Analisis Estructural de Candela

HORMIGN Y ACERO | 61

Anlisis estructural de algunas obrasde Flix Candela mediante modelosde elementos finitosFinite element model analysis of works authored by Flix Candela

Javier Oliva Quecedo(1), Pablo Antoln Snchez(1), Alfredo Cmara Casado(1) y Jos M. Goicolea Ruigmez(2)

Recibido | Received: 11-05-2010Aceptado | Accepted: 05-07-2010

(1) Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politcnica de Madrid. E. T. S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos(Madrid, Espaa).

(2) Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politcnica de Madrid. E. T. S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos(Madrid, Espaa).

Persona de contacto / Corresponding author: [email protected]

Volumen 62, n 260, 61-76 | abril-junio 2011 | ISSN: 0439-5689

Resumen

Por su facilidad constructiva y la relativa sencillez de su anlisis estructural, el paraboloide hiperblico dehormign armado es una forma profusamente utilizada por el arquitecto Flix Candela (1910-1997). En esteartculo se analiza el comportamiento de varias de esas obras. Concretamente dos paralelogramos alabeados [1],el restaurante Los Manantiales (Mxico) y la Iglesia de Guadalupe (Madrid). Se explica la geometra del para-boloide hiperblico y se describe brevemente el anlisis estructural presentado por Flix Candela. Los resulta-dos presentados posteriormente confirman la distribucin de esfuerzos descrita por Candela. En todos los casosestudiados las tensiones resultan ser admisibles para el hormign. Se ha verificado tambin el comportamientode membrana de las estructuras mediante un factor cuyo valor oscila entre 0 (flexin pura) y 1 (membranapura). El comportamiento se aleja o acerca al de membrana pura en funcin de las condiciones de apoyo comoya recalc el arquitecto madrileo.

Palabras clave: Flix Candela, lmina, paraboloide hiperblico, Xochimilco, Guadalupe, hormign armado,anlisis estructural.

Abstract

Because it is easy to build and due to the relative simplicity of its structural analysis the hyperbolic paraboloid made ofreinforced concrete is highly employed by the architect Flix Candela (1910-1997). In this article the structural behav -iour of several such works is analyzed. Specifically two warped parallelograms [1], Los Manantiales restaurant (Mexico)and Guadalupe church (Madrid). The hypar geometry and the structural analysis reported by Candela are briefly ex -plained. In all cases the stresses are allowable for the material. We have verified the membrane behaviour of the structuresby means of an index which value oscillates between 0 (pure bending) and 1 (pure membrane). This index depends on thesupport conditions of the shell, as Candela remarked.

Keywords: Felix Candela, shell, hypar, Xochimilco, Guadalupe, reinforced concrete, structural analysis.

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* An extensive English language summary of the present article is provided on page 104 of this issue both for the convenience of non-Spanish-speaking readers and inclusion in databases.

62 | HORMIGN Y ACERO

Volumen 62, n 260, 61-76 | abril-junio 2011 | ISSN: 0439-5689 J. Oliva, P. Antoln, A. Cmara y J.M. Goicolea

Anlisis estructural de algunas obras de Flix Candela mediante modelos de elementos finitos

1. INTRODUCCIN

Flix Candela ha sido una figura excepcional en elmbito general de la ciencia de la construccin. Susestructuras laminares son conocidas en todo el mundo yhan servido de inspiracin a ingenieros y arquitectos.Con motivo del centenario de su nacimiento (27 de Enerode 1910) se han celebrado numerosos actos para recordarsu figura y su obra. En ese marco se han analizadomediante modelos de elementos finitos algunas de susobras ms representativas. Concretamente se estudiandos de los modelos cannicos compuestos por asociacinde paralelogramos alabeados [1], la cubierta del restau-rante Los Manantiales en Xochimilco (Mxico) y laIglesia de Nuestra Seora de Guadalupe en Madrid(Espaa). Todas ellas son estructuras laminares conforma de paraboloide hiperblico.

2. EL PARABOLOIDE HIPERBLICO

Las lminas son elementos estructurales que aparecentanto en la naturaleza (huevos, crneos...) como enmultitud de obras de ingeniera (fuselajes de aviones,tanques de almacenamiento de lquidos, cascos desubmarinos, cubiertas de edificios...). En este tipo deelementos la forma determina su comportamientoestructural, por eso es importante centrarnos primera-mente en la descripcin de la geometra para poderentender el comportamiento resistente de las obras quevamos a estudiar.

Una superficie curva se dice desarrollable cuando puedereducirse a una superficie plana sin deformarla, porejemplo una bveda cilndrica puede desarrollarse enun rectngulo. Una superficie no desarrollable requieredeformarse para transformarse en un plano, comoejemplo pensemos en una bveda semiesfrica. De estaforma las superficies no desarrollables tienen msrecursos resistentes [2].

Si cortamos una superficie por una serie de planos quecontienen a la normal en un punto, obtenemos una seriede curvas. De todas esas curvas, hay una que tiene lamxima curvatura en ese punto (K1) y otra con un valormnimo (K2). K1 y K2 se conocen como curvaturas princi-pales de la superficie. El producto de las curvaturasprincipales es la curvatura gaussiana, K. Si una de lascurvaturas principales es nula, la curvatura gaussianatambin lo ser, por ejemplo en una lmina cilndrica.Esas superficies se llaman de curvatura simple. Si K es

positiva; es decir, si las dos curvaturas principales sondel mismo signo, se dice que es una superficie sinclsticao elptica. Si las dos curvaturas principales son dedistinto signo K ser negativa y la superficie ser anti-clstica o hiperblica (Figura 1). Tanto las superficessinclsticas como anticlsticas son de doble curvatura.

