Assoc Parallel Journal

8/19/2019 Assoc Parallel Journal

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I E E E T R A N S A C T I O N S O N K N O W L E D G E A N D D A T A E N G I N E E R I N G , V O L . X X , N O . Y , M O N T H 1 9 9 9 1

S c a l a b l e P a r a l l e l D a t a M i n i n g f o r A s s o c i a t i o n R u l e s

E u i - H o n g ( S a m ) H a n , G e o r g e K a r y p i s , a n d V i p i n K u m a r

A b s t r a c t | I n t h i s p a p e r w e p r o p o s e t w o n e w p a r a l l e l f o r -

m u l a t i o n s o f t h e A p r i o r i a l g o r i t h m t h a t i s u s e d f o r c o m p u t i n g

a s s o c i a t i o n r u l e s . T h e s e n e w f o r m u l a t i o n s , I D D a n d H D , a d -

d r e s s t h e s h o r t c o m i n g s o f t w o p r e v i o u s l y p r o p o s e d p a r a l l e l

f o r m u l a t i o n s C D a n d D D . U n l i k e t h e C D a l g o r i t h m , t h e I D D

a l g o r i t h m p a r t i t i o n s t h e c a n d i d a t e s e t i n t e l l i g e n t l y a m o n g

p r o c e s s o r s t o e c i e n t l y p a r a l l e l i z e t h e s t e p o f b u i l d i n g t h e

h a s h t r e e . T h e I D D a l g o r i t h m a l s o e l i m i n a t e s t h e r e d u n -

d a n t w o r k i n h e r e n t i n D D , a n d r e q u i r e s s u b s t a n t i a l l y s m a l l e r

c o m m u n i c a t i o n o v e r h e a d t h a n D D . B u t I D D s u e r s f r o m t h e

a d d e d c o s t d u e t o c o m m u n i c a t i o n o f t r a n s a c t i o n s a m o n g p r o -

c e s s o r s . H D i s a h y b r i d a l g o r i t h m t h a t c o m b i n e s t h e a d v a n -

t a g e s o f C D a n d D D . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s o n a 1 2 8 - p r o c e s s o r

C r a y T 3 E s h o w t h a t H D s c a l e s j u s t a s w e l l a s t h e C D a l g o -

r i t h m w i t h r e s p e c t t o t h e n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s , a n d s c a l e s

a s w e l l a s I D D w i t h r e s p e c t t o i n c r e a s i n g c a n d i d a t e s e t s i z e .

K e y w o r d s | D a t a m i n i n g , p a r a l l e l p r o c e s s i n g , a s s o c i a t i o n

r u l e s , l o a d b a l a n c e , s c a l a b i l i t y .

I . I n t r o d u c t i o n

O n e o f t h e i m p o r t a n t p r o b l e m s i n d a t a m i n i n g 1 ] i s d i s -

c o v e r i n g a s s o c i a t i o n r u l e s f r o m d a t a b a s e s o f t r a n s a c t i o n s ,

w h e r e e a c h t r a n s a c t i o n c o n t a i n s a s e t o f i t e m s . T h e m o s t

t i m e c o n s u m i n g o p e r a t i o n i n t h i s d i s c o v e r y p r o c e s s i s t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e f r e q u e n c i e s o f t h e o c c u r r e n c e o f s u b s e t s

o f i t e m s , a l s o c a l l e d c a n d i d a t e s , i n t h e d a t a b a s e o f t r a n s -

a c t i o n s . S i n c e u s u a l l y s u c h t r a n s a c t i o n - b a s e d d a t a b a s e s

c o n t a i n a l a r g e n u m b e r o f d i s t i n c t i t e m s , t h e t o t a l n u m -

b e r o f c a n d i d a t e s i s p r o h i b i t i v e l y l a r g e . H e n c e , c u r r e n t

a s s o c i a t i o n r u l e d i s c o v e r y t e c h n i q u e s 2 ] , 3 ] , 4 ] , 5 ] t r y t o

p r u n e t h e s e a r c h s p a c e b y r e q u i r i n g a m i n i m u m l e v e l o f

s u p p o r t f o r c a n d i d a t e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . S u p p o r t i s a

m e a s u r e o f t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f t h e c a n d i d a t e s i n

d a t a b a s e t r a n s a c t i o n s . A p r i o r i 2 ] i s a r e c e n t s t a t e - o f - t h e -

a r t a l g o r i t h m t h a t a g g r e s s i v e l y p r u n e s t h e s e t o f p o t e n t i a l

c a n d i d a t e s o f s i z e k b y u s i n g t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n : a

c a n d i d a t e o f s i z e k c a n m e e t t h e m i n i m u m l e v e l o f s u p -

p o r t o n l y i f a l l o f i t s s u b s e t s a l s o m e e t t h e m i n i m u m l e v e l

o f s u p p o r t . I n t h e k

t h

i t e r a t i o n , t h i s a l g o r i t h m c o m p u t e s

t h e o c c u r r e n c e s o f p o t e n t i a l c a n d i d a t e s o f s i z e k i n e a c h

o f t h e t r a n s a c t i o n s . T o d o t h i s t a s k e c i e n t l y , t h e a l g o -

r i t h m m a i n t a i n s a l l p o t e n t i a l c a n d i d a t e s o f s i z e k i n a h a s h

t r e e . T h i s a l g o r i t h m d o e s n o t r e q u i r e t h e t r a n s a c t i o n s t o

s t a y i n m a i n m e m o r y , b u t r e q u i r e s t h e h a s h t r e e s t o s t a y i n

m a i n m e m o r y . I f t h e e n t i r e h a s h t r e e c a n n o t t i n t h e m a i n

m e m o r y , t h e n t h e h a s h t r e e n e e d s t o b e p a r t i t i o n e d , a n d

m u l t i p l e p a s s e s o v e r t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e n e e d t o b e

p e r f o r m e d ( o n e f o r e a c h p a r t i t i o n o f t h e h a s h t r e e ) . E v e n

w i t h t h e h i g h l y e e c t i v e p r u n i n g m e t h o d o f A p r i o r i , t h e

t a s k o f n d i n g a l l a s s o c i a t i o n r u l e s i n m a n y a p p l i c a t i o n s

c a n r e q u i r e a l o t o f c o m p u t a t i o n p o w e r t h a t i s a v a i l a b l e

o n l y i n p a r a l l e l c o m p u t e r s .

T w o p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s o f t h e A p r i o r i a l g o r i t h m w e r e

p r o p o s e d i n 6 ] , C o u n t D i s t r i b u t i o n ( C D ) a n d D a t a D i s -

t r i b u t i o n ( D D ) . T h e C D a l g o r i t h m s c a l e s l i n e a r l y a n d h a s

e x c e l l e n t s p e e d u p a n d s i z e u p b e h a v i o r w i t h r e s p e c t t o t h e

n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s 6 ] . H o w e v e r , t h e r e a r e t w o p r o b -

l e m s w i t h t h i s a l g o r i t h m . F i r s t , i t d o e s n o t p a r a l l e l i z e t h e

c o m p u t a t i o n f o r b u i l d i n g t h e h a s h t r e e . O n a s e r i a l a l -

g o r i t h m , t h i s s t e p t a k e s r e l a t i v e l y s m a l l a m o u n t o f t i m e .

B u t o n p a r a l l e l c o m p u t a t i o n s , i t c a n b e c o m e a m a j o r b o t -

t l e n e c k . S e c o n d , i f t h e h a s h t r e e d o e s n o t t i n t h e m a i n

m e m o r y , t h e n t h e e x t r a d i s k I / O f o r t h e m u l t i p l e p a s s e s

o v e r t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e c a n b e e x p e n s i v e o n m a c h i n e s

w i t h s l o w I / O s y s t e m s . H e n c e , t h e C D a l g o r i t h m , l i k e i t s

s e q u e n t i a l c o u n t e r p a r t A p r i o r i , i s u n s c a l a b l e w i t h r e s p e c t

t o t h e i n c r e a s i n g s i z e o f c a n d i d a t e s e t . T h e D D a l g o r i t h m

a d d r e s s e s t h e s e p r o b l e m s o f t h e C D a l g o r i t h m b y p a r t i t i o n -

i n g t h e c a n d i d a t e s e t a n d a s s i g n i n g a p a r t i t i o n t o e a c h p r o -

c e s s o r i n t h e s y s t e m . H o w e v e r , t h i s a l g o r i t h m s u e r s f r o m

t h r e e t y p e s o f i n e c i e n c y . F i r s t , t h e a l g o r i t h m r e s u l t s i n

h i g h c o m m u n i c a t i o n o v e r h e a d d u e t o a n i n e c i e n t s c h e m e

u s e d f o r d a t a m o v e m e n t . S e c o n d , t h e s c h e d u l e f o r i n t e r a c -

t i o n s a m o n g p r o c e s s o r s i s s u c h t h a t i t c a n c a u s e p r o c e s s o r s

t o i d l e . T h i r d , e a c h t r a n s a c t i o n h a s t o b e p r o c e s s e d a g a i n s t

m u l t i p l e h a s h t r e e s c a u s i n g r e d u n d a n t c o m p u t a t i o n .

I n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t t w o n e w p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s o f

t h e A p r i o r i a l g o r i t h m f o r m i n i n g a s s o c i a t i o n r u l e s . W e r s t

p r e s e n t I n t e l l i g e n t D a t a D i s t r i b u t i o n ( I D D ) a l g o r i t h m t h a t

i m p r o v e s u p o n t h e D D a l g o r i t h m b y m i n i m i z i n g c o m m u n i -

c a t i o n o v e r h e a d a n d p r o c e s s o r i d l i n g t i m e , a n d b y e l i m i n a t -

i n g r e d u n d a n t c o m p u t a t i o n . H o w e v e r , t h e s t a t i c p a r t i t i o n -

i n g o f t h e h a s h t r e e r e s u l t s i n l o a d i m b a l a n c e t h a t b e c o m e s

s e v e r e f o r l a r g e n u m b e r o f p r o c e s s o r s . F u r t h e r m o r e , e v e n

w i t h t h e o p t i m i z e d c o m m u n i c a t i o n s c h e m e , t h e c o m m u n i -

c a t i o n o v e r h e a d o f I D D g r o w s l i n e a r l y w i t h t h e n u m b e r o f

t r a n s a c t i o n s . O u r s e c o n d f o r m u l a t i o n , t h e H y b r i d D i s t r i -

b u t i o n ( H D ) a l g o r i t h m , c o m b i n e s t h e a d v a n t a g e s o f b o t h

t h e C D a l g o r i t h m a n d t h e I D D a l g o r i t h m b y d y n a m i c a l l y

g r o u p i n g p r o c e s s o r s a n d p a r t i t i o n i n g t h e c a n d i d a t e s e t a c -

c o r d i n g l y t o m a i n t a i n g o o d l o a d b a l a n c e . T h e e x p e r i m e n -

t a l r e s u l t s o n a C r a y T 3 E p a r a l l e l c o m p u t e r s h o w t h a t t h e

H D a l g o r i t h m s c a l e s v e r y w e l l a n d e x p l o i t s t h e a g g r e g a t e

m e m o r y e c i e n t l y .

T h e r e s t o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n I I

p r o v i d e s a n o v e r v i e w o f t h e s e r i a l a l g o r i t h m f o r m i n i n g a s -

s o c i a t i o n r u l e s . S e c t i o n I I I d e s c r i b e s e x i s t i n g a n d p r o p o s e d

p a r a l l e l a l g o r i t h m s . S e c t i o n I V p r e s e n t s t h e p e r f o r m a n c e

a n a l y s i s o f t h e a l g o r i t h m s . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e s h o w n

i n S e c t i o n V . S e c t i o n V I c o n t a i n s c o n c l u s i o n s . A p r e l i m i -

n a r y v e r s i o n o f t h i s p a p e r a p p e a r e d i n 7 ] .

