Upload
vokien
View
288
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Outline
BAB 2. RELASI
Jurusan Teknik Informatika
Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember
18th October 2016
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Outline
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
Relasi n-ary
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
Relasi n-ary
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang
lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2
himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan
terurut diperoleh dari perkalian kartesian.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.
4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.
5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.
4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.
5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.
4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.
5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.
4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.
5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.
4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.
5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .
2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).
3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.
4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.
5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Contoh
Misalnya variabel x dan y adalah bilangan real dalam interval tertutup [x1, x2]
dan [y1, y2], sehingga : X = [x1, x2] dan Y = [y1, y2]
maka:X × Y = {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2)}Y × X = {(y1, x1), (y1, x2), (y2, x1), (y2, x2)}X × X = {(x1, x1), (x1, x2), (x2, x1), (x2, x2)}Y × Y = {(y1, y1), (y1, y2), (y2, y1), (y2, y2)}maka relasi R antara elemen-elemen dalam himpunan X danY adalah R ⊆ X × Y . Pasangan - pasanan elemen dalam Rmenggambarkan relasi, karena ada 2 himpunan yang terlibatdalam relasi, maka relasi demikian disebut relasi binary.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
Relasi n-ary
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Pemetaan
Pemetaan adalah paparan visual relasi dengan menghubungkan anggotas
suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain, sebagai contoh :
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Koordinat
Relasi dapat dipaparkan menggunakan koordinat sebagai contoh :
R = {(Microsoft , Windows), (IBM, Os/2), (Macintosh, MacOS)}
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Matriks
Relasi dapat dipaparkan melalui sebuah matriks yaitu dengan nilai 1 apabila
ada relasi antara 2 elemen pasangan terurut, atau 0 apabila tidak ada relasi
antara 2 elemen pasangan terurut, sebagai contoh :
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)
4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)
4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)
4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)
4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)
4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)
4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
4. Graf berarah
Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d , b)} adalah
relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah
sbb:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
Relasi n-ary
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Refleksif reflexive
a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A
b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan(4, 4)X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} tidakbersifat refleksif karena (3, 3) 6∈ R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Refleksif reflexive
a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A
b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan(4, 4)X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} tidakbersifat refleksif karena (3, 3) 6∈ R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Refleksif reflexive
a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A
b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan(4, 4)X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} tidakbersifat refleksif karena (3, 3) 6∈ R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Refleksif reflexive
a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A
b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan(4, 4)X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} tidakbersifat refleksif karena (3, 3) 6∈ R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Refleksif reflexive
a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A
b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan(4, 4)X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} tidakbersifat refleksif karena (3, 3) 6∈ R.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitive
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitive
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitive
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitive
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitive
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitivecontoh 1 :
X R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} bersifatmenghantar. Lihat tabel berikut:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitivecontoh 1 :
X R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} bersifatmenghantar. Lihat tabel berikut:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitivecontoh 1 :
X R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} bersifatmenghantar. Lihat tabel berikut:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Menghantar Transitive
contoh 1 :
X R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak manghantar karena(2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) 6∈ R, begitu juga (4, 2) dan(2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) 6∈ R.X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} jelas menghantar.X Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R
3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup
4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R
3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup
4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R
3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup
4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R
3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup
4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R
3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup
4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.
2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.
3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup
4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.
2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.
3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup
4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.
2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.
3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup
4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.
2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.
3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup
4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka
1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.
2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.
3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup
4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yangelemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yangelemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yangelemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yangelemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yangelemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
Relasi n-ary
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Relasi Inversi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi
R, dilambangkan dengan R−1 , adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan
oleh
R−1 = {(a, b)|(a, b) ∈ R}Contoh: Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jikakita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika phabis membagi q maka kita perolehR = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}R−1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan(q, p) ∈ R−1 jika q adalah kelipatan dari p, maka diperoleh:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
1. Relasi InversiJika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R
M =
1 1 1 0 00 0 0 1 11 1 1 0 0
maka matriks yang merepresentasikan relasi R−1, misalkan N,diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M
M =
1 0 11 0 11 0 10 1 00 1 0
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi
himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua
relasi atau lebih juga berlaku.
Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,
maka R1 ∩R2, R1 ∪R2, R1 −R2 , dan R1 ⊕R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi
himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua
relasi atau lebih juga berlaku.
Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,
maka R1 ∩R2, R1 ∪R2, R1 −R2 , dan R1 ⊕R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
2. Mengkombinasikan Relasi
ContohMisalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}R1 ∩ R2 = {(a, a)}R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Komposisi Relasi
ContohMisalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah
relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan
dengan S ◦ R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
S ◦ R = {(a, c)|a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapab ∈ B, (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }Contoh:Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalahrelasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} danS = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi darihimpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t , u}Maka komposisi relasi R dan S adalahS ◦ R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Komposisi Relasi
ContohKomposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram
panah:
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Komposisi Relasi
ContohMisalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
R1 =
1 0 11 1 00 0 0
dan R2 =
0 1 00 0 11 0 1
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
3. Komposisi Relasi
Contohmaka matriks yang menyatakan R2 ◦ R1 adalah
MR2◦R1 = MR1 · MR2
=
1 1 10 1 10 0 0
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
Relasi n-ary
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buahhimpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener)
3 Misalkan A1, A2, ..., An adalah himpunan. Relasi n-ary R padahimpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dariA1 × A2 × ... × An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × ... × An .Himpunan A1, A2, ..., An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buahhimpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener)
3 Misalkan A1, A2, ..., An adalah himpunan. Relasi n-ary R padahimpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dariA1 × A2 × ... × An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × ... × An .Himpunan A1, A2, ..., An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buahhimpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener)
3 Misalkan A1, A2, ..., An adalah himpunan. Relasi n-ary R padahimpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dariA1 × A2 × ... × An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × ... × An .Himpunan A1, A2, ..., An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buahhimpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener)
3 Misalkan A1, A2, ..., An adalah himpunan. Relasi n-ary R padahimpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dariA1 × A2 × ... × An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × ... × An .Himpunan A1, A2, ..., An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Contoh:MisalkanNIM= {13598011, 13598014, 13598015, 13598019,
13598021, 13598025}Nama= {Amir , Santi , Irwan, Ahmad , Cecep, Hamdan}MatKul= {MatematikaDiskrit , Algoritma, StrukturData,
ArsitekturKomputer}Nilai= {A, B, C, D, E}Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai):MHS ⊆ NIM × Nama × MatKul × Nilai
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-aryBeberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yangmemenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita inginmenampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliahMatematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”MatematikaDiskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksi Π memilih kolom tertentu dari suatu tabel.Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satukali.
3 Join : Operasi join Γ menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bilakedua tabel mempunyai atribut yang sama.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yangmemenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita inginmenampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliahMatematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”MatematikaDiskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksi Π memilih kolom tertentu dari suatu tabel.Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satukali.
3 Join : Operasi join Γ menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bilakedua tabel mempunyai atribut yang sama.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yangmemenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita inginmenampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliahMatematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”MatematikaDiskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksi Π memilih kolom tertentu dari suatu tabel.Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satukali.
3 Join : Operasi join Γ menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bilakedua tabel mempunyai atribut yang sama.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT
Relasi
Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary
Relasi n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yangmemenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita inginmenampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliahMatematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”MatematikaDiskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksi Π memilih kolom tertentu dari suatu tabel.Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satukali.
3 Join : Operasi join Γ menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bilakedua tabel mempunyai atribut yang sama.
Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT