Universidade do AlgarveInstituto Superior de
EngenhariaDepartamento de Engenharia Electrot ecnicaANALISE
MATEMATICA II1aAulaFunc oes em IRn2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA
II1. Apresentac aoNome: Ana Bela Batista dos Santos / Larissa
Robertovna LabakhuaGabinete: 147 / 145Telefone: 289 800 100Extens
ao: 6546 / 6547E-mail: [email protected] / [email protected] - ISE -
UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II2. Avaliac aoOs alunos podem
obter aprovac ao na disciplina atrav es da avaliac ao:contnuaN
umero de testes: 2classicac ao mnima: 8,0 valores em cada
testeClassicac ao=0.9(T1+T2)/2+0.1PTdispensam de avaliac ao nal os
alunos cuja classicac ao seja superior ou iguala 10 valoresavaliac
ao nal Exame deEpoca normal Exame deEpoca de recursoDe acordo com o
Regulamento Geral de Avaliac ao da UALGDEE - ISE - UALG2010/2011 AN
ALISE MATEM ATICA II3. Programa1. FUNCOES REAIS DE MAIS DE UMA
VARIAVEL REAL(a) FUNCOESREAISDEVARIAVEISREAIS:Denic oesegr acos.
Curvasesuperfciesdenvel.Limiteecontinuidade. Crescimentoparcial
etotal. Derivadasparciais. Diferencial total esuaaplicac ao para c
alculos aproximados Derivada total. Derivadas parciais da func ao
composta e deuma func ao dada implicitamente. Derivadas parciais de
ordem n.2. INTEGRAIS MULTIPLOS(a) INTEGRAL DUPLO: C alculo. Aplicac
ao ao c alculo de areas e de volumes. Mudanca de vari avel
nointegral duplo. C alculo da area de uma superfcie. Outras aplicac
oes do integral duplo: Massa deuma gura e Momento de in ercia(b)
INTEGRAL TRIPLO: C alculo. Mudanca de vari avel no integral triplo.
Aplicac ao ao c alculo de vol-umes.3. EQUACOES DIFERENCIAIS(a)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE 1aORDEM: Equac oes de vari aveis separadas
e separ aveis. Equac oeslineares. Equac oes de uma func ao homog
enea e de uma func ao homogeneiz avel. Equac oes ex-actas e factor
integrante.(b) EQUACOES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A UM: Equac
oes homog eneas com coe-cientes constantes. M etodo dos coecientes
indeterminados.(c) APLICACOES`A ELECTROTECNIA: Circuitos RL, RC, LC
e RLC.DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II4.
Bibliograa CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (VOLUMES I E II),
Piskounov, N., Editora Lopes da Silva CALCULO (VOLUME II), Apostol,
T., McGraw-Hill INTEGRAIS MULTIPLOS EQUACOES DIFERENCIAIS,
Ferreira, M., Amaral, I., Colecc ao Matem atica MATHEMATICS FOR
ENGINEERS AND SCIENTISTS (VOLUME II), Bajpai, Calus, Fairley e
Walker CALCULO DIFERENCIAL EM IRn, Ferreira A.M. e Isabel Amaral,
Matem atica, Edic oes Silabo CALCULO COM GEOMETRIA ANALITICA
(VOLUME II), Swokowsky , Earl W., McGraw-Hill CALCULO DIFERENCIAL
EM IRn, Santos, Fernando Borja 3000 SOLVED PROBLEMS IN CALCULUS,
Mendelson, E. , Schaums Outiline Series, McGraw-Hill CALCULUS,
Smith, R., Minton, R., McGraw-Hill PRIMITIVAC AO, Saraiva, M.,
Silva, M., Edic oes ASA MODERNA INTRODUC AO`AS EQUACOES
DIFERENCIAIS, Bronson, R., McGraw-Hill DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH
APPLICATIONS AND HISTORICAL NOTES, Simmons, G., McGraw-HillDEE -
ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II5. Noc oes de
Topologia1. Dadosx=(x1, x2, . . . , xn), y =(y1, y2, . . . , yn)
IRne IR denimos as seguintesoperac oes(x1, . . . , xn) + (y1, . . .
, yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, .
. . , xn).2. Chama-se Norma Euclediana ou norma-2` a aplicac
aox=(x1,x2,...,xn)IRn: [[x[[2=_x21 + x22 + + x2n.3. Podemos agora
denir uma func ao dist ancia:x,yIRn: d(x, y) = [[x y[[2.4. Dene-se
Bola aberta de centro x e raio r como sendoB(x, r) = Br(x) = y IRn:
d(x, y) < re Bola fechada de centro x e raio rB(x, r) = Br(x) =
y IRn: d(x, y) r.5. Seja A IRn, dizemos que x A e ponto interior de
A serIR+: Br(x) A.Ao conjunto dos pontos interiores chamamos
interior de A e representamos por Int(A).DEE - ISE - UALG2010/2011
AN ALISE MATEM ATICA II6. Seja A IRn, dizemos que x e ponto
exterior de A serIR+: Br(x) A = .Ao conjunto dos pontos exteriores
chamamos exterior de Ae representamos por Ext(A).7. Dizemos que um
ponto pertence` a fronteira deA se n ao pertence ao interior nem
aoexterior deA. O conjunto de todos os pontos fronteira e
representado porfront(A).Equivalentemente, um pontox A e dito ponto
da fronteira se qualquer que seja avizinhanca de x ela cont em
pontos de A e de Ac.8. DizemosqueAIRn
econjuntoabertosetodososseuselementoss aopontosinteriores, isto e,
A = Int(A).9. O ponto x e dito ponto de acumulac ao do conjunto A
IRnse toda a bola aberta decentro x cont em pelo menos um ponto y A
e x ,= y, ou seja,rIRn: (Br(x)x) A ,= .10. O complementar do
conjunto A IRn e o conjunto de todos os pontos de IRnque n
aopertencem a A, isto e,Ac= x IRn: x , A.11. Dizemos que o conjunto
A IRn e fechado se o seu complementar, Ac, for um aberto.12. Dado A
IRnchamamos fecho ou ader encia de A ao conjuntoA = Int(A)
front(A)DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II13. Um
conjunto A IRn e dito limitado sem>0xA: |x| m.EXEMPLO 1 1. Int()
= front() = e Ext() = IRn.2. DadoK = [a, b[[c, d]= (x, y) IR2: x
[a, b[, y [c, d]temosInt(K) = ]a, b[]c, d[Ext(K) = IR2([a, b] [c,
d]Kc= IR2K=(], a[[b, [) (], c] [d, [)front(K) = (a [c, d]) (b [c,
d]) ([a, b[c) ([a, b[d)K = Int(K) front(K) = [a, b] [c, d].DEE -
ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II6. Func oes
VectoriaisDEFINIC AO 1SejaF: D IR IRnuma func ao de vari avel real
com valores emIRn, em queD e umsubconjunto do domnio deF, isto e,D
DF IR. Ent ao existem e s ao unicasn func oesreais de vari avel
real, Fi: D IR(i = 1, 2, . . . , n), tais queF: D IRnt (F1(t),
F2(t), . . . , Fn(t))`As func oes Fi(i = 1, 2, . . . , n) chamamos
func oes componentes de F.EXEMPLO 2Determine as componentes deF: IR
IR3t (cos(t), sin(t), t)EXEMPLO 3 1. Considere a func aoF: IR IR2t
(t, 2t)Determine as suas componentes e calcule F(0), F(2) e
F(2).DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II6.1. Limite,
Continuidade e DerivadasDEFINIC AO 2Seja F:DF IR IRne seja t0 um
