Basic on Um Complex

Anotacoes sobre numeros complexos.Rodrigo Carlos Silva de Lima

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1

Sumario1 Numeros complexos1.11.2

1.3

Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

5

Forma algebrica de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . .

Conjugado e valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11z1.2.1 Condicoes para queseja real ou imaginario puro . . . . . . . . . 14w1.2.2 Conjugado de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3

Condicao de razes conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.4

Valor absoluto-modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.5

Uso de conjugado na divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.6

Conjugado e valor absoluto da divisao . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.7

Desigualdade de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.8

Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Plano de Argand-Gauss e forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.1

1.4

3

formula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

Captulo 1Numeros complexos1.1

Numeros complexos

m Definicao

1 (Conjunto dos numeros complexos). Denimos a estrutura dos numeros

complexos, como o conjunto1C = {(x, y) x, y R}munido de duas operacoes, uma adicao denida comoz + w = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 )| {z } | {z }z

w

e uma multiplicacao, denida comoz.w = (x1 .x2 y1 .y2 , x1 .y2 + y1 .x2 ).Denotamos (1, 0) = 1 e (0, 0) = 0. Para z = (x1 , y1 ) denimosz = (x1 , y1 )e

z

1

1= =z

(

)y1x1,.x21 + y12 x21 + y12

Denotamos tal estrutura como (C, +) ou apenas C.1

Perceba que e feita associacao de C com o plano R2 .

3

CAPITULO 1. NUMEROSCOMPLEXOS

m Definicao

4

2 (Igualdade). Dois numeros complexos (x, y) e (z, w) sao iguais quando

x = z e w = y.

b Propriedade 1. (C, +, ) e um corpo, chamado de corpo dos numeros complexos. Demonstracao. A adicao e comutativa, associativa , possui elemento neutro einverso aditivo. (Provado para o Rn no texto sobre espacos vetoriais) entao, em relacao aadicao temos uma estrutura de grupo abeliano (C, +).Temos que mostrar agora que a multiplicacao tambem e um grupo abeliano . O elemento neutro da multiplicacao e (1, 0), pois

(1, 0)(x, y) = (1.x 0.y, 0.x + 1.y) = (x, y). A multiplicacao e comutativa, pois

(x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 y1 y2 , y1 x2 + x1 y2 )e

(x2 , y2 )(x1 , y1 ) = (x2 .x1 y2 .y1 , y2 .x1 + x2 .y1 )sao iguais.Perceba tambem que(x1 , 0)(x2 , 0) = (x1 x2 , 0). A multiplicacao e associativa, pois

[(x1 , y1 )(x2 , y2 )](x3 , y3 ) = (x1 x2 y1 y2 , y1 x2 + x1 y2 )(x3 , y3 ) =A

A

B

B

z }|2 {z }|4 {z }|2 {z }|4 {= (x1 x2 x3 y1 y2 x3 y1 x2 y3 x1 y2 y3 , y1 x2 x3 + x1 y2 x3 + x1 x2 y3 y1 y2 y3 )| {z }| {z }| {z }| {z }A1

A3

B1

e

B3


5

(x1 , y1 )[(x2 , y2 )(x3 , y3 )] = (x1 , y1 )(x2 x3 y2 y3 , y2 x3 + x2 y3 ) =A

A

B

B

z }|4 {z }|3 { z }|1 {z }|2 {= (x1 x2 x3 x1 y2 y3 y1 y2 x3 y1 x2 y3 , y1 x2 x3 y1 y2 y3 + x1 y2 x3 + x1 x2 y3 )| {z }| {z }| {z }| {z }A1

sao iguais

A2

B4

B3

.

Para cada elemento nao nulo z = (x1 , y1 ) existe um inverso z 1 , tal que z.z 1 = 1,

pois((x1 , y1 )

x1y1, 222x1 + y1 x1 + y12

)

(=

x21 + y12 y1 x1y1 x1, 2 2222x1 + y1 x1 + y1x1 + y12

)= (1, 0) = 1.

Falta mostrar apenas a propriedade distributiva. Sendo z = (x1 , y1 ), w = (x2 , y2 ) e

v = (x3 , y3 ) temos w + v = (x2 + x3 , y2 + y3 ) ez(w + v) = (x1 x2 + x1 x3 y1 y2 y1 y3 , y1 x2 + y1 x3 + x1 y2 + x1 y3 )porem temos tambem zw = (x1 x2 y1 y2 , y1 x2 + x1 y2 ) ezv = (x1 .x3 y1 y3 , y1 x3 + x1 y3 )entaozw + zv = (x1 x2 + x1 .x3 y1 y3 y1 y2 , y1 x3 + x1 y3 + y1 x2 + x1 y2 ) = z(w + v)entao vale a distributividade.Tem-se entao que (C, +, ) e um corpo, chamado de corpo dos numeros complexos.

m Definicao1.1.1

3 (Subtracao). Denimos a subtracao z1 z2 como z1 + (z2 ).

Forma algebrica de um numero complexo

O corpo dos numeros complexos pode ser visto como uma extensao do corpo dosnumero reais.

b

Propriedade 2. R e o conjunto A = {(a, 0) C} sao isomorfos como espacos

vetoriais.


