Automatique Regulation

7/27/2019 Automatique Regulation

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Dpartement de Gnie Electrique

4me Anne GE

AUTOMATIQUEREGULATION

Francis PICABIA 1919

Edition 2008 J.M RETIF

Institut National des Sciences Appliques de Lyon


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[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.


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i

Chapitre 1

GENERALITES SUR LA COMMANDE

1. PREAMBULE ...................................................................................................................1

2. STRUCTURE TECHNOLOGIQUE ................................................................................2

3. FORMULATION DE LA COMMANDE.........................................................................4

3.1 Prambule. ..............................................................................................................................................4

3.2 Asservissement ........................................................................................................................................5

3.2.1 Prcision statique ...........................................................................................................................5

3.2.2 Erreur statique de position cas continu.........................................................................................6

3.2.3 Erreur statique de position cas discret. .........................................................................................63.2.4 Erreur de tranage cas continu......................................................................................................7

3.2.5 Erreur de tranage cas discret....................................................................................................... 8

3.3 Rgulation ...............................................................................................................................................8



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ii

Chapitre 2

ROBUSTESSE DUNE COMMANDE

1. POSITION DU PROBLEME. ........................................................................................... 11

2. DEFINITIONS.................................................................................................................... 112.1 Marge de gain. ............................................................ .......................................................... .................. 122.2 Marge de phase. ........................................................ ........................................................... .................. 132.3 Marge de retard. ................................................................ ........................................................... ......... 132.4 Marge de module.............................. ................................................................ ...................................... 14

3. COMPROMIS PRECISION ROBUSTESSE. ................................................................. 16

4. APPROCHES DE LA ROBUSTESSE.............................................................................. 164.1 Influence des bruits sur la sortie ............ ..................................................................... ......................... 17

4.1.1 Sensibilit de la sortie au bruit de sortie............................................ .................................................. 17

4.1.2 Sensibilit de la sortie au bruit de mesure. ............................................................... ........................... 184.1.3 Sensibilit de la sortie un bruit sur la commande. ............................................................ ................ 18

4.2 Influence des bruits sur la commande............. ................................................................ ..................... 184.3 Synthse sur les fonctions de sensibilit ................................................................ ............................... 194.4 Calcul des marges de robustesse............................................................. .............................................. 20

4.4.1 Marge de module.................................................. .............................................................. ................. 204.4.2 Marge de phase ................................................................ .......................................................... ......... 204.4.3 Marge de retard ........................................................... ............................................................... ......... 20

5. EXEMPLE........................................................................................................................... 215.1 Influence de la perturbation Wy sur la sortie. .................................................................................... 215.2 Influence du bruit Wu sur la sortie. ............................................................... ...................................... 24

5.3 Analyse temporelle........................................................ ................................................................ ......... 26



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iii

CHAPITRE 3

COMMANDE PAR PID CONTINU

1. INTRODUCTION............................................................................................................... 291.1. Prambule....................................................................................................................................................29 1.2. Rgulateur PI. .............................................................. ............................................................ ................... 301.3. Rgulateur PID. ............................................................ ............................................................ .................. 311.4. Rgulateur PID filtr..................................................................................................................................31

2. COMMANDE D'UN PREMIER ORDRE PAR UN CORRECTEUR PI. .................... 322.1. Comportement en premier ordre. ................................................................... .......................................... 322.2. Comportement en second ordre. ............................................................. .................................................. 33

3. COMMANDE D'UN SECOND ORDRE PAR UN CORRECTEUR PID..................... 343.1. Comportement en premier ordre. ................................................................... .......................................... 343.2. Comportement en troisime ordre. ................................................................. .......................................... 35

4. COMMANDE D'UN SECOND ORDRE PAR UN CORRECTEUR PID FILTRE..... 364.1. Introduction.................................................................................................................................................36 4.2. Comportement en second ordre. ............................................................. .................................................. 374.3. Variante pour un processus ayant un zro...............................................................................................384.4. Comportement en quatrime ordre. ............................................................. ............................................ 39

5. METHODE DE NASLIN................................................................................................... 415.1. Principe de la mthode. ......................................................... ............................................................ ......... 415.2. Rglage d'un second ordre par PI.......... ..................................................................... .............................. 445.3. Rglage d'un troisime ordre par PID......................................................................................................455.4. Rglage d'un troisime ordre par PID filtr............................................................................................. 46

6. APPROXIMATION DE ZIEGLER ET NICHOLS........................................................ 476.1. Caractrisation du processus.....................................................................................................................476.2. Dtermination du rgulateur. ................................................................ .................................................... 48

7. CONCLUSION SUR LA COMMANDE PAR PID......................................................... 487.1. Rsum sur les mthodes de rglage. ............................................................... ......................................... 487.2. Rglages pour un processus retard........................................... ............................................................... 48

8. EXEMPLES......................................................................................................................... 518.1. Exemple 1: commande d'un premier ordre par un PI . .............................................................. ............ 51

Robustesse de la commande...................................................................................................................................51Analyse temporelle.................................................................................................................................................52

8.2. Exemple 2: commande d'un second ordre par un PID filtr. ................................................................. 548.3. Exemple 3: commande d'un second ordre par un PI par la mthode de Naslin...................................59



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iv

Chapitre 4

COMMANDE PAR PID NUMERIQUE

1INTRODUCTION.61

2DISCRETISATION DES CORRECTEURS........................................................................................ 622.1 Rgulateur PI numrique............. ............................................................ .................................................. 622.2 Rgulateur PID numrique........................................................ ................................................................ 632.3 Rgulateur PID filtr numrique. ............................................................... .............................................. 64

3COMMANDE D'UN PREMIER ORDRE PAR UN PI. ........................................................................ 653.1 Comportement discret du processus. ..................................................................... ................................... 653.2 Comportement en premier ordre. ................................................................... .......................................... 663.3 Comportement en second ordre. ............................................................. .................................................. 67

4COMMANDE D'UN SECOND ORDRE PAR UN PID FILTRE. .......................................................... 674.1 Comportement discret du processus. ..................................................................... ................................... 674.2 Comportement en second ordre. ............................................................. .................................................. 684.3 Comportement en quatrime ordre. ............................................................. ............................................ 69

5CONCLUSIONS70

6EXEMPLES..726.1 Exemple1: commande d'un premier ordre par un PI. ........................................................... ................. 726.2 Exemple 2: Commande d'un second ordre par un PID filtr................................................................. 75

7ANNEXES797.1 Reprsentation discrte d'un premier ordre. ................................................................... ........................ 797.2 Reprsentation discrte d'un second ordre. ............................................................... .............................. 80



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v

Chapitre 5.

COMMANDE DES SYSTEMES MONOVARIABLES.

1. GENERALITES SUR LA SYNTHESE DUN CORRECTEUR. ............................................... 831.1. Mthodologie.....................................................................................................................................83 1.2. Condition de ralisabilit d'un correcteur. .............................................................. ........................... 84

2. FORMES GENERALES DUN CORRECTEUR POUR UN CRITERE DERREUR DONNE.......842.1. Critre d'erreur statique nulle.............................................................................................................842.2. Critre d'erreur de vitesse nulle. ............................................................... ......................................... 852.3. Systmes rponse prototype minimale............................................................................................86

3. CALCUL DUN CORRECTEUR EN FIXANT LA TRANSMITTANCE EN BOUCLE FERMEE..873.1. Principe..............................................................................................................................................87 3.2. Robustesse. ........................................................ ............................................................... ................. 88

4. CORRECTEUR A REPONSE PILE....................................................................................894.1. Principe..............................................................................................................................................89 4.2. Robustesse d'un correcteur rponse pile. ................................................................... ..................... 90

5. FONCTIONNEMENT EN BOUCLE FERMEE DU SECOND ORDRE. ....................................915.1. Rappel sur le comportement discret dun premier ordre et dun second ordre..................................915.2. Synthse du correcteur pour un processus modlis par un premier ordre........................................945.3. Synthse pour un processus modlis par un second ordre. ........................................................... ...94

6. SYNTHESE D'UN REGULATEUR POUR LES PROCESSUS RETARDES. .............................956.1. Prliminaires....................................................... ............................................................. .................. 956.2. Correcteur pour un processus modlis par un premier ordre retard. .............................................. 96

6.3. Correcteur pour un processus modlis par un second ordre retard. ............................................... 97

7. EXEMPLES....................................................................................................................997.1. Commande d'un processus du premier ordre. .......................................................... .......................... 997.2. Commande d'un processus du premier ordre retard.......................................................................102



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vi

Annexes.

