Embed Size (px)
Citation preview
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
207
ISBN: 978-602-71798-1-3
ANALISIS KESTABILAN MODEL EPIDEMIK SIR
UNTUK PENYAKIT TUBERKULOSIS
Habib A’maludin, AlfensiFaruk, EndroSetyo Cahyono
FMIPA, UniversitasSriwijaya, email: [email protected], email: [email protected], email: [email protected]
Abstract
Tuberculosis is one of the infectious diseases that caused by Mycobacterium tuberculosis (Mtb). The aim of this
research is to analyze the stability of the Susceptible InfectedRecovered (SIR) model for tuberculosis
transmission. We firstly constructed the epidemic SIR model and afterwards derived disease-free equilibrium,
endemic equilibrium, and the basic reproduction number. Based on the analysis, both disease-free equilibrium
and endemic equilibrium for the developed SIR model were stable.Finally, a numerical example wasalso given
in support of the result.
Keywords: Stability, SIR Model, Tuberculosis
1. PENDAHULUAN
Tuberkulosis (TB) adalah suatu penyakit
menular yang disebabkan oleh bakteri
Mycobacterium tuberculosis (Mtb). Penyakit
TB menyebar melalui udara yang telah
terkontaminasi Mtb yang kemudian terhirup
dan masuk ke dalam paru–paru. Pada saat
penderita TB batuk atau bersin serta
mengeluarkan bakteri Mtb ke udara, maka
orang-orang yang terhirup bakteri tersebut
dapat terinfeksi bakteri TB.
Model matematika yang sering digunakan
untuk menganalisa penyebaran suatu penyakit
adalah model SIR (Susceptible Infected
Recovered). Model SIR ini mengelompokkan
individu-individu dalam suatu populasi
menjadi tiga subpopulasi yaitu susceptible atau
rentan (yaitu kelompok individu yang rentan
terinfeksi penyakit), infected atau terinfeksi
(yaitu kelompok individu yang terinfeksi
penyakit), recoveredatau sembuh (yaitu
kelompok individu yang telah sembuh dari
penyakit).
Fredlina, et al. (2012) telah mendapatkan
bentuk bilanganreproduksidasar dari model
SIR, akan tetapi belum melakukan analisis
kestabilan lokal padatitikkeseimbangan dari
model SIR, padahal Oktafiani (2013) telah
memperlihatkan bahwa analisis kestabilan
lokal sangat berpengaruh pada model
penyebaran suatu penyakit. Hal ini dikarekan
syarat agar suatu bilangan reproduksi dasar
dapat digunakan dalam suatu model SIR
adalah titik keseimbangan bebas penyakit dan
titik keseimbangan endemik dari model
tersebut harus stabil.
Tujuan dari penelitian ini adalah
melakukan analisis kestabilan lokal di sekitar
titikkeseimbanganbebaspenyakitdantitik
keseimbangan endemik pada model SIR
penyakit TB. Sebelum dilakukan analisis
kestabilan lokal tersebut, terlebih dahulu
dicaribilanganreproduksidasar dari model SIR
penyakit TB menggunakan matriks next
generation.
2. KAJIAN LITERATUR
Model SIR
Kebanyakan model matematika
penyebaran penyakit menular dimulai dengan
dasar pemikiran yang sama, yaitu dengan
membagi populasi menjadi beberapa
subpopulasi. Salah satu model yang cukup
populer adalah adalah model Kermack-
McKendrick atau juga disebut sebagai model
SIR. Model SIR membagi populasi menjadi
subpopulasi rentan (S), terinfeksi (I), dan
sembuh (R). Jumlah individu rentan, terinfeksi,
dan sembuh pada waktu 𝑡 secara berturut-turut
dapat dituliskan dalam bentuk fungsi
𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), dan 𝑅(𝑡).
