Abdelkader BENHARI Abdelkader BENHARI Abdelkader BENHARI Abdelkader BENHARI Analyse relle et complexeAnalyse relle et complexeAnalyse relle et complexeAnalyse relle et complexe Real and complex analysis Real and complex analysis Real and complex analysis Real and complex analysis Les rels, suites relles, les complexes , topologie sur R et C, fonction valeurs relles , comparaison defonctions,limtes,continuit,drivation,applicationdeladriavtion,formuledetaylor,fonctions circulaires,fonctionhyperboliques,dvellopementslimits,Intgralesurunsegmentdunefonction continueparmorceaux,Propritsdelintgralesurunsegment,Intgrationsurunsegmentde fonctions valeurs dans C, .. A.BENHARI 2 Table des matires Chapitre 1 : Les rels ................................................................................................................ 11 I Prliminaires ...................................................................................................................... 11 II Rpartition des entiers et des rationnels dans R. .............................................................. 11 A) Partie entire dun rel ................................................................................................ 11 B) Rpartition des rationnels dans R. ............................................................................... 12 III Le thorme de la borne suprieure ................................................................................ 13 IV Valeur absolue ................................................................................................................. 14 A) Gnralits .................................................................................................................. 14 B) Parties bornes de R : complments ........................................................................... 15 V Les intervalles de R. ......................................................................................................... 15 Chapitre 2 : Suites relles ......................................................................................................... 17 I Dfinition ........................................................................................................................... 17 A) Gnralits .................................................................................................................. 17 B) Oprations sur les suites relles .................................................................................. 17 C) Divers modes de dfinition de suites ........................................................................... 18 D) Suite croissante, dcroissante .................................................................................. 18 E) Suite majore, minore ............................................................................................ 19 F) Proprits partir dun certain rang ...................................................................... 19 G) Suite extraite ............................................................................................................... 19 II Suites convergentes .......................................................................................................... 19 A) Dfinition .................................................................................................................... 19 B) Convergence et suite borne ....................................................................................... 21 C) La notion de limite ne dpend pas des premiers termes ........................................ 21 D) Convergence et suite extraite ...................................................................................... 22 III Convergence et ingalits ................................................................................................ 23 IV Convergence et oprations sur les suites ......................................................................... 24 V Limites dans R ............................................................................................................... 26 VI Suite arithmtique gomtrique ................................................................................... 28 A) Suite arithmtique ....................................................................................................... 28 B) Suite gomtrique ........................................................................................................ 28 VII Comparaison de suites ................................................................................................... 29 A) Suite ngligeable devant une autre .............................................................................. 29 B) Comparaisons classiques ............................................................................................. 30 C) Suites quivalentes ...................................................................................................... 31 D) Equivalents usuels ....................................................................................................... 32 E) Suite domine par une autre ........................................................................................ 33 VIII Thormes portant sur les suites monotones ................................................................ 33 A) Le thorme de la limite monotone (pour les suites) ............................................ 33 B) Suites adjacentes ......................................................................................................... 34 C) Thorme des segments embots ......................................................................... 35 D) Un exemple trs important : les suites construites par dichotomie ............................. 36 IX Le thorme de BolzanoWeierstrass ............................................................................. 37 X Complments .................................................................................................................... 38 Chapitre 3 : Les complexes ...................................................................................................... 39 I Suppos connu, admis ........................................................................................................ 39 II Conjugaison et module ..................................................................................................... 39 III Exponentielle complexe .................................................................................................. 41 A.BENHARI 3 IV Racine n-ime de lunit ................................................................................................. 42 A) Dtermination .............................................................................................................. 42 B) Calcul de certaines sommes ........................................................................................ 44 C) Racine n-ime dun complexe quelconque ................................................................. 44 V Equation polynomiale de degr 2 coefficients complexes ............................................ 45 VI Suites complexes ............................................................................................................. 46 A) Dfinition et premires constatations .......................................................................... 46 B) Parties relles et imaginaires, conjugaison .................................................................. 46 C) Suites bornes .............................................................................................................. 47 Chapitre 4 : Rudiments de topologie(sur R et C) ................................................................... 48 I Notion de boule ouverte, ferme ........................................................................................ 48 II Notion de voisinage .......................................................................................................... 48 III Les ouverts, les ferms .................................................................................................... 49 A) Les ouverts .................................................................................................................. 49 B) Les ferms ................................................................................................................... 50 IV Intrieur et adhrence dune partie .................................................................................. 51 A) Intrieur ....................................................................................................................... 51 B) Adhrence (dans K) dune partie de K. ....................................................................... 51 V Les suites et le vocabulaire de la topologie ...................................................................... 52 VI Partie dense dans une autre ............................................................................................. 53 VII Complments (dans R) .................................................................................................. 53 Chapitre 5 : Dfinitions relatives aux fonctions valeurs relles ............................................ 54 I Fonctions valeurs relles ................................................................................................. 54 A) Somme, produit, produit par un rel ........................................................................... 54 B) Autres dfinitions ........................................................................................................ 54 C) Ingalits sur les fonctions .......................................................................................... 55 D) Fonctions majores, minores ..................................................................................... 55 II Fonctions dune variable relle valeurs relles .............................................................. 56 A) Fonctions monotones .................................................................................................. 56 B) Fonctions paires, impaires ........................................................................................... 58 C) Fonctions priodiques ................................................................................................. 58 D) Fonctions lipschitziennes ............................................................................................ 60 E) Extremum local, global ............................................................................................... 60 F) Proprit vraie sur une partie du domaine de dfinition .............................................. 61 Chapitre 6 : Comparaison de fonctions .................................................................................... 61 I Fonction ngligeable devant une autre............................................................................... 61 A) Gnralits .................................................................................................................. 61 B) Comparaisons usuelles ................................................................................................ 62 C) Proprits ..................................................................................................................... 63 II Fonctions quivalentes ..................................................................................................... 63 A) Gnralits .................................................................................................................. 63 B) Equivalents usuels au voisinage de 0 .......................................................................... 64 C) Equivalents et limites .................................................................................................. 64 D) Oprations sur les quivalents ..................................................................................... 64 E) Autres rsultats ............................................................................................................ 65 F) Fonctions polynmes et fonctions rationnelles ............................................................ 66 III Fonction domine par une autre ...................................................................................... 67 A.BENHARI 4 Chapitre 7 : Limite en un point (pour une fonction relle dune variable relle)..................... 67 I Gnralits ......................................................................................................................... 67 A) Dfinition .................................................................................................................... 67 B) Thorme (unicit de la limite ventuelle) .................................................................. 68 C) Remarque .................................................................................................................... 69 D) Continuit en un point ................................................................................................. 69 E) Exemples ..................................................................................................................... 69 II Thorme de composition de limites .......................................................................... 70 A) Thorme .................................................................................................................... 70 B) Cas particulier (suites) ................................................................................................. 70 C) Rciproque .................................................................................................................. 70 III Limite selon une partie .................................................................................................... 71 A) Gnralits .................................................................................................................. 71 B) Cas particulier ............................................................................................................. 71 C) Autre cas particulier .................................................................................................... 72 D) Autre cas particulier utile ............................................................................................ 72 E) Prolongement par continuit en un point ..................................................................... 73 IV Limites et ingalits ........................................................................................................ 73 V Limites et oprations sur les fonctions ............................................................................. 75 A) Cas des limites finies ................................................................................................... 75 B) Cas o certaines limites sont infinies .......................................................................... 76 C) Les indterminations ................................................................................................... 76 D) Limites et fonctions usuelles ....................................................................................... 77 E) Remarque technique : le retour 0 ........................................................................ 77 VI Le thorme de la limite monotone pour les fonctions ................................................... 78 Chapitre 8 : Fonctions continues .............................................................................................. 80 I Gnralits ......................................................................................................................... 80 A) Rappel de dfinition .................................................................................................... 80 B) Opration sur les fonctions continues ......................................................................... 80 C) Fonctions usuelles ....................................................................................................... 82 D) Notation ....................................................................................................................... 82 II Le thorme des valeurs intermdiaires (T.V.I.) .............................................................. 82 III Image dun segment ........................................................................................................ 84 IV Fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle .................................... 85 A) Le thorme ................................................................................................................. 85 V Continuit uniforme ......................................................................................................... 87 A) Dfinition .................................................................................................................... 87 B) Thorme de Heine ..................................................................................................... 89 VIExemplesderciproquedunebijectiondunefonctioncontinueetstrictement monotone sur un intervalle. Notions sur les constructions de la fonction exponentielle ..... 89 Chapitre 9 : Drivation ............................................................................................................. 91 I Drivabilit en un point ..................................................................................................... 91 A) Dfinition .................................................................................................................... 91 B) Proprits ..................................................................................................................... 92 C) Oprations sur les fonctions drivables en un point .................................................... 94 II Fonctions drives ............................................................................................................ 96 III Drives successives ....................................................................................................... 97 A) Dfinition .................................................................................................................... 97 A.BENHARI 5 B) Proprits ..................................................................................................................... 98 C) Oprations sur les fonctions de classe Cn. ................................................................... 99 D) Fonctions de classe C ............................................................................................. 101 E) Les fonctions usuelles ................................................................................................ 102 Chapitre 10 : Proprits des fonctions drivables .................................................................. 102 I Extremums de fonctions drivables ................................................................................. 102 II Thorme de Rolle et thorme des accroissements finis .............................................. 103 III Sens de variation des fonctions drivables .................................................................... 105 IV Le thorme sans nom ............................................................................................. 108 Chapitre 11 : Formules de Taylor .......................................................................................... 109 I Prliminaire ...................................................................................................................... 109 II Ingalit de TaylorLagrange ......................................................................................... 110 III Formule de TaylorYoung ............................................................................................ 112 IV Lgalit de TaylorLagrange (hors programme) ......................................................... 113 V Rcapitulation, formules connatre .............................................................................. 114 Chapitre 12 : Fonctions circulaires rciproques ..................................................................... 116 I La fonction Arcsin ........................................................................................................... 116 A) Etude ......................................................................................................................... 116 B) Dfinition .................................................................................................................. 116 C) Proprits de la fonction Arcsin ................................................................................ 116 II La fonction Arccos ......................................................................................................... 117 A) Etude ......................................................................................................................... 117 B) Dfinition .................................................................................................................. 118 C) Proprits de la fonction Arccos ............................................................................... 118 III La fonction Arctan ........................................................................................................ 119 A) Etude ......................................................................................................................... 119 B) Dfinition .................................................................................................................. 120 C) Proprits de la fonction Arctan ................................................................................ 120 IV La fonction Arccotan .................................................................................................... 121 Chapitre 13 : Fonctions hyperboliques ................................................................................... 122 I Les fonctions hyperboliques directes ............................................................................... 122 A) Dfinition .................................................................................................................. 123 B) Etude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ............................................................ 123 C) Etude de la fonction ch (cosinus hyperbolique) ........................................................ 123 D) Graphes compars des fonctions sh et ch .................................................................. 123 E) Justification du terme hyperbolique .......................................................................... 124 F) Fonction th (tangente hyperbolique) .......................................................................... 125 G) Fonction coth (cotangente hyperbolique) ................................................................. 125 H) Graphes de th et coth ................................................................................................. 126 II Formulaire ...................................................................................................................... 126 III Fonctions hyperboliques inverses ................................................................................. 127 A) Argsh (Argument sinus hyperbolique) ...................................................................... 127 B) Argch (Argument cosinus hyperbolique) .................................................................. 128 C) Argth (Argument tangente hyperbolique) ................................................................. 129 D) Argcoth (Argument cotangente hyperbolique) ......................................................... 130 A.BENHARI 6 Chapitre 14 : Dveloppements limits ................................................................................... 130 I Gnralits ....................................................................................................................... 131 A) Dfinitions ................................................................................................................. 131 B) Thorme dunicit des coefficients dun DL ........................................................... 131 C) Troncature dun DL ................................................................................................... 132 II DL et drivation .............................................................................................................. 132 III Oprations sur les DL .............................................................................................. 134 A) Retour 0 ............................................................................................................ 134 B) Somme, produit par un rel ....................................................................................... 134 C) Produit de deux DL ................................................................................................... 134 D) Composition de DL ................................................................................................... 135 E) Inverse ....................................................................................................................... 137 IV Primitive, drive .......................................................................................................... 138 A) Primitive .................................................................................................................... 138 B) Drivation .................................................................................................................. 139 V Parit ............................................................................................................................... 139 VI DL connatre ............................................................................................................... 140 VII Applications ................................................................................................................. 141 A) Recherche de limites, dquivalents (exemples) ....................................................... 141 B) Drive, tangente, position dune courbe par rapport une tangente ....................... 142 C) Etude locale en +. ................................................................................................. 143 Chapitre 15 : Intgrale sur un segment dune fonction continue par morceaux..................... 144 I Intgrale des fonctions en escalier ................................................................................... 144 A) Subdivisions .............................................................................................................. 144 B) Fonctions en escalier ................................................................................................. 144 C) Intgrale des fonctions en escalier ............................................................................ 145 II Fonctions intgrables ...................................................................................................... 146 III Fonctions continues par morceaux ................................................................................ 147 A) Dfinition et gnralits ............................................................................................ 147 B) Encadrement par des fonctions en escalier ............................................................... 147 C) Consquence : intgrabilit ....................................................................................... 148 IV Complments hors programme ..................................................................................... 149 Chapitre 16 : Proprits de lintgrale sur un segment dune fonction continue par morceaux ................................................................................................................................................ 150 I Premires proprits ......................................................................................................... 150 A) Positivit .................................................................................................................... 150 B) Linarit .................................................................................................................... 151 C) Additivit par rapport aux intervalles, thorme de Chasles .................................... 152 D) Croissance ................................................................................................................. 153 II Majorations, minorations dintgrales ............................................................................ 153 III Considrations propos de lintgrale des fonctions continues par morceaux ............. 154 IV Positivit stricte ............................................................................................................. 154 V Ingalit de CauchySchwartz pour les intgrales ......................................................... 155 A) Un produit scalaire sur [ ] ) , , (0R b a C ........................................................................ 155 B) Consquence : ingalit de CauchySchwartz .......................................................... 156 VI Sommes de Riemann ..................................................................................................... 156 A) Le thorme ............................................................................................................... 156 B) Cas particulier : les sommes Sn, sn, Mn. ..................................................................... 157 A.BENHARI 7 C) Retour aux sommes de Riemann gnrales ............................................................... 158 D) Remarque sur la mthode des trapzes ..................................................................... 159 E) Cas o f est monotone (et toujours continue) ............................................................ 159 F) Remarque ................................................................................................................... 160 VII Valeur moyenne dune fonction continue sur un segment .......................................... 160 Chapitre 17 : Intgrale dune fonction continue sur un segment et drivation ...................... 161 I Le rsultat fondamental .................................................................................................... 161 A) Thorme .................................................................................................................. 161 B) Remarques ................................................................................................................. 162 C) Consquence du thorme ......................................................................................... 163 D) Exercices dapplication ............................................................................................. 163 E) Les choses fausses ..................................................................................................... 164 II Tableau des primitives usuelles ...................................................................................... 165 III Intgration par parties .................................................................................................... 166 A) Thorme .................................................................................................................. 166 B) Exemples pratiques ................................................................................................... 167 C) Formule de Taylor avec reste intgral ....................................................................... 167 IV Changement de variable ................................................................................................ 168 A) Le thorme ............................................................................................................... 168 B) Exemples ................................................................................................................... 169 C) Application aux fonctions paires, impaires, priodiques .......................................... 170 V Un thorme de la moyenne ........................................................................................... 171 Chapitre 18 : Intgration sur un segment de fonctions valeurs dans C ............................... 171 I Intgration des fonctions valeurs dans C. ..................................................................... 171 A) Notations et rappels ................................................................................................... 171 B) Fonctions continues par morceaux sur un segment ................................................... 172 C) Dfinition .................................................................................................................. 172 D) Premires proprits .................................................................................................. 172 E) Intgrale dune fonction continue et primitives ......................................................... 174 F) Intgration par parties ................................................................................................ 175 G) Changement de variable ............................................................................................ 176 H) Remarque importante pour finir ................................................................................ 176 II Intgration des fonctions rationnelles ( coefficients dans C) ....................................... 177 A) Mthode gnrale ...................................................................................................... 177 B) Cas des fractions rationnelles coefficients dans R. ................................................ 178 C) Exemples ................................................................................................................... 179 III Primitives des fonctions ) (t P e tt o * C et ] [ X P C .................................. 180 IV Complment : rgle de Bioche ...................................................................................... 181 Chapitre 19 : Espace Rn Limite et continuit des fonctions dune partie de Rp dans Rn. ...... 182 I Normes sur un R-espace vectoriel ................................................................................... 182 A) Norme (rappels) ........................................................................................................ 182 B) Distance associe une norme .................................................................................. 182 C) Exemples de normes sur nR. .................................................................................... 183 D) Partie borne, fonction borne .................................................................................. 183 E) Boules ........................................................................................................................ 183 F) Normes quivalentes .................................................................................................. 184 A.BENHARI 8 II Elments de topologie de nR. ........................................................................................ 184 A) Voisinages dun point de nR. ................................................................................... 185 B) Ouverts de nR. ......................................................................................................... 185 C) Ferms de nR. .......................................................................................................... 187 D) Points intrieurs ......................................................................................................... 188 E) Points adhrents ......................................................................................................... 189 III Commentaires et prcisions sur les fonctions dune partie de R dans nR. .................. 189 A) Limite en un point de R pour une fonction dune partie de R dans nR. .................. 189 B) Prcisions sur les suites valeurs dans nR. ............................................................. 190 IV Limite et continuit pour les fonctions dune partie de pR dans nR. ......................... 191 A) Notations ................................................................................................................... 191 B) Limite ........................................................................................................................ 191 C) Continuit en un point ............................................................................................... 193 D) Fonctions continues ................................................................................................... 193 E) Applications partielles et continuit .......................................................................... 196 Chapitre 20 : Elments de calcul diffrentiel ......................................................................... 197 I Drives partielles ............................................................................................................ 197 A) Drives (ventuelles) partielles premires par rapport chaque variable ............... 197 B) Dfinitions ................................................................................................................. 199 C) Drives partielles premires selon un vecteur ......................................................... 199 II Dveloppement limit lordre 1 pour une fonction de classe 1C. ............................... 200 A) Le thorme ............................................................................................................... 200 B) Consquences ............................................................................................................ 201 C) Divers ........................................................................................................................ 201 III Oprations sur les fonctions de classe 1C. .................................................................... 202 A) Sommes, produits .................................................................................................. 202 IV Gnralisations .............................................................................................................. 205 V Drives partielles dordre suprieur.............................................................................. 206 VI Extremums .................................................................................................................... 207 VII Notion de plan tangent une surface dquation ) , ( y x f z =. .................................... 208 VIII Courbes de 2R. .......................................................................................................... 209 A) Diverses situations .................................................................................................... 209 B) Thorme des fonctions implicites ............................................................................ 209 C) Passage local de reprsentation paramtrique rsolu en x ou y. ............................. 210 D) De paramtr en cartsiennes paramtr en polaires ............................................. 211 IX Surfaces de 3R. ............................................................................................................ 211 A) Diverses reprsentations (en coordonnes cartsiennes) .......................................... 211 B) Passage local de reprsentation 0 ) , , ( = z y x F une quation rsolue ..................... 212 C) Plan tangent une surface ......................................................................................... 212 Chapitre 21 : Intgrales curvilignes, formes diffrentielles ................................................... 214 I Intgrale curviligne le long dune courbe ........................................................................ 214 II Formes diffrentielles sur un ouvert de pR. .................................................................. 215 A) Dfinition .................................................................................................................. 215 B) Formes diffrentielles exactes ................................................................................... 215 A.BENHARI 9 C) Intgrale curviligne dune forme diffrentielle le long dune courbe ....................... 216 III Circulation dun champ de vecteurs .............................................................................. 216 Chapitre 22 : Intgrales dpendant dun paramtre................................................................ 217 I Prliminaire : fonction gamma ......................................................................................... 217 A) Dfinition .................................................................................................................. 217 B) Exercice ..................................................................................................................... 218 II Suites et sries dintgrales ............................................................................................. 219 A) Remarque sur la nature des thormes ...................................................................... 219 B) Rappel : cas de la convergence uniforme sur un segment ......................................... 220 C) Thorme de convergence domine .......................................................................... 221 D) Exercice : formule de Gauss pour la fonction gamma .............................................. 222 E) Remarque : peut-on montrer quune limite simple nest pas intgrable ? ................. 223 F) Thorme dintgration terme terme des sries ...................................................... 224 III Etude des fonctions de la forme Idt t x f x ) , ( .......................................................... 224 A) Continuit .................................................................................................................. 224 B) Caractre 1C de Idt t x f x F ) , ( : . ........................................................................ 226 C) Caractre kC de Idt t x f x ) , ( . ............................................................................. 227 D) Interversion des intgrations ..................................................................................... 228 E) Exemples et applications ........................................................................................... 228 IV Intgrales doubles sur ' I I de fonctions continues ..................................................... 237 A) Intgrabilit ............................................................................................................... 237 B) Calcul des intgrales .................................................................................................. 238 C) Retour de Fubini ........................................................................................................ 238 D) Passage en coordonnes polaires .............................................................................. 239 Chapitre 23 : Intgrale double ................................................................................................ 243 I Sous-ensemble quarrable de 2R, aire ............................................................................. 243 A) Aire dun pav born de 2R. .................................................................................... 243 B) Partie pavable ............................................................................................................ 243 C) Partie quarrable ......................................................................................................... 244 II Dfinition de lintgrale double dune fonction continue et borne ............................... 244 A) Subdivision dune partie quarrable ........................................................................... 244 B) Dfinition .................................................................................................................. 244 III Premires proprits de lintgrale double .................................................................... 245 A) Additivit par rapport au domaine dintgration ....................................................... 245 B) Proprits relatives la fonction ............................................................................... 245 IV Formules de Fubini (admises) ....................................................................................... 245 V Changement de variable (admis) .................................................................................... 247 A) Prliminaire ............................................................................................................... 247 B) Thorme ................................................................................................................... 247 C) Exemple important : changement de variable affine ................................................. 248 D) Autre exemple important : passage en coordonnes polaires ................................... 249 VI Extension aux intgrales triples .................................................................................... 250 VII Intgrale de surface ...................................................................................................... 250 VIII Masses, centres et moments dinertie ......................................................................... 251 A) Pour un arc dans le plan ou lespace ......................................................................... 251 B) Pour une surface dans le plan 2R. ............................................................................ 251 A.BENHARI 10 C) Pour une surface dans lespace 3R. .......................................................................... 252 D) Pour un volume dans 3R. ......................................................................................... 252 IX Formule de GreenRiemann (admise) .......................................................................... 252 A) Compact lmentaire, compact simple ..................................................................... 252 B) Thorme (GreenRiemann) ..................................................................................... 253 C) Application aux calculs daires ................................................................................. 253 A.BENHARI 11 I Prliminaires (1) Suppos connu : lensemble R qui contient Q, les oprations +,, (2) Suppos connue : la relation dordre sur R qui constitue un ordre total. La relation est compatible avec +, c'est--dire : ) ( ) et( , ) , , , (4 2 3 1 4 3 2 144 3 2 1x x x x x x x x x x x x + + RIl en rsulte queR x ,0 0 x x: SoitR x . Supposons0 x . Commex x , on a :) ( 0 ) ( x x x + + , soit0 xSupposons0 x . Commex x , on a :x x x + + 0 ) ( , soitx 0La relation nest pas compatible avec, sauf restreinte +R: ) ( ) et( , ) , , , (4 2 3 1 4 3 2 144 3 2 1x x x x x x x x x x x x +RIl en rsulte que 2 1 2 122 1, , ) , ( ax ax x x a x x +R R: Soit 22 1) , ( R x x , +R a . Supposons 2 1x x . Alors 1 20 x x .De plus,a 0 . Donc) ( 0 01 2x x a , soit 2 1ax ax . (3) Suppos connu :Q R \ 2 (4) Thorme fondamental admis : thorme de la borne suprieure. Toute partie non vide majore de R admet une borne suprieure. II Rpartition des entiers et des rationnels dans R. A) Partie entire dun rel Lemme :Pour tout rel x, il existeN ntel quen x na nb (prendreparexemple ((

