UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA

A O D E L A U N IO N N A CIO N AL F REN T E A LA C R I S I S E X TE R N A

CURSO TEMA INTEGRANTES

: : :

CALCULO NUMERICO INTERPOLACION B-SPLINE 2D FLORES LUJAN, JOSEPH EDWARD TORRES SIMBRON, KAROL TORRES CUYA ESPINOZA, LILIANA

DOCENTE CICLO

: :

LIC. LUIS ROCA GALINDO V

INTERPOLACION B-SPLINE 2D

CALCULO NUMERICO

Vi ll a El Sal vador Per 2009

INDICE

ndice ................................ ................................ ................................ ............................ 2 Introduccin ................................ ................................ ................................ ................. 3 Capitulo 1: B-SPLINE ES UN SPLINE? ................................ ................................ ... 4 1.1. B-Spline no racionales y uniformes ................................ ....................... 6 1.2. B-Spline no racionales y no uniformes................................ ................... 8 1.3. B-Spline racionales y no uniformes ................................ ..................... 11 Capitulo 2: TIPOS DE B-SPLINE . 132.1. B-Spline Uniforme ................................ ................................ .............. 14 2.2. B-Spline Cardinal ................................ ................................ ................ 14 2.3. B-Spline Constante................................ ................................ .............. 15 2.4. B-Spline Lineal ................................ ................................ ................... 16 2.5. B-Spline Cuadrtica uniforme ................................ ............................. 16 2.6. B-Spline Cubica ................................ ................................ .................. 17 2.7. B-Spline Cubica Uniforme ................................ ................................ .. 18

Capitulo 3: B-SPLINE EXPRESADO ANALITICAMENTE ................................ .. 19 3.1. Definicin recursiva de los B-Spline ................................ ................... 19 3.2. Fundamento del algoritmo BFEA ................................ ........................ 20 3.3. Algoritmo BFEA para generar la expresin analtica de los B-Spline... 24 3.4. Realizacion de un B-Spline ................................ ................................ . 18 3.5. Algoritmos ................................ ................................ .......................... 28 Capitulo 4: EXPRESIONES ANALITICAS DE LAS CURVAS B-SPLINE ........... 30 4.1. Definicin recursiva de las curvas de B-Spline ................................ .... 31 4.2. Definicin de polgonos de control ................................ ...................... 31 4.3. El algoritmo BFEA en la obtencin de las expresiones analticas de las curvas de b-Spline ................................ ................................ ..................... 32 Bibliografa/Linkografa ................................ ................................ ............................ 332

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INTRODUCCION

L

a construccin de curvas de forma libre en un ambiente industrial se remonta a la poca Romana, con la construccin martima. Los lados de una nave producidas con

tablones de madera deban producirse con plantillas que pudieran usarse muchas veces. Hasta esta poca no existi ningn dibujo para definir el casco de una nave, estos se hicieron populares en Inglaterra all por el ao 1600. Y probablemente en aquella poca se invent el clsico spline definido como una tira flexible de madera o caucho usada para dibujar curvas lisas. Posteriormente, en los aos cincuenta, dos matemticos franceses (Paul de Faget de Casteljau y Pierre Bzier) trabajando en forma independiente llegaron a resultados similares descubriendo as las hoy conocidas curvas de Bzier. El descubrimiento de estas curvas fue de tal trascendencia que su uso en el diseo se adopt a nivel mundial. Posteriormente se mejoran los resultados obtenidos con las curvas de Bzier al descubrirse su generalizacin: las curvas de B-splines (nombre corto para Basis Splines o Spline Bsico). Alrededor de los aos sesenta, deBoor empez a trabajar para los laboratorios de investigacin de la General Motors usando en este trabajo los B-splines para efectuar representaciones geomtricas. Ms tarde se vuelve uno de los ms arduos propulsores de los B-splines en la teora de aproximacin. La evaluacin recursiva de las curvas B-splines se debe a l y en la actualidad se conoce como el algoritmo de deBoor. Esta evaluacin recursiva fue descubierta en forma independiente por deBoor, L. Mansfield y M. Cox. Gracias a esta evaluacin recursiva los B-splines se convierten en una 3

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herramienta viable en CAGD Computer Aided Geometric Design (Diseo Geomtrico Asistido por Computadora), ya que antes de su descubrimiento los B-splines se definieron usando un tedioso mtodo de diferencias divididas que era muy inestable.

