Analyse-EDPE. Grenier

Transcrit par Idriss Mazari

E.N.S Lyon, 2013-2014

Ces notes ont été rédigées par Idriss Mazari. Les erreurs qui s’y trouvent ne sont doncaucunement du fait de M. Grenier. (http://umpa.ens-lyon.fr/~egrenier/).

Table des matières

I Une première introduction 4

I Distributions et espaces de Sobolev 4I Introduction et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II Quelques rappels d’analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels topologiquesfinir

les propriétés/ topologie sur D(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.1 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Espaces de Fréchet et semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5IV Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV.1 Introduction et premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5IV.2 Dérivation de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

V Les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7V.1 Introduction et premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7V.2 Structure de H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8V.3 L’espace H1

0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9V.4 L’inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10V.5 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11V.6 La formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13V.7 Retour sur H1

0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14VI Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs/ Injections de Sobolev mettre les

résultats des TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14VI.1 H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14VI.2 H2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14VI.3 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

VII Wn,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

TABLE DES MATIÈRES L3

II Inversion du Laplacien 16I Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II Diverses formulations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.2 Formulation au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.4 Question de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

III Le problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IIIPropriétés qualitatives du Laplacien 21I Régularité des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II.1 Cas des solutions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Cadre Sobolevien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

IV Schémas numériques pour l’inversion du Laplacien 25I En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

I.1 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.2 Schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.3 Résolution du schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.4 Convergence du schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II Approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

V Équations de transport linéaire 30I Origine physique des équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

I.1 Le point de vue eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I.2 Point de vue Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II Présentation du cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.1 Le transport linéaire en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.2 Résolution : existence et unicité d’une solution . . . . . . . . . . . . . 31III.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV Solutions faibles de l’équation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32IV.1 Motivations de l’approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 32IV.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

V En dimension 1 à vitesse constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

VI Équations de transport non linéaire 35I Solutions Classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.2 Méthode des caractéristiques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.3 Étude autour du temps T ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.4 Une illustration : l’équation de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Solutions faibles pour le transport non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.1 Définition des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.2 Le problème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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RÉFÉRENCES L3

III Solutions entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III.1 Motivation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

VIISchémas numériques pour le transport linéaire 43I Schémas numériques décentrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Références

[Bre10] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equa-tions. Springer, (Dernière édition) 2010.

[FGN12] Francinou-Gianella-Nicolas. Oraux X-ENS, analyse IV. Cassini, 2012.[RT88] Raviart-Thomas. Introduction à l’Analyse Numérique des Équations aux Dérivées

Partielles. Masson, 1988.[Sik13] Jean-Claude Sikorav. Géométrie avancée. Polycopié disponible en ligne, 2013.[Vil03] Cedric Villani. Analyse II (Cours de deuxième année donné à l’ENS Lyon). Poly-

copié disponible en ligne, 2003.

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

Première partie

Une première introductionI. Distributions et espaces de Sobolev

On toruvera des démonstrations des résultats ici admis dans [RT88].

I-A. Introduction et motivation

Considérons l’équation ∂tu+ x∂xu = 0. On a vu dans le premier TD que, si u0 ∈ C1(R),alors, si on cherche les solutions dérivables de cette équation, elles sont toutes de la formeu : (x, t) 7→ u0(x− ct).Maintenant, on cherche des solutions peu régulières, pour traduire le fait que l’on puissenégliger certains effets d’échelle : considérons, dans le domaine de la mécanique des fluides,un avion qui passe le mur du son. Il est alors "entouré" par une onde de choc ; de partet d’autre de la frontière, l’air se trouve dans un état différent. Même si, à une échellemicroscopique, l’évolution des différentes caractéristiques (la température, par exemple) sefait de manière continue, la zone de transition est extrêmement petite, ce qui justifie qu’àune échelle macroscopique, on les décrive comme des fonctions discontinues. Cela permetégalement de négliger des effets microscopiques régularisant, tels que la conduction.Au niveau de l’étude des singularités ou des surfaces, il arrive que l’on veuille rechercher lessolutions les moins régulières possibles. Par exemple, avec la fonction de Heavyside, notéedans toute la section h : (x, t) 7→ h(x − ct) est bien définie, mais lui appliquer l’équation In’a aucun sens, la fonction h n’étant pas dérivable. Il faut donc alléger la notion de solutionet regarder "en moyenne" ce qu’il se passe : par exemple, si φ est une fonction régulière surle domaine considéré et si u est de classe C1, on peut réécrire l’équation 1 comme∫ ∫

u∂tφ+ cu∂xφ = 0

Donc toute l’information sur la régularité de la solution est passée sur φ, et, pour quel’équation précédente ait un sens, il suffit que u soit localement intégrable : on dit donc queu est solution faible de l’équation I si

∀φ ∈ C1c (R),

∫ ∫u∂tφ+ cu∂xφ = 0

Un calcul nous montre qu’une solution au sens "classique" est une solution au sens faible.La notion de fonction "test" (ici, φ) motive la généralisation de la notion de fonction :une "solution" opère en fait sur des fonctions extrêmement régulières : on va choisir desfonctions de classe C∞ à support compact (on pourrait choisir les fonctions analytiques,mais les structures deviennent beaucoup trop rigide). On note cet ensemble de fonctionsD(Rn).

I-B. Quelques rappels d’analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnelstopologiquesfinir les propriétés/ topologie sur D(R))

On donne isi un résumé des principales propriétés analysées dans [Vil03]

1. par IPP

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

I-B- 1. Espaces vectoriels topologiques

Définition : Espace Vectoriel Topologique. On appelle R-espace vectoriel topologique unespace topologique E muni d’une structure de R-espace vectoriel telle que (x, y) 7→ x+ y et(λ, x) 7→ λ · x soient continues pour la topologie sur E2 et sur E ×R, et que 0 soit fermé.

Ainsi, tout espace vectoriel normé est un espace vectoriel topologique. On distingue 4grandes familles d’espaces vectoriels topologiques• Les espaces vectoriels topologiques abstraits, sans structures supplémentaires. On peut

montrer que tout espace vectoriel topologique est séparé.• Les espaces vectoriels topologiques localement convexe (0 y admet une base de voisinages

convexes)• Les espaces de Fréchet , i.e les espaces vectoriels topologiques localement convexes munis

d’une métrique complète invariante par translation.• Les espaces de Banach : les espaces de Banach sont des espaces de Fréchet pour la distance

associée à leur norme.On doit souvent considérer des Fréchet qui sont des limites de Banach, tels que les espacesLploc(O) = ∩K compact de OL

p(K)

I-C. Espaces de Fréchet et semi-normes

Soit E un espace de fréchet ; il admet une base de voisinage dénombrable (en 0, doncen tout point). On peut montrer qu’E put être muni d’une métrique compatible avec satopologie.

I-D. Distributions

I-D- 1. Introduction et premières définitions

On va en fait introduire les distributions comme le dual (même si il n’y a pas de normesur l’espace considéré) de D(Rn). En effet, si E ⊂ F , on sait que toute forme linéaire sur Finduit une forme linéaire sur E. Donc plus l’espace est petit, plus son dual est grand. C’estpour cela que l’on a choisi D(Rn) comme un petit espace.

Définition : Distribution. Soit Ω un ouvert de Rn et T une application linéaire de D(Ω)dans R. On dit que T est une distribution sur Ω de Rn si pour tout K compact inclusdans Ω, ∃n ∈ N, ∃c ∈ R tels que ∀φ ∈ C∞

c (Ω) avec K contenant supp(φ)

| < T,φ > | ≤ c supαmulti−index,|α|≤n,x∈K

|∂αφ(x)|

On note D′(Ω) l’espace des distributions.

Ainsi, T agit sur φ de manière "continue" (on travaille en fait ici avec une semi-norme.)

Exemple 1. 1. Le dirac δa, a ∈ Ω, avec < δa, φ >= φ(a) est une distribution.2. Si ψ est une fonction continue à support compact inclus dans Ω, on note Tψ : φ 7→∫

Ωφψ et il s’agit d’une distribution.

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

3. Si u ∈ L1loc(Ω), on note Tu : φ 7→

∫Ωuφ. C’est une distribution d’ordre 0, comme pour

tout K compact de Ω, pour toute fonction φ à support compact inclus dans Ω de classeC∞,

| < Tu, φ > | ≤ ||u||L1(K) · ||φ||∞

4. Dérivée du Dirac en a : on introduit δa : φ 7→ −φ′(a) (ici, on a pris Ω ⊂ Rn). Il s’agitbien d’une distribution car | < δ′a, φ > | ≤ sup

x∈K|φ′(x)| (distribution d’ordre 1). On

définit la dérivée n-ième du Dirac en a par δ(n)a : φ 7→ (−1)nφ(n)(a)

5. On peut considérer T =∑n nδn C’est une distribution d’ordre 0. Notons que la

somme converge toujours, comme on travaille sur un compact K. On peut encoredéfinir T :=

∑n nδ

(n)n

6. On peut définir la valeur principal vp( 1x ) ∈ D′(Ω) : φ 7→ limϵ→0

∫|x|>ϵ

φ(x)x dx.

Ainsi, les fonctions localement intégrables s’injectent dans l’ensemble des distributions ;celles-ci sont en quelque sorte une généralisation de la notion de fonction. De même, parCauchy-Schwarz, les fonctions L2 s’injectent.Justifions proprement qu’il sagit d’une injec-tion : Soit en effet f ∈ L2(Ω) telle que pour tout ϕ ∈ D(Ω),

∫Ωϕf = 0. Par densité de D(Ω)

dans L2(Ω), on en déduit que pour tout ϕ ∈ L2(Ω),∫Ωϕf = 0 et donc f = 0.

Un semblant de topologie sur les distributions On définit la notion de convergencedans l’espace des distributions sur un ouvert Ω comme suit : on dit que la suite de distribu-tions (Tn)n∈N converge au sens des distributions vers T si

∀φ,< Tn, φ > →n→∞

< T,φ >

I-D- 2. Dérivation de distributions

L’objet en jeu est tellement libre de contraintes que, sous certaines hypothèses relative-ment faibles, on peut dériver (en un sens particulier que l’on précisera) des fonctions qui, apriori, n’ont aucune chance d’être dérivables au sens classique.

Définition : Dérivation. Soit T ∈ D′(Ω). On définit ∂iT : φ 7→ − < T, ∂iφ >, et ∂iTest une distribution.

Définition : Dérivée α-ième. Soit T une distribution et α ∈ Np. On définit

∂αT : φ 7→ (−1)α < T, ∂αφ >

et c’est encore une distribution. Une distribution est donc infiniment dérivable.

Exemple 2. 1. T ′h(φ) = −

∫∞0φ′ =< δ0, φ >, h désignant la fonciton de Heavyside.

2. Si on considère x0 < · · · < xp et ψ une fonction dont la restriction à tous les intervalles]xi;xi+1[ est de classe C1 (on note ψi cette restriction, en notant ψ− (resp. ψ+) la

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

fonction sur ]−∞, x0[ (resp. ]xp;∞[)). Alors

< T ′ψ, φ > = −[

∫ x0

−∞ψφ′ +

p∑i=0

∫ xi+1

xi

ψφ′ +

∫ +∞

xp

ψφ′] (1)

= −∫ x0

−∞ψ′φ− φ(x0)ψ(x0)− . . . (2)

⇒T ′ψ = Tθ +

p∑i=0

δxi(ψ(x+i )− ψ(xi)

−) (3)

où θ désigne la fonction dérivé de ψ aux endroits où elle est dérivable ( entre lesdifférents xi). On appelle cette formule formule des sauts.

