Matematika v športu

Boštjan FrelihUP FAMNIT & UP IAM

22. oktober 2014

Boštjan Frelih Matematika v športu

Statistika

Pomen (̌sportne) statistike:

rangiranje oz. primerjava ekip oz. športnikov,

beleženje rekordov,

napovedovanje rezultatov (športne stave),

priprava na nasprotnika,

. . .

Boštjan Frelih Matematika v športu

Statistika

“Statistika je podobna bikiniju, ki veliko odkriva, najvažneǰse paohrani skrito.” (Aaron Levenstein)

Boštjan Frelih Matematika v športu

Statistika

Nogomet: Poljska - Nemčija (nedelja, 12.10.2014)

Boštjan Frelih Matematika v športu

Statistika

Košarka: Union Olimpija - Partizan 87:58 (nedelja, 19.10.2014)

http://en.wikipedia.org/wiki/Player efficiency rating

Boštjan Frelih Matematika v športu

Statistika

Je res vse v športu glede matematike omejeno na statističnobeleženje, zbiranje in preračunavanje podatkov oz. rezultatov?

Boštjan Frelih Matematika v športu

Nogomet

Roberto Carlos - prosti strel:

https://www.youtube.com/watch?v=3ECoR tJNQ

Oblikovanje nogometne žoge. Uporaba računske dinamike tekočin -proučevanje učinka aerodinamike v nogometu s pomočjonumeričnih metod in algoritmov za reševanje in analiziranjeproblemov, ki vključujejo tokove tekočin - v konkretnem primerutokov zraka okoli nogometne žoge.

Različne žoge za svetovna prvenstva v nogometu:

http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm

Boštjan Frelih Matematika v športu

Atletika

Zakaj se na standardnih stadionih svetovne atletske zveze dosegajobolǰsi rezultati kot na stadionu, ki ima enako dolžino ravnih delovkot zavojev, ali na stadionu, ki so ga uporabljali na olimpijskihigrah leta 1895 v Atenah?

Katera od osmih tekaških prog je “najhitreǰsa”?

Matematični modeli za proučevanje vpliva vetra in nadmorskevǐsine na različne proge in glede na različne atletske stadione priteku na 400 metrov - uporaba navadnih diferencialnih enačb.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Atletika

Standarden stadion po merilih svetovne atletske zveze. Merjeno poprvi - notranji progi sta ravninska dela dolga vsak po 115, 6 m, delav zavoju pa vsak po 84, 4 m. Širina ene proge je 1, 22 m.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Atletika

Stadion, ki ima enako dolžino ravnih delov kot zavojev - vsak delpo 100 m.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Atletika

Stadion, ki so ga uporabljali na olimpijskih igrah leta 1895 vAtenah. Merjeno po prvi - notranji progi sta ravninska dela dolgavsak po 180 m, dela v zavoju pa vsak po 20 m.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Košarka

Ekipa na košarkarski tekmi manj kot minuto do konca tekmezaostaja za 4 točke. Naj trener svojim igralcem naroči najpoizkusijo zadeti koš za 3 točke ali za 2, ki ga je navadno lažjezadeti?

Priprava strategije oz. matematičnega modela na podlagistatistike, verjetnosti in teorije iger.

Ko vsaka vnaprej pripravljena strategija odpove . . . ReprezentancaJugoslavije je v polfinalu svetovnega prvenstva leta 1986 protiSovjetski Zvezi 50 sekund pred koncem tekme vodila za 9 točk,nato pa prejela 3 trojke, dala pa nobenega koša in tekma je šla vpodalǰsek, ki ga je Jugoslavija izgubila . . .

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Tloris igrǐsča za amerǐski nogomet:

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Športna zgodba: V finalu študentske lige v amerǐskem nogometuleta 1950 med ekipama California in Ohio State je trener slednjeekipe namerno prislužil kazen 5 yardov, da je svojemu strelcuprostega strela omogočil bolǰsi kot strela na gol. Je bilo v trenerjudovolj matematičnega znanja, da je imel prav pri tej svoji odločitvi?