I I . B a s i c C o n c e p t s

L e t T b e t h e s e t o f t r a n s a c t i o n s w h e r e e a c h t r a n s a c t i o n

i s a s u b s e t o f t h e i t e m - s e t I . L e t C b e a s u b s e t o f I , t h e n


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T A B L E I

T r a n s a c t i o n s f r o m s u p e r m a r k e t .

T I D I t e m s

1 B r e a d , C o k e , M i l k

2 B e e r , B r e a d

3 B e e r , C o k e , D i a p e r , M i l k

4 B e e r , B r e a d , D i a p e r , M i l k

5 C o k e , D i a p e r , M i l k

w e d e n e t h e s u p p o r t c o u n t o f C w i t h r e s p e c t t o T t o b e :

( C ) = j f t j t 2 T ; C t g j :

T h u s ( C ) i s t h e n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s t h a t c o n t a i n C .

F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a s e t o f t r a n s a c t i o n s f r o m s u p e r m a r -

k e t a s s h o w n i n T a b l e I . T h e i t e m s s e t I f o r t h e s e t r a n s a c -

t i o n s i s f B r e a d , B e e r , C o k e , D i a p e r , M i l k g . T h e s u p p o r t

c o u n t o f f D i a p e r , M i l k g i s ( D i a p e r ; M i l k ) = 3 , w h e r e a s

( D i a p e r ; M i l k ; B e e r ) = 2 .

A n a s s o c i a t i o n r u l e i s a n e x p r e s s i o n o f t h e f o r m X

s ;

= ) Y ,

w h e r e X I a n d Y I . T h e s u p p o r t s o f t h e r u l e

X

s ;

= ) Y i s d e n e d a s ( X Y ) = j T j , a n d t h e c o n d e n c e

i s d e n e d a s ( X Y ) = ( X ) . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a

r u l e f D i a p e r , M i l k g = ) f B e e r g , i . e . p r e s e n c e o f d i a p e r

a n d m i l k i n a t r a n s a c t i o n t e n d s t o i n d i c a t e t h e p r e s e n c e

o f b e e r i n t h e t r a n s a c t i o n . T h e s u p p o r t o f t h i s r u l e i s

( D i a p e r ; M i l k ; B e e r ) = 5 = 4 0 % . T h e c o n d e n c e o f t h i s

r u l e i s ( D i a p e r ; M i l k ; B e e r ) = ( D i a p e r ; M i l k ) = 6 6 % . A

r u l e t h a t h a s a v e r y h i g h c o n d e n c e ( i . e . , c l o s e t o 1 . 0 ) i s

o f t e n v e r y i m p o r t a n t , b e c a u s e i t p r o v i d e s a n a c c u r a t e p r e -

d i c t i o n o n t h e a s s o c i a t i o n o f t h e i t e m s i n t h e r u l e . T h e

s u p p o r t o f a r u l e i s a l s o i m p o r t a n t , s i n c e i t i n d i c a t e s h o w

f r e q u e n t t h e r u l e i s i n t h e t r a n s a c t i o n s . R u l e s t h a t h a v e

v e r y s m a l l s u p p o r t a r e o f t e n u n i n t e r e s t i n g , s i n c e t h e y d o

n o t d e s c r i b e s i g n i c a n t l y l a r g e p o p u l a t i o n s . T h i s i s o n e o f

t h e r e a s o n s w h y m o s t a l g o r i t h m s 2 ] , 3 ] , 4 ] d i s r e g a r d a n y

r u l e s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e m i n i m u m s u p p o r t c o n d i t i o n

s p e c i e d b y t h e u s e r . T h i s l t e r i n g d u e t o t h e m i n i m u m

r e q u i r e d s u p p o r t i s a l s o c r i t i c a l i n r e d u c i n g t h e n u m b e r o f

d e r i v e d a s s o c i a t i o n r u l e s t o a m a n a g e a b l e s i z e . N o t e t h a t

t h e t o t a l n u m b e r o f p o s s i b l e r u l e s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e

n u m b e r o f s u b s e t s o f t h e i t e m - s e t I , w h i c h i s 2

j I j

. H e n c e

t h e l t e r i n g i s a b s o l u t e l y n e c e s s a r y i n m o s t p r a c t i c a l s e t -

t i n g s .

T h e t a s k o f d i s c o v e r i n g a n a s s o c i a t i o n r u l e i s t o n d a l l

r u l e s X

s ;

= ) Y , s u c h t h a t s i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o a

g i v e n m i n i m u m s u p p o r t t h r e s h o l d a n d i s g r e a t e r t h a n o r

e q u a l t o a g i v e n m i n i m u m c o n d e n c e t h r e s h o l d . T h e a s s o -

c i a t i o n r u l e d i s c o v e r y i s c o m p o s e d o f t w o s t e p s . T h e r s t

s t e p i s t o d i s c o v e r a l l t h e f r e q u e n t i t e m - s e t s ( c a n d i d a t e s e t s

t h a t h a v e m o r e s u p p o r t t h a n t h e m i n i m u m s u p p o r t t h r e s h -

o l d s p e c i e d ) . T h e s e c o n d s t e p i s t o g e n e r a t e a s s o c i a t i o n

r u l e s f r o m t h e s e f r e q u e n t i t e m - s e t s . T h e c o m p u t a t i o n o f

n d i n g t h e f r e q u e n t i t e m - s e t s i s m u c h m o r e e x p e n s i v e t h a n

n d i n g t h e r u l e s f r o m t h e s e f r e q u e n t i t e m - s e t s . H e n c e i n

t h i s p a p e r , w e o n l y f o c u s o n t h e r s t s t e p . T h e p a r a l l e l

1 . F

1

= f f r e q u e n t 1 - i t e m - s e t s g ;

2 . f o r ( k = 2 ; F

k 1

6= ; k + + ) f

3 . C

k

= a p r i o r i g e n ( F

k 1

)

4 . f o r a l l t r a n s a c t i o n s t 2 T f

5 . s u b s e t ( C

k

, t )

6 . g

7 . F

k

= f c 2 C

k

j c . c o u n t m i n s u p g

8 . g

9 . A n s w e r =

S

F

k

F i g . 1 . A p r i o r i A l g o r i t h m

i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s e c o n d s t e p i s s t r a i g h t f o r w a r d a n d

i s d i s c u s s e d i n 6 ] .

A n u m b e r o f s e q u e n t i a l a l g o r i t h m s h a v e b e e n d e v e l o p e d

f o r d i s c o v e r i n g f r e q u e n t i t e m - s e t s 8 ] , 2 ] , 3 ] . O u r p a r a l -

l e l a l g o r i t h m s a r e b a s e d o n t h e A p r i o r i a l g o r i t h m 2 ] t h a t

h a s s m a l l e r c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y c o m p a r e d t o o t h e r

a l g o r i t h m s . I n t h e r e s t o f t h i s s e c t i o n , w e b r i e y d e s c r i b e

t h e A p r i o r i a l g o r i t h m . T h e r e a d e r s h o u l d r e f e r t o 2 ] f o r

f u r t h e r d e t a i l s .

T h e h i g h l e v e l s t r u c t u r e o f t h e A p r i o r i a l g o r i t h m i s g i v e n

i n F i g u r e 1 . T h e A p r i o r i a l g o r i t h m c o n s i s t s o f a n u m b e r

o f p a s s e s . I n i t i a l l y F

1

c o n t a i n s a l l t h e i t e m s ( i . e . , i t e m s e t

o f s i z e o n e ) t h a t s a t i s f y t h e m i n i m u m s u p p o r t r e q u i r e m e n t .

D u r i n g p a s s k , t h e a l g o r i t h m n d s t h e s e t o f f r e q u e n t i t e m -

s e t s F

k

o f s i z e k t h a t s a t i s f y t h e m i n i m u m s u p p o r t r e q u i r e -

m e n t . T h e a l g o r i t h m t e r m i n a t e s w h e n F

k

i s e m p t y . I n e a c h

p a s s , t h e a l g o r i t h m r s t g e n e r a t e s C

k

, t h e c a n d i d a t e i t e m -

s e t s o f s i z e k . F u n c t i o n a p r i o r i g e n ( F

k 1

) c o n s t r u c t s C

k

b y

e x t e n d i n g f r e q u e n t i t e m - s e t s o f s i z e k 1 . T h i s e n s u r e s t h a t

a l l t h e s u b s e t s o f s i z e k 1 o f a n e w c a n d i d a t e i t e m - s e t a r e

i n F

k 1

. O n c e t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s a r e f o u n d , t h e i r f r e -

q u e n c i e s a r e c o m p u t e d b y c o u n t i n g h o w m a n y t r a n s a c t i o n s

c o n t a i n t h e s e c a n d i d a t e i t e m - s e t s . F i n a l l y , F

k

i s g e n e r -

a t e d b y p r u n i n g C

k

t o e l i m i n a t e i t e m - s e t s w i t h f r e q u e n c i e s

s m a l l e r t h a n t h e m i n i m u m s u p p o r t . T h e u n i o n o f t h e f r e -

q u e n t i t e m - s e t s ,

S

F

k

, i s t h e f r e q u e n t i t e m - s e t s f r o m w h i c h

w e g e n e r a t e a s s o c i a t i o n r u l e s .

C o m p u t i n g t h e c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s i s t h e

m o s t c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e s t e p o f t h e a l g o r i t h m . O n e

n a i v e w a y t o c o m p u t e t h e s e c o u n t s i s t o p e r f o r m s t r i n g -

m a t c h i n g o f e a c h t r a n s a c t i o n a g a i n s t e a c h c a n d i d a t e i t e m -

s e t . A f a s t e r w a y o f p e r f o r m i n g t h i s o p e r a t i o n i s t o u s e

a c a n d i d a t e h a s h t r e e i n w h i c h t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s a r e

h a s h e d 2 ] . H e r e w e e x p l a i n t h i s v i a a n e x a m p l e t o f a c i l i t a t e

t h e d i s c u s s i o n s o f p a r a l l e l a l g o r i t h m s a n d t h e i r a n a l y s i s .

