Antologia-MaterialBasico2016

7/26/2019 Antologia-MaterialBasico2016

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Material Basico

Olimpiadas de Matematicas,

Veracruz 2016.

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INDICE.

TEORIA DE NUMEROS

Numeros Primos. 1

Teorema Fundamental de la Aritmetica. 1

Multiplos. 2

Divisibilidad. 3

Criterios de Divisibilidad.

Mnimo Comun Multiplo y Maximo Comun Divisor. 4

Numero Primos entre s. 6

Representacion Decimal de un Numero. 7

COMBINATORIA

Principios Basicos de Conteo. 8

Principio de las cajas.

Principio de adicion.

Principio del producto.

Selecciones. 13

Factorial de un Numero. 14

Permutaciones. 14

Combinaciones. 18

Diagramas de arbol. 22

Recursion. 23

Triangulo de Pascal y Teorema del Binomio. 25

Sucesion de Fibonacci. 28

GEOMETRIA

Triangulos. 29

Angulos opuestos por el vertice. 32

Angulos entre paralelas. 32

Suma de angulos en un triangulo. 33

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Congruencia de triangulos. 34

Teorema de Thales. 34

Teorema de Pitagoras. 35

Circunferencia. 35

Semejanza de triangulos. 39

Rectas y puntos notables en un triangulo. 42

Mediatrices-Circuncentro.

Medianas-Gravicentro.

Alturas-Ortocentro.

Bisectrices-Incentro.

Angulos en la circunferencia. 47

Poliedros. 49

Tetraedro.

Hexaedro.

Octaedro.

Dodecaedro.

Simetra. 53

VARIOS.

Demostracion Matematica. 55

Directa.

Por Induccion.

Por Contraposicion.

Por Contradiccion.

Teora de Conjuntos. 59

Principio de Casillas. 61

Ecuaciones. 64

Productos Notables. 69

Factorizacion. 73

Funciones. 76

Series. 82

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Advertencia

Esta Antologa es una recopilacion de textos de diversas fuentes y no tienemayor merito que el deseo de que sea de utilidad para aquel estudiante o profesor

que quiere conocer los temas que se trabajan en las Olimpiadas de Matematicas.

Esta lista de temas no es exhaustiva, esperamos que sirva de referencia para los

que estan iniciando.

Hemos tratado de incluir textos introductorios sin embargo, como no han

sido redactados en un mismo documento, estos carecen de continuidad. Por la

razon anterior apareceran cambios abruptos en la redaccion y tratamiento de los

temas. La mayor parte de los textos incluidos se pueden encontrar en la Inter-

net, algunos de ellos se extra jeron de Wikipedia y conservan sus hipervnculos,

mismos que pueden ser usados para navegar entre las referencias.

Esperamos que esta Antologa les sea de utilidad y despierte su interes en

las Olimpiadas de Matematicas.

Porfirio Toledo Hernandez

Comite Estatal de la OMM Veracruz

Xalapa-Enrquez, Ver., 2016.

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Teora de nmeros

Nmeros Primos

Se llaman nmeros primos aquellos nmeros naturales distintos del 1 que no tienenotros divisores que ellos mismos y la unidad.(Que tienen exactamente dos divisores)

La sucesin de los nmeros primos comienza con

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Hay infinitos nmeros primos, es decir, existen nmeros primos tan grandes como sequiera. La distribucin de los nmeros primos es muy irregular. Hay algunos que son

nmeros impares consecutivos, como 3 y 5; estos se llamanprimos gemelos.

A los nmeros que son el producto de dos o ms primos les llamaremos compuestos.

Teorema fundamental de la aritmtica

Todo entero n > 1 puede descomponerse en productos de nmeros primos en una expresinnica de la forma:

n p p pa a

n

an

1 2

1 2 .... , donde las p1, p2, ..., pnson primos, y a1, a2, ..., anson enteros.

Por ejemplo:

252 = 22x 3

2x 7

825 = 3 x 52x 11

46137 =3 x 7 x 133

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Mltiplo

Un mltiplode un nmero es el que lo contiene un n-

mero entero de veces. En otras palabras, un mltiplo es

un nmero tal que, dividido por a, da por resultado un

nmero entero (elrestode la divisin eucldeaes cero).

Los primeros mltiplos del uno al diez suelen agruparse

en las llamadastablas de multiplicar.

Ejemplo: 18 es mltiplo de 9.

a=18

b=9

a=2b

En efecto, 18 contiene 9 dos veces exactamente.

1 Propiedades de los mltiplos

Siaes un mltiplo deb, entoncesbes undivisorde

a.

Todo nmero entero es mltiplo de 1 y de s mismo.

Cero (0) es mltiplo de cualquier nmero.

Siay b son mltiplos den, entoncesa+b,a-b,kay

kblo son para cualquierknatural.

2 Submltiplo

Un nmero enteroaes submltiplo de otro nmerobsolo

sib es mltiplo dea.

2.1 Propiedades de los submltiplos

El nmero uno es submltiplo de cualquier nmero.

Todo nmero es submltiplo de s mismo

Todo nmero es submltiplo del nmero cero.

2.2 Ejemplos

Los mltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.

En los mltiplos de 3, la suma de los valores de sus

cifras es tambin mltiplo de 3.

Los mltiplos de 5 terminan en 0, o en 5.

Los mltiplos de6 terminan en0, 2, 4,6, 8 y la suma

de los valores de sus cifras es mltiplo de 3.

En los mltiplos de 9, la suma de los valores de sus

cifras es mltiplo de 9.

3 Vase tambin

Divisibilidad

Tabla de multiplicar

Anexo:Tabla de divisores

4 Referencias

Mltiplo, Diccionario de la lengua espaola

(22. edicin), Real Academia Espaola, 2001,

http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%C3%

BAltiplo.

Weisstein, Eric W. Mltiple. En Weisstein, Eric

W.MathWorld(en ingls).Wolfram Research.

5 Enlaces externos

Criterios para averiguar si un nmero es mltiplo de

otro

Tablas de Mltiplos y Submltiplos para Imprimir
https://es.wikipedia.org/wiki/Restohttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdeahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tablas_de_multiplicarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_multiplicarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabla_de_divisoreshttp://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%25C3%25BAltiplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1olahttps://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1olahttp://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%25C3%25BAltiplohttp://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%25C3%25BAltiplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weissteinhttp://mathworld.wolfram.com/Multiple.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/MathWorldhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Researchhttp://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-008.htmhttp://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-008.htmhttp://neoparaiso.com/imprimir/multiplos-y-submultiplos.htmlhttp://neoparaiso.com/imprimir/multiplos-y-submultiplos.htmlhttp://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-008.htmhttp://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-008.htmhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Researchhttps://es.wikipedia.org/wiki/MathWorldhttp://mathworld.wolfram.com/Multiple.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weissteinhttp://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%25C3%25BAltiplohttp://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%25C3%25BAltiplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1olahttps://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1olahttp://lema.rae.es/drae/srv/search?key=M%25C3%25BAltiplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabla_de_divisoreshttps://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_multiplicarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tablas_de_multiplicarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdeahttps://es.wikipedia.org/wiki/Resto


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Divisibilidad

Un nmero es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un nmero entero de

veces. En otras palabras si dividimos un nmeroentre otro nmero, el cociente debe ser:Exacto

Nmero enteroResiduo debe ser cero.

Definicin: Sean ay bdos nmeros enteros. Decimos que adivide a b(lo quesimbolizamos con a | b) si existe un entero ctal Que b = ac.Esto equivale a decir que

bes mltiplo de a. o que la divisin b ano deja residuo.

Si ano divide a b, escribimos a b. Esto es lo mismo que decir que la divisin b a

deja residuo.

Ejemplos:3|12 pues 12 = 434 10 ya que no existe un entero c tal que 10 = 4c.

4 | 20 ya que si c = 5, 20 = 4c.3|0 dado que 0 = 3c cuando c = 0.1| 5 puesto que 5 = 155 1 dado que 1 5c para cualquier entero c.Para cualquier entero a, a+ l | a2-l. Ya que a2-1 = (a+ l)k , con k = a-l.

Criterios de Divisibilidad

A continuacin damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la bsqueda de losfactores primos.

Divisibilidad por 2Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.

Divisibilidad por 3Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de sus dgitos es un mltiplo de 3. Por

ejemplo: 168351 es divisible por 3 pues 1 + 6 + 8+ 3 + 5 + 1 = 24, el cul es mltiplo de 3.

Divisibilidad por 5Un nmero es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.

Divisibilidad por 7

Un nmero es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha,multiplicndola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y as

sucesivamente, da cero o mltiplo de 7.

Veamos un ejemplo: 2401 es divisible por 7?240_1 x 2 = 2, 240 - 2 = 238, 23_8 x 2 = 16, 23 - 16 = 7.

