1 Théorèmes : Hahn-Banach et Baire 5 1.1 Théorème de Hahn-Banach .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 5
1.1.1 Théorème de Hahn-Banach, forme analytique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Théorème de Hahn-Banach,
formes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 Espaces de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Théorème de
Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 11 1.2.2 Corollaires . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Espaces vectoriels topologiques 15 2.1 Espaces vectoriels
topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 15
2.1.1 Quelques notions et notations algébriques . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Quelques notions et
notations topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 17 2.1.3 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4
Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 EVT localement convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Espaces de Fréchet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 27
3 Théorèmes classiques 30 3.1 Banach-Steinhaus . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 30 3.2 Application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Graphe
fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Topologies faibles-Espaces réflexifs 38 4.1 Topologie faible . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 38 4.2 Topologie faible étoile . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 42 4.3 Espaces réflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
3
Préface Ce polycopie d’analyse fonctionnelle est destiné aux
étudiants de licence en mathématiques et applications SMA. Il est
rédigé à ma façon toute en gardant le livre de H. Brezis : «
Analyse fonctionnelle, Théorie et applications. » à la portée de ma
main. Le but de ce cours est de donner des notions et des théorèmes
topologiques et algébriques abstraits qui consti- tuent des outils
mathématiques essentiels pour entamer les cycles d’études
supérieurs. La partie la plus im- portante à mon égard est la
construction de la topologie à partir d’une famille de semi normes,
je conseille le lecteur de se focaliser sur ce point.
Bibliographie X H. Brézis : Analyse fonctionnelle théorie et
applicationsMasson fr Paris 1983 CollectionMathématiques
Appliquées pour la Maîtrise. X Hervé Queffélec, Josette Charles,
Mostafa Mbekhta : Analyse fonctionnelle et théorie des
opérateurs
Rappels de cours et exercices corrigés. Collection : Sciences Sup,
Dunod. X Yves Sonntag : Topologie et analyse fonctionnelle : Cours
de Licence avec 240 exercices et problèmes
corrigés 1998. X J. Dieudonné : Éléments d’analyse. T. I
-fondements de l’analyse moderne Gauthier-Villars fr Paris 1968. X
F. Riesz, B. Nagy : Leçons d’analyse fonctionnelle, Akademiai
Kiadohu Budapest 1955 Acadmie des
Sciences de Hongrie. X S. Banach : Théorie des opérations
linéaires, Chealsea publishing company. X S. Lang : Analysis II
Addison-Wesley publishing company us Massachusetts 1969
Addison-Wesley se-
ries in mathematics. X W. Rudin : Analyse réelle et complexe,
édition Masson, 1975 (le monument).
Encore je le dis, la littérature est très riche sur ce sujet. Il
suffit de faire une recherche sur le net pour avoir gratuitement
des polycopiés (de cours et d’exercices) de différents auteurs
répondant à tous les goûts.
Pré-requis La théorie des ensembles (la théorie ZFC, pour les
courageux), la topologie générale (définition de topologie,
continuité, convergences, compacité...), algèbre (espaces
vectoriels, base algébrique, dimension) ... sont très sollicités
ans ce cours.
! Avertissements Je tiens à préciser que ce document contient
probablement des erreurs de frappes (ce n’est pas grave !) et des
erreurs de mathématiques (par contre çà c’est grave !) qui ont
échappé à ma vigilance. Ne l’utilisez qu’avec un œil critique et
n’hésitez pas à me signaler ces problèmes :
[email protected].
Chapitre 1 1.1 Théorème de Hahn-Banach 1.2 Espaces de Baire
Sommaire
Théorème 1.1.1 (Le théorème de Hahn-Banach, forme analytique)
Soient E un R-espace vectoriel, p : E→ R telle que
∀t > 0;∀x ∈ E; p(tx ) = tp(x) et ∀x;y ∈ E; p(x + y)6 p(x)
+p(y);
G un sous-espace vectoriel de E et g une forme linéaire sur G
satisfaisant
g(x) ≤ p(x); ∀x ∈G:
Alors il existe une forme linéaire f sur E qui prolonge g et qui
satisfait
f (x) ≤ p(x); ∀x ∈ E:
La démonstration de ce théorème fait appel au célèbre lemme de ZORN
(ce dernier est équivalent à l’axiome du choix) dont nous rappelons
l’énoncé. Nous avons besoin de quelque définitions
Définition 1.1.2
Soit A un ensemble muni d’une relation d’ordre (pas nécessairement
totale) notée ≤ : On dit qu’un sous-ensemble B⊂ A est totalement
ordonné si pour tout couple a;bde B on a soit a≤ b ou b≤ A. Soit B⊂
A; on dit qu’un élément c∈ A est majorant de B si pour tout a∈ A on
a : a≤ c. On dit que m ∈ A est un élément maximal de A si pour tout
x ∈ A tel que m≤ x⇒ x = m. On dit que A est inductif si tout
sous-ensemble totalement ordonné de A admet un majorant.
Lemme 1.1.3 (ZORN)
Tout ensemble ordonné, inductif, non vide, admet un élément
maximal.
Remarque 1.1.4. ! Le lemme de Zorn ou ses équivalents (l’axiome du
choix en particulier) admet des belles consé- quences parfois qui
échappent à notre intuition et donne même des paradoxes : pardoxe
de Banach-Tarski. Je renvoi le lecteur au fascicule d’exercices
corrigés de ce module pour plus de détails sur les conséquences de
ce lemme.
5
1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Preuve (du théorème 1.1.1). Désignons parV l’ensemble des
couples(M;’ ); où M est un sous-espace vectoriel de E contenantG, ’
une forme linéaire surM vérifiant ’ (x) ≤ p(x);∀x ∈M et ’ |G = g.
On munit V de l’ordre≤ défini par
(M;’ ) ≤ (N; )⇔M ⊂ N et |M = ’:
On montre d’abord queV est inductif pour≤ non vide : D’abord,(g;G)
∈ V . Soit (M i ;’ i )i∈I une famille totalement ordonnée. Si on
poseM = ∪i∈I M i ; il est facile de vérifier queM est un
sous-espace vectoriel deE; qu’il existe une fonction ’ : M → R qui
prolonge chacune des’ i et que’ est linéaire. De plus, pour toutx
∈M , il existe un i ∈ I tel quex ∈M i , ’ |G = g et on a’ (x) = ’ i
(x) ≤ p(x). Donc (M;’ ) appartient àV et est dansV la borne
supérieure de la famille (M i ;’ i )i∈I . D’après le lemme deZorn ,
(V ; ≤) admet un élément maximal(M;f ). Il suffit donc de démontrer
que cet élément maximal satisfaitM = E pour finir la démonstration.
Supposons donc par l’absurde qu’il existe una∈ E \M . On va
construire alors un élément(N;’ ) de V qui majore strictement(M;f
). On pose pour celaN = M ⊕R:a, on choisit ∈ R et on définit la
forme linéaire’ sur N par ’ (x + ta) = f (x) + t: Il suffit donc de
montrer qu’on peut choisir de sorte que l’on aitf (x) + t ≤ p(x +
ta); pour tout x deM et tout t ∈ R (ainsi (N;’ ) ∈ V ). La
condition précédente est satisfaite pourt = 0 et quel que soitx ∈M:
Pour t > 0 cette condition est équivalente à la condition f
(
x t ) + ≤ p(
x t +a); et puisque
x t ∈M; équivalente à ≤ p(y +a)− f (y) pour tout y ∈M .
Enfin, pour t < 0; la condition précédente est équivalente àf
(−x t ) − ≤ p(−x
t − a); autrement ≥ −p(y − a) + f (y)
pour tout y ∈M puisque−x t ∈M: On choisit donc tel que :
sup y∈M
p(x +a)− f (x);
ce qui est possible si, pour toutx;y ∈M; on a :
f (y)−p(y −a) ≤ p(x +a)− f (x):
Or pour x;y ∈M on a : f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x
+a) +p(y −a):
On obtient sup y∈M
f (y)−p(y −a) ≤ inf x∈M
p(x +a)− f (x):
Ce qui prouve l’existence de . Ainsi (N;’ ) ∈ V et (M;f ) < (N;’
), ce qui contredit que(M;f ) est maximale. D’oùM = E. ut
Applications du théorème de Hahn-Banach (forme analytique)
Dans ce qui suit, on désigne par E′ le dual (topologique) de
l’espace vectoriel normé E, i. e. l’espace des formes linéaires
continues sur E ; E′ est muni de la norme duale
f E′ := sup x≤1
|f (x)| = sup x≤1
f (x):
Lorsque f ∈ E′ et x ∈ E on notera parfois f ;x au lieu de f (x) ;
on dit que ; est le produit scalaire dans la dualité E′;E:
Corollaire 1.1.5
Soit G un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel normé (E; · )
et soit g : G→ R une application linéaire et continue de
norme
gG′ := sup x≤1
|g(x)|:
Alors il existe f ∈ E′ qui prolonge g et tel que :
f E′ = gG′ :
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1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Preuve . Il suffit d’appliquer le théorème précédent avecp(x) :=
gG′ :x. ut
Corollaire 1.1.6
Pour tout x0 ∈ E il existe f0 ∈ E′ tel que
f0 = x0 et f0;x0 = x02:
Preuve . Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avecG = Rx
et g(tx0) = tx02 de sorte quegG′ = x0. ut
Corollaire 1.1.7
xE = sup f E′≤1
|f ;x| = max f E′≤1
|f ;x| = max f E′=1
f ;x:
|f ;x| ≤ x:
D’après le corollaire précédent, on sait qu’il existef0 ∈ E′ tel
quef0 = x et f0;x = x2: On posef1 = x−1f0 de sorte quef1 = 1 et
f1;x = x. ut
Corollaire 1.1.8
Supposons que E est C-espace vectoriel normé. Pour tout x ∈ E \
{0}, on a :
sup f E′≤1
|f (x)|6 xE 6 √ 2 sup f E′≤1
|f (x)|:
|f ;x| ≤ x:
PosonsG = Cx, g : G→ R; tx 7→ 1√ 2 ||x|| <t , p : E→ R+; z 7→
1√
2 ||z||. On a g estR-linéaire,
||g||G′ def =
sup ||tx ||E=1
|<(t ||x||)| = 1 √ 2
(et donc∀z ∈G; g(z)6 p(z)). D’après le théorème de Hahn-Banach il
existe une applicationR-linéaire h : E→ R telle queh(x) = 1√
2 ||x||, h(ix ) = 0
et∀z ∈ E, h(z)6 1√ 2 ||z|| et donc||h||E′ = 1√
2 . Posons
f : E −→ C z 7−→ h(z)− ih(iz):
On a f est applicationClinéaire, ||x|| = √ 2f (x) et∀z ∈ E,
|f (z)| = q
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Définition 1.1.9
On appelle hyperplan tout sous ensemble de E de la forme :
H := {x ∈ E : f (x) = }
où f est une forme linéaire sur E; non identiquement nulle et ∈ R:
On dit que H est l’hyperplan d’équation [f = ]:
Définition 1.1.10
Soit A;B ∈ P (E): — On dit que l’hyperplan H = [f = ] sépare A et B
au sens large si ∀a∈ A, ∀b ∈ B
f (a)6 6 f (b):
— On dit que l’hyperplan H = [f = ] sépare A et B au sens strict si
il existe " > 0 tel que ∀a∈ A, ∀b ∈ B
f (a) + " 6 6 f (b)− ":
Proposition 1.1.11
S E est un espace vectoriel normé, alors l’hyperplan d’équation [f
= ] est fermé si et seulement si f est continue.
