Exercice I :

Calculer les intégrales I suivantes :

.r)r= fio.*l*ot,, 4) r = S;t{ax; .

7)t = ft(|ffi+f)at;10) / = If .int sin}x dx;

eMffiWH,$ffiffi,

- 2)I = Ii#,,s1t = $'ffi;

8) t = f"ffidx;

- 3)/ =l:#d.x; ''

o r = Irn23 (t - #) ax; 14,)

s)I = IÏffia*,11)I= Iij"i'at; 12)I=['(cossx-S

13) 1 = foi{onr* tan3 x) dx; t4) I = n=".**anxd'xi

Exercice 2 :Calculer 1 en utiliqqûu.Fe ou des intégrations par parties.

\f)l= I!oe*'s-inrydx;', 21t = ffx2cosxdxifr-

4) I = f; frat, 5) I = In 2t cosz t sin t dt;

7)I = 1*Yat;

Exercice 3 :

8)/ = li(1 *t)rntdti

On considère la fonction / de R vers IR définie par :

% L '-''--ff Exercice4: .4i -

1) Démontrer que, pour toutfu' # = ,' - #' Calculer f intégrale I: #d..2) Soit la fonction / déMr, pffi tout réel x,par : f (x) = ln(1 * e*).

a) Calculer la dé51-yée F*$ÏPfonction f .

b) En déduir@dd. fume intégration par parties, la valeur exacte de fi e* ln(1 + ex) dx.

Exeièice5 : Vf ) Onpfu=d'"*rr,"rg dx; I : f ffiax eï11+ I = Iz.Calculerl2 puis 11 et en déduire /

,y@fuPr coszxdxetJ = É*sinzxdx.a) Ôpuler I + ] et I - J en effectuant une intégration par parties.

b) Erf déduire I etJ.

Exercice 6 :

l) Linéariser le polynôme trigonométrique / défrni par : V "

a P,

f @) = sina x 73'sin2 x cos2 x.

2) a) Justifrer I'existence de I'intégrale , 1 = [;zxf (x)dx'b) Calculer / en utilisant la méthode d'intégration par parties.

coffidx;çr"@aîax.

1= litn(t +,ltz +-Aat.

1) Préciser I'ensemble D; de définition de /. :-- '

2) Déterminer les nombres réels a, b, c et d ffiS, Pgur iout nombrçréel x :

f(x)=ax*b***# ry3) Donner une primitive de f sur l-;;tl.CatcuWl-1, f (x)dx.

llathÉmatiques Terminale b Page 28 sur 44

Exercice 7 :

on pose I = lf(ff sins t cos t dt) dx.

l) Linéariser sin6 r.2) Démontrer eue / =

lsn-44 '1752

Exercice 8 :

On pose tn = lfQnx)n dx,v n € N. ' i-

1) a) Justifrer I'existence de In.b) Démontrer que : V n 2 2, ln = e - nln-'

2) On définit la suite (U,.) et on pose : V n e N*, 1,, = (-L)n(eU"'n!).a) Exprimer V n € N*, Ur,*1 en fonction de n et Un.

b) En déduire que U" € N.

Exercice 9 :

Soit (I,r)r,.s la suite définie sur N par : t, = fi ft ax.

1) Calculer /o + L et [. En déduire la valeur de /s'2) Calculer In + In+r en fonction de n' En déduire les valeurs de 12 et \.3) Comparer eM et e(n+7)x lorsque x e [0; 1].

En déduire, sans essayer de calculer Ir, que la suite (/r.) est croissad

4) a) Montrer que, pour tout nombre x e [0; f] , i < # #b) En déduire un encadrement de /rr; à cet effet, on

c) Quelle est la limite de la suite (I") ?

Soit / nurirérique de la variable réelle x définie par : f (x)

r) ions de f ettracer sacourbe.

2 supérieur à t et D 7 = {M (x,y), L < x 3 7 et L < y = f

(x)}.

Exercice 10: r*% eÀ

On pose, pour tout nombre entier naturel n n%NSjIn = ff x2Qnx)ndx,où ln désigne la fonctionffime népérien, et /s = Ii *'a*'

w

2) En utilisant une intégration3) En utilisant une intégrationpar pafudmontrer que pour tout nombre entier naturel n non nul :

3/a+1 + (n+ t)In = e3 &,En dflrJfre 12.

4) a) Démontrer que, tout entier naturel n non nul, /,, est positive.^3

b) Déduire de I' iour tout nombre entier naturel n non nul : /,, S;'c) Déterminer

=++lnx-ln(x+1).

l'ure A(D;) de D7. Etudier la limite de A(D) lorsque i tend vers *æ.

Exercice 12 :

Soit / la fonction définie sur ] 0; +oo I par : f (x) = ffi' O"se propose de ffouver un encadrement de

l'aire Ade l'ensemble des points,U fi) t"ft que 1 < x <|et 0 < y < f @)'

1) Etudier / et tracer (Cy).

2) Montrer que pour tout x 2 ,,Y = f @) <V'

3) carculer r = J|tffa, etl = ÊYdx.4) En déduire un encadrement de K = f i f @)dx puis un encadrement de.4.

Exercice 11 :

MathÉmatiques Terminale Sz Page 29 sur 44

Exercice 13 :

Lafonctionf estdéfin' ( rr*> = (

"@)e4' six> 0

iepar :

tt,ril[) ro * 1), si - 1 < x s 0'(c1) est sacourbe

représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique :2 qn'

Partie A :

1) Démontrer que l'ensemble de définition de / est D; - ]-t; +-['2) a) Montrer les égalités suivantes : limr--1+ f (x) = -oo et lilna++æ f (x) = t.

b) Déduire de la question précédente les droites asymptotes de (C1)'

3) a) Montrer que lima-o *!s* = g.

b) Etudier la continuité de f en 0.

