Borrachera 2006 Marina Groshaus. Borrachera 2006 Marina Groshaus Director: Jayme Szwarcfiter Como organizar “ fiestitas ” usando teoría de grafos…… Somos

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Marina Groshaus

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Marina GroshausDirector: Jayme Szwarcfiter

Como organizar “fiestitas ” usando

teoría de grafos……

Somos mucho ue dos

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Mini clase de anatomia:Atracción: Definición universal: Fís. La que ejercen entre sí los cuerpos que componen el universo, principalmente los astros, y

que depende de sus masas y distancias respectivas.

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Problema

• Había una vez, un grupo de personas. Llamaron a Cupido para armar parejas…

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Problema

• Había una vez, un grupo de personas. Llamaron a Cupido para armar parejas…

• Resulta que se equivocaron y enviaron a Diablido

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• Maria gustaba de Juan y de Pepe,

• Pepe, quería estar con Maria, Josefa, y Anastasia

• Anastasia,… y si, le gustaban

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Y así es donde entra el tema que nos convoca hoy, “las partuzas”

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Y así es donde entra el tema que nos convoca hoy, “las fiestitas”

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Y así es donde entra el tema que nos convoca hoy, “los grafos”

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Lo modelamos con un grafo...

Un grafo es un conjunto de puntos, o vértices, y un conjunto de aristas que unen algunos vértices. Podemos pensar a estas aristas como una “relación “ entre los vértices. Cuando dos vertices se relacionan, decimos que son adyacentes.

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Un grafo es un conjunto de puntos, o vértices, y una conjunto de aristas que unen algunos vértices. Podemos pensar a estas aristas como una “relación “ entre los vértices. Cuando dos vértices se relacionan, decimos que son adyacentes.

* Para nuestro modelo, vamos a suponer por un momento, que tenemos un grupo heterosexual.

* Vamos a suponer también, que vivimos en un mundo ideal, en el cual si Maria quiere estar con Juan, Juan quiere estar con Maria!!!

Lo modelamos con un grafo...

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Modelo: bipartito =heterosexual

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Looser = vértice aislado

No importa, Linux me quiere, he he

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… = vértice universal

Pero yo busco el amor…. Pero yo busco el amor….

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Condiciones para una “FIESTITA” :

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• Todos los participantes de distintos sexos “se gustan”

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• Cuanto más gente pueda participar mejor !!!!!!!!!!!!!!

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“FIESTITA” = BICLIQUE


Interpretado Interpretado en el grafoen el grafo

• Todos los vértices de distintas particiones “son adyacentes”, es decir, es bipartito completo

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• Cuanto más gente pueda participar mejor !!!!

Interpretado Interpretado en el grafoen el grafo

• Es un conjunto maximal, en el sentido que al agregar cualquier otro vértice no cumple la condición anterior

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Una Una bicliquebiclique de un grafo es un de un grafo es un subgrafo subgrafo inducido bipartito inducido bipartito completocompleto

maximal maximal Bipartito CompletoBipartito Completo: : Todos los vértices de distintas particiones “son adyacentes”

MaximalMaximal : Si se agrega otro vértice, no es completo

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Ejemplo: Grafo bipartito

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Bicliques:Bicliques: Ejemplo:

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Ejemplo: Bicliques:Bicliques:

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Preguntas que podemos hacer:

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** Cuántas “fiestitas” podemos Cuántas “fiestitas” podemos organizar organizar

** Cual es la “fiestita” más Cual es la “fiestita” más grande que podemos organizar grande que podemos organizar

** A cuántas “fiestitas” va Pepe A cuántas “fiestitas” va Pepe

* * Quién es el mas fiesteroQuién es el mas fiestero

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** Número de bicliques contiene Número de bicliques contiene el grafo el grafo

** Tamaño de la biclique máxima Tamaño de la biclique máxima

** Cantidad de bicliques a las que Cantidad de bicliques a las que pertenece un vértice v: pertenece un vértice v: mmbb (v) (v)

* * Máximo número de bicliques Máximo número de bicliques que tienen un vértice en que tienen un vértice en comúncomún:M:Mbb(G)=(G)= max m max mbb (v) (v) v v

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Biclique máxima:Biclique máxima:

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MMbb(G), Más fiestero:(G), Más fiestero:

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MMbb(G), Más fiestero:(G), Más fiestero:

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MMbb(G)=3, Más fiestero:(G)=3, Más fiestero:

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Problemas en grafos:** Número de bicliques contiene el grafo Número de bicliques contiene el grafo Resultado bipartitos: 2Resultado bipartitos: 2n/2n/2 (Prisner, (Prisner, 2000)2000)

**Tamaño de la biclique máxima: Tamaño de la biclique máxima: Resultado, bipartitos: Polinomial Resultado, bipartitos: Polinomial caso general: NP-completo

* * Cantidad de bicliques a las que Cantidad de bicliques a las que pertenece un vértice v: mb (v). pertenece un vértice v: mb (v). (Polinomial en mb(v))(Polinomial en mb(v)) * * Máximo número de bicliques que Máximo número de bicliques que tienen un vértice en comúntienen un vértice en común:M:Mbb(G)= (G)= max mmax mbb (v) (v) vv

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Listo. Ahora, tenemos que llevar a cabo nuestro experimento:

• Cada fiestita se realiza durante todo un día (…sin comentarios…)

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• Contratamos un lugar, que nos cobra por día

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• Contratamos un lugar, que nos cobra por día

• El lugar dispone de muuuchos “salones”, es decir, ésta no es una restricción

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1) Cuántos días debemos contratar el lugar?

(dos fiestitas que comparten una persona, no pueden desarrollarse a la vez)

2) Hay alguien que está “ocupado” durante TODO el experimento?

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1) Partición mínima de bicliques en conjuntos de bicliques independientes Fb(G)

2) Siempre vale que Mb(G) ≤ Fb(G).

Es cierto que Mb(G) = Fb(G) ?

1) Cuantas días debemos contratar el lugar?

(dos fiestitas que comparten una persona, no pueden desarrollarse a la vez)

2) Hay alguien que está “ocupado” durante todo el experimento?

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Ejemplo

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Todas se intersecan, por lo tanto deben ir a conjuntos diferentes

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Todas se intersecan, por lo tanto deben ir a conjuntos diferentes

LuneLuness MartesMartes

MiércolesMiércoles

JuevesJueves

ViernesViernes

FFb=5b=5, M, Mbb = =44

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Top Secret • En una de estas reuniones, Pedro, uno de

los participantes, cuenta un secreto propio.

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• Al cabo de unos días, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

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• Al cabo de unas días, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

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• Al cabo de unas horas, este secreto se había esparcido entre todas las personas del grupo !(bueno, no, el looser no lo sabia…)

• Queremos que saber si hay soplones, o es el mismo Pedrito que lo anda contando en todas sus fiestitas.

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- Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedro?

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- Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedrito?

Esta propiedad, es la Esta propiedad, es la propiedad de propiedad de HellyHelly : : Toda subfamilia de conjuntos que se Toda subfamilia de conjuntos que se interseca dos a dos, tiene intersección interseca dos a dos, tiene intersección total no vacía.total no vacía.

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Pedrito

Problema: Dado un grafo G, es G biclique-Problema: Dado un grafo G, es G biclique-Helly? Polinomial Helly? Polinomial

- Todo par de fiestitas, tiene un integrante en común. Esto implica que todas tenían a Pedrito?

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Grafo de intersección de fiestitas = Grafo Biclique

• Por cada biclique, ponemos un vértice, y decimos que dos bicliques se relacionan si las bicliques tienen un vértice en común:

• Esta construcción genera un grafo que contiene la información de cómo están relacionadas las bicliques, en este caso, las fiestitas, entonces, por ejemplo, podemos buscar “caminos” entre dos fiestitas, para pasar un mensaje:

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Grafo Biclique

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Grafo Biclique

Shh, no se lo Shh, no se lo digas a digas a nadie..nadie..

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Grafo Biclique

Te lo digo a Te lo digo a vos pero a vos pero a nadie másnadie más

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Grafo Biclique

Te lo cuento porque confío Te lo cuento porque confío en vos, pero shhen vos, pero shh

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Grafo Biclique

Quéeeeee!!!!Quéeeeee!!!!

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No está buena?

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Mundo Bisexual

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Las bicliques también aparecen en

• Teoría de autómatas • Teoría de lenguajes• Inteligencia artificial • Biología.

Nos olvidamos de las fiestas por un rato…

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• Coloreo• Partición de Cliques (Otra que “fiestita”)• Matching (Armado de parejas)• Camino mínimo

Otros problemas en grafos:

Grafos de interseción: - De intervalos, - de cliques, - de cuerdas en un círculo,

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Los nombres/personajes que aparecen en esta presentación son ficticios.

Cualquier similitud con la

realidad, es pura coincidencia

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Ventajas de trabajar en grafos…

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