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Comunicación b-Learning y Geometría en 6º de Primaria:
Un taller con GeoGebra, Blogs e iTest
15 JAEM: Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Julio 2011
b-Learning y Geometría en 6º de Primaria:
Un taller con GeoGebra, Blogs e iTest Nuria Joglar Prieto; José Mª Sordo Juanena
email: [email protected]; [email protected]
Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas, CES Felipe II - Universidad Complutense de Madrid;
Departamento de Didáctica de las Matemáticas, Facultad de Educación - Universidad Complutense de Madrid
RESUMEN
Las tecnologías de la información y de la comunicación de la web 2.0 están llegando a los centros educativos de nuestro país permitiendo el diseño y la implantación de nuevos entornos de aprendizaje con un gran potencial didáctico y tremendamente motivadores para los alumnos. En este artículo se describe y analiza la puesta en marcha de un taller piloto de Geometría con los alumnos de 6º de primaria de un colegio de Aranjuez en el que se ha creado un ambiente de blended learning al combinar con el método tradicional tres herramientas informáticas gratuitas y de manejo sencillo: GeoGebra (Geometría Dinámica), Blogger (creación de blogs para comunicarse) e iTest (evaluación formativa online).
Palabras clave: Didáctica de la Geometría en Primaria, GeoGebra, Blended Learning, Uso de blogs en la enseñanza, Evaluación formativa online en matemáticas, Design based research.
Introducción
Con las nuevas formas de entender la comunicación en la actualidad se está democratizando el acceso a la información (lo cual no implica la obtención directa de conocimiento) y también a las herramientas de software educativo, lo que tiene un potencial enorme si es incorporado adecuadamente en los entornos de aprendizaje (véase por ejemplo el programa Escuela 2.0 del Instituto de Tecnologías Educativas del Ministerio de Educación, http://www.ite.educacion.es/es/escuela-20).
La tecnología da autenticidad a las tareas del aula porque los resultados que obtienen los alumnos están más pulidos y además, los estudiantes al usar las mismas herramientas tecnológicas que los mayores se sienten más motivados. La web 2.0 nos permite alcanzar grados de comunicación con los estudiantes, entre los estudiantes y entre la escuela y las familias nunca conseguidos con anterioridad. El potencial didáctico que tiene para los educadores esta nueva filosofía de compartir online es ciertamente enorme. Este tipo de entornos de aprendizaje donde se combinan actividades presenciales y actividades de e-learning se denominan entornos de blended learning (formación combinada) y encajan mejor dentro de los nuevos contextos de comunicación que hemos comentado y en los que la mayoría de los jóvenes se mueven en la actualidad. El aspecto motivador del uso de actividades de formación combinada en la escuela es indiscutible.
Particularmente relevante es el uso de herramientas de software educativo en áreas donde la visualización y la manipulación de los objetos juegan un papel imprescindible. Este es el caso del quehacer matemático, especialmente en Geometría, donde se debe promover la experimentación para ganar intuición y establecer conjeturas que, posteriormente y en algunas ocasiones, pueden ser incluso demostradas automáticamente con la ayuda de ciertas aplicaciones informáticas.
Para favorecer la continuación del trabajo del aula en casa es deseable que las herramientas de software educativo empleadas en los nuevos entornos sean de libre distribución y tengan interfaces amigables. Además, dentro de la comunidad educativa, hay en la actualidad un fuerte movimiento a favor de este tipo de herramientas informáticas y que promueve la creación de comunidad para compartir materiales y facilitar la formación continua de los usuarios (profesores en este caso). Dentro de este movimiento, nosotros hemos elegido la herramienta de libre distribución GeoGebra (véase http://www.geogebra.org/cms/) como eje de un taller de Geometría que a modo experiencia piloto se ha diseñado e implementado con los dos grupos de alumnos de 6º curso de educación Primaria en un colegio público de la localidad madrileña de Aranjuez. Como medio de comunicación entre los alumnos y entre los alumnos y los profesores, decidimos crear un blog con la herramienta gratuita Blogger de Google. Y, finalmente, para monitorizar el proceso de aprendizaje se llevarán a cabo pruebas finales online multimedia con la herramienta de evaluación iTest (véase http://www.itest.es/) a final de curso. En este artículo se describe y analiza la experiencia piloto que hemos llevado a cabo a través de este taller de geometría dentro de un entorno de aprendizaje de B-learning.
Estos nuevos entornos de aprendizaje permiten de forma sencilla la atención a la diversidad y favorecen el trabajo autónomo de los estudiantes despertando en ellos el espíritu crítico y de superación al ser posible incorporar tareas formativas de auto-evaluación, individualizadas si es necesario, como parte de las actividades online, en nuestro caso gracias a la herramienta iTest. A través de este tipo de tareas no solo reciben alimentación los estudiantes, sino también los profesores, permitiéndoles esta información refinar su metodología docente elaborando nuevos materiales y perfilando trayectorias para que el proceso de enseñanza-aprendizaje resulte eficaz. De esta manera, en los nuevos entornos de aprendizaje ya no tiene sentido la evaluación sumativa, sino que aparece de manera natural la evaluación formativa: las propias actividades de evaluación (y auto-evaluación) son fuentes para adquirir conocimientos y destrezas, y para recibir alimentación continua del proceso educativo.
Es fundamental aprender de los errores propios (y de los de los compañeros) para progresar en la adquisición de conocimientos y destrezas en Matemáticas. ¿Por qué no promover el ensayo-error, además de en los juegos de ordenador, en el aula de matemáticas haciendo ver a los alumnos que este método ha sido siempre central en el desarrollo de los conceptos matemáticos desde la investigación formal? En este sentido, el manejo de GeoGebra e iTest con la pizarra digital favorece esta metodología de trabajo en el aula y fuera de ella y
complementa el trabajo más individualizado en el aula informática donde cada alumno trabaja en su PC.