6

Demonstracao. Denimos : R A tal que (a) = (a, 0). Tal aplicacao einjetora e sobrejetora, alem disso e linear(a) + (b) = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) = (a + b)(ca) = (ca, 0) = c(a, 0) = c(a), c R.

b Propriedade 3. R e o conjunto A = {(a, 0) C} sao isomorfos como corpos. Demonstracao. Ja vimos que a adicao e respeitada pela funcao , agora vejamoso produto(a)(b) = (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) = (a)(b).Alem disso envia unidade de R em unidade de C(1) = (1, 0)e neutro da adicao de R em neutro da adicao em C(0) = (0, 0).Entao temos uma aplicacao bijetora entre R e um subcorpo de C que preserva adicaoe multiplicacao. Entao temos uma imersao natural de R em C.

m Definicao

4. Associamos a cada numero real x o numero complexo (x, 0),(x, 0) = x.

b Propriedade 4. A soma e produto de numeros complexos e compatvel com a somae produto de numeros reais. Demonstracao. Sejam numeros reais x = (x, 0) e y = (y, 0), entao a somax + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y, logo e compatvel.O produto x.y = (x, 0)(y, 0) = (xy 0, 0.y + x.0) = (xy, 0) = xy.

m Definicao

5. Denimos i = (0, 1).


7

$ Corolario 1. Tem-se que(0, 1)(0, 1) = (0 1, 1.0 + 0.1) = (1, 0) da i2 = 1.

$ Corolario 2 (Forma algebrica). Um numero complexo z = (x, y) pode ser escritocomo(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi.Esse modo de escrever pode ser considerado mais pratico em se denotar um numerocomplexo e facilitar as operacoes.Nos reais nao existe x tal que x2 = 1 nos complexos temos solucao dessa equacao.

$ Corolario 3. Vejamos como cam as operacoes usando a forma algebrica. A formulada multiplicacao de dois numeros complexos pode ser escrita como(x1 + y1 i)(x2 + y2 i) = x1 x2 y1 y2 + (x1 y2 + x2 y1 )ipodemos efetuar as contas com as propriedades conhecidas de binomios reais e substituir i2 = 1.A adicao pode ser feita comoa + bi + c + di = a + c + (b + d)ie a igualdadea + bi = c + di a = c e b = d.

Z Exemplo 1. Vale i

4p+1

= (i2 )2p i = (1)2p .i = i. Sejank=0

ik =

in+1 1i1

por divisao Euclidiana de n por 4 tem-se n = 4p + r dan

ir+1 1ir+1 1i4p+r+1 1==(i + 1)i =i1i1(2)k=0

se r = 0 entao 4|n e

k

n

ik = 1, se r = 1 tem-se

k=0

nalmente se r = 3 tem-se

nk=0

nk=0

ik = 0.

ik = i + 1, se r = 2,

nk=0

ik = i,


8

b Propriedade 5. Sejam a e b complexos se a + b e a.b sao reais com a + b < 0 e a.b < 0entao a e b sao reais. Demonstracao. Tomando a = x1 + y1 i e b = x2 + y2 i tem-se a + b = x1 + x2 +i(y1 + y2 ) como e real devemos ter y1 + y2 = 0 e x1 + x2 < 0 pela segunda condicao. Com oproduto temos a.b = (x1 x2 y1 y2 ) + i(x2 y1 + x1 y2 ) logo x2 y1 + x1 y2 = 0 e x1 x2 y1 y2 < 0. (2) x1 x2 < y1 y2 , (1) x1 + x2 < 0. (3) x2 y1 + x1 y2 = 0 e (4) y1 + y2 = 0.

Da relacao (1) temos que x1 ou x2 , devem ser negativos, suponha que seja x1 . Se x2 = 0conclumos por (2) que 0 < y1 y2 , da ambos sao nao nulos e de (3) tem-se x1 y2 = 0 o quee absurdo. Se x2 < 0 entao 0 < x1 x2 < y1 y2 implicando que y1 e y2 tem o mesmo sinal eentao nao pode valer y1 + y2 = 0. Como nao vale x2 0 entao vale x2 > 0 e x1 < 0, logox1x1 e x2 sao distintos. Do sistema (3) , (4) conclumos que ( 1)y2 = 0, da y2 = 0 poisx2se nao x1 = x2 , de y2 = 0 segue de (4) que y1 = 0, logo ambos numeros sao reais.

b Propriedade 6. Seja

A = {

a

b

b a

a, b R}

entao (A, +, ) onde + e sao adicao e multiplicacao de matrizes e um corpo isomorfoao corpo dos complexos (C, + ). Demonstracao. Por propriedade de matrizes (A, +, ) e um anel comutativocom unidade. Todo elemento nao nulo e invertvel pois Det(A) = a2 + b2 = 0 se a ou b ezero, entao todo elemento nao nulo e invertvel logo (A, +, ) e um corpo.Denimos a funcao f : C A tal que para qualquer z = a + bi C associamos()a bf (z) =b atal funcao e um isomorsmo de corpos, pois dados z1 = a1 + b1 i e z2 = a2 + b2 i, tem-se() () ()a1 + a2 b1 + b2a1 b1a2 b2f (z1 + z2 ) ==+= f (z1 ) + f (z2 )b1 b2 a1 + a2b1 a1b2 a2


9

logo preserva a adicao.() () ()a1 a2 b1 b2 a1 b2 + b1 a2a 1 b1a2 b2f (z1 z2 ) ==.= f (z1 )f (z2 )a1 b2 b1 a2 a1 a2 b1 b2b1 a1b2 a2logo o produto e preservado, seguindo entao que temos um isomorsmo.