Primeramente hay que distinguir entre lminas apropia-das e inapropiadas [3]. Para que una lmina sea apro-piada ha de tener doble curvatura; es decir, ha de ser nodesarrollable. Su comportamiento estructural es predo-minantemente de membrana; es decir, los esfuerzosactan mayoritariamente en su plano. Por el contrario,en las lminas inapropiadas gran parte del comporta-miento estructural es de flexin. Cuando las seccionestrabajan a flexin slo las fibras extremas estn traba-jando a su mxima capacidad y eso cuando el materialresiste tanto tracciones como compresiones. En el casodel hormign los esfuerzos de traccin se concentran enla armadura con lo cual aproximadamente dos terciosde la seccin se convierten en un peso muerto. A partirde ah Candela enuncia en una de sus conferencias enMxico lo que define como un principio econmicofundamental: hay que evitar, en lo posible, los esfuerzos deflexin, mediante la eleccin de una forma apropiada [4].Una superficie de curvatura simple como una bvedacilndrica puede trabajar en gran parte como membranabajo ciertas distribuciones de carga para las que suforma sea antifunicular, pero cuando aparecen otrascargas se desarrolla flexin en la estructura. Sinembargo, las superfices de doble curvatura, si se sujetanadecuadamente, pueden trabajar slo como membra-nas, independientemente de las cargas aplicadas. Estopuede verse comparando la rotura de una bveda ciln-drica con la de una bveda esfrica bajo cargas vertica-les; la primera fallar por flexin, la segunda por trac-cin, aunque existan flexiones (Figura 2).

El conoide, el hiperboloide de una hoja y el paraboloidehiperblico son superficies anticlsticas que puedengenerarse mediante lneas rectas (superficies regladas).Debido a eso son superfices ms simples de construirque las sinclsticas. El paraboloide hiperblico tiene laventaja sobre las otras dos de que la sencillez de su defi-nicin geomtrica hace que su funcionamiento estruc-tural sea ms fcil de plantear y comprender.

2.1. Definicin de la superficie

Consideremos dos rectas en el espacio, HOD y ABC,que se cruzan; es decir, que no son paralelas ni se cortan

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Figura 1. Superficies segn su curvatura gaussiana: (a) Doble curvatura sinclstica (K > 0); (b) Curvatura simple (K = 0);(c) Doble curvatura anticlstica (K < 0)


J. Oliva, P. Antoln, A. Cmara y J.M. GoicoleaVolumen 62, n 260, 61-76 | abril-junio 2011 | ISSN: 0439-5689


ecuacin del paraboloide hiperblico se puede escribircomo:

(2)

donde k es una constante que representa el alabeounitario del paraboloide; k = AA/(OBOHsen) en laFigura 3. Los ejes x e y slo sern perpendiculares en elcaso de que a = b y en ese caso ser igual a 90.

Si cortamos la superficie por los bisectores de los planosdirectores obtendremos dos parbolas (GOC y EOA)que se conocen como parbolas principales, las curvatu-ras de ambas son de signo contrario como correspondea una superficie anticlstica.

Otra forma de entender esta superficie es considerarlacomo generada por una parbola principal P1 que semueve mantenindose paralela a s misma a lo largo deotra parbola principal P2. As la superficie tiene dossistemas de generatrices parablicas.

2.2. Anlisis estructural

Para explicar el comportamiento estructural de losparaboloides hiperblicos Flix Candela se basa en las

z kxy= sen( )

(Figura 3). Las rectas hi que se apoyan en ambas rectasy que son paralelas a un determinado plano xOzllamado plano director definen la superficie. Esa fami-lia de rectas hi se denomina el primer sistema de gene-ratrices. A su vez las rectas HOD y ABC determinanotro plano director yOz que es paralelo a las dos. As, lasuperficie puede entenderse tambin como generadapor un segundo sistema de generatrices, la familia derectas ii, que son paralelas a ese plano y que cortan atodas las generatrices del primer sistema (hi).

As que el paraboloide hiperblico contiene dos siste-mas de lneas rectas, las rectas de cada uno de ellos sonparalelas a un plano director y esos dos planos directo-res forman entre s un ngulo cualquiera . Entonces,por cada punto de la superficie pasa una recta de cadauno de los dos sistemas de generatrices. Hay que resal-tar que el ngulo xOy puede ser cualquiera mientrasque xOz e yOz sern ngulos rectos.

La ecuacin en coordenadas cartesianas de esa superfi-cie ser:

(1)

Si utilizamos los ejes x e y definidos anteriormente, la

ZXa

Yb

= 2

2

2

2

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Figura 2. Fallo a flexin de la curvatura simple - Fallo a traccin de la curvatura doble

Figura 3. Definicin de la superficie




ecuaciones de equilibrio, dejando a un lado las de laelasticidad. No porque no las conozca o no las domine,sino porque opina que debido a la naturaleza delhormign se producirn redistribuciones de esfuerzosque apartarn a la estructura del estado tensional obte-nido utilizando las ecuaciones de la elasticidad: ...losmtodos basados en la teora de la elasticidad no son apropia-dos para el anlisis de estructuras hiperestticas de concretoarmado, y como estos mtodos son los nicos admitidos por lamayora de los Reglamentos, nos encontramos con el hechoinslito de que no podemos aplicar, para el clculo de estruc-turas de concreto armado casi el nico material estructu-ral mtodos que estn de acuerdo con sus caractersticas.[5]. Adems la propia delgadez de las lminas har quela contribucin de la flexin sea pequea y eso llevar ala estructura a un estado de membrana ms eficiente.