Somos conscientes de que enseñar matemáticas, y más concretamente, en entornos tecnológicos, no es una tarea fácil en especial en educación primaria [1]. En este sentido, es fundamental que existan buenos programas de formación inicial y continua de profesorado y dentro de estos programas es imprescindible poder llevar a cabo talleres piloto, como el que presentamos en este artículo, en aulas reales para poder poner en práctica las propuestas teóricas de manera controlada antes de decidir si el aprendizaje de las matemáticas mejora con los aspectos innovadores introducidos en la propuesta. La colaboración entre maestros y profesores en activo con investigadores en educación matemática es esencial [2, 3, 4] dentro del marco aquí señalado. Somos conscientes de que esta colaboración es difícil de coordinar dados los horarios poco flexibles en general en la escuela, la disposición de las nuevas tecnologías y de los recursos necesarios en la escuela o en casa y los temarios oficiales que se deben cubrir. En general, hay mucha presión sobre los tutores de primaria, especialmente en el último curso, por cubrir el temario oficial y esto hace que en muchas ocasiones no se tenga la flexibilidad necesaria para intercalar los talleres experimentales en colaboración con expertos en didáctica de la universidad en aulas reales.
Para diseñar, implementar y analizar los resultados de las actividades llevadas a cabo en una experiencia piloto inicial dentro del marco planteado y que se describe en este artículo, hemos seguido la metodología de investigación design-based-research, que en los últimos años se está utilizando especialmente en el diseño y el desarrollo entornos de aprendizaje enriquecidos con tecnologías. Esta metodología permite, por una parte la colaboración entre investigadores y profesores en activo y, por otra, la revisión del modelo planteado tras la obtención de resultados [5].
En este sentido nosotros hemos planteado tres fases en este trabajo inicial. Las dos primeras se han llevado a cabo durante los dos primeros trimestres del curso 2010-11 y la tercera se encuentra todavía en desarrollo y finalizará en el tercer trimestre del citado curso:
1. Fase 1: fase de observación y formulación de hipótesis siguiendo teorías conocidas dentro del área de investigación en educación matemática y nuestras observaciones. En esta fase llevamos a cabo una actuación de 4 sesiones de 45 minutos cada una, con los dos grupos de 6º de primaria (46 alumnos) en el aula informática del colegio con la colaboración del asesor TIC del centro. Nuestra intención era observar cómo trabajan los alumnos habitualmente en sus clases y ver qué tipo de errores presentan en sus concepciones geométricas y en sus formas de comunicación verbal, tanto oral como escrita [6]. Buscamos un análisis de la situación en la didáctica de la Geometría en esos grupos de alumnos en colaboración con el profesor de Informática del centro y de los tutores. En paralelo a este trabajo de observación, comenzamos el diseño de actividades y realizamos la formulación de nuestras hipótesis.
2. Fase 2: fase de diseño e implementación de las actividades diseñadas como primera acción hacia la búsqueda de soluciones a los problemas detectados en la Fase 1. Esta fase se lleva a cabo en 4 sesiones de 45 minutos cada una con cada uno de los dos grupos y se desarrollan alternativamente en el aula con la pizarra digital o en el aula informática del centro. Como complemento a las actividades “tecnológicas” desarrolladas, se plantean actividades manuales de recortado, dibujo en papel. En esta fase se producen ciclos de refinamiento de las actividades propuestas en base a las observaciones realizadas durante las mismas por los investigadores y los profesores.
3. Fase 3: fase de reflexión y análisis de los resultados. Se realiza en el tercer trimestre del curso y en la misma se seguirán proponiendo a través del blog actividades de auto-evaluación formativa desde casa utilizando iTest y GeoGebra. Los investigadores ya no intervienen físicamente en la escuela. Se utilizarán los resultados de esta fase para refinar el diseño completo del taller de cara a su implantación más exhaustiva el curso próximo en el centro con los nuevos alumnos de 6º o incluso se planteará la intervención en cursos menos avanzados como 4º de primaria donde se comienza el estudio de los ángulos y los polígonos.
Con las actividades de la Fase 2, el alumno pasará gradualmente por todas las etapas del quehacer matemático: exploración, experimentación hasta la conjetura y final demostración. Además, se trabajarán todas las competencias del lenguaje natural oral y escrito de manera transversal en el aula y a través del blog. Recordemos que los estudios oficiales realizados sobre las competencias matemáticas de los estudiantes de último ciclo de educación primaria y primer ciclo de educación secundaria, apuntan en los últimos años la falta de comprensión lectora como una de las barreras en el aprendizaje matemático.
El resto del artículo se estructura de la siguiente manera. En la primera sección describimos la Fase 1 y tras la primera valoración de nuestras observaciones, planteamos las hipótesis de nuestro trabajo. En la segunda sección incluimos las actividades desarrolladas en la Fase 2 de nuestro experimento de cara a contrastar nuestras hipótesis. Para terminar, en la tercera sección incluimos los resultados del análisis inicial de la Fase 3 anteriormente citada, así como las primeras conclusiones del primer ciclo de nuestro trabajo en progreso que como hemos comentado se utilizarán como punto de partida para el diseño y la propuesta de nuevas actividades.
Fase1: Fase de observación
En esta sección se incluyen los detalles de la primera fase del Taller de Geometría b-Learning descrito en este artículo. Durante esta primera fase, que es la fase de observación o fase de anticipación, hemos observado con la ayuda del profesor de Informática del centro cómo responden los dos grupos de alumnos de 6º curso de primaria en el aula informática del centro ante la presentación de contenidos de Geometría utilizando GeoGebra y un blog. Se plantea el blog desde el comienzo como un repositorio, como diario del taller y como medio de comunicación.