Z Exemplo 2. Seja

A=

cos(a) sen(a)sen(a)

cos(a)

pelo resultado anterior e isomorfo ao elemento z = cos(a)isen(a) = cos(a)+isen(a) =eia , por isso elevando tal numero `a k, da o mesmo resultado que elevar a matriz, sendoz k = eika = cos(ka) + isen(ka),que por sua vez da o resultado de Ak ,Ak =

cos(ka) sen(ka)sen(ka)

.

cos(ka)

Z Exemplo 3. O inverso de um numero complexo nao nulo z = x + iy, x, y R ex2

xiy 2= z 1 .2+yx + y2

Z Exemplo 4. Calcule (a + bi) . Temos (a + bi)2

2

= a2 + 2abi + (bi)2 = a2 + 2abi b2 .

Z Exemplo 5. Qual a condicao para que o produto de dois numeros complexos (a+bi)e (c + di) seja real?Multiplicando temos(a + bi)(c + di) = ac bd + i(ad + bc)a parte complexa deve ser nula entao ad + bc = 0.

Z Exemplo 6. Qual deve ser a condicao para que o numero (a + bi)

4

negativo, sendo a e b reais.

seja estritamente


10

Expandimos por binomio de Newton

(a + bi)4 = b4 4ab3 i 6a2 b2 + 4a3 bi + a4perceba que a nem b podem ser nulos, caso b seja nulo a4 e nao negativo o mesmo paraa = 0 implica (bi)4 = b4 . Temos que ter a parte complexa nula, logo 4a3 b = 4ab3 a2 =b2 a = b. Agora a parte real deve ser negativa, mas ela e realmente negativa poisa4 + a4 6a2 a2 < 0 2a4 < 6a4que vale, onde acima substitumos a = b.Entao os valores sao a b, a = 0.

Z Exemplo 7. Quais os possveis valores o numero complexo(

1+i n)1i

pode assumir? ( n inteiro) .Se n e par ele e da forma 2t, temos (1+i)2 = 1+2i1 = 2i e (1i)2 = 12i1 = 2i,portanto o numero e da forma

(

1 + i 2t(2i)t) == (1)t .1i(1)t (2i)t

Se n e mpar ele e da forma 2t + 1, substituindo tem-se(

1+i1 + i 2t+1)= (1)t1i1i

simplicando1+i1+i1+i2i===i1i1i1+i2entao(os valores que (

1 + i 2t+1)= (1)t i1i

1+i n) assumem sao i, i, 1 e 1 .1i


1.2

11

Conjugado e valor absoluto

Seja um numero complexo z = a + bi. Quando escrevermos dessa forma, geralmente (a nao ser que citado explicitamente o contrario), estaremos considerando a, b R.

m Definicao

6 (Parte real). Denimos a parte real de z comoRe(z) := a.

m Definicao

7 (Parte complexa). Denimos a parte imaginaria de z porIm(z) := b.

Tambem podemos chamar de parte complexa.

Z Exemplo 8. Calcule a parte real e a parte imaginaria de z1 , onde z = x + iy.Sabemos que

1xiy= 2, logozx + y 2 x2 + y 2

1xRe( ) = 2zx + y21yIm( ) = 2.zx + y2

Z Exemplo 9. Calcular a parte real e imaginaria de zz + aa , onde a R e z = x + iy.Escrevemos()za2ax+aiy=1= 1 2a=z+az+a(x + a)2 + y 2 (x + a)2 + y 21+

(x + a)(2a)2ay+i22(x + a) + y(x + a)2 + y 2

logoRe(

za(x + a)(2a))=1+z+a(x + a)2 + y 2

Im(

2ayza)=.z+a(x + a)2 + y 2


12

Z Exemplo 10. Dado z = x + yi Calcular Re(z ) e Im(z ).n

n

n ( )n(x + yi) =(yi)k xnkkk=0n

separamos os ndices em pares e mpares))n (n (nn2k+1 n2k1=(yi)x+(yi)2k xn2k =2k+12kk=0k=0())nn (nn2k+12k n2k1=i(y)(i) x+(y)2k (i)2k xn2k =2k + 12kk=0k=0))n (n (nn2k+1k n2k1=i(y)(1) x+(y)2k (1)k xn2k = a + bi2k+12k{z} |k=0{z}|k=0aR

bR

logo

)n (nRe(z ) =(y)2k (1)k xn2k2kk=0()nnnIm(z ) =(y)2k+1 (1)k xn2k1 .2k+1k=0n

Como exemplo, para n = 3 temos)n (3Re(z ) =(y)2k (1)k x32k = x3 3(y)2 x2kk=0)n (33Im(z ) =(y)2k+1 (1)k x32k1 = 3yx2 (y)3 .2k+1k=03

b Propriedade 7 (Linearidade de Re e Im). Sejam zk = xk + iyk numeros complexos,entao valemRe

(n

)zk

k=1

Im

(n

==

k=1

Demonstracao. Tomando z =

Re(zk )

k=1

)zk

n

n

Im(zk ).

k=1n

zk tem-se

k=1

z=

nk=1

zk =

nk=1

(xk + iyk ) =

n

(xk ) +i

n

(yk ) = a + bi

|k=1{z }

|k=1{z }

a

b


13

da Re(z) = a, Im(z) = b tem-se tambem Re(zk ) = xk e Im(zk ) = yk logon

Re(zk ) =

n

xk = a

k=1

k=1

n

n

Im(zk ) =

k=1

logo valemRe

k=1

(n

)zk

k=1

Im

yk = b

(n

=

Re(zk )

k=1

)zk

n

=

k=1

n

Im(zk )

k=1

isto e Re e Im comutam com o somatorio.

