Bootstrap Applications Actuarielles

(Vie-Non vie)

P.Bertail - C.Partrat

Séminaire IA 17-6-2003

Partie 2 : applications actuarielles

1. Paramètre actuariel (F)

Un risque d’assurance : v.a.r. « actuarielle » X

fonct.répartition F, fonct. survie S=1-F

• Var.temporelle : âge,durée

(décés, incap./inval.)

• Fréquence, montant, charge de sinistres

(période donnée)

1. Assurance non vie• Tarification

(F)=E(X) pour Prime pureDiverses primes chargées intégrant (X), …

• Partage de risqueFranchise a , Plafond A : engagement assureur

X(a,A)Prime pure avec E[X(a,A)], primes chargées

• Concentration des sinistres L(p)Règle de Pareto ?

• RéassuranceCotation de tranche XS : (A-a)XS a

RoLpur(a,A)=E[X(a,A)]/ (A-a)

RoL chargée

Clauses de réassurance :

Clauses aggregate (franchise aggregate, limit aggregate)

Reconstitutions de garantie

Etc

• Besoins en réassurance(i) Sinistralité extrême

Nombreuses mesures : VaR,

TailVar E(X/X>VaR)

(ii)Périodes de retour

Seuil u donné : PR d’un dépassement de u

PR(u)=1/[1-F(u)]

PR centennale : u100 tel que PR(u100 )=100

u100= q 0,99(F)

2. Assurance Vie

• Caractéristiques :

tpx= S(x+t)/S(x)=1-tqx

x

ex= E(X-x/X>x)

Taux technique i ; v=1/(1+i)

• En cas de vie Capital différé de t années : tEx = tpx vt

Rentes viagères

immédiate : ax = t1 tEx

différée : n|ax= nEx ax+n

etc

• En cas de décés Capital au décés

Vie entière : Ax = t0 xqt v t+1/2

différé : n|

Ax =

nE

x...A

x+n

etc

• Provisions Mathématiques

• Besoins en fonds propres, Allocation de capitalCritères :

Probabilité de ruine

VaR

Expected Shortfall

Policyholder deficit

Etc

• Provisions de sinistres

2.2 Estimation

Loi F non connue

Données estimateur de F

Exemple 1 : X1,…,Xn échantillon i.i.d. de X

• Fn f.r. empirique

• si F {F : }, Femv

Exemple 2 : vie, données incomplètes

Estimateur de Kaplan-Meier de F

Finalités

• Estimation de (F) : est

• Incertitude (mesure du risque d’estimation)

MSEF(est) [=V(est) si sans biais]

Erreur standard asympt. as(est)

• Intervalle de confiance à 0,95 pour (F)

[inf,sup]

P(inf (F) sup )=0,95 (0,95)

Approches

• Méthode Delta

(F)=g[(F)]

g régulière, est asympt.normal

est = g(est )

as(est) = as(est ) |g’(est )|

Exemple : Formule de Greenwood pour la variance des estimateurs de S(x)

• Procédures bootstrap

• Extension aux modèles de régression