F i g u r e 2 s h o w s o n e e x a m p l e o f t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e

w i t h c a n d i d a t e s o f s i z e 3 . T h e i n t e r n a l n o d e s o f t h e h a s h

t r e e h a v e h a s h t a b l e s t h a t c o n t a i n l i n k s t o c h i l d n o d e s . T h e

l e a f n o d e s c o n t a i n t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s . A h a s h t r e e o f

c a n d i d a t e i t e m - s e t s i s c o n s t r u c t e d a s f o l l o w s . I n i t i a l l y , t h e

h a s h t r e e c o n t a i n s o n l y a r o o t n o d e , w h i c h i s a l e a f n o d e

c o n t a i n i n g n o c a n d i d a t e i t e m - s e t . W h e n e a c h c a n d i d a t e

i t e m - s e t i s g e n e r a t e d , t h e i t e m s i n t h e s e t a r e s t o r e d i n

s o r t e d o r d e r . N o t e t h a t s i n c e C

1

a n d F

1

a r e c r e a t e d i n


3/16


2,5,8

1,4,7 3,6,9

Hash Function

1 2 3 5 6

3 4 5 3 5 6

2 3 5 6

3 5 6

5 6

1 +

2 +

3 +

2 3 4

Transaction

Candidate Hash Tree

3 6 71 3 61 4 5

1 2 4 1 2 5 1 5 9

6 8 9

3 5 7

4 5 7 4 5 8

3 6 8

5 6 7

F i g . 2 . S u b s e t o p e r a t i o n o n t h e r o o t o f a c a n d i d a t e h a s h t r e e .

s o r t e d o r d e r , e a c h c a n d i d a t e s e t i s g e n e r a t e d i n s o r t e d o r -

d e r w i t h o u t a n y n e e d f o r e x p l i c i t s o r t i n g . E a c h c a n d i d a t e

i t e m - s e t i s i n s e r t e d i n t o t h e h a s h t r e e b y h a s h i n g e a c h s u c -

c e s s i v e i t e m a t t h e i n t e r n a l n o d e s a n d t h e n f o l l o w i n g t h e

l i n k s i n t h e h a s h t a b l e . O n c e a l e a f i s r e a c h e d , t h e c a n d i -

d a t e i t e m - s e t i s i n s e r t e d a t t h e l e a f i f t h e t o t a l n u m b e r o f

c a n d i d a t e i t e m - s e t s a r e l e s s t h a n t h e m a x i m u m a l l o w e d . I f

t h e t o t a l n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m - s e t s a t t h e l e a f e x c e e d s

t h e m a x i m u m a l l o w e d a n d t h e d e p t h o f t h e l e a f i s l e s s t h a n

k , t h e l e a f n o d e i s c o n v e r t e d i n t o a n i n t e r n a l n o d e a n d c h i l d

n o d e s a r e c r e a t e d f o r t h e n e w i n t e r n a l n o d e . T h e c a n d i d a t e

i t e m - s e t s a r e d i s t r i b u t e d t o t h e c h i l d n o d e s a c c o r d i n g t o t h e

h a s h v a l u e s o f t h e i t e m s . F o r e x a m p l e , t h e c a n d i d a t e i t e m

s e t f 1 2 4 g i s i n s e r t e d b y h a s h i n g i t e m 1 a t t h e r o o t t o r e a c h

t h e l e f t c h i l d n o d e o f t h e r o o t , h a s h i n g i t e m 2 a t t h a t n o d e

t o r e a c h t h e m i d d l e c h i l d n o d e , h a s h i n g i t e m 3 t o r e a c h t h e

l e f t c h i l d n o d e w h i c h i s a l e a f n o d e .

T h e s u b s e t f u n c t i o n t r a v e r s e s t h e h a s h t r e e f r o m t h e r o o t

w i t h e v e r y i t e m i n a t r a n s a c t i o n a s a p o s s i b l e s t a r t i n g i t e m

o f a c a n d i d a t e . I n t h e n e x t l e v e l o f t h e t r e e , a l l t h e i t e m s

o f t h e t r a n s a c t i o n f o l l o w i n g t h e s t a r t i n g i t e m a r e h a s h e d .

T h i s i s d o n e r e c u r s i v e l y u n t i l a l e a f i s r e a c h e d . A t t h i s

1 2 3 5 6

3 4 5 3 5 6

3 5 61 2 +

1 3 + 5 6

1 5 + 6

2 3 5 6

3 5 6

5 6

1 +

2 +

3 +

2 3 4

Transaction

3 6 71 3 61 4 5

1 2 4 1 2 5 1 5 9

6 8 9

3 5 7

4 5 7 4 5 8

3 6 8

5 6 7

Candidate Hash Tree

F i g . 3 . S u b s e t o p e r a t i o n o n t h e l e f t m o s t s u b t r e e o f t h e r o o t o f a

c a n d i d a t e h a s h t r e e .

t i m e , a l l t h e c a n d i d a t e s a t t h e l e a f a r e c h e c k e d a g a i n s t t h e

t r a n s a c t i o n a n d t h e i r c o u n t s a r e u p d a t e d a c c o r d i n g l y . F i g -

u r e 2 s h o w s t h e s u b s e t o p e r a t i o n a t t h e r s t l e v e l o f t h e

t r e e w i t h t r a n s a c t i o n f 1 2 3 5 6 g . T h e i t e m 1 i s h a s h e d t o

t h e l e f t c h i l d n o d e o f t h e r o o t a n d t h e f o l l o w i n g t r a n s a c -

t i o n f 2 3 5 6 g i s a p p l i e d r e c u r s i v e l y t o t h e l e f t c h i l d n o d e .

T h e i t e m 2 i s h a s h e d t o t h e m i d d l e c h i l d n o d e o f t h e r o o t

a n d t h e w h o l e t r a n s a c t i o n i s c h e c k e d a g a i n s t t w o c a n d i d a t e

i t e m - s e t s i n t h e m i d d l e c h i l d n o d e . T h e n i t e m 3 i s h a s h e d

t o t h e r i g h t c h i l d n o d e o f t h e r o o t a n d t h e f o l l o w i n g t r a n s -

a c t i o n f 5 6 g i s a p p l i e d r e c u r s i v e l y t o t h e r i g h t c h i l d n o d e .

F i g u r e 3 s h o w s t h e s u b s e t o p e r a t i o n o n t h e l e f t c h i l d n o d e

o f t h e r o o t . H e r e t h e i t e m s 2 a n d 5 a r e h a s h e d t o t h e m i d -

d l e c h i l d n o d e a n d t h e f o l l o w i n g t r a n s a c t i o n s f 3 5 6 g a n d

f 6 g r e s p e c t i v e l y a r e a p p l i e d r e c u r s i v e l y t o t h e m i d d l e c h i l d

n o d e . T h e i t e m 3 i s h a s h e d t o t h e r i g h t c h i l d n o d e a n d t h e

r e m a i n i n g t r a n s a c t i o n f 5 6 g i s a p p l i e d r e c u r s i v e l y t o t h e

r i g h t c h i l d n o d e .

I I I . P a r a l l e l A l g o r i t h m s

I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l f o c u s o n t h e p a r a l l e l i z a t i o n o f t h e

t a s k t h a t n d s a l l f r e q u e n t i t e m - s e t s . W e r s t d i s c u s s t w o

p a r a l l e l a l g o r i t h m s p r o p o s e d i n 6 ] t o h e l p m o t i v a t e o u r

p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s . W e a l s o b r i e y d i s c u s s o t h e r p a r a l -

l e l a l g o r i t h m s . I n a l l o u r d i s c u s s i o n s , w e a s s u m e t h a t t h e

t r a n s a c t i o n s a r e e v e n l y d i s t r i b u t e d a m o n g t h e p r o c e s s o r s .

A . C o u n t D i s t r i b u t i o n A l g o r i t h m

I n t h e C o u n t D i s t r i b u t i o n ( C D ) a l g o r i t h m p r o p o s e d

i n 6 ] , e a c h p r o c e s s o r c o m p u t e s h o w m a n y t i m e s a l l t h e c a n -

d i d a t e s a p p e a r i n t h e l o c a l l y s t o r e d t r a n s a c t i o n s . T h i s i s

d o n e b y b u i l d i n g t h e e n t i r e h a s h t r e e t h a t c o r r e s p o n d s t o a l l

t h e c a n d i d a t e s a n d t h e n p e r f o r m i n g a s i n g l e p a s s o v e r t h e

l o c a l l y s t o r e d t r a n s a c t i o n s t o c o l l e c t t h e c o u n t s . T h e g l o b a l

c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e s a r e c o m p u t e d b y s u m m i n g t h e s e


4/16


i n d i v i d u a l c o u n t s u s i n g a g l o b a l r e d u c t i o n o p e r a t i o n 9 ] .

T h i s a l g o r i t h m i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 . N o t e t h a t s i n c e

e a c h p r o c e s s o r n e e d s t o b u i l d a h a s h t r e e f o r a l l t h e c a n -

d i d a t e s , t h e s e h a s h t r e e s a r e i d e n t i c a l a t e a c h p r o c e s s o r .

T h u s , e x c l u d i n g t h e g l o b a l r e d u c t i o n , e a c h p r o c e s s o r i n t h e

C D a l g o r i t h m e x e c u t e s t h e s e r i a l A p r i o r i a l g o r i t h m o n t h e

l o c a l l y s t o r e d t r a n s a c t i o n s .

T h i s a l g o r i t h m h a s b e e n s h o w n t o s c a l e l i n e a r l y w i t h t h e

n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s 6 ] . T h i s i s b e c a u s e e a c h p r o c e s s o r

c a n c o m p u t e t h e c o u n t s i n d e p e n d e n t l y o f t h e o t h e r p r o c e s -

s o r s a n d n e e d s t o c o m m u n i c a t e w i t h t h e o t h e r p r o c e s s o r s

o n l y o n c e a t t h e e n d o f t h e c o m p u t a t i o n s t e p . H o w e v e r , t h i s

a l g o r i t h m d o e s n o t p a r a l l e l i z e t h e c o m p u t a t i o n o f b u i l d i n g

t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e . T h i s s t e p b e c o m e s a b o t t l e n e c k

w i t h l a r g e n u m b e r o f p r o c e s s o r s . F u r t h e r m o r e , i f t h e n u m -

b e r o f c a n d i d a t e s i s l a r g e , t h e n t h e h a s h t r e e d o e s n o t t

i n t o t h e m a i n m e m o r y . I n t h i s c a s e , t h i s a l g o r i t h m h a s t o

p a r t i t i o n t h e h a s h t r e e a n d c o m p u t e t h e c o u n t s b y s c a n -

n i n g t h e d a t a b a s e m u l t i p l e t i m e s , o n c e f o r e a c h p a r t i t i o n o f

t h e h a s h t r e e . T h e c o s t o f e x t r a d a t a b a s e s c a n n i n g c a n b e

e x p e n s i v e i n t h e m a c h i n e s w i t h s l o w I / O s y s t e m . N o t e t h a t

t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s i n c r e a s e s i f e i t h e r t h e n u m b e r o f

d i s t i n c t i t e m s i n t h e d a t a b a s e i n c r e a s e s o r i f t h e m i n i m u m

s u p p o r t l e v e l o f t h e a s s o c i a t i o n r u l e s d e c r e a s e s . T h u s t h e

C D a l g o r i t h m i s e e c t i v e f o r s m a l l n u m b e r o f d i s t i n c t i t e m s

a n d a h i g h m i n i m u m s u p p o r t l e v e l .

B . D a t a D i s t r i b u t i o n A l g o r i t h m

T h e D a t a D i s t r i b u t i o n ( D D ) a l g o r i t h m 6 ] a d d r e s s e s t h e

m e m o r y p r o b l e m o f t h e C D a l g o r i t h m b y p a r t i t i o n i n g t h e

c a n d i d a t e i t e m - s e t s a m o n g t h e p r o c e s s o r s . T h i s p a r t i t i o n -

i n g i s d o n e i n a r o u n d r o b i n f a s h i o n . E a c h p r o c e s s o r i s

r e s p o n s i b l e f o r c o m p u t i n g t h e c o u n t s o f i t s l o c a l l y s t o r e d

s u b s e t o f t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s f o r a l l t h e t r a n s a c t i o n s i n

t h e d a t a b a s e . I n o r d e r t o d o t h a t , e a c h p r o c e s s o r n e e d s t o

s c a n t h e p o r t i o n s o f t h e t r a n s a c t i o n s a s s i g n e d t o t h e o t h e r

p r o c e s s o r s a s w e l l a s i t s l o c a l l y s t o r e d p o r t i o n o f t h e t r a n s -

a c t i o n s . I n t h e D D a l g o r i t h m , t h i s i s d o n e b y h a v i n g e a c h

p r o c e s s o r r e c e i v e t h e p o r t i o n s o f t h e t r a n s a c t i o n s s t o r e d i n

t h e o t h e r p r o c e s s o r s a s f o l l o w s . E a c h p r o c e s s o r a l l o c a t e s

P b u e r s ( e a c h o n e p a g e l o n g a n d o n e f o r e a c h p r o c e s s o r ) .

