o o l D n d 9 D m n o n D n o n o l n

n d l n D o o 0 n d m n n F k

l n n D o n n Y (x0, y0, z0) o n t = 0 n d(f ,g ,h) o n d o n o l n F

n d d n m n o o tD o 0 n n o n m n n F m o o n o l n d

n l d F m o o m m o n m o d o m k

o o n o n n D n d m o o m E

m o n o n n o o n n d n n d o n D l o o

o n n D d n d D l o d F

g o n n o m l m n o o o n n o o

l l d n o l o n F

s n n l D m o o 0 n n o n o

o D m o o n n l o m F


34/183

Q R m t u n d u

m n o n X

n d n o o 0 n o j o n n d @ n l 9

o n o m o n o n o " l A F

d o n 9 n o o m n o 0 n D d o

d o m o d o @ o n m A

o m o d o m o F

o D l 9 l o o k o o n o l o n n d o o n D

l n n d l F e l n l o l ( l o o n E

n X n o o o o n D o o o o n n d

n n o l F e l d o d o m D o

n o o o n D o o o n d n n o

l n D n n o o l n d l n D n d l o d m o Y

o n ( d D n d o d o d o m l k

l n F e l o o m n o n D E l n n d l o n E

o n m l D o n o n n n

n d n d n o o n n d n n o n n n m n d ' n

o m n o n F

m o n l m o l n o m l D n o m l l E

d o n o o n n d n n l l l E

o m F

Lagrange interpolationv n n n o l o n m k o o

n m o o n F s n o o n o o 0 n n

o n F p o n n D d l l o o F

d d l l o o 0 n l l o l n

o m l n o o n n o 0 n F o n d

n o o d n o o n " (x , y , . . .)" n d l n m @ A o o n " t , . . ." n o o o n F

Hermite interpolations n r m n o l o n D d ' n o n o

o D n d o l m l n o o n o o o o n n d

n n l o o n n n o l d F

m n o 0 n d n v n F e E

l l m o n o n n n o n d


35/183

s n t o l t o n Q S

Q @ A " v n n d r m n o l o n d o o n E

m m n F

o n D k n o n n n l F

o o 0 n n o n D Y

l o n l n n n o o n o n D

n d I T o 0 n F g n n n o m n

o m X s l l o n Q @ A F

The problem of parameterizations n o l n m D d d n m l E

o n l l " o m z o n " l F

@ o l m d o n o o l D n l E l d D

n d X n d o n d o

d n n d o o n F e n d n o m n 9 l E

o n l l l o l m o n D o l d

o n o n l n m o m o n l o m o l m F A

o D o l m n o l n m D l

o o n n d n n d o n m o d d D o

m m l o l d 9 n

o n D n d m n d l l d o n o d E

F s n o v n n o l o n D m l o

o m l l l n o n d F o k

o n m l n l d Y o o m E

n n d d F n m z o n l d o


36/183

Q T m t u n d u

l n D o l d l k o k n o l n o l l

n d o n Y n o

o D n 9 o F y n o l d m l m n

n o ( n m n " o n D

l n o m D n d o n n m l d

o n D n d " m o l n o l l E

m d Y o l d o l d 0 l n o o o l d

o n F

l o l o n o d E l n m z o n D

m l o n d o n l n o

E l n m n o n n n m F o o d o k o D

n o l o n l n o n 9 m l d

d D n d n o n F p ( n m n n o l k n

n l n n n o o n @ p n 9 o o k

g n d o g o m e d d q o m h n o m o

d l A F

r m n o l o n D m l o l m o Y n d m

m m d m n d o d o o m

dx

dt F D

l d o l z o n n o l n n

d F D l l n l o r m

o 0 n D m l d l l F 9

n o o m l l n D o n o m c

e l l m k n d d d o o l m o n E

o l o n D l o l o ( n F e n D o

o k l l l o m D n d l l l m l E

@ n o m l z o n o l m A F m

o m D n o d d n d n m l

o n l l o o n d o F f o n l l d n D

d 0 l X o d E l n m z o n n l l F

o n l d o n g o d o v n n d r m

n o l o n F ( o d o k o v n n n E

o l n m o l n o m l o o o n n

d m n o n F o n l l l d n D D n d z F

m o n ( o n l l 0D n d m E l o n 1Y o 0 n o o l n o m l l l n d n o l D o l D n d o l z Y o l Q o 0 n o