Candela presenta en dos artculos el clculo estructuralde lminas de hormign con forma de paraboloidehiperblico [1, 6] utilizando las frmulas generales paratensiones de membrana en una superficie de cualquierforma desarrolladas por Pucher [7]. Planteando el equi-librio en los ejes x, y y z en un elemento como el de laFigura 4 y considerando que un paraboloide hiperb-lico se define con la ecuacin (2), se llega a la solucinde las tensiones proyectadas reales por unidad deanchura para un caso general donde las cargas aplica-das por unidad de superficie sean X1, Y1 y Z1 (X, Y y Zpor unidad de superficie proyectada) en cada uno delos ejes x, y y z:

(3) = +

yX

xY

Z

k2 1 2 11

2

(4)

(5)

donde = sen2 + k2y2 + k2x2 2k2xy cos ; Ai y Bi sonconstantes que dependen de la carga aplicada, delngulo y de la constante k; y X7 e Y7 son funciones dex e y. f1(y) y f2(x) son funciones arbitrarias de integracinde una sola variable. Esa indeterminacin de las tensio-nes x y y (o de sus proyecciones) nos permite satisfa-cer cualquier condicin de contorno que queramosimponer.

Si proyectamos sobre el plano tangente a la estructurapodemos obtener las tensiones reales en funcin de lastensiones x, y y :

(6)

En las ecuaciones (3), (4) y (5) podemos ver que el valorde T queda fijado, pero x y y varan dependiendo delas funciones de integracin f1(y) y f2(x) que se escojan.Eso significa que las tensiones normales en una super-ficie ilimitada estn indeterminadas. Para fijarlas nece-

x x y yzx

zy

z

=+

+

=+ 1

1

12

2 ; yy

zx

T

+

=

2

2

1

;

y B y B x BB x B x B Y f x

= + +( ) ++ + +( ) +

1 2 3

42

5 6 7 2ln( ) ( )

x A x A y AA y A y A X f y

= + +( ) ++ + +( ) +

1 2 3

42

5 6 7 1ln( ) ( )

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Figura 4. Elemento de superficie y su proyeccin




ese borde libre quede sin tensiones. Los dems bordesde la estructura tendrn unas tensiones que quedan fija-das al elegir esas funciones de integracin. En [6] sepresenta un ejemplo del clculo de una estructura en laque un borde libre curvo se deja voluntariamente sintensiones. En este caso los bordes no necesitan una rigi-dez adicional, con lo cual pueden quedar con el mismoespesor que el resto de la lmina, esto permite unamejor expresin del formalismo estructural.

3. CASOS DE ESTUDIO

A continuacin se analizan mediante modelos deelementos finitos algunas cubiertas laminares de FlixCandela cuya geometra corresponde a la del parabo-loide hiperblico. Para ello se ha utilizado la versin 6.8del paquete Abaqus [8]. Se han realizado clculos linea-les con un material elstico y empleando elementoslmina S4R (cuadrilteros de cuatro nodos con integra-cin reducida). Tambin se ha evaluado la influencia dela no linealidad geomtrica, resultando esta desprecia-ble. El caso de carga considerado corresponde al pesopropio de la lmina con la particularidad de que suvalor se multiplica por dos. Las propiedades del hormi-gn utilizadas son E=30 MPa, =0,2 y =2.500 kg/m3.

Para evaluar de manera sencilla el comportamiento demembrana o de flexin de la lmina, se propone unndice (escalar) cuyo valor en cada punto est entre 0(flexin pura) y 1 (membrana pura). Representa la frac-cin de la densidad de energa elstica total que corres-ponde a los esfuerzos de membrana:

(9)

donde (nXX, nYY, nXY) son los esfuerzos (axiles, cortante)de membrana, (XX, YY, XY) las deformaciones asocia-das, (mXX, mYY, mXY) los esfuerzos de placa (flectores ytorsor) y (XX, YY, XY) las curvaturas asociadas,estando todos ellos expresados por unidad de longitudde la lmina.

Los casos estudiados son:

Dos casos cannicos de estructuras formadas porasociacin de paralelogramos alabeados. Concreta -mente los denominados A y D [1].

El restaurante Los Manantiales en Xochimilco (M -xico).

La Iglesia de Nuestra Seora de Guadalupe en Ma -drid (Espaa).

W n n n

W m m

XX XX YY YY XY XY

XX XX

memb

flex

= + +( )

= +

12

2

12

YYY YY XY XYm

FW

W WF

+( )

=+

2

0membmemb

memb flexm , eemb 1

sitamos imponer unas condiciones de contorno, astenemos cierta libertad en la disposicin de los apoyos.

