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ingenieria civil 1er ciclo
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EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 1
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
Unidad N 3LMITES Y CONTINUIDAD
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 2
Unive
rsida
d Naci
onal de
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artn
LMITES1.- Introduccin.- Sea la funcin f(x)=x2,supongamos que la variable x toma los valores{2,9; 2,99; 2,999;..}, es decir x se aproximaal valor 3.La funcin y=f(x) toma los valores {(2,9)2;(2,99)2; (2,999)2..}, acercndose cada vez masal valor de 32=9.Por lo que podemos decir que el limite def(x)=x2 es 9, cuando x se acerca a 3.
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 3
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LMITES2.- Definicin.- Se dice que el nmero real L esel lmite de f(x) cuando x se aproxima a a( ), lo cual se denota como ,si y solo si para todo nmero >0 (epsilon)existe otro nmero (delta), talque , para todoxDf y entoncesSimblicamente:
ax
ax0 Lxf )(
Lxfax )(0 DfxLxfax /0,0)(lim
Lxfax )(lim
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LMITESGrficamente:
a aa
LLL
X
Y)(xfy
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artn Ejemplos:
Aplicando la definicin de lmites, demostrar lossiguientes lmites:
LMITES
21
213lim)2 0
x
xx
3)1(lim)1 21 xxx
511lim)3
2
2
xx
x
5)32(lim)5 1 xx1)23(lim)4 21 xxx
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artn
LMITES3.- Propiedades sobre Lmites.- Sean f y g dosfunciones tales que:
y y k constanteI.II.III.IV.
V.
Lxfax )(lim Mxgax )(limkkax lim)(lim.)(.lim xfkxfk axax )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax
)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf axaxax
)(lim)(lim
)()(lim xg
xfxgxf
ax
axax
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LMITESVI.
VII.
nax
nax xfxf
)(lim)(lim
nax
nax xfxf )(lim)(lim
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LMITES4.- Reglas para determinar Lmites:
I. Si f(x) existe, entonces el se halladirectamente.
Ejemplos: Hallar1)2)3)4)5)
)(lim xfax
xx 5lim1 )32(lim2 xx )123(lim 21 xxx 24 25lim xx
)44(lim 22 xxx
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LMITESII. Si f(x) y g(x) son polinomios enteros, f(a)
existe y g(a)0; el lmite de la fraccinse halla directamente.
Ejemplos: Hallar22lim)1 3
x
xx
)()(lim xgxf
ax
44lim)2 2
2
2
xx
x
11lim)3 22
x
xx
22
1 113lim)4
x
xx
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LMITESIII. Si f(x) y g(x) son polinomios enteros y
f(a)=g(a)=0; para determinar el ,simplificar la fraccin por elbinomio (x-a) y despus hallar el lmite.
234lim)1 2
2
2
xxx
x
)()(lim xgxf
ax
124lim)2 24
xx
xx
927lim)3 2
3
3
xx
x
)()(
xgxf
633842lim)4 2
23
2
xxxxx
x
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LMITESIV.Si algunos de los polinomios son
expresiones irracionales, para determinarel lmite se traslada la parte irracional delnumerador al denominador o viceversa.
22lim)1 2
x
xx
xx
x
5153lim)2 4
233 2
8 )8(44lim)4
x
xxx 4
8222lim)5 34
xxxx
x
224 4
011lim)3 x
xxx
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LMITES5.- Lmites Laterales:
El lmite de la funcin f(x) cuando x seaproxima hacia a por la izquierda es L1.
El lmite de la funcin f(x) cuando x seaproxima hacia a por la derecha es L2.
1L2L
a ax xa
)(xfy
X
Y
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LMITES5.1. Lmite Lateral Izquierdo: El lmite de la
funcin f(x) cuando x se aproxima haciaa por la izquierda es:
5.2. Lmite Lateral Derecho: El lmite de lafuncin f(x) cuando x se aproxima haciaa por la derecha es:
axaLxfax
/0,0)(lim 1 1)( Lxf
axaLxfax /0,0)(lim 2 2)( Lxf
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LMITESObservacin: Para que exista debe
cumplirse:
Nota: No existe en los siguientes casos- Cuando no existe uno de los lmiteslaterales.
- Cuando los lmites laterales existenpero son diferentes.
)(lim xfax
)(lim)(lim xfxfaxax
)(lim xfax
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artn Ejemplos:
Determinar si existen los siguientes lmites:
LMITES
112lim)1
1
xxx
x
1;11;3)()(lim)2
2
1 xxxxxfsixfx
415lim)3 5
x
xx
2;282;)()(lim)4
2
2 xxxxxfsixfx
3213lim)5
2
3
xxx
x
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LMITES6.- Lmites al infinito: Considerando
Para valores de x cada vez ms grande f(x)se aproxima a 3, entonces
Para valores de x que decrece cada vez msf(x) se aproxima a 3, entonces
3)(lim xfx
3)(lim xfx
1234
1
1
13)( xxf
X
Y
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LMITES6.1. El lmite de la funcin f(x) cuando x crece
sin lmite es6.2. El lmite de la funcin f(x) cuando x
decrece sin lmite es6.3. Teorema: Sea n un nmero entero
positivo cualesquiera, entonces se cumple:
Lxfx )(lim
Lxfx )(lim
01lim) nx xa 01lim) nx xb
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LMITES6.4. Para resolver lmites al infinito de la razn
de dos polinomios enteros respecto a x.
es conveniente dividir previamente los dostrminos de la razn por , donde n es lamayor potencia de estos dos polinomios.En muchos casos puede emplearse unprocedimiento similar, cuando se trata defracciones que tienen expresionesirracionales.
