Boundary Layers in Three Dimensions

7/30/2019 Boundary Layers in Three Dimensions

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B O U N D A R Y L A Y E R S I N ~ D I M E N S I O N S . . , ..

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BOUNDARY .LAYERS, I N T H R E E . D I M E N S I O N S. ., . .

S ~ r c s 1 95 6, w h e n b l o o re ~ r ev io .-v ed t h e s u b j e c t , o f t h r e e . d i m e n s i o n a lb o u n d a r y l a y e rs , w o r k i n t h i s f i el d h a s a d v a n c e d a l o n g m o r e s p e ci fi ol in e s. I n t h e p r e s e n t a r t i c le w e d e s c r ib e s o m e o f th e a d v a n c e s , o u r c h o i c eb e i n g d e t e ~ , ~ n e d l a rg e l y b y p e r s o n a l i n t e r e s t. T h e l i n k b e t w e e n t h ev a r i o u s i t em s c h o s e n i s t h a t a ll p l a y a p a r t i n t h e p r a c t i c a l c a l c u l a t io no f t h e b o u n d a r y l a y e r s o n a i r c r a f t a n d z~ is~ iles, l ~ . o g r e ~ i n t h i s d i r e c t i o nh a s b e e n s o r a p i d t h a t o n l y s o m e o f t h e b a s ic a s p e c ts a r e c o n s id e r e dh e r e . T h u s w e d o n o t c o u s i d e r t r an s i t io n , s e p a r a t io n , h e a t t r a n ~ e r ,b o u n d a r y l ay e rs w i th u n s t e ~ y e x t e r na l f lo w , b o u n d a r y l a y e rs o v e r

A l l s y m b o l s s r o d e f in e d in t h e t e x t : T h e m s th ors h s v o b e e n u n s b l o t o a v o i ddupl icsc ioa , howo ver , , ,- ,d Only symboL1 h a t s ro u sed ~n m ~ tm ~ in moneo hanono s ec . t i~ au,o lk t o d h m L hs, h t l ength pausm eters , such th a t hS d~ , rod ~ dq a re e lc m sa ~ ot' leniLthK : , X t goodmie-- - c u r v s t u r , ~eKum i b y F.,q. (6)u., v, w ' voloc/ t-y, co m po ne n~ in. th e dL '~ t io M o f th e- f . ~ a ~ i ~ s , x u .

p , d e a s / t y k / n m ~ v i ~ , , ~ i ~ ( , ,,,h,). l"m.udtl num bm . ~.

T " t ~ L ~ a ~ t ~ o . . . . .~ , e u . 0 ~ . v ~ - i o ~ ~ - IA y .~ " ~ ] m " , ~ 8 ~ L b y F~ I. ( l ~ } - n. ~ . m o d i a ed le na ~ s p a r s m m r ( - ~ I ( ~ , . ) , ) , ~ f l e a L ~ r a m e t e n , . L a m ~ b 0~ ,~ i a ~.% ~ r ~ ' a m e ~ , g o v e ~ . , ~ v e l o c i ty p ~ S M e , d e~ ae d b y F _~ . (S S)

~ ~ . .

. e d ~ ~ nd i~ or.~ n a,~ ~ o ~ g e o~ t he ~ ~ ya e'0 d e n o te ~ ~ r e f m , ~ _ condi t ion .

I I n t r o d u c t i o n

: i . L i s t o f S y m b o l s


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" : : " " . " ' . . . ' - i : " " . - . . "

a n a e o o u n t k ~ o f ~ ~ : , . . : . o o , , . o :~ .diver~ enes, .and o f co m pr e~ ub il i ty ; ~ : . ~" " " " " .-( ii) ~ an d D so lu t io ns of th e ,4ts'eren tia i equ at ions for lam ina r .b o u n d a r y l a y e n , ; a n d , : : : . i i('zii) a p ~ t e i n t e s r a l m e t h o d ~ o f e a lo u la t io n . . . . . . :

A comp nen ount m ay be round in the book Zm w. ./ ~ o ~ Z.~ F~ '~ e d i te d b y l l o ~ e a d S . ~: "Con t re ,etches be m de to . tra O ne Oo =d t i . iS y s te m i n w h i c h o n e f a m i l y . o f c o - o rd i n a te e u r v u i s t h e p r o je c t io n o f th e~e x te r na l s tr ea m l in e s o n - t o t h e s u r f a ~ o f t h e b o d y , w ~ t h e o t h e rf .m ~ l y consist~ o~ t h e o rth o~ o na l t ra je cto rie s i n t he ~ O f t he f ~ "f ~ n y . T h e d h ~ t i o n o f a n e x te rn a l s tr u un li ne is ~ t h e s tr es m w b e .d i r ac ti o n , T h e e r o ~ - o w , o r ea~ss-wi se co m p o n en t ~ f . o w i n t h e h o u r i, 'd e f y .~ y e~ . w h i eh i . ' . o m e t ~ e e r e~ e n e d t o u m ~ o n d sr y ~ o w , i . t h Sc o m p o n en t a t r i g h t an g les t o t h e ~ w i ~ ~ ~ r e f e m a ~~ 1 1 b e = a & t o ~ = ~ o n , i n co n n e ~ on w i th ~ . k y ~ ~ I ~ - .l s t i o n s , t h o u g h t h e p h e n o m e n o n w i ll n o t b e c o ns id er ed i n d e t a i l I n .t h e e a l ~ t i o n s , w h i ch p ro e se d i n a d o w n m ea m ~ o n ; i t w m be..r a m m e d t h a t ~ ~ e p a m t i o n l i n e i s r e a c h e d w h e e e t h e t ~ , , , , ~ ~ .l ines o n t h e s u r f a e s f o r m a n o n v e . l o p e . - D e t ~ u ' l e d d i ~ , ~ i o n B o f ~

. . .. .m a y b y fo u n d i n R e f ~ ~ , S a u d 4 . . . - . U n d o r e s r t a i n e o n d i t i o n ~ d i r e c t r e l ~ t i o m b e t w e e n t h e ~ l u t i o ~ f o rd i ff e re n t t y p e s o f l a m i n a r ~ l ~ y e r h a v e b e e n f o u n d , w h i c h e t ~ b l es o lu t io n s f o r o n e t y p e t o b e d e r i v e d fr o m k n o w n s o lu ti on 8 fo r a n o ~ o r .F o r t h e ~ r e l~ t i o m t o - h o l d th e b o u n dl ,- y . l a y e r e qu a ~ io m , a n d t h e k rs o lu t io m , m u s t b e i n s t r ea m l i n e c o - o r d i ~ t e s a n d t h e e ~ o a - o w m i n tb e ~ 1 1 . I n t h e s e .e i r ~ m , ta n e es E ic h elb rm n e r a n d O u d s ~ n o tie sdt h a t t h e eq u a t i o n s o f m o t i o n f o r in co xn pr em n ~le f lo w i n a n o t h er w k ea r l ~ t m r y b o u n d a r y l a y e r w e r e i de n t ic a l i n f o ~ n t o t h e s e f o r a i m u n d a r y :l a y e r i n a x i a l ly sy m m e t ri c flo w. C o ok e e h u p o i n te d o u t t h a t a ~ = f l a rr e la ti on h o k k f or o m p r e ~ b l e b o u n d ar y l a ye rL T h ~ t h e re m a n a x i al ly .s y m m e t r ic a n a l o F y f o r b o u n d a r y l ~ y e n w i t h m a l l o ro m -fio w . C oo ke rh u , i n ad d i t io n , o b t a i n ed a eo m p r em i b fl it y es r r e ]a t io n o f S t ewar t eo n 's st y p e b e t ween co m p r essi b le an d in eo m p reea ib le b o u n d a r y l ~y em w i t hs m a l l e ro u -f lo w . T h e a x i a l ly . ~ n ~ e t r i e a n a l o g y a n d c o m p r e u i b il i tyco r r e l a ti o n en ab l e so l u t i o n s o f o n e c l a ~ t o b e d er iw~ i f r o m k n o w n so l u - .t i o n s o f a n o th e r , ~ p l e r c la ss .

I n 1 9 5 6 C o u r an t s s co n c lu d ed a l ec t u r e ~ ' ~ i t h " i t J s a l r e a d y e v i d e n t n o wt h a t m o d e r n c o m p u t in g b ec ~ nlq ue s t o g e t h e r w ~ t h p e n e t r a t i n g a n a l ~


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2 2 ~ J . C . C o o r ff i ~ b L G . ~ r ,r T , .a re b o u n d t o p r o d u c e t h e s o lu t io n s o f m a n y p r o b le m s r e l e v a n t t~f lu id d y ~ - m ; c s a n d a e r o d y n a m i c s t h a t h e r e t o f o r e d i d n o t s e e m a c c e ~ ib le . T h e s e m e t h o d s ~ l ar ge |y , d i r e c t e d t o w a r d p r o b l e m s o f p r o p a g ~t ion , i s . problems invoh-J .ue~p a r a b o li c a n ~ s h o v e a l l, h y p e r b o l i c d if fe ~e n t i a l e q u a t i o n s . ' " I n 1 98 7 R a s t z n p r e se n t ed , j u s t s u c h s s o l u t i o n - - f o zt h r e e - d i m e m f i o - s l ~ A ~ - ;. Ir c o m p r e s s ib l e b o u n d a r y l~ y ersl o f q u i t e g e n ,o r a l t y p e . W e d e s cr ib e th i s g r e a t a d v a n c e i n t h e s e c t io n o n e x a c t a n ds e r i e s s o l u t i o n s .A s p e ~ ' - l ;- ~ d s e t O f e x a c t s o l u t i o n s i s d e e e r i b e d a ls o . T h e s e a r e d m i l a zs o l u t i o n s a n d e o m I : i u a t l o n s o f , i , ~ ; 1 , , . s o l u t i o n s , f o r i n c o m p r e ~ _ ' b l ef l o w : L o o s t a n d S o w e r b yxo e a c h o b t a i n e d a s o l u ti o n f o r t h e b o u n d a r yl a ye r o v e r a K i t p la t e i n t h e e as e w h e r e t h e e x t e r n a l s t r ~ , ~ , n e - f o r m ar A , .~ y o f t ra n a l at e e, a l l o f t h e m e m b e r s b e i n g o f o n e - ~ m p le s p e el fl eds ha p e. F.~ w3a s o lu t io n w ~ c o m p o s e d o f ~ , . n . . s o lu t io n s . H e r d g a n dH ~ n . e n ~ g r e ~ y ' e = t ~ a d e d th is , i n s u ch s v m y t h a t t h e e x t e r n a l s t re a m .l in e s c o u l d b e o f a n y s h a p e r e p re s e n ta b l e b y a p o ly n o m ia l. . T h e y w e n to n t o i n v c z t i g a t e , ~ m i l A - s o l u t i o n s g e n e r a ll y t , a n d G e i s t s c a r r ie d o u t al ik e i n v e s t i g a t io n i n d e p e n d e n t l y , re ~ -h ~ ,! g t h e u m e c o n c ln s io n s . Y o h n e ra n d H a n s e n a h a v e r e c e n t l y c o m p u t ed s o m e o f t h e ~ m l ] ~ . s o l u t i o n s .T h e a i m / la r it y c o n d i t i o n a s su m e d i n a ll t h e se c u c s w a s t h a t f o r e a c hc o - o r d in n t e d i re c t io n t h e v e l o c i ty p r o f i le s a t a ll s ta t io n s o n t h e s u r f ~c o n s i d e r e d w e r e s im i l ar . O n e c o n s e q u e n c e w a s th at* a s p e ci fi ed d i s ~ -b u t i o n o i~v o r t i e i t y i n t h e m a i n s t r e a m w a s a l m o s t in v a r i a b l y r e q u i r e df o r s i m i l a r s o l u ti o n s t o e x i ~ T h u s d i r e c t p r a c fi t a l a p p l ic a t io n s a r e v e r yl lm l t e d , a n d t h e m a i n a p p l ic a t io n o f t h e r e su l ts i n t h k ~ h a s b e e ni n t h e p r o vi si on o f d a t~ f o r th e d e v e l 0 p m e n t o f a p p r o ~ m a t e i n te g r a lm e t h o d s . A g e n e r a l i z e d s in ~ i!a rte y c o n d i t i o n h a s r e c e n t l y b e e n p r o p o s e db y W u es tZ s, i n w k i c h o n l y t h e v e l o e i' ty p r o fi le s a l o n g in d i v i d u a l l i u e sa re . ~ m ila r. A v a r i e t y O f i r ro t a ~ o n a l m a h u ~ e a m s b e s o m s P o a i b l e , a n da l t h o u g h t h e c o r r e s p o n d i n g i o l u t i o n s a r e c o m p a r a t i v e l y a ; ~ ; ~ I t t oc a le n l at e W u e e t h a s b e g u n t h e ~T h e s e r ie s s o l u t i o n s c o n s i d e r e d h e r e a r e f o r c o m p r e s s ib l e b o u n d a r ylaye rs o n con es . H er e w e h av e in su _eee~__'onH a n tz sc h e a n d W e n d t ' ~ ea n d M a n gl er 's x 7 s o l u t io n f o r a n u n y ~ w e d c o n e . r , l , g w o r t h ' s ls s o l u t io nf o r a n u n y a w e d s p i n n i n g c on e , M o o r e ' sz* s o l u t i o n f o r s y a w e d c o n e a n dS e d n e y ' s~o s o l u t io n f o r a y a w e d s p i n n i n g c o n e . .T h e r e a r e, o f c o ur se , o t h e r c l a u e s o f so l ut io n s , b u t h e r e w e s h a l l g i v eo n l y a l i s t o f r ef e re n c e s . T h i s i s i n t e n d e d a s a s u p p l e m e n t t o M o o r e ' sl i s t a n d c o v e r s b o u n d a r y l a y e r s o n y ~ w e d i n~ ;n ; te oyl indersZt -a= ando n r o t a t i n g b o d i e s~ - ~ . ~ o t e t h x t R ef . 2 3 h a s b e e n in c l u d e d e v e n t h o u g hT i fl 'o rd w a s e x p l i c i t l y c o n s i d e r i n g a t w o - d i m e m f i o u a l p r o b l e m o f h e ~ tt r a n s fe r , b e c a u s e s o m e o f h i s r e s u lt s a p p l y t o f lo w s p a s t & y a w e dc y l i n d e r .