RAPPELS SUR LA TRANSFORMEE EN z

1. ECHANTILLONNAGE DUNE FONCTION CONTINUE. ............................................................1051.1. Dfinition ................................................................ ............................................................... ................1051.2. Transforme de Fourier dun signal chantillonn. ..................................................................... ..........1061.3. Transforme de Laplace dun signal chantillonn................................................................................107

2. PROPRIETES DE LA TRANSMITTANCE EN Z. .......................................................................1082.1. Linarit. ............................................................. ................................................................. ..................1082.2. Translation temporelle. ....................................................... ............................................................ .......1082.3. Translation complexe.............................................................................................................................1092.4. Multiplication par le temps. ................................................................. ..................................................1102.5. Thorme la valeur initiale..................................................................................................................1102.6. Thorme la valeur finale....................................................................................................................111

3. FONCTION DE TRANSFERT ECHANTILLONNEE. ..................................................................1123.1. Dfinition. ................................................................ ............................................................. .................1123.2. Calcul de la sortie dune transmittance laide dune quation rcurrente. ..........................................113

4. PASSAGES ENTRE LES FORMULATIONS TEMPORELLES ET FREQUENTIELLES...................1154.1. Passage de F(z) f(t)..............................................................................................................................115

4.1.1. Inversion analytique. 1154.1.2. Utilisation dune table de transformation. 117

4.2. Passage de F(p) F(z)............................................................................................................................117

5. RECONSTITUTION DUN SIGNAL ECHANTILLONNE. ...........................................................1205.1. Filtrage cardinal ........................................................ ............................................................. ................120

5.2. Extrapolation avec un bloqueur dordre zro.........................................................................................1225.3. Exemple de discrtisation dune fonction continue. ......................................................... .....................1235.3.1. Oprateur de diffrence discrte. 1235.3.2. Transformation bilinaire (Tustin). 1245.3.3. Utilisation d'un bloqueur d'ordre zro. 1245.3.4. Analyse des rponses indicielles. 1255.3.5. Rponses harmoniques. 125

6. ASSOCIATION DE SYSTEMES ECHANTILLONNES. ...............................................................1276.1. Systmes en boucle ouvertes..................................................................................................................1276.2. Systmes en boucle ferme. .......................................................... .........................................................128

7. INTEGRATION ET DERIVATION A LAIDE DE LA TRANSFORMEE EN Z. ...............................1307.1. Intgration. ................................................................. ........................................................... .................130

7.1.1. Mthode des rectangles. 1307.1.2. Mthode des trapzes 1317.1.3. Mthode de Simpson 131

7.2. Drivation. ................................................................ ............................................................ .................1337.2.1. Drivation par diffrence discrte 1337.2.2. Drivation partir dune approximation polynomiale 1347.2.3. Test de la mthode de drivation. 136



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- 1 -

INSA 4GE JM RETIF Gnralits sur la commande

CHAPITRE 1

GENERALITES SUR LA COMMANDE

1. PrambuleL'objectif principal d'une commande est de matriser l'volution d'une ou plusieurs grandeurs

physiques (temprature, pression, vitesse, PH ...) partir d'une ou plusieurs variables de contrle

et ceci dans un environnement perturb.

PROCESSUSACOMMANDER

Variables decommande

Grandeurs matriser

Perturbations

Nous nous trouvons dans la situation o les sorties dpendent des variables de contrle et desperturbations, ces dernires sont de nature externe ou interne au systme et gnralement non

mesurables.

Par exemple un conducteur voulant maintenir la vitesse de son vhicule constante, disposera de

la position de la pdale d'acclration, comme grandeur de contrle.

S'il n'y avait aucune perturbation, une action fixe sur l'acclrateur maintiendrait la vitesse

constante.

Cependant le vent, le profil de la route perturbent l'avance du vhicule. Pour maintenir sa vitesse

constante, le conducteur regarde son compteur de vitesse, apprcie la diffrence entre la vitesse

souhaite et celle mesure et, agit en consquence sur l'acclrateur.

De cet exemple trivial tir de la vie quotidienne, nous pouvons mettre en vidence le principe de

la boucle ferme pour compenser partiellement la perturbation de la vitesse.L'limination parfaite de l'influence des perturbations est impossible. En effet c'est la mesure de

leurs consquences qui induit l'action.

Le maintien de la vitesse en prsence de perturbations est un problme dit de REGULATION.

Lorsque la sortie est arrive la valeur de consigne, la rgulation consiste trouver les moyens

de maintenir la sortie constante.

Si l'on dsire que le vhicule passe de l'arrt 100 km/h suivant un profil en rampe, on a affaire

un ASSERVISSEMENT.

L'ASSERVISSEMENT correspond un problme de poursuite o la sortie du systme doit

suivre au mieux une consigne variable reprsentant la rfrence.

Nous venons de voir la notion importante de boucle ferme, o le conducteur essaye de

maintenir aussi faible que possible, l'cart entre la consigne de vitesse qu'il s'est fix et la mesure

donne par son compteur.

Comment fait-il ?

Si la vitesse est trop grande il va relcher l'acclrateur en fonction de l'cart constat et agir en

sens inverse si la vitesse est trop faible.

Dans une cte pente importante, la pdale sera pousse fond et la vitesse de consigne ne

pourra tre atteinte. Il y a SATURATION de la grandeur de commande.

Ce type d'action obit des rgles qui sont propres au conducteur et qui peuvent tre approches

par la logique floue. Si l'on dsire automatiser le contrle de la vitesse il est possible, partir dela consigne et de la mesure de vitesse, de calculer l'ouverture du carburateur.



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2. Structure technologiqueLa commande des systmes tait dans le pass l'apanage des techniques analogiques de

traitement du signal. Maintenant la vulgarisation de l'lectronique numrique fait que la

quasi-totalit des commandes sont faites l'aide de DSP, micro contrleurs, calculateurs...

Ce saut technologique n'est pas sans incidences conceptuelles : En effet, le traitement

numrique de l'information des instants discrtiss implique l'utilisation d'outils tels, la

transformation en z ou les variables d'tat discrtes.

Cependant, les approches continues, transformation de Laplace, variables d'tat continus,

gardent leurs lettres de noblesses car elles sont tout d'abord le fondement des techniques

discrtes et dans un contexte numrique elles offrent souvent des moyens d'analyses

pertinents.

La commande par une unit de calcul, d'un processus l'allure suivante:

ACTIONNEURANALOGIQUE PROCESSUS

CAPTEURANALOGIQUE

Perturbationsnon mesurables



PerturbationsmesurablesWm(t)

ConvertisseurAnalogigueNumrique

UNITE DE CALCULNUMERIQUE

ConvertisseurNumriqueAnalogique

ConvertisseurAnalogigueNumrique

Sortie y(t)

y(k)u(k)

u (t)b

Wm(k)

Figure 2.1

Bus de signaux numriques Signal analogique

Dans ce schma technologique il apparat des signaux de nature diffrente. La sortie du

processus est un signal continu qui est ensuite converti sous forme numrique et se

retrouve discrtis et reprsent par une suite de nombres (figure 2.2a).

Signal continu

y(t)

t

Signal discretconstitu d'une suite de valeursnumriques chantillonnes

frquence fixe

y(k)

k.T

T 2T 3T

Pour la sortie

Figure 2.2a



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La sortie et ventuellement la perturbation sont acquises priode fixe et converties en

nombres. Enfin la commande calcule est envoye sur un convertisseur numrique-

analogique pour piloter le procd via son actionneur (figure 2.2b). Cette commande est

reprsente en sortie de calculateur par un signal discret, une fois pass par le

convertisseur numrique analogique ce qui arrive sur le processus est constitu dun signal

analogique constant entre deux instants dchantillonnage, ce signal est dit bloqu.

Pour la commande

Signal bloqu

Ub(t)

t

Les valeurs numriques calculespar la commande s'appliquent surl'actionneur par l'intermdiaire debascules D et d'un convertisseurnumrique analogique.La grandeur de sortie est ditebloque

T 2T 3T

Signal discret

U(k)

k.T

T 2T 3T

Signal discret constitu de lasuite des valeurs numriques dela commande

Figure 2.2b

Intressons nous maintenant au procd. Il est illusoire de vouloir dcrire par un seul type de

schma bloc la diversit des systmes que l'automaticien peut rencontrer. Cependant, nous allonsen dfinir un qui met en vidence les principales grandeurs altrant la sortie :

PROCEDE

Perturbation surla commande Wu

Perturbation surla sortie Wy

Sortie Y

Mesure de lasortie versl'unit de calcul

Bruit sur lamesure Wb

Grandeur decommande Uvenant del'unit de calcul

Figure 2.3

Wu bruit sur l'entre Wy bruit sur la sortie Wb bruit sur la mesure

Y sortie de procd U grandeur de commande

A partir de cette analyse, il sera possible de complter l'approche en ajoutant des transferts sur

les perturbations, de dissocier celles inconnues de celles qui sont mesurables, etc. Par soucis de

concision nous restreindrons notre tude au schma fonctionnel de la figure 2.3.



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Pour bien contrler un systme, il faudra s'attacher faire une analyse fonctionnelle de

l'ensemble et d'identifier les principaux transferts reliant la commande et les perturbations la

grandeur contrler.

Le plus souvent le processus est non linaire ou considr comme linaire autour dun point de

fonctionnement. Pour le caractriser, il sera indispensable d'utiliser les mthodes modernes

d'identification pour reprsenter le comportement dynamique du systme contrler.

Le dfi que doit rsoudre l'automaticien c'est de contrler au mieux la sortie sachant que le

modle du processus dont il dispose est imprcis et peut voluer dans le temps. En outre la

mesure de la grandeur contrler est bruite et la commande peut l'tre aussi.

Il va donc s'agir de dfinir un correcteur ou un algorithme de commande, ayant des performances

satisfaisantes, et s'affranchissant des mconnaissances du procd, des imprcisions de la

mesure, et des limitations de la commande.

La proprit qu'une commande a de bien ragir aux bruits et aux volutions de procd s'appelle

la ROBUSTESSE. Dans ce cours nous insisterons particulirement sur le compromis

PERFORMANCE ROBUSTESSE qui doit tre la ligne de conduite de l'automaticien.

3. Formulation de la commande.3.1 Prambule.Il existe diverses structures de commandes qui partir de l'acquisition de la sortie Y et de

la consigne W tablissent la commande U.

Afin de simplifier le propos et de dgager les ides directrices de la conception d'une

commande, nous considrerons que celle-ci est faite par un seul bloc fonctionnel K,

conformment la figure 3.1.

Nous formulerons cette structure de commande sans dfinir la nature discrte ou continue

des blocs qui la compose.

PROCEDE

Perturbation surla commande Wu

Perturbation surla sortie Wy

Sortie Y

P

CORRECTEUR

K

Bruit sur lamesure Wb

Consigne W U

Figu re 3.1

K : transfert du correcteur P : transfert du processus

Exprimons la sortie en fonction de la consigne W, et des perturbations sur la commande,

sur la sortie, et sur la mesure.

Y = Wy + P (Wu + K.W. - K.Wb - K.Y) Y (1 + K.P) = Wy + P.Wu + K.P.W - K.P.Wb

Y K.P1 K.P

.W P1 K.P

.W 11 K.P

.W KP1 K.P

Wu y b= + + + + + +. ( 3.1.1 )



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KP

1 KP+reprsente le transfert entre la consigne et la sortie, la matrise de sa dynamique est

appel asservissement.

La sortie sera perturbe par un bruit de commande par le transfertP

K P1+ .

Une perturbation sur la sortie altrera la sortie par la fonction de transfert1

1+ K P.

, la rduction

de linfluence de cette perturbation constitue tout le problme de la rgulation.

Nous pouvons constater que la fonction de transfert +

K P

K P

.

.1qui relie le bruit de mesure la

sortie est au signe prs la mme que pour lasservissement.

Nous allons pour cette structure de commande analyser les problmes et les contraintes lis aux

problmes dasservissement et de rgulation.

3.2 AsservissementL'objectif de tout asservissement est de maintenir la sortie Y la plus proche possible de la

consigne W.y(t)

t

Asservissement de la sortie

Sortie Y

Consigne W

Figure 3.2 Nous ngligerons ici les perturbations Wu, Wy et Wb, dans ce cas la sortie s'exprime :

Y =K.P

1 + K.P.W ( 3.2.1 )

3.2.1 Prcision statiquePour une consigne en chelon, une fois le transitoire de la sortie termin, lcart entre la

consigne W et la sortie Y est appel erreur statique (voir figure 3.3).

y(t)

t

Asservissement rponse un chelon

Sortie Y

Consigne W

Figure 3.3

w(t)

erreur statique

Nous allons rechercher la condition sur le correcteur ou le processus ncessaire pour annuler

cette erreur.A partir de la relation ( 3.2.1 ) et sachant que Y = .K.P



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il vientW

1

1 K.P=

+( 3.2.2 )

3.2.2 Erreur statique de position cas continuIci les fonctions de transferts seront dfinis par leurs transmittance de Laplace la relation (

3.2.2 ) sexprime

( )( )

( ). ( )p

W p

K p P p= +1 ( 3.2.3 )

Pour une entre en chelon W(p)1

p=

Une commande sera dite sans erreur statique si pour une entre en chelon, pour un temps

suffisamment grand la sortie Y rejoint la consigne W. Ceci sexprime par le fait que lerreur(t)tend vers zro.

En utilisant le thorme la valeur finale, lannulation de lerreur statique sexprime:

lim (t) lim (p).p = lim1

1 + K(p). P(p)

t p 0

( 3.2.4 )

Pour qu'il n'y ait pas d'erreur statique, il faut donc que ( )lim K(p).P(p) p 0

, pour cela,

soit le processus, soit le correcteur doit possder un ple pour p=0. Autrement formul,

pour quil ny ait pas derreur statique pour une entre en chelon il est indispensable que

le processus ou le correcteur soit intgrateur.

3.2.3 Erreur statique de position cas discret.Ici nous considrerons un schma de commande en temps discret, les fonctions de transfert

seront alors dfinies par leur transformes en z. En suivant le mme raisonnement queprcdemment nous aurons pour le signal dcart:

(z) =W(z)

1 + K(z). P(z)( 3.2.5 )

Pour une entre en chelon nous allons exprimer la nullit de lerreur pour un temps

grand.

Nous rappelons que pour les systmes discrets le thorme la valeur finale est:

( )lim ( ) lim ( ).y t Y z zz

t z

=

1

1

( 3.2.6 )

Sachant que pour une entre en chelon W(z) =z

z - 1

Dans ce cas le thorme la valeur finale s'exprime :

[ ]lim (t) = lim (z) .z - 1

z= lim

1

1 + K(z). P(z)= 0

t z 1 z 1

Il faut donc : ( )lim K(z).P (z)z 1



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Le processus ou le correcteur doit donc possder un ple pour z = 1, nous aboutissons la mme

conclusion que dans le cas continu, le processus ou le correcteur doit avoir un gain statique

infini, cest dire tre intgrateur.

Remarques sur le rejet des perturbations :

Reprenons l'expression ( 3.1.1 ):

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )K p .P p P p K p .P p1Y p W p Wu p + Wy p - Wb p1 + K p .P p 1 K p .P p 1 + K p .P p 1 + K p .P p

= ++

Dans le cas continu, si le correcteur ou le processus possde la proprit qui vient d'tre

dcrite, soit un pole pour p=0, nous voyons, dans le cas de perturbations indicielles, que la

sortie converge vers:

( )u y b

t

P 0 1Y W+ W + .W -W

=

et lerreur sur la sortie vaut: ( ) bW Y =W

Nous pouvons voir que si la perturbation de sortie est rejet, une erreur de mesure se rpercutesur la sortie. Cet tat de fait est normal, un capteur demesure faux conduit videment une sortie

erronne.

3.2.4 Erreur de tranage cas continuIci la consigne W est une rampe, et lon dsire que la sortie Y suive au mieux celle ci

conformment la figure e ci-aprs.

y(t)

t

Asservissement rponse une rampe

Sortie Y

Consigne W

Figure 3.4

w(t)

erreur detrainage

On appelle erreur de tranage lcart permanent qui subsiste entre la consigne et la sortie une fois

le transitoire termin. Nous allons voir la condition ncessaire sur le produit K.P pour annulercette erreur.

Ici W(p) =1

p(p) =

1

1 K(p).P(p).

1

p2 2

+

soit en utilisant le thorme la valeur finale :

( ) = lim1

1 + K(p). P (p)

1

p

p 0

.

Si l'on veut annuler cette erreur il faut :( )

[ ]lim p. K(p). P(p)

p 0



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Il est donc ncessaire que le produit K(p).P(p) possde un ple double pour p=0, ce qui se

manifeste par la prsence dun intgrateur double dans le produit processus correcteur.

3.2.5 Erreur de tranage cas discret.Dans le cas ou le processus et le correcteur sont chantillonns les transferts correspondant

seront formul laide de la transforme en z. Nous allons procder comme prcdemment et

utiliser le thorme la valeur finale sur lerreur(z).

La transforme en z dune rampe de pente unitaire vaut : W(z) = Tz(z - 1)2

Lerreur vaut: (z) =1

1 + K(z).P(z).

T.z

(z - 1)2,appliquons maintenant le thorme la valeur

finale soit: ( ) = lim (z).(z - 1)

z= lim

1

1 + K(z).P(z).

T

(z - 1)

(z 1) (z 1)

L'annulation de cette erreur ncessite : [ ]lim K(z).P(z).(z - 1)

z 1

Nous voyons que pour satisfaire cette condition, il faut que le produit P(z). K(z) possde un ple

double pour z = 1. Autrement formul, il faut deux actions intgrales sur le produit Processus

correcteur.

3.3 RgulationLa rgulation dun systme consiste, en sa facult ragir, lorsquil est lquilibre, diverses

perturbations. La sortie est donne par lexpression ( 3.1.1 )

YK.P

1 K.P.W

P

1 K.P.W

1

1 K.P.W

KP

1 K.PWu y b= +

++

++

+

.