Z Exemplo 11. Calcule a parte real e imaginaria de1 + 3i 3().2

Escrevemos o numero na forma polar1 + 3i= (1)(cos( ) + isen( ))233elevando ao cubo e usando a formula de Moivre tem-se(cos() + isen()) = (1)(1) = 1.De maneira similar podemos calcular1 3i 61 + 3i 6() =() = cos(2) + isen(2)) = 1.22

Z Exemplo 12. Calcule a parte real e imaginaria de i

n

divisao euclidiana de n por 4, n = 4q + r e dain = i4q+r = ironde r = 0, 1, 2, 3. Temos como exemplosi0 = 1, i1 = i, i2 = 1, i3 = ii4 = 1, i5 = i, i6 = 1, i7 = ii8 = 1,

para n natural. Tomamos a


14

Z Exemplo 13. Calcular a parte real e complexa de ( 12 + i2 )

n

Escrevemos1inn( + )n = cos( ) + isen( )4422nnlogo a parte real e cos( ) e a parte complexa e sen( ).44

m Definicao

8 (Imaginario puro). z e imaginario puro Re(z) = 0, nesse caso temos

z = bi.

Z Exemplo 14. O numero 0 e um imaginario puro, pois Re(0) = 0. Alguns autorestomam o numero 0 como nao sendo imaginario puro, tomando os imaginarios puros daforma bi, b = 0.

m

Definicao 9 (Real ). z e real Im(z) = 0, nesse caso temos z = a, nesse caso

podemos dizer tambem que z e real puro .

Z Exemplo 15. 0 e o unico numero que e imaginario puro e real puro. Se z = a + bie imaginario puro entao a = 0 se e real puro entao b = 0, da z = 0.

Z Exemplo 16. Nao vale em geral que Re(a.b) = Re(a)Re(b) o mesmo em geraltambem nao vale para parte imaginaria, poisRe(i2 ) = Re(1) = 1 = Re(i)Re(i) = 0.Im(i2 ) = Im(1) = 0 = Im(i)Im(i) = 1.

1.2.1

Condicoes para que

zseja real ou imaginario purow

Z Exemplo 17. Calcule a parte real e imaginaria de xa ++ yibi .Escrevemosa + bixyi= (a + bi)( 2)=x + yix + y 2 x2 + y 2=

ax + by (bx ay)+ 2i.x2 + y 2x + y2


15

Logo temosa + biax + bya + bi(bx ay))= 2,Im()=.x + yix + y2x + yix2 + y 23 + 5iComo exemplo numerico considere z =1 + 7iRe(

Re(z) =Para que

3816, Im(z) =.5050

a + biseja real temos que terbxay = 0 e para ser imaginario puro ax+by =x + yi

0.Para o produto, temos(a + bi)(c + di) = ac bd + i(ad + bc)a parte imaginaria e ad + bc e a parte real ac bd para ser imaginario puro ac bd = 0 epara ser real ad + bc = 0.

Z Exemplo 18. Quais as condicoes para que z + z1 seja real ou imaginario puro ,respectivamente?Seja z = x + iy entao

z+

1(x2 + y 2 + 1)x + iy(x2 + y 2 1)=zx2 + y 2

para que seja real e necessario que x2 + y 2 = 1 entao o numero complexo possui modulo1. Para que fosse imaginario puro seria necessario ter x2 + y 2 = 1 o que nao e possvelcom x, y R entao devemos ter x = 0

1.2.2

Conjugado de um numero complexo

m Definicao

10 (Conjugado). Denimos o conjugado de z = a + bi comoz = a bi.

Z Exemplo 19. Se z , z1

2

C e z1 + z2 , z1 .z2 sao reais entao z1 = z2 ou z1 , z2 R.


16

Sendo z1 = x + iy e z2 = a + bi entao z1 + z2 = a + x + i(y + b), o produto ez1 z2 = ax by + i(ax + by)para que ambos sejam reais e necessario que y + b = 0 e ay + bx = 0, substituindo aprimeira na segunda tem-se b(x a) = 0, temos duas possibilidades b = 0 da y = 0 queimplicam z2 , z1 R ou x = a ainda com y + b = 0 nesse caso z1 e z2 sao conjugados.

Z Exemplo 20. Resolver a equacaoz = tzi.z = a + bi, entao a equacao ca como

a bi = ati btpor isso temos o sistema bt = a e at = b, substituindo a primeira na segunda,supondo b = 0 tem-se t2 = 1, por isso t = 1 ou t = 1. Se t = 1, b = a. Se t = 1,b = a . Caso b = 0 entao a = 0 e caso a = 0 , b = 0 entao temos todas solucoes.

b Propriedade 8 (Idempotencia).z = z. Demonstracao. Vale que z = a bi = v da v = a + bi = z, entaoz = z.

b Propriedade 9. z + z = 2Re(z). Demonstracao. z + z = a + bi + a bi = 2a = 2Re(z).

b Propriedade 10. z z = 2i Im(z). Demonstracao. a + bi (a bi) = a + bi a + bi = 2bi = 2i Im(z).


17

b Propriedade 11. Sejam zk = ak + bk i, numeros complexos, entao(n

)zk

=

k=1

(n

)zk

k=1

Demonstracao.(n

)zk

=

k=1

(n

)ak

+

(n

k=1

))() ()(nnnnzk .bk i =ak bk i =(ak bk i) =

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

b Propriedade 12.z.w = z.w. Demonstracao. Sejam z = (a+bi) e w = (c+di) entao z.w = (acbd)+(bc+ad)i, daz.w = (ac bd) (bc + ad)i, z = (a bi), w = (c di),z.w = (ac bd) (bc + ad)ientao vale a igualdade.

b Propriedade 13. Vale

n

zk =

k=1

n

zk .

k=1

Demonstracao. Por inducao sobre n, para n = 1 vale. Supondo a validade paran

n

zk =

n

k=1

k=1

n+1

n+1

zk

vamos provar para n + 1zk =

k=1

zk .

k=1

Temos quen+1k=1

zk =

(nk=1

)nnn+1zk .zn+1 =zk .zn+1 =zk zn+1 =zkk=1

k=1

k=1

.


18

$ Corolario 4. Sendo n N , vale z n = z n , poiszn

=

n

z=

k=1

n

z = zn.

k=1

b Propriedade 14. z R z = z. Demonstracao.). Se z R entao z = a + 0i logo z = a 0i = a.). Se z = z entao z z = 0 = 2iImz da Imz = 0 implicando que z R.

1.2.3

Condicao de razes conjugadas

b Propriedade 15 (Razes conjugadas). Se um polinomio p(z) =

n

ck z k tem coeci-

k=0

entes reais ck e z C e uma raiz, entao z tambem e uma raiz de p(z). Se um polinomiode coecientes reais, possui raiz compleza z, entao o conjugado de z tambem e raiz. Demonstracao. Se p(z) =

n

ck z k = 0 , podemos tomar o conjugado de 0 = 0

k=0n

ck

zk

k=0

=

nk=0

ck

zk

=

nk=0

ck

zk

=

n

ck

zk

k=0

=

n

ck z k = 0.

k=0

b Propriedade 16. Vale que ( z1 ) = z1 Demonstracao.11xyxy= 2i()=+izx + y 2 x2 + y 2zx2 + y 2 x2 + y 21xy= 2+ 2i2zx +yx + y2logo temos a igualdade.

b Propriedade 17. Se P (z) e uma funcao racional com coecientes em R, entao valeP (z) = P (z).


19

Demonstracao.n

P (z) =

k=0m

ak z kbk z k

k=0

aplicando o conjugadon

P (z) =

k=0m

n

ak z k=bk

zk

ak z k

k=0m

= P (z).bk z k

k=0

k=0

b Propriedade 18. z e imaginario puro z = z. Demonstracao. Se z e imaginario puro entao z = bi, logo z = bi = z. Sez = z entao z + z = 0, logo 2Rez = 0 implicando que Rez = 0 e z imaginario puro.

1.2.4

m

Valor absoluto-modulo

Definicao 11 (Valor absoluto-modulo). Denimos o valor absoluto ou modulo de

um numero complexo z = x + yi como|z| =

x2 + y 2 .

$ Corolario 5. O modulo de numeros complexos abrange o de numeros reais, pois sez = a + 0.i entao |z| =

a2 + 02 = a2 = |a| = |z|.

$ Corolario 6. Sendo z = a + bi entao |iz| = |z| pois |i.z| = |ia b| =

a2 + (b)2 =

a2 + (b)2 = |z|. Vale tambem que |iz| = |z| pois |i.z| = |ia+b| = (a)2 + (b)2 =a2 + (b)2 = |z|. Em especial |i| = | i| = 1.

$ Corolario 7. Vale tambem | z| = |z| pois z = a + bi, z = a bi e da | z| =

(a)2 + (b)2 = a2 + b2 .

b Propriedade 19 (Idempotencia).||z|| = |z|.


20

Demonstracao.

|z| = a2 + b2e como a2 + b2 e positivo real, entao | a2 + b2 | = a2 + b222| a + b | = ( a2 + b2 )2 = a2 + b2 .

b Propriedade 20. Valem as propriedadesRez |Rez| |z| e Imz |Imz| |z|.Seja z = a + bi, valem as desigualdades a2 < b2 + a2 e b2 < a2 + b2 , tomando a raiz deambos lados segue |a| < b2 + a2 e |b| < b2 + a2 , entaoRez |Rez| |z| e Imz |Imz| |z|pois Rez = a Imz = b e as desigualdades Rez |Rez| e Imz |Imz| sao igualdadeconhecidas de modulo de um numero real.