Remarquons que la notion est cohérente avec la notion déjà connue de dérivabilité : siψ est une fonction dérivable, alors T ′

ψ = Tψ′ . De plus, si u0 est une fonction localementintégrable, alors la distribution Tu : (x, t) 7→ u0(x− ct) vérifie l’équation ∂tT + c∂xT = 0, ausens des distributions.

I-E. Les espaces de Sobolev

I-E- 1. Introduction et premières définitions

Soit u ∈ L2(Ω). On peut alors lui associer la distribution Tu (u est localement intégrablepar Cauchy-Schwarz). On put donc parler de ses dérivées ∂iTu. On dit que u est dans l’espaceH1(Ω) si pour tout i ∈ Nn il existe vi ∈ L2 tel que ∂iTu = Tvi .

Définition : Espaces de Sobolev . On dit que u ∈ H1(Ω) si u ∈ L2(Ω) et si ∀i ∈ Nn,∃vi ∈L2(Ω) tel que ∂iTu = Tvi .

On notera par la suite vi = ∂iu. Par ailleurs, on munit H1(Ω) d’un produit scalaire (·, ·)défini par

(u, v) :=

∫Ω

uv +

n∑i=1

∫Ω

∂iu∂iv

On pourra se référer à [Bre10] pour une autre présentation de ces espaces. On remarqueque si u ∈ H1(Ω), pour toute fonction φ ∈ D(Rn), | < ∂iTu, φ > | ≤ ||vi||L2 · ||φ||L2 parl’inégalité de Hölder.

Remarque. On a l’inclusion stricte H1(Ω) ⊊ L2(Ω). En effet, considérons la fonction u :=1[a;b]. Alors u ∈ L2(R). Mais u′ = δa − δb, et δa n’est pas une fonction de classe L2 (onpeut considérer la fonction de Heavyside par exemple). En effet, si on suppose qu’il existeune fonction v ∈ L2(R) telle que pour toute fonction φ ∈ D(Rn), < δa, φ >=

∫R vφ, alors

∀a ∈ R, |φϵ(a)| ≤ c · ||φϵ||L2 où l’on définit φ0 une fonction C∞ positive à support compact,valant 1 en 0. On pose ensuite, pour ϵ > 0 la fonction φϵ : x 7→ φ0(

xϵ ). Alors, par convergence

dominée, ||φϵ||2 →ϵ→0

0 et donc φϵ(0) → 0, ce qui est absurde.

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I-E- 2. Structure de H1(Ω)

Théorème. H1(Ω) est un espace de Hilbert.

Complétude Attention, on a donc un emboîtement d’espaces de Hilbert :H1(Ω) ⊂ L2(Ω),mais ce ne sont pas des espaces de Hilbert pour la même norme.

Démonstration du théorème. Soit (vn)n∈N une suite de Cauchy de H1(Ω), c’est doncune suite de Cauchy dans L2, de même que les suites ∂ivn. Donc ∃v ∈ L2(Ω) telle que

vnL2

→ v et ∃vi tels que ∂ivnL2

→ vi. Il nous reste donc à montrer que ∂iv = vi au sens desdistributions.Mais ∀φ ∈ D(Ω), < ∂ivn, φ >→< vi, φ > et < ∂ivn, φ >= − < −Tvn , φ >→ − <v, ∂iφ >=< ∂iv, φ > et la preuve est achevée.

Séparabilité On s’intéresse un peu plus en détails à la topologie de ces espaces :

Théorème. H1(Ω) est séparable.

Démonstration du théorème. Un produit cartésien d’espaces séparables est séparable,et, si F est un sous-espace vectoriel fermé de E séparable, F lui-même est séparable. Ori : H1(Ω) → L2(Ω)n+1, i : v 7→ (v, ∂1v, . . . , ∂nv) et donc i(H1(Ω)) est fermé et est ainsiséparable.

Théorème. D(Rn) est dense dans H1(Rn)

Démonstration du théorème. i) TroncatureOn introduit une fonction M ∈ D(Rn) définie par M(x) = 1, |x| ≤ 1

0 < M(x) < 1, 1 < |x| < 2M(x) = 0, |x| ≥ 2

puis, pour tout réel R > 0,MRx 7→ M( xR ).Alors, si v ∈ H1(Rn),MR · v −→R→∞

v dans

H1(Rn) : en effet, d’une part,∫Rn

|MR · v − v|2 ≤∫|x|≥R

|v|2 →R→∞

0

et, d’autre part,

∀i ∈ Nn, < ∂iTMRv, φ > = −∫Rn

v[∂i(MRφ)− ∂i(MR) · φ]

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

On obtient, au sens des distributions,

∂i(MRv) =MR∂iv + v∂iMR → ∂iv

d’où la convergence en norme L2.ii) Régularisation

Ici, v désigne une fonction de H1 à support compact. On considère ρ une fonction C∞ àsupport compact, positive, d’intégrale 1, telle que pour tout x de module |x| > 1, ρ(x) =0. On pose ensuite ρϵ := 1

ϵn ρ(xϵ ), qui est ici une suite régularisante. Supp(ρϵ) ⊂ B(0, ϵ).

On pose alors vϵ := ρϵ ∗ v. Par le cours d’intégration I, on sait que vϵ tends vers v dansL2, et que ∂ivϵ tend vers ∂iv dans L2, et donc vϵ tend vers v dans H1(Ω), et vϵ est unefonction C∞ à support compact, d’où le résultat annoncé.

Remarque. On ne peut pas, de manière générale, multiplier deux distributions entre ellesau sens où l’on ne peut pas construire de multiplication "continue". Par exemple, si l’onconsidère a ∈ R∗

+ et h la fonction d’Heavyside, alors δ−ah est la distribution nulle, tandisque δah correspond à δa.

I-E- 3. L’espace H10 (Ω)

On s’intéresse ici aux fonctions de H1(Ω) qui s’annulent sur le "bord" de Ω. On étudieces fonctions pour avoir des informations sur les solutions de certains problèmes physiques,comme, par exemple, l’équation de la chaleur, qui demande la résolution du sysème suivant :

∂tu−∆u = fu|∂Ω = T 0

qui correspond à l’étude de l’évolution de la température dans un domaine dont les paroissont thermostatées, ou encore

∆u = fu|∂Ω = 0

qui décrit l’évolution d’une membrane élastique dont les parois sont fixées. De manièrecomplètement informelle, on peut poser

H10 (Ω) := v ∈ H1(Ω), v(∂Ω) = 0

On va tenter de formaliser cette notion de "trace" pour donner un sens à ce que l’onappelle "valeur au bord" de la fonction. Peut-on parler de fonctions f ∈ L2(Rn) nulles enx = 0 ? Non, car les fonctions L2 sont définies à un ensemble de mesure nulle près. Enrevanche, existe-t-il θ ∈ C0(L2(Rn),R) tel que ∀φ ∈ C0(R)∩L2(R), θ(φ) = φ(0) ? Ici encore,la réponse est, maheureusement, négative :(faire le dessin du pic qui vaut 1 en 0, et est affinesur [−δ, δ], du coup sa norme 2 tend vers 0, alors qu’elle est censée être constante à un si letruc est continu..)Sur L2, c’est donc impossible. Que se passe-t-il si l’on restreint l’espace, i.e si l’on ne considèreque les fonctions de H1(Ω) ? Considérons pour cela une fonction radiale, comme celle utiliséeci-dessus, en posant ψϵ(x) := φ(xϵ ). Ainsi, ψϵ →L2 0, mais pas nécessairement pour la norme

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de H10 (Ω). ∂iψϵ est non nulle sur B(0, ϵ) et d’ordre 1

ϵ sur cette même boule. De manièregrossière

||∂iψϵ||L2 ≤ cϵn−2

Donc, si n = 1, il n’y a pas de contradiction. Si n = 2, en faisant les calculs plus consciencieux-sement, on remarque qu’il n’y a pas de contradiction non plus. En revanche, un problèmeapparaît dès que n ≥ 3.

Théorème. i) En dimension 1, il existe θ0 une trace en 0, i.e ∃θ0 ∈ C0(H1(R),R)tel que ∀φ ∈ D(R) ∩H1(R), θ0(φ) = φ(0)

ii) En dimension n ≥ 2, il n’existe pas de telle trace en 0.

Remarque. En dimension n = 2, v ∈ H10 (Ω) si v s’annule sur ∂Ω, c’est-à-dire sur une

ligne.Pour n = 3, v devrait s’annuler sur une surface. Ainsi, la trace associée à un point neprésente guère d’intérêt. En revanche, celle associée sur une hypersurface est primordiale :(revoir : dans le cours, le theoreme parle d’un hyoperplan, pas d’une hypersurface)

Théorème : Existence d’une trace. Soit P un hyperplan de Rn. Alors il existe θp ∈C0(H1(Rn), L2(P )) tel que ∀φ ∈ D(Rn), θp(φ) = φ|P

Définition. H10 (Ω) est défini comme l’adhérence de D(Ω) dans H1(Ω).

On donne ici un résultat intuitif qui sera justifié plus bas.

Théorème. H10 (Ω) est le noyau de la trace associée à ∂Ω.

I-E- 4. L’inégalité de Poincaré

Théorème : Inégalité de Poincaré. Soit Ω un ouvert borné de Rn. Alors ∃CΩ > 0 uneconstante telle que ∀v ∈ H1

0 (Ω)

||v||2 ≤ CΩ ||∇v||2︸ ︷︷ ︸:=√∑

i ||∂iv||22

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

Démonstration du théorème. On travaille uniquement par densité, avec φϵ → v, φϵ ∈D(Ω), (la convergence ayant lieu dans H1(Ω) vérifier). On étend φϵ en φϵ définie commeφϵ sur Ω et comme la fonction nulle en dehors. On peut supposer que Ω est borné dans lan-ième direction, au sens où, en notant les vecteurs de Rn x = (x′, xn), x

′ ∈ Rn−1, ∃a, b telsque Ω ⊆ x ∈ Rn, xn ∈ [a; b]. Alors

|ϕϵ(x′, xn)|2 = |∫ xn

a

∂nϕϵ(x′, y)dy|2

≤ (xn − a)

∫ xn

a

|∂nϕϵ(x′, y)|2dy

≤ (xn − a)

∫ b

a

|∂nϕϵ(x′, y)|2dy

⇒∫ b

a

|∂nϕϵ(x′, xn)|2dxn ≤ |b− a|2

2

∫ b

a

|∂nϕϵ(x′, y)|2dy

≤ |b− a|2

2||ϕϵ||2L2

D’où l’inégalité annoncée. On remarque d’ailleurs qu’il suffit que l’ouvert soit borné dansune unique direction...

Remarque. — Si Ω n’est pas borné, 1 /∈ H10 (Ω) (d’ailleurs, cela reste vrai même si Ω

n’est borné que dans une seule direction), comme on le voit en appliquant l’inégalitéde Poincaré.