37/183

s n t o l t o n Q U

t3 n x n d o o n F m l m d d l o o n o n l l n d n t I n d t P F

5 n l u ` m t F b

5 n l u ` t o F b

G B e o l u t l u m o B G

5 n @ A @ @ @ A ` H F H A c @ E @ A A X @ A A

G B e l m o t H E j u t o o u l t o n B G

5 n e g g @ I F H E T A

n t l n @ D D z D t I D t P D o l D o l D o l z A

l o t R D o l R Y

l o t R D o l R Y

l o t z R D o l z R Y

l o t B t I D B t P Y

{

l o t D D z D l Y

n t Y

G B

u m t t n t n t o n t t o u t o

l t I n t P F x o t t t m l t o m

t n t t n t o o n u l l o t

t n g m t l n o u l F

B G

l a H F H Y

o @ a I Y ` R Y C C A

{

a E E I Y

a E E I Y

z a z E z E I Y

l a l C @ l o t A t @ @ o u l A

@ B C B C z B z A A Y


38/183

Q V m t u n d u

@ a a I A B t I a l Y

@ a a P A B t P a l Y

}

@ l ` e g g A

{

n t @ t D

4 v n X u t o o o t X 7 n 4 D l A Y

t u n @ I A Y

}

B t I a B t I G l Y

B t P a B t P G l Y

G B

g l l t o u t o o m u t t o n t n

o o n t F

B G

@ l n o @ D o l D t I D t P A A t u n @ P A Y

@ l n o @ D o l D t I D t P A A t u n @ Q A Y

@ l n o @ z D o l z D t I D t P A A t u n @ R A Y

t u n @ H A Y

} G B l n B G

G B

o u t o o m u t t o n t n o n

m n o n o t v n n u t o u o u

o n t F o l t t l F

B G

n t l n o @ D o l D t I D t P A

l o t R D o l R Y

l o t B t I D B t P Y

{

l o t I D P D Q D t I D t P D t I D t P D n o m D t t Y


39/183

s n t o l t o n Q W

I a I E H Y

P a P E H Y

Q a Q E H Y

t I a @ B t I A B @ B t I A Y

t P a @ B t P A B @ B t P A Y

t I a t I B @ B t I A Y

t P a t P B @ B t P A Y

n o m a @ t P E @ B t P A A B t I Y

@ @ n o m A ` e g g A

{

n t @ t D

4 v n o X n m n t t o o o t X 7 n 4 D

n o m A Y

t u n @ I A Y

}

t t a @ E t P C @ B t P A A B t I C @ t P E t P A B @ B t I A Y

o l Q a @ Q B @ B t P A E P A B t I C

@ E Q B t P C P A B @ B t I A C

I B t P E I B @ B t P A G n o m C t t Y

o l P a @ E Q B @ B t P A C P A B t I C

@ Q B t P E P A B @ B t I A C

I B t P C I B @ B t P A G n o m C t t Y

o l I a @ Q B t P E P A B t I C @ E Q B t P C P A B t I C

I B t P E I B t P G n o m C t t Y

o l H a H Y

t u n @ H A Y

} G B l n o B G

o n d o d o m r m n o l n n


40/183

R H m t u n d u

d m n o n o o o n o d n o

n d F o n H n d I D n d d n H n d

I F o 0 n o n o l n o l n o m l n d n

o l D o l D n d o l z F l n m m l

n o v n n n o l o n F

o m t @ H D I D H D I D o l D o l D o l z A

l o t H Q D I Q D H Q D I Q Y