1.2.5

Uso de conjugado na divisao

b Propriedade 21.|z|2 = z.z.1z= 2.z|z|wEntao para calcular a divisao debasta calcularz

$ Corolario 8. Se z = 0 entao

wz.|z|2 Demonstracao. |z|2 = a2 + b2 e z.z = (a + bi)(a bi) = a2 + b2 , entao vale aigualdade.

b Propriedade 22.|z| = |z|. Demonstracao. z = a + bi entao |z| =a2 + (b)2 = a2 + b2.

a2 + b2 e z = a bi implica |z| =


21

b Propriedade 23. |z.w| = |z| |w| Demonstracao. Sendo z = a + bi, w = x + yi entao z.w = (ax by) + (ay + bx)ida |zw| = (ax by)2 + (ay + bx)2 = a2 x2 2axby + b2 y 2 + a2 y 2 + 2aybx + b2 x2 =a2 x2 + b2 y 2 + a2 y 2 + b2 x2 e|z||w| =

a2 + b2 x2 + y 2 = (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = a2 x2 + a2 y 2 + b2 x2 + b2 y 2

logo |z||w| = |zw|.zz

1z

1z

$ Corolario 9. Se z = 0 entao |1| = 1 = | | = |z|.| | da | | =

1. O mesmo valendo|z|

para z, essas propriedades implicam que|w|w=| ||z|zww= .zz

b Propriedade 24.

n

|zk | = |

n

zk |.

k=1

k=1

Demonstracao. Por inducao sobre n. Para n = 1 vale, supondo para n, vamosprovar para n + 1.|

nk=1

zk | = | (

n

k=1

zk )zn+1 | = |

n

zk ||zn+1 | =

k=1

n

|zk |.|zn+1 | = |

k=1

n+1

zk |.

k=1

$ Corolario 10. wz = wz pois wz = w z = wz.$ Corolario 11. 2Re z.w = z.w + z.w = z.w + wz.$ Corolario 12. |z + w|2 = |z|2 + 2Re z.w + |w|2 pois|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z.z + z.w + zw + w.w == |z|2 + 2Re z.w + |w|2 .

$ Corolario 13. |z w|2 = |z|2 2Re z.w + |w|2 e|z + w|2 + |z w|2 = 2(|z|2 |w|2 ).


22

$ Corolario 14 (Desigualdade triangular). Como Re z.w |z.w| entao|z|2 + 2Re z.w + |w|2 |z|2 + 2|z.w| + |w|2 = |z|2 + 2|z|.|w| + |w|2 = (|z| + |w|)2 .Entao tem-se|z + w|2 (|z| + |w|)2implicando |z + w| |z| + |w|.

$ Corolario 15. |z w| |z| + |w| pois | w| = |w| da aplicamos a desigualdadetriangular.

b Propriedade 25. Se z = x + yi e w = a + bi entaozax + byay bx= 2+i.wa + b2a2 + b2 Demonstracao.z1z.wax + byay bx=z == 2+i 2.22ww|w|a +ba + b2

b Propriedade 26. |z| = 0 z = 0. Demonstracao. Se z = 0 entao |z| =

0 = 0, se |z| = 0 entao |z|2 = 0 e da

a2 + b2 = 0, que so acontece quando a = b = 0.

b Propriedade 27. Se z = cosx + isenx para algum x entao |z| = 1. Demonstracao. |z| = cos2 x + sen2 x = 1.

b Propriedade 28. Vale a desigualdade||zn | |z|| |zn z|. Demonstracao. Por desigualdade triangular valem as desigualdades|zn | |z| |zn z| e |zn | + |z| |zn z|entao||zn | |z|| |zn z|.


Z Exemplo 21. Se z = re

i

23

entao |eiz | = ersen() . Vale

iz = ir(cos() + isen()) = ircos() rsen()entaoeiz = eircos() ersen()tomando o modulorsen()|eiz | = |eircos() | | e|rsen().{z } | = e| {z }

Z

>0

=1

Exemplo 22. Calcule o valor absoluto e conjugado dos numeros 2 + i , 3,

(2 + i)(4 + 3i).

2 + i = 2 i3 = 3.(2 + i)(4 + 3i) = 5 + 10i = 5 10i.4+1=5| 3| = 9 = 3.

| 2 + i| =

|(2 + i)(4 + 3i)| = |5 + 10i| = 5. 5

Z Exemplo 23 (ITA -questao 5- 1990- Solucao). Suponha z C com 1 + |z| = |z + 1|,z = a + bi, entao

1+

a2 + b2 = (a + 1)2 + b2

elevando ao quadrado implica1 + 2 a2 + b2 + a2 + b2 = (a + 1)2 + b2 = a2 + 2a + 1 + b2 a 2 + b2 = alogo a 0, elevando ao quadrado novamente a2 + b2 = a2 , portanto b = 0.Disso temos que Im(z) = 0 e Re(z) 0.


1.2.6

24

Conjugado e valor absoluto da divisao

Z Exemplo 24. Se z = x + yi e w = a + bi entaozax + byay bx= 2+i 2.2wa +ba + b2Com isso, podemos calcular o conjugado e o valor absolutozax + byay bx( )= 2i 22wa +ba + b2

z| |=w

(

ax + by 2ay bx 21 (ax + by)2 + (ay bx)2 .) +( 2) = 2222a +ba +ba + b2

Como exemplo numerico vamos calcular o valor absoluto e o conjugado dos numeros3iie.2 + 3i i + 3No primeiro casoz3( 2 1)(9 + 2)=+i.w1111 z1| |=(3( 2 1))2 + (9 + 2)2 .w11No segundo casoz13=i .w1010z1| |=10.w10

Z Exemplo 25. SeTemos que

m1

m1

xk am1k = z = 0 e xm am = t calcule x a.

k=0

xk am1k = z, usamos a identidade

k=0

(x a ) = (x a)m

m

m1k=0

logotxa= .z

xk am1k


25

Z Exemplo 26. Calcule a parte real e imaginaria de (1 + i) , temosn

1+inn( )n = cos( ) + isen(( ))442logo

n nnn2 cos( ) + 2 isen(( )44 n nnnportanto a parte real e 2 cos( ) e a parte imaginaria e 2 sen(( ). o conjugado n 4 n n4 nnumero e 2 .do numero e 2 cos( ) 2 sen(( )i. O modulo do n44(1 + i)n =

Z Exemplo 27. Calcule o modulo e valor absoluto de i

n

para n N.