Dónde y cómo se desarrolla la Fase 1
La fase 1 se organizó en 4 sesiones que se desarrollaron en el aula informática del centro. Cada grupo de alumnos tiene asignada una sesión semanal en el aula informática a cargo del profesor de Informática, de 45 minutos los viernes después del recreo (el grupo B a 4ª hora, y el grupo A a 5ª hora). En esta hora semanal, los alumnos trabajan de manera individual contenidos de todas las asignaturas gracias a la coordinación del profesor de Informática y los tutores, y aprenden también nociones de ofimática. Además, en varias ocasiones estos alumnos han realizado ya en el pasado pruebas de auto-evaluación online a través de iTest en las asignaturas de matemáticas y de inglés, con lo que conocen perfectamente el funcionamiento de esta herramienta. Esta organización del centro favoreciendo el acceso de todos los alumnos por igual al aula informática y de manera coordinada entre el asesor TIC del centro y los tutores, hace que la propuesta que hemos planteado sea viable desde el punto de vista tecnológico, es decir, las herramientas tecnológicas utilizadas en el taller no supondrán una barrera para el aprendizaje de las matemáticas. Este aspecto es fundamental a la hora de trabajar en los nuevos entornos de aprendizaje con tecnologías.
Figura 1. Estudiantes en el Aula Informática del CP San José de Calasanz: Fase 1
En cada una de las sesiones, uno de los investigadores plantea a los alumnos una cuestión de Geometría plana sin usar medida utilizando el programa GeoGebra. Para que la comunicación sea más precisa y ordenada, y valorar también sus competencias en leguaje escrito, se enseña a los alumnos a introducir comentarios a través del blog creado para el taller por los
investigadores con la herramienta gratuita de Google Blogger. Los alumnos “hacen” tareas de manera individual y en grupos de 3-4 alumnos durante más del 50% del tiempo de cada sesión. Los investigadores utilizan el blog además como diario de las sesiones (http://geogebra-sanjoca.blogspot.com/) y como herramienta de comunicación animando a los alumnos a revisarlo desde casa y a participar a través de los comentarios (con poco éxito desde casa). Se utiliza el “juego de los mensajes” en la pizarra tradicional y con GeoGebra (texto-dibujo-texto).
Figura 2: El Blog
Hemos trabajado en esta fase inicial con actividades sobre la percepción, la descripción, la construcción y la demostración en situaciones problema, utilizando los saberes de la institución escolar Colegio San José de Calasanz. Algunos de los contenidos a tratar han sido no formales, es decir que no estaban incluidos en la programación oficial del centro.
En concreto, las tareas para los alumnos en las sesiones de esta primera fase eran:
i) Leer e interpretar un mensaje con contenido geométrico. ii) Ejecutar y emitir un mensaje de texto escrito o verbal con contenido geométrico. iii) Investigar informaciones en los enunciados de texto y en los dibujos, a mano o con
GeoGebra. iv) Dibujar la construcción geométrica, a mano o con GeoGebra, correspondiente a
una descripción dada con un texto. v) Describir con palabras una construcción geométrica sencilla, planteada a mano o
con GeoGebra. Saber qué condiciones son necesarias y cuáles son suficientes para una descripción bien dada.
Objetivos de la Fase 1
Para los alumnos:
i) Conocer GeoGebra (la versión 3.2. No fue necesario usar la versión GeoGebraPrim más adaptada para alumnos pequeños). Apreciar su potencial y aprender a utilizar algunos comandos básicos. Hacerles ver que les puede ser útil en secundaria al tener las ventanas algebraica, geométrica y de datos.
ii) Sentir la necesidad de experimentar y de construir (ayudándose con GeoGebra). Aprender lo que es una conjetura.
iii) Aprender a verbalizar sus conclusiones explicándolas a sus compañeros y a los profesores oralmente pidiendo turno de palabra en el aula, o por escrito a través del blog.
iv) Despertar en los alumnos el espíritu crítico, el de la superación y el trabajo autónomo (individual o en grupos pequeños).
Para los investigadores:
i) Con la observación cuidadosa, detección y análisis de las distintas cláusulas del contrato didácticos y de la gestión de las variables didácticas presentes en el aula y en la manera de trabajar los alumnos.
ii) Observar los conocimientos previos de los alumnos sobre ángulos, rectas, segmentos y semirrectas, polígonos y propiedades de los triángulos.
iii) Analizar los problemas en el aprendizaje de los contenidos matemáticos a tratar referidos en el apartado anterior y formular hipótesis de trabajo.
iv) Diseñar un taller piloto con actuaciones concretas en el aula buscando posibles soluciones prácticas a los problemas detectados en colaboración con los tutores y especialmente con el profesor de Informática del centro educativo dentro del marco teórico planteado.
Secuencia de actividades de la Fase 1
En las cuatro sesiones de esta fase 1 los moderadores o mediadores son los autores de este artículo y cuentan con el apoyo en todo momento del profesor de Informática en el aula.
Sesión 1. Noviembre 2010
Jugamos con 4 cerillas y una aceituna. Actividad creada con GeoGebra por José Luis Álvarez García y Rafael Losada Liste y publicada en la web oficial del Proyecto Gauss del Instituto de Tecnologías Educativas del Ministerio de Educación (http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/primaria/actividades/geometria/acertijos/cerillas12cuadrados4/actividad.html). La idea de esta actividad es despertar la curiosidad en los alumnos.
Práctica guiada: pasamos por las fases del quehacer matemático a través de una situación problema planteada con GeoGebra: experimentación, conjetura y argumentación. Utilizamos la Práctica 1 del Aula de Mate (http://www.aulademate.com/foro/geogebra-vt1828.php).
Presentación del Taller Geometría con GeoGebra, Blogs e iTest a través de diapositivas. Se pretende motivar a los alumnos y que estén totalmente informados de lo que se pretende hacer en el taller.
Sesión 2. Noviembre 2010
Parte I. “Juego de los mensajes”. Los alumnos abren el blog y en él describen con sus propias palabras a través de comentarios en la sección creada a tal efecto los conceptos geométricos básicos que moderador les indica. A continuación, los alumnos deben escribir un mensaje, en los comentarios de la sección Mensajes, sin utilizar las palabras prohibidas para describir un objeto geométrico indicado a un compañero. Objetos: triángulo y cuadrado.