En considrant la consigne W comme constante lexpression de la sortie devient:

YP

1 K.P.W

1

1 K.P.W

KP

1 K.PWu y b= +

++

+

. ( 3.3.1 )

Par exemple, pour un chelon sur la perturbation Wy, la sortie Y doit revenir sa valeur initiale

le plus rapidement possible (figure 3.5). Lannulation, de leffet dune perturbation, implique

que les diffrents transferts de la relation ( 3.3.1 ), ait un gain statique nul.

Nous avons vu, au paragraphe 3.2 concernant lasservissement, que lannulation de

lerreur statique, pour une consigne en chelon, ncessite pour le produit K.P soit

intgrateur soit :

[ ]lim K(0). P(0) =

Y( )P(0)

1 K(0).P(0).W

1

1 K(0).P(0).W

K(0).P(0)

1 K(0).P(0)Wu y b = +

++

+

.

Nous pouvons vrifier que cette condition limine une perturbation constante sur la sortie.

Pour le bruit sur la commande celui-ci sera limin si le processus a un gain fini, par

contre sil est intgrateur il tendra vers( )1

K 0.

Lerreur de mesure par contre se rpercute intgralement.



17/148

- 9 -


Figure 3-5 : Rejet dune perturbation sur la sortie

Remarque.

L'erreur de poursuite en asservissement s'exprime par : =1

1 + K. P. W

L'erreur de rgulation due une perturbation sur la sortie Wy a pour expression :

Y = 11 + K.P

.Wy

Nous constatons que si l'on utilise un seul correcteur K, les dynamiques des transitoires en

asservissement et en rgulation seront les mmes. Il nous est donc impossible dobtenir

avec le seul correcteur K des rponses diffrentes en asservissement et en rgulation.

Les contraintes industrielles conduisent souvent avoir en asservissement (grands

mouvements) des dynamiques douces, par contre il est ncessaire dimposer une

dynamique rapide en rgulation (petits mouvements) afin de rsorber rapidement les

perturbations.

Pour satisfaire ces exigences on peut, au schma figure 3.1, adjoindre en amont un

modle de rfrence srie (figure 3.6) ou utiliser dautres structures de commande qui

seront tudies ultrieurement.

Figure 3-6 : Schma de commade avec un modle de rfrence srie

Avec cette structure de commande, on choisira la dynamique en rgulation, tel que le

transfert entre Y et W soit vloce, le modle de rfrence srie assurant alors une rponse

lente entre Y et W.



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- 10 -




19/148

INSA 4GE JM RETIF Robustesse d'une commande

11

CHAPITRE 2

ROBUSTESSE D'UNE COMMANDE

1. Position du problme.Lingnieur confront un problme de commande doit identifier son procd afin de qualifier

sa commande. Lors de cette dmarche il ne faut pas perdre de vue qu'un processus industriel a

souvent un comportement non linaire et qui, en plus, volue parfois au cours du temps, causedu vieillissement. En outre le correcteur reoit une ou plusieurs informations de capteurs de

mesures imparfaits et la grandeur de commande s'applique au systme par des organes de

puissances possdant eux mmes des limitations et non-linarits.

La complexit du procd, les erreurs et bruits de mesures, et les imperfections de l'actionneurs

ne doivent pas dcourager l'automaticien, mais plutt le sensibiliser une conception pouvant

s'affranchir au mieux de ces contraintes.

Face ces difficults l'automatique recle de nombreux outils tels, la commande non linaire, la

commande adaptative, la commande multivariable...,. Cependant l'identification et la synthse de

correcteurs dans un contexte non linaire n'a rien de trivial et l'on ne sait traiter l'heure actuelle

que quelques classes particulires de non-linarits.

Pour ces raisons l'approche linaire garde le plus souvent la faveur de l'ingnieur confront un

problme de commande.

Par consquent le procd sera identifi par un modle linaire rustique et l'on concevra un

correcteur qui s'affranchira au mieux des imperfections de l'identification et des bruits sur la

mesure et la commande.

La proprit d'une commande ragir correctement des variations du comportement du

processus et aux imperfections des mesures et de l'actuateur, est appel robustesse.

Il existe maintenant des approches de synthse de correcteurs robustes partir de la formulation

analytique des bruits et imperfections du processus, dus aux capteurs et actionneurs, et cela dans

un contexte multivariable. Dans ce cours nous restreindrons nos prtentions, une analyse des

performances d'un correcteur, par des indicateurs que nous allons tudier dans ce chapitre.En rsum une commande sera dites robuste si, partir d'un modle de procd approximatif, la

commande donne des rsultats satisfaisants avec une mesure entache d'erreur et un actionneur

imparfait.

2. Dfinitions.Considrons une commande classique d'asservissement conformment au schma ci-aprs:

Figure 2-1 : Systme boucl

Notons L=K.P le transfert en boucle ouverte.

Si nous exprimons le transfert entre l'erreur d'asservissement et la consigne W, il vient:

1

SW 1 L

= =+

(2.1)

Par dfinition ce transfert S est appel fonction de sensibilit.



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12

Exprimons maintenant la fonction de transfert en boucle ferme:

Y LT

W 1 L= =

+(2.2)

Cette fonction T est appele fonction de sensibilit complmentaire, cette dnomination provient

du fait que S+T=1;

L'analyse de la stabilit d'un systme se fait par l'tude des ples du dnominateur (1+L) du

transfert en boucle ferme. La stabilit est souvent apprcie par la reprsentation de L dans leplan de Nyquist, l'aide du critre du revers autour du point -1.

Nous rappellerons ici les critres de marge de phase et de marge de gain qui sont classiquement

utiliss pour apprcier la robustesse et nous dfinirons ensuite la marge de module et la marge de

retard.

2.1 Marge de gain.La marge de gain correspond la distance sur laxe des rels sparant lorigine ave lintersection

de la fonction L au dphasage de -180.

Lorsque la fonction de transfert L est mise en boucle ferme, pour ce point dintersection, la

contre-raction est positive ! Nous comprenons aisment que ce gain ne doit pas excder un, si

nous voulons que le systme reste stable.Sachant que le gain du processus est en fait connu que trs approximativement, lorsque la

fonction L=K.P, induit un dphasage de 180, il est prudent de prendre une scurit, celle-ci

sexprime classiquement par la marge de gain que nous noterons G .

Il est conseill que cette marge soit infrieure un demi :. Marge de gain G


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13

2.2 Marge de phase.La marge de phase est gale au dphasage de L pour un module unitaire (cf. Fig. 2-2)

Le correcteur a des paramtres fixes, seul le processus peut avoir un comportement diffrent de

la reprsentation P qui a servi la synthse de la commande.

Lorsque les paramtres du processus varient la fonction L se dforme et peut approcher voire

passer gauche du point -1.

Ces deux grandeurs permettent de saffranchir dans une certaine mesure des variationsparamtriques du processus. Cette notion est appel robustesse.

Nota :

La marge de phase est insuffisante pour bien qualifier la robustesse et nous labandonnerons au

profit de la marge de retard.

2.3 Marge de retard.Au dphasage de la marge de phase correspond une pulsation . Considrons un retard

parasite , celui-ci va induire un dphasage . = la pulsation .

Lorsque le retard

= , la marge devient nulle et le systme diverge.

On appellera donc marge de retard, le retard pur qui dstabilise le systme boucl.

Marge de retard

=

On peut avoir une bonne marge de phase, mais si celle ci correspond une pulsation importante,

un petit retard dstabilisera le processus. Ainsi la marge de phase peut conduire une conclusion

errone concernant la robustesse dune commande, nous lui prfrerons donc la marge de retard

qui mesure donne directement le retard pur qui dstabilise le systme en boucle ferme.

La valeur de la marge de retard doit tre compare la constante de temps principale du

processus. Il faut apprcier cette marge une valeur qui peut avoir t nglige dans la

modlisation du systme.

Plus le rapport de la marge de retard sur la constante de temps principale du processus est grand,

moins il est probable que ce retard existe. Ce jugement doit aussi tre relativis par rapport au

degr de confiance que lon a dans le modle de reprsentation du processus.

Lorsque le systme chantillonn la marge de retard de toute faon ne saurait tre infrieure la

priode d'chantillonnage.



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14

2.4 Marge de module.Elle se dfinit par le plus petit rayon M du cercle centr au point -1 qui est tangent lareprsentation de L dans le plan de Nyquist ( voir Fig. 2.2). Nous pouvons constater que la

marge de module est plus contraignante que la marge de gain, on a toujours: ( )M G1 < .

Sachant que le critre d'une bonne marge de gain est G 0,5 < une marge de module correcte

sexprimera de faon identique soit :

Marge de module M 0.5 >

La marge de module se substitue donc la marge de gain.

Comme nous venons de le voir, l'expression gomtrique de la marge de module s'exprime

simplement dans le plan de Nyquist. Nous allons maintenant la dfinir par rapport la fonction

de sensibilit S.