— On peut définir ||u||2H10 (Ω) :=

∑i=1...n

∫Ω|∂iu|2. Cette norme découle du produit

scalaire(u, v) :=∫

i=1...nΩ

∂iu · ∂iv. Si Ω est borné, l’inégalité de Poincaré nous donne

l’équivalence des normes || · ||H1(Ω) et || · ||H10 (Ω), et H1

0 (Ω) est ainsi complet. (vérifiersi cela est le cas si l’ouvert n’est plus borné).

I-E- 5. Trace

Comme annoncé, on va faire le lien avec la trace.On dit que φ ∈ Cm(Ω) si il existe ψ une fonction de classe Cm sur un ouvert contenant Ωdont la restriction à Ω soit φ. On définit de manière analogue D(Ω).

Le demi-espace On considère ici l’ouvert Ω = Rn+ := (x1, . . . , xn), xn > 0. On définit

Γ := ∂Ω = Rn−1 × 0

Lemme. D(Rn+) est dense dans H1(Rn+).

Démonstration du lemme. On travaille, ici encore, par troncature et régularisation :i) Troncature Il s’agit de la même preuve que pour la densité de D(Rn) dans H1(Rn).ii) Régularisation On utilise encore le produit de convolution : On pose, pour v ∈ H1(Rn+),

vϵ := φϵ ∗ v où φ est une fonction de D(Rn+) (finir de travailler avec [RT88])

Ce lemme va nous permettre de définir la trace dans H1(Rn+).

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

Trace dans H1(Rn+) On définit θ une fonction de D(Rn) par θ(v) = vxn=0 ∈ C0c (Rn−1).

Alors

Lemme. ∀v ∈ D(Rn+)||θ(v)||L2(Rn−1) ≤ ||v||H1(Rn−1

+ )

Ainsi, la trace est continue.

Démonstration du lemme. Soit v ∈ D(Rn+), v = ψ|Rn+, ψ ∈ D(O), O ⊆ Rn+. On prolonge

ψ en ψ ∈ D(Rn) en la prolongeant par 0 en dehors de O. Alors

ψ2(x′, 0) = −∫ ∞

0

∂n(ψ2(x′, xn))dxn = −2

∫ ∞

0

ψ(x′, xn)∂nψ(x′, xn)dxn

On utilise alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité 2ab ≤ a2 + b2. On en déduit

|ψ(x′, 0)|2 ≤∫ ∞

0

|ψ2(x′, xn)|dxn +

∫ ∞

0

|∂nψ(x′, xn)|2dxn

d’où, en intégrant en les n− 1 variables restantes,

||θ(v)||2 ≤ ||v||H1(Rn+)

Ouverts réguliers L’application linéaire θ est donc continue ; on peut la prolonger àH1(Rn+) par densité (théorème de prolongement des applications linéaires) en une applicationlinéaire continue γ.On dit Ω est un ouvert à frontière régulière si sa frontière ∂Ω est une C1 variéte de dimensionn− 1, localement d’un seul côté de Ω.

Théorème. Soit Ω un ouvert de Rn à frontière régulière. Alors D(Ω) est dense dansH1(Ω), et γ0 : v 7→ γ0v := v|∂Ω définie sur D(Ω) se prolonge en une application linéairecontinue H1(Ω) dans L2(∂Ω).

Démonstration du théorème. On se ramène au cas que l’on sait traiter : celui du demi-espace ouvert. Pour cela, on utilise des outils de géométrie différentielle, et notammentla notion de partition de l’unité([Sik13],Chapitre IV). Soit (Oi)i∈NN

des ouverts tels que

Ω ⊂N∪i=1Oi. On distingue alors deux cas

1. Oi ne recontre pas ∂Ω Il existe alors φi un C∞-difféomorphisme de Oi dans B(0, 1)boule unité dans Rn. (Revient à se donner, localement, des coordonnées)

2. Oi rencontre ∂Ω Il existe φi un C∞-difféomorphisme de Oi ∩ Ω dans la demi-bouleB(0, 1) ∩ Rn+

On se donne une partition de l’unité, c’est-à-dire une famille (ψi)i∈NN de fonctions C∞c telle

que• (

∑i ψi)Ω = 1

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

• ∀i, supp(ψi) ⊂ Oi

Si u ∈ H1(Ω), on a alors u =∑i(ψ · u). Si Oi ⊂ Ω, la trace est nulle. Soit i, Oi ∩ ∂Ω = ∅.

Alors (ψ · u) φ−1i est définie sur B(0, 1) ∩ Rn+ et on peut en prendre la trace ; en effet,

(ψ · u) φ−1i ∈ H1(Rn+) (laissé en vérification : H1(Ω) est stable par composition par des

fonctions C∞). On regarde alors Tr((ψi · u) φ−1i ) φi ∈ L2(Ω) et l’on définit la trace de u

commeTr(u) :=

∑i,Oi∂Ω =∅

Tr((ψi · u) φi) φi

Reste encore à vérifier que cela ne dépend ni du découpage en ouverts ni de la partition del’unité choisie.

I-E- 6. La formule de Green

Théorème. Soient u et v deux fonctions de H1(Rn+). Alors , pour tout i = n,∫Rn

+

u∂iv = −∫Rn

+

v∂iu

et ∫Rn

+

u∂nv = −∫Rn

+

v∂nu−∫Rn−1

Tr(u)Tr(v)

Pour avoir des notations plus agréables, on notera désormais Tr(u) = γu.

Démonstration du théorème. On raisonne ici par densité : Soit (un)n∈N( resp.vn) ∈D(Rn+)N convergeant vers u(resp. vers v) en norme H1. On fait des intégrations par partiessur la variable xn. On utilise ensuite la convergence des dérivées partielles dans L2 et lacontinuite de γ.

Taper les exemples restants En utilisant des difféomorphismes à la manière de V.5,on en déduit

Théorème. Soit Ω un ouvert de frontière régulière. Alors, si u, v ∈ H1(Ω)

∀i ∈ Nn,∫Ω

u∂iv = −∫v∂iu+

∫∂Ω

γu(x)γv(x) ν(x) · eidσ

avec ν(x) la normale à ∂Ω en x.

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

I-E- 7. Retour sur H10 (Ω)

Théorème. Soit Ω un ouvert à bords réguliers. Alors

H10 (Ω) = ker(γ)

Démonstration du théorème. Taper les preuves

I-F. Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs/ Injections de Sobolev mettreles résultats des TD

La référence pour cette section est [Bre10]

I-F- 1. H1(Ω)

On suppose ici qu’Ω est un ouvert borné de Rn.

n=1 Soit Ω un ouvert borné de R. Alors

H1(Ω) → C 12 (Ω)

avec C 12 (]a; b[) := φ ∈ C0(]a; b[), ||φ||∞ + sup

(x,y)∈]a;b[

|φ(x)− φ(y)√x− y

|︸ ︷︷ ︸:=||φ||

C12

si la condition de finitude est vérifiée

< +∞ et, si Ω =

]a; b[, l’injection est continue : En effet, si u ∈ C∞(Ω), par inégalité de Cauchy-Schwarz

|u(y)− u(x)| ≤√|y − x|

√∫Ω

|u′|2

et on raisonne par densité.

n=2 Si Ω = B(0, 1), alors pour tout ∞ > p ≥ 2,H1(Ω) → Lp(Ω)

n=3

I-F- 2. H2(Ω)

On définit H2(Ω) comme

H2(Ω) := u ∈ L2(Ω), ∀(i, j) ∈ N2n, ∂iu ∈ L2(Ω), ∂2i,ju ∈ L2(Ω) = u ∈ H1(Ω),∇u ∈ H1(Ω)

C’est encore un espace de Hilbert séparable, et D(Rn) est dense dansH2(Rn) même remarque

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I DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEV L3

I-F- 3. Injections de Sobolev

• Si n = 1,H2(Ω) → C1, 12 (Ω) = u ∈ C1(Ω), u′ ∈ C1/2(Ω).• Si n = 2,H2(Ω) → C0(Ω)

• Si n = 3,H2(Ω) → C 12 (Ω)

• Si n = 4,H2(Ω) → Lp(Ω), p ∈ [1;∞[

• Si n ≥ 5,H2(Ω) → Lp(Ω), p ∈ [1; 2nn−4 ]

I-G. Wn,p(Ω)

Définition : Wn,p(Ω). Soit Ω un ouvert de Rn.

Wn,p(Ω) := u ∈ Lp(Ω),∀α, |α| ≤ n, ∂αu ∈ Lp(Ω)

Ce n’est pas un espace de Hilbert, mais il est néanmoins complet. Wn,2 est un espace deHilbert. (finir de taper les injections)

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II INVERSION DU LAPLACIEN L3

II. Inversion du LaplacienDans toute cette section, Ω désigne un ouvert borné de Rn à bords réguliers. De plus,

si u, v ∈ H1(Ω), on désignera par ∇u∇v le produit scalaire ∇u · ∇v.

II-A. Motivation

On s’intéresse dans ce chapitre aux problèmes suivants−∆u = fu|∂Ω = 0

(Problème de Dirichlet) (4)−∆u = f∂nu|∂Ω = 0

(Problème de Neumann) (5)−∆u = f(αu+ β∂nu)|∂Ω = 0

(Problème de Robin) (6)

Ces systèmes d’équations aux dérivées partielles servent à modéliser, comme expliqué plushaut, la comportement d’une membrane élastique déformé par une force f et fixée sur lesbords du domaine, ou encore à décrire la répartition de la chaleur dans un matériau enrégime stationnaire :• Si on travaille en régime stationnaire, ∂tu = 0

• Si les parois sont isolantes, i.e s’il n’y a pas de flux de chaleur, on se ramène au casq · n = 0⇒∂nu = 0, avec q = ∇u la flux de chaleur.

• Si les parois sont thermostatées : on est amené à considérer le système−∆u = fu|∂Ω = T

Soit alors T une fonction C2(Ω) dont la restriction à ∂Ω soit T , ce qui demande déjà uneforte régularité sur T . Alors

−∆(u− T ) = f

(u− T )|∂Ω = 0

II-B. Diverses formulations du problème

II-B- 1. Motivation

En première approche, on peut travailler avec u une fonction de classe C2,α et f unefonction de classe C0,α. On utiliserait alors le principe du maximum pour démontrer l’exis-tence et l’unicité d’une telle solution.On peut également choisir une deuxième approche, qui suppose f d’intégrabilité L2 et udans la classe H2(Ω) ∩H1

0 (Ω), ce qui permet d’en définir la trace.

Théorème. Si f ∈ L2(Ω), il existe une unique distribution u ∈ H2(Ω)∩H10 (Ω) solution

du problème de Dirichlet au sens des distributions.

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II INVERSION DU LAPLACIEN L3

Notre objectif est désormais de démontrer ce théorème. Dans toute la suite, f estL2.

II-B- 2. Formulation au sens des distributions

On oublie, pour commencer, la condition de nullité de la trace. En appliquant une fonctiontest φ à l’équation de Newmann, on obtient

∀φ ∈ D(Ω), < −∆u, φ >=< f,φ >

d’où, en intégrant,∀φ ∈ D(Ω), < u,−∆φ >=< f,φ >

et ces égalités ont un sens si u et f sont deux distributions. De plus, si f est une fonction deL1loc(Ω), de même que u, u est solution de l’équation aux dérivées partielles si et seulement

si∀φ ∈ D(Ω),−

∫Ω

u∆φ =

∫Ω

fφ

On parle de solution faible.

