Analysis of Microstructures and Phase Transition Phenomena

René J. MeziatJorge Villalobos

Departamento de Matemáticas

Plan

Introducción Medidas de YoungSolución vía programación no linealImplicaciones físicasConclusiones

Introducción (1/4)

Método general para determinar microestructuras en barras elásticas unidimensionales cuyo potencial de deformación es no convexo

Principios variacionales no convexosTeoría de medidas de YoungAnálisis convexoResultados clásicos de la teoría de momentos

Introducción (2/4)

Problema variacional no convexoProblema variacional no convexo

No hay certeza sobrela existencia de minimizadores

No hay certeza sobrela existencia de minimizadores

Ecuaciones de Euler-Lagrange no son adecuadas

Ecuaciones de Euler-Lagrange no son adecuadas

Sucesiones minimizantesSucesiones minimizantes

Problema variacional convexocon restricciones no lineales

En el espacio de medidas de probabilidad

Problema variacional convexocon restricciones no lineales

En el espacio de medidas de probabilidad

Medidas de YoungMedidas de YoungEnvolvente ConvexaEnvolvente Convexa

Información sobre el minimizador oSobre las sucesiones minimizantes

Información sobre el minimizador oSobre las sucesiones minimizantes

Introducción (3/4)Problema general

u es el desplazamiento de cada punto con respecto a la posición inicialu’ la deformación unitariaφ energía interna de deformaciónψ potencial de fuerzas externas

Curva esquemática de un potencial de deformación típico para un acero de cajo carbono

( ) ( )

( ) ( ) α

ψφ

==≥′

+′∫

1 ,00 0 s.a.

,,min1

0

uuu

dxuxuxu

Introducción (4/4)

Se hace el análisis de modelos generales donde la dependencia no convexa de φ en u’ se puede describir por una expresión polinomial

( ) ( )

1 ,0

,,0

>>

=∑=

Kc

xcx

K

K

k

kk λλφ

Medidas de Young (1/8)generalización en medidas

El problema general se puede transformar a un nuevo problema generalizado definido sobre conjuntos de medidas parametrizadasCada medida µx es una distribución de probabilidad soportada en los realesEl nuevo problema

Siempre tiene minimizador, aun si el original no lo tiene.Es una relajación(ambos comparten el mismo ínfimo)

( ) ( )

( ) ( ) α

ψφ

==≥′

+′∫

1 ,00 0 s.a.

,,min1

0

uuu

dxuxuxu

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) α

λµλ

ψλµλφ

µ

==

=′

+

≤≤=

∫∫ ∫

ℜ

ℜ

1 ,00

s.a.

, ,min

10:1

0

uu

dxu

dxuxdx

xv

x

xv

x

Medidas de Young (2/8)relación entre soluciones

El problema original tiene minimizador si la solución del generalizado consiste solamente de deltas de DiracSi el problema original no tiene minimizador, existe al menos una región I donde la medida parametrizada óptima está soportada en dos puntos. Esta solución determina el comportamiento oscilatorio de las sucesiones minimizantes del problema original

( ) [ ]1,0 cada para * ∈= xxsx δµ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 0

cada para 1

21

21*

21

>∈=+

+=

xpIxxpxp

xpxp

j

xsxsx δδµ

Medidas de Young (3/8)soluciones y sucesiones

Los valores pj(x) y sj(x) deter-minan el comportamiento oscilatorio de las sucesiones minimizantesDada una sucesión mini-mizante un arbitraria del problema original, la derivada de esta debe aproximarse a uno de los valores sj(x) manteniendo las proporciones pj(x)Esto y el hecho ninguna medida puede estar soportada en el semieje negativo permite formular el problema generalizado como:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 0

cada para 1

21

21*

21

>∈=+

+=

xpIxxpxp

xpxp

j

xsxsx δδµ

( ) ( ) ( )

( ) [ ]( ) ( )( ) ( )

[ ]1,0 cada para 1 ,00

0, soporte s.a.

, ,min1

00

∈==

=′

∞⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

∫

∫ ∫

ℜ

∞

xuu

dxu

dxuxdx

x

x

xv

α

λµλ

µ

ψλµλφ

Medidas de Young (4/8)problema a solucionarEl que tenga forma polinomial nos permite escribir el problema original como el siguiente problema de optimización semidefinido:Las nuevas variables de control m deben pertenecer al conjunto convexo cuyos elementos son los momentos algebraicos de una medida de probabilidad soportada en el semieje positivo.Esta caracterización se hace exigiendo que las matrices de Hankel formadas por m sean semidefinidas positivas.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) impar para ,0y

0 ó

par para ,0y

,0

,1 ,1 ,00

, x s.a.

,min

21

0,1

21

0,

12

0,1

20,

0

1

1

00

Kxm

xm

Kxm

xm

xmuu

mxu

dxuxxmxc

K

jiji

K

jiji

K

jiji

K

jiji

K

kkk

≥

≥

≥

≥

===

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−

=++

−

=+

−

=++

=+

=∫ ∑

α

ψm

Medidas de Young (5/8)ventajas

El nuevo problema es un problema de optimización convexo lineal en las variables m, por lo tanto la existencia de su minimizador está garantizada.La no linealidad está en las restricciones impuestas por la caracterización de los momentos.La forma que ha tomado el problema es ideal para solucionar con algoritmos y software para programas matemáticos convexos no lineales.La solución del problema relajado nos indica si el problema original tiene solución o no.