+ =a bn11 ). Ainsi,a bn>1 -Comme1 > na nb ,ilexisteZ p telquenb p na < < (parexemple [ ] 1 + =na p , puisque[ ] [ ] nb na na na nap< + + < 1 1 _ ) -Ainsi,bnpa < < , etQ np Consquence : Entre deux rels distincts, il y a une infinit de rationnels Thorme : Entre deux rels distincts, il y a toujours un irrationnel ou encore : ) , \ ( , ) , (2b x a x b a b a < < < Q R RDmonstration : Soit 2) , ( R b a , supposons queb a < . 2 Dj, on introduit 2) ' , ' ( Q b atels queb b a a < < < ' 'A.BENHARI 13 On introduit ensuite 2) , ( Q avec0 > tels que : = += +' 2'ba (il en existe :' ' a b = et' ' 2 b a = conviennent) Alors, comme2 2 1 < < , on a : + < + < + 2 2 , soit' 2 ' b a < + < . Or,Q + 2(SiQ = + M 2 , alorsQ = M2 ) Consquence : entre deux rels distincts, il y a une infinit dirrationnels. III Le thorme de la borne suprieure Rappel : Soit A une partie de R, l un rel. Dire que l est la borne suprieure de A, cest dire que l est le plus petit majorant de A. Ou encore : < < =) , ( , et ,) ) , (( , et ,petit plus le estc' et de majorantunest ) sup(x z A x l z R zl x A xz l z x A x R zl x A xA lA l Exemples : (1) Soit] [ 1 , 0 = A , montrons que 1 est la borne suprieure de A. Dj,1 , x A x , donc 1 majore A. Soit1 < z , montrons qualors z ne majore pas A. - si0 z , z ne majore pas A, car par exempleA 21 et 21< z- si0 > z , alors le rel 21 += zyest tel que1 0 < < < y z . DoncA y ety z < , donc z ne majore pas A. Donc 1 est la borne suprieure de A.(2) Soit )` = * ,1N nnA , montrons que A admet 0 comme borne infrieure. Dj, 0 minore A. 0 est le plus grand minorant de A. En effet, soit0 > a . On peut alors introduire* N ntel que an1>(par exemple11+((

