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Probabilidade e E
statística
Conteúdo:
1.1 Por que estudar ?
1.2 O que é ?
1.3 População e A
mostra
1.4 Um
exemplo
1.5 Teoria da P
robabilidade1.6 A
nálise Com
binatória Professora:
Rosa M
. M. Leão
Aula 2
1.1 Por que estudar P
robabilidade e Estatística?
A E
statística é empregada com
o ferramenta fundam
ental em
várias áreas, tais como:
4
• em com
putação - estudo do desempenho de sistem
as,algoritm
os para aumentar a eficiência, etc;
• na área médica - m
etodologia adequada que possi-bilita decidir sobre a eficiência de um
novo tratamento;
• na indústria - controle de qualidade de produto e processo;
• na pesquisa de mercado e de opinião pública - defini-
ção de novos produtos, lançamentos, vendas, etc;
• na definição de indicadores econômicos e sociais;
• meteorologia, ecologia, biologia, entre outras.
Grande parte das inform
ações divulgadas pelos meios de
comunicação provém
de pesquisas e estudos estatísticos:
"a inflação esse mês foi ...."
"a taxa de desemprego no B
rasil no ano de 2005...."
"o candidato A tem
32% da intenção de votos, o can-
didato B tem
41% e 27%
dos entrevistados não souberam
ou não quiseram responder"
"o número de carros vendidos no país aum
entou em
20%"
" a altura média da população aum
entou em 5%
"
"o time A
teve 60% do tem
po de posse de bola, ..."
→→→→→→5
Pode tam
bém ajudar a responder perguntas do nosso dia
a dia, como por exem
plo:
6
Pode tam
bém ajudar a responder perguntas do nosso dia
a dia, como por exem
plo:
→7
Será que se jogarm
os sempre no m
esmo núm
ero na Me-
ga Sena terem
os uma possibilidade m
aior de ganhar?
Pode tam
bém ajudar a responder perguntas do nosso dia
a dia, como por exem
plo:
→→
8
Será que se jogarm
os sempre no m
esmo núm
ero na Me-
ga Sena terem
os uma possibilidade m
aior de ganhar?
Se em
um teste com
várias perguntas onde teremos que
responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se te-rem
os uma probabilidade de acertar um
número m
aior de respostas se "chutarm
os" sempre a m
esma resposta?
ou seria melhor alternarm
os as respostas?
Para m
odelar e/ou avaliar o sistema a ser estudado é
preciso coletar dados e/ou fazer algumas suposições:
→→9
Caso 1: S
istema já existe e deseja-se coletar dados
para seu estudo/modelagem
.
Caso 2: S
istema não existe e deseja-se criar um
modelo
para prever o seu desempenho.
• Sobre a obtenção dos dados para estudo/m
odelagemdo sistem
a:
10
• Sobre a obtenção dos dados para estudo/m
odelagemdo sistem
a:
11 • Se o sistem
a não existe, como obter os dados para
criar o modelo ?
• Com
o definir o período no qual deve-se coletar os dados (24h, som
ente pela manhã, no horário de m
aior uso do sistem
a) ?
• Pode-se usar os dados coletados durante um
certo período (am
ostra), para concluir sobre o comportam
ento do sistem
a ?
• Por quanto tem
po deve-se coletar os dados ?
ii) O que fazer com
os dados colhidos?
12
• Com
o fazer para que os dados obtidos para esse período de tem
po possam ser generalizados para
obtermos infom
ações sobre o sistema ?
• Com
o extrair informações de interesse?
• Com
o organizar esses dados?
13 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos perm
i-tam
responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
14 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos perm
i-tam
responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
Estas técnicas são:
Estatística
Probabilidade
Inferência estatística
→→→
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a
descrever, organizar e resumir os dados a fim
de que possam
os tirar conclusões de características de interesse.
15
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a
descrever, organizar e resumir os dados a fim
de que possam
os tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". P
ode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
16
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a
descrever, organizar e resumir os dados a fim
de que possam
os tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". P
ode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam
a análise e interpretação de dados com objetivo de genera-
lizar e prever resultados.