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" ' , ~ ' ~ " i " " ' ' " . " " ' " ' " " " " ' " " " " " " " " "

" : i i ~ e m o m m tu m i n t e g r a l m eth o d s d q ~ . lo p e d fo r ~ ~ e U l~ u n e ~ r y l a y ~ ~ e n e n ~ o f t h o ~ u H d f ~ ~ b o u n ~ -d ary l a y s . T h e ~ o r k is~alm ost en tire ly ~ _ - ~ e d t o l a m i n ~ i n e ~ p r ~ ~l lb l e b o u n d a ~ ] a y e s , a n d . ~ * m l ; , ~ e o -o rd in a t~ ~ n o w e m p l o y ed- l ~ c e t e x d u m v e ly . T h e ty p i c al p r o b l e m k t o s o lv e s p a ir o f m o m e n tu min tesra l e q u L t io ~ ~ S i m ~ ' ~ y ~ v ~ m ~ n o m ~ Z m n n p ~o n s mr e q u i re d 4;o m a k e t h e e q u t i o n s d e t e r m i n s ~ , a n d t h e u s u a l .Iz'setioe is .t o fo l lo w Poh~h ,,usen' ~ a ~n .o sc h o f ~ g q ~ i f i e d w l o c i ~ p ro , ."'files a n d deri'rJ.ug ~ ' f o r t h e u n lm o w n s t h ~ ~ -b r e u m r a n d .O ud s~ S p re s e n te d s - p a r t i e u ~ l y .~ ,~ p le m e t h o d b u t i n t h i st h e y :m a d e n o s t ~ n n l ~ t o s & ~ j r t h e m o m e n tz m e q u a ti on f o r t h e e a ~ .-flow . I n s . m l m o f pa'per~ ~ " ~ Z . a n d h is o o l i s a ~ m ~n u m b e r o f w s y s o f ~ e c i f y i n g t h e v e lo c it y p ro fi le ~ T i m m & u ' ~ p ro :.p o o e d m e t h o d s e e m s f a i r l y re l ia b l e f o r e v e n s p p r e c i a b l e e a r n - f lo w sp ro v id e d t h e e x te rn a l ~ a U n m , w h ic h a re ~ e n e r ~ y cro we d, d o z z ~h a v e o o n ~ d e m b ! e r e d u c t io n s i n e urv atu re ~ T h e m e t h o d i n v o lv e s , h o w - .e v e :, s . ~ z t d e al o f c o m p u t ~ o z ~ Z ~ a tz , n im p lifie d T i m m ~ ' s m e t ho d

f o : t h e e a ~ o f m z a l l e ~ o~ -flo w , & nd t h e n m o ~ a e d i t t o re du oe lth e'~ m ~ m -tm ~ r e ~ d 0 t io n ~ ,z . C o e k ~ I m p m ~ t e d a n a lte rn ativ e w o d ~ k e ~ o ~I n e o n t r ~ ~ o~ the~ m e t h o d ~ - ~ h f ~ P oh lh au m ~ 's ~ i s .s m e th o d,~ m d ie d b y I I s l l a ; ~ h i ch fo llo w s T h w a i t ~ , q q z r o ~ h o f ~k n o w n s o lu t io m , T ~ au nsn , Z ~ t a n d . C o o k e h s v e s p p l ie d t h e ir m e th o d sto th e boU ndm 7 la y er s o v er m odel v i n p . b u t n o S ~ o f t ~: T h ~ a p p :o s ch h a ve ye~ b een m s de . I n h is l a tm t p s l ~ Z s s ~en~Lqmt8f u rt h e r m o ~ i ~ t i o n s w h i c h a t t h e s am e t im e r e n de r h is m e th o da pp lic ~b lo t o e o m y m n i b ~ b ou nd ary , la y er ~ R e o e u t l y , . ~ d , P in -s e n t H . G ., a n d Pi nm m t P , A . ~ p re oe ute d a n a m b i ti ou s m e t h o d h a ~ d o nt h a t o f H ead '~ f o r t w o ~ h ~ o n a l b o u n d a ry ~ . I t i s z m e e ~ r yt o s o l v e a p a i r o f e ~ e r g y i n t e g r a l e q u at io n ~ u w e l l u t h e m o m e n t m n "i n t e g r a l e q u a t io n s ; b u t t h e m e t h o d i s ~ p p l i~ b l o . t o b o u n d a r y l a y e m iw i t h s u c t io n a n d i s b e l ie v e d t o b e s u ~ e i e n t. ly a c c u r a t e f o r the estims-t i o n o f b o u n d a r y l a y e r s t& b g i t y; m o r e o v e r i t i s n o t r w t r i o t e d t oo f s m a ll ero ~ -fl~ w . F i n al ly , m e n t io n ~ h o uld b e n m d e o f ~ "n e w s p p r o a ~ , p ro p os ed b y ~ n ~ s , i n w h ic hin cre _---~ g lyv e l o c i t y p ro f il es a r e g e n e r a t e d b y a n i t e m t i v e p r o c e d u r e ; w e a h a l l n o t "d is en m i t h e r ~V e r y l i t t le w o r k o n t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y er s h a s b e e n d o n e . W h a tl i t t l e th e r e i s re l ie s r a t h e r h e a v i l y o n tw o ~ t h~ e n ~ o n a l w m ~ e x ~ r l yf o r t h e e m p i r ic a l ~ a l u e o f t h e = ~ n fr i c t i o n . M o m e n t u m m e t h o d s h a v ebeen exclus iv~]y used , o f ten w ith a 1 / ~ p o ~ ' e r l aw f o r s t reamw ise ~e lo -c i t y ] n ~ e m , a n d w i t h s o m e ,~ ,,~ p le p l au s ib l e a s s u m p t i o n f o r t h e e r o s -f low. Cooke4n ha s dev ised s m et ho d o n th ese t i~e s for inom, p_re,-', 'bb


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. . . . . J . c . c o o = = G . ". l o w ; w h i l ~ S m u u ~ e a t t a c k e d t h e " m o r e fo rm id ab le , t a sk o f L u v ~ gc o m p r ~ _ _ ~ l e tu r b . u l e n t f lo w o v e r a s li g h tl y -y a w e d " c o n s . M q e r ~ d e a l tw i t h . in c o m p re s si bl e fl ow i n a d u c t . S i g h t l y d if fe re n t, v a r i a ti o n s h a v eb e e n r J s~ e s t o d b y B e c ke rs z a n d Z a st~ 5 . J o h a n n - - , s ,. ~ , s u g g es te d . m o re s o pl ~ C .! ca te d p a t t e r n f o r . t h e ~ o m - f o w . ~

p a p e r i s . i n . t h r e e m a i n p .The t i n t d e s k w i t hs /o n a l b o u n d a r y L ~yers i n g e n e r a l T h e f u ll b o u n d a r y l a y e r e q ~ n s , i no r t h o g u n a l e u r v i l i n s a r c o - o rd i n a te s , a re s e t d o w n , a n d a l so t h e c o r t e s-p o n d i n ~ m o m e n t u m i n t e g ra l e q u a ti on & F o r r e fe r en c e , t h e u s e fu l c u e so f t h e b o u n d a r y l a y e r e q u a t i o n s i n g e o d e s/ e c o - o rd i n a te s a r,d t h e t o o -m e n t o . m i n t e g r a l e q u a t i o n s i n s t r e ~ m l ; - e c o - o r d in a t e s a r e a l s o s e t d o w n .A d ~ s i o n o f c r o s e . f o w f ol lo w s , a n d t he " l e a d s n a t u r a l i y t o a n a e c o u n to f t h e a x i a l ly s y m m e t r i c a n a l o g y a n d t h e c o m p r e ss ib i li ty c o r r el a ti o n .I n t h e s e c o n d p a r t . t h e a n al ys is a n d n u m e r i c al m e t h o d o f R a e t a . . a n ds o m e r e p r e s e n t a t i v e e x a c t a n d s e r i e s s o l u t i o n s a r e d / S e u s e e ~ T h er e p re s o n t& t i v e so lU t io n s a r e t h o s e p r e s e n t e d b y Y o h n s r a n d H a n s e n 14 w h i c h in c l u d e t h e e a r li e r r e s u l t s o f H e r z l g m u i H a n s e n xx, Loose andS ow erb yZ O ), a n d S e d n e y ' s s o l u t i o n m fo r t h e y a w e d s p i n n in g c o n e ( w h i c hi n c l u d e s t h e e a r l i e r r e s u l t s o f H a n t z s c h e a n d Y tre nd tle , ] ~ a n g le rl T ~ o o r e X ta n d ' /] l| n .~ w o r th l S ). I n t h e ~ a n d ~ p a r t i n t e g r a l m e t h o d s a r e c o n *a i d er e d :- W e b e g i n w i t h ~ m A n ' ~ 3 6 m e t h o d ;- a n d t h e n c o n s i d e r H a l l ' ss t u d y 4~ f o ll o w i n g T h w a i t e ~ . T h i s p r o v id e s a n i n s ig h t i n t o t h e r e l a t i o nb e t w e e n P o h I h a n s e n 's a n d T h w a i te s : a p p r o a c h fo r t h : e e ~ m e n s i o n a lb o u n d a r y l a y e r s . T h e m e t h e d a o f Z a a t a l. 40. 4s a n d C o o k e4z c o m e n s x LT h e d is c u M / o n o f m e t h o d s f o r l a m i n a r b o u n d a r y l ay e r~ c lo se s w i t h a na c c o un t o f t h e m e t h o d o f L ; . d f i e l d a n d h ~ s co lle ag ue s4 1 i n w h i c h e n e r g yi n t e g r a l e q u a t i o n s a s w e ll a s m o m e n t u m in t e g r a l e q u a t i o n s ~ se & is -file d. L M t l y , m e t h o d s f o r t u r b u l e n ~ b o u n d a r y l a y e rs a r e b r ie f lyd e s e r i b e d .