II-B- 3. Formulation variationnelle

Le problème, c’est que φ est une fonction C∞c , tandis que u est dans le dual de D(Ω).

Le but de la formulation variationnelle est de rétablir une symétrie entre u et φ. Mais, enutilisant la notion de dérivée d’une distribution, on voit que u est une solution de l’équationaux dérivées partielles si et seulement si

∀φ ∈ D(Ω), < ∇u,∇φ >=< f, φ >

ou encore, sous l’hypothèse que ∇u ∈ L1loc(Ω) et que fest une fonction

∀φ ∈ D(Ω),

∫Ω

∇u∇φ =

∫Ω

fφ

et la formulation est ici complètement symétrique. Pour pousser plus loin cette idée desymétrie, on cherche à déterminer une fonction telle que ∇u ∈ L2, ce qui revient à se donnerune fonction de H1(Ω).Considérons ensuite v ∈ H1

0 (Ω). Alors, par densité de D(Ω) dans H10 (Ω), on en déduit que

∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

∇u∇v =

∫Ω

fv

Ces considérations nous conduisent à la définition suivante :

Définition : Solution variationnelle. On dit que u est solution de−∆u = fu|∂Ω = 0

au sens variationnel si• u ∈ H1

0 (Ω)(ce qui garantit la nullité de γu)• ∀v ∈ H1

0 (Ω),∫Ω∇u∇v =

∫fv

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II INVERSION DU LAPLACIEN L3

Remarquons d’emblée qu’une solution forte est une solution au sens variationnelle parintégration par parties : en effet, si on prend une solution classique du problème de Dirichlet,u ∈ H1

0 (Ω) de manière immédiate car , pour toute fonction test φ,∫Ω

fφ =

∫Ω

−∆uφ =

∫Ω

∇u∇φ−∫∂Ω

∇u · n φ︸︷︷︸=0 sur ∂Ω

=

∫Ω

∇u∇φ

et on conlut par densité. De plus, une solution variationnelle est une solution faible.

II-B- 4. Question de minimisation

Le problème de Lax-Milgram On se donne H un espace de Hilbert, ici, H10 (Ω) muni

du produit scalaire

(u, v)H10 (Ω) =

∫Ω

∇u∇v

L : v 7→∫Ωfv est une forme linéaire continue sur H1

0 (Ω), car

||L(v)|| ≤ ||f ||2||v||2 ≤ ||f ||2||v||H10 (Ω)

Donc on aura une solution au sens variationnel si l’on réussit à trouver une fonction u ∈H1

0 (Ω) telle que∀v ∈ H1

0 (Ω), (u, v) = L(v)

et qu’une telle fonction est unique (l’existence et l’unicité proviennent du théorème de re-présentation de Riesz).

Dans un certain nombre de problèmes physiques, on cherche avant tout à minimiserune certaine quantité, comme par exemple l’énergie, qui peut par exemple être l’énergiepotentielle. Ici, cette énergie potentielle prend la forme

J(v) :=1

2

∫Ω

|∇v|2 −∫Ω

fv, v ∈ H10 (Ω)( d’après la [RT88])

qui est analogue à une énergie potentielle ou à une énergie de déformation élastique.

Minimisation Soit u un minimum de la fonctionnelle J , si un tel minimum existe. Par lecours de calcul différentiel, on sait que dJu = 0. De plus, pour toute fonction u ∈ H1

0 (Ω)

∀v ∈ H10 (Ω), dJu(v) =

∫Ω

∇u∇v −∫Ω

fv

En effet, un calcul nous montrer que J(u+ tv) = J(u) + t(∫Ω∇u∇v −

∫Ωfv) + t2

2

∫Ω|∇u|2.

Notons qu’alors (u est solution au sens variationnel) ⇔ u est un minimum local de Jdans H1

0 (Ω) , et on montre, par l’inégalité de Poincaré, l’unicité d’un tel minimum ; on verraplus bas comment justifier d’un coup l’existence et l’unicité d’un tel minimum. En effet,∀v ∈ H1

0 (Ω)−0, ∀t ∈ R∗, J(u+ tv) = J(u)+ t2

2

∫Ω|∇v|2 > J(u) par inégalité de Poincaré.

Remarque. • J est convexe.• On peut obtenir l’existence d’un minimum par minimisation d’une fonctionnelle convexe

(cf [Bre10])

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II INVERSION DU LAPLACIEN L3

II-C. Le problème de Neumann

Solutions faibles/ Solutions variationnelles On remarque que, si u est une solutiondu problème de Neumann, pour toute constante c, u + c est encore solution : on n’a doncaucune chance d’avoir unicité de la solution. On va en fait étudier le problème suivant :

−∆u+ au = f∂nu|∂Ω = 0

avec a ≥ δ > 0 une fonction bornée. qui se comporte comme un terme d’atténuation (parexemple, c’est un terme traduisant l’absorption de la chaleur. Soit v ∈ H1(Ω). Par la formulede Green, ∫

Ω

∇u∇v −∫∂Ω

∂nuvdσ +

∫auv =

∫Ω

fv

ce qui nous conduit à la définition suivante :

Définition. On dit que u est solution faible si u ∈ H1(Ω) et si ∀v ∈H1(Ω),

∫Ω[∇u∇v + auv] =

∫Ωfv

Notons que si u est solution faible, alors γ∂nu = 0. En effet, au sens des distributions, lacondition devient

∀v ∈ D(Ω), < −∆u+ au− f, v >= 0

L’égalité a lieu dans D′(Ω), donc, toutes les fonction en jeu étant L2, l’égalité a lieu dansL2. Soit donc v ∈ H1(Ω). Par hypothèse, on a

∀v ∈ H1(Ω),

∫∂Ω

∂nuv = 0

Ainsi, bien que la définition de solution faible du problème de Neumann semble cacher lacondition de nullité au bord, celle-ci se trouve en fait intégrée.

Retour sur Lax-Milgram On revient sur le problème de Lax-Milgram évoqué ci-dessus(vérfier : ce cas couvre-t-il le problème variationnel de Dirichlet ?).

Théorème : Lax-Milgram. Soit f ∈ L2(Ω). Il existe une unique solution du problèmevariationnel

−∆u+ au = f∂nu|∂Ω = 0

, ∀x ∈ Ω, 0 < δ ≤ a(x) ≤M . De plus, cette solution est en fait une solution de H2(Ω).

Démonstration du théorème. On considère le problème général suivant : soit α uneforme bilinéaire continue et coercive (parfois appelé H−elliptique) sur un espace de HilbertH :• ∃M, ∀u, v||α(u, v)|| ≤M ||u||||v||

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II INVERSION DU LAPLACIEN L3

• ∃µ,∀u ∈ H, ||α(u, u)|| ≥ µ||u||2

et L une forme linéaire continue. Alors, sous ces hypothèses, il existe une unique solutiondu problème "trouver u ∈ H tel que

∀v ∈ H,α(u, v) = L(v)”

On se ramène au théorème de Riesz : ∀v ∈ H, ∃!A(v) tel que

∀w ∈ H,α(v, w) = (A(v), w)

et on vérifie immédiatement que A : u 7→ A(u) est continue.

De plus, l’appliacation L étant continue, il existe, par le théorème de Riesz, un uniquevecteur u0 ∈ H tel que

∀v ∈ H,L(v) = (u0, v)

On cherche donc un vecteur u tel que A(u) = u0, c’est à dire un point fixe de l’application

T : v 7→ v − µ

M2(A(v)− u0)

La constante µM2 peut paraître exotique, mais on l’a en fait choisie pour avoir une application

contractante : en effet, (finir les calculs, pas difficultés particulières)

Revenons sur la formulation variationnelle du problème : on considère α : (u, v) 7→∫Ω∇u∇v + auv définie sur H1(Ω), qui est un espace de Hilbert. Elle vérifie Lax-Milgram.

On en déduit donc l’existence et l’unicté d’une solution. La régularité de la solution ne serapas traitée ici.

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III PROPRIÉTÉS QUALITATIVES DU LAPLACIEN L3

III. Propriétés qualitatives du Laplacien

La référence pour ce chapitre est [Bre10] Ici, on considérera que Ω est un ouvert régulierborné ou bien que Ω = Rn+

III-A. Régularité des solutions faibles

Théorème. On considère le problème de Dirichlet−∆u+ u = fu|∂Ω = 0

• Si f ∈ L2(Ω), alors si u est une fonction de H10 (Ω) solution de la formulation varia-

tionnelle du problème, u est en fait H2(Ω) et l’inversion du laplacien est continue ausens où

||u||H2(Ω) ≤ c||f ||2

• Si f ∈ Hm(Ω), alors u ∈ Hm+2(Ω) et ||u||Hm+2(Ω) ≤ c||f ||2 .

• Si f ∈ C∞(Ω), alors u ∈ C∞(Ω).

Démonstration du théorème. On procède en plusieurs étapes(a) Le cas Ω = Rn+(b) On traite le cas général par passage à des cartes locales. Ce dernier point ne sera pas

ici traité en détail, les outils de géométrie différentielle nous faisant défaut.• Supposons donc Ω = Rn+, f ∈ L2(Ω). On travaille ici avec la méthode des translations de

Nirenberg. Pour cela, considérons h ∈ Rn+ − (0, 0, h = (h′, 0), h′ ∈ Rn−1. On introduitla fonction τhu = x 7→ u(x+ h). Notons que cela a un sens, puisque l’ouvert Ω est stablepar la translation de vecteur h. On introduit ensuite la dérivée discrète de u par rapportau vecteur h

Dhu :=1

|h|(τhu− u)

On vérifie que τhu ∈ H10 (Ω), en conséquence de quoi Dhu ∈ H1

0 (Ω). On peut donc consi-dérer φ := D−h(Dhu) ∈ H1

0 (Ω) En considérant la formulation variationnelle du problèmede Dirchlet, on obtient donc, les opérateurs D−h, Dh et ∇ commutant,∫

Ω

∇uD−h(Dh∇u) =∫Ω

fD−h(Dhu)

Intéréssons-nous à présent au premier terme de cette égalité :∫Ω

∇uD−h(Dh∇u) =∫Ω

∇u(x) 1

|h|(Dhu(x− h)−Dhu(x))dx (7)

=

∫Ω

∇u(x+ h)−∇u(x)|h|

Dh∇u(x)dx (8)

=

∫Ω

|Dh∇u|2 (9)

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III PROPRIÉTÉS QUALITATIVES DU LAPLACIEN L3

Une transformation du même genre nous conduit à l’égalité∫Ω

uD−h(Dhu) =

∫Ω

|Dhu|2

Ainsi, de la formulation variationnelle du problème on peut tirer l’égalité suivante∫Ω

|∇Dhu|2 +∫Ω

|Dhu|2 =

∫Ω

fD−h(Dhu)

On utilise alors le lemme suivant, dont nous repoussons la démonstration à la fin de celledu théorème :

Lemme. ∀v ∈ H10 (Ω), ||Dhv||2 ≤ ||∇v||2

En appliquant ce lemme, il vient alors

||Dhu||2H1(Ω) ≤ ||f ||2||D−h(Dhu)||2≤ ||f ||2||∇Dhu||2≤ ||f ||2||Dhu||H1(Ω)

