analisis real 1

5/21/2018 analisis real 1

1/12

5.4 Kekontinuan Seragam

Misalkan AR dan f : A R. Telah dilihat pada Teorema 5.1.3 bahwapernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen :

(i)f kontinu pada setiap titik uA;(ii) diberikan > 0 dan uA, terdapat (,u) > 0 sedemikian sehingga untuk

semua xA dan x - u < (,u), maka f(x)

f(u) < .


2/12

5.4.1 Definisi

Misalkan AR danf : A R. Kita katakan f kontinu seragam pada Ajika untuksetiap > 0 terdapat () > 0 sedemikian sehingga jikax,uA sebarang bilanganang memenuhi x - u < (), maka f(x)f(u) < .

Ini jelas bahwa jikaf kontinu seragam pada A, makaf kontinu seragam pada setiap

titk dalam A. Akan tetapi, secara umum konversnya tidak berlaku, sebagaimana

telah ditunjukkan oleh fungsig(x) = 1/x pada himpunan A = {xR : x > 0}.


3/12

5.4.2 Kriteria Kekontinuan tidak Seragam

Misalkan AR danf : A R. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen :

(i)f tidak kontinu seragam pada A;

(ii) Terdapat 0 > 0sedemikian sehingga untuk setiap > 0 terdapat titiktitik

, dalam A sedemikian sehingga < dan () 0(iii) Terdapat 0> 0 dan dua barisan ()dan ()dalam A sedemikian sehingga

Lim ( ) = 0 dan () 0untuk semua nN.Kita dapat menggunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwag(x) = 1/x kontinu

tidak seragam pada A = {xR : x > 0}. Karena, jika xn = 1/n dan un = 1/(n + 1),maka kita mempunyai lim = 0, tetapi () untuk semua

nN.


4/12

5.4.3 Teorema Kekontinuan Seragam MisalkanI suatu interval tutup dan

terbatas danf :I R kontinu padaI. Makaf kontinu seragam padaI.

Bukti. Jika f tidak kontinu seragam pada I maka menurut hasil sebelumnya,

terdapat 0> 0 dan dua barisan ()dan ()dalam A sedemikian sehingga < 1/n dan ( ) 0 untuk semua nN. KarenaI terbatas,barisan () terbatas; menurut Teorema Bolzano-Weierstrass 3.4.7 terdapatsubbarisan () dari () yang konvergen ke suatu unsur z. Karena I tertutup,

limit z masuk dalam I, menurut Teorema 3.2.6. Ini jelas bahwa subbarisan yangbersesuaian ( )juga konvergen ke z,karena

+ Sekarang jikaf kontinu pada titik z, maka barisan ()dan ()mestikonvergen kef(z). Akan tetapi ini tidak mungkin karena

( ) 0 untuk semua nN. Jadi hipotesis bahwa f tidak kontinu seragam pada interval

tutup dan terbatasI mengakibatkanf tidak kontinu pada suatu titik zI. Akibatnya,

ikafkontinu pada setiap titik dalamI, makaf kontinu seragam padaI.


5/12

Fungsi-fungsi Lipschitz

5.4.4 Definisi Misalkan AR danf : A R. Jika terdapat suatu konstantaK > 0 sedemikian sehingga

f(x)f(u) Kx - uuntuk semua x,uA, makaf dikatakan fungsi Lipschitz (atau memenuhi syaratLipschitz) pada A. Syarat bahwa suatu fungsi f : I R pada suatu interval I

adalah fungsi Lipschitz dapat diinterpretasi secara geometri sebagai berikut. Jikakita menuliskan syaratnya sebagai

() , , , ,maka kuantitas dalam nilai mutlak adalah kemiringan segmen garis yang melaluititik-titik (x,f(x)) dan (u,f(u)). Jadi, suatu fungsi f memenuhi syarat Lipschitz jika

dan hanya jika kemiringan dari semua segmen garis yang menghubungkan dua titik

pada grafik y =f(x) padaI terbatas oleh suatu K.


6/12

5.4.5 Teorema

Jikaf : A R suatu fungsi Lipschitz, makaf kontinu seragam pada A.

Bukti. Jika syarat Lipschitz dipenuhi dengan konstanta K, maka diberikan > 0

sebarang, kita dapat memilih = /K. Jika x,uA dan memenuhi x - u < ,maka

().

=

Oleh karena itu,f kontinu seragam pada A.


7/12

5.4.6 Contoh-contoh

(a) Jika

=

2pada A = [0,b], dimana b suatu konstanta positif, maka

f(x)f(u) = x + ux - u 2bx - uuntuk semua x,u dalam [0,b]. Jadif memenuhi syarat Lipschitz dengan konstanta

K =2bpada A, dan oleh karena itu f kontinu seragam pada A. Tentu saja, karena

kontinu pada A yang merupakan interval tertutup dan terbatas, ini dapat jugadisimpulkan dari Teorema Kekontinuan Seragam. (Perhatikan bahwa f tidak

memenuhi kondisi Lipschitz pada interval [0,).)

(b) Tidak semua fungsi yang kontinu seragam merupakan fungsi Lipschitz.