=an ). AlorsAn 1, etan N ) non vide.Une suite dlments de E indexe par K est une application ku kE K u : . LensembledessuitesdlmentsdeEindexesparKestnot KE (cestaussi ) , ( E K F ) DanslecasoR = E ,onparledesuitesvaleursrelles,ousuitesrelles.Si C = E , on parle alors de suites complexes. Pour KE u ,lensembledesvaleursdelasuiteest{ } K k uk , .Onditquune suite est infinie si elle est indexe par un ensemble infini. kuest le terme de rang k. On sintresse dans ce chapitre NR B) Oprations sur les suites relles Soient NR v u, ,R . v u +dsigne la suite relle w dfinie par : n n nv u w n + = , Nv u dsigne la suite relle h dfinie par : n n nv u h n = , Nu dsigne la suite relle u dfinie par : n nu u n = ' , N . "." : loi de composition oprateur externe : u u . ) , ( N NR R R . NR0 dsignelasuiterelledonttouslestermessontnuls :0 0 , = nn N .(de mme, NR1ou 1 si il ny a pas dambigut.) Remarque : Il ny a pas intgrit, c'est--dire :)) 0 ou0 0 ( , , ( nonN N NR R RNR = = = v u v u v uPar exemple : ==sinon 0pair estsi 1;sinon 1pair estsi 0 nvnun n Alors NR0 = v u , mais NR0 uet NR0 v . Chapitre 2 : Suites relles A.BENHARI 18 C) Divers modes de dfinition de suites Dfinition explicite ; donne, pour chaqueN n , de nuen fonction de n (de faon plus ou moins complexe, avec ventuellement des sommes ou des conditions) Dfinition rcurrente : -rcurrence simple : N n nu ) (est telle que : = =+) ( ,...10n nu f u nuN (Problme de dfinition ventuelle, dpend de f. On peut rsoudre ce problme par rcurrence) -rcurrence double : = = =+ +) , ( ,... ...1 21 0n n nu u f u nu uN Dfinition implicite. Par exemple : pour2 n , nuest la solution relle positive de lquation1 + = x xn . On peut aussi imaginer dautres modes de dfinitions de suites, plus complexes D) Suite croissante, dcroissante Soit N n nu ) (une suite relle. Dfinition, proposition : ) ( ,) ( , , croissante est) (1df+ n np n nu u nu u p n p n uNN Dmonstration : -Supposonsque) ( , ,p nu u p n p n N .SoitN n .Comme1 + n n , on a bien 1 +n nu u-Supposonsque) ( ,1 + n nu u n N .SoientN p n, .Sip n = ,ona p nu u . Sip n < , alors p n nu u u +...1 (idem sip n > ) ) ( ,) ( , , croissante tstrictemen est) (1df+< < < n np n nu u nu u p n p n uNN ) ( ,) ( , , te dcroissan est) (1df+ n np n nu u nu u p n p n uNN ) ( ,) ( , , te dcroissan tstrictemen est) (1df+> > < n np n nu u nu u p n p n uNN te dcroissan est) ( etcroissante est) (,, , constante est) (1dfn nn nn nu uu u na u n R a u= = +NN A.BENHARI 19 E) Suite majore, minore Soit NR u{ }M u n Mn u unn , ,major est, majore est N RN { }m u n mn u unn , ,minor est, minore est N RN { }minore etmajore est , ,born est, borne est uM u n Mn u unn N RN F) Proprits partir dun certain rang Soit NR uExemple : u est croissante partir du rang 4 si et seulement si) ( , 41 + n nu u n . On dfinit de mme pour les autres proprits. Une suite constante partir dun certain rang est dite stationnaire. G) Suite extraite Dfinition : Soit NNR = n nu u ) ( , NNR = n nv v ) ( . OnditquevestextraitedeulorsquilexisteuneapplicationN N : strictement croissante telle que ) (,n nu v n= N . Exemple : Soitulasuitedfiniepar nnu n ) 1 ( , = N .Alorslessuitessuivantesensont extraites : -La suite NN NR = = n n n nu v v ) ( ) (2 est constante et gale 1. -La suite NNR = + n nu w ) (1 2 est constante gale -1. -La suite N =n nu h ) () ( oN N : qui 0 associe 0 et * N nassocie le n-ime nombre premier est stationnaire partir du rang 2. -La suite N +=n nu v ) ( '2 3 est gale la suite u. II Suites convergentes A) Dfinition Soit NNR = n nu u ) ( . On dit que la suite N n nu ) (est convergente lorsquil existe R ltel que) ( , , , 0 < > l u N n n NnN NA.BENHARI 20 Remarque :] [ + + < < < < < l l u l u l l u l un n n n, Aussipetitquesoit strictementpositif,ilexisteunrangpartirduquelles termes de la suite N n nu ) (sont dans lintervalle] [ + l l ,. Thorme : Soit NNR n nu ) ( ,R ' , l lSi N n nu ) (converge vers l et l, alors' l l = . Dmonstration : par labsurde. Supposons' l l , par exemple' l l < . Soittel que 2'0l l < < (ce qui est possible car02'>l l) Alors : + < < l u l N n Nn, , Net + < < ' ' , ' , ' l u l N n NnNSi on prend) ' , max( N N n , on aura alors : + < < l u ln et + < < ' ' l u ln Donc + < < l u ln'; + < l l';l l > ' 2 . Contradiction avec le choix de Consquence : Si N n nu ) (converge, lunique rel l tel que < > l u N n Nn, , , 0 Nest appel la limite de la suite N n nu ) ( . Onnoteu u ln nlim ) lim( = =N,ou nnu l+ = lim (attentionauxnotations :dansles deux premires galits, on a des suites en argument, dans la troisime, on a un terme). Pourdire lasuite N n nu ) ( converge ,onpeutdireaussi N n nu ) ( admetune limite relle . Exemples de base : Soit a un rel. La suite constante gale a converge vers a. Eneffet :Soit0 > .Alors0 n , < a unpuisque0 = a un.Onadonc trouv N ( savoir 0) tel que < a u N nn, . Donc < > a u N n Nn, , , 0 NLa suite )`= =|||||