Titik Keseimbangan
Misalkan diberikan suatu sistem
persamaan diferensial yang berbentuk
).,(
),(
yxgdtdy
yxfdtdx
(1)
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
208
Sebuahtitik (𝑥0 , 𝑦0) dapat dikatakan sebagai
titik keseimbangan dari sistem (1), apabila
dipenuhi syarat 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 0dan 𝑔 𝑥0 , 𝑦0 =0. Karena turunan suatu konstanta sama
dengan nol, maka sepasang fungsi
konstan 𝑥 𝑡 = 𝑥0dan 𝑦 𝑡 = 𝑦0 merupakan
penyelesaian keseimbangan dari sistem(1)
(Campbell danHaberman, 2008).
Teorema Titik Keseimbangan
Berikut diberikan teorema mengenai
kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau
dari nilai eigen matriks Jacobian.
Teorema 1(Olsder et al., 2011)
1. Apabila semua bagian real nilai eigen
matriks Jacobiandari suatu sistem
persamaan diferensial bernilai negatif,
maka titik keseimbangan dari sistem
tersebut stabil.
2. Jika terdapat satu nilai eigen matriks
Jacobian dari suatu sistem persamaan
diferensialbernilai positif, maka titik
keseimbangan dari sistem tersebut tidak
stabil.
Teorema Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar ℛ0 dapat
didefinisikan sebagai jumlah rata-rata individu
terinfeksiaki battertular oleh individu terinfeksi
lainnya di dalamsuatu populasi. Berikut adalah
teorema mengenai kestabilan dari bilangan
reproduksi dasar. Teorema 2 (Rost dan Wu dalam Effendy,
2013)
1. Titik keseimbangan bebas penyakit
dikatakan stabil asimtotik lokal jika ℛ0<
1 dan tidak stabil jika ℛ0> 1,
2. Jika ℛ0< 1 maka semua solusi konvergen
ke titik keseimbangan bebas penyakit,
3. Titik keseimbangan endemik ada jika dan
hanya jika ℛ0> 1, dan juga jika titik
keseimbangan tersebut ada, maka titik
keseimbangan tersebut stabil asimtotik
lokal,
4. Jika ℛ0> 1 maka penyakit tersebut adalah
endemik.
Matriks Next Generation
Misalkan terdapat n kelas terinfeksi dan m
kelas tidak terinfeksi. Selanjutnya, dimisalkan
juga 𝑥 adalah subpopulasi terinfeksi dan 𝑦
menyatakan subpopulasi tidak terinfeksi
(rentan atau sembuh), sehingga
),,(),( yxi
yxi
x
dan
),( yxgy j
,
dengan= 1,2, . . . , 𝑛, 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚, 𝜑𝑖adalah
laju infeksi sekunder yang ada pada kelas
terinfeksi, dan 𝜓𝑖adalah laju perkembangan
penyakit, kematian, dan atau kesembuhan yang
mengakibatkan berkurangnya populasi dari
kelas terinfeksi.
Selanjutnya, didefinisikan matriks next
generationKyang memiliki bentuk
𝐊 = 𝐅𝐕−𝟏, (2) denganF dan V adalah matriks ukuran nnyang dapatjugadituliskan sebagai
j
i
y
F dan
j
i
y
V .
Kriteria Routh-Hurwitz
Kriteriakestabilan Routh-Hurwitz
merupakan suatu kriteria yang digunakan
untuk memperlihatkan kestabilan suatu sistem
dengan memperhatikan koefisien dari
persamaan karakteristik tanpa menghitung
akar-akarnya secara langsung. Jika suatu
persamaan polinomial adalah persamaan
karakteristik, maka metode ini dapat
digunakan untuk menentukan kestabilan dari
suatu sistem. Adapun, prosedur dalam kriteria
Routh-Hurwitz adalah:
1. Persamaan polinom orde ke-𝑛 ditulis dalam
bentuk
𝑎𝑚𝑠𝑛 + 𝑎𝑚−1𝑠𝑛−1 + 𝑎𝑚−2𝑠𝑛−2 + ⋯
+𝑎1𝑠 + 𝑎0 = 0, dengankoefisien-koefisiennyaadalah
bilangan real dan𝑎𝑚 ≠ 0.
2. Jika terdapat koefisien bernilai 0 atau
negatif, maka terdapat satu akar atau akar-
akar imajiner atau memiliki bagian real
positif yang berarti sistem tersebut tidak
stabil.