ponto do fecho do domnio de F, DF.Dizemos que Ftende para L
IRnquando t tende para t0, e escrevemoslimtt0F(t) = L,se para t
DFse tem>0>0: [t0 t[ < |F(t) L| < ,ou seja,>0>0:
t ]t0 , t0 + [ F(t) B(L, ).Notas:L e-se: dado um> 0, existe >
0 tal que se t DFpertence ao intervalo [t0, t0 +]ent ao F(t)
pertence` a bola abertaB(L, ).Temos aindalimtt0(F1(t), . . . ,
Fn(t)) =_limtt0F1(t), . . . , limtt0Fn(t)_DEE - ISE - UALG2010/2011
AN ALISE MATEM ATICA IIEXEMPLO 4Dada a func ao (Figura 1)F(t) =
(cos t, sin t,t8)determinelimt0F(t)Figura 1: Representac ao gr aca
de F(t) = (cos t, sin t,t8)DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM
ATICA IIDEFINIC AO 3Sejam F: D IR IRne t0 D. Dizemos que F e
contnua em t0 se e s o selimtt0F(t) = F(t0).DEFINIC AO 4Sejam F: D
IR IRne t0 D. Dene-se derivada de Fem t0 pordFdt (t0) =limtt0F(t)
F(t0)t t0Notas:dFdt (t0) = limtt0F(t)F(t0)tt0=
limtt0(F1(t)F1(t0),...,Fn(t)Fn(t0))tt0= limtt0_F1(t)F1(t0)tt0, . .
. ,Fn(t)Fn(t0)tt0_=_dF1dt(t0), . . . ,dFndt(t0)_o vectordFdt (t0) e
a direcc ao da recta tangente` a curva Fno ponto F(t0).SeF: [a, b]
IRn e uma curva com derivada contnua em[a, b], denimos o
compri-mento L(F) da curva Fpor L(F) =_ba |dFdt (t)|dt.DEE - ISE -
UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA IIFigura 2: Representac ao gr
aca de F(t) = (sin t, et, 1) e da recta tangente a Fem F(0)EXEMPLO
5DadaF(t) =(sin t, et, 1)determineaequac aovectorial
darectatangenteaogr aco no ponto F(0) (Figura 2).EXEMPLO 6Determine
L(F) paraF: [2, 2] IR3t (t, 1, t)DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE
MATEM ATICA II7. Func oes Reais de Vari aveis Reais7.1. Denic ao de
func aoComecemos por considerar as func oes de IR2em IR.DEFINIC AO
5Suponhamos quef: D IR2 IR(x, y) z= f(x, y)sez =f(x, y) ca denida
de modo unico em func ao dex eyent aozdiz-se func ao deduas vari
aveis independentes, x e y, denidas no domnio D.Podemos estender a
denic ao a tr es ou mais vari aveis reais e independentes:DEFINIC
AO 6Se a todo on-uplo de vari aveis independentes(x1, x2, . . . ,
xn) corresponde um e um s ovalor w ent ao w diz-se func ao das vari
aveis independentes x1, x2, . . . , xn e escreve-se:w = f(x1, x2, .
. . , xn).DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II7.2. Gr
acosDEFINIC AO 7Sejaf: Df IRn IR(x1, x2, . . . , xn) z= f(x1, x2, .
. . , xn)uma func ao real de n vari aveis reais. Chamamos Gr aco de
f ao conjuntoGf= (x1, x2, . . . , xn, z) IRn+1:(x1, x2, . . . , xn)
Df z= f(x1, x2, . . . , xn)Notas:Obviamente que s o podemos tracar
gr acos de func oes reais de uma ou duas vari aveisreais.DEFINIC AO
8Ao conjunto de todos os pontos (x1, . . . , xn) D tais que f(x1, .
