Beta e Gamma Functions

Funcoes especiais: Beta e Gamma.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

[email protected]

Sumario

1 Funcoes Beta e Gamma 41.1 Integrais Eulerianas:Gamma e Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Somatorio dos termos da funcao gamma . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 (a, b) = (a)(b)(a+ b)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.30et

x

dt = (1+ 1x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4 10

x2n1 x2

dx =12(n+

12,12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5 pi

2

0senn(x)cosm(x)dx =

12(n+ 1

2,m+ 1

2). . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.60xneaxdx =

(n+ 1)an+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7 (n) = 10

(ln( 1y)

)n1dy = (n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.8 10

dx(1 xn)

=1n(

1n,12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.9 Funcao Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.10 (

12

)=pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.110sen(x2)dx =

0cos(x2)dx =

pi

2

2. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.12 x

2e2x2dx =

pi

23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.13 (n+ 12) =

(2n)!pi

22n.n!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.140xpex

t

dx =1t(p+ 1t

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.15 x

2nex2dx =

(2n)!pi

22n(n!). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.160

xa1

1+ xdx =

pi

sen(api). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

SUMARIO 3

1.1.17 Formula de reflexao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.18 Teorema de Bohr-Mollerup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.1.19 Formula de multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.1.20

0

xp

1+ xndx =

pi

n

1sen( (p+1)pi

n)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.1.21 Derivadas da funcao Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.1.220

1(x2 + 1)m+1

dx =pi

22m+1

(2mm

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.1.230

xn

(q1x+ q0)r+n+1dx =

1qr0q

n+11 r

(r+nn

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.1.24

10xt(1 xn)adx = 1

n(a+ 1, t+ 1

n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1.25 10

xm1dx(1 xn)

=

pi (m

n)

n(mn+ 12)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1.26 Funcoes Gamma incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2 Distribuicao gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Captulo 1

Funcoes Beta e Gamma

1.1 Integrais Eulerianas:Gamma e Beta

As integrais

1.(m,n) =

10xm1(1 x)n1dx

com Re(m), Re(n) positivos.

2.(a) =

0xa1exdx

com Re(a) > 0.

Foram estudadas por Euler. Em honra a Euler, Legendre1 chamou essas integraisde integrais Eulerianas do primeiro e do segundo tipo. A primeira chamamos defuncao Beta e a segunda de funcao Gamma.

b Propriedade 1. Se n R, n > 1 entao a integral impropria0xn1exdx, que

define a funcao gamma converge.

1A notacao (z) para a funcao Gamma foi primeiro usada por Legendre em 1814.

4

CAPITULO 1. FUNCOES BETA E GAMMA 5

Demonstracao. Existe a > 0 tal que para x > a vale xn+1 < ex exxn1 1natural, temos que o mnimo e 1

ne vale 1 > 1

ne o maximo n 1

n= 1 1

n, usamos a

identidaden1k=1

senkpi

n= n21n

da

n21n =

n1k=1pi

n1k=1( k

n)n1k=1(1 k

n)

=(pi)n1

n1k=1( k

n)n1k=1(nk

n)

=

=(pi)n1

n1k=1( k

n)

1k=n+1

(n+kn)

=(pi)n1

n1k=1[( k

n)]2


de onde seguen1k=1

[(k

n)]2 =

(2pi)n1

n.

$ Corolario 10. Da identidadesen

kpi

n=

pi

( kn)(1 k

n)

tomando a soma com k variando de 1 ate n 1 segue que

n1k=1

senkpi

n=

n1k=1

pi

( kn)(1 k

n)

da usando uma propriedade ja demonstrada para a soma de seno

cotgpi

2n=

n1k=1

pi

( kn)(1 k

n)

logon1k=1

1( k

n)(1 k

n)=cotg pi2npi

.

1.1.18 Teorema de Bohr-Mollerup

F Teorema 1 (Bohr-Mollerup). Seja f : (0,) R+, tal que f(1) = 1.

f(x+ 1) = xf(x).

ln(f) e convexa.

Nessas condicoes f = (0,).

Demonstracao.


1.1.19 Formula de multiplicacao

b Propriedade 19. Vale quen1k=0

((z+k

n))2 = (2pi)n1n12n(nz).

Demonstracao.

Z Exemplo 21. Calcular 0

11+ xn

dx.

Fazendo y = xn tem-se dynxn1

= dx e y1n = x e dy

nyn1n

= dx os intervalos de

integracao sao os mesmos1n

0

y1nn

1+ ydy.

Da 0

11+ xn

dx =pi

n senpin

.

