AnalisisFuncional

ANALISIS FUNCIONALUna introduccion elemental

M.A. RodrıguezDepartamento de Fısica Teorica II

Universidad Complutense de Madrid

16 de noviembre de 2007

Indice general

1. La integral de Lebesgue 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Medidas en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Medidas en anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Medidas interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6. Propiedades de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . 13

1.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2. La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Productos de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Topologıa, distancia y norma 332.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Espacio metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Espacios de Banach 513.1. Espacios normados de dimension finita . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Espacios de sucesiones lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Espacios de Hilbert 654.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4. Polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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ii INDICE GENERAL

5. Operadores en espacios de Hilbert 795.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Funcionales lineales continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4. Funcionales bilineales hermıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5. Operadores autoadjuntos y unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6. Operadores positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.8. Operadores de clase de traza y Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . 935.9. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6. Espectros de operadores 976.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2. El espectro puntual y el espectro continuo . . . . . . . . . . . . . 986.3. El resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4. El espectro de un operador y de su adjunto . . . . . . . . . . . . 1006.5. Espectro de operadores acotados normales . . . . . . . . . . . . . 1006.6. Espectro de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.7. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7. Distribuciones 1037.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2. Los espacios de funciones prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.4. Ejemplos de distribuciones en D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.5. Propiedades elementales de distribuciones . . . . . . . . . . . . . 1077.6. Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7. Convolucion de funciones y distribuciones . . . . . . . . . . . . . 1117.8. Distribuciones temperadas (S ′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.9. Operaciones con distribuciones temperadas . . . . . . . . . . . . 1147.10. Transformada de Fourier y convolucion . . . . . . . . . . . . . . . 115

8. Ejercicios 119

9. Soluciones a los Ejercicios 133

Prologo

Estas notas son un resumen de los cursos explicados en la Facultad de Cien-cias Fısicas de la UCM los anos 2003-04, 2004-05, 2005-06 y 2006-07. No todo loque aquı aparece fue explicado y se dijeron cosas que estas notas no contienen.Como suele ocurrir.

Madrid, 29 de septiembre de 2005

iii

Capıtulo 1

La integral de Lebesgue

1.1. Introduccion

El objetivo de este capıtulo es un estudio de la integral de Lebesgue. Losespacios vectoriales topologicos mas utilizados en Fısica son los espacios de fun-ciones, y en particular (al menos en Mecanica Cuantica) los espacios de funcionesintegrables Lebesgue (o cuya potencia p sea integrable Lebesgue). Se hace ne-cesario por tanto presentar, aunque sea someramente el concepto de integralde Lebesgue y previamente a este (por razones ademas de aplicacion a ciertoselementos de calculo funcional de operadores) una introduccion al concepto demedida. La pregunta es, si queremos espacios de funciones de cuadrado inte-grable (por ejemplo en Mecanica Cuantica), ¿por que no usamos la integral deRiemann? Una de las respuestas es que esta integral es insuficiente, en particularen lo que respecta a su comportamiento en relacion con sucesiones. El ejemplomas inmediato es el siguiente.

Ejemplo 1.1 Sea r1, r2, . . . , rm, . . . el conjunto de numeros racionales delintervalo (0, 1). Consideremos la siguiente sucesion de funciones:

fn(x) =

1, x ∈ r1, . . . rn 0, x ∈ [0, 1] \ r1, . . . rn

(1.1)

Las funciones fn son integrables Riemann (tienen un numero finito de disconti-nuidades, son continuas a trozos). Ademas la integral en [0, 1] es cero. Cuandose toma el lımite (puntual) de la sucesion fn se tiene la funcion:

f(x) =

1, x ∈ Q0, x ∈ [0, 1] \Q (1.2)

Pero la funcion f no es integrable Riemann. En cualquier particion del intervalo[0, 1], los subintervalos contienen puntos racionales e irracionales, por lo que lafuncion oscila entre 0 y 1 y las sumas inferiores y superiores son constantementeiguales a 0 y 1.

Otro ejemplo que tambien, aunque no de manera tan clara, obliga a extenderel concepto de integral es el siguiente relativo a la complecion de ciertos espaciosde funciones.

1

2 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE LEBESGUE

Ejemplo 1.2 Sea la sucesion de funciones en [0, 1] definidas por (n ≥ 2):

fn(x) =

0, x <

12− 1n

nx− n

2+ 1,

12− 1n≤ x ≤ 1

2

1, x >12

(1.3)

Es evidente que se trata de una sucesion de funciones continuas. Pero su lımite(de nuevo puntual) es una funcion discontinua:

f(x) =

0, x <

12

1, x ≥ 12

(1.4)

Consideremos el espacio C[0, 1] de las funciones continuas en el intervalo [0, 1](continuidad en 0 y 1 quiere decir que existen los lımites por la derecha e iz-quierda respectivamente). En este espacio definimos una distancia por medio dela integral de Riemann:

d(f, g) =∫ 1

0

|f − g|dx (1.5)

bien definida al ser las funciones continuas en [0, 1] integrables Riemann (aunqueno entraremos en detalles ahora, se trata de una distancia en el sentido usual).De acuerdo con ella, la sucesion de funciones es de Cauchy, es decir:

d(fn, fm) =∫ 1

0

|fn(x)− fm(x)|dx =12

∣∣∣∣ 1n − 1m

∣∣∣∣→ 0 (1.6)

cuando n,m tienden a infinito. Sin embargo su lımite no es una funcion continuay no esta en C[0, 1]. La cuestion es si existe una funcion continua a la quetienda esta funcion en la distancia definida anteriormente (aunque no tiendapuntualmente a ella). La respuesta es que no. En efecto, sea f(x) una funcionen C[0, 1], tal que:

d(fn, f) =∫ 1

0

|fn(x)− f(x)|dx (1.7)

tienda a cero cuando n→∞. Se tiene:∫ 1

0

|fn(x)− f(x)|dx =∫ 1

2−1n

0

|f(x)|dx+∫ 12

12−

1n

∣∣∣nx− n

2+ 1− f(x)

∣∣∣ dx+∫ 1

12

|1− f(x)|dx

Los tres sumandos son positivos luego todos deben hacerse cero cuando n→∞.El segundo es de esa forma, pues f es continua y la longitud del intervalo tiendea cero. El tercero no depende de n luego el integrando debe ser cero, y por tantof(x) = 1, x > 1/2. En cuanto al primero, cuando n → ∞, el extremo superiortiende a 1/2, y por lo tanto f(x) = 0, x < 1/2. Pero entonces f no puede sercontinua.

1.2. MEDIDAS 3

Se dice que el espacio C[0, 1] no es completo con esta distancia. Como ve-remos la complecion de este espacio con esta distancia, es decir que funcioneshay que anadir para conseguir un espacio completo, se consigue al incluir lasfunciones integrables Lebesgue (no basta con las integrables Riemann).

1.2. Medidas

Nuestro objetivo es como hemos dicho definir la integral de Lebesgue y estu-diar sus propiedades. Para ello necesitamos unas nociones basicas de teorıa de lamedida que iremos introduciendo a medida que se necesiten, teniendo siemprecomo guıa la mencionada integral de Lebesgue.

1.2.1. Medidas en intervalos

Consideremos una clase de conjuntos en la recta real,

P = [a, b) : −∞ < a ≤ b <∞

es decir, los intervalos semicerrados acotados de la recta real. En esta clase deconjuntos definimos una funcion (de conjuntos) con valores en la recta real:

λ([a, b)) = b− a (1.8)

que tiene unas propiedades claras:

Proposicion 1.2.1 La funcion λ verifica (I ∈ P):

1. λ(I) ≥ 0

2. λ(∅) = 0

3. λ(I) <∞

Notese que la clase P no es cerrada bajo la union de conjuntos (la union de dosintervalos no es en general un intervalo) ni bajo la diferencia de conjuntos.

Veamos algunas propiedades mas de esta funcion λ y la clase P.

Proposicion 1.2.2 Sea I0 = [a0, b0) ∈ P, Ij = [aj , bj) ∈ P, j = 1, . . . , n, unaclase de conjuntos disjuntos, contenidos en I0. Entonces,

n∑j=1

λ(Ij) ≤ λ(I0)

La demostracion es muy sencilla y responde a una idea intuitiva de la medida deun intervalo. Puesto que los intervalos Ij son disjuntos podemos considerarlosordenados:

a0 ≤ a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ bn ≤ b0

Por definicion de λ:

n∑j=1

λ(Ij) =n∑

j=1

(bj − aj) ≤n∑

j=1

(bj − aj) +n−1∑j=1

(aj+1 − bj) = bn − a1 ≤ λ(I0)


Notese que en este caso se tiene una union de conjuntos de P que estan dentrode otro (tambien en P) y se comparan las medidas. Veamos ahora la situacionen la que un conjunto esta contenido en la union de otros. En primer lugar con-sideraremos el caso de un conjunto cerrado contenido en una union de abiertos.

Proposicion 1.2.3 Sea F = [a0, b0] un intervalo cerrado contenido en la unionde una familia finita de intervalos abiertos acotados, Aj = (aj , bj), j = 1, . . . , n.Entonces:

b0 − a0 <n∑

j=1

(bj − aj)

Notese que los conjuntos de los que se esta hablando ahora no estan en P, porlo que no se menciona a λ que, en principio, solo se aplica a la clase P.

Puesto que F esta en la union de los intervalos abiertos, a0 esta en alguno deellos. Sea Ak1 dicho intervalo. Si bk1 ≤ b0, bk1 es un punto de F y por tantoestara en algun otro intervalo, Ak2 . De esta forma podemos continuar hastaque bkm > b0. Para simplificar, reordenamos los intervalos y eliminamos losposteriores al Akm

pues no juegan ningun papel en la proposicion (es decir, seam = n). Tenemos entonces:

a1 < a0 < b1, an < b0 < bn

y para los intermedios (si es que existen):

aj+1 < bj < bj+1, j = 1, . . . , n− 1

Ahora es muy sencillo obtener la desigualdad del enunciado:

b0 − a0 < bn − a1 = b1 − a1 +n−1∑j=1

(bj+1 − bj) ≤n∑

j=1

(bj − aj)

Con este resultado podemos pasar ahora a uno similar en la clase P.

Proposicion 1.2.4 Sea I0 = [a0, b0) ∈ P, Ij = [aj , bj) ∈ P, j = 1, 2, . . . unasucesion de conjuntos, tales que I0 ⊂ ∪∞j=1Ij. Entonces,

λ(I0) ≤∞∑

j=1

λ(Ij)

Supongamos que b0 > a0 (en otro caso el resultado es trivial). Entonces, existeε con 0 < ε < b0 − a0. Sea F0 = [a0, b0 − ε] y para cualquier δ > 0 definimos:

Aj =(aj −

δ

2j, bj

)Entonces F0 ⊂ I0, Ij ⊂ Aj , y se tiene

F0 ⊂∞⋃

j=1

Aj

1.2. MEDIDAS 5

Pero F0 es un compacto, y por tanto de todo recubrimiento por abiertos podemosextraer un subrecubrimiento finito:

F0 ⊂n⋃

i=1

Ai

Ahora estamos en las condiciones del teorema anterior, y entonces:

b0 − a0 − ε <n∑

j=1

(bj − aj +

δ

2j

)=

n∑j=1

(bj − aj) + δn∑

j=1

12j

es decir,

λ(I0)− ε <∞∑

j=1

λ(Ij) + δ

Pero ε y δ son arbitrarios (suficientemente pequenos) y se tiene la desigualdadbuscada.

La union de intervalos semicerrados no es en general un intervalo semicerra-do. Lo que es lo mismo, P no es cerrado bajo uniones de conjuntos. Sin embargo,en algunos casos se da esta situacion.

Proposicion 1.2.5 Dada una clase numerable de conjuntos de P, Ij , j =1, 2, . . ., disjuntos dos a dos, tal que ∪∞j=1Ij ∈ P, se tiene:

λ

∞⋃j=1

Ij

=∞∑

j=1

λ(Ij)

Sea I =⋃∞

j=1 Ij , con I, Ij , (j = 1, 2, . . .) ∈ P. Por tanto, Ij ⊂ I para todo j.Estamos en las hipotesis de la proposicion 1.2.2. Entonces

n∑j=1

λ(Ij) ≤ λ(I)

para cualquier valor de n. Pero eso quiere decir que:

∞∑j=1

λ(Ij) ≤ λ(I)

Aplicando la desigualdad en sentido contrario que se deduce de la proposicion1.2.4 se llega a la conclusion buscada.

Como hemos visto en las anteriores proposiciones, la funcion λ se aplica aconjuntos de una determinada clase y tiene una serie de propiedades que lahacen muy interesante para nuestros propositos. Por supuesto hay casos masgenerales que la definicion dada en (1.8) y conjuntos mas generales a los queaplicarla que P.


1.2.2. Medidas en anillos

Definiremos a continuacion una serie de conceptos que forman la base de lateorıa de la medida.

La idea fundamental es asignar a un conjunto un numero (real) que sera lamedida de ese conjunto. Pero antes necesitamos especificar a que tipo de con-juntos les vamos a asignar una medida.

Sea X un conjunto.

Definicion 1.2.1 Se dice que una coleccion R de subconjuntos de X es unanillo si se verifican las dos propiedades siguientes:

1. Si A,B ∈ R , entonces A ∪B ∈ R

2. Si A,B ∈ R, entonces A−B ∈ R,

La diferencia de dos subconjuntos de X se define por:

A,B ∈ X, A−B = A ∩B′

donde B′ es el complementario de B en X.La diferencia simetrica de dos conjuntos se define como:

A∆B = (A−B) ∪ (B −A)

Un anillo es cerrado bajo esta operacion.Por ejemplo, la clase P no es un anillo, pero la coleccion formada por las

uniones (finitas) de los intervalos semicerrados, RP , es un anillo.Dada una coleccion, E , de subconjuntos de X existe un anillo minimal que

los contiene, R(E) (es la interseccion de todos los anillos que contienen a E). Sedice que R(E) esta generado por E .

Si sustituimos la condicion de union finita por la de union numerable, ten-dremos un σ-anillo:

Ai ∈ S, i ∈ I (numerable),⋃i∈I

Ai ∈ S

Definicion 1.2.2 Una σ-algebra es un σ-anillo que contiene al conjunto X.

Por tanto, si un conjunto pertenece a una σ-algebra tambien su complementarioesta en ella.

Sobre estas estructuras definimos una medida. Sea R la recta real extendida:R = R ∪ −∞,∞

Definicion 1.2.3 Una medida es una funcion definida en un anillo con valoresen la recta extendida, tal que:

1. ∀A ∈ R µ(A) ≥ 0

2. µ(∅) = 0

1.2. MEDIDAS 7

3. Si An, n = 1, 2, . . . es una clase numerable de elementos de R disjuntosdos a dos, tales que ∪∞n=1An ∈ R, entonces

µ

( ∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

µ(An)

Se dice que µ es σ-aditiva.

Volvamos a la funcion λ. Tenemos una funcion de conjunto λ (1.8) definidaen P. Pero P no es un anillo. Como P ⊂ RP y RP sı es un anillo, extendemosla funcion λ a una medida en RP .

Proposicion 1.2.6 Existe una unica medida λ (que ademas es finita) en RPque es la extension de λ al anillo RP (es decir, si A ∈ P, entonces λ(A) = λ(A).)

Probaremos primeramente que la medida de un conjunto de RP , que se puedeexpresar como un union finita de elementos de P, no depende de la eleccion deesos elementos. Sea A ∈ RP y

A =n⋃

k=1

Ik =m⋃

l=1

Jl, Ik, Jl ∈ P, disjuntos

Descomponemos cada Ik de la forma siguiente:

Ik =m⋃

l=1

(Ik ∩ Jl)

que es una clase de conjuntos disjuntos en P. Aplicando los resultados anteriores:

λ(Ik) =m∑

l=1

λ(Ik ∩ Jl)

y sumando en kn∑

k=1

λ(Ik) =n∑

k=1

m∑l=1

λ(Ik ∩ Jl)

De la misma forma:m∑

l=1

λ(Jl) =m∑

l=1

n∑k=1

λ(Jl ∩ Ik)

Como los terminos de la derecha son iguales los de la izquierda tambien:

λ(A) =n∑

k=1

λ(Ik) =m∑

l=1

λ(Jl)

Cualquier otra funcion sobre RP que sea finitamente aditiva y que sobre P seaigual a λ debe coincidir con λ (pues los elementos de RP son uniones finitas deelementos disjuntos de P y la funcion debe ser finitamente aditiva).

Veamos ahora que, ademas, λ es σ-aditiva. Consideremos una sucesion deelementos disjuntos deRP , Ak, k = 1, 2 . . ., con union, A, enRP (recuerdese que


RP no es un σ-anillo, por lo que siempre tenemos que imponer esta condicion).Por estar Ak en RP , es una union de elementos disjuntos de P:

Ak =nk⋃l=1

Ikl

Por definicion de λ,

λ(Ak) =nk∑l=1

λ(Ikl)

Consideremos en primer lugar el caso en que A es un elemento de P. Entonces:

λ(A) = λ(A) =∞∑

k=1

nk∑l=1

λ(Ikl) =∞∑

k=1

λ(Ak)

Si A /∈ P, entonces:

A =m⋃

r=1

Jr, Jr ∈ P, disjuntos

y para cada Jr usamos el resultado anterior:

λ(A) =m∑

r=1

λ(Jr) =m∑

r=1

∞∑k=1

λ(Ak ∩ Jr) =∞∑

k=1

m∑r=1

λ(Ak ∩ Jr)

perom∑

r=1

λ(Ak ∩ Jr) = λ(Ak)

luego λ es σ-aditiva.En resumen, partiendo de una funcion de conjuntos en la clase de intervalos

semicerrados acotados de R, se ha definido una medida σ-finita (es decir, todoconjunto medible esta contenido en la union numerable de una sucesion deconjuntos medibles de medida finita) en un anillo formado por uniones finitasdisjuntas de elementos de P y esa medida restringida a la clase P reproduce lafuncion inicial.

Las medidas (y en particular la definida anteriormente) tienen unas pro-piedades interesantes en cuanto a su relacion con las sucesiones de conjuntos.Veamos primeramente que algunas de las propiedades establecidas anteriormen-te son generalizables a cualquier medida en un anillo.

Una medida en un anillo es monotona (si A ⊂ B entonces µ(A) ≤ µ(B)) ysubstractiva (si A ⊂ B, µ(A) < ∞, entonces µ(A − B) = µ(A) − µ(B)). Lasmismas propiedades que encontramos en el caso particular de intervalos de larecta real se tienen ahora en general.

Proposicion 1.2.7 Sea µ una medida en un anillo R, A ∈ R, An ∈ R, n =1, 2 . . ., tales que A ⊂ ∪nAn. Entonces µ(A) ≤

∑n µ(An)

Proposicion 1.2.8 Sea µ una medida en un anillo R, A ∈ R, An ∈ R, n =1, 2 . . ., disjuntos, tales que ∪nAn ⊂ A. Entonces

∑n µ(An) ≤ µ(A)

1.2. MEDIDAS 9

Dada una sucesion de subconjuntos An de un conjunto X, se dice que A es ellımite superior de la sucesion si todo elemento de A esta en un numero infinitode elementos de la sucesion. Se dice que A es el lımite inferior de la sucesion sitodo elemento de A esta en todos excepto en un numero finito de elementos dela sucesion. Si ambos lımites coinciden se dice que A es el lımite de la sucesion.Las sucesiones monotonas, An ⊂ An+1 (crecientes) o An ⊃ An+1 (decrecientes)tienen lımite. En el primer caso (crecientes) el lımite es la union de todos loselementos de la sucesion. En el segundo (decrecientes) el lımite es la interseccionde todos los elementos de la sucesion.

Tenemos las dos siguientes propiedades de las medidas:

Proposicion 1.2.9 Sea µ una medida en un anillo R y An una sucesion cre-ciente de elementos del anillo, con lımite en R. Entonces

µ(lımnAn) = lım

nµ(An)

Si An es una sucesion decreciente y µ(An0) <∞ para algun n0, se tiene tambienla igualdad anterior.

En el primer caso (sea A0 = ∅), se tiene (el unico problema es que la sucesionno es en general de conjuntos disjuntos):

µ(lımnAn) = µ

(⋃n

An

)= µ

(⋃n

(An −An−1)

)Ahora ya tenemos una coleccion de elementos disjuntos y como µ es σ-aditiva,

µ(lımnAn) =

∑n

µ(An −An−1) = lımn

n∑k=1

µ(Ak −Ak−1)

= lımnµ

(n⋃

k=1

(Ak −Ak−1)

)= lım

nµ(An)

En el segundo caso, al ser µ(An0) <∞, µ(An) <∞ cuando n ≥ n0. Por lo tantoel lımite tambien tiene medida menor que ∞. Ademas la sucesion An0 − An escreciente y se puede aplicar el resultado anterior:

µ(An0)− µ(lımnAn) = µ(lım

n(An0 −An)) = lım

n(µ(An0)− µ(An))

= µ(An0)− lımnµ(An)

1.2.3. Medidas exteriores

El que un conjunto este en un anillo, no implica, obviamente, que sus sub-conjuntos lo esten. Debido a esto, es posible que un subconjunto de medidacero contenga subconjuntos que ni siquiera sean medibles (esten en el anillocorrespondiente).

Consideremos un σ-anillo H, en el que todo subconjunto de un conjunto deH este tambien en H (se llaman anillos hereditarios).

Definicion 1.2.4 Se dice que una funcion µ∗ sobre H con valores en la rectaextendida es una medida exterior si:


1. A ∈ H, µ∗(A) ≥ 0, (no negativa)

2. A,B ∈ H, A ⊂ B ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B) (monotona)

3.

An ∈ H, n ∈ N ⇒ µ∗

( ∞⋃n=1

An

)≤

∞∑n=1

µ∗(An) (subaditiva)

4. µ∗(∅) = 0

Pues bien, toda medida en un anillo R se puede extender a una medidaexterior en el σ-anillo hereditario generado por R de la forma siguiente:

µ∗(A) = ınf

∞∑n=1

µ(An) : An ∈ R, A ⊂∞⋃

n=1

An

El problema con las medidas exteriores es que no son σ-aditivas. Para solucio-nar este problema, definimos lo que es un conjunto µ∗-medible (Caratheorody).

Definicion 1.2.5 Dado un σ-anillo hereditario, H, se dira que A ∈ H es µ∗-medible si

µ∗(B) = µ∗(B ∩A) + µ∗(B ∩A′), ∀B ∈ H

Se tiene entonces que la clase de los conjuntos µ∗-medibles (S) de un anillohereditario es un anillo. Si el anillo hereditario de partida es un σ-anillo, tambienla clase de los conjuntos µ∗-medibles es un σ-anillo. Y lo que resulta es que µ∗

es σ-aditiva en el siguiente sentido:

µ∗(A ∩B) =∞∑

n=1

µ∗(A ∩Bn)

donde A es un elemento del σ-anillo hereditario de partida, y Bn es una sucesionde conjuntos disjuntos µ∗-medibles cuya union es igual a B. La demostracionde estas cuestiones es como sigue. Sean B y C dos conjuntos en S y A ∈ H. Alser B,C µ∗-medibles se tiene:

µ∗(A) = µ∗(A ∩B) + µ∗(A ∩B′)= µ∗(A ∩B ∩ C) + µ∗(A ∩B ∩ C ′) +

µ∗(A ∩B′ ∩ C) + µ∗(A ∩B′ ∩ C ′)

Ahora sustituimos A por A ∩ (B ∪ C) y se obtiene:

µ∗(A) = µ∗(A ∩ (B ∪ C)) + µ∗(A ∩ (B ∪ C)′)

relacion que prueba que B ∪C ∈ S. De forma similar se prueba que B−C ∈ S.Como ∅ ∈ S se tiene que este conjunto es un anillo. Para probar que es unσ-anillo (en el caso de que el anillo hereditario de partida lo sea) sustituimosB,C por B1, B2 en las expresiones anteriores:

µ∗(A ∩ (B1 ∪B2) = µ∗(A ∩B1)) + µ∗(A ∩B2)

1.2. MEDIDAS 11

Sea Fn = ∪ni=1Ai. Entonces para todo n:

µ∗(A ∩ Fn) =n∑

i=1

µ∗(A ∩Bi))

Podemos de esta forma acotar µ∗(A):

µ∗(A) ≥n∑

i=1

µ∗(A ∩Bi) + µ∗(A ∩B′)

y pasar (puesto que la desigualdad es cierta para cualquier n) a:

µ∗(A) ≥∞∑

i=1

µ∗(A ∩Bi) + µ∗(A ∩B′) ≥ µ ∗ (A ∪B) + µ∗(A ∪B′)

Esta desigualdad es suficiente para probar que tenemos un σ-anillo. Ademas setiene:

∞∑i=1

µ∗(A ∩Bi) + µ∗(A ∩B′)µ ∗ (A ∪B) + µ∗(A ∪B′)

Simplemente hay que sustituir A por A ∪B para obtener el resultado final.Ahora restringimos la medida exterior a la clase de los conjuntos µ∗-medibles

y allı se tiene el siguiente resultado fundamental.

Teorema 1.2.1 Sea µ∗ una medida exterior en un σ-anillo hereditario H y Sla clase de conjuntos µ∗-medibles. Todo conjunto de medida exterior cero es µ∗-medible y la funcion µ definida como la restriccion de µ∗ a S es una medidacompleta en el σ-anillo S (una medida en un anillo es completa si todos lossubconjuntos de un conjunto de medida cero estan en el anillo). Se llama lamedida inducida por la medida exterior.

Sea A un conjunto de medida exterior cero en H. Para todo conjunto B ∈ H setiene:

µ∗(B) = µ∗(A) + µ∗(B) ≥ µ∗(B ∩A) + µ∗(B ∩A′)lo que implica que A es µ∗-medible (la desigualdad en sentido contrario se dasiempre). Hay que demostrar que µ es una medida completa. La σ-aditividad sesigue de la demostracion del resultado anterior y la completitud se demuestracomo sigue. Sea A ∈ S y B un subconjunto suyo. Si µ(A) = 0 se sigue quesu medida exterior es tambien cero. Por ser B ⊂ A, la medida exterior de Btambien es cero. Pero hemos visto que esto implica que B es µ∗-medible y portanto B ∈ S. Podemos ahora establecer un resultado que permite la extensionde una medida definida en un anillo al σ-anillo generado por el.

Proposicion 1.2.10 Si µ es una medida en un anillo R y µ∗ la correspondientemedida exterior en H(R), entonces todo conjunto del σ-anillo generado por R,S(R), es µ∗-medible (es decir, S(R) ⊂ S).

Supongamos que A ∈ R y B ∈ H(R). Dado ε > 0 se tiene una sucesion deconjuntos de R, An, con B ⊂ ∪∞n=1An tal que:

µ∗(A)+ε ≥∞∑

n=1

µ(An) =∞∑

n=1

(µ(An∩A)+µ(An∩A′)) ≥ µ∗(An∩A)+µ∗(An∩A′)


Tenemos entonces que A ∈ S. Como S(R) es el menor de los σ-anillos quecontienen a R, se tiene que S(R) ⊂ S.

El resultado general, sin introducir medidas exteriores, se resume en los dosteoremas siguientes:

Teorema 1.2.2 Supongamos que en un anillo R se tiene definida una medidaµ que es σ-finita. Entonces existe una unica medida (que tambien es σ-finita)definida en el σ-anillo S(R) que extiende a µ.

Sin embargo, la medida extendida no tiene por que ser completa. La exten-sion a una medida completa se puede hacer en base al siguiente resultado.

Teorema 1.2.3 Dada una medida en un σ-anillo S, la clase de los conjuntosde la forma

S = A∆N : A ∈ S, N ⊂ E ∈ S, µ(E) = 0

es tambien un σ-anillo y la funcion definida por:

µ(A∆N) = µ(A)

es una medida completa en la clase extendida, que se llama la complecion de µ.

Como usando medidas exteriores tambien hemos obtenido compleciones demedidas, necesitamos un resultado que las relacione.

Teorema 1.2.4 Si µ es una medida σ-finita en un anillo y µ∗ es la medidaexterior asociada, la complecion de la extension de µ (en el sentido del teoremaanterior) es igual a µ∗ en la clase de los conjuntos µ∗-medibles.

1.2.4. Medidas interiores

Sea S un σ-anillo y H(S) el σ-anillo hereditario que genera.

Definicion 1.2.6 Si A ∈ H(S), se define la medida interior µ∗(A) por:

µ∗(A) = supµ(B) : A ⊃ B ∈ S

Se pueden estudiar propiedades similares a las de las medidas exteriores. Y sellega a un resultado fundamental:

Teorema 1.2.5 Sea S un σ-anillo y H(S) el σ-anillo hereditario construidosobre el. Sea S el anillo construido en el teorema 1.2.3. Entonces,

µ∗(A) = µ∗(A) = µ(A), ∀A ∈ S

Ademas,A ∈ H(S), µ∗(A) = µ∗(A) <∞⇒ A ∈ S

Y se puede llegar al teorema de extension anterior definiendo los conjuntos µ∗-medibles como aquellos para los que la medida exterior e interior coinciden.

1.2. MEDIDAS 13

1.2.5. La medida de Lebesgue

Introduciremos ahora la medida de Lebesgue. Ya hemos definido la medidaλ y demostrado algunas de sus propiedades mas importantes.

Dada la clase P se puede definir el σ-anillo generado por ella, B, que esrealmente una σ-algebra, pues R es una union numerable de intervalos de laclase P. Los elementos de B se llaman conjuntos de Borel. Recuerdese queen el apartado 1.2.1 habıamos introducido la clase R que era solo un anillo.

Como consecuencia de las resultados vistos hasta ahora, se tiene que la fun-cion λ se puede extender a B. Llamaremos tambien λ a la medida extendida. Deacuerdo con las propiedades de medidas exteriores, se construye ahora el con-junto B, formado por los conjuntos que son diferencias simetricas de elementosde B y subconjuntos de conjuntos de medida nula en B. Como sabemos, esteconjunto es un σ-anillo (en realidad una σ-algebra) y en el se puede definir lacomplecion de λ (que seguiremos llamando λ). Esta es la medida de Lebesgueen la recta real. Los conjuntos de B se llaman conjuntos medibles Lebesgue. Lamedida λ en B no es finita, pues λ(R) = ∞, pero sı lo es en P. Por lo tanto,las correspondientes medidas en B y B son σ-finitas. En realidad son totalmenteσ-finitas pues la recta R tambien es σ-finita.

1.2.6. Propiedades de la medida de Lebesgue

En esta seccion estudiaremos algunas propiedades de la medida de Lebesgue.

Proposicion 1.2.11 Todo conjunto numerable es un conjunto de Borel de me-dida nula.

Demostraremos que la medida de un conjunto que contiene un solo puntoes cero. La proposicion se sigue inmediatamente debido a que la medida esσ-aditiva. Para ello basta considerar la siguiente sucesion de intervalos:

In =[a, a+

1n

)Esta claro que su interseccion (es decir el lımite) es a . Ademas:

λ(In) =1n

y la conclusion es inmediata.A pesar de lo curioso de la introduccion de los conjuntos de Borel, resulta que

el algebra de Borel coincide con el σ-anillo generado por los abiertos de R. Parademostrarlo, se prueba primero que todo intervalo abierto es un conjunto deBorel. Pero esto es sencillo, pues basta restar de un intervalo semicerrado (quees de Borel) el extremo inferior del intervalo (que tambien es de Borel). Comotodo abierto de R es una union numerable de intervalos abiertos, se concluyeque el σ-anillo generado por los abiertos esta contenido en el de Borel. Parademostrar la inclusion opuesta, basta escribir el conjunto con un solo puntocomo una interseccion numerable de intervalos abiertos:

a =∞⋂

n=1

(a− 1

n, a+

1n

)


Esto hace que estos conjuntos de un solo punto esten en el σ-anillo generado porlos abiertos. Como los intervalos semicerrados son uniones de intervalos abiertoscon un conjunto formado por un solo punto, se tiene que estan en el σ-anillogenerado por los abiertos y por lo tanto tambien esta el σ-anillo de Borel.

La medida exterior usada en la construccion de la medida de Borel se puededefinir ahora como:

λ∗(A) = ınfλ(B) : A ⊂ B, B abierto

La medida de Lebesgue es invariante bajo traslaciones y se comporta comoera de esperar bajo dilataciones.

Como hemos visto, la medida de un conjunto numerable es igual a cero.Podrıa pensarse que todo conjunto de medida cero es numerable, pero no es elcaso.

El conjunto de Cantor

Consideremos el intervalo de la recta real [0, 1]. Cualquier numero de esteintervalo se puede escribir como:

x =∞∑

n=1

xn

3n

donde los coeficientes xn valen 0, 1 o 2 (es la expresion en base 3 de ese numero).Tomemos ahora los numeros que no tienen ningun coeficiente xn igual a 1 yllamemos C a ese conjunto (hay que prestar atencion a como se desarrollan losnumeros en base 3. Por ejemplo, si se escriben como en la notacion decimal:

x =∞∑

n=1

xn

3n= 0, x1x2x3 . . .

el numero 1/3 es claramente:

13

= 0,100 . . .

Pero tambien es igual a

13

= 0,0222 . . . = 2∞∑

n=2

13n

= 21/9

1− 1/3

Ası que 1/3 esta en C).Desde un punto de vista geometrico, consideremos ahora el intervalo I =

[0, 1] que dividimos en tres partes. Eliminamos la parte central, es decir nosquedamos con:

I − I1, I1 =(

13,23

)En cada una de estas dos partes hacemos lo mismo, dividimos en tres partes yeliminamos la parte central

I2 =(

19,29

), I3 =

(79,89

)

1.2. MEDIDAS 15

El conjunto que queda ahora es:

I − (I1 ∪ I2 ∪ I3)

Se repite el proceso indefinidamente. Pues bien el conjunto C coincide con eldefinido anteriormente:

C = I −∞⋃

n=1

In

Para demostrarlo, consideremos los desarrollos ternarios (si hay mas de unaposibilidad se elige segun el criterio anterior). Sea x ∈ I. Si en su desarrolloternario, x1 = 1, entonces x ∈ I1 (y viceversa). Pues:

x =13

+ · · · > 13

lo que es evidente. Pero ademas:

13

+ · · · < 23

pues en el caso mas desfavorable se tiene el numero:

13

+∞∑

n=2

23n

=13

+2/9

1− 1/3= 2/3 = 0,2000 . . .

que no es de los que estamos considerando. De forma similar se prueba que six1 6= 1 y x2 = 1 entonces x ∈ I2 ∪ I3 (y viceversa). Ası se prueba que ambosconjuntos coinciden. Ocurre que C es un conjunto medible y que su medida escero. El que sea medible proviene de la manera de obtenerlo, restando de unconjunto medible otro, la union de una familia numerable de conjuntos medibles.El que la medida sea cero es tambien facil de obtener (los In son disjuntos, y enel paso n hay 2n−1 intervalos y cada uno de ellos mide 1/3n):

λ

( ∞⋃n=1

In

)=

∞∑n=1

λ(In) =13

+ 219

+ 4127

+ · · · =∞∑

n=1

2n−1

3n= 1

Como la medida de [0, 1] es tambien 1, se concluye que la medida del conjuntode Cantor es 0. Pero el conjunto de Cantor no es numerable. Tiene el mismonumero de elementos que el conjunto de los numeros reales (una forma de hacerloes establecer una correspondencia entre los irracionales del conjunto de Cantory los irracionales del intervalo [0, 1], mediante el paso de la expresion ternaria auna binaria). El cardinal de la clase de conjuntos de Borel es el continuo. Perotodos los subconjuntos del conjunto de Cantor son medibles (y de medida cero).Por tanto, hay conjuntos medibles Lebesgue que no son de Borel.

Pero tambien se puede demostrar que hay conjuntos en la recta real que noson medibles Lebesgue. Para ello, consideremos (Vitali) el intervalo [0, 1] y larelacion de equivalencia x ∼ y si su diferencia es un numero racional. Usando elaxioma de eleccion, se puede elegir un representante en cada clase y formar unconjunto V . Se tiene que este conjunto no es medible. Para demostrarlo, supon-gamos que V es medible Lebesgue y consideremos el conjunto de los numerosracionales en [−1, 1], r1, r2, . . . . Definamos los conjuntos

Vn = rn + x : x ∈ V


que son medibles pues son traslaciones de V . Los conjuntos Vn son disjuntos ymiden todos lo mismo que V . Finalmente V verifica:

[0, 1] ⊂∞⋃

n=1

Vn ⊂ [−1, 2]

Apliquemos ahora que λ es una medida:

λ

( ∞⋃n=1

Vn

)=

∞∑n=1

λ(Vn) = lımn→∞

(nλ(V )) ≤ λ([−1, 2]) = 3

La conclusion es que λ(V ) = 0. Pero

λ

( ∞⋃n=1

Vn

)≥ 1

lo que es una contradiccion.Es posible probar que no se puede extender la medida de Lebesgue a la clase

de todos los conjuntos de la recta real de forma que se obtenga una medidainvariante bajo traslaciones.

La medida de Lebesgue se puede generalizar en el siguiente sentido. Seag una funcion finita, creciente y continua; existe una unica medida completadefinida en un σ-anillo Sg (que contiene a los conjuntos de Borel), tal que:

µ(g([a, b)) = g(b)− g(a)

Se le llama la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a g. Para cada elementode Sg existe un boreliano cuya diferencia simetrica con el primer conjunto tienemedida de Lebesgue-Stieltjes igual a cero.

1.3. Funciones medibles

Diremos que una cierta propiedad se verifica casi doquiera si es cierta salvoen un conjunto medible de medida nula. Un espacio de medida es un conjuntoX, con un σ-anillo S y una medida µ definida en el. Exigiremos que la unionde todos los conjuntos de S sea el espacio total (todo punto esta en algunconjunto de S) y nos limitaremos al caso en que S es una σ-algebra. Se sueledecir que un subconjunto de X es medible si pertenece a S (como hemos usadoanteriormente). Sea f una funcion definida en un espacio de medida con valoresen la recta real:

f :X → R

Definicion 1.3.1 Se dice que una funcion f es medible si dado B, conjunto deBorel de la recta real, el conjunto f−1(B) es un conjunto medible de X

Recuerdese que los conjuntos de Borel son los de la σ-algebra generada por losconjuntos abiertos.

Los mismos conceptos se pueden aplicar tambien a la medida Lebesgue (yse habla de funciones medibles Borel o medibles Lebesgue).

1.3. FUNCIONES MEDIBLES 17

Ademas de funciones con valores reales, es necesario considerar funciones convalores en la recta real extendida. Basta considerar que los conjuntos −∞ y+∞ son borelianos. Una funcion es entonces medible si se cumple la definicionanterior y los conjuntos f−1(+∞) y f−1(−∞) son medibles.

Para que una funcion sea medible, basta aplicar la definicion a borelianosdel tipo (−∞, c).

Un ejemplo sencillo de funciones medibles son las funciones caracterısticasde conjuntos medibles. Si el conjunto X es medible, las funciones constantes sonmedibles.

No es difıcil probar que el valor absoluto de una funcion medible es medible(y cualquier potencia del valor absoluto tambien lo es). Ademas la suma y elproducto de funciones medibles son medibles. Tambien son medibles la partepositiva y negativa de una funcion:

f+ =12(|f |+ f), f− =

12(|f | − f)

El concepto de sucesiones de funciones medibles sera fundamental en el es-tudio de la integral.

Teorema 1.3.1 Dada una sucesion de funciones medibles, fn, y una funcionf tal que lımn→∞ fn(x) = f(x) casi doquiera, entonces f es medible.

Una generalizacion de las funciones caracterısticas de conjuntos son las fun-ciones simples. Sea X un espacio de medida. Se dice que la funcion s(x) es unafuncion simple si existe una coleccion finita de conjuntos medibles y disjuntosA1, . . . , An y de numeros reales c1, . . . , cn tal que:

s(x) =

ci, x ∈ Ai

0, x /∈ A1 ∪ . . . ∪An

Las funciones simples son medibles y se pueden escribir como combinacioneslineales de funciones caracterısticas:

s(x) =n∑

i=1

ciχAi(x)

La importancia de las funciones simples viene dada por el siguiente resultado.

Teorema 1.3.2 Sea f una funcion medible no negativa en un espacio de medidaEntonces, existe una sucesion creciente de funciones simples no negativas quetienden a f .

La demostracion es como sigue: definimos para cada n el conjunto.

Ain = x ∈ X :

i− 12n

≤ f(x) <i

2n, i = 1, . . . , n2n

Los conjuntos Ain son disjuntos si i 6= j y son medibles, al serlo f . Se definen

las funciones simples:

sn(x) =n2n∑i=1

i− 12n

χAin


Se trata de una sucesion de funciones simples no negativas crecientes:

0 ≤ sn(x) ≤ sn+1(x) ≤ f(x)

La convergencia en cada x es consecuencia de la desigualdad (x fijo):

0 ≤ f(x)− sn(x) ≤ 12n

cuando n es suficientemente grande.

1.4. Integracion

El ultimo concepto que se introducira en este capıtulo es el de integral deuna funcion. La definicion es muy sencilla despues de todo lo anterior, y acontinuacion estudiaremos algunas de sus propiedades en especial las referidasa su comportamiento con las sucesiones de funciones.

1.4.1. Conceptos generales

Definicion 1.4.1 Se dice que una funcion simple es una funcion escalon si losconjuntos An que definen a la funcion simple son de medida finita.

Definimos primero lo que es la integral de una funcion escalon.

Definicion 1.4.2 Sea (X,S, µ) un espacio de medida y

ϕ(x) =n∑

i=1

ciχAi(x)

una funcion escalon. Se define la integral de s sobre el espacio X como:∫X

ϕdµ =n∑

i=1

ciµ(Ai)

Una funcion escalon se puede escribir de diversas formas en terminos defunciones caracterısticas, pero el valor de la integral no depende de esas des-composiciones. A veces interesa definir la integral no sobre todo el espacio Xsino sobre una parte de el, A ⊂ X:∫

A

ϕdµ =∫

X

χAϕdµ

La integral ası definida verifica una serie de propiedades, que resultan natu-rales despues de haberlas estudiado en la integral de Riemann.

Proposicion 1.4.1 Todas las funciones que aparecen a continuacion son fun-ciones escalon.

1. La integral es lineal∫(aϕ+ bψ) dµ = a

∫ϕ dµ+ b

∫ψ dµ

1.4. INTEGRACION 19

2. Si ϕ es no negativa, la integral tambien lo es.

3. ∫|ϕ+ ψ|dµ ≤

∫|ϕ|dµ+

∫|ψ|dµ

4. ∣∣ ∫ ϕ dµ∣∣ ≤ ∫ |ϕ|dµ

5. Si A es un conjunto medible y ϕ una funcion escalon, tal que a ≤ ϕ(x) ≤ bpara x ∈ A, se tiene:

aµ(A) ≤∫

A

ϕ dµ ≤ bµ(A)

Es posible definir la integral indefinida de una funcion escalon. Si A es unconjunto medible:

F (A) =∫

A

ϕdµ

La integral indefinida de una funcion escalon es absolutamente continua (unafuncion de conjunto, g es absolutamente continua, con respecto a una medidaµ, si para todo ε > 0 existe δ > 0, tal que para todo conjunto medible A, conµ(A) < δ, entonces g(A) < ε).

El objetivo es definir la integral para funciones mas generales que las fun-ciones simples. Para ello estudiaremos las sucesiones de funciones escalon.

Proposicion 1.4.2 Sea ϕn una sucesion decreciente de funciones escalon quetiende a 0 (casi doquiera). Entonces la sucesion de las integrales de ϕn es de-creciente y tiende a 0. Y por lo tanto, si una sucesion creciente de funcionesescalon tiende a una funcion escalon ϕ, tambien la sucesion de las integrales escreciente y tiende a la integral de esa funcion.

1.4.2. La integral de Lebesgue

Definicion 1.4.3 Una funcion se llama superior si existe una sucesion cre-ciente de funciones escalon ϕn(x), con integral finita, que converge a ella (casidoquiera).

Llamaremos sucesion generadora de una funcion superior u a la sucesion defunciones escalon ϕn . Recordemos que una funcion escalon se escribe como:

ϕ(x) =n∑

i=1

ciχAi

donde a1, . . . , an es una coleccion de numeros reales y los conjuntos Ai sondisjuntos y medibles, de medida finita.

Una funcion superior tiene distintas sucesiones generadoras. Pero el lımite∫ϕn dµ (que existe) es el mismo para todas ellas. Debido a esto, se puede definir;


Definicion 1.4.4 La integral de una funcion superior u, con una sucesion ge-neradora ϕn se define como∫

u dµ = lımn→∞

∫ϕn dµ

La integral ası definida es lineal:∫(u+ v) dµ =

∫u dµ+

∫v dµ

pero solo es homogenea cuando el coeficiente es no negativo:

Proposicion 1.4.3 Si u es una funcion superior y a ∈ R, au es una funcionsuperior si y solo si a ≥ 0. Entonces:∫

af dµ = a

∫f dµ, a ≥ 0

El problema con a < 0 es que la sucesion pasa de ser creciente a ser decreciente,con lo que no se cumple la definicion de funcion superior. Se tiene tambien queel maximo y el mınimo de dos funciones superiores es una funcion superior.

La integral de funciones superiores es monotona:

u ≥ v, c.d. ⇒∫u dµ ≥

∫v dµ

Para demostrarlo basta considerar dos sucesiones generadoras ϕn y φn de uy g respectivamente. Entonces, al ser g menor o igual que f (casi doquiera,por supuesto), la sucesion de funciones escalon mınϕn, φn es tambien unasucesion generadora de v. Pero

ϕn ≥ mınϕn, φn

de donde se concluye el resultado. En particular la integral de una funcionsuperior mayor o igual a cero es tambien mayor o igual a cero.

Las sucesiones crecientes de funciones superiores (con integrales finitas) sonfunciones superiores.

Sin embargo, las funciones superiores no forman un espacio vectorial. Elconcepto de integral se extiende a funciones mas generales (que sı forman unespacio vectorial).

Definicion 1.4.5 Se dice que una funcion es integrable si es la diferencia dedos funciones superiores (c.d.). La integral se define como:∫

f dµ =∫u dµ−

∫v dµ

La integral de Lebesgue-Stieltjes se define como la integral de Lebesgue, peroasociada a la medida de Lebesgue-Stieltjes.

El valor de la integral es independiente de las funciones superiores que seusen para calcularla. Una funcion integrable es medible (las funciones superioresson medibles como lımites de funciones escalon).

1.4. INTEGRACION 21

Las funciones integrables forman un espacio vectorial. Si una funcion es inte-grable, su valor absoluto es integrable, ası como sus partes positiva y negativa.En particular una funcion es integrable si y solo si lo son sus partes positiva ynegativa.

La integral es finita. Al igual que con las funciones escalon, la suma de fun-ciones integrables es integrable, el valor absoluto y la parte positiva y negativade una funcion son integrables. Se puede definir tambien la integral sobre unconjunto tal y como se ha hecho en el caso de la integral de funciones escalon.

Proposicion 1.4.4 La integral es lineal:∫(af + bg) dµ = a

∫f dµ+ b

∫g dµ

Se tiene el siguiente resultado sobre funciones positivas (que se puede usarpara introducir la integral):

Teorema 1.4.1 Si una funcion integrable es no negativa (c.d.), entonces esuna funcion superior.

Como f es integrable, existen dos funciones superiores tales que f = u− v. Ladiferencia de las sucesiones generadoras de u y v tiende a f (aunque no sea enprincipio un funcion generadora de f). Como F es no negativa, tenemos unasucesion de funciones escalon no negativas que tiende a f :

ϕ+ → f, c.d.

Un resultado previo 1.3.2 asegura que toda funcion medible es el lımite de unasucesion creciente de funciones simples. En nuestro caso:

0 ≤ sn ↑ f, c.d.

Tomemos la sucesion

φn = mın sn,maxϕ+i , i = . . . , n

Ahora solo queda probar que las integrales∫φn dµ estan acotadas. Se tiene la

siguiente cadena de desigualdades (usando la monotonıa de la integral:

φn + v ≤ f + v = u∫φn dµ+

∫v dµ ≤

∫u dµ∫

φn dµ ≤∫u dµ−

∫v dµ <∞

Proposicion 1.4.5 La integral tiene las siguientes propiedades:

1. Dada una funcion integrable no negativa casi doquiera, la integral es cerosi y solo si la funcion es igual a cero (c.d.)

2. La integral de una funcion integrable sobre un conjunto de medida cero escero.


3. Si una funcion integrable y positiva c.d. tiene integral cero sobre un con-junto, la medida de este conjunto es cero.

4. Si una funcion tiene integral cero sobre cualquier conjunto medible, en-tonces es cero c.d.

5. Si una funcion medible esta acotada entre dos funciones integrables (c.d.)es integrable.

6. Sean f y g integrables. Entonces, f ≥ g ⇒∫f dµ ≥

∫g dµ

7. Si f es integrable se tiene: |∫f dµ| ≤

∫|f |dµ

8. Sean f medible y g integrable. Si |f | ≤ |g| c.d., entonces f es integrable.

9. Un funcion medible es integrable si y solo si su valor absoluto es integrable.

10. Si f es esencialmente acotada (acotada c.d) y el conjunto A es medible,entonces f es integrable sobre A.

Si f es integrable, su parte positiva y negativa son funciones superiores ypor tanto para calcular la integral se pueden usar como una descomposicion def en una diferencia de funciones superiores:∫

f dµ =∫f+ dµ−

∫f− dµ

Veamos a continuacion algunos resultados concernientes al comportamientode la integral frente a sucesiones. Nos interesa especialmente el comportamientode las sucesiones de funciones integrables. Como se recordara esta fue una delas razones para justificar la introduccion de la integral de Lebesgue.