Paraboloides hiperblicos limitados por bordesrectos

Debido a la definicin de la superficie, para que elborde sea recto tendr que ser una generatriz. Si quere-mos una estructura o elemento estructural que sea unparalelogramo alabeado limitado por generatricesrectas, podemos dejar dos bordes contiguos libres detensiones eligiendo unos valores determinados de lasfunciones de integracin f1 y f2. Pero eso fijar los valo-res de las tensiones en los otros dos bordes, esas tensio-nes tendrn que ser absorbidas mediante un apoyocontinuo, lo que supone la introduccin de esfuerzosadicionales que alteran el estado de tensiones de lospuntos interiores. De ah podemos deducir que uncuadriltero alabeado bajo su peso propio no puedeestar en equilibrio salvo que dos lados contiguos estnsujetos de forma que puedan soportar cargas en cual-quier direccin. Si asociamos varios cuadrilteros lascondiciones de simetra pueden simplificar las condi-ciones de apoyo necesarias, pero siempre quedarnesfuerzos no equilibrados. En caso de que dejemos elborde libre sin sujetar, sus deformaciones nos alejarndel estado de membrana en las zonas cercanas a l, loque dar lugar a la aparicin de esfuerzos de flexin. Enla prctica, si el borde queda libre, ser necesario dispo-ner un elemento de rigidez en ese borde. En el caso deelegir una viga de rigidez gruesa se perjudica la expre-sin formal y la esttica.

Paraboloides hiperblicos limitados por bordescurvos

Las tensiones normal y tangencial en una seccin cual-quiera, no paralela a ninguna generatriz que est conte-nida en un plano que forme un ngulo con el planodirector xOz, vienen dadas por las siguientes expresio-nes [1]:

(7)

(8)

Al poder x y y tomar cualquier valor, es posible elegirf1(y) y f2(x) de tal manera que en un borde curvo noparalelo a ninguna generatriz y tomen un valorcualquiera, incluso por ejemplo cero, lo que har que

=

x

y

sen cossen

sen(2sen

sen( cos

)

) ((

sen

)

= + +

+ x

y

sensen

sen sen(sen

sens

2

2

2)

( )een

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3.1. Paralelogramos alabeados asociados

Estas estructuras estn formadas por cuatro paralelo-gramos alabeados asociados, cada uno de los cuales esun paraboloide hiperblico. En el caso de carga consi-derado, los valores de las cargas horizontales porunidad de superficie, X1 e Y1, son nulos. Adems losparaboloides de este tipo de estructuras son equilteros;es decir, el valor de es 90. Eso da lugar a una simpli-ficacin de las expresiones (4) y (5) que definen lastensiones x y y. En el caso de que el alabeo seapequeo (k 0,04) la carga correspondiente al pesopropio puede suponerse constante en proyeccin hori-zontal lo cual hace que el valor de sea constante ytanto x como y se anulen si escogemos unas funcionesde integracin nulas. En ese caso las tensiones principa-les tienen el valor absoluto de pero con diferente signocada una de ellas y sus direcciones forman 45 con lasgeneratrices. Es decir, tenemos una direccin decompresin y otra de traccin que forman 90 entre s(Figura 5). No habr tensiones normales en las genera-trices que hacen de bordes ya que son direcciones decortante puro. Esos cortantes no equilibrados de losbordes rectos darn lugar a unas tensiones tangencialesque sern las nicas reacciones de la estructura.Cuando el alabeo crece, la lmina se aleja de esecomportamiento de cortante puro y los valores de x yy dejan de ser nulos y, por tanto, aparecen tensionesnormales en las generatrices. En cualquiera de los doscasos, si el borde queda sin sujetar sus deformacionesnos alejarn del estado de membrana en las zonascercanas a l, lo que dar lugar a la aparicin de esfuer-zos de flexin.

anlisis general de este tipo de estructuras. Se hantomado unas dimensiones en planta de 8 m x 8 m y unaprofundidad del punto central respecto a los extremosde 1,6 m. Las dimensiones en planta se han elegidosimilares a las del modelo experimental de la Figura 7 yla profundidad es tal que el alabeo unitario es del ordendel utilizado en las obras reales de Candela. Ese alabeounitario ser k = 1,6/(4 4 sen90) = 0,1 m-1. El espesorde la lmina es 4 cm.

Cada uno de los cuatro paraboloides tiene dos bordescontiguos acoplados a un paraboloide adyacente, locual equilibrar en parte esa zona, y los otros dos total-mente libres. As que el comportamiento se alejar delde membrana como hemos explicado anteriormente.

En la Figura 8 se muestran las direcciones principalesde tensiones en la fibra media del modelo que hemosanalizado. Lejos de los bordes las direcciones siguen elpatrn explicado anteriormente con dos direcciones detraccin y compresin orientadas formando 45 con lasgeneratrices. En los bordes se aleja de ese patrn y lasdirecciones se orientan paralelamente a dichos bordesde forma que en los valles se concentran las compresio-nes y en los bordes libres las tracciones, lo que confirmalos clculos de [1]. Debido a ello, los bordes libres nece-sitan una armadura adicional de traccin para evitarproblemas derivados de la fisuracin.

En cuanto a las tensiones nos encontramos con que nosuperan en ningn caso los 3 MPa. Concretamente lasmximas tensiones de traccin aparecen en los bordes

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Figura 5. Direcciones de traccin y compresin

3.3.1. Forma A Paraguas

La forma A, tambin denominada paraguas (Figura 6),es muy utilizada por Candela en almacenes, mercadosy fbricas de Ciudad de Mxico: mercado de Coyoacn(1955), mercado de Anahuac (1956), bodegas Rio (1954),fbrica de Industrias Cavalier (1955)...

