8/25/2019

1

Advanced Computation:Computational Electromagnetics

Beam Propagation Method (BPM)

Outline

• Overview• Formulation of 2D finite‐difference beam propagation method (FD‐BPM)

• Implementation of 2D FD‐BPM• Formulation of 3D FD‐BPM• Alternative formulations of BPM

• FFT‐BPM• Wide Angle FD‐BPM• Bi‐Directional BPM

Slide 2

1

2

8/25/2019

2

Slide 3

Overview

Geometry of BPM

Slide 4

z

x

longitudinal directionTran

sverse

direction

BPM is primarily a “forward” propagating algorithm where the dominant direction of propagation is longitudinal.

The grid is computed and interpreted as it is in FDFD.   The algorithm and implementation looks more like the method of lines than it does FDFD.

BPM is implemented on a grid.  There are no layers.

3

4

8/25/2019

3

Example Simulation of a Coupled‐Line Filter

Slide 5

This animation is NOT of the wave propagating through the device.  Instead, it is the sequence of how the solution is calculated.

Slide 6

Formulation of 2D Finite‐Difference 

Beam Propagation Method

5

6

8/25/2019

4

Starting Point

Slide 7

We start with Maxwell’s equations in the following form.

yzxx x

x zyy y

y xzz z

EE Hy zE E Hz xE E Hx y

yzxx x

x zyy y

y xzz z

HH Ey zH H Ez xH H Ex y

Recall that we have normalized the grid according to

0x k x 0y k y 0z k z

Recall that the material properties potentially incorporate a PML at the x and y axis boundaries (propagation along z).

y xxx xx yy yy zz zz x yx y

s s s ss s

y xxx xx yy yy zz zz x yx y

s s s ss s

Reduction to Two Dimensions

Slide 8

Assuming the device is uniform along the y direction, 

zEy

yxx x

x zyy y

y x

EH

zE E Hz xE Ex y

zz zH

zHy

yxx x

x zyy y

y x

HE

z

H H Ez xH Hx y

zz zE

0y

and Maxwell’s equations reduce to

yxx x

x zyy y

yzz z

EH

zE E Hz x

EH

x

yxx x

x zyy y

yzz z

HE

zH H Ez x

HE

x

7

8

8/25/2019

5

Two Distinct Modes

Slide 9

We see that Maxwell’s equations have decoupled into two distinct modes.

E Mode

x zyy y

yxx x

yzz z

H H Ez x

EH

zE

Hx

H Modex z

yy y

yxx x

yzz z

E E Hz x

HE

zH

Ex

Slowly Varying Envelope Approximation

Slide 10

Assuming the field is not changing rapidly, we can write the field as

eff eff, , , ,jn z jn zE x z x z e H x z x z e

Substituting these solutions into our two sets of equations yieldsE Mode

eff eff eff

eff eff

eff eff

, , ,

, ,

, ,

jn z jn z jn zx z yy y

jn z jn zy xx x

jn z jn zy zz z

x z e x z e x z ez x

x z e x z ez

x z e x z ex

H Mode

eff eff eff

eff eff

eff eff

, , ,

, ,

, ,

jn z jn z jn zx z yy y

jn z jn zy xx x

jn z jn zy zz z

x z e x z e x z ez x

x z e x z ez

x z e x z ex

eff

eff

x zx yy y

yy xx x

yzz z

jnz x

jnz

x

eff

eff

x zx yy y

yy xx x

yzz z

jnz x

jnz

x

Not a good approximation to make for metamaterials and photonic crystals!

Better for lenses, waveguides, etc.

9

10

8/25/2019

6

Matrix Form of Differential Equations

Slide 11

Each of these equations is written once for every point in the grid.  This large set of equations can be written in matrix form as

E Mode H Modeeff

eff

x zx yy y

yy xx x

yzz z

jnz x

jnz

x

eff

eff

hxx x z yy y

yy xx x

ex y zz z

djndz

djn

dz

hh D h ε e

ee μ h

D e μ h

eff

eff

x zx yy y

yy xx x

yzz z

jnz x

jnz

x

eff

eff

exx x z yy y

yy xx x

hx y zz z

djndz

djn

dz

ee D e μ h

hh ε e

D h ε e

Wave Equation for E‐Mode

Slide 12

We can reduce the set of three equations to a single equation.  This is the matrix wave equation.

eff

eff

Hx yy y

yy xx x

Ex y zz

xz

z

xdjndz

djn

dz

D ε e

ee μ h

D e μ

h h

h

h

eff

21 2

eff eff2

11 1eff eff

2 0

H Ezz xx yy y

y y H Exx x zz x y xx

yxx y xx y

yy y

djndz

d dj n n

d djn jn

dz d

dz d

z

z

μ DD εe e

e eμ D μ D e μ ε I

μ I e

e

μ I e

1

1effxx

zz x

y

Ez

x

y

jnz

μ D

μ I

h

e

e

h

11

12

8/25/2019

7

Small Angle Approximation (1 of 2)

Slide 13

When this is the case, we can make the “small angle approximation.”2

2y yd d

dz dz

e e

also called the Fresnel approximation

In many cases, the envelope of the electromagnetic field does not change rapidly as it propagates.