⇒||Dhu||H1(Ω) ≤ ||f ||2On repasse au cas où φ est une fonction C∞ à support compact quelconque.∫ΩDh(∂iu)·φ =

∫Ω∂iuD−hφ et d’autre part

∫ΩDh(∂iu)·φ = −

∫ΩuD−h∂iφ. En conséquent,

|∫Ω

uD−h(∂iφ)| ≤ ||f ||2||φ||2

do’ù, en prenant hjk := ej2−k, j = n

|∫Ω

u∂2φ

∂xi∂xj| ≤ ||f ||2||φ||2

Notons de plus que ∂2n2u = −∑j<n ∂

2x2j+ u · f au sens des distributions. On en déduit

une inégalité du type

|∫Ω

u∂2φ

∂x2n≤ c||f ||2||φ||2

On peut montrer par le théorème de Hahn-Banach et par le théorème de Riesz qu’il existefjk ∈ L2(Ω) tel que ∀φ ∈ D(Ω),

∫Ωu ∂2φ∂xjxk

=∫Ωfjkφ. (cf [Bre10]). On en déduit donc que

u est en fait une fonction de H2(Ω).Prouvons à présent le lemme énoncé : par densité, on peut travailler sur une fonctionv ∈ D(Ω). Par égalité des accroissements finis

|u(x+ h)− u(x)| =∫ 1

0

h · ∇u(x+ th)dt

Donc∫Ω

|τhu−u|2 ≤ h2∫Ω

∫ 1

0

|∇u(x+ th)|2dtdx = |h|2∫ 1

0

dt

∫Ω+ ht︸ ︷︷ ︸

=Ω

|∇u(x)|2dx = |h|2∫Ω

|∇u|2

et l’on en déduit l’inégalité recherchée.

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III PROPRIÉTÉS QUALITATIVES DU LAPLACIEN L3

• Si f ∈ Hm(Ω) : On sait que u est H2. On se restreint à un ouvert ω et l’on applique laméthode de troncature : soit x ∈ ω, ϵ > 0, B(x, ϵ) ⊆ ω et soit φ ∈ D(ω), supp(φ) ⊂ B(x, ϵ)positive valant 1 sur B(x, ϵ2 ).

−∆(φu) = −φ∆u− 2∇u∇φ− u∆φ

⇒−∆(φu) + φu = −φ∆u− 2∇u∇φ− u∆φ+ φu (10)

= φf − 2∇u∇φ− u∇φ ∈ L2 (11)

donc φu ∈ H2. De plus, au sens des distributions

−∆(∂i(uφ)) + ∂i(φu) = ∂i( φC∞

fH1

)︸ ︷︷ ︸∈L2

−2∇φ∇uH1︸ ︷︷ ︸

∈L2

−u∆φ︸︷︷︸∈L2

do’ù l’on déduit ∂i(uφ) ∈ H2⇒φu ∈ H3⇒u ∈ H3(B(x, ϵ2 )). En itérant le procédé, onobtient le résultat voulu.

• Supposons f ∈ C∞(Ω). Alors ∀m ∈ N∗, u ∈ Hm+2 ce qui nous donne le résultat par lesinjections de Sobolev.

III-B. Le principe du maximum

On parle toujours du problè de Dirichlet. On cherche à contrôler les signe de la solution u. Par exemple, en dimension 1, si f > 0, si u est ce classe C2, −u′′ > 0 et don u est concave.Comme elle est nulle sur les bords, (ici, aux points extremaux de l’intervalle considéré), onen déduit que u > 0 sur Ω. Précisons cela :

Théorème. Si Ω désigne un ouvert borné de Rn, soit f ∈ L2(Ω). Si f ≤ 0, la solutionu du problème de Dirichlet associé à f vérifie u ≤ 0 sur Ω.

III-B- 1. Cas des solutions régulières

Si f ∈ C0(Ω), u ∈ C2(Ω), on distingue deux cas• Si f < 0 sur Ω et s’il existe x0, u(x0) > 0. Soit x1 := arg(sup

x∈Ωu(x)). Ainsi,u va localement

"avoir une forme de cloche", ce qui justifie ∀i ∈ Nn, ∂2i2u(x1) ≤ 0, ce qui contredit notrehypothèse. C’est une preuve avec les mains, donnons donc une preuve plus rigoureuse : parle cours de calcul différentiel, la matrice hessienne Hess(u)(x1) est symétrique négative,et donc ∆(u)(x1) = tr(Hess(u)(x1)) ≤ 0.

• Si f ≤ 0, on introduit || · ||2 : x 7→∑x2i , ∆|| · ||2(x) = 2n, ainsi que la fonction auxilliaire

uϵ := u+ ϵ||x||2−A2ϵ, où Ω ⊂ B(0, A). De plus, uϵ ≤ 0 sur ∂Ω. Soit uϵ ≤ 0 ce qui permetde conclure en faisant tendre ϵ vers 0. Sinon, le même raisonnement que celui du premiercas permet de conclure à une absurdité.

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III PROPRIÉTÉS QUALITATIVES DU LAPLACIEN L3

Ce raisonnement s’applique de manière plus générale aux équations de la forme

−∆u+n∑i=1

bi(·)∂iu+ c(·)u = 0 (12)

Pour plus de précisions, on se reportera à [FGN12].

III-B- 2. Cadre Sobolevien

Si v ∈ L2 on définit v+ := max(0, v), v− := max(−v, 0), de sorte que v = v+ − v−.

Lemme. Si v ∈ H10 (Ω), v

+ ∈ H10 (Ω) et v− ∈ H1

0 (Ω). De plus,

∇v+ = 1v>0∇v,∇v− = 1v<0∇v

et, λ-pp∇v+ · ∇v = |∇v+|2

Admettons un instant ce lemme : en passant à la formulation variationnelle,∫Ω

∇u∇u+ =

∫Ω

fu+ =

∫Ω

|∇u|2 ≤ 0

la denri/‘ere inégalité provenant de f ≤ 0. Donc ||u+|| = 0 et, en appliquant l’inégalité dePoincaré, u = −u− ≤ 0, ce qui est exactement le résultat voulu.

Démonstration du lemme. On approche la fonction Id+ de R par une suite de fonctionC∞ (faire le schéma) et finir la preuve.

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IV SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR L’INVERSION DU LAPLACIEN L3

IV. Schémas numériques pour l’inversion du Laplacien

IV-A. En dimension 1

Soit a < b et une suite de N+1 points x0 = a < x1 < · · · < xN = b supposés équidistants,de pas h = b−1

N . On obtient donc la formule

xi = a+ ih

Si les points ne sont plus supposés équidistants, on pose, pour tout i ∈ [|0, N − 1|] hi :=xi+1 − xi. Dans toute la suite, on prendra a = 0, b = 1 pour alléger les notations.On s’intéresse alors à la résolution du problème de Dirichlet associé à une fonction f declasse C∞ On va s’intéresser à une solution u. On pose ui := u(xi). On appelle maille toutintervalle de la forme [xi, xi+1].

IV-A- 1. Première approche

Entre deux points, supposons que u soit grossièrement affine par morceaux (pour uneautre présentation de la méthode numérique, on pourra se reprter au TD5). Donc sa dérivéeest constante sur chaque maille, et l’on définit la dérivée de u au centre de chaque maille.C’est-à-dire que la dérivéee est définie sur la grille des xi+ 1

2avec xi+ 1

2:= xi+1−xi

2 .Par développement limite, on obtient l’approximation

u′(xi+ 12) ≈ ui+1 − ui

xi+1 − xi

On définit de même les u(k) sur la grille translatée si k est impair, sur la grille initiale sinon.Remarquons également que, pour tout entier i de 1, . . . , N − 1

xi+ 12=xi+1 − xi−1

2

Do’ù l’on tire

u′′(xi) ≈ui+1−ui

xi+1−xi− ui−ui−1

xi−xi−1

xi+1−xi−1

2

Cas où les points sont équidistants Les points étant supposés équidistants de pas h,on obtient ainsi

u′′(xi) ≈ui+1 + ui−1 − 2ui

h2

Cas général En toute généralité, on obtient en fait

u′′(xi) ≈ −(1

hi+

1

hi−1)

uihi+hi−1

2

+ui+1

hi(hi+hi−1)2

+ui−1

hi−1(hi+hi−1)2

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IV SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR L’INVERSION DU LAPLACIEN L3

IV-A- 2. Schéma numérique

On introduit le vecteur U :=

u1...

uN−1

. On sait que pour tout i entier dans NN−1

−u′′(xi) = f(xi) ce qui motive l’introduction de la matrice suivante :

A :=

2

h1+h0( 1h1

+ 1h0) −2

h1(h1+h0)0 . . . 0

−2h0(h1+h0)

. . .. . . 0

0 −2hi−1(hi+hi−1)

−2hi(hi+hi−1)

−2hi(hi+hi−1)

Finir de taper la mtrice, quoi. Bon, en posant F :=

f(x1)...

f(xN−1)

on obtient l’équation

matricielleAU = F

IV-A- 3. Résolution du schéma numérique

On remarque que la matrice est à diagonale dominante. Par un lemme de Hadamard, onen déduit qu’elle est inversible et qu’il existe une constante c > 0 telle que, si U est solution

supi=1...N−1

|ui| ≤ c supi=1...N−1

|f(xi)|

Aspects pratiques On a une matrice (N −1)× (N −1) à inverser. Une méthode de pivotde Gauss nous permet de l’inverser en O(N3) opérations.Mais comme elle est tridiagonale, on dispose d’un algorithme pour l’inverser en O(N) opé-rations : Supposons connu u1. Ainsi, on connait u2 = g2(u1) où g2 est une fonction affine.On en déduit u3 comme fonction affine de u1 etc... et uN = gN (u1) = 0 avec gN une fonc-tion affine. (Si l’on veut, on peut rajouter une ligne virtuelle à la matrice). Mais on montreaisément que gN se calcule en O(N) opération. On en déduit

u1 =−gN (0)

gN (1)− gN (0)

IV-A- 4. Convergence du schéma numérique

Le mot d’ordre pour cette partie est "consistance+stabilité=convergence".

Consistance du système On dit d’un système qu’il est consistant si, en notant err(n)l’erreur entre solution numérique et solution théorique (que l’on n’a pas explicitement) tendvers 0 quand n→ +∞ ou que sup|hi| tend vers 0 quand n→ +∞.Ici, en notant u la vraie solution pour un pas constant, en notant U le vecteur qui lui estassocié et Ue le vecteur associé à la résolution numérique, on obtient une expression del’erreur de consistance, qui est

Ec = AU − F

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IV SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR L’INVERSION DU LAPLACIEN L3

(notons que la solution exacte ne vérifie pas nécessairement le schéma numérique) et Ec =E1

...En

, Ei = −(f(xi) +ui+1+ui−1−2ui

h2 ) = −u′′(xi) +O(h2)− f(xi) si u est de classe C4.

Stabilité du système Le système est dit stable si la réponse du schéma à une petiteperturbation est petite. La stabilité du système considéré a été établie en TD.