El modelo que aqu se analiza no corresponde aninguna obra en particular, sino que trata de ser un

Figura 6. Forma A [1]

Figura 7. Modelo experimental de un paraguas (1953)




ventaja de que no afecta a la expresin formal. Parasimular ese efecto en nuestro modelo numrico hemosfijado los nodos de los bordes en esa direccin (paralelaal propio borde), esto representara la accin de unabarra o tirante muy rgido dispuesto en ese borde. En laFigura 10 podemos ver que el factor de membranamejora y que la deformacin debida a flexiones secun-darias se reduce claramente.

Candela utiliza tambin un anlisis simple e intuitivo[9] para confirmar sus clculos: se trata de asumir quemedia estructura (es decir dos paraboloides consecuti-vos) se comporta como un voladizo y que las cargas seconcentran en los bordes y en el valle de unin entre losdos paraboloides (Figura 11). En un caso de carga comoel que nos ocupa es sencillo calcular la carga de mediaestructura y el punto de aplicacin de su resultante, que

libres, donde Candela dispone una armadura de traccinadicional, y toman un valor mximo de 2,71 MPa. Lascompresiones ms fuertes aparecen en el centro de laestructura y llegan hasta un valor mximo de 2,14 MPa.

En la Figura 9a aparece la distribucin del factor demembrana definido anteriormente. Como puede verselos factores se alejan de la unidad sobre todo en elcentro de cada uno de los cuatro paraboloides debido aque al estar los bordes libres aparecen flexiones secun-darias como puede verse en la deformada (Figura 9b).

Para ayudar a mejorar el comportamiento de mem -brana habra que transmitir a la estructura las tensionesde corte necesarias en los bordes. Eso se puede conse-guir rigidizando los bordes por ejemplo mediante unaviga de rigidez o un tirante, esta ltima opcin tiene la

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(a) (b)

Figura 8. Direcciones principales de tensiones en la Forma A: (a) Compresiones; (b) Tracciones

(a) (b)

Figura 9. Forma A: (a) Factor de membrana; (b) Deformada, Blanco=Sin deformar, Gris=Deformada (x200)

(a) (b)

Figura 10. Forma A con los bordes fijos en su direccin: (a) Factor de membrana; (b) Deformada, Blanco=Sin deformar,Gris=Deformada (x200)




estar a una distancia d del punto central. Esa carga sedescompone en las tracciones en los bordes, T, y en lacompresin en el valle, C. Entonces:

(10)

y C se obtiene directamente planteando el equilibrio endireccin horizontal:

(11)

En nuestro caso el peso total de la estructura es de 131,9 kN, as que el valor de F ser la mitad (F = 65,95 kN).El valor de d es 1,98 m, con lo que considerando queh = 1,60 m, tenemos un valor de T 40,8 kN. Dado que = arctan(1,6/4) = 21,8, el valor de C ser C = 2 40,8/ (cos 21,8) 87,9 kN.

En nuestro modelo de elementos finitos obtenemos losvalores correspondientes al borde integrando las tensio-nes en las dos filas extremas de elementos y los valoresdel valle con las cuatro filas centrales, que es donde seconcentran los esfuerzos. Obtenemos unos valores TEF =40,0 kN y CEF = 87,7 kN, que son valores muy similaresa los obtenidos en el clculo simple antes citado.

C T CT

coscos

= =22

Fd Th TFd

h= =2

2

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Figura 11. Forma A Anlisis voladizo

Figura 12. Forma D [1]

Figura 13. Fbrica de Sedas Parisina (Foto de [3])

(a) (b)

Figura 14. Direcciones principales de tensiones en la Forma D: (a) Compresiones; (b) Tracciones




(Ciudad de Mxico) fue terminada en 1958. Estformada por la asociacin de cuatro paraboloides hiper-blicos con bordes curvos de manera que se consigueuna forma particular que hace que sea conocida popu-larmente como La flor (Figura 16). Son solo cuatro para-boloides porque las hojas opuestas forman parte de lamisma superficie. Ya hemos explicado que la presenciade bordes curvos resta importancia a los esfuerzos noequilibrados en esas zonas lo cual da lugar a la posibi-lidad de obtener formas ms espectaculares al no preci-sarse apoyos especiales ni vigas de borde.

La estructura se apoya en el suelo en ocho puntos queforman un octgono regular. Cada apoyo dista 32,4 mdel opuesto. El dimetro mximo de la estructura, esdecir, la distancia entre los puntos ms altos de dosbordes curvos opuestos, es de alrededor de 42,4 metros.La altura del punto central es 5,84 metros. El espesor dela lmina es 4 cm a excepcin de los valles de uninentre paraboloides donde se regruesa hasta los 12 cm deforma que esas zonas actan como vigas de rigidez conseccin en V. Los ocho puntos de apoyo estnzunchados por debajo del suelo mediante un octgonode barras de acero que soporta las cargas horizontalesde forma que la cimentacin solo se ve afectada decargas verticales.

En la Figura 17 se muestran las direcciones principalesde tensiones en la estructura. En el cuerpo de los para-boloides encontramos una direccin circunferencial de

3.1.2. Forma D

La forma D (Figura 12) la utiliza Candela por ejemploen la fbrica de Sedas Parisina (1953) (Figura 13), en laEscuela de Danza del Parque de Chapultepec (1956) yen ciertos mdulos de la Iglesia de la Milagrosa (1955),todas situadas en Ciudad de Mxico. El modelo quehemos analizado tiene las mismas dimensiones que eldel apartado anterior.