A t p r o c e s s o r P

i

, t h e i

t h

b u e r i s u s e d t o s t o r e t r a n s a c t i o n s

f r o m t h e l o c a l l y s t o r e d d a t a b a s e a n d t h e r e m a i n i n g b u e r s

a r e u s e d t o s t o r e t r a n s a c t i o n s f r o m t h e o t h e r p r o c e s s o r s .

N o w e a c h p r o c e s s o r P

i

c h e c k s t h e P b u e r s t o s e e w h i c h

o n e c o n t a i n s d a t a . L e t l b e t h i s b u e r ( t i e s a r e b r o k e n i n

f a v o r o f b u e r s o f o t h e r p r o c e s s o r s a n d t i e s a m o n g b u e r s

o f o t h e r p r o c e s s o r s a r e b r o k e n a r b i t r a r i l y ) . T h e p r o c e s -

s o r p r o c e s s e s t h e t r a n s a c t i o n s i n t h i s b u e r a n d u p d a t e s

t h e c o u n t s o f i t s o w n c a n d i d a t e s u b s e t . I f t h i s b u e r c o r -

r e s p o n d s t o t h e b u e r t h a t s t o r e s l o c a l t r a n s a c t i o n s ( i . e . ,

l = i ) , t h e n i t i s s e n t t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s ( v i a a s y n -

c h r o n o u s s e n d s ) , a n d a n e w p a g e i s r e a d f r o m t h e l o c a l

d a t a b a s e . I f t h i s b u e r c o r r e s p o n d s t o a b u e r t h a t s t o r e s

t r a n s a c t i o n s f r o m a n o t h e r p r o c e s s o r ( i . e . , l 6= i ) , t h e n i t i s

c l e a r e d a n d t h i s b u e r i s m a r k e d a v a i l a b l e f o r n e x t a s y n -

c h r o n o u s r e c e i v e f r o m a n y o t h e r p r o c e s s o r s . T h i s c o n t i n u e s

u n t i l e v e r y p r o c e s s o r h a s p r o c e s s e d a l l t h e t r a n s a c t i o n s .

H a v i n g c o m p u t e d t h e c o u n t s o f i t s c a n d i d a t e i t e m - s e t s ,

e a c h p r o c e s s o r n d s t h e f r e q u e n t i t e m - s e t s f r o m i t s c a n d i -

d a t e i t e m - s e t a n d t h e s e f r e q u e n t i t e m - s e t s a r e s e n t t o e v e r y

o t h e r p r o c e s s o r u s i n g a n a l l - t o - a l l b r o a d c a s t o p e r a t i o n 9 ] .

F i g u r e 5 s h o w s t h e h i g h l e v e l o p e r a t i o n s o f t h e a l g o r i t h m .

N o t e t h a t e a c h p r o c e s s o r h a s a d i e r e n t s e t o f c a n d i d a t e s

i n t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e .

T h i s a l g o r i t h m e x p l o i t s t h e t o t a l a v a i l a b l e m e m o r y b e t -

t e r t h a n C D , a s i t p a r t i t i o n s t h e c a n d i d a t e s e t a m o n g p r o -

c e s s o r s . A s t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s i n c r e a s e s , t h e n u m b e r

o f c a n d i d a t e s t h a t t h e a l g o r i t h m c a n h a n d l e a l s o i n c r e a s e s .

H o w e v e r , a s r e p o r t e d i n 6 ] , t h e p e r f o r m a n c e o f t h i s a l g o -

r i t h m i s s i g n i c a n t l y w o r s e t h a n t h e C D a l g o r i t h m . T h e

r u n t i m e o f t h i s a l g o r i t h m i s 1 0 t o 2 0 t i m e s m o r e t h a n t h a t

o f t h e C D a l g o r i t h m o n 1 6 p r o c e s s o r s 6 ] . T h e p r o b l e m

l i e s w i t h t h e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n o f t h e a l g o r i t h m a n d

t h e r e d u n d a n t w o r k t h a t i s p e r f o r m e d i n p r o c e s s i n g a l l t h e

t r a n s a c t i o n s .

T h e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n o f t h i s a l g o r i t h m c a u s e s

t h r e e p r o b l e m s . F i r s t , d u r i n g e a c h p a s s o f t h e a l g o r i t h m

e a c h p r o c e s s o r s e n d s t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s t h e p o r t i o n

o f t h e d a t a b a s e t h a t r e s i d e s l o c a l l y . I n p a r t i c u l a r , e a c h

p r o c e s s o r r e a d s t h e l o c a l l y s t o r e d p o r t i o n o f t h e d a t a b a s e

o n e p a g e a t a t i m e a n d s e n d s i t t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s

b y i s s u i n g P 1 s e n d o p e r a t i o n s . S i m i l a r l y , e a c h p r o c e s s o r

i s s u e s a r e c e i v e o p e r a t i o n f r o m e a c h o t h e r p r o c e s s o r i n o r -

d e r t o r e c e i v e t h e s e p a g e s . I f t h e i n t e r c o n n e c t i o n n e t w o r k

o f t h e u n d e r l y i n g p a r a l l e l c o m p u t e r i s f u l l y c o n n e c t e d ( i . e . ,

t h e r e i s a d i r e c t l i n k b e t w e e n a l l p a i r s o f p r o c e s s o r s ) a n d

e a c h p r o c e s s o r c a n r e c e i v e d a t a o n a l l i n c o m i n g l i n k s s i -

m u l t a n e o u s l y , t h e n t h i s c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n w i l l l e a d

t o a v e r y g o o d p e r f o r m a n c e . I n p a r t i c u l a r , i f O ( N = P ) i s

t h e s i z e o f t h e d a t a b a s e a s s i g n e d l o c a l l y t o e a c h p r o c e s -

s o r , t h e a m o u n t o f t i m e s p e n t i n t h e c o m m u n i c a t i o n w i l l

b e O ( N = P ) . H o w e v e r , e v e n o n t h e p a r a l l e l c o m p u t e r w i t h

f u l l y c o n n e c t e d n e t w o r k , i f e a c h p r o c e s s o r c a n r e c e i v e d a t a

f r o m ( o r s e n d d a t a t o ) o n l y o n e o t h e r p r o c e s s o r a t a t i m e ,

t h e n t h e c o m m u n i c a t i o n w i l l b e O ( N ) . O n a l l r e a l i s t i c p a r -

a l l e l c o m p u t e r s , t h e p r o c e s s o r s a r e c o n n e c t e d v i a a s p a r s e r

n e t w o r k s ( s u c h a s 2 D , 3 D o r h y p e r c u b e ) a n d a p r o c e s s o r

c a n r e c e i v e d a t a f r o m ( o r s e n d d a t a t o ) o n l y o n e o t h e r

p r o c e s s o r a t a t i m e . O n s u c h m a c h i n e s , t h i s c o m m u n i c a -

t i o n p a t t e r n w i l l t a k e s i g n i c a n t l y m o r e t h a n O ( N ) t i m e

b e c a u s e o f c o n t e n t i o n w i t h i n t h e n e t w o r k .

S e c o n d , i n a r c h i t e c t u r e s w i t h o u t a s y n c h r o n o u s c o m m u -

n i c a t i o n s u p p o r t a n d w i t h n i t e n u m b e r o f c o m m u n i c a t i o n

b u e r s i n e a c h p r o c e s s o r , t h e p r o p o s e d a l l - t o - a l l c o m m u -

n i c a t i o n s c h e m e c a u s e s p r o c e s s o r s t o i d l e . F o r i n s t a n c e ,

c o n s i d e r t h e c a s e w h e n o n e p r o c e s s o r n i s h e s i t s o p e r a t i o n

o n l o c a l d a t a a n d s e n d s t h e b u e r t o a l l o t h e r p r o c e s s o r s .

N o w i f t h e c o m m u n i c a t i o n b u e r o f a n y r e c e i v i n g p r o c e s -

s o r s i s f u l l a n d t h e o u t g o i n g c o m m u n i c a t i o n b u e r s a r e f u l l ,

t h e n t h e s e n d o p e r a t i o n i s b l o c k e d .

T h i r d , i f w e l o o k a t t h e s i z e o f t h e c a n d i d a t e s e t s a s a

f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f p a s s e s o f t h e a l g o r i t h m , w e s e e

t h a t i n t h e r s t f e w p a s s e s , t h e s i z e o f t h e c a n d i d a t e s e t s

i n c r e a s e s a n d a f t e r t h a t i t d e c r e a s e s . I n p a r t i c u l a r , d u r i n g

t h e l a s t s e v e r a l p a s s e s o f t h e a l g o r i t h m , t h e r e a r e o n l y a


5/16


2{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

5

3

7

6

2

Proc 0 Proc 1 Proc 2 Proc 3

N/P

Data

Count

N/P

Data

Count

N/P

Data

Count

N/P

Data

Count

N: number of data items

M: size of candidate set

P: number of processors

Global Reduction

Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree

7 {1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

3

1

1

3

9

0{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

2

8

2

6

6

3{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

4

6

7

2

0

M M M M

F i g . 4 . C o u n t D i s t r i b u t i o n ( C D ) A l g o r i t h m


N/P N/P N/P

M/P M/P M/P M/P

Local Data Remote Data

CountCount


CountCount


CountCount


CountCount

N/PData




Data Data

Broadcast Broadcast Broadcast

All-to-all Broadcast

Data

Broadcast Broadca

Data

Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree

{1, 3}

{3, 4}

{4, 7}

9

2

3

{1, 4}

{3, 5}

{5, 6}

5

1

2

{2, 3}

{4, 5}

{5, 7}

4

6

7

{1, 2}

{2, 5}

{4, 6}

3

7

5

F i g . 5 . D a t a D i s t r i b u t i o n ( D D ) A l g o r i t h m


6/16


s m a l l n u m b e r o f i t e m s i n t h e c a n d i d a t e s e t s . H o w e v e r ,

e a c h p r o c e s s o r i n t h e D D a l g o r i t h m s t i l l s e n d s t h e l o c a l l y

s t o r e d p o r t i o n s o f t h e d a t a b a s e t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s .

T h u s , e v e n t h o u g h t h e c o m p u t a t i o n d e c r e a s e s , t h e a m o u n t

o f c o m m u n i c a t i o n r e m a i n s t h e s a m e .