)()(lim xQxP
x
nx
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artn Ejemplos:
Determinar los siguientes lmites al infinito:
LMITES
11lim)1 2
2
xx
x
10lim)2 3 xx
x
xxxx 65lim)3 2xxx
xx
42
24lim)4 2 3712lim)5 22 xxxxx
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LMITES7.- Lmites infinitos: Considerando
Cuando x se aproxima a 3 por la derecha, lafuncin f(x) crece sin lmite.
Cuando x se aproxima a 3 por la izquierda,la funcin f(x) decrece sin lmite.
3
31)( xxf
)(lim3 xfx
)(lim3 xfx
X
Y
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LMITESTeoremas:
nx x1lim)1
0
parnsiimparnsi
xnx ;;1lim)2
0
0;lim)30
axa
x
0;lim)40
axa
x
0;0lim)50
aax
x
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artn Ejemplos:
Determinar los siguientes lmites infinitos:
LMITES
12lim)1
1
xx
x
42lim)2 22
xx
x
xxx
x
3lim)3 3
39lim)4
2
3
xx
x
416lim)5
2
4
xx
x
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LMITES8.- Lmites Notables:
01lim)1 xx1lim)2
0
xxsen
x ex x
x
/1
01lim)3
constantekexk kx
x
,1lim)4
1)1ln(lim)50
x
xx
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LMITES9.- Lmites Trigonomtricos:
Para el calculo de lmites trigonomtricos, sehace uso de algunas formulas e identidadestrigonomtricas, asimismo de algunos lmitesconocidos como:
0lim) 0 xsena x1lim) 0 xcosb x
1lim) 0 xxtagd x
1lim) 0 xxsenc x
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artn Ejemplos:
Hallar lo siguientes lmites trigonomtricos
LMITES
xxsen
x4lim)1
0
xsenxxsenx
x 23226lim)2 0
xsenxtagx
x cos1lim)5 4/
20cos1lim)3 x
xx
xxsen
x
)2/(1lim)4
20cos2coslim)6 x
xxx
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artn
LMITES10.- Lmites Logartmicos:
Para resolver lmites logartmicos esconveniente saber que existe y es positivo el
; entoncesAplicndose frecuentemente:
)()( xflimlnxflnlim axax)(lim xfax
1 x
x)ln(1lim0x
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artn Ejemplos:
Determinar los lmites logartmicos:
LMITES
)2ln()12ln(lim)1 xxx xxxx ln)1ln(lim)2 x
e xx
1lim)3 0
xx
x eex 1lim)4 0
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artn
LMITES10.- Lmites Especiales:
Son de la forma:y se pueden presentar los siguientes casos:a) Si existen los lmites finitos:
entoncesb) Si
entonces se halla directamente
Cx xax )()(lim
BxyAx axax )(lim)(lim CAx Bxax )()(lim )(lim1)(lim xyAx axax )()(lim xax x
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artn
LMITESc) Si
se aplica Formas de indeterminacin de los lmites:
Si aparecen en el clculo del lmite algunasde las formas, se debe calcular el lmiteaplicando algn artificio.
)(lim1)(lim xyAx axax Ce xxax )(1)(lim
;0;.0;;;0
0 0
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artn Ejemplos:
Hallar los siguientes lmites especiales:
LMITES
1
03lim)1
xx x
xsen
x
x xx
131lim)3
x
x xx
1lim)4
xsenx
x xxxx
1332lim)2 2
2
0
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artn 1. Definicin: Considerando una recta L, y se
tiene un punto A que se desplaza a lo largode la curva y=f(x), cuando la distancia entrela recta L y el punto A tiende a cero,entonces la recta L ser una asntota.
ASNTOTAS
X
Y L)(xfy
A AA
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artn 2. Asntota vertical: La recta x=a es una
asntota vertical de la curva y=f(x) si secumple una de las siguientes condiciones.
ASNTOTAS
)(lim)
)(lim))(lim)xfc
xfbxfaax
axax
X
Y
X
Y
aa
)(xfy
)(xfy
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artn 2. Asntota horizontal: La recta y=k es una
asntota horizontal de la curva y=f(x) si secumple una de las siguientes condiciones.
ASNTOTAS
kxfckxfbkxfa
x
xx
)(lim)
)(lim))(lim)
X
Y y=k )(xfy
X
Y y=k )(xfy
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artn 3. Asntota oblicua: La recta y=kx+b es una
asntota oblicua de la curva y=f(x) si existenlos lmites:
ASNTOTAS
bkxxfbkxxfa xx )(lim))(lim)
X
Y )(xfy
X
Y
)(xfy bkxy bkxy
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artn Ejemplos:
Hallar las asntotas de las siguientes curvas:2)2(
1)1 xy
4)2 22
xxy
ASNTOTAS
9)3 22
xxy
1)4 22
xxy
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onal de
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artn
FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS
1. Funcin continua: Sea la grfica de y=f(x)
Se observa que a valores cercanos de a deldominio corresponden valores de la funcincercanos al valor f(a), entonces es continua.
a
)(af
X
Y)(xfy
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d Naci
onal de
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artn
FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS
Si esto ocurre para todos los valores deldominio de la funcin se dice que la funcines continua en todo su dominio.Luego una funcin y=f(x) es continua en x=a,si se cumple tres condiciones:1) Si f(a) est definida2) Si existe.3) Si
)(lim)(lim)(lim xfxfxf axaxax )()(lim afxfax
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 38
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn Ejemplos:
1) Dada la funcindeterminar si es continua en x=1
2) Dada la funcin
determinar si es continua en x=2 y en x=33) Averiguar y demostrar si es continua
1;121;2)(
2
xxxxxf
53;1532;62
21;16)(
3
2
xxxx
xxxxf
FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS
xxy
11 3
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 39
Unive
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d Naci
onal de
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artn 2. Funcin Discontinua:
y=f(x) presenta una interrupcin en x=a y paravalores prximos de a no se obtiene siemprevalores prximos a f(a). Luego f(x) es unafuncin discontinua.