Convergence du système On dit que le schéma numérique est convergent si la solu-tionnumérique tend vers la solution du problème en norme infinie quand la discrétisationdevient de plus en plus fine.Ici, comme Ue = U − Unum

AUe = AU − F (13)= F + Ec − F (14)= Ec (15)

⇒||Ue||∞ ≤ c||Ec||∞ (Stabilité) (16)

⇒||Ue||∞ ≤ O(||h||2)(Consistance) (17)

Limites du procédé C’est un schéma extrêmement difficile à adapter en dimensionssupérieures. De plus, on ne peut jouer qu’avec des cubes, tandis qu’il est plus pratique detravailler avec des triangles.

IV-B. Approche variationnelle

IV-B- 1. Présentation

On considère, sur le domaine Ω régulier, un maillage, c’est à dire un ensemble de pointsindexé par P organisés en triangles Tj = (xm, xn, xp) tels que tout triangle ne contienne pasde points autres que ses sommets.Soit HP l’ensemble des fonctions affines sur chaque triangle. On a automatiquement

HP → H1(Ω′)

où Ω′ = ∪Tj . En notant HP,0 l’ensemble des fonctions nulles sur ∂Ω et en en prolongeantles fonctions par 0, on obtient l’inclusion

HP,0 → H10 (Ω)

IV-B- 2. Formulation variationnelle

On définit sur H10 (Ω) la fonctionnelle J : x 7→ 1

2

∫Ω|∇x|2−

∫Ωfx et on prend u qui réalise

le minimum de cette fonctionnelle. Pour déterminer u, on va en fait travailler sur HP,0.Mais ce dernier evn est de dimension finie. Il s’agit donc d’un problème de minimisation endimension finie.Notons uP cette éventuelle solution.

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IV SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR L’INVERSION DU LAPLACIEN L3

Méthode de Lax-Milgram Soit vP un élément de HP,0. Posons wP := vP − uP . Défi-nissons ensuite sur H1

0 la fonctionnelle

a : (u, v) 7→∫

∇v∇u

En vérifiant que cette dernière forme est bilinéaire et coercive, on peut appliquer le lemmede Lax-Milgram et en déduire l’existence et l’unicité de la solution.finir de taper-feuillesdu cours 6

Forme faible Pour alléger les notations, on notera désormais H = HP,0 On introduit surH la fonctionnelle

J : v 7→ 1

2

∫|∇v|2 −

∫fv

On cherche donc un minimum uP pour cette fonctionnelle. Si on trouve un tel minimum, onaura donc

∀v ∈ H, ∀t ∈ R, t∫

∇u∇v − t

∫fv +

t2

2

∫|∇v|2 ≥ 0

d’où l’on tire qu’une telle fonction uP est solution.

Aspects pratiques Soit (φi)i une base de H et N la dimension de H. On sait que

v ∈ H⇔∃(β1, . . . , βN ) tels que v =N∑i=1

βiφi

Donc on fait l’integrale sur Ω′ ?

J(v) =1

2

∫|∇

N∑i=1

βiφi|2 −N∑i=1

∫βiφi (18)

=1

2

N∑i,j=1

βiβj

∫∇φi∇φj −

N∑i=1

βi

∫φif (19)

L’équation précédente nous pousse ainsi à introduireA = (

∫Ω′ ∇φi∇φj)(i,j)∈N2

n

F = (∫Ω′ φif)i∈NN

β = (βi)i∈NN

Avec ces notations, on a

J(v) =1

2< Aβ, β > − < F, β >

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IV SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR L’INVERSION DU LAPLACIEN L3

pour le produit scalaire euclidien sur RN . On fait par la suite un abus de langage : si γ =(γ1, . . . , γN ) et si β = (β1, . . . , βN ) on désigne par J(β+tγ) la quantité J(

∑βiφi+t

∑γiφi).

On cherche à déterminer β tel que pour tout t, pour tout γ

J(β + tγ) ≥ J(β)

c’est-à dire tel que

t

2< Aγ, β > +

t

2< Aβ, γ > +

t2

2< Aγ, γ > −t < F, γ >≥ 0

Mais, comme A est symétrique, on en déduit que cette condition équivaut à

∀γ < Aβ, γ >=< F, γ >

Notons qu’on aurait aussi pu l’obtenir par la formulation variationnelle ; Par ailleurs,

∀γ,< Aγ, γ > =

∫∇(

∑γiφi)∇(

∑βkφk)

=

∫|∇

∑βiφi|2 ≥ 0

Donc la forme A est définie positive. Donc A est inversible. Donc on a existence et unicitéde la solution β = A−1F . Notons que, Lax-Milgram nous donnant l’existence et l’unicité dela solution, il nous donne le caractère inversible de A.

Aspects pratiques On travaille ici dans le cas Ω ⊂ R2. On a un algorithme probabilistequi triangule l’ouvert en N triangles pas trop différents. Pour calculer A, aussi appeléematrice d’inertie, on dit que, si Pi est un sommet commun à plusieurs triangles, on définitφi par φi(Pj) = 1δi=j . φiest donc explicite sur Tk, où Pi est un sommet de Tk.Ensuite, soit on calcule

∫|∇φi|2 soit on calcule

∫∇φi∇φj . On calcule ensuite les (

∫φif)

que l’on approche généralement en f(Pi)∫φi. On réalise donc une erreur de l’ordre de la

taille du maillage au sens où||Fapprox − F || = O(h)

où hest la taille maximale d’un triangle. Comme, la matrice A a beaucoup de zéros, on abeaucoup d’algorithmes qui l’inversent de manière assez rapide.Par exemple, si on se replace en dimension 1, dans le cas d’un pas régulier,

∫|∇φi|2 = 2

h ,si |i − j| = 1,

∫∇φi∇φj = −1

h , 0 sinon. Dans le cas du problème de Dirichlet, on obtientdonc une matrice tridiagonale, qui est, à un facteur près, la même que celle trouvée dans lasection précédente taper la mtrice

Remarques En dimension 3, même si l’on veut mailler par des tétraèdres, il n’y a pas d’al-gorithmes satisfaisants pour le faire correctement. Ont peut également tenter une approcheà la main, comme au début du cours.

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V ÉQUATIONS DE TRANSPORT LINÉAIRE L3

V. Équations de transport linéaire

V-A. Origine physique des équations de transport

V-A- 1. Le point de vue eulérien

Soit Ω un domaine de Rn. Si (x, t) ∈ Ω× R+, on note u(t, x) la densité de particules aupoint x à l’instant t. Le mouvement des particules est régi par un flux ϕ de la forme

ϕ(t, x) = u(t, x)v(t, x) ∈ Rn

. Si ω ⊂ Ω on désigne la masse de particules en ω au temps t par

mω(t) =

∫ω

u(t, x)dx

On note ηΩ(x) la normale unitaire à ω en x.Par un raisonnement physique, on voit que si ω est infiniment petit, la différentielle de mω

est égale à ce qui rentre diminué de ce qui sort. En termes mathématiques,

m′ω(t+ dt) =

∫∂ω

ϕ(t, x) · ηω(x)dx

Mais, en utilisant la formule de Green, qui dit que∫Ω

divx(F ) =

∫∂ω

Fηω

, on obtient finalement l’équation

∂tu(t, x) + divx(uv)(t, x) = 0

V-A- 2. Point de vue Lagrangien

Cette fois, au lieu de s’intéresser à un flux de particules qui passerait au travers d’undomaine, on va suivre une information initialement située en x ∈ Rn valant u0(x) au coursdu temps. On note pour un temps t u(t, x) l’information transportée). Si on suppose quel’information est transportée le long de courbe ξ, c’està dire que l’on a u(, ξ(t)) = u0(ξ(0)),on a alors

∂tu(t, ξ(t)) + ξ′(t) · ∇xu(t, ξ(t)) = 0

Supposons alors que les ξ soient solutiond ’une équation du type

x′ = f(t, x)

dont le flot recouvre tout le plan. Alors on voit que u vérifie l’équation de transport

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V ÉQUATIONS DE TRANSPORT LINÉAIRE L3

∂tu(t, x) + f(t, x)∇xu(t, x) = 0

V-B. Présentation du cadre théorique

On considère un champ de vecteurs C∞ v : (t, x) 7→ v(t, x) défini sur R+ × RN et onsuppose que• v est borné par M .• v est lipschitzienne au sens où il existe M ′ tel que ∀t, x||∇xv(t, x)|| ≤M

On appelle alors équation de transport linéaire toute équation de la forme

∂tu+ v · ∇xu = 0u(0, ·) = u0

V-C. Méthode des caractéristiques

La méthode des caractéristiques consiste en fait à s’intéresser au système différentielqu’induit le champ de vecteurs v et, de là, à remonter aux solutions de l’équation auxdérivées partielles.

V-C- 1. Le transport linéaire en dimension 1

L’équation II devient ainsi∂tu+ v(t, x)∂xu = 0

On introduit les courbes intégrales ou caractéristiques du champ de vecteurs en suivant uneparticule qui se déplace suivant ce champ de vecteurs. Introduisons X(t, to, x0) la positionà l’instant t de la particule prise en x0 à t0. Pour reprendre les notations du cours de calculdifférentiel II, X(t, t0, x0) = φt,t0(x0) De même, par le cours de calcul différentiel, on saitque X vérifie le problème de Cauchy suivante :

∂tX(t, t0, x0) = v(t,X(t, t0, x0))X(t0, t0, x0) = x0

Donc une telle trajectoire X existe et est unique.

V-C- 2. Résolution : existence et unicité d’une solution

Fixons t0. On pose ensuite

w : (t, x0) 7→ u(t,X(t, t0, x0))

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V ÉQUATIONS DE TRANSPORT LINÉAIRE L3

où u est une solution. Dérivons par rapport au temps :

∂tw(t, x0) = ∂tu(t,X(t, t0, x0)) +dX

dt(t, t0, x0) · ∇xu(t,X(t, t0, x0))

= ∂tu(t,X(t, t0, x0)) + v(t,X(t, t0, x0)) · ∇xu(t,X(t, t0, x0))

= 0

Donc, pour tout t réel, u(t,X(t, t0, x0)) = u(0, X(0, t0, x0)). En fait, si on suit le flot duchamp de vecteurs, l’information reste constante. Ainsi

w(t, x0) = u0(x0)

en prenant t0 = 0. On sait donc que sur une courbe intégrale de l’équation u(, x) = u0(x0).Mais x0 = X(0, t, x) (on inverse la flot : x0 correspond à position qu’occupait en 0 la particulequi occupe x au temps t.) On en déduit donc

∀(t, x), u(t, x) = u0(X(0, t, x))

On en déduit que si u0 est dérivable de classe C1, par les théorèmes généraux, il y aexistence et unicité de la solution, ce que l’on résume dans le théorème suivant :

Théorème. Si u0 ∈ C1(Rd), l’équation de transport linéaire associée à u0 et v admetune unique solution de classe C1. (unicité au sens D′ ?)

V-C- 3. Un exemple

Rajouter des exemples du TD0.

V-D. Solutions faibles de l’équation de transport

V-D- 1. Motivations de l’approche variationnelle

• Si on a plusieurs champs de vitesse à gérer, les caractéristiques deviennet très compliquéesà gérer.

• Les caractéristiques peuvent s’emmêler, ou bien le champ de vitesse peut présenter dessingularités. On peut par exemple penser à un tourbillon.

• Le fait de ne chercher que des solutions très régulières fait disparaître les effets d’échellequi peuvent apparaître en physique.