3. Jika seluruh koefisien bernilai positif,
makadapat dibentuk suatu matriks yang
sering disebutarrayRouthsebagai berikut
00
00
0
1
1
0
2
2
3
2
1
1
1
0
1
3
2
1
h
g
c
b
a
c
b
a
a
c
b
a
a
S
S
S
S
S
S
k
k
m
m
m
m
n
n
n
n
. (3)
Koefisien𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑘dan𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑘 dapat
ditentukandengan formula-formula berikut:
𝑏1 = −1
𝑎𝑚−1
𝑎𝑚 𝑎𝑚−2
𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−3 ,
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
209
𝑏2 = −1
𝑎𝑚−1
𝑎𝑚 𝑎𝑚−4
𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−5 ,
⋮
𝑏𝑘 = −1
𝑎𝑚−1
𝑎𝑚 𝑎𝑚−2𝑘
𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−2𝑘+1
𝑐1 = −1
𝑏1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−3
𝑏1 𝑏2 ,
𝑐2 = −1
𝑏1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−5
𝑏1 𝑏3 ,
⋮
𝑐𝑘 = −1
𝑏1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−2𝑘+1
𝑏1 𝑏𝑘+1 .
4. Jumlah akar yang tidak stabil dapat
terlihat pada banyaknya perubahan tanda
di kolom pertama matriks (3).
5. Syarat perlu agar sistem dikatakan stabil
adalah apabilakoefisien dari persamaan
karakteristik bernilai positif,
sedangkansyarat cukupnya adalah apabila
setiap suku dari kolom pertama matriks
(3)bernilai positif.
3. METODE PENELITIAN
Langkah-langkah dalam penelitian ini
adalah:
1. Membentuk model epidemik SIR untuk
penyakit TB.
2. Menentukan titik kesetimbangan model
SIR penyakit TB.
3. Menentukan bentuk bilangan reproduksi
dasar (ℛ0) menggunakan matriks next
generation. 4. Melakukan analisis kestabilan dengan
menguji titik keseimbangan dari model
SIR menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
5. Memberikan contoh numerik pada titik
keseimbangan dari model SIR dengan
cara dicari akar-akar dari persamaan
karakteristiknya.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembentukan Model SIR Penyakit TB
Berikut diberikan asumsi-asumsi yang
digunakan dalam membangun model SIR
dalam penelitian ini :
1. Setiap individu dalam populasi (pada
waktu𝑡) selalu berada di dalam salah satu
subpopulasi, yaitu rentan (𝑆), terinfeksi
(𝐼), atau sembuh (𝑅).
2. Individu yang pernah sembuh dari
penyakit TB berada pada lingkungan
tertutup, artinya tidak ada imigrasi
ataupun emigrasi, sehingga total populasi
adalah konstan.
3. Setiap individu yang baru lahir dan yang
masih hidup masuk ke dalam populasi
rentan terhadap penyakit TB.
4. Penyakit TB menular melalui kontak
langsung antara individu rentan dengan
penderita (individu terinfeksi).
5. Tidak ada masa inkubasi dari bakteri Mtb
di dalam tubuh manusia.
6. Setiap individu yang telah sembuh dari
penyakit TB diasumsikan tidak akan
terserang lagi atau dianggap telah
memiliki kekebalan.
Menggunakan asumsi-asumsi di
atas,selanjutnya dapat dibuat diagram model
SIR penyebaran penyakit TB,seperti yang
diperlihatkan dalam gambar 1.
Λ𝛿𝑆𝑝𝐼
𝜇𝑆 𝜇 + 𝛼 𝐼𝜇𝑅
Gambar 1. Model SIR Penyebaran TB
Berdasarkan asumsi-asumsi serta
visualisasi dalam gambar 1, dapat diperoleh
suatu sistem persaman diferensial
,RpIdt
dR
pIISdt
dI
SSdt
dS
(4)
𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑅,
dengan
N
I
Λ =tingkat rekruitment manusia
𝛿 =kekuatan penularan (force of infection)
𝛽 =peluangterjadinyakontakantaraindividu
rentan denganindividu terinfeksi
𝑁 =jumlah total individu dalam populasi
𝜇 = tingkat kematian alami (kematian normal)
𝛼 = tingkat kematian akibat penyakit TB
𝑝 =tingkat kesembuhan individu terinfeksi.
