ANTON D UMITRIU

SOLUIA PARADOXELOR LOGICO-MATEMA TICE

CENTR UL DE LOGIC .AI, ACADEMIEI REPUBLICII SOCIALISTE ROMNIA

ANTON DUMITRIU

SOLUIA PARADOXELOR LOGICO-MATEMATICE

EDITURA TIINIFIC Bucureti - 1966

Supracoperta de: Radu Veluda

Id sciticet efficiendum est, ut omnis paralogismus

nihil aliud sit quam error calculi.

LEIBNIZ

PREFA

La sfiritul secolului trecut, un matematician italian, Burali-Forti, descoperea o contradicie in teoria mulimilor: cel mai mare numr ordinal nu este cel mai mare I

Acestui paradox i-au urmat altele: paradoxul lui Cantor (publicat postum de ctre Zermelo), paradoxul lui Russell, al lui Richard, al lui Zermelo, al lui Gre11ing-Nelson etc., i, in sfirit, cel mai tulburtor dintre toate, paradoxul lui Godel.

Apariia antinomiilor in domeniul celor mai exacte i riguroase tiine, matematicile, a acestor cazuri de teratologie matematic, dup expresia lui Max. Winter, a zguduit atit fundamentul acestor tiine, cit i al logiCii i a creat o criz intr-o problem foarte important a timpului nostru:

problema fundamentelor matematicilor. Ceea ce apare i mai grav decit descoperirea acestor. antinomii este

poziia luat de matematicieni i logicieni in aceast problem i care const, in general, din a accepta o convenie mai mult sau mai puin artificial, in baza creia paradoxele pot fi evitate, nu soluionate: aa-zisele soluii oferite pin acuni., inclusiv cea mai interesant, teoria tipurilor, datorat lui Bertrand Russell, sint toate convenionale, constind din principii sau axiome restrictive ataate arbitrar logicii clasice, i care nu permit construcia unor expresii susceptibile s degenereze in contradicii. Cu aceasta ins, instrumentul logic ii pierde caracterul i sensul lui tradiional, fiind grevat de aceste convenii, devenind el insui o convenie. Fa de poziia adoptat in problema antinomiilor, consecina aceasta era absolut fatal i ea poate fi descifrat in toate lIoluiile incercate de logicienii contemporani, dei nu a fost afirmat totdeauna explicit in modul acesta. In der Logi'k gibt es keine Moral, va scrie Camap, formulind "principiul toleranei", i fiecare poate s-i construiasc logica sa cum vrea. . . O asemenea concepie reduce logica la un cadru simbolic, creat arbitrar, lipsit de un sens intrinsec, adici1la foarte puin, dac nu chiar la nimic. Singurul caracter logic pe care il mai are acest schematism simbolic este acela c nu e contradictoriu, dar necontradicia lui este construit in mod convenional, deci in ea insi nu are nici o valoare. Acceptarea antinomiilor logico-matematice ca fiind veritabile sau evitarea lor prin convenii de principiu

7

I

ruilleaz n mod esenial ideea de logic i o priveaz de orice semnificaie epistemologic. n orice caz, sperana de a gsi bazele logice ale matematicii este, n condiiile acestea, pierdut.

Ceea ce se poate reproa n primul rnd acelora care au acceptat antinomiile logico-matematice ca fi in d veritabile este faptul c au fost mai mult matematicieni decit logicieni i s-au lsat astfel inf1uenai de metodele matematice - excelente, de altfel, la locul lor - , transformnd logica ntr-o teorie deductiv cu axiome particulare, susceptibile n acest caz s fie modificabile. Ideea aceasta nu a aparinut concepiei clasice i de la Aristotel nsui, de-a lungul evului mediu, logicii i s-a rezervat un loc special n raport, cu celelalte tiine, ea fiind considerat ca "modul" oricrei tiine; ceea ce logicienii scolastici nu au ncetat de a repeta mereu: non posse csse scientiam id quod est omnis scientiae sive doctrinae modus (nu poate fi o tiin ceea ce este modul oricrei tiine sau doctrine).

Aceast poziie a fost susinut i n timpul nostru, de celebrul logician Lndwig vVittgenstein, care n al su Tractatus logico-Philosopl1icus. a artat c logica nu este o teorie convenional sau nominalist, ci o reflectare a lumii: "Die Logik ist keil1e Lehre sondern ein Spiegelbild der Welt".

Este, de altfel, evident c logica nu se poate construi decit n mod aparent ea o toorie matematic . ('u axiomele i metodele ei de deducie speciale. ntr-adevr, logica trebuie s justifice structura logic a oricrei teorii matematice, ,axiomele, regulile de deducie i teoremele oricrei teorii matematice; n caz c ea ar fi una din asemenea teorii matematice, ar trebui s justifice i propria ei structur logic, i axiomele, teoremele i regulile ei de deducie, adic ea ar justifica logic toate celelalte teorii matematice, dar o singur teorie matematic, aceea a logicii, ar trebui s se justifice prin ea nsi! Aceasta nu nseamn altceva dect o justificare n cerc vicios.

Chiar dac am fi obligai n fapt s acceptm aceast situaie, aceasta ar arta c'logica are o poziie cu totul special printre' celelalte teorii matematice, c, ea nu este o teorie matematic ca oricare alta. Amintim numai aceai

te limite? "Cunoaterea exi stenei unor asemenea limite "": scria Hegel -conine o contradicie, cci dac tim ceva despre aceste limite, aceasta inseamn c le-am i depit".

Am adoptat astfel poziia clasic, poziia lui Aristotel, exprimat clar in ultima carte a Organon-ului - Despre respingerile sofistice - dup care orice problem de felul acesta se reduce la o eroare de logic, i credem c am reuit s artm in mod pur logic in ce const eroarea i unde este exact locul ei in paradoxele logico-matematice.

Pentru aceasta am construit noi antinomii de un tip mai general, fa de care paradoxele cunoscute nu snt dect cazuri particulare; am dilatat. eroarea, ca s spunem aa, pentru a o face vizibil i sesizabil. Nu numai atit, dar am putut gsi schema general dup c!1re se pot construi oricte paradoxe voim. Vom observa c soluia este unic i nu necesit dect respectarea principiilor logicii clasice; acestea fiind universale, respectarea lor nu poate duce la nici o limitare.

Soluionarea .problemei antinomiilor credem c prezint, pe Ung interesul de ordin teoretic, i un altul: acela de a ntri increderea n raiunea omeneasc i n funcia ei natural, a crei caracteristic necontestat este libertatea ei, adic puterea ei progresiv nelimitat.

A. D'

9

1 TEORIA CANTORIAN A MULIMII.OR

. Antinomiile logico-matematice au aprut mai nti n adrul teoriei mulimilor, aa cum fusese creat de Georg Cantor. Deoarece n cele ce urmeaz, att n formularea paradoxelor, ct i n soluionarea lor, intervin noiuni din teoria mulimilor, vom reaminti cteva din ideile de baz ale acestei teorii, cu att mai mult cu ct de la nceput se .poa te observa caracterul paradc;>xal al unora dintre aceste idei.

Cantor a acceptat i formulat unele dintre ideile teoriei sale pe baza intuiiei directe, fr un control logic i mate-' matic riguros. S-a crezut astfel c dificultile ce s-au ivit pe parcursul dezvoltrii ei s-ar datora tocmai unor defi- ' niii acceptat,e pe baza intuiiei ca indiscutabile, cnd ele erau neltoare.

Teoria lui Cantor a fost numit, din cauza aceasta, .teoria naiv a multimilor, ceea ce vrea s nsemne o "teo-rie intuitiv".

'

Dup apariia antinomiilor, teoria mulimilor a fost formulat cu mult grij i construit pe alte baze logic 0-matematice, lund forma unor "sisteme axiomatice

". Prin urmare, teoria mulimilor poate fi nfiat n

dou moduri: 1) ca o teorie intuitiv: 2) ca un sistem axiomatic.

n acest capitol vom vorbi despre teoria naiv a muli-milor iar despre sistemele axiomatice ale teoriei mulimilor vom vorbi n cap . IV, "ncercri de a gsi o solu-

rz

ie" , cnd v om con si dera s istemele axi omati ce ale aces tei t eorii n r ap or t cu pr obl ema s ol uionri i p aradoxelor. D a r chi ar n teori a nai v a muli milor aa cum es te expus astzi , unele dintr e i deile lui Cantor au s uferit modi fi cri, dup cum vom sublinia mai departe.

Noiunea de mulime. ,,0 mulime (Menge) - s pune Cantor [1 J - este o reuniune ntr- un ntreg a unor obiecte bine determinate i dis ti ncte ale intuii ei s au gndirii noastre, care se numesc elementele mulimi i".

Deoar ece cu aceast concepi e despr e muli me s- a aj uns la paradoxe , matemati cien ii au considerat c es te mai bine s nu se mai ia no iunea de mulime ca o noiune defi ni t, ci ca. un element pri mar al i ntuii ei noas tre . Iat cum introduce muli mea, de exemplu , W. S ierpinski [lJ, nemaispunnd n imic des pre ce este o mulime, ci dnd doar exemple de formare a unor muli mi .

"Mulimi. Cu obiecte date putem forma mul i mi . De exemplu, cu literele a, b , c putem face o mulime a aces-tor li tere". .

S e noteaz pe scur t mulimea for mat cu nite obie cte date, cu acolade mi ci, ntre care s e s criu obiectele res pective de s prite pri n vi rgule .

De exemplu, muli mea format cu literele a , b , c se s cr ie: { a , b , c}. nchi znd obiectele ntre aces te acolade am format o unitate nchi s , u n obiect nou , care es te mulimea aces tor obiecte .

Elementele multimii. O biectele cu care se formeaz o muli me se numes c elementele mulimi i . Ele entele muli mi i { a , b, c} snt a, b i c; elementele muli mii {I. 5, 7} snt 1, 5 i 7 etc .

Dac toate elementele unei muli mi s nt date i le punem n eviden , atun ci s cri erea es te aceea d e mai sus cu acolade. Putem s notm pe scurt muli mi le prin literele mari ale alfabe tului: A, B , C, . . .

Apartenena . Pentru a expri ma faptul c un element a apari ne unei mul imi lVI se ntrebui neaz simbolul "E" de apartenen. Scrierea

.

Fa E M ns eamn : "a es te u n element al mulim ii lVI" s au, m ai scurt , " a aparine lui lVI".

12

D e exemplu, pentru mu limea M = {1 , 7} av em u rmt oarele apartentene :

Reuniune,a mulimilor. Fie n mul imi, MI> M2, M3, , Mn ; cu elementel e acestor mulimi se p oa te forma o nou mul ime R , astfel ca oricare element al lu i R s aparin cel puin uneia dintre mulimile date.

Mulimea R s e numete reuniunea mulimilor MI' M2, M3, , Mn. Simbolul de reuniune este "U". Avem deci

R = MI U M2 U .M3 U . . . U Mn Intersecia mulimilor . Fie n mulimi MI> M2, Ma, . .. ,

Mn ; cu elementele acestor muli mi se poate forma o n ou mul ime 1, astfel._ca elementele ei s a parin n acelai timp fiecreia dintre mulimel e date .

Mulimea 1 se numete intersecia mulimilor MI> M2, M3, . , Mn. S imbol ul de intersecie e ste "n". Avem deci

1 = MI n M2 n M3 n . . . n Mn Diferena a dou mulimi. Mulimea D a tutu ror elemen

telor unei mul imi M1 care nu aparin unei alte mulimi M2 se numete diferena mulimilor date . Diferena mulimilor MI i M2 se noteaz cu semnul , ,-". Avem deci:

D = MI - M2

M uZimea cu un singur element. Am spus c formnd o multime cu anumite obiecte, am c onstruit un nou obiect care' este complet distinct de obiectele iniiale. Acest l ucru se poate vedea mai bine examinnd mulimea cu u n singur el ement . Fie elementul a ; atunci mulimea format num ai cu a este { a}. Elementul a a parine mulimii {a }:

a E {a}

Dar n u putem scrie a E a, fiindc aceasta n u a re nici U11 sens; nu putem spune c elementul a i apa r ine lui nsui ca el ement .