Teorema 1.4.2 Sea fn una sucesion creciente de funciones integrables, talque lım

∫fn dµ <∞. Entonces, existe una funcion integrable que es el lımite de

la sucesion fn ↑ f y se tiene: ∫fn dµ ↑

∫f dµ

Teorema 1.4.3 (Lema de Fatou) Sea fn una sucesion de funciones integra-bles no negativas (como siempre, c.d.) y tal que lım infn

∫fn dµ <∞. Entonces,

lım inf fn es una funcion integrable y∫lım inf

nfn dµ ≤ lım inf

n

∫fn dµ

El lımite inferior de una sucesion an es el lımite de los ınfimos de los conjun-tos an, an+1 . . .. El resultado mas importante es el teorema de convergenciadominada de Lebesgue:

Teorema 1.4.4 Sea fn una sucesion de funciones integrables que verifican|fn| ≤ g, n = 1, 2 . . ., casi doquiera, siendo g una funcion integrable. Si fn → fc.d., entonces f es integrable y se tiene:

lım∫fn dµ =

∫lım fn dµ =

∫f dµ

1.4. INTEGRACION 23

Demostracion. Puesto que todas las funciones estan acotadas por g, el lımitetambien lo esta. Pero g es integrable, luego |f | y por tanto f , tambien lo es.Veamos ahora la cuestion del lımite. A la sucesion g− fn se le aplica el lema deFatou (pues es positiva y lım infn

∫(g − fn) dµ <∞). Ademas

lım infn

(g − fn) = g − f, c.d.

Por tanto: ∫g dµ−

∫f dµ =

∫(g − f) dµ =

∫lım inf

n(g − fn)

≤ lım infn

∫(g − fn) dµ =

∫g dµ− lım sup

n

∫fn dµ

es decirlım sup

n

∫fn dµ ≤

∫f dµ

Los mismos razonamientos se aplican a la sucesion g + fn:∫g dµ+

∫f dµ =

∫(g + f) dµ =

∫lım inf

n(g + fn)

≤ lım infn

∫(g + fn) dµ =

∫g dµ+ lım inf

n

∫fn dµ

y se tiene: ∫f dµ ≤ lım inf

n

∫fn dµ

Pero eso implica que los lımites inferior y superior son iguales y por tanto ellımite existe y es el que afirma el teorema.

Todas las integrales definidas hasta ahora son finitas. Pero la integral de unafuncion simple con coeficientes positivos se puede definir, aunque posiblementesea infinita (depende de la medida de los conjuntos sobre los que no es cero). Sepuede decir que estas funciones tienen una integral que es igual a infinito. En-tonces, si una funcion es el lımite de una sucesion creciente de funciones simplespositivas, el lımite de las integrales de esa sucesion existe aunque posiblemen-te sea infinito. Se dice entonces que la integral de la funcion lımite es infinito(aunque no es usual llamarla integrable). De acuerdo con esta idea, toda funcionmedible positiva tiene una integral (finita o no).

1.4.3. La integral de Riemann

La integral de Riemann se construye introduciendo unas particiones del in-tervalo (cerrado y acotado) donde se define la funcion (que es acotada). A con-tinuacion se definen las sumas superiores (e inferiores), sumando los productosdel valor maximo (mınimo para la suma inferior) de la funcion en cada subin-tervalo de la particion por la longitud del intervalo. Si la particion se refina(se introducen mas puntos), las sumas superiores no crecen y las inferiores nodecrecen. Para dos particiones arbitrarias, la suma inferior de una de ellas esmenor o igual que la suma superior de la otra. De esta forma se construye laintegral de Riemann inferior como el supremo de las sumas inferiores sobre to-das las particiones y la integral superior como el ınfimo de las sumas superioressobre todas las particiones. La integral inferior siempre es menor o igual que lasuperior. Con estos resultados se puede hacer la siguiente definicion.


Definicion 1.4.6 Una funcion f acotada en un intervalo [a, b] es integrable(Riemann) si la integral superior e inferior, coinciden. Al valor comun se lellama integral de Riemann de esa funcion.

El valor de la integral se denota por:∫ b

a

f(x) dx

El criterio de Riemann proporciona una caracterizacion de las funcionesintegrables en un intervalo.

Proposicion 1.4.6 (Riemann) Una funcion acotada en un intervalo [a, b] esintegrable (Riemann) si para todo ε > 0 existe una particion del intervalo [a, b]tal que la diferencia entre la suma superior e inferior asociada a ese intervaloes menor que ε.

Para una funcion integrable (Riemann), si en las sumas superiores e inferioresse toma un punto del subintervalo y el valor de la funcion en ese punto (y noel supremo o el ınfimo de la funcion en el subintervalo), se tiene que el lımitede la suma de los valores de la funcion en ese punto por las longitudes de lossubintervalos tiende a la integral Riemann cuando la longitud del mayor de lossubintervalos tiende a cero.

Pues bien, las funciones integrables Riemann son integrables Lebesgue.

Teorema 1.4.5 Una funcion definida en un intervalo [a, b] integrable Riemannes integrable Lebesgue y los valores de las integrales coinciden:∫

f dλ =∫ b

a

f(x) dx

Consideremos una particion del intervalo [a, b] en 2n subintervalos de la mismalongitud:

Pn = x0, x1, . . . , xn , xi = a+ i(b− a)2n

Definimos dos familias de funciones escalon por:

ϕn =2n∑i=1

miχ[xi−1,xi), φn =2n∑i=1

Miχ[xi−1,xi)

donde

mi = ınf f(x) : x ∈ [xi−1, xi] , Mi = sup f(x) : x ∈ [xi−1, xi]

De esta forma ϕn (φn) es una sucesion creciente (decreciente) de funcionesescalon que acotan a la funcion f :

ϕn(x) ≤ f(x) ≤ φn(x), x ∈ [a, b)

Supongamos que ϕn(x) ↑ g y φn(x) ↓ h. Entonces g y h son integrables Lebesguey acotan a f :

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), x ∈ [a, b)

1.4. INTEGRACION 25

Pero tal y como se han definido las sucesiones de funciones escalon esta claroque coinciden con las sumas inferior y superior para la particion considerada.Se tiene:

0 ≤∫

(h− g) dλ = lım∫

(φn − ϕn) dλ = lım∫φn dλ− lım

∫ϕn) dλ =

lımS∗(f, Pn)− lımS∗(f, Pn) = 0

donde S∗(f, Pn) (S∗(f, Pn)) es la suma superior (inferior) de la funcion f en laparticion considerada. Pero, por las propiedades de la integral Lebesgue, estoimplica que h = g = f casi doquiera, ası que f es integrable Lebesgue (es unafuncion superior). Ademas:∫

f dλ = lım∫ϕn dλ = lımS∗(f, Pn) =

∫ b

a

f(x) dx

Lebesgue dio un criterio que permite establecer bajo que condiciones unafuncion acotada es integrable (Riemann) en un intervalo:

Teorema 1.4.6 Una funcion acotada en el intervalo [a, b] es integrable Rie-mann si y solo si es una funcion continua casi doquiera (es decir, salvo en unconjunto de medida nula).

Las funciones continuas son entonces integrables (Riemann) y su calculo se hacemediante el teorema fundamental del calculo infinitesimal.

1.4.4. Integrales impropias

Para una funcion definida en un intervalo no acotado, es posible en ocasionesdefinir la integral Riemann como:∫ ∞

a

f(x) dx = lımb→∞

∫ b

a

f(x) dx

cuando este lımite existe. Se habla de una integral impropia.Si f (definida en [a,∞)) es integrable en todo subintervalo cerrado y acotado

de [a,∞), la integral (impropia) en [a,∞) existe si para todo ε > 0 existe M > 0tal que ∣∣∣∣∣

∫ b1

a1

f(x) dx

∣∣∣∣∣ < ε, a1, b1 ≥M

Es facil ver entonces que si f es integrable en todo subintervalo cerrado y acotadode [a,∞), y la integral ∫ ∞

a

|f(x)|dx

existe, entonces tambien existe∫∞

af(x) dx.

El resultado inverso es falso (hay funciones que son integrables Riemann,en sentido impropio, pero su valor absoluto no lo es). En el caso de funcionesintegrables Lebesgue se tiene:


Teorema 1.4.7 Supongamos que una funcion definida en el intervalo [a,∞)es integrable Riemann en todo subintervalo cerrado. Entonces, f es integrableLebesgue si y solo si la integral de Riemann (impropia)

∫|f(x)|dx existe y se

tiene en este caso: ∫f dλ =

∫ ∞

a

f(x) dx

El comportamiento de la integral frente a lımites y derivaciones (parametri-cas) se refleja en los dos siguientes resultados.

Teorema 1.4.8 Sea (X,S, µ) un espacio de medida e I un intervalo de R.Consideremos una funcion f : X×I → R, tal que f(x, t) es una funcion medibleen su primera variable para todo t ∈ I. Supongamos que existe una funcion g,integrable, que acota a f : |f(x, t)| ≤ g(x) para casi todo x y para todo t y sea t0un punto en el cierre de I, que puede ser igual a ±∞. Entonces, si para algunpunto t0 existe el lımite de f(x, t) cuando t→ t0, siendo h(x) = lımt→t0 f(x, t)para casi todo x, se tiene que h es integrable y ademas:

lımt→t0

∫f(x, t) dµ(x) =

∫lımt→t0

f(x, t) dµ(x)

Teorema 1.4.9 Sea (X,S, µ) un espacio de medida e I un intervalo abiertoacotado de R. Consideremos una funcion f : X × I → R, tal que f(x, t) es unafuncion integrable Lebesgue en su primera variable para todo t ∈ I. Supongamosque para algun t0 ∈ I existe la derivada parcial ∂tf(x, t0), para casi todo x.Supongamos que existe una funcion integrable g, y un entorno de t0, U , tal quese da la siguiente acotacion:∣∣∣∣f(x, t)− f(x, t0

t− t0

∣∣∣∣ ≤ g(x)

para casi todo x y para todo t ∈ U . En este caso, ∂tf(t0, x) es una funcionintegrable en x y la funcion F : I → R, dada por la integral:

F (t) =∫f(x, t) dµ(x)

es diferenciable en t0 y su derivada es:

F ′(t0) =∫∂f

∂t(x, t0) dµ(x)

Con estos resultados es posible evaluar la integral de ciertas integrales im-propias.

Ejemplo 1.3 (Euler) Queremos calcular (si existe) el valor de la integral∫ ∞

0

e−x2dx

La integral de Riemann existe por la acotacion 0 ≤ e−x2 ≤ e−x, teniendo encuenta que esta ultima funcion es integrable en la semirrecta positiva. La integral

1.4. INTEGRACION 27

es tambien una integral Lebesgue, pues la funcion e−x2es positiva en toda la

semirrecta. Consideremos ahora dos funciones definidas por:

f(t) =(∫ t

0

e−x2dx)2

, g(t) =∫ 1

0

e−t2(x2+1)

x2 + 1dx

La derivada de la primera funcion no ofrece dificultades. La dependencia en testa en el extremo superior de la integral y por tanto (teorema fundamental delcalculo):

f ′(t) = 2e−t2∫ t

0

e−x2dx, t > 0

Para la otra funcion, g(t), se puede ver que se satisfacen las condiciones parapoder aplicar la derivacion parcial bajo el signo integral y se tiene:

g′(t) = −2e−t2∫ 1

0

te−x2t2 = −2e−t2∫ t

0

e−x2, t > 0

Por lo tanto, f ′(t) = −g′(t), luego f(t) y −g(t) difieren en una constante parat ≥ 0 (pues son continuas). Pero la constante se puede calcular muy facilmente:

f(t) = −g(t) +π

4

Usando las propiedades de calculo del lımite bajo el signo integral, se tiene:

π

4= lım

t→∞f(t) + lım

t→∞g(t) =

(∫ ∞

0

e−x2dx)2

y por tanto ∫ ∞

0

e−x2dx =

√π

2

Ejemplo 1.4 La integral que nos proponemos evaluar a continuacion es:

F (t) =∫ ∞

0

e−x2cos(2xt) dx

La integral de Riemann existe (en sentido impropio), pues el coseno esta aco-tado por 1 en valor absoluto y hemos probado que la integral de e−x2

existe.Por la misma razon que en el ejemplo anterior, existe la integral de Lebesgue.Derivemos la integral con respecto a t bajo el signo integral (se cumplen lascondiciones adecuadas para poder hacerlo):

F ′(t) = −2∫ ∞

0

xe−x2sen(2xt) dx = −2t

∫ ∞

0

e−x2cos(2xt) dx

Se tiene entonces:F ′(t) = −2tF (t)

Esta ecuacion diferencial es inmediata de resolver y como F (0) =√π/2 se

obtiene:

F (t) =√π

2e−t2


Ejemplo 1.5 Calculemos ahora para t ≥ 0 la siguiente integral:

F (t) =∫ ∞

0

e−xt senxx

dx

Supongamos que t > 0. Acotando el valor absoluto del integrando por la funcione−xt se ve que la integral de Riemann en sentido impropio existe y tambien laintegral Lebesgue. La funcion F (t) verifica las dos propiedades siguientes:

lımt→∞

F (t) = 0, F ′(t) = − 11 + t2

Para la primera, basta ver que se cumplen las hipotesis para poder calcular ellımite bajo el signo integral. Para la segunda, hay que verificar que se cumplenlas correspondientes a poder derivar bajo la integral. Para poder llegar a eseresultado hay que integrar por partes:∫ r

0

e−xt senxdx = − e−rt

1 + t2(t sen r + cos r) +

11 + t2

y tomar el lımite cuando r →∞. Ahora basta con integrar y obtener:

F (t) = − arctan t+ C

Cuando t→∞, F (t) → 0. Por lo tanto C = π/2.Veamos ahora que pasa cuando t = 0. La integral es:∫ ∞

0

senxx

dx

y no es integrable Lebesgue. La integral impropia del valor absoluto del inte-grando no existe. En un intervalo [(k − 1)π, kπ] se tiene∫ kπ

(k−1)π

| senx|x

dx ≥ 1kπ

∫ kπ

(k−1)π

| senx|dx =2kπ

En un intervalo [0, nπ] la integral se obtiene como una suma de de las anteriores:∫ nπ

0

| senx|x

dx =n∑

k=1

∫ kπ

(k−1)π

| senx|x

dx ≥ 2π

n∑k=1

1k

y la suma no es convergente.Sin embargo es integrable Riemann en sentido impropio, debido a las cance-

laciones entre las partes negativas y positivas. En efecto:∫ b

a

senxx

dx =cos aa

− cos bb

−∫ b

a

cosxx2

dx

y acotando: ∣∣∣∣∣∫ b

a

senxx

dx

∣∣∣∣∣ ≤ 1b

+1a

+∫ b

a

1x2

dx =2a

1.4. INTEGRACION 29

Segun hemos visto anteriormente esto implica que la funcion es integrable Rie-mann. Si ponemos a = n, b = n+ 1, tenemos:∣∣∣∣∫ n+1

n

senxx

dx∣∣∣∣ ≤ 2

n

y por tanto, ∫ n+1

n

senxx

dx→ 0, n→∞

Vamos a calcular ahora el valor de esa integral (en sentido Riemann). Definamosla sucesion de funciones:

fn(t) =∫ n

0

e−xt senxx

dx, t ≥ 0

que verifica:lım

n→∞fn(n) = 0

ya que:

|fn(n)| ≤∫ n

0

e−nx dx =1n

(1− e−n2) ≤ 1

n

Tengase en cuenta que

fn(0) =∫ n

0

senxx

dx

Se cumplen las condiciones necesarias para poder calcular la derivada bajo elsigno integral:

f ′n(t) = −∫ n

0

e−xt senxdx =e−nt(t senn+ cosn)− 1

1 + t2

y esta sucesion de funciones se puede acotar por una funcion que es integrableLebesgue en [0,∞):

|f ′n(t)| ≤ 11 + t2

(1 + (1 + t)e−t

)Ademas:

lımn→∞

f ′n(t) = − 11 + t2

Consideremos la sucesion f ′n restringida a los intervalos [0, n]:

gn(x) = f ′n(x)χ[0,n]

Ahora tenemos una sucesion de funciones integrables Lebesgue, definidas entoda la semirrecta positiva. La sucesion gn(t) esta acotada en valor absolutopor f ′n(t) y tiene el mismo lımite que esta. Entonces, aplicando el teorema deconvergencia dominada de Lebesgue:

lımn→∞

∫ n

0

fn(t) dt = lımn→∞

∫ ∞

0

gn(t) dt =∫ ∞

0

lımn→∞

gn(t) dt =∫ ∞

0

lımn→∞

f ′n(t) dt = −∫ ∞

0

11 + t2

dt = −π2


Finalmente en la relacion:∫ n+1

0

senxx

dx =∫ n

0

senxx

dx+∫ n+1

n

senxx

dx = fn(0) +∫ n+1

n

senxx

dx

se toma el lımite cuando n→∞ y se sustituye

lımn→∞

fn(0) =π

2

igualdad que se obtiene del teorema fundamental del calculo:∫ n

0

f ′n(t) dt = fn(n)− fn(0)

y tomando el lımite cuando n→∞.Tenemos por tanto: ∫ ∞

0

senxx

dx =π

2

que coincide con el valor de F (t) cuando t→ 0.

1.5. Productos de medidas

Nos interesa en esta seccion el estudio de medidas en espacios que son pro-ducto cartesiano de dos (o mas) espacios de medida. El primer resultado serefiere a estructuras de anillos en espacios producto.

Proposicion 1.5.1 Si S y T son dos anillos de subconjuntos en dos conjuntosX e Y respectivamente, en el espacio X × Y la clase formada por las unionesfinitas disjuntas de rectangulos, es decir conjuntos de la formas A × B, A ⊂X, B ⊂ Y es un anillo, que se llama S × T .

Entonces si (X,S) e (Y, T ) son dos espacios medibles, el espacio (X ×Y,S ×T )es un espacio medible. Recuerdese que X e Y son uniones de conjuntos mediblesen cada medida.

Para conjuntos que no sean rectangulos (es decir, de la forma A×B) nece-sitamos relacionarlos de alguna forma con conjuntos en los espacios que formanel producto. Introducimos la siguiente definicion:

Definicion 1.5.1 Sean (X,S) e (Y, T ) dos espacios medibles, con espacio pro-ducto (X × Y,S × T ). Sea U ⊂ X × Y . Dado x ∈ X, el conjunto de X,Ux = y : (x, y) ∈ U se llama la seccion de U determinada por x. De igualforma se determinan secciones en el espacio Y : Uy = x : (x, y) ∈ U

De forma similar se define lo que es una seccion de una funcion:

Definicion 1.5.2 Sean (X,S) e (Y, T ) dos espacios medibles, con espacio pro-ducto (X × Y,S × T ). Sea f una funcion definida en un conjunto U de X × Y .Se llama seccion de f por x a la funcion fx(y) = f(x, y), y ∈ Ux. De formasimilar se definen las secciones fy.

Los resultados que relacionan los conjuntos y funciones medibles en el espacioproducto con los espacios que lo forman son:

1.5. PRODUCTOS DE MEDIDAS 31

Teorema 1.5.1 Toda seccion de un conjunto medible es un conjunto medible.

Teorema 1.5.2 Toda seccion de una funcion medible es una funcion medible.

Pasemos ahora a resultados sobre las medidas µ y ν.

Teorema 1.5.3 Sean (X,S, µ) e (Y, T , ν) dos espacios de medida, con espacioproducto (X × Y,S × T ). Si U es un conjunto medible de X × Y , las funcionesf(x) = ν(Ux), g(y) = µ(Uy) son funciones medibles no negativas y∫

f dµ =∫g dν

En el espacio (X ×Y,S ×T ) se define la medida producto µ× ν de la formasiguiente:

Teorema 1.5.4 Sean (X,S, µ) e (Y, T , ν) dos espacios de medida, con medidasσ-finitas y espacio producto (X × Y,S × T ). La funcion λ definida por:

λ(U) =∫ν(Ux) dµ(x) =

∫µ(Uy) dν(y)

es una medida σ-finita y para todo rectangulo medible:

λ(A×B) = µ(A)ν(B)

Se llama la medida producto cartesiano de las medidas µ y ν, λ = µ× ν.

La ultima condicion determina a λ de forma unica.El teorema mas importante relativo a la integracion con medidas producto

es el teorema de Fubini, que relaciona la integral en el espacio producto con lasintegrales en los espacios que lo forman. Supongamos que h(x, y) es una funcionintegrable definida en el espacio X×Y , con la medida λ = µ×ν (como siemprese tienen dos espacios de medida (X,S, µ) e (Y, T , ν) y el espacio producto(X × Y,S × T , µ× ν)). La integral (la integral doble) es:∫

h(x, y) dλ(x, y) ≡∫h(x, y)( dµ(x)× dν(y))

Supongamos que hx(y) es la seccion de h en x ∈ X, y sea

f(x) =∫hx(y) dν(y)

en el caso en que este bien definida. Si f(x) es integrable, se tiene:∫f(x) dµ(x) =

∫ (∫h(x, y) dν(y)

)dµ(x) ≡

∫dµ(x)

∫h(x, y) dν(y)

De manera similar se puede repetir el argumento con la otra seccion de h(x, y),hy(x), y

g(y) =∫hy(x) dµ(x)


∫g(y) dν(y) =

∫ (∫h(x, y) dµ(x)

)dν(y) ≡

∫dν(y)

∫h(x, y) dµ(x)

Estas integrales se llaman iteradas. Tenemos tres tipos de integrales definidaspara una funcion: la doble (asociada al espacio de medida producto) y las dositeradas. El problema es si tienen alguna relacion. Este es el contenido del teo-rema de Fubini, que establece la igualdad de estas tres integrales bajo ciertascondiciones.

Proposicion 1.5.2 Un subconjunto de X × Y es de medida cero si y solo sicasi toda X-seccion (o bien casi toda Y -seccion) tiene medida cero.

La demostracion es una simple consecuencia de la definicion de λ, la medidaproducto:

λ(A) =∫ν(Ax) dµ(x) =

∫µ(Ay) dν(y)

Proposicion 1.5.3 Para toda funcion medible y no negativa en el productoX × Y se tiene:∫

h d(µ× ν) =∫ (∫

h dµ)

dν =∫ (∫

hdν)

dµ

y como conclusion

Teorema 1.5.5 (Fubini) Sea h(x, y) una funcion integrable en X×Y , tal quetoda seccion de h es integrable. Entonces, las funciones:

f(x) =∫h(x, y) dν(y), g(y) =

∫h(x, y) dµ(x)

son integrables y se tiene:∫h d(µ× ν) =

∫ (∫hdµ

)dν =

∫ (∫hdν

)dµ

Capıtulo 2

Espacios topologicos,metricos y normados

2.1. Introduccion

En este capıtulo se estudian conjuntos de puntos con ciertas propiedadesderivadas de la existencia de una topologıa. Como lo que nos preocupa esen-cialmente son los espacios de Hilbert, introduciremos unas nociones elementalesde los espacios topologicos y metricos para detenernos con mas detalle en losespacios normados.

Esta claro que no pretendemos hacer una introduccion pormenorizada sinosimplemente esbozar las ideas fundamentales y las relaciones que existen entreestos conceptos

2.2. Espacios topologicos

Sea X un conjunto. Llamaremos puntos a sus elementos. Como se ha vistoen R, la nocion de valor absoluto de un numero real da lugar a la de distanciaentre dos numeros reales (como el valor absoluto de la diferencia) y esto a unaserie de relaciones de proximidad de los puntos, a nociones de convergencia desucesiones, de intervalos abiertos y cerrados, de conjuntos acotados, etc. Sinembargo, la nocion de distancia no es esencial para definir estos conceptos.A continuacion introducimos la definicion de una topologıa y veremos comoaparecen en cualquier espacio dotado de ella muchos de los conceptos que sehan visto en R.

Definicion 2.2.1 Sea X un conjunto de puntos. Una topologıa T en X es unaclase de subconjuntos de X que verifican las siguientes propiedades:

1. ∅, X ∈ T

2. A1, . . . , An ∈ T ⇒⋂n

i=1Ai ∈ T

3. Ai ∈ T , i ∈ I ⇒⋃

i∈I Ai ∈ T

33

34 CAPITULO 2. TOPOLOGIA, DISTANCIA Y NORMA

Es decir las intersecciones finitas de elementos de T estan en T y las unionesarbitrarias de elementos de T estan en T . Se dice que (X, T ) es un espaciotopologico. A los elementos de T se les llama abiertos.

Hay dos topologıas triviales en todo conjunto. Una, en la que son abiertostodos los subconjuntos de X. Otra, en la que los unicos conjuntos abiertos sonel total y el vacıo: ∅, X . Pero hay topologıas mas interesantes. Por ejemploen R, con la distancia euclidiana, donde un conjunto es abierto si para cada unode sus puntos existe un intervalo abierto que lo contiene y que esta contenidoen el conjunto. Es facil ver que se cumplen las propiedades que deben verificarlos conjuntos abiertos.

Definicion 2.2.2 Un subconjunto de X es cerrado si su complementario esabierto.

Para los conjuntos cerrados se tienen las siguientes propiedades

Proposicion 2.2.1 En un espacio topologico se verifica:

1. ∅, X son cerrados

2. F1, . . . , Fn cerrados, entonces⋃n

i=1 Fi es cerrado

3. Fi, i ∈ I cerrados, entonces⋂

i∈I Fi es cerrado.

La demostracion es muy sencilla pues basta aplicar las leyes de complementarie-dad (el complementario de la union es la interseccion de los complementarios).

La nocion de proximidad que en R (y en todo espacio metrico, ver masadelante) da la distancia, se realiza aquı mediante la nocion de entorno.

Definicion 2.2.3 Sea (X, T ) un espacio topologico. Se dice que el conjunto Ves un entorno de un punto x ∈ X si existe un abierto de X tal que

x ∈ A ⊂ V

Notese que el entorno no tiene por que ser abierto. En particular un abierto esun entorno de cada uno de sus puntos.

Dado un punto x ∈ X se puede definir lo que se entiende por una base deentornos de x.

Definicion 2.2.4 Sea x un punto de un espacio topologico. Se dice que la clasede conjuntos Vi, i ∈ I es una base de entornos de x si dado cualquier entornode x, U , existe i ∈ I tal que x ∈ Vi ⊂ U .

Se dice que el espacio verifica el primer axioma de numerabilidad (ANI) si paratodo punto del espacio existe una base de entornos numerable. Una definicionsimilar se puede hacer para todo el espacio.

Definicion 2.2.5 Sea (X, T ) un espacio topologico. Se dice que la clase deconjuntos Vi, i ∈ I es una base de la topologıa si son abiertos y para todo puntox ∈ X y para todo entorno de x, U , existe i ∈ I tal que x ∈ Vi ⊂ U .

2.2. ESPACIOS TOPOLOGICOS 35

Se dice que el espacio verifica el segundo axioma de numerabilidad (ANII) sila topologıa tiene una base numerable. Si un espacio es ANII tambien es ANI,pues la clase de conjuntos de base de la topologıa que contiene a un punto x esuna base de entornos de ese punto. Sin embargo hay espacios que son ANI perono ANII.

Clasificaremos ahora los puntos en relacion con sus propiedades respecto aconjuntos.

Definicion 2.2.6 Sea B un subconjunto de X. Se dice que x ∈ X es un puntointerior de B si existe un entorno de x contenido en B.

Esto implica evidentemente que x ∈ B. Todos los puntos de un abierto soninteriores (inmediato de la definicion). Pero un cerrado puede no tener puntosinteriores (por ejemplo en R con la topologıa anteriormente definida, los puntosson cerrados y, obviamente, no contienen puntos interiores). El conjunto de lospuntos interiores de un conjunto B es un abierto, que se llama el interior de eseconjunto,B. Es el mayor abierto contenido en ese conjunto. En efecto, si A ⊂ B,A abierto, para todo punto x de A existe un entorno de x que esta contenidoen A y por tanto en B. De acuerdo con la definicion x ∈ B. Luego A ⊂ B.

Un conjunto es abierto si y solo si coincide con el conjunto de sus puntosinteriores (una facil consecuencia de lo dicho anteriormente).

Definicion 2.2.7 Sea B ⊂ X. Se dice que el punto x ∈ X es un punto deadherencia (o de cierre) del conjunto B si para todo entorno V de x se tieneV ∩B 6= ∅

El conjunto de los puntos de adherencia de un conjunto B se llama el cierrede ese conjunto B. El cierre de un conjunto es un conjunto cerrado. Para demos-trarlo hay que probar que su complementario es abierto. Si x ∈ X− B, entoncesx /∈ B lo que quiere decir que hay un entorno de x que esta contenido en X−B,pues es evidente que B ⊂ B. Es el menor cerrado que contiene al conjunto (lademostracion es similar a la que hemos hecho con el interior). Un conjunto escerrado si y solo si coincide con su cierre.

Definicion 2.2.8 Se dice que un conjunto B es denso en X si su cierre coincidecon X.

Por ejemplo, los racionales y los reales. En todo intervalo abierto que contengaun numero real hay un numero racional. Luego los reales son el cierre de losracionales.

Definicion 2.2.9 Se dice que un espacio topologico es separable si tiene unsubconjunto numerable denso.

El ejemplo anterior muestra que los racionales constituyen un conjunto densoen los reales y son numerables, luego R es separable.

Definicion 2.2.10 Se dice que un punto x es de acumulacion de un conjuntoB si todo entorno de x excluido el propio punto x tiene interseccion no vacıacon el conjunto:

(V − x) ∩B 6= ∅


Un ejemplo sencillo es la sucesion 1/n en los reales. El 0 es un punto deacumulacion. El conjunto de los puntos de acumulacion es un conjunto cerradoy se llama el conjunto derivado, B′. El cierre de un conjunto es la union delconjunto derivado con el propio conjunto.

Definicion 2.2.11 Se dice que un punto x es frontera de un conjunto B si todoentorno de x tiene interseccion no vacıa con el conjunto y su complementario:

V ∩B 6= ∅, V ∩ (X −B) 6= ∅

El intervalo (0, 1] tiene dos puntos frontera en R, el 0 que no esta en el intervaloy el 1 que sı lo esta. El conjunto de puntos frontera de un conjunto se llama lafrontera de ese conjunto. Un conjunto es cerrado si contiene a su frontera y esabierto si es disjunto con ella. El intervalo anterior no es abierto ni cerrado: nicontiene a su frontera ni es disjunto con ella.

Aunque en un espacio topologico las sucesiones no juegan el papel funda-mental que realizan en un espacio metrico, no por ello dejan de ser importantes.

Definicion 2.2.12 Sea una sucesion xn en X. Se dice que xn converge a x0

cuando n tiende a infinito, si para todo entorno V de x0 existe n0 tal que sin ≥ n0 entonces xn ∈ V .

En un espacio topologico se pueden introducir lo que se llama los axiomas deseparacion. Nos restringiremos a la separacion de tipo Hausdorff. Los espaciosde tipo Hausdorff son los mas utilizados en las aplicaciones.

Definicion 2.2.13 Un espacio topologico se dice que es de Hausdorff si dadosdos puntos x 6= y en X, existen dos entornos V y W de x e y respectivamentetal que V ∩W = ∅.

Esta claro que R es un espacio de Hausdorff. Pero un conjunto X con la to-pologıa que solo tiene como abiertos el vacıo y el conjunto total no puede serHausdorff (si tiene dos puntos o mas). Definamos finalmente, en lo que a con-juntos se refiere, lo que es un conjunto compacto. Primero definimos que es unrecubrimiento.

Definicion 2.2.14 Sea X un espacio topologico y B ⊂ X. Se dice que la colec-cion de conjuntos abiertos Ai, i ∈ I es un recubrimiento de B si B ⊂ ∪Ai ∈ I.

y a continuacion lo que es un subrecubrimiento.

Definicion 2.2.15 Sea X un espacio topologico, B ⊂ X y Ai, i ∈ I un recu-brimiento de B. Un subrecubrimiento de Ai, i ∈ I es una familia Ai, i ∈ J , conJ ⊂ I, tal que B ⊂ ∪i∈JAi.

para acabar con la definicion de un compacto.

Definicion 2.2.16 Se dice que K ⊂ X es un conjunto compacto si todo recu-brimiento abierto admite un subrecubrimiento finito.

2.2. ESPACIOS TOPOLOGICOS 37

Para ser precisos, la nocion de compacto se establece sobre espacios topologicosy no sobre subconjuntos. La definicion sobre subconjuntos se hace estudiando latopologıa relativa inducida sobre el subconjunto (en ella un conjunto es abiertosi es la interseccion de un abierto del espacio ambiente con el subconjunto).

El intervalo (0, 1) ⊂ R no es un compacto. Se pueden construir recubrimien-tos abiertos que no contengan ningun subrecubrimiento finito. El problema esque los extremos del intervalo no estan en el. Como veremos en la siguiente pro-posicion, este ejemplo se resuelve de manera inmediata. Pero vamos a discutirun ejemplo de recubrimiento abierto de (0, 1) que no admite subrecubrimientosfinitos. Sea An = (1/(n + 1), 1), n = 1, 2, . . . una familia de intervalos abiertosque recubren a (0, 1), es decir:

(0, 1) ⊂∞⋃

n=1

(1

n+ 1, 1)

Supongamos que tenemos una subfamilia finita. Entonces existe un n0 maximo,tal que An0 esta en la subfamilia pero An0+1 no. Esta claro que hay puntos de(0, 1) que no son cubiertos por el subrecubrimiento (los menores que 1/(n0 +2).

Los conjuntos cerrados no son en general compactos. Pero el inverso es cierto.

Proposicion 2.2.2 Sea K un compacto de un espacio topologico (X, T ) deHausdorff. Entonces K es cerrado. Ademas los subconjuntos cerrados de unconjunto compacto son compactos.

Demostremos que X − K es abierto. Sea y ∈ X − K. Para cada x ∈ K, alser X un espacio de Hausdorff, existe un entorno abierto de x a cuyo cierre nopertenece y. La coleccion de esos abiertos es un recubrimiento abierto de K, yal ser K compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito. El cierre de launion (que es la union de los cierres al ser finita) contiene a K y no contiene ay. Luego su complementario es un abierto que contiene a y y esta contenido enX −K que es un abierto. En cuanto a la segunda parte, sea K un compacto yF ⊂ K cerrado. Dado un recubrimiento abierto de F , consideramos el recubri-miento de K anadiendo al anterior el abierto K−F . Pero K es compacto, luegopodemos extraer un subrecubrimiento finito. Eliminando X−F de ese subrecu-brimiento obtenemos un recubrimiento de F que es un subrecubrimiento finitodel recubrimiento inicial. Luego F es compacto.

Como hemos dicho antes, esta propiedad implica que (0, 1) no puede sercompacto, al no ser cerrado. La recta real (que es cerrada) no es compacta (conla distancia usual no esta acotada). Un caso mas interesante desde el punto devista de las aplicaciones a espacios vectoriales normados (en particular a espaciosde Hilbert) es que la bola unidad cerrada, es decir, el conjunto de los vectoresde ese espacio cuya norma es menor o igual que 1, es cerrada y acotada pero noes compacta cuando la dimension es infinita (como veremos mas adelante, haysucesiones infinitas que no tienen puntos de acumulacion).

El siguiente resultado es fundamental en topologıa.

Teorema 2.2.1 (Tychonoff) El producto de espacios compactos es un espaciocompacto.

Como consecuencia, el conjunto [0, 1]I es un compacto (I es un conjunto cual-quiera). Sin embargo la esfera unidad en un espacio normado (ver seccion si-guiente) de dimension infinita no es un compacto.


Aunque un espacio no sea compacto puede tener esa propiedad desde unpunto de vista local.

Definicion 2.2.17 Sea (X, T ) un espacio topologico. Se dice que es localmentecompacto si todo punto posee un entorno cuyo cierre es compacto.

Aunque R no es compacto, es localmente compacto. Todo punto tiene un entor-no cuyo cierre es compacto (porque en R los cerrados y acotados son compactos).Como veremos mas adelante, los espacios vectoriales de dimension finita (comoR), con la topologıa que les hace espacios vectoriales topologicos, son local-mente compactos, pero este resultado no es cierto cuando se trata de espaciosvectoriales de dimension infinita.

Introducimos ahora la nocion de funcion continua entre espacios topologicos.

Definicion 2.2.18 Sea f : (X1, T1) → (X2, T2) una funcion. Se dice que f escontinua en un punto x ∈ X1 si para todo entorno V de f(x) existe un entornoU de x tal que f(U) ⊂ V .

Una funcion continua entre dos espacios topologicos se caracteriza de la formasiguiente:

Definicion 2.2.19 Sea f : (X1, T1) → (X2, T2). La funcion f es continua si ysolo si la imagen inversa de un abierto es un abierto.

Esta claro que si f es continua en X1 lo es en cada punto de X1. Dado x ∈ X1,y un entorno cualquiera de f(x), tenemos entonces un abierto de X2, A2 talque, f(x) ∈ A2 ⊂ V . Por ser f continua, f−1(A2) es un abierto de X1 y portanto un entorno de x. Entonces, f(f−1(A2)) ⊂ V . Y si f es continua en todoslos puntos del espacio X1, se tiene que f es continua en X1. En efecto, sea Vun abierto en el segundo espacio, X2. Hay que probar que su imagen inversamediante f−1 es un abierto de X1. Sea x ∈ f−1(V ). Por ser f continua en x,y ser f(x) ∈ V , que es un abierto y por tanto un entorno de f(x), se tiene queexiste U , entorno de x tal que f(U) ⊂ V . Pero U ⊂ f−1(f(U)) ⊂ f−1(V ), quepor lo tanto es abierto.

Se tiene el siguiente resultado en cuanto a los conjuntos compactos:

Proposicion 2.2.3 Sea f : (X1, T1) → (X2, T2) continua. Entonces si K es uncompacto de X1, se tiene que f(K) es un compacto de X2.

La demostracion es muy sencilla. Se toma un recubrimiento abierto arbitrariode f(K). La imagen inversa de cada elemento del recubrimiento es un abiertodel primer espacio, pues f es continua. Pero la union de esas imagenes inversases ciertamente un recubrimiento abierto de K. Como K es compacto se puedeextraer un subrecubrimiento finito. Los conjuntos del recubrimiento de f(K)correspondientes al subrecubrimiento (de K) escogido son tambien un subrecu-brimiento finito de f(K), que por lo anterior es compacto.

Notese que la imagen de un abierto bajo una aplicacion continua no tienepor que ser abierta. Sin embargo se puede definir el siguiente concepto.

Definicion 2.2.20 Sea f una aplicacion entre dos espacios topologicos. Se diceque es abierta si la imagen de un abierto es abierta.

2.3. ESPACIO METRICOS 39

Si entre dos espacios topologicos se puede establecer una aplicacion biyectivay tanto ella como su inversa son continuas, se dice que son homeomorfos y laaplicacion se llama un homeomorfismo. Un homeomorfismo es claramente unaaplicacion abierta.

Finalmente sean (X1, T1) y (X2, T2). En el conjunto producto cartesianoX1 × X2 se puede definir una topologıa, la topologıa producto. Una base deesta topologıa esta formada por los productos cartesianos de abiertos de X1 yX2. Es decir un conjunto A ⊂ X1 ×X2 es un abierto en la topologıa productosi para todo punto (x1, x2) ∈ A se tienen dos entornos U1 y U2 de x1 y x2

respectivamente tales que:

(x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂ A

Proposicion 2.2.4 Las proyecciones pi : X1×X2 → Xi son continuas cuandoen el espacio producto se usa la topologıa definida anteriormente.

La demostracion es una consecuencia directa de la definicion de la topologıaproducto. Consideremos un abierto A1 de X1. Su imagen inversa mediante laproyeccion, p−1

1 (A1) = A1 ×X2 es un abierto en la topologıa producto.

2.3. Espacio metricos

Consideremos nuevamente un espacio X y en el una distancia, es decir unaaplicacion de X ×X en R verificando las propiedades que se detallaran a con-tinuacion. Estudiaremos entonces que es posible definir una topologıa asociadaa esta metrica y determinaremos sus propiedades mas importantes.

Definicion 2.3.1 Sea X un conjunto y d una aplicacion:

d : X ×X → R

que verifica:

1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2. d(x, y) = d(y, x)

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular)

Un espacio metrico es un conjunto de puntos con una distancia. El conjunto Rcon la distancia definida a partir del valor absoluto es un espacio metrico:

d(x, y) = |x− y|, x, y ∈ R

La aplicacion

d(x, y) =

0 si x = y1 si x 6= y

definida en un conjunto X lo convierte en un espacio metrico.Si d(x, y) es una distancia, la aplicacion:

ρ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)


es tambien una distancia, con valores entre 0 y 1.Veamos como definir una topologıa a partir de la metrica. Primero definimos

lo que se entiende por bola abierta:

Definicion 2.3.2 Sea (X, d) un espacio metrico. Se define la bola abierta decentro a ∈ X y radio r > 0 por:

B(a, r) = x ∈ X : d(x, a) < r

y a continuacion lo que entendemos por un abierto en (X, d).

Definicion 2.3.3 Sea (X, d) un espacio metrico. Se dice que A ⊂ X es unabierto (en la topologıa de la metrica) si para todo x ∈ A existe una bola decentro x y radio r contenida en A.

Lo que hay que hacer ahora es comprobar que esta coleccion de abiertos ası de-finidos es una topologıa en X. Es claro que ∅ y X son abiertos (trivialmente dela definicion de abierto). Veamos ahora que la interseccion de dos abiertos esun abierto. Sean A1 y A2 abiertos en X. Sea x ∈ A1 ∩A2. Existen dos bolas decentro x y radios r1 y r2 tales que:

B(x, r1) ⊂ A1, B(x, r2) ⊂ A2

Sea r = mın r1, r2 . Es claro que

B(x, r) ⊂ A1 ∩A2

En cuanto a la union, si x ∈ ∪i∈IAi entonces existe i0 ∈ I tal que x ∈ Ai0

que, por ser abierto, contiene a una bola de centro x y radio r, que tambienestara contenida en la union.

Luego efectivamente estos abiertos constituyen una topologıa en X. El con-junto de bolas de centro en cualquier punto de X y radios arbitrarios es unabase de la topologıa, ası como el conjunto de bolas de centro x fijado y radioarbitrario es una base de entornos de ese punto. Lo que se tiene ademas es quela familia

B

(x,

1n

), n = 1, 2, . . .

es tambien un base de entornos del punto x, y es numerable, por lo que todoespacio metrico verifica el primer axioma de numerabilidad.

De forma similar a las bolas abiertas, se definen las cerradas

B(a, r) = x ∈ X : d(x, a) ≤ r

Toda bola cerrada es un cerrado como es facil de ver. Podemos ahora dar unacaracterizacion de la convergencia de una sucesion en terminos de la metrica.

Proposicion 2.3.1 Sea (X, d) un espacio metrico y xn una sucesion en eseespacio. Se dice que xn converge a x0 (en la topologıa de la metrica) si paratodo ε > 0 existe n0 tal que si n ≥ n0 se tiene d(xn, x0) < ε. Dicho de otraforma, xn → x0 cuando n→∞ si d(xn, x0) → 0 en R.

La demostracion se basa simplemente en un uso adecuado de bolas abiertas yla propiedad de ser una base de entornos del punto.

2.3. ESPACIO METRICOS 41

Proposicion 2.3.2 Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces, x ∈ X es unpunto de acumulacion de un conjunto A ⊂ X si y solo si existe una sucesion depuntos en A (distintos de x) que converge a x.

Consideremos las bolas B(x, 1/n). Por ser x un punto de acumulacion, en todaslas bolas hay puntos de A distintos de x. Sea xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. La sucesionxn esta en A y converge a x. En sentido contrario es inmediato por la definicionde punto de acumulacion. Notese la importancia de tener una base de entornosde x formada por las bolas de centro x y radios 1/n.

Sobre un mismo conjunto es posible definir en general distintas metricas. Lapregunta es como son las topologıas que determinan esas metricas. Se dice quedos metricas son equivalentes si las topologıas que generan son iguales (es decirlos abiertos en una de ellas son abiertos en la otra y viceversa).

Por ejemplo, las metricas definidas anteriormente por d(x, y), ρ(x, y) sonequivalentes.

Como hemos visto, los puntos de adherencia de un conjunto se caracterizanpor el hecho de que existe una sucesion contenida en el conjunto cuyo lımite esel punto en cuestion. Si es de acumulacion la sucesion se puede elegir de puntosdistintos. Esta caracterizacion esta asociada a las propiedades de ser un espaciometrico (en particular a ser ANI) y no se verifica en un espacio topologicoarbitrario.

Usando la nocion de distancia es posible definir lo que quiere decir acotacionen un espacio metrico.

Definicion 2.3.4 Sea (X, d) un espacio metrico. Se dice que un conjunto esacotado si existe un numero real positivo k tal que la distancia entre dos puntoscualquiera del conjunto es menor que k.

Proposicion 2.3.3 De toda sucesion acotada en un espacio metrico se puedeextraer una subsucesion convergente.

Un concepto importante en espacios metricos es el de sucesiones de Cauchy.

Definicion 2.3.5 Sea (X, d) un espacio metrico y xn una sucesion en X. Sedice que xn es una sucesion de Cauchy (fundamental) si para todo ε > 0 existen0 tal que si n,m ≥ n0 se tiene que d(xn, xm) < ε.

Una sucesion de Cauchy esta acotada. Es facil demostrar que toda sucesionconvergente es de Cauchy, pero el inverso no siempre es cierto (el ejemplo massencillo es el de los racionales con la topologıa de la metrica heredada de R).Esto nos lleva a la introduccion del concepto de espacio metrico completo.

Definicion 2.3.6 Se dice que un espacio metrico es completo si toda sucesionde Cauchy es convergente.

Por ejemplo, R es completo.

Definicion 2.3.7 Sean (X1, d1), (X2, d2) dos espacios metricos y f : X1 → X2

una aplicacion. Se dice que f es una isometrıa si

d2(f(x), f(y)) = d1(x, y), x, y ∈ X1


Es obvio que una isometrıa es continua. Las isometrıas son siempre inyectivas(si f(x) = f(y) entonces d2(f(x), f(y)) = 0 y por ser isometrıa, d1(x, y) =0, luego x = y). Si la aplicacion es sobreyectiva se dice que los espacios sonisometricos (la isometrıa es un homeomorfismo, es decir, dos espacios isometricosson homeomorfos).

Es posible demostrar que todo espacio metrico no completo admite un com-pletado (es decir existe un espacio metrico completo que lo contiene y del que esun subespacio denso, y cuya metrica restringida al primer espacio es la metricade partida). El completado es unico (salvo isometrıa). Se dice que un espaciometrico es precompacto si su completado es compacto.

Para los espacios metricos la caracterizacion de compactos puede hacerse deotras formas. Se tiene el siguiente resultado.

Teorema 2.3.1 (Bolzano-Weierstrass) Sea (X, d) un espacio metrico. Unconjunto K es compacto si y solo si todo subconjunto infinito de K tiene unpunto de acumulacion en K.

La condicion es necesaria en cualquier espacio topologico. La parte suficiente(para la que se necesita la estructura metrica) no es facil de probar.

Como consecuencia se tiene:

Proposicion 2.3.4 Sea (X, d) un espacio metrico. Un conjunto K es compactosi y solo si toda sucesion en K tiene una subsucesion convergente a un puntode K.

Los conjuntos compactos en Rn tienen una caracterizacion muy sencilla.Como veremos en la seccion siguiente, todo espacio vectorial topologico de di-mension finita es isomorfo (en el sentido algebraico y en el topologico) a Kn

donde K es el cuerpo sobre el que esta construido (en nuestro caso R o C). Setiene el resultado siguiente.

Teorema 2.3.2 (Heine-Borel) Un subconjunto de un espacio Kn es compac-to si y solo si es cerrado y acotado (en la metrica usual).

Supongamos que K ⊂ Kn es compacto. De acuerdo con la proposicion 2.2.2 escerrado. Veamos que tambien es acotado. Si no lo estuviera se podrıa construiruna sucesion de puntos xn tales que ‖xn‖ > n para todo n ∈ N (‖x‖ es la normausual en Kn, ver seccion siguiente). Esta sucesion (que tiene infinitos puntosdistintos) no tiene subsucesiones convergentes, lo que es una contradiccion conel hecho de que K sea compacto.

Supongamos ahora queK es cerrado y acotado. Al ser acotado, toda sucesioncontenida en el esta acotada. Pero de toda sucesion acotada es posible extraeruna subsucesion convergente (ver 2.3.3). Como K es cerrado el lımite esta en K(ver 2.3.1).

2.4. Espacios normados

Supongamos que el conjunto de puntos que estudiamos ahora es un espaciovectorial L (real o complejo, K = R o C). Este es el caso fundamental a trataren estas notas (en particular cuando ademas tenemos un producto escalar).

2.4. ESPACIOS NORMADOS 43

En el espacio vectorial se puede definir una topologıa. Cuando esta topologıaverifica ciertas propiedades en relacion con las operaciones de L se dice quetenemos un espacio vectorial topologico (e.v.t.). Los espacios normados son uncaso particular de los e.v.t. (y los espacios de Hilbert un caso particular de losnormados como veremos mas tarde).

Definicion 2.4.1 Sea L un espacio vectorial y T una topologıa en el. Se diceque (L, T ) es un espacio vectorial topologico si se verifica:

1. La aplicacion (x, y) → x+ y de L× L en L es continua.

2. La aplicacion (λ, x) → λx de K× L en L es continua.

La topologıa en el cuerpo es la usual (dada por la distancia asociada al modulo).Y en los casos de un producto, la topologıa es la producto.