Sistem persamaan diferensial
(4)merupakan representasi matematis dari
S I R
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
210
model epidemik SIR yang dikembangkan
dalam penelitian ini.
AnalisisTitikKeseimbangan
Titikkeseimbangan dari sistem (4)
terjadipadasaat 0dt
dSdan 0
dt
dI,
sedangkanuntuk titik keseimbangan bebas
penyakit terjadi pada saat jumlah individu
terinfeksi sama dengan nol atau dilambangkan
dengan 𝐼0 = 0. Dari sistem (4), maka diperoleh
0dt
dS
Λ − 0 − 𝜇𝑆0 = 0
Λ = 𝜇𝑆0
0S , (5)
dan
0dt
dR
𝑝𝐼0 − 𝜇𝑅0 = 0,
00
0
R , (6)
sehingga titik keseimbangan bebas penyakit
untuk sistem (3) adalah
𝐻 = 𝑆0, 𝐼0, 𝑅0 =
0,0,
. (7)
Sementara itu, titik keseimbangan
endemik terjadi pada saat I≠ 0, sehingga dari
sistem (3) diperoleh
0dt
dS
Λ − 𝛿𝑆1 − 𝜇𝑆1 = 0,
Λ = 𝛿 + 𝜇 𝑆1
)(
1
S , (8)
penentuan𝐼1 dan 𝑅1dari 0dt
dIdan 0
dt
dR
adalahsebagaiberikut
0dt
dI
0)( 11 IpS
p
SI
1
1
)(
1
pI , (9)
dan
0dt
dR
011 RpI
1
1
pIR
)(
1
p
pR . (10)
Berdasarkan uraian di atas, maka
diperolehtitik keseimbangan endemik dari
sistem (3), yaitu
𝐻1 = 𝑆1, 𝐼1 , 𝑅1 , (11)
yang nilai-nilainya seperti yang
diperlihatkanoleh persamaan (8), (9), dan (10).
Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar 𝓡𝟎
Untuk menentukan bilangan reproduksi
dasar dari sistem (4), dapat digunakanmatriks
next generation. Adapun, langkah pertama
yang dilakukan adalah dengan membentuk
N
IS dan pII ,
selanjutnyadenganmelinearisasi dan dapt
diperoleh matriks-matriksberikut
N
S
dI
d F ,
pdI
d
V ,
dan juga inversnya
p
11V ,
sehingga diperoleh matriks next
generationyang berbentuk
pN
S
1FVK , (12)
kemudian dengan mensubtitusikan nilai titik
keseimbangan bebas penyakit (7) ke dalam
persamaan (12), maka dapat diperoleh
bilangan reproduksi dasar 𝓡𝟎 dari sistem (4)
yang berbentuk
𝓡𝟎
)( p
1FV .
Analisis Kestabilan
Setelah diperoleh titik keseimbangan
model maka langkah selanjutnya adalah
melakukan analisis kestabilan untuk setiap titik
keseimbangan (7) dan (11). Langkahpertama
yang
dilakukanadalahlinearisasisistempersamaandif
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
211
erensial (4). Persamaan-persamaan yang
dilinierisasiadalah
𝑓 𝑆, 𝐼, 𝑅 = SS , (13)
𝑔 𝑆, 𝐼, 𝑅 = pIIS )( , (14)
𝑆, 𝐼, 𝑅 = 𝑝𝐼 − 𝜇𝑅. (15)
Dengan melinearkan persamaan (13),
(14), dan (15), dapat diperoleh
S
SS
S
f,
N
S
I
SS
I
f
,
0
R
SS
R
f ,
S
pIIS
S
g ,
I
pIIS
I
g
pN
S
,
0
R
pIIS
R
g ,
0
S
RpI
S
h ,
pI
RpI
I
h
,
R
RpI
R
h .