13

Mulimea vid. A desea se vor bete d e mjmea elem ent elor care satisfac o anumit condiie . Se poate ntmpla s nu existe nici un elem ent care s satisfac aceast condiie. S e spune atunci c m ul imea respectiv es te vid. D e exem plu, mulim ea tuturor numerelor raionale x care satisfac ecuaia x 2 . 2 este vid.

U nii autori noteaz mulimea vid cu sim bolul A. Egalitatea mulimilor. Dou m ulim i snt egale dac fie

care element al uneia din mulimi este un elem ent al celeilalte mulim i i invers. S criem c dou mulimi M i N snt egale, astfel: M = N. . '

De exem plu , ave m egalitatea urmtoare ntre m ulimi cu elem ente date :

.

{ a , b , c} = { a , c , b} = { c , b, a} = { a , b, c, a} Aici av em p atru moduri diferite de a crie aceeai m uli-

me. . Din aceast definiie a egalitii mu limilor rez ult c

dac dou m ulimi M i N snt vide, ele snt ega le: M = N. De unde putem trage concluz ia c nu exist dect o sin

e- gur mulime vid. Mulimi de mulimi. S e pot form a mulim i de obiecte

care snt ele ns ele m ulimi . De exemp lu, s considerm obi ectele a, b, c, d i e. Putem form a cu ele mai multe m ulimi; fie, de exeniplu, rm toarele dou :

P = { a , b} Q' = {c , d, e}

L und aceste dou m ulimi P i Q ca elemente p utem s formm o nou mul im e Z :

Z = {P, Q} = {{ a, b} , { c , d, el}

M ulim ea Z at:: e deci dou elemente, P i Q. Aceast m ulime Z trebuie deosebit de mulimea forma t cu toate el ementele a, b, c, d i e.

T = { a , b, c, d, e}

E lemen tele mul imii Z s nt mul imi , iar elementele mulimii T snt obiecte. M ulimea T are cinci elemente, pe cnd

14

mulimea are numai dou. Nici un element al mulimii 'f nu este eement al mulimii Z (cu toate c elementele mulimii T \snt elemente ale elementelor mulimii Z). Numai n anln1ite cazuri particulare un element al unui element al unel\mulimi date poate fi un element al acestei mulimi. De exemplu, mulimea

{a, {a, b}} are un element .al unui elemeht al su.

Submultimea unei multimi. Dac fiecare element al unei mulimi M' este de asemeea un element al unei alte mulimi N, se spune C M este o submulime a mulimii N: Se spune atunci c mulimea M este inclus n N. Din aceast definiie urmeaz c orice mulime este o submulime a ei nsi sau este inclus n ea nsi. Mulimea vid este o submulime a oricrei mulimi.

Rezult c mulimea vid are i ea o singur submulime: mulimea vid.

Relaia de incluziune (de submulime) dintre o mulime M i o alt mulime N se noteaz cu semnul " C ". Deci

MCN

nseamn: "mulimea M este inclus n mulimea N"; M este o submulime a mulimi N.

Vom mai observa c se pot construi mulimi care s 'aib unele din elementele lor ca sub mulimi. De exemplu, fie mulimea B = {a } i mulimea A = {a , {a}}. Se pot da multe exemple de felul acesta.

Iat un exemplu de mulime non-vid ale crei elemente snt toate submulimile ei. Fie mulimea Z = {A}, unde A, dup cum am spus, este mulimea vid. Ea are un singur element care este i submulime; mulimea T = = {A, {A}} are dou elemente, care, fiind niulimea vid, sint i submulimi ale lui T. Tot aa se pot forma:

U = {A, {A }, {(A}}} V = {A, {A}, {A, {A}}} etc.

15

Mulimi jinitei infinite. O mulime M s e numete finit dac exist un ntreg poz itiv n astfel ca M s aib exact n elemente . O mul ime care nu este f init se nume te injinit. Mulimea v id este deci finit. E xemplul cel mai sim plu d e mui me inf init este mulimea numerelor naturale: 1, 2 , 3, 4, . . . , n, . . .

Echivalena.' Dac elementele unei mulimi M pot fi puse ntr- o coresponden biunivoc cu ele mentele unei alte mulimi, as tf el ca fiecrui element din M s-i corespund un singur i numai un element din N i inv ers, cele dou mulimi se numesc echivalente.

Semi1Ul de echivalen este " - " i deci echiv alena mulimilor M i N se scrie M - N. Mulimea complementar. Dac o mulime M este o

submulime a mulimii N, ad ic dac M C N, a tunci mulimea dif eren a acestor mulimi M-N se n umete com

pl ementul lui M n rap ort cu mulimea N i se noteaz cu CM .

Model. Funcie. Da c printr- un procedeu

I at aceast coresponden biunivoc ntre elemen tele mu limii numerelor naturale i m uli mea numerelor pa. re ( muli mi echiva lente) :

1 2 3 n 1 1 1 1

2 4 (3 2n Mulimi numerabile . O muli me M care este echivalent

c u mul imea nume relor natu rale se num e te o mulime numerabil. Aceast defin itie nseamn: mult ime a M este n umerabil dac putem s facem o coresp oden bi uni voc ntre elementele mulimii M i numerel e naturale . Cu alte cuv inte , putem s dm indici elementelor l ui M, oric are 'el emen t al lui M av nd indi cele su i el em ente diferi te a vnd indi ci diferii . Dac i ndi cele unui element este n , n otm acest element cu an. M ulimea numerabi1 M se p oate scrie atunci :

M = { al> a2 , a3 , , an} De aici rezult c orice mulime f init e ste numerabil;

n umai mulimi infinite pot fi nenumerabi le. U n exemplu de muli me nenumerabi1 : muli mea tutu

r or numerelor reale cuprinse ntre 1 i 2 etc . ]}[ulime ordonat. O mulime se nume te simPlu ordo

nat, dac element ele ei au fost aranj ate ntr- o ordine , dup un cri teriu oarecare, a a ca : 1 ) dintre dou elemente oarec are al i a2 s avem s au al < a2 sau a2 < al> sau a1 = a2; 2) rel aiile al < a2 sau a2 < al' sau al = a2 , s se excl ud reciproc ; 3) din al < a2 i a2 < aa s urmeze al < a3

R el a ia al < a2 nu necesit neaprat o relaie real ntre mrimi; este vorba de anteri ori tatea unu ia di n elemente f a de celelal te .

O mul ime s e nume te bine ordonat n cazul n care, f iind ordonat, ex ist i un element iniial , fi e al m ulimii ns i , fie al oricrei submulimi non-vi de.

Exemplu : orice muli me fi ni t ordonat este bi ne ord on at; irul numerelor naturale 1, 2 , 3; . . . , n , . . o este b ine ordonat , fi indc n oricare submul ime non- vid exist un prim element ; muli mea tuturor numerelor ntregi algebrice : .. . , -2 , - 1 , 0, 1 ,2 , o . o , ordonat n ordine natural, lUt este bi ne ordona t.

17

Postttlatui alegerii i teorema de bine ordonare. Vom mai cit a aici dou propozi ii datori te lui Zermelo, i care au prov ocat o discuie ampl n epoc a noastr .

Zermelo a observat primul c mult e ra ionamente matematice se bazeaz pe o presupunere acceptat impl icit i pe care el a enun at-o explicit astfel , denumind-o postulatul alegerii:

"P entru orice mulime de mulimi non-v ide i neavnd nici un element comun exist o funcie de alegere (A uswahlfmktion) , cu ajut orul creia se obine o submulime care con ine cel puin un singur element al f iecrei submulimi".

A cest postulat a fost e nun at n diverse varial te . Cea mai important consecin a acestui postulat est e

teorema de bine ordonare a lui Z ermelo : "oricare mul ime M poate f i bine ordonat" .

S-au dat pentru aceast teorem mai multe demonstra ii ; Zerme10 nsui a dat dou demonstraii.

Putere sau numr cardinal. ;,Vom numi putere sau numr cardinal al unei mul imi M - scr ie Cantor - no iunea gene ral pe care o deducem din M cu ajutorul f acultii noast re de a gndi, fcnd abst rac ie de nat ura dif erit elor elemente ale lui M i de ordinea lor".

Def ini ia aceast a a fost abandonat chiar n t eoria naiv a mul imilor. Iat ce scrie Fraenkel ( [4], p . 59) :

"Desigur, formularea lui Cantor nu poate f i a cceptat ca o definiie a numerelor cardinale". i iat definiia p care o citeaz Fraenkel i care este, n f ond, a ceea acceptat ast zi:

"Numrul cardi nal (puterea) al unei mul imi M este mul imea tuturor mulimilor care snt e chivalente cu M".

C eea ce este necorect n aceast def iniie nu putea s scape lui Fraenkel , cci el adaug : "Aceast def ini ie pare ntructva paradox al . T otui , astf el de def ini ii snt astzi l ucrll ri naturale n matema tici" . i Fraenkel mai observ nc: "P e de alt parte , mul im ea tut uror mul imilor echivalente cu M poate s implice antinomii dac nu snt

l uat e anumite pre cauii" . Vom vedea mai departe care s nt aceste antinomii .

Vom spune ns de pe acum c ex igenele unui logici an nu snt s atisfcute n aceste def iniii "naive" i Fraenkel nsui recunoat e acest lucru [4 J.

18

Di n d efini ia de mai su s rezul t : "Mul imil e MI i M2 vo r avea acelai numr cardinal

d ac snt echi valente , ad ic dac MI - M2; Al tfel, nu mer ele lor cardi nale snt diferite". ' '

V om mai mentiona faimoas a teorem a lui Cantor asu p ra nu mrului c rdinal al mu limii formate cu s ubmul imil e u nei su bmulimi date:

"M ulimea tutur01" subm ul imilor ori c rei mulimi date M are o putere (numr card inal) mai mare d ect muli-m ea M". '

S i ai ci ma tematicienii au obse rvat c s-a introdus ceva n eclr , fiindc Z ermel o a fost obligat s introduc o axi o-m de exi sten, i anu me: .

"Mulimea tuturor submulimilor unei mulimi date M ex ist" .

Noi vom a rta n capitolul u ltim. al acestei lucrri (" Conclu zii " ) n ce const eroarea de logic pe care o cu p rind impli cit astfel de propozi i i .

Cu noiu nile inii ale , Cantor a putut s ex plice, ntr-un m od foarte general op eraiile cu numer e ntregi: adunare , nmulire, ridicare la putere , comparaie etc .

Numerele cardinale transji'nite. Trebui e s spun em c i deea iniial de la care a pornit Cantor n' elaborarea teoriei sale - c are a lu at pe parcursul d ezvoltrii ei un a spect mult mai vast i complex - a fost . lmu rirea id eii d e infinit n matematici, ca re la epoca cnd scr ia Cantor e ra o idee dest ul de cont roversat.

Am vzut ce numete Cantor putere sau numr card inal . Ea avea av antaj ul unei intuiii " naive" i nu constit uia o defi ni i e vicioas. Definiia n um ru lui cardinal ca m ulime de mu limi echiv alente apare oricui bizar i n o rice caz arti ficial i noi vom arta pentru ce (n capitolu l final ) .

Numru l 1 va fi mul imea tuturor mu limilor cu un s ingur element (mulimi echivalente ntre ele) ; numrul 2 va fi mu limea 1; uturor mulimilor cu dou elemente fie-ca re; etc . .

S iru l n um ere lor natural e ,snt d ar pu terile mul i milor finite

1, 2, 3, 4 . . .. . , n, ...

19

S considerm muli mea format di n toate numerele cardinale (deci o muli me de mulimi ) ; puterea aces tei mul imi infini te , care este bi ne definit , este notat de Cantor cu No (Aleph zero) : este primul numr transjinit sau cel mai mic cardinal transjinit.

Numrul cardi nal transfini t No se bucur de urmtoarele proprieti , a fiind un numr fini t :

No> a No + a = No No + No = No

a . No = No No . No = No

C u ajutorul ex poneni alelor se pot defi ni alte numere transfi nite, puteri ale unor mulimi mult m ai vaste dect aceea a numerelor naturale i astfel Cantor crede poate gndi o serie de numere cardinale transfini te, di sti ncte ntre ele, seria Aleph-ilor:

Numere ordinale. S introducem acum noiunea de numr ordinal . Am vzut ce nseamn ordonarea simpl a unei muli mi M. Cantor definete as tfel tipul ordinal: "este noiunea general care rezult din M cnd face m abstracie de natura el ementelor lui M, dar nu i de. ordinea lor de succesi une" .

Astzi , tot n cadrul teoriei nai ve a mulimilor, aceast definii e este nlocui t prin alta . S e i ntroduce mai nti

i deea de asemnare ntre m ulimi . Dou mu li mi echivalente se numesc asemenea, dac elementele lor corespund n mod biunivoc i n ordinea fi ecruia dintre ele . n acest caz i numai n acest caz, ele au i aceea i putere i acelai tip ordi nal .

Ti purile ordi nale ale mulimilor fi nite snt nu merele ordi nale finite ; ele snt egale cu numerele cardi nale finite respective.

Dac considerm ns muli mile infini te , problema 1111 mai es te att de sim pl . De ex emplu, puterea mulimii numerelor. naturale este No, dar aceasta este i puterea

20

n um erel or raional e , fiind c se poate st abil i o corespon d en biunivo c nt re num erel e nt regi i numerel e raional e inferioare lui 1 . Cu alte cuv inte, mul imil e infinit e

d e aceeai putere pot avea t ipuri ordinale difer ite. S consid erm un exem pl u. Numerele raional e d e f or-

ma k pot fi ord onate d up mrime , de exemplu, dup va-q

l oarea sumei termenilor p + q; ntr- o alt ord onare putem s le aranj m n ordinea mrimii lor cresctoare etc . Primul m od de ordonare al n umerelor raionale ne d seri a :

1 2 2 3 ' 2 ' 3' 4' 3'6' 5'4'

Ord inea n car e snt aranj at e numerele raionale n mul imea num erelor raionale definete un tip ordinal , n ot at de Cant or cu w.

Al doilea mod de ordonare defin ete ns, dup Cantor, un alt numr ordinal , notat de el cu 1). Cele dou tipuri ordinale difer unul de al tul . Nu vom urm ri aceast chest iune m ai d eparte , d ar se vede c tipul ord in al al unei tJ? ulimi infinit e d epind e d e ordonarea ei .

* -

Am citat doar c"t, eva din noiun ile de baz ale t eoriei mulimilor, num ai att ct poate s aib o leg tur cu pro blema paradox elor log ico-matemat ice. n faa contradiciilor provocate de ideile- " naive" ale teoriei m ulimilor, ma temat icienii nu au t ras concluzia c asemenea idei trebuiau cu necesitate s con in g ermen ul paradox elor, c i

" c trebuie luate anumite precauii" , an umite " msuri de paz" . Aceste msuri n u snt impuse, n general , dec t de temerea de a n u da peste contradicii . Iat, de exemplu, ce scrie van der W aerden ([lJ, p. 3): "N e pzim totui s alctuim noi uni ca mulimea tuturor mulimilor) i a ltele d e a celai fel , fiindc acest ea dau loc la cont radic ii" .

M at ematicienii i- au d at seama c or ic t ar ncerca s dist ileze noiunea de " mulim e", ea nu poate forma o baz sigur pentr u const rucia t eor iei mul imi lor, teorie la care totui nu se poat e renuna , date fiind cele mai mult e din rezult at el e ei ind isc utabil e .

21

I at ce scrie F rae nk el ( [5 J , p . 19): " Antinom iil e arat c conceptul naiv d e mul ime, d up

c um apare n d efiniia l ui Cantor, i cel e -m ai g eneral e concl uzii derivabil e d in el nu pot forma o baz satisf

c toare pentru teoria m ulim ilor i m ult m ai puin pentru ma tem atici n n treg ul l or".

Vom vorbi m ai d eparte despre aceste "antinomii" i d espre " si stem el e ax iomati ce" care au fost constru ite ca u n remediu. i o reconstituire a teoriei m ul im il or pe baze strict

l og ico- matem atice. Din primul m om ent (ad ic ncepnd cu Zer mel o, 1908), noiunea de m ul ime a fost supus unor rest ricii ax iom atice, uI or delim itri m atem atice rig uroase, aa c pn l a sfrit nici n u se mai tie d ac ceea ce num im

m ulim e m ai e te totui o m ul ime . ntr- d ev r, pe ntru a d a un exem plu num ai, n sensul ace sta, iat ce s crie Bourbak i ([IJ, p. 60) d espre m ul ime :

"D in punctul de vedere naiv, m ul te entiti m atematice pot fi consid erate colecii sau mul im i de obiecte. No i nu v om cuta s form al izm aceast noiune i, n interpretarea form al ist a ceea ce urm eaz, cuvntul mul im e. trebuie co nsiderat ca riguros sinonim cu term en ; n particul ar, fraze ca fie X o m ulim e s nt, n principiu, t otal superflue, pentru c orice l iter este un term en" .

Cu al te cuv inte , m ul im ea este o l iter sau un termen care se supune unor anumite reg ul i de cal cul .. .

II . ELEMENTE DE LOGISTIC

n cursul l ucrrii noastre vom avea ne voie d e c teva n oiuni el em entare d e logic m atematic, pe care ne v om permi te s l e prezentm cititorului. Menionm c nu facem o ex punere sau o introducere n logica matematic, ci num ai o prezentare simpl ificat a ctorva capitole d in aceast

d isciplin, i anume : 1) cal culul p ropoziiilor; 2) funcii propoziional e ; 3) calcul ul cl aselor.

Vom red uce aceast expunere l a ceea ce este strict necesar n d ezvol tarea st ud iul ui nostru , urmrind n g eneral , si stemuI l ui R us s el l d in PrinciPia Mathematica.

1. Calculul propoziional

Constante i variabile. L ogica m atem atic sau l ogica sim bol ic sau l ogistica utilizeaz, n l ocul cuvintel or i propoziiil or care 'se pot form a cu el e , semne. U nel e semne pot' reprezenta ceva determinat, cnd ele se numesc " constante", i al teori , ceva ned eterminat, n care caz se num esc " variabil e" .

Variabile propoziionale. n cal culul propoziional , pr opoziiil e snt consid erate ca unit i , fr s ne intereseze coninutul eventual pe care ele l -ar putea av ea. El e se not eaz pe scurt cu l itere: p, q, r, . . . , care se num esc variab il e propoziional e . A ce s te variabil e pot lua d ou valori: ad evrul (notat pe s curt A) i fal sul (F), care se numesc v alori de ad evr.

23

Funcii de adevr. Cu v ariabilele prop oziionale se pot f orma complex e logice, n care propoziiile p, q, r, ... snt legate prin constante logice, corespunztoare conj unciilor

d in v orb irea ob i nuit i cu care se formeaz fraze . De exemplu, compusul log ic "p s au q" nseamn : sau prima prop oz ii e este adevrat, sau a doua, sau amndou. Cnm n log ica formalizat, variab ilele p i q pot s ia dou

v alori f iecare, A i F, adev rul sa u falsitate a expres iei co mpuse " p sa u q" nu depinde dect d e adev rul saU fals itatea variabilelor component e. Dup d efiniie , "p sau q" este a dev rat dac cel puin una d intre variabile este ad ev rat, dec i putem avea u rmtoarele p atru po sibiliti; cum arat tab elul de mai j os :

P I q "p sau q"

-- --

1. A A A 2. F A A 3. A F A 4 . F F F

S e vede c putem d ete, rmina ad evrul sau falsitatea expresiei " p sal,l q" num ai n f uncie de adevrul sa u falsitatea variabilelor p i q. Valoarea d e ad evr a ex presiei "p sau q

" nu depinde de coninutul propoziiilor p i q, c i numai de valoarea lor d e adev r ; de aceea, ex presia "p sau q" se numete o funcie de adevr. n ace lai m od se pot construi exp resii mai complic ate sau mai simple, n care variab ilele p, q, r, . . . vor fi unite prin c onj uncii d iferite - constante logice - i ele vor fi toate funcii de adevr.

Semnul de definiie este simb oli zat prin ,,=", n d reptul c ruia se pune "D ef. " (sa u ,,= Df"). Ex presia din dreapta semnului d e definii e se numete definien i ex presia din stnga, definiendum.

C arnap ([3], p. 7 ) spune c definiiile servesc numai p entru ab rev ieri i nu snt principial nec esare. Vom discuta afirma ia ace asta mai d eparte.

Punctuaia. Pentru a desp ri diversele p ri ale unei expre sii logice formale se ntrebuinea z un punct , dou p uncte, tr ei puncte etc . Puterea unui punct se ntinde p n

24

und e int ervine un numr d e punct e egal sau mai m are. Se pot nt reb uina, d e as emene a , pa ranteze n l ocul punctel or .

Cteva juncii de adevr. V om int rod uce acum cteva funcii d e ad evr d e care vom avea nevoie n const ruire a cal cul ul ui propoziional.

a) N e g a i a est e si mboliz at d e semnul , , -" , care - pus n f aa u nei var iabile prop oziionale - i schim b

valoarea d e ad evr : - p se citete "non-p" . Propoziia p put nd lu a d ou val ori , A i F, avem urmt orul tab el , care arat val oril e corespunztoare pentru

- p fa d e p: "

p - p A F F A

b ) D i s j u n c i a l o g i c est e aceea d ej a m enionat mai sus : "p sau q ". Simbolul pent ru const ant a logic "sau" est e semnul "v

" . Tabel ul a arat at c funcia de ad evr " p v q " , d isjuncia logic; est e f al s num ai n cazul cnd ambel e variabile snt f alse.

c) C o nl j u n ,c i a l o g i c "p i q " est e o funcie de ad ev r care est e ad evrat dac p i q snt simultan ad evrate ; de ci dac c el p u[n una dintre ele este fals , ,.p i q" est e fal s . Simb ol ul con sta ntei logice " i " este un punct , " . " . Deci "p .q " . n seamn "p i q " . (Con j uncia . " . t 1 &") "I se mal no eaza cu semnu " r . \

Tabelul urmt or arat cum corespund valorile l ui " p .q " n raport cu valorile d e ad evr ale variabil elor p i q :

p q' p .q

l. A A A 2. F A F 3 . A F F 4 . F F F

d ) 1 m p 1 i c a i a l o g i c est e d efinit d e R ussell ca fiind o funcie d e adevr care est e ad evrat d ac sau prima propoziie est e f al s , sau a d oua est e ad evrat . C u alt e cuvint e , d ac p impl ic q , nu poate fi cazul ca prima

25

s fie adevrat i a doua fa l s : o pr opoziie adevrat nu poate implica una fals . Semnul d e implicaie es e ,,=>" i deci "p implic q" se scrie: p=>q.

Conform defini iei lui Russell , avem : p => q. = . - p v q Def.

I mplicaia este defi nit cu a jutorul negaiei i al d isj unciei logice . T abelul corespun ztor este :

P

1. A 2. F 3 . A 4. F

q

A A F F

p=> q

A A F A

e) E c h i v a l e 11 a l o g i c . Dac d ou propoziii p iq' s nt simultan adev rate sau simultan false ele se numesc echivalente . S imbolul de echivalen este ,,=" i deci " p echivalent cu q " se scrie : p = q . Russell a artat c aceast definiie nu nseamn al tceva dect c p :J q i n, acelai timp q => p, adic cele dou propozi ii echivalente se im plic simultan reci proc :

p = q . = Df : P => q . q => p

. T abelul urmtor arat v alorile de adevr ale e chivalenei n func ie d e valorile d e adevr ale argumentelor:

p q p = q -- --

1. , A A A ,2. F A F 3. A F F 4. F F A

Se pot construi mai mul te funcii de adevr cu dou argumente . Cte? W ittgenstein [1] a artat c se pot con-strui 2'J.'J. = 16. asemenea funcii, d ar nu toate snt independ ente , ci unele se pot ex prima cu ajutorul celorl alt e . Am i v zut c implicai a i echivalena se pot d efini cu aj utorul cel orlalte .