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Matematični problem: Za katero točko T na dani premici l(x) jekot ∠GTG ′ na sliki največji?

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Odgovor: Naj bosta točki K na premici l(x) in Y na premici l , kije simetrala daljice GG ′, taki, da je YK = YG . Kot ∠GTG ′ bonajvečji natanko tedaj, ko je T = K .

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Naloga 1: Na spodnjo sliko vpeljimo koordinatni sistem, tako, danam premica skozi točki G in G ′ predstavlja x-os, premica l y -os,točka K pa naj ima koordinati (x , y). Glede na preǰsnji odgovorpoǐsčite enačbo krivulje, na kateri ležijo vse te točke K na premicil(x) za vsak x ≥ g (oz. x ≤ −g), kjer je g prva koordinata točkeG (oz. −g prva koordinata točke G ′).

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Omejitve, ki jih še nismo upoštevali:

prosti strel se izvaja znotraj pasu, ki je na spodnji slikioznačen z navpičnima črtkanima črtama (“Inbounds line”),

prosti strel se izvaja 7 yardov dlje, kot je bila končana zadnjaakcija,

goli so postavljeni 10 yardov za končno črto igrǐsča.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Naš problem se zaradi omejitve, da se prosti strel izvaja znotrajpasu, ki je na spodnji sliki označen z navpičnima črtkanima črtama(“Inbounds line”), zreducira na premice l(x) za g ≤ x ≤ h (oz.−h ≤ x ≤ −g).

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Vprašanje: V katerih primerih je smiselno pomakniti prosti strelnazaj za 5 yardov? V katerih primerih je kot Θ∗ večji od kota Θ?

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Izračunamo kota Θ∗ in Θ ter s pomočjo računalnika narǐsemonivojske krivulje razlike a(x , y) = Θ∗ −Θ za g ≤ x ≤ h in y ≥ 0.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Za konkretne podatke iz finalne tekme leta 1950 dobimo nivojskekrivulje na sliki, ki jih ustrezno interpretiramo.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Zgornja krivulja ustreza a(x , y) = 0, srednja krivulja ustrezaa(x , y) = 1◦, spodnja krivulja pa ustreza a(x , y) = 2◦. V vsakemprimeru vidimo, da te krivulje padejo izven območja za izvajanjeprostega strela, kar pomeni, da trener ni bil najbolǰsi matematik.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Amerǐski nogomet

Se je za tako majhno spremembo kota, če bi bila mogoča, splohsmiselno obremenjevati s tem, ali prestaviti prosti strel ali ne?

Nekaj podatkov o finalu amerǐske nogometne lige v letu 2014 -Super Bowl XLVIII:

Število gledalcev na stadionu v New Yorku: 82,529.

Število gledalcev pred TV ekrani v ZDA: 111 milijonov.

Skupno število gledalcev pred TV ekrani: 167 milijonov.

Vrednost 30 sekundne reklame med prenosom tekme: 4milijone amerǐskih dolarjev.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Razporeditev tekem na športnih tekmovanjih - turnirjih

Ločimo več sistemov:

sistem na izpadanje,

dvojni sistem na izpadanje,

krožni sistem (“round-robin”)

. . .

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Osnovne omejitve:

imamo 2n ekip (ali tekmovalcev),

vsaka ekipa odigra natanko eno tekmo z vsako drugo ekipo,

v vsakem igralnem dnevu (krogu) odigra vsaka ekipa natankoeno tekmo (̌stevilo tekem v enem igralnem dnevu je zatonatanko n).

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Primer za 4 ekipe (označimo jih 1,2,3,4):

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Primer za 6 ekip (označimo jih 1,2,3,4,5,6):

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Primer za 8 ali več, recimo 2n, ekip?

Iskanje z “golimi rokami” oz. svinčnikom in papirjem bi biloenostavno predolgo in preveč komplicirano, zato uporabimometodo, ki vključuje grafe.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Graf

množica točk,

množica povezav (ki predstavljajo neko dvomestno relacijomed točkami).