)(af
a)(ag
)(xfy
FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS
Y
X
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 40
Unive
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onal de
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artn Una funcin f(x) es discontinua en x=a,
cuando no se cumple una o variascondiciones expresadas de continuidad.En la grfica
Si una funcin es discontinua en x=a demodo que existe, perose llama discontinuidad evitable.
)(lim)(lim xfxfaxax
)()( afag
FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS
)(lim xfax )()(lim afxfax
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 41
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onal de
San M
artn Ejemplos:
Determinar si las funciones son discontinuas1)
2)
3)
21)( xxf
24)(
2
x
xxf
)2)(3(3)(
xxxxf
FUNCIONES CONTINUAS YDISCONTINUAS
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 42
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artn
Unidad N 2DERIVADAS DE FUNCIONES
REALES
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 43
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rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS1.- Incremento de una funcin.- Es ladiferencia entre dos valores: uno inicial y elotro final.x: Incremento de la variable independiente xy: Incremento de la funcin y
Es la frmula del incremento de una funcin.
)2).....(()1().........(
xxfyyentoncesxfySi
)()(:)1()2( xfxxfyRestando
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 44
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADASAl cociente del incremento de la funcin entreel incremento de la variable x se le denominaincremento relativo de la funcin.
xxfxxf
xy
)()(
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 45
Unive
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onal de
San M
artn
DERIVADAS2.- Derivada de una funcin.- Dada la funciny=f(x), se llama derivada de y respecto de x, allmite de ; cuando . tiende a cero, se ledenota por:y se lee derivada de y respecto a x.
xy
dxdy
xy
dxdy
x 0lim
xxfxxf
dxdy
x)()(lim0
x
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 46
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS3.- Observaciones:1) Para hallar la derivada se hace:
-Determinar el incremento de la funcin- Dividir por el incremento de x:- Hallar el lmite cuando x tiende a cero.
2) Otras notaciones utilizadas para expresar laderivada de y respecto a x son:
xy
)(;');(' yDyxf x
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 47
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS3) La derivada de una funcin es el lmite del
incremento relativo de la funcin respecto asu variable independiente, cuando elcambio en esta ultima es tan pequeo comose desea (tiene a cero)
Ejemplos:Aplicando lmites derivar:
xxy 2)1xy )2
senxy )3
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rsida
d Naci
onal de
San M
artn 4.- Interpretacin geomtrica de la Derivada.-
dy
y
x
DERIVADAS
X
Y
P(x,y)
Q(x+x,y+y)
x
y
x+x
y+y
S
T
T :Recta Tangente a y=f(x) en PS :Recta Secante a y=f(x) en Q
y=f(x)
dx
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 49
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn De la grfica: es la pendiente de la secante que une un
punto fijo P cualquiera de la curva con otroQ.
Cuando (P permanece fijo y Q se muevesobre la curva, acercndose a P hasta que llega ala posicin lmite) sucede:1) La secta secante S tiende a ser la rectatangente T.2) La inclinacin tiende a ser la inclinacin .
DERIVADAS
xy
0x
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 50
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn 3) El punto Q tiende a ser el punto de tangenciaP de la recta tangente a la curva y=f(x)
4) Finalmente se convierte en:
Simblicamente:
DERIVADAS
mtagdxdy
tagxy
mtagydxdy
xxfxxf
xy
xx
')()(limlim 00
EscuelaProfesional:Contabilidad
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 51
Universidad Nacional de San Martn
X0
Y
x1x = x2 x1
x2
y
( x1, f(x1) )
(x2, f(x2))
P
Q)(xfy
EscuelaProfesional:Contabilidad
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 52
Universidad Nacional de San Martn
X0
Y
x1x = x2 x1
x2
y
( x1, f(x1) )
(x2, f(x2))
P
Q)(xfy
EscuelaProfesional:Contabilidad
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 53
Universidad Nacional de San Martn
X0
Y
x1x = x2 x1
x2
y( x1, f(x1) )
(x2, f(x2))
P
Q
)(xfy
EscuelaProfesional:Contabilidad
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 54
Universidad Nacional de San Martn
( x1, f(x1) )
X0
Y
x1x = x2 x1
x2
y(x2, f(x2))
P
Q
)(xfy
EscuelaProfesional:Contabilidad
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 55
Universidad Nacional de San Martn
X0
Y
x1x = x2 x1=0
x2
( x1, f(x1) ) = (x2, f(x2))P Q
)(xfy
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 56
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS5.- Frmulas de derivacin: El proceso dehallar una derivada por incrementos pasndoloal lmite es generalmente laborioso, de modoque se ha establecido reglas y frmulas quepermiten hallar rpidamente la derivada de unafuncin.5.1. Reglas de derivacin:
Si c: constante; u=f(x); v=f(x) derivables:0)()1 cdx
d
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 57
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS
1)()2 xdxd
1)()3 mm mxxdxd
)()()()4 vdxdudx
dvudxd
)()()5 vdxdccvdx
d )()().()6 udx
dvvdxduvudx
d
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 58
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS
)(.)()9 1 udxdumudx
d mm
)(.)()()10 udxd
uvulnvdx
duudxd vv
0;)(
)()7 2
vvvdx
dcvc
dxd
0;)()(
)()8 2
vvvdx
duudxdv