1.1.200

xp

1+ xndx =

pi

n

1sen( (p+1)pi

n)

Z Exemplo 22. Calcular a integral0

xp

1+ xndx.

Tomando y = xn tem-se dynxn1

= dx , y1n = x e dy

nyn1n

= dx os intervalos de

integracao sao os mesmos1n

0

yp+1n

1

1+ ydy

tomamos a = p+ 1n

b = 1 p+ 1n

usamos os resultados

(a)(b)

(a+ b)=

0

ya1

(1+ y)a+bdy


(a)(1 a) = pisenapi

da 0

xp

1+ xndx =

pi

n

1sen( (p+1)pi

n).


11+ x4

dx.

Temos 0

11+ x4

dx =pi

4 senpi4=

pi

2

2.

Z Exemplo 24. Calcular a integral

(

ex

e3x + 1

)2dx.

Tomamos e3x + 1 = 1t, da t = 1

e3x + 1, dtdx

=3e3x

(e3x + 1)2, (e3x + 1)2dt = 3e3x

, dtt2

= 3e3xdx como e3x = 1t 1 tem-se dt

t2= 3(1 1

t)dx, dt

3t(t 1)= dx, vale

tambem que ex = (1 t)13

t12

, quando x tem-se t 0 e com x tem-set 1, logo a integral fica como01

t2(1 t) 233t(t 1)t 23

dt =

10

t123 (1 t) 231

3dt =

13(

23,43) =

13( 23)(

43)

(2)=

19(

13)(

23) =

19

pi

sen(pi3 )=

=2pi

9

3.

1.1.21 Derivadas da funcao Gamma


b Propriedade 20 (Derivadas da funcao gamma). Vale que

Dn(x) =

0tx1et[ln(t)]ndt,

onde aplicar Dn, significa aplicar o operador derivada em relacao a` x, n-vezes.

Demonstracao. Demonstraremos por inducao, para n = 0 temos

D0(x) =

0tx1et(ln(t))0dt =

0tx1etdt = (x).

Agora seja valida para n,

Dn(x) =

0tx1et[ln(t)]ndt

vamos provar para n+ 1

Dn+1(x) = D

0tx1et[ln(t)]ndt =

0tx1et[ln(t)]n+1dt .

A derivada de tx em relacao x fazemos da seguinte maneira tx = eln(tx) = exln(t),derivando resulta em D(tx) = ln(t) exln(t) = ln(t) tx.

1.1.220

1(x2 + 1)m+1

dx =pi

22m+1

(2mm

).

Z Exemplo 25. Calcular a integral0

1(x2 + 1)m+1

dx.

Fazendo a mudanca y = x2

1+ x2temos que com x = 0, y = 0 e com x ,

y = 1, temos tambem x2 = y1 y

,x = y12 (1 y)

12 , x2 + 1 = 1

1 y, (1 y) = 1

x2 + 1,

y =1

1+ x2+ 1 logo dy

dx=

2x(1+ x2)2

, dy2

= y12 (1y)

12 (1y)2dx = y

12 (1y)

32dx logo

y12 (1 y)32 dy

2= dx

logo a integral fica como

12

10y12 (1 y)m

12 dy =

12(

12,m+

12) =

12( 12)(m+

12)

(m+ 1)


se m natural, usamos identidades que ja provamos da gamma

12

pi(2m)!

pi

(m)!22mm!=

pi(2m)!22m+1(m!)(m)!

=pi

22m+1

(2mm

).

0

1(x2 + 1)m+1

dx =pi

22m+1

(2mm

).


xu1

(1+ bx)m+1dx.

Fazemos a transformacao y = bx1+ bx

logo y 1 = bx1+ bx

1 = bx 1 bx1+ bx

=

11+ bx

bx + 1 = 11 y

(1 y)m+1 = 1(1+ bx)m+1

, dy = (1 y)2 = dx, temos

ainda

bx+ 1 = 11 y

bx 11 y

1 = 1 1+ y1 y

= y(1 y)1

x =y(1 y)1

bde onde segue a integral

1bu

10yu1(1 y)mudy = 1

bu(u,m+ 1 u).

Z Exemplo 27. Calcular(m+n2 )(

mn)m2 1

(m2 )(n2 )

0

xm2

(1+ mnx)

m+n2dx.

(continuar depois) O exemplo anterior, fornece que0

xm2

(1+ mnx)

m+n2dx =

1(mn)m2 +1(m

2+ 1, m+ n

2m

2+ 1) =

=1

(mn)m2 +1

(m2 + 1)(n2 )

(m+n2 + 1)=

1(mn)m2 +1

m2 (

m2 )(

n2 )

m+n2 (

m+n2 )

=


=1

(mn)m2 1

m(m2 )(n2 )

m2

n2(m+ n)(m+n2 )

1.1.230

xn

(q1x+ q0)r+n+1dx =

1qr0q

n+11 r

(r+nn

) .Z Exemplo 28. Calcular a integral

0

xn

(q1x+ q0)r+n+1dx.