Parte II. Los alumnos abren GeoGebra, se les explica cómo utilizarlo desde casa con la instalación sencilla del webstart, en el aula informática ya estaba instalado. Siguiendo las indicaciones del moderador comienzan a trabajar construyendo figuras geométricas de las que se ha hablado en la Parte I de esta sesión. Utilizan los comandos: nuevo punto, elige y mueve, segmento por dos puntos, recta por dos puntos, punto medio de un segmento, recta perpendicular a un segmento dado por su punto medio, recta paralela a otra recta dada por otro punto exterior. Al terminar se les plantea una tarea voluntaria para casa: dibuja un triángulo, traza las perpendiculares a todos los lados por sus puntos medios, ¿qué observas? Se les invita a conjeturar.
Sesión 3. Diciembre 2010
Auto-análisis crítico, guiado por los moderadores, de los mensajes escritos a través del blog la sesión anterior. Construcción con GeoGebra de los objetos descritos en los mensajes. Detección de errores, condiciones no necesarias en las definiciones, etc. Retomamos brevemente la actividad del circuncentro propuesta al final de la sesión anterior. Ningún alumno la había intentado hacer desde casa, ninguno se había instalado GeoGebra en casa. Se les enseña a dibujar circunferencias con GeoGebra.
Sesión 4. Diciembre 2010
En esta sesión se les plantea la siguiente actividad:
Dibuja un cuadrilátero ABCD cualquiera. Dibuja los puntos medios de los cuatro lados. Une esos puntos medios para formar un nuevo cuadrilátero. Mueve el cuadrilátero inicial ABCD y observa atentamente la figura. ¿Qué observas?
Ante la falta de respuesta por parte de los alumnos para conjeturar, se decide volver a la actividad propuesta ya en la sesión 2 incluyendo más detalles intermedios e invitando de nuevo a los alumnos a construir, experimentar y a conjeturar.
Construye un triángulo ABC. Construye la mediatriz de los lados AB y BC. Construye la intersección de las dos mediatrices y llámala O. Construye la circunferencia de centro O que pasa por A. Desplaza los puntos A, B y C, observa lo que se modifica en la figura y lo que no cambia. Introduce un comentario en esta sección con tus observaciones. Un paso más: Construye la mediatriz de AC. Desplaza A, B y C de tal forma que los vértices del triángulo ABC estén sobre las mediatrices. ¿Qué se puede decir del triángulo ABC en este caso? Desplaza los puntos A, B y C para que solamente uno de los vértices A, B o C esté sobre una mediatriz, y los otros dos no. ¿Qué se puede decir del triángulo ABC en este caso?
Primeras observaciones
Nuestras observaciones en el aula se complementan además con el análisis tanto de los vídeos con las grabaciones de las sesiones como de las respuestas que los alumnos dan por escrito a través del blog a preguntas que directamente se les plantean.
Por ejemplo, en los últimos minutos de la sesión 1, los alumnos respondieron en el aula informática a través del blog las siguientes preguntas:
¿Te ha gustado la actividad que hemos hecho hoy?
¿Te gustaría que se incorporase GeoGebra en las clases de matemáticas?
Todos dicen que sí a las dos preguntas y la mayoría se sorprenden mucho de la potencia de GeoGebra. La predisposición inicial de los alumnos a trabajar en el taller parecía pues muy positiva. Controlar la participación ordenada en el aula era en ocasiones una tarea difícil, aunque con el paso de las sesiones y una vez que los alumnos tenían claro cómo íbamos a trabajar, se fueron adaptando.
Observaciones referidas a las concepciones que tienen los alumnos sobre ciertos objetos de las matemáticas
La mayoría de los alumnos tienen malas concepciones del saber matemático y a la vez un mal desarrollo cognitivo del lenguaje natural. Se observa fácilmente que muchos niños no entienden frases o instrucciones largas. Este es un problema detectado también por el equipo docente de la escuela con estos grupos y que, más en general, se refleja también en los resultados de la gran mayoría de los colegios en las pruebas finales de 6º de la Consejería de Educación de la Comunidad de Madrid. Estas dificultades en la lecto-escritura se traducen en problemas serios a la hora de interpretar, entender y responder a los ejercicios planteados en el taller.
En general, los alumnos con los que hemos trabajado no tienen construidos los invariantes de una geometría Euclídea, solamente los que pertenecen a la geometría afín y ninguno de la geometría métrica.
Al dibujar en una pantalla de ordenador hacen un uso indiscriminado del concepto de vertical y horizontal como si fuera perpendicular y paralelo, respectivamente.
Un niño de estas edades (11-12 años) tiene que tener representaciones mentales de objetos geométricos que le permitan codificar y decodificar mensajes, con el fin de construir, representar y describir sus abstracciones. Seguramente los objetos ostensibles que se han usado para construir dichas abstracciones no están siendo en la mayoría de los casos los adecuados o bien son incompletos.
Aparentemente parece que el profesorado en el aula de matemáticas consigue mejores resultados con el trabajo de los algoritmos, y, es esa automatización la que posiblemente deja en la sombra las posibles malas concepciones que puedan tener los alumnos de los conceptos en los que intervienen dichos algoritmos. Pero la geometría deja al descubierto las concepciones de sus objetos en los procesos que utiliza el pensamiento matemático; es posiblemente en esta área de las matemáticas escolares donde más se note la mala relación que tienen algunos profesores de primaria y los libros de texto con la matemática.
En lo que se refiere a sus conocimientos matemáticos previos en los temas tratados, muchos alumnos, aproximadamente el 80%, identifican la palabra triángulo con triángulo equilátero y con base horizontal. Confunden recta con segmento más del 50%, y hablan de “longitud de una recta”. Dicen que "una recta puede medir lo que tú quieras dependiendo de la escala de medida".