Los entornos de un punto en un e.v t. estan directamente relacionados conlos entornos del vector 0. En efecto, sea U un entorno de 0. Entonces, el conjunto

x+ U = x+ y : y ∈ U

es un entorno de x. Y viceversa, todos los entornos de x son de esta forma: seaV un entorno de x. Entonces, U = −x + V es un entorno de 0 y por lo tantoV = x+ U .

Al disponer de una estructura adicional (la de espacio vectorial), hay con-juntos importantes desde este punto de vista, como son los subespacios. Estosconjuntos no tienen por que ser cerrados (lo son si la dimension es finita), perose verifica:

Proposicion 2.4.1 Si (L, T ) es un espacio vectorial topologico y M un subes-pacio, el cierre de M en la topologıa de L es tambien un subespacio.

La suma es una aplicacion continua, luego M + M esta contenido en M . Noteseque lo que se esta aplicando es que para un aplicacion continua, si f(A) ⊂ Bentonces f(A) ⊂ B. Por razones semejantes, KM ⊂ M .

Dado un subespacio, el espacio vectorial cociente es tambien un e.v.t. (aun-que no insistiremos en como determinar la topologıa cociente de este espacio).Pero, para ver la importancia que tiene el que los subespacios sean cerradospara satisfacer ciertas propiedades, enunciaremos la siguiente proposicion.

Proposicion 2.4.2 Sea L un espacio vectorial topologico y M un subespaciode L. Entonces el espacio vectorial cociente L/M con la topologıa cociente esHausdorff si y solo si M es cerrado.

La dimension de un espacio vectorial es el cardinal de una de sus bases (al-gebraicas), que se puede demostrar que existen (se llaman bases de Hamel) ytienen todas el mismo cardinal. Los espacios vectoriales de dimension finita jue-gan un papel muy particular. Todo e.v.t. de Hausdorff de dimension n sobre K(que es R o C) es isomorfo a Kn (isomorfo quiere decir que existe un isomor-fismo algebraico que es tambien homeomorfismo). La demostracion se basa enel isomorfismo algebraico que se puede establecer entre ambos espacios. Fijadauna base de L, u1, . . . , un , sea f la siguiente aplicacion:

f : L→ Kn, f(x) = (a1, . . . , an)


donde x = a1u1 + · · · anun. Esta aplicacion es biyectiva. Es facil ver que escontinua y abierta.

Ademas, en este caso las aplicaciones lineales tienen la siguiente propiedadque no es cierta en el caso de dimension infinita, donde existen aplicacioneslineales que no son continuas.

Proposicion 2.4.3 Sea M un e.v.t. de dimension finita y L un e.v.t. de di-mension arbitraria. Entonces, toda aplicacion lineal de M en L es continua.

La demostracion se puede hacer usando el isomorfismo anterior (de esa forma,una aplicacion lineal viene dada por una matriz, y en el espacio de matricesse puede definir una norma). Veremos mas tarde como la acotacion de unaaplicacion lineal usando una norma permite demostrar la continuidad.

La propiedad de compacidad local esta directamente relacionada con la di-mension finita.

Teorema 2.4.1 Si L es un e.v.t. de Hausdorff localmente compacto, entoncestiene dimension finita.

Otros conjuntos importantes en la teorıa de e.v.t. son las variedades lineales.Dado un e.v. L y un subespacio M , una variedad lineal es un conjunto x +Mdonde x ∈ L, definido por:

x+M = x+ y : y ∈M

La dimension de una variedad lineal es la del subespacio que la define. Unhiperplano es una variedad lineal propia (distinta de L) de dimension maximal.Los hiperplanos estan relacionados con las formas lineales en L (es decir lasaplicaciones lineales de L en K).

Proposicion 2.4.4 Un subconjunto H de L, e.v., es un hiperplano si y solo siexiste una forma lineal f y un escalar a ∈ K tales que:

H = x : f(x) = a

La forma f y el escalar a determinan H salvo un factor.

En particular si L es un espacio vectorial topologico, un hiperplano es cerradoo denso en L. Es cerrado si y solo si la forma f que lo define es continua.

A pesar de no tener definida una distancia es posible definir un concepto deacotacion en un e.v.t.

Definicion 2.4.2 Se dice que un subconjunto A de un e.v.t. esta acotado sipara todo entorno de 0, U , existe c ∈ K tal que:

A ⊂ cU

Se puede probar que toda sucesion de Cauchy esta acotada en el sentidoanterior. Resulta muy interesante ver como propiedades de acotacion, tan ele-mentales como la que sigue, implican que la topologıa de un e.v.t se puedeasociar a una metrica


Teorema 2.4.2 Todo e.v.t. de Hausdorff localmente acotado (es decir, tieneun entorno de 0 acotado) es metrizable (es decir, existe una metrica tal que lasbolas abiertas son una base de la topologıa de L).

En la teorıa de e.v.t. los conjuntos convexos juegan un papel fundamental.

Definicion 2.4.3 Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es convexosi dados dos puntos cualquiera del conjunto, el segmento que los une tambienesta en el.

Es decir: si x, y ∈ A ⊂ L, entonces tx+ (1− t)y ∈ A para todo t ∈ (0, 1).

Definicion 2.4.4 Se dice que un espacio vectorial topologico es localmente con-vexo si es Hausdorff y todo entorno de un punto x contiene un entorno convexode x.

Los espacios localmente convexos estan asociados a seminormas.

Definicion 2.4.5 Sea L un e.v. y p una aplicacion de L en R. Se dice que pes una seminorma si se verifica:

1. p(ax) = |a|p(x), a ∈ K, x ∈ L

2. p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), x, y ∈ L

Una familia de seminormas determina en L una topologıa que es localmenteconvexa. Pero no entraremos en estos detalles ahora.

Lo que mas nos interesara en estas notas es una clase particular de seminor-mas. Una norma en un espacio vectorial L se define por:

Definicion 2.4.6 Sea L un e.v. Una aplicacion ‖ · ‖ : L → R se dice que esuna norma si se verifica:

1. ‖x‖ = 0 ⇒ x = 0

2. ‖ax‖ = |a| ‖x‖, a ∈ K, x ∈ L

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, x, y ∈ L

Se tiene entonces que dada una norma es posible definir una distancia

d(x, y) = ‖x− y‖

Se dice que un espacio vectorial topologico es un espacio normado, si esta dotadode una norma y la topologıa es la derivada de la norma (de la distancia asociadaa la norma). Un espacio normado completo se llama un espacio de Banach.

Entre otras caracterizaciones de un espacio normable (es decir un e.v.t. cuyatopologıa proviene de una norma) se tiene la siguiente

Proposicion 2.4.5 Un e.v.t. de Hausdorff es normable si y solo si tiene unentorno de 0 que es convexo y acotado.

La topologıa de un espacio normado puede venir definida por diferentes normas.Dos normas son equivalentes si dan lugar a la misma topologıa.


Proposicion 2.4.6 Dos normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 en un espacio vectorial L sonequivalentes si y solo si existen dos constantes k1, k2 > 0 que verifican para todox ∈ X:

k1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ k2‖x‖1

Basta probar que toda bola abierta en una norma contiene una bola abierta dela otra norma. Sea Bi(0, r) una bola abierta en la norma ‖·‖i (para otros puntosel resultado se obtiene por traslacion). Entonces, debido a las desigualdades dela proposicion, se tienen los contenidos:

B2(0, k1r) ⊂ B1(0, r), B1

(0,

r

k2

)⊂ B2(0, r)

lo que implica la igualdad de las topologıas. Supongamos ahora que las normasson equivalentes. Entonces la bola B2(0, 1) contiene una bola B1(0, r) para algunr. Es decir si ‖x‖2 < 1 entonces ‖x‖1 < r. Por las propiedades de las normasfrente a homotecias, si ‖x‖2 < k entonces ‖x‖1 < kr para todo k > 0. Eligiendok = ‖x‖2 se tiene:

‖x‖1 < r‖x‖2La otra desigualdad se demuestra de modo similar (notese que se ha empleadoen la demostracion la propiedad de homogeneidad de la norma).

Como se ha visto, todo e.v.t. de Hausdorff de dimension finita es isomorfo aKn. Ademas se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 2.4.7 Todas las normas en un espacio normado de dimensionfinita son equivalentes

La demostracion en un sentido es muy sencilla. Lo haremos en Kn. Tomemosla base canonica de Kn, u1, . . . , un. Sea ‖ · ‖ una norma arbitraria y ‖ · ‖∞ lanorma del supremo. Se tiene:

‖x‖ = ‖n∑

i=1

xiui‖ ≤n∑

i=1

|xi| ‖ui‖ ≤ ‖x‖∞n∑

i=1

‖ui‖ = k1‖x‖∞

con k1 =∑n

i=1 ‖ui‖. Sin embargo, en el otro sentido la situacion es bastantemas complicada. Se hace por induccion en la dimension del espacio vectorial.Para n = 1 es trivial. Supongamos que es cierta para n − 1. Consideremos Kn

y supongamos que no existe una constante k2 tal que

‖x‖∞ ≤ k2‖x‖, ∀x ∈ Kn

Es decir, dado un numero natural m, es posible hallar x ∈ Kn distinto de cerotal que:

‖x‖∞ > m‖x‖, ∀x ∈ Kn

Sea j ∈ 1, . . . , n, tal que |xj | = ‖x‖∞ > 0. Entonces, si

xm =1

‖x‖∞x

se tiene:‖xm‖ = 1, ‖xm‖ <

1m


Consideremos ahora el conjunto infinito S de numeros naturales m para los quese tienen estas condiciones (en el cual podemos suponer que j esta fijado, yaque solo puede tomar un numero finito de valores y por tanto uno de ellos serepite un numero infinito de veces). El conjunto de vectores de Kn que tienenla componente j igual a cero, W , es un espacio vectorial de dimension n−1. Eneste espacio tenemos:

‖y‖∞ ≤ C‖y‖, ∀y ∈W

Si m ∈ S se defineym = xm − uj

que esta en W (pues su componente j es cero). Demostremos que ym, m ∈ Ses una sucesion de Cauchy. Sea ε > 0 y un numero natural n0 tal que ε > 2

n0.

para n,m ∈ S, n,m ≥ n0 se tiene:

‖yn − ym‖ ≤ ‖xn − xm‖ ≤ ‖xn‖+ ‖xm‖ ≤1n

+1m≤ 2n0

≤ ε

Por lo que ym, m ∈ S es de Cauchy tambien en la norma del supremo. Al serel espacio W completo, su lımite (cuando m→∞, m ∈ S) es un vector y ∈W .Pero

‖uj + y‖ ≤ ‖uj + y + ym − ym‖ ≤ ‖uj + ym‖+ ‖y − ym‖ ≤1m

+ C‖y − ym‖∞

Cuando m→∞, el segundo miembro tiende a cero y por tanto y = −uj , lo quees imposible, pues y ∈W pero uj /∈W .

Los conjuntos acotados definidos anteriormente adquieren ahora, en un es-pacio normado, un aspecto mas cercano. Un conjunto de un espacio normadoes acotado si la norma esta acotada en ese conjunto.

Las aplicaciones continuas en un e.v.t. tienen la siguiente propiedad.

Proposicion 2.4.8 Sean L,M dos espacios vectoriales topologicos. Una apli-cacion lineal T : L→M es continua si y solo si es continua en 0.

Obviamente si es continua es continua en 0. Supongamos que es continua enx = 0. Para todo entorno de 0 ∈ M , U , existe un entorno de 0 ∈ L, V , tal queT (V ) ⊂ U . Sea W un entorno de Tx ∈ M . Entonces −Tx +W es un entornode 0 ∈M , por lo que existe un entorno V ′ de 0 ∈ L tal que T (V ′) ⊂ −Tx+W .Pero entonces x+ V ′ es un entorno de x y T (x+ V ′) ⊂W .

Las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados pueden caracte-rizarse en terminos de la norma.

Proposicion 2.4.9 Sean L,M dos espacios vectoriales normados. Una aplica-cion lineal T : L→M es continua si y solo si existe c > 0 tal que:

‖Tx‖ ≤ c‖x‖, x ∈ L

Si T es continua, lo es en x = 0. Por tanto existen bolas en L y M de centro0, tal que T (BL(0, r)) ⊂ BM (0, r′), es decir ‖T (x)‖ ≤ r′ si ‖x‖ ≤ r. Pero, paratodo x ∈ L (x 6= 0), r

2‖x‖x esta en BL(0, r), luego∥∥∥∥T ( r

2‖x‖x

)∥∥∥∥ ≤ r′


es decir:r

2‖x‖‖T (x)‖ ≤ r′ ⇒ ‖T (x)‖ ≤ 2r′

r‖x‖

Es inmediato probar que la aplicacion T es continua en 0 si se cumple esaacotacion. Se dice que la aplicacion lineal esta acotada.

La proposicion anterior permite definir la norma de una aplicacion linealcontinua entre espacios normados.

Definicion 2.4.7 Sean L,M dos espacios normados y u : L → M una aplica-cion lineal continua. Entonces, el numero real definido por:

‖u‖ = sup ‖u(x)‖ : ‖x‖ ≤ 1

es finito y se tiene una norma en el espacio de las aplicaciones lineales continuasde L en N , L(L,N)

Si M es un espacio de Banach, entonces L(L,M) es tambien un espacio deBanach. Para el caso en que M = K, se tiene el espacio de las formas linealescontinuas de L, es decir, lo que se llama el dual topologico de L. En este caso,L′ = L(L,K) es un espacio de Banach (aunque L sea solo un espacio normado).Tengase en cuenta que en el caso de dimension infinita hay formas lineales queno son continuas, por lo que el dual algebraico no coincide con el espacio deformas lineales continuas (dual topologico).

En el espacio de las aplicaciones continuas entre dos espacios de Banach sepueden definir diferentes topologıas. Ademas de la de la norma (que se suelellamar topologıa de operadores uniforme), hay dos topologıas particularmenteimportantes, relacionadas con la accion de la aplicacion. Una de ellas se llamala topologıa de operadores fuerte. Se define como la mas debil de las topologıasque hace que las evaluaciones (es decir, las aplicaciones Tx : L(L,M) → M ,Tx(T ) = Tx) sean continuas. Lo que implica, una de sus propiedades masinmediatas, que una sucesion Tn de operadores converge a un operador T enesta topologıa si y solo si las sucesiones de vectores de M , Tn(x) convergen aTx para todo x de L (por supuesto en la norma de M).

La ultima topologıa que vamos a mencionar es la topologıa de operadoresdebil. Como anteriormente, se define como la mas debil de las que hacen que lasaplicaciones Tx,f de L(L,M) en C, definidas para cada x ∈ L y f ∈ L(M) porTx,f (T ) = f(Tx), sean continuas. Como antes, esto implica que una sucesion deoperadores Tn converge en esta topologıa a un operador T si y solo si f(Tnx)converge a (Tx) (en C) para cada x ∈ L y f ∈ L(M).

En todo espacio de Banach se puede definir una topologıa (no la de la nor-ma), como la mas debil que hace que los funcionales lineales acotados seancontinuos (es decir, todos los funcionales continuos en la topologıa de la normason continuos en esta topologıa). Una sucesion en el espacio xn converge enla topologıa debil si las sucesiones f(xn) lo hacen en C para todo funcionalacotado. Se puede probar que un funcional lineal es continuo debilmente si ysolo si lo es en norma. La topologıa debil no es metrizable si el espacio es dedimension infinita.

Como ejemplo de la potencia de los resultados que se obtienen con estosconceptos, enunciaremos a continuacion el teorema de Hahn-Banach, uno de lospilares del analisis funcional. Este teorema establece que, bajo cierta condiciones,


existen formas lineales continuas no triviales sobre un espacio vectorial. Veamosprimeramente un lema.

Proposicion 2.4.10 Si L e un e.v.t. real de Hausdorff de dimension mayor oigual que 2 y B es un conjunto abierto de L que no contiene al vector 0, entoncesexiste un subespacio de dimension 1 que no corta a B.

Una formulacion geometrica de este teorema es la siguiente:

Teorema 2.4.3 (Mazur) Sea L un e.v.t. y M una variedad lineal en M . SeaA un subconjunto de L, convexo, abierto y no vacıo, tal que su interseccion conM sea el vacıo. Entonces existe un hiperplano cerrado de L que contiene a My que no corta a A.

La demostracion no es trivial en absoluto, pero no requiere mas conocimien-tos que los expuestos en estas notas (aparte de algun resultado de la teorıade conjuntos). Supongamos primero que el espacio es real. Podemos tomar unsubespacio en vez de una variedad lineal (basta hacer una traslacion). Consi-deremos los subespacios cerrados de L que contienen al subespacio M y queno cortan al abierto A. Se trata de una clase de conjuntos, M, no vacıa, puesel cierre de M (que es un subespacio cerrado que contiene a M) esta en A.Esta clase se puede ordenar por inclusion. Consideremos un subconjunto delconjunto M que este totalmente ordenado. Tiene un supremo (que es el cierrede la union) y por el Lema de Zorn existe un elemento maximal. Sea H0. Al sercerrado, el espacio cociente es de Hausdorff, de dimension mayor o igual que 1(porque A es no vacıo). Supongamos que fuera de dimension mayor o igual que2. La proyeccion canonica de L sobre L/H0 es abierta, por lo que φ−1(B) es unabierto y convexo, que no contiene al vector 0. H0 no corta a A. Entonces, existeun subespacio unidimensional que no corta a B, con lo que la imagen inversade este subespacio mediante φ es un espacio vectorial de L que no corta a A yy contiene a H0 (siendo distinto de el). Esto es contradictorio con el hecho deque H0 sea el supremo y por tanto la dimension de L/H es igual a 1. Por tantoH0 es un hiperplano cerrado que cumple el teorema.

En el caso complejo se usa simplemente la complejizacion de un espacio realde L/H0

Como resultado de este teorema, se tiene que en un e.v.t. que contenga unsubconjunto abierto convexo y no vacıo existen formas lineales continuas notriviales (y viceversa).

La forma de este teorema para espacios normados es la siguiente.

Teorema 2.4.4 (Hahn-Banach) Sea (L, ‖ · ‖) un espacio normado y M unsubespacio. Sea f una forma lineal que verifique |f(x)| ≤ ‖x‖ para todo x ∈ M(por tanto continua). Entonces f admite una extension (lineal), f1, a todo Lcon la misma acotacion |f1(x)| ≤ ‖x‖ para todo x en L (por tanto, continua conla misma norma).

Veamos a continuacion otro de los teoremas fundamentales del analisis fun-cional, el teorema de Banach-Steinhaus. Sean L,M dos espacio normados yA ⊂ L(L,M). Se dice que A es un conjunto puntualmente acotado si para cadax ∈ A el conjunto

T (x) : T ∈ A


es un conjunto acotado. Todo conjunto acotado en norma es puntualmente aco-tado. El problema, que resuelve el principio de la acotacion uniforme o teoremade Banach-Steinhaus, es el inverso.

Teorema 2.4.5 (Banach-Steinhaus) Sea L un espacio de Banach y M unespacio normado. Un subconjunto de L(L,M) es acotado en norma si y solo sies puntualmente acotado.

Para acabar esta introduccion enunciaremos dos teoremas que cierran elconjunto de teoremas fundamentales del analisis funcional.

Teorema 2.4.6 (Aplicacion abierta) Sean L,M dos espacios de Banach, yT ∈ L(L,M). Si T es sobreyectiva, entonces T es abierta (es decir transformaabiertos en abiertos). Por tanto, si T es tambien inyectiva es un isomorfismo(topologico).

Teorema 2.4.7 (Grafo cerrado) Sean L,M dos espacios de Banach, y T ∈L(L,M). Si el grafo de T , (GT = (x, T (x)) : x ∈ L ⊂ L×M), es cerrado enL×M entonces T es acotado.

Capıtulo 3

Espacios de Banach

Estudiaremos en este capıtulo espacios vectoriales reales o complejos, dedimension finita o infinita dotados de una norma y en especial espacios normadoscompletos (espacios de Banach).

3.1. Espacios normados de dimension finita

Sea K = R, C. Consideremos los espacios vectoriales Kn y en ellos la si-guiente norma:

‖x‖2 =

(n∑

i=1

|xi|2) 1

2

, x ∈ Kn

Demostraremos que se trata de una norma. La unica propiedad difıcil es latercera, la desigualdad triangular (Minkovski). Sean x, y ∈ Kn.

‖x+ y‖2 =n∑

i=1

|xi + yi|2 =n∑

i=1

(xi + yi)(xi + yi)

= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2n∑

i=1

Re(xiyi)

pero esta claro queRe(xiyi) ≤ |xiyi|

ası que solo tenemos que usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz (Holder):

n∑i=1

|xiyi| ≤

(n∑

i=1

|xi|2) 1

2(

n∑i=1

|yi|2) 1

2

pues entonces

‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖ ‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2

Pero hay otras normas en Kn que (como sabemos) llevan a la misma topo-logıa.

‖x‖1 =n∑

i=1

|x|i

51

52 CAPITULO 3. ESPACIOS DE BANACH

es una norma en Kn. Como antes, la unica dificultad se encuentra en la de-sigualdad triangular. Pero en este caso es una consecuencia inmediata de ladesigualdad triangular para el modulo de un numero real o complejo. La expre-sion

‖x‖∞ = max |x|i : i = 1, 2, . . . , n

es tambien una norma. La desigualdad triangular es inmediata de las propieda-des del maximo. Que estas tres normas son equivalentes proviene de las siguien-tes desigualdades:

‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤√n‖x‖∞

‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤ n‖x‖∞

En general, la siguiente aplicacion es una norma:

‖x‖p =

(n∑

i=1

|xi|p) 1

p

donde p ≥ 1. Como en el caso p = 2, la dificultad mayor esta en la desigualdadtriangular. Para demostrarla, utilizaremos la desigualdad de Holder (que parap = q = 2 es la de Cauchy-Schwarz).

Proposicion 3.1.1 (Desigualdad de Holder) Sea x, y ∈ Kn y p, q > 1 talesque:

1p

+1q

= 1

(se dice que p y q son conjugados). Entonces

n∑i=1

|xi| |yi| ≤

(n∑

i=1

|xi|p) 1

p(

n∑i=1

|yi|q) 1

q

Podemos demostrarlo de la forma siguiente. Esta claro que basta probarlo parados vectores a, b con coordenadas mayores que 0. Consideramos los vectores:

a =a

(∑n

i=1 api )

1p

, b =b

(∑n

i=1 bqi )

1q

que verifican:n∑

i=1

api = 1,

n∑i=1

bqi = 1

Como las componentes de a e b son positivas, se tiene:

ai = eri/p, bi = esi/q, i = 1, . . . , n

para ciertos numeros reales ri, si. Pero la funcion exponencial es convexa, esdecir, verifica:

f(αr + (1− α)s) ≤ αf(r) + (1− α)f(s), 0 ≤ α ≤ 1

3.1. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSION FINITA 53

(ver en la seccion 3.3 algunos resultados elementales sobre funciones convexas).Sea α = 1/p, lo que implica 1− α = 1/q. Entonces:

erip +

siq ≤ 1

peri +

1qesi

y sustituyendo los valores de ri y si:

aibi ≤1pap

i +1qbqi

Si ahora sumamos en i, se tiene:

n∑i=1

aibi ≤1p

n∑i=1

api +

1q

n∑i=1

bqi =1p

+1q

= 1

Sustituyendo los valores de ai y bi:

n∑i=1

ai

(∑n

i=1 api )

1p

bi

(∑n

i=1 bpi )

1q

≤ 1

que es la desigualdad buscada. Evidentemente, cuando p = q = 1/2 se obtiene ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. En realidad, la desigualdad de Cauchy-Schwarzes la siguiente: ∣∣∣∣∣

n∑i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ ≤ ‖x‖2 ‖y‖2

pero es una consecuencia inmediata de la anterior:∣∣∣∣∣n∑

i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ ≤n∑

i=1

|xi| |yi|

En el caso general (p ≥ 1), la desigualdad triangular es:

‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p

Para demostrarlo (para p > 1, si p = 1 es inmediata) aplicamos la desigual-dad de Holder:

n∑i=1

|xi| |xi + yi|p−1 ≤

(n∑

i=1

|xi|p) 1

p(

n∑i=1

|xi + yi|(p−1)q

) 1q

n∑i=1

|yi| |xi + yi|p−1 ≤

(n∑

i=1

|yi|p) 1

p(

n∑i=1

|xi + yi|(p−1)q

) 1q

Si ahora sumamos las desigualdades, se obtiene ((p− 1)q = p):

n∑i=1

(|xi|+ |yi|)|xi + yi|p−1 ≤( n∑i=1

|xi|p) 1

p

+

(n∑

i=1

|yi|p) 1

p

( n∑i=1

|xi + yi|p) 1

q


y por lo tanto:n∑

i=1

|xi + yi|p ≤n∑

i=1

(|xi|+ |yi|)|xi + yi|p−1 ≤( n∑i=1

|xi|p) 1

p

+

(n∑

i=1

|yi|p) 1

p

( n∑i=1

|xi + yi|p) 1

q

Finalmente (n∑

i=1

|xi + yi|p) 1

p

≤

(n∑

i=1

|xi|p) 1

p

+

(n∑

i=1

|yi|p) 1

p

Para 0 < p < 1 la desigualdad no se cumple. Lo que ahora se tiene es lasiguiente desigualdad. El conjugado de p es ahora negativo, q < 0. Entonces (siai ≥ 0 y bi > 0):

n∑i=1

aibi ≥

(n∑

i=1

api

) 1p(

n∑i=1

bqi

) 1q

Seaui = (aibi)p, vi = b−p

i

Aplicamos la desigualdad de Holder a u, v con coeficientes conjugados 1/p y−q/p (que son mayores que 1):

n∑i=1

uivi ≤

(n∑

i=1

u1/pi

)p( n∑i=1

v−q/pi

)− pq

Sustituyendo las expresiones de ui y vi, tenemos:

n∑i=1

api ≤

(n∑

i=1

aibi

)p( n∑i=1

bqi

)− pq

Elevandolo todo a la potencia 1/p y despejando adecuadamente:(n∑

i=1

api

) 1p(

n∑i=1

bqi

) 1q

≤n∑

i=1

aibi

como querıamos probar. Comprobemos con un simple ejemplo que la desi-gualdad triangular no se cumple cuando p = 1/2. Sea x = (1, 0, . . . , 0), y =(0, 1, 0, . . . , 0). Se tiene:

‖x‖1/2 = 1, ‖y‖1/2 = 1

Pero, x+ y = (1, 1, 0, . . . , 0) y se tiene

‖x+ y‖1/2 = (11/2 + 11/2)2 = 4

En lugar de la desigualdad triangular lo que se verifica es la siguiente relacion:(n∑

i=1

(ai + bi)p

) 1p

≥

(n∑

i=1

api

) 1p(

n∑i=1

bpi

) 1p

3.2. ESPACIOS DE SUCESIONES LP 55

La demostracion es similar a la que se ha hecho en el caso p > 1. Lo que ocurreahora es que la desigualdad de Holder se ve sustituida por la desigualdad queacabamos de demostrar.

Sin embargo, si 0 < p < 1

d(x, y) = ‖x− y‖pp

es una distancia aunque no proceda de una norma.

3.2. Espacios de sucesiones lp

Pasemos ahora al caso de dimension infinita. Consideremos el espacio delas sucesiones para las que la suma de los modulos a la potencia p > 0 de susterminos es convergente:

lp = xn : xn ∈ K,∞∑

n=1

|xn|p <∞

Consideremos en primer lugar el caso p ≥ 1. Demostraremos en primerlugar que se trata de un espacio vectorial. El unico problema es probar que lasuma de dos elementos de este conjunto esta tambien en el conjunto. Para ello,comprobemos que la siguiente expresion es una norma en lp.

‖x‖p =

( ∞∑n=1

|xn|p) 1

p

Como siempre la desigualdad triangular es la unica complicacion. Pero podemosrepetir los pasos que dimos en el caso de dimension finita y llegar a(

n∑i=1

|xi + yi|p) 1

p

≤

(n∑

i=1

|xi|p) 1

p

+

(n∑

i=1

|yi|p) 1

p

Pero (n∑

i=1

|xi|p) 1

p

≤

( ∞∑i=1

|xi|p) 1

p

<∞

Por lo tanto el miembro de la izquierda de la desigualdad esta acotado paratodo n y la desigualdad es valida cuando n→∞. De esta forma se prueba quelp es un espacio vectorial y ademas ‖x‖p es una norma.

Los espacios lp con p ≥ 1 son espacios normados de dimension infinita (nonumerable). Si 0 < p < 1, lp no es un espacio normado, aunque sı un espaciovectorial y ademas un espacio metrico (con una distancia que no proviene deuna norma).

En efecto,

dp(x, y) =∞∑

n=1

|xn − yn|p, 0 < p < 1

es una distancia, pues la desigualdad de Minkovski se cumple:

dp(x, y) ≤ dp(x, z) + dp(z, y)


Vamos a demostrar ahora que lp es un espacio de Banach. Sea xn unasucesion en lp, con 1 ≤ p. Es decir:

xn = (xn1 , . . . , x

nk , . . .)

Supongamos que es de Cauchy. Para todo ε > 0 existe n0 tal que

‖xn − xm‖p < ε, n,m ≥ n0

Esto implica que cada una de las sucesiones xnk∞n=1 es de Cauchy en K, pues

|xnk − xm

k | ≤ ‖xn − xm‖p < ε

luego convergen al ser K completo. Sea x = (x1, x2, . . .) el vector de los lımites.Hay que probar que esta en lp y que es el lımite de la sucesion. Al ser xn deCauchy, para todo ε, por ejemplo ε = 1, existe n0 tal que para todo n,m ≥ n0

y para todo N , se tiene:

N∑k=1

|xnk − xm

k |p ≤ ‖xn − xm‖pp < 1

En la suma finita podemos hacer n → ∞ y se tiene una acotacion para todom ≥ n0 y para todo N :

N∑k=1

|xk − xmk |p ≤ 1

y por lo tanto es cierta cuando N →∞:

∞∑k=1

|xk − xmk |p < 1

De esta forma hemos demostrado que x − xm esta en lp cuando m ≥ n0. Peroxm ∈ lp, luego x ∈ lp. Probemos ahora que es el lımite de la sucesion. Hacemoslo mismo que antes con ε arbitrario:

∞∑k=1

|xk − xmk |p ≤ ε, m ≥ n0

luego‖x− xm‖p

p < ε

La demostracion es valida para cualquier p. Por lo tanto todo lp, 0 < p, escompleto (si es normado es de Banach).

Los espacios lp estan relacionados unos con otros, de acuerdo con las inclu-siones:

lr ⊂ ls, 0 < r < s

En efecto, sea x = xn ∈ lr, x 6= 0. Entonces

|xn|‖x‖r

≤ 1 ⇒ |xn|r

‖x‖rr

≥ |xn|s

‖x‖sr

3.3. ESPACIOS LP 57

Sumando: ∑∞n=1 |xn|r

‖x‖rr

≥∑∞

n=1 |xn|s

‖x‖sr

y por lo tanto x ∈ ls. Como, ademas:∑∞n=1 |xn|r

‖x‖rr

= 1

se tiene la desigualdad de Jensen:

‖x‖s ≤ ‖x‖r

El conjunto c0 de las sucesiones que tienden a cero es tambien un espacio deBanach (que contiene a cualquier lp y que esta contenido en l∞, el espacio delas sucesiones acotadas).

El conjunto de las sucesiones de tipo finito (es decir con un numero finitode elementos distintos de cero, que es lo mismo que el conjunto de las funcionescontinuas con soporte compacto de N en K) esta contenido en cualquier lp ycontiene al espacio Kn para cualquier n. Pero no es cerrado en ningun lp. Parademostrarlo basta ver que es denso y distinto del espacio total. Para ver que esdistinto, basta considerar sucesiones como 1/n en lp si p > 1 y 1/n2 si p ≥ 1.Para ver que es denso, se hace con 1 ≤ p < ∞. Pero ademas este espacio tieneun cierre en la norma infinito que esta contenido en c0 y entonces no puede serdenso en l∞. La dimension de este espacio es ℵ0. Los espacios lp, con 1 ≤ p <∞y c0 son separables (porque el espacio de las sucesiones de tipo finito es densoen lp (con su norma) y en c0 (con la norma del supremo). Sin embargo l∞ noes separable.

Los espacios lp guardan unas relaciones de dualidad. El dual de lp es lq, conp, q conjugados. El dual de l1 es l∞, pero l1 no es el dual de l∞, sino de c0.

3.3. Espacios Lp

Dado cualquier conjunto X, se puede considerar las funciones de X en Kacotadas. Llamaremos B(X) a este conjunto de funciones:

B(X) = f : X → K : f acotada

El conjunto B(X) es un espacio vectorial sobre K en el que se puede definir unanorma:

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ X

Se llama la norma de la convergencia uniforme. Es ademas un espacio de Banach.Para probarlo, consideremos una sucesion fn de funciones que sea de Cauchy.Por tanto

supx∈X

|fn(x)− fm(x)| → 0, n→∞

Como en el caso de las sucesiones, es sencillo ver que fn(x) es tambien unasucesion de Cauchy en K. Al ser K completo, tiene lımite. Sea f(x) el lımitepara cada x ∈ X. Veamos que f es una funcion acotada y que es el lımite de la


sucesion en el sentido de la convergencia uniforme. El razonamiento es similaral usado en las sucesiones. Al ser fn de Cauchy,

‖fn − fm‖∞ ≤ 1, n,m ≥ n0

y por lo tanto, para cualquier x ∈ X:

|fn(x)− fm(x)| ≤ 1, n,m ≥ n0

Cuando n→∞, se tiene:

|f(x)− fm(x)| ≤ 1, m ≥ n0

Por lo tanto, la funcion f − fm esta acotada y en B(X) que es un espaciovectorial, luego f ∈ B(X). Veamos que es el lımite. Basta tomar un ε arbitrarioy repetir el razonamiento:

|f(x)− fm(x)| ≤ ε, m ≥ n0

implica que‖f − fm‖∞ ≤ ε, m ≥ n0

Podemos demostrar ahora que l∞ es un espacio de Banach. Basta tomarX = N y la medida discreta. Ademas se puede probar que

lımp→∞

‖x‖p = ‖x‖∞

Como sabemos, cualquier subespacio cerrado de un espacio de Banach es unespacio de Banach. SeaX un espacio topologico compacto. Entonces, el conjuntode funciones continuas de X en K es un subespacio del conjunto de funcionesacotadas (pues X es compacto). Ademas es un subespacio cerrado (en la normadel supremo de B(X)), pues la norma es la de la convergencia uniforme y portanto el lımite de una sucesion de funciones continuas es una funcion continua.Luego

C(X) = f : X → K : f continua

es un espacio de Banach (en la norma del supremo).Consideremos un espacio de medida, (X,S, µ), (que sera en lo que respecta a

las aplicaciones la recta real y la medida de Lebesgue). Si f es una funcion (convalores en R o C) medible de este espacio, se tiene que |f |p, p > 0 es tambienmedible. Lp es el conjunto de las funciones medibles tales que |f |p es integrable,con 0 < p <∞.

El conjunto Lp es un espacio vectorial. Para ver que la suma de dos funcionesde Lp esta en este espacio, se puede usar la siguiente desigualdad (ver la Notamas adelante):

|a+ b|p ≤ 2p(|a|p + |b|p)

Entonces ∫|f + g|p dµ ≤

∫2p(|f |p + |g|q) dµ <∞

3.3. ESPACIOS LP 59

Nota. Funciones convexas

Las funciones convexas dan lugar a desigualdades interesantes, por lo quedaremos aquı una breve noticia de sus propiedades. Se dice que una funcion realde variable real es convexa en un intervalo (a, b) si

f(αx+ (1− α)y) ≤ αf(x) + (1− α)f(y), x, y ∈ (a, b), 0 < α < 1

Las funciones convexas verifican la desigualdad de Jensen, que no es masque la generalizacion de la definicion a n puntos:

f

(n∑

i=1

αixi

)≤

n∑i=1

αif(xi), xi ∈ (a, b),n∑

i=1

αi = 1

Se puede demostrar la siguiente propiedad, relativa a la relacion entre funcionesconvexas y derivadas:

Si existe la derivada primera de una funcion f y es no decreciente en unintervalo abierto, entonces f es convexa en ese intervalo.

Para probarlo basta usar el teorema del valor medio. Sea y > x, 0 ≤ α ≤ 1.

αf(x) + (1− α)f(y)− f(αx+ (1− α)y)= α[f(x)− f(αx+ (1− α)y)] + (1− α)[f(y)− f(αx+ (1− α)y)]

Pero, por el teorema del valor medio, al ser f derivable:

f(αx+ (1− α)y)− f(x) = (1− α)(x− y)f ′(c), c ∈ (x, αx+ (1− α)y)

f(y)− f(αx+ (1− α)y) = α(x− y)f ′(d), d ∈ (αx+ (1− α)y, y)

Por tanto,

αf(x) + (1− α)f(y)− f(αx+ (1− α)y) =−α(1− α)(x− y)f ′(c) + (1− α)α(x− y)f ′(d) =α(1− α)(x− y)(f ′(d)− f ′(c)) ≥ 0

Como consecuencia, si existe la derivada segunda y es no negativa en un intervaloabierto, la funcion es convexa en ese intervalo.

Como aplicacion, si a, b ≥ 0, p > 1 se tiene:

(a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp)

Basta usar el hecho de que h(x) = xp es convexa (su derivada segunda p(p −1)xp−1 en el caso en que p > 1 es claramente positiva en cualquier intervaloabierto de la semirrecta positiva). Entonces:

(a+ b)p = 2p

(12a+

12b

)p

≤ 2p

(12ap +

12bp)

= 2p−1(ap + bp)

De manera evidente:

(a+ b)p ≤ 2p(ap + bp)


pues 2p−1 ≤ 2p. Pero esta desigualdad es tambien correcta cuando 0 < p < 1.Tengase en cuenta que el anterior razonamiento no puede aplicarse cuando 0 <p < 1, pues entonces xp no es convexa. Por ejemplo:

(1 + 4)12 ≤ 2−

12 (1

12 + 4

12 ) ⇒ 101/2 ≤ 3

lo que no es correcto. Por tanto si esta segunda desigualdad se cumple para0 < p < 1 habra que demostrarlo de otra forma.

Suponiendo que a 6= 0 (si a = 0 es trivialmente cierto), si t = b/a, lo quetenemos que probar es que:

1 + t

2≤ (1 + tp)

1p , t ≥ 0, 0 < p < 1

La desigualdad es correcta (estrictamente) para t = 0. Si probamos que laderivada de la funcion de la derecha es mayor que 1/2 (que es la derivada de lafuncion de la izquierda), habremos probado la desigualdad. Derivando:

1p(1 + tp)

1p−1ptp−1 = (1 + tp)

1−pp tp−1 =

(1 +

1tp

) 1−pp

> 1

En este espacio vectorial de funciones Lp, se verifica la desigualdad de Holder.Si 1

p + 1q = 1, 1 < p, q <∞, entonces

∫|fg|dµ ≤

(∫|f |p dµ

) 1p(∫

|g|q dµ) 1

q

, f ∈ Lp, g ∈ Lq

Para probarlo, veamos en primer lugar que si a, b son dos numeros reales nonegativos, entonces, para todo 0 < α < 1 se tiene:

aαb1−α ≤ αa+ (1− α)b

Supongamos que a, b > 0. Entonces, la funcion:

f(x) = 1− α+ αx− xα

es positiva para todo x > 0. La funcion tiene solo un mınimo en la semirrectax ≥ 0 (f(0) = 1− α > 0), pues su derivada es:

f ′(x) = α(1− xα−1) = 0 ⇒ x = 1

Pero en x = 1, f(1) = 0 y por tanto se tiene la desigualdad buscada.Para demostrar la desigualdad de Holder, supongamos que f y g no son

nulas casi doquiera (en caso contrario la desigualdad es trivial). Sea

a =|f(x)|p∫|f |p dµ

, b =|g(x)|q∫|g|q dµ

Aplicando la desigualdad anterior con α = 1/p, tenemos:

|f(x)g(x)|(∫|f |p dµ

) 1p(∫

|g|q dµ) 1

q

≤ 1p

|f(x)|p∫|f |p dµ

+1q

|g(x)|q∫|g|q dµ

3.3. ESPACIOS LP 61

Debido a esta acotacion, fg ∈ L1, con lo que podemos integrar y obtener:∫|f(x)g(x)|dµ(∫

|f |p dµ) 1

p(∫

|g|q dµ) 1

q

≤ 1p

+1q

= 1

y la desigualdad de Holder queda probada. Usando esta desigualdad podemosprobar la de Minkovski:(∫

|f(x) + g(x)|dµ) 1

p

≤(∫

|f |p dµ) 1

p

+(∫

|g|p dµ) 1

p

Supongamos que p > 1 (pues es inmediato en el caso p = 1). Sea q el coeficienteconjugado de p. Debido a la relacion entre p y q se tiene que |f+g|p−1 ∈ Lq (pues(p− 1)q = p). Aplicando la desigualdad de Holder a las funciones |f | |f + g|p−1

y |g| |f + g|p−1, que estan en L1, se tiene:∫|f | |f + g|p−1 dµ ≤

(∫|f |p dµ

) 1p(∫

|f + g|(p−1)q dµ) 1

q

=(∫

|f |p dµ) 1

p(∫

|f + g|p dµ) 1

q

∫|g| |f + g|p−1 dµ ≤

(∫|g|p dµ

) 1p(∫

|f + g|(p−1)q dµ) 1

q

=(∫

|g|p dµ) 1

p(∫

|f + g|p dµ) 1

q

y sumando∫|f + g|p dµ ≤

[(∫|f |p dµ

) 1p

+(∫

|g|p dµ) 1

p

](∫|f + g|p dµ

) 1q

que lleva a la desigualdad de Minkovski. La aplicacion

f →(∫

|f |p dµ) 1

p

no es una norma, porque el hecho de que la integral sea cero no implica que lafuncion lo sea, ya que puede ser cero casi doquiera. La idea es introducir unarelacion de equivalencia en el conjunto Lp de forma que dos funciones estanen la misma clase si son iguales casi doquiera. De esta forma se construye elespacio de clases Lp y la aplicacion anterior es una norma en este espacio. Hayque tener en cuenta esta circunstancia en las aplicaciones de esta teorıa. En lapractica seguiremos llamando a estas clases de funciones con el mismo nombreque a una funcion, aunque prestando atencion a que todo lo que se diga de unade estas funciones sera siempre salvo equivalencia, es decir, salvo una funcionque es cero casi doquiera. Por tanto, los espacios Lp son espacios normados para1 ≤ p <∞. Se puede demostrar que estos espacios son de Banach.


Teorema 3.3.1 Sea 1 ≤ p <∞. El espacio Lp es un espacio de Banach.

Para demostrarlo, consideremos una sucesion de funciones en Lp que sea deCauchy, y supondremos que:

‖fn+1 − fn‖p ≤12n

(lo que siempre se puede conseguir considerando subsucesiones si es necesario).A partir de esta sucesion construimos otra sucesion por:

g1 = 0, g2 = |f1|, g3 = |f1|+|f2−f1|, · · · , gn = |f1|+|f2−f1|+· · ·+|fn−fn−1|, . . .

Esta sucesion es de funciones no negativas y creciente. Ademas:∫|gn|p dµ ≤

(‖f1‖+

∞∑i=2

‖fi − fi−1‖p

)p

≤ (‖f1‖p + 1)p

Esto quiere decir (por el teorema de Levi, ver bibliografıa) que la sucesion gn

converge casi doquiera a un funcion g cuya potencia p es integrable (g ∈ Lp).Ademas:

|fn+k(x)− fn(x)| =

∣∣∣∣∣n+k∑

i=n+1

(fi(x)− fi−1(x))

∣∣∣∣∣ ≤n+k∑

i=n+1

|fi(x)− fi−1(x)|

= gn+k(x)− gn(x)

Por lo tanto, la sucesion fn(x) es de Cauchy y fn converge puntualmente casidoquiera a una funcion f . Solo falta probar que esta funcion esta en Lp y lasucesion fn converge a ella en la norma de Lp. Pero

|fn(x)| = |f1(x) +n∑

i=2

(fi(x)− fi−1(x))| ≤ gn(x) ≤ g(x)

casi doquiera para todo n, luego |f(x)| ≤ g(x) y por tanto f ∈ Lp. Ademas:

|f(x)− fn(x)| ≤ 2g(x) c.d.

Como lımn→∞ |f(x)− fn(x)|p = 0, el lımite de la norma de la diferencia es ceropor el teorema de la convergencia dominada:

lımn→∞

‖f − fn‖p = 0

Hay que tener en cuenta que el que una sucesion de funciones de Lp con-verja en norma a una funcion, no quiere decir que la convergencia sea puntual(incluso casi doquiera). Tambien es posible construir sucesiones que convergencasi doquiera a una funcion en Lp pero que no convergen en norma.

La desigualdad (cierta para 1 ≤ p <∞ y a, b ≥ 0) (a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp)y el lema de Fatou permiten demostrar la siguiente propiedad:

Proposicion 3.3.1 Sea fn una sucesion de funciones en el espacio de BanachLp y f ∈ Lp. Si fn(x) converge a f(x) casi doquiera y la sucesion de normas‖fn‖p converge a ‖f‖p, entonces fn converge en norma a f (‖fn − f‖ → 0).

3.3. ESPACIOS LP 63

Hasta ahora nos hemos limitado en la construccion de estos espacios de fun-ciones al intervalo 1 ≤ p <∞. Pero es posible definir un espacio que llamaremosL∞. Para ello definimos primero el supremo de una funcion f . Se dice que K esuna cota (esencial) de una funcion (de valores reales o complejos) f si |f(x)| ≤ Kcasi doquiera. De esta forma, una funcion esta esencialmente acotada si tieneuna cota (esencial). Llamaremos el supremo (esencial) al ınfimo de las cotas(esenciales), cuando la funcion esta esencialmente acotada:

‖f‖∞ = ınfK : |f(x)| ≤ K, c.d.

El conjunto de las funciones medibles esencialmente acotadas se llama L∞ y esun espacio vectorial. Como antes es necesario establecer una relacion de equi-valencia para poder tener una norma. El espacio de clases se llamara L∞ yes un espacio vectorial normado con la norma del supremo (en lo que sigueprescindiremos de la palabra esencial). Este espacio es un espacio de Banach.La demostracion es inmediata, basandose como es usual en el hecho de que lassucesiones de numeros reales (o complejos) fn(x) son de Cauchy si fn lo es enL∞.

Entre las propiedades interesantes de estos espacio Lp, 1 ≤ p <∞, podemoscitar que las funciones escalon estan contenidos en ellos y que incluso son densasen la norma correspondiente. Igual les pasa a las funciones continuas de soportecompacto (con algunas restricciones sobre el espacio y la medida, que obviamen-te cumplen R y la medida de Lebesgue). Con estas condiciones la complecionde los espacios de funciones continuas con soporte compacto son los espacios Lp

(cuando se considera la norma ‖ · ‖p). El conjunto C([0, 1]) con la norma p noes, de acuerdo con lo anterior, completo. La convergencia es mas debil que launiforme y al completarlo se obtienen los espacios Lp. Sin embargo, el conjuntode las funciones que tienden a cero en el infinito C0(X) (con X un espacio local-mente compacto) es un subconjunto cerrado del conjunto de funciones acotadas(L∞) y por lo tanto es un espacio de Banach.

Se tiene tambien un resultado que relaciona unos espacios con otros:

Proposicion 3.3.2 Si el espacio tiene medida finita y 1 ≤ p < q ≤ ∞, entoncesLq ⊂ Lp y ‖f‖p ≤ ‖f‖q.

La demostracion usa el hecho de que la funcion constante igual a 1 esta en todoslos espacios Lp en este caso (porque la medida del espacio total es finita). Esevidente que L∞ ⊂ Lp para todo p con 1 ≤ p (de nuevo porque el espacio totaltiene medida finita). Si q <∞, sea r = q/p > 1, y sea s su coeficiente conjugado.Toda funcion en Lq tiene su modulo a la potencia p en Lr. Por la desigualdadde Holder el producto de esta funcion por la funcion 1 (que esta en Ls) esta enL1. Por lo tanto f ∈ Lp.

Pero si el espacio no tiene medida finita la situacion no es tan simple. Elsiguiente ejemplo muestra una funcion que esta en Lp pero en ningun otro Lq

con p 6= q. Sea

f(x) =1

x(1 + | log x|)2

Probemos en primer lugar que esta funcion esta en L1(0,∞), aunque la funciondiverge cuando x → 0 y el intervalo es infinito. La integral del valor absoluto


(la funcion es positiva) es (haciendo t = log x):∫ ∞

0

1x(1 + | log x|)2

dx =∫ ∞

−∞

1(1 + |t|)2

dt =∫ 0

−∞

1(1− t)2

dt+∫ ∞

0

1(1 + t)2

dt = 1 + 1 = 2

Por lo tanto, la funcion g(x) = (f(x))1p esta en Lp, pues |g(x)|p = f(x) es

integrable. Sin embargo, consideremos gq = (f(x))qp con q 6= p y veamos si la

integral (α = q/p)∫ ∞

0

1xα(1 + | log x|)2α

dx =∫ 1

0

1xα(1− log x)2α

dx+∫ ∞

1

1xα(1 + log x)2α

dx

converge (si lo hiciera, g ∈ Lq). El integrando de la primera integral es singularen x = 0. De los criterios usuales de convergencia se tiene que si α > 1 esaintegral diverge (la singularidad que en x = 0 tiene x−α es demasiado fuertepara la convergencia y el logaritmo no puede compensarla, aunque este elevadoa 2α). El punto singular para la segunda integral es ∞ y ahora el criterio es quela integral diverge si α < 1 (en este caso, x−α no tiende a cero suficientementedeprisa y la contribucion del logaritmo tampoco es suficiente). En cualquiercaso, para α 6= 1 (es decir p 6= q) la integral diverge en uno u otro extremo ypor tanto g /∈ Lq.