Entonces, 2041 s es divisible por 7. Verifiquemos:

2401 / 7 = 343.

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Divisibilidad por 11Un nmero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dgitos que ocupan

un lugar impar, y la suma de los dgitos de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o

mltiplo de 11. Por ejemplo, veamos si 94378 es divisible por 11:94378, de derecha a izquierda:

Pares (subrayados): 4 y 7, 4 + 7 = 11Impares: 9, 3 y 8, 9 + 3 + 8 = 20Impares - Pares = 20 - 11 = 9, luego 94378 no es divisible por 11. (Verifquelo)

Divisibilidad por 15, 17 y 19El procedimiento para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 es similar al de la

divisibilidad por 7, slo que al separar la primera cifra de la derecha, sta se multiplica por

9, 5 y 17 respectivamente; siendo un nmero divisible por 13, 17 y 19 si al final del proceso

sobra un cero o un mltiplo de 13, cero o un mltiplo de 17, cero o un mltiplo de 19.

Ejemplo: investigar la divisibilidad de 1501.Con 13:

150_1 x 9 = 9, 150 - 9 = 141, 14_1 x 9 = 9, 14 - 9 = 5.

No es divisible por 13.Con 17:

150_1 x 5 = 5, 150 - 5 = 145, 14_5 x 5 = 25, 14 - 25 = -11.

No es divisible por 17.150_1 x 17 = 17, 150 - 17 = 133, 13_3 x 17 = 51, 13 - 51 = -38.

Si es divisible por 19. Verifiquemos:

1501 / 19 = 79.

MINIMO COMN MULTIPLO Y MXIMO COMN DIVISOR

En ocasiones es conveniente conocer el menor de los mltiplos comunes (MCM), y elmayor de los divisores comunes (MCD) de varios nmeros enteros. La regla de obtener

dichos nmeros es:

Para encontrar el MCM de varios nmeros enteros se multiplican los factores primoscomunes y no comunes de los nmeros tomados con sus mayores exponentes.

Para encontrar el MCD de varios nmeros enteros se multiplican los factores primos

comunes de los nmeros tomados con sus menores exponentes.

Si m es el MCD de a y b esto se denotar por m = (a, b); otra manera de calcular el MCD esusando el algori tmo de Euclides, el cual se basa en la siguiente propiedad:

Si m = (a, b) y a = bq + r con 0 r < b, entonces m = (b, r).

Y consiste en lo siguiente:

Dividimos a / b obteniendo un residuo r1, despus dividimos b / r1y obtenemos un residuor2, a continuacin dividimos r1 / r2 obteniendo un residuo r3, y as sucesivamente hasta

llegar a un residuo cero, el MCD de a y b ser el ltimo residuo diferente de cero.

El algoritmo de Euclides se incluye aqu debido a su utilidad en la demostracin de algunos

teoremas importantes de la divisibilidad entre enteros.

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Ejemplos. Usando el algoritmo de Euclides, encontrar el MCD de:a) 328 y 1804;b) 105 y 385

a) 1804 / 328 = 5 y resto = 164

328 / 164 = 2 y resto = 0 Por lo tanto (1804, 328) = 164

b) 385 / 105 = 3 y resto = 70

105 / 70 = 1 y resto = 35

70 / 35 = 2 y resto = 0 Por lo tanto (385, 105) = 35

Este proceso puede esquematizarse de la siguiente manera, usando divisiones sucesivas:

a = bq1+ r1 (0 r1< b)

b = r1q2+ r2 (0 r2< r1) ---------- (A)

r1= r2q3+ r3 (0 r3< r2)

...... ...

rn-2= rn-1qn+ rn (0 rn< rn-1)rn-1= rnqn+1+ 0

Por lo tanto, (a, b) = rn, donde b > r1> r2> r3> ... > rn-1> rn> 0

A partir de las ecuaciones (A) se puede obtener una importante propiedad del MCD: si d =

(a, b), existen dos enteros, K y L tales que d = Ka + Lb.

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Nmeros primos entre s

Enmatemticas, dosnmeros enteros a y b son nme-ros primos entre s(o coprimos, o primos relativos),si no tienen ningn factor primo en comn, o, dicho deotra manera, si no tienen otro divisor comn ms que 1y 1. Equivalentemente son primos entre s, si y slo si,sumximo comn divisores igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre s, pero 6 y 27 nolo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primorespecto de todos los enteros, mientras que 0 slo lo esrespecto de 1 y 1.

Un medio rpido para determinar si dos nmeros enterosson primos entre s es elalgoritmo de Euclides.

1 Propiedades

1.1 Bsicas

Elmximo comn divisor de dos nmeros primosentre s a y b es1. Por tanto, no existe ningn nmeroprimoque divida a ambos.

Si dos nmeros enteros ay b son primos entre s,entonces existen dos enterosxeytales queax+by= 1. (Identidad de Bzout)

Siaybson primos entre s yadivide a un productobc, entoncesadivide ac. (Lema de Euclides)

Los nmeros enterosaybson primos entre s cuan-dobtiene uninversopara el productomduloa; esdecir, existe un nmero entero y tal que by 1(mod

a). Una consecuencia de esto es que siaybson pri-mos entre s y bm bn(mod a), entonces m n(mod a). Dicho de otra manera, bes simplificableen elanilloZ/nZde los enteros mdulo a.

1.2 Otras propiedades

Los dos nmeros enteros a y b son primos entre s, si yslo si, el punto de coordenadas (a,b) en unsistema car-tesiano de coordenadases visible desde el origen (0,0)en el sentido en que no hay ningn punto de coordenadasenteras situado entre el origen y (a,b).

Laprobabilidadde que dos nmeros enteros elegidos alazar sean primos entre s es igual a 6/.

9 units

4 units

Losnmeros 4 y 9 soncoprimos. Por tanto, la diagonal del retcu-lo 4 x 9 no interseca con ninguno de los otrospuntos del retculo.

Dosnmeros naturalesaybson primos entre s, si y slosi, los nmeros 2a1 y 2b1 son primos entre s.

El nmero de enteros que son primos entre s a un enteropositivon, entre 1 y n, es dado mediante lafuncin deEuler(n).

Si dos nmeros son consecutivos entonces son primos en-tre s, (fcilmente se puede ver usando el Algoritmo deEuclides).

2 Generalizacin

Dosideales I y Jen unanillo conmutativo A son pri-mos entre ssiI+ J= A. Esto generaliza laidentidad deBzout. Si Iy Json primos entre s, entonces IJ= IJ;adems, si Kes un tercer ideal tal que Icontiene a JK,entonces Icontiene aK.

Con esta definicin, dos ideales principales (a) y (b) en elanillode los nmeros enterosZ son primos entre s, si yslo si,ay bson primos entre s.

3 Vase tambin

Nmero primo

Mximo comn divisor

4 Enlaces externos

Weisstein, Eric W.Relatively Prime. En Weiss-tein, Eric W. MathWorld(en ingls).Wolfram Re-search.
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zouthttps://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Congruenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pihttps://es.wikipedia.org/wiki/Red_(grupo)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Idealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zouthttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zouthttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weissteinhttp://mathworld.wolfram.com/RelativelyPrime.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/MathWorldhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Researchhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Researchhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Researchhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Researchhttps://es.wikipedia.org/wiki/MathWorldhttp://mathworld.wolfram.com/RelativelyPrime.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weissteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zouthttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zouthttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Idealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Red_(grupo)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pihttps://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Congruenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zouthttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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Representacin decimal

En matemtica, la representacin decimales una ma-

nera de escribirnmeros realespositivos, por medio de

potencias del nmero 10 (negativas o positivas). En el

caso de los nmeros naturales, la representacin deci-

mal corresponde a laescritura en base 10usual; para los

nmeros racionales, se obtiene una representacin deci-

mallimitada, o ilimitada peridicasi sonnmeros peri-

dicos; si sonirracionales, la representacin decimal esili-

mitada y no peridica.

1 Definicin matemtica

La representacin decimal de unnmero realno negativo

r, es una expresin matemticaescrita tradicionalmente

como unaseriedel tipo

r =

i=0

ai

10i

en dondea0es un entero no negativo, ya1,a2, son en-

teros tales que 0 ai 9 (son los llamados dgitos de larepresentacin decimal). Si la secuencia de dgitos es fini-

ta, losairestantes se asumen como 0. Si no se consideran

secuencias infinitas de 9s, la representacin es nica.[1]

El nmero definido por una representacin decimal tam-

bin admite la siguiente escritura:

r = a0.a1a2a3 . . . .

En tal caso,a0es laparte enterader, no necesariamente

entre 0 y 9, ya1,a2,a3, son los dgitos que forman la

parte fraccionariade r.