26

Tautologia. E xist anum ite funcii d e ad evr care r m n n p erm an en ad evrate, al cro r ad evr nu d epinde deci nici d e coninutul ce s- ar atribui v ariabil el or componente i nici d e val oarea l or d e ad evr .

Asem enea expresii se num esc tautol og ii, d up d en um irea d at d e W itt g enstein. De exem pl u, exp resia

- p v p

spun e :. sau p este f als, sau p este adevrat , care este principiul terului exclus . U n tabel ne arat c orice val oare d e ad evr ar lu a variabil a p , expresia - p v p rm ne ad evrat totde aun a, fiind c una d in propoziii va fi sigur ad evrat:

p - p - p v p

A F A F A A

n acelai m od, ex presia urm toare este o tautologie:

q . :J. p vq

Orice propozi ie q im pl ic d isjuncia p v q . T abel ul n e arat im ed iat c aceast formul logic rm ne n permanen ad evrat, orice valoare d e a dev r ar lua propozi iile componente (i orice coninut) :

p q pvq q .:J .pvq -- --

1. A A A A 2. F A A A 3 . A F A A 4 . F F F A

F orm ul a considerat este d eci o taut ol og ie . U n al t caz extrem al funciilor de ad evr s nf contradic

tiile. , Ex ist expres ii logice care rmn n permanen false,

or ice v al ori d e ad evr ar lua variab il el e c om ponent e (i d eci or ice coninut) .

27

De exemplu, formula

- p. p

este o contradici e, ad ic o propoziie fals totdeauna, cazul opus tautologiei. T abelul ne arat imediat acest luc ru:

p - p - p . p

A F F F A F

Oria re ar fi valoare a d e adevr a lui p, - P . p este fals . In acelai mod se pot construi o mu lime de contradicii .

Semnul de aseriune. O propoziie poate fi numai consid erat sau afirmat. D e exemplu, propoziia "Cezar a trecut Rubiconul" este o propoziie consid erat. Dac ns spunem : "propoziia Cezar a trecut Rubiconul este adev rat" , atunci am afirmat aceast propoziie . S emnul

d e aseriune, int rodus numai pentru aceast dist incie, este )--" . n formulele logice, propoziiile snt numai c onsiderate, fiindc ele p ot fi ad evrat e sau false . De exemplu,

f-- P:Jq

nseamn: este adevrat c p implic q, dar p i q pot s fie adevrate sau false; nu ele snt afirmate, ci implicai a lor. S em nul de aseriune nu este un simbol logic necesar; noi l vom pstra ns pent ru m ai mult precizie.

Reguli de deducie. Regulile d e d educie (de care ne v om serv i aici) s nt n num r de t rei:

a) Regu! a s u b s t i t u i e i: n orice formul logic a d evrat ( tautologie) se pot substitui n locul variabilelor orice alte ex presii p ropoziionale, cu condiia ca o v ariabil s fie nlocuit pretutind eni n formul cu aceeai expresie simbolic, i se obine t ot o tautologie .

b) Regula m od u s p o n e n s: dac o imp licaie e ste ad evrat i prim ul ei mem bru est e ad evrat, at unci i al

28

d oilea membru al implicaie i este adevrat (conform d efiniiei implicaiei) . Simbolic se scrie aceast regul astfel :

!- . p :J q f- . P

f- . q

c) R egula de n l o c u i r e (Ru le of RePlacement) : n orice f ormul adevrat (tautologie) o expresie propoziional poate fi nlocuit printr-o alt expresie propoziional dac ultima expresie este echivalent cu prima . Aceast regul are asupra regulii su bstituiei avantajul c nu este necesar ca expresia nou, care este substituit celei vech i n tautologie, s f ie substituit pretutindeni n f ormula adevrat ; ns ea cere o condiie n plus , i anume ca mai nti s se stabileasc echivalena acestei expresii cu aceea pe care o nlocuiet e , ceea ce nu se cere n regula substituiei .

Construcia logicii formale. Pentru a construi teoria logicii formale , ca o teorie d eductiv matematic, Ru ssell a avut nevoie d e no iunile primitive (nedef inite) d e variabil propoziional, de negaie, , , - " i de disjuncie " v" . L und apoi un grup de cinci axiome, car e snt tautologii , el izbut ete s deduc cu ajutorul regulilor de d educie , din ele , t eoremele logicii . Nicod [1] a artat c se poate reduce numru l propoziiilor primitive la patru , ba chiar c se poate r educe la una singur (ns incomod) . I at cele patru ax iome ale sistemului lui Russell, date de Nicod :

Al f- : q . :J . p v q A2f-: p v p :J p A3f-:.pvq :J qvp

A4 f-: . q v r . :J': p vq . :J . p v r

Se poate constata c toate patru axiomele snt tautologii fcnd tabelul respectiv pentru fiecare, ca mai sus .

Din acestea se d ed uc ta utologii mai mult sau mai puin complicate. Nu este cazu l s menionm aici dec t c princi-

29

p ile log icii clasi ce' devi n n logi ca lui Russell teoreme demon strate ( tauto logii). Ia t acest e pri ncipii, precum i c teya dintre aceste teoreme :

TI f- . - p v p

T2 f- . - (p . - p)

T3 f-- . - (- p) = P

T4 f-: . p:Jqq:J r : :J : P :J r

TS f- : p :Jq .:J' -q :J - p

T 6 \-: p:J- p. :J ._ p

T7 f-: p v p . == . P T8 f-: p = q . = . (p = -q )

(pri nci pi ul terului ex clus) (principiul contra di c-t iei) , (princip iul dub lei neg ai i) (principi ul sil ogi smul ui) (pri nci pi ul transpozii ei) ( pri nci pi ul redl1,ctio ad absurdum) (pri nci pi ul tautologi ei)

T9 f-- : p=q =: pq v- p_q TIO \- . - (p = - p)

2. FUllclii propoziionale

n paragraful precedent am consid erat propoziiile ca uni ti i ceea ce ne-a i nteresat au fost relaii le dintre propoziii realiz ate prin aa-numitele "constante log ice".

S intrm acum n struct ura unei astfel de propozi ii. F ie, de exemplu, propozi ia "Socrate este muri tor

" . Ai ci se distinge un subiect care are un predi cat sau, mai g eneral spus, un individ care are o proprietate . Vom expri ma lucrul acesta, n mod foarte general , astfel: fie un obiect x (variabi l) care are o propri etate f, adic "x este f". Cnd nlocui m

v ariabila x cu valori date x = Socrate , x = P laton, x = = Ari stotel etc . , i ar f = muri tor, obi nem propo ziiile: "Socrate este muri tor" , "Platon este muritor" , "Ari stotel este muri tor" etc. , adi c pentru fiec are valoare dat a lui x i pentru f dat, se obi ne o propoz ii e ( adev rat sau f als ) . Expresi a " x este muri tor" sau , mai g eneral , "x este

30

f", care devine pentru fi care valoare dat a 'vari abilei o propoziie, se numete o funcie propoziional.

Russell [2J d efinete funci a prop oziional astfel: ,,0 funcie propozi ional este o ex presie conin nd unu l' s au mai muli constitueni ned eterminai , aa, c atunci

c nd v alorile lor snt d ate, expresia d evine o propoziie" . Funcia propoziional "x este f" se noteaz pe scurt ca n matematic cu f( x). Variabila x se numete argumentul funciei . T otalitatea valorilor care, puse n locul lui x (d e exemplu, cum a fost n cazul preced ent, Socrate, Platon, Aris totel . . . ) , fac s se transforme funcia propoziional ntr-o propoziie se numete domeniul' d e valori ale arg umentului.

n rezumat': o propoziie este o ex presie care este adevrat sau fals; o fu ncie propoziional este o ex presie coninnd variabile i care, pentr u valori determinate ale variabilelor, devine o propoziie (ade vrat sau fals) .

n ceea ce urmeaz nu vom avea nevoie dect d e funcii propoziionale cu un singur argumen , d e forma f (x).

Dac funcia propoziional este d at, cum a fost "x este muritor" , atunci se ntrebuineaz n m od obinuit litere latine pentru scrierea lor:

f (x) , g (x) , h(x), ... Dac funcia propoziional este variabil, CUtn 'ar fi

"x este q/', pentru sc rierea unor asemenea funcii propoziionale .se ntrebuin e az liter e greceti:

cp( x) , ljJ(x) , x (x) , . . . Deoarece uneori , atribuind la ntmplare o valoare ar

gumentulu i unei funcii propoziionale , s-a d at peste o propozi ie care nu poate fi d eclarat adevrat sau fals, RusseU , i d up el toi logicienii , au trebuit s limiteze valorile ad misibile pentru argumentul unei funcii propoziionale . Aa a aprut teoria tipurilor, precum i alte teorii , despre care nu vom vorbi aici , ci c nd va fi v orba de ncercrile

d e sol u ionare a p arad ox elor i cnd vom face critica lor. Propoziii generale i existeniale. Dintr-o funcie propo

ziional f( x) putem obine o .p ropozi ie pe dou ci : 1) sau nlocuind argumentul cu o valoare constant x = a i cpt nd f (a); 2) sau prin cuantificare.

31

Cuanti fi carea se face cu aj utorul operatorului de generalizare sau cu aj utorul operatorului existenial. Dac pl ecm d e la funci a propozii onal f (x) i spunem "f (x) pentru t oi x" , cu alte cuvi nt e c f (x) ia valoarea de adevr "ade\" rat" pentru oricare valoare a argumentului x, am obi nut o propozi i e ge neral , care se scri e astfel:

(x) . f(x)

Si mb olul (x) se numet e "ope ratorul d e g enerali zare" i transform o funcie p ropozi i onal ntr-o propozi i e ge neral , care poat e fi afi rmat [funcia f (x ) nu poate fi afi rmat ].

Operatorul de exist en s noteaz cu simbolul (ax ) pus nain tea unei funcii propozi i onale; scri erea

(ax ) . f(x )

ne duce la o propozi i e d e exi sten i nseamn : " f (x ) nu este fal s pentru toi x" , sau nc "exi st cel puin un x pentru care f (x) este va labil" .

Rezult c avem prin defi ni i e:

(a x) . f (x) . = Df . - [ (x). -f (x)]

Ceea ce nseamn : "f( x) uneori" este acelai lucru cu " est e fals c pentru toi x, f (x) este fals" . .

S consi derm dou fu ncii propozii onale varia bile cp (x) i H x); dac prima i mpli c pe a doua, 'oricare ar fi x, atunci scri em:

(x) . cp (x) ::J ( x)

Aceasta este o i mpli cai e general i se ci tete: "dac cp (x) este valabil, atunci i H x) este valabil , ori care ar fi x" . Se m ai scrie lucrul acesta i sub forma:

cp( x) ::J" (x)

Acelai lucru n ceea ce pri vete echi valena . Expre si a

(x) . cp(x:) = H x)

32

l11sea ll 11 : "pentru oricare x, cp (x) este echivalent cu (x) " . Se m ai poate scri e acest lucru i astfel:

Deoarece (x ) . f (x) i (ax) . f (x) nu reprezi nt dect aparent funci i propoziionale , i ele snt n fapt propoziii , x este o variabil aparent sau, cum se ma i numete , o variabil legat . ntr-o funcie propoziional f (x) intervine ns o vari abi l real sau liber . Se gsesc exemple n matematici de astfel de variabile aparente (legate) . n ori ce integ ral defi ni t,

b f (x )dx, a

variabi la este aparent ( legat) , cci valoarea acestei expresii este o constant.

3 . Clase

Am vzut ce e ste o mulime sau o cl a s . S presupunem c avem o funcie pr

Z E X (C(x ) . = . cp (z) Def.

Tot astfel , dac un element z nu aparine clasei x (cpx), el nu face adevrat funci a noastr . ntrebuinnd semnul de neg ai e, putem scrie :

z - E X (cpx) , = . - cp( z) Def.

"Dac z nu aparine clasei determi nate d e cp (x) , aceasta nseamn c cp(z) este fals" .

