Analytic geometry azFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 3-sphere 11.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Geometric properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Topological construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Gluing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 One-point compactication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Coordinate systems on the 3-sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Hyperspherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Hopf coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3 Stereographic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Group structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 In literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Algebraic geometry and analytic geometry 102.1 Main statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Important results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Riemanns existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 The Lefschetz principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Chows theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.4 GAGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.5 Formal statement of GAGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Analytic geometry 133.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

ii CONTENTS

3.1.1 Ancient Greece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Persia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3 Western Europe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.4 Spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Equations and curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Lines and planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.3 Quadric surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Distance and angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Finding intersections of geometric objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6.1 Finding intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Tangents and normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7.1 Tangent lines and planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7.2 Normal line and vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10.1 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10.2 Articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Angles between ats 264.1 Jordans denition[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Angles between subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Variational characterisation[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Angular eccentricity 295.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Asymptote 316.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Asymptotes of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CONTENTS iii

6.2.1 Vertical asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2.2 Horizontal asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2.3 Oblique asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3 Elementary methods for identifying asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3.1 General computation of oblique asymptotes for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3.2 Asymptotes for rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3.3 Transformations of known functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4 General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.5 Curvilinear asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.6 Asymptotes and curve sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.7 Algebraic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.8 Asymptotic cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 BraikenridgeMaclaurin theorem 447.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8 Brianchons theorem 468.1 Formal statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Connection to Pascals theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.3 In the ane plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.4 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Cartesian coordinate system 489.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2.1 One dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2.2 Two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2.3 Three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2.4 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.3 Notations and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.3.1 Quadrants and octants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.4 Cartesian formulae for the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.4.1 Distance between two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.4.2 Euclidean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.5 Orientation and handedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.5.1 In two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iv CONTENTS

9.5.2 In three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.6 Representing a vector in the standard basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.11 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.12 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.13 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10 Catenary 6310.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.2 Inverted catenary arch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.3 Catenary bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6610.4 Anchoring of marine objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6610.5 Mathematical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.5.1 Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.5.2 Relation to other curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.5.3 Geometrical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.5.4 Science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.6 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.6.1 Model of chains and arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.6.2 Derivation of equations for the curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.6.3 Alternative derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.6.4 Determining parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.7 Generalizations with vertical force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.7.1 Nonuniform chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.7.2 Suspension bridge curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.7.3 Catenary of equal strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.7.4 Elastic catenary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.8 Other generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.8.1 Chain under a general force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.11Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.12Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11 Circle 8211.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.3 Analytic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

CONTENTS v

11.3.1 Length of circumference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.3.2 Area enclosed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.3.3 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.3.4 Tangent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.4.1 Chord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.4.2 Sagitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.4.3 Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.4.4 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211.4.5 Inscribed angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.5 Circle of Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.5.1 Cross-ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.5.2 Generalised circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.6 Circles inscribed in or circumscribed about other gures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.7 Circle as limiting case of other gures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.8 Squaring the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9611.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12 Circular algebraic curve 9712.1 Multicircular algebraic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

13 Circumconic and inconic 9813.1 Centers and tangent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13.1.1 Circumconic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.1.2 Inconic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13.2 Other features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.2.1 Circumconic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.2.2 Inconic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13.3 Extension to quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

14 Conic constant 10214.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

15 Conic section 10415.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

vi CONTENTS

15.1.1 Menaechmus and early works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515.1.2 Apollonius of Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515.1.3 Al-Kuhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515.1.4 Omar Khayym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515.1.5 Europe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

15.2 Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10615.3 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10615.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

15.4.1 Intersection at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10615.4.2 Degenerate cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10715.4.3 Eccentricity, focus and directrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10715.4.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10715.4.5 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

15.5 Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10915.5.1 Discriminant classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10915.5.2 Matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10915.5.3 As slice of quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.5.4 Eccentricity in terms of parameters of the quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.5.5 Standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.5.6 Invariants of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11115.5.7 Modied form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

15.6 Homogeneous coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11215.7 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11215.8 Pencil of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11315.9 Intersecting two conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11315.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11415.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11415.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11415.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11515.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