Ambas notaciones son, por definicin, el lmite de la su-

cesin:

r = limn

n

i=0

ai

10i

2 Aproximacin a nmeros reales

Todo nmero real puede ser aproximado al grado de pre-cisin deseado, por medio denmeros racionalesque po-

seen representaciones decimales finitas. En efecto, sea

x 0 ; para cadanmero natural n 1hay unnmero

decimal exacto rn = a0.a1a2 antal que

rn x < rn +1

10n.

3 Caso de los nmeros enteros

Todo nmero entero posee una escritura natural en elsistema de numeracin decimal. Para obtener su repre-

sentacin decimal es suficiente con escribir 100 como de-

nominador.

4 Caso de los nmeros decimales

Un nmero decimal (finito) es un nmero que se puede

escribir de la forma N10n

conNyn nmeros enteros. Un

nmero decimal posee entonces una representacin de-

cimal limitada compuesta por potencias negativas de 10.

Recprocamente: todo nmero que posee una representa-

cin decimal limitada, es un nmero decimal.

5 Caso de los nmeros racionales

La expansin decimal de un nmero real no negativo x

terminar en ceros (o en nueves) si y solo si, xes un n-

mero racional cuyo denominador es de la forma 2n5m,

dondemy n son enteros no negativos.

6 Vase tambin

Sistema de numeracin decimal|Notacin posicio-

nal

Nmero decimal

Nmero peridico

0,9 peridico

IEEE 754

Simon Stevin|Fraccin decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dicohttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Parte_enterahttps://es.wikipedia.org/wiki/Parte_fraccionariahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal#N%C3%BAmero_decimal_exactohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal#N%C3%BAmero_decimal_exactohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/IEEE_754https://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevinhttps://es.wikipedia.org/wiki/IEEE_754https://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal#N%C3%BAmero_decimal_exactohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal#N%C3%BAmero_decimal_exactohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Parte_fraccionariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Parte_enterahttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica


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COMBINATORIA

0. INTRODUCCINUNA COMIDA GRATIS

Diez jvenes decidieron celebrar la terminacin de sus estudios en la escuela secundariacon un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabl entre ellos una discusinsobre el orden en que haban de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocacinfuera por orden alfabtico; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de losexmenes; otros, por la estatura, etc. La discusin se prolongaba, la sopa se enfri y nadiese sentaba a la mesa. Los reconcili el camarero, dirigindoles las siguientes palabras:

- Jvenes amigos, dejen de discutir. Sintense a la mesa en cualquier orden yescchenme:

Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continu:- Que uno cualquiera anote el orden en que estn sentados ahora. Maana vienen a comer

y se sientan en otro orden. Pasado maana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden

distinto, y as sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles.Cuando llegue el da en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma queahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidar a comer gratisdiariamente, sirvindoles los platos ms exquisitos y escogidos.

La proposicin agrad a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada da en aquelrestaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocacin alrededor de lamesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Sin embargo, no lograron llegar hasta ese da. Y no porque el camarero no cumpliera supalabra sino porque el nmero total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa esextraordinariamente grande. Estas son exactamente 3628.800. Es fcil calcular, que estenmero de das son casi 10.000 aos.

1. PRINCIPIOS BSICOS DE CONTEO

A menudo nos encontramos con preguntas del tipo qu proporcin de...? Cul es laprobabilidad de...? De cuntas maneras se puede...?

Muchas veces, para responder, se necesita un pensamiento sistemtico y un poco deinformacin adicional; por ejemplo, cuntas rutas diferentes puedo usar para ir de Mridaa Mxico? o De cuntas maneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 6caballos?

Hay tcnicas y principios matemticos tiles en situaciones variadas, pero muchaspreguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemtica, es decir,

listando todos los posibles resultados en un orden sistemtico, para luego contar cuntosson, o desarrollando reglas de conteo. Algunas soluciones parecen ingeniosas cuando seven por primera vez (y muchas veces lo son) pero, como deca George Polya, cuandopodemos aplicar nuevamente estos mtodos ingeniosos en problemas similares y ensituaciones relacionadas entre s, hemos desarrollado una tcnica.

Enunciaremos algunos principios que nos ayudarn a resolver muchsimos problemasde conteo, daremos ejemplos de cmo usar estos principios y finalmente veremos algunosmtodos menos rutinarios y ms ingeniosos.

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1.1

Principio de las cajas (del palomar o de Dirichlet)

"Si tenemos m objetos que se distribuyen en n cajas, m > n, entonces una de lascajas recibe al menos dos objetos"

Imaginemos 21 palomas introducindose en los 20 agujeros de un palomar. Es claro que

al menos dos de las palomas se metern en el mismo agujero. Este simple hecho recibe elnombre de Principio de Dirichlet o Principio del palomar o tambin principio de loscasilleros. Si las palomas fueran 41 y 20 los agujeros del palomar, podemos asegurar quepor lo menos tres de las palomas se han metido en el mismo agujero.

En general: si se quieren distribuir n objetos en k casilleros (n > k), habr algncasillero con al menos [ (n-1) / k ] + 1 objetos. El smbolo [x] significa la parte entera de x;por ejemplo [3.21]=3.

El principio de Dirichlet dice bsicamente, y sin perder precisin, que si hay muchascosas y se meten en pocos casilleros, habr bastantes en algn casillero.

Ejemplo 1. Demostrar que en cualquier conjunto de 8 nmeros enteros existen almenos dos nmeros a y b tales que (a - b) es mltiplo de 7.

El resto de dividir un nmero por 7 es uno de los siete nmeros enteros entre 0 y 6. Enconsecuencia si tenemos un conjunto de 8 nmeros, al menos dos de ellos, a y b, tienen elmismo resto r en la divisin por 7. Esto es: a = 7q + r y b = 7q' + r donde r = 0 0 < r < 7.

Por lo tanto (a - b) = 7(q - q') es mltiplo de 7.1.2 Principio de adicin

Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mrida y Mxico.Tres empresas de aviacin tienen vuelo diario entre Mrida y Mxico. En consecuencia,hay 5+3 maneras de ir de Mrida a Mxico en avin o en autobs.

En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma.

El principio general es:Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir,si solo una de ellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de n manerasdiferentes y la segunda operacin se puede hacer de mmaneras diferentes, entonceshay n + mmaneras de realizar la primera o la segunda operacin.

Ejemplo 2: Si tengo una moneda de 50 pesos, una moneda de 100 pesos, unamoneda de 200 pesos y una moneda de 1000 pesos, cul es el nmero total de preciosque puedo pagar usando alguna o todas mis monedas?

Este es un buen ejemplo de una situacin en la que se necesita un listado sistemtico.Como tenemos 4 monedas, debemos considerar 4 casos. Estos son los precios que podemoscubrir con 1 moneda, con 2 monedas, con 3 monedas y con 4 monedas. Debemos examinarcada uno de estos casos y luego aplicar el principio de adicin.

Con 1 moneda podemos tener 4 precios: 50 pesos, 100 pesos, 200 pesos y 1000 pesos

Con 2 monedas, podemos listar sistemticamente las combinaciones:Todas las que tienen 50 pesos:$ 50 + $100 = $ 150$ 50 + $ 200 = $ 250$ 50 + $ 1000 = $ 1050Todas las que tienen 100 pesos y no hemos listado an

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$100 + $200 = $300$100 + $1000 = $1100Todas las que tienen 200 pesos y no hemos listado:$200 + $100 = $1200

Con 3 monedas, listamos todas las combinaciones (una para cada moneda que falta):

$50 + $100 + $200 = $350 (falta la de $1000)$100 + $200 + $1000 = $1300 (falta la de $50)$50 + $200 + $1000 = $1250 (falta la de $100)$50 + $100 + $1000 = $1150 (falta la de $200)

Con las cuatro monedas$ 50 + $100 + $200 + $1000 = $1350Todos los precios obtenidos son diferentes, luego la respuesta es 4 + 6 + 4 + 1 = 15

precios posibles.

1.3

Principio de las cajas generalizado

"Si se distribuyen mobjetos en ncajas, entonces hay una caja que recibe al menos[m/n]objetos; y hay una caja que recibe, a lo ms [m/n]objetos"Ejemplo: Si se resuelven 29 ejercicios en una semana, algn da se habrn resuelto

al menos 5 ejercicios y algn da a lo ms 4 ejercicios.

1.4 Principio del producto

Si una operacin se puede hacer de nmaneras diferentes y si en cada caso, unasegunda operacin se puede hacer de mmaneras diferentes, entonces hay mn(m porn) maneras de realizar las dos operaciones

Ejemplo 1: El men de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. Decuntas maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?Podramos hacer una lista de todas las posibilidades, pero ser mucho ms cmodo

aplicar el principio de la multiplicacin:Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellas hay 4 maneras de

elegir el postre. Por lo tanto, hay 3.4 = 12 comidas posibles.

Ejemplo 2: Cuntos cdigos de una letra y un nmero de un dgito se puedenformar con las 26 letras del alfabeto y los nmeros 0, 1, 2,...,9?