La Figura 14 recoge las direcciones principales de ten -siones en la fibra media. Lejos de los bordes las direccio-nes forman 45 con las generatrices y conforme nosacercamos a ellos se van orientando en su direccin. Eneste caso los bordes estn todos comprimidos, lo que secorresponde con los clculos de [1]. Al igual que en elcaso anterior los valores de las tensiones son reducidosy admisibles para el hormign. En este caso encontra-mos unas tracciones mximas de 1,23 MPa que apare-cen en la fibra superior de los caballetes horizontales yunas compresiones mximas de 2,44 MPa en las zonasde los apoyos. En la Figura 15 aparece la distribucindel factor de membrana. Podemos ver que, de acuerdocon el anlisis de Candela, en las cumbreras con esfuer-zos no equilibrados se genera una flexin no deseada,siendo mnimo aqu el ndice de membrana.

3.2. Restaurante Los Manantiales

La cubierta de este restaurante situado en XochimilcoIn

vest

igac

ione

s y

Estu

dios

(a) (b)

Figura 15. Forma D: (a) Factor de membrana; (b) Deformada, Blanco=Sin deformar, Gris=Deformada (x200)

(a) (b)

Figura 16. Restaurante Los Manantiales (Mxico D.F.) (Fotos de [9]): (a) Exterior; (b) Interior




compresin y una direccin radial de tracciones. Los bor -des son principalmente caminos de compresin, sobretodo los valles regruesados que se comportan como arcosde rigidez que llevan las cargas a las cimentaciones.

Las tracciones mximas en la estructura son muy reduci-das y no llegan a alcanzar el valor de 1,0 MPa. Lascompresiones son mayores, en la fibra superior aparecenvalores de hasta 4,15 MPa; esos valores aparecen muyconcentrados en los apoyos. En los modelos de elementosfinitos los apoyos se han definido como nodos fijados entodas direcciones; esa condicin puntual hace que aparez-can valores de tensiones en esas zonas que no correspon-dern con la realidad donde el apoyo est ms repartido.Fuera de esas zonas las compresiones mximas en la fibrasuperior aparecen en el centro de la estructura y alcanzanun valor de 2,73 MPa. En la fibra inferior las compresio-nes mximas aparecen en la zona de los apoyos y llegana alcanzar los 2,49 MPa, que son valores totalmente admi-sibles para el hormign.

En la Figura 18a se presenta el factor de membrana parala cubierta del restaurante Los Manantiales. Puede ob -servarse que se presenta un comportamiento ms demembrana que en los casos anteriores debido a la pre -sencia de bordes curvos. El factor de membrana baja devalor en la zona cercana a los bordes libres, zona en laque, como puede verse en la Figura 18b, aparecendeformaciones debidas a flexin.

Despus de que Candela diseara esta estructrura, seha utilizado el mismo modelo, por ejemplo, en elrestaurante Seerose de Postdam (1982) y en la Ciudadde las Artes y las Ciencias de Valencia (2002) en cuyaconcepcin particip el propio Flix Candela.

3.3. Iglesia de Nuestra Seora de Guadalupe

En el ao 1963 comienza la construccin de la denomi-nada popularmente Iglesia de los Mexicanos en Madrid,con proyecto de Enrique de la Mora y Flix Candela.Colabora asimismo en la obra Jos A. Torroja Cava -nillas. El proyecto de la cubierta puede consultarse en laBiblioteca de la Escuela de Ingenieros de Caminos de laUniversidad Politcnica de Madrid ya que fue presen-tado por el profesor Avelino Samartn, que trabaj en elproyecto, para la obtencin del ttulo de Doctor In -geniero. La cubierta est formada por ocho paraboloi-des hiperblicos, con un vrtice central ms elevado asemejanza de un sombrero mexicano. La planta es unoctgono de 20,5 metros de lado.

En este caso los bordes de los ocho paraboloides sonbordes rectos, pero las condiciones de contorno son msrestrictivas que en los paralelogramos alabeados asocia-dos. Los ocho bordes exteriores estn apoyados en unoscontrafuertes y unos tmpanos como puede verse en laimagen de la Figura 19. Los bordes de unin entre los

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Figura 17. Direcciones principales de tensiones en la cubiertade Los Manantiales: (a) Compresiones; (b) Tracciones

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Figura 18. Cubierta de Los Manantiales: (a) Factor demembrana; (b) Deformada, Blanco=Sin deformar,

Gris= Deformada (x400)




rado apoyados de manera continua y se ha consideradola presencia de las vigas de rigidez (Figura 20). El espe-sor de los paraboloides es 4 centmetros.

En la Figura 21 se muestra parte de uno de los clculosde Candela en los que proporciona los valores de fuer-

paraboloides exteriores y los interiores solamente seapoyan en los puntos bajos, pero se refuerzan con unasvigas de rigidez que sujetan ms efectivamente laslminas. Los paraboloides centrales estn unidosmediante unas cristaleras sujetas por elementos metli-cos. En el modelo los bordes exteriores se han conside-

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Figura 19. Nuestra Seora de Guadalupe: (a) Exterior; (b) Interior

Figura 21. Clculos de Candela para el proyecto de la iglesia de Guadalupe en Madrid relacionados con las reacciones de borde

Figura 20. Descripcin estructural de la cubierta de Guadalupe




zas necesarias en los apoyos del borde exterior, aspectoque ya se ha comentado antes que resulta esencial paragarantizar el funcionamiento como membrana, y al que,como vemos, Candela dedica su atencin preferente.

Las direcciones principales de tensiones se muestran enla Figura 22. Al igual que sucede en la estructuras ante-riores, las tensiones de traccin son reducidas y alcan-zan un valor mximo de 2,89 MPa en la fibra inferior yde 1,83 MPa para la fibra superior. En cuanto a las com -presiones los valores mximos estn en torno a 3,0 MPaen ambas caras. En la Figura 23 se presenta el factor demembrana para la cubierta. Su valor es muy elevado enla mayor parte de la cubierta y slo se aleja de la unidaden las zonas prximas a las vigas de borde donde lascondiciones de apoyo hacen que aparezcan unas defor-maciones de flexin que desvan el comportamiento delde membrana puro.

4. EFECTOS DE LA FISURACIN

Aunque las tensiones de traccin en el hormign obteni-das anteriormente son reducidas, es muy probable queaparezcan fisuras en el material debido por ejemplo amovimientos en los apoyos, imperfecciones geomtricas,defectos de construccin o por la propia aleatoriedad delhormign. Esa fisuracin dar a lugar a una redistribu-

cin tensional que podr hacer variar el comportamientode la lmina. La influencia de ese fenmeno se analizamediante un anlisis no lineal con un modelo de hormi-gn de fisura cohesiva discreta [10] considerando unaresistencia a traccin de 2,5 MPa. En este tipo de modeloslas fisuras aparecen cuando las tensiones llegan a unasuperficie llamada de deteccin de fisuras. La plastifi-cacin por compresin se controla mediante la denomi-nada superficie de compresin, aunque en los casospresentados en este artculo las tensiones de compresinson bajas y no se alcanza nunca esa superficie. En laFigura 24 se muestra la definicin de esas superficies enfuncin de las tensiones principales. Para el caso de trac-cin uniaxial, en una primera fase, la tensin crece con ladeformacin con una constante de proporcionalidad quees el mdulo elstico del material hasta alcanzar la resis-tencia a traccin del hormign. A partir de ah comienzala formacin de la fisura (punto A) y la capacidad resis-tente del hormign va decreciendo hasta anularse cuandola fisura est completamente desarrollada, lo que sucedepara una apertura de fisura de 0,05 mm. La ley de ablan-damiento se ha tomado lineal [11] (Figura 24). La arma-dura se dispone con la misma orientacin y cuanta queen las estructuras reales. En cada elemento se consideran9 puntos equidistribuidos en el espesor de la lmina paraconsiderar la variacin del estado tensional en las diferen-tes fibras. En estos clculos se considera la no linealidadgeomtrica aunque, como en el clculo elstico lineal, notiene apenas influencia.

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Figura 22. Direcciones principales de tensiones en la cubiertade Ntra. Sra. de Guadalupe: (a) Compresiones; (b) Tracciones

(a)

(b)

Figura 23. Cubierta de Guadalupe: (a) Factor de membrana; (b) Deformada, Blanco=Sin deformar, Gris=Deformada (x500)




Este anlisis se realiza en la forma A (paraguas) y en lacubierta de la Iglesia de Guadalupe debido a que es enesas estructuras donde las tracciones alcanzan valoressuficientemente altos. Las Figuras 25 y 26 muestran laszonas fisuradas y el factor de membrana en ambasestructuras; como puede verse los valores son casi idn-

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Figura 24. Modelo de hormign de fisura cohesiva: (a) Superficies de plastificacin y fisuracin; (b) Diagrama tensin-deformacin en traccin uniaxial

ticos a los obtenidos cuando no se considera la fisura-cin (Figuras 9 y 23). En el caso de la forma A aparecenfisuras en la fibra superior de la zona media de losbordes libres (elementos marcados en blanco en laFigura 25), que es la zona donde se concentran lasmayores tracciones. En la Iglesia de Guadalupe apare-

Figura 25. Factor de membrana en la Forma A considerando fisuracin (fct=2,5 MPa)

Figura 26. Factor de membrana en la Iglesia de Guadalupe considerando fisuracin (fct=2,5 MPa)




cen en la fibra inferior de las zonas indicadas en laFigura 26, que tambin es donde se obtenan las mayo-res tracciones en el clculo elstico. Los valores detensiones en las estructuras son prcticamente idnti-cos, aunque, lgicamente, ya no aparecen traccionesmayores que 2,5 MPa. La Figura 27 muestra las tensio-nes y deformaciones en la direccin perpendicular auna de las fisuras de la forma A obtenidas en el clculolineal y en el no lineal. En el clculo lineal la fibra supe-rior tiene unas tracciones de 2,7 MPa. Esas tensionessuperan la resistencia a traccin del hormign, que seha fijado en 2,5 MPa, por eso en el clculo no linealaparece una fisura en esa seccin y la capacidad resis-tente de las fibras superiores se reduce dando lugar aun quiebro en la ley de tensiones de la seccin. La fisuraes incipiente y ninguna fibra llega a perder completa-mente su capacidad resistente. Como se ve la profundi-dad de la fisura es alrededor de 1 cm. Debido a eseefecto, las deformaciones son ligeramente mayores enel clculo no lineal.

Si consideramos un caso ms extremo en el que la resis-tencia a traccin del hormign se supone igual a 1,0 MPa,

las fisuras no slo aparecen en los bordes, sino que seextienden por gran parte de la lmina en direccin apro-ximadamente perpendicular a las direcciones principalesde traccin obtenidas en el calculo elstico y mostradasanteriormente. En la Figura 28 se muestra el factor demembrana y la direccin de la fisura en cada elemento. Elfactor de membrana aumenta en los bordes, pero en elresto de la lmina sigue tomando valores muy similares alos presentados anteriormente. Las tensiones en la estruc-tura tambin son muy similares con la salvedad de que yano aparecen tracciones superiores a 1,0 MPa. La Figura 29muestra la distribucin de tensiones en direccin normala una fisura que se ha desarrollado completamente; comopuede verse hay una zona cuya contribucin es nulaporque ya se ha alcanzado el punto B del diagramatensin-apertura (Figura 24).

5. CONSIDERACIONES FINALES Y CONCLUSIONES

Se ha realizado un anlisis elstico de algunas obras deCandela, contradiciendo en cierta medida los principios

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Figura 27. Seccin fisurada de la forma A con material lineal y no lineal: (a) Tensiones; (b) Deformaciones

Figura 28. Factor de membrana en la Forma A considerando fisuracin (fct=1,0 MPa) y orientacin de las fisuras




fisuras en las lminas, lo que da lugar a una redistribu-cin de tensiones en la estructura, pero el comporta-miento global sigue siendo de membrana y las tensio-nes en la lmina apenas varan, salvo que, como eslgico, dejan de aparecer tracciones mayores que laresistencia a traccin del hormign. La no linealidadgeomtrica no tiene influencia en los resultados.

Como conclusiones ms particulares que solo ataen alas formas A y D podemos resear que en los modelosde los paralelogramos alabeados asociados se confirmael signo de las tensiones en los bordes mostrado porCandela [1]. En el caso de la forma A tambin seconfirma que el anlisis simplificado de la estructuracomo un voladizo da unos resultados muy prximos alos obtenidos con el modelo de elementos finitos.

REFERENCIAS

[1] CANDELA F. Structural applications of hyperbolicparoboloidical shells. ACI Journal Proceedings. 1955,vol. 51, n 1, p. 397-416.

[2] REDDY J. Theory and Analysis of Elastic Plates andShells. Boca Raton, FL: CRC Press, 2007. 547 p.

[3] FABER C. Candela: The Shell Builder. New York:Reinhold Publishing Corporation, 1963. 240 p.

[4] CANDELA, F. En defensa del formalismo y otros escri-tos. Bilbao: Xarait Ediciones, 1985. 172 p.

[5] CANDELA F. Hacia una nueva filosofa de lasestructuras. Student Publications of the School of Design,North Carolina State College, 1955.

[6] CANDELA F. General formulas for membranastresses in hyperbolic paroboloidical shells. ACIJournal Proceedings. 1960, vol. 57.

del propio autor que defendi un clculo basado enconsideraciones de equilibrio como hemos explicadoanteriormente. En ese sentido conviene mencionar lapolmica que se suscit en la redaccin de las recomen-daciones para lminas del American Concrete Institute(ACI) [12]. Es de destacar la carta que escribe el arqui-tecto al presidente del comit, Anton Tedesko. En ellaCandela explica los motivos por los que emite un votonegativo a las normas propuestas y advierte que, en elcaso de no ser aceptado ese voto, renuncia a ser miem-bro del comit [9].

La conclusin principal que podemos sacar de los resul-tados expuestos es que los clculos y anlisis de FlixCandela quedan confirmados por nuestros modelos. Yesto cobra mayor importancia si consideramos quenuestros clculos son elsticos y que Candela se basa enlas condiciones de equilibrio como hemos explicado.

En todos los modelos analizados se confirma la impor-tancia de las condiciones de contorno que hacen que elcomportamiento de la estructura se acerque o aleje delestado de membrana como explic Candela. En el casode bordes libres las deformaciones hacen que aparezcanflexiones secundarias que reducen el valor del factor demembrana. Cuando los bordes son curvos se simplificaesa exigencia pudindose obtener formas ms especta-culares como se demuestra en el anlisis de la cubiertadel restaurante Los Manantiales.

En todos los casos estudiados las tensiones, tanto detraccin como de compresin, son reducidas y admisi-bles para el hormign, aunque en algunas zonas puedeser conveniente disponer armadura adicional paraevitar problemas derivados de la fisuracin. Convienerecordar que el caso de carga empleado es el del pesopropio multiplicado por dos, que no corresponde a uncaso real pero que se considera que cubre otras accionescomo las sobrecargas.

En el caso de considerar la no linealidad del material ysuponer una resistencia a traccin reducida aparecen

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Figura 29. Distribucin de tensiones en una fisura totalmente desarrollada en la forma A (fct=1,0 MPa)




[7] PUCHER A. Uber den spannungszustand indoppelt gekrummten flachen. Beton und Eisen. 1934,vol. 33.

[8] ABAQUS. Abaqus Incorporation. Users Manual,2008.

[9] MOREYRA GARLOCK M.E. y BILLINGTON D.P.Flix Candela. Engineer, Builder, Structural Artist.Princeton: University Art Museum Yale UniversityPress, 2008. 208 p.

[10] HILLERBORG A., MODEER M. y PETERSSON P.E.

Analysis of crack formation and crack growth inconcrete by means of fracture mechanics and finiteelements. Cement and Concrete Research. 1976, vol. 6, p.773-782.

[11] CRISFIELD M. A. Variable step-lengths for nonli-near structural analysis. Technical Report 1049,Transport and Road Research Lab, Crowthorne, England,1982.

[12] ACI Committee 334. Concrete shell structures:Practice and commentary. ACI Journal Proceedings, Vol.61, p. 1091-1108, 1964.

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Analisis Estructural de Candela