Los espacios Lp y Lq correspondientes a coeficientes conjugados tienen unasrelaciones interesantes cuando se estudian sus funcionales. Existe un teorema deRiesz (que estudiaremos en el caso en que p = q = 2) que asegura que cualquierfuncional lineal acotado de Lp se puede representar por una funcion de Lq en elsiguiente sentido:

F (g) =∫fg dµ, g ∈ Lp, f ∈ Lq

donde f viene fijada unıvocamente por el funcional F . Sin embargo este no esel caso (en general) para los espacios L1 y L∞.

Los espacios Lp(R) y Lq(R) son duales (con p, q conjugados, mayores que1). Sin embargo, de forma similar a como ocurrıa con los espacios lp, el dual deL1(R) es L∞(R), pero el dual de L∞(R) no es L1R (hay funcionales linealescontinuos sobre L∞(R) que no estan en L1R). Se puede probar que este ultimoespacio no es el dual de ningun espacio de Banach.

Los espacios de sucesiones lp que hemos estudiado previamente se puedenconsiderar como un caso particular de la teorıa de los espacios Lp cuando lamedida es la medida discreta en el espacio N.

Capıtulo 4

Espacios de Hilbert

4.1. Introduccion

Los espacios de Hilbert constituyen el punto central de este curso. Aunqueen los tratados elementales no ocupan demasiado lugar (reservado a los espaciosvectoriales topologicos y a los espacios de Banach) desde el punto de vista delas aplicaciones fısicas constituyen una herramienta fundamental. En lo quesigue desarrollaremos la teorıa elemental, con especial enfasis en los aspectosgeometricos, para luego, en capıtulos posteriores estudiar la teorıa de operadoressobre estos espacios.

4.2. Definiciones y propiedades

Definicion 4.2.1 Sea L un espacio vectorial sobre K = R,C. Consideremosla siguiente aplicacion:

L× L → Kx , y 7→ (x, y)

que verifica las siguientes propiedades:

1. (x, x) ≥ 0, x ∈ H; (x, x) = 0 ⇔ x = 0

2. (x, y + z) = (x, y) + (x, z), x, y, z ∈ L

3. (x, λy) = λ(x, y), λ ∈ K, x ∈ L

4. (x, y) = (y, x) x, y ∈ L

Las propiedades 2,3,4 equivalen a decir que ( , ) es una forma sesquilinealhermıtica (simetrica si K = R). La propiedad 1 quiere decir que la forma esdefinida positiva. Se dice que el espacio L es un espacio pre-Hilbert con elproducto escalar ( , ).

Proposicion 4.2.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea L un espaciopre-Hilbert. Para todo par de vectores x, y ∈ H se tiene:

|(x, y)| ≤√

(x, x)(y, y)

65

66 CAPITULO 4. ESPACIOS DE HILBERT

Para todo λ ∈ C, x, y ∈ L (supongamos y 6= 0) se tiene:

0 ≤ (x+ λy, x+ λy) = (x, x) + 2 Re(λ(x, y)) + |λ|2(y, y)

Sea (x, y) = reiθ y escojamos λ = te−iθ, donde t ∈ R. Entonces:

0 ≤ (x, x) + 2t|(x, y)|+ t2(y, y)

En particular, para t = −|(x, y)|/(y, y)

0 ≤ (x, x)− |(x, y)|2

(y, y)

es decir:|(x, y)| ≤

√(x, x)(y, y)

Proposicion 4.2.2 Sea H un espacio pre-Hilbert. La aplicacion

x ∈ H → ‖x‖ = (x, x)1/2

es una norma en H.

La demostracion es la siguiente. Por las propiedades de producto escalar, ‖x‖ ≥0 y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0. Ademas, ‖λx‖ = (λx, λx)1/2 = |λ|(x, x)1/2.Finalmente,

‖x+ y‖2 = (x+ y, x+ y) = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 Re(x, y) ≤‖x‖2 + ‖y‖2 + 2|(x, y)| ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖ ‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2

Por lo tanto, un espacio pre-Hilbert es un espacio normado y como consecuenciaun espacio metrico. Los espacios que mas nos van a interesar son los espacios pre-Hilbert que son completos (y por consiguiente espacios de Banach). El productoescalar es una aplicacion continua en la topologıa de la metrica que deriva deel.

Definicion 4.2.2 Un espacio de Hilbert es un espacio pre-Hilbert completo, conla topologıa de la metrica derivada del producto escalar.

Como hemos visto, de todo producto escalar deriva un norma, pero el inversono es cierto (hay espacios de Banach que no son espacios de Hilbert).

Proposicion 4.2.3 (Identidad de polarizacion) En un espacio pre-HilbertL se tiene la siguiente igualdad

(x, y) =14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2)− i

4(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2), x, y ∈ L

En el caso de un espacio real la identidad de polarizacion se escribe como:

(x, y) =14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2) =

12(‖x+ y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2), x, y ∈ L

Para comprobarlo basta desarrollar los segundos miembros. Esto implica enparticular que si una norma proviene de un producto escalar, este es unico. Secumple tambien la siguiente identidad (de clara interpretacion geometrica)

4.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 67

Proposicion 4.2.4 (Ley del paralelogramo) Sea L un espacio pre-Hilbert.Entonces,

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2, x, y ∈ L

que se demuestra facilmente aplicando la definicion de la norma en funcion delproducto escalar. Pero lo que es mas interesante es que esta propiedad caracte-riza las normas que se pueden definir a traves de un producto escalar.

Proposicion 4.2.5 Una norma en un espacio vectorial proviene de un productoescalar (es decir, existe un producto escalar tal que ‖x‖ =

√(x, x)) si y solo si

la norma verifica la identidad del paralelogramo.

La demostracion consiste en definir un producto escalar a traves de la identi-dad de polarizacion y comprobar que efectivamente se dan las propiedades delproducto escalar. Hagamoslo en el caso real. El producto escalar tiene que venirdefinido por la identidad de polarizacion

(x, y) =14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2)

Obviamente, (x, x) ≥ 0 y solo es cero cuando x = 0. Ademas (x, y) = (y, x).Veamos la linealidad en la primera variable:

(x, y + z) = (x, y) + (x, z)

es equivalente a

‖x+ y + z‖2 − ‖y + z‖2 − ‖x+ y‖2 − ‖x+ z‖2 + ‖x‖2 + ‖y‖2 + ‖z‖2 = 0

Para probar esta identidad, pongamos, usando la ley del paralelogramo:

‖x+ y + z‖2 = −‖x− z‖2 + 2‖x+12y‖2 + 2‖z +

12y‖2

‖x− z‖2 = −‖x+ z‖2 − 2‖x‖2 − 2‖z‖2

‖x+12y‖2 =

14‖2x+ y‖2 = −1

4‖y‖2 +

12‖x+ y‖2 +

12‖x‖2

‖z +12y‖2 =

14‖2z + y‖2 = −1

4‖y‖2 +

12‖z + y‖2 +

12‖z‖2

y sumando obtenemos el resultado deseado. Para probar que (λx, y) = λ(x, y) seprueba en primer lugar para naturales (usando la propiedad anterior). Resultainmediato probar que (−x, y) = −(x, y). Y para racionales se tiene:

(1qx, y) =

14(‖1qx+ y‖2 − ‖1

qx− y‖2) =

14q2

(‖x+ qy‖2 − ‖x− qy‖2) =1q2

(x, qy) =1q(x, y)

y por continuidad se demuestra en R. De forma similar se hace para C.El espacio l2 de las sucesiones complejas cuya suma de cuadrados es conver-

gente es un espacio de Hilbert. Sin embargo, el conjunto de funciones continuas


en el intervalo [0, 1] (de cuadrado integrable), no es un espacio de Hilbert sinosolo un espacio pre-Hilbert. Es claro que

(f, g) =∫ 1

0

f(t)g(t) dt

es un producto escalar en ese espacio. Sin embargo no es completo. Sea la suce-sion de funciones:

fn(t) = ınfn, t−1/3

Se trata de una sucesion de funciones continuas en el intervalo [0, 1], que ademases de Cauchy. Sin embargo, su lımite en la norma

‖f‖2 =(∫ 1

0

|f(t)|2 dt)1/2

no es una funcion continua. Se puede probar que el completado es el conjuntode funciones de cuadrado integrable Lebesgue.

Un subespacio vectorial de un espacio de Hilbert no tiene porque ser cerrado.Sin embargo su cierre tambien es un subespacio. Como estamos en un espaciometrico completo, los conjuntos cerrados son completos (y viceversa). Por lotanto, todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert.Si un subespacio es de dimension finita, es cerrado (y completo, tambien en elcaso en que el espacio total es solo pre-Hilbert).

4.3. Ortogonalidad

Uno de los conceptos mas importantes en un espacio de Hilbert es el deortogonalidad. Aunque muchas de las propiedades siguientes son ciertas en unespacio pre-Hilbert, consideremos para abreviar que estamos en un espacio deHilbert.

Definicion 4.3.1 Sea H un espacio de Hilbert. Se dice que dos vectores sonortogonales si su producto escalar es cero.

Dos vectores ortogonales (no nulos) son linealmente independientes (l.i.).

Definicion 4.3.2 Un subconjunto S de un espacio de Hilbert H es ortogonal six 6= 0, ∀x ∈ S y se tiene (x, y) = 0, ∀x, y ∈ S.

El sistema se llama ortonormal si ademas de lo anterior, ‖x‖ = 1, x ∈ S.

Teorema 4.3.1 (Pitagoras) Sea x1, . . . , xn un conjunto de vectores en unespacio de Hilbert, que forman un conjunto ortogonal. Entonces:

‖n∑

i=1

xi‖2 =n∑

i=1

‖xi‖2

La demostracion es inmediata. Sin embargo, el recıproco no es cierto (en C).Un sistema ortogonal es linealmente independiente. Basta usar el teorema dePitagoras para probarlo.

4.3. ORTOGONALIDAD 69

Definicion 4.3.3 Se dice que un subconjunto S de un espacio de Hilbert, H,es total si el unico vector de H que es ortogonal a todos los vectores de S es elvector 0.

Proposicion 4.3.1 El conjunto de vectores ortogonales a un subconjunto S ⊂H es un subespacio vectorial cerrado de H (se le llama complemento ortogonal,S⊥).

La demostracion es inmediata de las propiedades de linealidad y continuidaddel producto escalar.

La ortogonalidad cumple las siguientes propiedades.

Proposicion 4.3.2 Sea H un espacio de Hilbert. Entonces:

1. A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥

2. A ⊂ (A⊥)⊥

3. (∪iAi)⊥ = ∩iA⊥i

4. A⊥ = (A)⊥ = (linA)⊥

La demostracion de las tres primeras es muy sencilla. En cuanto a la cuarta,A ⊂ A y por tanto (A)⊥ ⊂ A⊥ Ademas A ⊂ linA y por tanto (linA)⊥ ⊂ A⊥.En sentido contrario, si x ∈ A⊥ y x es ortogonal a una sucesion convergente devectores en A, tambien lo es a su lımite (que esta en A), luego x ∈ (A)⊥. Parala envolvente lineal el argumento es similar.

El cierre de un conjunto siempre esta contenido en el ortogonal del ortogonal:A ⊂ (A⊥)⊥. Y en el caso de que se trate de un subespacio vectorial cerrado, elortogonal del ortogonal coincide con el conjunto de partida. Notese que si unsubespacio L es denso en H, su ortogonal es igual a 0, pues,

L⊥ = (L)⊥ = H⊥ = 0

La suma directa (ortogonal) de dos subespacios cerrados ortogonales, es unsubespacio cerrado. Pero en general, la suma de subespacios cerrados no tienepor que ser cerrada. Veamos un ejemplo de esta situacion. Supongamos queen un espacio de Hilbert tenemos dos sucesiones ortonormales, xn e yn(que supondremos infinitas, ya que en un espacio de Hilbert de dimension finitatodos los subespacios son cerrados). Supongamos tambien que los vectores de laprimera sucesion son ortogonales a los de la segunda y construimos una tercerasucesion como combinacion de las dos primeras:

zn =(

cos1n

)xn +

(sen

1n

)yn

Debido a las propiedades de las sucesiones xn e yn y a la eleccion de loscoeficientes, la sucesion zn es ortonormal. Sean

Lx = (linxn), Lz = (linzn)

Es evidente que la suma no es ortogonal:

(xn, zn) = cos1n


Para cada N ∈ N, la suma de vectores

N∑n=1

(sin

1n

)yn

esta en Lx + Lz: (sin

1n

)yn = −

(cos

1n

)xn + zn ∈ Lx + Lz

La sucesion de esos vectores es una serie convergente pues:

∞∑n=1

sin2 1n<∞

Por tanto,y ∈ Lx + Lz

Pero y /∈ Lx + Lz. En efecto, si fuera ası:

y = x+ z, x ∈ Lx, z ∈ Lz

y se tendrıa

sin1m

= (y, ym) = (x+ z, ym) = (z, ym) =(∑

n

(zn, z)zn, ym

)=

∑n

(z, zn)(zn, ym) = (z, zm) sin1m

lo que implica que los coeficientes de Fourier de z respecto a la base de Lz sontodos iguales a 1. Pero como el conjunto es infinito esto es imposible (ver masadelante las condiciones sobre bases ortonormales).

La nocion de proyeccion sobre un conjunto puede establecerse en un espa-cio metrico (y puede no existir para un subconjunto arbitrario): se plantea enterminos de distancia mınima. Sin embargo, al limitarnos a espacios de Hilbert,la introduciremos en terminos de ortogonalidad, con lo que las cuestiones deaproximacion seran una consecuencia.

Teorema 4.3.2 (Teorema de la proyeccion ortogonal) Sea H un espaciode Hilbert y L un subespacio lineal cerrado. El espacio H se puede escribir comola suma directa (ortogonal) de L y su complemento ortogonal L⊥. Es decirtodo vector u se puede poner de forma unica como la suma de dos vectoresortogonales, v ∈ L, w ∈ L⊥. Escribiremos:

H = L⊕ L⊥

y diremos que v es la proyeccion ortogonal de u sobre L.

Notese que se ha exigido que el subespacio sea cerrado. En primer lugar proba-remos que existe un vector v de L que minimiza la distancia ‖u−x‖, para u ∈ Hfijado, y es unico. Sea a = ınf‖u− x‖ : x ∈ L. Construimos una sucesion (xn)


en L tal que lımn→∞ ‖u− xn‖ = a (que existe por ser a el ınfimo). Veamos quexn es de Cauchy. Utilizando la ley del paralelogramo,

‖(xn − u)− (xm − u)‖2 + ‖xn + xm − 2u‖2 = 2‖u− xn‖2 + 2‖u− xm‖2

es decir:

‖xn − xm‖2 = 2‖u− xn‖2 + 2‖u− xm‖2 − 4‖12(xn + xm)− u‖2

Pero 12 (xn + xm) ∈ L (notese que bastarıa con exigir que L fuera convexo,

aunque no fuera un subespacio, para tener esta propiedad). Por tanto:

‖xn − xm‖2 ≤ 2(‖u− xn‖2 − a2) + 2(‖u− xm‖2 − a2)

Si n,m → ∞, el miembro de la derecha se hace tan pequeno como quera-mos y por tanto la sucesion (xn) es de Cauchy. Pero el subespacio L es cerra-do y por tanto el lımite de esta sucesion, v, esta en L (como antes, bas-tarıa que el subespacio L fuera un subconjunto completo de un espacio pre-Hilbert). Ademas, ‖u − v‖ = a, pues lımn→∞(u − xn) = u − v y por tantolımn→∞ ‖u − xn‖ = ‖u − v‖ = a. Finalmente para acabar esta primera par-te, probaremos que v es unico. Sea v′ ∈ L tal que ‖u − v′‖ = a. Usaremosnuevamente la ley del paralelogramo.

‖v − v′‖2 = 2‖u− v‖2 + 2‖u− v′‖2 − ‖v + v′ − 2u‖2 =

2‖u− v‖2 + 2‖u− v′‖2 − 4‖12(v + v′)− u‖2 ≤ 2a2 + 2a2 − 4a2 = 0

Luego v′ = v. Pasemos ahora a la cuestion de la suma directa ortogonal. Tenga-se en cuenta que la suma de subespacios puede ser directa sin ser ortogonal.Tenemos que probar que u − v es un vector ortogonal a todos los vectores deL. Sea y ∈ L, y supongamos que ‖y‖ = 1 (obviamente, no se pierde generalidadcon esta hipotesis). Se tiene (w = u− v):

‖w − µy‖2 = (w,w − µy)− (µy,w − µy) = ‖w‖2 − |(w, y)|2 + |(w, y)− µ|2

Tomando µ0 = (w, y) obtenemos:

‖w − µ0y‖2 = ‖w‖2 − |(w, y)|2

Pero w−µ0y = u−(v+µ0y) y el vector v+µ0y esta en L. Por lo tanto, la distanciade u a este vector es mayor o igual que la de u a v: ‖w‖ = ‖u− v‖ ≤ ‖w−µ0y‖.Entonces

‖w‖2 ≤ ‖w‖2 − |(w, y)|2

y no puede ocurrir la desigualdad estricta, luego (w, y) = 0.La aplicacion PL : H → H que asigna a cada vector u el vector v definido en

la proposicion anterior, se llama el proyector ortogonal asociado a L. Podemosdefinir tambien el proyector correspondiente a L⊥. Estas aplicaciones son lineales(como se puede comprobar facilmente) y verifican las siguientes propiedades:

Proposicion 4.3.3 Sea L un subespacio vectorial cerrado de un espacio deHilbert H. Sea PL la proyeccion ortogonal sobre L. Entonces:


1. (PLx, y) = (x, PLy), ∀x, y ∈ H

2. PLx = x, ∀x ∈ L

3. PLy = 0, ∀y ∈ L⊥

4. P 2L = P

5. (PLx, x) = ‖PLx‖2 ≤ ‖x‖2

6. PL + PL⊥ = I

7. PLPL⊥ = PL⊥PL = 0

La primera propiedad implica la siguiente igualdad. Si x = xL + xL⊥ , y =yL + yL⊥ , se tiene:

(PLx, y) = (x, PLy) = (xL, yL)

La segunda, tercera y cuarta son evidentes. En cuanto a la quinta,

(PLx, x) = ‖xL‖2 ≤ ‖x‖2

Las dos ultimas son tambien inmediatas.Dada una sucesion ortogonal (un conjunto ortogonal numerable) en un es-

pacio de Hilbert, se tiene la siguiente desigualdad que relaciona los productosescalares del vector x con los vectores del conjunto ortogonal y la norma delvector.

Proposicion 4.3.4 (Desigualdad de Bessel) Sea en, n ∈ N un sistemaortonormal. Entonces, para todo x ∈ H se tiene que la serie

∑∞n=1 |(en, x)|2 es

convergente y :∞∑

n=1

|(en, x)|2 ≤ ‖x‖2

(La proposicion puede extenderse a familias arbitrarias de vectores ortonor-males) Para demostrarla, probemos que las sumas parciales de la serie estanacotadas:

0 ≤ (x−N∑

n=1

(en, x)en, x−N∑

n=1

(en, x)en) =

‖x‖2 −N∑

n=1

(en, x)(x, en)−N∑

n=1

(x, en)(en, x) +

N∑n,m=1

(en, x)(em, x)(en, em) = ‖x‖2 −N∑n

|(en, x)|2

Al estar las sumas parciales acotadas, la serie es convergente y su suma esta aco-tada por ‖x‖2. Los escalares (en, x) se llaman los coeficientes de Fourier de xrespecto al sistema ortonormal en. Como consecuencia de la desigualdad deBessel se tiene el siguiente teorema.

Teorema 4.3.3 Sea H un espacio de Hilbert y en un sistema ortonormal.


1. Para todo x ∈ H, la serie∑∞

n=1(en, x)en es convergente.

2. Para todo x, y ∈ H, la serie de escalares∑∞

n=1(en, x)(en, y) converge a(∑∞

n=1(en, x)en, y)

3. Si M es el subespacio cerrado generado por el sistema ortonormal, y PM

la proyeccion sobre ese espacio, se tiene:

PM (x) =∞∑

n=1

(en, x)en, ∀x ∈ H

Probaremos que la sucesion de sumas parciales es de Cauchy.

‖m∑

k=n

(ek, x)ek‖2 =m∑

k=n

|(ek, x)|2

Pero la serie de la derecha es convergente por la desigualdad de Bessel, luegopara todo ε > 0 existe n0 tal que si n,m ≥ n0 se tiene:

m∑k=n

|(ek, x)|2 ≤ ε2

luego,

‖m∑

k=n

(ek, x)ek‖ < ε

y la sucesion de sumas parciales es de Cauchy, con lo que la serie es convergente(al ser H un espacio completo por ser de Hilbert). Para demostrar la segundaparte, se puede usar el hecho de que la aplicacion x → (y, x) (para un y ∈ Hfijado) es lineal y continua, y por lo tanto, la imagen de una sucesion convergentees convergente. Al haber probado que la serie

∑∞n=1(en, x)en es convergente, su

imagen∑∞

n=1(en, x)(y, en) mediante la aplicacion anterior es convergente, y susuma es la imagen de la suma, es decir: (

∑∞n=1(en, x)en, y). Finalmente,

(em, x−∞∑

n=1

(en, x)en) = (em, x)− (em,∞∑

n=1

(en, x)en) = 0

luego x−∑∞

n=1(en, x)en es ortogonal a la familia en y por tanto al subespacioque generan, luego pertenece al ortogonal. Si PM es la proyeccion sobre el cierredel subespacio generado por en, M , entonces

x− PM (x) ∈M⊥

y por tanto

PM (x) =∞∑

n=1

(en, x)en

Este vector es ademas el que hace mınima la distancia de x a M :

‖x−∞∑

n=1

(en, x)en‖ ≤ ‖x− y‖, ∀y ∈M


Definicion 4.3.4 Una base ortonormal en un espacio de Hilbert es un sistemaortonormal maximal (en el sentido de que no esta contenido propiamente enotro sistema ortonormal).

Proposicion 4.3.5 Sea H un espacio de Hilbert y S un sistema ortonormal.Entonces, existe un sistema ortonormal maximal que contiene a S.

La demostracion se basa en el lema de Zorn. Como corolario se tiene:

Corolario 4.3.1 Todo espacio de Hilbert posee una base ortonormal.

A partir de una sucesion de vectores l.i. de un espacio de Hilbert es posibleconstruir un sistema ortogonal.

Proposicion 4.3.6 (Ortogonalizacion de Gram-Schmidt) Sea vn : n ∈N una sucesion de vectores linealmente independientes en un espacio de HilbertH. Entonces existe una sucesion ortogonal de vectores un : n ∈ N que verificaque el subespacio generado por vk : k = 1, . . . , n es igual al generado poruk : k = 1, . . . , n para todo n ∈ N. El sistema un : n ∈ N esta determinadode manera unica salvo constantes.

Sea Mn = linvk : k = 1, . . . , n. Al ser un espacio de dimension finita es cerrado(y por tanto completo) y existe la proyeccion PMn . Sea u1 = v1 y supongamosque el proceso de construccion de los uk se ha completado hasta n. Veamos comoconstruir un+1. Sea

un+1 = vn+1 − PMn(vn+1)

El vector un+1 es distinto de cero, pues los vectores que generan Mn son l.i. convn+1. Por construccion,

un+1 ∈M⊥n

lo que implica que se cumple la primera condicion (ser ortogonales). Ademas,un+1 ∈ lin(Mn ∪ vn+1) = Mn+1 y vn+1 ∈ lin(Mn ∪ un+1) ⊂ Mn+1, por loque se concluye que

linv1, . . . , vn = linu1, . . . , un

En cuanto a la unicidad, si hubiera otro sistema u′n : n ∈ N con la mismaspropiedades que un : n ∈ N, se tendrıa:

u′n ∈ linu′1, . . . , u′n−1⊥ = linu1, . . . , un−1⊥

Ademas u′n ∈Mn por lo tanto:

u′n =n∑

k=1

λkuk

de donde u′n = λnun. En la practica, la construccion de la familia ortogonal es:

un+1 = vn+1 +n∑

k=1

λkuk, λk = − (uk, vn+1)‖uk‖2

Como consecuencia de esto, se puede demostrar:


Proposicion 4.3.7 Un espacio de Hilbert es separable si y solo si existe unabase hilbertiana (ortogonal) numerable

La demostracion es muy sencilla. Si el espacio tiene una base hilbertiana nu-merable, el subespacio cerrado que genera es separable y coincide con todo elespacio (basta entonces considerar combinaciones lineales con coeficientes racio-nales para acabar la demostracion). Y viceversa, si el espacio es separable existeuna sucesion que es densa en el espacio. Usando el proceso de Gram-Schmidtpodemos conseguir un sistema ortogonal que es total. Para ello, en primer lugarhay que seleccionar una subsucesion que sea l.i. Por induccion se prueba queesta subsucesion genera todo el espacio y ahora se aplica Gram-Schmidt.

Definicion 4.3.5 Se llama dimension hilbertiana de un espacio de Hilbert alcardinal de una de sus bases ortonormales.

La definicion esta justificada por la siguiente proposicion:

Proposicion 4.3.8 1. Dos bases ortonormales de un espacio de Hilbert tie-nen el mismo cardinal

2. Dos espacios de Hilbert son isomorfos si y solo si su dimension hilbertianaes la misma.

Una base ortonormal se puede caracterizar por cualquiera de las siguientespropiedades (el resultado es valido en espacios no separables, pero lo enuncia-remos solo en el caso en que se tenga una base ortonormal infinita numerable.El caso de dimension finita es trivial).

Proposicion 4.3.9 Sea S = en : n ∈ N un sistema ortogonal de un espaciode Hilbert H. Son equivalentes:

1. S es una base ortonormal.

2. El cierre de la envolvente lineal de S es igual a H (la envolvente lineal esdensa en H).

3. El unico vector ortogonal a S es el vector 0.

4. Para todo x ∈ H la serie∑∞

n=1(en, x)en converge al vector x.

Veamos la equivalencia de estas propiedades.1) ⇒ 2): Si S es una base ortonormal y lin(S) no fuera denso en H, su

complemento ortogonal serıa distinto de 0 y habrıa un vector ortogonal atodo S, que no serıa maximal.

2) ⇒ 3): Por ser lin(S) denso en H, lin(S)⊥ = 0, luego S⊥ = 0.3) ⇒ 4): Consideremos la serie en lin(S)

∞∑n=1

(en, x)en

Por la desigualdad de Bessel sabemos que esta serie es convergente a un vectorx′. Veamos que x′ = x. En efecto,

(em, x− x′) = (em, x−∞∑

n=1

(en, x)en) = (em, x)−∞∑

n=1

(en, x)(em, en) = 0, ∀m


y por 3), x− x′ = 0.4) ⇒ 1): Si (x, en) = 0 para todo n, se tiene por 4) que x = 0.

Como resumen de estas definiciones y propiedades se tiene la identidad deParseval. Todo vector de un espacio de Hilbert separable se puede escribir comouna serie en los elementos de una base ortonormal:

x =∑

(en, x)en

El producto escalar se puede escribir ası:

(x, y) =∞∑

n=1

(en, x)(en, y)

y se tiene la identidad de Parseval:

∞∑n=1

|(en, x)|2 = ‖x‖2

Como un espacio de Hilbert es un espacio vectorial, admite una base alge-braica, es decir un conjunto de vectores linealmente independientes que generan(mediante combinaciones lineales, que son sumas finitas) el espacio. Una baseortonormal no es una base algebraica en un espacio de dimension infinita. Aestas ultimas se les llama bases de Hamel.

4.4. Polinomios ortogonales

En el espacio de Hilbert L2[a, b] existen numerosas bases ortonormales queaparecen en las aplicaciones, pero entre las mas importantes se encuentran lasde polinomios ortogonales con un peso p(x). Sea I ⊂ R un intervalo y p : I → Runa funcion positiva (en el interior de I) y que verifica:∫

I

|t|np(t) dt <∞, ∀n ∈ N

Definimos el espacio:

Ep = f ∈ C(I) :∫

I

|f(t)|2p(t) dt <∞

Se trata de un espacio vectorial que contiene a los polinomios (debido a laspropiedades de la funcion p(t)). En este espacio podemos definir un productoescalar:

(f, g) =∫

I

f(t)g(t)p(t) dt

siendo p(t) la funcion peso. Con este producto escalar, Ep es un espacio pre-Hilbert (si en vez de considerar las funciones continuas usamos las funciones decuadrado integrable Lebesgue obtenemos un espacio de Hilbert) y la distanciaentre dos funciones es la desviacion cuadratica media ponderada. Por ejemplo,para diferentes intervalos y funciones peso se obtienen las familias de polinomiosque se detallan a continuacion.

4.5. SERIES DE FOURIER 77

I p(t) Polinomios

[−1, 1] 1 Legendre

[−1, 1]1√

1− t2Tchebychef

R e−t2 Hermite

[0,∞) e−t Laguerre

El punto mas delicado al establecer que se trata de bases de un espaciode Hilbert esta en la cuestion de si son o no un sistema maximal. Se tiene elsiguiente resultado:

Proposicion 4.4.1 Sea pn(t) una familia de polinomios ortonormales, que seobtiene de la familia 1, t, t2, . . . utilizando Gram-Schmidt respecto al productoescalar:

(f, g) =∫ ∞

−∞f(t)g(t)m(t) dt

Si la funcion peso m(t) es no negativa (y no identicamente cero) y verifica:∫ ∞

−∞m(t) dt <∞,

∫ ∞

−∞eα|t|m(t) dt <∞

para algun α > 0, entonces √m(t)pn(t) son una base ortonormal en L2(A),

donde A = sopm

4.5. Series de Fourier

Entre las bases ortonormales mas importantes en las aplicaciones se encuen-tran las series trigonometricas de Fourier. Consideremos el espacio de HilbertL2[0, 2π] con el producto escalar usual:

(f, g) =∫ 2π

0

f(x)g(x) dt

En este espacio, las funciones

1√2π

einx, n ∈ Z

son una base ortonormal. El teorema de Weierstrass permite afirmar que estasfunciones (su envolvente lineal con mas precision) son densas en el conjunto defunciones continuas con la norma del supremo, lo que implica que lo son con lanorma que deriva del producto escalar. Pero las funciones continuas son densasen L2[0, 2π] en cualquier norma ‖ · ‖p.


Los coeficientes de Fourier se calculan facilmente:

f ∈ L2[0, 2π], f(x) =∑n∈Z

cneinx

donde

cn =12π

∫ 2π

0

e−inxf(x) dx

Tambien se puede usar una base ortonormal formada por funciones reales:1√2π,

1√π

cosnx,1√π

sennx, n = 1, 2, . . .

En este caso, los coeficientes de Fourier son:

a0 =1√2π

∫ 2π

0

f(x) dx,

an =1√π

∫ 2π

0

f(x) cosnxdx, bn =1√π

∫ 2π

0

f(x) sennxdx

para el desarrollo:

f(x) =1√2πa0 +

1√π

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx)

Aunque se pone el signo de igualdad, las series trigonometricas de Fourierno convergen necesariamente de forma puntual (solo en la norma ‖ · ‖2). Sinembargo, si la funcion f tiene primera derivada continua, la convergencia es nosolo puntual sino incluso uniforme. Para funciones en L2[0, 2π], se sabe que laconvergencia es puntual casi doquiera. No podemos entrar aquı en un estudiodetallado de las series de Fourier.

Como conclusion de este capıtulo, mencionemos que un espacio de Hilbertseparable es isomorfo a l2 (basta escoger una base ortonormal). Sin embargo,este isomorfismo no siempre permite estudiar de la mejor manera posible laspropiedades del espacio de Hilbert y los operadores en el definidos.

Capıtulo 5

Operadores en espacios deHilbert

5.1. Introduccion

La teorıa de operadores en espacios de Hilbert tiene multiples aplicaciones enFısica, especialmente en Mecanica Cuantica. La teorıa es sin embargo extraordi-nariamente compleja si uno pretende cubrir todos los tipos de operadores que sepresentan en Fısica. En esta corta introduccion estableceremos las propiedadesmas importantes de los operadores acotados. En cuanto a la teorıa espectral,pospondremos para otro capıtulo unas consideraciones elementales sobre esteimportante tema, fundamental en las aplicaciones.

5.2. Operadores acotados

Consideraremos como caso mas importante las aplicaciones lineales (opera-dores, dado que todas las aplicaciones que apareceran son lineales omitiremos aveces el adjetivo lineal para el termino operador) continuas entre dos espaciosde Hilbert.

Sean H1, H2 dos espacios de Hilbert. Como ya hemos dicho, un operadoracotado es una aplicacion lineal T : H1 → H2 que verifica:

‖Tx‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ H, k ≥ 0

Ya demostramos en el capıtulo 3 que esta condicion equivale (en un espacionormado) a la continuidad del operador T . Ademas, permite definir la normadel operador:

‖T‖ = sup‖Tx‖‖x‖

: x ∈ H, x 6= 0

= sup‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ = 1

Se tiene entonces:‖Tx‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖, ∀x ∈ H

Tengase en cuenta que esta definicion implica que ‖T‖ es el ınfimo de las cons-tantes k que acotan al operador. Y que no tiene por que existir un vector x

79

80 CAPITULO 5. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT

que verifique ‖Tx‖ = ‖T‖ ‖x‖ (aunque veremos casos como el de los operadorescompactos, donde esto sı ocurre). La norma de un operador verifica:

‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖

No es difıcil construir ejemplos sencillos de operadores acotados, aunque nosea tan sencillo calcular su norma. Sea H1 = H2 = l2 y T la aplicacion enl2 que transforma el vector x en y con y1 = 0, yn = xn−1 (operadores dedesplazamiento). Se trata de un operador acotado y su norma es igual a 1.

Hay ocasiones en las que los operadores no aparecen definidos sobre todoel espacio de Hilbert sino sobre un subespacio (necesariamente se trata de unsubespacio al ser el operador lineal). Se llama dominio del operador T , D(T ),al subespacio en el que esta definido este operador. Se dice que un operador esacotado en su dominio si

sup‖Tx‖‖x‖

: x ∈ D(T ), x 6= 0<∞

El resultado mas interesante es que un operador acotado se puede extender demanera unica al cierre de su dominio, manteniendo la norma, con lo cual siemprese puede suponer que el dominio de un operador acotado es cerrado (y por lotanto un espacio de Hilbert). Si el dominio de un operador acotado es denso en elespacio de Hilbert, entonces dicho operador se puede extender a todo el espacio.Este resultado no es cierto para un operador no acotado. La demostracion sebasa en el uso de sucesiones de Cauchy. Dado x ∈ D(T ), existe una sucesionen D(T ) que tiende a x en H, que obviamente es de Cauchy en D(T ). Al ser Tcontinuo, la imagen de esta sucesion de Cauchy es tambien de Cauchy y por lotanto tiene lımite en el espacio final. Se llama rango (o recorrido) de un operadora su imagen.

Los operadores no acotados son fundamentales en Mecanica Cuantica, aun-que su teorıa es mucho mas complicada que la de los acotados. Por ejemplo, eloperador momento, P = −i d

dx , no es acotado en el siguiente dominio de L2[0, 1]

D(T ) = f ∈ L2[0, 1] : f ∈ C1[0, 1]

Resulta necesario restringir el dominio, pues no todas las funciones de L2[0, 1]son derivables. Si se toma en este espacio el conjunto de funciones einx, quetienen norma 1, se observa como las normas de las imagenes no estan acotadas.La restriccion puede dar lugar a operadores con propiedades muy diferentes.Supongamos que P esta definido en el siguiente dominio (un subespacio deL2[0, 1]):

D(T ) = f ∈ L2[0, 1] : f absolutamente continua

(absolutamente continua equivale esencialmente a ser (casi doquiera) la integralindefinida de una funcion continua). Pues bien, el espectro (concepto que dis-cutiremos en el proximo capıtulo) de T es todo C. Pero si el dominio se definecomo:

D(T ) = f ∈ L2[0, 1] : f absolutamente continua, f(0) = 0

entonces el espectro es vacıo (aunque los dominios son diferentes, ambos sondensos en L2[0, 1]).

5.2. OPERADORES ACOTADOS 81

No todo operador admite un inverso. Aunque lo admita, es posible que dichoinverso no sea acotado. El problema es que, en general, el rango de un operador(aunque sea acotado), no es un subespacio cerrado (aunque obviamente seaun subespacio). Una condicion suficiente para que el rango sea cerrado, es lasiguiente:

Proposicion 5.2.1 Dado un operador acotado T en un espacio de Hilbert H,si existe k > 0 tal que

‖Tx‖ ≥ k‖x‖, x ∈ H

entonces el rango de T es cerrado.

La demostracion es sencilla. Sea xn una sucesion de vectores en H e yn =Txn sus correspondientes imagenes. Supongamos que la sucesion de imagenesconverge a y ∈ H. Pero entonces:

‖xn − xm‖ ≤1k‖T (xn − xm)‖ =

1k‖yn − ym‖

luego xn es de Cauchy y converge a x ∈ H. Como el operador es acotado,

Tx = lımn→∞

Txn = y

luego y esta en el rango de T .Puede entonces demostrarse la siguiente proposicion relativa al operador

inverso.

Proposicion 5.2.2 Un operador acotado en un espacio de Hilbert, H, es inver-tible (posee un operador inverso que es acotado) si y solo si su rango es densoen H y existe k > 0 tal que

‖Tx‖ ≥ k‖x‖, ∀x ∈ H

Si el operador es invertible, el rango coincide con todo H. Ademas, al ser T−1

acotado,‖T−1y‖ ≤ ‖T−1‖‖y‖, y ∈ H

es decir, escribiendo x = T−1y:

‖x‖ ≤ ‖T−1‖‖Tx‖, x ∈ H

luego‖Tx‖ ≥ k‖x‖, x ∈ H

con k = 1/‖T−1‖. Supongamos ahora que el rango es denso y se da la acotacionanterior. Por la proposicion demostrada en primer lugar, el rango es cerrado ypor tanto coincide con H. Veamos que el operador T es inyectivo:

‖Tx− Ty‖ ≥ k‖x− y‖

pero si Tx = Ty, entonces ‖x − y‖ ≤ 0 y T es inyectivo. Luego existe T−1 (yes lineal). Para probar que es acotado basta usar nuevamente la acotacion de laproposicion.


Pero no es difıcil encontrar ejemplos de operadores acotados que admiten uninverso, pero este no es acotado. Por ejemplo, el operador (lineal acotado) en l2

definido sobre la base ortonormal canonica,

Ten =1n2en, n = 1, 2, . . .

tiene un inverso (porque es inyectivo). El dominio del inverso no es sin embargo,todo l2, pero es denso en el (pues contiene a la base ortonormal en). Si T−1

fuera continuo, de acuerdo con lo anterior, se podrıa extender su accion a todol2. Pero no lo es:

T−1en = n2en

y los elementos de la base tienen norma 1. Luego no es acotado. Es posibleencontrar elementos de l2 sobre los que no esta definido T−1. Por ejemplo x =(1, 1/2, 1/3, . . .)

Como se vio en el capıtulo dedicado a los espacios de Banach, el espacio deaplicaciones lineales continuas entre dos espacios de Hilbert (que son de Banach)es un espacio de Banach, con la norma definida anteriormente. Pero en generalno es un espacio de Hilbert (con mas precision solo lo es si el espacio final tienedimension 1, es decir, es el dual topologico). Sin embargo, en ocasiones es masconveniente usar otras topologıas en este espacio de aplicaciones. Supongamosque el espacio final e inicial son el mismo y consideremos el espacio de operadoresacotados A(H). La topologıa inducida por la norma se llama tambien topologıauniforme. Una sucesion de operadores An converge en esta topologıa al operadorA si y solo si ‖A − An‖ → 0 cuando n → ∞. Se puede definir tambien unatopologıa fuerte, en la que la convergencia se describe como sigue. Una sucesionde operadores An converge en la topologıa fuerte a un operador A si y solo sipara cada vector x del espacio H, la sucesion de vectores de H, Anx, convergea Ax. Esta claro que si una sucesion converge en norma, tambien lo hace en latopologıa fuerte (no entraremos en detalles de como se define la topologıa fuerte.Tengase en cuenta que el hecho de saber cuando una sucesion es convergente ono, no basta para determinar completamente la topologıa). La topologıa debilreduce aun mas el concepto de convergencia llevandolo al cuerpo: una sucesionde operadores acotados An es convergente debilmente a un operador A si y solosi la sucesion de escalares (x,Any) converge a (x,Ay) para cualquier par devectores x, y ∈ H. La topologıa uniforme es mas fina que la fuerte y esta masfina que la debil. Es decir, hay sucesiones que convergen debilmente pero nolo hacen fuertemente y sucesiones que lo hacen fuertemente pero no en norma.Sin embargo, si una sucesion converge en norma tambien lo hace fuertemente ydebilmente.

5.3. Funcionales lineales continuos

Como en el caso de operadores entre espacios de Banach, un caso muy impor-tante de operadores aparece cuando el espacio final es el cuerpo K sobre el queesta construido el espacio de Hilbert. Se habla entonces de funcionales lineales.Los mas interesantes son los continuos, y en el caso de espacios de Hilbert, comose hacıa en dimension finita, es muy sencillo construirlos utilizando el producto

5.3. FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS 83

escalar. Veamos dos ejemplos de funcionales sobre el espacio l2(C). Sea

F (x) =∞∑

n=1

xn

n, x = (xn) ∈ l2(C)

Se trata de un funcional lineal, pues si

∞∑n=1

|xn|2 <∞

se tiene tambien (por la desigualdad de Cauchy-Schwarz)∣∣∣∣∣∞∑

n=1

xn

n

∣∣∣∣∣ <∞

Este funcional se puede escribir como:

∞∑n=1

xn

n= (y, x), y =

(1n

)∈ l2(C)

Es continuo, pues|(y, x)| ≤ ‖y‖ ‖x‖, ∀x ∈ l2(C)

Se tiene ademas que la norma del funcional es:

‖F‖ = ‖y‖ =

√√√√ ∞∑n=1

1n2

De hecho todos los funcionales de esta forma son continuos, y ademas, comoveremos a continuacion por el teorema de Riesz-Frechet, todos los funcionaleslineales continuos son de esta forma. Sea ahora

G(x) =∞∑

n=1

xn√n, x = (xn) ∈ l2(C)

definido cuando la serie de termino general xn√n

es convergente. Este funcional eslineal, pero no es continuo. Si lo fuera, estarıa representado por el vector (1/

√n)

(segun el teorema de Riesz-Frechet) que no pertenece a l2(C).Como en el caso de dimension finita, se verifica el teorema de Riesz-Frechet.

Teorema 5.3.1 (Riesz-Frechet) Sea H un espacio de Hilbert. Entonces, paratodo funcional continuo F : H → K existe un unico vector xF ∈ H tal que:

F (y) = (xF , y), ∀y ∈ H

Demostremos este resultado. En primer lugar, el nucleo de un funcional continuo(y en general, de un operador acotado) es un subespacio cerrado. Si coincidecon H el funcional es el cero. Si no coincide, sea

H = kerF ⊕ (kerF )⊥


la descomposicion ortogonal de H respecto al nucleo de F . Consideremos unvector no nulo x ∈ (kerF )⊥. Todo vector y ∈ H se puede escribir como:

y = y − ax+ ax

donde a ∈ K. Elijamos a de forma que y − ax ∈ kerF :

F (y − ax) = F (y)− aF (x) = 0 ⇒ a =F (y)F (x)

Entonces

y =(y − F (y)

F (x)x

)+F (y)F (x)

x

y el vector x es ortogonal a y − F (y)F (x)x, con lo que:

(x, y) =F (y)F (x)

‖x‖2 ⇒ F (y) =F (x)‖x‖2

(x, y) =

(F (x)‖x‖2

x, y

)= (xF , y)

donde

xF =F (x)‖x‖2

x

A pesar de que x se ha elegido arbitrariamente en (kerF )⊥, el vector xF esunico. Si z ∈ H verifica:

F (y) = (xF , y) = (z, y), ∀y ∈ H

entonces z = xF .Una consecuencia del teorema de Riesz-Frechet es que la dimension del subes-

pacio ortogonal al nucleo de un funcional lineal continuo es 1. Tengase en cuentaque estos resultados son ciertos para funcionales lineales continuos. Si no es con-tinuo, el nucleo no es un subespacio cerrado, de hecho es denso en el espaciototal (y distinto de el).

El espacio de funcionales lineales continuos (el dual, H∗) es un espacio deHilbert, con un producto escalar definido de forma natural como:

(F,G) = (xF , xG)

y existe un anti-isomorfismo (lineal conjugado) entre H y su dual H∗.

5.4. Funcionales bilineales hermıticos

Dado un espacio de Hilbert H, se pueden definir aplicaciones de H ×H enK que verifiquen las siguientes propiedades:

ϕ(x, αy + βz) = αϕ(x, y) + βϕ(x, z)

ϕ(αx+ βy, z) = αϕ(x, z) + βϕ(y, z)

Es decir lineales en la segunda variable y antilineales en la primera. Se llamaranfuncionales (o formas) bilineales (por abuso de lenguaje ciertamente). En el casoparticular en que se verifique ademas:

ϕ(x, y) = ϕ(y, x)

5.5. OPERADORES AUTOADJUNTOS Y UNITARIOS 85

se llamaran formas hermıticas (o sesquilineales).Asociados a ellos aparecen las formas cuadraticas, dadas por

Qϕ(x) = ϕ(x, x)

(no entraremos en detalles de una definicion independiente de formas cuadraticasni la restringiremos al caso en que ϕ sea hermıtica, aunque esto sea lo masnatural).

Debido a las propiedades expuestas anteriormente, cuando ϕ es un funcio-nal hermıtico, Q(x) es real (y viceversa). En este caso, se dice que la formacuadratica es definida positiva si Q(x) > 0 para todo x ∈ H distinto de cero.

La forma bilineal se puede expresar en terminos de su forma cuadraticaasociada (identidades de polarizacion):

ϕ(x, y) = Qϕ

(12(x+y)

)−Qϕ

(12(x−y)

)+iQϕ

(12(x+iy)

)− iQϕ

(12(x− iy)

)Los conceptos de acotacion (continuidad) para funcionales bilineales y formas

cuadraticas son similares a los utilizados para funcionales lineales. Se dice queuna forma bilineal es acotada si existe k > 0 tal que

|ϕ(x, y)| ≤ k‖x‖ ‖y‖, ∀x, y ∈ H

y una forma cuadratica es acotada si

|Qϕ(x)| ≤ k‖x‖2, ∀x ∈ H

Se comprueba facilmente que es posible definir las normas de formas bilinealesy cuadraticas acotadas por:

‖ϕ‖ = sup|ϕ(x, y)| : ‖x‖ = ‖y‖ = 1, ‖Qϕ‖ = sup|Qϕ(x)| : ‖x‖ = 1

y que una forma bilineal y su forma cuadratica asociada son acotadas o nosimultanemante.

Ademas se dan la siguientes desigualdades entre sus normas cuando sonacotadas:

‖Qϕ‖ ≤ ‖ϕ‖ ≤ 2‖Qϕ‖

La demostracion es una consecuencia de la identidad de polarizacion y la leydel paralelogramo. Pero si ϕ es hermıtica, entonces:

‖Qϕ‖ = ‖ϕ‖

5.5. Operadores autoadjuntos y unitarios

Consideremos ahora el caso de operadores lineales acotados (en principio sepueden hacer desarrollos similares para operadores no acotados, pero no po-demos entrar en ello ahora) de un espacio de Hilbert en sı mismo. Sea puesA : H → H un operador lineal acotado.

Definicion 5.5.1 Se llama operador adjunto de A al operador A+ que verifica:

(x,Ay) = (A+x, y), ∀x, y ∈ H


Se puede demostrar que el operador A+ existe y es unico, usando formas bili-neales. Si A es un operador acotado,

ϕA(x, y) = (x,Ay)

es una forma bilineal (no necesariamente hermıtica). Pero es tambien acotaday se puede probar facilmente que

‖A‖ = ‖ϕA‖

Partiendo de ϕA se puede definir para cada x ∈ H fijado, un funcional lineal:

ϕx(y) = ϕ(x, y) = (x,Ay)

que es tambien acotado. Por el teorema de Riesz-Frechet, existe zx ∈ H tal que:

ϕx(y) = (zx, y) = (x,Ay)

La correspondenciax→ zx

es lineal y define un operador lineal y acotado (como se puede probar facilmente)A+, que cumple

(A+x, y) = (x,Ay), ‖A‖ = ‖A+‖

Proposicion 5.5.1 El operador adjunto verifica las siguientes propiedades:

1. (aA+ bB)+ = aA+ + bB+

2. (A+)+ = A

3. (AB)+ = B+A+

4. Si el operador A tiene un inverso que esta acotado, entonces A+ tambienlo tiene y se verifica (A−1)+ = (A+)−1

5. ‖A‖2 = ‖AA+‖

La demostracion de la ultima propiedad, se sigue de la acotacion siguiente

‖AA+‖ ≤ ‖A‖ ‖A+‖ = ‖A‖2

y de:

‖Ax‖2 = (Ax,Ax) = (A+Ax, x) ≤ ‖A+Ax‖ ‖x‖ ≤ ‖A+A‖ ‖x‖2

lo que implica que‖A+A‖ ≥ ‖A‖2

Una clase importante entre los operadores acotados es la de los que coincidencon su adjunto.

Definicion 5.5.2 Sea A un operador lineal acotado definido sobre un espaciode Hilbert H. Se dice que A es autoadjunto si

A = A+


Se tiene entonces que A : H → H, lineal y acotado, es autoadjunto si y solo si:

(x,Ay) = (Ax, y), x, y ∈ H

o tambien si y solo si (Ax, x) es real para todo x ∈ H. La norma de un operadorautoadjunto se puede calcular mediante la expresion:

‖A‖ = sup|(x,Ax)| : x ∈ H, ‖x‖ = 1

En efecto,|(x,Ax)| ≤ ‖A‖ ‖x‖2

y por tanto (si x 6= 0):|(x,Ax)|‖x‖2

≤ ‖A‖

de donde

k = sup|(x,Ax)|‖x‖2

, x 6= 0≤ ‖A‖

La desigualdad en sentido contrario se puede obtener de la forma siguiente.Aplicando A a una combinacion con dos vectores x, y ∈ H y siendo λ ∈ K setiene:

k‖x+ λy‖2 ≥ |(x+ λy,A(x+ λy))|= |(x,Ax) + |λ|2(y,Ay) + 2 Re(λ(x,Ay))|

Cambiando λ por −λ

k‖x− λy‖2 ≥ |(x− λy,A(x− λy))|= |(x,Ax) + |λ|2(y,Ay)− 2 Re(λ(x,Ay))|

Es decir,

(x,Ax) + |λ|2(y,Ay) + 2 Re(λ(x,Ay)) ≤ k‖x+ λy‖2

−(x,Ax)− |λ|2(y,Ay) + 2 Re(λ(x,Ay)) ≤ k‖x− λy‖2

y sumando

4 Re(λ(x,Ay)) ≤ k(‖x+ λy‖2 + ‖x− λy‖2) = 2k(‖x‖2 + |λ|2‖y‖2)

Si ahora tomamos

λ =(x,Ay)‖x‖(x,Ay)‖y‖

se obtieneRe (x,Ay) ≤ k‖x‖ ‖y‖

para toda pareja de vectores x, y ∈ H. Eligiendo x = Ay, se tiene:

‖Ay‖2 = |(Ay,Ay)| ≤ k‖Ay‖ ‖y‖

Luego ‖Ay‖ ≤ k‖y‖ y por tanto ‖A‖ ≤ k lo que demuestra el resultado.Un operador autoadjunto es evidentemente normal, es decir conmuta con

su adjunto. Como veremos los operadores unitarios son tambien normales y


comparten muchas propiedades con los autoadjuntos debido a este hecho. Losoperadores autoadjuntos son fundamentales en las aplicaciones de la teorıa enla Mecanica Cuantica, en la que los observables vienen representados por estetipo de operadores. Tengase en cuenta que cuando el dominio del operador no estodo H, es posible que el dominio de su operador adjunto no coincida con el deloperador de partida. Si se verifica (x,Ay) = (Ax, y) para todo par de vectoresx, y ∈ D(A), se dice que el operador es simetrico (o a veces hermıtico) (conD(A+) ⊂ D(A)), reservando el termino autoadjunto para el caso de operadoressimetricos cuyos dominios coincidan. En ciertos casos es posible definir lo que sedenomina extensiones autoadjuntas, pero no podemos entrar en este tema aquı.

Consideremos por ejemplo el operador posicion en Mecanica Cuantica:

(Qf)(x) = xf(x)

Esta claro que su dominio no es todo L2(R). Se puede elegir:

D(Q) = f ∈ L2(R) : xf ∈ L2(R)

que no es todo L2(R), pero que es denso en el. Efectivamente, no es difıcilcomprobar que el dominio contiene a las funciones continuas en un compacto(en cualquiera) y por lo tanto a todas las funciones de soporte compacto. Perosabemos que el conjunto de funciones con soporte compacto es denso en L2(R)(en cualquier Lp(R)). Por lo tanto tenemos un operador con dominio denso enL2(R). Sin embargo este operador no es acotado en su dominio. Consideremoslas funciones χ[−n,+n](x) que estan obviamente en D(Q). Su norma L2 es:∫

R

|χ[−n,+n](x)|2 dx =∫

[−n,+n]

dx = 2n

Sin embargo, la norma de las imagenes es:∫R

|xχ[−n,+n](x)|2 dx =∫

[−n,+n]

x2 dx =2n3

3

y el cociente es:‖Qχ[−n,+n]‖‖χ[−n,+n]‖

=n2

3

que no esta acotado.El operador adjunto (que se puede definir, aunque Q no sea acotado) verifica:

(Q+f, g) = (f,Qg), f ∈ D(Q+), g ∈ D(Q)

En este caso, el operador Q es hermıtico (simetrico), pues:

(Qf, g) = (f,Qg), f, g ∈ D(Q)

y, por tanto (de la construccion del operador adjunto),

D(Q) ⊂ D(Q+)

Se puede demostrar tambien que ambos dominios coinciden (pero no lo haremosaquı) y el operador es autoadjunto.

Otro tipo de operadores importantes, de los que ya hemos visto un ejem-plo cuando estudiamos la descomposicion ortogonal del espacio de Hilbert (enrealidad, como veremos, todos son ası), son los proyectores ortogonales.


Definicion 5.5.3 Se dice que un operador acotado definido en un espacio deHilbert H es un proyector ortogonal si es autoadjunto (P = P+) e idempotente(P 2 = P ).

Al ser acotado, el nucleo de P es un subespacio cerrado y por tanto

H = kerP ⊕ (kerP )⊥

(suma directa ortogonal). Pero se tiene que

(kerP )⊥ = RanP

pues si x ∈ RanP , entonces x = Px por ser P idempotente. De esta forma,

(x, y) = (Px, y) = (x, Py) = 0

cuando y ∈ kerP . Luego RanP ⊂ (kerP )⊥. Si x ∈ (kerP )⊥, entonces, paratodo y ∈ H:

(x− Px, y) = (x, y − Py) = 0

pues y − Py ∈ kerP y por tanto, x− Px = 0 y x ∈ RanP .Por tanto, todo proyector induce una descomposicion ortogonal del espacio

de Hilbert, en suma de su nucleo y su rango. Y viceversa, como hemos visto,dado un subespacio cerrado, M , se tiene un proyector del cual es el rango.Veamos que es acotado.

H = M ⊕M⊥, x = y + z, y ∈M, z ∈M⊥

Px = y, ‖Px‖2 = ‖y‖2 ≤ ‖y‖2 + ‖z‖2 = ‖x‖2

luego ‖P‖ ≤ 1 y si x ∈ M , Px = x. y la norma de un proyector ortogonal esigual a 1. El ser autoadjunto e idempotente es inmediato (como ya vimos en sumomento)

Un operador en un espacio de Hilbert puede actuar de forma irreducible oreducible. En el primer caso, no existe ningun subespacio cerrado (nos limitare-mos a este caso) invariante excepto el total y el 0. En el segundo existe algunsubespacio no trivial tal que AM ⊂ M . Pero en este segundo caso se puedeuno preguntar si el subespacio complementario a M es tambien invariante. Deentre los posibles subespacios complementarios (cerrados), el mas interesante esel ortogonal. Se dice que un subespacio reduce a un operador (el operador escompletamente reducible) si tanto M como M⊥ son invariantes bajo A. Comose puede probar, un subespacio reduce a un operador si y solo si es invariantebajo A y A+ (consecuencia inmediata de que si M es un subespacio invariantepara un operador A, su complementario ortogonal es invariante bajo A+).

Es muy sencillo construir un operador que sea reducible pero no completa-mente reducible. Consideremos el espacio de Hilbert l2 y en el el operador dedesplazamiento:

A(x1, x2, . . .) = (0, x1, x2, . . .)

Su operador adjunto se calcula facilmente:

A+(x1, x2, . . .) = (x2, x3, . . .)


El operador A es reducible. Cualquier subespacio N con vectores de la forma:

(0, . . . , 0, xm, xm+1, . . .)

es invariante bajo A. Su ortogonal, formado por vectores:

(x1, . . . , xm−1, 0, . . .)

lo es bajo A+. Sin embargo, N no es invariante bajo A+, luego este tipo desubespacios no reduce a A.

Pero aun mas. No hay nigun subespacio no trivial que reduzca a A. Supon-gamos que M fuera uno de tales subespacios. Sea

x = (0, . . . , 0, xm, xm+1, . . .)

un vector no nulo de M , con xm 6= 0. Aplicando m veces A+ se tiene:

(A+)mx = (xm+1, xm+2, . . .)

y m veces A:Am(A+)mx = (0, . . . , 0, xm+1, xm+2, . . .)

que, debido a la invariancia de M bajo A y A+, es un vector de M y por lotanto:

x−Am(A+)mx = (0, . . . , 0, xm, 0, . . .) ∈M

Es decir, los vectores de la base ortonormal canonica de l2 estan en M (al estaruno de ellos y ser invariante bajo A y A+ es inmediato que estan todos). Por lotanto M = l2.

Resulta entonces que las condiciones de invariancia de un subespacio sepueden escribir en terminos de proyectores. Ası es posible demostrar que unsubespacio (cerrado) es invariante bajo un operador A (siempre acotado) si suproyeccion asociada P verifica

AP = PA

De forma similar, un subespacio reduce a un operador si su proyector conmutacon el.

Dados dos proyectores, P1 y P2 su suma no es en general un proyector.Sin embargo si P1P2 = P2P1 = 0, entonces su suma es un proyector sobre elespacio suma de los asociados a P1 y P2 (que son necesariamente ortogonales).Para poder estudiar en detalle la teorıa espectral de operadores y los teoremasde descomposicion espectral, es necesario introducir sumas (no necesariamentefinitas ni siquiera numerables) de proyectores y una relacion de orden (asociadaa la inclusion de los correspondientes subespacios). Pero no podemos ir porahora mas lejos en este asunto.

El tercer tipo de operadores que vamos a estudiar es fundamental en Mecani-ca Cuantica: operadores unitarios (operadores de evolucion).

Definicion 5.5.4 Se dice que un operador lineal acotado en un espacio de Hil-bert es unitario si

UU+ = U+U = 1H


Si un operador es unitario conserva el producto escalar:

(Ux,Uy) = (x, y), ∀x, y ∈ H

De hecho esta propiedad, unida a que el operador sea biyectivo, define a losoperadores unitarios. La norma de un operador unitario es igual a 1. Los ope-radores que conservan el producto escalar (y por tanto de la norma) sin sernecesariamente biyectivos se llaman isometrıas. Existe otra clase de operadoresllamados isometrıas parciales que son fundamentales, por ejemplo, en la teorıade colisiones. Una isometrıa parcial es un operador que restringido al ortogonalde su nucleo es una isometrıa.

Por ejemplo, el operador desplazamiento en l2:

T (x1, x2, . . .) = (0, x1, x2, . . .)

es isometrico, sin embargo no es unitario. No es biyectivo (su rango son losvectores con primera coordenada cero). Su adjunto es

T+(x1, x2, . . .) = (x2, x3, . . .)

y se tiene:T+T (x1, x2, . . .) = (x1, x2, x3, . . .)

luego T+T = I, pero TT+ 6= I.

La transformada de Fourier en L2(R)

Un operador unitario muy importante en las aplicaciones a la Fısica es latransformada de Fourier. Su definicion usual es

(Ff)(k) =1√2π

∫ ∞

−∞e−ikxf(x) dx

Para definirla en el espacio L2(R) utilizaremos una base ortonormal. Sea la baseformada por las funciones de Hermite:

ϕn(x) =1

(n!2n√π)1/2

e−x2/2Hn(x), n = 0, 1, 2, . . .

Sobre esta base, la transformada de Fourier se define por:

(Fϕn)(k) = (−i)nϕn(k), n = 0, 1, . . .

(se puede comprobar que coincide con la definicion anterior). A partir de aquı,por linealidad lo construimos para cualquier combinacion lineal finita de lasfunciones de esta base y viene dada por la integral anterior. Se puede probarfacilmente que es biyectivo (sobre linϕn) e isometrico. Su inverso viene dadopor:

(F−1g)(x) =1√2π

∫ ∞

−∞eikxg(k) dk

Finalmente se prueba que existe un unico operador lineal acotado en L2(R)que coincide con este en el subespacio linϕn. La actuacion sobre funcionesarbitrarias de L2(R) se define por:

(Ff)(k) =i√2π

ddk

∫ ∞

−∞

e−ikx − 1x

f(x) dx


(F−1g)(x) = − i√2π

ddx

∫ ∞

−∞

eikx − 1k

g(k) dk

En el caso en que la funcion f sea integrable en modulo en R, es decir este enL1(R) ademas de en L2(R), es sencillo probar que las formulas anteriores sereducen a:

(F)(k) =1√2π

∫ ∞


(F−1g)(y) =1√2π

∫ ∞

−∞eikxg(k) dk

5.6. Operadores positivos

En un espacio de Hilbert es posible introducir un concepto de operadorpositivo utilizando el producto escalar.

Definicion 5.6.1 Se dice que el operador acotado A en el espacio de Hilbert Hes positivo si (Ax, x) ≥ 0 para todo x de H.

Para un operador positivo es posible definir su raız cuadrada, como el unico ope-rador positivo que verifica que su cuadrado es el operador de partida. Con estadefinicion, el “modulo” de un operador arbitrario se define como la raız cuadradadel producto de ese operador por su adjunto (producto que es positivo):

|A| =√A+A

Usando estas definiciones es posible escribir la descomposicion polar de unoperador (similar a la de los numeros complejos).

Teorema 5.6.1 Dado un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert, exis-te una isometrıa parcial U tal que

A = |A|U

La isometrıa U se determina de manera unica si se exige que su nucleo sea igualal de A. El rango de U es el cierre del rango de A.

5.7. Operadores compactos

Los operadores compactos (o completamente continuos), C(H), forman unaclase de operadores en espacios de Hilbert con numerosas aplicaciones. Su rela-cion con los operadores integrales hace que les dediquemos unas breves lıneas.

Definicion 5.7.1 Se dice que un operador lineal en un espacio de Hilbert escompacto si la imagen de un subconjunto compacto es precompacta (es decir sucomplecion (o, en este caso, su cierre) es un compacto).

La siguiente propiedad es equivalente a la definicion: un operador es compactosi toda sucesion acotada tiene como imagen una sucesion que admite subsu-cesiones convergentes. Se puede probar que un operador compacto transformasucesiones debilmente convergentes (en la topologıa debil, es decir, xn converge

5.8. OPERADORES DE CLASE DE TRAZA Y HILBERT-SCHMIDT 93

debilmente a x0 si (xn, y) converge en C para todo y ∈ H a (x0, y)) en sucesionesconvergentes en el sentido de la norma. Todo operador compacto es continuo (endimension finita coinciden con todos los operadores). La norma de un operadorcompacto se puede obtener para algun vector x ∈ H:

‖Tx‖ = ‖T‖, ‖x‖ = 1

Ademas si un operador es compacto, su adjunto tambien lo es.Un caso sencillo de operadores compactos son los de rango finito (es decir, el

rango de T es un subespacio vectorial de dimension finita). Pero se puede deciraun mas. Un operador compacto en un espacio de Hilbert separable es el lımite(en norma) de una sucesion de operadores de rango finito. Esto hace que muchasde las propiedades de los espacios de dimension finita puedan ser trasladadasa dimension infinita. En particular los relacionados con las soluciones de laecuacion Tx = λx. En el caso de dimension finita esta ecuacion tiene solucionno trivial o bien el operador (T−λ1H)−1 existe. En el caso infinito la situacion esmas complicada. Pero para operadores compactos se sigue dando esa propiedad.Lo veremos con mas detalle cuando estudiemos los espectros de operadores.

5.8. Operadores de clase de traza y operadoresHilbert-Schmidt

La traza de un operador en un espacio de Hilbert se puede definir de la formasiguiente. Dada una base ortonormal un y un operador acotado positivo, latraza de A es:

trA =∞∑

n=1

(un, Aun)

La traza no depende de la base elegida. Se dice que un operador es de la clase detraza si la traza de su modulo (en el sentido definido en la seccion 5.6) es finita.Los operadores de clase de traza forman un ideal en el espacio de los operadoresacotados. En este espacio es posible definir una norma, ‖ · ‖1 = tr |A|. De estaforma, el espacio de los operadores de clase de traza es un espacio de Banach.Ademas

‖A‖ ≤ ‖A‖1Los operadores de clase de traza son compactos. Para operadores no necesaria-mente positivos (pero en C(H)), la traza se define por:

trA =∞∑

n=1

(un, Aun)

pues se puede demostrar que esta suma es convergente y ademas no depende dela base ortonormal elegida (se usan conceptos de operadores de Hilbert-Schmidtque definiremos a continuacion). Uno de los aspectos mas interesantes de losoperadores de clase de traza es que son el dual del espacio de los operadorescompactos (usando la traza).

Los operadores Hilbert-Schmidt son una clase especial de operadores com-pactos, con interesantes propiedades algebraicas. Sea A un operador lineal aco-tado que verifica que para alguna base ortonormal un se tiene

∑n ‖Aun‖2 <∞.


Es decir, tal que trAA+ es finita. Se escribe

‖A‖2 =

√√√√ ∞∑n=1

‖Aun‖

Definicion 5.8.1 Se dice que un operador acotado es Hilbert-Schmidt si

‖A‖2 <∞

La norma (usual) de un operador Hilbert-Schmidt es siempre menor o igualque la norma Hilbert-Schmidt (‖ · ‖2 es una norma en la clase de operadoresHilbert-Schmidt). El conjunto de los operadores de tipo Hilbert-Schmidt es unespacio de Banach con esta norma ‖ · ‖2 (de hecho, presenta una estructuramas rica, pero no entraremos ello). Mas aun, el conjunto de operadores de tipoHilbert-Schmidt es un espacio de Hilbert. Se le denota por C2(H). Todo operadorHilbert-Schmidt es un operador de la clase de traza y por tanto un operadorcompacto

Una de las aplicaciones mas importantes de los operadores Hilbert-Schmidtse basa en su relacion con las ecuaciones integrales que estudiaremos a conti-nuacion.

5.9. Ecuaciones integrales

Comenzaremos por establecer la relacion existente entre los operadores in-tegrales y los operadores de Hilbert-Schmidt en una realizacion concreta.

Sea H = L2(I), donde I es un intervalo de la recta real (en general, lasfunciones de cuadrado integrable en un cierto espacio de medida). Si T es unoperador de Hilbert-Schmidt en H, entonces existe una funcion de cuadradointegrable en I × I, k(x, y),∫

I×I

|k(x, y)|2 dxdy <∞

tal que el operador puede definirse por:

(Tf)(x) =∫

I

k(x, y)f(y) dy

Ademas, la norma Hilbert-Schmidt es:

‖A‖2 =∫

I×I

|k(x, y)|2 dxdy

El anterior es un operador integral aunque no todos los operadores integra-les son Hilbert-Schmidt. Definiremos primeramente lo que es el nucleo de unoperador integral.

Definicion 5.9.1 Sea L2(I) el espacio de Hilbert de las funciones de cuadradointegrable con valores en C definidas en el intervalo I de la recta real. Un nucleoes una funcion k(x, y) medible Borel en I × I, tal que la integral∫

I

|k(x, y)f(y)|dy

esta en L2(I) para toda funcion f ∈ L2(I).

5.9. ECUACIONES INTEGRALES 95

Con las funciones k(x, y) es posible definir un operador en el espacio L2(I):

K : L2(I) → L2(I), (Kf)(x) =∫

I

k(x, y)f(y) dy

Se trata de un operador lineal continuo (de nucleo k(x, y)). El nucleo defineobviamente al operador, y viceversa, si dos operadores integrales son iguales,entonces sus nucleos son iguales casi doquiera. Dado un operador integral (connucleo k(x, y)), su adjunto es otro operador integral cuyo nucleo es k(y, x). Portanto un operador integral es autoadjunto si y solo si el nucleo es simetrico, esdecir:

k(x, y) = k(y, x)

A partir de un operador integral K, se pueden construir las potencias Kn.Los nucleos de estos operadores se llaman nucleos iterados y verifican la ecuacionde recurrencia:

kn(x, y) =∫

I

k(x, t)kn−1(t, y) dt, k1(x, y) = k(x, y)

Un operador integral se llama de tipo compacto si Kn es un operador compactopara algun n.

Asociadas a este tipo de operadores se pueden considerar ecuaciones integra-les que se presentan muy a menudo en Fısica. Se llaman ecuaciones integrales deFredholm homogeneas, de primera y de segunda clase y corresponden al esquema(donde f es la funcion a calcular):

(K − λ)f = g

Si g = 0 se llaman homogeneas. Si λ = 0 se llaman de primera clase. Y en elcaso general, de segunda clase. Si el nucleo k(x, y) verifica

k(x, y) = 0, x < y

se llaman ecuaciones de Volterra.Como veremos en el siguiente tema, la resolucion de las ecuaciones integrales

es equivalente a obtener el espectro de los operadores integrales asociados.


Capıtulo 6

Espectros de operadores

6.1. Introduccion

El analisis del espectro de un operador en un espacio de Hilbert es funda-mental en las aplicaciones de esta teorıa, especialmente en Mecanica Cuantica.No podemos entrar aquı en todas las implicaciones que conlleva, especialmenteen el caso de operadores no acotados, pero intentaremos al menos dar algunosresultados que pueden ser utiles para ciertas clases de operadores.

La situacion es muy diferente en los casos de dimension finita e infinita.Recuerdese que dado un operador en un espacio de Hilbert de dimension finita,un escalar λ es un autovalor si existe un vector no nulo tal que

Ax = λx

Se dice entonces que x es un autovector con autovalor λ. Y no hay ningun otroelemento esencial en la teorıa.

Sea T un operador (no necesariamente acotado) en un espacio de HilbertH cuyo dominio es denso en H ( aunque no tiene por que ser igual a H). Eloperador fundamental a la hora de clasificar los puntos del plano complejo enrelacion a T es el operador

(T − λ1H)−1

Este operador puede o no existir, ser acotado o no, y tener un dominio u otro. Deacuerdo con estas caracterısticas se tiene lo siguiente (el operador (T − λ1H)−1

caso de existir se supone que esta definido en el rango de T −λ1H y tiene comorango el dominio de ese operador).

Definicion 6.1.1 Clasificacion de los puntos de C atendiendo al operador T .

1. Se dice que λ ∈ C esta en el espectro puntual (λ ∈ σp(T )) del operador Tsi no existe el operador (T − λ1H)−1.

2. Se dice que λ esta en el espectro residual del operador T (λ ∈ σr(T )) siel operador (T − λ1H)−1 existe, pero su dominio (es decir, el rango deloperador T − λ1H) no es denso en el espacio H.

3. Se dice que λ esta en el espectro continuo de T (λ ∈ σc(T )) si existe (T −λ1H)−1 y su dominio es denso en H, pero no es acotado en su dominio.

97

98 CAPITULO 6. ESPECTROS DE OPERADORES

4. Se dice que λ esta en el resolvente de T (λ ∈ ρ(T ) si existe (T − λ1H)−1,su dominio es denso en H y es acotado en su dominio.

Esta definicion clasifica a todos los puntos del plano complejo en cuatroconjuntos disjuntos. En el caso de dimension finita solo existe espectro puntualy conjunto resolvente.

El operador Rλ(T ) = (T −λ1H)−1 (que se llama operador resolvente) existe(en cuyo caso estamos en el conjunto resolvente) o no (en cuyo caso estamos enel espectro, que es solo puntual cuando la dimension es finita).

Cuando el operador es acotado el espectro es no vacıo.

6.2. El espectro puntual y el espectro continuo

El espectro puntual es en todos sus aspectos igual en dimension finita e infi-nita. Si un punto pertenece a σp, existe un vector del espacio (autovector), queverifica Tx = λx. Esto es debido a la no existencia del operador inverso. Eviden-temente puede existir mas de un vector l.i. con esta propiedad. El conjunto delos autovectores asociados a un autovalor es el espacio propio de ese autovalory es un espacio invariante bajo el operador T . Pero puede ser de dimension in-finita. Si dos autovectores corresponden a autovalores distintos son linealmenteindependientes.

Supongamos el operador posicion en L2(R). Como hemos demostrado es unoperador con dominio denso en L2(R), pero no es acotado. Su espectro puntuales vacıo pues de:

(λ− x)f(x) = 0

se tiene que f(x) = 0 casi doquiera. Al ser autoadjunto no existe espectroresidual (como veremos mas adelante). Su espectro continuo es toda la recta.Podemos usar el siguiente criterio para demostrarlo.

Proposicion 6.2.1 Sea T un operador en un espacio de Hilbert con dominioD(T ). El operador (T − λ1H)−1 no existe o si existe no esta acotado en sudominio si y solo si existe una sucesion de vectores en el dominio de T denorma 1 tal que T − λ1H aplicado a esa sucesion, nos da una sucesion quetiende a 0 cuando n→∞.

Supongamos que existe dicha sucesion xn y que existe el operador (T −λ1H)−1.Construimos la sucesion:

yn =1

‖(T − λ1H)xn‖(T − λ1H)xn

que es una sucesion de vectores de norma 1. Aplicando (T − λ1H)−1

(T − λ1H)−1yn =1

‖(T − λ1H)xn‖xn

obtenemos una sucesion de vectores de norma no acotada. Luego (T−λ1H)−1 noesta acotado. Supongamos ahora que no existe el operador inverso (T −λ1H)−1.Eso implica que existe x ∈ H (que podemos elegir de norma 1), tal que

(T − λ1H)x = 0

6.3. EL RESOLVENTE 99

En este caso, podemos definir xn = x para todo n. La sucesion (T−λ1H)xn → 0obviamente. La otra situacion es que exista el inverso (T − λ1H)−1 pero noeste acotado. Existe por tanto una sucesion, yn, de vectores de norma 1 en eldominio de (T − λ1H)−1, tales que:

‖(T − λ1H)−1yn‖ → ∞

Entonces la sucesion

xn =1

‖(T − λ1H)−1yn‖(T − λ1H)−1yn

cumple las condiciones de la proposicion. Esto acaba la demostracion.Si un punto λ ∈ C esta en el espectro puntual, el operador (T − λ1H)−1 no

existe y la sucesion de la que habla la proposicion se puede construir como hemosvisto en la demostracion (y de otras formas usando diferentes autovectores conel mismo autovalor) aunque posiblemente contenga infinitos terminos iguales. Siλ esta en el espectro residual, la sucesion no puede contener infinitos terminosiguales.

Demostremos ahora que el espectro continuo del operador posicion es todala recta real (por ser autoadjunto, como veremos mas adelante, el espectro esreal). Consideremos la sucesion de funciones de L2(R):

fn(x) =(n2

π

)1/4

e−n2(x−λ)2/2

que tienen norma 1. La sucesion de sus imagenes mediante Q− λ1H

(Q− λ1H)fn =(n2

π

)1/4

(x− λ)e−n2(x−λ)2/2

tienen norma

‖(Q− λ1H)fn‖ =(n2

π

)1/2 ∫R

(x− λ)2e−n2(x−λ)2 dx =1

2n2

que tiende a 0 cuando n→∞.

6.3. El resolvente

En el caso de dimension finita el resolvente es el conjunto de puntos que noson autovalores. Sin embargo, en dimension infinita la situacion es mas compleja.Si nos limitamos a operadores acotados definidos en H lo unico que hay queprobar es que para que un punto este en el resolvente, el dominio de (T−λ1H)−1

debe ser denso en H (lo que por otra parte equivale a que este operador seaacotado en todo H). Se puede demostrar que el conjunto resolvente es siempreun abierto del plano:

Teorema 6.3.1 Sea H un espacio de Hilbert y T un operador lineal acotado.Entonces, el conjunto resolvente es un abierto y el resolvente (como funcion deλ) es analıtico en su dominio (en cada componente conexa para ser mas precisos,


con valores en el espacio de operadores acotados de H). Para dos puntos cual-quiera del conjunto resolvente, los operadores resolventes asociados conmutan yse tiene:

Rλ(T )−Rµ(T ) = (µ− λ)Rµ(T )Rλ(T )

El resolvente se puede escribir usando la serie de Neumann. Desarrollandoformalmente:

Rλ(T ) = (T − λ1H)−1 =1

T − λ1H= − 1

λ

11− T/λ

= − 1λ

(1 +

∞∑n=1

(T

λ

)n)

que es una serie que converge cuando λ > ‖T‖.El espectro (la union del puntual, el continuo y el residual) es un cerrado. Es

mas, si el operador esta acotado, el espectro es no vacıo, compacto y contenidoen el disco de centro el origen y radio la norma del operador. Si el operador esautoadjunto, el radio espectral (el supremo de los puntos del espectro) es iguala la norma del operador.

6.4. El espectro de un operador y de su adjunto

Entre el espectro de un operador y el de su operador adjunto existen unasrelaciones que generalizan las sencillas del caso de dimension finita (donde siλ es un autovalor, su conjugado es un autovalor del operador adjunto). Ası, esposible probar el siguiente resultado para operadores acotados con dominio enH.

Proposicion 6.4.1 Los puntos del resolvente de un operador son los conju-gados del resolvente del operador adjunto. De la misma forma los puntos delespectro continuo de un operador son conjugados a los del espectro continuo deloperador adjunto. Sin embargo si un punto esta en el espectro puntual de unoperador su conjugado puede estar en el puntual del adjunto o en el residual.Pero si un punto esta en el residual de un operador, su conjugado esta en elpuntual del adjunto.

6.5. Espectro de operadores acotados normales

Un operador acotado es normal si conmuta con su adjunto. La propiedadmas importante (en relacion al espectro) que verifican los operadores normaleses que si un punto del plano complejo es un autovalor, entonces su conjugado esun autovalor del operador adjunto (recuerdese que para operadores arbitrarioslo mas que puede decirse es que es un autovalor o esta en el espectro residual).Ademas si dos autovectores corresponden a autovalores distintos, entonces sonortogonales. Ambas propiedades son inmediatas de demostrar y se correspondenal caso de dimension finita. El espectro residual es vacıo para operadores norma-les, es decir no hay puntos del plano complejo para los que exista (T − λ1H)−1

y el rango de T − λ1H no sea denso en H.Si U es un operadores unitario, entonces es normal y por lo tanto se le aplican

los resultados anteriores. Pero ademas, el espectro (que consta de puntual ycontinuo) se encuentra sobre la circunferencia unidad.

6.6. ESPECTRO DE OPERADORES COMPACTOS 101

Proposicion 6.5.1 Si U es un operador unitario, todo punto del espectro tienemodulo 1.

De forma similar, para los operadores autoadjuntos se tiene la siguienteproposicion.

Proposicion 6.5.2 Sea A un operador acotado autoadjunto en H. Entonces,los puntos del espectro son reales y estan contenidos en el intervalo [ınf(v,Av) :‖v‖ = 1, sup(v,Av) : ‖v‖ = 1]. Se tiene ademas que los extremos de esteintervalo estan en el espectro de A.

De aquı se deduce, usando el resultado sobre la norma que presentamos cuandodefinimos los operadores autoadjuntos, que la norma de un operador autoad-junto es igual al maximo de los valores absolutos de los extremos del intervaloen el que esta contenido el espectro puntual.

Para proyectores ortogonales el resultado es el siguiente.

Proposicion 6.5.3 Sea P un proyector ortogonal distinto de 0 y la identidad.Entonces, su espectro es solo puntual e igual a 0, 1.

6.6. Espectro de operadores compactos

Para los operadores compactos se tienen resultados mas precisos sobre laestructura de su espectro. Se puede demostrar el siguiente resultado.

Proposicion 6.6.1 Sea A un operador compacto en un espacio de Hilbert. Setiene entonces que la suma de la dimensiones de los subespacios propios corres-pondientes a autovalores que verifican λ > k > 0 para todo k > 0, es finita.Ademas, el espectro puntual es numerable (o finito) y el unico punto de acu-mulacion (en el caso de que tenga alguno) es el 0. Todos los puntos del planocomplejo, salvo el cero, estan en el espectro puntual o en el resolvente y el ceroesta en el espectro.

6.7. Ecuaciones integrales

Volvemos ahora al tema de las ecuaciones integrales, centrandonos ahora enlas soluciones de las ecuaciones de Fredholm. En primer lugar estudiaremos losnucleos de rango finito. Consideremos el siguiente tipo de nucleos:

k(x, y) =n∑

i=1

ai(x)bi(y)

La ecuacion integral homogenea es∫I

n∑i=1

ai(x)bi(y)f(y) dy = λf(x)

que se puede escribir como:n∑

i=1

(∫I

bi(y)f(y) dy)ai(x) = λf(x)


es decir, si λ 6= 0, f es una combinacion lineal de las funciones ai(x), i = 1, . . . n,y desde el punto de vista de operadores, se trata de calcular el espectro puntualde un operador de rango finito. Las soluciones deben ser:

f(x) =n∑

i=1

αiai(x)

y sustituyendo en la ecuacion:

n∑i=1

∫I

bi(y)n∑

j=1

αjaj(y) dy

ai(x) = λn∑

i=1

αiai(x)

es decirn∑

j=1

βijαj = λαi, i = 1, . . . , n

dondeβij =

∫I

bi(y)aj(y) dy

Definiendo la matriz n× n, A, de elementos βij , el problema queda reducido aencontrar los autovalores no nulos de la matriz A.

Capıtulo 7

Distribuciones

7.1. Introduccion

Las distribuciones (o funciones generalizadas) permiten justificar de una ma-nera adecuada muchas operaciones en Fısica que no estaban adecuadamenteformalizadas y encontrar nuevas e importantes aplicaciones. En esta breve in-troduccion nos centraremos en las distribuciones sobre funciones de soportecompacto y de decrecimiento rapido. Las primeras como introduccion al tema ylas segundas para poder definir la transformada de Fourier y desarrollar algunasaplicaciones importantes.

7.2. Los espacios de funciones prueba

Las distribuciones van a ser funcionales lineales sobre unos ciertos espaciosde funciones (funciones prueba). Resulta de esta interpretacion que los espaciosde funciones mas interesantes son dos que vamos a describir a continuacion.

Sea Ω un conjunto conexo y abierto de Rn y C∞0 (Ω) el conjunto de funcio-nes de soporte compacto (el soporte de una funcion es el cierre de los puntosdonde esa funcion es distinta de cero) infinitamente derivables definidas en Ω.Queremos dotar a este conjunto de una topologıa que lo convierta en un espaciolocalmente convexo y completo. Las dificultades provienen del hecho de que Rn

no es un espacio compacto. Para ser mas concretos, si en vez de considerar fun-ciones en Rn las consideramos en un compacto, entonces se puede definir unatopologıa a traves de una familia de seminormas (los supremos de las derivadasen el compacto) que es completa (espacios de Frechet: localmente convexos ycompletos):

‖ϕ‖J = supDJϕ(x) : x ∈ Kn, J = (j1, . . . , jn) ∈ Zn+

donde

DJϕ(x1, . . . , xn) =∂|J|ϕ

∂xj11 · · · ∂xjn

n

, |J | = j1 + · · ·+ jn

Pero la completitud no se mantiene cuando se considera todo Rn. La soluciones considerar a Rn como una union de compactos y hacer lo que se llama unlımite inductivo. La descripcion de esta topologıa nos lleva demasiado lejos (ver

103

104 CAPITULO 7. DISTRIBUCIONES

nota en el capıtulo dedicado al estudio de espacios topologicos), por lo que noslimitaremos a estudiar algunas de las propiedades mas importantes.

Sea Ω como antes, un abierto conexo de Rn, y Kn una familia crecientede compactos, cuya union es igual a Ω. En cada uno de los compactos Kn

consideramos las funciones de soporte compacto infinitamente diferenciables yla topologıa localmente convexa asociada a la familia de seminormas del supremode las derivadas. El espacio que queremos considerar es la union de estos espaciosde funciones,

C∞0 (Ω) =∞⋃

n=1

C∞0 (Kn)

con la topologıa del lımite inductivo. Este espacio se llamara D(Ω) y es unespacio de Frechet. Dadas las dificultades de describir esta topologıa nos limi-taremos a exponer que quiere decir que una sucesion converja en ella. Sea puesϕn ⊂ D(Ω). Se tiene que ϕn converge a ϕ si y solo si las funciones ϕn y ϕ tie-nen su soporte en un compacto y las derivadas DJϕn convergen uniformementea DJϕ para cada multi-ındice J .

Pero el espacio anterior no es util para todas las aplicaciones que uno en-cuentra de distribuciones. Concretamente hay demasiadas distribuciones parapoder aplicar con facilidad la transformada de Fourier. Por eso consideramosotro espacio, el de las funciones de decrecimiento rapido, que no tiene soportecompacto, pero decrecen en el infinito, ellas y sus derivadas, mas deprisa queel inverso de cualquier polinomio. De esta manera engloban a las funciones desoporte compacto y las distribuciones (que son los funcionales lineales) son masrestrictivas que antes.

Se define S(Rn), el espacio de las funciones de decrecimiento rapido, comoel conjunto de funciones tales que:

‖ϕ‖I,J = sup|xIDJϕ(x)| : I, J ∈ Zn+, x ∈ Rn <∞

Como antes, pero mas sencillamente, el espacio S(Rn) con la topologıa de lasseminormas anteriores es un espacio de Frechet.

7.3. Distribuciones

Una distribucion es un funcional lineal continuo sobre el espacio D(Ω). Lacuestion de la continuidad hay que analizarla sobre la topologıa de lımite induc-tivo. Como esto resulta complicado desde nuestro punto de vista, la siguienteproposicion proporciona un criterio adecuado para el estudio de la continuidad.

Proposicion 7.3.1 Un funcional lineal sobre D(Rn) es continuo si y solo sipara todo compacto de Rn se pueden encontrar una constante k y un enteropositivo m tal que:

|T (ϕ)| ≤ k∑|J|≤m

‖DJϕ‖∞, ϕ ∈ C∞0 (K)

Obviamente, el espacio D′ es un espacio vectorial. Usaremos la topologıadebil, asociada a la siguiente nocion de convergencia:

lımn→∞

Tn = T ⇔ lımn→∞

Tn(ϕ) = T (ϕ), ∀ϕ ∈ D

7.4. EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES EN D′ 105

(que es la apropiada para las seminormas que hemos discutido anteriormente).entonces el espacio es completo, es decir

Proposicion 7.3.2 Sea Tn una sucesion en D′ y

T (ϕ) = lımn→∞

Tn(ϕ), ∀ϕ ∈ D(Rn)

Entonces, T es una distribucion ( lımn→∞ Tn = T en D′).

Se puede definir el espacio de distribuciones sobre un subconjunto X de Rn,D′(X) con funciones prueba en D(X). Aunque una distribucion no esta definidaen un punto (en general), pues se trata de un funcional, se puede sin embargodefinir su soporte. Dado Y ⊂ X y T ∈ D(X) se define la restriccion de T aY haciendola actuar sobre funciones en D(Y ). Se tiene entonces la siguientedefinicion.

Definicion 7.3.1 Si T ∈ D(X), el soporte de T es el conjunto de puntos de Xpara los que no existe ningun abierto que los contenga y en el que la restriccionde T sea cero.

Un conjunto interesante de distribuciones es el de las de soporte compacto, perono entraremos en su estudio aquı.

7.4. Ejemplos de distribuciones en D′

Toda funcion localmente sumable f (es decir, con integral finita en cualquiersubconjunto acotado del conjunto en el que esta definida) define una distribucionTf de D′. Se llaman distribuciones regulares. La distribucion se define como:

Tf (ϕ) =∫fϕ dx

Funciones que definen la misma distribucion son iguales casi doquiera (es decir,desde el punto de vista de los espacios Lp son iguales).

Toda distribucion en D′ es el lımite de una sucesion de funciones en D. Seapor ejemplo f ∈ D(Rn) y

uε(x) = ε−nf

(x

ε

)entonces, la distribucion asociada a uε(x) es:

uε(x)(ϕ) =∫ε−nf

(x

ε

)ϕ(x) dx =

∫f(x)ϕ(εx) dx→ ϕ(0)

∫f(x) dx

es decir, como veremos mas abajo, es esencialmente la delta de Dirac (salvo unfactor).

Veamos otro ejemplo de lımite. Sea ahora uλ = λeiλx cuando x > 0 yuλ(x) = 0 si x ≤ 0. Calculemos el lımite cuando λ → ∞ en el sentido dedistribuciones.

uλ(x)(ϕ) =∫ ∞

0

λeiλxϕ(x) dx = iϕ(0) +∫ ∞

0

eiλxϕ′(x) dx

= iϕ(0)− 1λϕ′(0)− 1

λ

∫ ∞

0

eiλxϕ′′(x) dx→ iϕ(0)


integrando por partes y usando el hecho de que ϕ es de soporte compacto.Pero hay distribuciones que no son regulares, como por ejemplo la delta de

Dirac. Si a ∈ R, se define δa como:

δa(ϕ) = ϕ(a), f ∈ D

Se trata de un funcional lineal continuo sobre el espacio de las funciones desoporte compacto.

La pseudofuncion 1/x, P( 1x ), definida como sigue:

P(

1x

)(ϕ) = lım

ε→0+

∫|x|>ε

1xϕ(x) dx

(la integral es el valor principal de Cauchy, VP) es una distribucion de D′.Veamos que es continuo al actuar sobre las funciones de D(R).∣∣∣∣(P ( 1

x

), ϕ

)∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣VP

∫|x|<a

1xϕ(x) dx

∣∣∣∣∣donde el soporte de ϕ ∈ D(R) esta contenido en (−a, a). Utilizando el teoremadel valor medio:

ϕ(x)− ϕ(0) = ϕ′(ξ)x, ξ ∈ (0, x)∣∣∣∣(P ( 1x

), ϕ

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣VP∫|x|<a

(ϕ′(ξ) +

ϕ(0)x

)dx

∣∣∣∣∣ ≤∫|x|<a

|ϕ′(ξ)|dx

= 2a|ϕ′(ξ)| ≤ 2a sup|ϕ′(x)| : x ∈ (−a, a)

que es una de las seminormas que se utilizan para determinar la topologıa deD(R). Esta distribucion esta relacionada con la delta de Dirac a traves de lasformulas de Sochozki,

lımε→0+

∫ϕ(x)x+ iε

dx = VP∫ϕ(x)x

dx− iπϕ(0)

Para demostrarla,

lımε→0+

∫|x|<a

1x+ iε

ϕ(x) dx = lımε→0+

∫|x|<a

x− iεx2 + ε2

ϕ(x) dx

Sumando y restando ϕ(0)

ϕ(0) lımε→0+

∫ a

−a

x− iεx2 + ε2

dx+ lımε→0+

∫ a

−a

x− iεx2 + ε2

(ϕ(x)− ϕ(0)) dx

De la primera integral solo obtenemos la parte correspondiente a iε, pues lacorrespondiente a x es impar y se anula para todo ε. Integrando, se tiene

−2iϕ(0) lımε→0+

arctana

ε+ lım

ε→0+

∫ a

−a

x− iε

x2 + ε2(ϕ(x)− ϕ(0)) dx

y tomando el lımite cuando ε → 0 (en la integral podemos hacerlo dentro deella, pues la funcion (ϕ(x)− ϕ(0))/x no tiene problemas en el origen)

−iπϕ(0) +∫ a

−a

ϕ(x)− ϕ(0)x

dx = −iπϕ(0) + lımε→0

∫ ε

−ε

ϕ(x)x

dx

7.5. PROPIEDADES ELEMENTALES DE DISTRIBUCIONES 107

(basta descomponer el intervalo [−a, a] en tres intervalos [−a,−ε], [−ε, ε], [ε, a]).De forma similar se puede probar que

1x− i0

= iπδ + P(

1x

)

7.5. Propiedades elementales de distribuciones

Una distribucion puede multiplicarse por una funcion continua y obtener deesta forma una nueva distribucion. Para una distribucion regular u es inmediatoescribir: ∫

(f(x)u(x))ϕ(x) dx =∫u(x)(f(x)ϕ(x)) dx

siendo f(x) una funcion continua, para toda funcion prueba ϕ(x).

Definicion 7.5.1 Dada una distribucion u ∈ D′ y una funcion f ∈ C∞ sedefine la distribucion fu ∈ D′ como:

(fu)ϕ = u(fϕ)

Sin embargo el producto de distribuciones no se puede definir en general: esnecesario que los soportes de las distribuciones verifiquen ciertas condiciones yno lo consideraremos aquı. Sin embargo, siempre es posible definir el productode distribuciones asociadas a variables distintas (producto tensorial).

Uno de los objetivos de la introduccion de distribuciones es el poder te-ner derivadas de cualquier orden. Para justificar la definicion de derivada deuna distribucion, consideremos una funcion u(x) que tiene una derivada parcialcontinua, ∂xk

u. Integrando por partes se tiene:∫(∂xk

u)ϕ(x) dx = −∫u(x)∂xk

ϕ(x) dx

para toda funcion prueba ϕ ∈ D. Por tanto

Definicion 7.5.2 Dada una distribucion u ∈ D′ se define la derivada de unadistribucion como:

(∂xku)ϕ = −u(∂xk

ϕ), ϕ ∈ D

Iterando la definicion es inmediato poder escribir:

(∂Ju)ϕ = (−1)|J|u(∂Jϕ), ϕ ∈ D

Ademas se puede comprobar facilmente que se verifica la regla de Leibniz

∂xk(fu) = f(∂xk

u) + (∂xkf)u

Veamos un ejemplo simple de calculo de la derivada de una distribucion. Lafuncion de Heaviside (funcion paso θ(x)) es una distribucion regular:

θ(ϕ) =∫ ∞

0

ϕ(x) dx


Su derivada es

θ′(ϕ) = −∫ ∞

0

ϕ′(x) dx = ϕ(0)

y por lo tantoθ′ = δ

Esta propiedad se puede generalizar de la siguiente forma. Sea una funcionu(x) continua en un subconjunto de R salvo en un punto (x0), y cuya derivada(v) es integrable (excepto en un entorno de x0). Se tiene entonces que existenlos lımites de u(x) cuando x→ x0±0 (por la derecha e izquierda). En efecto

u(y)− u(x) =∫ y

x

v(t) dt, x0 < x < y

u(x)− u(z) =∫ x

z

v(t) dt, z < x < x0

lo que asegura la existencia de esos lımites. Veamos ahora como calcular laderivada de u en sentido de distribuciones

u′(ϕ) = −u(ϕ′) = − lımε→+0

∫|x−x0|>ε

u(x)ϕ′(x) dx

Integrando por partes:∫|x−x0|>ε

u(x)ϕ′(x) dx = u(x0 − ε)ϕ(x0 − ε)− u(x0 + ε)ϕ(x0 + ε)

−∫|x−x0|>ε

v(x)ϕ(x) dx

y tomando el lımite cuando ε→ +0:

u′(ϕ) = (u(x0 + 0)− u(x0 − 0))ϕ(x0) + lımε→+0

∫|x−x0|>ε

v(x)ϕ(x) dx

es decir:u′ = (u(x0 + 0)− u(x0 − 0))δx0 + v

Sin embargo, se puede probar que si la derivada de una distribucion en D′(Ω),con Ω un abierto de R, es cero, entonces la distribucion es constante.

Como uno de los usos mas importantes que vamos a hacer de distribucioneses en la teorıa de ecuaciones diferenciales, interesa conocer cuando la solucionde estas lleva a funciones o a distribuciones (aunque el problema este planteadoinicialmente como distribuciones). Se tiene entonces el siguiente resultado

Proposicion 7.5.1 Si u ∈ D′(Ω), Ω ⊂ R, verifica

u′ + au = f

donde a ∈ C∞(Ω) y f ∈ C(Ω), entonces u es una funcion en C1(Ω) y la ecuacionse satisface en el sentido de funciones.

7.6. SOLUCIONES FUNDAMENTALES 109

Si a = 0, como f tiene una primitiva (v ∈ C1), se tiene:

(u− v)′ = 0

y por lo dicho anteriormente u− v es constante con lo que u = v + k ∈ C1.Si a 6= 0, se toma una solucion (C∞), g(x) de la ecuacion g′ = ag. Entonces

(gu)′ = g(u′ + au) = gf ∈ C

por lo que gu ∈ C1 y u ∈ C1. El resultado se verifica tambien en una ecuaciondiferencial lineal de orden arbitrario.

Las anteriores propiedades se pueden extender a n dimensiones y tenemos elsiguiente resultado (similar al que se obtuvo para la distribucion de Heaviside):

Proposicion 7.5.2 Sea Ω un abierto de Rn e Y ⊂ Ω, tal que Y tiene unafrontera C1 en X. Entonces, si f ∈ C1, se tiene:

∂xk(fχY ) = (∂xk

f)χY + fnk dS

donde χY es la funcion caracterıstica del conjunto Y , n es la normal interioral borde ∂Y y dS la medida euclıdea en ese borde.

y se tiene para ecuaciones en derivadas parciales:

Proposicion 7.5.3 Sea P un operador diferencial de primer orden

P =∑

k

ak(x)∂xk+ b(x)

donde ak ∈ C1 y b ∈ C0 en Ω ⊂ Rn. Supongamos que la funcion u es C1 y quePu = f , con f continua. Entonces, la ecuacion

Pu = f

se verifica en el sentido de distribuciones.

7.6. Soluciones fundamentales

Como hemos repetido varias veces, una de las aplicaciones mas importantesde las distribuciones es su uso en el calculo de soluciones de ecuaciones dife-renciales. Veamos a continuacion lo que se entiende por solucion fundamental ycalculemos algunos ejemplos sencillos.

Definicion 7.6.1 Sea P un operador diferencial lineal de coeficientes constan-tes

P =∑

J

aJ∂J

donde J es un multi-ındice. Una distribucion E es una solucion fundamental deeste operador si

PE = δ0


Vamos a calcular las soluciones fundamentales del operador de Laplace. Enel plano, la funcion:

E =12π

log r, x ∈ R2 − 0, r = ‖x‖

define una distribucion que es la solucion fundamental buscada. Fuera del origen,el laplaciano (escrito en polares) es:

∆E =(∂2

∂r2+

1r

∂

∂r+

1r2

∂2

∂θ2

)12π

log r = 0

Veamos en primer lugar cuales son las derivadas primeras:

∂xkE(ϕ) = −E(∂xk

ϕ) = − lımε→0

∫Sε

E(∂xkϕ) dσ

siendo Sε el exterior del disco de radio ε y centro el origen y dσ = dx1 dx2.Aplicando el teorema de Gauss y teniendo en cuenta que ϕ es de soporte com-pacto, ∫

Sε

∂xk(Eϕ) dσ = −

∫Cε

Eϕxk

rdl

(siendo dl el elemento de lınea en la circunferencia de radio ε, Cε, y por tanto∫Sε

E(∂xkϕ) dσ = −

∫Sε

(∂xkE)ϕdσ −

∫Cε

Eϕxk

rdl

Finalmente:

∂xkE(ϕ) = lım

ε→0

∫Sε

(∂xkE)ϕdσ + lım

ε→0

∫Cε

Eϕxk

rdl

Pero la segunda integral es cero, ya que es integrable cuando ε→ 0. Es decir:

∂xkE(ϕ) = lım

ε→0

∫Sε

(∂xkE)ϕdσ

y la funcion localmente integrable (∂xkE) define la distribucion derivada. Cal-

culamos ahora el laplaciano.

(∆E)(ϕ) = E(∆ϕ) = lımε→0

∫Sε

E(∆ϕ) dσ

y aplicamos el teorema de Green:∫Ω

(f∆g − g∆f) dσ =∫

∂Ω

(f∂g

∂n− g

∂f

∂n

)dl

Se tiene entonces:∫Sε

E∆ϕ dσ =∫

Sε

ϕ∆E dσ +∫

Cε

(E ∂ϕ∂n

− ϕ∂E∂n

)dl =

∫Cε

(E ∂ϕ∂n

− ϕ∂E∂n

)dl

7.7. CONVOLUCION DE FUNCIONES Y DISTRIBUCIONES 111

y por lo tanto, tomando el lımite cuando ε→ 0

lımε→0

∫Sε

E∆ϕ dσ = lımε→0

∫Cε

(E ∂ϕ∂n

− ϕ∂E∂n

)dl

=12π

lımε→0

∫Cε

(− log r

∂ϕ

∂r+ ϕ

∂ log r∂r

)r dθ

=12π

lımε→0

∫Cε

(− r log r

∂ϕ

∂r+ ϕ

)dθ =

12π

lımε→0

∫Cε

ϕ dθ

= ϕ(0)

De esta manera se tiene que:∆E = δ0

En el caso n > 2 el resultado es

∆E = δ0, E = − 1(n− 2)σn

1rn−2

, r 6= 0

siendo σn el area de la esfera unidad en n dimensiones y Γ la funcion gammade Euler:

σn =2πn/2

Γ(n2 ), Γ(z) =

∫ ∞

o

tz−1e−t dt

7.7. Convolucion de funciones y distribuciones

La convolucion de distribuciones es una herramienta muy util en las apli-caciones. Daremos aquı los conceptos mas elementales para su uso. Veamos enprimer lugar su definicion para funciones.

Definicion 7.7.1 La convolucion de dos funciones continuas f, g, una de lascuales es de soporte compacto es una funcion definida por:

f ∗ g(x) =∫Rn

f(x− y)g(y) dy

La convolucion es un operacion conmutativa y asociativa, con las condicionesadecuadas sobre las funciones que aparecen en ella. Ademas:∫

(f ∗ g) dx =∫f dx

∫g dx

En cuanto a la derivacion se tiene, si f es C1

∂xk(f ∗ g) = (∂xk

f) ∗ g

Podemos extender esta definicion al caso en que ϕ ∈ D(Rn) y u ∈ D′(Rn)

(u ∗ ϕ)(x) = u(ϕ(x− y))

donde en el miembro de la derecha se entiende que la distribucion u actua sobreϕ(x− y) como funcion de y.


Las propiedades son similares a las expuestas para la convolucion de dosfunciones:

∂xk(u ∗ ϕ) = (∂xk

u) ∗ ϕ = u ∗ (∂xkϕ)

(u ∗ ϕ) ∗ φ = u ∗ (ϕ ∗ φ)

Asimismo se puede extender al caso de distribuciones aunque aquı hay quetomar mas precauciones. Sean las distribuciones u1, u2 ∈ D′, una de las cualestiene soporte compacto. Entonces existe una unica distribucion u tal que

u1 ∗ (u2 ∗ ϕ) = u ∗ ϕ, ϕ ∈ D

y se escribeu = u1 ∗ u2

La convolucion juega un papel esencial en la aplicacion de soluciones funda-mentales al calculo de soluciones de ecuaciones diferenciales. Sea P un operadordiferencial lineal de coeficientes constantes.

P =∑

J

aJ∂J

y sea E una solucion fundamental

PE = δ0

Pues bien, la solucion fundamental es, respecto a la convolucion una inversa deP en el siguiente sentido

E ∗ (Pu) = u, P (E ∗ f) = f

donde u, f son distribuciones de soporte compacto. La razon es que la delta deDirac juega el papel de unidad en la convolucion.

7.8. Distribuciones temperadas (S ′)Se definen las distribuciones temperadas, S ′(Rn), como los funcionales li-

neales continuos sobre el espacio S(Rn). Recordemos que el espacio S(Rn) esel conjunto de funciones que verifican

sup|xJ∂Kϕ(x)| : x ∈ Rn <∞

y que S es un espacio de Frechet con la topologıa dada por estas seminormas.Se tiene que el conjunto de las funciones de soporte compacto infinitamente

diferenciables (D) es un subespacio denso en S. Lo que implica que S ′ se puedeidentificar con un subespacio de D′.

Es posible probar, usando resultados generales sobre espacios localmenteconvexos, que la continuidad del funcional esta asegurada si existe una seminor-ma ‖ · ‖J,K y una constante c tal que:

|T (f)| ≤ c‖f‖J,K

Veamos algunos ejemplos de estas distribuciones.

7.8. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS (S ′) 113

Si f ∈ S(Rn) es posible definir el funcional Tf mediante la expresion (comocon las distribuciones sobre funciones de soporte compacto):

Tf (g) =∫Rn

f(x)g(x) dx

que es continuo, pues:|Tf (g)| ≤ ‖f‖1‖g‖∞

Es decir, el espacio S esta contenido en S ′ (mediante la identificacion f → Tf

anterior). El mismo tipo de distribuciones puede obtenerse con funciones de Lp.Tambien aquı (como en D′) hay otras distribuciones que no estan asociadas afunciones. Por ejemplo la delta de Dirac. Al igual que en D′, se trata de unfuncional lineal continuo:

|δa(f)| ≤ ‖f‖0,0

Esta distribucion esta relacionada con una medida. Sin embargo, la distribucionδ′a, definida por:

δ′a(f) = −f ′(a)

no esta relacionada con ninguna medida.La distribucion P( 1

x ) es tambien una distribucion temperada. Tenemos quever que la integral esta bien definida y que el funcional es continuo. En cuantoa lo primero, se puede escribir, usando el hecho de que 1/x es impar:∫

|x|>ε

1xf(x) dx =

∫ ∞

ε

f(x)− f(−x)x

dx

Como la funcion f es derivable se tiene:

lımx→0

f(x)− f(−x)x

= f ′(0)

y la distribucion es:

P(

1x

)(f) =

∫ ∞

0

f(x)− f(−x)x

dx

luego el funcional esta bien definido. Veamos que es continuo (con un metodoequivalente al utilizado en el caso anterior):∣∣∣∣f(x)− f(−x)

x

∣∣∣∣ ≤ 1x

∫ x

−x

|f ′(y)|dy ≤ 2‖f‖∞ (7.1)

(usando el teorema fundamental del calculo y la norma del supremo). Por lotanto: ∣∣∣∣P ( 1

x

)(f)∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

0

∣∣∣∣f(x)− f(−x)x

∣∣∣∣ dx (7.2)

Separando la integral en dos partes y aplicando en la primera la acotacion (7.1),la expresion (7.2) es menor o igual que:

2∫ 1

0

‖f ′‖∞ dx+∣∣∣∣∫ ∞

1

f(x)x

dx∣∣∣∣


La primera expresion es la seminorma ‖f‖0,1. En cuanto a la segunda, paraque la integral sea finita al sustituir |f | (o |xαf |) por su supremo, tenemos quemultiplicar y dividir por x (al menos, pues 1/x no es integrable en el infinito)Finalmente: ∣∣∣∣P ( 1

x

)(f)∣∣∣∣ ≤ 2‖f‖0,1 + ‖f‖1,0

lo que demuestra que es un funcional continuo y pertenece a S ′. Las formu-las de Sochozki se verifican aquı tambien (en notacion distinta de la utilizadaanteriormente):

lımε→0+

1x− x0 + iε

= P(

1x− x0

)− iπδ(x− x0)

El lımite es en la llamada topologıa S-debil (la topologıa mas debil en S ′ pa-ra la que los funcionales de tipo S (definidos anteriormente, esencialmente lasevaluaciones) son continuos).

7.9. Operaciones con distribuciones temperadas

Estudiaremos ahora algunas propiedades y operaciones con distribucionestemperadas. Para ello tenemos que definir una clase especial de funciones, P,las funciones infinitamente diferenciables que verifican que, tanto ellas como susderivadas, estan acotadas de forma polinomica (funciones de crecimiento a lomas polinomico), condicion que se puede expresar por:

|DJf(x)| ≤ K(1 + x2)m

para todos los multi-ındices J , siendo K una constante y m un entero positivo,que pueden depender de J . Estas funciones son distribuciones temperadas (enel sentido explicado en la seccion anterior).

Es facil comprobar que el producto de un funcion en S por una funcion en Pes de nuevo una funcion en S. Esto nos permite definir la primera de las opera-ciones que se pueden establecer con distribuciones temperadas: el producto deuna funcion en P por una distribucion temperada es una distribucion tempera-da (la multiplicacion de funciones de S por una funcion de P es un aplicacioncontinua de S en S):

(fT )(ϕ) = T (fϕ)

La segunda operacion se refiere a la derivacion de distribuciones. La idea esla misma que vimos con las distribuciones en D′. Se define la derivada de unadistribucion temperada como:

DJ(T )(ϕ) = (−1)|J|T (DJϕ)

Se tiene el siguiente resultado que nos da un idea de la regularidad de las dis-tribuciones temperadas.

Teorema 7.9.1 Sea T una distribucion temperada. Entonces, existe una fun-cion continua acotada polinomicamente f y algun multi-ındice J tal que:

T = DJf

en el sentido de distribuciones.

7.10. TRANSFORMADA DE FOURIER Y CONVOLUCION 115

Las dos siguientes propiedades son esencialmente cambios de variable, perolos separaremos en dos: traslaciones y transformaciones lineales. En S definimosun operador de traslacion:

(Uaf)(x) = f(x− a)

que nos permite llevar esta nocion al espacio de distribuciones. Si T es unadistribucion

(UaT )(ϕ) = T (U−aϕ)

De forma similar, si Λ es una transformacion lineal en Rn, sea el operador

(UΛf)(x) = f(Λ−1x)

En el espacio de distribuciones podemos definir, de acuerdo con lo anterior:

(UΛT )(ϕ) = |detΛ|T (U−1Λ ϕ)

7.10. Transformada de Fourier y convolucion

Un dominio apropiado para definir la transformada de Fourier es el espaciode las funciones de decrecimiento rapido S(Rn). Como vimos en el estudio deoperadores unitarios, la transformada de Fourier puede definirse en el espacio defunciones L2(R) (o Rn), pero aparecıan diversas complicaciones debido a la queno toda funcion de cuadrado integrable es integrable. Sin embargo, en el casoque nos ocupa ahora esos problemas desaparecen (pues las funciones de decre-cimiento rapido son integrables) y ademas podremos extender la transformadaal espacio de distribuciones.

En el espacio de distribuciones temperadas, la transformada de Fourier sedefine de la forma siguiente.

Definicion 7.10.1 La transformada de Fourier de una funcion f ∈ S(Rn) sedefine por:

f(k1, . . . , kn) =1

(2π)n/2

∫Rn

e−i∑n

i=1xikif(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn

La transformada inversa es (x = x1, . . . , xn), k = (k1, . . . , kn)):

g(x) =1

(2π)n/2

∫Rn

eikxf(k) dk

Estas transformadas son realmente inversas una de la otra. En primer lugar,ambas transformaciones son continuas de S(Rn) en S(Rn). Ademas tienen uncomportamiento sencillo frente a las derivaciones.

Sea f ∈ S(Rn). Veamos cual es la transformada de Fourier deDJ((ix)If(x)),donde I, J son dos multi-ındices.

( DJ((ix)If(x)))(k) =1

(2π)n/2

∫Rn

e−ikxDJ((ix)If(x)) dx

=(−1)|J| i|I|

(2π)n/2

∫Rn

xIDJ(e−ikx)f(x) dx


integrando por partes y teniendo en cuenta que las funciones (y sus derivadas)de S(Rn) se anulan en el infinito. El operador D es el operador derivada conrespecto a x o k, dependiendo de la funcion a la que se aplica. Se tiene (derivadascon respecto a x en la primera expresion y con respecto a k) en la segunda):

Dx,J(e−ikx) = (−i)|J|kJe−ikx, Dk,I(e−ikx) = (−i)|I|xIe−ikx

por lo que:xIDx,J(e−ikx) = (−i)|J|−|I|kJDk,I(e−ikx)

y por lo tanto,

( DJ((ix)If(x)))(k) = (ik)JDI

(1

(2π)n/2

∫Rn

(e−ikx)f(x) dx)

= (ik)J(DI f)(k)

Esta propiedad de la transformada de Fourier frente a derivadas permitedemostrar que tanto ella como su inversa son continuas.

En cuanto a la relacion entre la transformada y su inversa se tiene el resul-tado:

Teorema 7.10.1 La transformada de Fourier es una transformacion lineal, bi-yectiva y continua tanto ella como su inversa, de S en sı mismo. Ademas latransformacion inversa es la transformada inversa de Fourier.

La transformacion de Fourier es isometrica en el siguiente sentido:∫Rn

|f(x)|2 dx =∫Rn

|f(k)|2 dk

Una vez definida la transformada de Fourier en el espacio S(Rn) pasamosa definirla en el espacio de las distribuciones temperadas. La idea es la mismaque con las derivadas de las distribuciones, es decir, pasar la accion al espaciode las funciones prueba.

Definicion 7.10.2 La transformada de Fourier de una distribucion temperadaT ∈ S ′(Rn) es otra distribucion definida por:

T f = T (f)

Es sencillo comprobar que cuando la distribucion proviene de una funcion de S,la transformada de Fourier en S ′ coincide con la introducida en S. Al igual queen S, la transformada de Fourier es un isomorfismo de S ′ en S ′ que extiende a latransformada de Fourier de S (es la unica que la extiende de manera debilmentecontinua).

La convolucion se puede extender al espacio de distribuciones S ′.

Definicion 7.10.3 La convolucion de una distribucion temperada T ∈ S ′(Rn)con una funcion f ∈ S(Rn) es otra distribucion temperada definida por:

(T ∗ f)(g) = T (f ∗ g), g ∈ S

donde f(x) = f(−x).

7.10. TRANSFORMADA DE FOURIER Y CONVOLUCION 117

Esta operacion tiene las siguientes propiedades (como en D′). En primerlugar, si T ∈ S ′ y f ∈ S, T ∗ f es una funcion de crecimiento polinomico(infinitamente derivable). Ademas

DJ(T ∗ f) = (DJT ) ∗ f = T ∗DJ(f)

Tambien es asociativa en el siguiente sentido:

(T ∗ f) ∗ g = T ∗ (f ∗ g)

Finalmente, la transformada de Fourier de T ∗ f es el producto de las trans-formadas de Fourier salvo un factor:

T ∗ f = (2π)n/2f T

En los ejercicios se encuentran algunas aplicaciones de la transformada deFourier al calculo de soluciones fundamentales.

La transformada de Fourier en otros espacios de funciones

Aunque el espacio S sea muy apropiado para definir la transformada de Fou-rier, en ocasiones resulta mas conveniente utilizar otros espacios de funciones.

Por ejemplo, como ya hemos visto, la transformada de Fourier se extiende auna transformacion unitaria a todo el espacio L2(Rn) (Teorema de Plancherel).

En el caso de L1(Rn), la transformada de Fourier se extiende a un operadoracotado de este espacio en el de las funciones infinitamente diferenciables (lemade Riemann-Lebesgue). Pero no es sobreyectiva. La formula que define la trans-formada de Fourier en el espacio L1(Rn) es la misma que en el espacio S. Esteno es el caso del espacio L2(Rn) (ya vimos como hacerlo en el capıtulo dedicadoa operadores en espacio de Hilbert).


Capıtulo 8

Ejercicios

1. Sea (X,S, µ) un espacio de medida y A, B dos conjuntos medibles. Demostrarque:

µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B)

2. Sea la funcion f(x) definida por:

f(x) =

1n si n− 1 ≤ x < n− 1

2 , n = 1, 2, . . .− 1

n si n− 12 ≤ x < n, n = 1, 2, . . .

Demostrar que es integrable Lebesgue en cualquier intervalo [0, a], a > 0. De-mostrar que no es integrable Lebesgue en [0,∞). ¿Es integrable Riemann (ensentido impropio) en ese intervalo?

3. Calcular el siguiente lımite:

lımn→∞

∫ π

0

(sen1/n x)| log x|dx

4. Calcular la integral:

F (t) =∫ π

0

log(1 + t cosx) dx, −1 < t < 1

siguiendo los pasos que se detallan a continuacion.

a) Sea f(x, t) = log(1 + t cosx), 0 ≤ x ≤ π,−1 < t < 1. Probar que para cadat, la funcion f(x, t) es integrable Lebesgue en x ∈ [0, π].

b) Probar que para x ∈ [0, π], la funcion f(x, t) tiene derivada parcial conrespecto a t, y que dicha derivada esta acotada en t ∈ [a, b], 0 < a < b < 1.

c) Los pasos anteriores aseguran que se puede derivar bajo el signo integral(respecto t). Calcular F ′(t).

119

120 CAPITULO 8. EJERCICIOS

d) Integrar F ′(t) y calcular F (t).

5. Sea f ∈ L1(R). Se define (k ∈ R)

f(k) =1√2π

∫ ∞


a) Sea la sucesion convergente kn → k0. Probar que lımn→∞ f(kn) = f(k0).

b) ¿Es f(k) continua en R?

6. Calcularlım

n→∞

∫fn,

∫lım

n→∞fn

donde fn(x) = e−x/n senx en el intervalo [0,∞), y estudiar si esta sucesionde funciones verifica las hipotesis del teorema de la convergencia dominada deLebesgue, detallando si las cumple todas o cual de ellas falla.

7. Se consideran las sucesiones de funciones (n = 1, 2, . . .):

fn(x) =n−1, si |x| ≤ n2

0, si |x| > n2 , x ∈ R, gn(x) = xn, x ∈ [0, 1]

a) Estudiar si fn y gn convergen en la norma del supremo en R y [0, 1], res-pectivamente, y calcular (si existe) su lımite en esa norma.

b) Sean F (x) = lım fn(x) y G(x) = lım gn(x) los lımites puntuales de lassucesiones fn(x) y gn(x). Calcular lım

∫Rfn, lım

∫[0,1]

gn,∫RF ,∫[0,1]

G ydiscutir las condiciones de aplicabilidad del teorema de la convergenciadominada de Lebesgue.

c) Discutir sobre los ejemplos anteriores la relacion entre intercambio del lımitey la integral y la convergencia uniforme.

8. Se considera la sucesion de funciones: fn(x) = χ[n,n+1], n = 1, 2, . . .

a) Calcular lımn→∞ fn(x) para cada x.

b) Calcular∫fn y comprobar si lımn→∞

∫fn =

∫lımn→∞ fn.

c) Discutir si se verifican las hipotesis del teorema de la convergencia dominadade Lebesgue. En caso contrario, estudiar cual de ellas falla.

9. Se considera la sucesion de funciones: fn(x) = x2−1/ne−x, n = 1, 2, . . ..Calcular

lımn→∞

∫ ∞

0

fn(x) dx

121

10. Sea f : R → R una funcion continua. Estudiar si el conjunto x ∈ R :f(x) < 1 es abierto en R.

11. Si d es una distancia en un conjunto X, demostrar que

ρ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

es tambien una distancia, equivalente a la primera. Demostrar que todo subcon-junto de X es acotado con esta distancia.

12. Sea (X, d) un espacio metrico. Se define la distancia de un punto a unconjunto A como:

D(x,A) = ınf d(x, y) : y ∈ A

Sea A un conjunto cerrado. Demostrar que D(x,A) = 0 si y solo si x ∈ A.

13. Demostrar que en un espacio de Banach las series absolutamente conver-gentes son convergentes.

14. Sea xn una sucesion de numeros complejos. Consideremos el conjunto l∞

de las sucesiones acotadas con la norma ‖x‖∞ = sup |xk| : k ∈ N . Sea l1 elconjunto de las sucesiones que verifican

∑∞n=1 |xn| <∞ y c0 el conjunto de las

sucesiones cuyo lımite es cero.

a) Demostrar que l1 y c0 son subconjuntos de l∞.

b) Probar que el cierre de l1 es c0 en el espacio normado l∞.

15. Demostrar que el subconjunto de los vectores de tipo finito de l2 (es decir,los que tienen un numero finito de elementos distintos de 0) es un subespaciodenso en l2.

16. Sea N un numero natural. Demostrar que el conjunto de l2 formado porlos vectores para los que la suma de las N primeras componentes es cero, es unsubespacio vectorial cerrado. Calcular otro subespacio tal que su suma directacon el anterior es el espacio total l2.

17. Demostrar que el conjunto de l2 formado por los elementos xm:

xmn =

(1 +

1n

)δnm

es cerrado y que en el no existe un elemento de norma mınima.

18. Demostrar que si P es un espacio vectorial complejo dotado de un productoescalar, se tiene (N ≥ 3)

(x, y) =1N

N∑k=1

‖x+ e2πik/Ny‖2e−2πik/N , (x, y) =12π

∫ 2π

0

‖x+ eiθy‖2e−iθ


19. Sea C[z] el espacio de polinomios sobre z con coeficientes complejos. Lassiguientes expresiones definen dos productos escalares en este espacio (z = x+iy):

(p, q) =∫|z|≤R

p(z)q(z) dxdy, (p, q) =∫C

p(z)q(z)e−|z|2dxdy

Ortonormalizar el conjunto 1, z, z2, . . . siguiendo el procedimiento de Gram-Schmidt en ambos productos.

20. Sea S0 el conjunto de las sucesiones de numeros reales que tienden a cero.

a) ¿Es S0 un espacio vectorial? ¿Es un subespacio de l2?

b) Sea x = (xn) ∈ l2. ¿Esta x en S0?

c) Sea x = (xn) ∈ l2 y en la base canonica. Calcular, para n = 1, 2, . . ., lasdistancias dn de x a los subespacios line1, e2, . . . , en y hallar lımn→∞ dn.Justificar el resultado obtenido.

21. Se consideran las funciones fn definidas por: fn(x) = sgn(sen(2nπx)) dondesgn(x) es la funcion signo (−1 si x > 0 y 1 si x < 0). Demostrar que el conjuntode estas funciones (n = 1, 2 . . .) es ortogonal en L2[0, 1]. Probar que f(x) =cos(2πx) es ortogonal a todas las funciones fn. ¿Es fn : n = 1, 2, . . . unconjunto ortogonal completo?

22. Consideremos el espacio de funciones L2[−1, 1] con el producto escalar usualy sea an(t) = tn

1. Aplicar Gram-Schmidt a la sucesion an(t) y calcular los cuatro primerosvectores ortonormales u0, u1, u2, u3 correspondientes.

2. Hallar

ınf∫ 1

−1

|t3 − a− bt− ct2|2 dt : a, b, c ∈ R

3. Hallar el maximo de ∫ 1

−1

t3g(t) dx

cuando g(t) verifica las condiciones:∫ 1

−1

g(t) dt =∫ 1

−1

tg(t) dt =∫ 1

−1

t2g(t) dt = 0,∫ 1

−1

g(t)2 dt = 1

23. Sea el espacio de Hilbert l2 y en el una base ortonormal un. Se consideraen l2 el subconjunto definido por S = vn = u1 + un : n = 2, 3, . . . Se pide:

123

a) Estudiar si los vectores de S son linealmente independientes. Nota: Bastaconsiderar combinaciones lineales (finitas) con elementos arbitrarios de S.¿Son ortogonales?

b) Calcular el complemento ortogonal de S.

c) Demostrar que el lımite de la sucesion xn = 1n−1 (v2 + · · · + vn) es igual a

u1. Nota: Usar el teorema de Pitagoras.

d) Estudiar si S y lin(S) son densos en l2. Nota: Demostrar que u1 no esta enS. ¿Es lin(S) un subespacio cerrado de l2?

24. Sea el espacio de Hilbert H = L2[0, π2 ] y el subconjunto de H, S =

1, cosnx, sennx : n = 1, 2, . . .. Se pide:

a) Estudiar si S es un sistema ortogonal de H.

b) Encontrar los vectores del subespacio W = lin1, sen 4x, cos 12x, que mejoraproximan (en el sentido de la norma de H) a los vectores: i) f(x) =x, ii) f(x) = sen 24x

c) Desarrollar cos 6x en la base ortonormal B = c0, cn cos 4nx, dn sen 4nx :n = 1, 2, . . ., calculando las constantes de normalizacion c0,cn, dn.

d) ¿Es W un subespacio cerrado de H?

25. Calcular la serie de Fourier de la funcion cosαx, α ∈ R, en el intervalo[−π, π]. Integrando en α el resultado obtenido, representar la funcion 1

x senxcomo un producto infinito.

26. Calcular el desarrollo de Fourier en serie de senos y cosenos en el intervalo[−π, π] de la funcion f(θ) = cos(x sen θ), utilizando para escribir los coeficientesuna representacion integral de las funciones de Bessel Jn(x).

27. Se considera la funcion definida por la serie:

f(x) =∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1cos(2n+ 1)x

en el intervalo [0, 2π]. Demostrar que f ∈ L2[0, 2π] y expresar la funcion fmediante funciones elementales, sumando la serie.

28. Sea la funcion:

f(x) =

π

3, x ∈

(0,π

3

)0, x ∈

(π

3,2π3

)−π

3, x ∈

(2π3, π

)


Escribir la serie de senos y la de cosenos en el intervalo [0, π]. Calcular el valorde las series ası obtenidas en los puntos 0, π

3 , 2π3 , π y en cualquier otro punto

del intervalo [0, π].

29. En el espacio de HilbertH = L2[0, π/6] se considera el conjunto de funciones:

S =√

12π

cos 6nx, n = 1, 2, . . .

a) Encontrar f ∈ H, f 6= 0, ortogonal a todas las funciones de S. ¿Es S unabase ortonormal de H?

b) Construir B tal que S ⊂ B y B sea una base ortonomal de H. Calcular enesa base los tres primeros coeficientes de Fourier de f(x) = sen 2x.

30. Sea el espacio de Hilbert L2[0, π/3].

a) Calcular k, α ∈ R de forma que el conjunto de funciones k sennαx, n =1, 2, . . . sea una base ortonormal de ese espacio.

b) Calcular el desarrollo de la funcion f(x) = ex en esa base ortonormal.

31. En el espacio de Hilbert L2[−a, a], a > 0, se considera el conjunto defunciones B = 1, cosnkx, sennkx, n = 1, 2, . . .

a) Calcular k para que el conjunto B sea una base ortonormal (despues de lanormalizacion adecuada).

b) Desarrollar en la base ortonormal anterior la funcion θ(x), −a ≤ x ≤ a.

c) ¿Cual serıa (formalmente) el desarrollo de δ(x)? ¿Tiene sentido ese desarrollopara calcular la accion de δ sobre una funcion ϕ?

32. En el espacio de Hilbert H = L2R[−1, 1], con el producto escalar:∫ 1

−1

p(t)q(t)√1− t2

dt

se considera el subespacio V , ortogonal al generado por las funciones 1, t, t2.

a) Estudiar si V es cerrado.

b) Calcular la distancia mınima de la funcion f(t) = t3 al subespacio V .

c) Los polinomios que se obtienen al ortogonalizar el conjunto l.i. 1, t, t2, . . .,son Tn(x) = cos(n arc cos t). Comprobarlo para n = 0, 1, 2 y calcular elpolinomio n = 3 (no es preciso normalizar).

125

33. Sea el espacio de Hilbert l2 y (cn) ∈ l∞. Se define la aplicacion T porT (x) = (cnxn), donde x = (xn) ∈ l2. Demostrar que T es una aplicacion linealcontinua de H en sı mismo y calcular su norma. Calcular la aplicacion adjuntaT+ y estudiar si T = T+.

34. Sea H un espacio de Hilbert y P : H → H una aplicacion que verifica:

i) P 2 = P, ii) (P (x), y) = (x, P (y)), ∀x, y ∈ H

Demostrar:

1. P es lineal y continua. Calcular su norma.

2. M = P (H) es un subespacio lineal cerrado, ortogonal a kerP = im(I−P )y P es la proyeccion ortogonal sobre M .

3. En un espacio de Hilbert existe una correspondencia biunıvoca entre lossubespacios cerrados y las aplicaciones P que verifican i) y ii).

35. Sea el espacio de Hilbert l2 y el subconjunto S formado por los elementode l2 que tienen todas las componentes cero salvo un numero finito. Se pide:

a) Calcular S⊥.

b) Sea T un operador acotado definido en S. ¿Es posible extender T a unoperador acotado T definido en todo l2? (es decir, T = T en S). En casoafirmativo, ¿Es T unico? ¿Y si no se exige que T sea acotado?

c) Si en es la base ortonormal usual de l2, encontrar el vector del subespacioW = line1−e2, e2 +e4, e3−e1, que mejor aproxima (en el sentido de la normade l2) al vector: u = (0, 1

22 , 0, 142 , 0, 1

62 , . . .).

d) ¿Es W⊥ = line5, e6 . . .? Si no es ası, calcular W⊥ y la proyeccion de usobre W⊥.

e) ¿Tiene sentido la pregunta c) si en vez del subespacio W se tratara de S? Encaso afirmativo, calcular la mejor aproximacion a u en S.

36. Sea H un espacio de Hilbert separable, en una base ortonormal y λn unasucesion de numeros complejos distintos de 1, que tiende a 1 cuando n → ∞.Se define una aplicacion T : H → H:

T (x) =∞∑

n=1

λn(en, x)en

Demostrar:

1. T es lineal y continuo y λn son autovalores de T .

2. λ = 1 no es un autovalor de T , pero im(T −1H) es densa en H y 1 ∈ σ(T ).

3. σ(T ) = λn : n ∈ N ∪ 1


37. Determinar si el operador T : D(T ) ⊂ L2(R) → L2(R), definido por(Tf)(x) = exf(x), con D(T ) = f ∈ L2(R) : sop f compacto es acotado en sudominio.

38. Estudiar si los siguientes operadores son lineales, continuos, autoadjuntos,unitarios, etc,

1. (Af)(x) = θ(x − a)f(x) en L2(R), siendo θ la funcion paso, θ(x) = 1 six > 1, θ(x) = 0 si x < 1.

2. (Af)(x) = θ(x− a)f(x− a) en L2(R+), a > 0.

3. (Af)(x) = f(x− a) en L2(R).

39. Demostrar que para que un operador acotado T sea unitario es necesarioque Ten sea una base ortonormal para cualquier base ortonormal en y essuficiente que Ten sea una base ortonormal para alguna base en.

40. Calcular la norma y el espectro de los siguientes operadores:

1. (Qf)(x) = xf(x) en L2[0, 1].

2. (Tf)(x) = eixf(x) en L2(R)

3. (Uaf)(x) = f(x− a) en L2(R)

41. Sea el operador T definido en l2(C) por T (x) = (0, 0, x1, x2, . . .), x =(x1, x2, . . .) ∈ l2(C).

a) Demostrar que el operador T es continuo y calcular su norma.

b) Determinar el operador adjunto de T .

c) Estudiar el espectro puntual de T y el de T+.

42. Sea T definido por T (x) = (λ1x1, λ2x2, λ3x3, . . .), x = (x1, x2, . . .) ∈ l2(C),siendo (λn) una sucesion de numeros complejos.

a) Demostrar que si (λn) es una sucesion convergente, T es un operador definidoen todo l2(C). ¿Es T continuo en este caso? ¿Es necesario que la sucesion(λn) sea convergente para asegurar la continuidad de T?

En las condiciones del apartado a):

b) Estudiar el espectro puntual de T .

c) Demostrar que cualquier vector en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) esta en la imagen deloperador T − λI si λ 6= λn, ∀n. ¿Que se puede decir del espectro residualde T?

127

43. Sea el operador T definido en l2(R) por T (x) = (x1, 0, 13x3, 0, 1

5x5, . . .), x =(x1, x2, . . .) ∈ l2(R).

a) Demostrar que el operador T es continuo y calcular su norma.

b) Determinar el operador adjunto de T .

c) Estudiar el espectro puntual de T . ¿Que se puede decir del residual?

44. En el espacio l2 se considera la aplicacion definido por:

x = (xn) ∈ l2 → Tx = (yn), yn =

xn

n si n es par0 si n es impar

a) ¿Es T un operador de l2 en l2? ¿Es T lineal? ¿Es T continuo?

b) Para cada λ ∈ C estudiar si los vectores de la base canonica en estan en laimagen de T − λI.

c) Calcular el espectro de T .

45. En el espacio de Hilbert l2 se considera el operador T , definido por

Tx = (x1 − x2, x2 − x3, x3 − x4, . . .), x = (x1, x2, x3, . . .) ∈ l2

a) Demostrar que T es un operador lineal continuo y que ‖T‖ ≤ 2.

b) Calcular el espectro puntual de T y las autofunciones correspondientes.

c) ¿Es T un operador autoadjunto?

d) Estudiar si existe y ∈ l2, y 6= 0, tal que (y, Tx) = 0 para todo x ∈ l2. ¿Esλ = 0 un punto del espectro residual de T?

Nota: puede ser util relacionar T con el operador T+x = (x2, x3, . . .).

46. Sea el operador T en l2(C) definido por:

T (x1, x2, . . .) = (0,12x1,

13x2, . . .)

a) Probar que T es un operador lineal continuo.

b) Calcular el operador adjunto de T y estudiar si T es normal.

c) Calcular los espectros puntuales de T y T+.

d) Encontrar algun λ ∈ C tal que λ ∈ σr(T ).

47. Sea el operador

T (x1, x2, . . .) = (ix1,−12αx2,−

i3αx3,

14αx4,

i5αx5, . . .)


a) Estudiar para que valores de α ∈ R, T es un operador lineal continuo del2(C) en l2(C).

Para esos valores de α:

b) Calcular la norma de T .

c) Calcular el espectro puntual de T . ¿Es T un operador autoadjunto?

d) Clasificar los puntos λ = 0,−i segun el espectro de T .

48. Resolver la ecuacion en L2[0, 1]:∫ 1

0

k(x, y)f(y) dy − λf(x) = g(x)

cuando

a) k(x, y) = xy,

b) k(x, y) = ex+y.

49. Calcular la norma y espectro de los operadores A y K definidos por:

a) (Af)(x) =∫ π/2

0

cos(x− y)f(y) dy, b) (Kf)(x) =∫ π

0

cosx sen yf(y) dy

en los espacios L2[0, π/2] y L2[0, π] respectivamente.

50. Calcular el espectro puntual del operador K y resolver la ecuacion: (K −λ)f = g, siendo K en L2[0, 1]:

(Kf)(x) =∫ x

0

(1 + x)f(y) dy

51. Sea el nucleo integral k(x, y) = sen2(x− y), x, y ∈ [0, 2π]. Se pide:

a) Calcular los autovalores no nulos del operador integral, K, definido por elnucleo anterior en L2[0, 2π]: K(f) = λf . (Nota: 2 sen2 z = 1− cos 2z)

b) ¿Es λ = 0 un autovalor de K? ¿Cual es la dimension de kerK?

52. Sea la funcion k(x, y) = 12xy2 − 2, x, y ∈ [0, 1]. Se pide:

a) Calcular los autovalores no nulos del operador integralK definido por k(x, y)en L2[0, 1].

b) Calcular, si existen, dos funciones linealmente independientes que esten enel nucleo del operador K.

129

53. Sea K el operador integral definido por el nucleo k(x, y) = 3y(1 + 5x2y2)en L2[0, 1]. Se pide:

a) Calcular las autofunciones de K que tienen un autovalor no nulo.

b) Encontrar, si existen, dos funciones de L2[0, 1] con la misma imagen bajoK.

54. Sea el operador K definido en L2[0, 2π] por

(Kf)(x) =∫ 2π

0

(x2y + π2y2 senx)f(y) dy

a) Calcular los autovalores distintos de cero del operador K.

b) ¿Son ortogonales las autofunciones obtenidas? ¿Es K autoadjunto?

55. Sea el operador K definido en L2[0, 1] por

(Kf)(x) =∫ 1

0

xy(3− 5xy)f(y) dy

a) Calcular los autovalores distintos de cero de K y las autofunciones corres-pondientes.

b) Calcular una funcion no nula que este en el nucleo de K.

56. En el espacio de Hilbert H = L2[−1, 1] se considera el operador integral,K, de nucleo

k(x, y) =32

+ 15xy(1 + xy)

a) Calcular los autovalores no nulos de K y sus autofunciones correspondientes.

b) Sea V el subespacio de H generado por las autofunciones de K calculadasen a). Demostrar que V es cerrado. Calcular el vector v ∈ V que mejoraproxima a g(x) = x3 en el sentido de la norma de H.

c) Calcular la proyeccion ortogonal, w, de g sobre V ⊥. ¿Cual de los vectores,v, w, aproxima mejor a g?

d) ¿Coincide V ⊥ con el nucleo de K?

57. Sea el nucleo integral k(x, y) = cos2 x− sen2 y en L2[0, π].

a) Calcular los autovalores no nulos y las autofunciones correspondientes deloperador integral asociado a k(x, y). ¿Son ortogonales? ¿Es el nucleo simetri-co?


b) Calcular dos funciones linealmente independientes que sean anuladas porel operador integral. Escribir los elementos del nucleo en terminos de unabase ortonormal trigonometrica en L2[0, π].

58.

a) Calcular las derivadas hasta orden 4 (en sentido de distribuciones) de T1 =|x| senx y T2 = |x| cosx, expresando el resultado en su forma mas sencilla.

b) ¿Son T1 y T2 soluciones de la ecuacion: T (4) + 2T ′ + T = 4δ′?

59. Calcular, en el sentido de distribuciones, las segundas derivadas de las fun-ciones:

f(x) = sen |x|, g(x) = cos |x|

60. Sea la distribucion: T = 12θ(x) sin 2x

a) Demostrar (sustituyendo) que es solucion de la ecuacion: T ′′ + 4T = δ

Nota: Aplicar la regla de Leibnitz al producto de la distribucion θ(x) por lafuncion 1

2 sin 2x o usar las definiciones de fT (con f una funcion adecuaday T una distribucion) y la derivada de una distribucion.

b) Calcular todas las soluciones de la ecuacion anterior.

61. Calcular, en el sentido de distribuciones, las derivadas sucesivas de las fun-ciones |x|n, n = 0, 1, 2 . . ., estudiando si aparece o no la distribucion δ(x) enalguna de ellas.

62. Sea f ∈ L1(R) y Tε la distribucion en D′(R) asociada a la funcion fε(x) =1ε f(x

ε ). Demostrar que

lımε→0+

Tε(ϕ) = cfϕ(0), ϕ ∈ D(R), cf =∫R

f(x) dx

Aplicar el resultado anterior a las funciones: a) e−x2, b) 1

1+x2 .

63. Calcular la densidad de carga de un dipolo, con momento 1 situado en x = 0,con direccion u ∈ R3, ‖u‖ = 1. Para hallarla, calcular el lımite en sentido dedistribuciones de D′(R3), cuando ε→ 0 de

1εδ(x− εu)− 1

εδ(x), ε > 0

Comprobar que la carga total es cero y el momento es 1.

64. Demostrar que las distribuciones:

P(

1x

),

1x± i0

131

son soluciones de la ecuacion: xT = 1.

65. Calcular las transformadas de Fourier de las distribuciones:

a) xnP(

1x

), n = 1, 2, . . . , b) xnδ(m), m ≥ n

66. Demostrar la siguiente igualdad:

12π

∞∑n=−∞

eikx =∞∑

n=−∞δ(x− 2kπ)

67. Comprobar que la solucion fundamental de la ecuacion de Laplace en R3

es:f(x) =

1|x|, ∆

1|x|

= −4πδ(x)

¿Cual es la solucion fundamental del laplaciano en dos dimensiones?

68. Calcular la transformada de Fourier de la distribucion: θ(x)e−ax y su lımitecuando a→ 0.

69. Resolver la ecuacion xnT = 0 en S ′(R) mediante una transformada deFourier.

70. Calcular la solucion de la ecuacion diferencial

T ′ + aT = δ, a ∈ R

donde T es una distribucion en S ′(R) y escribir la solucion de la ecuaciony′ + ay = f .

71. Calcular la solucion fundamental de la ecuacion de ondas, resolviendola enel sentido de distribuciones

∂T

∂t2− ∂T

∂x2= δ(x)δ(t)

72. Se consideran las distribuciones siguientes:

u1 =12ω

(θ(t)− θ(−t)) senωt, u2 =12ω

(θ(t) + θ(−t)) cosωt

a) Calcular la accion del operador T = D2t + ω2 sobre cada una de ellas.

b) ¿Es alguna de las distribuciones anteriores una funcion diferenciable? ¿Ysolucion fundamental del operador T?


73.

a) Calcular la derivada, en sentido de distribuciones, de θ(−x) (aplicar la de-finicion de derivada de una distribucion).

b) Demostrar que las distribuciones:

u1 =i

2ω(eiωxθ(−x) + e−iωxθ(x)), u2 = − i

2ω(eiωxθ(x) + e−iωxθ(−x))

son soluciones fundamentales del operador diferencial P = D2x+ω2 (aplicar

la regla de Leibniz al producto de una funcion por una distribucion).

c) Encontrar una solucion fundamental real del operador anterior.

74.

a) Estudiar si la distribucion xδ′ se puede escribir en funcion de δ.

b) Sea u = xP(

1x

). Calcular el valor de u′ sobre una funcion f ∈ D.

c) Calcular la transformada de Fourier de δ(n).

75.

a) Calcular el producto de convolucion de la distribucion e−|x| por sı misma.

b) Calcular la derivada en sentido de distribuciones de la convolucion anteriorde dos formas distintas:

i) a partir de la solucion encontrada en el apartado a).

ii) teniendo en cuenta que se trata de una convolucion (intercambiar laderivacion por la integral en el producto de convolucion).

Expresar el resultado en la forma mas sencilla posible (utilizando valoresabsolutos, funciones paso, deltas, etc).

76.

a) Calcular la transformada de Fourier de las distribuciones

T±(ε) =1

x± i ε, ε > 0

b) Tomar el lımite cuando ε → 0 y calcular a partir de este resultado latransformada de Fourier de la δ de Dirac y de P

(1x

).

Capıtulo 9

Soluciones a los Ejercicios

1. A y B no seran en general disjuntos, pero se tiene:

A ∪B = (A−B) ∪ (B −A) ∪ (A ∩B)

que son disjuntos, luego:

µ(A ∪B) = µ(A−B) + µ(B −A) + µ(A ∩B)

AdemasA = (A−B) ∪ (A ∩B), (A−B) ∩ (A ∩B) = ∅

µ(A) = µ(A−B) + µ(A ∩B)

B = (B −A) ∪ (A ∩B), (B −A) ∩ (A ∩B) = ∅

µ(B) = µ(B −A) + µ(A ∩B)

por tanto

µ(A) + µ(B) = µ(A−B) + µ(B −A) + 2µ(A ∩B) =µ(A−B) + µ(B −A) + µ(A ∩B) + µ(A ∩B) =

µ(A ∪B) + µ(A ∩B)

2. La grafica de la funcion es:

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

133

134 CAPITULO 9. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

Sea c > 0. La integral de la funcion en el intervalo [0, c] es la de una funcionescalon. ∫

[0,c]

f =

1

n+ 1(c− n) n ≤ c ≤ n+ 1

2

1n+ 1

(n+ 1− c) n+ 12 ≤ c ≤ n+ 1

En cualquiera de los dos casos, c− n < 12 , n+ 1− c < 1

2 y 1n+1 ≤

1c por lo que

se tiene:0 ≤

∫[0,c]

f ≤ 12c

de donde se concluye que en el lımite la integral es cero, y la funcion es integrableRiemann.Sin embargo, la integral de Lebesgue no existe. Un resultado sobre las relacionesentre las integrales de Lebesgue y Riemann asegura que que si una funciones integrable Riemann en sentido impropio en el intervalo [a,∞), entonces esintegrable Lebesgue si y solo si existe la integral de Riemann en sentido impropiodel valor absoluto de la funcion. Y esto no ocurre en este caso, pues (n ≤ c ≤n+ 1) ∫

[0,c]

f =n∑

k=1

1k

+c− n

n+ 1

y la serie:∞∑

n=1

1n

diverge.

3. La funcion (sen1/n x)| log x| esta acotada en todo el intervalo [0, π] por:

(sen1/n x)| log x| ≤ | log x|

(pues sen1/n x esta acotada en ese intervalo por 1, y es mayor o igual que cero)y la funcion | log x| es integrable en ese intervalo. Ademas,

lımn→∞

(sen1/n x)| log x| = | log x|

casi doquiera. Por el teorema de la convergencia dominada,

lımn→∞

∫ π

0

(sen1/n x)| log x| =∫ π

0

| log x| = −∫ 1

0

log x+∫ π

1

log x =

−x(log x− 1)∣∣∣∣10

+ x(log x− 1)∣∣∣∣π1

= 1 + π(log π − 1) + 1 = 2 + π(log π − 1)

4.

F (t) =∫ π

0

log(1 + t cosx) dx, −1 < t < 1

a) La funcion f(x, t) = log(1 + t cosx), 0 ≤ x ≤ π es continua en todo elintervalo [0, π] para cada t ∈ (−1, 1). Luego es integrable Riemann y portanto integrable Lebesgue.

135

b) La derivada parcial existe para todo t ∈ (−1, 1)

∂f(x, t)∂t

=cosx

1 + t cosx

y es continua en la region anterior. Esta acotada por ser continua en uncompacto ([0, π]× [a, b]). En cualquier caso, es facil ver que para cualquiert ∈ [a, b] ⊂ (−1, 1) la funcion es decreciente en x. La derivada verifica:

− senx(1 + t cosx)2

≤ 0

en el intervalo [0, π] para todo t ∈ (−1, 1). Por lo tanto, calculando en losextremos (con t ∈ [a, b] y k = max|a|, |b|):

cosx1 + t cosx

∣∣∣∣x=0

=1

1 + t≤ 1

1− k,

cosx1 + t cosx

∣∣∣∣x=π

= − 11− t

≥ − 11− k

y se tiene:

− 11− k

≤ cosx1 + t cosx

≤ 11− k

c) Derivando bajo el signo integral:

F ′(t) =∂

∂t

∫ π

0

log(1 + t cosx) dx =∫ π

0

cosx1 + t cosx

dx

En particular, F ′(0) = 0. Calculemos esta integral. Con el cambio usual

y = tanx

2

se tiene (la integral impropia existe):

F ′(t) =2

1 + t

∫ ∞

0

1− y2

(1 + y2)(1 +my2)dy, m =

1− t

1 + t> 0

Separando en fracciones simples

21 + t

1− y2

(1 + y2)(1 +my2)=

2t

11 + y2

− 1t(1 + t)

11 +my2

y la integral es (cuando t 6= 0):

2t

arctan y∣∣∞0− 2t√

1− t2arctan(

√my)

∣∣∞0

=π

t

(1− 1√

1− t2

)d) Finalmente calculemos F (t) integrando esta ultima expresion. Para integrar

podemos poner 1− t2 = u2, y se tiene:∫π

t

(1− 1√

1− t2

)dt =

∫π

tdt− π

∫1

t√

1− t2dt =

π log |t|+ π

∫1

1− u2du = π log(1 +

√1− t2) + C

Como F (0) = 0, se puede calcular la constante y se tiene:

F (t) = π log12(1 +

√1− t2)


5.

a) La funcion f es la transformada de Fourier de f . Se tiene:

lımn→∞

f(kn) =1√2π

lımn→∞

∫ ∞

−∞e−iknxf(x) dx

La sucesion de funciones hn(x) = e−iknxf(x) esta en L1(R), es decir, sonfunciones integrables Lebesgue. Ademas,

|hn(x)| = |f(x)|

Como f ∈ L1(R), se cumplen las hipotesis del teorema de la convergenciadominada y se puede intercambiar el lımite con la integral

lımn→∞

∫ ∞

−∞e−iknxf(x) dx =

∫ ∞

−∞lım

n→∞e−iknxf(x) dx

y, por continuidad de e−ikx,

1√2π

lımn→∞

∫ ∞

−∞e−iknxf(x) dx =

1√2π

∫ ∞

−∞e−ik0xf(x) dx = f(k0)

b) Segun lo anterior, f es continua en cada punto de R.