Dac d ou fun cii - cp (x) i (x) snt echivalente n mod general , adi c dac avem

aceasta n u poate s nsemne dect c ele snt satisfcute d e aceleai valori , deci c ele determin aceleai clase . Cu

alte cuvinte, putem scri e : cp (x) =x Hx) . _ . z ( cpz) = Z ( z)

Echivalena universal a funciilor cp (x) i ( x) echi valeaz cu eg ali tatea claselor determin ate de ele.

Di n ceea c e am spus pn acum, rezult c o funcie f (x ) (cu un sing ur arg umen t) defi nete o clas : clasa elementelor care au predi catul f. De aceea se mai spun e c o clas este sfera sau extensi unea unui predi cat (Camap [ l J , p . 18) .

Fiin d dat o funcie f (x) , toi x care o veri fic fo rmeaz o clas , pe care s o notm cu IX :

IX = X ( fx)

Toi x care nu verific aceast fun ci e formeaz clasa contrar lui IX ; d up notaia lui Russell (care este aceea a lui Peano) , ea se noteaz cu - IX . Aadar, , , - IX" este clasa tuturor acelor x care nu veri fi c f (x) :

- IX = - x (fx)

A spun e c un elemen t x aparin e clasei - IX nseamn acelai lucru cu a spun e c el n u apari ne clasei IX :

Def.

34

Mai putem exprima lucrul acesta i a stfel : "est e fals c x aparine clasei (1." :

x E - IX = . - (x E (1.) Prin urmare , notai ile

X E - (1.

x - E IX

- (x E IX)

. reprezi nt acelai lucru . .

Def.

Vom meniona nc relaiile dintre clase (despre care am mai vorbit la teoria muli milor) . Mai nti se pot forma i clase de clase . Un exemplu concret este urmtorul: Organizaia Naiuni lor Unite conine ca membri naiunile englez, rus, francez , ameri can etc . Clasa francezilor este un membru al clasei Nai unilor Unit e , dar un cetean francez , care este un membru al clasei frapcezilor, nu este membru al clasei Naiunilor Uni te .

Clasa M , format cu toate elementele a d ou clase ot i , este reuniunea claselor (1. i , ca i n teoria mulimilor :

Clasa M a elementelor comune a dou clase IX i este conjuncia claselor IX i :

M = (l. n

O clas IX poate s ai b toate element ele ei printre elementele altei clase ; n acest caz clasa IX este inclus n clasa :

IX C Avem urmtoarele definiii :

f-- : . IX C . = nf x E IX .::> % x E

"Dac oricare ar fi x, x aparine clasei IX implic x aparine lui , aceasta nseamn c IX e ste inclus n W' .

3S

"Clasa tuturor acelor x care aparin clasei IX i n acelai timp . clasei este intersecia claselor IX i "

t- : . IX U = Df X (x E IX ' v x E ) "Clasa tuturor acelora care aparin clasei IX sau clasei este "reuniunea clselor IX i " .

Dintre teoremele stabilite n PrinciPia Mathematica , n legtur cu noiunea de clas, vom meniona aici numai dou, anume cele dou forme silogistice ale primului mod al primei figuri , n l}arbara :

T U t- : IX C . C y . ::J . IX C y Tl2 f- : IX C . x E IX . ::J x E

Silogismul TI I spune : dac clasa IX este inclus n clasa i in acelai timp este inclus n clasa y, atunci clasa IX este inclus in clasa y. (Toi grecii snt oameni , oamenii snt muritori , deci toi grecii sint muritori . )

Silogismul T12 spune : dac clasa IX este inclus n clasa i n acelai timp x aparine clasei IX, atunci x aparine clasei . (Socrate este om, toi oamenii snt muritori , deci Soc rate este muritor. )

Definiie i identitate . n cele ce preced, am utilizat semnul " = " ca semn logic de definiie . Acelai semn este ntrebuintat ca semn de identitate. Definitia semnului de identitat este urmtoarea :

'

x = y . = . (cp) . cp (x) ::J cp (y) Def.

Cu alte cuvinte, x, este identic cu y' dac, oricare ar fi

proprietatea pe care o are x, y, are i el aceast proprietate . Sau nc : x este identic cu y dac toate proprietile lui x snt i ale lui y. 'Se vede c semnul de definiie (n dreptul cruia este scris totdeauna Def . ) nu este definit el nsui , dar semnul de identitate este definit. Neidentitatea dintre x i y se scrie :

x .;- y

36

Russell scrie , prin definiie :

(x = y) Def.

*

Formaliznd logica , aa cum am artat mai sus , Russell a creat un instrument de precizie i rigoare matematic, i a crezut c poate realiza programul logicist a l lui Frege , de a funda matematicile pe logic i pe noiunea logic de clas (mulime) . El s-a izbit ns de dificulti mari , ntre care ca mai important este apariia antinomiilor n chiar acest formalism logic . Cu toate perfecionrile aduse ulterior, logica matematic, ca i teoria mulimilor, nu a putut evita apariia paradoxelor dect prin introducerea unor convenii , dup

III PAlt.\ ) )OXELE1LOGn;O-l\IATEliIATICE

1 . Paradoxul lui Burali-For ti

Matematicianul italian Burali-Forti [1] a publicat n anul 1897 o antinomie pe care a ntlnit-o n teoria mulimilor. Burali-Forti a expus acest paradox utiliznd mij loace formale, n spe,':aparatul logicii simbolice , aa cum ea fusese constituit de Peano i coala italian .

Acest paradox se poate formula n felul urmtor: se demonstreaz n teoria mulimilor c: 1) orice serie de numere ordinale definete un numr ordinal ; 2 ) acest numr ordinal este mai mare cu o unitate dect cel mai mare numr ordin al al seriei date ; 3) seria ordinalelor (n ordinea mrimii lor) este bine ordonat. S considerm acum seria tuturor numerelor ordinale ; aceast serie definete un numr ordinal s-I notm cu 0, care este cel mai mare dintre toate numerele . n acest caz, seria tuturor numerelor ordinale conine cel mai mare numr ordinal 0, i deci numrul ordinal definit de aceast serie nu este 0, CI n + 1. Contradicia este izbitoare : -dac este numrul ordinal definit de seria tuturor ordinalelor, atunci nu n este numrul ordinal definit de seria tuturor ordinalelor, ci n + 1 .

38

2 . Parodoxul lui Cantor

o contradicie asemntoare referitoare la cel mai mare numr cardinal a fost descoperit de Cantor [1 ] in 1899, dar nu a fost publicat decit n 1926 de Zermelo .

Fie M mulimea tuturor mulimilor i Nc , numrul su 'cardinal : Nc este cel mai mare numr cardinal posibil . Pe de alt parte , o teorem binecunoscut a teoriei mulimilor spune : numrul cardinal al mulimii tuturor submulimilor lui M este mai mare decit numrul cardinal Ne al mulimii M. Contradicia este evident : numrul ,cardinal N c al mulimii M a tuturor mulimilor este cel mai mare numr posibil, dar el nu este cel mai mare , pentru -c numrul cardinal al mulimii tuturor submulimilor lui M este mai mare ca Nc .

. 3 . 11aradoxul lui Russell

Russell [1 J a descoperit n 1903 un paradox . nrudit cu cel al lui Cantor, dar avnd o structur logic mai ' simpl . Se constat c exist mulimi care i aparin ca element i c exist de asemenea mulimi care nu-i aparin ca element . De exemplu, mulimea tuturor noiunilor abstracte este ea nsi o noiune abstract, deci ea se conine ca element ; mulimea tuturor noiunilor, determinate este ea nsi o noiune determinat, deci ea i aparine ca element .

Dimpotriv, mulimea tuturor mamiferelor, de exemplu, nu este ea nsi un mamifer, deci nu i aparine ca element . Cu toate c existena mulimilor care i aparin ca elei:nent a fost contestat, problema care urmeaz nu depinde de faptul c asemenea mulimi exist sau nu exist, dup cum foarte bine a observat Fraenkel [3 J , din moment ce propoziia "orice mulime i aparine ca element sau nu i aparine , tertium non datur" , este o tautologie i q,eci este adevrat independent de faptul c asemenea mulimi exist sau nu n realitate . Toate mulimile care se conin ca element formeaz o nou mulime G; toate mulimile care nu se conin ca element formeaz o nou mulime r . Deoarece orice mulime se conine . sau nu se conine ca element, o a treia posibilitate neexistnd, trebuie ca i mulimea

39

r s se contin sau s l1 U e contin ca element . Dac se conine ca lement, atunci ea nu pate s se conin, deoarece , prin definiie r nu conine dect mulimile care nu se conin ca lement ; dac mulimea r nu se conine ca element , atunci , prin definiie , ea se ccnine . Contradicia este izbitoare .

Exprimat prin simboluri , paradoxul apare i mai simplu _ Definiia mulimii r este "n" ulitr ea tuturor mulimilor care nu se conin ca elem ent" , ceea ce se scrie

oc E r = Df - oc E oc Aceasta fiind adevrat , oricare ar fi mulimea oc , avem

echivalena general (pentru orice oc) : ( 2) . oc f r = - oc E oc

Pentru valoarea particular Il lui oc , n spe oc = r . obinem :

Propoziia "mulimea r se conit1e ca element" este ' echivalent cu propoziia "mulimea r nu se conine ca element" , ceea ce este contradictoriu .

Mai tirziu, Russell (1905) a artat c se poate obine un paradox asemntor fr a se mai introduce noiunea de mulime, numai prin tntrebuinarea noiunii de predicat . S examinm un predicat oarecare : dac are proprietatea exprimat de el nsui , vom spune c are proprietatea s fie predicabil; dac nu accept proprietatea exprimat de el nsui , voin spune c are proprietatea de a fi impredicabil. De exemplu, predicatul abstract este el nsui abstract , deci este predicabil ; predicatul imaginabi l este el nsui in: a ginubil , deci este prcdicabil ; predicatul determinat este el nsui determinat, deci este predicabil; dimpotriv, predicatul m amifer nu este el nsui mamifer, deci este impredicabil etc .

Un predicat dat admite ca predi cat proprietatea pe care o exprim , sau nu o admite ; orice predicat este deci predicabil sau impredicabil , tertium non datur.

S punem acum aceast problem pentru predicatul impredicabil: i el trebuie s fie predicabi l sau impredicabil,

()

'O a treia posibilitate nu exist . Dac predicatul impredicabil este predicabil, atunci admite proprietatea exp rimat de el nsui , deci este impredicabil ; dac predicatul impredicabil este impredicabil, atunci are proprietatea exprimat prin el nsui , deci este predicab il . Contradicia este evident.

Exprimat n simboluri , acest paradox se scrie , ca i n cazul precedent , foarte uor . Avem definiia "dac un pre,dicat nu are predicatul tjI, atunci predicatul tjI are predi,catul impredicabil" (notm ' impredicab il = Imp) :

Imp ( ) = Df - tjI( ) Aceast definii2 fiind valabil pentru orice predicat,

rezult echiv;alena general (pentru orice tj; )

( tj; ) , ImP(tjI) - HtjI) Pentru valoarea particular a lui tjI , adic tjI = Imp ,

obinem

ImP(ImP) = - ImP(ImP) Propoziia "impredicabil" este " impredicabil" este echi

valent cu propozi ia "impredicabil nu este impredicabil" ceea ce este absurd .

Impo r t ana acestor paradoxe construite de Russell const mai ales n faptul c ele arat c natura acestor contradicii este pur logic i c ele nu apar ca urmri ale ctorva noJiuni matematice mai complexe , sau mai puin precise - cum ar fi noiunea de mulime - , ci n cadrul logicii obinuite , utiliznd noiunea logic de predicat, sau aceea de clas - extensiunea unui predicat - care corespunde noiunii de mulime.

4 . Paradoxul lui Richard

Jules Richard [ l J a public at n 1905 un paradox prin -care urmrea s demonstreze c nu e nevoie s se aj ung pn la teoria numerelor ordinale pentru a descoperi o asemenea contradicie . ,

S considerm alfabetul francez, care conine 2 6 de litere : s notm toate aranjamentele de daZ / el l itere care se

4 1

pot face cu aceste 26 de litere i apoi s le clasm n ordine alfabetic ; s formm apoi toate aranj amentele de trei litere i s le scriem tot n ordine alfabetic ; s formm apoi aranj amentele de patru litere etc . Aceste aranjamente pot s conin aceeai liter repetat de mai multe ori , ceea ce nseamn c avem aranj amente cu repetiie .