Preuve . Si f est continue alorsH = f −1({ }) est fermé.
Réciproquement, supposons queH est fermé. Le complémentaireCH de H
dansE est ouvert et non vide (puisque f , 0E′ ). Soit x0 ∈ CH et
supposons sans perdre de généralité quef (x0) < . Soit r > 0
tel que
B(x0;r) := {x ∈ E : x − x0 < r } ⊂ CH :
On a f (x) < ; ∀x ∈ B(x0;r):
Supposons qu’il existex1 ∈ B(x0;r) tel quef (x1) > : La boule
étant convexe, donc
∀ t ∈ [0;1] : (1− t )x0 + tx1 ∈ B(x0;r);
par suite f ((1 − t )x0 + tx1) , ; ∀ t ∈ [0;1]: Ce qui est faut
puisque pourt1;2 = f (x1)−
f (x1)− f (x0) ; on a : f ((1 − t1;2)x0 +
t1;2x1) = : Par suite, f (x0 + rz) < ; ∀z ∈ B(0;1):
Ce qui prouve quef ≤ 1 r ( − f (x0)) et doncf est continue.
ut
Théorème 1.1.12 (Théorème De Hahn-Banach, première forme
géométrique)
Soit A, B deux sous ensembles convexes de E, non vides et
disjoints. Si A est ouvert alors il existe un hyperplan fermé qui
sépare A et B au sens large.
La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant
:
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1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Lemme 1.1.13 Soit C ⊂ E un convexe ouvert non vide et soit x0 ∈ E
avec x0 < C: Alors il existe f ∈ E′ tel que
f (x) < f (x0);∀x ∈ C:En particulier l’hyperplan d’équation [f =
f (x0)] sépare {x0} et C au sens large.
Preuve . Par translation, on peut toujours supposer que0E ∈ C et
considéré la jauge deC qu’on note parpC définie par
PC : E −→ R+ ∪ {+∞} x 7−→ inf{t > 0 ; 1
t x ∈ C} avecinf∅ = +∞:
On montre (en exercice !) que ∀t > 0; ∀x ∈ E; pC(tx )6 tpC(x)
<∞, ∀x;y ∈ E; pC(x + y)6 pC(x) +pC(y) et C = {x ∈ E | C(x) <
1}. On poseG := vect(x0) = R :x0 et on considère la forme linéaireg
sur G définie par pour toutt ∈ R :
g(tx0) := t:
On a g(x) ≤ pC(x);∀x ∈ G (il suffit de distinguer les cast > 0
et t ≤ 0). Grâce au théorème de Hahn-Banach, forme analytique, il
existef une forme linéaire surE, prolongeantg telle quef (x) ≤
pC(x);∀x ∈ E, f (x0) = 1 et f (x) < 1; ∀x ∈ C. ut
Preuve (du théorème 1.1.12). On poseC = A −B. C un convexe
(facile),C est ouvert (C = ∪y∈B (A − y)) et 0 < C (car A ∩B= ∅).
D’après le lemme 1.1.13 il existef ∈ E′ tel que :f (z) < 0;∀z ∈
C, autrement
f (x) < f (y);∀x ∈ A;∀y ∈ B:
On fixe ∈ R avec sup x∈A
f (x) ≤ ≤ inf y∈B
f (y);
ce qui montre que l’hyperplan d’équation[f = ] sépare au sens
largeA et B. ut
Théorème 1.1.14 (Théorème De Hahn-Banach, deuxième forme
géométrique)
Soit A, B deux sous ensembles convexes de E, non vides et
disjoints. Si A est fermé et B est compact alors il existe un
hyperplan fermé qui sépare A et B au sens strict.
Preuve . Pour " > 0 tel que les sous ensembles convexes, ouverts
et non videsA" := A+B(0;" ) et B" = B+B(0;" ) soient disjoints
(cet" existe sinon, il existera des suites("n)n∈N→ 0;(xn)n∈N ∈ A et
(yn)n∈N ∈ B telles quexn −yn < 2"n; ce qui nous donnera une
suite extraite(y’ (n))n∈N qui converge vers un élémenty ∈ A∩B:
D’après le théorème précédent, il existe un hyperplan fermé
d’équation[f = ] séparantA" et B" au sens large. Ce qui se traduit
par :
f (x + "z) ≤ ≤ f (y + "z); ∀ (x;y) ∈ A ×B;z∈ B(0;1):
Il en résulte que : f (x) + " f ≤ ≤ f (y)− " f ; ∀ (x;y) ∈ A
×B:
De là, on tire que l’hyperplan[f = ] sépare au sens strictA et B.
ut
Dans l’exercice suivant, on montre que les hypothèses des théorèmes
de Hahn-Banach (forme géométrique 1 et 2) sont optimales.
Exercice1.1.15
Soit E = R[X ] l’espace des polynômes sur R; muni de la norme sup
sur [0;1]: Soit
R[X ]+ := {P ∈ E : P(X ) = nX
i=1
et
i=1
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1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
1. Montrer que R[X ]+ et R[X ]− sont convexes et disjoints.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’hyperplan qui sépare R[X ]+ et R[X
]−:
Corollaire 1.1.16 Soit F ⊂ E un sous-espace vectoriel tel que F ,
E:Alors il existe f ∈ E′ \ {0E′ } tel que :
f ;x = 0; ∀x ∈ F:
Preuve . Soit x0 ∈ E;x0 < F: On applique le théorème précédent
avecA := F et B := {x0}: Il existe f ∈ E′ \ {0E′ } tel que
l’hyperplan[f = ] sépare au sens strictF et {x0}: On a :
f ;x < < f ;x0;∀x ∈ F:
Ce qui implique quef ;x = 0;∀x ∈ F; puisque f ;x < ; ∀ ∈ R: ut
Remarque 1.1.17. D’après ce corollaire, on conclut qu’un
sous-espace vectorielF deE est dense si∀ f ∈ E′ : f |F= 0⇒ f = 0E′
:
Remarque 1.1.18. D’après le théorème de Hahn-Banach, on a : siE est
un espace norméE , {0E} alors E′ , {0E′ }, grâce aux corollaires
1.1.6 et 1.1.7. Dans cet exemple, par un exemple classique, on
montrer que siE n’est pas un espace normé (n’est pas un evtlc !)
cette affirmation n’est plus vraie.
Exemple 1.1.19
Si E = Lp([0;1]); 0 < p < 1; muni de la distance :
d(f ;g) = Z 1
0 |f (t )−g(t )|p dt;
alors E est un espace métrique complet, E , {0E} par contre E′ =
{0E′ }: Soit ’ ∈ E′ : Alors ’ : Lp([0;1])→ R est linéaire et
continue. Supposons que ’ , 0: On a donc Im(’ ) = R: Par suite, il
existe un f0 ∈ E telle que |’ (f0)| ≥ 1:
Soit F la fonction continue définie par : F(x) = Rx 0 |f0(t
)|
p dt: Puisque 1 2
F(1) ∈ [0;F(1)];par le théorème
des valeurs intermédiaires, il existe x0 ∈ [0;1] tel que F(x0) = 1
2
F(1) autrement
Z x0
0 |f0(t )|p dt > 0:
Soit g1 = f0 [0;x0] et g2 = f0 ]x0;1]: Alors g1 +g2 = f0 et |f0|p =
|g1|p + |g2|p; et de plus on a :
Z 1
1 2
1 2 alors
1 ≤ |’ (f0)| = |’ (g1) + ’ (g2)| ≤ |’ (g1)|+ |’ (g2)| < 1 2 + 1
2 = 1
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ce qui absurde.
Supposons |’ (g1)| ≥ 1 2 et posons f1 = 2g1: On a |’ (f1)| ≥ 1
et
Z 1
Z 1
Z 1
0 |f (t )|p dt:
De la même façon, par itération, on conclut fn ∈ E telle que
|’ (fn)| ≥ 1 et d(fn;0) = Z 1
0 |fn(t )|p dt = (2p−1)n
Z 1
0 |f0(t )|p dt:
Comme p < 1 on aura 2p−1 < 1: D’où lim
n→+∞ d(fn;0) = 0:
lim n→+∞
’ (fn) = 0
ce qui absurde puisque |’ (fn)| ≥ 1: Donc ’ = 0: Par conséquent
(Lp([0;1]))′ = {0}:
1.2 Espaces de Baire
1.2.1 Théorème de Baire
Définition 1.2.1
Un espace topologique (E;T ) est dit de Baire si pour toute suite
d’ouverts ( n)n dense dans E, T
n n est dense dans E i.e.
∀ ( n)n ∈ T N; ∀n ∈ N; n = E
=⇒
\
n n = E:
Remarque 1.2.2. (E;T ) est de Bairesi et seulement si pour toute
suite de fermés(Fn)n telle que∀n;
Fn = ∅, on a int (
Proposition 1.2.3
Soit (E;T ) un espace de Baire et (Fn)n∈N une suite de fermés tels
que ∪n∈NFn = E. Alors = ∪n∈N
Fn est un ouvert dense dans E:
Preuve . Soit G le ferméE \ (∪n∈N
Fn). Il s’agit de montrer queG est d’intérieur vide.
Pour tout n ∈ N; le ferméG∩Fn est d’intérieur vide carint (G∩Fn) ⊂
G∩
Fn = ∅, et comme(E;T ) est un espace de Baire,
∪n∈N (G∩Fn) = G∩ [∪n∈NFn] = G∩E = G
est d’intérieur vide. ut
Remarque 1.2.4. Si (E;T ) est un espace de Baire non vide, alorsE
ne peut pas être réunion dénombrable de fermés d’intérieurs
vides.
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Théorème 1.2.5 (théorème de Baire)
1. Tout ouvert d’un espace de Baire est de Baire. 2. Tout espace
métrique complet est de Baire (théorème de Baire). 3. Tout espace
localement compact est de Baire.
Preuve . 1. Soit (E;T ) un espace de Baire, soitA ∈ T (ouvert deE).