Hasil linearisasi yang dilakukan di atas
merupakan elemen-elemen dari
matriksJacobianJ, yang bentuk umumnya
adalah
R
h
I
h
S
hR
g
I
g
S
gR
f
I
f
S
f
J
, (16)
sehinggadiperoleh matriks Jacobian dari
sistem persamaan diferensial (4) yang
berbentuk
p
pN
SN
S
0
0
0
1J .(17)
Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan
Bebas Penyakit
Dengan mensubtitusikan nilai titik
keseimbangan bebas penyakit (7) yang
berbentuk𝐻 = 𝑆0, 𝐼0, 𝑅0 =
0,0,
ke
dalam matriks Jacobian(7), makadiperoleh
p
p
0
0
0
1J . (18)
Untuk mencari nilai eigen dari matriks
(18), maka diperlukan solusitak nol dari
persamaan
𝜆𝐼 −1J 𝔁 = 0, (19)
dimana 𝜆adalah nilai eigen. Persamaan (19)
tersebut mempunyai solusi tak nol jika dan
hanya jika 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼 −1J = 0.Jadi, persamaan
karakteristik untuk matriks Jacobian (18)
yang dievaluasi di sekitar titik keseimbangan
bebas penyakit dapat dituliskan sebagai
0
0
0)
0
p
p . (20)
Menggunakan ekspansi kofaktor matriks
(20), diperoleh persamaan karakteristik yang
berbentuk
2323 p
pp 222223
222223 p
0 p . (21)
Untuk menunjukkan kestabilan dari
persamaan karakteristik (21),dapat
menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Langkah
pertama adalah dengan memisalkan
pa 3 ,
222232 2 pμb
p ,
dan
222223 pc
p ,
langkah berikutnya adalah dengan menuliskan
persamaan (21) ke dalam bentuk matriks,
sehingga diperoleh
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
212
a
a
cab
aa
cab
c
b
a
caba
0
1
0
1
2
3
. (22)
Berdasarkan teorema 1, matriks (22)
telah memenuhi syarat cukup agar sistem
tersebut dikatakan stabil karena semua suku
pada kolom pertama matriks bertanda positif.
Oleh sebab itu, karena syarat perlu dan syarat
cukup sudah terpenuhi maka dapat
disimpulkan bahwa persamaan (21) stabil,
yang artinya titik keseimbangan bebas
penyakit (7) dikatakan stabil.
Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan
Endemik
Langkah awal yang dilakukan adalah
denganmensubstitusikantitik keseimbangan
endemik (11) kedalammatriksJacobian (17),
sehingga didapatkan matriksJacobian
p
pN
N
0
0
0
2J . (23)
Untuk mencarinilaieigen (eigen value)
𝜆darimatriks (23) diperlukan solusi tak nol dari
persamaan karakteristik yang dibentuk dari
matrikstersebut,
sehinggadiperolehbentukmatriksberikut
0
0
0
0
p
p
N
N
. (24)
Persamaan karakteristik dari matriks (24)
adalah
p
N3
23
2223
2 2p
N
Np
N
232
p22 2
N
2
0 p . (25)
Berikut ditunjukkan kestabilan dari
persamaankarakteristik (25) menggunakan
kriteria Routh-Hurwitz. Pertama-tama,
dimisalkan
p
Nq 3 ,
2223
2 2
p
Nr
pN
2
222
23
pN
s
N2
p .
Berdasarkan persamaan karakteristik (25)
dan permisalan 𝑞, 𝑟, dan 𝑠yang diberikan di
atas, dapat diperoleh matriks
a
q
sqr
sqr
s
r
q
sqr
q
0
1
0
1
2
3
. (26)
Matriks (26) telah memenuhi syarat perlu
dan syarat cukup dalam teorema satu, sehingga
dapat disimpulkan bahwa persamaan
karakteristik (25) stabil dengan kata lain titik
keseimbangan endemik (11) stabil.
ContohNumerik
Pada bagian ini diberikan contoh numerik
dari model epidemikSIR TB yang
diperlihatkan dalam sistem persamaan
diferensial (4) dengan titik keseimbangan
bebas penyakit (7) dan titik keseimbangan
endemik (11). Nilai–nilai parameter yang
digunakan dalam contoh inidiperoleh dari
Nainggolan et al. (2013), yang secara lengkap
ditampilkan dalam tabel 1.
Tabel1.NilaiEstimasiParameter
Parameter NilaiEstimasi Parameter
Λ 3.500 per tahun
𝛽 0,17 per tahun
μ 0,01 per tahun
Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang 22-24 Mei 2016
213
α 0,05 per tahun
𝑝 0,15 per tahun
Untuk titik keseimbangan bebas penyakit
(7), pertama tama diberikan kondisi awal𝑆0 =350.000, 𝐼0 = 0, dan 𝑅0 = 0. Nilai-nilai
parameter dalam tabel 1 dimasukkan ke dalam
matriks(20) sehingga diperoleh
0
01,015,00
004,00
017,001,0
, (27)
selanjutnya
denganmenggunakanekspansikofaktordiperole
hpersamaankarakteristik dari matriks (27) yang
berbentuk
0000004,00009,006,023
, (28)
dan menggunakan software Maple 10
diperoleh akar-akar dari persamaan (28), yaitu
,25
11
100
132 .
akar-akar yang diperoleh tersebut adalah nilai-
nilai eigen dari persamaan karakteristik (28)
yang semuanya bernilai negatif, sehingga
berdasarkan teorema 1 dikatakan bahwa titik
keseimbangan tersebut stabil.
Menggunakan proseduryang sama nilai-
nilai parameter yang sama (tabel 1),
selanjutnya diberikan contoh numerik untuk
melihat kestabilan dari titik keseimbangan
endemik (11). Dalam hal ini, kondisi awal saat
endemik yang diberikan adalah 𝑆1 = 15000,
𝐼1 = 7300, dan 𝑅1 = 4500. Dengan
memasukkan nilai-nilai parameter pada tabel 1
ke dalam matriks (24),dapat diperoleh matriks
0
01,015,00
008,0003,0
013,0013,0
, (29)
selanjutnya menggunakan ekspansi kofaktor
diperoleh persamaan karakteristik dari matriks
(29) yang berbentuk
000001430002360103023
,λ,λ,λ , (30)
dan menggunakan softwareMaple 10 dapat
diperoleh akar-akar daripersamaan (30), yaitu
100
11 ,
,29292000
1
2000
932
29292000
1
2000
933 .
Semua nilai akar-akarnya bernilainegatif,
sehingga dapat disimpulkan bahwa titik
keseimbangan endemik tersebut stabil.
5. Kesimpulan
Menggunakan asumsi-asumsi yang
digunakan dalam penelitian ini, telah diperoleh
suatu model epidemik SIR yang
memilikiduabuahtitikkeseimbangan,yaitutitikk
eseimbanganbebas penyakit dan titik
keseimbangan endemik. Menggunakan kriteria
Routh-Hurwitztelah diperlihatkan pula bahwa
kedua titik keseimbangan tersebut stabil. Oleh
karena itu,bilangan reproduksi dasar (ℛ0) yang dibentuk oleh kedua titik keseimbangan
tersebut juga stabil. Hal ini berarti
bahwa ℛ0yang diperoleh dapat digunakan
sebagai nilai acuan dalam menganalisa
perkembangan penyebaran penyakit TB
dalams uatu populasi.
6. Referensi Campbell, S. L., &Haberman, R. 2008.
Introduction to Differential Equations with
Dynamical Systems. New Jersey: Princeton
University Press.
Effendy. 2013. Analisis Stabilitas Pada
Penyebaran Penyakit DBD di Kabupaten
Jember Dengan Metode SIR Stokastik. Jember:
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Fredlina, K. Q., Oka, T. B., &Dwipayana, I. M. E.
2012.Model SIR (Susceptible, Infectious,
Recovered) Untuk Penyebaran Penyakit
Tuberkulosis. e-JurnalMatematika.Vol I:52-58
Oktafiani, L. D. 2013. Penentuan Bilangan
Reproduksi Dasar Dengan Menggunakan
Matriks Next Generation Pada Model West Nile
Virus. Bogor: Departemen Matematika FMIPA
IPB
Olsder, G. J., vanderWoude, J. W., Maks, J. G., dan
Jelstsema, 2011. Mathematical Systems Theory
4th
Edition. Netherland: VVSD.