. . , xn) = c (c constante),Nc= (x1, . . . , xn) Df: f(x1, . . . ,
xn) = c,chamamos curva de nvel de f correspondente ao nvel c.DEE -
ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA IIFigura 3: Representac ao
gr aca de f(x, y) = x2+ y2Figura 4: Representac ao gr aca de f(x,
y) =_x2+ y2DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA IIFigura
5: Representac ao gr aca de f(x, y) = x2Figura 6: Curvas de nvel de
f(x, y) = x2+ y2DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA
II7.3. Limites e Continuidade7.3.1. LimitesDEFINIC AO 9Seja(x0, y0)
um ponto interior ou de acumulac ao do domnioDf. Diz-se queL IR e
olimite quando (x, y) tende para (x0, y0), se>0>0: |(x, y)
(x0, y0)| < [f(x, y) L[ < .Neste caso
escrevemoslim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L.EXEMPLO 7Provar, usando a
denic ao, que se f(x, y) = k (k IR) ent aolim(x,y)(x0,y0)k = k.DEE
- ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA IITEOREMA 1Suponha
quelim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L.Seja: IR IR2uma curva emIR2,contnua
emt0,com(t0) =(x0, y0) e,parat ,=t0,(t) ,= (x0, y0) com (t) Df. Ent
aolimtt0f((t)) = L.COROL ARIO 1.1Se 1 e 2 s ao duas curvas nas
condic oes do teorema,limtt0f(1(t)) = L1 e limtt0f(2(t)) = L2com L1
,=L2 ent ao o lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) n ao existe. Da mesma forma
tal limite n ao existese um dos limites n ao existir.Notas:Se, no
corol ario anterior, L1= L2 ent ao nada se pode concluir quanto ao
limite.DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA IIEXEMPLO
8Determinar, caso exista,lim(x,y)(0,0)x2y2x2+ y2.TEOREMA 2Se f(x,
y) g(x, y) h(x, y) para|(x, y) (x0, y0)| e lim(x,y)(x0,y0) f(x, y)
=lim(x,y)(x0,y0) h(x, y) = L ent aolim(x,y)(x0,y0)g(x, y) =
L.TEOREMA 3Selim(x,y)(x0,y0) f(x, y)=0 e se exister>0 tal que
[g(x, y)[ M(M>0) para |(x, y) (x0, y0)| < r ent
aolim(x,y)(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = 0DEE - ISE - UALG2010/2011 AN
ALISE MATEM ATICA IITEOREMA 41.lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = 0
lim(x,y)(x0,y0)[f(x, y)[ = 02.lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L
lim(x,y)(x0,y0)[f(x, y) L] = 03.lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L
lim(h,k)(0,0)[f(x0 + h, y0 + k)] = LDEE - ISE - UALG2010/2011 AN
ALISE MATEM ATICA IITEOREMA 5Se lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) = L1 e
lim(x,y)(x0,y0) g(x, y) = L2 ent ao1.lim(x,y)(x0,y0)(f(x, y) + g(x,
y)) = L1 + L22.lim(x,y)(x0,y0)(kf(x, y)) =
kL13.lim(x,y)(x0,y0)(f(x, y)g(x, y)) = L1L24.lim(x,y)(x0,y0)f(x,
y)g(x, y)=L1L2,desde que L2 ,= 0DEE - ISE - UALG2010/2011 AN ALISE
MATEM ATICA IITEOREMA 6Selim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L > 0ent ao
existe > 0 tal que para todo o (x, y) Df|(x, y) (x0, y0)| <
f(x, y) > 0.Notas:Supondo que |(x, y)| < ent ao temos:1. [x[
=x2_x2+ y2< (analogamente para [y[);2. x2 x2+ y2<
2(analogamente para y2);EXEMPLO 9Verique quelim(x,y)(0,0)x3x2+ y2=
0EXEMPLO 10Verique que n ao existelim(x,y)(0,0)x2x2+ y2DEE - ISE -
UALG2010/2011 AN ALISE MATEM ATICA II7.3.2. ContinuidadeDEFINIC AO
10Sejaf : D IR2IRe(x0, y0) Df. Diz-sequeafunc ao
econtnuanopontodeacumulac ao (x0, y0) se e s o
selim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0).EXEMPLO 11A func ao f(x, y) =
k e contnua em IR2poislim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = k = f(x0,
y0).EXEMPLO 12A func ao f(x, y) = x e contnua pois para todo (x0,
y0) IR2temoslim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = x0= f(x0, y0).DEE - ISE -
UALG