CAPITULO

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B-SPLINE ES SPLINE?

E

n el campo matemtico del anlisis numrico, los splines son una familia de curvas que permiten definir segmentos de curva con gran precisin y trazado muy suave. Son de gran utilidad en aplicaciones para el diseo de superficies.

Se distinguen varios tipos de splines, el primer tipo son los splines cbicos naturales, que se corresponden con la representacin matemtica de la definicin de spline. Tambin existe una subfamilia de splines llamada B-Splines, dentro de esta familia se distinguen los splines no racionales y uniformes, los splines racionales y no uniformes y los splines no racionales y no uniformes. Los otros dos tipos de splines que se tratarn son los splines de CatmullRom y los Beta-Splines. Pero en esta ocasin nuestro estudio enfoca la subfamilia de splines llamada B-Spline. Los B-Splines son un conjunto de segmentos curvos definidos por una serie de puntos de control. Cada segmento est afectado por 4 puntos de control que son compartidos por los segmentos adyacentes de forma que se establece continuidad entre los mismos. Por lo tanto, en los B-Splines disponemos de control local sobre la curva, es decir, si se mueve un punto de control, slo es necesario redibujar una pequea parte de la curva.

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Como cada curva est definida por 4 puntos de control, cada punto de control tiene influencia sobre el segmento de curva. Moviendo un punto de control en una determinada direccin se mueven el segmento en la misma direccin en la que se mueve el punto quedando el resto de segmentos (resto de la curva) inafectados.

Una propiedad importante de estos splines es el llamado convex hull. El convex hull es el recinto que se origina al unir los puntos de control de forma que el segmento de curva permanece en su interior.

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Si todos los puntos de control son iguales el convex hull es un cuadriltero, en cambio, si se repinten dos puntos de control, entonces el spline pasar muy cerca del punto repetido y el convex hull pasa a ser un tringulo. El convex hull pasa a ser una recta y el spline pasa sobre el punto de control repetido. Esta es una posible tcnica para conseguir que el spline interpole puntos de control, no obstante el precio a pagar es la reduccin de la continuidad y, por lo tanto, curvas con trazado ms brusco. Es importante destacar que cuanto mayor es la continuidad (se repiten menos puntos de control) menos control existe sobre por donde va a pasar la curva. Existen varios tipos de B-Splines atendiendo a si son o no uniformes y si son o no racionales. El trmino uniforme significa que los nodos son equidistantes, o lo que es lo mismo, la distancia entre las t es la misma. El trmino racional indica que el spline emplea coordenadas homogneas, si no es uniforme, entonces se utilizan coordenadas cartesianas.

1.1. B-SPLINES NO RACIONALES Y UNIFORMESUn segmento Qi comienza cerca de Pi2 y termina cerca de Pi1. Cada segmento comparte 3 puntos de control con el contiguo, lo que permite continuidad paramtrica. Como cada segmento de curva est definido por cuatro puntos de control, al mover un punto de control en una direccin, se mueven los 4 segmentos de curva adyacentes en esa 6

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misma direccin. Esto no se cumple en los extremos de la curva cuando el spline no e s cerrado. Esta propiedad recibe el nombre de control local y es comn en todos los BSplines. Para el caso de los B-Splines no racionales y uniformes, existe una ecuacin para cada uno de los segmentos:

Qi ( t ) ! Ti M BS G BSi ,donde:

ti e t

t i 1

y

Ti ! t ti

?

3

t ti 2

t ti 1

A

G BSiy

Pi 3 P ! i2 Pi 1 Pi 1 3 3 1 3 6 3 ! 6 3 0 3 4 1 1

M BSy

1 0 0 0

Para dibujar toda la curva se aplica la ecuacin anterior para todos los puntos de control, es decir, para 3