Rapid Variation Slow Variation

Small Angle Approximation (2 of 2)

Slide 14

Given the small angle approximation2

2y yd d

dz dz

e e

We can drop the           term from our wave equation.2

2y

z

e

2

2yd

dze

1 2eff eff

1 2eff eff

1 2eff

eff

2 0

2 0

2

y H Exx x zz x y xx yy y

y H Exx x zz x y xx yy y

y H Exx x zz x xx yy y

dj n n

dz

dj n n

dz

d j ndz n

eμ D μ D e μ ε I e

eμ D μ D e μ ε I e

eμ D μ D μ ε I e

13

14

8/25/2019

8

Different Finite‐Difference Solutions

Slide 15

How do we approximate the z‐derivative with a finite‐difference?

First, we write our matrix wave equation more compactly as1 2

effeff

2

y H Ey xx x zz x xx yy

d j ndz n

e

Ae A μ D μ D μ ε I

1

eff1

11

eff1 1

1

eff

Forward Euler2

Backward Euler2

Crank-Nicolson2 2

i iy y i

i y

i iy y i

i y

i i i iy y i y i y

jz n

jz n

jz n

e eA e

e eA e

e e A e A e

This is a standard finite‐difference evaluated at i+0.5

This term is interpolated at i+0.5.

Computationally simpler, but solution is nonlinear and only first‐order accurate at best.  Can be unstable.

The Crank‐Nicolson method is second‐order accurate and unconditionally stable.

Forward Step Equation

Slide 16

1 11

eff

11

1eff eff

2 2

4 4

i i i iy y i y i y

i iy i i y

jz n

j z j zn n

e e A e A e

e I A I A e

Solving our new equation for        leads to1iye

We now have a way of calculating the field in a following slice based only the field in the previous slice.

Backward waves are ignored in this formulation.

Note: We need to make a good guess for the value of neff.

15

16

8/25/2019

9

Slide 17

Implementationof 2D FD‐BPM

Grid Schemes for BPM

Slide 18

Periodic Structures Finite Structures

PBCPBC

No BC Needed!

No BC Needed!

No BC Needed!

No BC Needed!

DirichletBCDiric

hlet

BC

PMLPM

L

Spacer 

Spacer 

No spacer needed!

No spacer needed!No spacerneeded!

No spacerneeded!

17

18

8/25/2019

10

The Effective Refractive Index, neff

Slide 19

Recall the slowly varying envelop approximation.

eff eff, , , ,jn z jn zE x z x z e H x z x z e

The BPM does not calculate neff.  We must tell BPM what is neff.

How do we know neff without modeling the device?  We have to calculate it or estimate it.

Techniques:

1. For plane waves and beams, calculate the average refractive index in the cross section of your grid to estimate the longitudinal wave vector.

2. For waveguide problems, calculate the effective index of your guided mode rigorously and use that in BPM.

Compute field in next plane

1 1i i i i e P e

Compute source at first plane

Ey(:,1) = ?;

Compute matrix derivative operators

and e hx xD D

Build deviceon grid

Calculate optimized grid

Block Diagram of BPM

Slide 20

Define simulation parameters

Compute propagator P

1

1 1eff eff

1 2eff

4 4i i i i

i i i ih ei xx x zz x xx yy

j z j zn n

n

P I A I A

A μ D μ D μ ε I

Post processDone?

Loop over z

BPM can handle modes, beams, plane waves, etc., very easily.

Extract slice & diagonalize. and i iμ ε

yes

no

Chooseneff

19

20

8/25/2019

11

Slide 21

Formulation of 3D Finite‐Difference 

Beam Propagation Method

Starting Point

Slide 22

We have the same starting point as with 2D FD‐BPM.yz

xx x

x zyy y

y xzz z

EE Hy zE E Hz xE E Hx y

yzxx x

x zyy y

y xzz z

HH Ey zH H Ez xH H Ex y

Recall that we have normalized the grid according to

0x k x 0y k y 0z k z

Recall that the material properties potentially incorporate a PML at the x and y axis boundaries (propagation along z).

y xxx xx yy yy zz zz x yx y

s s s ss s

y xxx xx yy yy zz zz x yx y

s s s ss s

21

22

8/25/2019

12

Slowly Varying Envelope Approximation

Slide 23

Assuming the field is not changing rapidly, we can write the field as

eff eff, , , ,jn z jn zE x z x z e H x z x z e

Maxwell’s equations become

Not a good approximation to make for metamaterials and photonic crystals!

Good for lenses, waveguides, etc.

eff

eff

yzy xx x

x zx yy y

y xzz z

jny z

jnz x

x y

eff

eff

yzy xx x

x zx yy y

y xzz z

jny z

jnz x

x y

yzxx x

x zyy y

y xzz z

EE Hy zE E Hz xE E Hx y

yzxx x

x zyy y

y xzz z

HH Ey zH H Ez xH H Ex y

Matrix Form of Differential Equations

Slide 24

Each of these equations is written once for every point in the grid.  This large set of equations can be written in matrix form as

eff

eff

yey z y xx x

exx x z yy y

e ex y y x zz z

djn

dzdjndz

eD e e μ h

ee D e μ h

D e D e μ h

eff

eff

yhy z y xx x

hxx x z yy y

h hx y y x zz z

djn

dzdjndz

hD h h ε e

hh D h ε e

D h D h ε e

eff

eff

yzy xx x

x zx yy y

y xzz z

jny z

jnz x

x y

eff

eff

yzy xx x

x zx yy y

y xzz z

jny z

jnz x

x y

23

24

8/25/2019

13

Eliminate Longitudinal Components

Slide 25

We solve the third equation in each set for the longitudinal components ez and hz.

1 e ez zz x y y x h μ D e D e 1 h hz zz x y y x e ε D h D h

We now substitute these expressions into the remaining equations.

1eff

1eff

ye h hy zz x y y x y xx x

e h hxx x zz x y y x yy y

djn

dzdjndz

eD ε D h D h e μ h

ee D ε D h D h μ h

1eff

1eff

yh e ey zz x y y x y xx x

h e exx x zz x y y x yy y

djn

dzdjndz

hD μ D e D e h ε e

hh D μ D e D e ε e

Rearrange Terms

Slide 26

We rearrange or remaining finite‐difference equations and collect the common terms.

1 1eff

1 1eff

e h e hxx x zz y x yy x zz x y

y e h e hy xx y zz y x y zz x y

d jndzd

jndz

e e D ε D h μ D ε D h

ee μ D ε D h D ε D h

1 1eff

1 1eff

h e h exx zz y x yy x zz x y x

y h e h exx y zz y x y zz x y y

d jndzd

jndz

h D μ D e ε D μ D e h

hε D μ D e D μ D e h

25

26

8/25/2019

14

Block Matrix Form

Slide 27

We can now cast these four matrix equations into two block matrix equations.

1 1eff

1 1eff

e h e hxx x zz y x yy x zz x y

y e h e hy xx y zz y x y zz x y

d jndzd

jndz

e e D ε D h μ D ε D h

ee μ D ε D h D ε D h

1 1eff

1 1eff

h e h exx zz y x yy x zz x y x

y h e h exx y zz y x y zz x y y

d jndzd

jndz

h D μ D e ε D μ D e h

hε D μ D e D μ D e h

1 1

eff 1 1 e h e hx zz y yy x zz xx x x

e h e hy y y xx y zz y y zz x

d jndz

D ε D μ D ε De e hP Pe e h μ D ε D D ε D

1 1

eff 1 1 h e h ex zz y yy x zz xx x x

h e h ey y y xx y zz y y zz x

d jndz

D μ D ε D μ Dh h eQ Qh h e ε D μ D D μ D

Matrix Wave Equation

Slide 28

We derive the matrix wave equation by combining the two block matrix equations.   First, we solve the first block matrix wave equation for the magnetic field term.

1eff

x x x

y y y

d jndz

h e eP

h e e

Second, we substitute this into the second block matrix equation.

1 1eff eff eff

22

eff eff eff2

2

2

x x x x x

y y y y y

x x x x x

y y y y y

x

d d djn jn jndz dz dz

d d djn jn ndz dz dz

ddz

e e e e eP P Q

e e e e e

e e e e ePQ

e e e e e

ee

2eff eff2

x x

y y y

dj n ndz

e eI PQe e

27

28

8/25/2019

15

Small Angle Approximation

Slide 29

Assuming the fields to not diverge rapidly, then the variation in the field longitudinally will be slow.  This means

2

2x x

y y

d ddz dz

e ee e

This means we can drop the                 term from our wave equation.2

2x

yz

ee

also called the Fresnel approximation

2

2x

y

ddz

ee

2eff eff

2eff

eff

2

12

x x

y y

x x

y y

dj n ndz

d ndz j n

e eI PQe e

e eI PQ

e e

Explicit Finite‐Difference Approximation

Slide 30

We explicitly approximate the z‐derivative with a finite‐difference.

eff

1 1 1

eff

12

12 2

i i i i i i

ddz j n

z j n

e Ae

e e A e A e

This is a standard finite‐difference evaluated at i+0.5

First, we write our matrix wave equation more compactly as

2eff

eff

1 2

x

y

d ndz j n

ee Ae e A I PQe

, 2eff ,

, x ii i i i i

y in

ee A I PQe

This term is interpolated at i+0.5.