vu
dxd
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 59
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS5.2. Derivadas de principales funciones:
xyxy1'ln)1
aayay xx ln')2 xx eyey ')3
axyxy a ln1'log)4 xysenxy cos')5
senxyxy 'cos)6xytagxy 2sec')7 xyctgxy 2csc')8
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 60
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAStagxxyxy .sec'sec)9
211')11 xyarcsenxy
211')13 xyarctagxy
11'sec)15 2 xxyxarcy
ctgxxyxy .csc'csc)10
211'arccos)12 xyxy
211')14 xyarcctgxy
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 61
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS1
1'csc)16 2 xxyxarcy
xysenhxy cosh')17
xhytaghxy 2sec')19 senhxyxy 'cosh)18
xhyctghxy 2csc')20
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rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS6.- Derivacin Compuesta.- Es la derivacin
en cadena o la derivada de la derivada deuna funcin.Dadas las funcionesentonces la variable y se puede expresaren funcin de x, es decir:
La derivada de la funcin compuesta seobtiene derivando ambas funciones f y g,y luego multiplicandolas.
)(),( xguufy
)()()]([)( xgfxgfufy
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 63
Unive
rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADASSi:
Por lo que:
)(
)()()(
xgdxdu
ufdudy
xguufy
)()( xgufdxdu
dudy
dxdy
)()]([ xgxgf
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 64
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rsida
d Naci
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artn Ejemplos:
Derivar las siguientes funciones:
DERIVADAS
xxxy ln1)1 2
42 )1()2 xy 4)3 2 xy
xey 2)4 )12(2)5 xy
senxy )6
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 65
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rsida
d Naci
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artn
DERIVADAS)ln()7 senxy
1)8 2 xxy
1)9 2 xxy2)cos23()10 xy
)12cos()11 xy)1()12 22 xseny
xsenxy cos1
1)13
xtagy 2)14 )sec()15 2 xxy
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 66
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rsida
d Naci
onal de
San M
artn
DERIVADAS)log()16 senxy )2()17 xarcseny 1)18 2 xarctagy
xx earcsenearcseny 21)()19 xxseny 2ln2)20
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 67
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artn
DERIVADAS7.- Derivada de Orden Superior.- La
derivada de una funcin y=f(x) recibe elnombre de primera derivada. Si la primeraderivada es a su vez una funcinderivable, se presenta como derivadasegunda de la funcin original, y se ledenota como:En general la derivada de orden superior nser:
dxdy
dxd
dxydy 2
2
1
1n
nn
n
dxyd
dxd
dxyd
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 68
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artn Ejemplos:
DERIVADAS
IVyencontrarxxxySi ,26126)1 33 ,)2 2 yencontrareySi x
,416)3 yhallarxySi
)(,ln)()5 xfhallarxxxfSi ,1)4 2 yhallarxySi
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 69
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artn
DERIVADAS8.- Derivacin Implcita.- Una funcin
expresada en forma implcita es f(x,y)=0Para derivar implcitamente se hace:1) Se deriva con respecto a x cada uno de
los trminos de la funcin.2) Se agrupa trminos semejantes y se
simplifica.3) Se despeja dx
dy y
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 70
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artn Ejemplos:
Derivar implcitamente:
DERIVADAS
012)1 yxxy25)2 22 yx
0)3 3222 yxxyyx
02)5 23 yyxyx0132cos)4 32 yxxysenyx
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artn
Unidad N 3APLICACIONES DE LA
DERIVADA
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA1. Ecuacin de la Tangente.- Si y=f(x) es una
funcin derivable en x=a, entonces laecuacin de la recta tangente a la grafica de fen el punto P[a,f(a)] es dado por:
))(()( axafafy
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA2. Ecuacin de la Normal.- Si ,
entonces la ecuacin de la recta normal quepasa por el punto P[a,f(a)], es dado por:
)()(1)( axafafy
0)( af
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAEjemplos:1. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la
normal a la curva en el punto (2,2).2. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la
normal a la curva en el punto(2,3).
3. Hallar la ecuacin de la tangente a la grficade , que es paralela a la recta
xxy 33
32 2 xy
322 xxy
038 yx
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d Naci
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA4. Hallar la ecuacin de la normal a la curva:
en el punto (2,1).5. Hallar la ecuacin de la recta normal a la
curva que sea paralela a322xy
01932 33 xyyx0yx
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA3. Funciones Crecientes y Decrecientes.- Unafuncin y=f(x) puede tener intervalos: Crecientes: Si para cualquier valor de x dedicho intervalo la pendiente es positiva, o seasi y(x)>0.
Decrecientes: Si para cualquier valor de x dedicho intervalo la pendiente es negativa, osea si y(x)
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAGrficamente:
a
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA4. Aplicacin de derivadas para determinar siun funcin es creciente o decreciente.-Se hace:1) Derivar la funcin y=f(x)2) Igualar a cero la primera derivada f(x)=0, f(x)= para determinar los valores crticos.3) Determinar los intervalos de anlisis apartir de los valores crticos encontrados.4) Aplicar la siguiente condicin:
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA Si en el intervalo analizado,entonces la funcin es creciente.