17
1.3 População e am
ostra
18
A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
1.3 População e am
ostra
Exem
plos:
i) Se o objeto de estudo for um
a aplicação P2P
, como
por exemplo o B
itTorrent. O
que é a população ?
19
A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
1.3 População e am
ostra
Exem
plos:
ii) Se o objeto de estudo for a confiabilidade de um
produto de uma certa fábrica durante um
período de tem
po, por exemplo, a durabilidade das lâm
padas pro- duzidas durante o ano de 2004, a população será com
- posta por todas as lâm
padas produzidas pela fábrica em
questão no ano de 2004.
20
A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
i) Se o objeto de estudo for um
a aplicação P2P
, como
por exemplo o B
itTorrent. O
que é a população ?
População
pode ser finita ou infinita
21
População
pode ser finita ou infinita
Em
determindas situações há im
possibilidade de se analisar toda população, ou por razões econôm
icas, ou pela população ser infinita.
22
Um
exemplo:
23
Sabem
os que uma aplicação é usada por m
ilhões depessoas, por exem
plo o Skype, e querem
os avaliarquantos pacotes de voz, em
média, são perdidos
prejudicando a qualidade da comunicação:
Um
exemplo: C
omo escolher?
24
Sabem
os que uma aplicação é usada por m
ilhões depessoas, por exem
plo o Skype, e querem
os avaliarquantos pacotes de voz, em
média, são perdidos
prejudicando a qualidade da comunicação:
População - todos os pacotes de voz transm
itidos pela aplicação
Am
ostra - parcela dos pacotes coletados
25
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
26
Análise: feita na população total ou em
uma am
ostra
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
27
Análise: feita na população total ou em
uma am
ostra
populaçãoam
ostra
A1 ?
A2 ?
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
28
Análise: feita na população total ou em
uma am
ostra
populaçãoam
ostra
A1
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
29 Teoria de P
robabilidade: Conceitos B
ásicos
Fenôm
eno Aleatório
Situação ou acontecim
ento cujos resultados não podem
ser previstos com certeza.
30 Fenôm
eno Aleatório
Situação ou acontecim
ento cujos resultados não podem
ser previstos com certeza.
Exem
plos:
→ O
resultado do lançamento de um
dado.
→ O
clima num
determinado dia da sem
ana que vem.
→ A
média final que você tirará nesta disciplina.
Teoria de P
robabilidade: Conceitos B
ásicos
31 Espaço am
ostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um
certo fenôm
eno aleatório.
Denom
inaremos este espaço pela letra grega Ω
(Ôm
ega).
32 Espaço am
ostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um
certo fenôm
eno aleatório.
Denom
inaremos este espaço pela letra grega Ω
(Ôm
ega).
Os subconjuntos do espaço am
ostral são chamados de
eventos e são representados por letras maiúsculas
(A, B
, C, ...).
33 Exem
plos:
→ U
ma m
oeda é lançada duas vezes e observam-se as
faces obtidas
onde aqui C é cara e R
coroa.
Ω = {C
C,C
R,R
C,R
R},
34 Exem
plos:
→ U
ma m
oeda é lançada duas vezes e observam-se as
faces obtidas
onde aqui C é cara e R
coroa.
Ω = {C
C,C
R,R
C,R
R},
→ U
ma m
oeda é lançada consecutivamente até o apare-
cimento da prim
eira cara
Ω = {C
,RC
,RR
C,R
RR
C,...},
que contém um
número infinito de elem
entos.
35 Lembrando da T
eoria dos Conjuntos:
→ O
conjunto vazio é denotado por ∅
→ A
união de dois eventos A e B
representa a ocorrên-
cia de, pelo menos, um
dos eventos A ou B
.
Denotam
os a união de A com
B por
→ A
intersecção do evento A com
B é a ocorrência sim
ul-
tânea de A e B
.
Denotam
os a intersecção de A com
B por .