0

xn

(q1x+ q0)r+n+1dx =

1qr+n+10

0

xn

( q1q0x+ 1)r+n+1

dx =

usando o resultado do exemplo anterior

=1

qr0qn+11(n+ 1, r)

se r e n naturais podemos escrever0

xn

(q1x+ q0)r+n+1dx =

1qr0q

n+11 r

(r+nn

) .

b Propriedade 21.nk=1

[

(k

n

)]2 =

(2pi)n1

n.


1 xndx.

Tomando y = xn tem-se y1n = x e dy

dx= nxn1, dy

nxn1= dx, y

1n1dy

n= dx

1n

10(1 y)

12y

1n1dy =

1n(

12+ 1, 1

n).


logo 10

1 xn dx = 1

n(

12+ 1, 1

n).

$ Corolario 11. Se 1n= p, p > 0 natural segue que

10

1 x

1p dx = p(

12+ 1, p) = p

( 12 + 1)(p)( 12 + p+ 1)

. =

=12p!pi22p+2(p+ 1)!pi(2p+ 2)!

=p!22p+1(p+ 1)!(2p+ 2)!

10

1 x

1p dx =

10

1 px dx =

p!22p+1(p+ 1)!(2p+ 2)!

.

1.1.24 10xt(1 xn)adx = 1

n(a+ 1, t+ 1

n)

Z Exemplo 30. Calcular a integral 10xt(1 xn)adx.

Tomando y = xn tem-se y1n = x e dy

dx= nxn1, dy

nxn1= dx, y

1n1dy

n= dx logo

1n

10ytn (1 y)ay

1n1dy =

1n(a+ 1, t+ 1

n).

se 1n= p > 0 natural temos

10(1 p

x)adx = p(a+ 1, p) = p(a+ 1)(p)

(a+ p+ 1)

10(1 p

x)adx =

p!a!

(a+ p)!.


Z Exemplo 31. Calcular 11xt(1 xn)adx

onde n e par e t e natural.

Dividimos em dois casos. Se t e mpar a funcao integrada e mpar, logo a

integral se anula. Se t e par a funcao e par, logo o resultado da integral e 11xt(1 xn)adx = 2

10xt(1 xn)adx = 2

n(a+ 1, t+ 1

n).

Z Exemplo 32. Da identidade 10(1 xn)adx = 1

n(a+ 1, 1

n)

, tomando n = 2 tem-se 10(1x2)adx = 1

2(a+ 1, 1

2) =

(a+ 1)( 12)2(a+ 1+ 12)

=a!pi

2(a+ 12)2a+1

2=

a!pi22aa!

(2a+ 1)(2a)!pi=

=(a!)24a

(2a+ 1)!

logo 10(1 x2)adx = (a!)

24a

(2a+ 1)!.

Z Exemplo 33. Calcular a integral 10ya(

n1k=0

(1 y)k)ady.

Fazemos a transformacao y = 1 x, da ficamos com a integral 10(1 x)a(

n1k=0

(x)k)adx =

10(1 x)a(

n1k=0

(x)k)adx =

10(1 xn)a = 1

n(a+ 1, 1

n).


1.1.25 10

xm1dx(1 xn)

=

pi (m

n)

n(mn+ 12)

.

Z Exemplo 34. Calcule a integral 10

xm1dx(1 xn)

.

Fazendo a mudanca xn = u segue u1n = x , du = nxn1dx, du

nu11n

= dx logo

escrevemos a integral como

1n

10u

1n1(1 u)

12 u

m1n du =

1n

10umn1(1 u)

12 du =

1n(m

n,12) =

=

10

xm1dx(1 xn)

=1n

( 12)(mn)

(mn+ 12)

=

pi (m

n)

n(mn+ 12)

.

10

xm1dx(1 xn)

=

pi (m

n)

n(mn+ 12)

.


xm1dx(1 xn)

onde n = 4m.

Vale que 10

xm1dx(1 xn)

=

pi ( 14)

n( 14 +12)

mas pela formula de reflexao de Euler ( 14)(

34) =

pi

sen(pi4)logo ( 1

4)

2

2pi=

1(34)

substituindo na integral temos 10

xm1dx(1 xn)

=

pi [( 14)]

2

2n2pi

=[( 14)]

2

2n2pi.