Sachant que par dfinition1 1

1 L L 1S S

= + = + , cette dernire galit peut s'interprter

vectoriellement dans le plan de Nyquist (voir figure 2.3).

Figure 2-3 :Reprsentation de Nyquist de la fonction L

Nous voyons que la marge de module correspond au minimum de.1

S. Par consquent le

maximum de la fonction de sensibilit S sera gal linverse de la marge de module.

Dans le plan de Bode, la marge de module M sera mesure par le maximum de la fonction desensibilit tel que M(dB)=-max(S).



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15

Figure 2-4 : Reprsentation de Bode de la fonction de sensibilit S

Dans cet exemple le maximum de la fonction de sensibilit est de 2.5 dB nous aurons donc

log(M)=-0.125 soit M=0.75.

Nota: Ici la fonction de sensibilit S reprsente le transfert en asservissementW

nous vrifions

bien qu' la frquence nulle le gain vaut zro, ce qui limine par consquent l'erreur statique pour

une entre en chelon.

En rsum.

Pour apprcier la robustesse on ne considrera que la marge de module, et la marge de retard.Elles devront alors respecter les ingalits suivantes.

Marge de module M 0.5 >

Marge de retard

e

=

50%Cons tan te de temps principale du processus

>

Avec un systme chantillonn 2.Te >

Nota :

Les valeurs de 0,5 et de 50% sont donnes ici qu titre indicatif et doivent tre modifies en

fonction de la qualit de la modlisation.

Ainsi pour un modle approximatif il faudra les rviser la hausse.



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16

3. Compromis prcision robustesse.Si nous reprsentons le module de S exprim en dB en fonction de la pulsation w on dmontre

que pour un processus stable:

dans le cas continu

0

S( ).d 0

= et dans le cas discret

e

2

0

S( ).d 0

=

e reprsentant la pulsation d'chantillonnage, l'intgration est faite entre 0 et la pulsation deShannon.

Figure 2-4 : Fonction de sensibilit S

Cette proprit se traduit dans la reprsentation graphique de la fonction de sensibilit par le fait

que la surface en dessous de 0 dB est gale celle se trouvant au-dessus.

Cette remarque vidente permet de mieux comprendre le compromis prcision robustesse que

doit faire le concepteur d'un correcteur. En effet amliorer le rejet d'une perturbation revient

filtrer, depuis le continu, une bande de frquence la plus large possible, mais cette augmentation

de la prcision relvera le maximum de S et diminuera donc la marge de module (cf. Fig. 3.1);

Nous pouvons constater sur la figure 3.1 que l'augmentation de la bande passante de rejet de

perturbation augmente la valeur de M exprim en dB c'est dire diminue la marge de module.

4. Approches de la robustesse.Dans un environnement perturb, il est possible de quantifier celui-ci, ainsi que la

mconnaissance que l'on a du processus. A partir de cette analyse qui est souvent difficile

mener, il existe des mthodes, (commande H , synthse) assurant le calcul d'un correcteursatisfaisant des contraintes de bruit. Ce type d'approche sort du cadre de ce cours, cependant il

nous sera possible, aprs utilisation d'une mthode de calcul d'un correcteur, d'apprcier la

qualit du correcteur par une analyse de la robustesse de celui-ci.



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17

Nous allons maintenant considrer une structure de commande faisant intervenir diffrents bruits

conformment au schma suivant:

Figure 4-1 : Schma de commande avec les perturbations Wu, Wy et le bruit Wb

Avec uW bruit sur l'entre

yW bruit de sortie

bW bruit de mesure

Afin de juger l'influence de ces bruits sur la sortie Y et la commande U, nous allons dfinir

diverses fonctions de sensibilits auxquelles pourront tre rattaches les notions de marge de

module, et de retard que nous avons tudies dans le paragraphe 2.

4.1 Influence des bruits sur la sortie .Calculons l'expression de la sortie

y u bY W P(W K.W K.W K.Y)= + +

y u bY(1 K.P) W P.W K.P.W K.P.W+ = + +

u y bK.P P 1 K.P

Y .W .W .W .W1 K.P 1 K.P 1 K.P 1 K.P

= + + + + + +

(4.1)

Le premier transfert correspond la dynamique d'asservissement, les trois autres reprsentent la

contribution des bruits qui altrent la sortie. Notons respectivement u, y, b les erreursapports par Wu, Wy, Wb, la sortie Y s'exprime alors:

u y bK.P

Y .W1 K.P

= + + +

Nous allons maintenant dfinir les fonctions de sensibilit pour ces trois bruits, en adoptant pour

les tablir, la dfinition de celles ci la relation (2.1), soit S.W = , il vient:

yu u yy y yb bK.P

Y .W S .W S .W S .W1 K.P

= + + ++

(4.2)

4.1.1 Sensibilit de la sortie au bruit de sortie.Nous noterons yyS cette sensibilit qui s'exprime:

yyy

y

1S

W 1 K.P

= =

+

qui sera mis sous la forme yyyy

1S

1 L

=

+

avec: yyL K.P=



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18

4.1.2 Sensibilit de la sortie au bruit de mesure.Ici la fonction de sensibilit vaut byb

b

K.PS

W 1 K.P

= =

+

soit ybyb

1S

1 L=

+ce qui donne yb

1L 2

K.P=

4.1.3 Sensibilit de la sortie un bruit sur la commande.Pour un bruit sur la commande U, la fonction de sensibilit s'exprime par uyu

u

PS

W 1 K.P

= =

+

soit yuyu

1S

1 L=

+avec yu

1 1 K.P PL K 1

P P

+ = + =

4.2 Influence des bruits sur la commande.La synthse d'un correcteur satisfaisant des contraintes trop svres peut solliciter la

commande de faon brutale et fatiguer exagrment l'actionneur. Afin de juger des consquences

de la synthse d'un correcteur sur la grandeur de commande U, nous allons exprimer les

sensibilits de celles-ci aux divers bruits conformment au schma bloc de la figure 4.1.

u bU W K(W (W Wy P.U))= + + +

u bU(1 K.P) W K.W K.W K.Wy+ = + +

u b yK 1 K K

U W W W W1 K.P 1 K.P 1 K.P 1 K.P

= + + + + +

(4.3)

u b yK 1 K

U W W (W W )1 K.P 1 K.P 1 K.P

= + ++ + +

(4.4)

Nous constatons ici une volution de la commande comportant trois termes, le premier

correspond l'action dsire pour la consigne W, le second est li au bruit sur la commande Wu,

le troisime correspond contribution des bruits de mesure et de sortie Wb et Wy.

Nous pouvons comme prcdemment exprimer la grandeur tudie en exprimant les erreurs qui

l'affecte, soit :K

U W u y1 K.P= +

+ +

Pour chacun de ces bruits associons une fonction de sensibilit, il vient:

uu u uy b yK

U W S .W S .(W W )1 K.P

= + + ++

Si nous comparons les relations (4.1) et (4.4) nous constatons que uu yyS S= . L'tude de

l'influence des bruits sur la commande fait apparatre une quatrime fonction de sensibilit uyS

que nous allons expliciter.



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19

Sensibilit de la commande un bruit sur la sortie ou un bruit de mesure.

Nous noterons pour la sensibilit de la commande aux bruits sur la sortie et la mesure

yuy

KS

Wu 1 K.P

= =

+soit uy

uy

1S

1 L=

+ uy

1 (1 K.P K)L P 1

K K

+ + = =

4.3 Synthse sur les fonctions de sensibilitL'analyse qui vient d'tre faite, sur l'influence des perturbations, sur la sortie et sur la commande

nous a permis d'crire:

yu u yy y yb bK.P

Y W S .W S .W S .W1 K.P

= + + ++

yy u uy b yK

U W S .W S .(W W )1 K.P

= + + ++

Ces relations ont conduit la dfinition de quatre fonctions de sensibilit:

Trois concernent la sortie.

yyS Sensibilit de la sortie une perturbation sur la sortie.

yuS Sensibilit de la sortie une perturbation sur la commande.

ybS Sensibilit de la sortie un bruit de mesure.

et une la commande

uyS Sensibilit de la commande un bruit sur la sortie ou un bruit de mesure.

Nota : yyS reprsente ici la sensibilit de la commande un bruit sur la commande

Lorsque vous voudrez tester la robustesse d'un correcteur, il faudra, en fonction de la

connaissance que vous avez a priori des bruits altrant la chane de commande, calculer les

fonctions de sensibilit correspondantes. Au minimum il faut calculer yyS et souvent ybS et yuS .

Si l'on met le processus sous la forme :B

PA

= et le correcteurR

KS

= , les diverses expressions

assurant le calcul de la sensibilit sont rsumes dans le tableau ci aprs. Ici T reprsente la

fonction de transfert en boucle ferme.

Selon la formulation du problme les fonctions ijL peuvent tre calcules simplement partir de

la relation (2.1) soit:

ijij

1S

1 L=

+

ijij

1 SL

Sij

=



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20

Les diffrentes relations permettant de calculer les fonctions de sensibilits sont runies dans le

tableau 4.7.

