Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -49- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Captulo 4Deformacin en Estructuras. Mtodos alternativos. 1Prembulo Enestecaptuloseestudiarelmtododeresolucindevigasymarcosmediantemtodos basadoendeformaciones.Enparticularanalizaremoselmtododelavigaconjugada,los teoremas de Mohr y una aproximacin al mtodo conocido como Slope & Deflection (Pendiente-Desviacin).TambinserevisarelplanteamientoclsicodelMtododelasdeformacioneso de la rigidez. Como de costumbre este tipo de anlisis se limitar al rango elstico de deformaciones. 2Teoremas de Mohr. Losteoremasderea-momentodatandefinesdelsigloXIXysonfrutodelostrabajos desarrolladosporelinvestigadorOttoMohryestablecidosformalmenteporCharlesGreenen 1872. Estos teoremas proponen una tcnica grfica determinar deflexiones y giros en vigas a partir de sus diagramas de momento. Son de especial utilidad en la resolucin de vigas sometidas a unaseriedecargaspuntualesodistribuidas,enespecialaquellasquegenerendistribuciones demomentoflectordegeometrassimples(rectangulares,triangulares,parablicasy combinaciones de ellas). Lasfrmulasseestablecenconsiderandolageometradelacurvaelstica() ( xv )ylos diagramas de momento normalizados|.|

\|EIMx) (, tendiendo como condicin que la curva de la elstica sea continua entre los puntos en que se realiza el anlisis. Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -50- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Para entender este mtodo considere la siguiente figura: Se sabe que: EIMdxdx) (= Por lo tanto: dxEIMdx) (= dxEIM 21x12=) ( Primer Teorema de Mohr: El ngulo que forman las tangentes en dos puntos de la elstica, es igual al rea bajo la curva del diagrama |.|

\|EIMx) (entre los mismos puntos. Tambin sabemos por la geometra que: d x dz = Por lo tanto: dxEIMx dzx) ( = dx xEIMz21x12||.|

\|= ) ( 1 212 z12 EIMx) (xAnlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -51- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Segundo Teorema de Mohr: La distancia vertical de un punto 2 de la elstica a la recta que es tangente a la elstica en un punto 1, es igual al momento esttico del rea bajo la curva del diagrama|.|

\|EIMx) (entre estos dospuntos respecto al punto 2. Ejemplos: Ejemplo1: Calcule el giro y desplazamiento del extremo de la viga en voladizo dxEIM 21x12=) (12 = rea diagrama|.|

\|EIMx) (=( )2aEIPa =EI 2Pa2 dx xEIMz21x12||.|

\|= ) ( 12z = Mto. Esttico del diagrama|.|

\|EIMx) (c/r a pto 2. |.|

\|+ = a32bEI 2Paz212 ab P + Pa (+) z12 12 1 2Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -52- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Ejemplo 2: Calcule los desplazamientos y los giros bajo la carga aplicada sobre la viga. L EI 2b Pa212= L3b 2L EI 2Pab3abL EI 2b PaLz2 231|.|

\|||.|

\|+ |.|

\|+||.|

\|= =( ) ) )( ( b 2 a b aL EI 6PabL3b 23aabL EI 2Pab22 21+ + =||.|

\|+ += ( ) ( ) b LL EI 6Pabb 2 aL EI 6Pab1+ = + = ( ) ( ) b L a 3L EI 6Pabb LL EI 6PabL EI 2b Pa21 12 2 = + = = ( ) ( ) b aL EI 3Pabb 2 a 2L EI 6Pab2 = = ( ) ( )L EI 3b Paa b b aL EI 6b Pa3aL EI 2b Paa b LL EI 6Pabz a z2 2 2 212 1 2 = + + = |.|