Oricrui numr ntreg p i va corespunde un aranj ament de p litere care se va gsi n acest tabel i , cum tot ceea ce se poate scrie este ' un aranjament de litere , tot ce se poate scrie se va gsi n acest tabel al crui mod de formare a fost indicat . ,

Definiia unui numr fiind fcut prin cuvinte (i acestea fiind compuse din l itere) , rezult c unele dintre aceste aranj amente vor fi definiii de numere . S tergem din aceste aranjamente, aranj amentele care nu snt definiii de numere . Fie U1 primul numr definit printr-un aranj ament , U2 , al doilea , Ua al treilea etc . Am nirat astfel , ntr-o ordine determinat, toate numerele definite printr-un numr finit de cuvinte . Deci , toate numerele care se pot defini printr-un numr finit de cuvinte formeaz () mulime E, care poate fi numerabil.

Iat acum unde este contradicia . Se poate forma u11', numr care s nu aparin acestei mulimi .

(Fie p a n-a zecimal a n-ului numr din mulimea E ; s formm un numr avnd pentru ntreg, zero , i pentru a n-a zecimal p + 1, dac p nu este egal nici cu 8, nici

' cu 9 i unitatea, n caz contrar . Acest numr N nu aparine mulimii E. Dac ar fi al n-lea numr al mulimii E, a n-a cifr a sa ar fi a n-a cifr zecimal a acestui nu,rnr, ceea ce nu este adevrat .

S nsemnm cu G grupul de litere cuprins ntre ghili-mele . Numrul N este definit de cuvinte din grupul G, adic de un numr finit de cuvinte ; el ar trebui deci s aparin mulimii E. Dar am vzut c el nu aparine acestei mulimL Aceasta este contradicia . ,

Am reprodus aproape textual acest paradox , aa cum a, fost formulat de Richard nsui .

Paradoxul lui Richard a fost prezentat , sub o form simplificat, de Carnap [3J . Fie Zpr (Zahlpredikat) un predicat prin care reprezentm numere reale , adic numere al cror singur argument i a ca valoare o expresie

42

-numeric . .Putem numerota fiecare predicat Zpr printr-un numr natural lund n consideraie , de yxemplu , ordinea "lexicografic a propoziiilor care l definesc , sau altfel . .Fie "a" expresia unui numr ; acest numr va fi richardian, dac numrul a este numrul unui predicat Zpr, ,de exemplu Pa, iar P (a) este fals (cu alte cuvinte , dac predicatul cu indicele numeric a nu convine indicelui :su a) .

innd seama de aceste indicaii , richardian este un pre-dicat Zpr bine definit, iar a, n consecin, un numr de ordine , s zicem b. Acest numr b trebuie s fie, la rndul ,su , richardian sau non-richardian, tertium non datur. Dac b este richardian , el nu admite, conform definiiei , proprietatea cu numrul b, care este richardian, deci b nu este richardian ; dac b nu este richardian, el admite proprietatea cu numrul b, care este richardian, deci b este richar-dian.

S exprimm n simboluri aceast contradicie , dup Carnap [3 ] .

Fie o limb logic S , n care ntrebuinm un fundor ."num" , prin care se poate reprezenta o numrare univoc a tuturor predicatelor Zpr ale limbii S . De exemplu , dac " P " este un Zpr (predicat de numr) , "num P" este o e x -presie a unui numr. .

Univocitatea acestei numrri este presupus :

[num(F) = num (G) J ::J (x) [F (x) = G (x) ] ( 1 ) S definim acum predicatul richard ian = Rt' :

Rt' (x) = (F) [ (num (F) = x) ::J - F(x) ] (2) Dar pentru c " Ri" este un Zpr, el are un numr pe

care l vom nota cu "num (Ri) " . S presupunem acum c numrul predicatului "Ri" este richardian : "Ri[num(Ri) ]" . Rezult astfel conform punctului [2] , ' c dac se nlo.cuiete "xc' . , cu " num(Ri) " i "F" cu " Ri" , se aj unge la : - R i [num(R-i) ] . Presupunerea fcut de noi c "num(Ri) " este richardian , ducnd la o contradicie , aceea c "num(Ri) " nu este richardian , trebuie declarat fals , deci :

- Ri i llum (Ri) ] (3)

4.1

Din ( 1 )

[num (F) = llum (Ri) J ::J [ - F [num(Ri) ]= - Ri [num(Ri) ] (4) Di.n relaiile (3) i (4)

[num (F) = llum(Rt') ] ::J -;.F [num(Ri) ] (5) Din relaia (2 )

(F) [ (num(F) = num(Ri) J :J - F [num(Ri) ] ::J Ri [num(Ri) ] (6) Din (5) i (6)

Ri [num(Ri) ] (7 ) Propoziiile (3) i (7) , amndou demonstrate, snt con

tradictorii . Observm c demonstraia lui Carnap este prea lung

i c putem reduce acest paradox la paradoxul lui Russell , format cu predicatele predicabil i impredicabil . ntr-adevr, s presupunem c scriem toate predicatele numerelor reale ntr-o ordine oarecare, fie , de exemplu, n ordine lexicografic . Fiecrui predicat i se va ataa un indice numeric :

PI , P2 , Pa , . . . , P1,. Fiecrui predicat de numr . i corespunde un numr

natural i numai unul , care este indicele su : corespondena este univoc ; Fiecare indice poate admite ca predicat predicatul pe care l numeroteaz sau nu-l poate admite , tertium non datur. Dac indicele x al unui predicat Px nu admite predicatul Px , atunci x va fi numit richardian ; dac x admite' proprietatea de numr P x ' atunci el nu va ; fi richardian . Orice numr natura l , care este indice al unuia dintre predicatele de numere , este deci richardian sau non-richardian ; o a treia posibilitate nu exist . Dar predicatul r ichardian este el nsui un predicat de numere i , n consecin, el se claseaz n seria de predicate, ntr-o poziie determinat b, adic el este Rib . Avem deci definiia :

44

Rib (x ) = Df - PAx) De unde, echivalena general {pep.tru orice x) :

(x) . Rib (x) = - Px (x)

Pentru valoarea particular a lui x , n spe x = b ,

predicatul Px = Pb = Rib i obinem :

R1:b (b) = - Rib (b)

Propoziia "b este richardian" este echivalent cu propoziia "b nu este richardian" .

5 . Paradoxul lui Zermelo-Konig

Acest paradox, descoperit de Zermelo [ 1 ] n 1905 , se refer la teorema binecunoscut, care i poart numele , asupra mulimilor bine ordonate . Acelai raionament a fost expus de K6nig ntr-o comunicare fcut la Congresul de la Heidelberg ( 1904) , pentru a demonstra imposibilitatea pentru continuu de a fi bine ordonat, ceea ce duce la respingerea ipotezei continuului a lui Cantor .

S examinm mulimea numerelor reale R care pot fi exprimate printr-un numr de cuvinte finit i determinat . Fie R' mulimea tuturor celorlalte numere reale . Orice numr real dat aparine sau mulimii R, sau mulimii R' , tertium non dat'/;tr , i nu poate aparine, n acelai timp, ambelor mulimi R i R' . n virtutea teoremei lui Zermelo , mulimea numerelor reale este bine ordonat. Fie p primul element al mulimii R' n aceast bine-ordonare : elementul p aparine mulimii R' , dar noi l-am definit cu un numr de cuvinte finit , deci el trebuie s aparin mulimii R . Contradicia este evident .

6 . Paradoxul lui Berry

Acest paradox este o simplificare a antinomiei lui Richard i a fost publicat de Russell n 1 903.

S presupunem un vocabular destul , de vast al unei limbi date , de exemplu acela al limbii romne ; el conine, cu toate acestea , un numr finit de cuvinte . S examinm toate frazele care pot fi construite cu aj utorul a maximum 50 de cuvinte din aceast limb ; numrul frazelor va fi finit . S examinm acum colecia complet C a tuturor frazelor care definesc fiecare un numr na tural cu maximum

45

50 de cuvinte . Colecia C \-a fi finit , ca i colecia N a nu-merelor naturale care pot fi definite , fiecare, printr-o fraz a coleciei C . Exist nc numere naturale finite care 11U aparin coleciei N i care, n consecin, nu pot fi definite cu ajutorul frazelor din colecia C. Printre aceste numere naturale va exista unul care va fi cel mai mic i care va fi numrul lui Berry . S examinm acum fraza : "Numrul lui Berry este cel mai mic numr natural care nu poate f1' definit cu ajutorul unei fraze care conine maximum 50 de cuvinte luate din vocabular" . Aceast fraz are numai 27 de cuvinte i definete perfect un numr natural , numrul lui Berry; din moment ce ea este format cu un numr mai mic dect 50 de cuvinte, ea aparine coleciei C; deci llumrul definit de ea, numrul lui Berry , aparine coleciei N , ceea ce este contradictoriu .

7 . Paradoxul lui (irfllliny - Neisoll

Paradoxul descoperit n 1908 de Grelling i Nelso11 [ 1 ] este analog cu paradoxul lui Russell construit cu predicatele predicabil i impredicabil.

Nu mai e vorba de clase, sau de predicate , ci de cuvinte. Cuvintele unei limbi date se pot mpri n dou categorii : unele care admit proprietatea pe care o exprim i altele care nu admit proprietatea pe care o exprim. De exemplu, cuvntul "scurt" este el nsui scurt ; cuvntul "romnesc" este el nsui romnesc ; dar cuvntul "lung" nu este el nsui lung; cuvntul "englez" nu este el nsui englez etc . Vom spune c, dac un cuvnt posed proprietatea pe care o exprim, el este autologic; dac el nu posed proprietatea pe care o exprim, el este heterologic . Dar un cuvnt dat are proprietatea pe care o exprim, sau nu o are , o a treia posibilitate nu exist, orice cuvnt este autologic sau heterologic, tertium non datur. S examinm acum cuvntul "heterologic" ; el trebuie s fie autologic sau heterologic . Dac cuvntul "heterologic" este autologic , el- are proprietatea pe care o exprim, deci este heterologic; dac cuvntul "heterologic" este heterologic, el are proprietatea pe care o exprim, deci este autologic . Ne gsim n faa unei contradicii .

Acest paradox se poate exprima cu uurin n simboluri .

46

S desemnm un cuvnt oarecare prin C )} , iar proprietatea pe care el o exprim, prin C; definiia predicatului hetero logic = Het este deci :

(1)

Aceast definiie fiind valabil , oricare ar fi cuvntul C, avem echivalena general (pentru oricare C )}) :

(2)

Pentru valoarea particular a lui C )} = Het )} , obinem paradoxul : -- ,r

Het( Het ) = - Het( Het ) (3)

8. Paradoxul lui Skolem

Skolem a descoperit o contradicie ( 1923) n legtur cu formalizarea ctorva axiomatizri ale teoriei muli milor.

S presupunem c elaborm o axiomatizare consistent a teoriei mulimilor. Teorema lui L6wenstein-Skolem-G6del arat c aceast axiomatizare admite un model numera-bil, fie (M, E) . .

n aceste condiii , axiomatizarea admis ar trebui s ne duc la demonstrarea existenei unei mulimi infinite z . Trebuie deci ca M s conin un element z i o serie infinit numerabil de elemente el> e2, ea , . . . , ek , . . . , ; ajungem astfel la :

elEz , e2Ez , eaEz, . . . , EZ , . . . Pe de alt parte, axiomatizarea admis va trebui s

permit demonstrarea existenei mulimii Uz , a tuturor submulimilor lui z : M trebuie s conin un element y avnd aceeai proprietate ca i elementele lui M, adic fI ' f2 , , care aparin lui y,

f1EY , f2EY , . . . , fkEy, . . , corespunznd d iverselor submulimi ale lui 7. .