Sensibilit de la

sortie une

perturbation sur

la sortie

yy1

S1 K.P

=+

yyL K.P= yyS 1 T=

yyA.S

SAS B.R

=+

yy

B.R

L A.S=

Sensibilit de la

sortie une

perturbation sur

la mesure

ybK.P

S1 K.P

= +

yb1

L 2K.P

=

yb

yb yy

S T

S S 1

=

=

ybB.R

SAS B.R

= +

yb(A.S 2.B.R)

LB.R

+=

Sensibilit de la

sortie une

perturbation sur

la commande yuP

S 1 K.P= +

yu1

L K 1P

= +

yu yyS P.S=

yuB.S

SAS B.R

=+

yuA.S B.R B.S

LB.S

+ =

Sensibilit de la

commande un

bruit de sortie ou

de mesure

uyK

S1 K.P

= +

uy1

L P 1K

=

uy yyS K.S=

uyA.R

SAS B.R

= +

uyA.S B.R A.R

LA.R

=

Tableau 4-74.4 Calcul des marges de robustesse.

4.4.1 Marge de module.Celle-ci peut tre calcule soit partir de la reprsentation de Nyquist de la fonction Lij,

conformment la figure 2.2, ou en dterminant le maximum de la fonction de sensibilit S ij,

dans ce casij

1M

max(S ) =

4.4.2 Marge de phaseElle se dtermine dans le plan de Nyquist ou de Bode de Lij (Fig.(2.2)).

4.4.3 Marge de retardComme prcdemment la reprsentation de Bode de ijL permet le calcul de la marge de retard.

=



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21

5. Exemple.Considrons le schma de commande suivant:

2

2

p 0,1 p 1

0, 5 p p

+ +

+

+

+

uW

U

2

1

p 0,1 p 1+ +

PROCESSUSCORRECTEUR

+

+

yWPerturbation

sur la commande

Perturbation

sur la sortie

+

+

Y

Bruit sur la

mesurebW

-

+

W

Consigne

Figure 5-1 : Commande dun processus du second ordre

Le processus a pour transfert2

B(p) 1P(p)

A(p) p 0,1.p 1= =

+ +

la pulsation propre p=1 rd/s et de coefficient d'amortissement p=0.05.

Le correcteur choisi simplifie le dnominateur du processus et assure en boucle ferme une

dynamique du second ordre.

soit2R(p) p 0,1.p 1

K(p)S(p) p(1 0,5.p)

+ += =

+

Avec ce correcteur le transfert en asservissement vaut2

Y(p) 1

W(p) 0,5.p p 1

=+ +

La dynamique en asservissement aura une pulsation propre o=1.41 rd/s et un coefficientd'amortissement de 0=0.7 assurant ainsi un bon compromis temps de rponse dpassement.

Nous allons maintenant tudier la robustesse de ce correcteur vis vis de la sortie et en prsence

d'une perturbation sur la sortie et d'un bruit sur la commande.

5.1 Influence de la perturbation Wy sur la sortie.Nous nous trouvons ici dans le cas classique de la dynamique de rejet de perturbations o la

fonction Lyy est gale au transfert en boucle ouverte.

soit ici yy 2

B(p).R(p) 1L K(p).P(p)

A(p).S(p) 0,5.p p= = =

+

Cette fonction, dans les reprsentations de Bode et Nyquist, nous permettra de dterminer les

diffrentes marges. Afin de bien apprcier l'volution de yyL en fonction de la frquence, nous

tracerons sa reprsentation de Nyquist avec le gain exprim en dB (Fig. 5.2a). Pour mesurer la

marge de module et la marge de phase, seule la partie proche du cercle unit sera reprsente

(Fig. 5.2b).



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22

Figure 5-2a : Reprsentation de Nyquist de Lyy en dB

Cette reprsentation de Nyquist o le module est en dB rend la dynamique sur Lyy plus visible.

Nous pouvons vrifier qu une pulsation nulle le gain est infini, ce qui est normal puisque le

correcteur est intgrateur.

Figure 5-2b : Reprsentation de Nyquist de Lyy

Des diffrentes reprsentations de yyL nous pouvons dduire les diffrentes marges soit:

Marge de module M=0.78 Marge de phase =68

Marge de retard68. 1,187

1,25s180. 0.95

= = =

=1,25 s



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Figure 5-2c : Reprsentation de Bode de Lyy

Nous pouvons voir, sur la reprsentation dans Nyquist et dans Bode de yyL , que le correcteur

prsente des garanties de robustesse importante pour une perturbation sur la sortie.

Pour juger du rejet de la perturbation sur la sortie yW , il faut, comme nous l'avons vu au

paragraphe 4, tracer sa fonction de sensibilit.

soit iciy

yyy

A(p).S(p)S

W A(p).S(p) B(p).R(p)

= =

+

2

yy 2

0,5.p pS

0,5.p p 1

+=

+ +

Dont la reprsentation de Bode est donne figure 5.2d

Figure 5-2d : Reprsentation de Bode de Syy

Nous pouvons vrifier un trs bon rejet de la perturbation dans une bande de frquence allant du

continu 0,8 rd/s.



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5.2 Influence du bruit Wu sur la sortie.Le rejet de perturbation possde, comme nous venons de le voir, une bonne robustesse, nous

allons maintenant tudier l'influence sur la sortie Y d'un bruit de commande .

Ici il faut tudier le transfert

yu

1 A(p).S(p) B(p).R(p) B(p).S(p)

L K(p) 1P(p) B(p).S(p)

+

= + =

4 3 2

yu 2

0,5.p 1,05.p 1,1.p 0,1.p 1L

0,5.p p

+ + + +=

+

Figure 5-3a : Reprsentation de Nyquist de Lyu en dB

La reprsentation Fig. 5.3a de yuL passe trs prs du point -1, nous pouvons mesurer (Fig. 5.3b)

une marge de module M=0,1 ce qui est nettement insuffisante.

Figure 5-3b :Reprsentation de Nyquist Lyu

Influence sur la sortie dune perturbation de commande



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25

Figure 5.3c : Reprsentation de Bode de Lyu

A partir de la reprsentation de Bode (Fig. 5.3c) on mesure une marge de phase =54 pour une

pulsation =0,65 rd/s. La marge de retard sera donc54.

1,5s180.0.65

= =

La marge de module tant nettement insuffisante, pour apprcier le rejet de perturbation sur la

commande, calculons la fonction de sensibilit yuS .

yuP(p) B(p).S(p)

S1 K(p).P(p) A(p).S(p) B(p).R(p)

= =+ +

2

yu 4 3 2

0,5.p pS

0,5.p 1,05.p 1,6.p 1,1.p 1

+=

+ + + +

dont la reprsentation de Bode est donne figure 5.3d

Figure 5-3d : Reprsentation de Bode de Syu



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26

Nous pouvons ici vrifier que le maximum de Syu=20 dB, soit un gain de 10, ce qui amne

videmment pour la marge de module1

M 0,110

= = .

Si l'on considre la bande passante de rjection du bruit Wu -20dB nous constatons que celle ci

est comprise entre 0.1 et 3.4 rd/s, ce qui est considrable, on peut donc s'attendre une influence

trs importante de Wu sur la sortie Y.

5.3 Analyse temporelleAfin de vrifier notre analyse de la robustesse, nous avons procd la simulation de la

commande conformment au schma figure 4.1.

asservissement et perturbation sur la sortie

Nous avons tout d'abord envoy une consigne W en chelon unitaire suivie au temps t=15s

d'une perturbation en chelon yW d'amplitude 0,2.

Nous vrifions bien ( figures 5.4a 5.4b), comme prvu, la bonne dynamique en asservissement et

en rgulation. La dynamique de la commande est satisfaisante.

Figure 5-4a : Rponse indicielle avec une perturbation sur la sortie

Figure 5-4b : Commande U



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asservissement et perturbation sur la commande

Comme prcdemment nous envoyons un chelon de consigne, mais ici au temps t=15s nous

perturbons la commande d'un chelon d'amplitude 0,2. Il est clair, que les oscillations induites

sont, comme prvu, totalement inacceptables. Ceci est d principalement au fait que nous avons

simplifi un dnominateur trs oscillatoire du processus. En pratique il est dconseill d'liminer

des ples ou des zros du processus ayant un coefficient d'amortissement infrieur 0,5.

Dans cet exemple c'est le retour la case dpart. Il faut refaire une synthse d'un correcteur

reposant sur une mthodologie plus raliste.

Figure 5-5a : Rponse indicielle avec une perturbation sur la commande

Figure 5-5b : Commande U



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INSA 4GE JM RETIF Commande par PID continu

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CHAPITRE 3

COMMANDE PAR PID CONTINU

1. Introduction.1.1. Prambule.

Les rgulateurs proportionnel intgral (PI) et proportionnel intgral driv (PID), sont trsrpandus, car historiquement, ils faisaient appel pour leur ralisation des techniques

analogiques. A l'heure actuelle, bien que l'approche numrique soit prdominante, l'utilisation

des PI, PID perdure, car elle est robuste et ne prsuppose pas une connaissance prcise de la

dynamique du procd commander.