Note: This is called the Crank‐Nicolson scheme because it is a central finite‐difference.

29

30

8/25/2019

16

Forward Step Equation

Slide 31

1 1 1

eff

1

1 1eff eff

12 2

4 4

i i i i i i

i i i i

z j n

z zj n j n

e e A e A e

e I A I A e

Solving our new equation for        leads to1ie

We now have a way of calculating the field in a following slice based only the field in the previous slice.

Backward waves are ignored in this formulation.

Note: We need to make a good guess for the value of neff.

Slide 32

Alternative Formulationsof BPM

31

32

8/25/2019

17

FFT‐BPM

Slide 33

The FFT based BPM was the first BPM.  It was essentially replaced by FD‐BPM because FFT‐BPM has the following disadvantages:

• Simulations were slow (FFTs are computationally intensive)• Discretization in the transverse dimension must be uniform • No transparent boundary condition could be used• Very small discretization widths were not feasible• Polarization cannot be treated• Inaccurate for high contrast devices• Propagation step must be small

one layer

propagate plane waves

propagate plane waves

Introduce material phase in real‐space.

Algorithm to Propagate One Layer1. FFT the fields to calculate plane 

wave spectrum.2. Add phase for one half of layer 

to plane waves according to their longitudinal wave vector.

3. Inverse FFT at mid‐point to reconstruct the real‐space field.

4. Introduce the phase due to the materials in the layer.

5. Repeat steps 1 to 3 for the second half of the layer.

M. D. Feit, J. A. Fleck, Jr., “Light propagation in graded-index optical fibers,” Applied Optics, Vol. 17, No. 24, December 1978.

Wide Angle FD‐BPM – Recurrence Formula

Slide 34

The wave equation before the small angle approximation was made was:

2

2eff eff2

12 0y y yxx xx yy yzz

j n nz z x x

This can be written more compactly as2

2eff eff2

12 0 y y y xx xx yyzz

j n A A nz z x x

We can rearrange this differential equation to derive a recurrence formula for the derivatives.

eff

eff

211

2

y y

Aj n

zj n z

eff

1eff

211

2m

m

Aj n

zj n z

33

34

8/25/2019

18

Wide Angle FD‐BPM – Padé Approximant Operators

Slide 35

We initialize the recurrence with

1

0z

0th Order (Small Angle)

eff

0 eff

1eff

21 21

2

Aj n Aj

z nj n z

1st Order (Wide Angle)

eff eff

12eff0eff

2 21 11

42

A Aj n nj Az

nj n z

2nd Order (Wide Angle)2

3eff eff eff

22eff1eff

2 2 81 11

22

A A Aj n n nj Az

nj n z

The numerator and denominator are polynomials of the operator A of orders N and D respectively.

This leads to the Padé Approximate operators denoted as Padé(N, D)

Wide Angle FD‐BPM – Implementation

Slide 36

Previously we solved                                         by setting              .  This was the small angle 

approximation.

For wide angle BPM, we instead solve                             where N(A) and D(A) are the 

polynomials of A.

This equation is usually implemented with finite‐differences using the “multi‐step” method.

2

eff2 2 0y y

yj n Az z

2

2 0y

z

yy

N Aj

z D A

G. Ronald Hadley, “Wide-angle beam propagation using Padé approximant operators,” Optics Lett., Vol. 17, No. 20, October 1992.

35

36

8/25/2019

19

Bi‐Directional BPM

Slide 37

The beam propagation method inherently propagates waves in only the forward direction.

It is possible to modify the method so as to account for backward scattered waves.

This is accomplished in a manner similar to how we derived scattering matrices.

By the time BPM is modified to be bidirectional and wide‐angle, it approaches being a rigorous method.  The implementation, however, is tedious.  At this point, use the method of lines which is fully rigorous and has a simpler implementation.

Hatem El-Refaei, David Yevick, and Ian Betty, “Stable and Noniterative Bidirectional Beam Propagation Method,” IEEE Photonics Technol. Lett, Vol. 12, No. 4, April 2000.

37