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2 . G e n e r a l C o n s i d e r a t i o n s2 .1 B o u n d a r y l a y e r a n d m o m e n t u m I n t e g r a l e q u a U o n s

A n o r t h o g o n a l s y s t e m o f c u r v i l i n e a r c o - o r d i n a t e s ( ~ , , I , D i s u s e &T h e s u r f a ce o v e r w h i c h t h e b o u n d a r y l a y e r li es is d e n o t e d b y ~ - O,a n d ~ m e a s u r e s t h e d i st a n c e f r o m t h e s u rf a ce a lo n g a n o r m a l . O n t h e s u r f a c e ~ - - 0 a r e ~ w o f a m i l ie s o f c o - o r d i n a t e e u r ~ e s ~ =. c o n s t a n t a n d,i -- c o n s t a n t , o r t h o g o n a l . t o o n e a n o t h e r. F o r t h is s y s t e m t h e e l e m e n to f l e n g t h d ~ w itl~ ;n t h e b o u n d a r y l a y e r i s g i v e n b y . .= w h e r e ~x a n d h~ a r e l e n g t h p a r a m e t e r s a n d , t o a s u f f ic i en t ly g o o d a p -p r o x i m a t i o n , a r e f u n c t i o n s o f ~ a n d ,7 o n l y . T h e r e q u i s i t e c o n d i t i o n s


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a n d I - O p T , w h e r e Cp i s t h e s p e e i 6 e h e a t a t e o n s t a n t p r e e m n e a n d Ti s t h e t e m p e m t u r ~T h e e q u a t io n s f or i n e o m p r e m b l e f lo w w e re f ir st g i v e n b y H o w ~ uf o r a t r ip l y o r t h o g o n s l e o - o r d i n st e s y st e m . H o w s r t h ' s e q u a t i on s a r eu n c h a n g e d f o r t h e e o - o r~ in a t e s y s t e m u s e d h e r e , u w e , p o i n t e d o u tby Squire*'.

A n L l t ~ - na t lv e f o r m o f t h e en e r g y ~ -q . (4 ) i s o b t ~ n e d b y m u l t i p l y i n gE q s . ( I ) a n d ( 2) b y u a n d v r e s p e c t i v e l y a n d a d d h i g t o E q . ( 4 ) .P u t t i n g "s - x + i ( ~ z + ~ )


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22S ~ J . C . L'~.~.z.s m n ~ - G . K ~ r ~ "w e o b t a i n h e m m l t

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F r o m E q s . ( 1 ), ( 2 ) a n d (4 ) w e m ~ y o b ~ a s e r i e s f b o ~ n ~ c o n d i -t i o r m , t t h e s u r f e ~ e o f t h e b o d y . T h e s e a r e : o b t a i n e d b y p u t t i n g { - O ,= - - e = = w = ,, O, in the equat ions as they . s tand, a nd in those obtainedby d i fferentiating them any num ber of t im es wi th respect to ~ . T w osuoh b o u n d a r y ~ o n d i t i o u . a m

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' . I . ~ L ' = T U J ~ . ~ ' ~ " ( u )Th e m o m e nt u m in t e g r a l e q u s ~ o ns ~ d e r ive d in t h e u au ~ l w = y , .b yi n t ~ r s t i n g E q ~ ( I ) a n d ( 2) t e r m b y t er m a c r m s t h e .b ou nd a ry l& y era n d m a k i n g .u s e o f E q s . ( 6 ) , ( 8 ) and (9 ) to e l ;m inate w and p . Pu t t in~

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2 .2 ~ o m e n t u m i a t el ~r a l ~ l u a t l o ~ " i n ~ , c o - o r d i m t e 8t h e ~ , ~ - ~ " d # " o o u t . , n ~ ~ "..he ~ ~: - 0t a k e n t o 'b e.~ h e p ' to j eo ti o' ~ . o f t h e ~ m u m U n e ~ o n ~ ' th ee u r , v ~ a n d t h e i r oft,b o ro n s1 .t,x~ee~:~-i~ i n t h e e u rf ao e ~ ,

t h e a,b o v e m o m e a t a z m i a t e g ~ e q u a t i o , , - t a k e ~ I ) a r t , i o - ~ , - - l y u s e f u lf or m . W e t h e n h ~ v e "e - o ~ n d D e - = , a nd t h e n e w d i ~ h e e m e n t u~ d~ o m e n t m ~ t h i e k n e , ~ t re g iv en b y

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2 3 0 J . C . C oo x.u ~ r D ~f~ G . H . t ~ 'The m o m e n t u m i nt e gr a l e q u a t i o n s . a re a t t h i s s t a g e o n l y s l i gh t l ys i m p l i f ie d , b u t i f in a d d i t i o n t h e e x t e r n a l f l o w i s i r r o ta t i o n a l a v e l o c i t y

p o t e n t i a l e x i s t s w h i c h w e m a y p u t e q u a l t o ~ s o ~ h a t ~ x " l i n e . T h ee q u s t io n ~ t h e n b e c o m e '

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c u r v a t u r e . T h i s s y s t e m i s e s p e c ia l l y u s e f u l f o r s c o n e o r & g e n e ra l s u r -f a c e o f r e v o l u t i o n . T h e c o - o r d i n a t e s ( ~ , 7) o f &p o i n t / ' i n t h e s e t w o c a s esh a v e t h e f o l l o w i n g p h y s ic a l s i g n ~ e a n c e . F o r & c o n e ~ m e a su r es t h ed i s t a n c e o f P f r o m t h e a p e x a l o n g a g e n er a t o r , W h iR r ~ i s t h e d i s t a n c eo f P f r o m ~ fi x e d m y m e a s ur e d a l o n g a c u r v e o n t h e s u r f a c e i n a d i r e c -t i o n n o r m a l t o t h e r a y s ; t h i s i m p l i es t h a t r - - ~ . F o r & s u r fa c e o f r e v o -l u t i o n ~ i s th e d i s t a n c e o f P f r o m & f i x e d c r o s s s e c t i o n , m e a s u r e d a l o n gs g e n e r a t o r . T h e c r o s s s e c t i o n s a r e c ir c u l a r a n d r is t a k e n a s t h e r a d i u so f a c ro s s s ec t i o n a n d i s a f u n c t i o n o f ~ o n l y , w h i l s t q i s t h e a n g l e b e t w e e nt h e m e r id i a n p l a n e t h r o u g h P a n d a f i x e d m e r i d ia n p l a n e .

M o o r e i n t r o d u c e s t h e id e& o f a t h r e e - d l m e n s i o n M v e c t o r p o t e n t i a l a n d


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2 .4 O n c r o s s - f l o w s . "I t m a y b e r ec a ll ed t h a t t h e c r o ss -f lo w h a s b e e n d e fi n ed ,. s ~ e c o m -p o n e n t o f f lo w i n a b o u n d a r y l a y e r a t r i g h t -a n g l e s t o t h e p r o j e c t e d d i r e c -t i o n o f t h e e x t e r n a l s tr e a m l i n e s . O n tr a v e r si n g th r o u g h s b o u n d a r y l a y e ra l o n g a n o r m a l . to t h e s u r f ac e t h e v e l o c i t y v e c t o r i s f o u n d i n g e n er a l t oskew. Th i s s i gn i f i es the presence o f cross - f low and i s s character i s t i cf e a tu r e o f t l t r e e ~ m e n a i o v a l b o u n d a r y la y e rs . A l o n g t h e n o r m a l , t h ec r os s- w is e v e l o c i t y c o m p o n e n t , w h i c h i s ~ m e a m u ~ o f t h e c r os s- fl o w ,

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T h e l ~ e q u a t io n in t h e c . a ~ o f u n i t P r a n d f l n u m b e r h a s & s o lu t io n


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t h e n t ~ Z e ro a t t h e e d g e O f t h e b o u n d a r y la y er . I n t h e b o u n d a x y l a y e requt. lorm in ~ , - l ; ~ e ~ o r d i n a t e , th e c r o m - w i s e v e l o c i t y is.e.A p h y~ csd e xp la na tio n f ar t h e ~ o e o f crom -f low s m a y b e g i v e na8 fo l]oWL F or l~Am plicityw e e o ns ide r t h e b o undar y" l a y e r o v e r a p l a nes u r f a c e . T h e s t ~ a ~ , l i ~ e , a t t h e e d g e o f th e b o u n d a r y la y e r a ~ e s u p p o s edt o b e c m ~ ved , s o t h e r e m u s t b e a n i n w a r d p r e ss u re ~ - a d i e n t i n t h e~ . d . i ~ , , , ~ i ~ . " . ,b , ,. t , , n ,~ q th e ~ ~ t , r i C u S ~ f ~ . Z ~ , .f~ s ~ ~" ~ p re ~u re ,L q m c l ie nt t h e m o u n t o f c u r v at u re o f. th e s tr ea _~ l ; ~ e a . c ~p e n & On t h e q ~ l o f th e u i d e le m e n t& T h e re fo re , ~ n e e t h e tim idw R M ~ the ,boundary l ay e r h ~ b e e n re t a r d e d b y = ~ - L, c t io n a n d t h e

: p r e ss u r e g r a d i e n t e d o n o t v a r y a l o n g a n o r m a l .'to t h e ~ n ~ a e e, a f l u id e l e m e n t w i t h ; ~ t h e b o u n d a ry l a y ~ ,will, f o r t h e s a m e e en t ri fu g a l f m ~ e ,t a k e a m o re h i g h l y c u r v e d p a t h t h a n a e t m m p o n d ~ ,g e l e m e n t a t ~ ee d g e . C o m e q u e n t l y .th e re w i l l b e e ro e e- fl ow ~ . . ~ .. . . . . - , . , o

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S o m e e r o N - w ~ es h o w n i n F ~ . 1 . I t w m b e s ee n t h a t t h e p ro file s v a r y i n - h a p e a n d t h a ti n s o m e o f t .h e m v c h a n g e s i t s s ig n a s w e g o t h r o e g h t h e b o u n d s r y l ~ y e r .T he r e s u l t a nt d i r e c t io n o f f l o w i s c l e a r l y ~tWe r ent a t d i~e r e n t ] e v e k .Of pa r t icu la r in t ~ w t is th e " l i , ~ i t h ~ g s.~ J ,, ,t lne " ,~h ich ia the l~,, ,i*. ,ingl ~ s i t i o n o f a s ~ a m l l n e a s t h e s u r fs ~e i s ap p ro ac h ed . I t m a y a ls o b ez6


14/62

2 . ~ ,1". O. Ooox.w ,~-~ M. O. ~ . . .d e ~ e d a 8 s , l i n e w l~ic.~ ~ e v e r ~ w h e ~ t ~ e n L i a ] t o t h e r e e u ll ~ n t s h e a z

e n t s h ap e f ro m . t h e e ~ t e m a l s t ~ e - ~ l ; n e m a y be seen n . F i g . 2 . The ex't em s l ~ w ' ~ .o m w h ic h F i ~ 1 ~ d ~ h sv e b een c a . l c ~ is ~i~ cu b y, . ~ . . ~, ~ 0 . o + ~ , ~ ,

v h ~ ~ o ia ao m e re i'e re n~ ,v~ocity. ' ~ e ~ - _ ~ . n ~ ~ v e . ~ i ~ t o f4 1 - 0

$ - a

1 . 0

O .

/ /! I / ~ X / ' ' ' -I , . , y - \

/ , 1" ' - - S l r Q a m l l n e l l ' - l m i l ln I l l r l l l m l l n l lI !1 . 0 2 ~

,

- 1 , - - 2 + ~ - p .