Soit ( n)n une suites d’ouverts de(A;TA = A ∩ T ) denses dansA
(c-à-d n ∈ T et n ⊂ A ⊂ n). Posons = ∩n n (⊂ A). Il suffit de
montrer queA ⊂ (la fermeture dansE). PosonsWn = n ∪A
c , on aWn ∈ T et
E ⊂ A ∪ A
A
c ;
= A ∩ : Ainsi A ⊂ :
2. Soit (E;d) un espace métrique complet. Soit( n)n∈N∗ une suite
d’ouverts denses dans(E;d). Notons = ∩n n et montrons que = E ce
qui est équivalent à montrer que toute boule ouverte non vide
rencontre . Soit B(x0;r0) une boule ouverte de centrex0 ∈ E et de
rayonr0 > 0. On a B(x0;r0)∩ 1 est un ouvert non vide (car 1 est
dense) donc il existex1 ∈ E et r1 ∈]0;1[ tels que la boule ferméeBf
(x1;r1) ⊂ B(x0;r0) ∩ 1. Supposons que (x1;r1) · · · (xn;rn) donnés
dansE×]0;+∞[ tels queri ∈]0;1n [ et Bf (xi ;ri ) ⊂ B(xi−1;ri−1)∩ i
. Puisque n+1 est dense dans E alors il existexn+1 ∈ E et rn+1 ∈]0;
1
n+1 [ tels que
Bf (xn+1;rn+1) ⊂ B(xn;rn)∩ n+1:
On a ainsi construit par récurrence la suite(xn;rn))n dansE×]0;+∞[
telle que pour toutn ∈ N∗; rn < 1 n et Bf (xn;rn) ⊂
\
n∈N∗ Bf (xn;rn) , ∅ par conséquent ∩B(x0;r0)P ∅:
3. Soit (E;T ) un espace localement compact. Soit( n)n∈N∗ une suite
d’ouverts denses dans(E;T ). Notons = ∩n n et montrons que = E ce
qui est équivalent à montrer que tout ouvertV deE non vide
rencontre . En utilisant la densité des n et que(E;T ) est
localement compact, nous construisons ar récurrence une suite
de
compacts d’intérieurs non vides(Kn)n∈N∗ deE telle que∀n > 1; Kn
⊂ Kn−1 ∩ n et K1 ⊂ V ∩ 1. Ainsi (Kn)n∈N∗ est
une suite de compacts non vides décroissante, donc T
n Kn , ∅. Par conséquent, ∩V , ∅. ut
1.2.2 Corollaires
Corollaire 1.2.6
Preuve . SinonR = S
x∈R {x} est une réunion dénombrable des fermés pour la topologie
usuelle associée à la distance
usuelled(x;y) = |x − y|, mais (R;d) est complet donc il est de
Baire. Ceci donne en particulier queR = R = ∅ puisque
∀x ∈ R; {x} = ∅. Absurde. ut
UniversitySurf 12/50 Analyse Fonctionnelle
1.2. ESPACES DE BAIRE
Corollaire 1.2.7 Tout espace de Banach à base dénombrable est de
dimension finie, par exemple on n’a pas de norme sur R[X ] qui le
rend complet.
Preuve . Supposons qu’il existe un espace de Banach à base
dénombrable est de dimension infinie. Soit donc(en)n∈N∗ une base
deE: Pour tout entier naturel n; on pose
Fn := vect(e1;e2; · · · ;en)
Pour tout n ∈ N∗; le sous-espaceFn est de dimension finie donc
fermé; de plus Pour toutn ∈ N∗, le sous-espaceFn est d’intérieur
vide car si une boule ouverteB(x0;r) est inclue dansFn (avecr >
0), alorsx0 ∈ Fn et x0 + r
2||en+1 || en+1 ∈ Fn
par suiteen+1 ∈ Fn, ce qui est absurde. D’après le théorème de
Baire,∪n≥1Fn est d’intérieur vide dansE ce qui est absurde
car∪n≥1Fn = E. ut
Définition 1.2.8
1. On dit que A est résiduel si elle contient une intersection
dénombrable d’ouverts denses dans E:
2. On dit que A est maigre si elle est contenue dans une réunion
dénombrable de fermés de E d’intérieurs vides.
Corollaire 1.2.9 Soient (E;T ) un espace de Baire et (F;d) un
espace métrique. On considère une suite (fn)n∈N d’ap- plications
continues de E dans F, convergeant simplement vers une application
f de E dans F. Alors
f est continue sur une partie dense de E.
C-à-d l’ensemble des points où f sont continues est un
résiduel.
Preuve . Pour n;k ∈ N, on pose
Fk;n := \
{x ∈ E : d(fq(x);fp(x))6 1 2k }:
On aFk;n est un fermé deE car l’intersection des fermés est un
fermé et l’image réciproque d’un fermé par une fonction continue
est fermé. On a aussi, puisquefn converge simplement versf ,
∀k ∈ N; E= [
n∈N Fk;n:
k def =
Posons def =
T k≥∈N k. On a est dense dans(E;T ) puisque ce dernier est de
Baire. Montrons quef est continue
sur , pour cela soitx0 ∈ et soit " > 0. Considérons un entierk0
tel que 1 k0
< " 3 et n0 un entier tel quex0 ∈
Fk0;n0 .
d(fp(x);fp(x0))6 d(fp(x);fn0 (x0)) +d(fn0
2 k0
+d(fn0 (x);fn0
1.2. ESPACES DE BAIRE
D’autre part, la continuité defn0 enx0 implique l’existence d’un
ouvertW deE contenantx0 tel que
∀x ∈W ; d(fn0 (x);fn0
Exercice1.2.10
1. Montrer que 1Q n’est pas limite simple d’une suite de fonction
continues de R dans R. 2. Calculer lim
p→+∞ lim
n→+∞ (cos p !x)2n.
Corollaire 1.2.11 Soit f : R→ R une fonction dérivable sur R. Alors
la fonction dérivée f ′ est continue sur un en- semble dense de
R.
Preuve . Il suffit de considérer la suite des fonctions
fn : R −→ R x 7−→ n
f (x + 1
n )− f (x)
qui est une suite de fonctions continues qui converge versf ′ et
puisqueR est de Baire et métrique, on d’après le corollaire
précédent que la fonction dérivéef ′ est continue sur un ensemble
dense deR. ut
UniversitySurf 14/50 Analyse Fonctionnelle
Chapitre 2 2.1 Espaces vectoriels topologiques 2.2 EVT localement
convexe 2.3 Espaces de Fréchet
Sommaire
2.1 Espaces vectoriels topologiques
Dans la suiteK est un corps commutatif (souvent l’un des deux corps
C ou R et parfoisQ. (E;+ ;·) désignera un K-espace vectoriel et T
une topologie sur E. On prendre aussi comme notation D = {t ∈ K ;
|t | 6 1} (D pour disque).
2.1.1 Quelques notions et notations algébriques Soit A et B deux
partie des E, a∈ A, t ∈K et ⊂K.
Notation 2.1.1. a+B= {a+b ; b ∈ B}, A +B= {a+b ; a∈ A et b ∈ B}, tA
= {ta ; a∈ A} et A = {ta ; t ∈ et a∈ A}.
Définition 2.1.2
On dit que A 1. est un sous espace vectoriel de E si A hérité des
lois de compositions de E est un espace vectoriel ce qui équivalent
à dire que A , ∅ et vérifie ∀t ∈K, ∀x;y ∈ A, on a tx + y ∈ A. 2.
est un sous espace affine de E s’il existe a∈ A tel que A −a est un
sous espace vectoriel de E. 3. est convexe si ∀x;y ∈ A, [x;y] def=
{tx + (1− t )y ; t ∈ [0;1]} ⊂ A. 4. est équilibrée si ∀t ∈ D , ∀x ∈
A, on a tx ∈ A, i.e. DA = A. 5. absolument convexe s’il est à la
fois convexe et équilibrée. 6. absorbe B s’il existe > 0 tel que
∀ ∈K, | |> =⇒ B⊂ A . 7. absorbant si ∀x ∈ E, A absorbe
{x}.
Remarque 2.1.3. Tout sous espaces affines est convexe.
La propriété suivante est fondamentale malgré sa simplicité soit en
son énoncé soit en sa démonstration. On la rencontre en topologie,
en intégration et maintenant en analyse fonctionnelle (en algèbre
en réalité). Elle est vraie pour pas mal de familles (topologies,
tribus, sous groupes ...)
Proposition 2.1.4
L’intersection quelconque de sous espaces vectoriels (resp. sous
espaces affines, resp. de parties convexes, resp. de parties
équilibrées, resp. de parties absolument convexes) de E est un sous
espace vectoriel (resp. un sous espaces affine, resp. une partie
convexe, resp. une partie équilibrée, resp. une partie absolument
convexe).
Preuve . Évidentes. ut
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
Remarque 2.1.5. DA est la plus petite partie équilibrée deE
contenantA.
La proposition précédente justifie l’existence de « le plus petit
truc » contenant une partie A de E et est dit le truc engendré par
A avec truc l’une des phrases « sous espace vectoriel », « sous
espace affine », « convexe », « équilibré » ou « absolument convexe
». C’est l’intersection (qui est non vide, contient E) des tous «
trucs » qui contient A.
Définition 2.1.6 (et notations)
1. Le sous espace vectoriel engendré par A est dit l’enveloppe
linéaire de A, il est noté V ectK(A) ou SpanK(A) ou simplement V
ect(A), si on ne craint pas la confusion. 2. Le convexe engendré
par A est dit l’enveloppe convexe de A, il est noté co(A). 3.
L’ensemble absolument convexe engendré par A est dit l’enveloppe
absolument convexe de A, il est noté aco(A). 4. Le sous espace
affine engendré par A est dit l’enveloppe affine de A, il est noté
Aff K(A) ou sim- plement Aff (A), si on ne craint pas la
confusion.
Proposition 2.1.7
co(A) ⊂ aco(A) ⊂ Aff (A) = a+V ect(A −a) ⊂ V ect(A) = Aff (A ∪
{0})
avec a∈ A.
Théorème 2.1.8 Soit x ∈ E
x ∈ V ect(A) ⇐⇒ ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈K; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel
que x = t1x1 + · ·+tnxn:
x ∈ aco(A) ⇐⇒ ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈K; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel
que
8 >>< >>:
|t1|+ · ·+|tn|6 1:
x ∈ co(A) ⇐⇒ ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈ [0;1]; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A
tel que
8 >>< >>:
x = t1x1 + · ·+tnxn
t1 + · ·+tn = 1:
Preuve . Facile et par une méthode maintenant standard (méthode
qu’on a vu en intégration ...). PosonsF = {x ∈ E | ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2;
· ·;tn ∈ K; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel que x = t1x1 + · · +tnxn} puis
on montreF est un sous espace vectoriel contenantA ce qui donne
queV ect(A) ⊂ F, l’autre inclusion est triviale. Faites la même
chose pour les autres implications. ut
Définition 2.1.9
Une application p : E −→ [0;+∞[ est une semi norme si 8
>>< >>:
i )∀t ∈K; ∀x ∈ E; p(tx ) = |t |p(x) ii )∀x;y ∈ E; p(x + y)6 p(x)
+p(y):
Elle est une norme si de plus elle vérifie iii ) p(x) = 0 ⇐⇒ x =
0.
UniversitySurf 16/50 Analyse Fonctionnelle
Exercice2.1.10
Soit p une semi norme sur E, montrer que B0 def= {x ∈ E ; p(x) <
1} et Bf
def= {x ∈ E ; p(x) 6 1} sont deux parties absorbantes et absolument
convexes (équilibrées et convexes).
Définition 2.1.11 (jauge ou fonction de Minkowski)
Soit A une partie de E telle que {t > 0 | x ∈ tA } , ∅ (e.g. A
absorbante). On appelle fonction de Minkowski ou la jauge de la
partie A dans E la fonction pA définie par
pA : E −→ [0;+∞[ x 7−→ inf{t > 0 | x ∈ tA }
Théorème 2.1.12 Si A est une partie absorbante et absolument
convexe alors sa jauge pA est une semi norme telle que
Bo def= {x ∈ E ; p(x) < 1} ⊂ A ⊂ Bf
def= {x ∈ E ; p(x)6 1}
Preuve . Voir TD. ut
2.1.2 Quelques notions et notations topologiques Pour cette sous
section je renvoi le lecteur au cours de la topologie générale du
semestre S5. Cependant je vous rappelle que la fermeture ou
l’adhérence de A noté A est le plus petit fermé de l’espace
topologique
(E;T ) contenant A c’est l’intersection de tous les fermé contenant
A. L’intérieur de A,noté A ou int E(A), est le
complémentaire dans E de la fermeture du complémentaire de A i.e. A
= E \
E \A
c’est le plus grand ouvert
inclut dans A. Dans ce module on utilisera les notions
(topologiques) de compacité, d’homéomorphisme, de topologie métri-
sable ... une révision du cours de topologie est fort utile.