l o t o l R D o l R D o l z R Y

{

o m t o @ A Y

m t o @ H H D I H D H H D I H D o l A Y

m t o @ H I D I I D H I D I I D o l A Y

m t o @ H P D I P D H P D I P D o l z A Y

} G B m t B G

o m t o @ H D I D H D I D o l A

l o t H D I D H D I Y

l o t o l R Y

{

l o t D Y

a I E H E H Y

a I E H Y

o l H a H Y

o l I a H Y

o l P a Q F H B E Y

o l Q a E P F H B C Y

} G B m t o B G

Surface patches


41/183

u t R I

Q @ A " e m Q = F(t, u) d ( n d o n l 0 t 1, 0 u 1F

m o o m

x = f1(t, u)

y = f2(t, u)

z = f3(t, u)

@ n l o o o 0 n D Q = F(t, u) E n m l l n n l d n A F

e n d ( n d o n m o o n o (t, u) m D o d l o o E d m n o n l

n l X

0 t 10 u 1.

m o n n o n o

o n d o l d m o n d o d j n F

n m n o X

h ( n n m o o n d Y o

k n n g o o n @ g o o n 9 I W T U A D


42/183

R P m t u n d u

n o o l o l n d n o o n E

o m d o n o o n d F

i l l o o o n k n o n o

o n d F

g n o d o n n m

o d o o o t o m 0 o 3 @ F F 1, t , t2, t3 A n d m o o u @ F F 1, u , u2, u3 A F I T m n o n o o n d n o o o d n X

x = a0t3u3 + a1t

3u2 + a2t3u + a3t

3

+ a4t2u3 + a5t

2u2 + a6t2u + a7t

2

+ a8tu3 + a9tu2 + a10tu + a11t+ a12u

3 + a13u2 + a14u + a15.

y o o o n d n o n n y n d z D m k n R V m n l l F s 9 o l l d o

F e d u = 0 D o n n D o n d n o X

x = a3t3 + a7t

2 + a11t + a15.

s n D o n ( d l o t o uD o o E m n o m F

e l l k n o n o o n o o n d D n d

o m n n " n d m d D d o E

F " o o n d F v 9 ( n d n o n o

n n o u = 0 d o g n o d F p d ' n o uX

x

u= 3a0t

3u2 + 2a1t3u + a2t

3

+ 3a4t2u2 + 2a5t

2u + a6t2

+ 3a8tu2

+ 2a9tu + a10t+ 3a12u

2 + 2a13u + a14.

n u = 0 n X

x

u u=0= a2t

3 + a6t2 + a10t + a14.


43/183

u t R Q

e n o m o n d n d d

o l n o m l

P

d l l m

u = 0 d Y

m l o n n l o d

Q

F

s n o m m o n D n o k o d E

d n d F e n n o n l D o k o j

o n o o m n d o d o m @ n d m n o n A o

n o k o l o d d o n l d F @ r E d

l o o d o d o m D d d o n 9

n o F A s n d m n d r m E

n D o o m l o n n l l o l o o n

o n n l o n n d j n @ o " l o o k n d "

o o n d n o f z o n o l m A D n

d o d o m m o E l l d o

o n X

2Q(t, u)

tu.

s l l o n Q @ A o k o o o F d

o l o n o o l m d d d o m n F @ 9

9 l l d E d F F F F A

p o n o D l 9 l o o k o m n m l F r o d o d c

m l o m k l n d n o n o E m d F

v 9 l o o k o m o d o d o F o l d m l o n

o l xD y n d z n o o D n d k l l n Y 9 n o 0 n D l o n o E m D to u ( d D n d o o l d d o n l o o l l o n F o d o l l o d n o E m l n ( d