\|nnnunnunn11) 1 (1gnral terme de*N converge vers 0. Dmonstration : Soit0 > . Soit* N Ntel que < > + + + 0 , , , 0 00 ) ( , , , 0 0, , , 0l u N n N l ul u N n N l ul u N n N l unnnnnnn n nNNN Exemple : La suite nn12 converge vers 2. B) Convergence et suite borne Thorme : Si une suite N n nu ) (converge, alors elle est borne. Dmonstration : Supposons que N n nu ) (converge. Notons l sa limite. Selonladfinitiondelaconvergenceversl,ilexisteN N telqueN n , 3 < l un. DoncN n ,l l l u l l u un n n+ + + = 3 . Ainsi, en posant( )Nu u u l M ,... , , 3 max1 0+ = , il est clair queM u nn , N . Contrapose : Si N n nu ) (nest pas borne, alors elle ne converge pas (elle diverge). Attention, la rciproque est fausse :nn u ) 1 ( : est borne, mais ne converge pas. En effet : SoitR l . Montrons que N n nu ) (ne converge pas vers l. Prenons 21= . Alors il nexiste aucun N tel queN n , < l un. En effet, supposons quil en existe.Alors < l uN et < +l uN 1. Donc1 2 ) (1 1 1 < + = + + + l u l u l u l u u uN N N N N N. Contradiction car21= + N Nu u . C) La notion de limite ne dpend pas des premiers termes Proposition : A.BENHARI 22 Soit NN NR n n n nv u ) ( , ) ( .Siuetvsontgalespartirduncertainrang,alors elles sont de mme nature (convergente ou divergente), et si elles convergent, cest vers la mme limite. Dmonstration : SoitN N telque n nv u N n = , .Supposonsque N n nu ) ( convergeversune limiteR l . Alors N n nv ) (converge aussi vers l : Soit0 > . On peut introduireN ' Ntel que < l u N nn, ' . Alors, si on pose) ' , max( N N P = , on a < l v P nn, . Donc < > l v P n Pn, , , 0 N . Donc N n nv ) (converge vers l. Etantdonnslesrlessymtriquesjouspar N n nu ) ( et N n nv ) ( ,onadonc lquivalence N n nu ) ( converge N n nv ) ( converge ;donc,parcontrapose, N n nu ) (diverge N n nv ) (diverge. D) Convergence et suite extraite Lemme :Soit une application strictement croissante de N dans N. Alorsk k k ) ( , NDmonstration par rcurrence : 0 ) 0 ( carN ) 0 ( SoitN k , supposons quek k ) ( . Alorsk k k > + ) ( ) 1 ( ;k k > + ) 1 ( ;1 ) 1 ( + + k k . Thorme : Si une suite N n nu ) (converge versR l , alors toute suite extraite converge vers l. Dmonstration : Supposons que N n nu ) (converge vers l. Soit N n nv ) (une suite extraite de N n nu ) ( . SoitN N : , strictement croissante, telle que ) (,n nu v n= N . Soit0 > .Comme N n nu ) (converge vers l, il existeN Ntel que < l u N nn, . Alors pour toutN k , on aN k k ) ( , donc< l uk ) (. Ainsi, on a montr que < > l v N k Nk, , , 0 NApplication : Gnralement pour la contrapose. Soit N n nu ) (la suite de terme gnral nnu ) 1 ( = . )` ==+1 ) lim(1 ) lim(1 22nnuu donc N n nu ) (diverge. A.BENHARI 23 Soit N n nu ) (la suite de terme gnral ||