\| + = = Pb aLa PLb PLb a P 2 12 1 z12 z2 z3 Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -53- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Ejemplo 3: Determine los momentos de empotramiento de la viga de la viga. Por las condiciones de apoyo se sabe que el giro en B es nulo. Aplicando primer teorema de Mohr: 0 LEIM21LEIM21bEI LPab21aEI LPab21B A= + + + 0 L M L MLPabLb PaB A2 2= + + + ( ) b aLPabM M2B A+ = +LPabM MB A = + Por las condiciones de apoyo se sabe que el desplazamiento en B es nulo. Aplicando segundo teorema de Mohr: 03LLEIM213L 2LEIM213b 2bEI LPab213ab aEI LPab21B A= + + |.|

\|+ |.|

\|+ 03LL M3L 2L ML 3Pab 2L 3b PaLb PaB A3 3 2 2= + + + + ||.|

\|+ + = +3b 23aabLPabM31M322 23B A BMPb aLb a P BMAMAMAnlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -54- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC ) )( ( b 2 a b aLPabM M 23B A+ + = + ) ( b 2 aLPabM M 22B A+ = + Entonces resolviendo el sistema: ) ( b 2 aLPabM M 2LPabM M2B AB A+ = + = + Se obtiene: A BMLPabM = ) ( b 2 aLPabMLPabM 22A A+ = 22222ALPab 2Lb PaLPabb 2 aLPabLPabM = + = ) ( 222222ALPabLPabLb PaLPabM = 222ALPabb aLPabLPabM + = ) ( Finalmente: 22ALPabM = 22BLb PaM = Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -55- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC 3MtododelosDesplazamientos.Planteamiento Tradicional. Elmtododelosdesplazamientosolarigidezsecaracterizaportenercomoincgnitaslos desplazamientosgeneradosenlasestructurasdebidoalascargasaplicadasyenfuncinde parmetros de rigidez de la estructura, tal como lo indica su nombre. Elmtodoproponefijaslosnudostantoangularcomolinealmente,analizandoelefectoque tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeos desplazamientos a lasestructurasparacadaunadelasrestriccionesimpuestasycalcularsuefectosobrelos esfuerzosinternos.Finalmente,aplicandoelprincipiode superposicin,sedeterminaelefecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuacin de equilibrio. Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos internos en la estructura. Ejemplo: Mtodo de las Flexibilidades Ecs de compatibilidad: 1 = 0 2 = 0 3 = 0 P A DC B P A D CB P A D CB (0) X1 ADC B(1) X3 A DC B (3) X2 AD CB(2) = + + + Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -56- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Sistema de Ecuaciones: )`=)`

+)`000XXX32133 32 3123 22 2113 12 11302010 Coeficientes de flexibilidad: ( ) ( ) ( ) ( ) ++ + = =i i i iL0ij kL0ij kL0ij kelementosL0ij kj k2kjdsGJT TdsGAQ QdsEIM MdsEAN NX Xu Mtodo de las deformaciones: Ecs de compatibilidad: R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0 Sistema de Ecuaciones: )`=)`

+)`=)`000zzzr r rr r rr r rRRRRRR32133 32 3123 22 2113 12 11302010321P A D CB = + + P (0)(1)(2)+ + (3)R10 R30 R20 r11 r12 r13 r21 r31 r23 r22 r32 r33 z1 z2 z3 Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -57- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Coeficientes de rigidez: j k2kjz zur = 4Mtodo Slope & Deflection Elmtodopendiente-deflexinsebasaenexpresarlosmomentosdelosextremosdelos miembrosdeestructurasestticamenteindeterminadaenfuncindelosgirosydeflexiones observadasenlosnudos,teniendocomosupuestoquesibienlosnudospuedengiraro deflectarse,losngulosentreloselementosqueconvergenenelnudosemantienen constantes. Estemtodoconsiderasloelefectodelaflexinsobreloselementosyomiteelefectodel corte y axial. Estemtodoesadecuadoparaelanlisisdeestructuraspequeas,correspondeauncaso especialdelmtododelasdeformacionesorigidecesyproporcionaunamuybuen aproximacin inicial para presentar la formulacin matricial del mtodo de la rigidez. Estemtodopresentaademslaventajadeproporcionardemanerainmediataunprimer esbozo de la deformada. Afindepresentarlaecuacionesquedefinenestemtodoconsidereelsiguienteelemento estructural ubicado entre los puntos A y B: Si descomponemos los esfuerzos reales originados solo por las cargas externas impidiendo los girosydesplazamientosenlosextremosyaquellosgeneradosporestasdeformaciones,se puedeafirmarquelosvalorestotalesdelosmomentosenlosextremos(MAByMBA)deber considerar el efecto de: B A P1 P4P2P3P5 q Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -58- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC 1.Losmomentosdeempotramiento(MeAByMeBA)debidosalascargasexternas,quees posible calcular mediante los teoremas de Mohr o son fciles de encontrar tabulados. 2.Los momentos generados por los giros en los nudos A y B. 3.Los momentos originados por la rotacin de la cuerda si uno o ambos extremo sufren un desplazamiento. Si conocemos los momentos generados en los extremos (MAB y MBA), es posible calcular por el 2 Teorema de Mohr los giros que los originan. L3L2LEIM3L 22LEIMLzBA ABBA |.|