1.1.26 Funcoes Gamma incompletas

m Definicao 2 (Funcao Gamma incompleta superior-GIS ). Definimos a funcao


Gamma incompleta superior por

(a, x) :=

x

ta1etdt.

$ Corolario 12. Tem-se(a,0) :=

0ta1etdt = (a).

b Propriedade 22. Temos a propriedade

(n, x) = (n 1)!exn1k=0

xk

k!

para n > 0 natural.

Demonstracao. Por inducao sobre n. Para n = 1 temos

(1, x) =x

t0etdt = et|x = ex = (0)!ex0k=0

xk

k!.

supondo a validade para n

(n, x) = (n 1)!exn1k=0

xk

k!

vamos provar para n+ 1

(n+ 1, x) = (n)!exnk=0

xk

k!

pela definicao da Gamma tem-se

(n+ 1, x) =x

tnetdt = tnetx

+ n

x

tn1etdt = xnex + n!exn1k=0

xk

k!

= n!xn

n!ex + n!ex

n1k=0

xk

k!= n!ex

(xn

n!+

n1k=0

xk

k!

)= n!ex

nk=0

xk

k!.

Da identidade

(n+ 1, x) = n!exnk=0

xk

k!


segue

ex(n+ 1, x)

n!=

nk=0

xk

k!

tomando em relacao a` n em ambos lados tem-se

ex(n+ 1, x)

n!=

xn+1

(n+ 1)!

ex(n, x)

(n 1)!=xn

(n)!

caso x = 1 temose

(n, 1)(n 1)!

=1

(n)!k

xk

k!=ex(k, x)

(k 1)!

m Definicao 3 (Funcao Gamma incompleta inferior-GII).

(s, x) =

x0ts1etdt.

$ Corolario 13.(s, x) + (s, x) = (s)

pois x0ts1etdt+

x

ts1etdt =

0ts1etdt = (s).

1.2 Distribuicao gamma

m Definicao 4 (Distribuicao gama). Uma v.a tem distribuicao gama comaparametros e se sua funcao de densidade de probabilidade e dada por


f(x) =

x1e

x

()se x > 0

0 se x 0Observe que se = 1, vale () = 1 e a funcao de densidade se resume a

f(x) =

ex

se x > 0

0 se x 0

que e uma distribuicao exponencial, logo conclumos que a distribuicao exponen-cial e um caso particular da distribuicao gama.

Se uma v.a X tem distribuicao gama com parametros e , simbolizamos essefato por X (,).

A distribuicao gama define realmente uma distribuicao de probabilidade pois,tomando a mudanca x

= y vale dy = dx, a integral fica como

1(a)

0y1eydy = 1.

b Propriedade 23. Vale E(X) = .

Demonstracao.

E(X) =

0

xex

()dx

fazendo novamente a mudanca y = x

segue

E(X) =

0

y+1ey

()dy =

(+ 1)()

=()

()= .

b Propriedade 24 (p-esimo momento). Vale que

E(xp) = p(+ p)

().

Demonstracao.

E(Xp) =

0

x+p1ex

()dx =


fazendo novamente a mudanca y = x

segue

=

0

y+p1+pey

()dy =

p(+ P)

().

Em especial vale E(x2) = 2(+ 2)()

$ Corolario 14. Vale var(X) = 2 poisvar(x) = E(x2) E2(x) = (+ 1)2 22 = 2.

Funes Beta e GammaIntegrais Eulerianas:Gamma e BetaSomatrio dos termos da funo gamma(a,b)=(a) (b)(a+b) 0 e-txdt=(1+1x).10x2n1-x2 dx=12 (n+12,12)20senn(x) cosm(x)dx =12(n+12,m+12). 0xne-axdx=(n+1)an+1. (n)=10(to.ln(1y))to.n-1dy=(n). 10dx(1-xn)=1n(1n,12). Funo Gamma(to.12)to.= 0sen(x2)dx = 0cos(x2)dx = 22 . - x2e-2 x2dx = 23 . (n+12)=(2n)!22n.n! 0 xp e-xtdx=1t(p+1t).- x2n e-x2dx=(2n)! 22n(n!)0xa-11+x dx =sen (a )Frmula de reflexo de EulerTeorema de Bohr-Mollerup Frmula de multiplicao 0xp1+xndx=n 1sen ((p+1)n)Derivadas da funo Gamma01(x2+1)m+1dx=22m+12m ()m .0xn(q1x+q0)r+n+1dx=1q0rq1n+1rr+n ()n. 10xt(1-xn)adx=1n(a+1,t+1n)10xm-1dx(1-xn)= (mn)n(mn+12). Funes Gamma incompletas

Distribuio gamma

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