T h e r e d u n d a n t w o r k i s i n t r o d u c e d d u e t o t h e f a c t t h a t

e v e r y p r o c e s s o r h a s t o p r o c e s s e v e r y s i n g l e t r a n s a c t i o n i n

t h e d a t a b a s e . I n C D ( s e e F i g u r e 4 ) , o n l y N = P t r a n s a c t i o n s

g o t h r o u g h e a c h h a s h t r e e o f M c a n d i d a t e s , w h e r e a s i n D D

( s e e F i g u r e 5 ) , a l l N t r a n s a c t i o n s h a v e t o g o t h r o u g h e a c h

h a s h t r e e o f M = P c a n d i d a t e s . A l t h o u g h , t h e n u m b e r o f

c a n d i d a t e s s t o r e d a t e a c h p r o c e s s o r h a s b e e n r e d u c e d b y

a f a c t o r o f P , t h e a m o u n t o f c o m p u t a t i o n p e r f o r m e d f o r

e a c h t r a n s a c t i o n h a s n o t b e e n p r o p o r t i o n a l l y r e d u c e d . I f

t h e a m o u n t o f w o r k r e q u i r e d f o r e a c h t r a n s a c t i o n t o b e

c h e c k e d a g a i n s t t h e h a s h t r e e o f M = P c a n d i d a t e s i s 1 = P

o f t h a t o f t h e h a s h t r e e o f M c a n d i d a t e s , t h e n t h e r e i s n o

e x t r a w o r k . A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n I V , i n g e n e r a l , t h e

a m o u n t o f w o r k p e r t r a n s a c t i o n w i l l g o d o w n b y a f a c t o r

m u c h s m a l l e r t h a n P .

C . I n t e l l i g e n t D a t a D i s t r i b u t i o n A l g o r i t h m

W e d e v e l o p e d t h e I n t e l l i g e n t D a t a D i s t r i b u t i o n ( I D D ) a l -

g o r i t h m t h a t s o l v e s t h e p r o b l e m s o f t h e D D a l g o r i t h m d i s -

c u s s e d i n S e c t i o n I I I - B . I n I D D , t h e l o c a l l y s t o r e d p o r t i o n s

o f t h e d a t a b a s e a r e s e n t t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s b y u s i n g

a r i n g - b a s e d a l l - t o - a l l b r o a d c a s t d e s c r i b e d i n 9 ] . T h i s o p -

e r a t i o n d o e s n o t s u e r f r o m t h e c o n t e n t i o n p r o b l e m s o f t h e

D D a l g o r i t h m a n d i t t a k e s O ( N ) t i m e o n a n y p a r a l l e l a r c h i -

t e c t u r e t h a t c a n b e e m b e d d e d i n a r i n g . F i g u r e 6 s h o w s t h e

p s e u d o c o d e f o r t h i s d a t a m o v e m e n t o p e r a t i o n . I n o u r a l g o -

r i t h m , t h e p r o c e s s o r s f o r m a l o g i c a l r i n g a n d e a c h p r o c e s s o r

d e t e r m i n e s i t s r i g h t a n d l e f t n e i g h b o r i n g p r o c e s s o r s . E a c h

p r o c e s s o r h a s o n e s e n d b u e r ( S B u f ) a n d o n e r e c e i v e b u e r

( R B u f ) . I n i t i a l l y , t h e S B u f i s l l e d w i t h o n e b l o c k o f l o c a l

d a t a . T h e n e a c h p r o c e s s o r i n i t i a t e s a n a s y n c h r o n o u s s e n d

o p e r a t i o n t o t h e r i g h t n e i g h b o r i n g p r o c e s s o r w i t h S B u f a n d

a n a s y n c h r o n o u s r e c e i v e o p e r a t i o n t o t h e l e f t n e i g h b o r i n g

p r o c e s s o r w i t h R B u f . W h i l e t h e s e a s y n c h r o n o u s o p e r a t i o n s

a r e p r o c e e d i n g , e a c h p r o c e s s o r p r o c e s s e s t h e t r a n s a c t i o n s i n

S B u f a n d c o l l e c t s t h e c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e s a s s i g n e d t o

t h e p r o c e s s o r . A f t e r t h i s o p e r a t i o n , e a c h p r o c e s s o r w a i t s

u n t i l t h e s e a s y n c h r o n o u s o p e r a t i o n s c o m p l e t e . T h e n t h e

r o l e s o f S B u f a n d R B u f a r e s w i t c h e d a n d t h e a b o v e o p e r a -

t i o n s c o n t i n u e f o r P 1 t i m e s . C o m p a r e d t o D D , w h e r e a l l

t h e p r o c e s s o r s s e n d d a t a t o a l l o t h e r p r o c e s s o r s , w e p e r f o r m

o n l y a p o i n t - t o - p o i n t c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n n e i g h b o r s ,

t h u s e l i m i n a t i n g a n y c o m m u n i c a t i o n c o n t e n t i o n . F u r t h e r -

m o r e , i f t h e t i m e t o p r o c e s s a b u e r d o e s n o t v a r y m u c h ,

t h e n t h e r e i s l i t t l e t i m e l o s t i n i d l i n g .

I n o r d e r t o e l i m i n a t e t h e r e d u n d a n t w o r k d u e t o t h e p a r -

t i t i o n i n g o f t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s , w e m u s t n d a f a s t w a y

t o c h e c k w h e t h e r a g i v e n t r a n s a c t i o n c a n p o t e n t i a l l y c o n -

t a i n a n y o f t h e c a n d i d a t e s s t o r e d a t e a c h p r o c e s s o r . T h i s

c a n n o t b e d o n e b y p a r t i t i o n i n g C

k

i n a r o u n d - r o b i n f a s h i o n .

H o w e v e r , i f w e p a r t i t i o n C

k

a m o n g p r o c e s s o r s i n s u c h a w a y

t h a t e a c h p r o c e s s o r g e t s i t e m - s e t s t h a t b e g i n o n l y w i t h a

s u b s e t o f a l l p o s s i b l e i t e m s , t h e n w e c a n c h e c k t h e i t e m s o f

w h i l e ( ! d o n e ) f

F i l l B u e r ( f d , S B u f ) ;

f o r ( k = 0 ; k


7/16



N/P N/P N/P

Local Data Remote Data Local Data Remote Data Local Data Remote Data Local Data Remote Data

N/PData DataData




Shift Shift Shift

Data

Shift

Data

Shift

M/P M/P M/P M/P

2, 5 3, 64

All-to-all Broadcast

Count Count

1, 7

Count Count Count Count Count Count

Candidate Hash Tree Candidate Hash TreeCandidate Hash Tree Candidate Hash Tree

Bit Map Bit Map Bit Map Bit Map

{2, 3}

{2, 5}

{5, 6}

2

6

9

{4, 5}

{4, 6}

{4, 7}

2

6

9

{3, 4}

{3, 5}

{6, 7}

2

6

9

{1, 2}

{1, 3}

{7, 8}

2

6

9

F i g . 7 . I n t e l l i g e n t D a t a D i s t r i b u t i o n ( I D D ) A l g o r i t h m

3 4 5

1 2 3 5 6

2 3 5 6

3 5 6

5 6

1 +

2 +

3 +

Candidate Hash Tree

3 6 71 3 61 4 5

1 2 4 1 2 5 1 5 9

Transaction

5 6 7

Skipped!! bitmap

1, 3, 5

3 6 83 5 7

3 5 6

F i g . 8 . S u b s e t o p e r a t i o n o n t h e r o o t o f a c a n d i d a t e h a s h t r e e i n I D D .

O n e o f t h e c r i t e r i a o f a g o o d p a r t i t i o n i n g i n v o l v e d h e r e i s

t o h a v e a n e q u a l n u m b e r o f c a n d i d a t e s i n a l l t h e p r o c e s -

s o r s . T h i s g i v e s a b o u t t h e s a m e s i z e h a s h t r e e i n a l l t h e

p r o c e s s o r s a n d t h u s p r o v i d e s g o o d l o a d b a l a n c i n g a m o n g

p r o c e s s o r s . N o t e t h a t i n t h e D D a l g o r i t h m , t h i s w a s a c c o m -

p l i s h e d b y d i s t r i b u t i n g c a n d i d a t e s i n a r o u n d r o b i n f a s h i o n .

A n a i v e m e t h o d f o r a s s i g n i n g c a n d i d a t e s t o p r o c e s s o r s c a n

l e a d t o a s i g n i c a n t l o a d i m b a l a n c e . F o r i n s t a n c e , c o n s i d e r

a d a t a b a s e w i t h 1 0 0 d i s t i n c t i t e m s n u m b e r e d f r o m 1 t o 1 0 0

a n d t h a t t h e d a t a b a s e t r a n s a c t i o n s h a v e m o r e d a t a i t e m s

n u m b e r e d w i t h 1 t o 5 0 . I f w e p a r t i t i o n t h e c a n d i d a t e s b e -

t w e e n t w o p r o c e s s o r s a n d a s s i g n a l l t h e c a n d i d a t e s s t a r t i n g

w i t h i t e m s 1 t o 5 0 t o p r o c e s s o r P

0

a n d c a n d i d a t e s s t a r t i n g

w i t h i t e m s 5 1 t o 1 0 0 t o p r o c e s s o r P

1

, t h e n t h e r e w o u l d b e

m o r e w o r k f o r p r o c e s s o r P

0

.

T o a c h i e v e a n e q u a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c a n d i d a t e i t e m -

s e t s , w e u s e a p a r t i t i o n i n g a l g o r i t h m t h a t i s b a s e d o n b i n -

p a c k i n g 1 0 ] . F o r e a c h i t e m , w e r s t c o m p u t e t h e n u m b e r o f

c a n d i d a t e i t e m - s e t s s t a r t i n g w i t h t h i s p a r t i c u l a r i t e m . N o t e

t h a t a t t h i s t i m e w e d o n o t a c t u a l l y s t o r e t h e c a n d i d a t e

i t e m - s e t s , b u t j u s t s t o r e t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m - s e t s

s t a r t i n g w i t h e a c h i t e m . W e t h e n u s e a b i n - p a c k i n g a l g o -

r i t h m t o p a r t i t i o n t h e s e i t e m s i n P b u c k e t s s u c h t h a t t h e

s u m o f n u m b e r s o f t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s s t a r t i n g w i t h

t h e s e i t e m s i n e a c h b u c k e t a r e r o u g h l y e q u a l . O n c e t h e l o -

c a t i o n o f e a c h c a n d i d a t e i t e m - s e t i s d e t e r m i n e d , t h e n e a c h

p r o c e s s o r l o c a l l y r e g e n e r a t e s a n d s t o r e s c a n d i d a t e i t e m - s e t s

t h a t a r e a s s i g n e d t o t h i s p r o c e s s o r . N o t e t h a t b i n - p a c k i n g

i s u s e d p e r p a s s o f t h e a l g o r i t h m a n d t h e a m o u n t o f t i m e

s p e n t o n b i n - p a c k i n g i s m i n o r c o m p a r e d t o t h e o v e r a l l r u n -

t i m e . F i g u r e 7 s h o w s t h e p a r t i t i o n e d c a n d i d a t e h a s h t r e e

a n d i t s c o r r e s p o n d i n g b i t m a p s i n e a c h p r o c e s s o r .

N o t e t h a t t h i s s c h e m e w i l l n o t b e a b l e t o a c h i e v e a n

e q u a l d i s t r i b u t i o n o f c a n d i d a t e s i f t h e r e a r e t o o m a n y c a n -

d i d a t e i t e m s e t s s t a r t i n g w i t h t h e s a m e i t e m . F o r e x a m p l e ,

i f t h e r e a r e m o r e t h a n M = P c a n d i d a t e s s t a r t i n g w i t h t h e

s a m e i t e m , t h e n o n e p r o c e s s o r c o n t a i n i n g c a n d i d a t e s s t a r t -

i n g w i t h t h i s i t e m w i l l h a v e m o r e t h a n M = P c a n d i d a t e s

e v e n i f n o o t h e r c a n d i d a t e s a r e a s s i g n e d t o i t . T h i s p r o b l e m

g e t s m o r e s e r i o u s w i t h i n c r e a s i n g P . O n e w a y o f h a n d l i n g

t h i s p r o b l e m i s t o p a r t i t i o n c a n d i d a t e i t e m s e t s b a s e d o n


8/16


m o r e t h a n t h e r s t i t e m s o f t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s . I n

t h i s a p p r o a c h , w h e n e v e r t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s s t a r t i n g

w i t h o n e p a r t i c u l a r i t e m i s g r e a t e r t h a n t h e t h r e s h o l d , t h i s

i t e m s e t i s f u r t h e r p a r t i t i o n e d u s i n g t h e s e c o n d i t e m o f t h e

c a n d i d a t e i t e m s e t s .