2.1.3 Espaces vectoriels topologiques
Définition 2.1.13
On dit que (E;+ ; · ;T ) ou simplement (E;T ) est un espace
vectoriel topologique (evt pour écrire simple) si les deux
fonctions
: E×E −→ E (x;y) 7−→ x + y
et : K×E −→ E (t;y) 7−→ t · y = ty
sont continues en prenant les topologies produits sur les ensembles
de départs et en prenant la topologie usuelle sur R.
Proposition 2.1.14
x 7−→ tx +e
est un homéomorphisme. 2. ∀x ∈ E, VE(x) = {x +V ; V ∈ VE(0)} avec
VE(x) est l’ensemble des voisinages de x.
UniversitySurf 17/50 Analyse Fonctionnelle
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
3. Soit V ⊂ E, V ∈ VE(0) ⇐⇒ ∀t ∈K∗; tV ∈ VE(0) ⇐⇒ ∃t ∈K∗; tv ∈
VE(0):
4. Soit A ⊂ E, A =
\
V∈VE(0)
(A +V ) :
5. (E;T ) est séparé si et seulement si {0} est fermé.
Preuve . En exercice ut
Théorème 2.1.15
Soit (E;T ) un evt. 1. ∀V ∈ VE(0), V est absorbant. 2. ∀V ∈ VE(0),
∀t ∈ K, ∃W ∈ VE(0) tel que V est un ouvert équilibré et W + tW ⊂ V
(t = 1 est le cas le plus important).
Preuve . 1. Soitx ∈ E, on a est continue en(0;x) donc il exister
> 0 et W ∈ VE(x) tels querDW = (rD ×W ) ⊂ V , en particulier
∀s> 1
>>< >>:
r t D
sinon:
On trouve queW est un ouvert équilibré contenant0 et W + tW ⊂ V .
ut Par récurrence on a le corollaire suivant
Corollaire 2.1.16 Pour tout voisinage V de 0, pour tout entier n ∈
N∗, il existe un ouvert équilibré contenant 0 tel que
+ · ·+| {z } n fois
Proposition 2.1.17
Dans un evt (E;T ), 0 admet une base de voisinages fermés
équilibrés.
Preuve . Soit ∈ VE(0). D’après le théorème 2.1.15 il existe un
ouvert équilibréW ∈ VE(0) tel queW +W ⊂ donc
W = ∩V∈VE(0) (W +V ) ⊂W +W ⊂ :
Il reste à montrer queW est équilibré, en exercice et voir le TD.
ut
Exercice2.1.18 (Voir TD)
1: A équilibré =⇒ A et co(A) sont équilibrés:
2: A équilibré et A ∈ VE(0) =⇒ A est équilibré:
3: A convexe =⇒ A et A sont convexe:
UniversitySurf 18/50 Analyse Fonctionnelle
Définition 2.1.19
Soit (E;T ) un evt et A ⊂ E. X A est bornée si et seulement si ∀V ∈
VE(0); ∃t > 0; tA ⊂ V . X A est totalement bornée (ou
pré-compacte) si et seulement si ∀V ∈ VE(0); ∃BV ⊂ E tel que BV
finie et A ⊂ B+V .
Exercice2.1.20 (Voir TD)
1. A est bornée et B⊂ A =⇒ A et B sont bornées. 2. A est
pré-compacte et B⊂ A =⇒ A et B sont pré-compactes. 3. A est
compacte =⇒ A est pré-compacte =⇒ A est bornée. 4. A est un sous
espace vectoriel de E =⇒ A est un sous espace vectoriel de E.
5. Si A est un sous espace vectoriel de E tel que A , alors A =
E.
2.1.4 Applications linéaires continues
Proposition 2.1.21
Soit E et F deux evt et f : E→ F une application linéaire. On
a
f est continue sur E ⇐⇒ f est continue en 0:
Preuve . =⇒ ) triviale. ⇐= ) Soit x ∈ E et V ∈ VF(f (x)) donc il
existe un voisinageW de0 dansF (evt) tel queV = f (x) +W d’où f
−1(V ) = x + f 1(W ) ∈ VE(x), puisquef est continue en0 et doncf
1(W ) ∈ VE(0). ut
Remarque 2.1.22. Soit E et F deux evt etf : E→ F une application
linéaire continue. On a
i ) Si F est séparé alors le noyau def Ker (f ) def = f −1({0}) est
fermé dansE.
ii ) Si B est une partie bornée (resp. pré-compacte) deE alors f
(A) est bornée (resp. pré-compacte) dansF.
Théorème 2.1.23
Soit E un evt et Soit f : E→ R une application telle que ∀x;y ∈ E,
∀t > 0
i ) f (x + y)6 f (x) + f (y) et ii ) f (tx ) = tf (x):
Alors
1) f est continue ⇐⇒ 2) (f < 1) est un ouvert ⇐⇒ 3) (f < 1) ∈
VE(0) ⇐⇒ 4) (f 6 1) ∈ VE(0) ⇐⇒ 5) f continue en 0 ⇐⇒ 6) il existe q
: E→ R une application continue en 0 telle que f 6 q sur un
voisinage U de 0.
Preuve . On remarque d’abord,f (0) = f (2×0) = 2f (0) doncf (0) =
0, f (y)− f (x) = f (x+(y −x))− f (x)6 f (y −x) et 0 = f (x − x)6 f
(x) + f (−x) donc−f (x)6 f (−x). On a 1) =⇒ 2) =⇒ 3) =⇒ 4) et 1) =⇒
6) sont triviales. 4) =⇒ 5) : Soit V ∈ VR(0) donc il existe" > 0
tel que]− ";" [⊂ V . On a " (f 6 1) = (f 6 " ) ∈ VE(0), soit W ∈
VE(0) équilibré tel queW ⊂ (f 6 " ) et pour tout x ∈ W , on a−x ∈ W
donc f (x) 6 " et f (−x) 6 " . Mais 0 = f (x − x) 6 f (x) + f (−x),
d’où−f (x)6 " . Ainsi f (x) ∈]− ";" [⊂ V . Donc f est continue
en0.
UniversitySurf 19/50 Analyse Fonctionnelle
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
5) =⇒ 1) : Soit x ∈ E et montrons quef est continue enx. Pour cela,
soitV ∈ VR(f (x)) donc il existe" > 0 tel que f (x)+" ]−1;1[=]f
(x)−";f (x)+" [⊂ V . Or f est continue en0 donc il existeW ∈ VE(0)
équilibré tel queW ⊂ f −1(]−";" [). Doncx +W ∈ VE(x) et pour tout y
∈ x +W , on ay − x ∈W et x − y ∈W d’où f (y − x) < " et f (x −
y) < " . Mais
|f (y)− f (x)|6 f (y − x)∨ f (x − y) < ";
Ainsi f (y) ∈ V . 6) =⇒ 1) : D’après l’équivalence de1) et5), il
suffit de montrer quef est continue en0. Soit V ∈ VR(0) donc il
existe " > 0 tel que]− ";" [⊂ V . Par suite il existeW ∈ VE(0)
équilibré tel queW ⊂ U ∩q−1(]− ";" [). Soit x ∈W , donc−x ∈W , f
(x)6 q(x) < " et−f (x)6 f (−x)6 q(−x) < " . Ainsi f (x) ∈]−
";" [⊂ V .CQFD ut
Théorème 2.1.24
Soit (E;T ) un evt séparé de dimension n sur le corps K = C ou R
(et non Q). Soit (e1; · ·;en) une base (algébrique) de E. Alors
l’application
h : Kn −→ E (t1; · ·;tn) 7−→
P n i=1 t i ei
est un isomorphisme topologique (une application linéaire qui est
une homéomorphisme). En par- ticulier (E;T ) est normable.
Remarque 2.1.25. Si on ne dit pas le contraireKn sera toujours muni
de la norme||(t1; · ·;tn)|| =max{|t1|; · ·;|tn|}.
Preuve . On a h est linéaire bijective c-à-d isomorphisme
algébrique (car(e1; · ·;en) une base deE). Il reste à montrer queh
et h−1 sont continues en0 = 0Kn et 0 = 0E respectivement. X Soit V
∈ VE(0). Montrons queh−1(V ) ∈ VKn (0) : Soit W ∈ VE(0) tel queW
est un ouvert équilibré etW + · ·+W| {z }
n fois
⊂ V .
D’autres part, les fonctions i :K→ E; t 7→ tei sont continues pouri
= 1 · ·n car i = i avec i :K→K×E; t 7→ (t;ei ), est continue (E est
un evt) et i est continue (topologieproduit sur l’ensemble d’arrivé
et les fonctions coordonnées sont continues : l’identité et une
fonction constante ). En déduit queU =
T n i=1 −1i (W ) ∈ VK(0) et U n = U × · · ×U| {z }
n fois
⊂ h−1(V ). D’où la continuité deh.
X Soit V ∈ VKn (0). Montrons queh(V ) ∈ VE(0) : Soit r > 0 tel
queBr = {t ∈Kn ; ||t || < r } = rB1 ⊂ V , il suffit donc de
montrer queh(B1) ∈ VE(0). On a S= {t ∈Kn ; ||t || = 1} est une
partie compacte deKn carK = C ou R (le casK =Q ne marche pas !) et
puisque h est continue etE estséparé, on obtienth(S) est compact et
en particulierh(S) est fermé dansE, de plush(0) = 0
donc0 ∈ U def = E \h(S) qui est un ouvert deE. Soit doncW un ouvert
équilibré tel que
0 ∈W ⊂ U:
Soit x < h(B1) donc||h−1(x)||> 1 ainsi 1 ||h−1(x)|| h
−1(x) ∈ S ce qui donne
h( 1
x ∈ h(S)
donc 1 ||h−1(x)|| x < W et puisqueW est équilibré et 1
||h−1(x)|| 6 1 on a x < W . Ainsi W ⊂ h(B1) ce qui prouve que
h(B1) ∈ VE(0). CQFD La topologieT est engendrée par la norme||x||E
= ||h−1(x)||Kn . ut
Corollaire 2.1.26
Soit E un evt séparé sur le corpsK ∈ {R;C}, soit F un sous espace
vectoriel de E de dimension finies. Alors F est fermé de E (ici K
=Q ne marche pas !).
UniversitySurf 20/50 Analyse Fonctionnelle
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
Preuve . Soit (e1; · ·;en) une base deF et supposons queF n’est pas
fermé. Donc il existeen+1 ∈ F tel queen+1 < F. PosonsG = V
ectK({e1; · ·;en;en+1}), on a
F G⊂ F et (e1; · ·;en;en+1) est une base deG:
D’après le théorème 2.1.24, la fonction
h : Kn+1 −→ G (t1; · · · ;tn+1) 7−→
P n+1 i=1 t i ei
est un isomorphisme topologique. PuisqueKn × {0} est un fermé
deKn+1 alorsF = h(Kn × {0}) est un fermé deG. D’où
F = FG = F∩G = F:
Ce qui est absurde, ainsiF est fermé. ut
Lemme 2.1.27 Soit E un evt et A une partie de E. Soit B une partie
bornée de E telle que
∃t ∈K tel que B⊂ A + tB et |t | < 1:
Alors B⊂ V ectK(A).