Des gnrations de rgleurs se sont contentes le plus souvent du tournevis pour toute thorie!

Les progrs de l'automatique et les possibilits de l'lectronique numrique offrent des moyens

d'analyse et de conception de commandes qu'il est ais d'implmenter ensuite sur une unit de

calcul.

Malgr cela, la plupart du temps, les fabricants de rgulateurs se sont contents de simuler sur

des microprocesseurs des rgulateurs continus. Nous verrons ultrieurement que pour une mme

complexit algorithmique il est possible de faire la synthse de correcteurs ddis des plus

performants.

Les correcteurs PI, PID tant encore trs rpandus nous allons tudier dans ce chapitre divers

moyens de les rgler.

Il existe dans la littrature spcialise de multiples moyens de rgler les paramtres d'un

rgulateur continu. Une partie de ceux ci ncessite une connaissance trs frustre du systme et

est base principalement sur des rsultats empiriques, d'autres partir du plan de Black ou de

Nyquist permettent d'orienter le choix d'un rglage.

Nous allons ici proposer une approche diffrente et privilgier une synthse algbrique reposant,

sur la connaissance d'un modle de comportement du processus, et un placement de ples, fixant

la rponse en boucle ferme.La dmarche que nous allons suivre reprsente seulement une tape dans le cadre plus gnral de

la dfinition d'une commande. Quel que soit le type de correcteur choisi, qu'il soit continu ou

discret, la dmarche de l'automaticien, confront un problme de commande, peut se subdiviser

en plusieurs tapes:

Etape 1 : Choix du modle.

A partir de la connaissance que l'on a du processus il faudra choisir:

Le type de modle: Transmittance continue, transmittance discrte, variable d'tat

continue, variable d'tat discrte, matrice de transfert.

L'ordre ou la taille des reprsentations d'tat.

Ce choix induit videmment une classe de correcteurs possible, en effet, si vous modlisez votresystme par une fonction de transfert en z, il va de soi que vous ferez le calcul avec un correcteur

discret, dans le cas d'une modlisation par variable d'tat il vous sera possible d'accder des

commandes telles, la commande optimale ou la compensation par retour d'tat.

Plus l'ordre de la modlisation sera leve plus la prcision du modle sera importante, mais le

correcteur sera lui aussi d'ordre lev. Il s'agira donc d'oprer un compromis prcision

complexit.

Etape 2 : Mesure du comportement en boucle ouverte.

Si cela est possible, il faudra procder l'enregistrement de la sortie et de l'entre du processus,

pour oprer son identification. La qualit de l'identification est trs sensible la richesse

spectrale de l'entre, il faudra donc choisir le signal de stimulation le plus adapt au systme. Onchoisi gnralement un chelon, des crneaux, voire une squence binaire pseudo alatoire.



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Un autre point important est de dfinir le ou les points de fonctionnement pour lesquels seront

faites les acquisitions.

Etape 3 : Identification.

Il existe une multitude de mthodes d'identification numrique trs efficace, nous pouvons par

exemple utiliser :

Les moindres carrs gnraliss, le maximum de vraisemblance, le simplex , le recuit simul

etc..

Ces mthodes et d'autres sont disponibles dans des logiciels commercialiss d'utilisation simple

tels Matlab, Scilab, MatrixX, Pim, Acsyde...

Une fois l'identification faite il faudra juger de sa qualit dans le domaine temporel, et partir

d'indicateurs, tel l'cart quadratique.

Si les rsultats ne sont pas satisfaisants, il est rare que se soit la mthode d'identification qui soit

en cause, il faudra revenir l'tape 1 ou l'tape 2.

Etape 4 : Analyse du modle de comportement.

On tudiera ici les ples et les zros du modle ainsi que ses reprsentations frquentielles afin

de bien orienter la stratgie de commande.Etape 5 : Traduction du cahier des charges.

A partir des besoins exprims sur les qualits que doit avoir la rponse du systme command,

notamment: le temps de rponse dsir, le dpassement accept, l'limination des perturbations,

il faudra dterminer les contraintes pour la synthse du correcteur.

Etape 6 : Choix du correcteur

Il faut ici choisir un type de correcteur et une mthode de synthse de celui ci prenant en compte

les contraintes dfinies l'tape 5.

Etape 7 : Apprciation de la synthse faite.

Il faudra calculer les fonctions de sensibilits significatives par rapport l'environnement qui est

connu, et vrifier si les diffrentes marges de robustesse sont satisfaisantes.

Conjointement il est utile d'oprer des simulations temporelles, si possible avec une

modlisation du processus diffrente de celle qui a servi l'tablissement du correcteur, afin

d'apprcier la qualit de la dynamique de la sortie, de la commande, et les saturations ventuelles

sur l'actionneur etc.

Si l'ensemble de ces tests sont satisfaisants la phase d'implantation de l'algorithme ou

l'application des rglages calculs pourra tre faite. Dans le cas contraire il faudra revenir

l'tape 5 voire l'tape 1.

1.2. Rgulateur PI.Un rgulateur Proportionnel Intgral gnre la commande u(t) partir du signal d'cart consigne

mesure (t) conformment l'quation suivante: u t K tT

t dtpi

t

( ) . ( ) ( ).= +

1

0

Sa transmittance de Laplace vaut

U pK

T pp p i

( ).

.( )= +

1

1= K

T p

T pp

i

i

..

.

1+

. =

+

K

TK p

p

p

ip .

(1.1)



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31

Ce rgulateur possde un zro dpendant de Ti et un ple fixe nul, il ne pourra compenser qu'un

ple du processus, nous l'utiliserons donc pour des systmes modliss par un premier ordre.

1.3. Rgulateur PID.Un rgulateur Proportionnel Intgral Driv ralise la fonction

u t K tT

t dt Td t

dtp i d

t

( ) . ( ) ( ). .. ( )

= + +

1

0

dont la transforme de Laplace vaut:

U pK

T pT p

p p id

( ).

..

( )= + +

1

1=

+ +

K

TK p K T p

p

p

ip p d. . .

2

(1.2)

Le rgulateur PID possde 2 zros et un ple nul, il peut compenser deux ples du processus il

sera utilis prfrentiellement pour rguler des processus modliss par un second ordre.

1.4.

Rgulateur PID filtr.L'action drive d'un correcteur PID peut poser des problmes d'amplification du bruit dans les

hautes frquences, c'est pour cela que l'on adjoint souvent l'action drive un filtre passe bas du

premier ordre. Le transfert d'un PID filtr est alors:

U pK

T p

T p

T p

N

p p i

d

d

( ).

.

.

.( )= + +

+

11

1

=

+ +

+ +

+

K

TK

T

N Tp K T

Np

pT

Np

p

ip

d

ip d

d

..

. . . .

.

1 11 2

2(1.3)

La reprsentation frquentielle de l'action drive est donne figure (1.1)

1

Td

N

Td

Reprsentation de Bode de la dri ve fil tre

Gain(dB)

pulsation rd/s

Figure 1-1 : Diagramme de Bode dune drive filtre

Ce rgulateur dispose de quatre paramtres de rglages qui pourront tre mis profit pour

matriser la dynamique d'un processus du second ordre.



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2. Commande d'un premier ordre par un correcteur PI.Soit un processus modlis par la transmittance P p

b

a p( )

.=

+0

11et command par un rgulateur

PI conformment au schma ci aprs :

Ici 0b reprsente le gain statique et 1a la constante de temps.

Correcteur

Proportionnel

Intgral Processus

+

-

W U YK

T pp

i

.(.

)+11 b

a p

0

11+ .

+

Wy

+

Figure 2-1 : Commande dun premier ordre par un PI

Reprsentons la fonction de transfert en boucle ouverte de cette commande:

( )L K p P p

K T p

T p

b

a pyy

p i

i

= =+

+

( ). ( )

. .

..

.

1

1

0

1

(2.1)

Celle ci est du second ordre et donnera dans le cas gnral un comportement en boucle ferme

possdant deux ples et un zro. Nous avons ici notre disposition deux coefficients de rglage

qui nous permettons, soit de fixer les ples sans matriser le zro, soit de fixer un ple et un zro.

Pour cette dernire approche il est intressant de prendre comme zro du correcteur le ple du

processus, ce qui revient ici simplifier le dnominateur du systme par le numrateur du

correcteur.

Nous allons maintenant appliquer ces deux dmarches pour calculer les actions proportionnelleet intgrales.

2.1. Comportement en premier ordre.Nous allons ici simplifier le dnominateur du processus par le numrateur du correcteur

l'expression du transfert en boucle ouverte vaut:

( )L K p P p

K T p

T p

b

a pyy

p i

i

= =+

+

( ). ( )

. .