16 Conjugate diameters 12716.1 Of ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716.2 Of hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

17 Coordinate system 13017.1 Common coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

17.1.1 Number line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13117.1.2 Cartesian coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13117.1.3 Polar coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13117.1.4 Cylindrical and spherical coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

CONTENTS vii

17.1.5 Homogeneous coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13217.1.6 Other commonly used systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

17.2 Coordinates of geometric objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13417.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13417.4 Coordinate curves and surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13417.5 Coordinate maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13517.6 Orientation-based coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13617.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

17.7.1 Relativistic Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13617.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13617.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

18 Cramers theorem (algebraic curves) 13818.1 Derivation of the formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13818.2 Degenerate cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13818.3 Restricted cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13918.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13918.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

19 Cross Gramian 14019.1 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14019.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14119.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

20 Cross product 14220.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14220.2 Names . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14420.3 Computing the cross product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

20.3.1 Coordinate notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14520.3.2 Matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

20.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14820.4.1 Geometric meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14820.4.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15020.4.3 Dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15220.4.4 Triple product expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15320.4.5 Alternative formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15320.4.6 Lagranges identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15420.4.7 Innitesimal generators of rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

20.5 Alternative ways to compute the cross product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15520.5.1 Conversion to matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15520.5.2 Index notation for tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15620.5.3 Mnemonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

viii CONTENTS

20.5.4 Cross visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15720.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

20.6.1 Computational geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15720.6.2 Angular momentum and torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15820.6.3 Rigid body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15820.6.4 Lorentz force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15820.6.5 Other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

20.7 Cross product as an exterior product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15920.8 Cross product and handedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16020.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

20.9.1 Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16020.9.2 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16020.9.3 Octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16120.9.4 Wedge product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16120.9.5 Multilinear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16120.9.6 Skew-symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

20.10History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16320.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16320.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16420.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16420.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

21 Dandelin spheres 16621.1 Proof that the curve has constant sum of distances to foci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16621.2 Proof of the focus-directrix property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16721.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16721.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

22 Degenerate conic 17022.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17022.2 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

22.2.1 Reducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17022.2.2 Not enough points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

22.3 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17122.4 Relation to intersection of a plane and a cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17122.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17122.6 Degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17222.7 Points to dene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17322.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17322.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

23 DenjoyCarlemanAhlfors theorem 174

CONTENTS ix

23.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17423.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

24 Derivation of the Cartesian form for an ellipse 175

25 Descartes theorem 17825.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17825.2 Denition of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17825.3 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17925.4 Complex Descartes theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18125.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18225.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18225.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18225.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

26 Director circle 18326.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18426.2 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18426.3 Related constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18426.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

27 Discriminant 18527.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18527.2 Formulas for low degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18627.3 Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18727.4 Quadratic formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18927.5 Discriminant of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18927.6 Nature of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

27.6.1 Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19127.6.2 Cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19127.6.3 Higher degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

27.7 Discriminant of a polynomial over a commutative ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19127.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

27.8.1 Discriminant of a conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19227.8.2 Discriminant of a quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19227.8.3 Discriminant of an algebraic number eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

27.9 Alternating polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19327.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19327.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

28 Distance of closest approach of ellipses and ellipsoids 19528.1 Distance of closest approach of two ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

28.1.1 The method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

x CONTENTS

28.2 Distance of closest approach of two ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19628.2.1 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

28.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

29 Dot product 19829.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

29.1.1 Algebraic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19829.1.2 Geometric denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19929.1.3 Scalar projection and rst properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19929.1.4 Equivalence of the denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

29.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20129.2.1 Application to the cosine law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

29.3 Triple product expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20229.4 Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20329.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

29.5.1 Complex vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20429.5.2 Inner product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20429.5.3 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20429.5.4 Weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20529.5.5 Dyadics and matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20529.5.6 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

29.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20529.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20529.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

30 Droz-Farny line theorem 20630.1 Goormaghtighs generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20730.2 Daos generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20730.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

31 Eccentricity (mathematics) 20831.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20931.2 Alternative names . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20931.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20931.4 Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20931.5 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

31.5.1 Other formulas for the eccentricity of an ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21231.6 Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21231.7 Quadrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21231.8 Celestial mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21231.9 Analogous classications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21231.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