36 Exem
plo
Sejam
A, B
e C três eventos do
espaço amostral Ω
:
Ω =
{A,B
,C}
AB
C
Pelo m
enos um dos eventos ocorre
AB
C
37 Exemplo
Sejam
A, B
e C três eventos do
espaço amostral Ω
:
Ω =
{A,B
,C}
AB
C
Am
bos os eventos ocorremA
B
C
38
→ D
ois eventos A e B
são disjuntos (ou mutuam
ente exclusivos) quando não têm
elementos em
comum
, ou seja:
→ D
ois eventos A e B
são complem
entares se sua uni- ão é o espaço am
ostral e sua intersecção é vazia, ou seja:
39
Exem
plo:
AB
C
A e C
: eventos disjuntos
Ac →
complem
entar de A
AB
C
AA
c
40
Outros exem
plos
→ P
elo menos um
dos eventos ocorre
→ O
evento A ocorre m
as o evento B não
→ N
enhum deles ocorre
41 4.3 Probabilidade
Um
a função P(.) é denom
inada probabilidade se satisfaz as condições:
ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numé-
ricos aos eventos do espaço amostral.
,com todos os disjuntos.
42 Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elem
entos do espaço am
ostral?
43
Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elem
entos do espaço am
ostral?
1) Baseado nas características da realização
de um fenôm
eno;
2) Usando as freqüências de ocorrência.
44 → B
aseado nas características da realização de um
fenômeno
Exem
plo:
Lançamento de um
dado cúbico perfeitamente hom
ogê-neo e sim
étrico com os lados num
erados, teremos o es-
paço amostral:
E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada
evento será:
45 → U
sando as freqüências de ocorrência
Exem
plo:
Pegam
os um dado e jogam
os várias vezes.
Para um
número suficientem
ente grande de lançamentos,
podemos usar as freqüências de ocorrência com
o probabi-lidades. M
as ......
46
O que quer dizer núm
ero suficientemente grande de lança-
mentos ?
Geralm
ente a medida que o núm
ero de repetições aumenta,
as freqüências relativas vão se estabilizando em um
número
que chamarem
os de probabilidade.
47 Exem
plo: Q
ual a probabilidade de escolhermos um
estudante do se-xo fem
inino ou
alguém da turm
a B?
Sabendo que 52%
dos alunos estão na turma A
e 48% na
turma B
, escolhemos um
estudante ao acaso.
Usem
os a tabela abaixo que mostra o núm
ero de alunosde cada sexo num
a escola:
Sexo
fn
FMT
otal
370,74
130,26
501
48 Tabela
Da tabela e das características das turm
as A e B
temos
P(M
) = 0,26;
P(A
) = 0,52;
P(F
) = 0,74; P(B
) = 0,48.
49 Pergunta colocada:
"Qual a probabilidade de escolherm
os um estudante do se-
xo feminino ou alguém
da turma B
?"
Não podem
os simplesm
ente somar P
(F) com
P(B
) já que teríam
os probabilidade maior que 1.
Estam
os somando duas vezes alguns elem
entos pois há m
ulheres em am
bas as turmas
Querem
os
P(M
) = 0,26;
P(A
) = 0,52;
P(F
) = 0,74; P(B
) = 0,48.
50 Temos que é igual ao núm
ero de estudantes do sexo fem
inino e da turma B
.
Assim
, para obter a probabilidade correta temos que som
ar as probabilidades P
(F) com
P(B
) e, então subtrair deste va-lor
ou seja,
51 Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-
lidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B
, é dada por
observe que se os eventos A e B
forem disjuntos (e som
en-te neste caso),a probabilidade da intersecção de A
com B
énula e tem
os que a união é igual a soma das probabilidades
dos dois eventos.
Esta regra pode ser estendida para som
a de três ou mais
termos.
52
e que
Observe que
53
Observe que
e que
Logo,
54 → C
omo calcular as freqüências de ocorrência:
Contando o núm
ero de casos favoráveis para ocorrênciade um
certo evento, se os eventos são equiprováveis
Quando o espaço am
ostral é grande, temos que usar a
análise combinatória
P(E
) = núm
ero de casos favoráveis/número total de casos