15/62

~:.'&:. ~ z ~ , ~.~ ~ Z ~ . ~ o ~ ~; . n e ~ ~ t e 1 0:5 ,mc~ ~ , on,, t a , - e b , d o ~ , ~ - , - ~ ; . ~ t ~ e r ~ . ~d ee re as ee u p t o ~ p o i n t a n d th e n in e ~ eu e s a f t e r t h e p o i n t i s l ~ i a e d ,~T h e "pressure~~ t can b e sa id . to b e ' T a v o ur a b le " u p t o t h 6 p o i n ta n d ' ~ f t v o u r a b | e " f u r t h e r d o ~ I t w fl] b e n o tic ed t J : ~ ' t h eI ~ , , ~ ,t~,~l~ee keep ~r ly doe to, the extma~ ~ . u a d e ~f a v o u r a b l e p r e ss u re g r a d i e n t , b u t d iv e rg e w i d e ly w h e n t h e g r a d i e n t s b e c ~ e u z ~ v o u r ~ l e . :l ~ ote t h a t e rm e -f lo w e a~e a u t e m a t ie ~ l ly a ~ . a t e d w i t h e 2 , se - w ims h e a r s t ~ m e L W h i le t h e c r o u -w i s e p r ew u r e g r a d i e n t is m a i n t a i n e dt h e s e s h e a r s tr e s se s ! 6 z l t t h e m a g n i t u d e o f t h e e r o u - fl o w ; a n d i f t h i sp r m s u re g r a d ie n t i s r e du c e d t o z er o a f t e r l ~ u e i n g e r o ~ : o w , t h ee t r e u e , wi l l g r ad u aUy red u ce t h e c ro ss -f lo w t o u n o ~ l m .A n / n s p e c t i o n o f th e b o u n d a r y l a y e r e q u at io n s (2) p r o v/ d m a g u i d et o t h e q u t l i t~ t i v e b e h s v io u r o f t h e c r o a - ow . C o n si de r a b o u n d ~ yl a y e r w h i c h h u d e v el op e d f o r so m e d i st a nc e w i t h o u t a n y e ~ o m - w i Np r e u u r e S ~ d i e n t e o r e r o u - e o w . . A c ro ss-w ise p r e m n ~ g r a d ie n t ; - g a d -'denly i m p o ee d a n d i s m a i n t a i n e d f o r s o m e d i st a n oe u n t i l a l : ~ Z ' e ~ b l ec r o p , ow e a r e p re se n t. . T h e n t h e . ~ ' w b e p re ss ure g r a di en t k s a d -d e n l y r em o v ed . T a k i n g E q . (9.) t o b e i n m t z- -, ~"~e ~ we m et h a t i n i ti a l ly a l l t h e t e rm s w i ll b e u n ~ . T h e s u d de n i m p m i t i o n o f t h eprem~ gra de r implie, that the term (~/Z~)~/e~- - ~ . ~ ] a .b eeo m e ap p r ec i sb le . W h i l e t h e e r o u - o w, ~ o r e se n t e d b y e , is grOWin"

- b u t s t i n ~ this r ~ . u ~ ~ ~(~ /Iq)e~ le~ . 6e eo m ~ ~ , p p r e e t t b l e.s r ~ ,% h e v ~ o ~ t e rm ( e l a ~ 3 ( . ~ , l e D i ~ s t i l l ~ ~ e e q ~ t l o a u n d e rt h ese co n d i t io n s is , ~ m n a r i n f or m t o t h a t f m i n v k c i d flo w , w h e ~ th ee u r v ~ u r e o f t h e m z a m U n eo i~ s e o u n ~ o f t h e c ~ m - w k e p re ss ur eg ra die nt~ H e r e , t h e e r m s . fl o w i e a e o u n t e r n a ~ o f t h e e ~ ee ~ -w h e p r m u z eg r a d ie n t . T h e a ~ a l o g y b r e a k s d o w n u t h e c r o p - /t o w in c r e a s e , i n n u q ; n l .rude , for the v iscous terms in the equat io~ become s i .gn i f iean t . In ac r u de s e n se t h e e r o ~ - o w g r o w = u n t i l t h e e ~ om -w is e v is c o us f o r e ul~ .lanee th e e r m s . w k e p r e e s u r e . f o r m . W h e n th e F r e a er e g r a d i m t i sr em o v ed t h e e ro m -f lo w d o es n o t d i sap p ear , a s i t w o u l d f f t h e i n v k e i da n a l o g y s t ~ h e ]& T h e v i s eo n s t e r m s r e m s i n s ig n if ic a n t, s o t h a t t h ee q u st ~ o n n o w r e e e m b k e t h a t f o r h e a t d / f u s i o n . T h e c r o ~ - f lo w d e c r ea s e ss l o wl y , l i k e t h e ex p o n e n ' d s l d ecr ease o f t em p er s t u r e w i t .h ~ d i g ~ e e f r o ms h o t s ou ro e. H e n c e i t m a y b e s a id t h s t t h e r e is n o l a g in t h e g r o w t ho f e r o s - f l o w wi t h t h e i m p o s i t i o n o f c r o ~- w~se l ~ r essu r e g r ad i en t , b u tt h e d e e r e a ~ i n c ro ~ - f lo w 1 ~ b e h i n d t h e r e m o v a l (o r r e d u ct io n ) o f t h e

s ~ d i e n t .TMe exis tence o f tw o mode~ o f cro~-f low be ha~ iour oompl icate~ th esetth~g ~ p o f a p p r o x i m a t e m e t h o d s o f e ~ e u ] ~ t i ~ g t h r ~ e - d m e ~ d o n a lb o u n d a r y ] s y e rs . I t ~ v ou ]d b e m o s t c o n v e n i e n t i f t h e m a g n i t u d e o f t h ec r o a - fl o w c o u ld b e t a k e n a 8 a e o u n ~ o f t h e e ~ oe s-w is e p r e ss u r e


16/62

2 3 e . 3 . ~ C o o x z ~ ~ . G , H x L t .. . . tg r a d i e n t . ( o r t h e c u r v a tu r e o f t h e e x t e r n a I s t z e ~ r n l ; - e e ) a n d t h e c r o ~ - -w i s e v e l o c i t y p r o fi le s c o u l d b e t a k e n , t o . b e - ; - , 1 ~ . B u t t h i s is b o u n d . t ob e i n a r ~ u m t e w h e ce t h e g r a d i e n t s ( o r t h e c u r v a t u r e s ) a r e d e c r e a s i ~ , :d u e ~ t h e l a g i n t h e r e d u c t i o n o f t h e c ro s s- flo w s . F o r e x a m p l e , t h e l a ga n d t h e f s c t t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e s u rf ac e, E q . (1 1),r e q u i r e s t h e . s e c o D d d e ~ v a t i v e O [ V a t t h e s ~ t o be IrCoportion=l tot h e c ro s s- w is e g r e s s u re g r a d i e n t t o g e t h e r i m p l y t h a t t h e p ro fil es = - - o tb e , ; , , , ; 1 , , n e ~ s p o i n t o f ; - ~ e x i o n o f an e ~ t ~ - z~ l s tr e am l i ne . S u c h p o i n t so f i n f le x i o n az e f i ~ l n e n t ! y f o u n d o v e r s w e p t a n d s le n de r, w i n g s. H o w e v e r , t h e c a lc u l a ti o n o f s t h r e e ~ ; m e n s i o n a ] b o u n d a r y I~ y e r i ~c o n s id e r a bl y , s i m p l if i ed i f, u i s f i ~ t u e n t l y t h e c u e i n p r a e ti c o , t h e c r o ~ -f lo w s a r e s m a l l W e c o n s i d er t h i s i n t h e n e x t t w o s u b -s e et io n a . '

2..5 T h e axia l ly s y r , ' , , ' - e ~ ' I c a a a l o ~ o ' - . .Several ~uthors h a v e noted tha~ if t h e e r o . e - w - k e v e l o e i t , e s (and ~e ir cross wine g r e ~ e n t s ) ~ e s m a l I t h e e t r e ~ m w i s e f lo w ~ n b e . ~ I ~ i n d e p e n d e n t l y o f t h e c r o u -f lo w . O n c e t h i s iS d o n e t h e c r o u - fl o w c a n b ec a l c u ls t ~ d b y m e a n s o f ~ l i n e a r e q u a t i o n , E i c h e l h r e n n e r a n - 1 0 u d ar ~ Sp o i n t e d Ou~ t h s t t h e s im p l if ic a ti o n l e a d s t o a n a x i a ll y s y m m e t r io s n a -f o g y , . . . .

C o n s i d e r E q s . ( ~ ) , ( ~ ) , ( s ) a n d ( 2 ) i n e t r e ~ , - ~ ; - e co-ordin,,t~, w ~ i ' ~ , g .1 8 #" t z ~ ~ .,- . . .

' ~ " ~ S " " " ~ we.have, .~ n s EqL ( 8 ) , , ~ ( 9 ) " .

- . i , , ( " )1 ~ a . - o , ( . )u , _ , , a , ~ , , o ,

T h e f i rs t t h r e e e q u a t i o n s ~ e p r e c is e l y t h o s e f o r f lo w o v e r ~ n a x i a l l ys y m m e t r i c b o d y o f r s d i u s r ~ u d t h u s t h e a n ~ o g y i s e s ta b l is h e d . I t i sn e c e s s a ry t o k e e p ~ / c o n s t a n t , f o r ,/ o c c u r s i n t h e e q u a t i o n s aa s p a r s -m e t e r s p e c if y in g t h e p a r t ic u l a r s t r e - r - ~ i - e w h i c h i s b e i n g f o l l o w e d .l n g i d e n t a l l y , V a g l i o - L a u r i nag, ~o p o i n t e d o u t t h a t i f K z - . 0 o rpeue2 - p ita - - O , ] ~ q . (3 0) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s e - 0 s t t h e b o d y


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. : " ~ . . ~ : . :- . . . , . o . . . . . . . , . . . . : : . P ~ - - ~ - , L a I ~ , ~ ~ J ~- ~ - - ' ~ . . . . . , ~, . ~ _ . ~ . _ . .:. " ' . . . .

. . , , . , . . * . , : " . ,. - . . - " - . . , , . . .

~ z ~- O, t h e ~ a l s t r e a m ~ e s a r e ge o de sic s i n . t h e .m rfso e. F o r t h kc a s e S q u ~ S 6 h a d e a rl ie r , p o i n t e d o u t t h e s o l u t i o n v ms O. V s g li o- L am C m ~s h o w e d . * . ~ t i f th e s u rf a ce i s. h ig h iy ~ o o l ed . an d t h e b l a b n u m b e r m ode~ ..- a te , i t i s a p i ~ m * t e l y t ru e t h a t p ,~ o ~ - p~ = - . . 0 a n d so d ~ t e di . that e v e~ w h e n t h e streaml ines m ~ g ] ~ y c u r v e d i t i s ~ d ~ p o ~ i b l e i nc e ~ a ~ ~ - t a a ~ t o h a v e ~ a ~ h h ~ x ~ y a m m ll c x o ~ f l o ~ . . . . .L e t u s c o n sid e ~ t h e " a ~ . ~ c i ~ D e o f t . I f w e n o t e t h a ~ , . - . . . . . ] 1 " . . ~ i ~ 1 : " . . ." - - l & ~ . " "

X I - - ; , * " , , . . " . , , - . . ,

w e . c e t 3 ~ t - ( I / r ) e r l ~ i s t h e g e o d e s i o ~ - a v ~ - e O f t h e o ~ o g o ~ ltrajectories f the staea~ine~. It is thus a meas~=e of the smou nt theses t a ~ . " es d iverg e or co~erg e, j ust like e ~ d ~ g e =p r e mo ~f o r a n a x i a l ly s y m m e t r i c b o d y . I f ~r ~ i s l x ~ i ti v e r ~ i n c x m ~ . a s w e g od o w n s t a e a m , a n d , t h e S t a e a m l i n e s d i v e r g e . . . , . . " . : - . . . .W e m a y t e e o n e e f fe ct o f o n t h e b o u n d a r y l a y e r b y t o m , d a r i n g t hes t r e z m w i s e m o m e n t u m E q . . (1 6). W i t h m m l l w e. n e g l e c t ~ a n d e ~W r i t i n g . : :." " ~ . . . . . ' . .

a l a a ;B , ) . - . . . . ' ; : .

