Bevægelse i (lineære) magnetfelter · • For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et element via en transfer matrix Repetition 3: Matricerne ... • Bevægelse igennem

11/9/2015

1

Moderne acceleratorers fysik og anvendelse

Forelæsning 3

Lineær Beam Optik - betafunktion

Wille kapitel 3.7 til og med 3.13

Repetition

Betafunktion og betatron bevægelse

Faserum

Beam størrelse og emmitans

Udregning af betafunktion

Matchning af betafunktioner

Cirkulære acceleratorer

Eksempel (WinAgile)

Repetition 1: Bevægelse i magnetfelt

• Bevægelse i (lineære) magnetfelter

– Hill’s ligning

– R er afbøjningsradius i dipol magnet

– k er fokuseringsstyrken (af en Quadrupol)

• k negativ: horisontalt fokuserede

• k positiv: horisontalt defokuserede

11/9/2015

2

Repetition 2: Matrix transformation

• For en partikel transformeres sted og

vinkel gennem et element via en transfer

matrix

Repetition 3: Matricerne

• Matricer for udvalgte elementer

PS: samme matricer som i optik (lasere)

11/9/2015

3

Repetition 4: Mange elementer

• Bevægelse igennem række elementer

• Dispersion

• Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen

– Hvor m11, m12, m21, og m22 er de samme som før

Repetition 5: Dispersion

p

psDx

)(

11/9/2015

4

Størrelse Wille (os) Ofte også brugt

Afbøjning radius i magnet R ρ

Vertikal koordinat z y

Symboler

• Indtil nu: Enkelt partikel bevægelse

• Nu: partiklernes indhylningskurve

• Starter igen med Hill’s ligning

– Sætter 1/R=0 og Δp/p=0

• Begrænser os til en dimension, dvs

Betafunktion 1

11/9/2015

5

• Hill’s ligning:

• Hvis k konstant (og <0), så kender vi løsningen

x=Acos(√|k|∙s+φ)

• Men k(s) er en funktion af s

• Test løsning:

• Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s

Betafunktion 2

• Hill’s ligning:

• Test løsning: • Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s

• Indsættelse giver (1) (2)

• (2) har løsningen

• som ved indsættelse i (1) giver som dog ikke har nogen analytisk løsning

• Variabel skift: og

Betafunktion 3

2A

11/9/2015

6

• Løsningen til Hill’s ligning bliver da

• Med

• β(s): Betafunktionen (enhed af meter)

– Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout

• Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout

• ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for den enkelte partikel)

– ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen

• φ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset

• Indhylningskurven er givet ved:

Betafunktion 4

Betafunktion 5 - indhyldningskurve

Se nærmere på

11/9/2015

7

• Lad os igen betragte betatron bevægelsen

• Analogt til en harmonisk bølge

kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λb

• Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt

– som det også ses på foregående figur

Betatron ”Bølgelængde”

xy

2sin

)(

1)(

2

ss

b

2

)(sb

vejlængdeperstenfasetilvæker2

b

• Position og vinkel af en partikel

• hvor

• Ved at isolere og , og bruge at

cos2(Θ)+sin2(Θ)=1 , samt introducerer

• fås

• Hvilket beskriver en ellipse i (x, x’)-rum (faserummet)

Betafunktion 6: emittansellipsen

11/9/2015

8


(a, og g kaldes også Twiss eller Courant-Snyder parametre)

α=0 =>

ellipsen er

lodret/vandret


Betafunktion

Emittans

Ellipse Arealet

er bevaret

11/9/2015

9

• For konservative kræfter gælder at arealet af

faserumsellipsen er bevaret

• Vi kan ændre formen, men aldrig arealet

• Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels)

for et ensemble af partikler. • Der kan dog være ikke-konservative kræfter i en accelerator (partikelstød,

køling). Mere om det senere.

Emittansellipsen: Louville’s teorem

• Indtil nu har vi betragtet en enkelt partikel

– men i en rigtig stråle har vi mange partikler

• Disse vil (oftest) følge en Gauss-fordeling

med givne spredninger σx og σz

• En partikel med position σx vil have

en emittans εx,std givet ved

Denne emittans kalder vi strålens

emittans (og benævnes oftest blot εx)

• Tilsvarende med εz

Beam størrelse og emittans

)(, sstdxx

11/9/2015

10

• Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel]

• med enheden m∙rad

– Ofte bruges mm∙mrad (millimeter milli-radian)

• samme som µmrad (10-6 mrad)

– eller nmrad (10-9 mrad)

• Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte

bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen

– Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad

• Bemærk også at rad er ”dimensionsløs”, så ved

udregning af f.eks. en strålestørrelse ”forsvinder” rad

Emittans

mmmmrad 111

• Strålens størrelse vil variere rundt i maskinen (√β)

• Samtidig vil vakuumkammerets størrelse d variere

• Hvor er mindst, er der mindst plads

• Vi definere nu den transversale acceptants A som

som er den største emittans

en partikel kan have

Acceptants

11/9/2015

11

• Antag at vi kender betafunktionen et givet sted s0

• Wille viser nu at betafunktionen på stedet s1 er givet ved hvor M er transfermatrixen fra s0 til s1