CONTENTS xi

31.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21431.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

32 Eleven-point conic 21532.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21532.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

33 Ellipse 21633.1 Elements of an ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21733.2 Drawing ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

33.2.1 Pins-and-string method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21833.2.2 Trammel method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21933.2.3 Parallelogram method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

33.3 Mathematical denitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22033.3.1 In Euclidean geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22033.3.2 Projective geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22633.3.3 In analytic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22733.3.4 In trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22833.3.5 Degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

33.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23233.4.1 Ellipses in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23233.4.2 Ellipses in statistics and nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23433.4.3 Ellipses in computer graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23433.4.4 Ellipses in optimization theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

33.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23533.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23633.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23733.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

34 Envelope (mathematics) 23834.1 Envelope of a family of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

34.1.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24034.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

34.2.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24034.2.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24134.2.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24234.2.4 Example 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24334.2.5 Example 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

34.3 Envelope of a family of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24534.4 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24634.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

34.5.1 Ordinary dierential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

xii CONTENTS

34.5.2 Partial dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24634.5.3 Caustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24734.5.4 Huygenss principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

34.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24834.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24834.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

35 Euler angles 24935.1 Proper Euler angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

35.1.1 Classic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24935.1.2 Alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25135.1.3 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25135.1.4 Signs and ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25235.1.5 Geometric derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

35.2 TaitBryan angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25435.2.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25635.2.2 Alternative names . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

35.3 Relationship with physical motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25735.3.1 Intrinsic rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25735.3.2 Extrinsic rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25835.3.3 Conversion between intrinsic and extrinsic rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

35.4 Gimbal motion relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25935.4.1 Gimbal analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25935.4.2 Intermediate frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

35.5 Relationship to other representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26135.5.1 Rotation matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26135.5.2 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26235.5.3 Geometric algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

35.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26235.7 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26335.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

35.8.1 Vehicles and moving frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26335.8.2 Crystallographic texture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26435.8.3 Others . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

35.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26535.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26635.11Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26735.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

36 Five points determine a conic 26936.1 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

36.1.1 Dimension counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

CONTENTS xiii

36.1.2 Synthetic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27036.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27036.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27036.4 Related results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

36.4.1 Tangency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27236.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27336.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27336.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

37 Focus (geometry) 27437.1 Conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

37.1.1 Dening conics in terms of two foci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27537.1.2 Dening conics in terms of a focus and a directrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27537.1.3 Dening conics in terms of a focus and a directrix circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27537.1.4 Astronomical signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

37.2 Cartesian and Cassini ovals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27637.3 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27637.4 Confocal curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27637.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

38 Galois geometry 27838.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27938.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27938.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27938.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

39 Gramian matrix 28039.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

39.1.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28039.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

39.2.1 Positive semidenite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28139.2.2 Change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

39.3 Gram determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28139.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28139.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28139.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

40 Helmholtz decomposition 28340.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28340.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

40.2.1 Another derivation from the Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28540.3 Fields with prescribed divergence and curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28540.4 Dierential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

xiv CONTENTS

40.5 Weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28640.6 Longitudinal and transverse elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28640.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28740.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28740.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

40.9.1 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28740.9.2 References for the weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

40.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

41 Hesse normal form 28941.1 Derivation/Calculation from the normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29041.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

42 Hyperbola 29242.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29242.2 Nomenclature and features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29242.3 Mathematical denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

42.3.1 Conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29442.3.2 Dierence of distances to foci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29442.3.3 Directrix and focus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29442.3.4 Reciprocation of a circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29442.3.5 Quadratic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

42.4 True anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29742.5 Geometrical constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29842.6 Reections and tangent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29842.7 Hyperbolic functions and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29942.8 Relation to other conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29942.9 Conic section analysis of the hyperbolic appearance of circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30042.10Derived curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30142.11Coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

42.11.1 Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30142.11.2 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30242.11.3 Parametric equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30342.11.4 Elliptic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

42.12Rectangular hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30342.13Other properties of hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30442.14Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

42.14.1 Sundials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30542.14.2 Multilateration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30542.14.3 Path followed by a particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30542.14.4 Korteweg-de Vries equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30542.14.5 Angle trisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