Preuve . PosonsM = V ectK(A) et rappelons queM = T
V∈VE(0) (M +V ). Soit V ∈ VE(0) donc il existeW un ouvert équilibré
tel que0 ∈W ⊂W +W ⊂ V . PuisqueB est bornée, il existe > 0 tel
queB ⊂W . Or il existe un entiern0 tel que∀n > n0, on a |tn| =
|tn| < (car |t | < 1). D’autre part, on montre par récurrence
:∀n ∈ N∗,
B⊂M + tnB:
En effet, l’inclusion est vraie pourn = 1 (par hypothèse etA ⊂ M ).
Supposons que l’inclusion est vraie pourn ∈ N∗. Donc
x ∈ B =⇒ x ∈M + tnB =⇒ ∃m ∈M; ∃b ∈ B; x= m+ tnb
=⇒ ∃m;m′ ∈M; ∃b′ ∈ B; x= m+ tnm′ + tn+1b′ car B⊂M + tB
=⇒ x ∈M + tn+1B:
En particulier, B⊂M + tn0B⊂M + tn0 B ⊂M + tn0
W . PuisqueW est équilibrée ett n0 6 1, on trouve
B⊂M +W ⊂ B+V :
Donc B⊂
E est de dimension finie ⇐⇒ 0 admet un voisinage pré-compact.
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2.2. EVT LOCALEMENT CONVEXE
Preuve . X (=⇒ ) : Si dimK(E) = n alors il existe(e1; · ; · ;en)
une base deE. Considérons l’isomorphisme topologiqueh définie dans
le théorème 2.1.24 et le compactB1 = {z ∈Kn ; ||z||6 1} deKn, on aW
= h(B1) est compact (carh continue et E séparé) donc pré-compact
qui contient le voisinage de0, h({z ∈Kn ; ||z||6 1}) (c’est un
ouvert contenant0). Ainsi W est un voisinage de0 pré-compact. X (⇐=
) : Soit K un voisinage pré-compact de0. Soit A une partie finie
deE telle que
K ⊂ A + 1 2
D’après le lemme 2.1.27, on a K ⊂M
où M = V ectK(A). Or M est de dimension finie donc, d’après la
proposition 2.1.26,M = M (puisqueE est séparé). D’autre part,
x ∈ E =⇒ ∃t > 0; tx ∈ K ⊂M car K est absorbant puisque tout
voisinage de0 est absorbant =⇒ x ∈M car M est un sous espace
vectoriel:
DoncE ⊂M , ainsi E est de dimension finie. ut
Définition 2.1.29
On dit qu’un evt séparé est localement compact si l’origine admet
un voisinage compact.
Proposition 2.1.30
Si E est un evt localement compact alors 0 admet une base de
voisinage compacts dénombrable.
Lemme 2.1.31
Soit E un evt et V un voisinage borné de 0. Alors B0 def= { 1n V ;
n ∈ N∗} est une base de voisinage de
0.
Preuve . Il suffit d’appliquer le lemme suivant. ut
Preuve . Soit U ∈ VE(0) donc il existe un ouvert équilibréW tel
que0 ∈W ⊂ U . Or V est borné donc il existet > 0 tel quetV ⊂W ,
soit n ∈ N∗ tel que 1
n < t , donc
E est de dimension finie ⇐⇒ E est localement compact.
2.2 EVT localement convexe
UniversitySurf 22/50 Analyse Fonctionnelle
Définition 2.2.1
On dit qu’un evt E est localement convexe, on écrit evtlc, si 0
admet une base de voisinages convexes, c’est à dire
∀V ∈ VE(0); ∃W ∈ VE(0); W ⊂ V et W est convexe.
Proposition 2.2.2
Soit E un evtlc. Alors 0 admet une base de voisinages convexes
fermés et équilibrés.
Preuve . Soit V ∈ VE(0), donc∃W1 ∈ VE(0) tel queW1 est équilibré
estW1 ⊂ W1 + W1 ⊂ V . Or E est localement convexe donc∃W2 ∈ VE(0)
tel queW2 est convexe etW2 ⊂ W1. Il existe aussi u voisinages
équilibré de0 tel que W3 +W3 ⊂W2. PosonsU = co(W3), on aW3 ⊂W doncW
est un voisinage fermé convexe de0. D’autre part,
W3 ⊂W2 =⇒ co(W3) ⊂ co(W2) = W2 =⇒ U = co(W3) ⊂W2 ⊂W1 ⊂W1 +W1 ⊂ V
:
ut
Définition 2.2.3
Soit E un K-espace vectoriel (à présent on n’a pas de topologies
sur E). Soit P = {pi ; i ∈ I } une famille de semi normes sur E. 1.
On dit que la famille P est séparante si ∀x ∈ E \ {0}; ∃p ∈ P ; tel
que p(x)neq0. 2. On dit que P est filtrante si ∀p;p′ ∈ P ; ∃q ∈ P ;
tel que p 6 q et p′ 6 q.
Remarque 2.2.4. Soit P est une famille de semi normes surE.
PosonsJP = {J ⊂ P tel que J est finie} et pour J∈ J , qJ : E→
[0;+∞[ définie parx 7→maxp∈J p(x). Alors bP = {qJ ; J∈ J } est une
famille filtrante surE, séparante si P l’est.
Notation 2.2.5. Soit p une semi norme surE, on noteBp l’ensemble{x
∈ E | p(x) < 1} (la boule ouverte unité associée à la semi
normep).
Proposition 2.2.6 ( et définition)
Soit E un K-espace vectoriel et P une famille de semi normes sur E.
Posons
TE(P ) def=
8 >>>< >>>:
\
:
Alors (E;TE(P )) est un evtlc. Une base de voisinages de 0 pour
cette topologie est donnée par
BE(0) =
9 >>>= >>>;
:
Cette topologie est séparé si P est séparante. Définition : TE(P ))
est dite la topologie sur E associée à la famille des semi normes P
sur E.
Preuve . Facile, il suffit pour établir queTE(P )) est une
topologie sueE d’utiliser la même démonstration que celle du même
résultat pour les espaces métriques ou normés (voir cours
topologie). En suite il faut montrer la continuité de l’addition et
de la multiplication externe... ut
UniversitySurf 23/50 Analyse Fonctionnelle
\
Proposition 2.2.8
Soit E un K-espace vectoriel, P une famille de semi normes sur E et
B⊂ E. Alors B est bornée pour la topologie TE(P ) si et seulement
si ∀p ∈ P ; ∃Mp ∈ R; ∀x ∈ B; p(x)6 Mp.
Preuve . En exercice. ut
Soit (E;T ) un evt.
E est localement convexe si et seulement si ∃P une famille de semi
normes sur E tq T = TE(P ).
Preuve . (=⇒) : D’après la proposition 2.2.6. (⇐=) : Soit V = {V ∈
VE(0) | V est convexe, fermé et équilibré}. On sait que pour tout
voisinageU de0 il existe un élémentV deV tel queV ⊂ U . Pour V ∈ V
, soit pV la jauge deV . On sait quepV est une semi norme surE et V
= {x ∈ E ; pV (x) 6 1} = (pV 6 1) (voir TD). Considérons maintenant
la famille de semi normesP = {pV ; V ∈ V} et montrons queT = TE(P
). X Soit U ∈ T . Soit x ∈ U donc∃V ∈ V , x +V ⊂ U d’où x +BpV ⊂ x
+V ⊂ U , ainsi U ∈ TE(P ). On a montrer que
T ⊂ TE(P ):
X Réciproquement, soitU ∈ TE(P ). Soit x ∈ U , donc il existen ∈
N∗, il existed ∈ N∗ et il existeV1; · · · ;Vd ∈ V tels que
x + 1 n
T i=1··n Vi ⊂ U . Mais x + 1
2n T
i=1··n Vi ∈ VE(x) donc il existe x ∈ T tel quex ∈ x ⊂ U ,
d’où
U = [
Exemple 2.2.10
Soit A un ensemble non vide et F un espace vectoriel normé. Posons
E = FA l’espace vectoriel des applications de A dans F. Considérons
la famille des semi normes
P = {pa ; a∈ A}
où pa est définie par pa(x) = ||x(a)||F.
La topologie TE(P ) sur E est la topologie de la convergence
simple. E = FA muni de cette topologie est un evtlc séparé (en
exo).
UniversitySurf 24/50 Analyse Fonctionnelle
Exemple 2.2.11
Soit E = C(R;R) muni de la famille des semi normes P = {pn ; n ∈
N∗} avec
pn(x) = sup t∈[−n;n]
|x(t )|:
La topologie associée à P est dite la topologie de la convergence
compacte. Emuni de cette topologie est un evtlc métrisable (voir
plus loin) et donc séparé.
Exemple 2.2.12
Soit E = C∞(R;R) muni de la famille P = {pn;k ; n;k ∈ N} où
pn;k(f ) def= sup
i=0··n
1 CCCCA:
E muni de la topologie associée à P est un evtlc métrisable (voir
plus loin) et donc séparé aussi.
Exemple 2.2.13
Soit E = C∞0 (R;R) = D(R) l’espace des fonctions de classe C∞ à
support compact muni de la famille P = {pn ; n ∈ N} où
pn(f ) def= sup
i=0··n sup t∈R |f (i )(t )|:
D(R) muni de la topologie associée à P est un evtlc métrisable
(voir plus loin) et donc séparé aussi.
Théorème 2.2.14
Soit E un espace vectoriel muni d’une famille de semi normes P et F
un autre espace vectoriel muni d’une famille de semi norme Q. Soit
T : E→ F une application linéaire. Alors
i ) T est continue pour les topologies TE = TE(P ) et TF = TF(Q) ⇐⇒
iii ) ∀q ∈ Q; ∃Jq ∈ JP ; ∃mq ∈ N∗; T T
p∈Jq Bp
⊂mqBq
⇐⇒ ii ) ∀q ∈ Q; ∃Jq ∈ JP ; ∃Cq > 0; ∀x ∈ E; q(T (x))6 Cq supp∈Jq
p(x).
Preuve . i ) =⇒ ii ) : Soit q ∈ Q, on a Bq = (q < 1) ∈ VF(0) et
la continuité deT en 0 implique queT−1(Bq) ∈ VE(0) donc il existenq
∈ N∗ et il existeJq ∈ JP tels que 1
nq
T
ii ) =⇒ iii ) : Soit x ∈ E, soit " > 0 doncy def = 1
supp∈Jq p(x)+" x ∈ T
p∈Jq Bp d’où T (y) ∈mqBq et par conséquent
q(T (x))6 mq
1 CCCCCA;
tendons en suite" vers0+, pour obtenirq(T (x))6 mq supp∈Jq
p(x).
UniversitySurf 25/50 Analyse Fonctionnelle
2.2. EVT LOCALEMENT CONVEXE
iii ) =⇒ i ) : D’après la proposition 2.1.21, il suffit de montrer
queT est continue en0. Pour cela soitV ∈ VF(T (0) = 0),
donc il existen ∈ N∗ et il existeI ∈ JQ tels que1 n
T q∈I Bq ⊂ V . Posonsr =
" max q∈I
q∈I Jq.