N o t e t h a t t h e e q u a l a s s i g n m e n t o f c a n d i d a t e s t o t h e p r o -

c e s s o r s d o e s n o t g u a r a n t e e t h e p e r f e c t l o a d b a l a n c e a m o n g

p r o c e s s o r s . T h i s i s b e c a u s e t h e c o s t o f t r a v e r s a l a n d c h e c k -

i n g a t t h e l e a f n o d e a r e d e t e r m i n e d n o t o n l y b y t h e s i z e a n d

s h a p e o f t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e , b u t a l s o b y t h e a c t u a l

i t e m s i n t h e t r a n s a c t i o n s . H o w e v e r , i n o u r e x p e r i m e n t s ,

w e h a v e o b s e r v e d a r e a s o n a b l y g o o d c o r r e l a t i o n b e t w e e n

t h e s i z e o f c a n d i d a t e s e t s a n d t h e a m o u n t o f w o r k d o n e b y

e a c h p r o c e s s o r . F o r e x a m p l e , w i t h 4 p r o c e s s o r s , w e w e r e

a b l e t o o b t a i n t h e t h e l o a d i m b a l a n c e o f 1 . 3 % i n t e r m s

o f t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s e t s , a n d t h i s t r a n s l a t e d i n t o

5 . 4 % l o a d i m b a l a n c e i n t h e a c t u a l c o m p u t a t i o n t i m e . W i t h

8 p r o c e s s o r s , w e h a d 2 . 3 % l o a d i m b a l a n c e i n t h e n u m b e r o f

c a n d i d a t e s e t s , a n d t h i s r e s u l t e d i n 9 . 4 % l o a d i m b a l a n c e i n

t h e c o m p u t a t i o n t i m e . S i n c e t h e e e c t o f t r a n s a c t i o n s o n

t h e w o r k l o a d c a n n o t b e e a s i l y e s t i m a t e d i n a d v a n c e , o u r

s c h e m e o n l y e n s u r e s t h a t e a c h p r o c e s s o r h a s r o u g h l y e q u a l

n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m s e t s i n t h e l o c a l h a s h t r e e .

D . H y b r i d A l g o r i t h m

T h e I D D a l g o r i t h m e x p l o i t s t h e t o t a l s y s t e m m e m o r y b y

p a r t i t i o n i n g t h e c a n d i d a t e s e t a m o n g a l l p r o c e s s o r s . T h e

a v e r a g e n u m b e r o f c a n d i d a t e s a s s i g n e d t o e a c h p r o c e s s o r i s

M = P , w h e r e M i s t h e n u m b e r o f t o t a l c a n d i d a t e s . A s m o r e

p r o c e s s o r s a r e u s e d , t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s a s s i g n e d t o

e a c h p r o c e s s o r d e c r e a s e s . T h i s h a s t w o i m p l i c a t i o n s . F i r s t ,

w i t h f e w e r n u m b e r o f c a n d i d a t e s p e r p r o c e s s o r , i t i s m u c h

m o r e d i c u l t t o b a l a n c e t h e w o r k . S e c o n d , t h e s m a l l e r

n u m b e r o f c a n d i d a t e s g i v e s a s m a l l e r h a s h t r e e a n d l e s s

c o m p u t a t i o n w o r k p e r t r a n s a c t i o n . E v e n t u a l l y t h e a m o u n t

o f c o m p u t a t i o n m a y b e c o m e l e s s t h a n t h e c o m m u n i c a t i o n

i n v o l v e d . T h i s w o u l d b e m o r e e v i d e n t i n t h e l a t e r p a s s e s

o f t h e a l g o r i t h m a s t h e h a s h t r e e s i z e f u r t h e r d e c r e a s e s

d r a m a t i c a l l y . T h i s r e d u c e s o v e r a l l e c i e n c y o f t h e p a r a l l e l

a l g o r i t h m . T h i s w i l l b e a n e v e n m o r e s e r i o u s p r o b l e m i n a

s y s t e m t h a t c a n n o t p e r f o r m a s y n c h r o n o u s c o m m u n i c a t i o n .

T h e H y b r i d D i s t r i b u t i o n ( H D ) a l g o r i t h m a d d r e s s e s t h e

a b o v e p r o b l e m b y c o m b i n i n g t h e C D a n d t h e I D D a l g o -

r i t h m s i n t h e f o l l o w i n g w a y . C o n s i d e r a P - p r o c e s s o r s y s t e m

i n w h i c h t h e p r o c e s s o r s a r e s p l i t i n t o G e q u a l s i z e g r o u p s ,

e a c h c o n t a i n i n g P = G p r o c e s s o r s . I n t h e H D a l g o r i t h m , w e

e x e c u t e t h e C D a l g o r i t h m a s i f t h e r e w e r e o n l y P = G p r o c e s -

s o r s . T h a t i s , w e p a r t i t i o n t h e t r a n s a c t i o n s o f t h e d a t a b a s e

i n t o P = G p a r t s e a c h o f s i z e N = ( P = G ) , a n d a s s i g n t h e t a s k

o f c o m p u t i n g t h e c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e s e t C

k

f o r e a c h

s u b s e t o f t h e t r a n s a c t i o n s t o e a c h o n e o f t h e s e g r o u p s o f

p r o c e s s o r s . W i t h i n e a c h g r o u p , t h e s e c o u n t s a r e c o m p u t e d

u s i n g t h e I D D a l g o r i t h m . T h a t i s , t h e t r a n s a c t i o n s a n d t h e

c a n d i d a t e s e t C

k

a r e p a r t i t i o n e d a m o n g t h e p r o c e s s o r s o f

e a c h g r o u p , s o t h a t e a c h p r o c e s s o r g e t s r o u g h l y j C

k

j = G c a n -

d i d a t e i t e m - s e t s a n d N = P t r a n s a c t i o n s . N o w , e a c h g r o u p o f

p r o c e s s o r s c o m p u t e s t h e c o u n t s u s i n g t h e I D D a l g o r i t h m ,

a n d t h e o v e r a l l c o u n t s a r e c o m p u t i n g b y p e r f o r m i n g a r e -

d u c t i o n o p e r a t i o n a m o n g t h e P = G g r o u p s o f p r o c e s s o r s .

T h e H D a l g o r i t h m c a n b e b e t t e r v i s u a l i z e d i f w e t h i n k o f

t h e p r o c e s s o r s a s b e i n g a r r a n g e d i n a t w o d i m e n s i o n a l g r i d

o f G r o w s a n d P = G c o l u m n s . T h e t r a n s a c t i o n s a r e p a r t i -

t i o n e d e q u a l l y a m o n g t h e P p r o c e s s o r s . T h e c a n d i d a t e s e t

C

k

i s p a r t i t i o n e d a m o n g t h e p r o c e s s o r s o f e a c h c o l u m n o f

t h i s g r i d . T h i s p a r t i t i o n i n g o f C

k

i s i d e n t i c a l f o r e a c h c o l -

u m n o f p r o c e s s o r s ; i . e . , t h e p r o c e s s o r s a l o n g e a c h r o w o f t h e

g r i d g e t t h e s a m e s u b s e t o f C

k

. F i g u r e 9 i l l u s t r a t e s t h e H D

a l g o r i t h m f o r a 3 4 g r i d o f p r o c e s s o r s . I n t h i s e x a m p l e , t h e

H D a l g o r i t h m e x e c u t e s t h e C D a l g o r i t h m a s i f t h e r e w e r e

o n l y 4 p r o c e s s o r s , w h e r e t h e 4 p r o c e s s o r s c o r r e s p o n d t o t h e

4 p r o c e s s o r c o l u m n s . T h a t i s , t h e d a t a b a s e t r a n s a c t i o n s a r e

p a r t i t i o n e d i n 4 p a r t s , a n d e a c h o n e o f t h e s e 4 h y p o t h e t i -

c a l p r o c e s s o r s c o m p u t e s t h e l o c a l c o u n t s o f a l l t h e c a n d i -

d a t e i t e m - s e t s . T h e n t h e g l o b a l c o u n t s c a n b e c o m p u t e d

b y p e r f o r m i n g t h e g l o b a l r e d u c t i o n o p e r a t i o n d i s c u s s e d i n

S e c t i o n I I I - A . H o w e v e r , s i n c e e a c h o n e o f t h e s e h y p o t h e t i -

c a l p r o c e s s o r s i s m a d e u p o f 3 p r o c e s s o r s , t h e c o m p u t a t i o n

o f l o c a l c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s i n a h y p o t h e t i -

c a l p r o c e s s o r r e q u i r e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e c o u n t s o f t h e

c a n d i d a t e i t e m - s e t s o n t h e d a t a b a s e t r a n s a c t i o n s s i t t i n g o n

t h e 3 p r o c e s s o r s . T h i s o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d b y e x e c u t i n g

t h e I D D a l g o r i t h m w i t h i n e a c h o f 4 h y p o t h e t i c a l p r o c e s s o r s .

T h i s i s s h o w n i n t h e s t e p 1 o f F i g u r e 9 . N o t e t h a t p r o c e s -

s o r s i n t h e s a m e r o w h a v e e x a c t l y t h e s a m e c a n d i d a t e s , a n d

c a n d i d a t e s e t s a l o n g t h e e a c h c o l u m n p a r t i t i o n t h e t o t a l

c a n d i d a t e s e t . A t t h e e n d o f t h i s o p e r a t i o n , e a c h p r o c e s s o r

h a s c o m p l e t e c o u n t o f i t s l o c a l c a n d i d a t e s f o r a l l t h e t r a n s -

a c t i o n s l o c a t e d i n t h e p r o c e s s o r s o f t h e s a m e c o l u m n ( i . e . ,

o f a h y p o t h e t i c a l p r o c e s s o r ) . N o w a r e d u c t i o n o p e r a t i o n i s

p e r f o r m e d a l o n g t h e r o w s s u c h t h a t a l l p r o c e s s o r s i n e a c h

r o w h a v e t h e s u m o f t h e c o u n t s f o r t h e c a n d i d a t e s i n t h e

s a m e r o w . A t t h i s p o i n t , t h e c o u n t a s s o c i a t e d w i t h e a c h

c a n d i d a t e i t e m - s e t c o r r e s p o n d s t o t h e e n t i r e d a t a b a s e o f

t r a n s a c t i o n s . N o w e a c h p r o c e s s o r n d s f r e q u e n t i t e m - s e t s

b y d r o p p i n g a l l t h o s e c a n d i d a t e i t e m - s e t s w h o s e f r e q u e n c y

i s l e s s t h a n t h e t h r e s h o l d f o r m i n i m u m s u p p o r t . T h e s e

c a n d i d a t e i t e m - s e t s a r e s h o w n a s s h a d e d i n F i g u r e 9 ( b ) . I n

t h e n e x t s t e p , e a c h p r o c e s s o r p e r f o r m s a l l - t o - a l l b r o a d c a s t

o p e r a t i o n a l o n g t h e c o l u m n s o f t h e p r o c e s s o r m e s h . A t

t h i s p o i n t , a l l t h e p r o c e s s o r s h a v e t h e f r e q u e n t s e t s a n d a r e

r e a d y t o p r o c e e d t o t h e n e x t p a s s .