Algunos ejemplos ilustrativos de los problemas que hemos mencionado, son los siguientes mensajes
1 que los alumnos escribieron en el blog para describir un triángulo sin utilizar la
palabra triángulo (Sesión 2):
1. HAZ UNA LINEA HORIZONTAL RECTA Y DESDE LA LINEA RECTA DIBUJA UNA RAYA VERTICAL IZQUIERDA Y LUEGO DESDE LA OTRA PARTE DERECHA UNA LINEA VERTICAL DERECHA
2. Tienes que hacer un polígono de tres puntas, las unidas mediantes líneas rectas.
3. Dibuja dos líneas abiertas que se unan en un pico y abajo dibuja una línea recta que las vuelva a unir.
4. DIBUJA UN POLIGONO CERRADO CON TRES LINEAS QUE SE UNAN ENTRE SÍ EN SUS ESTREMOS
5. es un poligono de 3lados que tiene 2 lineas inclinadas y tiene 1 linea horizontal
6. Es un poligono de 3 lados tienen 2 lineas inclinadas y tienen una recta
Figura 3. El Blog con los comentarios.
En la Sesión 4 también detectamos los mismos tipos de problemas:
1. Cuando hacemos un triangulo hacemos sus mediatrizes y señalas su centro entosces haces una circunferencias que pase por los puntos A B C y si lo mueves siempre se queda la circunferencia en los puntos
2. Cuando hacemos un triángulo y hacemos la mediatriz de los puntos A y B y B y C y haces un circunferencia con el centro de las mediatrices el circulo se movia un montón.
3. con el triángulo y una circunferencia dentro siempre el punto medio pasa por los puntos A,B ó C
4. Hemos hecho un triángulo, y a los vértices le hemos puesto nombre, luego hemos hecho una circunferencia en la mediatriz.
Tras un primer análisis crítico de cada mensaje en grupo y guiado por uno de los investigadores haciendo así la validación de cada uno (Sesión 3), se les pide que lo dibujen
1 Se han transcrito los mensajes directamente sin editar las faltas de ortografía ni de sintaxis.
con GeoGebra. Aproximadamente el 85% de los alumnos termina la tarea en el aula informática, en muchas ocasiones con ayuda de los compañeros y tras realizar varios ensayos erróneos previos a la consecución de la construcción (podemos verlo en el botón protocolo de la construcción del menú Vista). Esto hace pensar que los alumnos en ocasiones no son capaces de completar las tareas no por la barrera técnica pues no tienen dificultades en manejar GeoGebra, pero sí por la falta de comprensión y de abstracción. Por este motivo, consideramos importante en el diseño del taller la posibilidad de trabajar con la pizarra digital para así tener un control más individualizado sobre el trabajo de cada alumno. Además es interesante desde el punto de vista técnico trabajar con GeoGebra en la pizarra digital (el comando Elige y mueve puede ser complicado).
Se han detectado diferencias entre los dos grupos, en general el grupo B responde más positivamente, especialmente en actitud y comportamiento, pero también cognitivamente. En el grupo B un 60% de los alumnos aproximadamente hace dibujos de manera individual siguiendo las indicaciones y encuentra que a veces las condiciones no son las necesarias para describir un triángulo, que hay veces que hay condiciones de más, y reconocen con exactitud los mensajes correctos. Los tutores confirman que esto es así en general.
Observaciones referidas a la organización de la clase
Se han detectado algunas cláusulas del contrato didáctico que el profesorado tiene establecido con sus alumnos y que no son las que formarán parte del taller propuesto en la Fase 2:
1. En general, el alumno considera que la escuela tiene el principal fin de evaluar rendimientos y capacidades de los alumnos.
2. En general el trabajo de los alumnos es individual, no colaboran, copian del que consigue encontrar la solución en primer lugar (posiblemente reconocido por el grupo y el profesor como “listo”).
3. Los alumnos no hacen validación alguna de sus respuestas.
4. Los alumnos están acostumbrados a no poner en discusión la legitimidad y pertinencia de las preguntas del profesor.
5. Los alumnos antes de contestar tantean al profesor con el fin de obtener la respuesta correcta.
6. En general, los alumnos piensan que hacer matemáticas es hacer cálculos.
Hipótesis de nuestro trabajo
Tras las observaciones del trabajo realizado en la Fase 1 descrita, planteamos en este momento las siguientes hipótesis como guía de nuestro trabajo y diseñamos el Taller de Geometría para contrastar dichas hipótesis.
La incorporación de GeoGebra no anula el uso de otras herramientas u otros materiales estructurados que tradicionalmente usamos en nuestras aulas para modelizar las matemáticas (y que se usarán en el taller de forma complementaria). El uso de GeoGebra favorece la interacción y el aprendizaje significativo.
Una estructura de taller colaborativo y cooperativo nos permite ajustar las cláusulas necesarias de un nuevo Contrato Didáctico. En este sentido incorporar la pizarra digital en el taller servirá para organizar mejor las intervenciones de los alumnos, respetando el turno de palabra y teniendo la oportunidad de salir a explicar en público las ideas, además de comprobar su utilidad particular en el caso de la enseñanza de la Geometría. Es fundamental el trabajo individual en la pizarra pues trabajando en el aula informática con cada alumno en su puesto no se tiene tanto control de lo que particularmente aprende cada uno, a pesar de que somos conscientes de que trabajar con GeoGebra en la pizarra digital requiere entrenamiento.
b-Learning debe ser utilizado como proceso. En este sentido utilizaremos el blog del taller como herramienta de comunicación, para recoger información en el momento, como diario de aula y como repositorio. Será una vía útil de comunicación también con las familias que verán también en los vídeos y las fotos más detalles del trabajo de sus hijos en la escuela.
iTest es una buena herramienta para evaluar los procesos en la que se pueden integrar archivos de GeoGebra de manera que las pruebas sean manipulativas y formativas y sigan además el mismo formato electrónico que el trabajado en el aula. Al funcionar a través de un navegador de internet, iTest facilita el desarrollo de pruebas de evaluación y de auto-evaluación desde casa.