Tout ceci motive la recherche d’une solution L∞, en prenant une condition initiale u0 dansL∞. Travaillons à présent au sens des distributions sur Rd, histoire de nous faire une idée.On se rendra plus tard compte qu’il faudra restreindre l’ouvert dont les distributions sonten jeu.

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V ÉQUATIONS DE TRANSPORT LINÉAIRE L3

V-D- 2. Résolution

Notons que comme u ∈ L∞, la distribution coincide avec l’intégrale sur le domaine.Si uest solution au sens des distributions alors vérfier les ouverts de définition des distri-butions

∀ φ ∈ D(R× Rd) − < u, ∂tφ > +

n∑i=1

< vi∂iu, φ >= 0

⇔ < u, ∂tφ > +n∑i=1

< u, ∂i(viφ) >= 0

⇔∫Rd

∫Ru · ∂tφ+

∫Rd

∫Ru∇(v · φ) = 0

On remarque qu’on obtient déjà quelque chose qui a bonne allure. Malheureusement, on aperdu la condition initiale... Comme annoncé plus tôt, au lieu de considérer des fonctionde D(R × Rd), on va considérer des fonctions de D(R+ × Rd). Reprenons exactement lemême raisonnement. Un terme de bord apparaît dans le terme comportant des dérivéestemporelles (attention, ici on travaille sur des fonctions qui sont restristioncs de fonctionstests d’un ouvert plus grand), on en tire la définition suivante :

Définition. Sous les mêmes hypothèses (u0, v ∈ L∞)), on dit que u ∈ L∞(R × Rd) estsolution faible de l’équation de transport associée si

∀φ ∈ C1c (R+ × Rd),

∫ ∫u · ∂tφ+

∫ ∫u · ∇(v · φ) +

∫R+

u0(x, )φ(0, x) = 0

On vérifie par un calcul immédiat que toute solution forte est solution faible. Un com-mentaire sur l’hypothèse L∞ : on peut le demander dans la définition, mais on remarque quel’équation correspond au transport, au déplacement de ces valeurs, et il est donc cohérentqu’elle soit essentiellement bornée.Par ailleurs, si u est une solution faible de classe C1, elle est solution forte.

V-E. En dimension 1 à vitesse constante

On prend donc v = c. On a alors un théorème remarquable, qui nous garantit mêmel’unicité au sens faible !

Théorème. Soit u0 ∈ L∞(R). Il existe une unique solution faible à léquation de trans-port

∂tu+ c∇xu = 0u(0, ·) = u0

et elle est donnée par (c, t) 7→ u0(x−ct) (au sens des distributions, bien entendu) Ainsi,si v ∈ C∞ ∩ L∞, u0 ∈ C1 ∩ L∞ l’unique solution est une solution de classe C1.

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V ÉQUATIONS DE TRANSPORT LINÉAIRE L3

Démonstration du théorème. Pour l’existence, on vérifie que l’expression donnée convient.Passons à l’unicité : Si u1, u2 sont deux solutions de l’équation de conservation scalaire, onremarque que u1 − u2 est solution de l’équation de transport

∂tu+ c∇xu = 0u(0, ·) = 0

Il suffit donc de démontrer l’unicité dans le cas d’une condition initiale identiquement nulle.On remarque que la fonction nulle est solution de cette dernière équation de transport. Onveut donc montrer que si u en est solution

∀ψ ∈ C1(R+ × R),∫ ∫

uψ = 0

Mais on sait déjà que

∀ φ ∈ D(R× R)∫R

∫R+

u · ∂tφ+

∫R+

∫Ru∂x(c · φ) = 0

Donc, si on montre que∀ψ ∈ C1

c ,∃φ ∈ C1c , ∂tφ+ c∂xφ = ψ

la démonstration sera achevée. Pour montrer cette propriété, on va procéder par analyse-synthèse.Supposons donc, à ψ fixé, qu’il existe une telle fonction φ. On se déplace le long des carac-téristiques, c’est-à-dire que l’on pose φ : (t, x) 7→ φ(t, x+ ct). Par hypothèse

∀t ≥ 0, x ∈ R, ∂tφ(t, x) = ψ(t, x+ ct)

Ceci nous incite alors à poser

φ : (t, x) 7→∫ t

A

ψ(s, x+ cs)

où ψ s’annule si |z| ≤ A. φ = (t, x) 7→ φ(t, x− ct) convient alors.

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

VI. Équations de transport non linéaireOn s’intéresse ici aux équations de la forme

∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

Pour simplifier le problème, on va supposer que f est de classe C∞. C’est une équationscalaire (u est à valeurs réelles) scalaire (x est un réel).Ce genre d’équations forme une sous-classe des systèmes hyperboliques de lois deconservation, c’est à dire des équations de la forme

∂tu+

d∑i=1

∂ifi(u) = 0, u(t, x) ∈ Rd

Par exemple, toutes les équations de la mécanique des fluides relèvent de cette classe d’équa-

tion, en prenant par exemple pour u le vecteur(ϕv

)où ϕ est la densité et v la vitesse. De

même, en prenant u =

(E

B

)on peut retrouver les équations de l’éléctromagnétisme. En

mélangeant toutes ces équations, on peut aboutir aux équations de la magnétohydrody-namique, domaine dont les applications vont de l’astrophysique théorique au projet ITER(réaliser une fusion contôlée). On étudie ici un cas bien plus simple ; les premiers résultatssignificatifs datent des années 70. Dans le cas général, les problèmes d’existence, d’unicité,de stabilité des solutions.... restent ouvert.

VI-A. Solutions Classiques

VI-A- 1. Définition

Définition. Si f ∈ C2(R,R), u0 ∈ C1(R,R) ∩ L∞(R), u′0 ∈ L∞(R), on dit que u estsolution classique de l’équation de transport non-linéaire associée à f et à u0 sur [0, T ] si u ∈ C1([0, T ]× R,R) ∩ L∞([0, T ]× R,R)

∂tu+ ∂xf(u) = 0 sur [0, T ]u(0, ·) = u0

VI-A- 2. Méthode des caractéristiques générales

En introduisant c := f ′, on peut réécrire l’équation du transport non-linéaire sous laforme

∂tu+ c(u)∂xu = 0, u|t=0 = u0

Supposons qu’il existe une solution classique u. On adopte le point de vue Lagrangien, c’est-à-dire que l’on va suivre une particule qui se déplace le long de notre "champ de vitesse "

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

c(u). En d’autres termes, on introduit X(t, t0, x0) comme l’unique solution du problème deCauchy

∂tX(t, t0, x0) = c(u(X(t, t0, x0)))X(t0, t0, x0) = x0

Ici encore, pour reprendre des notations de calcul différentiel (on reconnaît le flot), on poseφt,t0(x) := X(t, t0, x) et φt(x) := X(t, 0, x0). Regardons alors l’évolution de l’information ule long de ces caractéristiques :

∂tu(t, φt,t0(x)) = ∂tu(t, φ

t,t0(x)) + c(u(t, φt,t0(x)))∂xu(t, φt,t0(x))

= 0

On en déduit donc∀(x, t) ∈ R× [0, T ], u(t, φt(x)) = u0(x)

D’où l’on déduit, en intégrant le système de Cauchy,

∀(t, x) ∈ [0, T ]× R, φt(x) = x+ tc(u0(x))

Vues les hypothèse que l’on a faites, le flot de l’équation différentielle recouvre le plan.On en déduit donc que si u0(R) ⊂ [A,B], alors ∀(t, x), u(t, x) ∈ [A,B] 2. Par la relation

u0(x) = u(t, φt(x)) = u(t, x+ c(u0(x))t)

, on voit qu’il faut inverser la fonction x 7→ x + tφt(x). En fait, on se retrouve face à unproblème d’enveloppe de droites et de caustiques. Posons

F : (t, x) 7→ x+ tc(u0(x))

Ici, la situation est relativement agréable à traiter : en effet, F (t, ·) tend vers ∞ en +∞et vers −∞ en −∞. Donc F est un difféomorphisme si et seulment si (?) ∂xF (t, x) >0⇔1+ tc∂x(c u0) > 0 et il faut donc déterminer un intervalle de temps [0, T ∗] tel que cetteinégalité y soit vérifiée pour tout x. Si c u0 est croissante, on peut prendre T ∗ = ∞. Sinon,on constate que la relation est vérifiée pour tout t ∈ [0, T ∗[ avec

T ∗ :=−1

inf(∂x(c u0))

VI-A- 3. Étude autour du temps T ∗

Les limites de la méthode des caractéristiques Comme u0 ∈ L∞, ||u(t, ·)||∞ =||u0||∞. En revanche, on peut avoir une explosion de la dérivée au voisinage de T ∗. En effet,u′0(x) = ∂xF (t, x)∂xu(t, F (t, x)) d’où l’on déduit qu’il existe une suite (xn, tn) telle que siu′0(xn) = 0 pour n suffisamment grand,

∂xu(tn, F (tn, xn)) → ∞

2. On parle parfois de "principe du maximum". Encore.

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

Une autre approche On suppose ici f, u ∈ C2. En dérivant l’équation de transport parrapport à t, on obtient

∂txu+ c(u)(∂xxu) + c′(u)(∂xu)2 = 0

Ainsi, ∂xu vérifie une équation de transport avec terme source. On introduit

φ : (t, x) 7→ ∂xu(t, φt(x))

En dérivant par rapport à t, on obtient

∂tφ(t, x) = ∂t,xu(t, φt(x)) + c(u(t, φt(x)))∂xxu

= −c′(u(t, φt(x)))(∂xu(t, φt(x)))

puis, par séparation des variables

φ(t, x) =1

1u′0(x)

+ tc′(u0(x))=

u′0(x)

1 + td[cu0]dx (x)

Et l’on conclue par la même discussion que précédemment.

Résumé On peut résumer tous nos raisonnements précédents en

Théorème. Soit u0 ∈ C1 ∩ L∞ telle que u′0 ∈ L∞ et f ∈ C2. On définit T ∗ par• T ∗ = ∞ si c u0 est croissante.• −1

inf(d(c(u0))

dx

sinon.

Il existe une unique solution du transport non-linéaire sur [0, T ] si T < T ∗. Il n’existepas de solution classique si T > T ∗.

VI-A- 4. Une illustration : l’équation de Hopf

∂tu+ u∂xu = 0

Taper l’exemple

VI-B. Solutions faibles pour le transport non-linéaire

VI-B- 1. Définition des solutions faibles

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

Définition. Soit f ∈ C2(R), u0 ∈ L∞(R). On dit que u est solution faible de l’équationde transport non-linéaire

∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

si• u ∈ L∞(R+ × R,R) 3

• ∀φ ∈ C∞c (R+ × R) on a

∫R×R+

u∂tφ+∫R×R+

f(u)∂xφ+∫R u0φ(0, ·) = 0

Remarquons que toute solution faible de classe C1 (avec donnée initiale de même régu-larité) est solution forte, et que toute solution forte est solution faible.