Si en el intervalo analizado,entonces la funcin es decreciente.
0)( xf0)( xf
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAEJERCICIOS:Determinar los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de las siguientes funciones:1)2)
43 23 xxy22 )1()2()( xxxf
1)32
xxy
21)4 xxy
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA5. Mximos y Mnimos .-Los mximos y mnimos son los puntosextremos de una funcin.Los puntos extremos de una funcin sedeterminan a partir de los valores crticoscuando se hace f(x)=0 f(x)= (no existe). Si la derivada cambia de signo, de positivo anegativo entonces la funcin tiene mximo.
Si la derivada cambia de signo, de negativo apositivo entonces la funcin tiene mnimo.
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAPor lo que:La ordenada f(x)=M; ser un mximo si laprimera derivada cambia de signo, depositivo a negativo, es decir si la funcincambia de creciente a decreciente.
La ordenada f(x)=m; ser un mnimo si laprimera derivada cambia de signo, denegativo a positivo, es decir si la funcincambia de decreciente a creciente.
Este procedimiento se denomina Criterio dela Primera Derivada
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAGrficamente:
X
Y)(xfy
a b c d e f
Pto. Mximo
Pto. mnimo
M
m
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Determinar los puntos mximos y mnimos delas siguientes funciones:1)2)3)
4)
542 xxy35 53)( xxxf
1)(2
xxxf
xxxxy 1224 234
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA6.Criterio de la Segunda Derivada paracalcular mximos y mnimos.- Derivar a la funcin por primera vez (f (x)) Determinar los valores crticos. Derivar por segunda vez (f (x)) Remplazar los valores crticos encontradosen la segunda derivada.
Si Si
mximoptounesxfxxf .)](,[0)( mnimoptounesxfxxf .)](,[0)(
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Determinar los puntos mximos y mnimos delas siguientes funciones, aplicando el criterio dela segunda derivada:1)2)
3)
42 23 xxy22 )1()2()( xxxf
12
xxy
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA7.Concavidad, Convexidad, Punto deInflexin.- Un arco de curva y=f(x) es cncavo en unintervalo (a,b), si este arco de curva estasituado debajo de la tangente trazada encualquier punto de dicho intervalo.La condicin para que una curva seacncava es que f(x)
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA Un arco de curva y=f(x) es convexo en unintervalo (c,d), si este arco de curva estasituado encima de la tangente trazada encualquier punto de dicho intervalo.La condicin para que una curva seaconvexa es que f(x)>0 para el intervaloconsiderado.
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAGrficamente:
a
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA8. Procedimiento para determinar los Puntosde Inflexin de una funcin.-1) Derivar por primera vez y=f (x)2) Derivar por segunda vez y=f (x)3) Determinar los posibles puntos de inflexin
(valores de x) haciendo4) Determinar los intervalos a partir de los
valores de x encontrados.5) Aplicar la condicin:
)(0)( xfxf
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA La curva ser cncava si: La curva ser convexa si:
6) Para el valor de x en el cual la curva pasade cncava a convexa o viceversa habr unpunto de inflexin [x,f(x)]
0)( xf0)( xf
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Determinar los intervalos de concavidad,convexidad y puntos de inflexin si:1)2)3)4)
8126 234 xxxyxxxxf 164)( 34
1xxy
xxy 3
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artn
APLICACIONES DE LA DERIVADA9. Trazado de la grfica de cualquier funcin.-Se procede de la siguiente manera:1) Determinar las intercepciones con los ejes2) Determinar las simetras3) Determinar las asntotas, por mtodo
algebraico analtico.4) Determinar la extensin de la curva.5) Determinar los puntos mximos y mnimos.6) Determinar los puntos de Inflexin.7) Trazado de la curva.
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artn 1) Determinacin de las intersecciones con
los ejes:-Con Eje X: en se considera y=0 yse resuelve la ecuacin resultante.-Con Eje Y: en se considera x=0y se resuelve la ecuacin resultante.2) Determinacin de las Simetras:-Con Eje X: Se reemplaza en y=-ysi la ecuacin original no varia entoncesexiste simetra.
Para trazar la grafica de una relacin dada porla ecuacin se aplica lossiguientes pasos:
0),( yxE
0),( yxE
0),( yxE
APLICACIONES DE LA DERIVADA
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artn -Con Eje Y: Se reemplaza en x=-x
si la ecuacin original no varia entoncesexiste simetra.-Con Origen: Se reemplaza en ,x=-x, y=-y simultneamente, si la ecuacin novaria entonces existe simetra.
Para trazar la grafica de una relacin dada porla ecuacin se aplica lossiguientes pasos:
0),( yxE
0),( yxE
APLICACIONES DE LA DERIVADA
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artn 3) Determinacin de las asntotas:
Se pueden presentar:-Asntotas verticales: se ordena lacon respecto a la variable y; hacindose ceroel coeficiente que acompaa al mayor gradoen dicha variable, tiene la forma-Asntotas verticales: se ordena lacon respecto a la variable x; hacindose ceroel coeficiente que acompaa al mayor gradoen dicha variable, tiene la forma
Para trazar la grafica de una relacin dada porla ecuacin se aplica lossiguientes pasos:
0),( yxE
ax 0),( yxE
by
APLICACIONES DE LA DERIVADA
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artn -Asntota oblicua: Tiene la formaSe reemplaza esta forma en la ecuacin
original , se ordena la ecuacin con respecto ala variable x, se hace cero los coeficientes queacompaan a las dos mayores potencias endicha variable, resolvindose el sistema paradeterminar m y k los cuales al reemplazarseen la forma inicial nos da la asntota.4) Determinacin de la extensin de la curva:Consiste en determinar el dominio y el rangode la ecuacin.