Fase 2: el Taller de Geometría b-Learning
El taller de Geometría b-Learning que aquí planteamos, se desarrolló en cuatro sesiones de 45 minutos cada una con cada uno de los dos grupos de alumnos de 6º de primaria. Alternamos sesiones en el aula con la pizarra digital (la biblioteca del centro) con sesiones en el aula informática dependiendo de los objetivos perseguidos en cada sesión para validar nuestras hipótesis de trabajo formuladas tras las Fase 1 de observación. Con esto se incorporan ya los cambios metodológicos necesarios respecto a los detectados que se empleaban con previamente en el aula de matemáticas con los alumnos y a los empleados en las actividades de la Fase 1.
Dónde y cómo se desarrolla la Fase 2
Como hemos mencionado, la Fase 2 se llevó a cabo en la biblioteca del centro con la pizarra digital y en el aula de informática. En todas las sesiones utilizamos el cañón proyector, el ordenador, el blog y GeoGebra.
Se pedía que los alumnos continuaran el trabajo desde sus casas, en ocasiones utilizando el ordenador conectado a internet para usar el blog o GeoGebra y en otras ocasiones realizando algún trabajo manual con papel, pinturas y tijeras.
Para cada sesión se preparaba previamente un guión que se colgaba con antelación en el blog del taller para que los alumnos lo consultaran y pudieran continuar el trabajo desde casa.
En el blog del taller también ser recogían en vivo durante las sesiones las impresiones de los alumnos individualmente como comentarios en las entradas preparadas. Los comentarios no se publicaban directamente, eran moderados antes de su publicación por los responsables del taller. También contestaban a preguntas sobre las construcciones geométricas trabajadas a través del blog. En ocasiones puntuales, los alumnos escribieron comentarios desde sus casas, siempre felicitando a los organizadores y mostrando mucha satisfacción por las actividades realizadas.
Objetivos de la Fase 2. Descripción del taller
Tras la Fase 1, el diseño del taller debía contemplar una metodología que nos permitiera fomentar la autonomía investigadora del alumno, mejorar la asimilación y acomodación de contenidos y especialmente motivar al alumno para que dejara de ser un mero receptor de conocimientos y se convirtiera en protagonista de su aprendizaje.
En esa línea se plantearon los siguientes objetivos como punto de partida.
a) Mejorar las destrezas lingüísticas de nuestros alumnos.
b) Aumentar las habilidades cognitivas de estos.
c) Favorecer entre otras cosas: las capacidades de comparar, identificar, establecer semejanzas y diferencias, clasificar, inducir, deducir, analizar, sintetizar, abstraer, y transformar información.
d) Promover criterios y generar habilidades para la discriminación de información.
e) Incrementar la participación de los alumnos en las tareas propuestas.
f) Desarrollar su autonomía.
g) Permitir la construcción compartida del conocimiento.
h) Profundizar en los contenidos matemáticos evaluados en la Fase 1: rectas, ángulos, polígonos y puntos notables del triángulo y sus propiedades.
Para conseguir estos objetivos y contrastar así nuestras hipótesis, nos fijamos tres puntos de control a la hora de diseñar nuestro taller: aprendizajes significativos, interactividad y b-Learning. Estos puntos se han respetado en todo momento y nos han ayudado a definir las situaciones de aprendizaje.
El taller aquí descrito busca conseguir aprendizajes significativos utilizando una metodología experimental para el autodescubrimiento mediante situaciones estructuradas. Se permitirá que la resolución de situaciones problema sea el elemento central en la actividad matemática ya que es el mejor medio para el aprendizaje de los contenidos y de las estrategias que se van introduciendo.
Lo importante en el taller es que el aprendizaje significativo nos dirija y permita la transferencia de conocimientos previos a las nuevas situaciones en contextos reales, con lo que memorizar pierde fuerza a favor de comprender involucrándose. Los conocimientos antiguos condicionan a los nuevos y estos a su vez modifican y reestructuran los anteriores.
Un taller que favorezca la interactividad potencia el protagonismo de los alumnos y permite realizar menos esfuerzos sobre tareas rutinarias. La interactividad y el trabajo hacia aprendizajes significativos usando un entorno de aprendizaje que incorpora nuevas tenologías nos permite plantear situaciones de aprendizaje caracterizadas por:
a) La realización de un aprendizaje por descubrimiento.
b) Permitir una adecuada atención a la diversidad.
c) La participación activa de los alumnos en la resolución de la situación de aprendizaje.
d) Proporcionar la posibilidad de utilizar diferentes estrategias en la resolución de una situación problema.
Para terminar la descripción, comentamos brevemente cómo se ha considerado la incorporación de las nuevas tecnologías de la información y de la comunicación en el taller planteado, especialmente cómo se considera en este taller el rol del profesor. No se trata de que los alumnos pasen menos horas en clase, se trata del uso en red sin perder contacto directo con sus compañeros y con el profesor y que su trabajo pueda ser prolongado en casa sin que este pierda su carácter social. Esta reflexión nos permite diseñar un modelo con estructura de taller cooperativo y colaborativo que integra parte de las posibilidades del llamado aprendizaje mixto blended learning. De esta manera no se elimina la figura del profesor, se cambia su rol, los profesores necesitaremos tener un manejo adecuado de la tecnología necesaria y hacer algunos ajustes en la Relación Didáctica. También debemos tener en consideración que los modelos matemáticos que van construyendo nuestros alumnos requieren un control exhaustivo por nuestra parte, este es otro factor que desaconseja el uso de eLearning en toda su extensión. Solo debemos usar algunas características de eLearning: aquellas que permitan mejorar, de una forma clara, el aprendizaje de las matemáticas.
Como programa de geometría dinámica central en el taller se ha considerado GeoGebra. La sencillez de manejo de GeoGebra y la buena preparación de los alumnos del centro en cuestiones de uso de herramientas informáticas, son fundamentales de cara a eliminar la barrera inicial entre la tecnología y el aprendizaje.