4 7

Dar z este o mulime infinit numerabil i mulimea acestor submulimi trebuie s aib puterea continuului . Elementele fI ' f2 , , fk , ' " ale lui M constituie o mulime avnd puterea continuului , ceea ce contrazice supoziia c M este numerabil .

9. Paradoxul lui "odel

Godel ( 193 1 ) a construit un paradox care ar o semnificaie mai vast dect cele citate mai sus, de unde importana i rolul decisiv care i se acord n toate sistemele logicii formale.

Godel [ 1 ] i propune s arate c sperana matematicienilor de a exprima formal i complet matematicile este iluzorie i c n orice sistem logico-formal , ca PrinciPia M athematica sau sistemul lui Zermelo-Fraenkel (dezvoltat de J . von Neumann, i care .este sistemul axiomatic a l teoriei mulimilor) , exist probleme relativ simple (din teoria numerelor ntregi) care nu pot fi rezolvate .

Logica simbolic utilizeaz simboluri pentru a nota noiuni . Din punct de vedere f)fmal (punctul de vedere metamatematic) este indiferent care sn t simbolurile primitive. pe care le alegem pentru noiunile logice. Godel alege ca semne primitive (Grundzeichen) num erele naturale, adic seria : 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, . . .

O formul va fi deci o serie finit de numere naturale , i ar o demonstraie (Beweisfigur) va fi o seri,e finit de serii finite de numere natural e . Matematica va fi exprimat n acest fel . M etamatematica , tiina care vorbete despre propoziiile matematice, va fi format din concepte i propoziii matematice i cum ace stea din urm snt exprimate prin serii finite de numere uat urale, nseamn c propoziiile i conceptele metamatemati ce vor fi concepte i propozi- . . ii asupra numerelor naturale ( sau ,asupra seriilor finite de numere natura le) .

Pe scurt , G5del numeroteaz fiecare noiune primitiv p rintr-un numr ntreg pozitiv. n loc s spun "noiunea ( S 3. U propoziia) reprezentat prin cutare semn simbolic" , e l spune "noiunea (sau propoziia) care are cutare numr" .

48

Prin aceast coresponden , Godel a creat un sistem izomorf cu sistemul PrinciP ia M athematica, n domeniul numerelor naturale .

S examinm acum clasele claselor ( ele definesc , dup cum se tie , numerele naturale) . Fiecare clas va avea un semn determinat care se va numi semnul de clas (Klassenzeichen) . Semnele claselor vor fi aranj ate ntr-o ordine oarecare, fie ordinea lexicografic , fie dup suma membrilor etc . Fie R simbolul care reprezint ordinea aleas , adic relaia ordonatoare a'semnelor de clas . Putem s numerotm acum aceste semne de clas : primul , al doilea, al treilea . . . al n-lea . n consecin , dac ni se d ordinea R n care am ordonat semnele de clas, tim imediat ce numr are fiecare semn de clas . Vom nota

R(n)

acest semn, care va avea semnificaia : n ordinea R , semnul de clas care are numrul n . . O clas este definit n PrinciPia M at!tematica prin :X"(fx) , f (x) fiind funcia definitorie . Variabila liber este x i trebuie s remarcm c n definiia unei clase nu exist dect o variabil liber .

Dac variabila x ia valori de clase , atunci x ( fx) este o clas de clase ; avem, de asemenea , o singur variabil liber. Fie (l. semnul uner' anumite clase ; vom nota prin

formula care este obinut din semnul de clas cnd se nlo.cuiete variabila liber prin semnul numrului natural n .

S definim acum o . clas K de numere naturale , dup cum urmeaz :

( 1 )

(s-a prescurtat cuvntul german beweisbar demonstrabil , iar linia este semnul negaiei ) .

Definiia noastr spune c un numr natural n aparine clasei K dac , pentru el , formula [R (n) ; n J nu este demonstrabi1 .

49

Ca urmare a acestor definiii, rezult c exist un numr de clas S, aa nct formula lS ;nJ a rat c llumrulllaturaI 11 aparine lui K.

Dar cum S este un numr de clas , nseamn c el are un numr de ordine q i c S este identic -- conform definiiei semnului de c1as - cu R(q) :

S = R(q)

Gadel arat c' propoziia

rR(q); q] este indeterminabil n sistemul lui Russell. ntr-adevr, dac propoziia [R(q); qJ ar fi demonstrabil , ea ar fi adevrat, deci q ar aparine lui K; dar am obine , conform punctului (1):

q E K = Bew [R (q) ; q]

adic, propoziia [R(q); q] ar fi indemonstrabil, n contradicie cu ipoteza. Dac [R (q) ; qJ ar fi fals , negaia sa ar fi valabil , deci q nu , ar aparine lui K, deci propoziia q E K ar fi adevrat :

q E K = Bew [R(q) ; qJ

Prin urmare , [R(q); qJ este demonstrabil , ca i negaia ei, ceea ce este contradictoriu .

Din acest paradox, Gadel trage urmtoarea concluzie: "In orice clas de formule non-contradictorii , exist propo-ziii non-decidabile (unentscheidbare)" . '

Acest paradox a fost' demonstrat n mai multe feluri, cutndu-se, fie probe mai simple , fie probe mai directe, fie probe mai precise, dup cum au procedat Carnap, R .M. Robinson, Mostowski etc .

Analogia acestui paradox cu cel al lui _ Richard este izbitoare i a fost remarcat de Gadel nsu1. Hilbert [1] vede n acest paradox paradoxul mincinosului. ntr-adevr, dac cineva declar - scrie Hilbert - "Propoziia pe care o spun acum nu poate s fie rezultatul unei demonstraii"> aceast propoziie duce la o contradicie , ca i propoziia "mint" (de care ne vom ocupa mai departe).

50

Concluziile care decurg din demonstraia lui Godel s.nt foarte grave i arat imposibilitatea de a exprima complet, printr-un sistem formal, orice teorie care conine arit-metica.

.

10. Paradoxul mincinosului

Exist un paradox foarte vechi, care are o mare analogie cu paradoxele descoperite de matematicienii contemporani n teoria mulimilor, sau cu cele pur logice. Acest paradox, care a fost reinut de logica actual ca fiind adevrat, ete faimosul paradox al mincinosului - euMf1.evo.

Se pare c Eubulide, din coala din Megara, a enunat pentru prima oar acest paradox. El a fost formulat iniial dup cum urmeaz , reducndu-l la o )iimpl ntrebare) la care mincinosul trebuia s rspund: "Mini cnd spui c mini? " Dar mincinosul nu are dect dou rspunsuri, tertium non da tur : 1) "mint"; 2) "nu mint".

Dac cel care spune c minte, minte, nseamn c nu e adevrat c minte, deci el nu minte; dac cel care spune c minte, nu minte, nseamn c e adevrat c minte, deci el minte. n consecin, propoziia "mint

" nu poate fi declarat nici adevrat, nici fals, pentru c ea ia imediat valoarea contrarie.

O alt form a acestui paradox este aceea cunoscut sub numele de "Epimenide": "Epimenide cretanul spunea c toi cretanii snt mincinoi" . Aiungem la aceeai contradicie dac vrem s aflm dac ceea ce afirm Epimenide este adevrat sau fals .

Importana acordat aces-tei probleme, chiar de la apariia ei , poate s fie evaluat prin faptul c o mulime de autori vechi s-au ocupat de ea i c Aristotel nsui o discut n mai multe rnduri ; Seneca (epistola 45) a,finn c asupra acestui sofism "s-au scris att de multe cri"; celebrul dialectician Chrysippos i-a acordat un loc deosebit n tratatele sale de logic , dintre care cteva erau consacrate. n ntregime studiului "mincinosului" ; istoria consemnez faptul curios al morii lui Philetas, provocat de eforturile zadarnice fcute pentru rezolvarea acestui sofism .. .

51

Exist diverse variante ale acestui paradox, cea mai simpl fiind: "propoziia pe care o pronun acum este fals". Alte variante, puin mai dezvoltate, snt numite, dup cum spune Aulus Gellius n lucrarea sa Nopile atice , &V"t"L0"1PSO

/' n ceea ce priyete argumentele reciProca ale scolasti

cilor, ele se gsesc peste tot 'sub forma urmtoare , a, de exemplu, n tratatul lui Buridan .

Socrate pronun o singur propoziie Plato dicit falsum i Platon pronun o singur propoziie Socrates dicit falsum . Care dintre aceste dou propoziii este adevrat i care este fals ? Se aj unge la aceeai contradicie ca aceea din paradoxul uriailor cruzi i irei .

11. Pseudoparadoxele

Printre paradoxele aparente se citeaz mai ales dou: cel al strj erului i paradoxul brbierului . .

Paradoxul strj erului (Russell , 1918) se refer la dreptul de cutum roman, care definea strj erul unui sat ca fiind persoana obligat s trezeasc pe toi stenii care nu se trezesc singuri , i era singurul care avea acest drept , dar nu i era permis s trezeasc pe cei care se puteau trezi i singuri .

Iat acum contradicia care rezult : aceeai problem se pune pentru strj er ; cine l trezete? Dar nu exist dect dou posibiliti: sau se trezete singur , sau nu se trezete singur, tertium non datur. 1) Dac se trezete singur, nseamn c. este capabil s se trezeasc singur, dar atunci nu are dreptul s se trzeasc; 2) dac nu se trezete singur , este obligat dup lege , s se trezeasc singur .

Un pseudoparadox analog este acela al brbierului satului: brbierul satului este definit ca acela care rade pe toi cei care nu se rad singuri . Problema este aceeai: cine rade pe brbierul satului? Dac trebuie s se rad singur , atunci nu poate s se rad pentru c el nu rade dect pe cei 'care nu se rad singuri; dac nu se rade singur, atunci, conform definiiei , trebuie s se rad singur. ,

Dup cum remarc Beth [1], paradQxul strj erului', ca i altele din aceeai categorie , nu ridic probleme de logic, cu toate c pot provoca probleme destul de grave de drent (n Acazul strjerului) sau practice (tf cazul brbierului).

In paradoxele autentice se ntrebuineaz una sau mai multe noiuni fundamentale ale logicii !'au ale matematicii: pa.radoxul mincinosului este construit cu noiunile logice

53

"adevrat" i "fals" ; paradoxul lui Russell, cu noiunea de

mulime sau clas; paradoxul lui Burali-Forti i Cantor cu noiunile de numr ordinal i cardinal ; paradoxul lui Grelling-Nelson, cu noiunea de proprietate a unui cuvnt; paradoxele lui Berry, Richard i Zermelo-Konig cu noiunile de definiie, numerabil i bine ordonare; paradoxul lui Godel cu noiunile de demonstrabilitate, adevr etc. De .aici , consecinele extrem de grave pentru matematic i logic, care l conduc pe Beth [1] (pe care l-am urmrit n cteva puncte din expunerea paradoxelor) la concluzia:

"Pentru acest motiv , descoperirea antinomiilor a compromis att de grav i logica general i teoria mulimilor care era considerat o rival a logicii ; pentru acest motiv, dscoperirea antinomiilor constituie un pericol att de mare pentru ntregul edificiu al tiinelor deductive i , mai ales, pentru matematic".