Medidas de Young (6/8)Resultados

Teorema 1: El valor mínimo del problema relajado coincide con el ínfimo del problema originalTeorema 2: Los elementos del vector m*(x)que solucionan el problema relajado son los momentos algebraicos de la medida de Young parametrizada óptima µx* que soluciona la formulación generalizada

Medidas de Young (7/8)Resultados

Lema 1: Sea un espacio de medida regular de Borel definido sobre un conjunto de BorelΩ dentro de un espacio euclidiano y f una función continua en Ω. Entonces, para cada distribución de probabilidad µ en , podemos aproximar el valor esperado por una secuencia de integrales de f contra medidas de probabilidad discretas en

µdf∫Ω

Medidas de Young (8/8)Resultados

Lema 2: La solución m* del programa semidefinido es el vector formado por los primeros K+1momentos algebraicos de la medida óptima: Lema 3: La envolvente convexa de φ, φc, en el punto t se puede describir como

21 21

*ssx pp δδµ +=

( ) ∑=

=K

kkkc mct

0min

mφ

Solución vía programación no lineal (1/3)

Como ejemplo proponemos solucionar el siguiente problema variacional:

Donde

La gráfica de f y su envolvente convexa se puede apreciar en la figura

( ) ( )

( )

( ) ( )211 ,00

0 s.a.

21min

1

0

2

==

≥′

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+′∫

uu

xu

dxxxuufu

( )10027

5023

100173 246 ++−= xxxxf

Solución vía programación no lineal (2/3)

La formulación en momentos (discreta) es:( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0

1

,0

,2101 s.a.

2

100173

5023

10027

min

6543

5432

4321

321

543

432

321

11

12

116

42

≥

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≥⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆=

∆−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−∆++

−+

∆

∑

∑∑

=

=

=

iiii

iiii

iiii

iii

iii

iii

iii

N

ii

N

ii

jji

ii

xmxmxmxmxmxmxmxmxmxmxmxmxmxmxm

xmxmxmxmxmxmxmxmxm

uuxm

ixmxm

xmxm

m

Solución vía programación no lineal (3/3)

Que tiene como solución la medida óptima:

Esto implica que el problema original no tiene minimizador y su sucesión minimizante se debe comportar alternando pendientes de 0 y 1 con igual porcentaje, tal como se aprecia en la figura

10*

21

21 δδµ +=x

Implicaciones físicas (1/5)Una aplicación de este método es el cálculo de la microestructura de un material a partir de la curva esfuerzo-deformación que se obtiende de este experimentalmenteEl esfuerzo es la derivada del potencial de deformación φ con respecto a la deforma-ción unitaria ε

( ) εεεεεφ 64.101661.466487.6195 23 +−=

∂∂

Implicaciones físicas (2/5)El potencial de deformación φ y su envoltura convexa φcse aprecian en la figuraDesde un punto de vista geométrico vemos que el punto (ε, φc(ε)), sobre la envoltura convexa, presenta una configuración energética más estable que la del punto (ε, φ(ε)) que está sobre el potencial El punto (ε, φc(ε)) es una combinación convexa de los puntos A y B

( )( )1y 0,,,

2121

21

=+>+=pppp

BpApc εφε

Implicaciones físicas (3/5)El punto (ε, φc(ε)) solamente se puede obtener como combinación convexa de los puntos A y B, esto quiere decir que al solucio-nar el problema relajado se obtendrá una distribución de probabilidad soprtada en dos puntos Los puntos de soporte sj(x) y sus probabilida-

des pj(x) permiten inferir la proporción en que se mesclan los estados energéticos A y Bpara producir un menor valor de energía global

21 21

*ssx pp δδµ +=

Implicaciones físicas (4/5)Solucionamos el siguiente problema variacional:Donde

La solución es la medida

Que nos dice que el minimizador es

( ) ( ) ( )

( ) ( )411 ,00

0 s.a.

min1

0

2

==

≥′

+′∫

uu

xu

dxxuuu

φ

( ) 234 319.50887.153497.1548 uuuu ′+′−′=′φ

[ ]( ]1,5.0 para

5.0,0 para

408.0*

093.0*

∈=

∈=

x

x

x

x

δµ

δµ

( ) [ ]( ]1,5.0 para

5.0,0 para158.00408.0

093.0*

∈∈

⎩⎨⎧

−=

xx

xx

xu

Implicaciones físicas (5/5)Solucionamos el siguiente problema variacional:Donde

La solución es la medida

Que nos dice que el minimizador es el que se muestra en la figura

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )411 ,00

0 s.a.

min1

0

241

==

≥′

−+′∫

uu

xu

dxxxuuu

φ

( ) 234 319.50887.153497.1548 uuuu ′+′−′=′φ

[ ]1,0 para 0.475525.0 0.418093.0* ∈+= xx δδµ

Conclusiones

Aplicación de la teoría de medidas de Young para encontrar minimizadores de problemas variacionales no convexosLas medidas se han utilizado para predecir el balance energético óptimo para una barra metálica unidimensional en el regimen de elasticidad no lineal