6.lım

n→∞e−x/n senx = senx, ∀x ∈ R

y por tanto, ∫ ∞

0

lımn→∞

e−x/n senxdx =∫ ∞

0

senxdx

que no existe. Sin embargo,∫ ∞

0

e−x/n senxdx =n2

n2 + 1

y se tiene:

lımn→∞

∫ ∞

0

e−x/n senxdx = lımn→∞

n2

n2 + 1= 1

No se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada pues la sucesionde funciones fn(x) no esta acotada por una funcion integrable Lebesgue (enparticular,

∫∞0

e−x/n dx = n).

7.

a)lım

n→∞fn(x) = 0, si x 6= 0

Si x = 0:lım

n→∞fn(0) = lım

n→∞

1n

= 0

137

Ademassupx∈R

|fn(x)− 0| = 1n→ 0, cuando n→∞

por lo que la convergencia a la funcion F (x) = 0 es uniforme (en L∞(R)).

G(x) = lımn→∞

gn(x) = 0 si x 6= 1

1 si x = 1

Por tantosupx∈R

|gn(x)−G(x)| = 1

luego la sucesion no converge uniformemente, es decir no converge enL∞(R).

b) ∫R

F = 0,∫

[0,1]

G = 0,∫R

fn = 2n,∫

[0,1]

gn =1

n+ 1

y por tanto

lımn→∞

∫R

fn no existe, lımn→∞

∫[0,1]

gn = 0

c) La convergencia uniforme no esta relacionada con la integrabilidad Lebesgue(en el sentido de los apartados anteriores).

8.

a)lım

n→∞fn(x) = 0

b) ∫R

fn = n, lımn→∞

fn = 0,∫R

lımn→∞

fn = 0

c) No existe una funcion que acote a la sucesion fn y que sea integrable.

9. Las funciones fn(x) son integrables Lebesgue por serlo Riemann en valorabsoluto (por el comportamiento de la exponencial en el infinito, en el cero nohay problemas, 2 − 1/n > 0). Son positivas en todo el semieje positivo y secortan en x = 1 (allı todas valen e−1). Ademas, en el intervalo [0, 1]

x2−1/n ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1

mientras que en [1,∞) se tiene:

x2−1/n ≤ x2, 1 ≤ x <∞

pues

1 ≤ 2− 1n≤ 2


Por lo tanto, definiendo

g(x) =xe−x 0 ≤ x ≤ 1x2e−x 1 < x <∞

se tiene|fn(x)| ≤ g(x)

y g(x) es una funcion integrable Lebesgue (por las razones dadas al principio).Podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada e intercambiar el lımitepor la integral, obteniendo:

lımn→∞∫∞0fn(x) dx =

∫∞0

lımn→∞ fn(x) dx =∫∞0x2e−x dx = −x2e−x

∣∣∞0

+2∫∞0xe−x dx = 2

(− xe−x

∣∣∞0

+∫∞0

e−x dx)

= −2e−x∣∣∞0

= 2

10. Basta aplicar la definicion de funcion continua: la imagen inversa de unabierto es un abierto. Pero el conjunto dado se puede escribir tambien como:

f−1((−∞, 1))

y (−∞, 1) es un abierto de R, luego por continuidad, el conjunto dado es abierto.

11. Las dos primeras propiedades son evidentes. Veamos la desigualdad trian-gular. Habrıa que probar

d(x, y)1 + d(x, y)

≤ d(x, z)1 + d(x, z)

+d(z, y)

1 + d(x, z)

es decir:a

1 + a≤ b

1 + b+

c

1 + c, a, b, c ≥ 0

que se puede escribir como:

a ≤ b+ c+ bc(2 + a)

Como d es una distancia, a ≤ b+c. Pero bc(2+a) ≥ 0, luego a ≤ b+c+bc(2+a)como querıamos probar. Tenemos entonces una distancia (que es menor o igualque 1). Ademas son equivalentes. Sea Bd(x, r) una bola de centro x y radio ren la metrica d. La bola Bρ(x, r), contiene a Bd(x, r), pues, si y ∈ Bd(x, r),entonces

ρ(x, y) <r

1 + d(x, y)≤ r

lo que implica que y ∈ Bρ(x, r). Ademas, la bola Bρ(x, r′) (con 0 < r′ < 1),esta contenida en la bola Bd(x, r) con r = r′/(1−r′). Luego ambas metricas sonequivalentes. Si A es un subconjunto de X, la distancia entre dos de sus puntoses:

ρ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)< 1

luego todo subconjunto de X esta acotado (y X tambien).

139

12. Supongamos que D(x,A) = 0. Entonces, ınf d(x, y) : y ∈ A = 0 y pordefinicion de ınfimo, para todo ε > 0 existe y ∈ A tal que d(x, y) < ε. Eso quieredecir que toda bola de centro x corta a A luego x ∈ A y como A es cerrado,x ∈ A. En sentido inverso es trivial. Si x ∈ A, la distancia de x a A es 0.

13. Sea (E, ‖ · ‖) un espacio de Banach y

∞∑n=1

xn

una serie que es absolutamente convergente. Esto quiere decir que la serie denumeros reales:

∞∑n=1

‖xn‖

es convergente. Probemos que la sucesion sn =∑n

k=1 xk es de Cauchy en E. Setiene (m ≥ n):

‖sn − sm‖ = ‖m∑

k=n

xk‖ ≤m∑

k=n

‖xk‖

y como la serie de las normas converge, es de Cauchy y el segundo miembro dela igualdad tiende a cero cuando n,m tienden a infinito. Como el espacio E esde Banach, se tiene asegurada la existencia del lımite.

14. De las propiedades de convergencia de series de numeros complejos, sededuce inmediatamente que l1 es un subespacio de c0 y c0 es un subespacio de l∞

(si una serie de numeros complejos es absolutamente convergente es convergentey el lımite de la sucesion del termino general de la serie es cero, con lo cual lasucesion esta acotada en norma). Esta claro que c0 no es igual a l1. Es mas, enc0 hay elementos que no estan en ningun lp con p ≥ 1. Por ejemplo la sucesion:(

1,1

log 2,

1log 3

, . . .

)En cuanto a la parte b), hay que probar que cualquier sucesion que converja acero, puede ser aproximada en norma (la del supremo) por una sucesion cuyaserie asociada sea absolutamente convergente. Sea x = (xn) ∈ c0. Consideremosla sucesion ym donde

ym = (x1, x2, . . . , xm, 0, 0, . . .)

Es obvio que ym ∈ l1 para todo m. Ademas, (en l∞),

lımm→∞

ym = x

pues, dado ε > 0 existe m0 a partir del cual (m ≥ m0),

supn|xn − ym

n | = supn>m

|xn| ≤ ε


pues la sucesion (xn) converge a cero. Por tanto, x ∈ l1. Hay que probar tambienque toda sucesion de puntos de l1 convergente en l∞ tiene lımite en c0. Es decir,tenemos una sucesion de sucesiones, cuyas series asociadas son absolutamenteconvergentes, que converge (en la norma del supremo). Hay que probar que lasucesion lımite tiende a cero (notese que puede que la serie correspondiente a lasucesion lımite no sea absolutamente convergente).Consideremos en l1 la sucesion xm que converge en m a x, equivalentemente,para todo ε > 0 existe m0 tal que si m ≥ m0 entonces ‖xm−x‖∞ < ε. Es decir:

supn|xm

n − xn| < ε

o lo que es lo mismo|xm

n − xn| < ε, ∀n ∈ N

Pero esto quiere decir que

lımm→∞

xmn = xn, ∀n ∈ N

Lo que queremos probar es que:

lımn→∞

xn = 0

Sea pues ε > 0. Se tiene:

|xn| = |xn − xmn + xm

n | ≤ |xn − xmn |+ |xm

n |

dado el ε anterior, existe m0 tal que, cuando m ≥ m0:

|xn − xmn | <

ε

2, ∀n ∈ N

por lo dicho anteriormente. Ademas, xmn tiende a cero para todo m, luego existe

n0 tal que si n ≥ n0 se tiene:|xm

n | <ε

2Por tanto si n ≥ n0

|xn| = |xn − xmn + xm

n | ≤ |xn − xmn |+ |xm

n | <ε

2+ε

2= ε

lo que concluye la demostracion.Sin embargo, el cierre de c0 no es l∞. Hay sucesiones acotadas que no puedenser aproximadas en la norma del supremo por sucesiones que tiendan a cero (porejemplo, una sucesion constante).

15. Los vectores de l2 de tipo finito forman un subespacio en l2. Para ver quees denso, hay que demostrar que para todo x ∈ l2 y para todo ε > 0, podemosencontrar un vector de tipo finito, xf tal que:

‖x− xf‖ < ε

Al ser x ∈ l2,∞∑

n=1

|xn|2 <∞

141

luego, dado ε, existe n0 tal que:

∞∑n=n0

|xn|2 < ε

En este caso, escojamos xf como:

xf = (x1, x2, . . . , xn0 , 0, . . .)

que obviamente es finito. Se tiene:

‖x− xf‖ =∞∑

n=n0

|xn|2 < ε

16. Es un cerrado (por ejemplo como nucleo de una forma lineal continua). Elortogonal es un espacio vectorial de dimension 1 generado por el vector cuyasprimeras N coordenadas son iguales a 1 y a cero las demas.

17. Consideremos la sucesion S de l2 formado por los vectores xm que tienentodos los elementos cero salvo el m que es igual a 1 + 1/m:

xmn =

(1 +

1n

)δnm

La norma de cada uno de estos vectores es:

‖x(m)‖ = 1 +1m

El ınfimo de este conjunto es 1, pero ninguno de los elementos del conjunto tienenorma 1. La sucesion es sin embargo un conjunto cerrado pues no tiene puntosde acumulacion. El vector 0, que es al que tienden las sucesiones de componentesde la sucesion, no es de acumulacion, pues la norma de todos los vectores de Sesta acotada inferiormente por 1.

18. Basta escribir la norma en funcion del producto escalar:

‖x+ e2πik/Ny‖2e−2πik/N = (x+ e2πik/Ny, x+ e2πik/Ny)e−2πik/N =‖x‖2e−2πik/N + ‖y‖2e−2πik/N + (x, y) + (y, x)e−4πik/N

Pero la suma de las raıces de la unidad, la suma de sus cuadrados y la suma delas inversas de sus cuadrados son cero, por tanto

N∑k=0

‖x+ e2πik/Ny‖2e−2πik/N = N(x, y)

Con la otra expresion es similar:

‖x+ eiθy‖2e−iθ = (x+ eiθy, x+ eiθy)e−iθ =‖x‖2e−iθ + ‖y‖2e−iθ + (x, y) + (y, x)e−2iθ


y la integral de eniθ en [0, 2π] es cero para todo entero n 6= 0. Para n = 0 esigual a 2π, luego: ∫ 2π

0

‖x+ eiθy‖2e−iθ dθ = 2π(x, y)

19. Usemos el producto escalar

(p, q) =∫|z|≤R

p(z)q(z) dxdy

(zn, zm) =∫|z|≤R

znzm dxdy =∫ R

0

rn+m+1 dr∫ 2π

0

ei(m−n)θ dθ =

2πδmn

∫ R

0

r2n+1 dr =πR2(n+1)

n+ 1δmn

luego 1, z, z2, . . . es una base ortogonal y la correspondiente ortonormal es:

1Rn+1

√n+ 1π

zn, n = 0, 1, 2, . . .

En el otro producto:

(p, q) =∫C

p(z)q(z)e−|z|2dxdy

(zn, zm) =∫C

znzme−|z|2dxdy =

∫ ∞

0

rn+m+1e−r2dr∫ 2π

0

ei(m−n)θ dθ =

2πδmn

∫ ∞

0

r2n+1e−r2dr =

2πn!δmn

luego tambien 1, z, z2, . . . es una base ortogonal y la correspondiente ortonor-mal es: √

2πn!zn, n = 0, 1, 2, . . .

20.

a) S0 es un espacio vectorial:

lımn→∞

(an + bn) = lımn→∞

an + lımn→∞

bn

lımn→∞

(λan) = λ lımn→∞

an

para sucesiones convergentes. Pero no es un subespacio de l2. La sucesion

an =1√n

tiende a cero (esta en S0), pero no en l2, pues∞∑

n=1

(1√n

)2

=∞∑

n=1

1n

= ∞

143

b) l2 ⊂ S0, pues toda serie convergente tiene un termino general que tiende a0.

c) Si x ∈ l2, x =∑∞

k=1 xkek. Por tanto la proyeccion sobre line1, . . . , en es:

n∑k=1

xkek

y la distancia a ese subespacio:

dn = ‖x−n∑

k=1

xkek‖ =

√√√√ ∞∑k=n+1

|xk|2

Como la serie∑∞

k=1 |xk|2 converge, se tiene que

lımn→∞

dn = 0

La razon de este hecho es que∑n

k=1 xkek tiende a x en la norma de l2.

21. ∫ 1

0

fn(x)fm(x) dx =∫ 1

0

sgn(sen(2nπx)) sgn(sen(2mπx)) dx

Supongamos que m > n. En cada cero de la funcion sen(2nπx), la funcion fn(x)cambia de signo (pasa de valer ±1 a ∓1). Veamos que entre dos ceros de lafuncion fn(x) hay un cero de fn+1(x). En efecto, sea xk = k

2n , con 0 ≤ k ≤ 2n

uno de esos ceros. El siguiente es: xk = k2n Consideremos dos ceros consecutivos

de fn(x)

x(n)k =

k

2n, x

(n)k+1 =

k + 12n

, 0 ≤ k ≤ 2n − 1

Estos dos puntos son tambien ceros de fm(x):

x(m)2m−nk = x

(n)k =

k

2n=

2m−nk

2m, x

(m)2m−n(k+1) = x

(n)k+1 =

k + 12n

=2m−n(k + 1)

2n

pues m > n. Y ademas entre ellos hay otros ceros de fm(x):

2m−nk

2m,2m−nk + 1

2m,2m−nk + 2

2m, . . . ,

2m−n(k + 1)2n

es decir, tenemos

2m−n(k + 1)− 2m−nk − 1 = 2m−n − 1

ceros en el interior, que es un numero impar. Eso hace que el area encerrada porla segunda funcion sea cero y las funciones sean ortogonales. Calculemos ahorael producto ∫ 1

0

cos(2πx)fn(x) dx


La funcion cos(2πx) es simetrica respecto a x = 1/2 en el intervalo [0, 1]. Sinembargo, todas las funciones fn(x) son antisimetricas respecto a ese punto.Luego la integral es cero.

22.

(1, 1) =∫ 1

−1

dt = 2, u0 =1√2

v1 = t− λ10u0,

∫ 1

−1

(t− 1√2λ10) dt = −

√2λ10 = 0

(t, t) =∫ 1

−1

t2 dt =23, u1 =

√32t

v2 = t2 − λ20u0 − λ21u1∫ 1

−1

(t2 − 1√

2λ20 − λ21

√32t

)dt =

23−√

2λ20 = 0, λ20 =√

23∫ 1

−1

t

(t2 − 1√

2λ20 − λ21

√32t

)dt = −

√23λ21 = 0, λ21 = 0

v2 = t2 − 13,

∫ 1

−1

v22 dt =

845, u2 =

√52

(32t2 − 1

2

)v3 = t3 − λ30u0 − λ31u1 − λ32u2∫ 1

−1

(t3 − λ30

1√2− λ31

√32t− λ32

√52

(32t2 − 1

2

))dt = −

√2λ30 = 0

∫ 1

−1

t

(t3 − λ30

1√2− λ31

√32t− λ32

√52

(32t2 − 1

2

))dt =

25− λ31

√23

= 0

λ31 =√

65∫ 1

−1

(t2 − 1

3

)(t3 − λ31

√32t− λ32

√52

(32t2 − 1

2

))dt = −2

3

√25λ32 = 0

v3 = t3 − 35t,

∫ 1

−1

v23 dt =

8175

, u3 =52

√72

(t3 − 3

5t

)que son los polinomios de Legendre con otra normalizacion.b) El ınfimo se obtiene cuando se usa la proyeccion. El subespacio considerado,lin1, t, t2, tiene como base ortonormal u0, u1, u2. La proyeccion de t3 sobreeste espacio es:

α0u0 + α1u1 + α2u3

con

α0 =1√2

∫ 1

−1

t3 dt = 0

α1 =

√32

∫ 1

−1

t4 dt =√

65

145

α2 =

√52

∫ 1

−1

t3(

32t2 − 1

2

)dt = 0

Luego la mejor aproximacion a t3 en linu0, u1, u2 es

35t

y el valor mas pequeno de esa integral es:∫ 1

−1

(t3 − 3

5t

)2

dt =8

175

c) La norma de g es igual a 1, por lo tanto, si se desarrolla g en la base ortonormalun se tiene:

∞∑n=3

a2n = 1, g(t) =

∞∑n=0

anun(t), a0 = a1 = a2 = 0

Por lo tanto

a23 = 1−

∞∑n=4

a2n ≤ 1

El maximo se obtendra cuando an = 0, n = 4, 5, . . .. En este caso a3 = 1 yentonces

g(t) = u3 =52

√72

(t3 − 3

5t

)siendo el maximo igual a∫ 1

−1

52

√72

(t3 − 3

5t

)t3 dt =

25

√27

23.

a) Sean vi1 , . . . , vin∈ S

λ1vi1 + · · ·+ λnvin= (λ1 + · · ·λn)u1 + λ1ui1 + · · ·+ λnuin

= 0

y como u1, ui1 , . . . , uinson l.i., se tiene λ1 = · · · = λn = 0. Sin embargo,

no son ortogonales:

(vn, vm) = (u1 + un, u1 + um) = (u1, u1) + (un, um) = 1 + δnm

b) Sea x ∈ l2 tal que (x, vn) = 0, n = 2, 3 . . .:

(x, u1 + un) = (x, u1) + (x, un) = x1 + xn = 0, n = 2, 3, . . .

Por tanto,

x =∞∑

n=1

xnun = x1u1 − x1

∞∑n=2

un

que no es un elemento de l2 a no ser que x1 = 0. Luego

S⊥ = 0


c)

xn =1

n− 1((n− 1)u1 + u2 + · · ·+ un) = u1 +

1n− 1

(u2 + · · ·+ un)

Por consiguiente,

(um, xn) = (um, u1) +1

n− 1(um, u2 + · · ·+ un) =

0 si m > n

1n−1 si m ≤ n

para m = 2, 3, . . . y se tiene

(um, lımn→∞

xn) = 0, (u1, lımn→∞

xn) = 1

lo que implica quelım

n→∞xn = u1

c) S no es denso en l2, ya que u1 /∈ S, pues para todo k = 2, 3 . . ., ‖u1− vk‖ =‖vk‖ = 1. Pero lin(S) es denso en l2 y por tanto no es cerrado (pues nocoincide con l2). El que sea denso en l2 es consecuencia de que S⊥ = 0:

lin(S) = (S⊥)⊥ = l2

24.

a) No es un sistema ortogonal:∫ π/2

0

cosxdx = 1 6= 0

Luego 1 no es ortogonal a cosx.

b) W es un conjunto ortogonal:∫ π/2

0

sen 4xdx = 0,∫ π/2

0

cos 12xdx = 0

∫ π/2

0

sen 4x cos 12xdx =12

∫ π/2

0

(sen 16x− sen 8x) dx = 0

Normalizando:∫ π/2

0

dx =π

2,

∫ π/2

0

sen2 4xdx =π

4,

∫ π/2

0

cos2 12xdx =π

4

W =√

2π,

2√π

sen 4x,2√π

cos 12x

i) Si f(x) = x, su proyeccion sobre W es:

f(x) = c1

√2π

+ c22√π

sen 4x+ c32√π

cos 12

147

donde

c1 =

√2π

∫ π/2

0

xdx =

√π3

32

c2 =2√π

∫ π/2

0

x sen 4xdx = −√π3

16

c3 =2√π

∫ π/2

0

x cos 12xdx = 0

es decirpr(x) =

π

4− 1

2sen 4x

ii) sen 24x es ortogonal a W y su proyeccion es 0 (ver apartado siguiente).

c) ∫ π/2

0

dx =π

2,

∫ π/2

0

cos2 4nxdx =π

4,

∫ π/2

0

sen2 4nxdx =π

4

y la base es √2π,

2√π

cos 4nx,2√π

sen 4nx

√2π

∫ π/2

0

cos 6xdx = 0,2√π

∫ π/2

0

cos 6x cos 4nxdx = 0,

2√π

∫ π/2

0

cos 6x sen 4nxdx

=1√π

(∫ π/2

0

sen(4n+ 6)xdx+∫ π/2

0

sen(4n− 6)xdx)

=4n√π

14n2 − 9

y por tanto

cos 6x =8π

∞∑n=1

n

4n2 − 9sen 4nx

d) W es cerrado por ser de dimension finita.

25. Los coeficientes del desarrollo de Fourier son:

a0 =12π

∫ π

−π

cosαxdx =senαπαπ

an =1π

∫ π

−π

cosnx cosαxdx

=1π

(1

n+ αsen(n+ α)π +

1n− α

sen(n− α)π)

=1π

((−1)n

n+ αsenαπ − (−1)n

n− αsenαπ

)=

2(−1)n+1α

π(n2 − α2)senαπ


bn =1π

∫ π

−π

sennx cosαxdx = 0

Se tiene por tanto:

cosαx =

(1απ

+2απ

∞∑n=1

(−1)n+1

n2 − α2cosnx

)senαπ

La serie converge puntualmente en x = π al valor de la funcion (cosa que noocurre cuando x > π). En x = π se tiene:

cotαπ =1απ

− 2απ

∞∑n=1

1n2 − α2

La serie anterior converge para todo α y la expresion se puede integrar entre 0y t, con t < 1 ∫ t

0

(π cotαπ − 1

α

)dα = −

∞∑n=1

∫ t

0

2αn2 − α2

dα

es decir:

logsenπtπt

=∞∑

n=1

(log(n2 − t2)− log n2) =∞∑

n=1

log(

1− t2

n2

)= log

∞∏n=1

(1− t2

n2

)y quitando los logaritmos:

senπtπt

=∞∏

n=1

(1− t2

n2

)Si ponemos x = πt

senxx

=∞∏

n=1

(1− x2

n2π2

)que es valida para todo x.

26. Las funciones de Bessel Jn(x) tienen una representacion integral dada por:

Jn(x) =1π

∫ π

0

cos(x sen θ − nθ) dθ

Los coeficientes del desarrollo son:

a0 =12π

∫ π

−π

cos(x sen θ) dθ =1π

∫ π

0

cos(x sen θ) dθ = J0(x)

an =1π

∫ π

−π

cosnθ cos(x sen θ) dθ

=1π

∫ π

0

cos(x sen θ + nθ) dθ +1π

∫ π

0

cos(x sen θ − nθ) dθ

= Jn(x) + J−n(x) = (1 + (−1)n)Jn(x)

149

es decir:a2n = 2Jn(x), a2n+1 = 0

Ademas, por ser la funcion par,

bn =1π

∫ π

−π

sennθ cos(x sen θ) dθ = 0

luego, la serie de Fourier es:

cos(x sen θ) = J0(x) + 2∞∑

n=1

J2n(x) cos 2nθ

27. La serie∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1cos(2n+ 1)x

representa una funcion en L2[0, 2π], pues los coeficientes en la base ortonormal1, cosnx, sennx o en einx verifican:

∞∑n=0

1(2n+ 1)2

<∞

de manera evidente. Para sumarla, escribamos:

cos(2n+ 1)x = Re(e(2n+1)ix

)= Re

(z2n+1

)con z = eix.

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1cos(2n+ 1)x = Re

( ∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1z2n+1

)

que es la serie del arco tangente. Luego:

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1cos(2n+ 1)x = Re(arctan z)

Para calcularla de forma explıcita. usemos:

z = tanw =eiw − e−iw

i(eiw + e−iw)

y por tanto:

w = arctan z =12i

log1 + iz1− iz

Rew = Re(

12i

log1 + iz1− iz

)=

12

Im(

log1 + iz1− iz

)=

12

arg(

1 + iz1− iz

)Sustituyendo z:

12

arg(

1 + ieix

1− ieix

)=

12

arg(

i cosx1 + senx

)=

12

arg(i cosx) =π

4sgn(cosx)


pues 1 + senx ≥ 0. Analizando el signo del coseno entre 0 y 2π, se tiene que lafuncion buscada es:

π

4, 0 < x <

π

2

−π4,

π

2< x <

3π2

π

4,

3π2< x < 2π

28. La serie de cosenos en el intervalo [0, π] se obtiene prolongando la funcionf de forma par, fP , al intervalo [−π, π]. Los coeficientes son:

a0 =12π

∫ π

−π

fP (x) dx =1π

∫ π

0

f(x) dx = 0

an =1π

∫ π

−π

fP (x) cosnxdx =2π

∫ π

0

f(x) cosnxdx

Los unicos coeficientes no cero son:

a6n+1 =2√

3(6n+ 1), a6n+5 = − 2√

3(6n+ 5)

bn =12π

∫ π

−π

fP (x) sennxdx = 0

por lo que el desarrollo es:

f(x) ∼ 2√3

∞∑n=0

(cos(6n+ 1)x

6n+ 1− cos(6n+ 5)x

6n+ 5

)De forma similar, para obtener un desarrollo en senos, basta extender la funcionde forma impar al intervalo [−π, π]

bn =1π

∫ π

−π

fI(x) sennxdx =2π

∫ π

0

f(x) sennxdx

Los unicos coeficientes no cero son:

a6n+2 =1

3n+ 1, a6n+4 =

13n+ 2

y el desarrollo es:

f(x) ∼∞∑

n=0

(sen(6n+ 2)x

3n+ 1+

sen(6n+ 4)x3n+ 2

)El valor de las series en los puntos indicados es:

151

Punto Cosenos Senos f0 π

3 0 π3

π3

π6

π6 −

2π3 −π

6 −π6 −

π −π3 0 −π

3

En los demas puntos la serie converge puntualmente.

29.

a) Como ∫ π/6

0

cos 6nx dx = 0

para todo n, se tiene que f(x) = 1 es ortogonal a todo S, que no es unabase ortonormal.

b) Si anadimos a S la funcion √6π

el nuevo conjunto es una base ortonormal de H (de la teorıa general deseries de Fourier).

El desarrollo de Fourier de sen 2x es:∫ π/6

0

sen 2x dx =14,

∫ π/6

0

sen 2x cos 6nx dx =(−1)n − 24(9n2 − 1)

sen 2x =32π

+3π

∞∑n=1

(−1)n − 29n2 − 1

cos 6nx =32π− 9

8πcos 6x− 3

35πcos 12x+· · ·

30.

a) Para que sea ortogonal

k2

∫ π/3

0

sennαx senmαx dx = δmn

es decir,

k2

α(m2 − n2)

(n cos

nπα

3sen

mπα

3−m cos

mπα

3sen

nπα

3

)= δmn

Aunque no hay una solucion unica para este problema, α = 3 lo es, puesentonces el seno es cero. Tambien α = 6, . . . son soluciones, pero es facilver que en estos casos hay funciones no nulas ortogonales a ese conjunto,por ejemplo sen 3x, con lo que no es una base ortonormal. Esto no ocurre


para α = 3 (de la teorıa general de series de Fourier). Ahora se puedehallar k:

k2

∫ π/3

0

sen2 3nx dx = 1, k =

√6π

b)

ex =∞∑

n=1

cn sen 3nx

cn =6π

∫ π/3

0

ex sen 3nx dx =18n(1− (−1)neπ/3)

(1 + 9n2)π

31.

a) ∫ a

−a

sennkx dx = 0∫ a

−a

cosnkx dx =1nk

sennkx∣∣a−a

=2nk

sennka = 0, k =π

a

∫ a

−a

cosmπx

acos

nπx

adx =

∫ a

−a

cosmπx

asen

nπx

adx

=∫ a

−a

senmπx

asen

nπx

adx = 0, n 6= m

b)

θ(x) = a0 +∑n≥1

(an cos

nπx

a+ bn sen

nπx

a

)

a0 =1∫ a

−adx

∫ a

−a

θ(x) dx =12aa =

12

an =1∫ a

−acos2 nπx

a dx

∫ a

−a

θ(x) cosnπx

adx = 0

bn =1∫ a

−asen2 nπx

a dx

∫ a

−a

θ(x) sennπx

adx =

1nπ

(1− (−1)n)

θ(x) =12

+2π

∑n≥1

12n− 1

sen(2n− 1)πx

a

c)

δ(x) = a0 +∑n≥1

(an cos

nπx

a+ bn sen

nπx

a

)

a0 =1∫ a

−adx

∫ a

−a

δ(x) dx =12a

153

an =1∫ a

−acos2 nπx

a dx

∫ a

−a

δ(x) cosnπx

adx =

1a

bn =1∫ a

−asen2 nπx

a dx

∫ a

−a

δ(x) sennπx

adx = 0

δ(x) =12a

+1a

∑n≥1

cosnπx

a

La accion de δ sobre una funcion ϕ es:

δ(ϕ) = ϕ(0)

δ(ϕ) =12a

∫ 1

−1

ϕ(x) dx+1a

∑n≥1

∫ 1

−1

ϕ(x) cosnπx

adx

Si el desarrollo de ϕ(x) es:

ϕ(x) = a0 +∑n≥1

(an cos

nπx

a+ bn sen

nπx

a

)en x = 0 tendremos:

ϕ(0) = a0 +∑n≥1

an =12a

∫ 1

−1

ϕ(x) dx+1a

∑n≥1

∫ 1

−1

ϕ(x) cosnπx

adx ≡ δ(ϕ)

32.

a) El espacio W = lin1, t, t2 es cerrado por ser de dimension finita. W⊥ = V ,es tambien cerrado (por ser el ortogonal a un subconjunto de H). Se tieneuna suma directa ortogonal.

b) Por ser V ⊥ cerrado, podemos calcular la proyeccion ortogonal. Ortonorma-lizamos la base 1, t, t2 usando Gram-Schmidt.∫ 1

−1

1√1− t2

dt = − arc cos t∣∣1−1

= π,

∫ 1

−1

t2√1− t2

dt =π

2∫ 1

−1

t4√1− t2

dt =3π8,

∫ 1

−1

t√1− t2

dt = 0,∫ 1

−1

t3√1− t2

dt = 0

u1 =1√π, u′2 = t−λ21u1, λ21 =

1√π

∫ 1

−1

t√1− t2

dt = 0, u2 =

√2πt

u′3 = t2 − λ32u2 − λ31u1, λ31 =1√π

∫ 1

−1

t2√1− t2

dt =√π

2

λ32 =

√2π

∫ 1

−1

t3√1− t2

dt = 0


u′3 = t2 − 12,

∫ 1

−1

1√1− t2

(t2 − 1

2

)2

dt =3π8− π

2+π

4=π

8

u3 =

√2π

(2t2 − 1

)Proyectamos el vector t3:

(u1, t3) = 0, (u2, t

3) =

√2π

∫ 1

−1

t4√1− t2

dt =38

√2π, (u3, t

3) = 0

Luego el vector que mejor aproxima a t3 es este espacio es p(t) = 34 t, y la

distancia es:

d2 =∫ 1

−1

1√1− t2

(t3 − 3

4t

)2

dt =5π16

− 9π16

+9π32

=π

32∫ 1

−1

t6√1− t2

dt =5π16, D =

√5π16

− π

32=

34

√π

2

c)T0(t) = cos(0 arc cos t) = 1, T1(t) = cos(arc cos t) = t

T2(t) = cos(2 arc cos t) = 2 cos2(arc cos t)− 1 = 2t2 − 1

T3(t) = cos(3 arc cos t) = 4t3 − 3t

33. Como (cn) ∈ l∞, ‖(cn)‖∞ = K. Es facil ver que T esta bien definida entodo l2 y es lineal. Ademas T es continua, pues

‖Tx‖ =

√√√√ ∞∑n=1

|cnxn|2 ≤ K‖x‖

Esto implica que ‖T‖ ≤ K. Pero si consideramos los vectores de la base orto-normal en = (0, . . . , 1, . . .), ‖Ten‖ = |cn| y por tanto

‖T‖ ≥ |cn|, ∀n

de donde se deduce que ‖T‖ ≥ K y ‖T‖ = K. La aplicacion adjunta verifica:

(Tx, y) = (x, T+y), x, y ∈ l2

(Tx, y) = ((cnxn), y) =∞∑

n=1

cnxnyn = (x, (cnyn))

Por tanto:T+x = (cnxn)

que tambien esta definida en todo l2. La aplicacion T es autoadjunta si y solosi (cn) es una sucesion de numeros reales.

155

34.

1. P es una aplicacion lineal:

(P (x+ y), z) = (x+ y, P (z)) = (x, P (z)) + (y, P (z)) =(x+ y, P (z)) = (P (x+ y), z)

(P (λx), y) = (λx, P (y)) = λ(x, P (y)) = λ(P (x), y) = (λP (x), y)

Ademas es continua:

‖P (x)‖2 = (P (x), P (x)) = (P 2(x), x) = (P (x), x) ≤ ‖P (x)‖2‖x‖2

por lo tanto‖P (x)‖ ≤ ‖x‖

y ‖P‖ = 1 (si x ∈ P (H), Px = x).

2. M = P (H) es un subespacio lineal cerrado. Al ser lineal P , M es un subes-pacio. Para ver que es cerrado, sea (xn) una sucesion en M , convergente ax ∈ H. Como P es continua, (P (xn)) es una sucesion convergente a P (x).Pero, P (xn) = xn, (pues xn ∈M), por lo tanto x = P (x) y x ∈M . ComoM es un subespacio cerrado, H = M ⊕M⊥ y PM es el proyector ortogo-nal sobre M . Veamos que kerP es ortogonal a M . Sea x ∈M , y ∈ kerP .Entonces:

(x, y) = (Pz, y) = (z, Py) = 0

Ademas kerP = im(1H − P ) pues

x ∈ kerP ⇒ x = P (y) + z, y, z ∈ H ⇒ P (x) = P 2(y) + P (z)⇒ x = z − P (z) ⇒ x ∈ im(1H − P )

x ∈ im(1H − P ) ⇒ ∃y ∈ H, x = (1H − P )(y) ⇒P (x) = P (1H − P )(y) = 0

3. Es una consecuencia de lo anterior (P ↔M).

35.

a) El conjunto S es un subespacio denso en l2. Por tanto su ortogonal esS⊥ = 0. O si se quiere, la base canonica de l2 esta en S y el unico vectorortogonal a esa base es el 0.

b) Puesto que S contiene a la base canonica y T es acotado y se exige que suextension tambien lo sea:

x ∈ l2, x =∑

n

xnen, T x = T

(∑n

xnen

)=∑

n

T (xnen) =∑

n

xnTen

Luego la extension es unica. Si no se exige la acotacion, no se puede dareste paso y T no queda unıvocamernte determinado sobre los vectores queestan en l2 pero no en S.


c) Calculemos una base ortonormal de W :

v1 = e2 + e4, v2 = e3 − e1, v3 = e1 − e2

u1 =1√2(e2 + e4), u2 =

1√2(e3 − e1)

u′3 = v3 − (v3, u1)u1 − (v3, u2)u2

= e1 − e2 −12(−1)(e2 + e4)−

12(−1)(e3 − e1)

=12(e1 − e2 + e3 + e4)

u3 =12(e1 − e2 + e3 + e4)

Proyectando el vector u:

v = PWu = (u1, v)u1 + (u2, v)u2 + (u3, v)u3

=12

(14

+116

)(e2 + e4) +

12(0)(e3 − e1)

+14

(− 1

4+

116

)(e1 − e2 + e3 + e4)

=532

(e2 + e4)−364

(e1 − e2 + e3 + e4) =(− 3

64,1364,− 3

64,

764, 0, . . .

)

d) No, como se comprueba mas abajo (a pesar de que todos los vectores delespacio indicado son ortogonales a los de W ). Falta una combinacion linealde e1, e2, e3, e4, ortogonal a W y ademas hay que tomar el cierre de laenvolvente lineal. El vector que falta es:

(e1 − e2, w) = 0, (e2 + e4, w) = 0, (e3 − e1, w) = 0

luegow = (wn), w2 = w1, w4 = −w2, w3 = w1

y por tantoW⊥ = line1 + e2 + e3 − 24, e5, e6, . . .

La proyeccion de u sobre W⊥ es simplemente:

PW⊥ = u− PWu

=(

0,122, 0,

142, 0,

162, . . .

)− 1

64(−3e1 + 13e2 − 3e3 + 7e4)

=(

364,

364,

364,− 3

64, 0,

162, 0,

182, 0, . . .

)

e) El espacio S no es cerrado y por tanto no se puede aplicar el teorema de laproyeccion ortogonal. La mejor aproximacion no existe en S, pues u ∈ Sy no hay ningun vector en S que aproxime a u mas que todos los demas.

157

36.

1. T esta bien definida, es lineal y continua:

‖Tx‖2 =∞∑

n=1

|λn(en, x)|2 ≤ K2∞∑

n=1

|(en, x)|2 = K2‖x‖2

pues (λn) esta acotada por algun K. La ecuacion de autovalores es:

Tx− λx =∞∑

n=1

(λn − λ)xnen = 0

luego λn es autovalor para todo n y no hay mas autovalores.

2. λ = 1 no es un autovalor (λn 6= 1 para todo n). Sin embargo im(T − 1H)es un subespacio denso en H, pues contiene a los vectores de la baseortonormal y por tanto a su envolvente y esto es cierto para todo λ 6= λn.Por lo tanto el espectro residual es vacıo.

3. El espectro de T consiste en el espectro discreto λn : n ∈ N y el con-tinuo, 1. La razon mas simple de este resultado es que el espectro esun conjunto cerrado del plano complejo y por tanto, como 1 es un puntode acumulacion del espectro, forma parte de el. Al no ser un autovalor yser el espectro residual vacıo, es un punto del espectro continuo. Pero hayque ver que si λ no es punto de acumulacion de la sucesion, entonces noesta en el continuo. Se tiene:

‖(T − λ1H)−1x‖2 =∞∑

n=1

|λn − λ|−2|xn|2

Al no ser λ punto de acumulacion de la sucesion (λn), existe un entornode λ en el que no hay puntos de la sucesion: |λn − λ| > k para todo n yalgun k. Por tanto:

∞∑n=1

|λn − λ|−2|xn|2 ≤1k2‖x‖2

Es decir, el operador (T − λ1H)−1 esta acotado y los puntos del planocomplejo que no son puntos de acumulacion de la sucesion y que no estanen la sucesion estan en el resolvente.

37.‖Tf‖2 =

∫R

e2xf(x)2 dx =∫

sop(f)

e2xf(x)2 dx

La siguiente sucesion de funciones:

fn(x) = χ[n,n+1](x)

esta en D(T ), y su norma es ‖fn‖ = 1 para todo n. Sin embargo:

‖Tf‖2 =∫ n+1

n

e2x dx =e2n

2(e2 − 1)


que es divergente. Luego T no es acotado en su dominio.

38.

1. A esta bien definido en L2(R) y es lineal. Ademas es continuo:

‖Af‖2 =∫R

θ(x− a)|f(x)|2 dx =∫ ∞

a

|f(x)|2 dx ≤∫R

|f(x)|2 dx

No es unitario (no conserva la norma), pero es autoadjunto:

(g,Af) =∫R

g(x)θ(x− a)f(x) dx =∫R

θ(x− a)g(x)f(x) dx = (Ag, f)

y los dominios de A y A+ coinciden.

2. Bien definido en L2(R+) y lineal. Es continuo:

‖Af‖2 =∫R+

θ(x− a)|f(x− a)|2 dx =∫ ∞

0

|f(x)|2 dx =∫R+

|f(x)|2 dx

Conserva la norma y es por tanto una isometrıa:

(g,Af) =∫R+

g(x)θ(x− a)f(x− a) dx =∫R+

θ(x)g(x+ a)f(x) dx = (A+g, f)

pero no es unitario. El rango de A no es el espacio L2(R+)

3. Bien definido en L2(R) y lineal. Es continuo:

‖Af‖2 =∫R

|f(x− a)|2 dx =∫R

|f(x)|2 dx

Conserva la norma y es unitario:

(g,Af) =∫R

g(x)f(x− a) dx =∫R

g(x+ a)f(x) dx = (A+g, f)

(A+f)(x) = f(x+ a)

39. Si T es unitario, y en es una base ortonormal, entonces Ten es tambienuna base ortonormal:

(Ten, T em) = (en, em) = δnm

Veamos que si se da lo anterior para una base, entonces T es unitario.

(Tx, Ty) =∞∑

n,m=1

xnym(Ten, T em) =∞∑

n,m=1

xnymδnm =∞∑n

xnyn = (x, y)

Ademas, el operador inverso pasara de la segunda base a la primera con lo quesu dominio sera todo el espacio de Hilbert. Por tanto, T es unitario.

159

40.

1. El dominio de Q es todo L2[0, 1]. Se tiene

‖Qf‖2 =∫ 1

0

x2|f(x)|2 dx ≤∫ 1

0

|f(x)|2 dx = ‖f‖2

Q es un operador acotado. Su norma es igual a 1. Para probarlo, bastadefinir la sucesion de funciones:

fn(x) = χ[1− 1n ,1]

que verifican:

‖fn‖2 =∫ 1

0

χ2[1− 1

n ,1] dx =1n,

‖Qfn‖2 =∫ 1

0

x2χ2[1− 1

n ,1] dx =1n

(1− 1

n+

13n2

)Dividiendo y haciendo n→∞ se obtiene el resultado deseado.

Su espectro puntual es vacıo, xf(x) = λf(x) implica que f(x) = 0 (salvoconjuntos de medida nula). El operador posicion en L2[0, 1] es autoadjunto,luego su espectro residual vacıo. En cuanto al espectro continuo, al serautoadjunto, es real. El operador (Q−λI)−1 existe y tiene un dominio quees denso en todo el espacio (pues λ esta en el resolvente o en el continuo).Solo nos falta ver cuando este operador es no acotado. Se tiene:

((Q− λI)−1f)(x) =1

x− λf(x), ‖(Q− λI)−1f‖ =

∫ 1

0

|f(x)|2

(x− λ)2dx

Es claro que los casos λ ∈ [0, 1] y λ /∈ [0, 1] van a ser claramente distintos.Supongamos primero que λ no esta en el intervalo [0, 1]. Entonces |λ−x| >k para algun k > 0 cuando x ∈ [0, 1], y por tanto:∫ 1

0

|f(x)|2

(x− λ)2dx ≤ 1

k2

∫ 1

0

|f(x)|2 dx =1k2‖f‖2 dx

luego el operador es acotado y λ esta en el resolvente. Si λ ∈ [0, 1], λ 6= 1,consideramos la siguiente sucesion de funciones y probamos que el opera-dor no esta acotado.

fn(x) = χ[1+(n−1)λ

n ,1]

La norma de estas funciones es

‖fn‖2 =∫ 1

0

χ2

[1+(n−1)λ

n ,1]dx =

(n− 1)(1− λ)n

y la de las imagenes:

‖(Q− λI)−1fn‖2 =∫ 1

0

1(x− λ)2

χ2

[1+(n−1)λ

n ,1]dx =

n− 11− λ


por tanto:‖(Q− λI)−1fn‖

‖fn‖=

√n

1− λ

y el operador no esta acotado. Como el espectro es cerrado, el punto 1esta en el espectro continuo, que resulta ser todo el intervalo [0, 1].

2.‖Tf‖2 =

∫R

|f(x)|2 dx = ‖f‖2

T es un operador unitario, el operador inverso coincide con el adjunto,T+f(x) = e−ixf(x). Su norma es igual a 1 y su espectro esta contenidoen la circunferencia de radio unidad, pero el puntual es vacıo (como enel caso anterior). No tiene espectro residual (por ser normal). En cuantoal espectro continuo, para todo λ = eiϕ con ϕ ∈ [0, 2π) se puede probarque no es acotado, luego todo el espectro continuo es la circunferencia deradio unidad.

3.‖Uaf‖2 =

∫R

|f(x− a)|2 dx =∫R

|f(x)|2 dx = ‖f‖2

Ua es un operador unitario. Su norma es igual a 1. Su espectro puntuales vacıo (las funciones periodicas no estan en L2(R)). Para probar que elcontinuo es toda la circunferencia unidad, se considera la siguiente sucesionde funciones:

fn(x) =1√2na

eiϕx/aχ[−na,na](x)

La norma de esta funciones es:∫R

|fn(x)|2 dx =1

2na

∫ na

−na

dx = 1

y las de sus imagenes con el operador U − λI, λ = e−iϕ:∫R

|fn(x− a)− λfn(x)|2 dx =1n

que tiende a infinito cuando n tiende a cero, por lo que λ esta en el espectrocontinuo, que es toda la circunferencia unidad.

41.

a)

‖Tx‖2 =∞∑

n=1

|xn|2 = ‖x‖2

Luego T es continuo y su norma es 1.

b)(T+x, y) = (x, Ty) = x3y1 + x4y2 + · · ·

Sea T+x = (x′1, x′2, . . .). Entonces

x′1 = x3, x′2 = x4, x

′3 = x5 . . .

161

yT+x = (x3, x4, . . .)

c) El espectro puntual es:

Tx = λx, 0 = λx1, 0 = λx2, x1 = λx3, x2 = λx4, . . .

Si λ 6= 0, no es autovalor. Es facil ver que λ = 0 tampoco es autovalor:σp(T ) = ∅. Por tanto, el operador (T − λ)−1 existe para todo λ ∈ C.Calculemos el espectro residual. Para ello estudiaremos en primer lugar siel rango de este operador es denso en l2. Veamos si existe un vector y ∈ l2que sea ortogonal a Ran(T − λ)

0 = (y, (T − λ)x) =∞∑

n=1

(yn+2 − λyn)xn

ecuacion que debe ser cierta para todo xn, por tanto:

y3 − λy1 = 0, y4 − λy2 = 0, y5 − λy3 = 0 . . .

es decir:y2n = λn−1y2, y2n+1 = λny1

Ahora bien, para que y ∈ l2 se tiene que cumplir que |λ| < 1, luego elespectro residual es el interior del cırculo unidad. De manera inmediata,puesto que el espectro es un cerrado, se deduce que el espectro continuoes el conjunto de puntos |λ| = 1. El resolvente son los puntos |λ| > 1

En cuanto al espectro de T+, sabemos que los conjugados del resolventede T son los puntos del resolvente de T+. Por tanto:

ρ(T+) = ρ(T ) = λ ∈ C : |λ| > 1

Ademas, los puntos del espectro continuo de T+ son los conjugados de lospuntos del espectro continuo de T .

σc(T+) = σc(T ) = λ ∈ C : |λ| = 1

Finalmente, los conjugados de los puntos del residual de T estan en elespectro puntual de T+:

σp(T+) ⊃ σr(T ) = λ ∈ C : |λ| < 1

con lo que queda claro que

σp(T+) = λ ∈ C : |λ| < 1, σr(T+) = ∅

Como se puede ver, los puntos del espectro puntual de T+ no estan en elespectro puntual de su adjunto T , sino en su residual

Veamos con mas detalle el espectro de T+.

T+x = λx, x3 = λx1, x4 = λx2, x5 = λx3, x6 = λx4, . . .


Por tanto, si λ = 0, x3 = x4 = · · · = 0, siendo x1, x2 arbitrarios:(1, 0, 0, . . .) y (0, 1, 0, . . .) son autovectores de autovalor 0. Si λ 6= 0

xn = λxn−2

relacion de recurrencia con solucion:

x2n = λn−1x2, x2n+1 = λnx1

es decir:x = (x1, x2, λx1, λx2, λ

2x1, λ2x2, . . .)

y calculando la norma

‖x‖2 = |x1|∞∑

n=0

|λ|2n + |x2|∞∑

n=0

|λ|2n

y para que estas sumas sean finitas, |λ| < 1. Todos los puntos interioresdel cırculo unidad son autovalores.

42.

a) Al ser la sucesion (λn) convergente, esta acotada: |λn| ≤ k para todo n yalgun k ∈ R. Entonces

‖Tx‖2 =∞∑

n=1

|λnxn|2 =∞∑

n=1

|λn|2|xn|2 ≤ k2∞∑

n=1

|xn|2 = k2‖x‖2

Por tanto, T es continuo, definido en todo l2(C), y ademas, ‖T‖ ≤ k. Delo anterior se ve que lo unico que hace falta es que la sucesion sea acotada.No es necesario que converja.

b) De la ecuacionTx = λx⇒ λnxn = λxn, n = 1, 2, . . .

se deduce que λn ∈ σp(T ) para todo n. Los autovectores correspondientesson en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .). No hay mas puntos en el espectro puntual. Siλ 6= λn para todo n, entonces xn = 0 para todo n y x = 0.

c) Dado en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), sea

y =1

λn − λen

Entonces:

(T − λI)y = Ty − λy =1

λn − λTen −

λ

λn − λen

=(

λn

λn − λ− λ

λn − λ

)en = en

Por tanto en ∈ R(T ). Por linealidad, linen ⊂ R(T ), y como linen =l2(C), se tiene que el rango del operador T − λI es denso en l2(C). Luegoel espectro residual es vacıo.

163

43.

a)

‖Tx‖ =∞∑

n=0

(Tx)n = x21 +

19x2

3 +125x2

5 + · · · =∞∑

k=0

x22k+1

(2k + 1)2

como1

(2k + 1)2≤ 1

‖Tx‖ ≤∞∑

k=0

x22k+1 ≤

∞∑k=0

x2k = ‖x‖

T es continuo y ‖T‖ ≤ 1. Pero T (1, 0, . . .) = (1, 0 . . .), luego ‖T‖ = 1.

b)

(x, Ty) =∞∑

n=0

xk(Ty)k =∞∑

k=0

x2k+1y2k+1

2k + 1

luego T+ = T (basta comprobarlo para la base canonica de l2(R)).

c) No hay espectro residual, pues T es autoadjunto. En cuanto al espectropuntual es inmediato comprobar que es:

σp =

1,13,15, . . .

con autovectores: e1, e3, e5, . . ..