"inrpor*th=1étudierlim"-s+ try f

d) Etudier lima-o- '9P'l est-elle dérivable en 0 ? Interpréter grapXryt4) Démontrerque: ",q.

'p

a) Pourtout.r € l0; *oo[, f'(x) = e)t+. ***-%"U

a) Pourtout.r € I0; *oo[, f'(x) = e)t+. .4' re

-%'

b) Pourtout x € l-t; O[, f' (x) = ffi5) Dresser le tableau de variation de /. , y

wntps résultats.

6) rracer (Ç).

Partie B :Soit a un nombre réel tel que -1 ( a ( 0.

Exercice 14 :

t) a) Montrer que pour tout x tel que -1 < x6$0ffi = Ïb) En utilisant une intégration pax parties &fuffiut

'

f rnçr + r)dx = -aln(a+ 1) + d - hkr# 1).

2) a)Endéduire I'aire A(a) du dffiine d\plan délimité par I'axe des abscisses, la courbe (Ç) et les

droites d'équations x = d ettE$* rteb) Calculer limo--1+ A@' r

'X

f" Y U@)=e*-L +x2 -2x*1six<iSoit/ rafonctioftffitÉn' t f@) =x *ln (v) st x > rOn note p') ,u "o*fft présentative dans un repère orthonormé (O;î,Ï) (unité : 2 ctn).

b) On précisera la position de (c1) par rapport à (P)'

4) a) Montrer que (Cy) admetune asytrrptote oblique (D) en +oo.

b) Préciser la position relative de (C) ",

(D) sur l1; +æ1.

{È

fier D1.

la continuité et la dérivabilité de f en L lnterpréter géométriquement vos résultats.

2) Câlcdlerlimr--* f @) etlim'-*-/(x).3ia)Montrerquelaparabole (P), y = x2 -Zx*Lestuneasymptoteàlacourbede/ en-æ.

1

Mathématiques Terminale & Fage 3[ sur 44

Partie B :Soit U définie par : U(x) = sx-7 * 2x - 2 pour x € ]-æ; 1].

1) Etudier les variations de U.

2) a) Monher que l'équation U(x) = 0 admet une solutionunique " .l|ril.

b) En déduire le signe de U(x) pour r e l-æ; 11.

Partie C :

1) a) Calculer la dérivée f'(x) de f (x) ertfonction de U(x) pour x e l--; 11.- Ui un déduire le sens àe variation de / sur ]-*; 1]. Etablir que f (a) = q2 - 4a * 3-

2) Donner un encadrement de /(a).3) a) Calculer /'(x) pour x e l1; +æ['

b) En déduire le sens de variation de / pour x ) L.

4) Dresser le tableau de variation /.5) Tracer la courbe (Ç).

ço;1).4

Exercice 15.:

On considère la fonction numérique définie pour

PartieD: ' 't ÆbSoit la fonction F définie sur l1; +æ[ par : F(r) = ]*t *ln(1 + rt +affi)Sl) Montrer que F est une primitive de / sur ]1; +æ[. .æ \ Y2) En déduire l'aire en cmz, dudomaine Aef#ti p"" les droites d,ffi 2 et x = e,(c) a

#/\ 2çx1=ft.

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan d'un repère orthonormal (O ;i, j),

PartieA: ffi4 ' '

1) Etudier les limites de f aux bornes de son "ffi* définition et en déduire l'existencewd'asymptotes. - w2) Etudier les variations de f etdr&r son f,ableau de variation.3) Construire la cornbe (C) et ses asfrplÆ.

& urPartieB: %./l) Déterminer une prim{iffigr @e la fonction numérique g dl) Déterminer une nrinrffipe la fonction numérique g défrnie pour tout x réel par :

s(x)=*.æ K /2) Calculer ftzag*, efun déduire une primitive sur IR de la fonction/.3j a é*a*d,t"*bruictement posilf,:"tt}T,"i."- , I'aire A(a) de la partie E du plan définie

par : Ep= tM(x;yffl < x 3 a et 0 3 y = f(x)j.

la limite de A(a) ouand a tend vers *oo.#-d edifier que : a - ln(ea + 2) - tnfu.

Soit h la fonction définie pour tout r réel par h(x) = f (x) ' x'1) Etudier les limites de h aux bomes de son ensemble de définition, ainsi que ses variations.

2) En déduire que l'équation f (x) = x admet une racine unique a dans lR"

Déterminer par le calcul un encadrement de a à l0-' près.

(Enoncer avec soin les théorèmes utilisés.)

MrthÉmatiques lerminale S,z Page 3l sur 44

Partie D :

l) En utilisant le sens de variation de /, démontrer que I'image par f del'intervalle t = lï,0,6] est

11 1

incluse dans [i;0,61.2) Démontrer que pour tout r de IR, on a : l,f '(*)l S I et en déduire en utilisant I'inégalité des

accroissements finis que : pour tout r € IR, lf (x) - "l =ilx - al.

3) On considère la suite U définie pour tout entier naturel npat : (Jn+! = f (U*) et I'Io =f,'a) Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite U appartiennent à I'intervalle I.

r - L r,'b) Démontrer que pour tout entier nahrel n on a : llln+r - al 3;lU" - al.

4) Démontrer que pour tout entier naturel n on al'inégalité : lUn - "l < +'*'En déduire que la suite U converge et préciser sa limite.

æ v

w4v

%tr6çi

jvfu. ,wvv

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