Podramos listar todas las posibilidadesA0 A1 .... A9B0 B1 .... B9..........................Z0 Z1 .... Z9

hasta obtener 26 filas de 10 cdigos en cada una. 26.10 = 260.Es ms simple utilizar el principio de la multiplicacin: hay 26 maneras de elegir la

letra y para cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el nmero, de modo que son 26.10 =260 maneras en total.

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Observemos que en los 2 ejemplos hay total libertad de elegir el segundo elemento, noimporta cmo se eligi el primero. Es decir, el segundo elemento es independiente delprimero.

Elegido el plato caliente, podemos elegir cualquiera de los 4 postres.Elegida la letra podemos agregarle cualquiera de los 10 nmeros.

Este principio es til cuando se puede descomponer el proceso de recuento en pasosindependientes.

Ejemplo 3: Del problema inicial de los 10 comensales, posiblemente a ustedes lesparecer increble que 10 personas puedan colocarse en un nmero tan elevado deposiciones diferentes. Comprobemos el clculo.

Ante todo, hay que aprender a determinar el nmero de combinaciones distintas,posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un nmero pequeo de objetos, porejemplo, tres. Llammosles A, B y C.

Deseamos saber de cuntos modos diferentes pueden disponerse, cambiandomutuamente su posicin. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento elobjeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas.

Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizaresta operacin tres veces:1. colocar C detrs de la pareja,2. colocar C delante de la pareja,3. colocar C entre los dos objetos de la pareja.

Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepcinde las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el nmero total de formasposibles de colocacin de los tres objetos ser:

2 x 3 = 6.

Hagamos el clculo para cuatro objetos.Tenemos cuatro objetos A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por

ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posicin.Ya sabemos que para tres, el nmero de cambios posibles es 6. En cuntas formasdiferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultancon tres objetos? Evidentemente, sern cuatro. Podemos:1. colocar D detrs del tro,2. colocar D delante del tro,3. colocar D entre el 1 y de 2 objetos,4.

colocar D entre el 2 y 3.Obtenemos en total: 6 x 4 = 24 posiciones, pero teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y que

2 = 1 x 2, entonces podemos calcular el nmero de cambios posibles de posicin haciendola siguiente multiplicacin: 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Razonando de idntica manera, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el nmero deformas distintas de colocacin ser igual a: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.Para 6 objetos ser:1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 y as sucesivamente.Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el nmero deposiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos eltrabajo de calcular el producto siguiente:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.Resultar el nmero indicado anteriormente: 3.628.800.

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El clculo sera ms complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas ydesearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el nmeroposible de combinaciones se reducira en este caso considerablemente, el clculo sera mscomplejo.

Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los

jvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacas para las muchachas las sillasintermedias, adoptando 1 x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, elprimer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el nmero total decombinaciones posibles para los muchachos es de 10 x 24 = 240.

En cuntas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacas, situadas entrelos jvenes las 5 muchachas?

Evidentemente sern:1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el nmero total de combinacionesposibles, o sea, 240 x 120 = 28.800

Este nmero, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y senecesitara un total de 79 aos. Los jvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta laedad de cien aos, podran asistir a una comida, servida gratis, sino por el propio camarero,al menos por uno de sus descendientes.

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2. SELECCIONES

Con frecuencia cada uno de los pasos en que se divide un proceso de recuento puede

interpretarse como una eleccin o seleccin de k objetos diferentes elegidos entre loselementos de un conjunto de n objetos distintos.

Dado un conjunto o una agrupacin de n elementos puede ocurrir:

1. Que los elementos sean distintos; en este caso, a los grupos se les denomina

AGRUPACIONES SIMPLES.

2. Que los elementos sean iguales; en este caso, a los grupos se les denomina

AGRUPACIONES CON REPETICIN.

Considerando la naturaleza de los elementos (que sean iguales o distintos), las

agrupaciones recibirn el nombre de PERMUTACIONES, o COMBINACIONESsimples o con repeticin.

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DEFINICIN DE FACTORIALPara un entero n 0, n factorial, expresado n!, se define por:

n! = (n)(n1)(n2)...321, para n 1

Gran parte de los problemas de combinatoria pueden plantearse como una serie depasos, cada uno de los cuales consiste en elegir unos cuantos de entre ciertos elementos

dados.Es conveniente remarcar que, al hacer dicha seleccin, hay ocasiones en las que

podremos repetir dos veces el mismo objeto (pensemos, por ejemplo, en que queremos

escribir una palabra de 4 letras, deberemos elegir cuatro de entre las 28 letras posibles, peroobviamente podemos repetir dos veces la misma letra, como ocurre con la palabra

"CASA") y otras ocasiones en las que esto no ser posible (si quiero elegir tres amigos para

ir a cenar, no puedo escoger tres veces al mismo. As mismo y dependiendo de la situacin,

el orden en que escojo los elementos a veces es importante y a veces no. Por ejemplo, siquiero escribir una palabra de 4 letras, el orden de las mismas influye (no es lo mismo

CASA que SACA), mientras que si quiero ir a cenar con tres amigos, da igual el orden enque se los diga.En general, siempre es ms fcil resolver problemas en los que el orden es importante.

Veamos a continuacin cmo se puede calcular el nmero de elecciones en cada caso.

2.1 PERMUTACIONES

CASO 1.- IMPORTA EL ORDEN Y NO PODEMOS REPETIR (PERMUTACINSIMPLE U ORDINARIA)

Si, elegimos un primer elemento, lo que podemos hacer de n formas. Quitamos el

elemento elegido y elegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podr hacerse de n-1

formas. Quitamos tambin este elemento y nos quedamos con n-2, de entre los que

elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2 formas...Segn la regla del producto, las maneras de escoger k elementos de entre un total de n

segn un determinado orden, ser igual al producto de:

n(n-1)(n-2)...(n-k+1)Esta expresin se conoce comoPermutaciones de n tomadas de k en k, y se representa

por:

Pn,k.

Y cual es el factorial de cero? Y el de 1?

El factorial de cero se define as: 0! = 1

El factorial de 1! = 1

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Para llegar a una versin simplificada se opera as:

n(n1)(n2)... (nk+1) knPk)!(n

n!

kk

kkn,

-(3)(2)(1)...)1-)(n-(n

(3)(2)(1)...)1-)(n-(

Se llama permutacin simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a los distintos

subconjuntos o grupos formados por k elementos de forma que:

Los k elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten)Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que estn

colocados (influye el orden).

Aqu no se utilizan todos los elementos.

Ejemplo 1: Cuntas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igualancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete coloresdiferentes?Solucin: 7 !

P7,3 = = 2104 !

Ejemplo 2: P10,4 son las permutaciones de 10 elementos agrupndolos ensubgrupos de 4 elementos:

040,51*2*3*4*5*6

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10

)!410(

!104,10

P

Es decir, podramos formar 5,040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los

10 elementos.

Ejemplo3: Cuntos nmeros de tres cifras distintas se pueden formar con lasnueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de nmeros el orden importa y adems nos dice "cifras distintas" luego no

pueden repetirse.Por tanto, se pueden formar 504 nmeros:

5047*8*93,9 P

En el caso especial en que n = k, se llamapermutaciones de n, y se representa:

!!0

!n

n

n)!(n

n!Pn

Ejemplo 1: Una madre tiene 3 hijos de cuntas maneras distintas,nombrndolos uno por uno, puede llamarlos a cenar?

Solucin: P 3 = 3! = 6

Se llaman permutaciones de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos nelementos de forma que:

En cada grupo intervienen los n elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos loselementos.

Dos grupos son diferentes si el orden de colocacin de alguno de esos n elementos esdistinto (influye el orden).

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Ejemplo 1: Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c.

P = 3! = 6 abc acbbac bca

cab cba

Ejemplo 2: P10son las permutaciones de 10 elementos:

Es decir, tendramos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.

Ejemplo 3: Con las letras de la palabra DISCO cuantas palabras distintas sepueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y adems n = m, es decirtenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no estn

repetidos.

Por tanto, se pueden formar 120 palabras:

CASO 2.- IMPORTA EL ORDEN Y PODEMOS REPETIREste caso es anlogo al Caso 1, sin ms modificacin que no quitar en cada paso los

elementos ya escogidos. Razonando igual se llega a que el nmero de posibles eleccioneses

nnn.....n = nk

Esta expresin se conoce como Permutaciones con repeticiny podemos decir que unapermutacin con repeticin de n elementos tomados de k en k, son los distintos grupos

formados por los k elementos de manera que:

Los elementos que forman los grupos pueden estar repetidos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que stosestn colocados (influye el orden)

k

kn nPR ,

Ejemplo 1: Cuntos nmeros de tres cifras pueden formarse a partir de losdgitos 1 y 2?Solucin: 2

3 = 8

Ejemplo 2:Cuantos nmeros de tres cifras se pueden formar con las nueve cifrassignificativas del sistema decimal?

Al tratarse de nmeros el orden importa y adems no dice nada sobre "cifras distintas"

luego si pueden repetirse.

Por tanto, se pueden formar 729 nmeros

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729933,9 PR

Ejemplo 3: Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se puedenescribir utilizando slo las letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y adems como son palabras de 10 letras y slo

tenemos dos para formarlas, deben repetirse.

10242102,10 PR

Por tanto, se pueden formar 1024 palabras.

Vamos a analizar ahora que ocurrira con el clculo de las combinaciones o de las

permutaciones en el supuesto de que al formar los subgrupos los elementos pudieranrepetirse.

2.2 PERMUTACIN CON REPETICIN

CASO 3.- IMPORTA EL ORDEN, PODEMOS REPETIR Y EXISTEN

ELEMENTOS REPETIDOSSon permutaciones con repeticin de n elementos, no todos distintos, todas lasagrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, dispuestos linealmente y sin queninguno falte.

El nmero de permutaciones con repeticin que pueden realizarse con n elementos,donde existen 1, 2, 3, ... nelementos iguales entre s ( de una misma clase) y el resto

distintos entre s y distintos tambin a los anteriores ( Pn1, 2, 3, ... n), es:

Pn1, 2, 3, ... n =

Observacin: Esto puede extenderse a permutaciones de n elementos, donde existen relementos de una clase, q elementos de otra clase, etc.

n !Pn =

1! 2 ! ...

Ejemplo 1:Cuntos nmeros de 6 cifras se pueden formar con los dgitos 1 , 1 , 1 ,2 , 2 y 3?

Solucin: 6 ! = 60

3 ! 2 !

Ejemplo 2: tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos enlos que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran elmismo color. En este caso no podramos utilizar las frmulas que vimos en la leccin

anterior. As que debemos utilizar la siguiente frmula:

Ejemplo 3: De cuntas maneras distintas pueden colocarse en lnea nueve bolas de lasque 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

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El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (estnrepetidas) y adems n = m, es decir colocamos 9 bolas en lnea y tenemos 9 bolas

para colocar.

Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas.

Ejemplo 4:Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos serepite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:

Es decir, tendramos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

2.3 COMBINACIONES

CASO 4.- EL ORDEN NO IMPORTA PERO NO SE PUEDEN REPETIR

ELEMENTOS.Vamos a deducir la frmula basndonos en el Caso 1.

Tomamos las n(n-1)..... (n-k+1) posibilidades y las partimos en clases, de forma que

en cada clase estn aquellas elecciones que sean la misma salvo el orden.

Como he escogido k elementos, la forma de ordenarlos ser k! y, as, en cada clasetendr exactamente k! casos.

Por tanto, el nmero de clases, es decir, el nmero de posibilidades de escoger k

elementos sin importar el orden y sin repetir ser

)!(!

!)1(....)1(

knk

n

k!

knnn

Este nmero suele conocerse como las combinaciones de n elementos tomadas de k en ky se denota por

Cn,k =)!(!

!

knk

n

k

n

Se llama combinacionesde n elementos tomados de k en k (n k) a todas las clasesposibles que pueden hacerse con los n elementos de forma que:

Cada agrupacin est formada por n elementos distintos entre s

Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta

el orden.

Ejemplo 1:Un alumno decide rendir tres de los cinco exmenes finales De cuntasmaneras distintas puede elegir esas tres pruebas?

Solucin: 5 !

C5,3 = = 10

3 ! 2 !

Ejemplo 2:Cuantas combinaciones de 6 aciertos existen en la lotera primitiva?

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Es decir, que tendramos que echar 13.983.816 apuestas de 6 nmeros para tener laseguridad al 100% de que bamos a acertar.

Ejemplo:Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos deuna clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales enun grupo evidentemente, luego sin repeticin.

Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos.

En general, calcular

k

npor la frmula anterior implica calcular varios factoriales, lo

que hace que no sea muy til en la prctica. Un mtodo alternativo viene dado por las

siguientes propiedades:

PROPOSICIN:

1) 10

n

nn

2)

k

n

k

n

k

n 1

1

1

CASO 5.- EL ORDEN NO IMPORTA Y SI SE PUEDE REPETIR

2.4 COMBINACIONES CON REPETICINUna combinacin con repeticin de tamao k es una seleccin no ordenada de k

objetos elegidos entre ntipos diferentes de objetos, habiendo una cantidad ilimitada de cadatipo.

Una combinacin con repeticin puede describirse diciendo que elegimos x1objetos detipo 1, x2objetos de tipo 2,..., xnobjetos de tipo n para alguna n-pla (x1,x2,...,xn). Cada uno

de los enteros x1,x2,...,xnes no negativo y x1+ x2+...+ xn= k. As pues las combinaciones

con repeticin de tamao kse corresponden con las soluciones enteras no negativas de laecuacin x1+ x2+...+ xn= k

El n de combinaciones de tamao k con repeticin ilimitada elegidas entre ntipos

diferentes de objetos es:

Cada combinacin con repeticin se representa por una palabra en el alfabeto {0,1} delsiguiente modo: Los 0s son las marcas que separan los objetos de cada tipo y los 1s

indican los objetos que hay de cada uno de los tipos entre dos marcas consecutivas. Si hay

ntipos de objetos se necesitan n - 1 marcas para separar los tipos y, por tanto, las palabrasde 0s y 1s tienen longitud n - 1 + k.As se convierte cada combinacin con repeticin de

19


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tamao k en una combinacin de k objetos (las posiciones de los 1s) elegidos entre unconjunto de n - 1 + k elementos (las posiciones).

SELECCIONES (de kelementos entre n)

ORDENADAS NO ORDENADAS

SIN REPETICIN n(n- 1) (n- 2).... (n- k+1)

CON REPETICIN n

Se llama combinaciones con repeticin de n elementos tomados de k en k, a los

distintos grupos formados por k elementos de manera que:

Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos.

Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuentael orden.

Ejemplo 1:las combinaciones con repeticin de los elementos (a, b, c, d) tomadosde dos en dos son:aa ab ac ad

bb bc bdcc cd

dd

Ejemplo 2: en una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de ans. Uncliente compr 8 botellas en total. Cuntas posibilidades hay?

CR8,3 = 120

Ejemplo 3: C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repeticin,agrupndolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podran estarrepetidos:

Es decir, podramos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

Ejemplo 4:En una confitera hay cinco tipos diferentes de pasteles. De cuntasformas se pueden elegir cuatro pasteles)

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o ms pasteles en un grupo, luegocon repeticin.

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Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos

PAUTAS PARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Si en cada agrupacin figuran todos o algunos de los elementos disponibles,

importando su orden de colocacin, entonces se trata de un problema depermutaciones. Si en cada agrupacin figuran todos o algunos de los elementos disponibles, sin

importar el orden de colocacin de stos, entonces estamos ante un problema de

combinaciones.

21


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Diagrama de rbol

Undiagrama de rboles una herramienta que se utiliza

para determinar todos los posibles resultados de un ex-

perimento aleatorio. En el clculo de la probabilidad se

requiere conocer el nmero de objetos que forman parte

del espacio muestral, estos se pueden determinar con la

construccin de un diagrama de rbol.

El diagrama de rbol es una representacin grfica de los

posibles resultados del experimento, el cual consta una

serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un n-

mero finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza

en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construccin de un diagrama en rbol se partir

poniendo una rama para cada una de las posibilidades,

acompaada de su probabilidad. Cada una de estas ramas

se conoce como rama de primera generacin.

En el final de cada rama de primera generacin se consti-

tuye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas cono-

cidas como ramas de segunda generacin, segn las po-

sibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa

un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construccin de un r-

bol no depende de tener el mismo nmero de ramas desegunda generacin que salen de cada rama de primera

generacin y que la suma de probabilidades de las ramas

de cada nudo ha de dar 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que

hace que stos sean mucho ms tiles para los clculos r-

pidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades

si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de

alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se

trata de ramas separadas que emergen de un mismo pun-

to, el ejemplo de encontrar un alumno.

Ejemplos

Una universidad est formada por tres facultades:

La 1 con el 50% de estudiantes.



Las mujeres estn repartidas uniformemente, siendo un

60% del total en cada facultad.

Probabilidad de encontrar una alumna de la primera fa-

cultad?

P(alumna de la1a facultad) = 0, 5 0, 6 = 0, 3

Probabilidad de encontrar un alumno varn?

P(alumno varon) = 0, 5 0, 4 + 0, 25 0, 4 + 0, 25 0, 4 = 0, 4pero tambin podra ser lo contrario.


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Recursin

Anuncio de cacao con una imagen recursiva. La mujer muestraun paquete idntico al del propio anuncio, conteniendo as a otramujer que muestra otro paquete ms pequeo, de forma recursi-va.