CONTENTS xv

42.14.6 Ecient portfolio frontier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30542.15Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30642.16See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

42.16.1 Other conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30642.16.2 Other related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

42.17Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30642.18References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30742.19External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

43 Inection point 32243.1 Equivalent forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32343.2 A necessary but not sucient condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32443.3 Categorization of points of inection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32443.4 Functions with discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32543.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32543.6 References and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

43.6.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32643.6.2 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

43.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

44 Isoperimetric inequality 32744.1 The isoperimetric problem in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32744.2 The isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32844.3 The isoperimetric inequality on the sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33044.4 Isoperimetric inequality in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33044.5 Isoperimetric inequalities in a metric measure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33044.6 Isoperimetric inequalities for graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

44.6.1 Example: Isoperimetric inequalities for hypercubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33144.7 Isoperimetric inequality for triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33244.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33244.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33244.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33344.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

45 Lamberts problem 33445.1 Initial geometrical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33445.2 Solution of Lamberts problem assuming an elliptic transfer orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33745.3 Numerical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33945.4 Practical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34145.5 Open source code to solve Lamberts problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34145.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

46 Lattice (group) 342

xvi CONTENTS

46.1 Symmetry considerations and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34346.2 Dividing space according to a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34346.3 Lattice points in convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34346.4 Computing with lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34346.5 Lattices in two dimensions: detailed discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34346.6 Lattices in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34546.7 Lattices in complex space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34546.8 In Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34546.9 Lattices in general vector-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34546.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34646.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34646.12External Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

47 Line (geometry) 34747.1 Denitions versus descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34847.2 Ray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34847.3 Euclidean geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

47.3.1 Cartesian plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34947.3.2 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35147.3.3 Vector equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35247.3.4 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35247.3.5 Types of lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

47.4 Projective geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35447.5 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35447.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35447.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35447.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35547.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

48 Line coordinates 35648.1 Lines in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35648.2 Tangential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35648.3 Tangential equation of a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35748.4 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35748.5 Lines in three-dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35748.6 With complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35848.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35848.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

49 Linear system of conics 35949.1 Denition by means of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36049.2 Base locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

CONTENTS xvii

49.3 Linear system of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36049.3.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36149.3.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36149.3.3 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

49.4 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36249.5 Linear systems in birational geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36249.6 Line bundle/invertible sheaf language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36249.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36249.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

50 Linesphere intersection 36350.1 Calculation using vectors in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36350.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36450.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

51 Mardens theorem 36551.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36551.2 Additional relations between root locations and the Steiner inellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 36551.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36551.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36651.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36751.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

52 Matrix representation of conic sections 36852.1 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36852.2 Center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36952.3 Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36952.4 Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37052.5 Tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37052.6 Reduced equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37052.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37152.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

53 Midpoint 37253.1 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37253.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37253.3 Geometric properties involving midpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

53.3.1 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37353.3.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37353.3.3 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37353.3.4 Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37353.3.5 Quadrilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37353.3.6 General polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

xviii CONTENTS

53.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37453.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37453.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37453.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

54 Moishezon manifold 37654.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

55 n-ellipse 37755.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

56 Orientation (vector space) 37856.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

56.1.1 Zero-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37956.2 Alternate viewpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

56.2.1 Multilinear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38056.2.2 Lie group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38056.2.3 Geometric algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

56.3 Orientation on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38056.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38056.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38256.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

57 Orientation of a vector bundle 38357.1 Thom space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38357.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

58 Parabola 38558.1 Introductory images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

58.1.1 Description of nal image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38658.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38658.3 Equation in Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38758.4 Conic section and quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

58.4.1 Focal length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39058.4.2 Position of the focus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

58.5 Other geometric denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39058.6 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

58.6.1 Cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39058.6.2 Latus rectum, semilatus rectum, and polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

58.7 Dimensions of parabolas with axes of symmetry parallel to the y-axis . . . . . . . . . . . . . . . . 39358.7.1 Coordinates of the vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39358.7.2 Coordinates of the focus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39358.7.3 Axis of symmetry, focal length, latus rectum, and directrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