Primer polnega grafa K6, polnega dvodelnega grafa K3,3 in grafaG .

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Turnir 2n ekip po krožnem sistemu lahko upodobimo s polnimgrafom K2n.

En krog turnirja lahko upodobimo s podgrafom grafa K2n, kimu rečemo 1-faktor grafa.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”)

Pogosto uporabljen in najbolj popularen sistem za določanjerazporeda tekem na turnirju je tako imenovani “Kirkmanov turnir”,ki ga je leta 1846 odkril britanski matematik Thomas Kirkman.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Kirkmanov turnir - konstrukcija za 2n ekip

2n − 1 točk razporedimo z enakimi razdaljami po krožnici injim zaporedoma damo oznake 1, 2, 3, . . . 2n − 1.Ena točka z oznako ∞ predstavlja sredǐsče te krožnice.Narǐsemo povezave 1 ∼ ∞, 2 ∼ 2n − 1, 3 ∼ 2n − 2, . . .,n ∼ 2n − n + 1 in s tem dobimo 1-faktor polnega grafa K2noz. razporeditev tekem v prvem krogu.

Opazimo, da je nosilka povezave 1−∞ pravokotna na vseostale povezave (torej so le-te med seboj vzporedne).

Razporeditev v drugem krogu dobimo tako, da rotiramopovezave okrog točke ∞ v smeri urinega kazalca za kot2π/(2n − 1).Ta zadnji korak ponavljamo, da dobimo razporeditev tekem zacel turnir.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Kirkmanov turnir - konstrukcija za 8 ekip

Na sliki so prikazani prvi trije krogi turnirja osmih ekip in s temtudi ideja za celotni turnir osmih ekip.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Konstrukciji Steinerjevega turnirja

Še en turnir, ki se po razporeditvi tekem po kolih razlikuje odKirkmanovega.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Izomorfnost turnirjev

Kdaj sta dva turnirja “enaka” ali bolje rečeno izomorfna?

Turnirja T1 in T2 sta izomorfna, če lahko točke enega turnirja,recimo T1, preimenujemo in po potrebi spremenimo vrstni redposameznih igralnih dni, da dobimo turnir T2.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Izomorfnost turnirjev

Zakaj sta Kirkmanov turnir in Steinerjev turnir neizomorfna?

Če vzamemo poljubna dva 1-faktorja (poljubna dva kroga)Kirkmanovega turnirja in povezave teh dveh 1-faktorjev narǐsemo vskupen graf, dobimo cikel dolžine 8. Prva dva kroga Steinerjevegasistema pa nam data dva disjunktna cikla dolžine 4.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Izomorfnost turnirjev

Problem določanja izomorfnosti turnirjev je precej težak.

Za 4 in 6 ekip obstaja do izomorfizma natanko samo en turnir, za8 ekip je takih turnirjev 6, za 10 ekip jih je 396, za 12 ekip jih je526,915,620 . . .

Boštjan Frelih Matematika v športu

Krožni sistem (“round-robin”) - dodatna omejitev

Za določeno tekmo i − j na turnirju rečemo, da je ekipa i domača,ekipa j pa gostujoča.

Dodatna omejitev: želimo, da bi bila vsaka ekipa po igralnih dnehizmenično enkrat domača in drugič tuja. Je to mogoče?

Za turnirje z 2n ekipami je odgovor ne.

Najbolǰse, kar lahko dosežemo, npr. v Kirkmanovemu turnirju, je,da 2 ekipi zadostita omejitvi, za vsako od ostalih ekip pa velja, dase tekom turnirja zgodi natanko enkrat, da je ta ekipa v dvehzaporednih kolih bodisi domača, bodisi gostujoča.

Boštjan Frelih Matematika v športu

Literatura, ki je bila uporabljena, je dosegljiva na spletni strani:

http://mathaware.org/mam/2010/essays/

Boštjan Frelih Matematika v športu

Najlepša hvala za prisotnost inpozornost!

Boštjan Frelih Matematika v športu