l o uD n t n n F m o 0 n l l o l I T D I T D z I T D

o o n d o n o n o n d

o o d n F

r 9 l Y n o n d o r o n o m

R

o E

P

p o o m l i t i o n D o n t i n u i t o n i d i t i i u i d F

Q

g o n t i n u i t o m t i d i t i i n o t n n t i l o n d i t i o n o m o o t E

n Y t m i t l o j o i n m o o t l i t t n n t d i t i t t m u t u l

d i n t m d i t i o n u t d d i ' n t m n i t u d Y o t d i E

t i m i t n o t m t t l l D u t t o u l d t i l l o m m o n n o m l @ i F F t

u o u l d l o l l o l n A t t j o i n t F

R

r o n e f o m o o l n o m i l a0+ a1t+ a2t2 + a3t

3+ i a0+ t(a1+


44/183

R R m t u n d u

Q @ A " d o d o m o n

n o l n o n o k o X o n

r m D n d o n n o n n n o n o o n n

v n n o l o n F i o n n d

o d j n D l d n n o o n

D d o d F


45/183

u t R S

o n n F s n E l l o n o u2 n d

u3

n n n o l o o n d o

t2

n d

t3

n F

l o n o m d o o m n o o n l o n l l d

m o @ D D z A n d l o t @ D D z A D m o n 9 n n 9

n d n d o n 9 m o d l F m k n d l

o n o d l o j o n D l n n d o o n o F

l o t I T D I T D z I T Y

G B

B n t o n t t o u n t n n

B l o o D o o n 9 t n t l o t o E u t

B t m t Y n n o R t F

B G

l o t H D I D P D Q D H D I D P D Q D

z H D z I D z P D z Q Y

l o t t D u D t D D D z Y

n t D n Y

H a Q C u B @ P C u B @ I C u B H A A Y

I a U C u B @ T C u B @ S C u B R A A Y

P a I I C u B @ I H C u B @ W C u B V A A Y

Q a I S C u B @ I R C u B @ I Q C u B I P A A Y

H a Q C u B @ P C u B @ I C u B H A A Y

I a U C u B @ T C u B @ S C u B R A A Y

P a I I C u B @ I H C u B @ W C u B V A A Y

Q a I S C u B @ I R C u B @ I Q C u B I P A A Y

z H a z Q C u B @ z P C u B @ z I C u B z H A A Y

z I a z U C u B @ z T C u B @ z S C u B z R A A Y

z P a z I I C u B @ z I H C u B @ z W C u B z V A A Y

z Q a z I S C u B @ z I R C u B @ z I Q C u B z I P A A Y

t(a2+ t(a3+ )))F s t i t m t i n t o l n o m i l i i n l u t d F


46/183

R T m t u n d u

t a H F H Y

t a I F H G @ l o t A @ n E I A Y

m o @ Q D Q D z Q A Y

o @ a I Y ` n Y C C A G B n t t o l o o n E I t m B G

{

t a t C t Y

a Q C t B @ P C t B @ I C t B H A A Y

a Q C t B @ P C t B @ I C t B H A A Y

z a z Q C t B @ z P C t B @ z I C t B z H A A Y

l o t @ D D z A Y

}

Splines

s n o l o m k l o n o o m l d

n l E d o l n o m l F y n o l m o m E

z o n Y o o l o n m l d o n m k

m o n d m o l d o n F

e l o D E d o l n o m l @ o l l o m E

n d T n d I H A n o o m "

