Arithmetic  Integers:   Any positive or negative whole number including zero  Rules of integer calculations:   Adding      Same signs – add and keep sign     Different signs – subtract absolute values and keep the sign of the  

number furthest from zero    Subtracting:      Apply the add opp property then follow the rules for addition.  

 

€

−8 + −12 = −20   

 same signs add and keep sign 

 

€

−12 + 5−(12 − 5)−7

 

 

 different signs – subtract and keep the sign of the number furthest from zero 

 

€

−15 − 9−15 + (−9)−24

 

 

 apply add op property same signs for addition 

 

€

−8 − (−3)−8 + (+3)−(8 − 3)−5

 

 

  apply add op property different signs for addition 

 Multiplying and dividing integers: 

Rules are the same – Same sign positive result; different signs negative result. 

 In a series of integers, even number of same sign positive result and odd number of same sign, negative result     

Absolute value – a numbers distance from zero  

€

−4 = 4   This is a true statement because both numbers are four units from zero.  When an absolute value expression has an arithmetic operation, perform that first before finding the absolute value and applying order of operations for the rest of the expression.  

 

€

−3 + −5 − 4 + 6−8 − 4 + 68 − 4 + 64 + 610

 

 

 original problem 

calculate inside absolute value 

find absolute value 

apply order of operations for the rest 

 Factors and multiples:   Prime factorization: Factoring a numbers until the only factors are prime.   Greatest common factor (GCF):  The largest number two or more  numbers are divisible by.   Using prime factorization is one way to find the GCF   Least Common Multiple (LCM): smallest number that is divisible by two or more numbers.  

GCF using Prime Factorization  LCM Using Prime Factorization  

€

404 ⋅102 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

 

 

 

€

702 ⋅ 352 ⋅ 5 ⋅ 7

 

 

€

1809 ⋅ 203 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

 

 

 

€

204 ⋅ 52 ⋅ 2 ⋅ 5

 

 GCF: 

€

2 ⋅ 2 ⋅ 5=20 20 is the largest factor of both 40, 180 

 LCM: 

€

2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 140 140 is the smallest multiple of both 20 and 70 

   

Order of Operations:  (PEMDAS)  1. Parentheses‐ symbols of inclusion []; {}; division bar 2. Exponents 3. Multiplication and division – work left to right  as the operations occurs 4. Addition and subtraction – work left to right as the operation occurs 

  

€

3+ 5( )2

7 − 3− 8 + 4 − 32 ÷ 8 ⋅ 4

8( )2

7 − 3− 8 + 4 − 32 ÷ 8 ⋅ 4

644− 8 + 4 − 32 ÷ 8 ⋅ 4

16 − 8 + 4 − 4 ⋅ 416 − 8 + 4 −168 + 4 −1612 −16−4

 

 

 Original problem Symbols of inclusion: parentheses; above below bar    Do mult/division L to R – Since division occurs first do it before multiplication  Add/sub from L to R – Since subtraction occurs first begin there.  

 Rules of divisibility  

 

Fractions and Decimals Simplifying a fraction: Method A:  Find the GCF of the numerator and denominator of the 

fractions.       Divide both the numerator and denominator by the GCF  Method B:  Use prime factorization for simplification by canceling 

common prime. Method A               Method B 

 

€

366036 ÷1260 ÷1235

 

 

 

€

36602 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 535

 

 Converting a decimal to an equivalent decimal:     Multiply the numerator and the denominator with the same value 

  Example: Convert 

€

56 to a fraction with a denominator of 54 

  

€

56⋅99

=4554 

  Adding and subtracting fractions:    Adding and subtracting fractions requires the same denominator. Find 

the LCM of the denominator then convert the fractions. Once converted, calculate the numerators, keep the denominator, and simplify the fractions if possible.  

 

€

58

+712

58⋅33

+712

⋅22

1524

+1424

2924

1 524

 

Multiplying fractions:   Multiplying fractions you have two options: 

1. Multiply numerator, denominators and then simplify 2. Short cut by canceling common factors from the 

numerator/denominator  

Direct multiplication  Short cut  

€

1115

⋅1033

110395110 ÷ 55495 ÷ 5529

 

 

 

€

1115

⋅1033

1115

⋅1033

29

 

 Dividing fractions:   Multiply the dividend (first fraction) by the reciprocal of the divisor (second    fraction.  

  Reciprocal is the multiplicative inverse of a number.  

€

35 has a reciprocal of 

€

53.   

  The product of a number and its reciprocal is one.  

 

€

215

÷845

215

⋅458

34

 

  Comparing fractions:   Convert the fractions by using the LCD (Least Common Denominator) or    finding their cross products. Multiply the first numerator by the second    fraction’s denominator, then multiply the denominator of the first fraction by    the numerator of the second fraction.  

     

€

78 and 

€

56  

  

€

7 ⋅ 6 = 42 and 

€

8 ⋅ 5 = 40 .  Since 42 > 40, the first fraction is larger 

Converting a fraction to a decimal:    Divide the denominator into the numerator by placing a decimal point     behind the numerator’s value and adding as many zero’s as necessary.  

 

€

388 3.) 00

8 3.0000.375

)

 

 Converting a decimal to a fraction.   Read the decimal using place value. The place value is the denominator and    the number is the numerator.  Simplify     

 0.45 is read 45 hundredths. Write as a fraction, then simplify.  

€

4510045 ÷ 5100 ÷ 5920

 

   Common percent equivalencies:   

 

Exponents and roots:   An exponent tells you how many times a numbers is multiplied by itself.    A root of a number is the factor that is multiplied to get a specific quantity.  

Number  Exponential form  roots  27 

 33 

 3 

 81 

 34 or 92 

 3 or 9 

 25 

 52 

 5 

    A square root of a non‐negative number is a number that when multiplied by    itself gives a specific quantity.  The radical sign is a symbol used to indicate  

you are looking for  the root of a number. The radicand is the number you are looking for the root of. The index tells you which root you are looking for.    

 

€

169  The radicand is 169; the index is 2 – never shown; You are looking for the square root of 169  which is 13. 

 

€

164  The radicand is 16; the index is 4. You are looking for the 4th root of 16 which is 2. 

 

€

273   

 The radicand is 27; the index is 3. You are looking for the cube root of 27 which is 3. 

  Adding and subtracting radicals – 

When adding and subtracting radicals, you need to make sure that the radicands are the same then add or subtract the coefficient outside the radical sign.  

 

€

8 3 + 6 3

8 + 6( ) 3

14 3

 

 

 Apply the distributive property, add the coefficients and keep the radical 

 

€

3 2 + 5 2 − 6 2 + 4 3

(3+ 5 − 6) 2 + 4 3

2 2 + 4 3

 

 Apply the distributive property and calculate the coefficients of 

€

2 .  Since 

€

3  is not the same it can’t be simplified. 

Simplifying radicals –   When simplifying radicals (square roots) factor the number into  the largest perfect square factor and a non perfect square factor.  Simplify by placing the root of the perfect square in front of the radical and the non‐perfect square remains inside the radical sign.  

 

€

125

25 ⋅ 5

5 5

 

 125 is not a perfect square but it is the product of a perfect square and another number.   

 

€

108

36 ⋅ 3

6 3

 

 108 is not a perfect square but it is the product of 36 and 3.  Find the root of 36 and place outside the radical and leave the 3 inside. 

  Multiplying or dividing radicals:   Basic rule: multiply (or divide) radicand by radicand and coefficient by coefficient, then simplify if possible.  

 

€

a ⋅ b = ab       

€

ab

=ab 

  

€

5 2 ⋅ 3 6

(5 ⋅ 3) 2 ⋅ 6

15 12

15 4 ⋅ 3

15 ⋅ 2 3

30 3

 

 Group coefficients together and radicands together, then multiply.  See if the radical can be simplified. In the case 12 is the product of a perfect square and another number.  Extract the root of the perfect square and multiply it by the coefficient leaving the remaining factor in the radical sign.  

 

€

6 152 53 3

 

 Divide the coefficients then divide the radicals.  Check for simplification. In this case you can’t simplify 

€

3