Temos que in = ir onde r e o resto da divisao de n por 4, entao temos as possibilidades1, i, 1, iconforme o resto seja 0, 1, 2 ou 3 respectivamente que implica conjugado 1, i, 1, i.Agora o valor absoluto e 1.Como um exemplo numerico consideramos i17 , 17 deixa resto 1 na divisao por 4 entaoo numero e i e seu conjugado e i.

1.2.7

Desigualdade de Cauchy Schwarz

b Propriedade 29. Vale a desigualdade|

n

vvu nu nuuxk yk | t|yk |2 t|xk |2

k=1

k=1

k=1

para elementos xk , yk C. Demonstracao. Sejaf (t) =

n

(|xk | + t|yk |) =2

k=1

n

(|xk | + t22

k=1

n

|xk ||yk | +

k=1

n

t2 |yk |)2

k=1

vale f (t) 0, sendo uma equacao do segundo grau o discriminante e sempre negativo,logo podemos chegar emnnn(|xk ||yk |)2 |xk |2|yk |2k=1

k=1

k=1


que implican

26

vvu nu nuu|xk ||yk | t|yk |2 t|xk |2

k=1

k=1

como vale|

nk=1

xk yk |

nk=1

k=1

|xk | |yk ||{z}=|yk |

entao segue a desigualdade|

nk=1

1.2.8

vvu nu nuu2txk yk | |yk | t|xk |2 .k=1

k=1

Distancia

m Definicao

12 (Distancia). Denimos a distancia entre dois numeros complexos z1 e

z2 pord(z1 , z2 ) = |z1 z2 |.

b

Propriedade 30. A distancia dene uma metrica em C pois temos as seguintes

propriedades: Simetria

d(z1 , z2 ) = d(z2 , z1 ). Desigualdade triangular

d(z1 , z2 ) d(z1 , z3 ) + d(z3 , z2 ) Positividade

d(z1 , z2 ) 0, d(z1 , z2 ) = 0 z1 = z2 .Tais propriedades seguem das propriedades de R2 .


27

Figura 1.1: Plano de Argand-Gauss

1.3

Plano de Argand-Gauss e forma polar

m Definicao

13 (Forma polar e argumento de um numero complexo).

Como podemos representar um numero complexo z = a + bi pelo ponto P = (a, b)no plano cartesiano, a parte real a representada sobre o eixo x e a parte imaginaria brepresentada sobre o eixo y. A distancia da origem ate o ponto P e|z| = r = a2 + b2 .ba + bi, pode ser representado por r(cos() + isen() onde sen() = e cos() =a2 + b2ablogo tg() = .. o angulo se chama argumento do numero complexo a + biaa2 + b2e essa representacao se chama forma trigonometrica ou polar. Lembrando da relacaocos + isen = eiz = a + bi = r(cos + isen) = r.eise elevarmos a n temosz n = (a + bi)n = rn (cos + isen)n = rn eincomo temos ein = cos(n) + isen(n) temos assim

b Propriedade 31.

O conjunto dos pontos z tais que |z z0 | = r > 0 e uma circun-

ferencia de raio r e centro em z0 . Demonstracao. Denotando z0 = (x0 , y0 ) e z = (zx , zy )|z z0 | = r (zx x0 )2 + (zy y0 )2 = r2que sao exatamente os pontos da circunferencia de raio r e centro em z0 = (x0 , y0 ).


28

b Propriedade 32. arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2). Demonstracao. z1 = r1 ei1 , z2 = r2 ei2 , multiplicando tem-sez1 .z2 = r1 .r2 ei(1 +2 )logo arg(z1 .z2 ) = 1 + 2 = arg(z1 ) + arg(z2 ).

b Propriedade 33. arg( zz1 ) = arg(z1) arg(z2).2

Demonstracao.z1 = r1 ei1 , z2 = r2 ei2 , dividindo tem-ser1z1= ei(1 2 )z2r2da arg(

z1) = arg(z1 ) arg(z2 ).z2

Z Exemplo 28. Determine z C tal que arg(z + i) = 4 e |z| = 2.Seja z = a + bi, entao |z| =

a2 + b2 = 2 implicando a2 + b2 = 4. z + i = a + (b + 1)i

o argumento nos daa21(b + 1)2(b + 1)2===a2 + (b + 1)22a2 + (b + 1)25 + 2b2222pois a2 + b2 = 4 , segue que a = (b + 1) e da (b +1) + b = 4, de onde tiramos1 + 71+ 7as solucoes b =e por conseguinte a =como uma das solucoes z =2 21 + 7 1 + 7+i.22