o n m o m " n d m l n o n n

o 0 n F @ m o o n n F A

o o o l o n @ l l D l o o o l o n A o k n o l o

o m l o o o D n d l o o n

n d o m F c s D o m

n k D o m k n o n D o n d o n

o n o m l n d n d d l l d ( n d Y E

l l n o F w o n l o m d ( d o

n D l l o o n Y n d o m n D l l

n n o o n n D ( d o o l

o F o n d o n n l o l o l d

l o l o n n D n d o l l o o m l n o m d ( n d

F n o m n m z o m m z n l o o m


47/183

l n R U

n o o D o 9 l l ( d

o m l n d n 9 o n o n F

o d l n o l l n d E

n D n d 9 l l l l n n o X

Sequential splining

m 9 j m d X o d

m l o o n o n o n d F

o n o o " l l l

n d m o m o n " n d n j o n o F

l l n d l n o d o d o m o m

o n n m o d 9 l d n l D n d o 9 d

o m m o n n d D o n o m o l l

d m n d D n d l l o l o o l l l d l

o l m n o o m o n l o o m F

n E d o o o d n n l o n

D 9 m l Y n m n m n o D o n D

o o d ( n d n d E o n d o n D n d n d r m n E

o l o n o m l o F p o D m o d o

o n o n o m m o n o n Y d d n n m o o m l E

d D n m o o n d o n o m o n m

o d d l d n d

@ s l l o n Q @ A A F D k n o n o d n o

d n ( n o d n D n d o

m o d d 0 l o o m F

Local splining

o o d o d E d n d n D o l d l k o d m n l l n

o o m m F y n o d o n o

k n o o n n m o d o n n " n o

o n o d j o n n " l n o o F f E l n

l l m n n d o l D l o n

o f E l n D j n D o o l l m

d n l o l n d n l l n n o l o n F f

n l f E l n D n

m l d o m o m l D n l X l l D 9

l l k F


48/183

R V m t u n d u

Q @ A " n o n n l d D n o

o l o o d j o n o o n @ A n d

o @ A d F m o @ A n d

o @ A d n o n d n d n F


49/183

o o n t n u t R W

s o n n @ o n l l A m l l o l l n X o

y @ o o ' o e o m m 9 q o m E

y A F d o ( o m o d l l

m l m n F s n ' n n n n o E

d d o m o o n d l d F o d n d n

o n d D n n n d o o n n o n E n " o l d

j l o o d ' n m n d D o m l F y n

n n n d d d ( n d D n n

n o l d l F

Global splining

l w g o F x o o d m n o l

S

n

n l o F n n D o o m m d

k n o n n D d o n o

D n d l o o n l o l d D l d n

n d o n d o n o m n n o n d F

n ( o o l o o n o 9

Y o m z n l l o m z d o o l

D n o j o m m n F d d n n

o d d ( n n l o l l n o l " l o o m

n " l o n o l D o o l n m o E

m n o n o n l l l k l F l o

l o m l n o o n o o l D o m

m o d d Y m o n l d o n l z d n d

l l o d l @ o o k x m l A F

Types of continuity

e k n o o l n @ o " o n "

j o n d A d o n o l l m o m l l n o n E z o d E

n o F g n D o n n D

n o n E z o d d Y o m m o n l o n l o o n n d (

d " n d o l o n d o o " n o d o k n o F

d o o n n o m m o n l n C0 @ o o n A D

S

u n o t l o l l l i n d D u t o m t n i u d o i t o l i n i n

m o u D t k n o t i n t t o t o i n i d n t n d t n n t

l n F


50/183

S H m t u n d u

C1 D C2 F

o l d n m n d l n o n l l o n d

l @ m n d X y = f(x) A n d m z o n " n d o o m ) l " l l F D

o n n n m d n o m o n n n

o m n Y n o m z o n o E

l m n l o n F p E n d o n d E d o m

o n n o n n o n n n o D n d o n n o

F o l d m m o n n

d E l n m z o n Y n n d o D 9

n o n n @ p o k n d k k l 9 o n m E

l n m d y o n o d o D l o n l

o l n o m l o n o l n A F

n n n l n d o n X

dQdtdQdt .

o m n o l l o n o E

m l D n o l o o d n ( n d o n d

d X

=

dQdt d2

Qdt2 .dQdt

3 o n d o m m o o m m o n l d

o m n n m n D l o l m o

o n n d " n d n E d " n o l d o

n F s n d m n o n D m n o o o n n d

( d n o m d ' n F o n d d m n o

m d n d o n l l m n d F s n D ( D

o n d n d d d o n d m n o n o m

l o l o o d n l l d p n m D n

o n o n l o n F e l l D n o

o n o o o n X p n m o

o n d 9 F l n n m d o m n o l l

o ' n o o n o o m n o n F

8/2/2019 Bowyer a., woodwark Introduction to Computing With Geometry(In

Documents

Bowyer a., woodwark Introduction to Computing With Geometry(Information Geometers,1993)(ISBN 1874728038)(183s)_CsCg