PosonsU = 1 nr
T p∈J Bp, on aU ∈ VE(0) (J est finie) et six ∈ U , alors pour toutq
∈ I ,
q(T (x))6 Cq sup p∈Jq
p(x) < Cq
nr 6
1 n
doncT (x) ∈ 1 n
T q∈I Bq ⊂ V . D’où U ⊂ T−1(V ) c-à-dT est continue. ut
Remarque 2.2.15. Si de plusP est filtrante alors
i ) T est continue pour les topologiesTE = TE(P ) et TF = TF(Q) ⇐⇒
iii ) ∀q ∈ Q; ∃pq ∈ P ; ∃mq ∈ N∗; T Bpq
⊂mqBq
⇐⇒ ii ) ∀q ∈ Q; ∃pq ∈ P ; ∃Cq > 0; ∀x ∈ E; q(T (x))6 Cq
pq(x).
Théorème 2.2.16
Soit E un R-espace vectoriel et P une famille de semi normes sur E.
Soit f : E→ R une application telle que ∀x;y ∈ E, ∀t > 0
i ) f (x + y)6 f (x) + f (y) et f (tx ) = tf (x):
Alors
f est continue avec E muni de la topologie TE = TE(P ) ⇐⇒ ∃J∈ JP ;
∃C > 0; ∀x ∈ E; f (x)6 C supp∈J p(x).
Preuve (On peut aussi utiliser le théorème 2.1.23). (=⇒) :
Supposons quef est continue donc elle est continue en0 doncf
−1(]−1;1[) ∈ VE(0). Donc il existen ∈ N∗ et il existeJ∈ JP tels
que
1 n
p∈J Bp ⊂ f −1(]− 1;1[):
Soit x ∈ E et " > 0 doncy = 1 n("+supJ p(x)) x ∈ 1
n T
f (y) = 1
n(" + supJp(x)) |f (x)| < 1:
Ainsi, en tendant" → 0+, nous obtenonsf (x)6 |f (x)|6 C supp∈J p(x)
avecC = n. (⇐=) : Soit x ∈ E et montrons quef est continue enx.
Pour cela, soitV ∈ VR(f (x)) donc il existe" > 0 tel que f (x) +
" ] − 1;1[=]f (x) − ";f (x) + " [⊂ V . Soit n ∈ N∗ tel que C
n < " et posonsW = x + 1 n
T p∈J Bp. On a W ∈ VE(x) et
pour tout y ∈W ,
f (y)− f (x)6 f (y − x)6 C sup p∈J
p(y − x)6 C n
< ";
de même f (x)− f (y)6 f (x − y)6 C sup
p∈J p(x − y) = C sup
p∈J p(y − x)6
< ":
Ainsi f (W ) ⊂ f (x) + " ]− 1;1[⊂. D’où la continuité def enx.
ut
Définition 2.2.17
Soit (I ; 6) un ensemble ordonné, on dit que (I ; 6)est dirigé si
∀i;j ∈ I ; ∃k ∈ I tels que i 6 k et j 6 k.
UniversitySurf 26/50 Analyse Fonctionnelle
Exemple 2.2.18
X (N;6) est dirigé. X L’ensemble des voisinages de x muni de
l’inclusion est dirigé.
Définition 2.2.19
Soit (I ; 6) un ensemble dirigé et E un espace topologique. 1. Une
suite généralisée (famille, net) (xi )i∈I à valeurs dans E est une
application de I dans E : I → E; i 7→ xi . 2. On dit que la suite
généralisée (xi )i∈I à valeurs dans E converge vers x ∈ E si
∀V ∈ VE(x); ∃i0 ∈ I ; ∀i ∈ I ; i 0 6 i =⇒ xi ∈ V :
On écrit dans ce cas (xi )i∈I → x dans E ou lim i∈I
(xi )i∈I = x dans E.
Théorème 2.2.20
Soit E un evt, (xi )i∈I une suite généralisée à valeurs dans E et x
∈ E. 1. (xi )i∈I → x dans E si et seulement si ∀V ∈ VE(0); ∃i0 ∈ I
; ∀i ∈ I ; i 0 6 i =⇒ xi − x ∈ V ( c-à-d (xi − x)i∈I → 0). 2. Si la
topologie sue E est définie par une famille de semi normes P alors
(xi )i∈I → x dans E si et seulement si ∀p ∈ P ; (p(xi − x))i∈I → 0
dans R (on revient à R !).
Preuve . En exercice. ut
Proposition 2.2.21
Soit P et Q deux familles de semi normes sur E. Alors
TE(P ) ⊂ TE(Q) ⇐⇒ ∀p ∈ P ; p est continue pour TE(Q):
Preuve . Il suffit d’étudier la continuité de l’application
linéairef = idE : (E;TE(P ))→ (E;TE(Q)); x 7→ x... ut
2.3 Espaces de Fréchet
Définition 2.3.1
Soit (E;T ) un espace topologique. On dit qu’il est métrisable s’il
existe une distance d sur E telle que
T = Td = {U ⊂ E | ∀x ∈ U; ∃r > 0; Bd(x;r) ⊂ U } :
Où Bd(x;r) = {y ∈ E | d(y;x) < r }.
Remarque 2.3.2. Si (E;T ) est un evt métrisable par une distanced
sur E, alors elle est séparé et0 admet une base de voisinages
dénombrable :
n Bd(0;1n ) ; n ∈ N∗
(E;T ) est métrisable ⇐⇒ 0 admet une base de voisinages
dénombrable.
Preuve . =⇒) : Triviale d’après la remarque précédente. ⇐=) : Admis
(Mais pour les courageux voir le polycopié des exercices corrigés).
ut
Théorème 2.3.4
Soit (E;T ) un evtlc séparé. Alors
(E;T ) est métrisable ⇐⇒ il existe une suite de semi normes P = {pn
; n ∈ N∗} telle que T = TE(P ).
Dans ce cas on peut choisir une distance invariante par
translation.
Preuve . Rappelons queV = {V ∈ VE(0) | V est équilibré, convexe et
fermé} est une base de voisinage de0 et notonspV la jauge deV . On
sait queT = TE(Q), oùQ = {pV ; V ∈ V}. =⇒) : Soit d une distance
dansE telle queT = TE(Q) = Td. Pour n ∈ N∗, soit Wn ∈ V tel queWn ⊂
Bd(0;1n ). Notons
P = n pWn ; n ∈ N∗
o :
TE(P ) ⊂ TE(Q) = T :
Réciproquement, Soitq ∈ Q donc il existeV ∈ V telle queq = pV .
Soit nV ∈ N∗ tel queBd(0; 1 nV
) ⊂ V , on obtient Wn ⊂ V et par conséquent,pV 6 pWn c-à-d∃p ∈ P
telle queq6 p. D’où q est continue pourTE(Q) ce qui donne
T = TE(Q) ⊂ TE(P ):
On conclut que T = TE(Q) = TE(P ):
⇐=) : Soit une suiteP = {pn ; n ∈ N∗} de semi normes surE telle
queT = TE(P ). Posons
d : E×E −→ [0;+∞[ (x;y) 7−→ maxn∈N
h 1 2n (pn(y − x)∧ 1)
i
X d est une distance surE : i: (symétrie)∀x;y ∈ E; ∀n ∈ N; pn(y −
x) = pn(x − y), doncd(x;y) = d(y;x) ii: (séparante) Soitx;y ∈ E
tels qued(x;y) = 0. Donc ∀n ∈ N; pn(y − x) = 0 et puisqueTE(P ) est
séparée,P est séparante doncy = x. Réciproquement, puisque∀n; pn(0)
= 0 on ad(x;x) = 0. iii: (transitivité) Soit x;y;z∈ Z , on a pour
tout entiern, pn(z− x)6 pn(z− y) +pn(y − x) donc
1 2n (pn(z− x)∧ 1)6 1
2n (pn(z− y)∧ 1) + 1 2n (pn(y − x)∧ 1)6 d(z;y) +d(y;x)
d’où d(z;x)6 d(z;y) +d(y;x). Remarquons qued(y;x) = d(y − x;0)
c-à-dd est invariante par translation. X Td ⊂ T : Soit U ∈ Td, soit
x ∈ U donc il exister > 0 tel queBd(x;r) ⊂ U . Soit m ∈ N∗ tel
que 1
m < r , soit n0 ∈ N tel que 1
2n0 < r et posonsJ= {p0; · · · ;n0}. Soit y ∈ x + 1
m T
i=0··n Bpi donc∀i = 0 · ·n; pi (y − x) < 1 m , en
particulier
UniversitySurf 28/50 Analyse Fonctionnelle
∀i = 0 · ·n; 1 2i [pi (y − x)∧ 1] < r:
D’autre part, ∀i > n , 1 2i [pi (y − x)∧ 1]6 1
2i < 1 2n0 < r . Ainsi d(y;x) < r , c-à-dy ∈ Bd(x;r) ⊂ U
.
D’où x + 1 m
T i=0··n Bpi ⊂ U , ce qui implique queU ∈ T .
X T ⊂ Td : Soit U ∈ T , soit x ∈ U donc il existem ∈ N∗ et il
existeJ= n pn1
; · · · ;pnk
m T
i∈J Bp ⊂ U . Posons =max {n1; · · · ;nk} et r = 1
m2 . Soit y ∈ Bd(x;r), donc∀i ∈ N; pi (y−x)∧1 < r2i , en
particulier∀j ∈ {n1; · · · ;nk} ; pnj (y−x)∧1 < r2nj 6 r2 =
1
m 6 1. Doncy ∈ x + 1
m T
Bd(x;r) ⊂ U
Définition 2.3.5
Soit (E;T ) un evt. Soit (xn)n∈N une suite de E. On dit que (xn)n∈N
est une suite de Cauchy au sens des espaces vectoriels topologiques
si
∀V ∈ VE(0); ∃n0 ∈ N; ∀n;m> n0; xm − xn ∈ V :
Définition 2.3.6
Un evt est dit complet au sens des evt si et seulement si Toute
suite de Cauchy au sens des evt converge dans E.
Définition 2.3.7
Un espace de Fréchet est evtlc métrisable complet au sens de evt ce
qui est équivalent à dire qu’il complet au sens métrique avec une
distance qui engendre la topologie invariante par
translation.
Exemple 2.3.8
[
Kn+1:
Soit m ∈ N et pm : Ck( ;R); f 7→ pm(f ) = sup
| |6k sup x∈Km
||D f (x)
avec pour = ( 1; · · · ; d) ∈ Nd, | | = 1 + · · ·+ d et D f (x) =
@
@ 1x1··@ d xd .
On a (E;Td) est un espace de Fréchet.
UniversitySurf 29/50 Analyse Fonctionnelle
Chapitre 3 3.1 Banach-Steinhaus 3.2 Application ouverte 3.3 Graphe
fermé
Sommaire
3.1 Banach-Steinhaus
Définition 3.1.1
Soit (E;T ) un espace topologique, on dit que A ⊂ E est maigre s’il
existe une suite (An)nßN de fermé telle que
A ⊂ [
An = ∅:
Remarque 3.1.2. Soit (E;T ) un espace topologique. 1. Si (An)nßN
est une suite de partie maigre de(E;T ) alors
S n∈NAn est maigre dans(E;T ).
2. Si A ⊂ B⊂ E et B est maigre deE alorsA est maigre.
Définition 3.1.3
Soient E et F deux espaces topologiques. Soit (Ti )i∈I une famille
d’applications de E dans F. X On dit que la famille (Ti )i∈I est
équicontinue en x ∈ E si
∀V ∈ VF(f (x)); \
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(x):
X On dit que la famille (Ti )i∈I est équicontinue (resp. sur A ⊂ E)
si elle est équicontinue en tout point x ∈ E (resp. x ∈ A).