\|=2sin nun )`= ==++1 ) lim(1 ) lim(0 ) lim(1 43 42nnnuuu donc N n nu ) (diverge. Proposition : Si N k ku ) (2 et N + k ku ) (1 2 convergent vers la mme limite l, alors N n nu ) (converge aussi vers l. Dmonstration : Soit0 > SoitN Ktel que < l u K kk 2,SoitN ' Ktel que < +l u K kk 1 2, ' . Alors < + l u K K nn), 1 ' 2 , 2 max( . En effet : soit) 1 ' 2 , 2 max( + K K n . Si n est pair, n scrit sous la formek n 2 = , et commeK n 2 , on aK k , donc < l uk 2, soit, commek n 2 = , < l un. Il en est de mme si n est impair. Donc < > l u N n Nn, , , 0 N III Convergence et ingalits Proposition : Si N n nu ) (converge vers let siI est un intervalle ouvert contenant l, alors il existe un rang partir duquel les termes sont dans I. Dmonstration : Il est clair que si I est ouvert, et siI l , on peut trouver0 > tel que] [ I l l + , . Soitalorsuntel0 > .IlexistedoncN N telque < l u N nn, ,c'est--dire ] [ I l l u N nn + , , Thorme (passage la limite dans une ingalit) : Si deux suites N n nu ) ( , N n nv ) (convergent vers l, l respectivement, et si il existe 0ntel que n nv u n n ,0, alors' l l . Dmonstration par labsurde : Avec les hypothses du thorme, supposons que' l l > .Soit alorstel que 2'0l l < < . Ainsi, < + l l'Il existe doncN Ntel que + < < l u l N nn,Et aussiN ' Ntel que + < < ' ' , ' l v l N nn Alors, pour) , ' , max(0n N N n : n nu l l v < < + < ' . Contradiction, car n nv u . Remarque :A.BENHARI 24 Les ingalits strictes ne se conservent pas par passage la limite. Par exemple : n nn1212 *, + < N , mais212 lim12 lim = + = + + n nn n Cas particulier : Si N n nu ) (a une limite, et sia u nn , N , alorsa un ) lim(Thorme (des gendarmes) : Soient NN N NR n n n n n nw v u ) ( , ) ( , ) ( . Si N n nu ) (et N n nw ) (convergent vers une mme limiteR l , et si il existe 0ntel que n n nw v u n n ,0, alors N n nv ) (converge vers l. Dmonstration : Soit0 > . Il existe doncN Ntel que + < < l u l N nn, . Et aussiN ' Ntel que + < < l w l N nn, 'Alors, pour) , ' , max(0n N N n , on a + < < l w v u ln n n On a donc trouv M tel que + < < l v l M nn, . Donc < > l v M n Mn, , , 0 N Cas particulier : Si N n nv ) (converge vers 0, et siN n , n nv u , alors N n nu ) (converge vers 0. Plus gnralement, si N n nv ) (converge vers 0, et siN n , n nv l u , alors N n nu ) (converge vers l. IV Convergence et oprations sur les suites Proposition : Si une suite N n nu ) (converge versR l , alors N n nu ) (converge versl . Dmonstration : Pour toutN n ,l u l un n . Donc, daprs le thorme des gendarmes, N n nu ) (converge versl . (Attention, la rciproque est fausse, sauf si0 = l ) Proposition : Soient NN NR n n n nv u ) ( , ) ( ,R .Si N n nu ) (converge versR l , N n nv ) (versR ' l , alors : N + n n nv u ) (converge vers' l l +N n nu ) (converge versl N n n nv u ) (converge vers' l l Dmonstration : Soit0 > . Il existe doncN Ntel que2 / , < l u N nn (car0 2 / > ) A.BENHARI 25 EtN ' Ntel que2 / ' , ' < l v N nn. Alors, pour) ' , max( N N n , < + + + ' ) ' ( l v l u l l v un n n n Donc < + + > ) ' ( ( , , , 0 l l v u M n Mn nN .Donc N +n n nv u ) (converge vers' l l + . 1er cas :0 Soit0 > .Il existe doncN Ntel que / , < l u N nn (car0 / > ) Alors, pour toutN n , on a : = < = l u l un n 2me cas :0 = : trivial, la suite nulle converge vers 0. La suite N n nu ) (converge, elle est donc borne.On introduit alorsR Mtel queM u nn< , NOn a alors, pour toutN n: _ _ 0 0' ' ' ' ) ( ' ) ' ( ' + + + = l u l l v M l u l l v u l u l l v u l l v un n n n n n n n n n Donc, daprs le thorme des gendarmes, N n n nv u ) (converge versl l' . Proposition : Si N n nu ) (est borne, et si0 ) ( N n nv , alors0 ) ( N n n nv u .En effet, on a : n n nv M v u n , N(voir dmonstration prcdente) Proposition : Si une suite N n nu ) (converge vers* R l , alors |||

\|nu1 est dfinie partir dun certain rang et converge vers l1. Dmonstration : N n nu ) (converge vers l. Donc N n nu ) (converge vers0 > l .Soit alors tel quel < < 0 . Il existe doncN Ptel queP n , >nu .Donc |||

\|nu1 est dfinie au moins partir de P. Montrons que l un1 1lim =|||

\| Pour toutP n , on a : _ 01 1 1 1 = l ull ul u l un nn n.Donc daprs le thorme des gendarmes, |||

\|nu1 converge vers l1. A.BENHARI 26 Proposition (dmontre plus tard) : Soit N n nu ) ( valeurs dans I. Supposons que N n nu ) (converge versI l . Si f est une fonction continue dfinie sur I, alors) ( ) ( l f u fn n + V Limites dans R On note{ } + = , R ROn prolonge la loi + et la relation surRde la faon suivante : + = + + = + x x x ) ( , ) ( , R+ = + + + = + ) ( , ) ((Prolongation partielle) x x x < + < , , R+ < (Prolongation totale) Remarque :Radmet un maximum ( + ) et un minimum ( ). Dfinition : Soit NNR = n nu u ) (N n nu ) (tend vers +lorsqueA u N n N An , , , N RN n nu ) (tend vers lorsqueA u N n N An , , , N R tant donn nimporte quel rel, il y a un rang partir duquel on le dpasse Proposition : Si une suite N n nu ) (a une limite dansR , alors elle nen a quune. Dmonstration : On suppose que N n nu ) (tend versR ' , l l , avecl l < '1er cas :R ' , l l , dj vu. 2me cas : = ' l ,R l . Il existeN Ntel que] [ 1 ' , 1 ' , + l l u N nn SoitR Atel que1 ' < l A .Il existeN ' Ntel queA u N nn , 'Contradiction lorsque) ' , max( N N n Autres cas ( R ' l , + = lou = ' l ,+ = l ) : procder de mme que pour le 2me cas. }diverge ) (converge ) (dans limite de pas a n' ) () () (dans limite une a ) (NNNNNNRRR)` n nn nn nn nn nn nuuuul uu Proposition : Si+ N n nu ) ( , alors N n nu ) (nest pas majore. Si N n nu ) ( , alors N n nu ) (nest pas minore. A.BENHARI 27 Proposition : Si N n nu ) ( , alors toute suite extraite de N n nu ) (tend vers (mme dmonstration que pour l) Ainsi, siRN l un n) ( , alors toute suite extraite tend aussi vers l. Proposition : Si+ N n nu ) ( , alors0 >nu partir dun certain rang(prendre0 > Adans la dfinition) Proposition : SiRN l un n) ( ,RN ' ) ( l vn n et si n nv u n , N , alors' l l . Thorme : Si+ N n nu ) ( , et si n nv u n , N , alors+ N n nv ) (Si N n nu ) ( , et si n nu v n , N , alors N n nv ) ( Proposition : Si N n nu ) ( , alors+ N n nu ) (Si N n nu ) ( , et siR , alors < => 0 si0 si 00 si) (N n nu Proposition : Si+ N n nu ) (et si N n nv ) (est minore, alors+ +N n n nv u ) (Dmonstration : SoitR Mtel que nv M n , NAlors n n nu v u M n + + , NSoitR A . Comme+ N n nu ) ( , il existeN Ntel queM A u N nn ,AlorsA v u N nn n + , Proposition : Si+ N n nu ) ( etsiilexiste0 > a telque,partirduncertainrang,a vn ,alors + N n n nv u ) (La dmonstration est identique celle de la proposition prcdente. Proposition : Si+ N n nu ) ( , alors |||

\|nu1 est dfinie partir dun certain rang et tend vers 0. A.BENHARI 28 Si0 ) ( N n nuet si0 >nu partir dun certain rang, alors |||

\|nu1 est dfinie partir de ce rang et tend vers + . VI Suite arithmtique gomtrique A) Suite arithmtique Soit N n nu ) (une suite arithmtique de raisonR r . Alors : nr u u nn+ = 0, N2) 1 ( ,00rnkku un u n++ = =NSi0 = r ,cte ) ( =N n nuSi0 > r , N n nu ) (est strictement croissante et tend vers + . Si0 < r , N n nu ) (est strictement dcroissante et tend vers B) Suite gomtrique Soit N n nu ) (une suite gomtrique de raisonR q . Alors : nnq u u n0, = N= += +=1 si 1)u (n1 si1,01 00qqqu uu nn nkkNSi0 = q , N n nu ) (est nulle partir du rang 1. Si1 = q , N n nu ) (est constante. Pour{ } 1 , 0 \ R q , tude de la suite gomtrique de terme gnral nnq u =( 10 = u) -Si1 > q , N n nu ) (est strictement croissante -Si1 0 < < q , N n nu ) (est strictement dcroissante -Si0 < q , N n nu ) (nest pas monotone. Dmonstration : Pour les deux premiers : _ 1 0 si 01 si 001) 1 ( ,< < >>+ = qqnn nq q u u n NPour le troisime : _ constantsignealternsigne1) 1 ( , = +q q u u nnn nNA.BENHARI 29 Pour les limites : -Si1 > q , N n nu ) (tend vers +-Si1 1 < < q , N n nu ) (tend vers 0. -Si1 q , pas de limite. Eneffet :pour1 > q ,) 1 ( 1 ... ) 1 ( 1 )) 1 ( 1 ( + + + = + = q n q n q qn net ) 1 ( 1 + q ntend vers + , donc nqtend vers + .Pour1 < qet0 q ,+ |||