Para trazar la grafica de una relacin dada porla ecuacin se aplica lossiguientes pasos:
kmxy APLICACIONES DE LA DERIVADA
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 98
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn 5) Determinacin de los mximos y mnimos
Consiste en analizar los intervalos decrecimiento y decrecimiento y calcular losmximos y mnimos6) Determinacin de los puntos de inflexinDeterminar los intervalos de concavidad yconvexidad y calcular los puntos de inflexin.7) Trazado de la grfica.A partir de las caractersticas determinadastrazar en el plano cartesiano la grfica.
Para trazar la grafica de una relacin dada porla ecuacin se aplica lossiguientes pasos:
APLICACIONES DE LA DERIVADA
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 99
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
APLICACIONES DE LA DERIVADAEJEMPLOS:Siguiendo los pasos descritos anteriormentetrazar la grfica de las siguientes funciones1)2)3)
4)
22 xxy xxxf 3)(
132 x
xy1
12 xy
1)5 2 xxy
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 100
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
Unidad N 4OTRAS APLICACIONES
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 101
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOSLos mtodos para calcular los mximos y
mnimos de las funciones se pueden aplicar a lasolucin de algunos problemas prcticos.Para resolver problemas se aplicar el criterio dela segunda derivada para lo cual se hace:1) Definir las variables a considerar.2) Determinar las relaciones entre dichas
variables.3) Determinar cual es la funcin que se desea
maximizar minimizar y expresar esta entrminos de una sola variable.
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 102
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOS
4) Encontrar los valores crticos de la funcindefinida en 3) y comprobar si corresponde amximo mnimo.
5) Los valores crticos que verifican lamaximizacin minimizacin son lassoluciones del problema.
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 103
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOS
Ejemplos:1) Un volante de publicidad debe contener 50
pulgadas cuadradas de zona de impresin,con mrgenes de 4 pulgadas arriba y abajo ymrgenes de 2 pulgadas a cada lado. Culessern las dimensiones para que el volanteutilice la menor cantidad de papel?
2) Un hombre que navega en un bote de remos a2 millas del punto mas cercano de una costarecta desea llegar a su casa; la cual est en la
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 104
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOS
citada costa a 6 millas de dicho punto. Elhombre puede remar a razn de 3 millas/hr ycaminar a 5 millas/hr. Qu debe hacer parallegar a su casa en el menor tiempo posible?
3) Se desea construir un deposito rectangular debase cuadrada, abierto por arriba, debe tener1200 cm3 de capacidad. Si el costo de lascaras laterales es de 25 soles/cm2 , y el delfondo es de 60 soles/m2.Cules deben ser lasdimensiones para que el costo sea mnimo?
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 105
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
PROBLEMAS SOBRE MXIMOS YMNIMOS4) En un cono circular recto de 30 cm de radio,
se inscribe un cilindro circular recto. Hallar elradio del cilindro para que:a) Su volumen sea mximo.b) Su rea lateral sea mxima.
5) Un alambre de 100 cm de largo se corta endos pedazos: uno se dobla para formar uncuadrado y el otro se dobla para formar untringulo equiltero. En donde debe hacerseel corte si las suma de las dos reas esmnima?
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 106
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
RAZONES DE CAMBIO1. Derivada como razn de cambio.- Si y es
funcin de una cantidad x, se puede expresarla tasa de variacin de y por unidad devariacin de x.Si y=f(x) , entonces la tasa de variacininstantnea de y por unidad de variacin de xen x1 es f (x1) si esta existe.Si una variable y depende del tiempo t,entonces su derivada dy/dt se denomina raznde variacin de y con respecto al tiempo.
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 107
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
RAZONES DE CAMBIOEstamos interesados en una amplia variedadde tasas de cambio: la tasa a la cual el aguafluye a un depsito, la tasa a la cual el valorde una propiedad esta aumentando, etc.Si y se da de esta manera explicita entrminos de t, el problema es sencillo, soloderivamos y luego evaluamos la derivada enel instante requerido.
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 108
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
RAZONES DE CAMBIO2. Velocidad instantnea.- Si f es una funcin
definida por s=f(t), y una partcula dedesplaza a lo largo de una recta, talque s es ladistancia dirigida de la partcula desde unpunto fijo sobre la recta en t unidades detiempo; entonces la velocidad instantnea dela partcula a t unidades de tiempo es vunidades de velocidad, donde:
existesitfstfs )('')( velocidadvs '
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 109
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d Naci
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San M
artn
RAZONES DE CAMBIOLa velocidad instantnea puede ser positiva onegativa dependiendo del sentido delmovimiento, la rapidez de una partcula encualquier tiempo es el valor absoluto de lavelocidad instantnea, siendo un numero nonegativo; por lo que la rapidez solo indica quetan rpido se est moviendo la partcula, encambio la velocidad instantnea tambinindica el sentido del movimiento.