VI-B- 2. Le problème de Riemann

Considérons l’équation de transport suivante :∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

avecu0 :

x > 0 7→ udx < 0 7→ ug

On cherche une solution sous forme de choc, c’est-à-dire une solution sous la forme

u :

x > σt 7→ udx < σt 7→ ug

Pour vérifier que l’on peut avoir une solution faible de cette forme, on va déterminer unσ particulier. À cet effet, écrivons la formulation faible :

∀φ ∈ C∞c (R+ × R),

∫R×R+

u∂tφ+

∫R×R+

f(u)∂xφ+

∫Ru0φ(0, ·) = 0

On va procéder à une transformation des intégrales ci-dessus. Soit donc φ C∞ à supportcompact.∫R×R+

u∂tφ =

∫ 0

−∞

∫ ∞

0

u(t, x)∂tφ(t, x)dtdx+

∫ +∞

0

∫ ∞

0

u(t, x)∂tφ(t, x)dtdx

=

∫ 0

−∞ug(−φ(0, x))dx+ ud

∫ ∞

0

φ(x

σ, x)dx− ud

∫ +∞

0

φ(0, x)dx− ug

∫ +∞

0

φ(x

σ, x)dx

∫R+×R

f(u)∂xφ =

∫ +∞

0

∫x<0

f(ug)∂xφ(t, x)dxdt+

∫ +∞

0

∫x>0

f(u)∂xφ(t, x)dxdt

= −f(ug)∫ ∞

0

φ(t, 0)dt+

∫ ∞

0

∫x<σt

f(ug)∂xφ(t, x)dxdt+

∫ ∞

0

∫x>st

f(ud)∂xφ(t, x)dxdt

= −f(ug)∫ ∞

0

φ(·, 0) +∫ ∞

0

f(ug)(φ(t, σt)− φ(t, 0))dt+

∫ ∞

0

f(ud)(−φ(t, σt))dt

= −f(ug)∫ +∞

0

φ(·, 0) + f(ug)

∫ ∞

0

φ(·, σ·)− f(ug)

∫ ∞

0

φ(·, 0)− f(ud)

∫ ∞

0

φ(·, σ·)

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

∫Ru0(x)φ(o, x)dx =

∫ 0

−∞u0(x)φ(0, x)dx+

∫ +∞

0

u0(x)φ(0, x)dx

= ug

∫x<0

φ(0, x)dx+ ud

∫ ∞

0

φ(0, x)dx

En remettant tou cela ensemble, on obtient finalement

∀φ ∈ C∞c , [

1

σ(f(ug)− f(ud)) + ud − ug]

∫ ∞

0

φ(x

σ, x)dx

On obtient finalement la condition de Rankine-Hugoniot

σ =f(ud)− f(ug)

ud − ug

σ est en fait la vitesse de propagation du choc. On désigne ici par choc une solutionqui prend plusieurs valeurs successives de manière discontinue. Dans le cas de l’équation deHopf, la solution sous forme de choc est en fait la solution u0. Maison voit apparaître unnouveau problème : on ne disposait pas d’assez de solutions fortes, on dispose de beaucouptrop de solutions faibles : par exemple, dans le cas d’Hopf, avec une donnée initiale

..

O

.

c

.

x

.

+1

.

-1

la donnée initiale elle-même est solution faible. Mais on dispose de beaucoup d’autres solu-tions, comme par exemple la solution suivante :

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

..

0

.

b

.

u(t,x)=x/t

.

+1

.

-1

La deuxième solution peut sembler plus naturelle. Pour pouvoir se restreindre à cette secondesolution, on va en quelque sorte "régulariser" l’équation du transport en introduisant unterme de diffusion. Cela va nous mener à la notion de solution entropique.

VI-C. Solutions entropiques

VI-C- 1. Motivation et définition

Remarques Rappelons qu’un problème est bien posé (au sens de Hadamard) si on al’existence et l’unicité d’une solution, et que cette solution est continue par rapport auxdonnées initiales.Par ailleurs, il ne faut pas non plus trop attendre des solutions entropique : regardons unchoc particulier dans léquation de Hopf : faire le schéma de la bosse régularisée Onretombe directement sur un choc.

Motivation On introduit les solutions entropiques pour avoir l’unicité de nos solutions ence sens-là. On impose au phénomène une condition en plus, comme de la diffusion ou de laviscosité. On parle déquation de diffusion dans le cas suivant avec le meme u0

∂tu

ε + ∂xf(uε) = ∂2x,xu

ε

uε(0, ·) = u0

et l’on travaille avec u0 régulière, de sorte à tomber sur des solutions fortes uε. En fait,c’est toute la mécanique du fluide (modulo quelques "broutilles" comme Euler incompres-sible...) qui se cache derrière ces équations : f traduit la conservation de la quantité demouvement, le laplacien s’interprère comme un terme de diffusion moléculaire....Il nous faut vérifier plusieurs choses : quand ϵ → 0, uε converge vers une solution faible del’équation de transport associée à f . Ensuite, on s’intéressera à des propriétés plus fines.

Convergence de uε On va commencer par un lemme :

Lemme. Soit (uε)ε>0 une suite de solutions de l’équation introduite au début du paragrapheque l’on peut choisir C∞ si u0 est elle-même de classe C∞ 4. On suppose qu’il existe c > 0

4. On ne s’intéresse pas dans ce cours à l’existence de telles solutions

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

tel que ∀ε < 1, ||uε||∞ ≤ c et que uε →ε→0

u presque partout. Alors u est une solution faiblede

∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

Démonstration du lemme. Soit φ ∈ D(R+ ×R). Alors, par intégration, on obtient, pourtout ε > 0

−∫ ∫

uε∂tφ−∫ ∫

f(uε)∂xφ−∫Ruε(0, x)φ(x) = ε

∫ ∫∂2xxφu

ε

et l’on obtient le résultat par convergence dominée.

Propriétés supplémentaires On considère η une fonction de R dans R de classe C∞.Peut-on dire quoique ce soit sur la fonction η(uε) ? Si on suppose que l’équation n’a pas desecond memebre, on obtient , en multipliant par η′(uε), l’équation

η′(uε)∂tuε + η′(uε)f ′(uε)∂xu

ε = 0

Comme on a pris uε C1, en posant θ la solution de θ′ = η′f ′, on obtient finalement l’équation

∂tη(uε) + ∂xθ(u

ε) = 0

et donc η(uε) vérifie le même type d’équation.Pour f : x 7→ x2

2 , si on prend η : x 7→ x2 et que l’on regarde la solution

..

O

.

c

.

x

.

+1

.

-1

alors θ = 23u

3 et, en faisant les mêmes calculs que pour obtenir la condition de choc deRankine-Hugoniot, on obtient

0 = u2g − u2d =2

3u3g −

2

3u3d =

−4

3

Donc cette solution, qui ne nous satisfait pas, est en quelque sorte éliminée par l’introductionde la fonction η.Faisons la même manipulation en conservant cette fois le second membre :

η′(uε)∂tuε + η′(uε)f ′(uε)∂xu

ε = εη′(uε)∂2x,xuε

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VI ÉQUATIONS DE TRANSPORT NON LINÉAIRE L3

et donc, avec θ′ = η′f ′

∂tη(uε) + ∂xθ(u

ε)εη′(uε)∂2x,xuε

Le membre de gauche est un terme conservatif : en multipliant par une fonction test et enintégrant, on peut faire ressortir toutes les dérivées sur la fonction test, ce qui n’est clairementpas le cas du second membre. On va se ramener à un second memebre conservatif. Pour cefaire, on effectue les calculs suivants :

εη′(uε)∂2x,xuε = ε∂2x,x[η(u

ε)]− εη(2)(uε)(∂xuε)2

On remarque que si η est convexe, c’est quand même pas mal, puisqu’alors le signe de η(2)est constant. Si en plus de cela on choisit une fonction test positive, en passant à la limite,on obtient ∫ ∫

η(u)∂tφ+

∫ ∫θ(u)∂xφ+

∫φ(0, x)u0(x)dx ≥ 0

c’est-à-dire qu’il y a création d’entropie.

Remarque. En mécanique des fluides, pour adapter les raisonnements, on est obligé depasser par les différentielles, et non plus par les dérivées. Donc il faut trouver θ telle quedθ = dη df , mais une fonction intéressante dont la différentielle est donnée est très dure àtrouver. Le couple (η, θ) correspond alors à l’entropie physique.

Toutes ces réflexions nous conduisent à la définition suivante :

Définition. Soit f ∈ C∞, u0 ∈ L∞. On dit que u est une solution entropique de∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

si• u ∈ L∞

• Pour toute fonction η : R → R de classe C1 (ou 2 ?)convexe, pour toute fonction testφ positive de D(R+ × R), pour toute fonction θ C∞ vérifiant θ′ = η′f ′ on a l’inégalité∫ ∫

η(u)∂tφ+

∫ ∫θ(u)∂xφ+

∫Rη(u0(x))φ(0, x)dx ≥ 0

Remarque. • Toute solution entropique est solution faible. En effet, il suffit d’adapter ladéfinition avec ∇ = Id, θ = f, φ ≥ 0 et avec η = −Id, θ = −f, φ ≥ 0.

• Toute solution forte est solution entropique (l’inégalité se transforme en fait en égalité).• On dispose d’un résultat puissant :

Théorème : Kruzkov . Si u0 ∈ L∞, f ∈ C∞ il existe une uniques solution entropiqueu. Par ailleurs, u ∈ L∞(R+ × R) ∩ C(R+, L

1loc(R)) et ||u||∞(R+×R) = ||u0||∞.

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VII SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE TRANSPORT LINÉAIRE L3

VII. Schémas numériques pour le transport linéaireRappelons quand même que pour le transport linéaire, faire un schéma numérique n’est

pas ce qu’il y a de plus glorieux : rappelons en effet que solution forte ou solution faible sonten fait u0(x− ct).

VII-A. Schémas numériques décentrés

Il faut discrétiser le temps et l’espace : on prend h un pas d’espace, de sorte que xi =ih, i ∈ Z et k un pas de temps, de sorte que tn = nk, n ∈ N.On introduit ensuite uni ≈ u(tn, xi), ce qui nous permet d’écrire

∂tu(t, x) ≈un+1i − uni

k, ∂xu ≈

uni+1 − unih

d’où l’on tire

un+1i ≈ uni (1 +

ck

h)− uni+1

ck

h

On voit tout de suite que c’est l’échec si on prend c = 1, h = k : Le schéma numériquene satisfait pas le principe du maximum alors que l’équation le satisfait. On voit que leproblème persiste même si l’on prend k = 10−4h.

..

u0(x)

.

t1

.

t2

Si on prend c = −1, k = h, on obtient un+1i ≈ uni+1 : c’est un miracle :

..

u0(x)

.

t2 > t1

.

t1 > 0

Si c = −12 , u

n+1i = 1

2 (uni + uni+1). On observe que l’on devient très vite diffusif et que le

principe du maximum est vérifié. De loin, la courbe ressemble à (faire le schéma du chocémoussé). On peut aussi prendre c = −2, k = h et l’on observe que c’est un nouvel échec.Ainsi, on remarque que le schéma ne vérifie le principe du maximum que pour certainesvaleurs de la quantité ck

h .

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VII SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE TRANSPORT LINÉAIRE L3

Interprétation Si c > 0 l’information se propage de gauche à droite, on ne peut rienprévoir (hein ?). Si c < 0, il faut que l’on ait |hk | > |c| pour prédire quoique ce soit.rédigerl’interprétation en termes de supports. On obtient donc la condition suivante, appeléeCondition CFL 5

|c|kh

< 1

5. Courant-Fredrichs-Levi

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VII SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE TRANSPORT LINÉAIRE L3

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