• Wille viser også den alternative form

• Brug af computer programmer (WinAgile, MAD, MatLab Acc. Toolbox)

Udregning af betafunktionen

• Vælg et symmetripunkt med betafunktion β*, og α*=0

• Så har vi

altså

Betafunktionen omkring en waist (symmetri punkt)

*

1

*

2/

To ellipser for s=0

11/9/2015

12

• Det er ret let at vise (Wille kap 3.11) at har man de

optiske værdier (β, α, og faseskiftet Ψ) i to punkter s, og

s0, så kan man udregne transfermatricen mellem de to

punkter ud fra

Transfermatricen fra de optiske funktioner

• Ofte har man en transportlinie, hvor de optiske funktioner

er givet ved indgang og udgang

• Opgaven er da at vælge de optiske elementers styrke (k)

og position så transportlinien transformere de optiske

funktioner på den ønskede måde

Matching 1

11/9/2015

13

• Der er generelt ingen analytisk løsning på matchingen

• Derfor gæt og iterer

• Wille angiver en metode hvor man ved hjælp af afledte

kommer tættere på en løsning

– Én dimensional

– Også for n-dimensional

• Alternativt kan man bruge least-squares-metoder

• Brug for computere

– Normalt indbygget i lattice programmer (WinAgile)

Matching 2

• Lad os nu betragte en cirkulær accelerator

• Vi har da den periodiske betingelse, L er omkredsen

• Dvs.

• Eller eksplicit

hvor

Periodisk løsning i cirkulær accelerator 1

rev

11/9/2015

14

kan løses (selv om det ikke er let) og resultatet er

• Dvs. ud fra transfermatricen kan vi udregne betafunktionen (og dermed alt andet)

• Da β skal være reel (og positiv) må det gælde at

• Ved brug af det(M)=1 (Wille 3.73) kan det vises at være det samme som

• Hvilket altså er en nødvendig betingelse for stabilitet


rev

2)Tr( 2211 mmM rev

Bemærk trykfejl

i lign. 3.182

• Tilsvarende fås for dispersionen

• Som giver


11/9/2015

15

• Hvis vi igen finder transfermatricen fra de optiske værdier

• og benytter at for en hel omgang er β=β0, α=α0, og sætter μ=Ψ

(fasetilvæksten for en hel omgang), får vi

• Heraf ses også let at

• For et symmetripunkt er α= 0 og vi får


a

a

a

sincossin1

sinsincos2

revM

2cos2)Tr( revM

cossin1

sincos

revM

Tune: Q=μ/2π antal svingninger

per omgang

• For et symmetri punkt er de afledte

nul, dvs.

• Det gør udregning af betaværdier lidt simplere

• og vi får et par yderlige betingelser for stabilt lattice

Symmetri punkter

11/9/2015

16

• For en cirkulær accelerator (ring) definere man ringens

middelradius Rm som (engelsk ’mean radius’)

hvor L er ringens omkreds

• Det er et begreb der ofte (mest) benyttes for de store ringe (LHC,

SPS, …), som jo på grund af de høje energier (små afbøjninger) får

mange dipoler, så ringens form tilnærmelsesvis er cirkulær.

• Pas på med ikke at forveksle

en rings middelradius med

afbøjningsradius i ringens dipoler.

– Man vil ofte se R brugt som

middelradius og så ρ som

afbøjningsradius

Middelradius

2LRm

• Betafunktion (β(s)): Beskriver ”ALT”

– Giver formen af partikelbevægelsens indhylningskurve

– Beamstørrelse:

– Udregnes ud fra transfermatricerne (vha. computer)

• Emittans (ε): Faserumsareal (på nær π)

– Bestemmer amplituden af indhylningskurven

• Dispersion (D(s)): Proportionaliteten mellem positionsskift og

impulsafvigelse

– Positionsskift:

• ”Ingeniør”-formler

– Stivhed:

– Fokuseringsstyrke:

Opsummering

)(s

p

psDx

)(

][2998.0

]/[][][][

eQ

cGeVpmRTBTmB

][

]/[

]/[

]/[][2998.0][ 2

TmB

mTg

mGevp

mTgeQmk

11/9/2015

17

ASTRID lattice

Beam envelope og

Beam envelope =

Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldes

hele arealet indenfor beam envelope.

Bemærk sammenhængen mellem og . Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, …

er konstant, men =(s)

11/9/2015

18

• Bemærk at βx er stor ved QF og lille ved QD

FODO lattice

Dispersion Revisited: Gravitationel analogi

• Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga.

tyngdekraften?

– Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større

afbøjning opad i F-qpolerne

– Afbøjning: , hvor Bρ er stivheden klzB

lBz

q

)(

11/9/2015

19

Dispersion Revisited 2

• En partikel med lav impuls afbøjes mere i

en magnet

• Der vil blive dannet en ny lukket bane, som

er forskudt. Forskydningen er givet ud fra

dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter)

p

psDx

)( D~1-10 m, p/p~10-4-10-3

x~1 mm

• WinAgile: Eksempel 3.13.3 (s. 98)

Demonstration

Documents

Bevægelse i (lineære) magnetfelter · • For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et element via en transfer matrix Repetition 3: Matricerne ... • Bevægelse igennem