EscuelaProfesional:Ing. Civil
Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 110
Unive
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onal de
San M
artn
RAZONES DE CAMBIO3. Aceleracin instantnea.- En fsica a la tasa
de variacin instantnea de la velocidad se lellama aceleracin instantnea. Por tanto, siuna partcula se mueve a lo largo de una rectade acuerdo con la ecuacin de movimientos=f(t), donde a los t segundos la velocidadinstantnea es v metros por segundo y laaceleracin instantnea es v metros porsegundo, entonces a es la primera derivada dev con respecto a t la segunda derivada de scon respecto a t.
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 111
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San M
artn
RAZONES DE CAMBIOEsto es:
22
dtsd
dtds
dtdadtdvadtdsv
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 112
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn EJEMPLOS:
1) Cierto cultivo de bacteria crece de modo quetiene una masa de gramo despus de thoras.a) Cuanto crecer durante el intervalo
b) Cul es la tasa promedio de crecimientodurante el intervalo ?
c) Cul es su tasa instantnea decrecimiento en t=2?
2)
121 2t
01.22 t
01.22 t
RAZONES DE CAMBIO
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 113
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn 2) Una ciudad es azotada por una epidemia de
gripe asitica. Las autoridades estimas que tdas despus del inicio de la epidemia, elnmero de personas enfermas con la gripeest dado por , cuando elintervalo es .A que tasa se expandela gripe en el instante t=10; t=20; t=40?
3) Si , encuentre la velocidaddel objeto en movimiento cuando suaceleracin es cero.
32 2120)( tttp 400 t
RAZONES DE CAMBIO
234 1252/1 ttts
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 114
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onal de
San M
artn 4) Un objeto viaja a lo largo de una recta de
modo que su posicin s es metrodespus de t segundos.a) Cul es su velocidad promedio en el
intervalo ?b) Cul es su velocidad promedio en el
intervalo ?c) Determine su velocidad instantnea en
t=2
12 ts
32 t
003.22 t
RAZONES DE CAMBIO
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 115
Unive
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onal de
San M
artn 5) Una piedra se cae desde un edificio de 256
pies, siendo su ecuacin representativa:,Determine:
a) La velocidad instantnea de la piedra en 1seg. y 2 seg.
b) El tiempo que le toma a la piedra llegar alsuelo.
c) Cul es la rapidez de la piedra cuandollega al suelo?
25616 2 ts
RAZONES DE CAMBIO
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 116
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onal de
San M
artn
RAZONES DE CAMBIO4. Tasas de cambio relacionadas.- Se presenta
cuando la variable y no est dadaexplcitamente en trminos de t, donde y estrelacionada a otra variable x, y ambas estnrelacionadas con t, para resolver esto serequiere derivacin implcita.Para esto se realiza el siguienteprocedimiento:1) Denote mediante t el tiempo transcurrido.
Dibuje un diagrama para toda t>0. Etiquete
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Ing M.Sc.Jorge Ramrez Mera1- 117
Unive
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d Naci
onal de
San M
artn
RAZONES DE CAMBIOaquellas cantidades cuyos valores nocambian conforme t aumenta con susrespectivos valores constantes dados.
2) Establezca lo que est dado acerca de lasvariables y que informacin se requiere deellas, la que debe estar dada comoderivadas con respecto a t.
3) Relacione las variables escribiendo unaecuacin general que sea vlida para todoslos instantes t>0.
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artn
RAZONES DE CAMBIO4) Derivar implcitamente con respecto a t, la
ecuacin resultante ser vlida para todat>0.
5) Sustituir en la ecuacin resultante los datosque son vlidos en el instante particular.Luego despeje la derivada.
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artn EJEMPLOS:
1) Fluye agua hacia un tanque cnico a unarazn de 8 pies cbicos por minuto. Si laaltura del tanque es de 12 pies y el radio desu abertura circular es de 6 pies. Qu tanrpido se est elevando el nivel de aguacuando el agua tiene una profundidad de 4pies?
2) Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640millas por hora, pasa sobre cierta ciudad al
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artn medioda. Un segundo aeroplano que va
hacia el este a 600 millas por hora, estdirectamente encima de la misma ciudad 15minutos mas tarde. Si los aeroplanos estnvolando a la misma altitud. Qu tan rpidose estn separando a la 1.15 p.m.?
3) Un avin vuela hacia el oeste con unavelocidad de 500 pies/seg a una altura de4000 pies y un rayo de luz de un faro derastreo ubicado en tierra, incide en la parteinferior del avin. Si la luz se mantiene sobre
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artn el avin, Qu tan rpido gira el rayo de luz
cuando el avin se encuentra a una distanciahorizontal de 2000 pies al este del faro?
4) El radio de la base de cierto cono aumenta arazn de 3 cm por hora y la altura disminuyea razn de 4 cm por hora,. Calcule comovaria el rea total del cono cuando el radiomide 7 cm y la altura 24 cm.
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artn
RAZONES DE CAMBIO5. Razones de cambio en la economa.- Las
razones de cambio en el campo de laeconoma, no se miden con respecto altiempo; por ejemplo los economistas serefieren a la utilidad marginal, ingresomarginal y costo marginal, como las razonesde cambio de la utilidad, el ingreso y el costorespecto al numero de unidades producidas ovendidas. La ecuacin que relaciona estas trescantidades es:
)()()( xxx CIU
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artn
RAZONES DE CAMBIODonde:
=Utilidad, =Ingreso, =CostoLa derivada de cada uno de estos da:
)(xU )(xI )(xC
marginalUtilidaddxdU
marginalIngresodxdI
marginalCostodxdC
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artn
RAZONES DE CAMBIOEquilibrio Econmico: El objetivo principalde toda empresa es de maximizar utilidades yminimizar perdidas.El punto de equilibrio ocurre cuando elingreso marginal es igual al costo marginal.La cantidad de equilibrio es el valor de x quemaximiza la utilidad y el punto de equilibrioser: P(x0,U(x0)) donde x0 es la cantidad deequilibrio.