Proposition 3.1.4
Soient E et F deux evt . Soit (Ti )i∈I une famille d’applications
linéaires de E dans F. La famille (Ti )i∈I est équicontinue si elle
est équicontinue en 0 c-à-d
∀V ∈ VF(0); \
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(0):
Preuve . Facile, semblable à la démonstration de la proposition
2.1.21. ut
30
3.1. BANACH-STEINHAUS
Proposition 3.1.5
Soient E et F deux evt . Soit (Ti )i∈I une famille d’applications
linéaires de E dans F équicontinue. Soit B une partie de E bornée.
Alors
S i∈I Ti (B) est bornée dans F.
Preuve . Soit V ∈ VF(0). Puisque(Ti )i∈I est équicontinue en0,
T
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(0). Soit donct > 0 tel queB ⊂ t T
i∈I T−1i (V ). Ainsi, grâce à la linéarité desTi , ∀i ∈ I ,
Ti (B) ⊂ tV :
i∈I Ti (B) est bornée dansF. ut
Théorème 3.1.6
Soient E et F deux evt . Soit (Ti )i∈I une famille d’applications
linéaires continues de E dans F. Notons, pour x ∈ E, (x) = {Ti (x)
; i ∈ I } et A = {x ∈ E (x) est bornée dans F}. Si A n’est pas
maigre dans E, alors 1: (Ti )i∈I est équicontinue. 2: A = E.
Preuve . 1: (Ti )i∈I est équicontinue :Soit V ∈ VF(0), soit U ∈
VF(0) équilibré tel que
U +U +U +U ⊂ V :
Posons = T
, puisque lesTi sont continues on a est un fermé deE.
Or ∀x ∈ E
x ∈ A =⇒ (x) est bornée dansF =⇒ ∃t > 0; (x) ⊂ tU =⇒ ∃nN∗; (x) ⊂
nU car U est équilibrée
=⇒ ∃nN∗; ∀i ∈ ITi (x) ⊂ nU ⊂ nU
=⇒ ∃nN∗; ∀i ∈ Ix ∈ nT−1i (U ) car Ti est linéaire
=⇒ x ∈ [
DoncA ⊂ S
, ∅:
Soit ! ∈ , doncW
def = −! + ∈ VE(0).
Soit x ∈W doncx+! ∈ et par suite∀i ∈ I ; Ti (x+! ) ∈ U d’où Ti (x)
∈ −Ti (! )+U , or ! ∈ donc−Ti (! ) ∈ −U = U (car U est équilibrée).
Ainsi,
Ti (x) ∈ −Ti (! ) +U ⊂ U +U ⊂ U +U +U +U ⊂ V :
DoncW ⊂ T
i∈I T−1i (V ) ce qui nous donne T
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(0). (Ti )i∈I est équicontinue. 2: A = E : Soit x
∈ E, d’après la proposition 3.1.5 on a{x} est borné donc
S i∈I Ti ({x}) = (x) est bornée dansF c-à-d
x ∈ A. ut
Théorème 3.1.7 (théorème de Banach-Steinhaus)
Soit (E;T ) un evt de Baire (e.g. espaces de Fréchet, espaces d
Banach ... ) et F un evt. Soit (Ti )i∈I une famille d’applications
linéaires continues de E dans F telle que
∀x ∈ E; {Ti (x) ; i ∈ I } est bornée dans F:
Alors (Ti )i∈I est équicontinue.
Preuve . Reprenons les notations du théorème 3.1.6. On aA = E qui
n’est pas maigre puisqueE est un espace de Baire. On applique donc
le théorème 3.1.6 pour conclure. ut
Corollaire 3.1.8 Soit (E;T ) un evt de Baire et F un evt séparé.
Soit (Tn)n∈N une suite d’applications linéaires continues de E dans
F telle que
∀x ∈ E; lim n→+∞
Tn(x) existe dans F:
Alors T : E→ F; x 7→ limn→+∞Tn(x) est bien définie linéaire
continue.
Preuve . X On a T est bien définie carF est séparé ce qui donne
l’unicité de la limite. X On a T est linéaire car lesTn le sont. X
On a (x) = {Tn(x) ; n ∈ N} est bornée, en effet soitV ∈ VF(0), soit
U ∈ VF(0) équilibré tel queU +U ⊂ V . Soit un entier n0 tel que∀n
> n0; Tn(x) ∈ l +U avecl = limn→+∞ Tn(x). Soit > 0 tel quel ∈
U , pour tout k ∈ {0; · · · ;n0},
k > 0 tel que kTk(x) ∈ U . Posonst def = min{ 0; · · · ;
n0
;1; }. PuisqueU est équilibré, on a
t {Tn(x) ; n ∈ N} ⊂ V :
X T est continue. En effet, Soit V ∈ VF(0), U ∈ VE(0) équilibré tel
queU + U ⊂ V . D’après le théorème de Banach Steinhaus 3.1.7,W
=
T n T−1n (U ) ∈ VE(0), soit
Soit x ∈W . Soit n0 ∈ N tel que∀n > n0; Tn(x) ∈ T (x) + U . U
est équilibré etx ∈ W implique que−Tn(x) ∈ U . D’où T (x) ∈ U +U ⊂
V . Ce qui nous donneW ⊂ T−1(V ) par suite T est continue en0 et
donc continue puisqu’elle est linéaire d’un evt dans un evt.
ut
Corollaire 3.1.9 (théorème de Banach-Steinhaus)
Soient E et F deux espace de Banach. Soit (Ti )i∈I une famille
d’applications linéaires continues de E dans F:On suppose que
∀x ∈ E; sup i∈I Ti xF <∞:
Alors sup i∈I Ti L(E;F) <∞:
Autrement dit, ∃c∈ R : ∀ i ∈ I ; Ti xF ≤ cxE:
Preuve . D’après le théorème de Banach-Steinhaus 3.1.7,(Ti )i∈I est
équicontinue. Donc T
i∈I T−1i (B(0;1)) ∈ VE(0), ainsi il exister > 0 tel queB(0;r)
⊂
T i∈I T−1i (B(0;1)).
Soit x ∈ E et " > 0 donc r "+||x|| x ∈ B(0;r) donc∀i ∈ I , ||Ti
(
r "+||x|| x)|| < 1, on obtient∀i ∈ I , ||Ti (x)|| < 1
r (" + ||x||). En tendant " → 0+, on a
∀i ∈ I ; ||Ti (x)||6 1 r ||x||:
ut
Preuve (Une deuxième méthode). Pour tout n ∈ N∗; on pose
Xp := {x ∈ E : ∀ i ∈ I ; Ti xF ≤ p}:
Pour tout p ∈ N∗;Xp est un fermé : En eff et : Soit (xn)n∈N une
suite d’éléments deXp telle que(xn)n∈N converge versx:
∀n ∈ N : Ti xnF ≤ p;∀ i ∈ I ;
comme∀ i ∈ I ;Ti est continue, par passage à la limite on trouve
que
Ti xF ≤ p;∀ i ∈ I ;
ce qui donne quex ∈ Xp;∀p ∈ N: En plus, puisque
∀x ∈ E; sup i∈I Ti xF <∞;
si p ≥ E(supi∈I Ti xF) + 1; (où E(y) désigne la partie entière
dey), alors x ∈ Xp et donc∪i∈I Xp = E: On tire du
lemme de Baire que∃p0 ∈ N telle que Xp0 , ∅:
Soit x0 ∈ E et r > 0 tels queB(x0;r) ⊂ Xp0 : On a :
∀ i ∈ I ;∀z ∈ B(0;1) : Ti (x0) + rTi (z) ≤ p0:
Ainsi ∀ i ∈ I ;∀z ∈ B(0;1) : Ti (z) ≤
1 r (p0 +Ti (x0)):
D’où sup i∈I Ti <∞:
ut
Corollaire 3.1.10 Soient E et F deux espaces de Banach. Soit
(Tn)n∈I une famille d’opérateurs linéaires continus de E dans F:On
suppose que ∀x ∈ E; la suite (Tnx)n∈N converge vers une limite T
x:Alors
1. sup i∈I TnL(E;F) <∞;
2. T ∈ L(E;F); 3. TL(E;F) ≤ limn→+∞ inf TnL(E;F):
Preuve . 1. Résulte directement du théorème de Banach-Steinhaus. Il
existec > 0 telle que :
∀n ∈ N;∀x ∈ E;Tnx ≤ cx:
Par passage à la limite, on obtient que :T x ≤ cx;∀x ∈ E: 2. Il est
facile de vérifier queT est linéaire ; 3. On a
Tnx ≤ TnL(E;F)x;∀x ∈ E
par passage à la limite, on trouve que :
TL(E;F) ≤ lim n→+∞
Corollaire 3.1.11
Soit G un espace normé et soit B un sous-ensemble de G:On suppose
que : ∀ f ∈G′ l’ensemble f (B) est borné dans R. Alors B est borné
dans G:
Preuve . On applique le théorème de Banach Steinhaus 3.1.9 avecE =
G′, F = R et I = B: Pour chaqueb ∈ B, on pose
Tb(f ) = f (b);∀ f ∈G′
donc ∀ f ∈G′; sup
b∈B |Tb(f )| < +∞:
Il existec > 0 telle que : ∀f ∈G′;∀b ∈ B;|f (b)| ≤ cf :
Donc, d’après le théorème de Hahn Banach,
∀b ∈ B; ||b|| = max ||f ||=1
|f (b)| ≤ c:
Corollaire 3.1.12
Soit G un espace de Banachet soit B′ un sous-ensemble de G′: On
suppose que : ∀x ∈G l’ensemble {f (x) : f ∈G′} est borné dans R:
Alors B′ est borné dans G′ .
Preuve . On applique le théorème de Banach Steinhaus 3.1.9 avecE =
G;F= R et I = B′: Pour chaquef ∈ B′ on pose
Tf (x) = f (x); ∀x ∈G
donc il existec > 0 telle que : ∀x ∈G;∀ f ∈ B′; |f (x)| ≤
cx:
Donc ∀ f ∈ B′; f ≤ c:
ut
Théorème 3.2.1 (théorème de l’application ouverte)
Soit (E;TE) un espace de Fréchet et (F;TF) un evt séparé. Soit T
une application linéaire continue de E dans F telle que T (E) n’est
pas maigre dans F. Alors 1. T est ouverte c-à-d ∀ ∈ TE; T( ) ∈ TF.
2. T (E) = F. 3. F un espace de Fréchet.
Preuve . Soit P = {pn ; n ∈ N} une suite de semi normes qui
engendre la topologieTE (i.e. TE = TE(P )) et soit la distance
d(x;y) = maxn
h 1 2n (pn(y − x)∧ 1)
i . On sait queTd = TE = TE(P ) et que(E;d) est complet (donc(E;TE)
est un espace
de Baire). 1. En plusieurs étapes :
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3.2. APPLICATION OUVERTE
i: ∀V ∈ VE(0);
T (V ) , ∅ : En effet, soitU ∈ VE(0) équilibré tel queU ⊂ V . Soit
x ∈ E donc il existet > 0 tel quex ∈ tU (tout voisinage de0 est
absorbant). Soitn un entier tel quen > t doncx ∈ n t
n U ⊂ nU (U est équilibré), ainsix ∈ S
n∈N∗ nV . D’où
T (E) ⊂ [
Mais T (E) n’est pas maigre donc
T (V ) , ∅. ii: ∀V ∈ VE(0); T (V ) ∈ VF(0) :
En effet, soitU ∈ VE(0) équilibré tel queU +U ⊂ V . PuisqueU est
équilibré, on a−U = U et doncU −U ⊂ V . La linéarité deT nous
assure queT (U )−T (U ) ⊂ T (V ) et par conséquent
T (U )−
T (U ) ⊂
car∀A;B⊂ E, A −
B⊂ int (A −B) et A −B⊂ A −B (en exercice, simple !) .