1.3.1

b

formula de De Moivre

Propriedade 34 (Primeira formula de De Moivre). Sendo z = (cos() + isen())

entaoz n = rn [(cos(n) + isen(n)]porem vamos provar esse resultado por inducao. Demonstracao.Para n = 0 temos(a + bi)0 = 1 = r0 [(cos(0) + isen(0)] = [1 + i0] = 1


29

tomando agora o resultado valido para nz n = rn [(cos(n) + isen(n)]vamos provar para n + 1z n+1 = rn+1 [(cos((n + 1)) + isen((n + 1))]como z n+1 = z n .z temosz n+1 = rn [(cos(n) + isen(n)] r [(cos() + isen()] =rn+1 [cosn.cos senn.sen + i(sencosn + senn.cos)]lembrando que cos(n + 1) = cos(n + ) = cosn.cos senn.sen e sen(n + 1) =sen(n + ) = senncos + sen.cosn substituindo temos= rn+1 [cos(n + 1) + isen(n + 1)].

$ Corolario 16. Em geral em

n

zk

k=1

com zk = rk eik , tem-sen

zk = (

Isso implica que arg(

rk )(

zk ) =

n

n

ik

e )=(

n

rk )(e

i(

nk=1

k )

).

k=1

k=1

k=1

k=1n

n

arg(zk ). Em especial

k=1

k=1

arg(

n

z) = arg(z n ) =

k=1

n

arg(z) = narg(z).

k=1

Tomando z = rei , temosn

n

z=z =(

k=1

n

r)(e

i(

n

k=1

)

) = rn (ei(n) ) = rn (cos(n) + isen(n))

k=1

provando a formula de De Moivre.

$ Corolario 17.|cos(x) + isen(x)| =

cos2 x + sen2 x = 1 = 1.


30

12Exemplo 29. z = 1 + i, tem-se cos() = == sen(), logo arg(z) = .242Exemplo 30 (ITA 2009- Questao 4- Solucao). Se a = cos( ) e b = sen( ) entao55 54calcule [cos( ) + sen( )] .55Pela formula de de Moivre, temos

Z

Z

5454[cos( ) + sen( )]54 = [cos() + sen()] =555555 55 ) + sen( )] =5555= cos(11) cos( ) + sen(11) sen( ) + i sen(11) cos( ) icos(11) sen( ) = a + bi.| {z } | {z5 } | {z }| {z }55| {z 5 }= [cos(

1

b

0

a

0

b

Propriedade 35. O ponto z e a reexao do ponto z em torno do ponto x. (fazer

gura). Demonstracao.

1.4

Razes

b Propriedade 36 (Razes complexas n-esimas). Todo numero complexoz = r(cos() + isen()) = 0possui exatamente n razes complexas n-esimas w, que satisfazem wn = z para cadanumero natural n 1, dadas por1

zk = r n [cos(

+ 2k + 2k) + isen()]nn

k [0, n 1]N . Demonstracao. Queremos determinar os valores de w = p(cos() + isen()) taisque z = wn . Tem-sewn = pn (cos(n) + isen(n)) = z = r(cos() + isen())


31

+ 2k,nk Z. De k = 0 ate n 1 temos argumentos distintos e numeros complexos distintos , pois os argumentos estao entre [ , + 2), para outros valores de k se recamos nestesn nja citados pois k = nq + r onde 0 r < n pela divisao euclidiana1

da pn = r, p = r n , cos(n) = cos() , sen(n) = sen(), n = + 2k, =

+ 2k + 2r=+ 2q.nn

Z Exemplo 31. Em especial temos as razes da unidade , que sao razes da equacaoz n = 1, dadas porcos(

2k2k) + isen(), k [0, n 1]N .nn

Z Exemplo 32. Calcule as razes da equacao z

p = 0 onde p > 0.(2k)(2k)As razes serao dadas por zk = 4 p(cos+ isen).44z0 = 4 p(2)(2)+ isen)=i4p44(4)(4)z2 = 4 p(cos+ isen)=4p44(2.3)(2.3)z3 = 4 p(cos+ isen) = i 4 p.44z1 =

4

4

p(cos


3 = 0.(2k)(2k)4As razes serao dadas por zk = 3(cos+ isen).444z0 = 34

4z1 = i 34z2 = 34z3 = i 3.


8

14z 4 + 48 = 0. Tomamos w = z 4 e

da a equacao ca w2 14w + 48 = 0 cujas razes sao w1 = 8 e w2 = 6. As razes sao

z0 =

48


32

4z1 = i 84z2 = 84z3 = i 8z4 =

46

4z5 = i 64z6 = 64z7 = i 6.

Z Exemplo 35. Calcule as razes da equacaoz 2 + (1 2i)z + (1 + 5i) = 0.Temos = (1 2i)2 4(1 5i) = 3 4i 4 + 20i = 7 + 16i logo os valores sao dadospor

(1 2i) 7 + 16iz=.2

b Propriedade 37. Se ez = 0 e C tal que ez+ = ez entao = 2ki, k Z. Demonstracao. = a + bi, daez+ = ez e = ez e = 1pois ez = 0 e invertvel. Entao segueea ebi = 1como a funcao de lei ex e injetora, segue que a = 0, daebi = cos(b) + isen(b) = 1implicando que cos(b) = 1 e sen(b) = 0 que implica b = 2k, entao = 2k.i.

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