\|=nnq u1 1. Donc0 ) ( nu , soit0 ) ( nu . VII Comparaison de suites A) Suite ngligeable devant une autre Dfinition : N n nu ) (est ngligeable devant N n nv ) (quand n tend vers +lorsquil existe une suitequi tend vers 0 telle que n n nv u = partir dun certain rang. On note alorsv u tel queV l B ) , ( . Comme N n nu ) (converge vers l, il existeN Ntel que N n , < l un, c'est--dire tel queV l B u N nn ) , ( , Do limplication puisque ce rsultat est valable pour tout) (l V V . : supposons queV u N n N l V Vn , , ), ( NA.BENHARI 53 Soit0 > .Alors) ( ) , ( l V l B .IlexistedoncN N telque) , ( , l B u N nn , c'est--dire tel que < l u N nn, . Do lautre implication. Proposition : Dfinition de ladhrence avec les suites : SoitK A , etK a . On a les quivalences : ) ( Adh A aK il existe une suite dlments de A qui converge vers a. Dmonstration : : Soit) ( Adh A aK . Pour tout* N n , A a Bn) , (1. On peut donc choisirA a B un n ) , (1. Alors *) (N n nuest une suite dlments de A, et : na u nn1*, < N . Donc daprs le thorme des gendarmes *) (N n nutend vers a. SoitK a . Supposons quil existe NNA un n) (qui converge vers a. Soit0 > . Il existe alorsN Ntel que) , ( , a B u N nn . CommeA uN , on a ) , ( a B A . Comme le rsultat est valable pour tout0 > , on a bien) ( Adh A aK . VI Partie dense dans une autre SoientK B A, , avecB A . On dit que A est dense dans B lorsque) ( Adh A BKOu encore lorsque > ) ( Adh ) , ( , 0 , A b B B bK Ou quand tout point de B est limite dune suite dlments de A. Par exemple, Q est dense dans R. VII Complments (dans R) Dfinition : Unvoisinagede + ,cestunepartiedeRquicontientunintervalledutype] [ + , c , avecR c . De mme, un voisinage de est une partie de R qui contient un intervalle du type] [ c , . Dfinition : SoitR Aon dit que +est adhrent A lorsque tout voisinage de +rencontre A, c'est--direlorsque + A V V V ), ( ,cequirevientdireque ] [ + A c c , , R , o encore que A nest pas majore. On dfinit de mme pour . On note) ( Adh AR lensemble des points deRadhrents A. Exemple : ] [ ] [ + = ; 5 5 ; 0 AA.BENHARI 54 { } 5 ; 0 ) ( Adh = A AR { } + = ; 5 ; 0 ) ( Adh A AR Remarques : SoitR l , NNR n nu ) ( . Alors N n nu ) (tend vers lV u N n N l V Vn , , ), ( N) (+ Vest stable par extension et par intersection finie. De mme pour . I Fonctions valeurs relles Soit A un ensemble non vide.) , ( R A Fdsigne lensemble des applications de A dans R. A) Somme, produit, produit par un rel Pour) , ( , R A g f F etR , on dfinit : ) ( ) (:x g x f xA g f+ +R) ( ) (:x g x f xA fgR ) (:x f xA fR Si de plus g ne sannule pas sur A, on pourra naturellement dfinir g1 et gf. B) Autres dfinitions Pour) , ( , R A g f F , on dfinit : )) ( ), ( sup(: ) , sup(x g x f xA g fR )) ( ), ( inf(: ) , inf(x g x f xA g fR Remarque : ces fonctions peuvent aussi bien tre notes) , max( g fou) , min( g f . Pour) , ( R A f F , on dfinit aussi : ) 0 ), ( sup(:x f xA fR + ) 0 ), ( sup(:x f xA fR) (:x f xA fR Proposition : ++ = f f fet + = f f fDmonstration : SoitA x . Si0 ) ( x f , alors) ( ) 0 ), ( sup( ) ( x f x f x f = =+ et0 ) 0 ), ( sup( ) ( = =x f x f . Donc) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) )( ( x f x f x f x f x f f = = = + + Et) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) )( ( x f x f x f x f x f x f x f f = = = + = + = + + + Si0 ) ( x f , alors0 ) 0 ), ( sup( ) ( = =+x f x fet) ( ) 0 ), ( sup( ) ( x f x f x f = =. Chapitre 5 : Dfinitions relatives aux fonctions valeurs relles A.BENHARI 55 Donc) ( )) ( ( 0 ) ( ) ( ) )( ( x f x f x f x f x f f = = = + + Et) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) )( ( x f x f x f x f x f x f x f f = = = = + = + + + DoncA x ,) )( ( ) ( x f f x f ++ =et) )( ( ) ( x f f x f + =Soit ++ = f f fet + = f f f . C) Ingalits sur les fonctions Pour) , ( , R A g f F , on pose : )) ( ) ( ( ,dfx g x f A x g f La relation dfinie ainsi sur) , ( R A Fest une relation dordre partiel. La notationg f + = , : NSin x n an < = , : NAinsi, dans les trois cas,a xn nN) (W x nn , NDonc N n nx f )) ( (ne tend pas vers l. On a donc trouv une suite NND xn n) (qui tendversaettelleque N n nx f )) ( ( netendepasversl,doladmonstrationdela contrapose. III Limite selon une partie A) Gnralits SoitR D f : , soit) ( Adh D aR ,R l . Soit X une partie non vide de D. Si) ( Adh X aR , et si Xf/ tend vers l en a, on dit que) (x ftend vers l quand x tend vers a selon X, et on note :l x fX xa x ) ( . Proposition : Sil fa , alorsl faX / (si) ( Adh X aR ) Dmonstration : Supposons quel fa .Soit) (l V W . Il existe donc) (a V U tel queW D U f ) ( . CommeD X , on a bien alorsW D U f X U f ) ( ) ( , soitW X U fX ) (/, do le rsultat. B) Cas particulier LorsqueV U X =: SoientR D f : ,) ( Adh D aR ,) (a V V ,R l . A.BENHARI 72 Alors) ( Adh V D a R, et :l f l faD Va . On dit que la notion de limite est locale. Dmonstration : : vu en A). : supposons quel faD V. Soit) (l V W . Il existe) (a V U tel queW D V U f )) ( ( . Si on prendU V U = ' , alors) ( ' a V U etW D U f ) ' ( . C) Autre cas particulier SoientR D f : ,) ( Adh D aR(Attention ! ici,R a ) Si a est adhrent ] [ + , a D , et si ] [ + , / a Dfa une limite l en a, on dit que f a une limite droite en a, note) ( lim x fa xa x>, oufa+lim . On adapte pour la limite gauche. SiD a , et a est adhrent ] [ + , a Det ] [ a D , , alors f a une limite en a si et seulement si f a une limita droite et gauche en a, gales toutes les deux ) (a f . SiD a , mais est adhrent ] [ + , a Det ] [ a D , , f a une limite en a si et seulement si f a une limite droite et gauche en a et si elles sont gales. Remarque : Si] [ + = , a D , la notion defa+limetfalimse confond. Si[ [ + = , a D , f a une limite en a si et seulement si f a une limite droite gale ) (a f . On fait de mme pour a , ] . Dfinition : SoitR D f : , soitD a . Alors f est continue droite en a[ [ + , / a Dfest continue en a. f a une limite droite en a gale ) (a f . De mme gauche. D) Autre cas particulier utile SoitR D f : , soitD a adhrent { } a D\(c'est--dire que tout voisinage de a contient au moins un point autre que a, soit que a nest pas un point isol). Si {} a Df\ / a une limite en a, on la note) ( lim x fa xa x. A.BENHARI 73 ) (a f Sur le dessin : ) ( ) ( lim a f l x fa xa x = Mais) ( lim x fa x nexiste pas. Proposition : Si a est adhrent { } a D\ , alors : f a une limite en a) ( lim x fa xa x existe et vaut) (a f . E) Prolongement par continuit en un point Dfinition : SoitR D f : . On suppose que a est adhrent D (dans R), mais queD a . Soit{ } R a D g : .Onditquegestunprolongementparcontinuitdefena lorsque : -) ( ) ( , x f x g D x = - g est continue en a. Proposition : f admet un prolongement par continuit en a si et seulement si f admet une limite finie en a. Dans ce cas, lunique prolongement par continuit de f en a est la fonction : { }= a x x fD x x fxa D gsi ) ( limsi ) (:a xR IV Limites et ingalits Proposition : SoientR D f : ,) ( Adh D aR . Si f a une limite finie en a, alors f est borne au voisinage de a. Si f tend vers +en a, alors f est non(majore au voisinage de a). Si f tend vers en a, alors f est non(minore au voisinage de a). (Rappel :falapropritPauvoisinagedeasilexisteunvoisinageUdeatelque D Uf / ait la proprit P) A.BENHARI 74 En effet : Sifalimexiste, vautR lalors, selon la dfinition de limite, il existe) (a V U tel que] [ 1 , 1 ) ( , + l l x f U D x . Donc f est borne surU D . Si + af . Montrons que U Df a V U /), (nest pas majore. Soit) (a V U . Supposons quil existeR Mtel queM x f U D x ) ( , . Mais, selon la dfinition de limite, il existe) (a V V tel queM x f U V x > ) ( , , cequiestcontradictoire,puisqueV U D nestpasvide(caraestadhrentD, donc tout voisinage de a rencontre D, et de plus U et V sont des voisinages de a) Adapter si af . Proposition : SoientR D f : ,) ( Adh D aR . Si f tend vers{ } + +*R len a, alors0 > fau voisinage de a. Si f tend vers{ } *R len a, alors0 < fau voisinage de a. Dmonstration : Dans le premier cas, et *+R lOn pose) , (2ll B W =(ainsi,0 , > x W x ).Il existe alors) (a V V tel queW D V f ) ( . DoncW x f D V x ) ( , , soit0 ) ( , > x f D V x . Si+ = l: il suffit de prendre[ [ + = ; 1 W , et on aura le mme rsultat. On fait de la mme faon dans le deuxime cas. Proposition :SoientR D f : ,R D g : . Soit) ( Adh D aR . Sig f et si f et g on des limites en a, alorsg fa alim lim . On peut se contenter dun voisinage de a pour la propritg f . Dmonstrations : Notonsf lalim =etg lalim ' = , supposons que' l l > . Cas oR ' , l l . Prenons *+R tel que 2'0l l < < Il existe alors) (a V U tel que] [ + l l x f D U x , ) ( ,Et) ( ' a V U tel que] [ + ' , ' ) ( , ' l l x g D U x . Alors D U U ' ,etpourD U U x ' ,) ( ' ) ( x f l l x g < < + < ,cequiest contradictoire. Autre dmonstration : Soit N n nu ) (une suite de points de D qui tend vers a.(Il en existe puisque) ( Adh D aR ). On a alors, pour toutN n ,) ( ) (n nu g u f . Mais, comme f a une limite en a, on sait quef u fannlim ) ( + , Et, comme g a une limite en a,g u gannlim ) ( + . A.BENHARI 75 Donc, selon le thorme de passage la limite pour les suites,g fa alim lim . Thorme des gendarmes : SoientR D h g f : , , , soit) ( Adh D aR . On suppose que) ( ) ( ) ( , x h x g x f D x . Si f et h admettent une mme limite l en a, alors g tend aussi vers l en a. Dmonstration : Soit NND un n) (qui tend vers a. Alors, selon le thorme de composition de limite,l u fn nN)) ( (etl u hn nN)) ( ( . Or,) ( ) ( ) ( ,n n nu h u g u f n N . Donc N n nu g )) ( (tend vers l en a, daprs le thorme des gendarmes pour les suites. Cest valable pour toute suite NND un n) (qui tend vers a, donc g tend vers l en a. V Limites et oprations sur les fonctions A) Cas des limites finies Proposition : SoientR D g f : , ,) ( Adh D aR ,R . Si RR' l gl faa, alors + +''l l g fl fl l g faaa Dmonstration : Soit NND un n) (qui tend vers a. Alorsl u fn nN)) ( ( ,l u gn nN)) ( ( .Doncparthormedecompositiondelimitespourlessuites, ' )) ( ) ( ( l l u g u fn n n+ +N, c'est--dire' )) )( (( l l u g fn n+ +N. Ce rsultat est valable pour toute suite qui tend vers a. Donc' l l g fa+ + . On procde de mme avecg f f , . Proposition : SoitR D f : ,) ( Adh D aR . SiR l fa, alorsl fa , et, si0 l , f1 est dfinie au voisinage de a et l fa1 1Dmonstration : Utiliser les suites comme prcdemment (pour dire que f1 est dfini au voisinage de a lorsque0 l , il suffit dutiliser la deuxime proposition vue en IV) Remarque : SoitR D f : ,) ( Adh D aR . SoitR l . On a les quivalences : A.BENHARI 76 0 0a a al f l f l f Dmonstration : < > = = _ 0 ) (0 ) () ( , ), ( , 0l x fl x fal x f U D x a V U l fEn particulier,0 0a af f Proposition : SoientR D g f : , ,) ( Adh D aR . Si0af , et si g est borne au voisinage de a, alors0afg B) Cas o certaines limites sont infinies SoientR D g f : , ,) ( Adh D aR . Si + af , alors, pour toutR : < => +0 si0 si 00 si fa Si + af , et si g est minore, alors + +ag fSi + af , et si g est minore par0 > , alors + afgSi + af , alors f1 est dfinie au voisinage de a et01af Si0af , et si0 > fau voisinage de a (c'est--dire +0af ), alors + af1. C) Les indterminations Cesontlescasolecoursnepermetpasdeconclure,carilyadiffrentes possibilits. >> + > > > > x fEt0 ) ( x g) )) ( ln( ) ( exp( ) ( ) (0) ( _ = = x f x g x f x Fx g D) Limites et fonctions usuelles Onavuque1 x etx x sontcontinuesentoutpointdeR.Donctoute fonctionpolynomialeestcontinuesurR.Ilenestdemmedesfractions rationnelles (sur leur domaine de dfinition). La fonctioncosest continue sur R. En effet, ||