..

.

1

1

0

1

soit en posant ( ) ( )1 1 1+ = +T p a pi . . (2.2)

L K p P pK b

T pyy

p

i

= =

( ). ( )

.

.

0la fonction de transfert en boucle ferme est un premier ordre de

la forme suivante ( )

..

pT

K bpi

p

=

+

1

10

=+

1

1 0T p.avec To constante de temps

fixant le comportement en boucle ferme soit TT

K b

i

p0

0

=.

(2.3)



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33

En rsolvant les quations (2.2) et (2.3) les actions du rgulateur PI sont donnes par les

relations suivantes:

(2.4) (2.5)

0T.0b

1apK = 1aiT =

Nous constatons que les rglages sont trs simples, l'action intgrale iT est gale la constante

de temps du processus et le gain pK sera d'autant plus important que la constante de temps en

boucle ferme sera faible.

Le choix de 0T est dpendant de la constante de temps 1a du processus, dans la pratique elle est

du mme ordre de grandeur, on a intrt la prendre plus faible, si la robustesse est assur et que

la commande ne sature pas.

2.2. Comportement en second ordre.Le rgulateur PI dispose de deux paramtres de rglage, il est donc possible de fixer 2 ples en

boucle ferme.

Avec un rgulateur PI de la forme : KT p

pi

..

11

+

et un processus

b

a p

0

11+ .

le transfert en boucle ouverte vaut:( )

L K p P pK T p

T p

b

a pyy

p i

i

= =+

+

( ). ( )

. .

..

.

1

1

0

1

ce qui donne

en boucle ferme : ( )( . )

..

.

.

pT p

p Tb K

pa T

b K

i

ip

i

p

=+

+ +

+

1

1 11

0

2 1

0

(2.6)

La fonction de transfert (p) a un zro et deux ples. Le rgulateur PI ne possdant que deuxparamtres de rglages, il ne sera possible que de matriser le dnominateur de (p).

Nous allons donc fixer les ples sans s'occuper du zro de (p). En mettant ce transfert sous laforme d'un second ordre exprim par sa pulsation propre o et son coefficient d'amortissemento on a:

( )( . )

. .p

T p

p p

i=+

+ +

1

12 0

0

2

02

(2.7)

L'identification des dnominateurs des relations (2.6) et (2.7) donne:

02 0

1

=b K

a T

p

i

.

.(2.8) et

21

10

0 0

.

.

= +

T b Ki p

(2.9)

La pulsation propre 0 va permettre de rgler le temps de rponse et le coefficient

d'amortissement 0 le dpassement.

En rsolvant ces deux quations, les coefficients de rglage s'expriment en fonction des

paramtres 0b , 1a du modle du processus et des exigences de l'asservissement, exprims par la

pulsation propre 0 et le coefficient d'amortissement 0 .

T aa

i = 2 10 0 102

1

. . ..

(2.10) K T ab

p i= 02

1

0

. . (2.11)



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Condition d'existence du rglage.

Les actions calcules partir des relations (2.10) et (2.11) doivent tre positives. Cela ncessite

que pour avoir une action intgrale positive de respecter l'ingalit suivante:

0 01

1

2.

.

a(2.12)

Remarque sur le choix de o et oUn bon point de dpart est de prendre la pulsation propre 0 gale celle du processus en

boucle ouverte. En asservissement, afin de fixer une dynamique plus rapide elle pourra tre plus

importante. La valeur maximale admissible sera atteinte lorsque pour le plus grand changement

de consigne, la commande sera sature.

En ce qui concerne le dpassement, la valeur 0 0,7 = correspond un lger dpassement

assurant un bon temps de rponse. Si l'on ne veut pas de dpassement on prendra 0 0,9 = .

En rgulation 0 0,4 = doit tre considr comme une valeur limite.

3. Commande d'un second ordre par un correcteur PID.Nous allons ici tudier le rglage d'un correcteur PID commandant un processus modlis

suivant un second ordre conformment au schma suivant:

Correcteur

Proportionnel

Intgral driv Processus

+

-

W U Y

K T pp i.( .+1

1

ba p

011+ .

+

Wy

+

+Tdp. )a p2+ .

2

Figure 3-1 : Commande dun second ordre par un PID

Les fonctions de transfert de ce schma de commande sont :

Pour le processus :

P pB p

A p

b

a p a p( )

( )

( ) . .= =

+ +0

1 221

(3.1)

Pour le correcteur :

K pR p

S pK

T pT pp

id( )

( )

( ).

..= = + +

1

1=

+ +K

TK p K T p

p

p

ip p d. . .

2

(3.2)

3.1. Comportement en premier ordre.Simplifions le dnominateur du processus par le numrateur du correcteur. La fonction en boucle

ouverte est: L K p P p K T p T T p

T p

b

a p a pyy p

i i d

i

= =+ +

+ +

( ). ( ) .

. . .

..

. .

1

1

20

1 22

avec 1 12 1 22+ + = + +T p T T p a p a pi i d. . . . . (3.3)



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il vient LK b

T pyy

p

i

=.

.

0

La fonction de transfert en boucle ferme est alors un premier ordre:

( )

.

.

pT

K b

pi

p

=

+

1

1

0

qui est de la forme ( ).

pT p

=+

1

1 0(3.4)

Les actions du rgulateur PID sont donnes par la rsolution des quations (3.3) et (3.4)

(3.5) (3.6) (3.7)

T ai = 1 Ta

Td

i

= 2 KT

b Tp

i=0 0.

3.2. Comportement en troisime ordre.Ici nous ne chercherons pas simplifier les ples du processus par les zros du correcteur, le

transfert en boucle ferme sera alors du troisime ordre. Nous aurons choisir trois ples en

boucle ferme qui permettront la dtermination des actions du correcteur.

La fonction de transfert en boucle ferme d'un PID et d'un processus modlis par un secondordre de la forme (3.1) est:

( ) ( ) 3p.0b.pK

iT.2a2p.0b.pK

1adT.0b.pK.iTp.

0b.pK

10b.pK.iT1

2p.dT.iTp.iT1)p(

++

++

+

++= (3.8)

Ce transfert peut tre reprsent par ( ). . .

. . .p

T p T T p

p p p

i i d=+ +

+ + +

1

1

2

2 3p p p1 2 3

avec ( )p1 =+T K b

K bi p

p

. .

.0

0

1 ( )i p 0 d 1

p 0

T . K .b .T a

K .b

+2=p p3 = a TK b

i

p

2

0..

La rsolution de ces trois quations fournie les rglages du rgulateur PID soit:

(3.9) (3.10) (3.11)

Ka

bp =

2

0

.

.

p p

p

1- 3

3

TK b

ai

p=. .0

2

p3

0b.pK

1a

iTdT =

2p

Choix des ples.

Le polynme 1 2 3+ + +p p p1 2 3. . .p p p peut s'exprimer par un ple double associ une

constante de temps soit ( )p

p T p2

02

0

00

21 1

+ +

+

.. . .

(3.12) (3.13) (3.14)

avec p1 = +T00

0

2.

p2 = +1 2

02

0 0

0

. .T p3 =

T0

02

.

Pour calculer les actions du correcteur, on choisira dans un premier temps le fonctionnement

dsir en boucle ferme en fixant 0, 0 et T0 . On calculera ensuite l'aide des relations (3.12) (3.14) les coefficients p1 , p2 , p3 du dnominateur de ( )p .Le calcul des actions du PID est

fourni par les relations (3.9) (3.11).



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Note sur le choix des ples.

Dun point de vue empirique sil est ais de dfinir un ou deux ples pour dfinir une dynamique

du premier ou de second ordre il est moins commode den dterminer trois.

Pour contourner cette apparente difficult, il suffit de choisir une dynamique du second ordre,

caractris par exemple, par sa pulsation propre et son coefficient damortissement.

Pour que la dynamique du second ordre choisi soit peu perturbe par le troisime ple, il suffit

que celui ci ait une pulsation beaucoup plus grande que celle choisi (petite constante de temps).

Condition d'existence d'un rglage positif.

Le rglage dun PID impose des rglages positifs, des valeurs ngatives nimpliquent pas que le

correcteur soit irralisable mais dans ce cas la signification physique des actions est dvoye.

Nous allons maintenant dterminer la condition qui donnera un rglage positif.

A partir des relations (3.10) et (3.11) nous pouvons crire,K b

aT

pd

..

0

2

1= p

p

2

3

.

Avoir une action drive positive implique p > p2 3 , en remplaant ces coefficients par les

expressions (3.13) et (3.14) nous obtenons,1 2

0

20 0

0

0

0

2

+ >. .T T

, la condition sur T0 sera:

T00 0

1

1 2 > i 0 0

T 0 0,00714> >

d 0 0 0 0T 0 0,00714 0,01 ou 0,025> < < >

0 0 0 0N 0 0,00714 0,01 ou 0,025> < < >



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55

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Td

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5

-4

Documents

Automatique Regulation