Consideramos dos formas de uso de GeoGebra complementarias:
a) Para construir y elaborar conjeturas, plantear hipótesis y hacer una explotación inductiva de los hechos matemáticos. Mediante la experimentación podremos introducir numerosas propiedades y resultados que tiene la geometría, nos permitirá obtener resultados generales partiendo de hipótesis y conjeturas, que más tarde se deberán demostrar de forma general, proporcionando a los alumnos la posibilidad de descubrir el entramado matemático. GeoGebra permite varias representaciones de un mismo objeto matemático con lo que conseguiremos que un objeto matemático se convierta en un invariante de varios sistemas de representación.
b) Para evitar las llamadas tareas rutinarias que muchas veces nos cambian el enfoque en nuestro trabajo y dando precisión en la representación de las formas geométricas. Con esto se ahorra tiempo y se permite al alumno anticipar la
construcción del conocimiento matemático, e iniciarse en la investigación y la exploración matemática con ejemplos más complejos.
Secuencia de actividades de la Fase 2
En este apartado describimos brevemente las actividades que se han llevado a cabo con los alumnos en la Fase 2.
Sesión 1. Marzo 2011
Esta primera sesión se desarrolló en el aula con la pizarra digital. Por primera vez se hizo una presentación con contenidos matemáticos, en esta ocasión sobre los ángulos utilizando diapositivas disponibles para todos en el blog. En paralelo a la presentación, se iban manipulando 4 archivos GeoGebra preparados como apoyo. Los alumnos salen en la parte final de la sesión de uno en uno a manipular los archivos. Se detecta cierta dificultad con el Elige y mueve de las construcciones como se había previsto. Los alumnos comentan que es más difícil en la pizarra digital que con el ratón en el ordenador del aula informática. Se les proponen tareas manuales de recortado al final de la sesión para que comprueben cuánto vale la suma de los tres ángulos de un triángulo. Se les dice que el enunciado formal de la tarea con las instrucciones se colgará en el blog.
Sesión 2. Marzo 2011
Esta vez en el aula informática se repasa con los alumnos la presentación sobre los ángulos. Se detecta que no la han revisado en sus casas y ninguno ha hecho la tarea de recortado. Se les invita de nuevo a intentar hacerla para la siguiente sesión. Los alumnos construyen ángulos con diversas propiedades con GeoGebra guiados y también aprenden a medirlos.
Figura 4. El Blog como repositorio
Sesión 3. Abril 2011
Volvemos al aula con la pizarra digital para comprobar de manera individual la adquisición de conocimientos sobre los ángulos. Se introducen los polígonos guiando al alumno que esté en la pizarra. Se recuerdan los nombres de los polígonos regulares en función de su número de lados y se les pide que conjeturen cuánto vale la suma de los ángulos interiores de dichos polígonos. Ninguno había hecho la tarea manual con el triángulo, con lo que no podemos usar todavía la “validación” para el caso del triángulo con la construcción manual. Alguno reconoce haberlo intentado y no haber entendido las instrucciones de recortado. Se revisa con ellos el tema y de nuevo se les pide que lo traigan para la siguiente y última sesión.
Sesión 4. Mayo 2011
Esta es la sesión final y se lleva a cabo en el aula de informática. Recogemos las construcciones en papel (elaboradas por tan solo un 13% de los alumnos). Con un proyector recortando algunos de los triángulos que han traído, se muestra que los tres ángulos de un triángulo (tanto equilátero, como no equilátero, tanto acutángulo como obtusángulo) suman 180
grados. Esto confirma sus averiguaciones con GeoGebra la sesión anterior.
Esta última sesión se diseña para trabajar de nuevo con los puntos notables de un triángulo, trabajo previo realizado en la Fase 1. Los alumnos construyen el circuncentro y el incentro con GeoGebra. Ahora sí se dan cuenta de que las tres (mediatrices o bisectrices) se encuentran en un punto. Finalizamos la sesión haciendo que los alumnos trabajen con una construcción sobre los puntos notables de un triángulo elaborada por el profesor Manuel Sada (http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/tri5recta_euler.htm) y que contesten a las 5 preguntas que allí se plantean tras manipular la construcción. Las respuestas se recogen a través del blog de nuevo.
Fase 3: Fase de análisis y reflexión
Para poder valorar adecuadamente las conclusiones del trabajo piloto aquí presentado, se deben poner en contexto las características de los alumnos que componían los dos grupos de 6º de primaria con los que se trabajó. Durante la realización del taller no se consideró esta información para evitar condicionamientos. En total se ha trabajado con 38 alumnos repartidos en dos grupos. De los 38 alumnos, 8 eran de necesidades especiales, de integración o de etnia gitana con lo que en ocasiones no asistían al taller. De los otros 30, el 60% no ha seguido una escolarización completa en el sistema español, son alumnos inmigrantes que en los últimos 4 años se han ido incorporando al centro. Varios de estos todavía tenían problemas con la lengua castellana. El nivel socio-económico del grupo estudiado es pues significativamente menor que el del resto de los grupos del centro escolar.
Primeras conclusiones
Como primera conclusión se detecta que la mayoría de los alumnos tienen un mal desarrollo cognitivo con el lenguaje natural. Si no mejoran el lenguaje natural no habrá mejoría en su aprendizaje matemático. Si no entienden una tarea compleja, para su edad, difícilmente pueden desarrollar un buen aprendizaje de las matemáticas.
En segundo lugar, en lo que se refiere a la motivación de los alumnos, hemos de afirmar que no se ha conseguido motivar al alumno lo suficiente para que complete el trabajo desde casa con las tareas propuestas. Solamente un 8% de los alumnos participantes realizan las tareas manipulativas desde casa y muestra interés y satisfacción de manera espontánea a través de los comentarios del blog. Si bien cuando se les pregunta en clase directamente, todos dicen estar interesados en el trabajo que se está realizando. Solamente un 12% de los alumnos particiantes sienten curiosidad por instalar GeoGebra en sus casas durante las dos fases. Además, solamente un 8% aproximadamente son seguidores del blog del taller al terminar la Fase 2 (la mitad al terminar la Fase 1). En general, todos los alumnos tienen ordenador en casa (solamente un 7% no lo tiene) y de los que tienen ordenador, el 84% tiene conexión a internet en casa, aunque varios reconocen estar castigados sin poder usar internet con frecuencia. Estos datos revelan que muy pocos fueron motivados para realizar un seguimiento del trabajo desde casa.