\| |.|

\|= = BA P4P3q MeABMeBABA MABMBAA B (-)(+)B A L Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -59- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC |.|

\| |.|

\| =EI 6L MEI 6L M 2BA ABA( )BA AB AM M 2EI 6L = Anlogamente: ( )BA AB BM 2 MEI 6L + = Adems debemos incluir el efecto de giro debido al desplazamiento relativo de los apoyos: ( ) + =BA AB AM M 2EI 6L ( ) + + =BA AB BM 2 MEI 6L Deestasecuacionesesposibledespejarelvalordelosmomentosflectoresenlosextremos(MAByMBA),aloscualesselesdebesumarlosefectosdelascargasexternas(MeAByMeBA). Finalmente las ecuaciones que define este mtodo para cada elemento son las siguientes. ( )eAB B A ABM 3 2LEI 2M + + = ( )eBA B A BAM 3 2LEI 2M + + = Las estructuras entonces sern resueltas aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada uno de los nudos y niveles de la estructura respetando la siguiente convencin de signos: Cabehacernotarqueestaecuacionesslosonvlidasparabarrashomogneas,esbeltasy prismticas (seccin constante). Para barras no prismticas existen expresiones corregidas de mayor complejidad que se presentaran ms adelante. Finalmente,cabedestacar,quesihacemosunacomparacinconelmtododelasfuerzas, este mtodo presenta la ventaja de en algunos casos poder reducir el nmero de incgnitas del problema.Elmtododelasfuerzasgeneraunsistemaconunnumerodeincgnitasigualal nmero de redundantes, mientras que el mtodo Slope & Deflection puede reducir el nmero de incgnitasaunascuantasrotacionesyasentamientosenlosnudos,anenelcasode estructuras de muchos niveles. (+) (+)(+) Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -60- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Ejemplos: Ejemplo 1: Ejemplo 16.2 McCormac (Pg. 470) Ejemplo 2: Ejemplo 16.3 McCormac (Pg. 472) Ejemplo 3: Ejemplo 16.6 McCormac (Pg. 477) Ejemplo 4: A C D F E B 2P P L L L EI = cte Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -61- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Barras No prismticas Homogneas No Esbeltas: En el caso de barras de seccin variable y baja esbeltez, el corte asociado a las deformaciones no es despreciable, por lo tanto se obtiene los siguientes diagramas: Ademsconsideremosquelosdiagramasdemomentosycortedelascargasexternas corresponden a 0 0M x M = ) (y 0 0Q x Q = ) ( . Entonces, aplicando carga unitaria obtendramos: 2 A 1 A 0 A A + + = + =+ = 10L0L10L0Lxo0 AC dxGAQdxEI1 M ) ( ) ( ) ( ) (AB 11 ABL02L1ABL02LxAB1 AM c M dxGAMdxEI1 M+ =+= ) ( ) )( (BA 12 BAL02L1BAL0L1LxBA2 AM c M dxGAMdxEI1 M+ =+ = MAB MBA BA B (-)(+)B A B AB (+) (+) MAB/LMBA/L=+ |.|