NCERCRI DE A GSI O SOLUIE --------------------- --- ----

1./pespre soluiile paradoxelor in general

Istoria filozofiei ntlnete, n mai multe rnduri, probleme ale unor construcii logice, numite, n general , paradoxe sau antinomii, construcii -n aparen ireproabile, dar inadmisibile din pricina rezultatelor absurde la care ele duc; gndirea logic, n procesul. su necesar, le creeaz, dar gindirea nsi se gsete in imposibilitatea de a le admite. n prezena unor asemenea dificulti, a unor asemenea aporii, s-au emis diferite soluii , pe care le vom clasifica n dou categorii generale, caracteriznd astfel poziiile adoptate :

A) poziia filozofic; B) poziia logic. A) Poziia filozofic. Vom numi soluie filozofic a an-o

tinomiilor orice soluie care introduce un principiu sau axiom (sau mai multe) , strine de mecapismul logic n interiorul cruia s-a produs c-ontradicia . In aceast categorie putem grupa soluiile urmtoare :

a) S o l u i a e i e a i l o r . Pentru a da o soluie celebrelor paradoxe "Ahile i broasca estoas", "dihotomia", "sgeata" sau "stadiile" , eleaii au introdus distincia ntre realitate i aparen, real nefiind dect taionalul . Lumea fenomenelor, nefiind pe de-a intregul raional, este iluzorie.

b) P o z i i a o n t o l o g i c . Pentru aceast concepie, antinomiile reprezint conflicte reale, n snul realitii, fac parte din natura Fiinei. Aceasta era poziia

55

lui Heraclit , sau n timpurile moderne aceea a lui Hegel , iar n filozofia contemporan, poziia iraionalitilor. Heraclit rezolv aceste contradicii ntr-o armonie superioar ; Hegel ntr-o sintez superioar, iar iraionalitii le consider ireductibile.

c) P o z i i a e p i s t e m o l o g i c . Din aceast ca tegorie putem cita pe sofiti , pe sceptici i micii-socratici, care, toi , au cutat s anuleze puterea de cunoatere a gndirii logice, construind paradoxe mai mult sau mai puin demne de a fi luate n consideratie.

d) P o z i ia' 1 u i K a n t. Construind antinomiile raiunii pure, filozoful de la Konigsberg a tras concluzii diametral opuse celor ale eleailor: gndirea pur nu este yalabil n domeniul realitii n sine, dar ea este total adec-vat lumii fenomenelor .

e) P o z i i a l o g i c o -ni. a t e m a t i c c o n t e m p or a n . De pe aceast poziie se recunoate existena ireductibil a para(oxelor, care apar n mod inexorabil n orice simbolism logic fornfal i n teoriile matematice formalizate, din pricina naturii limitate a oricrui formalism. Soluia 10gico-matematic const n admiterea unei axiome suplimentare restrictive (sau a mai multor) , mai mult sau mai puin convenionale, care se ataeaz sistemului 10gic considerat n care se produc paradoxele i graie crora se crede c se vor putea evita paradoxele.

Aspectul filozofic al unei astfel de soluii a fost recunoscut de ctre specialitii cei mai autorizai n acest domeniu , nct nu mai e necesar a-l demonstra . Astfel; de exemplu, Bertrand Russell scrie [4 J : " n acest sens i -ca urmare a faptului c se ocup de probleme nc nerezolvate, logica matematic ine de filozofie" .

De altfel , problemele generale ale bazelor matematicii snt reduse la dou de ctre Mostowski [1 J : 1) Natura conceptelor matematice; 2) natura demonstraiei matematice i care anume snt criteriile care ne permit s distingem o demonstraie corect de una fals. Mostowski spune textual: "Aceste probleme snt de natur filozofic i nu putem s ne ateptm la rezolvarea lor numai n limitele matematicii i aplicnd numai metodele matematice" .

B) Poziia strict logic. Aceast poziie a fost cea a lui Aristotel , aa cum a fost formulat n ultima carte a

56

Organon-ului , IIe:pt O"OCf;LO""t"nH';)V e),.yxCJlV: orice paradox este un sofism i se reduce deci, n ultim analiz, la o eroare de logic .

Toate tratatele de logic clasic, ncepnd de la Aristotel, ali meninut clasificarea i soluiile date de Stagirit , menionnd faptul c paralogismele cele mai dificile de rezolvat snt cele care formeaz un cerc vicios, de felul

. petitio princiPii sau circulus in probando, adic exact cele de felul paradoxelor logico-matematice.

.

Printre adep..tii acestei concepii i care constituie imensa majoritate, mcepnd cu Socrate i pn la logicienii de la nceputul secolului nostru, vom cita n mod special pe logicienii scolastici , care au dat.o importan considerabil rezolvrii sofismelor n general i , n spEcial, rezolvrii paradoxelor, n tratatele numite Insolubilia i n centrul crora se gsea antinomia mincinosului cu toate variantele sale . Gsim problema lnsolubilia chiar i n summulae logicales a lui Petrus Hispanus, la Petrus d'Ailly, la Wilhelm din Occam etc. Care era poziia logicienilor din aceast epoc ? n Logica Magna a lui Paulus Venetus (Tractatus VI : lnsolubilia) gsim enumerate 15 categorii de soluii , dintre care nici una nu admite c o asemenea problem ar fi cu adevrat insolubil . Totui, anumii logicieni scolastici au evocat concepi a dup care exist probleme cu adevrat insolubile , care nu pot fi rezolvate n nici un' fel - nullo modo possunt solvi. Se gsete, de exemplu, citat aceast opinie, dup care ntr-o insolubi1 exist cu adevrat dou propoziii contradictorii care ar fi false n acelai timp, opinie aflat n micul tratat logic al lui Hentisberus (t 1380), avnd titlul De sensu composito et diviso : "Scrib it una opinio in insolubilibus satis est possibile , quod duo contradictor1a sint sim'ttl falsa". Aceast poziie ar fi fost probabil adoptat de ctre un anume Suisset (probabil Richard Suiseth), dar, aa cum rEmarc Prantl ([lJ, IV, p . 90), noi nu avem ni ci un tratat. de logic de la el . Oricum ar fi, aceast opi nie n-a jucat nici un fel de rol n evul mediu i ea nu a avut nici o importan doctrinar iar Paulus Venetus nu o U!niieH[,.

Se poate deci afirn1a c (,"ul mediu a avut concEpia logic a pa radexelo r , dup care exist o soluie logic a tutu ror acestor contradicii !7i a cutat soluia lor i nu o

57

regul prohibitiv oarecare. mulumit creia s-ar fi putut evita insolubilele.

n ali termeni, problemele numite 1 nsolubilia purtau acest nume din pricina dificultii rezolvrii lor i nu pentru (: ar fi fost considerate cu adevrat insolubile ; aceste probleme erau privite ca fiind sofisme. De altfel , aa se i exprim Wilhelm din Occam, de exemplu, n celebrul su tratat Summa totius logicae (Compendiu al ntregii logici) : "Non ideo dicuntur sophismata aliqua insolu,bilia, quia nullo

:modo possunt solvi, sed quia cum difficultate solvuntur" (Nu de aceea se numesc unele sofisme insolubile fiindc nu se pot rezolva n nici un mod, ci fiindc se rezolv cu dificultate). Putem regsi aceast prere, exprimat ntr-un mod identic, la toi marii logicieni ai epocii care s-au 'Ocupat de aceast problem.

n sfrit , printre contemporani, cel care s-a meninut n mod ferm pe o poziie pur logic a fost H. Poincare, (:are, n discuia cu Bertrand Russell, a susinut c este -suficient a descoperi c o asemenea problem conine un (:erc vicios, pentru ca problema s dispar, ca o eroare. Poincare [1 J scria: "Astfel , definiiile care trebuie privite 'ca non-predicative snt cele care conin un cerc vicios" . Aceasta era i poziia lui Richard, care susinea c definiJia mulimii tuturor mulimilor nu este predicativ, nefiind bazat pe b proprietate . Este adevrat c problem a este mai complicat i c rspunsul lui Richard sau Poincare, dei adevrat, nu este capabil s' elucideze toate punctele problemei , ceea ce a fost foarte .bine remarcat de Russell [2J: "Poincare crede c toate aceste paradoxe provin dintrun fel de cerc vicios i aici snt de acord cu el. Dar el nu vede dificultatea de a evita .un cerc vicios de acest fel".

O poziie analog este i cea a lui Ch. Perelman [1 J i [3J creia s-a alturat i M. Barzin: toate antinomiile teoriei mulimilor i ale logicii snt , dup Perelman, greeli de logic. Dei Perelman a cutat n mai multe rnduri s depisteze aceast eroare, nu a reuit i a ajuns , la sfrit, tot la prohibiii convenionale.

n sfrit, credem c putem clasa printre soluiile pur logice tentativa lui Behmann de a oferi o soluie a paradoxelor, bazat n mod exclusiv pe condiia pascalian a definiiei .

58

'2, Teoria tipurilor

Primul care a observat c problema antinomiilor can ..oriene trebuie s fie pus pe un plan pur logic i c este de ordin pur formal este logicianul englez Bertrand Russel1. El scria tn PrinciPia M athematica :

"Voi observa c aceste paradoxe nu snt n mod exclusiv n legtur cu ideile de numr i cantitate, n consecin, nici o soluie care caut s le explice mai bine, ca rezu1 tatul unei ntrebuinri nejuste a acestor idei, nu poate fi adecvat. Soluia trebuie gsit scrutnd ideile logice' fundamentale" ,

Soluia lui. Russell, care constituie n mod incontesta bil cel mai important efort de a gsi o soluie a paradoxelor, este numit de Russell "teoria tipurilor logice", Aceast teorie deriv din principiul cercului vicios: paradoxele -care snt toate cercuri vicioase - s-ar nate din faptul c se presupune c o colecie de obiecte poate s conin membri care nu pot fi definii dect cu ajutorul coleciei luate n totalitatea ei . Propoziiile care afirm asemenea lucruri snt declarate de Russell ca lipsite de sens (meaningless) . De exemplu, paradoxul clasei claselor care nu se conin ca element. este astfel rezolvat de ctre Russell: o clas este un obiect care deriv dintr-o funcie propoziional cp(x) i care presupune funcia . Atunci , o clas nu poate fi argumentul

A funciei care o definete , adic dac notm cu z (cpz) clasa

/\ definit de funcia cp(z) , simbolul cp [z (cpz)] trebuie privit c . fiind lipsit de sens , n virtutea principiului cercului VIClOS,

n consecin , argumentul unei funcii nu poate lua valori arbitrare iar valorile care i se pot atribui snt limitate. n felul acesta, Russell ajunge s stabileasc o ierarhie logic a conceptelor, adic: indivizii, obiecte logice de tipul to; proprietile indivizilor, concepte de tipul ti; proprietile indivizilor, conceptele de tipul t2 etc . Teoria tipurilor stabilete c nu se poate aplica un conctpt de tipul n dect unui concept de tipul n - l, cu alte cuvinte, n funcia propoziional cp(x) , argumentul x nu poate lua dect valori de tipul n -1 dac cp este de tipul n . Expresiile de forma cx E cx sau - x E cx, sau tn comprehensiune cp(cp)

59

sau -cp(cp) etc. , nerespectnd teoria tipurilor, nu au mC1 un sens i snt excluse din simbolismul logic; propoziiile "abstract este abstract

" sau "concret este abstract" , sau "clasa oc conine clasa :x ca element" etc . nu mai snt po::_ sibile i deci paradoxele nu pot fi construite .

ntr-un mod analog, Russell stabilete diferite tipuri de adevr: cnd afirmm adevrul sau falsul unei propoziii p, de exemplu "p este fals" , utilizm un tip de adevr; cnd spune:n prop:niia "p este fals" este fals , utilizm un alt tip de adevr etc. Tipizarea noiunii de adevr a fost demonstrat de ctre R. Carnap [lJ i A. Tarski [1]. Teoremele stabilite de ctre aceti logicieni arat c valoarea de adevr a unei propoziii , construit ntr-un sistem logic S , nu poate fi enunat n nsui sistemul S , ci .ntr-un m-tasistem S', care se refer la propoziiile sistemului S, deci el nu se confund cu S . -,

Mincinosul nu poate spune care este valoarea de adevr a propoziiei "eu mint" , deoarece nu se poate construi valoarea de adevr a, acestei propoziii n nsui sistemul,. de propoziii ale mincinosului, ci ntr-un alt limbaj logic care se refer la toate propoziiile mincinosului!

Legnd acest rt"zultat de paradoxul lui Gadel , care , dup cum am vzut, arat c n orice sistem formalizat (care conine aritmetica) exist propoziii non-decidabile, logicienii au aj uns la concluzia surprinztoare c orice formalism deductiv are limitele sale iar deductibilitatea logic nu poate depi anumite limite.

Deoarece matematica ar trebui s se reduc la aritmetic ,iar aceasta ar trebui s se reduc la logic, aceast concluzie a fost aplicat la ntreaga matematic, ' n general , dup cum spune i Carnap[3J: "Pentru orice sistem al aritmeticii se pot da noiuni aritmetice indefinisabile i propoziii indecidab