Es posible que para despertar en ellos la necesidad de trabajar más desde casa y poder así implementar más exhaustivamente la filosofía del B-Learning, se requiera un trabajo más coordinado con los tutores para incorporar a la dinámica del curso de manera natural el trabajo con GeoGebra y no solamente en Informática (los alumnos se dirigían a los mediadores del taller como profesor de Informática o profesor de GeoGebra). Sin embargo, con el trabajo en el taller sí que se ha conseguido que los alumnos modifiquen su actitud en clase. En este sentido los alumnos han comprobado que la escuela puede tener otro fin distinto que el de evaluar, ya no intentaban preguntar al profesor con el fin de obtener ayuda y ha validado en grupo y de manera cooperativa los resultados que iban obteniendo. También hemos podido comprobar que los alumnos han trabajado más, se han comunicado entre ellos más en las sesiones en el aula e incluso en casos puntuales (8%) han conseguido que los padres participen en sus trabajos.
En lo que se refiere a las malas concepciones matemáticas, se observa que en general en el ordenador los alumnos dibujan considerando que la pantalla está vertical, pero esto no es disculpa para el uso indiscriminado del concepto de vertical y horizontal confundiéndolos con perpendicular y paralelo. Esta confusión que tienen los conceptos perpendicular y paralelo, creemos que es debido a la relación que el profesorado tiene respecto a estos conceptos, esto
es un mal general de muchos maestros, y a la falta de rigor con lo que los tratan también desde los libros de texto convencionales.
Las concepciones que tienen posiblemente los profesores sobre ciertos objetos de las matemáticas condicionan las de los alumnos, es posible que algunas malas concepciones que los alumnos tienen es el reflejo de las mala relación que tienen los profesores del colegio con el saber matemático y de un mal trabajo conducente a la obtención de un desarrollo cognitivo de los alumnos respecto al lenguaje natural. Un niño de estas edades ya tendría que tener representaciones mentales de objetos geométricos que les permitan codificar y decodificar mensajes, con el fin de construir, representar y describir sus abstracciones. Para poder valorar la obtención de contenidos matemáticos, todavía falta por analizar la prueba online con iTest que se llevará a cabo a final de curso donde los alumnos realizarán una prueba online desde sus casas revisando los contenidos vistos durante la Fase 2 en el mismo formato que se vio en las sesiones pues en iTest se puede incrustar Geogebra en los enunciados de las preguntas.
Trabajo futuro
Se ha podido observar un hecho mencionado con frecuencia por varios autores: la Geometría
ha desaparecido prácticamente de los colegios, todo se reduce a aprender nombres y a
memorizar. Sigue habiendo una geometría estática, han desaparecido los materiales
estructurados, por ejemplo el geoplano. Hay un desconocimiento generalizado de las nuevas
herramientas informáticas que nos permiten hacer una geometría dinámica.Herramientas como
GeoGebra permiten a los alumnos sentirse importantes en el proceso de aprendizaje, a los
padres sorprenderse positivamente al ver el trabajo que realizan sus hijos y a los profesores
verse de nuevo como aprendices que se sorprenden al ver mejorar su relación con el saber
matemático. En este sentido pensamos que talleres como el presentado en este artículo
basado en los tres puntos de control descritos en la sección anterior, obliga a cambiar algunas
clausulas del Contrato Didáctico y favorece que los profesores que lo implementen se puedan
identificar con un estilo diferente de enseñanza-aprendizaje. Las situaciones de aprendizaje en
la escuela deben ser de reproducción, descripción, representación y construcción con el fin de
descubrir las relaciones entre los objetos que nos rodean, las imágenes con las que los
representamos, las representaciones mentales que hacemos y los nombres con los que los
trata la geometría.
A la vista de los resultados obtenidos, se planificará en colaboración con el equipo directivo del
centro y de los tutores, el desarrollo de un taller similar (revisando por supuesto los objetivos
tras la Fase 3) con los futuros alumnos de 6º curso del centro. Se prevé que los resultados
sean mejores pues la situación socio-económica de los futuros alumnos de 6º no es tan
extraordinaria como la de los alumnos con los que hemos trabajado este curso.
Se plantean los siguientes puntos como aspectos interesantes y que se podrían incluir en
actuaciones futuras en el colegio complementando el taller de Geometría y b-Learning aquí
presentado.
1. Revisar cuidadosamente los libros de texto de matemáticas que usan los profesores del colegio en todos los ciclos de primaria y tratar de detectar si hay por ejemplo excesivas simplificaciones que producen errores, falta de rigor en los contenidos, notaciones matemáticas ambiguas, etc.
2. Diseñar una encuesta para el profesorado donde detectáramos por ejemplo los tiempos que dedican a la geometría en el aula, si usan materiales manipulativos, si estarían dispuestos a utilizar herramientas para hacer una geometría dinámica, etc.
3. Intentar formar un grupo de trabajo con los tutores interesados para trabajar con ellos durante el curso y en paralelo a la realización del taller, la Geometría sin coordenadas, usando GeoGebra y materiales estructurados con el fin de que se pueda producir un cambio metodológico.
4. Incluir en el grupo de trabajo la colaboración de expertos en Didáctica de la Lengua y la Literatura para intentar reflexionar juntos sobre las conclusiones descritas en el apartado anterior.
Agradecimientos
Queremos expresar nuestro más sincero agradecimiento al equipo directivo del Colegio Público de Educación Infantil y Primaria San José de Calasanz de Aranjuez, Madrid, especialmente al profesor Rafael Añez, jefe de estudios y asesor TIC del centro. También a los tutores de los dos cursos de 6º de primaria y especialmente a todos los alumnos participantes en el taller descrito en este artículo les damos las gracias por su amable colaboración.
Figura 5. Los dos grupos de alumnos con el profesor de informática y los autores.
Referencias bibliográficas
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