T h e H D a l g o r i t h m d e t e r m i n e s t h e c o n g u r a t i o n o f t h e

p r o c e s s o r g r i d d y n a m i c a l l y . I n p a r t i c u l a r , t h e H D a l g o -

r i t h m p a r t i t i o n s t h e c a n d i d a t e s e t i n t o a b i g e n o u g h s e c t i o n

a n d a s s i g n a g r o u p o f p r o c e s s o r s t o e a c h p a r t i t i o n . L e t m

b e a u s e r s p e c i e d t h r e s h o l d . I f t h e t o t a l n u m b e r o f c a n d i -

d a t e s M i s l e s s t h a n m , t h e n t h e H D a l g o r i t h m m a k e s G

e q u a l t o 1 , w h i c h m e a n s t h a t t h e C D a l g o r i t h m i s r u n o n

a l l t h e p r o c e s s o r s . O t h e r w i s e G i s s e t t o d M = m e . T a b l e I I

s h o w s h o w t h e H D a l g o r i t h m c h o s e t h e p r o c e s s o r c o n g u -

r a t i o n b a s e d o n t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s a t e a c h p a s s w i t h

6 4 p r o c e s s o r s a n d m = 5 0 K .

T h e H D a l g o r i t h m i n h e r i t s a l l t h e g o o d f e a t u r e s o f t h e

I D D a l g o r i t h m . I t a l s o p r o v i d e s g o o d l o a d b a l a n c e a n d

e n o u g h c o m p u t a t i o n w o r k b y m a i n t a i n i n g m i n i m u m n u m -

b e r o f c a n d i d a t e s p e r p r o c e s s o r . A t t h e s a m e t i m e , t h e


9/16


1, 2

4, 5

7, 8

1

0

3

2, 3

8, 9

5, 6

3

1

2

6, 8

6, 7

3, 4 0

2

3

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

8, 9

7, 8 9

8

Frequent Item Set

All-to-allBroadcast

All-to-allBroadcast

All-to-allBroadcast

All-to-allBroadcast

Step 2: Reduction Operation Along the Rows

Step 3: All-to-all Broadcast Operation Along the Columns

Step 1: Partitioning of Candidate Sets and Data Movement Along the Columns

Data Shift

Data Shift

Data Shift

Data Shift

Data Shift

Data Shift

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Data Shift

Data Shift

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Candidate Hash Tree

Data Shift Data Shift Data Shift Data Shift

1, 2

4, 5

7, 8

0

1

2

2, 3

8, 9

5, 6

0

1

2

6, 8

6, 7

3, 4 1

4

0

1, 2

4, 5

7, 8

2

3

1

2, 3

8, 9

5, 6

0

0

2

6, 8

6, 7

3, 4 0

1

1 6, 8

6, 7

3, 4 1

0

1

2, 3

8, 9

5, 6

1

1

2

1, 2

4, 5

7, 8

0

2

3

Candidate Hash Tree Candidate Hash TreeCandidate Hash TreeCandidate Hash Tree



6, 8

6, 7

3, 4 2

7

5 6, 8

6, 7

3, 4 2

7

5 6, 8

6, 7

3, 4 2

7

5 6, 8

6, 7

3, 4 2

7

5

1, 2

4, 5

7, 8

3

6

9

1, 2

4, 5

7, 8

3

6

9

1, 2

4, 5

7, 8

3

6

9

1, 2

4, 5

7, 8

3

6

9

2, 3

8, 9

5, 6

4

3

8

2, 3

8, 9

5, 6

4

3

8

2, 3

8, 9

5, 6

4

3

8

2, 3

8, 9

5, 6

4

3

8

F i g . 9 . H y b r i d D i s t r i b u t i o n ( H D ) A l g o r i t h m i n 3 4 P r o c e s s o r M e s h ( G = 3 ; P = 1 2 )


10/16

I E E E T R A N S A C T I O N S O N K N O W L E D G E A N D D A T A E N G I N E E R I N G , V O L . X X , N O . Y , M O N T H 1 9 9 9 1 0

T A B L E I I

P r o c e s s o r c o n f i g u r a t i o n a n d n u m b e r o f c a n d i d a t e s o f t h e H D a l g o r i t h m w i t h 6 4 p r o c e s s o r s a n d w i t h m = 5 0 K a t e a c h p a s s .

N o t e t h a t 6 4 1 c o n f i g u r a t i o n i s t h e s a m e a s t h e I D D a l g o r i t h m a n d 1 6 4 i s t h e s a m e a s t h e C D a l g o r i t h m . T h e t o t a l

n u m b e r o f p a s s w a s 1 3 a n d a l l p a s s e s a f t e r 6 h a d 1 6 4 c o n f i g u r a t i o n .

P a s s 2 3 4 5 6 7

C o n g u r a t i o n 8 8 6 4 1 4 1 6 2 3 2 2 3 2 1 6 4

N o o f C a n d . 3 5 1 K 4 3 4 8 K 1 1 5 K 7 6 K 5 6 K 3 4 K

a m o u n t o f d a t a m o v e m e n t i n t h i s a l g o r i t h m h a s b e e n c u t

d o w n t o 1 = G o f t h e I D D .

E . O t h e r P a r a l l e l A l g o r i t h m s

I n a d d i t i o n t o C D a n d D D , f o u r p a r a l l e l a l g o r i t h m s

( N P A , S P A , H P A a n d H P A - E L D ) f o r m i n i n g a s s o c i a t i o n

r u l e s w e r e p r o p o s e d i n 1 1 ] . N P A i s v e r y s i m i l a r t o C D

a n d S P A i s v e r y s i m i l a r t o D D . H P A a n d H P A - E L D b o t h

h a v e s o m e s i m i l a r i t i e s w i t h I D D , a s a l l 3 a l g o r i t h m s e s -

s e n t i a l l y e l i m i n a t e t h e r e d u n d a n t c o m p u t a t i o n i n h e r e n t i n

D D . H o w e v e r , t h e a p p r o a c h t a k e n i n H P A ( a n d H P A - E L D )

i s q u i t e d i e r e n t t h a n t h a t t a k e n i n I D D . I n p a s s k o f H P A ,

f o r e a c h t r a n s a c t i o n c o n t a i n i n g I i t e m s , C =

I

k

p o -

t e n t i a l c a n d i d a t e s o f s i z e k a r e g e n e r a t e d . E a c h o f t h e s e

p o t e n t i a l c a n d i d a t e s i s h a s h e d t o d e t e r m i n e w h i c h p r o c e s -

s o r m i g h t c o n t a i n t h e c a n d i d a t e i t e m s e t m a t c h i n g t h e s e

p o t e n t i a l c a n d i d a t e . T h e s e C p o t e n t i a l c a n d i d a t e s a r e s e n t

o n l y t o t h e c o r r e s p o n d i n g p r o c e s s o r s . T h e n e a c h p r o c e s s o r

c h e c k s t h e s e p o t e n t i a l c a n d i d a t e s c o l l e c t e d f r o m a l l t h e p r o -

c e s s o r s a g a i n s t t h e l o c a l l y s t o r e d s u b s e t o f c a n d i d a t e i t e m -

s e t s . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s o v e r p r o -

c e s s o r s i s d e t e r m i n e d b y t h e h a s h f u n c t i o n . T h i s m a y m a k e

i t d i c u l t t o e n s u r e t h a t e a c h p r o c e s s o r r e c e i v e s e q u a l n u m -

b e r o f c a n d i d a t e s . F u r t h e r m o r e , t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l

c a n d i d a t e s o f s i z e k g e n e r a t e d f o r a t r a n s a c t i o n c o n t a i n i n g

I i t e m s i s O (

I

k

) . H e n c e , f o r v a l u e s o f k g r e a t e r t h a n

2 , H P A c a n h a v e m u c h l a r g e r c o m m u n i c a t i o n v o l u m e t h a n

t h a t f o r D D a n d I D D . F o r s m a l l v a l u e s o f k ( e . g . , k = 2 ) , i t

i s p o s s i b l e f o r H P A t o i n c u r s m a l l e r c o m m u n i c a t i o n o v e r -

h e a d t h a n I D D .

S e v e r a l r e s e a r c h e r s h a v e p r o p o s e d p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s

o f a s s o c i a t i o n r u l e a l g o r i t h m s 1 2 ] , 1 3 ] , 1 4 ] . P a r k , C h e n ,

a n d Y u p r o p o s e d P D M 1 2 ] , a p a r a l l e l f o r m u l a t i o n o f t h e s e -

r i a l a s s o c i a t i o n r u l e a l g o r i t h m D H P 1 5 ] . P D M i s s i m i l a r i n

n a t u r e t o t h e C D a l g o r i t h m . I n 1 4 ] , Z a k i e t . a l . p r e s e n t e d

a p a r a l l e l i z a t i o n o f a s e r i a l a l g o r i t h m o r i g i n a l l y i n t r o d u c e d

i n 1 6 ] . T h i s s e r i a l a l g o r i t h m i s o f e n t i r e l y d i e r e n t n a -

t u r e t h a n A p r i o r i , h e n c e i t s p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s c a n n o t

b e c o m p a r e d t o t h e a l g o r i t h m s d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r .

I V . P e r f o r m a n c e A n a l y s i s

I n t h i s s e c t i o n , w e a n a l y z e t h e a m o u n t o f w o r k d o n e b y

e a c h a l g o r i t h m a n d t h e s c a l a b i l i t y o f e a c h a l g o r i t h m . I n

t h i s a n a l y s i s , a p a r a l l e l a l g o r i t h m i s c o n s i d e r e d s c a l a b l e

w h e n t h e e c i e n c y c a n b e m a i n t a i n e d a s t h e n u m b e r o f

p r o c e s s o r s i s i n c r e a s e d , p r o v i d e d t h a t t h e p r o b l e m s i z e i s

a l s o i n c r e a s e d 9 ] . L e t T

s e r i a l

b e t h e r u n t i m e o f a s e r i a l

a l g o r i t h m a n d T

p

b e t h e r u n t i m e o f a p a r a l l e l a l g o r i t h m .

E c i e n c y 9 ] ( E ) o f a p a r a l l e l a l g o r i t h m i s

E =

T

s e r i a l

P T

p

A p a r a l l e l a l g o r i t h m i s s c a l a b l e i f P T

p

a n d T

s e r i a l

r e -

m a i n o f t h e s a m e o r d e r 9 ] . T h e p r o b l e m s i z e ( i . e . , t h e

s e r i a l r u n t i m e ) f o r t h e A p r i o r i a l g o r i t h m i n c r e a s e s e i t h e r

b y i n c r e a s i n g N o r b y i n c r e a s i n g M ( a s a r e s u l t o f l o w e r -

i n g t h e m i n i m u m s u p p o r t ) i n t h e a l g o r i t h m s d i s c u s s e d i n

S e c t i o n I I I . T a b l e I I I d e s c r i b e s t h e s y m b o l s u s e d i n t h i s

s e c t i o n .