CONTENTS xix

58.8 Proof of the reective property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39658.8.1 Other consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39758.8.2 Alternative proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

58.9 Tangent properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39858.9.1 Two tangent properties related to the latus rectum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39858.9.2 Orthoptic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39858.9.3 Lamberts theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40058.9.4 Properties proved elsewhere in this article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

58.10Facts related to chords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40058.10.1 Focal length calculated from parameters of a chord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40058.10.2 Area enclosed between a parabola and a chord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

58.11Length of an arc of a parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40258.12Focal length and radius of curvature at the vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40258.13Mathematical generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40358.14Parabolas in the physical world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

58.14.1 Gallery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40458.15See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40558.16Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40558.17Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40658.18Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40658.19External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

59 Parabola of safety 40859.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

60 Pascals theorem 40960.1 Euclidean variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41060.2 Related results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41060.3 Hexagrammum Mysticum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41160.4 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41160.5 Proof using cubic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41260.6 Proof using Bzouts theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41360.7 A Property of Pascals Hexagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41360.8 Degenerations of Pascalss theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41360.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41360.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41360.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41460.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

61 Picks theorem 41661.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41661.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

xx CONTENTS

61.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41861.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

62 Poncelets closure theorem 42062.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42162.2 Proof sketch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42162.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42162.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42162.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

63 Power of a point 42363.1 Orthogonal circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42463.2 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42563.3 Darboux product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42663.4 Laguerres theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42663.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42663.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42663.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

64 Radial line 42764.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42764.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

65 Radical axis 42865.1 Denition and general properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42965.2 Radical center of three circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42965.3 Geometric construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42965.4 Algebraic construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43065.5 Determinant calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43265.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43365.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43465.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43465.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

66 Radiodrome 43566.1 Mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

67 Real coordinate space 43867.1 Denition and uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43867.2 The domain of a function of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43867.3 Vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

67.3.1 Matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43967.3.2 Standard basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

67.4 Geometric properties and uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

CONTENTS xxi

67.4.1 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44067.4.2 Ane space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44067.4.3 Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44167.4.4 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44167.4.5 In algebraic and dierential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44267.4.6 Other appearances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44267.4.7 Polytopes in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

67.5 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44267.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

67.6.1 n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44367.6.2 n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44367.6.3 n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44367.6.4 n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

67.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44467.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44467.9 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44467.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

68 Ruled surface 45068.1 Ruled surfaces in dierential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

68.1.1 Parametric representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45068.1.2 Developable surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

68.2 Ruled surfaces in algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45168.3 Ruled surfaces in architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45168.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45268.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45268.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

69 Saddle point 45569.1 Mathematical discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45669.2 Other uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45769.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45769.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45869.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

70 Scalar (mathematics) 45970.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46070.2 Denitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

70.2.1 Scalars of vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46070.2.2 Scalars as vector components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46070.2.3 Scalars in normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46070.2.4 Scalars in modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

xxii CONTENTS

70.2.5 Scaling transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46170.2.6 Scalar operations (computer science) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

70.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46170.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46170.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

71 Semi-major axis 46271.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46271.2 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46371.3 Astronomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

71.3.1 Orbital period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46371.3.2 Average distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46471.3.3 Energy; calculation of semi-major axis from state vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

71.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46571.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

72 Semi-minor axis 46672.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46672.2 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46772.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46772.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

73 Slope 46873.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

73.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47073.2 Algebra and geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

73.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47273.3 Slope of a road or railway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47373.4 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47373.5 Other generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47473.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47473.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47573.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

74 Spherecylinder intersection 47674.1 Trivial cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

74.1.1 Sphere lies entirely within cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47674.1.2 Sphere touches cylinder in one point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47674.1.3 Sphere centered on cylinder axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

74.2 Non-trivial cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47774.2.1 Intersection consists of two closed curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47774.2.2 Intersection is a single closed curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47774.2.3 Limiting case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

CONTENTS xxiii

74.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

75 Steiner conic 47975.1 Denition of a Steiner conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47975.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47975.3 Steiner generation of a dual conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

75.3.1 Denitions and the dual generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48175.3.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

75.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48275.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

76 Steiner ellipse 48776.1 Trilinear eq