{ ~ 'o " " " " " " . '.e ' n + O n ( H + = ) - ~ r . p ) p , ~ "

e r p e c t t h i s i s t h e m o m e n t u m e q u a t i o n f o r a x i ~ y ~ , ~ , ~ e t ~ i e f lo w . T h ee q ua ti on , i s i n f ~ t ~ d e nt io al t o t h e w e n ] m o w n t w o ~ t t ~ e n ~ o ~ d e q u ~w i t h , , ' / ~ ~ b y ~ :

.. . . ~ , _ . ( ~ ). ~ _ ~ + H + ~ r

a l t e r a ti o n m a y h a v e c o n s l d e m b | e e ff ec t ~ o n t h e c ~ lc o lL te d v a l u eo f 8 n , c e p e c ~ y w h e n = ' e / ~ i s s m a l l I n o n e c a s e t h e tu r b u le n t b e u n -dar y layer pas t a 1 3~ o t h i c k d e ] t~ ~ , n g a t z e r o in c i d e n c e w a s o o m / d e r e d .T h e ~ T ach n u m b e r w a s 2 . ~Y he~ r ' w a s n e g l e c te d i t w a s f o u n d t h a t t h ep r e ~ - u r e g r a d i c n t w a s s u m c ] e n ~ y s m a l l t o m a k e t h e o a l c u ~ t e d v a l u eo f e n a l o n g a s t r e a m l i n e n e a r t o t h e c e n t r e l in e a b o u t t h e s a m e a s i tw o u l d h a v e b e e n i f t h e f lo w h a d b e e n o v e r a f i a t p l a t e . ~ T h en al lo w a n o ew a s m a d e f o r t h e c o n v e r g e n c e o f t h e ~ r_ ~_ - ;; n e s. ~ v h ic h t o o k p l a c e o n


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2 3 8 J . C . C o s i n e ~ . - m b L G. H , ~ mt h is w i ng t h e v ~ l ue o f O u n e a r ~ e t ~ i l ; - g e d g e w a s in c re a se d b y a b o u ts o % .2 .6 T o e c o m p r e s s i b i l i t y c o r r e l a t i o n

S t e w a r t s o n s s h o w e d t h a t i n t w o ~ ; m e n s io n s t h e l a m i n a r c o m p r es s ib l eb o u n d a r y l a y e r c o u l d b e c o r r e l at e d w i t h a n i nc o m p r es s ib le b o u n d a r yl a y e r w i t h a , 1 ; ~e r e nt a i n s t r e - , - v e l o c i t y , p r o v i d e d ( i ) t h e l h u n d t ,n u m b e r i s u n i t y , (ii) t h e r e : i s n o h e a t t r a n s f e r , a n d (ifi) v i s c o s i t y v a r i e sd i r e c t l y a s. t h e t e m p e r a t u r e , T h i s c o r r e l a ti o n d o e s n o t h o l d i n . g en e r alf o r t h r e e , r m e n s i o n s , b u t i t d o e s . h o l d w h e n t h e r e i s s m a l l c r o s s - f l o w ,W e s h a l l s h o w t h ~ E q s . 1 2 7), (2 0 1 a n d (3 0) c a n b e r e d u c e d t o t h e i ri n c o m p t ~ m i b l e e q u i v a l e n t a b y s u i t a b l e t r a n a f o m m t i o n s a n d d t ~ - ~ t i o o ai n t h e e x t e m s t flo w .S t e w a r t s o n u s e d i ~ r e l a ti o n

. . . . p T

b u t , f o l l o w i n g h a u m a : n ' a n d R u b e s i n n , w e i n k y r e p l a c e t l i k b y ' - : . ( 3 3 1~ ' 0 . ' ' J i [ ' o

t h e suiF~x 0 r e f e r ri n g o s o m e r e f e r e n c e o n d i t i o n .F o r z e r o h e a t t r a ns f e r n d u n i t P m n d t l n u m b e r C r o c c o ' s e m i m r a ~ u m r e l a ti o n h o l d s . T h i s i s"

. . . . . . 2 ' ~ ' , t _ u s _ ~ , ~ , 1341. , ' ~ ~ - ~ e ~ , 1 + . .w h e r e a . , i s t h e . v e lo c i ty o f s o u n d j ust; o u t s i d e t h e b o u n d m 7 l a y er ..T h i s c o r r e s p o n d s 3 o t h e s o l u t i o n H , - c o n s t a n t o f E q , ( T ) w i t h l :h " -- Lb e i n g s m a l l w e m a y i g n o r e ~ z i n E q . (3 4).M o d i f y i n g S t e w a r t s o n ' s t r a n s f o r m a t i o n slig~,tly w e w r i t e

0( 3 5 )

E q u a t i o n (2 9) i s s a t is f ie d i d e n t i c a l l y b y a s tr e a m f u n c t i o n ~ s u c ht h a t

-

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+ ~. ~ ~ . . . . ~ eo " " . , " . . . / ' . . . f . . . . "

~ e n ~ . . . . . . . -. . . " . " . . . -

~ , ~ . ~ , s " i~ +h e ~ ~ t h e ~ . . y ~ f o n o ~ t h a t o f S t . e w ~ - ~ n olO ,,ely .

W e o m i t t h e . d ~ ~ h i v h a re t e d i o u ~ b u t strsJ dg h.tforw ard . I t i s f o u n dt h a t f f w e ~ r i t ~ :

. . . . i ) ' ,." aoUo - .~, ~ ~v--l)lev-;~" . . . -: ~ o - , s - a & . + ~ x a o+ . . . . . + " . . - . , - .-.-. ~ a ~ ~ ~ . a ~~ " ; ~ z ' w -. - ; ~ , .;

Eq," (~7) b e o o m m ' ++ + m +. . . . - :w h i a h ~ t h e f o rm i t W o uld ] ~ v e tl~ ken i f p n m d t , w e r e ~ a n dm = ~ Iv . ~ o t h e i , m m ~ . m i m e f o r , - o f E q . ( ~ ) ~ n z i . b ~ I f in a d d i t i o n w e w r i f ~ . . . . ' . -..

+ . . ~ . . . _ . , . _ ~v - + , + = t + i ( ~ - t ) ~ o ~ . . ~ . - C

E q . b e o o m e . " . . . .e f ind t h a t 1 ~0 1 . " -~ V : ~ v ~ v + , - : i ~ v ~ V ~ s + w ~ , . ' a s : " x ' ~ + ' - ~ + ~ ' '+

w h i ~ is t h e f or m i t w o ul d t ~ k e i f v s a d e~ ~ e o n ~ n t m ad ,o - ~ ! #a n d t h e n e w X 2 w er e u s ed . T h u s t ~ e e q u s f i o m h s v e b e e n r ed u oe d t oin eo m p re sm ' b le f or m . I t c a n id s o b e v e r i t e d t h ~ t h e b o u n d e ~t io n s ~ t ~ f i e d red uoe to t h e ~ r n ~ l x m d i ~ i no o~ p re m ' b le ~ e Le ~ l s ~ o n h ~ b ee n s pp l i e d t o f lo w p u t t h e u pp er ~ r ~ o e o f s~ n i c ~ I l y c am b e re d d e l ta w i n g w R h ~ f lo w a lo n g t h e l e ~ d i ~e d g e s , u d e e c ri b ed b y B r e b n e ~ Z , a n d f o r v ~ a n i n o o m p r e ~ ' b l e ~ A o u -l a t i o n w ~ m a ~ e i n R e f . 4 ~ . T h i s w i n g "m f i a t i n b o a r d o f t h e " a h o u ld e m "~ h i c h a re s t r a ig h t l i n es t h r o u g h t h e a p e x h ~ v J n g, i n t h e n o t a t i o ~ o fF i g . S, e q u a ti o n s y / R ' x . 0 .6 . O u tb o ar d o f th e s h o u l d e ~ t h e w i n gS urf aoe i s drooped, n s u c h a w a y . ~ t a t a e r ~ . ~ i nc id e n o e t h e + lo w ka t t a c h e d a l o n g t h e l e ad i n g e d g e~ ; t h e l i ~ e o e ~ c i e n t ~ 0 . I . T h ef lo w w a s ca l~ o l s~ ed b y a le n de r w i n g t h e o r y . I t i s ~ d a nd is n ~ h ~a ft e ~ a t ta c h m e n t t h e s tr ea m w i se p r e ~ e ~ d i e n t i s a t f i ~ . f a ~ o m b l e


20/62

24o 5 . C. Coo z 3.a n t; t h e s t r e -m I ; -e s t u r n s li g h tl y t o w a r d s t h e c e n t r e li ne . l a t e r & p o / n to f i r ~ e x i o n k r e a c h e d , s t w h i c h t h e ~ r e ~ m I ;n e s t u r n t h e o t h e r w a y a n dt h e p r e s s u r e g r a d i e n t b e c o m e s u n f a v o u m b l e ( po s iti ve ). S o m e id e s o f t h eb o u n d a r y l a y e r f ~ ow i s o b t a in e d b y p l o t t i n g t h e a n g l e b e tw e e n e x t e r n a ls t ~ - - m . n e s s n d . - - ~ t i ~ ~ r e , , m . . W ~ . C z l c u la t io n s o f . t ~ angle o n th e

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. ~ I1O.S O-g 0.? 04"

~(ttYza. 3. Az~le ; ~ t w e e n . tr m u n lh ~ ~ d " ~ ; t ~ ~ f ~eon/eally cam bered delm~w ~ o f l~ efi"4~ E ffc~,t o~" eom pem m'oilit . .Msch ~ .in ao m p rm a ib lo a s ~ . m p t i o n a n d o n t h e a s su m p t i o n o f 3 f ~ h n u m b e r $ r e s h o w n i n F i g . 3 . T h e g e n e r a l e f f e c t c .~ ._ m p re M il~ I/ty s e e m s t o b e t o[ n c ~ u e a l l p r e s s u re g r a d i e n t s a n d t o i n c r e a se t h e .c r o s s- fl o w , ~ i no n e d i ro o ti o n s n d t h e n i n t h e o t h e r . ..

3 . E x a c t a n d S e r i e s S o l u U o n s3.1 T h a a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l m e t h o d o f R a e t z

R ae tz ZS p re s-~ n to d a ' n u m e r i e a l m e t h o d o f c alc L d~ tin g t h e b o u n d a r y[ ~ y e r o n a n y t h r e e - d im e n a i o n a l s u r f ~ , e h~ s t e a d y c o m p r e m i b le fl ow w i t h -o u t b o d y f o rc e s. A v a r i e t y o f t h e r m a l p r o p e r t i e s o 2 t h e s u r f a c e , a n d s u e -t i o n o r i n j e e t i o u , a r e a d m i t t e d . T h e f l u i d v k c o a i t y , t h e r m a l c o n d u Q -t iT i t y , a n d s l > ec ~ c h e a t ( a t c o n s t a n t p r e s su r e ) r o s y b e a n y f u n c t io n s o f


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a u t o m a t ic c o m p u t e r an d , u m i g h t , b e ~ a c o n s id e r a b le a m o u n tof mathematical ana l)~, ~as requin~ to fill the gap between the u s u a l "boundary layer equations and an acceptable eomputer progr~,-,,,-~ ". T h e a n a l y m , h o w e v e r, s a t e r es ul ts n o t o n l y o f e m n p u t a t i o n a l i n ~ but of fundamentalimportance n the unaeW,anding of b o ~ l ayeBand the boundary layer equations, and it is tha~ results we shall eon-"e e n t r a t e o n b e rn . . : ."and,~ identifying orthogonal line. on the aolid surra~o the lines q -constant o ra t e d st ~t a p l ~ - ~ ,- -~ te ~ n t h e d i r e e ~ o n of the~ ~ e . , a n d . ~

' . . . . . . . . . "- . . . . - . . . o ~ " -

. , o . . ,

. . " : . o .

t h o o n he surfaee. The (non-~-~ensional) dependent variables ehmen s,W ~, t.and ~, theeomponon, Of velocityalong ~ - oon~.ant; the temper~m%and ~ component of chest stress along v~ - co .r an t, ~ t l v e ~ .Th~ or i~ boundar~ la.~er eq~at/ons a~ t m ~ ~ by .~b. t t~ .tton, ~o a set of three ~ order non-linear psrt i~ d i i ~ U a l : e q u ~ i~ fore, t. and ~. The~ equation, a ~ ~The ~ t reset of the ~ i s is that s l l ~ ~ ~ b y nm~:m s l s to t h e ~ol id sur~aoe ~ - 1 are c h ~ e S u r f a o ~ i n t h et h a t a l l s e c o n d a n d h i g h e r d e r i w t ~ v e , o f e, ~, a n d ~ a r e i n d e t e n n i n ~ f ~w h e n ~ , t, a n d ~ , a n d t h e i r fi rs t d e r i w t ~ v m a re g i v e n . T h e e d g e o f t h eboundary layer, ~ - O, is a.sin~ab.r .urfaee. I f such data are given ~ .. n o n - e ~ , _ , ~ r ~ d e ~ urf~ oe a u n iq u e a n a l y t i c s o lu tio n is d ~

f ~ o u g h o u t t h e r e g i o n b o u n d e d b y t h e s u rf ac e s ~ - - 0 a nd .;~ - - I a n dt h e c h a r a c t e r i z e s m 'f a ee u s t e n c l os i n g h e n o n c e sm .fso e o o n ~ d ~ . . . .a b o v e e lm s o f ~ s u r f a c e I t k f o u n d ~ .~ , t, ~ v e n t h e v a l u e .o f e . ~, a n d ~, o n a c h ~ e suri'~ o~ , t h e f ir ~ d erJ v af iv m w i t h r e . p e ~~.~ .~ a n d ~ a r e i n d e t e r m i n a t e o n l y a t a l i n e a lo n g w h i c h t h e ~ o w a e r o e .the surf~e vanlahe~It can be deduced that the ~-Wuer.oe of conditions at any point is. ~m n s fe rr ed t e o t h e r p o in t ~ i n t w o w a y s : f ir st , a l o ng n o r m ~ t o th esul/d ~,_rfa~e, and secondly, by "eonvect~c~" .long s t re- ,~e~. Th etransformed equations thus "~ulate an elliptic system in the {;-directic~ and a hyperbolic system in t h e other directions, in sub~on~as ~ell as supersonic flow. In all tw~dhnen~onal flows, of eom~, these