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artn
RAZONES DE CAMBIOPara obtener la utilidad mxima se debehacer:
y comprobarse que
Tambin se debe distinguir el caso en que lafirma opera bajo libre competencia y el casoen que es un monopolio.
0dxdU 0
02
2
xxdxUd
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artn EJEMPLOS:
1) Supongamos que tenemos competencia pura;luego el precio de mercado es una constantep igual a 100. El ingreso total de la empresaes: , donde x es la cantidad vendida.y el costo es:Determine la cantidad de equilibrio y lautilidad mxima.
RAZONES DE CAMBIO
xI 1004050122 23 xxxC
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artn 2) Consideremos ahora el caso de un
monopolio, esto es que el precio de mercadono es constante, puede ser alterado por elmonopolista. , el cual es:y el costo es:Determine el punto de equilibrio.
RAZONES DE CAMBIO
253525.0 2 xxCxp 5.050
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artn EJEMPLOS:
3) Una empresa que fabrica y vende escritoriostrabaja en competencia perfecta y puedevender a un precio de $200 el escritoriotodos los escritorios que produce, si xescritorios se produce y se vende cadasemana y C en dlares es el costo deproduccin, donde .Determine cuantos escritorios debernfabricarse por semana para que obtenga lamxima utilidad semanal.y el costo es:
RAZONES DE CAMBIO
3000402 xxC
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artn 4) La funcin de ingreso total de una Muebleraes en la que I es el ingreso y x
es la cantidad vendida.a) Cual es el ingreso mximo que la empresa
puede esperar, suponiendo que la ecuacinanterior sea valida?
b) Cual es la ecuacin correspondiente a lafuncin de ingreso marginal de etaMueblera?
RAZONES DE CAMBIO2324 xxI
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artn 1. Calculo de lmites indeterminados de lasformas
Si se tiene que:
si existe el lmite, sivuelve a obtenerse interminacin, de nuevose aplica la misma regla hasta obtener ellmite.
REGLA DE LHOSPITAL
y0
0
xg
xfax 0
0)()(lim
)(')('lim)(
)(lim xgxf
xgxf
axax
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artn 2. Otras formas indeterminadas: Paracalcular lmites indeterminados de la forma
0. hay que hacer la sgte. transformacin:
Si la indeterminacin es - se hace:
Luego se procede de la misma manera
REGLA DE LHOSPITAL
)(1)(
)(1)(
)(lim0)(lim
xf
xgxg
xfxgy
xfax
ax
)()(1)()()( xfxgxfhacesexgxf
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artn EJEMPLOS:
Determinar los siguientes lmites
6722lim)1 3
23
1
xxxxx
x
1lnlim)2 1 x
xx
xtagtagx
x 5lim)3 2/ctgxxx )cos1(lim)4 0
xx
xx ln
11lim)5 1
REGLA DE LHOSPITAL
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artn
DIFERENCIALES1. Definicin.- La diferencial de una funciny=f(x) es la parte principal de su incrementolineal con respecto al incremento x=dx de lavariable independiente x.La diferencial de una funcin es igual alproducto de su derivada por la diferencial dela variable independiente x.
dxxfdy )(
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artn
DIFERENCIALESCuando el valor absoluto del incremento x dela variable independiente x es pequeo, ladiferencial dy de la funcin y y de dichafuncin son aproximadamente iguales entre si;pero la diferencial de la funcin no es igual asu incremento.
dxxfy )(dxxfxfxxf )()()( dxxfxfxxf )()()(
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artn
DIFERENCIALES2. Grficamente:
),( yx
X
Y )(xfy
O
M
dxx
x
dy} }yx+x
N T
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DIFERENCIALES3. Frmulas.- La diferencial dy de una funcinse puede hallar aplicando su frmula dedefinicin o bien por medio de las reglas declculo de diferenciales; las cuales son:1)2)3)4)5)
0)( cdcducud )(
dvduvud )(vduudvvud ).(
0;)( 2 vvudvvdu
vud
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artn
DIFERENCIALESEJERCICIOS:Hallar la diferencial de las siguientes funciones:1)2)
3)
4)
2xxy )2()1()( 22 xxxf
122
xxy12
2
xxy
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artn
DIFERENCIALES5)6)7)
8)
9)10)
cos2xy)2/()( xlnsenxf
)( 2xarcseny
142 xy
xsenxy 22 3cos xsenxy
Unidad N 3 LMITES Y CONTINUIDADLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESLMITESASNTOTASASNTOTASASNTOTASASNTOTASASNTOTASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASFUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUASUnidad N 2 DERIVADAS DE FUNCIONES REALESDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASSlide596Slide597Slide598Slide599Slide600DERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASDERIVADASUnidad N 3 APLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADAUnidad N 4 OTRAS APLICACIONESPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSPROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSRAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIORAZONES DE CAMBIOREGLA DE LHOSPITALREGLA DE LHOSPITALREGLA DE LHOSPITALDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALES