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EQUAÇÕES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DIFERENCIAIS Origem: Primitivas Problemas geométricos Fenômenos físicos

Apresentação do PowerPoint · 2020-03-29 · Sistemas Mecânicos de Rotação. 2 2. dt d T k c J. θ − θ− ω= k T dt d c dt d J + + θ= θ θ. 2 2. J k. Freqüência angular

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EQUAÇÕES EQUAÇÕES DIFERENCIAISDIFERENCIAIS

Origem:PrimitivasProblemas geométricosFenômenos físicos

FENÔMENOS FÍSICOSFENÔMENOS FÍSICOS

MODELOS DE SISTEMASModelos matemáticos

Leis físicas fundamentais•Equações de conservação•Equações constitutivas

Sistemas•Mecânicos•Elétricos•Térmicos•Fluidos

Equações de Conservação

Conservação da quantidade de movimento linear

[ ]∑ = mvdtdF ∑ =− 0

dtdvmF

∑ = amF .

para m=const.

Conservação da quantidade de movimento angular

[ ]∑ = ωJdtdT ∑ =− 0

dtdJT ω

∑ = α.JT

Equações de Conservação

Conservação da carga elétrica (Lei de Kirchoff)

∑ ==dtdeC

dtdQinó ∑ =− 0

dtdeCinó

∑ =dtedCinó

Conservação da massa

[ ]∑ +== ρρρ &&& VVVdtdm [ ]∑ =− 0V

dtdm ρ&

∑ =dtmdm&

Equações de Conservação

Conservação da energia

∑ ∑

++−

+++−=

++ s

ssse

eeevcvc

vc

gZVhmgZVhmWQmzmVmudtd

222

222

&&&&

∑ ∑−+−= sseevcvcvc

hmhmWQdtmud

&&&&

( ) ( )∑ ∑ −−−+−= RspsRepevcvcvc

p TTCmTTCmWQdtTdCm

se&&&&

Equações Constitutivas

Leis físicas fundamentais que regem o comportamentode um elemento de um sistema

Exemplos

•Massa•Mola•Amortecedor

•Resistor•Capacitor•Indutor

Sistemas Mecânicos Mola

xkF =

Sistemas Mecânicos Amortecedor

dtdxcF =vcF =

Sistemas Mecânicos Massa

amF =

( )2

2

dtxdm

dtdtdxdm

dtdvmamF ====

Sistemas Mecânicos em Rotação

Mola torcional θkT =

dtdccT θω ==Amortecedor rotativo

Inércia( )

2

2

dtdJ

dtdtddJ

dtdJJT θθωα ====

Construindo um Modelo para umSistema Mecânico

∑ == 2

2

dtxdm

dtdvmFeConservação da quantidade

de movimento linear

ramortecedomolaeFFFF −−=∑

Somatório de forçasaplicadas à massa m cvkxFFe −−=∑

2

2

dtxdmcvkxF =−− Fkx

dtdxc

dtxdm =++2

2

mk

n =ωFreqüência angular natural

( )mkc

2=ζRazão de amortecimento

kFx

dtdx

dtxd

nn

=++ωζ

ω21

2

2

2

Resposta de um sistema de 2a ordem( ) ( ) [ ][ ]tte

kFtx t 156sen162,0156cos1 28,25 +−= −

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

5

10

15

2020

0

i t( )

0.30 t

x(t)Mathcad Document

Edita gráfico

Sistemas Mecânicos de Rotação

2

2

dtdJckT θωθ =−− Tk

dtdc

dtdJ =++ θθθ

2

2

Jk

n =ωFreqüência angular natural

( )Jkc

2=ζRazão de amortecimento

kT

dtd

dtd

nn

=++ θθωζθ

ω21

2

2

2

Exemplo de Sistema MecânicoSuspensão de automóvel

m1

)( 1011 yykF −=

)( 2122 yykF −=

dtyydbFb)( 21 −=

∑= Fam1 ∑= Fdtydm 21

2

1

bFFFdtydm −−= 2121

2

1

( ) ( ) ( )10121221

21

2

1 yykyykdtyydb

dtydm −=−+

−+

m2

)( 1222 yykF −=dtyydbFb)( 12 −=

∑= Fam2 ∑= Fdtydm 22

2

2

bFFdtydm −−= 222

2

2

( ) ( ) 012212

22

2

2 =−+−

+ yykdtyydb

dtydm

( ) ( ) ( )10121221

21

2

1 yykyykdtyydb

dtydm −=−+

−+

( ) ( ) 012212

22

2

2 =−+−

+ yykdtyydb

dtydm

Exemplo de Sistema MecânicoSuspensão de automóvel