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. , . ,2 ~ J . C . C o o r ~ A.~-o ~ G , K , ~ . . . " . '- . "

e ~ u a t i o n s d e g e n e r a t ~ t o ia p a ra b o l ic s y s t e m . S u c k f e a tu r e s , b e i n g i n -- i n t m n s f o rn ~ ti o n s , e xis t in a l l fo rm s o f t h e b o u n d ar y l a y ere q ua ti on s . T h e y a r k e f r o m t h e o , , ~ i ~ o n o f c e r t d u s h e a r te r n ~ f r o mt h e f u ll e q u a t i o n s o f m o t i o n i n c o n fo r m a n ce w i t h t h e u s u al b o u n d a r yla y e~ a s su m p t i o n s a n d t h e r e f o re p r e va i l~ w h c r e a n d o n l y w h e r e t h e s eu s u m p t i o n ~ a r e v a l id " .So m e sp ec ifio l) ro l ~ , - ti e s c o n b e d e d u c e d : C o n d i t io n s a t a g i v e n p o i n ta ff ec t t he . s o l u t i o n ( o r t h e b o u n d a r y . l a y e r ) w i t h i n o n l y a d i s t in c t z o n ew h / c h / s 0 m alo go us t o t h e " r a n g e o f - .'n flu en ce " o f t h e t h e o r y O f h y p e r -b e l i e e q u a t i o n s . T h i s i s t h e d o w n s t r e a m r e g io n b o u n d e d bY t h e s u r f a c e s{~ - 0 a n d ~ - 1 a n d . s p a i r o f c h a r a c t e r i st i c s u r fa c e s t h r o u h t h e g i v e np o i n t . T h e p a i r i s su ch . t h a t t h e r e g io n i s t h e s m a lI es ~ f o r w h / c h a n yf lo w a c ro s s t h e s u r fa c es i s n o w h e r e o u t w a r d f r o m t h e r e ~ o m C o n v e rs e ly , .c o n d i t io n s a t a g i v e n p o i n t w i l l b e a f f e c te d b y t h e s o l u t io n w i t h i n o n l ya d i s ti n c t u p s t r e a m z o n e w h i c h is a na lo g o u s t o a " d o m a i n . o f d e p e n :d e n c e " . T h i s z o n e is b o u n d e d b y t h e -c o r re s l) o n d in g p a i r o f c h a m c t e r i s -.t i c s ur fa c es e x t e n d i n g u ps tr ea m , f r o m t h e g i v e n p o i n t . I f t h e l a t t e rz o n e i s b o u n d e d u p s t r e a m b y a t h i r d c h a m c t e ri s ti o s u rf ac e , t h e n a r b i -d a t a o n t h i s s u r f a c e a n d t h a t w o s u r fa c es ~ =. 0 a n d ~ - ' 1 c a nd ~ s s o lu tio n e ve ry w h e re w it .b ;~ a nd o ~ y w ith in t h is z o ne .I t is w o r t h r e m a r k i n g h e m t h a t t h e c o n c e p t o f t h e r a n g e o f i n fl u en c eo f l o e n l fl o w C o n d i ti o ns i s i m p o r t a n t a ls o f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h r e e ,, ~ m e ~ s io n a l b o u n d a a7 l a y e rs in t h e p r e se n c e o f a f r e e e d g e , a s o n w i n g s ,d i s c s , a n d b l a d i n g , o r i n t h e p r e s e n c e o f a s t r e a m w i s e c o m e r , a s a tw l n g - b o d y j u n c t i o n s a n d a s i n d u c t s a n d n o z zl es . The f lo w a t , s a y . sf r e e e d g e, w h e r e t h e u s u a l b o u n d a r y l a y e r t h e o r y d o e s n o t a v p l y , w i l li n g e n e r a l af l' e o t- c o n d i ti o n s i n t h e . ~ m m e d l a te lv a d j o i n i n g b o u n d a r yl ay e r, s o t h a t a k n o w l e d g e o f t h e r a n g e o f in fl ue n ce o f t h a t p a r t o f t h eb o u n d a r y l a y e r w o u l d . g i v e a m e ~ s u r o o f t h e .o v e r a ll e f fe c ts o f t h e f l e ee d g e .T h e s e p r o p e r t ie s l e d R a ~ t z t o d i v i d e a f lo w fi~ ,ld i n t o a n u m b e r o fp a r al le l ep i pe d d o m a i n s , e a c h b o u n d e d b y ~ .= ~ , ~ =. g z, , / - V t ,' / = W, ~ - O, a n d ~ - I , wh ere fx , ~ .' , ' /I , an d vj a re c o n s t an t . G i v e nb o u n d a r y d a t a o n ~ - O , ~ = I , ~ . . (x , a n d o n e o f, o r b o t h , ' ! - ' Ra n d ,~ - . W , d e p e n d i n g o n t h e d i r e ct io n s o f t h e f lo w , t h e f lo w t h r o u g h o u tt h e d o m a i n c a n b e c o m p u te c L T h e d o m a i n s c a n b e t r e a t e d s e p a r a t e l y i ft a k e n i n t h e p r o p e r o r d e r : t h e c o r r e s p o n d in g f lo w s c a n b e c o m p u t e do n e a ft e r t h e o t h e r : s o t h a t a n a u t o m a t i c c o m p u t e r o f o n l y m o d e r a t ec a p a c i t y i s a d e q u a t e i f t h e d o m a in s , a r e s u i t a b ly c h o s e n .

A s p e c ia l f in i t e d i f f e re n c e p r o c e d u r e i s u s e d f o r t h e a c t u a l c o m p u t e . -t io n s . E a c h p a r a ll e le p i p e d i s r e p la c e d b y a l a t ti c e o f p o i n t s w i t h c o n s t a n ts p a c i n g s a , b, ~ i n t h e ~ , 'I, ~ d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y ( i n t h e ~ , ,~, ~ a n dn o t t h e p h y s i c a l s p a c e ) . h e s p a c i n g s a r e a ll s m a l l a n d i n a d d i t i o n a i s


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. Q ~ ,

m u c h m i l l e r t h an b o r c. T h e n th e t h r ~ , ec o n d d m w t i v m i n t h ee q u a t i o n ,, ~ u , tc c, a nd ~ c c , a r e r e p ls ee d b y ( ~ c c - ( . / c ) ~ a ) , ( t ~ . .( a/c )ZtU) , and ( ~ c c - (a /c )Z~ . ) respect ive lY. T h is (ar t i f ic ia l )dev ice g iv esn um e r ic a l s t a b i l i t y fo r s n e g l i g / b le l o ss o f a c c m ' s c 7 . 1 1 a e t z r e m a r ks t h a tb a n l c a l l y t h e a d d e d t e r m s , e v e n t h o u g h s m a l l , c h a n g e t h e ~;~'ex~,ntislbyperboliOeonelu de~ w it h a mectioa~ one x a m p ] c s a r e g i v e n , a n d t h e p r e ~ m t auth orm ~h av e b e e n u n a b l e t o f in d "a n y i n t h e a v a il ab l e ] i ~ ' " . ~. ". - ,. .. .3 ~ S o lu t i on s o f Y o h n e r a n d H a ns e n - . " .T h e i n e o m p r e s d b l e b o u n d ~ l a y e r o v e r d e v e l o p a b l e ~ ~ - 0"i s o o n si d e r e d . T h e e o -o r d in ~ t e e ur v c s ~ - e o n s t a n d ~ - oons f,.a~'~talL'ess ~.a l o n g g e o d e s ic s o f t h e sur f s e e , s o t h a t ~ 1 - ~ - 1 a n d K z - . K s - , O .W hen ~ . - 0 i s a p lane sur~a~e the co ord in ate s ~ , : ~ , ~;; eons t i tu te ~ irec tangu lar Cart~sisn. sys tem, . T he bound ary lay er equzt ions ; wh iohm a y b e d e r iv e d f r o m E q , . ( I ). ( 2 ) a n d (5 ). 1 ~ g ~ O~ (S) ~"d (9 ) m( , - ~/p) - . " . o

+

~ + . ~ + ~ - o . - ( s ~

f o r m

1 A ' h e ~ ' q )t .

w e r e po u i b l e i n t h e fo ur ca m s, g i v e n i n T a b l e LW e deecribe br ie fl y each o f them fm nm etT h e e q u a ti o n s o f th e ex-tm~a] m m l ; n e s , ~ e ~ i

~ z ,

I 1 9 - - F ( Z ) , . . . - g ( Z ) ,. - ~

z - c ~ / ., / , ,) g c e , , , ) .

( z ~ )

( 4 o )

~ n m ~ d H . - ~ g - . and ~ = . ,ho.-~ d t ~ t ~ f f i ~ , - , e l " t~ . , o~ t ~


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2 4 4.a . r ~ .

J . C . C o o x ~ - ~.~D :~L . G . ~

. b ~=-4+1 ..~ . - - ' , , , c o ~ . f o r m ~ , ~ - l , . i6 " m ' " . ~ ' l " ] . "

,7 m - I o~ ~ + ~ t ~ f o r m - ~ - . I ;T h e f l o w i s r o t a t i o n a l w i t h & s p e c if ie d d i s t r i b u t i o n o f v o r ti c i t y u n l e s s

/ ~ . ~ ~ . . . .

~/(~.1.

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b =- 0 or .m - O.

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~ , b a n d c a r e a r b i t r ~ , c o n s t a n t~

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T h e s o l u t i o n s c a n b e c o m b i n e d t o p r o v i d e t h e i n on - si m i ] a r) s o l u t i o nf o r t h e e x ~ er n el f l o w d e f i n e d b y . . ..

= ( 4 1 )

I t i s e a s y t o s h o w t h a t i f (u , vm , w ) a re t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s i n th ~b o u n d s r y l & ye r o f s f l o w d e f in e d b y

~. - b~= ,

C " . , ~ " , , , , " ) mw i l l b e t h e c o m p o n e n t s i n t h e f l o w c lc f in e d by ' E q s . ( 4 1 ) . T h e e x t e r n a ls t r e a m l i n e s a r e h e r e g i v e n b y

I b , ,~ / a m - - n + 1 ~ m - n+ l + c o n s t a n t ,


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H a n s e nu s h o w e d h o w i n d iv i d u al ! i m ; i . . s o l ut io n z c a n b e c o m b i n e d f ort h , , , x : . ~ , , , i s . ] c u e , , . - o . . ~ : . . ~ i . . . . : I . . L . . )

" C ~ d ~ I I " " : " : ' " " ' " " " ' : . . . . . . " " " : " ; : ' : . , ' .T h e e q ua ti on s o f t h e ~ - e - . ~ l ~ a r e - . , . . . . ' :

, . . " , , . . . . . % .

. . : . . . ~ - . o o n s t a ~ x ~ , . : . .. A l l s t r e a m l i n e s f o r s I ~ , e n 5 / . ' a r e t h e .m e "m .s] ia ,p e b u t , d / ~ e r y l :m ~ d e ~ a c to r . X fS /= > . 0 t h e y f or m a f a m i l y o f c ur v e s p a ~ i n g ~ , t h eo r i ~ a a n ~ t o u c h i n g t h e d~ o r ~ d m ~ ; i f 5 ] ~ . < 0 t h e f a m g y i~ a s y m ~ t i e .t o b o t h t h e ~ a n d ~ a x e~ . T h e f l ow i s a g a i n r o t a t i o r ~ l w i t h ~ z~ itied Ld i s t r i b u t i o n o f v o r ~ c l t y , u n l e s s ~ - a - 1 . T h i s l a t t e r . c a N w a s s t u d i e d .b y H o w a rt h ~ w h o g a v e t h e s o l u t i o n f o r ~ ] ~ - 0 ,: 0.Y ~ , 0 -~ 0 , 0 .T ~ a n d .l -O0 . T hi s case k in fa~- t a so lu t ion o f t h e f u ll N a v i e S . . to k e~ e q u a t i o ~ .i n C a r t ~ a n c o or d in a te s , aa H o w ~ & p o in t ed ou t . ., .c . : u , . - . , : " : : . .