Misalkang(x) =x untuk x dalam interval tertutup dan terbatasI = [0,2]. Karenag

kontinu padaI, maka menurut Teorema Kekontinuan Seragam 5.4.3,g kontinuseragam padaI. Akan tetapi, tidak terdapat bilaknagn K > 0 sedemikian sehingga

g(x) Kx untuk semua xI. (Mengapa tidak?) Oleh karena itu, g bukansuatu fungsi Lipschitz padaI.


8/12

5.4.7 Teorema

Jikaf : A R kontinu seragam pada suatu AR dan jika ()barisan Cauchydalam A, maka ()barisan Cauchy dalam R.

Bukti. Misalkan (xn) barisan Cauchy dalam A, dan > 0 diberikan. Pertamatamapilih > 0 sedemikian sehingga jika x,u dalam A memenuhi x - u < , makaf(x)f(u) < . Karena ()barisan Cauchy, maka terdapatH() sedemikiansehingga

< untuk semua n,m >H(). Dengan pemilihan , ini mengakibatkanbahwa untuk n,m >H(), kita mempunyai (). Oleh karena itubarisan (f(xn)) barisan Cauchy.


9/12

5.4.8 Teorema Perluasan Kontinu

Suatu fungsi f kontinu seragam pada interval (a,b) jika dan hanya jika f dapat

didefinisikan pada titik-titik ujung a dan b sedemikian sehingga fungsi

perluasannya kontinu pada [a,b].

Bukti. Suatu fungsi yang kontinu seragam pada [a,b] tentu saja kontinu pada

(a,b), dengan demikian kita hanya perlu membuktikan implikasi sebaliknya.

Misalkan f kontinu seragam pada (a,b). Kita akan menunjukkan bagaimana

memperluas f ke a; argumen untuk b dilakukan dengan cara yang sama. Ini

dilakukan dengan menunjukkan bahwa lim = ada dan ini diselesaikan dengan

penggunaan Jadi lim (f(xn)) = L ada. Jika ()sebarang barisan lain dalam (a,b)ang konvergen ke a, maka lim ( ) = a a = 0, dengan demikian oleh

kekontinuan seragam darif kita mempunyai

lim = lim + lim

= 0 + =

Karena kita memperoleh nilaiL yang sama untuk sebarang barisan yang konvergen

ke a, maka dari Kriteria Sekuensial untuk limit kita menyimoulkan bahwa

mempunyai limit L pada a. Argumen yang sama digunakan untuk IbI, dengan

demikian kita simpulkan bahwa f mempunyai perluasan kontinu untuk interval

[a,b].


10/12

Aproksimasi

5.4.11 AkibatMisalkan I = [a,b] interval tutup dan terbatas, dan f : I R kontinu pada I. Jika >0, maka terdapat bilangan asli m sedemikian sehingga jika kita membagi Idalam m interval saling lepas Ik yang mempunyai panjang h = (b a)/m, maka

fungsi tangga didefinisikan () < untuk semua xI.

Fungsi tangga merupakan fungsi yang memiliki karakter dasar, akan tetapi tidakkontinu (kecuali dalam kasus trivial). Karena itu sering diperlukan sekali untuk

mengaproksimasi fungsi-fungsi kontinu dengan fungsi kontinu sederhana,bagaimana kita akan menunjukkan bahwa kita dapat mengaproksimasi fungsi-fungsi kontinu dengan fungsi linear kontinu piecewise (potong demi potong).


11/12

5.4.12 Definisi

Misalkan I = [a,b] suatu interval. Maka suatu fungsi g : I R dikatakan linearpotong demi potong pada I jika I merupakan gabungan dari sejumlah hingga

interval saling lepas 1, , , sedemikian sehingga pembatasan darig untuk setiap

interval merupakan fungsi linear.

Remark. Jelas bahwa agar suatu fungsi linear potong demi potong g kontinu pada

, segmen garis yang membentuk grafik g bertemu pada titik-titik ujung dari

subinterval yang berdekatan , +1(k = 1, , m-1)


12/12

5.4.15 Teorema Aproksimasi Bernsten Misalkan

: [0,1] R fungsi kontinu dan misalkan > 0. Terdapat N sedemikiansehingga jika

, maka kita mempunyai

()< untuk semua

x[0,1].

Bukti. Pembuktian Teorema ini diberikan dalam (Elements of Analysis Real, H.

169-172). Disana ditunjukkan bahwa jika () > 0 sehingga f(x)f(y) < untuk

semua x,y[0,1] dengan x - y < (), dan jika M f(x) untuk semuax[0,1], maka kita dapat memilih = sup {( ( 2 )

4 , 2 2}

Secara khusus, kita ganti f : [a,b] R dengan fungsi F : [0,1] R yangdidefinisikan oleh

(t) =f(a + (b

a)t) untuk t[0,1].Fungsi F dapat diaproksimasi dengan polinmial Bernsten untuk F pada interval[0,1], yang mana selanjutnya menghhasilkan polinomial pada [a,b] yangmengaproksimasif.

Documents

analisis real 1