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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL CURSO: CALCULO COMPUTARIZADO DE ESTRUCTURAS DOCENTE: ING. FIDEL COPA PINEDA ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE UNA ESTRUCTURA APLICANDO LOS PROGRAMAS MATHCAD, SAP 2000 Y VISUAL BASIC ALUMNOS: ADRIEL RAMOS ZELA ARNALDO TEJADA ESPINOZA Arequipa–Perú 2003

Analisis Estructural en Mathcad

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  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

    FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

    CURSO: CALCULO COMPUTARIZADO DE ESTRUCTURAS

    DOCENTE: ING. FIDEL COPA PINEDA

    ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE UNA ESTRUCTURA

    APLICANDO LOS PROGRAMAS MATHCAD, SAP 2000 Y VISUAL BASIC

    ALUMNOS:

    ADRIEL RAMOS ZELA

    ARNALDO TEJADA ESPINOZA

    ArequipaPer

    2003

  • Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 2 -

  • INTRODUC ION IINNTTRROODDUUCCCCCIIOONN ANTECEDENTES:

    Se trata de presentar primero desde un punto de vista meramente algebraico a la

    matriz de rigidez para posteriormente analizar su sentido fsico en la resolucin de los sistemas de ecuaciones ligados al clculo de las estructuras.

    No son pocas las veces que el mundo de las Matemticas irrumpe en el de la Ingeniera, de hecho si investigramos a travs de la historia ocurrira algo parecido a lo que ocurre en la paradoja de la gallina y el huevo...quin vino primero?.

    Bueno el caso es que vamos a tratar de ver que las matrices, que provienen del mundo

    matemtico (1) tienen mucho que ver con la Ingeniera y especialmente con las estructuras, que es uno de mis temas favoritos.

    Es de todos sabido que hoy en da cualquier programa informtico de clculo de

    estructuras que se precie (no voy a mencionar nombres puesto que de ninguno he

    recibido dinero, todava...) posee tres mdulos de trabajo ms o menos diferenciados:

    preproceso, clculo y postproceso. Como es fcil de adivinar el preproceso se centra en la entrada de los datos y el postproceso en la salida de los resultados. El mdulo de

    clculo, que es el que ahora nos interesa, se centra a su vez en la resolucin de un

    sistema de ecuaciones. Generalmente este sistema sirve para calcular los

    desplazamientos de los puntos de la estructura, y a partir de estos los esfuerzos. Es en

    este punto donde entran aparecen las matrices asociadas a dicho sistema lineal, que como veremos reciben el nombre de matrices de rigidez.

    Estos programas abarcan principalmente todo el clculo de estructuras de barras y de

    elementos finitos donde se opera con matrices que guardan caractersticas de los

    elementos: rigideces, masas, etc. Desde luego existen programas que no se basan en

    estas tcnicas como por ejemplo los que trabajan con el mtodo iterativo de Cross,

    aunque de estos conozco bien pocos y estn un poco mal vistos y en desuso -aunque

    son igual de vlidos respetando unas premisas de partida dadas (despreciar las

    deformaciones debidas a los axiles por ejemplo)-. Puesto que la resolucin de las

    estructuras por computadoras supone un esfuerzo inmensamente menor y dado que

    los clculos los realiza el ordenador y este 'no se equivoca' -Se pone entre comillas

    puesto que veremos que s que se equivoca-, los mtodos matriciales estn popularizndose hasta tal punto que han relegado o absorbido al resto.

    Una vez demostrado que lo de las matrices y las estructuras va en serio nos

    preguntaremos qu papel juegan las matrices en todo esto. Pues bien, las matrices que

    a nosotros nos interesan expresan la relacin entre las fuerzas y los desplazamientos, veamos esta famosa ecuacin para aclararnos:

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 3 -

  • P = k . d [1]

    Pues s, si consideramos que P es el vector de cargas y d el vector de los desplazamientos producidos en esos puntos (se trata de evitar hablar de de nudos/nodos para no liarnos ms de la cuenta), nos daremos cuenta de que la matriz k

    denominada matriz de rigidez se encarga de almacenar ordenados unos coeficientes tales que al premultiplicar por los desplazamientos en un punto (d) se obtienen las

    fuerzas en dicho punto (F). Tanto los desplazamientos como las fuerzas son aqu

    vectores de orden igual al nmero de grados de libertad de los nudos. As por ejemplo

    en estructuras planas del tipo prticos son tres los grados de libertad por nudo -

    (dx,dy,z) desplazamientos en los dos ejes y giro en el eje Z- para los desplazamientos-,

    y por tanto tambin tres las componentes del vector para las fuerzas -(Fx,Fy,Mz) fuerzas en los dos ejes y momentos segn el eje Z-.

    Esa simple ecuacin es la que trae de cabeza a todos los programas de clculo y su

    resolucin es la que nos ha trado a todos alguna vez a la desesperacin frente a la

    pantalla de nuestro modesto PC puesto que en cuanto la estructura es contundente, el tiempo de resolucin se hace interminable.

    Qu es la rigidez de un elemento?, pues bien, vemonos a nuestras primas las barras que son muy fciles de entender y nos despejan el paso para posteriores elementos

    ms extraos. Entendemos por rigidez la resistencia que opone un elemento frente a

    una deformacin dada. Una estructura muy rgida es aquella que presenta mayor

    oposicin a la deformacin y eso le suele costar caro. En una estructura, por ejemplo la

    de un edificio, un pilar suele ser menos rgido que una pantalla frente a movimientos

    horizontales como los producidos por el viento o por el sismo, dado que un pilar suele

    poseer menor seccin que una pantalla, y eso le sale caro a la pantalla puesto que

    absorbe la mayor parte de los esfuerzos horizontales mientras que el pilar ni se entera.

    En definitiva los elementos trabajan en conjunto y el ms rgido se lleva ms parte de las fuerzas que el menos rgido.

    La matriz de rigidez de la estructura almacena todas las rigideces de los elementos de

    dicha estructura y reparte desplazamientos y a la inversa fuerzas segn el valor de

    dichas rigideces. A mayor movimiento te toca menos esfuerzo y de eso se encarga

    nuestra matriz. No es divertido?, las estructuras son muy solidarias... ms puedes, pues ms te llevas...(2)

    Aqu podis ver como es la matriz de rigidez de una barra en un prtico plano, como se

    observa sus componentes estn formados por trminos correspondientes caractersticas

    mecnicas de la barra: su rea (A) -rigidez frente a deformaciones en el sentido del eje de la barra, producidas por tracciones y compresiones-, inercia (I) -rigidez frente a deformaciones de flexin-, longitud (L), y como no mdulo de Elasticidad (E):

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  • Matriz de Rigidez de una barra en un prtico plano.

    (1) Las matrices nacieron con el objeto de simplificar la notacin a la hora de resolver

    sistemas de ecuaciones lineales. Posiblemente el primero en utilizar la notacin actual

    fue el ingls Arthur Cayley (1821-1895), quien al estudiar las transformaciones lineales,

    utiliz notaciones abreviadas entre corchetes como las de hoy en da.

    (2) Es muy usual al disear las primeras estructuras que tras hacer un predimensionado y

    a partir de los esfuerzos obtenidos se le d mayor seccin a los elementos que estn

    trabajando con mayores esfuerzos, lo cual no siempre conduce a mejorar su estado,

    dicho elemento seguramente se llevar ahora ms parte de la carga. Ser mejor

    buscar un equilibrio de las rigideces.

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 5 -

  • DDDESCRIPCION DEL PROGRAMA - ENTORNO MATHCAD

    EESSCCRRIIPPCCIIOONN DDEELL PPRROOGGRRAAMMAA -- EENNTTOORRNNOO MMAATTHHCCAADD

    Este programa ha sido desarrollado bajo la filosofa de los programas tradicionales de clculo de estructuras, en los cuales el proceso de ejecucin consiste en la lectura de ficheros que contiene las "datos" que describen la estructura a analizar, La estructura se representa como:

    DATOS

    MATHCAD

    RESULTADOS FICHEROS SALIDA .txt

    FICHEROS .txt

    Fig. 1. Estructura del programa.

    De este modo, el programa consta de dos partes claramente diferenciadas. La primera est dedicada a preprocesar los datos de descripcin de la estructura y sus solicitaciones que suministra el usuario,. La segunda parte del programa lee los ficheros, y realiza el clculo de la estructura, propiamente dicho, ge a de resultados (fichero.txt).

    En primera parte del programa se requiere como entrada la descripcin de la geometra, del material y las solicitaciones (carga) que, de este modo, definen por completo la estructura que se va a calcular. Dicho fichero de datos tiene como extensin .txt.

    La geometra queda roporcionando las coordenadas de todos los nudos de la estructura, incluyelas barras sobre el ccomo los nudos se id

    El material queda depoisson, y puede ser

    Las solicitaciones se estructura. Dichas casobre las barrasparagravedad, tales commiembro.

    En el caso de que ncrea un ficheros de s

    Por: Adriel Ramos definida p

    ndo los correspondientes a los apoyos,onjunto de nudos, y las secciones de entifican por un nmero entero positivo

    finido por su mdulo elstico, mdulo diferente para diferentes grupos de ba

    definen mediante la indicacin de las rgas pueden estar aplicadas directam el caso de cargas en los miembroo el peso propio de la estructura. Y so

    o exista ningn error en al definicin dalida con la extensin .txt.

    Zela & Arnaldo Tejada Espinoza nerando el fichero de salid

    un fichero de datos con as como las conexiones de las mismas. Tanto las barras , elegido por el usuario.

    de corte y su coeficiente de rras.

    cargas que actan sobre la ente sobre los nudos, bien s solo aceptara cargas de lo se acepta una carga por

    e la estructura, el programa

    - 6 -

  • El programa lee el fichero de ingreso, y proporciona un fichero con los datos de definicin de la estructura, y los resultados en desplazamientos y esfuerzos para cada una de las hiptesis de carga introducida.

    1. DEFINICION DE LA GEOMETRIA DE LA ESTRUCTURA

    La definicin de la geometra de la estructura se realiza mediante la introduccin de un conjunto de datos que definen:

    - La posicin de los nudos de la estructura.

    - La definicin de los apoyos (restricciones)

    - Las caractersticas de las barras.

    - La definicin de las secciones transversales

    - La definicin de las vigas y columnas (ngulo para transformacin)

    - La definicin de los modos de empotramiento de las vigas

    - Caractersticas de las conexiones de las vigas

    1.1. Posicin de los nudos de la estructura

    Las etiquetas para la definicin de los nudos de la estructura, y su sintaxis, son las siguientes:

    x y z RX RY RZ RXX RYY RZZ

    // 0=FREE, 1=RESTRAINED

    0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

    10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

    10, 0, -10, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

    10, -10, -10, 1, 1, 1, 1, 1,....

    Siendo:

    Coordenada_X Y..Z : Un nmero real, cuyo valor es la coordenada X. Y .Z del nudo, en el sistema global de coordenadas. La unidad de la misma es la longitud [L].

    RX RY RZ RXX RYY RZZ.-Restricciones de los nudos

    1.2. Definicin de apoyos .

    Los apoyos de la estructura podrn definirse en coordenadas locales y globales, tambin podrn ser rigidos y estar sometidos a un determinado desplazamiento. Para ello se dispone de las etiquetas siguientes , esta definido el el fichero de Nudos:

    1.3. Caractersticas de las barras.

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 7 -

  • Las etiquetas para la definicin de las barras de la estructura, y su sintaxis, son las siguientes:

    j k seccin sis

    1, 2, 1, 0 ,

    2, 3, 1, 0 ,

    4, 3, 1, 90 ,

    Siendo :

    Nudo_inicial (j): Nmero entero que indica el nudo inicial de la BARRA.

    Nudo_final(k): Nmero entero que indica el nudo final de la BARRA.

    Seccin : Un Numero que define el nombre de la geometra y material de la barra.

    Sis : El ngulo que forma con Y o Z para tomar el tipo de transformacion.

    Modo_inic_barra: Un nmero entero positivo que apunta a una tabla, en la cual se

    1.4. Definicin de las secciones .

    La definicin de las secciones de las barras se realizar mediante comando SECCION, que ir delante de CON.BA con el siguiente formato:

    Ix IY Iz AX ARY ARZ E G

    0.25 1 1 0.25 0.25 0.25 1 1

    SECCION El Nmero_de_la seccion_que_se_van_a_definir es el numero de fila donde se ubica

    Siendo:

    Inercia_X Inercia_Y Inercia_Z Inercia_ Area_X Area_Y Area_ Z : los valores estticos correspondientes de la seccin.

    En el caso de que el valor de AreaY o el AreaZ sean cero, se despreciar la influencia de la deformacin por cortante en la viga.

    E , G los valores correspondientes al material de la.

    1.5. Definicin de las Vigas y Columnas.

    La etiqueta para la definicin de las vigas que forman la estructura, se define el el fichero de miembros con el angulo sis para elementos horizontales este sera 0, para verticales 90.

    2. DEFINICION DE LAS SOLICITACIONES ESTATICAS.

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 8 -

  • Para la definicin de las solicitaciones se dispone de varias etiquetas, dependiendo del tipo de carga, as como si la definicin de sta se realiza sobre la barra o sobre la viga.

    De este modo, pueden existir

    Cargas en nudos.

    Para la descripcin de las cargas que actan directamente sobre los nudos de la estructura se dispone de las siguientes etiquetas:

    N FX FY FZ FXX FYY F ZZ

    1 0 0 0 0 0 0

    2 0 0 0 0 0 0

    Las cuales permiten solicitar uno o varios nudos de la estructura en cada una de las direcciones globales especificada (Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz) con una fuerza de magnitud Valor.

    Siendo:

    Nudo: Un nmero entero positivo correspondiente a la etiqueta del n de nudo en que acta la solicitacin.

    Valor: Un nmero real que indica la magnitud de la solicitacin que acta sobre el nudo en la direccin global especificada. La unidad para la misma es Fuerza [F].

    Cargas en barras

    Para la descripcin de las cargas que actan sobre las barras de la estructura se dispone de las siguientes etiquetas:

    M tipo carga a

    1 1, 4.8, 0,

    Las cuales permiten solicitar una o varias barras de la estructura segn la direccion vertical (cargas de gravedad +hacia abajo) con fuerza distribuidas Valor .

    Siendo:

    Barra(M): Un nmero entero positivo,, correspondiente a la etiqueta del nmero de barra en que acta la solicitacin.

    Valo(carga): Un nmero real que indica la magnitud de la solicitacin que acta sobre la barra en la direccin especificada. La unidad para la misma es Fuerza [F].

    Tipo, a,: son nmeros que definiran tipo de carga y distancia de la cargas al nudo j , para esta primera aplicacin se considera 1 para carga distribuida en toda la longitud, y tipo 2 una carga puntual a un a distancia a,.

    La unidad para la misma es Fuerza por unidad de longitud de la barra o solamente fuerza segn sea el caso.

    3. CALCULO MATRICIAL

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 9 -

  • CALCULO MATRICIAL DE LOS SISTEMAS DE BARRAS

    La utilidad de las matrices en el anlisis lineal de estructuras (permanencia de proporcionalidad entre cargas y deformaciones- se debe a que permiten expresar matemticamente de manera sencilla la teora de estructuras mediante una secuencia de operaciones para las que es totalmente idneo un ordenador.

    El desarrollo matemtico que gobierna el comportamiento de las estructuras resulta sencillo y breve, ya que si las cargas se aplican en los nudos la estructura nicamente se desplaza a fin de mantener las condiciones de equilibrio en todas sus partes. Al final se llega, siempre, a un sistema lineal de ecuaciones que relaciona las cargas aplicadas en nudos o en barras con los recorridos de stos, y que en forma matricial se expresa:

    [F] -> Matriz columna representativa de las cargas aplicadas en nudos y barras

    [KS] -> Matriz cuadrada denominada de rigidez y cuyo ensamblaje constituye la parte fundamental del problema.

    [D] -> Matriz columna de desplazamientos incgnitas de los diferentes nudos de la estructura.

    SISTEMA DE REFERENCIA LOCAL Y GLOBAL

    Fig. 2. Estructura del programa.

    Los ejes locales se seleccionan y orientan como vemos en la figura 2, no ofrecen ms limitacin que el eje local "y" ha de ser perpendicular al eje local "x" y al eje general "z". Los cosenos directores en el extremo i del eje local "x" en el sistema general de referencia son:

    Cxi

    X ki( ) X ji( ) Li

    := CyiY ki( ) Y ji( )

    Li:= Czi

    Z ki( ) Z ji( ) Li

    :=

    La matriz de rotacin de una barra del sistema de ejes general al local (global a principal) en el nudo i de la barra i ser:

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  • Ri

    L11i

    L21i

    L31i

    0

    0

    0

    0

    0

    0

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    L12i

    L22i

    L32i

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    L13i

    L23i

    L33i

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    L13i

    L23i

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    L33i

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    L11i

    L21i

    L31i

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    L12i

    L22i

    L32i

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    L13i

    L23i

    L33i

    :=

    Siendo:

    L. Valores que erelacinan los cosenos directores, (ver aplicacin)

    Esta ser la matriz de cambio de base para la barra, teniendo en cuenta el ngulo de la barra para definir el tipo de transformacin , la matriz de cambio de base pasa las coordenadas de un sistema de referencia Global al Local. La transpuesta de esta matriz pasar del Sistema Local al Global.

    4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS SISTEMAS DE BARRAS

    Ensamblaje de la Matriz

    Las submatrices Kii (las denominadas anteriormente MatRig), de la diagonal principal representan la rigidez del nudo i. Por otro lado Kij representan la rigidez del elemento ij en el extremo i para los desplazamientos unitarios introducidos en el extremo j, mientras que Kji representa lo inverso. Es decir, se aplican desplazamientos unitarios en el nudo i y se miden los esfuerzos producidos en el nudo j. Por tanto Kii solo depender de las caractersticas de la barra ij, mientras que Kii representa las fuerzas necesarias para introducir desplazamientos unitarios en el nudo i y depende de todos aquellos elementos que llegan a dicho nudo.

    Para construir la matriz de rigidez global, necesitamos que las matrices de rigidez de cada barra estn en el Sistema de referencia Global, (utilizamos la matriz de rotacin de cada barra para cambiarlas de un sistema a otro de coordenadas), una vez llevadas a este sistema de referencia, procederemos a ensamblarlas para construir la matriz de rigidez global de la estructura, esta aplicacin ordena la matriz de rigidez global con respecto al vector de grados de libertad , es decir las primeras filas y columnas correspondern a los grados de libertad no restringidos.

    Esta implementacin realizada permite subdividir la matriz en 4 submatrices ,Kuu que es la matriz cuadras superior izquierda de un orden igual al numero de grados de libertad libres , as logramos reducir el sistema para calculo de desplazamientos,.

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 11 -

  • En otro tipo de aplicaciones (Visual Basic., etc) Es conveniente resaltar las caractersticas de la misma:

    Es una matriz simtrica, luego almacenaremos slo la triangular superior. Por otro lado, la mayor parte de sus elementos son 0, es una matriz en

    banda, slo los elementos que "caen" dentro de la banda son no nulos, y ser los que almacenemos, en este caso almacenaremos solo la semibanda.

    Tenemos que la matriz de rigidez que nos interesa es : Kuu podremos hallas la matriz de desplazamientos, que el objetivo, de alli hallaremos los vectores de fuerzas en los extremos.

    5. APOYOS FIJOS SEGN EJES GENERALES (Globales)

    En los apoyos en los que se coartan totalmente todos o algn desplazamiento (en el caso que nos ocupa, cualquiera de los seis posibles movimientos), es necesario modificar la matriz de rigidez real, definida anteriormente, con el fin de que al resolver la ecuacin se anulen los movimientos impendidos

    6. ANLISIS ESTTICO

    ANALISIS DE LAS SOLICITACIONES SOBRE LA ESTRUCTURA (CARGAS)

    - Cargas en nudos

    - Cargas aplicadas sobre las barras

    Para empezar a realizar este tipo de anlisis, tendremos en cuenta las cargas aplicadas sobre la estructura, que pueden aplicarse tanto en nudos, como distribuidas en las propias barras (se contemplara en un futuro varios tipos de cargas, cada una con sus coeficientes de empotramiento, el peso de la estructura se trata tambin como una carga uniforme en barras).

    Cargas en nudos

    ANALIZAR LAS CARGAS APLICADAS DIRECTAMENTE EN NUDOS

    Las cargas que se aplican en los nudos se "colocan" directamente sobre el vector de cargas F, al que luego se irn acumulando las fuerzas de empotramientos extraidas de las cargas en barras.

    FUERZAS DE EMPOTRAMIENTOS Y FUERZAS EQUIVALENTES EN LOS NUDOS.

    Los momentos de empotramiento se calculan analizando el vector de cargas en barras para la hiptesis actual, dependiendo del tipo de carga se aplican unos coeficientes u otros, los esfuerzos as calculados los transformamos a globales y los guardamos en el vector de esfuerzos de cada barra acumulndolos a los procedentes de las cargas de nudos, as tendremos el vector de cargas F, y procederemos a resolver el sistema.

    Cargas aplicadas sobre las barras

    Dado que la matriz de rigidez se forma considerando todas las piezas perfectamente empotradas en los nudos, las cargas puntuales o repartidas aplicadas entre los nudos jk

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 12 -

  • de una barra se sustituyen por las fuerzas de empotramiento o equivalentes, que son las reacciones de empotramiento cambiadas de signo.

    Las fuerzas de empotramiento se determinan referidas a las coordenadas locales; habr por tanto que transformarlas al sistema general de coordenadas y superponerlas con las fuerzas existentes en nudos.

    Para cada tipo de carga se calculan los coeficientes de empotramiento, que varan con el tipo de carga y punto de aplicacin de la misma. Si el vector fuerza generalizado F (Fx Fy Fz Mx My Mz), que representa la carga aplicada al elemento en el sistema general de coordenadas, se premultiplica por la matriz de rotacin Ri, se transforma al sistema de coordenadas local.

    Calculadas las fuerzas equivalentes en todos los nudos (y pasadas a coordenadas globales) se aaden a las que se aplican directamente sobre ellos con el fin de formar el vector de carga F.

    La solucin de la ecuacin fundamental F = Ks*D, determina los desplazamientos en nudos libres a partir de los cuales se calculan los esfuerzos en los extremos de cada

    elemento.

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  • Ejemplo de Aplicacin EEjjeemmpplloo ddee AApplliiccaacciinn

    Datos: BLOQUE DE DATOS DE NUDOS

    xcoor ycoor zcoor 0 3 5 5 3 5 5 3 0 0 3 0 0 0 5 5 0 5 5 0 0 0 0 0

    TIPOS DE SECCIONES

    SECCION 1: ELEMENTOS HORIZONTALES 0.30*0.60 SECCION 2: ELEMENTOS VERTICALES 0.5*0.5

    TIPOS DE MATERIALES

    CONCRETO: E 2173706.5 Tn/m2 G 905711 Tn/m2

    BLOQUE DE DATOS DE CONECTIVIDAD DE MIEMBROS

    i j k Tipo Seccion1 1 5 2 2 2 6 2 3 3 7 2 4 4 8 2 5 1 4 1 6 1 2 1

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 14 -

  • 7 2 3 1 8 3 4 1

    BLOQUE DE DATOS DE CARGAS

    Elemento Tipo Valor 5 1 1.56 7 1 1.56 6 1 0.43 8 1 0.43

    Tipo 1: Distribuida en toda la longitud Valor: Tn/m

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 15 -

  • Desarrol o: Mathcad DDeessaarrrroollllloo:: MMaatthhccaadd 1. - LECTURA DE DATOS DE LOS FICHEROS DE DATOS

    2. - PROPIEDADES DE LA ESTRUCTURA Propiedades de los Nudos

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 16 -

  • Propiedades de los Miembros

    Propiedades de Seccion

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 17 -

  • 3. - MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL POR MIEMBRO

    Para corte en 3D n =1

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 18 -

  • 3. - MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS LOCALES A GLOBALES

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 19 -

  • Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 20 -

  • 4. - MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL POR MIEMBRO

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 21 -

  • 5. - MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

    Grados de Libertad

    Grados de libertad Restringidos

    Grados de libertad No Restringidos

    Vector de grados de Libertad Restringidos

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  • Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 23 -

  • Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 24 -

  • VR = Grados de libertad restringidos Vector de Grados de Libertad no Restringidos

    Orden del vector de grados de libertad

    Orden del vector de grados de libertad por miembro

    Matriz de Rigidez de la Estructura:

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 25 -

  • 6.- FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

    Cargas en los Miembros

    Cargas en los Nudos

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  • Vector de Fuerzas Fuerzas en los Nudos:

    Fuerzas en los Miembros en Coordenadas Locales

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 27 -

  • Fuerzas en los Miembros en Coordenadas Globales

    7.- DESPLAZAMIENTOS

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 28 -

  • 8.- REACCIONES

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 29 -

  • 9.- DESPLAMIENTOS POR ELEMENTO

    Desplazamientos Globales:

    Desplazamientos Locales:

    10.- FUERZAS LOCALES EN LOS ELEMENTOS Fuerzas locales de empotramiento:

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  • Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 31 -

  • 11.- FUERZAS INTERNAS DE CADA ELEMENTO

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  • 12.- RESULTADOS FINALES POR ELEMENTO MIEMBRO N FUERZAS EN LOS EXTREMOS

    ESPLAZAMIENTO EN LOS EXTREMOS GLOBALES

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  • 13.- CREANDO FICHEROS DE SALIDA

    MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE LOS MIENBROS

    MATRIZ DE RIGIDEZ DESPLAZAMIENTOS

    MATRIZ DE FUERZAS DE EXTREMO DE LOS MIEMBROS

    Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza - 34 -