\| ||

\| + = 2'sin2'sin 2 ' cos cos , ' ,x x x xx x x x RDonc'2'sin2'sin 2 ' cos cos , ' ,2' 1x xx x x xx x x xx x ||

\| ||

\| + _ _ RDonccosest 1-lipschitzienne sur R, donc continue. MontronsquesiunefonctionR D f : estlipschitzienne,alorsfestcontinue sur D.Soit +R ktel que' ) ' ( ) ( , ' , x x k x f x f D x x . SoitD a . Alors _ aa x k a f x f D xen0) ( ) ( , Donc) ( ) ( a f x fa x . Donc f est continue en a, donc en tout point de D. ) cos( ) sin( ,2x x x = RDonc, par composition, la fonctionsinest continue. ) cos() sin() tan( ,xxx x = R .Donc la fonctiontanest continue sur son domaine de dfinition. ln exp, sont continues sur leur domaine de dfinition. SoitR .La fonction x x est dfinie et continue sur *+R .De plus, si0 > , la fonction est prolongeable par continuit en 0 par 0. nx x , o* N nsont dfinies et continues sur +RLes fonctions nx x pourN Z \ nsont dfinies et continues sur* R . E) Remarque technique : le retour 0 A.BENHARI 78 Pour la limite : SoitR D f : ,) ( Adh D aR . SoitR l . 0a al f l f Pour la variable : SoitR D f : ,) ( Adh D aR . SoitR l . l u a f l x fu a x + 0) ( ) ( Dmonstration : : supposons quel x fa x ) ( . Alorsa u au +0 , etl x fa x ) ( . Donc, par composition,l u a fu +0) ( : supposons quel u a fu +0) (. Alors0 a xa x etl u a fu +0) (. Donc, par composition,l a x a fa x +)) ( ( , soitl x fa x ) ( . Exemple : Etude de lventuelle limite en 3 de ) 3 sin( ) sin(3) (4 4=xxx fDomaine de dfinition :{ } { } ( ) D k k k k = + + Z Z R , 2 3 , 2 3 \ Donc) ( Adh 3 DR Pour0 uet suffisamment proche de 0, on a : 2304 3 2 2 3 4 4) 3 cos( 23 4~2sin26cos 23 4 3 6 3 4) 3 sin( ) 3 sin(3 ) 3 () 3 (uuuu uu u u uuuu f||

\|||

\| ++ + + = + += + Donc ) 3 cos(3 4~ ) 3 (30+ uu f , do la limite en 3 VI Le thorme de la limite monotone pour les fonctions Thorme : SoientR b a, , avecb a . l nemajorepasf.Ilexistedonc] [ b a x ,0 telque > l x f ) (0. Comme f est croissante, on a :[ [ l x f l b x x < ) ( , ,0 . Or,[ [ b x ,0 est lintersection dun voisinage de b et de] [ b a, .Il existe donc) (b V U tel que] [ + l l x f U D x , ) ( , , do la limite. -Si f nest pas majore : Montrons que + bfSoitR A . A ne majore pas f. il existe donc] [ b a x ,0 tel queA x f > ) (0 Comme f est croissante, on a :[ [ A x f x f b x x > ) ( ) ( , ,0 0. Or,[ [ b x ,0 est lintersection dun voisinage de b et de] [ b a, . Il existe donc) (b V U tel queA x f U D x > ) ( ,Pour ltude en a :On peut refaire la dmonstration, ou considrer] [) (, :x f xa b g R , qui est croissante Cas o f est dcroissante :Dmonstration analogue, ou considrer la fonction] [) (, :x f xb a gR , qui est croissante. Thorme : SoitIunintervalleinfini(c'est--direnivideniunsingleton)deR,soitR I f : , monotone.Alors,entoutpoint

I x 0,fadmetunelimitefiniedroiteetunelimitefinie gauche, avec de plus : ) ( lim ) ( ) ( lim0 00x f x f x fx x x x+ si f est croissante, ) ( lim ) ( ) ( lim0 00x f x f x fx x x x + si f est dcroissante. De plus, si a et b dsignent les extrmits (dansR ) de I avecb a < , alors : SiI b , f a une limite finie gauche en b et ) ( ) ( lim b f x fb x si f est croissante, ) ( ) ( lim b f x fb x si f est dcroissante. SiI b , f a une limite ( gauche) en b dansR . De mme en a ( droite) Dmonstration : Soit

