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Année : 2011/2012
Delta-Hedging d’une option digitale et approche par Bull Spread
SEN Serdar
AMADEL Mohcine
ZALBA Juan
SOMMAIREIntroduction
I-Calcul du Delta d’une option digitale
II-Option Bull Spread
III- Méthode d’approximation de l’option digitale
1) Approximation du prix de l’option digitale
2) Approximation de delta de l’option digitale
IV- Comportements de l’option digitale approché
1) Comportement du delta approché
2) Comportement temporel de l’option digitale approché
V- Simulations du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture
Conclusion
INTRODUCTIONUne option Call Digitale est une option qui donne le droit à un euro
à une échéance T si le Strike K est dépassé par l’actif à cette date T,
et 0 sinon.
Payoff du Call Digitale :
Digitale européenne Digitale américaine
INTRODUCTION
Notre étude est basé sur les digitales européennes, dans le cadre du
modèle de Black Scholes.
But du projet :
Utiliser les options vanilles simples pour approcher le payoff d’une digitale
Calculer le Delta approchée de la digitale grâce aux options vanille simples.
Réaliser une couverture en Delta approchée de l’option digitale.
I. CALCUL DU DELTA D’UNE OPTION DIGITALE
Payoff du Call Digitale :
Prix de l’option :
Delta :
En en déduit le delta de la digitale :
Le delta de la digitale diverge à l’approche de la maturité, c’est la raison pour
laquelle on va utiliser des options vanilles simple pour approximer le delta de la
digitale.
II. OPTION BULL SPREADUn Bull Spread est défini par :
- Achat d’un Call C1 de Strike K1
- Vente d’un Call C2 de Strike K2 > K1
Pour K2 et K1 trés proche le payoff de la Bull Spread s’approche du payoff de l’option Call Digitale
Sous-jacent ST Payoff C1 Payoff C2 Payoff Bull SpreadST < K1 0 0 0
K2 < ST < K1 ST - K1 0 ST - K1
ST > K2 ST - K1 - (ST - K2) K2 - K1
Pour on a
On prend , dans ce cas
Si j’achète le payoff devient :
Exemple :
Si je doit acheter Bull Spreads pour que le payoff vaille
1 (valeur du payoff d’une digitale).
II. OPTION BULL SPREADSous-jacent ST Payoff C1 Payoff C2 Payoff Bull Spread
ST < K1 0 0 0K2 < ST < K1 ST - K1 0 ST - K1
ST > K2 ST - K1 - (ST - K2) K2 - K1
Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de :
- achat Call C1 de Strike K
- vente Call C2 de Strike
2.Calcul des prix sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread :
3.On obtient le prix du Bull Spread :
Prix Bull Spread = C1 - C2
4.Calcul du prix de l’option digitale approchée :
III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALE1) Approximation du prix de l’option digitale
Dans la suite les différentes graphiques et résultats que nous obtiendront seront suivant ces paramètres :
III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALEC1) Approximation du prix de l’option digitale
III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALE
Prix Digital Approché pour є = 0,1 à 0,001
On remarque que plus є est petit plus le prix du digital approché tend vers le vrai prix
de l’option digital
00.020.040.060.080.10.4874
0.4876
0.4878
0.488
0.4882
0.4884
0.4886
0.4888
Prix Digital Approché Prix Digital
ϵ
1) Approximation du prix de l’option digitale
Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de :
- achat Call C1 de Strike K
- vente Call C2 de Strike
2.Calcul le delta sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread :
On a :
3.Le delta du Bull Spread s’obtient par :
4.Finalement le Delta approché de l’option digitale est :
III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALE2) Approximation de delta de l’option digitale
IV. COMPORTEMENTS DE L’OPTION DIGITALE APPROCHÉ
00.10.20.30.40.50.015406
0.0154065
0.015407
0.0154075
0.015408
0.0154085
0.015409
Delta Digital Approché en fonction de є
Delta Digital Approché
є
1) Comportement du delta approché
Delta du digitale en t=0
2) Comportement temporel de l’option digitale approché
IV. COMPORTEMENTS DE L’OPTION DIGITALE APPROCHÉ
0 2 4 6 8 10 120.455
0.46
0.465
0.47
0.475
0.48
0.485
0.49
0.495
0.5
0.505
Prix en fonction du temps pour є = 1
Prix Digital Approché Prix Digital
Temps (mois)
IV. COMPORTEMENTS DE L’OPTION DIGITALE APPROCHÉ
2) Comportement temporel de l’option digitale approché
0 2 4 6 8 10 120.48
0.485
0.49
0.495
0.5
0.505
Prix en fonction du temps pour є = 0,1
Prime Digital Approché Prime Digital
Temps (mois)
IV. COMPORTEMENTS DE L’OPTION DIGITALE APPROCHÉ
2) Comportement temporel de l’option digitale approché
On remarque que à l’approche de la maturité le prix de la digitale approché diffère très légèrement du prix
du digital original. Cette différence est moins important pour є très petit.
0 2 4 6 8 10 120.482
0.484
0.486
0.488
0.49
0.492
0.494
0.496
0.498
0.5
0.502
Prix en fonction du temps pour є = 0,01
Prime Digital Approché Prime Digital
Temps (mois)
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
Portefeuille de couverture :
Quantité de sous-jacent à acheter :
Emprunt au taux sans risque :
Etape de calcul :
1.Couverture sur une grille discrète :
2.On se place dans le cadre de Black Scholes
3.Calcul du delta approché :
4.Dynamique discrète du portefeuille :
Avec :
5.Erreur de couverture :
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
0 50 100 150 200 250
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
Rebalancement journalier, є = 1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
0 50 100 150 200 250
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
0.999999999999999
Rebalancement journalier, є =0,1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
0 50 100 150 200 250
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
Rebalancement journalier, є = 0,01
Digital Portefeuille couverture
Nombres de Rebalancement
Page 22
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
On remarque que l’erreur de couverture est plus petit pour un rebalancement à haute fréquences
0 50 100 150 200 250 300
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rebalancement journalier, є = 0,001
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
Page 23
Rebalancement trimestriel
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Rebalancement trimestriel, є = 0,1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
Rebalancement trimestriel ,є = 0,01
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Rebalancement trimestriel ,є = 0,001
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
Rebalancement trimestriel, є = 1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
Rebalancement mensuel
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Rebalancement mensuel, є = 1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 2 4 6 8 10 12 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Rebalancement mensuel, є = 0,1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 2 4 6 8 10 12
-0.700000000000001
-0.500000000000001
-0.300000000000001
-0.100000000000001
0.0999999999999994
0.299999999999999
0.5
0.7
0.9
Rebalancement triestriel, є = 0,01
Digital Portefeuille couverture
Nombres de simulation
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Rebalancement mesuel, є = 0,001
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
Rebalancement bi-mensuel
-6 -1 4 9 14 19 24
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
0.999999999999999
Rebalancement bi-mensuel, є = 1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de Rebalancement0 5 10 15 20 25
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
Rebalancement bi-mensuel, є = 0,1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Rebalancement bi-mensuel, є=0,01
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 5 10 15 20 25
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
0.999999999999999
Rebalancement bi-mensuel, є = 0,001
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
Rebalancement hebdomadaire
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
0.999999999999999
Rebalancement hebdomadaire, є = 1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
0.999999999999999
Rebalancement hebdomadaire, є = 0,1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
Rebalancement hebdomadaire, є = 0,01
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Rebalancement hebdomadaire, є = 0,001
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE
Rebalancement bi-hebdomadaire
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Rebalancement bi-hebdomadaire, є = 1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
0.8
Simulations bihebdomadaire є = 0,1
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.600000000000001
-0.400000000000001
-0.200000000000001
-5.55111512312578E-16
0.199999999999999
0.399999999999999
0.6
Rebalancement bi-hebdomadaire, є = 0,01
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
0 20 40 60 80 100 1200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Rebalancement bi-hebdomadaire, є = 0,001
Digital Portefeuille couverture
Nombres de rebalancement
CONCLUSION