. ' r h , e ~ t i o ~ o r t h e ~ m ; : . - ' i . : , : . . . . . : . i . . '

"They are t r a n s l a t ~ , ' b u t h e v a l u e s f ~ . a n d v , a r e d ~ e r e ~ a tr e s l z z ~ u g p o i n t s o f a n y t w o s tr ea m l in es . A ] ] t h e s tr ea m l i n es a re N y m l ~t o t i e t o t h e ~ i a ~ T h e f l o w i s r o ~ o ~ d . ' " . - . . .: C , ~ , r v : " ' . " . . "T h e e q u a t i on s o f h e ' ~ ' a r e o f t h e f or m .a n d a g a in t h e y f o r m a f a m i l y o f t r a a a la t e ~

.A s i n C a s e l i t ~ p o s s i b l e t o ~ s o l u t i o n s f o r d i f f e ~ m t w d u .eso f m t o p r o v i d e a s o l u t i o n f or th e ~ o w d e f i n e d . b y .

" ~ - a e x p ( z ~ } ,, , - ~ ~ , , , ~ c , , e ) .

T h e s tr e a m l i n e s c a n t h e n b e o f ~ y s h a p e r ep r es en ta b le b y a e e r i ~o f e x p o n e n t i a l s . ~ [ o r e o v e r t h e v a r i a t i o n o f t h e s q u a r e o f r e m ~ t a n tv e l o c i t y , n a m e l y ~ e 2 - 1 - ~ e 2 , a lo ng & b ' t ~ e m a y b e o f a n y fo rm m -p r e s e nt a b l e b y a s e r i e s o f e x p o ne nt ia l s . T he f l o w i s r o t a t io na l u n ] e m"b - - O o r m m O. " "Y o h ne r a n d H a nse n1 4 ca l cu l a t e d s im i l a r s o l u t io n s f o r ca s e s I r and I If o r - - I a n d a ra n g e o f v a l u e s o f b / a , m , a n d ~ . T h e se c u e s w e re c h o ~ a .b e c au s e i t w a s f e lt t h e y e o ~ n d e d t o f lo w s o f g r ea te st p m e f i e a l


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2 46 J . C . C o o n ~ . ~ 'n bL G . ~ [ .,~ -.i m p o r t a n c e , w h e r e t h e b o u n d a r y l a y e r s t a r t e d f iw m l e a d in g e d g e o r~ i O n p o in t o r a n a t ta c h m e n t l in e . . .B y s u b s t i t u t i o n o f ~ E q s . ( 3 9 ) in ]~qs. (36) a n d (3 7), i t i s f o u n d t h a t ~ 'a n d (7 s s t i s f y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :C a ~ I , ~ ( / ' ~ . X ) - ( . + l ~ r ~ ' - ~ " = . o , (42)

m ( F ' G t '- 1 ) - ( . - t - 1 ) 1 T ' - G " - O. (43)C a ~ / 1

~ " b b . .x ) - ~ ( m + l ) a / ' . , r ' . - o ,, ( / , z - x ) - i ( , , + 1 ) / ' / " ' + ~ , , , - 1 ) ( o ' / ' -bm b- - . . ( o ' ~ - ; ) - ~ ( , a + i ) o o , + ( , 2 1 ) 1 ~ ' o ' . i ) - t ( . + 1 ) 0 ' T ' ~ " l o ~T h e b o u n d a r y e o n d i t i o u a ~ ,

.. ~ ' ( o ) : - ~ ' ( o ) - . o ( o ) - ~ ' ( o ) . . o , ~ ' ( i Q o ) - a ' ( a o ) - x.

~ o t i c e t h s t i n C as e I E q . i 4 2 ) c a n b e s o lv e d f o r ~ ' in d e p e n d e n t r y o f G.E q . ( 4~ ) . k i n f i t ~ t h e w e l l k n o w n Y a l k n e r- -S k a n64 e q u a t i o n . H e n d g a n dH a n s e n U ~ d cu l& te d s o l u ti o n s f o r C a s e . l f o r ~ . . 0 a n d m x s n g i u g f r o m 0t o 1 0 . T h e s e a r e i n c l u d e d i n t ,h e s o l u t i o n J p r e s e n t e d b y Y o h n e r a n dH a n s e n , w h i c h a r e f o r t h e r a n g e s o f v a l u e s :

" . - 0 , 1 ~ 2 , 4 , 6 , 8 , I 0 ;f o r e a c h . m - 0 , 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10.

b l , m + . t , 2 , 3 , 4, 5, 0, S, 10.R I( ib- - 2 ;

f o r n - . 0 a n d a - Im - 1 , 3 , $ ;

f o r , L . . 3 a n d n = . 5m - 0 , 1 , 3 , 5.

I n o r d e r t o c o n s i d e r t h e s h a p e s o f t h e l i m i t i n g s* .re am !in m , w e n o t e


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* . ~ l ~ u D i - l o ~ o r , 1 ; , , , ; t .z ~ g , ~ r , ~ , _ , ., ,~ ; ,..D~ l ~ e = b ; r " " - . . . - " . " .: . . ,~{~ , , , , . ( ~ . ~ . t a , , ~ : o , . ~ o ), . . o ~ , , ~ / , . . o ~ , , , , r : / ~ / . ~ ~ :

,= a h ~ = . ,a , ,q= ,=o= o~ ~ ,o a=~a,w =t~ , . , . ,. . .= , ~ ,,b ,, ~ , =hand a ide i s m ul tip l ied by" G ' (O ) /~ (O ) , .Thus ~ r ough p ic tm ~ o f t h eb o u n d a r y l s y e r f l o w c a n b e i n fe rr ed f r o m ~ k n o w l e d p o f ~ r a ti o= lo n e. W l u e ~ o f ~ ' ( 0 ) / ~ ' ( 0 ) L-~ p : e ~ n t e d i n l q~ . 4 , w h i c h ~ k e u

: - * .. :, . ." " - . . " . . . ~

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= ) ~ I , o l u t ~ o ~ .( ~) ~ ~ " , o ] ~ , ~ * ~ / a - . = .V a l u ~ o t ~ ' ( o ) p ; " ( 0 ) f i 'm = :P ,,~ . 1 4 .


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24s . C o o ( } - . E L : .f r o m Y o h n e r a n d H a n z e n ; T h e u se o f t h e s e , v a lu e s c a n e a s / ly ~ e e x t e n -d e d t o c o v e r t h e a b o v e c om p o e i te t y p e o i" s o l u ti o n . A s ,a n i l l u s t r a t i o n w em ay refer again to H g . whi ows a fAreily 0f streamtines and 1;,-at.i n g Stl~_~m lln~S. - . ..T h e f a c t t h a t t h e s i m i l a r e o lu t i0 n s d e6 cr~ b ed h e r e r e q u i r e i n g e n e r a la s p e c if ie d d i s t r i b u t i o n o f v o r t i c i t y i n t h e e x t e r n a l flo w s a n i m p o r t a n t l im i t a ti o n f r o m t h e l~ ractical v i e w ~ i n t . I n a d d i t i o n it h a s b e e n p o i n t e do u t b y H a lla s. a n d i t c a n be. s h o w n f r o m t h e a b o .- e d i s cu s s io n , t h a t s i n c et h e e x t e r n a l s tr e A re l; n es c a n n o t f o r m A n e n v e l o p e n e i t h e r c a n t h e ] ; re ; t.i n g s t re A m l in e s, a n d h e n c e i ; m ; ] a r s o lu t io n s , d o n o t a r lm ; t b o u n d a r yla y-e ra t h a t s e p a r a t e l o ca ll y , a l o n g a n e n v e l o p e o f | ; r e ; t i n g s tr e -~ 1 ;n e s -.~ f o r e o v e r, s i n c e ~ v "(O) c a n n o t b e l o c a l l y z e r o , s u c h l o c a l s e p a r a t i o n i si m p o s s ib l e a l so w ~ th b o u n d a r y l a y e r s h a v i n g s o l u ti o n s t h a t a r e c o m b i n a -t i o n s o f t h o s e f o r C a s e LT h e m a i n a p p ]; cs t i o ns o f th e s o l u ti o ns p r e ~ n t e d b y Y o h n e r a n dH a n s e n h a v e b e e n i n f u r t h e r i n g t h e q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f ~ h eb e h a v io u r o f t h r e e ~ ; , - e n s i o n a l b o u n d a r y l ay e rs , a n d i n s e t t in g u pa p p r o pr ia t e m o m e n t n m i n t e g r a l m e t h o d s o f c a l cu l at io n ~3 . 3 . S e d n e y ' s eo s o l u t i o n f o r t h e y a w e d . . sp l n n t. n ~ c o n e :'~ Sedneym o b t a i n e d a s o lu t io n , f o r t h e b o u n d a r y l a y e r o n a s p i n n i n gc o n e a~ s m a l l an g l es o f a t t a c k b y & p e rt u rb & t lo n m e t h o d . T h e b a s iss o lu ti on , f o r z e ro s p in ~ z er o a n g l e o f a t ta c k , w a s o b t a i n e d b yH a n t z s c h e a n d W e nd tx . a n d b y M a n g l e rx ? . A f um t o r d e r e l e c t o f s p i na n d a n g l e o f a t t a c k , t a k e n t o g e t h e r , c a n b e o b t a i n e d b y s u p e r p o e in gt h e r e s u lt s o f m i . g w o r t h Z S , a n d M o o r ex s . B u t t o c a l c u l a t e t h e M a g n u seEects d u e t o a s y m m e t r y i n t h e d i s p l a c e m e n t t h i ck n e s s w i t h r e s p e c tt o t h e p l a n e o f y a w s m o r e d e t a i le d a n a ly s is , a c c o u n t i n g f o r t h e i n t e r -a c t io n o f s p in w i t h a n g le o f a t ta c k e ff ec ts , i s n e c e u a . . T h i s S e d n e yc s x ~ . o u t . ~ e o u t l i n e h i s s o lu t io n h e r e b e c a u s e i t y ie ld s q u a n t i ti e so f in t ri n a ie i n t e r e s t : t h e b o u n d a r y l a y e r v e l o c i t y p r o fi le s , ; ] r ; . f r i c t i o n ,a n d d i s p l a c e m e n t t h i c k n e s s . T h e s o l u t i o n i s t h e l e a st , s p e c ia l iz e d o fe x a c t so l u ti o n s f o r a c o ne , a n d s h o u l d b e u s e fu l i n d e v e l o p i n g a p ~ x i -m a t e m e t h o d s.~ f o or e's b o u n d a r y l a y e r e q u a t i o n ss7 in geod es ic c e - o r d m & t ~ s m & y b et a k e n a s t h e s t a r t in g p o i n t . W e f o ll ow t h e n o t a t i o n o f S e c t io n 9. 3. T h ec o - o r d in a t e i s t a k e n t o m e a s u r e d i s t a n c e a lo n g a r a y , a n d d i s ta n c 6 n o r m a lt o t h e r a y i n t h e s u r fa c e o f t h e c o n e is d e n o t e d b y ~ q, s o t h a t r - ~ a n d~ - . 3 X . I t i s a s s u m e d t h a t t h e in v i s c i d s u p e r so n i c f lo w i s c o n i ca l ,s o t h a t ep/aX =, 0 , a n d a l s o t h a t t h e P r a n d t l n u m b e r is o ne . l ~ ew i n d e -p e n d e n t v a r i ab l e s a r e i n t r o d u c e d , n a m e l y t h e ~ = ~ m uth a n g l e

- , d e ,


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. . . . . . .. - ." . -. .

~-.',.~


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P . ~ O J ' . C. Coog.g ~,co ~ ,L G. ]:r,r .T..O n i n s e r t in g t h e l a s t p a i r o f conditi .'ons in Eq - ( 4 6 ) w e s e e t h a t t h e r eis a v a r i a ti o n o f su r sc e t e m p e r a t u r e t h a t d e p e n d s o n t h e s q u a r e o f t h e

d i s ta n c e ~ a lo n g a r a y o r g e n e r a t o r. T h u s o n l y w h e n t h e c o n e is n o t,s p ln n ~ n g i s t h e r e n o h e a t tr~ n -~ 'e r a t t h e s u r f a c e , :S e c t n e y a s su m e s a s o l u ti o n o f t h e f o r m " . " / = P e e ( A ) - A 1 cce~Pol(~)+~,cAl s i n ~ F u ( A ) , '

g = o~.-t.,s i n 4 ' G In ( A ) + ~ G l o ( A ) - = . , r J z c o d 4 , G u ( A ) .T h e s e a r e , e f f e c t i v e ly , ~ ,h e f ir st f e w t e r m s o f & p a i r o f p o w e r s e r i e s e x p a n -s i o n s i n t h ~ t w o s m a ll p a r a m e t e n s = a n d ~ . F e e g o v e r n s t h e b aa io u nop e r t u r b e d flo w (~ f a n g l e r17, a n d H a n t z s c h e a n d ~ V e nd tl6 ), P a l a n d O o t

the an gle o f at t a c k ef fects (~[oore10); O10 th e sp in ef feet~( Dl lngwor thzs ) ,a n d F u a n d Gxx t h e i n t e r a c t i o n e ffe cts . T h e i n t e r a c t io n t e r m l a r e t h eo n l y s e co n d o r d e r t e r m s i n e l u d e d . B y s u b s t i t u t i n g i n E q s . ( 4 4 ) a n d (4 5 ) i t c a n b e s e e n th a t - F o e : s a t i s f ie s 't h e B l ss iu s e q u a t i o n . T h e r e m a i n i n g f u n c t i o n s s a ti sf y l i n e a r, t h i r d ;o r d e r o r d i n a r y d L ' r e re n t i d e q u a t i o n s w h i c h c o n . a i n , t h r o u g h t h e A ' s ,t h e t w o p a m m c t e r s c o n e a n g le a n d f re e s t r e a m ~ f a c h n u m b e r . T h e fu n~ 't i o n s a r e n o t , t h e r e f o r e , f u n c t i o n s o f A a l o n e ( e x c e p t i n g G l o), s o , r a t h e r ,t h a n s o lv in g d i r e c tl y , t h e c o r re s p o n d in g e q u a t i o n s a r e r e w r i t t e n s o

t h a t o n l y S u b s i d i a r y f u n c t i o n s , . ~ i~. / : , o f ~t a l o n e n e e d b e s o .u g h t . T h eP ' s , - a n d s i m i l a rl y t h e G ~a, t h e n t a k e t h e f o rm " . . . . . .

w h e r e t h e c o e f fi c ie n t s a+ a r e a l g e b r a i c e x-p re ss~ o n s c o n t a i n i n g o n l y J ' s , e , a n d q - 1 + ( 7 - 1 ) ~ l t ' o ~ / 2 ( J f o - ~ [ o ~ h n u m b e r o f i n v is c id flo w o v e ru n y a w e d c o n e ) . T h e r e a r e f o u r t e e n s u b s i d i a r y f u n c t i o n s , a n d S e d n e y h a s c o m p u t e d t h e m a l l , t o g e t h e r w i t h t h e i r f irs t a n d s e c o n d d e r iv a t iv e s ,a n d h u t a b u l a t e d t h e r e su l ts . , .

S e v e ra l q u a n t i ti e s c a n b e d e d u c e d f ro m S e d n e y ' s t a b l e s ' T h e b o u n d -a r y l a y e r v e l o c i t ie s a n d t h e s k i n f r i c t io n c o e f fi c ie n t s fo ll ow d i r e c t l y , .T o f in d t h e d i s p l a c e m e n t th i c k n e s s S e d n e y s o l v e s a f ir s t- o r d e r p a r t i a ld i ff e re n t ia l e q u a t i o n . A R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n d i s p l a c e m e n t t h i c k -n e ss is o b t a i n e d w h i c h c o n ta i n s a n a ~ t e r m t h a t m a k e s t h e d i s p la c e -m e n t t h ic k n e ss u n s y m m e t r i c a l w i t h r e sp e c t t o t h e p l a n e o f y a w . I t isf o u n d t h a t t h e e f fe ct o f s p in i s t o r o t a t e t h e p o s it io n s o f m a x i m u m a n dm i r d m u m d i s p l a c e m e n t t h i c k n e s s i n t h e d i r e c t io n o f S pin .


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i : : ' . - . . " . . " , : ' .

4 . I n t e g r a l M e t h o d s f o r L a m i n a r - I n c O m p r e s s ib l e B o u n d a r y.. " ~ , L a y e r s.4.1 I n t r o d u c t i o n " ' : /~ " . . . : i . . . -

A s w e h a v e l ~ i n t e d o u t ; t h e i n te g r a l m e t h o d s d e ve ]o lc ~ d fo r' ~ e ~ .d i m e n s i o n a l b o u n d a r y l a y e r s . a r e e x t e n s i o n s o f t h o s e u s e d f o r t w o .d '2 mens io na] b o u n d a r y lay er L F o r th e mo m e~u m in teg r a l m eth o d s intw o d imen s io n s . the r e h av e b een tw o . ap p ro sehee, w h ich a r e e ~ e d f o rc o n v e ni e n ce t h e P o h l h a n s e n~ a n d T h w a i te s44 ap p r o sch es. ~ a im a t .r ed u c in g to o n e t4~e th r ee u n kn o~v n s in th e m o m en tu m in teLn~lt i o n " . . . - .;,

" . : .. . . d O - -- : - ~ . ! d ~ ' " O + S ~ . ) . . " ~

d z " ~ z p ~ l ~ -. . ' . . .

t h e s u r f a c e r e s p e e t . i ve l y , e i s t h e m o m e n t u m t h i ~ , a n d ~ t h e d i s - : ". p l a c e m e n t t h i e k n e a . I n t h e P ol~ lh ~ ns en a p p r o a c h a n e x pr em k m i s -assumed fo r t h e ve loc i ty profi le . A typic al exam ple is the express ion .. . * .. . .,

. . . . - . . .w h e re th e "f un c ~ io n ' a n d g a r e ~ e d , b u t t h e I m m ~ ' e r ~ . a h y P~ ,t h e t i c a l l ~ m d a r y l a y S . th ic k n e ss , i s l e f t f r e e a s . a ~ a l ii ~ g a n d m u l ti .". p l ~ g f a e t o r . T h e forum o f f an d f a re t o som e ~ t fix ed b y 4~ e d e-m an ds o f t h e .boundary. cond/t .ions to . be sst, isfied b y W/we, b u t ex pe d-en ee p lay s , a l a r g e l ~ t t in th e f in a l cho ice, l~o te p ar t i0 u ]s r ly . th a t th eexpress ion (48) r~ re se n ts 8 s in g ly inf in i te fami]." -of veloeit~ profl leLBY su b s t i tu t io n , a l l th e u n k n o ~ 'n s in th e eq u a t io n eaxn b e exlmeessed

n t e r m s o f t h e o n e u n k n o w n , ~ , a n d t h e s o l u t i o n o f th e e q u a t i o n k t h ~r ed u ce d ~ o t h e d e t e rm ; n a t io n Of ~ . I n t h e T h w s / te s a p l ~ o s ~ t h e e q u ~ - . io n i s r en d e r ed d e te r m in a te essen tia l ly b v r ep lac in g tw o . o f th e u u - .k n o w n s : b y a p p r o x ~ a t i o n s d e ri ve d f ro m k n o w n b o u n d a r y ] sy e r s o l u . 't i o r ~ T h e a p p ro x im a t .i o ns m u s t s l ] b e f u n c ti o n s o f t h e s a m e p s m m e t ~ , an d th e ch 0 iee o f t .h i s p a r am ete r i s t h e e ru cix l s tep . Th w ai tes ex peemed .H . . ~1] 0 a n d I - - ( O / T ~ e ) ( ~ u / ~ ) ~ a s f u n ct io n s o f m - - ( ~ / P ) d u s ] d s :an d so lv ed , e s sen t ia lly , f o r ~ ..There is a c lose re la t ion between . the Thw aites and the Poh lhansen .aF p r en ches . Th e ap p r o seh es a r e eq u iv a len t in th e sen se th a t i t can b esh o~ m t h a t t h e a s s u m p t io n o f th e o n e - p a r a m e t e r f e m i ]y o f v e lo c i typrofi les impl ies th a t ! and H can be represe~tted as funct ions of a t ing les u i t a b l y o h o se n p a r a m e t e r ; t h e p a r a m e t e r m ~ 'a s o n e o f a n u m b e r o fv a l i d p a r a m e t e n . T h e s h o r t c o m i n g s in t h e T h w a i t e s a p p r o a ch a r ezTs


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. . . .

~ 5 ~ . J . C. C oozz - - . ~ ~ G . ~ / " " . . " ,

r , .

p a r a ll e le d b y a h o r t ~ o m / ~ i n t h e P o h la u se n , i n t h a t w h e r e I o r H e a r t -n o t b e r e p r e s e n t e d b y u n i v e r s a l / u n c t i o n s o f m a / o n e ( w i t h d ec ele ra t~ in gm a i n s t re a m ) , t h e o n e - p a r a m e t e r f ar o/ lie s p r o v e i n a d e q u a t e . C o r r c sp o n d -; n g d i ~ c u / t i e s a r e e n c o u n t e re d a ls o i n a t t e m p t s t o c a l c u la t e b o u n d a r yl a y e r s w i t h s u c ti o n .. T h e c h i e f a d v a n t a g e o f t h e T h w a / t e s a p p r o a c h i st h a t ib m / n h n i z e a t h e l a b o u r o f c a l c u l a ti o n . I t s e e m s h n p r a c t. i c a b le i ng e n e r a l, h o w e v e r , to e x t e n d t h e a p p r o a c h t o c a se s w h e r e th e~ u n k n o w u si n t h e i n te g r a l e q u a t i o n a re f m l c t io n s o f m o r e t h a n o n e p a r a m e t e r ; t h e: de r iv a ti 0n o f a p p r o x im a t e f u nc ti on s o f t w o o r t h r e e p a r a m e t e r s ~ o m al i m i t e d n u m b e r o f "k no w n b o u n d a r y l a y e r s o lu t lo n s i s a . f o r m i d a b l et ~ . . E a c h a p p r o a c h c o n tr ib u te s , h o w e v e r , t o th e u n d e r s t a n d !n g o f t h eo t h e r . T h i s w i l l b e s e e n t o a p p l y a / so in t h e e x t e n ~ o n s t o t h r e e . d l m e n -a e o n s , "T h e P o h l h ~ u s e n a p p r o a c h i s o n t h e o t h e r h a n d r e a d i l y x t e n d e d t o" t h e c as e s w h e r e t h e u n k n o w n s a r e f u n c ~ o n s o f m o r e t h a n o n e p a r e -m e t e r ; a n d H e a xi47 ] m s i n f a c t d o n e t h i s s u c c e s s f u l ly i n t w o ~ ; m e n s i o n LH e a d a d o p t e d a d o u b l y in f i n it e f ~ , , ; l y o f v e l o c i t y p r o fi le s

. , , , . : ~ ' = ~ ' ~ t +b/~ ,

o

w h e r e a n d b a r e in d e p e n d e n t o f y /& T h i s in t r o d u c e - a s e c o n d u n k n o w ni n t o t h e p r o b le m s o t h a t t h e s o - ca ll ed e n e r g y in t e g r a l e q u a t i o n ~ . w e l l.a s t h e m o m e n t u m i n te g r a l e q u a t / o n c a n b e a s ti sf ie d . T h e m e t h o d i s n o ts u b j e c t t o t h e e h o r tc o m i n S s o t~ h e s im p l e : m o m e n t u m i n t e s r a l m e th o c k ,0 ro d e v e n , p e r m i t s t h e e s t i m a t i o n o f b o u n d a r y l ~ y e r s t a b i l i t y .T h e e x t e n ~ o n t o t h r e e r]im e nsio us, c o m p l i c a t e f t l w p r o b l e m c o n s i d e : -a b ly . E v e n i f i t i s c on fin e d t o m o m e n t , u n i n t e g r a l e q u a t i o n s t h e r e i s ,i n s t e a d o f a s i n g le o r d i n a r y d i E e r e n t i a l e q u a t i o n , a p a i r o f s i m u l t a n e o u sd i ~e r e n td s l e q u i t i o n a I n s t e a d o f t h r e e u n k n o w n s t h e re a r es e v e n. F o r t h e P o h l h a u s e n a p p r o a c h e x p r e s s i o n s / o

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