I x 0. On peut trouverI x x 2 1,tels que 2 0 1x x x < > x f x f x x D x D x B) Opration sur les fonctions continues 1) Restriction Dfinition, proposition : SoitR D f : , soitD D 'non vide. On dit que f est continue sur' Dlorsque ' / Dfest continue. Si f est continue sur D, alors elle est continue sur' D . En effet : (1) f est continue (sur D)) ) ( ) ( ( , , 0 , 0 ,0 0 0 < < > > x f x f x x D x D x(2) f est continue en tout point de' D) ) ( ) ( ( , , 0 , 0 , '0 0 0 < < > > x f x f x x D x D x(3) f est continue sur' DChapitre 8 : Fonctions continues A.BENHARI 81 ) ) ( ) ( ( , ' , 0 , 0 , '0 0 0 < < > > x f x f x x D x D xIlestalorsvidentlogiquementque) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( maisqueles rciproques sont fausses en gnral. Sur lexemple : -f nest pas continue sur le segment] 2 ; 0 [-f nest pas continue en tout point de] 1 ; 0 [(puisquelle ne lest pas en 1) - [ ] 1 ; 0 /fest continue : f est continue sur] 1 ; 0 [Remarque : f continue sur A et f continue sur B/f est continue surB A Pourvitertouteambigutdelangage,nepasdirefestcontinuesur] 1 ; 0 [ , mais plutt [ ] 1 ; 0 /fest continue. Remarque : Sifestcontinuesur] , [ b a etsur] , [ c b ( c b a < < ),alorsfestcontinuesur ] , [ c a(si f est dfinie seulement sur] , [ c a ). En effet : Si[ [ b a x ,0 , alors f est continue en 0x , car] , [ b aest un voisinage de 0xinterceptparledomainededfinition,etfrestreintecevoisinagede 0xtend vers) (0x fen 0x . Donc f tend vers) (0x fen 0x . En b : f est continue droite et gauche, donc f est continue en b. Pour] ] c b x ,0 , on fait la mme chose que le premier point. 2) Sommes, produits Thorme : -La somme de deux fonctions continues est continue. -Le produit dune fonction continue par un rel est continu. -Le produit de deux fonctions continues est continu. -Linverse, lorsquil est dfini, dune fonction continue est continu. Dmonstration (pour le quatrime) : SoitR D f : , continue. On suppose que f1 est dfinie (c'est--dire que f ne sannule pas). SoitD x 0. Alors) ( ) (00x f x fx x . Comme0 ) (0 x f , on a bien ) (1) (100x f x fx x . Ceci est vrai pour toutD x 0, do la continuit de f1 sur D. On fait la mme chose pour les autres parties du thorme. 3) Composition A.BENHARI 82 Thorme : Lacompose,quandelleestdfinie,dedeuxfonctionscontinuesestune fonction continue. Dmonstration : SoientR D f : ,R E g : , continues. On suppose queE D f ) ( , ainsif g est dfinie sur D. SoitD x 0.Alors) ( ) (00x f x fx x ,et)) ( ( ) (0 ) (0x f g u gx f u ,car E x f ) (0 et g est continue en) (0x f . Donc)) ( ( )) ( (00x f g x f gx x . 4) Autres Si f est continue sur D, alorsfest continue sur D. De plus, +fet fsont continues sur D. Dmonstration : Pourf: Cest la compose de fonctions continues. Pour +f:) ) ( ) ( ( ) 0 ), ( max( ) ( ,21x f x f x f x f D x + = = +, donc +fest la somme,produitparunreletcompositiondefonctionscontinues,doncest continue. Pour f:) ) ( ) ( ( ) 0 ), ( max( ) ( ,21x f x f x f x f D x + = = ,idemque pour +f . C) Fonctions usuelles Lesfonctionspolynomiales,rationnelles,dutype x x ,cosinus,sinus, tangente, exponentielle, logarithme, valeurs absolues sont continues sur leur domaine de dfinition. (vu chapitre prcdent) D) Notation Soit I un intervalle. Lensemble des fonctions continues sur I valeurs dans R est not) , (0R I C . Un lment de) , (0R I Cest dit de classe 0Csur I (lire C zro ). II Le thorme des valeurs intermdiaires (T.V.I.) Thorme 1 : SoitR ] , [ : b a f ,b a puisquefeststrictementcroissante).Ainsi,Iadmettraitun minimum (0x ), ce qui contredirait la dfinition de a. On fait la mme chose pour b. (3) 1 fest strictement croissante. En effet : SoientJ u u ' ,tels que' u u < .Alors) ' ( ) (1 1u f u f < ,carsinon) ' ( ) (1 1u f u f ,etcommefestcroissante, )) ' ( ( )) ( (1 1u f f u f f soit' u u ce qui est impossible. Montrons que 1 fest continue sur J. SoitJ u 0.Montronsque 1 f estcontinueen 0u ,c'est--direque) ( lim10u fu u existe et vaut 0 01) ( x u f =, soit queW u f J U u u V U x V W ) ( , ), ( ), (10 0. Soit) (0x V W . 1ercas : I x0.Donc) (0x V I W ,donccontientunsegment] , [2 1x x avec 2 0 1x x x < < . On pose) (1 1x f u =et) (2 2x f u = . On a alors : 2 0 1) ( u x f u < < , soit 2 0 1u u u < < . Ainsi,] , [2 1u uest un voisinage de 0u , contenu dans J carJ u u 2 1, . Alors, en posant] , [2 1u u U = , on a :W u f J U u ) ( ,1.Eneffet :] , [2 1u u U J U = = .Doncpourutelque 2 1u u u ,ona ) ( ) ( ) (21 111u f u f u f (car 1 fest croissante). DoncW x x u f ] , [ ) (2 11. Do la continuit, puisque le rsultat est valable en toutJ u 0. 2mecas :si 0x estuneextrmitdeI,parexemple) max(0I x = .AlorsI W contient un segment] , [0 1x xavec 0 1x x < . Posons) (1 1x f u = . Alors) (0 1x f u < , c'est--dire) (0 1u f u < . Par consquent,[ [ + = ,1u Uest un voisinage de 0u . AlorsW u f J U u ) ( ,1. En effet : A.BENHARI 87 PourJ U u ,ona 1u u ,donc) ( ) (11 1u f u f (car 1 f estcroissante)et 01) ( x u f carI u f ) (1 et) max(0I x = . DoncW x x u f ] , [ ) (2 11, donc 1 fest continue en 0u . On a la mme chose si 0xest un autre type dextrmit de I. Donc 1 fest continue sur J. La dmonstration du thorme 2 est analogue, ou alors : Partantdefcontinueetstrictementcroissante,appliquerlethorme1f continue et strictement croissante. Donc f ralise une bijection de I sur un intervalle J Donc f ralise une bijection de I sur J (c'est--dire{ } J y y , , do (1) puis (2). I J f :1 nest autre que lapplication ) ( ) (1x f xI J , do (3). En effet :PourJ x ,I y , on a les quivalences :) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1x f y x y f x y f x f y = = = = . On utilise gnralement ce thorme uniquement avec (1) et (2). Exemple de rdaction : Soit x x xfln 4*:+R R .Montrerquelquation0 ) ( = x f aexactementdeux solutions sur *+R . ) ( ' x f) (x f + 4 0 + +) 4 ( f 0 ) 4 ln 1 ( 4 ) 4 ( < = fcare > 4 . -f est continue et strictement dcroissante sur] ] 4 ; 0et+ = f0lim . Donc f ralise unebijectionde] ] 4 ; 0 sur] ] + ), 4 ( f .Comme0 ) 4 ( < f ,] ] + ), 4 ( 0 f ,donca un unique antcdent dans] ] 4 ; 0par f, c'est--dire quil existe un unique] ] 4 ; 0 xtel que0 ) ( = x f . -Demme,ftantcontinueetstrictementcroissantesur[ [ + , 4 ,ilexisteun unique[ [ + , 4 ' xtel que0 ) ' ( = x f . -Comme0 ) 4 ( f ,] [ 4 ; 0 xet] [ + , 4 ' x , soit' x x . -Donc lquation0 ) ( = x fadmet deux solutions. Variante :Onmontrelexistencedunevaleuraveclethormedesvaleursintermdiaires, puis lunicit avec la stricte monotonie. V Continuit uniforme A) Dfinition A.BENHARI 88 Soit D une partie de R.SoitR D f : . On dit que fest uniformment continue sur D lorsque) ) ' ( ) ( ' ( , ' , , 0 , 0 < < > > x f x f x x D x D x Proposition : SoitR D f : . Si f est uniformment continue sur D, alors f est continue sur D. Dmonstration : Rappel des dfinitions : (1) f est uniformment continue sur D) ) ' ( ) ( ' ( , ' , , 0 , 0 < < > > x f x f x x D x D x(2) f est continue sur D ) ) ' ( ) ( ' ( , ' , 0 , 0 , < < > > x f x f x x D x D xalors) 2 ( ) 1 ( est logiquement vident : Supposons (1) : Soient0 , > D xSelon (1), on peut trouver0 > tel que : ) ) ' ( ) ( ' ( , ' , < < u f u f u u D u u . En particulier, avecx u =(et en remplaant la variable muette' upar' x ) : ) ) ' ( ) ( ' ( , ' < < x f x f x x D xDonc) ) ' ( ) ( ' ( , ' , 0 , 0 , < < > > x f x f x x D x D x . La rciproque est fausse. Exemple : 2x x nest pas uniformment continue sur +R , mais elle est continue. Montrons alors quil existe0 > tel que : ) ) ' ( ) ( et ' ( , ' , , 0 < > +x f x f x x x x RPrenons1 = Soit0 > . Soit* N ntel que , posons k = .Alors si < ' x x , < ' x x k , c'est--dire < ' ) ' ( ) ( x x k x f x f . A.BENHARI 89 La rciproque est aussi fausse : x x nest pas lipschitzienne sur] 1 ; 0 [ , mais elle y est uniformment continue. B) Thorme de Heine Toute fonction continue sur un segment y est uniformment continue. Dmonstration : Soit] , [ b a K =un segment de R, avecb a < . SoitR K f : , continue. Montrons que) ) ' ( ) ( ' ( , ' , , 0 , 0 < < > > x f x f x x K x x . Supposonsquecestfaux,c'est--direquilexiste0 > telque ) ) ' ( ) ( et ' ( , ' , , 0