44.

a) Para todo x ∈ l2 se tiene

Tx = (0,x2

2, 0,

x4

4, 0,

x6

6, . . .)

y por tanto,

‖Tx‖2 =∞∑

n=1

|x2n|2

4n2≤

∞∑n=1

|x2n|2 ≤∞∑

n=1

|xn|2 = ‖x‖2

luego T esta bien definido, es continuo y ‖T‖ ≤ 1.

b) Dado λ ∈ C, buscamos x ∈ l2 tal que

(T − λI)x = en

es decir:

(−λx1,x2

2− λx2,−λx3,

x4

4− λx4, . . .) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

Si λ = 0, no todo en esta en la imagen (por ejemplo e1 no esta). Si λ 6= 0,los vectores e2n−1 estan en la imagen. Basta tomar un vector con todaslas componentes 0 salvo la 2n− 1 y esa tomarla igual a 1/λ−1. Pero paraque este, por ejemplo, e2, es necesario que λ 6= 1/2, para obtener e4, queλ 6= 1/4 etc.Como conclusion, para todo λ /∈ 0, 1

2 ,14 ,

16 , . . ., la base ortonormal en

esta en el rango de T − λI, y por tanto este rango es denso en l2.


c) El espectro puntual es el conjunto

σp(T ) = 0, 12,14,16, . . .

como se ve facilmente. Los autovectores de λ = 0 son los vectores e2n−1,n = 1, 2, . . . y el de λ = 1

2n es e2n. Segun el apartado b), el espectro residuales vacıo. Tambien es sencillo probar que el operador T es autoadjunto loque implica tambien que el espectro residual es vacıo.

Si λ /∈ σp(T ), existe el operador inverso, que es muy sencillo de obtener alser T diagonal:

(T − λI)−1x =(λ−1x1,

(12− λ

)x2, λ

−1x3, . . .

)y en normas

‖(T − λI)−1x‖2 = λ−2∞∑

n=1

|x2n−1|2 +∞∑

n=1

(12n

− λ

)−2

|x2n|2

de donde se deduce que T − λI esta acotado, pues 12n − λ > k > 0 al

no ser λ un punto de acumulacion de la sucesion 1/(2n). El unico puntode acumulacion de la sucesion es λ = 0 que es un punto del espectropuntual. Por lo tanto, el espectro continuo es vacıo y el resolvente es elcomplementario del puntual.

45.

a) Se tiene:T = I − T+

Como sabemos, T+ es un operador lineal pues∞∑

n=2

|xn|2 ≤∞∑

n=1

|xn|2

por lo que‖T+‖ ≤ 1

y se tiene‖T‖ = ‖I − T+‖ ≤ ‖I‖+ ‖T+‖ ≤ 1 + 1 = 2

b) Para calcular el espectro puntual, Tx = λx:

x1 − x2 = λx1, x2 − x3 = λx2, x3 − x4 = λx3, . . .

x2 = (1− λ)x1, x3 = (1− λ)x2, . . . , xn = (1− λn−1x1

Para que el vector x = ((1− λ)n−1) este en l2 se ha de satisfacer:∞∑

n=1

|1− λ|2(n−1) ≤ ∞

lo que implica|1− λ| < 1

Por lo tanto el espectro puntual es la bola abierta (en el plano complejo)de centro 1 y radio 1, B(1, 1). Los autovectores son ((1− λ)n−1)

165

c) El operador T+ no es autoadjunto, pues T+ tampoco lo es:

T++ x = (0, x1, x2, x3, . . .)

y por tantoT+ = I − T+

+ 6= T

d)

(y, Tx) = y1(x1 − x2) + y2(x2 − x3) + y3(x3 − x4) + . . .

= y1x1 + (y2 − y1)x2 + (y3 − y2)x3 + · · · = 0

y por tantoy1 = y2 = · · · = 0

luego no existe y con esas caracterısticas. Esto quiere decir que el rango(la imagen) de T es denso en l2, y por tanto λ = 0 (que no esta en elespectro puntual) no esta en el residual. Se puede ver que este operadortiene espectro residual vacıo y el continuo es la frontera de la bola B(1, 1).El conjunto resolvente es el exterior de esta bola.

46.

a) T es claramente lineal. En cuanto a la acotacion

‖Tx‖2 =∞∑

n=1

|xn|2

(n+ 1)2≤

∞∑n=1

|xn|2 = ‖x‖2

luego T es acotado y ademas ‖T‖ ≤ 1.

b)

(Tx, y) = ((0,12x1,

13x2, . . .), (y1, y2, . . .)) =

12x1y2 +

13x2y3 + . . .

(x, T+y) = ((x1, x2, . . .), (y′1, y′2, . . .)) = x1y

′1 + x2y

′2 + . . .

luego

y′1 =12y2, y′2 =

13y3, . . . , y

′n =

1n+ 1

yn, . . .

T+(x1, x2, . . .) = (12x2,

13x3, . . .)

TT+(x1, x2, . . .) = T (12x2,

13x3, . . .) = (0,

14x2,

19x3, . . .)

T+T (x1, x2, . . .) = T+(0,12x1,

13x2, . . .) = (

14x1,

19x2, . . .)

y por lo tanto T no es normal.


c) Los puntos del espectro puntual de T verifican:

(0,12x1,

13x2, . . .) = λ(x1, x2, . . .)

por lo tanto, si λ 6= 0, x1 = 0 lo que lleva a x = 0. Si λ = 0, se llegatambien a que x = 0. Luego el espectro puntual es vacıo. En cuanto al deT+:

(12x2,

13x3, . . .) = λ(x1, x2, . . .)

por tanto,

x2 = 2λx1, x3 = 3λx2 = 3!λ2x1, . . . , xk = k!λk−1x1, . . .

pero el vectorx = (1, 2λ, . . . , n!λn−1, . . .)

no esta en l2, pues

∞∑n=1

|xn|2 =∞∑n1

(n!)2|λ|2(n−1)

solo converge para λ = 0. Este valor de λ = 0 es el unico autovalor de T+,con autovector

(1, 0, . . .)

d) Si λ ∈ σp(A), entonces λ ∈ σp(A+) ∪ σr(A+). Como 0 ∈ σp(T+), entonces

0 ∈ σp((T+)+) ∪ σr((T+)+) = σp(T ) ∪ σr(T )

Pero σp(T ) = ∅, luego 0 ∈ σr(T ).

47.

a) Sea λn = in

nα . Entonces, el operador es

T (xn) = (λnxn) =(in

nαxn

)Pero

|λn| =1nα

luego (λn) es una sucesion que esta acotada en modulo si α ≥ 0. En estecaso:

|λn| ≤ 1,∀n, |λn| ≤ ‖(λn)‖∞ = 1

y por tanto

‖Tx‖2 =∞∑

n=1

|λnxn|2 ≤∞∑

n=1

|xn|2 = ‖x‖2

Si α < 0 la sucesion no esta acotada y el operador no esta definido en todol2(C).

167

b) ‖T‖ ≤ 1. Pero T (1, 0, . . .) = (i, 0, . . .). Entonces, ‖T‖ = 1.

c) T es un autovalor diagonal. La ecuacion de autovalores

Tx = λx

lleva, como se facilmente, a que λn es un autovalor con autofuncion en. Eloperador no es autoadjunto. Los autovalores no son reales.

d) λ = 0 es el lımite de la sucesion λn. Este punto esta en el espectro continuo.En efecto, el espectro residual es vacıo. Si λ no es un autovalor (λ 6=λn, ∀n), sea en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .). Entonces en esta en el rango deA− λI, pues

(T − λI)(

1λn − λ

en

)=

1λn − λ

(Ten − λen) = en ∈ R(T )

Esto quiere decir que R(T ) contiene una base ortonormal, luego contienea su envolvente y su cierre contiene al cierre de la envolvente de la base,que es todo l2(C). Luego para todo punto fuera del espectro puntual, elrango de T es denso en l2(C). Esto quiere decir que el espectro residuales vacıo. Ademas se puede demostrar que el resolvente esta contenido enel complementario del cierre de la sucesion. Sea λ un punto que no es deacumulacion de las sucesion. Existe ε > 0 tal que |λn − λ| > 0 para todon. Entonces

‖(T − λI)−1x‖2 =∞∑

n=1

|xn|2

|λn − λ|2≤ 1ε2‖x‖2

cuando x esta en el rango de T − λI. Por tanto (T − λI)−1 esta acotadoy λ es un elemento del resolvente. Usando el hecho de que el espectroes cerrado se concluye que el continuo esta formado por los puntos deacumulacion de la sucesion (que no coinciden con nigun elemento de lasucesion, es decir con ningun autovalor).

48.

a) Resolvamos primero el problema homogeneo∫ 1

0

xyf(y) dy − λf(x) = x

∫ 1

0

yf(y) dy − λf(x) = 0

Si λ = 0, la solucion son las funciones que verifican:∫ 1

0

yf(y) dy = 0

es decir, las funciones ortogonales a la funcion u1(x) = x. Si λ 6= 0,entonces las soluciones son f(x) = ax para algun a ∈ R (arbitrario porser el problema homogeneo):

x

∫ 1

0

y2 dy − λx = 0


y por tanto,13x− λx = 0

es decir, solo hay una solucion (l.i.):

λ =13, f(x) = x

El operador

Kf(x) =∫ 1

0

xyf(y) dy

se puede poner como:

Kf = (u, f)u, u(x) = x

y se puede interpretar como la proyeccion (salvo un factor) sobre el subes-pacio engendrado por u (que no es de norma 1, sino ‖u‖ = 1/

√3):

K =13P

luego, la ecuacion Kf − λf = g es:

13Pf = g + λf

y aplicando P (si λ 6= 0, 1/3):

(13− λ)Pf = Pg ⇒ Pf =

113 − λ

Pg

Por tanto:

f =13λPf − 1

λg =

1λ(1− 3λ)

Pg − 1λg

Si λ = 013Pf = g

luego no hay solucion a no ser que Pg = g. En este caso,

Pf = 3g, f = 3g + h

donde h es ortogonal a u. Si λ = 1/3

Pf − f = 3g

luego no hay solucion a no ser que Pg = 0. En este caso,

f = −3g + h, Ph = h

.

169

b) Resolvamos primero el problema homogeneo∫ 1

0

ex+yf(y) dy − λf(x) = ex

∫ 1

0

eyf(y) dy − λf(x) = 0

Si λ = 0, la solucion son las funciones que verifican:∫ 1

0

eyf(y) dy = 0

Si λ 6= 0, las soluciones son f(x) = ex:

ex

∫ 1

0

e2y dy − λex = 0

12(e2 − 1)ex − λex = 0 ⇒ λ =

12(e2 − 1), f(x) = ex

El problema no homogeneo se trata como el anterior, con u(x) = ex.

‖u‖2 =12(e2 − 1), K =

12(e2 − 1)P

Pf =1

12 (e2 − 1)− λ

Pg

si λ 6= 0, 12 (e2 − 1). Por tanto:

f =e2 − 1

λ(e2 − 1− 2λ)Pg − 1

λg

Para λ = 0,

f =2

e2 − 1g + h, Ph = 0, Pg = g

Para λ = 12 (e2 − 1),

f = − 2e2 − 1

g + h, Ph = h, Pg = 0

49.

a)

Af(x) =∫ π/2

0

cos(x− y)f(y) dy

Se trata de un nucleo degenerado, pues

Af(x) = cosx∫ π/2

0

(cos y)f(y) dy + senx∫ π/2

0

(sen y)f(y) dy

Sean u1 = cosx, u2 = senx. Entonces,

Af(x) = (u1, f)u1(x) + (u2, f)u2(x)


Busquemos los autovalores de A. Esta claro que el rango del operador esel espacio

linu1, u2

Para λ = 0, las soluciones estan en el subespacio ortogonal al rango de A.Para λ 6= 0, las autofunciones estan en el rango de A:

f = au1 + bu2

Sustituyendo:

(u1, au1 + bu2)u1 + (u2, au1 + bu2)u2 = λ(au1 + bu2)

y como:

(u1, u1) = (u2, u2) =∫ π/2

0

cos2 xdx =π

4

(u1, u2) =∫ π/2

0

cosx senxdx =12

tenemos, (π4− λ)a+

12b = 0

12a+

(π4− λ)b = 0

Los autovalores son las soluciones de la ecuacion

det(

π4 − λ 1

212

π4 − λ

)=(π

4− λ)2

− 14

es decir:λ =

π

4+

12,π

4− 1

2Las autofunciones son:

f1 = u1 + u2, f2 = u1 − u2

El operador A es autoadjunto (su nucleo es simetrico y real) y su normacoincide con el maximo de los autovalores.

‖A‖ =π

4+

12

No hay espectro continuo por ser de tipo compacto (tampoco hay residualpor ser autoadjunto).

b)

(Kf)(x) =∫ π

0

cosx sen yf(y) dy

En este caso, el rango de K, igual a lincosx tiene dimension 1 (el nucleono es simetrico). Si u(x) = senx, v(x) = cosx, ‖v‖2 = ‖u‖2 = 1

2 ,

Kf = (u, f)v, (u, v) =∫ π

0

cosx senxdx = 0

171

luego f = av, y sustituyendo en la ecuacion de autovalores:

(u, v)v = λv ⇒ λ = 0

El espectro puntual consta de un solo punto λ = 0 y el subespacio propioasociado a este autovalor es el ortogonal a u. En cuanto a la norma,

‖Kf‖ = |(u, f)| ‖v‖ =√π

2|(u, f)| ≤

√π

2‖u‖ ‖f‖ =

π

2‖f‖

luego‖K‖ ≤ π

2Pero, si f = u,

‖Ku‖ = |(u, u)| ‖v‖ =π

2luego

‖K‖ =π

2No hay espectro residual ni continuo.

50.

(Kf)(x) =∫ x

0

(1 + x)f(y) dy = (1 + x)∫ x

0

f(y) dy = λf(x)

Si λ = 0, entonces f(x) = 0. Para λ 6= 0

f(x) =1λ

(1 + x)∫ x

0

f(y) dy

Notese que f(0) = 0. La funcion f es continua y se tiene, si:

h(x) =∫ x

0

f(y) dy, f(x) = g′(x), h(0) = 0

h′(x) =1λ

(1 + x)h(x)

una ecuacion diferencial cuya solucion es

h(x) = Ce12λ (1+x)2

pero que debido a la condicion inicial es cero. Luego no hay autovalores. Encuanto al problema no homogeneo (en el caso λ 6= 0):

(1 + x)∫ x

0

f(y) dy − λf(x) = g(x)

empleando la misma tecnica que antes:

λh′(x)− (1 + x)h(x) = −g(x)

La solucion del problema homogeneo ya la conocemos:

hH(x) = Ce12λ (1+x)2


y una solucion particular del completo se obtiene de:

C ′(x) = − 1λ

e−12λ (1+x)2g(x)

La solucion completa es (con h(0) = 0)

h(x) = − 1λ

e12λ (1+x)2

∫ x

0

e−12λ (1+y)2g(y) dy

y la solucion del problema es

f(x) = h′(x) = − 1λg(x)− 1

λ2(1 + x)

∫ x

0

e12λ [(1+x)2−(1+y)2]g(y) dy

En el caso λ = 0, ∫ x

0

f(y) dy =g(x)1 + x

Derivando:

f(x) =ddx

(g(x)1 + x

)

51.

a)

k(x, y) =12− 1

2cos 2(x− y) =

12− 1

2cos 2x cos 2y − 1

2sen 2x sen 2y

12

∫ 2π

0

f(y) dy − 12

∫ 2π

0

f(y) cos 2y − 12

sen 2x∫ 2π

0

f(y) sen 2y dy = λf(x)

Si λ 6= 0, entonces f(x) = a+ b cos 2x+ c sen 2x y se tiene

12

∫ 2π

0

(a+ b cos 2y + c sen 2y) dy −

12

cos 2x∫ 2π

0

(a+ b cos 2y + c sen 2y) cos 2y −

12

sen 2x∫ 2π

0

(a+ b cos 2y + c sen 2y) sen 2y dy

= λ(a+ b cos 2x+ c sen 2x)

es decir

πa− πb

2cos 2x− πc

2sen 2x = λ(a+ b cos 2x+ c sen 2x)

Por tanto los autovalores no nulos son π,−π/2 y las autofunciones son1, cos 2x, sen 2x.

b) λ = 0 es un autovalor y el nucleo tiene dimension infinita, pues estan en eltodas las funciones sennx, cosnx para n 6= 2.

52.

173

a)

Kf(x) =∫ 1

0

(12xy2 − 2)f(y) dy = 12x∫ 1

0

y2f(y) dy − 2∫ 1

0

f(y) dy

= λf(x)

Si λ 6= 0, f(x) = ax+ b y se tiene

12x∫ 1

0

y2(ay + b) dy − 2∫ 1

0

(a+ by) dy = λ(ax+ b)

y por tanto:3a+ 4b = λa, −a− 2b = λb

Los autovalores son −1, 2 y las autofunciones x− 1, 4x− 1.

b) Si consideramos f(x) = ax2 + bx+ c e imponemos Kf = 0, se obtienen lasecuaciones:

2a+ 3b+ 6c = 0, 12a+ 15b+ 20c = 0

y por tanto, dos funciones que difieran en la funcion 15x2−16x+3 tienenla misma imagen.

53.

a) La ecuacion para calcular las autofunciones es:∫ 1

0

k(x, y)f(y) dy = λf(x)

es decir:∫ 1

0

3y(1 + 5x2y2)f(y) dy = 3∫ 1

0

yf(y) dy + 15x2

∫ 1

0

y3f(y) dy = λf(x)

Si λ 6= 0, f(x) = a+ bx2, por tanto;

3∫ 1

0

y(a+ by2) dy + 15x2

∫ 1

0

y3(a+ by2) dy = λ(a+ bx2)

32a+

34b+

(154a+

52b

)x2 = λ(a+ bx2)

Hay que calcular los autovalores de la matriz:32

34

154

52

, λ2 − 4λ+1516

= 0, λ1 =14, λ2 =

154

Las autofunciones son, para λ1:32− 1

434

154

52− 1

4

( ab

)=

54

34

154

94

( ab

)= 0, b = −3

5a


y para λ2:32− 15

434

154

52− 15

4

( ab

)=

−94

34

154

−54

( ab

)= 0, b = 3a

es decir:f1(x) = 5− 3x2, f2(x) = 1 + 3x2

b) Basta encontrar una funcion que este en el nucleo del operador.∫ 1

0

3y(1 + 5x2y2)f(y) dy = 3∫ 1

0

yf(y) dy + 15x2

∫ 1

0

y3f(y) dy = 0

es decir: ∫ 1

0

yf(y) dy = 0,∫ 1

0

y3f(y) dy = 0

La mas sencilla es un polinomio de orden 2 (de orden 1 no hay ninguno):∫ 1

0

y(a+ by + cy2) dy =12a+

13b+

14c = 0

∫ 1

0

y3(a+ by + cy2) dy =14a+

15b+

16c = 0

Una solucion particular del sistema de ecuaciones es:

a = 4, b = −15, c = 12, f(x) = 4− 15x+ 12x2

Dos funciones que difieran en la funcion anterior tienen la misma imagen.

54.

a)

x2

∫ 2π

0

yf(y) dy + π2 senx∫ 2π

0

y2f(y) dy = λf(x)

Como λ 6= 0

f(x) =1λx2

∫ 2π

0

yf(y) dy +1λπ2 senx

∫ 2π

0

y2f(y) dy = ax2 + b senx

Por tanto:

x2

∫ 2π

0

y(ay2 + b sen y) dy + π2 senx∫ 2π

0

y2(ay2 + b sen y) dy = λf(x)

Pero ∫ 2π

0

y3 dy = 4π4,

∫ 2π

0

y4 dy =325π5

∫ 2π

0

y sen y dy = −y cos y∣∣2π

0+∫ 2π

0

cos y dy = −2π

175

∫ 2π

0

y2 sen y dy = −4π2

y se tiene

(4π4a− 2bπ)x2 + (325π7a− 4bπ4) senx = aλx+ bλ senx

(4π4 − λ)a− 2bπ = 0,325π7a− (4π4 + λ)b = 0

Los autovalores son las soluciones de la ecuacion

−(4π4 − λ)(4π4 + λ) +645π8 = 0, λ2 − 16π8 +

645π8 = λ2 − 16

5π8 = 0

es decir:

λ1 = −4π4

√5, λ2 =

4π4

√5

Las autofunciones son

2π3

(1 +

1√5

)a− b = 0, 8π3a− (5−

√5)b = 0

2π3

(1− 1√

5

)a− b = 0, 8π3a− (5 +

√5)b = 0

es decir:

λ1 = −4π4

√5, f1(x) = x2 + 2π3

(1 +

1√5

)senx

λ2 =4π4

√5, f2(x) = x2 + 2π3

(1− 1√

5

)senx

b) Las autofunciones f1 y f2 no son ortogonales∫ 2π

0

(x2 + α senx)(x2 + β senx) dx

=∫ 2π

0

(x4 + (α+ β)x2 senx+ αβ sen2 x) dx

=325π5 − 16π5 = −16

5π5

Por lo tanto, el operador K no es autoadjunto (autofunciones correspon-dientes a autovalores distintos no son ortogonales).

55.

a) ∫ 1

0

xy(3− 5xy)f(y) dy = λf(x)

se puede escribir como:

3x∫ 1

0

yf(y) dy − 5x2

∫ 1

0

y2f(y) dy = λf(x)


Luego, si λ 6= 0 se tiene que

f(x) = ax+ bx2

Sustituyendo∫ 1

0

xy(3− 5xy)(ay + by2) dy =(a+

34b

)x+

(− 5

4a− b

)= λ(ax+ bx2)

Es decir, es trata de calcular los autovalores de la matriz

( 1 34 −

54 −1 )

que son

λ2 − 116

= 0, λ1,2 = ±14

Las autofunciones son

f1(x) = x(x− 1), f2(x) = x(5x− 3)

b De acuerdo con lo anterior debe ser ortogonal a x y a x2. Probando con unpolinomio de grado 3:∫ 1

0

(p+ qy + y2)y dy = 0,∫ 1

0

(p+ qy + y2)y2 dy = 0,

Es decir:6p+ 4q = −3, 20p+ 15q = −12

con soluciones:

p =310, q = −6

5

y la funcion buscada es:3− 12y + 10y2

56.

a) El nucleo k es degenerado:

k(x, y) =32

+ 15xy + 15x2y2

y la ecuacion de autovalores Kf = λf es:

∫ 1

−1

(32

+ 15xy + 15x2y2

)f(y) dy =

32

∫ 1

−1

f(y) dy

+15x∫ 1

−1

yf(y) dy + 15x2

∫ 1

−1

y2f(y) dy = λf

177

Para calcular los autovalores distintos de cero, tomamos f(x) = a+bx+cx2∫ 1

−1

(32

+ 15xy + 15x2y2

)f(y) dy

=32

∫ 1

−1

(a+ by + cy2) dy + 15x∫ 1

−1

y(a+ by + cy2) dy

+15x2

∫ 1

−1

y2(a+ by + cy2) dy

=32

(2a+

23c

)+ 15x

(23b

)+ 15x2

(23a+

25c

)= λ(a+ bx+ cx2)

es decir:

3a+ c = λa

10b = λb

10a+ 6c = λc

es decir, la matriz de la que hay que calcular los autovectores es (lo mejores utilizar una matriz simetrica, pero el resultado es el mismo.): 3 0 1

0 10 010 0 6

, (10− λ)((3− λ)(6− λ)− 10) = (10− λ)(λ− 8)(λ− 1)

luego los autovalores no nulos son:

1, 8, 10

y los autovectores correspondientes son: 2 0 10 9 010 0 5

αβγ

= 0, β = 0, γ = −2α,

10−2

−5 0 1

0 2 010 0 −2

αβγ

= 0, β = 0, γ = 5α,

105

−7 0 1

0 0 010 0 −1

αβγ

= 0, α = γ = 0,

010

es decir:

f1(x) = 1− 2x2, f2(x) = 1 + 5x2, f3(x) = x

b)V = lin1− 2x2, 1 + 5x2, x = lin1, x, x2

es un subespacio cerrado al ser de dimension finita. Hay que encontrar unabase ortonormal de V . Pero la base de autovectores es ortogonal:∫ 1

−1

x(1− 2x2) dx =∫ 1

−1

x(1 + 5x2) dx = 0


(por paridad). Ademas:∫ 1

−1

(1− 2x2)(1 + 5x2) dx =∫ 1

−1

(x+ x3 − 2x5) dx = 2 + 2− 4 = 0

un resultado por otra parte obvio, al serK autoadjunto (por ser simetrico).Normalizando∫ 1

−1

(1− 2x2)2 dx =1415,

∫ 1

−1

(1 + 5x2)2 dx =563,

∫ 1

−1

x2 dx =23

u1 =

√1514

(1− 2x2), u2 =

√356

(1 + 5x2), u3 =

√32x

y la proyeccion que hay que calcular es:

PV (g) = (x3, u1)u1 + (x3, u2)u2 + (x3, u3)u3

con

(x3, u1) =√

1514

∫ 1

−1(1− 2x2)x3 dx = 0

(x3, u2) =√

356

∫ 1

−1(1 + 5x2)x3 dx = 0

(x3, u3) =√

32

∫ 1

−1x4 dx =

√6

5

y, por tanto:

v = PV (x3) =35x

c) La proyeccion sobre V ⊥ es:

w = PV ⊥(x3) = x3 − PV (x3) = x3 − 35x

(que obviamente es ortogonal a PV (x3)). Ademas:

‖g − v‖2 =∫ 1

−1

(x3 − 3

5x

)2

dx =12− 6

25=

1350

‖g − w‖2 =∫ 1

−1

(35x

)2

dx =625

luego la funcion que mejor aproxima a g es w.

d) De la forma de K esta claro que las funciones del nucleo son ortogonales alas funciones 1, x, x2, que es V . Luego kerK = V ⊥.

179

57.

a) ∫ π

0

k(x, y)f(y) dy = λf(x)

cos2 x∫ π

0

f(y) dy −∫ π

0

sen2 yf(y) dy = λf(x), f(x) = a+ b cos2 x

cos2 x∫ π

0

(a+ b cos2 y) dy −∫ π

0

sen2 y(a+ b cos2 y) dy =

cos2 x(a

∫ π

0

dy + b

∫ π

0

cos2 y dy)

−(a

∫ π

0

sen2 y dy + b

∫ π

0

sen2 y cos2 y dy)

=

cos2 x(aπ + b

π

2

)−(aπ

2+ b

π

8

)= λ(a+ b cos2 x)

a(−π

2 − λ)− bπ

8 = 0aπ + b

(π2 − λ

)= 0

det(−π

2 − λ −π8

π π2 − λ

)= λ2 − π2

8, λ = ± π√

8

Las autofunciones son:(−π2 ∓

π√8

−π8

π π2 ∓

π√8

)(ab

)= 0,

(ab

)=(

1−4∓

√8

)

f1(x) = 1−(4 +

√8)

cos2 x, f2(x) = 1 +(−4 +

√8)

cos2 x∫ π

0

f1(x)f2(x) dx =∫ π

0

(1− (4 +√

8) cos2 x)(1 + (−4 +√

8) cos2 x) dx = 0

Las autofunciones son ortogonales y el nucleo es simetrico:

cos2 x− sen2 y = cos2 x+ cos2 y − 1

b) Si una funcion esta en el nucleo:

cos2 x∫ π

0

f(y) dy −∫ π

0

sen2 yf(y) dy = 0

∫ π

0

f(y) dy = 0,∫ π

0

sen2 yf(y) dy = 0

Es facil ver que cosx es una de esas funciones. Otra, l.i. con la anterior, escos 3x (pero no cos 2x). Las ecuaciones anteriores se pueden poner como:∫ π

0

f(y) dy = 0,∫ π

0

cos 2yf(y) dy = 0


Consideremos la base de Fourier: 1, cos 2nx, sen 2nx, n = 1, 2, . . .. Lasfunciones que verifican las dos condiciones anteriores son:

f(x) =∞∑

n=2

an cos 2nx+∞∑

n=1

bn sen 2nx

Tambien se puede coger como base de Fourier en L2[0, π]: cosnx, n =0, 1, 2, . . ., y en este caso las funciones del nucleo son:

f(x) = a1 cosx+∞∑

n=3

an cosnx

58.

a)

T ′1 = |x| cosx+ (θ(x)− θ(−x)) senxT ′′1 = −|x| senx+ 2(θ(x)− θ(−x)) cosx+ 2δ senx

= −|x| senx+ 2(θ(x)− θ(−x)) cosxT ′′′1 = −|x| cosx− 3(θ(x)− θ(−x)) senx+ 4δ cosx

= −|x| cosx− 3(θ(x)− θ(−x)) senx+ 4δ

T(4)1 = |x| senx− 4(θ(x)− θ(−x)) cosx− 6δ senx+ 4δ′

= |x| senx− 4(θ(x)− θ(−x)) cosx+ 4δ′

T ′2 = −|x| senx+ (θ(x)− θ(−x)) cosxT ′′2 = −|x| cosx− 2(θ(x)− θ(−x)) cosx+ 2δ cosx

= −|x| cosx− 2(θ(x)− θ(−x)) cosx+ 2δT ′′′2 = |x| senx− 3(θ(x)− θ(−x)) cosx− 4δ senx+ 2δ′

= |x| senx− 3(θ(x)− θ(−x)) cosx+ 2δ′

T(4)2 = |x| cosx+ 4(θ(x)− θ(−x)) senx− 6δ cosx+ 2δ′′

= |x| cosx+ 4(θ(x)− θ(−x)) senx+ 2δ′′

b) Solo T1 es solucion:T

(4)2 + 2T ′′2 + T2 = 4δ + 2δ′′

59. g(x) = cosx y su derivada segunda es − cosx.

f(x) = (θ(x)− θ(−x)) senx

f ′(x) = (θ(x)− θ(−x)) cosx+ 2δ(x) senx = (θ(x)− θ(−x)) cosx

f ′′(x) = −(θ(x)− θ(−x)) senx+ 2δ(x) cosx+ 2δ′ senx= −(θ(x)− θ(−x)) senx+ 2δ(x) = − sen |x|+ 2δ

60.

181

a)

T ′ =12θ′ sen 2x+ θ cos 2x =

12δ sen 2x+ θ cos 2x = θ cos 2x

T ′′ = θ′ cos 2x− 2θ sen 2x = δ cos 2x− 4T = δ − 4T

b) Si T1 y T2 son soluciones, T1−T2 es una solucion de la ecuacion homogenea.La solucion general de la no homogenea es:

Tg =12θ sen 2x+ a cos 2x+ b sen 2x

61. Si n es par, |x|n = xn, y las derivadas son:

xn, nxn−1, n(n− 1)xn−2, . . . , n!x, n!, 0

No aparece δ(x). Pero si n es impar, f(x) = |x|n = xn(θ(x)−θ(−x)). La primeraderivada es:

f ′(x) = nxn−1(θ(x)− θ(−x)) + 2xn(δ(x) + δ(−x)) = nxn−1(θ(x)− θ(−x))

Por tanto ninguna derivada tiene δ(x) salvo la derivada de orden n+ 1:

f (n−1)(x) = n!x(θ(x)− θ(−x))f (n)(x) = n!(θ(x)− θ(−x))

f (n+1)(x) = 2n!δ(x)f (n+2)(x) = 2n!δ′(x)

...

62.

Tε(ϕ) =∫R

fε(x)ϕ(x) dx =1ε

∫R

f(xε

)ϕ(x) dx =

∫R

f(x)ϕ(εx) dx

Tomando el lımite cuando ε→ 0

lımε→0+

Tε(ϕ) = lımε→0+

∫R

f(x)ϕ(εx) dx = ϕ0

∫R

f(x) dx = cfϕ0

El intercambio del lımite con la integral se puede hacer por el teorema de laconvergencia dominada. Si f(x) = e−x2

1εf(xε

)=

1εe−x2/ε2

y como ε > 0, se puede considerar la funcion: 1√εe−x2/ε y por tanto, al ser∫

R

e−x2dx =

√π

lımε→0+

1√εe−x2/ε =

√πδ


Si ahora f(x) = 1x2+1 , se tiene

1εf(xε

)=

ε

x2 + ε2

y: ∫R

1x2 + 1

dx = π

lımε→0+

ε

x2 + ε2= πδ

63. Calculando el lımite en D′, tenemos:

lımε→0+

1ε(δ(x− εu)− δ(x))(ϕ) = lım

ε→0+

ϕ(εu)− ϕ(0)ε

= (u ·∇ϕ)(0) = −(u ·∇δ)(ϕ)

luego la densidad es:−u · ∇δ

Para calcular la carga total aplicamos la distribucion densidad a la funcion 1(se “integra” la densidad). El resultado es 0:

−(u · ∇δ)(1) = δ(u · ∇1) = 0

Para calcular el momento, se aplica la distribucion densidad a la funcion u · x(se “integra” la densidad de carga por el vector u · x):

−(u · ∇δ)(u · x) = δ((u · ∇)(u · x)) = 1

pues(u · ∇)(u · x) = u · u = 1

64. (xP(

1x

))(f) = P

(1x

)(xf) = VP

∫f(x) dx = 1(f)

Pero se tiene tambien:1

x± i0= P

(1x

)∓ iπδ

luego (xP(

1x

)∓ iπxδ

)(f) = P

(1x

)(xf) = 1(f)

pues (xδ)f = 0.

65. a) Calculemos la transformada de Fourier de P( 1x ). Como se vera en un

problema a continuacion,

θ =−i√2π

1k − i0

=−i√2πP(

1k

)+√π

2δ

183

Por tanto

P(

1k

)= i√

2πθ − iπδ

Calculando la transformada de Fourier:P(

1k

)= i√

2πθ(−k)− iπδ

La transformada de Fourier de la distribucion δ es

δ =1√2π

de donde P(

1x

)= i√π

2(2θ(−x)− 1) = −i

√π

2sgn(k)

Pero xmf(x) =(−i

ddk

)m

f

y se tiene

xmP

(1x

)= −

(−i

ddk

)m(i√π

2sgn(k)

)= −(−i)m−1

√π

2dm

dkmsgn(k)

Las derivadas de la distribucion “signo” son 2δ y sus derivadas.b) Se tiene,

dmf

dxm= (ik)mf

luegoδ(m) = (ik)mδ = imkm

xnδ(m) =(−i

ddk

)n

δ(m) = im−n dn

dknkm = im−n m!

(m− n)!km−n

66. Desarrollando por Fourier la funcion:

f(x) =x

2− x2

4π

se obtiene:

c0 =12π

∫ 2π

0

(x

2− x2

4π

)dx =

π

6, cn =

12π

∫ 2π

0

(x

2− x2

4π

)einx dx = − 1

2πn2

f =π

6−∑n 6=0

12πn2

einx, x ∈ [0, 2π]

La serie puede derivarse termino a termino en sentido de distribuciones, peropara ello hay que considerar la extension 2π-periodica a toda al recta de lafuncion f , f . Esto introduce singularidades en los puntos 2πn (ver grafica)


-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

f ′ = −∑n 6=0

i2πn

einx =12− x

2π+∑

n

θ(x− 2nπ)

-10 -5 5 10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

f ′′ =∑n 6=0

12π

einx = − 12π

+∑

n

δ(x− 2nπ)

y por tanto: ∑n

12π

einx =∑

n

δ(x− 2nπ)

67. Se puede demostrar facilmente utilizando la expresion del laplaciano encoordenadas esfericas

∆1r

=1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

1r

)= 0, r = |x| 6= 0, n 6= 2

Para estudiar que ocurre cuando r = 0,(∆

1r

)(ϕ) = T (∆ϕ)

pues 1/r es una funcion localmente integrable en R3 que define una distribucionen D′, T ,

T (∆ϕ) =∫R3

1r(∆ϕ) d3x

Teniendo en cuenta que ϕ es una funcion de soporte compacto, consideremosuna esfera de centro el origen y radio R que contenga (y no corte) al soporte deϕ:

1r(∆ϕ) = lım

ε→0+

(∫ε<r<R

1r(∆ϕ) d3x

)

185

Utilizando la formula de Green, en la corona esferica Ω, ε < r < R:∫Ω

(φ∆ϕ− ϕ∆φ) dx =∫

SR

(φ∇nϕ− ϕ∇nφ) dS−∫

Sε

(φ∇nϕ− ϕ∇nφ) dS

sustituyendo ∫Ω

1r∆ϕ dx =

∫Ω

ϕ∆1r

dx +∫SR

(1r∇nϕ− ϕ∇n

1r

)dS +

∫Sε

(1r∇nϕ− ϕ∇n

1r

)dS

Pero ϕ y sus derivadas desaparecen en la esfera SR y el laplaciano de 1/r seanula en Ω: ∫

Ω

1r∆ϕ dx =

∫Sε

(1r∇nϕ− ϕ∇n

1r

)dS

Como se puede calcular facilmente (en la superficie esferica Sε)

∇nϕ dS = −∂ϕ∂r

dS, ∇n1r

dS =1r2

dS, dS = ε2 dΩ

y se tiene:∫Ω

1r∆ϕdx = −

∫Sε

(1r

∂ϕ

∂r+ ϕ

1r2

)dS = −1

ε

∫Sε

∂ϕ

∂rdS − 1

ε2

∫Sε

ϕ dS

y si tomamos el lımite cuando ε→ 0+

lımε→0+

∫Ω

1r∆ϕ dx = − lım

ε→0+

∫Sε

ϕ(x) dΩ =

− lımε→0+

(∫Sε

(ϕ(x)− ϕ(0)) dΩ + ϕ(0)∫

Sε

dΩ)

= −4πϕ(0)

y finalmente:

∆1r

= −4πδ

En el caso bidimensional se tiene:

∆ log r = 2πδ

68. De la definicion:

Ta(ϕ) =1√2π

∫R

(∫R

θ(x)e−axe−ikx dx)ϕ(k) dk =

1√2π

∫R

(∫R

θ(x)e−(a+ik)x dx)

dk =1√2π

∫R

(∫ ∞

0

e−(a+ik)x dx)ϕ(k) dk =

−i√2π

∫R

1k − ia

ϕ(k) dk

y cuando a→ 0 se tiene:

θ = lıma→0+

Ta =−i√2π

1k − i0


69. La transformada de Fourier de xnT se puede calcular a partir de la de T :

xnT =(−i

ddk

)n

T = 0, T (n) = 0

y por tanto T es un polinomio de grado n− 1:

T =n−1∑j=0

cjkj

y la transformada inversa es

T =n−1∑j=0

cjδ(j)

70. Aplicando la transformada de Fourier:

ikT + aT =1√2π, a > 0

luego

T = − i√2π

1k − ia

y la transformada inversa es:

− i2π

∫R

eikx

k − iadk

La forma natural de calcular esta integral es utilizar la tecnica de residuos.Si x > 0, integramos en el semiplano superior (se cumplen las hipotesis parapoder aplicar esta tecnica, pues hay una exponencial que decrece en el infinito)y cerrando por una semicircunferencia, al haber un polo simple en k = ia, setiene

− i2π

∫R

eikx

k − iadk = − i

2π2πi Res

(eikx

k − ia, ia)

= e−ax, x > 0

Si x < 0, tenemos que escoger la semicircunferencia en el semiplano inferior, yallı no hay ningun polo. Por lo tanto, la integral es 0. En definitiva:

T = e−axθ(x)

La solucion de la ecuacion no homogenea, y′+ay = f , es ahora y = T ∗ f , pues,y′ = T ′ ∗ f = (δ − aT ) ∗ f = δ ∗ f − aT ∗ f = f − ay.

71. La tecnica es la misma que en el problema anterior, pero ahora hay dosvariables. Resolvemos primero el caso de una variable:

u′′ + a2u = δ(x)

187

La transformada de Fourier de u verifica:

−k2u+ a2u =1√2π, u = − 1√

2π1

k2 − a2

y por tanto:

u = − 12π

∫R

e−ikx

k2 − a2dk

Para resolver la integral desplazamos los polos, que estan sobre el eje real su-mando iε (o restando) segun la figura (de forma equivalente se sortean los polosmediante semicircunferencias de radios que tienden a cero).

Entonces:

k2 − a2 = (k − a− iε)(k + a− iε), cuando ε→ 0

Cuando x > 0, integrando en el semiplano superior,∫R

e−ikx

(k − a− iε)(k + a− iε)dk = 2πi

[ e−ikx

k + a− iε

∣∣∣k=a+iε

+

e−ikx

k − a− iε

∣∣∣k=−a+iε

]=πia

(eiax − e−iax) = −2πa

sen ax

Y es cero cuando x < 0 (integrando en el semiplano inferior). por tanto lasolucion es

u = θ(x)sen axa

Si se desplazan los polos al semiplano inferior, la solucion que se obtiene es

u = −θ(−x) sen axa

que difiere de la anterior, como cualquier otra solucion de esta ecuacion, en unasolucion de la homogenea.Pasemos ahora a la ecuacion de ondas:

Ttt − Txx = δ(x)δ(t)

y su transformada de Fourier en x:

Ttt + k2T =1√2πδ(t)


Como hemos visto, una solucion es:

T =θ(t)√

2πsen ktk

Calculando la transformada inversa∫R

sen ktk

eikx dk =12i

∫R

1k

eik(x+t) dk − 12i

∫R

1k

eik(x−t) dk

Desplazando el polo en k = 0 a k = iε,

12i

∫R

1k − iε

eik(x+t) dk − 12i

∫R

1k − iε

eik(x−t) dk

pero1

k − iε= i√

2πθ(p)

por tanto

T1 = θ(t)12(θ(x+ t)− θ(x− t))

Si se usa

T = −θ(−t)√2π

sen ktk

la solucion es:T2 = −θ(−t)1

2(θ(x+ t)− θ(x− t))

Estas dos soluciones difieren en soluciones de la ecuacion homogenea y se puedenescribir como:

T1 =12θ(t− |x|)

T2 =12θ(−t− |x|)

en donde se observa facilmente cuales son sus soportes.

72.

a) Comoθ(t) + θ(−t) = 1

se tieneu2 =

12ω

cosωt

y por tantoTu2 = 0

Por otra parte

∂tu1 =12ω

(δ + δ) senωt+12(θ(t)− θ(−t)) cosωt =

12(θ(t)− θ(−t)) cosωt

∂2t u1 =

12(δ + δ) cosωt− ω

2(θ(t)− θ(−t)) senωt = δ − ω2u1, Tu1 = δ

189

b) De lo anterior se deduce que u1 es una solucion fundamental de T y que u2

es diferenciable.

73.

a) Aplicando la definicion

θ′(−x)ϕ = −θ(−x)ϕ′ = −∫ ∞

−∞θ(−x)ϕ′(x) dx = −

∫ 0

−∞ϕ′(x) dx = −ϕ(0)

luegoθ′(−x) = −δ

b) Calculando la derivada segunda de u1:

u′1 =i

2ω(iωeiωxθ(−x)− iωe−iωxθ(x)− eiωxδ + e−iωxδ)

= −12(eiωxθ(−x)− e−iωxθ(x))

u′′1 = −12(iωeiωxθ(−x) + iωe−iωxθ(x)− eiωxδ − e−iωxδ)

= − iω2

(eiωxθ(−x) + e−iωxθ(x)) + δ = −ω2u1 + δ

Identico resultado se obtiene con u2, pues basta usar que u2 = u1 y queel operador es real.

c) Todas las soluciones fundamentales son:

i2ω (eiωxθ(−x) + e−iωxθ(x)) +A senωx+B cosωx =

i2ω (eiωx(1− θ(x)) + e−iωxθ(x)) +A senωx+B cosωx =

i2ω (eiωx − 2iθ(x) senωx) +A senωx+B cosωx =

θ(x) sen ωxω + i

2ω eiωx +A senωx+B cosωx

y eligiendo A y B adecuadamente (A = 1/(2ω), B = −i/(2ω))

θ(x)senωxω

es una solucion fundamental real.

74.

a)〈xδ′, ϕ〉 = 〈δ′, xϕ〉 = −〈δ, (xϕ)′〉 = −〈δ, ϕ+ xϕ′〉 = −〈δ, ϕ〉

luegoxδ′ = −δ

(inmediato de (xδ)′ = 0).


b)

〈u′, ϕ〉 = −〈u, ϕ′〉 = −〈P(

1x

), xϕ′〉

= − lımε→0

∫|x|≥ε

ϕ′ dx = lımε→0

(ϕ(ε)− ϕ(−ε)) = 0

luegou′ = 0

c)〈δ(n), ϕ〉 = 〈δ(n), ϕ〉 = (−1)n〈δ, ϕ(n)〉

comoϕ(k) =

1√2π

∫ ∞

−∞ϕ(x)e−ikx dx

su derivada es:

ϕ(n) =1√2π

∫ ∞

−∞(−ix)nϕ(x)e−ikx dx

y por tanto

〈δ(n), ϕ〉 = (−1)n 1√2π

∫ ∞

−∞(−ix)nϕ(x) dx

es decir:

δ(n) =(ik)n

√2π

resultado que se puede deducir de forma inmediata de

δ =1√2π, ∂n

xf = (ik)nf

75.

a)

u = e−|x| ∗ e−|x| =∫ ∞

−∞e−|x−y|e−|y| dy

Si x > 0∫ ∞

−∞e−|x−y|e−|y| dy =

∫ 0

−∞e−|x−y|ey dy +

∫ ∞

0

e−|x−y|e−y dy =∫ 0

−∞e−(x−y)ey dy +

∫ x

0

e−(x−y)e−y dy +∫ ∞

x

ex−ye−y dy =∫ 0

−∞e−x+2y dy +

∫ x

0

e−x dy +∫ ∞

x

ex−2y dy

= e−x

∫ 0

−∞e2y dy + e−x

∫ x

0

dy + ex

∫ ∞

x

e−2y dy =

12e−x + xe−x +

12exe−2x = (1 + x)e−x

191

Si x < 0∫ ∞

−∞e−|x−y|e−|y| dy =

∫ 0

−∞e−|x−y|ey dy +

∫ ∞

0

e−|x−y|e−y dy =∫ x

−∞e−(x−y)ey dy +

∫ 0

x

ex−yey dy +∫ ∞

0

ex−ye−y dy =∫ x

−∞e−x+2y dy +

∫ 0

x

ex dy +∫ ∞

0

ex−2y dy

= e−x

∫ x

−∞e2y dy + ex

∫ 0

x

dy + ex

∫ ∞

0

e−2y dy =

12ex − xex +

12ex = (1− x)ex

y por tanto, el producto de convolucion es:

u = (1 + |x|)e−|x|

b)

i)

u′ = (θ(x)− θ(−x)− (1 + |x|)(θ(x)− θ(−x)))e−|x|

= −(θ(x)− θ(−x))|x|e−|x| = −xe−|x|

ii)

Dxu = Dx(e−|x| ∗ e−|x|) = Dx

∫ ∞

−∞e−|x−y|e−|y| dy

=∫ ∞

−∞Dxe−|x−y|e−|y| dy

Dxe−|x−y| = −(θ(x− y)− θ(y − x))e−|x−y|

Dxu = −∫ ∞

−∞(θ(x− y)− θ(y − x))e−|x−y|e−|y| dy

= −∫ ∞

−∞θ(x− y)e−|x−y|e−|y| dy

+∫ ∞

−∞θ(y − x)e−|x−y|e−|y| dy

= −∫ x

−∞e−(x−y)e−|y| dy +

∫ ∞

x

ex−ye−|y| dy

Si x > 0

Dxu = −∫ 0

−∞ e−(x−y)ey dy −∫ x

0e−(x−y)e−y dy +

∫∞x

ex−ye−y dy

= −∫ 0

−∞ e−x+2y dy −∫ x

0e−x dy +

∫∞x

ex−2y dy = −xe−x


Si x < 0

Dxu = −∫ x

−∞ e−(x−y)ey dy +∫ 0

xex−yey dy +

∫∞0

ex−ye−y dy

= −∫ x

−∞ e−x+2y dy +∫ 0

xex dy +

∫∞0

ex−2y dy = −xex

luegoDxu = −xe−|x|

76.

a)

1√2π

∫ ∞

−∞

e−ikx

x− i εdx =

1√2π

2πi Res(

e−ikx

x− i ε, i ε)

=

0 si k > 0i√

2πeεk si k < 0= i√

2πeεkθ(−k)

1√2π

∫ ∞

−∞

e−ikx

x+ i εdx =

1√2π

2πi Res(

e−ikx

x+ i ε,−i ε

)=

0 si k < 0i√

2πe−εk si k > 0= −i

√2πe−εkθ(k)

F(T±(ε)) = ∓i√

2πe∓εkθ(±k)

b)lımε→0

F(T±(ε)) = lımε→0

∓i√

2πe∓εkθ(±k) = ∓i√

2πθ(±k)

luego

F(

1x± i0

)= ∓i

√2πθ(±k)

F(

1x− i0

+1

x+ i0

)= i

√2πθ(k)− i

√2πθ(−k)

= i√

2π(θ(k)− θ(−k)) = i√

2π sgn(k)

F(

1x− i0

− 1x+ i0

)= i

√2πθ(k) + i

√2πθ(−k)

= i√

2π(θ(k) + θ(−k)) = i√

2π

De las formulas de Sochozki

1x∓ i0

= ±iπδ + P(

1x

)se tiene:

1x− i0

+1

x+ i0= 2P

(1x

),

1x− i0

− 1x+ i0

= 2iπδ

y por tanto,

δ =1√2π,

P(

1x

)= i√π

2sgn(k)

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