Soit z ∈
T (U ) (qui existe d’après l’étapei )), donc0 = z− z ∈
T (V ). iii: ∀V ∈ VE(0); ∃U ∈ VE(0); T (U ) ⊂ T (V ) :
Soit V ∈ VE(0) donc il exister > 0 tel queBf (0;2r ) ⊂ V et
notonsUn = B(0;2−nr ). On a, puisque la distanced est invariante
par translation, pour toutn ∈ N, Un+1 ⊂ Un+1 − Un+1 ⊂ Un ⊂ V et U0
−U0 ⊂ V . Soit y ∈ T (U0). Construisons par récurrence une
suite(xn;yn)n∈N d’éléments deF×E : y0 = y et puisquey0 ∈ T (U0)
alors
h y0 −T (U1)
i ∩T (U0) , ∅ donc il existex0 ∈ U0 tel quey0 −T (x0) ∈ T
(U1).
y1 = y0−T (x0) et puisquey1 ∈ T (U1) alors h y1 −T (U2)
i ∩T (U1) , ∅ donc il existex1 ∈ U1 tel quey1−T (x1) ∈ T
(U2).
Supposons qu’on a construit, pourn ∈ N∗, (xn;yn) tel queyn ∈ T
(Un), xn ∈ Un, yn − T (xn) ∈ T (Un+1) et yn = yn−1 − T (xn−1).
Posonsyn+1 = yn −T (xn) ∈ T (Un+1) alors
h yn+1 −T (Un+2)
i ∩T (Un+1) , ∅, donc il existexn+1 ∈ Un+1 tel que
yn+1 −T (xn+1) ∈ T (Un+2):
Ce qui donne(xn+1;yn+1) avec les propriétés voulues.
En utilisant yn = yn−1 −T (xn−1) et en posantsn def =
P n−1 i=0 xi , on a
yn = y −T (sn):
d(sn+p;sn) = d(sn+p − sn;0) = d( n+p−1X
i=n
2r 2n :
Ainsi (sn)n est une suite de Cauchy dans l’espace complet(E;d) donc
converge vers un éléments deE. Mais
d(sn;0) = d( n−1X
r 2i 6 2r:
Donc∀n ∈ N∗; sn ∈ Bf (0;2r ) doncs∈ Bf (0;2r ) ⊂ V . On a ainsi la
suite(yn)n converge versy −T (s). D’autre part, soit W ∈ VF(0)
arbitraire et considérons ∈ VF(0) équilibré tel que + ⊂W .
Puisqueyn ∈ T (Un), on obtient [yn − ]∩T (Un) , ∅, il existe
donc∃zn ∈ Un tel que yn ∈ T (zn) + . Or d(zn;0)6 r
2n donc(zn)n→ 0 et la continuité deT implique (T (zn))n→ 0 ; Ainsi
il existe un entier n0 tel que∀n > n0, T (zn) ∈ . D’où ∀n >
n0, yn ∈ + ⊂W . Donc (yn)n converge vers0. Mais F est séparé donc y
= T (s) ∈ T (V ). Ainsi
T (U0) ⊂ T (V ):
iv: ∀ ∈ TE; T( ) ∈ TF : Soit y ∈ T ( ), donc il existex ∈ tel quey
= T (x) donc(−x + ) ∈ VE(0) et par suiteT (−x + ) = −y +T ( ) ∈
VF(0). Ainsi T ( ) ∈ VF(y). y étant arbitraire dansT ( ) doncT ( )
∈ TF. ut
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3.3. GRAPHE FERMÉ
2. T (E) est un sous espace vectoriel ouvert de F, donc T (E) = F.
3. Pour n ∈ N∗, posons qn : F→ R+; y 7→ infx∈T−1{y} pn(x). On
montre que Q = {qn ; n ∈ N} est une suite de semi normes sur F qui
engendre TF et on montre que F est complet au sens des evt. Voir
TD.
Corollaire 3.2.2
Soient E, F deux espaces de Fréchet et T : E → F linéaire continue
surjective. Alors T est une application ouverte.
Preuve . T (E) = F est maigre (c’est un espace de Baire). D’après
le théorème de l’application ouverteT est une application ouverte.
ut
Corollaire 3.2.3
Soient E, F deux espaces de Fréchet et T : E → F linéaire continue
bijective. Alors T−1 est une continue.
Preuve . D’après le corollaire précédent. ut
Corollaire 3.2.4 (théorème de l’application ouverte, cas
Banach)
Soient E et F deux espaces de Banach et soit T un opérateur
linéaire continu et surjectif de E sur F: Alors il existe une
constante c > 0 telle que :
BF(0;c) ⊂ T (BE(0;1)):
Corollaire 3.2.5 Soit E un espace vectoriel muni de deux normes · 1
et · 2: On suppose que E muni de chacune des normes :1 et :2 est un
espace de Banach. On suppose de plus qu’il existe une constante c≥
0 telle que :
x2 ≤ cx1; ∀x ∈ E:
Alors il existe une constante c′ > 0 telle que :
x1 ≤ c′x2; ∀x ∈ E:
Autrement dit les deux normes sont équivalentes.
Preuve . Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avec
E = (E; · 1); F = (E; · 2) et T = IdE:
ut
3.3 Graphe fermé
Soit E, F deux ensembles et f : E→ F une application.
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Cf = Gf = {(x;f (x) ; x ∈ E)} ⊂ E×F:
Remarque 3.3.2. X Si E et F deux espaces vectoriels etf linéaire,
alorsGf est un sous espace vectoriel deE×F. X Si E et F deux
espaces topologiques etf continue, alorsGf est un ouvert deE×F muni
de la topologie produit.
Théorème 3.3.3 (Théorème des graphes fermés)
Soient E et F deux espaces de Fréchet. Soit T un opérateur linéaire
de E dans F.
G(T ) est fermé dans E×F si et seulement si T est continu.
Preuve . ⇐=: Facile. Voir cours topologie ou la remarque
précédente. =⇒: Soit p1 : E×F −→ E
(x;y) 7−→ x et p2 : E×F −→ E
(x;y) 7−→ y: Posons
(x;y) 7−→ x:
• On a GT muni de la topologie trace de la topologie produit surE×F
est un espace de Fréchet carE×F est de Fréchet (voir TD) et GT est
un sous espace fermé deE×F. • On a f bijective puisquef (x;T(x)) =
x ( f surjective) etf (x;y) = f (x′;y′) =⇒ x = x′, doncy = T (x) =
T (x′) = y′ ainsi (x;y = (x′;y′) (f injective). • On a f est
continue puisque c’est une restriction de fonction continuep1.
D’après le théorème de l’application ouverteg = f −1 : E → GT ; x
7→ (x;T(x)) est continue. D’oùT = p2 g est continue. ut
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Chapitre 4 4.1 Topologie faible 4.2 Topologie faible étoile 4.3
Espaces réflexifs
Sommaire
4.1 Topologie faible
Dans la suite de ce chapitre (E; || · ||E) est un K-espace
vectoriel normé avec K = R ou C.
Définition 4.1.1
La topologie sur E induite par sa norme || · || est dite la
topologie forte sur E elle est engendrée par la suite finie (en
fait une seul semi norme) de semi normes {|| · ||} séparante. La
topologie forte sur l’espace normé (E; || · ||E) sera notée b(E;E′)
ou T f ort
E .
Définition 4.1.2
À partir de (E; || · ||E), on définit un nouvel espace E′ ,
l’espace dual (topologique) de (E; || · ||E) par E′ = {f : E→K;K−
linéaire continue}.
Proposition 4.1.3
L’espace E′ est un espace de Banach lorsqu’il est muni de la norme
:
f E′ = sup x∈E;x,0
|f (x)| x
|f (x)| = sup x∈E;x≤1
|f (x)|:
Remarque 4.1.4. D’après le théorème de Hahn-Banach (en fait un de
ses corollaires),
∀x ∈ E; ∃f x R-linéaire continuetel que ||x||E = f x(x) et ||f x
||E′ = 1:
Posonsgx : E→K; t 7→
8 >>< >>:
f x(t ) siK = R f x(t )− if x(it ) siK = C
. On a gx ∈ E′, ||gx ||E′ 6 √ 2 et ||x|| =<(gx(x)).
On considère la famille d’application (pf )f ∈E′
pf : E→ R+ x→ |f (x)|:
38
o est une famille de semi norme séparante sur E.
Preuve . Il est simple de montrer queP est une famille de semi
normes (il suffit d’écrire la définition !). Pour montrer qu’elle
séparante, on utilise la remarque précédente. ut
Définition 4.1.6 (La topologie faible)
La topologie engendrée par la famille des semi normes P , notée
(E;E′) ou T w E , sur E (i.e. (E;E′) =
TE(P )) est appelée la topologie faible sur (E;|| · ||E).
Remarque 4.1.7.
\
f ∈I Vf ; n ∈ N∗ et I est une partie finie deE′
9 >>>= >>>;
est une base de voisinages de0 pour la topologie faible
(E;E′).
Où Vf = Bpf (0;1) = {x ∈ E | |f (x)| < 1} :
X (E; (E;E′)) est un evtlc séparé.
Proposition 4.1.8
(E;E′) est la plus petite topologie sur E rendant continue les
éléments de E′ .
Preuve . On a∀f ∈ E′, ∀x ∈ E, |f (x)|6 pf (x), donc d’après le
théorème 2.2.16,f est (E;E′) continue. Réciproquement, SoitT ′ une
topologie surE qui rend continue les éléments deE′. Soit V ∈
(E;E′). Soit x ∈ V donc il existen;m ∈ N∗, il existe f1; · · · ;fm
∈ E′ tel quex + 1
n ∩ m i=1 Vf i ⊂ V .
Or pour tout i = 1 · ·m, f i : (E;T ′)→K est continue enx doncx+ 1
n Vf i = f −1i (BK(f i (x);1n )) est un voisinage dex pour
la topologieT ′. Puisque l’intersection finie de voisinage dex est
un voisinage dex, on ax+ 1 n ∩
m i=1 Vf i est un voisinage
dex pour la topologieT ′. Par suite
V est un voisinage dex pour la topologieT ′:
Ainsi V ∈ T ′. CQFD ut
Corollaire 4.1.9
1. Si U est un ouvert faible (c-à-d ∈ (E;E′)) alors U est ouvert
fort (i.e. ∈ b(E;E′)). 2. Si F est un fermé faible (c-à-d pour la
topologie (E;E′)) alors F est fermé fort (i.e. pour la topologie ∈
b(E;E′)). 3. Si K est un compact fort (c-à-d pour la topologie
b(E;E′)) alors K est compact faible (i.e. pour la topologie
(E;E′)).
Preuve . 1. Évident, puisque pour toutf ∈ E′, on a(E;b(E;E′))→K est
continue par définition deE′, alors (E;E′) ⊂ b(E;E&p