A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n I I , e a c h i t e r a t i o n o f t h e a l g o -

r i t h m c o n s i s t s o f t w o s t e p s : ( i ) c a n d i d a t e g e n e r a t i o n a n d

h a s h t r e e c o n s t r u c t i o n ( i i ) c o m p u t a t i o n o f s u b s e t f u n c t i o n

f o r e a c h t r a n s a c t i o n . T h e d e r i v a t i o n o f t h e r u n t i m e o f t h e

s u b s e t f u n c t i o n i s m u c h m o r e i n v o l v e d . C o n s i d e r a t r a n s a c -

t i o n t h a t h a s I i t e m s . D u r i n g t h e k

t h

p a s s o f t h e a l g o r i t h m ,

t h i s t r a n s a c t i o n h a s C =

I

k

p o t e n t i a l c a n d i d a t e s t h a t

n e e d t o b e c h e c k e d a g a i n s t t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e . N o t e

t h a t f o r a g i v e n t r a n s a c t i o n , i f c h e c k i n g f o r o n e p o t e n t i a l

c a n d i d a t e l e a d s t o a v i s i t t o a l e a f n o d e , t h e n a l l t h e c a n d i -

d a t e s o f t h i s t r a n s a c t i o n a r e c h e c k e d a g a i n s t t h e l e a f n o d e .

A s a r e s u l t , i f t h i s n o d e i s r e v i s i t e d d u e t o a d i e r e n t c a n -

d i d a t e f r o m t h e s a m e t r a n s a c t i o n , n o c h e c k i n g n e e d s t o

b e p e r f o r m e d . C l e a r l y t h e t o t a l c o s t o f c h e c k i n g a t t h e l e a f

n o d e s i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f d i s t i n c t l e a f

n o d e s v i s i t e d w i t h t h e t r a n s a c t i o n . W e a s s u m e t h a t t h e a v -

e r a g e n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m - s e t s a t t h e l e a f n o d e s i s S .

H e n c e t h e a v e r a g e n u m b e r o f l e a f n o d e s i n a h a s h t r e e i s

L = M = S . I n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e a l g o r i t h m , t h e d e -

s i r e d v a l u e o f S c a n b e o b t a i n e d b y a d j u s t i n g t h e b r a n c h i n g

f a c t o r o f t h e h a s h t r e e . I n g e n e r a l , t h e c o s t o f t r a v e r s a l f o r

e a c h p o t e n t i a l c a n d i d a t e w i l l d e p e n d o n t h e d e p t h o f t h e

l e a f n o d e i n t h e h a s h t r e e r e a c h e d b y t h e t r a v e r s a l . T o s i m -

p l i f y t h e a n a l y s i s , w e a s s u m e t h a t t h e c o s t o f e a c h t r a v e r s a l

i s t h e s a m e . H e n c e , t h e t o t a l t r a v e r s a l c o s t i s d i r e c t l y p r o -

p o r t i o n a l t o C . F o r e a c h p o t e n t i a l c a n d i d a t e , w e d e n e

t

t r a v e r s

t o b e t h e c o s t a s s o c i a t e d w i t h t h e t r a v e r s a l o f t h e

h a s h t r e e a n d t

c h e c k

t o b e t h e c o s t a s s o c i a t e d w i t h c h e c k i n g

t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s o f t h e r e a c h e d l e a f n o d e .

N o t e t h a t t h e n u m b e r o f d i s t i n c t l e a v e s c h e c k e d b y a

t r a n s a c t i o n i s i n g e n e r a l s m a l l e r t h a n t h e n u m b e r o f p o -

t e n t i a l c a n d i d a t e s C . T h i s i s b e c a u s e d i e r e n t p o t e n t i a l

c a n d i d a t e s m a y l e a d t o t h e s a m e l e a f n o d e . I n g e n e r a l , i f C

i s r e l a t i v e l y l a r g e w i t h r e s p e c t t o t h e n u m b e r o f l e a f n o d e s


11/16


12/16

I E E E T R A N S A C T I O N S O N K N O W L E D G E A N D D A T A E N G I N E E R I N G , V O L . X X , N O . Y , M O N T H 1 9 9 9 1 2

r e d u c t i o n . H e n c e , P T

C D

c o m p

w i l l g r o w a s O ( P M ) w i t h

r e s p e c t t o O ( M ) , w h e r e a s T

s e r i a l

c o m p

g r o w s o n l y a s O ( M ) .

T h i s s h o w s t h a t C D d o e s n o t s c a l e w i t h r e s p e c t t o t h e

i n c r e a s i n g M . I f M i s t o o l a r g e t o t i n t h e m a i n m e m o r y ,

t h e n t h e s e t o f t r a n s a c t i o n n e e d s t o b e r e a d f r o m t h e d i s k

M

M

c a p a c i t y

t i m e s , a d d i n g a n o t h e r O (

N

P

M

M

c a p a c i t y

) t e r m t o

t h e r u n t i m e . O n s o m e a r c h i t e c t u r e s , t h i s c a n b e s i g n i c a n t .

B u t i n o u r d i s c u s s i o n i n t h e r e s t o f t h e p a p e r , w e w i l l i g n o r e

t h i s t e r m .

T h e D D a l g o r i t h m . I n t h e D D a l g o r i t h m , t h e n u m b e r o f

c a n d i d a t e s p e r p r o c e s s o r i s M = P , a s t h e c a n d i d a t e s e t i s

p a r t i t i o n e d . H e n c e t h e a v e r a g e n u m b e r o f l e a f n o d e s i n

t h e l o c a l h a s h t r e e o f e a c h p r o c e s s o r i s L = P . T h e r e f o r e ,

t h e n u m b e r o f d i s t i n c t l e a f n o d e s v i s i t e d p e r t r a n s a c t i o n i s

V

C ;

L

P

, a n d t h e c o m p u t a t i o n t i m e p e r t r a n s a c t i o n i s :

T

D D

t r a n s

= C t

t r a v e r s

+ V

C ;

L

P

t

c h e c k

T h e n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s p r o c e s s e d b y e a c h p r o c e s s o r i s

N , a s t h e t r a n s a c t i o n s a r e s h i f t e d a r o u n d t h e p r o c e s s o r s .

H e n c e , t h e c o m p u t a t i o n p e r p r o c e s s o r o f t h e D D a l g o r i t h m

i s :

T

D D

c o m p

= N T

D D

t r a n s

+

O (

M

P

)

| { z }

h a s h t r e e c o n s t r u c t i o n

+ O ( N )

| { z }

d a t a m o v e m e n t

= N C t

t r a v e r s

+ N V

C ;

L

P

t

c h e c k

+

O (

M

P

) + O ( N ) ( 5 )

C o m p a r i n g E q u a t i o n 5 w i t h t h e s e r i a l c o m p l e x i t y ( E q u a -

t i o n 3 ) , w e s e e t h a t t h e D D a l g o r i t h m d o e s n o t r e d u c e

t h e c o m p u t a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e h a s h t r e e t r a v e r s a l .

F o r b o t h t h e s e r i a l A p r i o r i a n d t h e D D a l g o r i t h m , t h i s

c o s t i s N C t

t r a v e r s

. H o w e v e r , t h e D D a l g o r i t h m i s

a b l e t o r e d u c e t h e c o s t a s s o c i a t e d w i t h t h e c h e c k i n g a t

t h e l e a f n o d e s . I n p a r t i c u l a r , i t r e d u c e s t h e s e r i a l c o s t o f

N V

C ; L

t

c h e c k

d o w n t o N V

C ;

L

P

t

c h e c k

. H o w e v e r , b e -

c a u s e V

C ;

L

P

> V

C ; L

= P , t h e r e d u c t i o n a c h i e v e d i n t h i s p a r t

i s l e s s t h a n a f a c t o r o f P . W e c a n e a s i l y s e e t h i s i f w e c o n -

s i d e r t h e c a s e w h e n L i s v e r y l a r g e . I n t h i s c a s e , V

C ;

L

P

' C

a n d V

C ; L

= P ' C = P b y E q u a t i o n 2 . T h u s , t h e n u m b e r o f

l e a f n o d e s c h e c k e d o v e r a l l t h e p r o c e s s o r s b y t h e D D a l g o -

r i t h m i s h i g h e r t h a n t h a t o f t h e s e r i a l a l g o r i t h m . T h i s i s

w h y t h e D D a l g o r i t h m p e r f o r m s r e d u n d a n t c o m p u t a t i o n .

F u r t h e r m o r e , D D h a s a n e x t r a c o s t o f d a t a m o v e m e n t .

D u e t o t h e s e t w o f a c t o r s , D D d o e s n o t s c a l e w i t h r e s p e c t

t o i n c r e a s i n g N . H o w e v e r , t h e c o s t o f b u i l d i n g h a s h t r e e

s c a l e s d o w n b y a f a c t o r o f P . T h u s , D D i s s c a l a b l e w i t h

r e s p e c t t o i n c r e a s i n g M .

T h e I D D a l g o r i t h m . I n t h e I D D a l g o r i t h m , j u s t l i k e t h e D D

a l g o r i t h m , t h e a v e r a g e n u m b e r o f l e a f n o d e s i n t h e l o c a l

h a s h t r e e o f e a c h p r o c e s s o r i s L = P . H o w e v e r , t h e a v e r a g e

n u m b e r o f p o t e n t i a l c a n d i d a t e s t h a t n e e d t o b e c h e c k e d

f o r e a c h t r a n s a c t i o n a t e a c h p r o c e s s o r i s m u c h l e s s t h a n

D D , b e c a u s e o f t h e i n t e l l i g e n t p a r t i t i o n i n g o f c a n d i d a t e s

s e t a n d t h e u s e o f b i t m a p t o p r u n e a t t h e r o o t o f t h e h a s h

t r e e . M o r e p r e c i s e l y , t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l c a n d i d a t e s

t h a t n e e d t o b e c h e c k e d f o r a t r a n s a c t i o n i s r o u g h l y C = P

a s s u m i n g t h a t w e h a v e a g o o d b a l a n c e d p a r t i t i o n . S o t h e

c o m p u t a t i o n p e r t r a n s a c t i o n i s :

T

I D D

t r a n s

=

C

P

t

t r a v e r s

+ V C

P

;

L

P

t

c h e c k

T h u s t h e c o m p u t a t i o n p e r p r o c e s s o r i s :

T

I D D

c o m p

= N T

I D D

t r a n s

+

O (

M

P

)

| { z }

h a s h t r e e c o n s t r u c t i o n

+ O ( N )

| { z }

d a t a m o v e m e n t

= N

C

P

t

t r a v e r s

+ N V C

P

;

L

P

t

c h e c k

+

O (

M

P

) + O ( N ) ( 6 )

C o m p a r i n g E q u a t i o n 6 t o E q u a t i o n 3 , w e s e e t h a t t h e I D D

a l g o r i t h m i s s u c c e s s f u l i n r e d u c i n g t h e c o s t a s s o c i a t e d w i t h

t h e h a s h t r e e t r a v e r s a l l i n e a r l y . I t a l s o r e d u c e s t h e c h e c k i n g

c o s t f r o m N V

C ; L

t

c h e c k

d o w n t o N V C

P

;

L

P

t

c h e c k

. N o t e

t h a t f o r s u c i e n t l y l a r g e L , V

C ; L

' C a n d V C

P

;

L

P

' C = P .

T h i s s h o w s t h a t I D D i s a l s o a b l e t o l i n e a r l y r e d u c e t h e

c o s t o f c h e c k i n g a t t h e l e a f n o d e s , a n d t h u s u n l i k e D D , i t

p e r f o r m s n o r e d u n d a n t w o r k . T h e c o m p a r i s o n o f D D a n d

I D D i n t e r m s o f t h e a v e r a g e n u m b e r o f d i s t i n c t l e a f n o d e

v i s i t e d p e r t r a n s a c t i o n i s r e p o r t e d i n o u r e x p e r i m e n t ( s e e

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