\| =Lx1 M x MAB ) (|.|

\|=L1M x QAB ) (||.|

\| =Lx1 x M ) (|.|

\|=L1x Q ) (|.|

\|=LxM x MBA ) (|.|

\|=L1M x QBA ) (|.|

\|=Lxx M ) (|.|

\|=L1x Q ) (Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -62- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Entonces: + + + + = ) ( BA AB BA 12 AB 11 10 AM M M c M c C Anlogamente: + + + + = ) ( BA AB BA 22 AB 21 20 BM M M c M c C Finalmente: ( ) ( ) ( )BA 12 AB 11 10 AM c M c C + + = ( ) ( ) ( )BA 22 AB 12 20 BM c M c C + + + = Puesto de otra forma: BA 12 AB 11 10 AM d M d D + = BA 22 AB 12 20 BM d M d D + = Finalmentedespejandolosvaloresdemomentoyexpresandolasintegralesensuversinde suma discreta, las ecuaciones de pendiente deflexin sern: ( )eAB AB AA B AB A AA ABM K K K K M + + + = ( )eBA BB AB B BB A AB BAM K K K K M + + + = Donde: ( )212 22 1122AAd d ddK= ( )212 22 1111BBd d ddK= ( )212 22 1112ABd d ddK= ( )212 22 1120 12 10 22 eABd d dD d D dM= ( )212 22 1110 12 20 11 eABd d dD d D dM = Donde adems: =10 10C D + =20 20C D + =11 11c d + =22 22c d =12 12c d Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -63- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Y finalmente: ( ) |.|

\| =k Kkkk 010EIxLx1 MC ( ) |.|

\|=k Kkkk 020EIxLxMC ( ) |.|

\| =kKk2k11EIxLx1c ( ) |.|

\|=kKk2k22EIxLxc ( ) |.|

\||.|

\| =kKkk k12EIxLxLx1c ( ) =kKk k 0 kL GAx Q ( ) =k2Kk kL GAx Barras prismticas Homogneas No Esbeltas: Basadosenlasecuacionesobtenidasanteriormenteyaplicandolascondicionesdebarras prismticas, esto es: ( )CteGAKk= Entonces: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 M ML GAdzdzdML GAdz QL GAdzL GAQ0 0 L 0L00L00L00= =||.|

\| === ) ( ) ( Pues,0 M M0 0 L 0= =) ( ) (, momentos en los nodos. ( ) ( )==L02L GAdxL GA As: ( )( )( )( ) + =||.|

\| + =+ = = 2EI 6LL GAEI 62EI 6LL GA EI 3Ld d22 11 ( )( )( )( ) =||.|

\| = = 1EI 6LL GAEI 61EI 6LL GA EI 6Ld12 Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -64- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Donde: ( )( )2L GAEI 6 = Reemplazandolosfactoresenloscoeficientesyestosenlasecuacionescorrespondientes, acaba por entregarnos: ( )( ) ( ) ( )eAB B A ABM 3 1 22 1 LEI 2M + + + += ( )( ) ( ) ( )eBA B A BAM 3 2 12 1 LEI 2M + + + += En el caso de seccin rectangular: 2Lh5 1 |.|

\|= . Anlisis de EstructurasCaptulo 4 Deformacin en Estructuras Mtodos alternativos -65- Claudio Oyarzo V. Facultad de Ingeniera - UCSC Ejemplo 5: Calcular los coeficientes de la ecuacin de deformacin angular, para las barras del marco de la figura. Determine los diagramas de momento y corte cuanto el punto D del marco desciende 3 cm. 0.5 [m] |.|

\| = x10sen 5 0 1 e .e [m] 10 [m] 1 [m] 5 [m] 0.6 [m] 0.6 [m]3 [m] A BC D = 0.03 [m] E = 300000 [Kg/cm2] b = 30 cm