Recurrencia, recursin o recursividad es la forma en

la cual se especifica un proceso basado en su propia de-

finicin. Siendo un poco ms precisos, y para evitar el

aparentecrculo sin finen esta definicin:

Un problema que pueda ser definido en funcin de su ta-

mao, sea este N, pueda ser dividido en instancias ms

pequeas (< N) del mismo problema y se conozca la so-

lucin explcita a las instancias ms simples, lo que se co-

noce como casos base, se puede aplicar induccinsobre

las llamadas ms pequeas y suponer que estas quedan

resueltas.

Para que se entienda mejor a continuacin se exponen

algunos ejemplos:

Factorial: Se desea calcular n! (el factorial de n ,que se define como el producto de todos los enteros

positivos de 1 a n ). Se puede definir el problema de

Imagen recursiva formada por un tringulo. Cada tringulo es-t compuesto de otros ms pequeos, compuestos a su vez de lamisma estructura recursiva.

forma recurrente como n(n1)! ; como (n1)! esmenor que n! podemos aplicarinduccinpor lo que

disponemos del resultado. El caso base es0! que es1 .

Algoritmo deordenacin por fusin: Sea v un vectorden elementos, podemos separar el vector en dosmitades. Estas dos mitades tienen tamao n/2 porlo que porinduccinpodemos aplicar la ordenacin

en estos dos subproblemas. Una vez tenemos ambas

mitades ordenadas simplemente debemos fusionar-

las. El caso base es ordenar un vector de cero o un

elemento, que est trivialmente ordenado y no hay

que hacer nada.

En estos ejemplos podemos observar como un problema

se divide en varias (una o ms) instancias del mismo pro-

blema, pero de tamao menor gracias a lo cual se puede

aplicar induccin, llegando a un punto donde se conoce

el resultado (el caso base).

Nota: aunque los trminos recursin y recursividad

son ampliamente empleados en el campo de la inform-

tica, el trmino correcto en castellano es recurrencia[cita requerida]. Sin embargo este ltimo trmino es algo ms

especfico. Vaserelacin de recurrencia.

1 Recursin en matemticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n_circularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ordenaci%C3%B3n_por_fusi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ordenaci%C3%B3n_por_fusi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n_circular


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2 2 RECURSIN EN INFORMTICA

1.1 Conjuntos definidos de forma recu-

rrente

Un ejemplo de conjunto definido de forma recurrente es

el de losnmeros naturales, es decir, el conjunto de los

nmeros enteros no negativos:[1]

1. 0 pertenece a .

2. Sin pertenece a , entoncesn + 1 pertenece a .

3. Six verifica las anteriores condiciones, entoncesx

est incluido en [cita requerida].

1.2 Funciones definidas de forma recu-

rrente

Aquellas funciones cuyodominioes un conjunto a lo msenumerable [2] pueden ser definidas de forma recurrente.

Un ejemplo conocido es la definicin recurrente de la fun-

cinfactorialn!:

n! =

{sin= 0 1sin 1 n(n 1)!

Veamos cmo se usa esta definicin para hallar el valor

del factorial de 3:

3! = 3 (3 1)!= 3 2!= 3 2 (2 1)!= 3 2 1!= 3 2 1 (1 1)!= 3 2 1 0!= 3 2 1 1= 6

Otros ejemplos de funciones y sucesiones matemticas

definidas de forma recursiva son:

Sucesin de Fibonacci f(0)= 1, f(1) = 1; f(n) =f(n1) + f(n2) para n 2.

Nmeros de CatalanC(2n,n)/(n+1)

Funcin de Ackermann

1.3 Constantes

La razn urea se puede definir como sigue: = 1+ 1

=

1 + 11+

1

1+ 11+...

, como unafraccin continuaen que todos

los nmeros son unos.

De forma similar, laidentidad

x= 1 + x11+

x

da lugar

a una definicin como fraccin continua de cualquier raz

cuadrada:[3]

x= 1 + x 1

2 +x 1

2 + x 1

2 + . . .

1.4 Resolucin de problemas

Resolucin de ecuacioneshomogneas de primer grado,

segundo orden:

a) Se pasan al primer miembro los trminos an , an1,an2 , los cuales tambin podran figurar comoan+2 ,an+1 , an

b) Se reemplaza an porr2 , an1 porr y an2 por1

, quedando una ecuacin de segundo grado con races

reales y distintasr1 y r2 .

c) Se planteaa = u r1n + v r2n

d) Debemos tener como dato los valores de los dos pri-

meros trminos de la sucesin: A0 = k y A1 = k .

Utilizando estos datos ordenamos el sistema de 2x2:

{u + v= k

u r1+ u r2= k

La resolucin de este sistema nos da como resultado los

valoresu0 y v0 , que son nmeros reales conocidos.e) La solucin general es:

an= u0 r1n + v0 r2n

2 Recursin en informtica

Enprogramacin, un mtodo usual de simplificacin de

un problema complejo es la divisin de este en subpro-

blemas del mismo tipo. Esta tcnica de programacinse

conoce comodivide y vencersy es el ncleo en el di-seo de numerosos algoritmos de gran importancia, as

como tambin es parte fundamental de la programacin

dinmica.

El ejemplo del clculo recursivo del factorial de un nme-

ro llevado al campo de laprogramacin, en este ejemplo

C++:

int factorial(int x) { if (x >1 && x < 2) return 1; //Cuando1 < x < 2 devolvemos 1 puesto que 0! = 1 y 1!= 1 else if (x < 0) return 0; // Error no existe factorial de

nmeros negativos return x * factorial(x - 1); // Si x >= 2

devolvemos el producto de x por el factorial de x - 1 }Este ejemplo est basado en el lenguaje de programacin

Pauscal:
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Catalanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Ackermannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_%C3%A1ureahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1ticas)http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divide_y_vencer%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/C++https://es.wikipedia.org/wiki/Pauscalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pauscalhttps://es.wikipedia.org/wiki/C++https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Divide_y_vencer%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_%C3%A1ureahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Ackermannhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Catalanhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidadhttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales


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Combinatoria (Olimpiada de Matematicas) 13

2.2. El Triangulo de Pascal

y el Teorema del Binomio.

Acomodemos en una tabla los valores de

con los valores de por filas y

los de por columnas:

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

La Identidad de Pascal nos dice que todo elemento del triangulo es igual a los dos

que se encuentran directamente1 sobre ella. Esto quiere decir que si construimos

un arreglo triangular de numeros (comenzando con en la primera fila) de modo

que toda entrada sea la suma de las dos que est an encima de ella, los numeros

que aparecen son precisamente los coeficientes binomiales. El arreglo que se

forma se conoce comoTri angulo de Pascal

El Triangulo de Pascal encierra muchas relaciones numericas, por ejemplo,

la suma de todos los numeros en la -esima fila es equivalente al Teorema

(2.3). Fijemonos ahora en la suman de las diagonales. En la siguiente figura,

consideramos las diagonales cuarta (en verde), quinta (en rojo) y sexta (en azul)

contando desde cero. Sus sumas son respectivamente ,

y .

1Si el arreglo se hiciera en forma simetrica, las entradas que estaran directamente sobre una dada

son las que al poner el arreglo en forma de tabla son las que quedan arriba y arriba a la izquierda.

Pedro Sanchez [email protected]

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Entonces tenemos que la suma de los elementos de la diagonal verde y la roja es

igual a la suma de los elementos de la diagonal azul. Esto sucede en general, si

denota la suma de los elementos en la -esima diagonal, entonces

Ademas, dado que

y

. Los numeros que se forman de esta manera

se conocen como N umeros de Fibonacci. Decimos entonces que la suma de los

numeros en la -esima diagonal del Triangulo de Pascal es igual al -esimo numero

de Fibonacci. Posteriormente estudiaremos estos numeros con mayor profundidad.

Otra relacion interesante es la propiedad hexagonal.

Escojamos un numero en el interior, por ejemplo el . Fijemonos en el

hexagono de numeros que se forma a su alrededor con , ,

, , , . Si se multiplican vertices

alternados de este hexagono (vertices azules y vertices rojos) se obtiene en ambos

casos la misma cantidad:

Esta propiedad tambien es valida formando hexagonos de este tipo en cualquier

parte del triangulo.

Sin embargo, quizas la relacion mas interesante en el Triangulo de Pascal se

relaciona con el Teorema del Binomio.

Consideremos el producto . Al desarrollarlo, con que coeficiente

aparece ? Aquellos que conozcan el Teroema del Binomio diran enseguida:

El coeficiente es . Pero porque sucede as? Uno podra decir: porque si

desarrollamos vemos que

el coeficiente es . Pero esa respuesta en realidad no esta diciendo la razon e

porque el coeficiente se calcula precisamente como .

Para analizar la situacion vamos a diferenciar los factores:

Donde las

y las

son iguales entre s, pero que estamos considerando como

diferentes por ahora. Si efectuamos el producto de la derecha vemos que los


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terminos que cuentan como son:

En otras palabras, si efectuamos la multiplicacion larga de los cinco factores,

los 10 terminos listados arriba son los que quedan en la columna de . Una

manera de contar la lista consiste en fijarnos que siempre hay precisamente

cinco posiciones de las cuales dos son ocupadas por s y tres por s. Entonces,

dependiendo si nos fijamos en las s o en las s obtenemos que hay o

que en ambos casos es .

Analizando el proceso

Ejercicios y problemas.

2.1 Interprete combinatoriamente la siguiente afirmacion:

2.2 Demuestra la propiedad hexagonal del Triangulo de Pascal (ver seccion 2.2).

2.3 Demuestra que la suma de los elementos en la -esima diagonal del Triangulo de Pascal

es precisamente el -esimo numero de Fibonacci.

2.4 Demuestra que


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Sucesin de Fibonacci

Grficade la sucesin de Fibonacci hasta f10

Enmatemticas, la sucesin de Fibonacci(a veces malllamadaserie de Fibonacci) es la siguientesucesinin-finita denmeros naturales:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 . . .

La sucesin comienza con los nmeros 1 y 1, [1] y a partirde estos, cada trmino es la suma de los dos anteriores,es larelacin de recurrenciaque ladefine.

A los elementos de esta sucesin se les llama nmerosde Fibonacci. Esta sucesin fue descrita en Europa porLeonardo de Pisa, matemtico italiano del siglo XIII tam-bin conocido como Fibonacci. Tiene numerosas apli-

caciones enciencias de la computacin,matemticasyteora de juegos. Tambin aparece en configuracionesbiolgicas, como por ejemplo en las ramas de los rboles,enla disposicin de las hojas en el tallo, en la flora de laalcachofa, las inflorescencias del brcolromanescuy enel arreglo de uncono.

1 Historia

La sucesin fue descrita porFibonaccicomo la solucina un problema de la cra de conejos: Cierto hombre te-

na una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseabasaber cuntos se podran reproducir en un ao a partir dela pareja inicial teniendo en cuenta que de forma natural

tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundose empiezan a reproducir.[2]

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes,se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hastaese mes.

De esta manera Fibonacci present la sucesin en su libroLiber Abaci, publicado en1202. Muchas propiedades dela sucesin de Fibonacci fueron descubiertas por douardLucas, responsable de haberla denominado como se la co-

noce en la actualidad.

[3]

TambinKeplerdescribi los nmeros de Fibonacci, yel matemtico escocsRobert Simsondescubri en1753que la relacin entre dos nmeros de Fibonacci sucesivosfn+1/fn se acerca a la relacin urea fi ( ) cuanto ntiende ainfinito; es ms: el cociente de dos trminos su-cesivos de toda sucesin recurrente de orden dos tiende almismo lmite. Esta sucesin tuvo popularidad en el sigloXX especialmente en el mbito musical, en el que com-positores con tanto renombre comoBla Bartk,OlivierMessiaen, la bandaToolyDelia Derbyshirela utilizaronpara la creacin de acordes y de nuevas estructuras defrases musicales.

2 Definicin recursiva

Los nmeros de Fibonacci quedan definidos por la ecua-cin:

(3)fn= fn1+fn2

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

f0= 1

f1= 1

se obtienen los siguientes nmeros:

f2= 2

f3= 3

f4= 5

f5= 8

f6= 13
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Filotaxishttps://es.wikipedia.org/wiki/Alcachofahttps://es.wikipedia.org/wiki/Romanescuhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(bot%C3%A1nica)https://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisahttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Liber_Abacihttps://es.wikipedia.org/wiki/1202https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucashttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucashttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Simsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/1753https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9la_Bart%C3%B3khttps://es.wikipedia.org/wiki/Olivier_Messiaenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Olivier_Messiaenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Toolhttps://es.wikipedia.org/wiki/Delia_Derbyshirehttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n%2520de%2520Fibonacci#Eqnref_3https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n%2520de%2520Fibonacci#Eqnref_3https://es.wikipedia.org/wiki/Delia_Derbyshirehttps://es.wikipedia.org/wiki/Toolhttps://es.wikipedia.org/wiki/Olivier_Messiaenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Olivier_Messiaenhttps://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9la_Bart%C3%B3khttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttps://es.wikipedia.org/wiki/1753https://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Simsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Keplerhttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucashttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucashttps://es.wikipedia.org/wiki/1202https://es.wikipedia.org/wiki/Liber_Abacihttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(bot%C3%A1nica)https://es.wikipedia.org/wiki/Romanescuhttps://es.wikipedia.org/wiki/Alcachofahttps://es.wikipedia.org/wiki/Filotaxishttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisahttps://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrenciahttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n


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Tringulos

Un tringulo tiene tres lados y tres ngulos

Los tres ngulos siempre suman 180

Equiltero, issceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de tringulos que indican cuntos lados (o ngulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningnlados/ngulos iguales:

Tringulo equiltero

Tres lados igualesTres ngulos iguales, todos 60

Tringulo issceles

Dos lados igualesDos ngulos iguales

Tringulo escaleno

No hay lados igualesNo hay ngulos iguales

Qu tipos de ngulos?Los tringulos tambin tienen nombres que te dicen los tipos de ngulos

Tringulo acutngulo

Todos los ngulos miden menos de 90

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Tringulo rectngulo

Tiene un ngulo recto (90)

Tringulo obtusngulo

Tiene un ngulo mayor que 90

Combinar los nombresA veces los tringulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Tringulo issceles rectngulo

Tiene un ngulo recto (90), y los otros dos ngulos iguales

Adivinas cunto miden?

rea

rea = bh

La frmula (1/2)bh vale para todos los tringulos. Asegrate de que la "h" la midesperpendicularmente a la "b".

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Imagina que "doblas" el tringulo (voltendolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para teneruna figura de cuatro lados (que ser en realidad un "paralelogramo"), entonces el rea sera bh.Pero eso son dos tringulos, as que uno solo es (1/2)bh.

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NotasdeG

eometra1

APNDICE

Resultados aplicables a la resolucin de los problemas

1- ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

2- ngulos entre rectas paralelas cortadas por una recta transversal.

i)ngulos alternos internos

Los ngulos alternos internos son iguales.

ii) ngulos alternos externos

Los ngulos alternos externos son iguales.

iii)ngulos correspondientes

Los ngulos correspondientes son iguales.Dibuje los ngulos correspondientes a la derecha dela transversal y deduzca que son iguales.


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NotasdeG

eometra1

iv)Cunto mide la suma de los ngulos marcados?

Los ngulos marcados se llaman conjugados exter-nos. Dibuje los conjugados internos y deduzca que

la suma pedida es la misma (180).

3- Suma de los ngulos interiores de un tringulo.

+ +=180

La suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180.

Dado el cuadrilteroABCD, calcular la suma de los ngulos + ++ .

4- ngulos exteriores de un tringulo.

a) b)

Cunto vale la suma de los ngulos exteriores correspon-dientes a cada uno de los vrtices, considerados en uno delos sentidos expuestos? Figuras a) b)

Observemos en primer lugar cunto vale un ngulo exterior con relacin a los ngulos interiores del

tringulo.+ =180 = + +

Luego = + y anlogamente = +y = +. En consecuencia, un ngulo exterior es la sumade los ngulos interiores no adyacentes. Ahora podemos calcular la suma pedida

+ + =2 + 2 + 2 = 2.180 = 360

5- Conocemos un tringulo si conocemos los 3 ladosy los 3 ngulos, es decir con 6 datos. Sin embar-

go, estos 6 datos pueden obtenerse a partir de unamenor cantidad de datos. Surgen as los Principios


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NotasdeG

eometra1

i) Principio LLL

Dos tringulos que tienen los tres lados iguales son iguales.

ii) Principio LAL

Dos tringulos que tienen dos lados iguales y el ngulo comprendido igual, son iguales.

iii) Principio ALA

Dos tringulos que tienen un lado igual y los dos ngulos adyacentes iguales, son iguales.

iv)Es cierto que son iguales dos tringulos que tengan 2 lados iguales e igual el ngulo opuesto a unode ellos?Puede enunciar un principio?

Es cierto que son iguales dos tringulos que tienen 2 lados iguales e igual un ngulo no comprendidoentre ellos?

6- Teorema de ThalesDadas las rectasAByABque se cortan en un punto O, si las rectasAAy BBson paralelas, entonces

OA

OB=

OA'

OB'

Recprocamente, si las rectasAByABque se cortan en Osatisfacen

OA

OB=

OA'

OB'

entoncesAAy BBson paralelas.

Como consecuencia del teorema de Thales se tiene, con las mismas hiptesis:

OA OA


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NotasdeG

eometra2

APNDICE

Resultados aplicables a la resolucin de los problemas

Teorema de Pitgoras

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

Tambin se cumple la afirmacin recproca:

Si en un tringulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de

los lados restantes, el tringulo es rectngulo.

Como consecuencia del teorema de Pitgoras, tenemos las propiedades siguientes:

Entre los segmentos con uno de sus extremos sobre un punto fijo P y el otro

sobre una recta l, a la cual P no pertenece, el ms corto es aquel que resulta

perpendicular a l. La longitud de este segmento se conoce como la distancia

entre el punto P y la recta l.

La longitud de la altura sobre un lado de un tringulo (o su prolongacin),

es menor o igual que las longitudes de los otros lados.

El teorema de Pitgoras permite calcular la longitud de la diagonal de

un rectngulo a partir de las longitudes de sus lados.

Lugares geomtricos

En geometra es habitual usar la expresinlugar geomtrico, para hacer referencia al conjunto de todos los

puntos del plano o del espacio que satisfacen ciertas propiedades enunciadas.

A continuacin damos algunos ejemplos de lugares geomtricos.

Circunferencia:Es el conjunto de puntos del plano que guardan una misma distancia r

con un punto dado P. El punto P se llama el centro de la circunferencia y la distancia r, se

llama el radio de la circunferencia.

Adems del centro y el radio, destacamos a continuacin otros elementos aso-

ciados con una circunferencia.

Es usual usar tambin el trmino radio en el sentido siguiente:

Un radio en una circunferencia es un segmento que une su centro con unpunto de la circunferencia.

a2

=b2

+c2


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NotasdeG

eometra2

Cuerda y dimetro:Una cuerda de una circunferencia es un segmento cuyos ex-

tremos se encuentran sobre la circunferencia. Un dimetro en una circunferencia es

una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

La interseccin entre una recta y una circunferencia, tiene a lo sumo dos

puntos. Si hay dos puntos en la interseccin, la recta se llamasecante a la

circunferencia, en cambio, si hay slo un punto, la recta se llama tangente

a la circunferencia.

Recta tangente Recta secante

Arco de Circunferencia:Es un trozo de

circunferencia limitado por dos puntos so-

bre una circunferencia dada.

Nota: Si un punto Pse encuentra en el arcoABcomo muestra la figura,

entonces el nguloAPBes la mitad del ngulo centralAOB:

El centro Ode la circunferencia, permite descomponer el tringuloAPBen tres tringulos issceles. Tenien-

do en cuenta que en todo tringulo, un ngulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes,

los datos consignados en la figura quedan justificados y en consecuencia la validez del enunciado.

Corresponde aclarar que otras situaciones

pueden darse segn la posicin del punto P

respecto de la cuerdaABy el centro O.

En la segunda figura se observa que si la

cuerda es un dimetro, el ngulo en el vrtice

Pes de 90, ya que 2 + 2es llano.

En conclusin, dada una cuerda, cada punto Pde uno de los arcos, determina

el mismo ngulo al unirse conAy B, cuyo valor es la mitad del ngulo central

que cubre el arco complementario. Como los ngulos centrales suman 360,

dos ngulos en arcos complementarios sumarn 180.


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Arco capaz: Dado un segmento AB y un ngulo , se llama arco capaz asociado al seg-

mento AB y al ngulo , al conjunto de puntos P del plano tales que el ngulo APB sea

igual a .

La siguiente figura ilustra un arco capaz para un ngulo mayor que cero,

como la unin de dos arcos de circunferencias de igual radio, excluidos los

extremosAy B.

La construccin con regla y comps de un arco capaz se dar ms

adelante. Para justificar que no hay un punto Pen el lugar geomtrico

que no est en la unin de estos arcos, consideremos primero que Pes

exterior a la regin limitada por los arcos. Uno de los segmentos PBo

PAcortan a uno de los arcos en un punto C. Suponiendo que sea PB,

se tendra la situacin dada por la figura:

De modo que el ngulo ACBes exterior al tringulo APCy es la suma de los interiores no adyacentes, en-

tonces debe ser el ngulo CAP =0y consecuentemente, P =C.

Si Pse encontrara en el interior de la regin, dejamos a cargo del lector dar una demostracin.

Un caso especial ocurre cuando el ngulo es cero, el lugar geomtrico se reduce a la recta que contiene

al segmentoAB.

Mediatriz: Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de dos puntos dados

La mediatriz entre los puntosAy B, es precisamente la recta perpendicular al segmentoABque pasa porel punto medio de este segmento.

Tambin se hace referencia a la mediatriz de un

segmento como a la mediatriz de los extremos

del segmento.

Un hecho destacado, en relacin con este lugar

geomtrico, es el siguiente:Las mediatrices de los

lados de un tringulo son concurrentes.

Esto es as, porque el punto de interseccin de dos de estas mediatrices, resulta equidistante de los tres

vrtices del tringulo.


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De esto surge que:

Todo tringulo puede ser inscripto en una circunferencia, llamada circunferencia

circunscripta al tringulo.

Es oportuno observar que esta circunferencia es nica, ya que su centro

ser necesariamente el punto de interseccin de las mediatrices de los lados

del tringulo y el radio, la distancia desde este punto a cualquiera de los

vrtices.

En general, para poder inscribir un polgono en una circunferencia es necesario que las mediatrices de sus

lados sean concurrentes, pero esto no siempre ocurre. Veamos un par de ejemplos con cuadrilteros:

Las mediatrices son concurrentes

El punto comn en las mediatrices, es el centro

de la circunferencia circunscripta al cuadriltero.

Las mediatrices no son concurrentes

En este caso, las intersecciones de las mediatri-

ces determinan seis puntos.

Bisectriz:Es el conjunto de puntos que equidistan de los lados de un ngu-

lo dado. Este consiste en los puntos de la semirecta que secciona al ngulo

en dos ngulos iguales.

En la figura, Pes un punto en la bisectriz de un ngulo QOR, es

decir Pest a una misma distancia dde los lados del ngulo. De

esto se concluye que los tringulos OQPy OPRson iguales, debi-

do al principio:

Dos tringulos con un par de lados iguales y el ngulo opuesto al mayor de

ellos, son iguales.

Es decir, tambin resultan iguales los ngulos QOPy PQR.

Comentario: El principio enunciado, se propuso en la nota 1 para anlisis a cargo del lector.

Tal como ocurre con las mediatrices, las bisectrices de

los ngulos de un tringulo son concurrentes. Es decir, el

punto de interseccin de dos de ellas se encuentra nece-

sariamente en la bisectriz restante.

Este punto equidista de los tres lados del tringulo


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Es oportuno destacar en este caso, que los lados del tringulo

son tangentes a la circunferencia con centro en el punto comn a

las bisectrices que tiene por radio a la distancia de este punto a

los lados del tringulo.

Esta circunferencia se llama circunferencia inscripta al tringulo.

No siempre es posible inscribir una circunferencia en un polgono, es decir construir una circunferencia

que sea tangente a los lados de un polgono dado. Para poder hacerlo, es necesario que las bisectrices de

los ngulos interiores del polgono sean concurrentes. Los ejemplos siguientes ilustran las situaciones con

cuadrilteros.

Bisectrices concurrentes Bisectrices no concurrentes

Una propiedad de la bisectriz de un ngulo de un tringulo.

La bisectriz del ngulo con vrtice A, en el tringulo ABC,

divide al lado BC en segmentos proporcionales a los lados b y

c. De modo ms preciso con los datos de la f igura:

se verifica:

CE

EB=

b

c

Esta igualdad se obtiene de estable-

cer la relacin entre las reas de los

tringulos AEC y ABE, de dos mane-

ras distintas. Dejamos esta compro-

bacin como tarea para el lector y un

par de figuras que pueden servir de

orientacin.

Semejanza

Dos tringulos son semejantes si tienen los mismos ngulos.

Por ejemplo, mostramos dos tringulos cuyos ngulos son de

30, 60 y 90

Se observa que el segundo de los tringulos se obtiene del pri-


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NotasdeG

eometra2

Propiedades de los lados de tringulos semejantes

Consideremos A,B,C y A,B,C dos tringulos semejantes tales

que los ngulos en los vrticesA,B,Cson respectivamente iguales

a los ngulos en los vrticesA,B,C.

Si a,b,c y a,b,c son los respectivos lados de dos tringulos semejantes, en-

tonces se verifica:

a

a'= b

b'= c

c'

En efecto, inscribiendo ambos tringulos sobre el ngulo en el

vrtice B, como indica la figura:

los lados by b son paralelos. Usando el Teorema de Thales resulta:

a

a=

c

c

Anlogamente, inscribiendo los tringulos sobre el ngulo en el vrticeA:

resulta:

b

b=

c

c

La afirmac

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